Matematicas Resueltos (Soluciones) Derivadas Nivel I 1º Bachillerato

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El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo

XVII hasta la noción de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,

constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y

Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien

entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una

buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta

teoría no dejan de aparecer.

1. Tasa de variación media

Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,

pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama

incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento

de la función

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la

función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la

función y de la variable, es decir:

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Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es

decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa

por f ′(a) , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la

tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

2. Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta

secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a

ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en

el punto (a,.f(a))

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La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar:

y - f(a) = f ´(a)(x-a) .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el

punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa

por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3

= 2(x-1)

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Normalmente la definición de derivada, nos la vamos a encontrar con la fórmula

siguiente:

Para designar la derivada de la función f en el punto x se emplean diversas

notaciones:

y’(x), f’(x), D f(x)

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Antes de comenzar los ejercicios, vamos a recordar algo importante:

Calcular derivadas es calcular límites dados por la expresión, que hemos

definido anteriormente.

Si aplicamos directamente el teorema del cociente de límites, obtenemos como

resultado una indeterminación de tipo 0/0.

Por tanto, habrá que eliminar esta indeterminación haciendo transformaciones

en la expresión dada.

1.- Calcular D x

2.- Calcular D (2x+5)

Lo primero que haremos será sustituir en la fórmula general:

X por el valor del enunciado que es: x = 2x+5

Ahora vamos a efectuar operaciones en el numerador:

Nos quedaría la siguiente expresión:

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El siguiente paso es seguir haciendo operaciones con el numerador:

Nos queda la siguiente expresión:

3.- Calcular D x2

Como siempre, vamos a partir de la fórmula general de la derivada en un punto.

Para seguir siempre el mismo patrón, sustituimos en esta fórmula, el valor de x,

dado en el enunciado del problema que es: x2



Ahora vamos a simplificar el numerador, una vez hechas operaciones:

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Para seguir haciendo operaciones, ¿qué se nos ocurre en este momento?

Creo que lo único que veo, es sacar factor común en el numerador, pues vamos a

ver como nos queda la expresión.

Si dividimos entre h el numerador y denominador, nos queda:

Ahora, ¿cómo seguimos?

Sencillo, lo único que nos queda por hacer es observar la expresión que

tenemos y ver que h tiende a =, por tanto hacemos h = 0:

4.- Calcular D x3

Como siempre, vamos a partir de la fórmula general de la derivada en un punto.

En realidad, lo que estamos haciendo, es buscar un patrón, para siempre

proceder de la misma forma, y evitarnos errores por tratar de buscar

distintos métodos para resolver estos problemas.


dado en el enunciado del problema que es: x3

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Ahora vamos a simplificar el numerador, una vez hechas operaciones:

Para seguir haciendo operaciones, ¿qué se nos ocurre en este momento?

Creo que lo único que veo, es sacar factor común en el numerador, pues vamos a

ver como nos queda la expresión.



Si observamos la expresión obtenida, lo único que nos queda por hacer es

observar h tiende a cero, por tanto hacemos h = 0

5.- Calcular

Buenooooo….. tranquilas/tranquilos todos, no va a ser difícil, es conveniente, que nos

acostumbrémonos a trabajar con raíces. Pensemos en que nunca nos van a evaluar con

ejercicios sencillos.

A pesar de todo, como siempre tendremos que seguir utilizando nuestro patrón

establecido en todos y cada uno de los ejercicios anteriores.

Vamos a ello:

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Vamos a partir de la fórmula general de la derivada en un punto:


dado en el enunciado del problema que es:

Como no queda otro remedio, vamos a continuar haciendo el ejercicio:

Bueno, ahora otro problema más, tenemos este mogollón, y ¿qué hacer?

Menos abandonar, cualquier cosa. Vamos a estrujarnos el coco, y mirar lo que tenemos

delante, y ver que se nos ocurre para salvar este entuerto.

Y tan solo tenemos una opción. Es la siguiente:

Pensando un poquito, hemos dicho en la página de teoría que cuando vamos a calcular

derivadas, en realidad estamos calculando límites, dados por la fórmula general.

Además habíamos dicho, que si aplicamos directamente el cociente de límites, siempre nos

íbamos a encontrar con las expresiones indeterminadas del tipo 0/0.

¿Nos acordamos ahora? Bien, pues sirva esta de nota de recordatorio.

Entonces ¿dónde nos encontramos?

Estamos parados ante un límite, con una indeterminación del tipo 0/0, y ahora ¿qué

hacíamos cuando estábamos resolviendo problemas de límites y nos encontrábamos con

este tipo de indeterminaciones?

¿Os acordáis ahora?

Tranquilas/tranquilos colegas: Para deshacer la indeterminación tenemos que multiplicar y

dividir la expresión por el conjugado del numerador de la función dada.

Esta es la función dada, una vez hemos sustituido sus valores:

Por tanto su conjugada es:

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Entonces ahora, lo que haremos será deshacer la indeterminación, de acuerdo con estos

datos que tenemos. Sustituyendo estos valores obtenemos:





Si observamos la expresión obtenida, lo único que nos queda por hacer es

observar h tiende a cero, por tanto hacemos h = 0

6.- Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa

x = 1.

Vamos a partir de la fórmula general de la derivada en un punto:

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Para seguir siempre el mismo patrón, sustituimos en esta fórmula, el valor de

x, dado en el enunciado del problema que es: x = 3x+5

Ahora vamos a efectuar operaciones en el numerador:

Nos quedaría la siguiente expresión:



Ahora vamos a hacerlo de otra forma: f= 3x+5

X=1

f(1+h) = 3(1+h)+5 = 3 + 3h + 5 = 3h + 8

f(1) = 3.1 + 5 = 8

Ahora vamos a sustituir estos valores en la fórmula general de la derivada:

Por tanto f’(1) = 3

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7.- Calcular la derivada de la función f(x) = en el punto 2.

Vamos a calcularlo, por el nuevo sistema que hemos utilizado en el ejercicio

anterior.

La función dada es

El valor de x = 2


Estamos parados, porque tenemos un límite, con una indeterminación del tipo 0/0, y ahora

¿qué hacíamos cuando estábamos resolviendo problemas de límites y nos encontrábamos

con este tipo de indeterminaciones?

Para deshacer la indeterminación tenemos que multiplicar y dividir la expresión por el

conjugado del numerador de la función dada.

El conjugado del numerador es:

Entonces ahora, lo que haremos será deshacer la indeterminación, de acuerdo con estos

datos que tenemos. Sustituyendo estos valores obtenemos:

Recordamos, que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Vamos a efectuar esta operación en el numerador:

Por tanto el numerador, nos queda reducido a h

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Ahora vamos a observar, como nos queda la expresión, como consecuencia de

todos estos cálculos:

Ahora vamos a dividir numerador y denominador

entre h.

Siguiente paso: como h tiende a o, hacemos h = 0

Y observamos el denominador:

Por tanto, sumamos en el denominador y obtenemos

el resultado pedido:

8.- Halla la T.V.M. de la función y = x 2 – 8x + 12 en los intervalos [1, 2], [1, 3],

[1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8].

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9.- Halla la derivada de y = 5x – x2 en los puntos de abscisas 4 y 5.

Vamos a comenzar calculando el valor 4, por tanto x = 4

La función dada es: 5x – x2

El valor de x = 4

f(4+ h) = 5 (4 + h )- (4+h)2 = 20 + 5h –(h2+8h+16) = 20 + 5h –h2 -8h -16 = -h

2 -3h +4

f(4) = 5. 4 – 42 = 20 -16 = 4


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¿Qué haremos en este paso? Pues deberíamos simplificar, para ello, sacamos h

factor común en el numerador y en el denominador:

Como h tiende a o, hacemos h = 0, y tenemos esta primera solución del

problema:

f’(4) = - 3

Ahora vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto 5, por tanto x = 5

La función dada es: 5x – x2

El valor de x = 5

f(5+h) = 5(5+h) – (5+h)2 = 25 +5h –2+10h+25)

= 25 + 5h – h2 – 10h -25 = -h2 – 5h

f(5) = 5 . 5 – 52 = 25 -25 = 0


¿Qué haremos en este paso? Pues deberíamos simplificar, para ello, sacamos h

factor común en el numerador y en el denominador:

Como h tiende a o, hacemos h = 0, y tenemos esta primera solución del

problema:

f’(5) = - 5

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10.- Halla la derivada de en los puntos de abscisas 1, –1 y 5.

Vamos a comenzar calculando el valor de la abcisa 1, por tanto x = 1

La función dada es:

El valor de x = 1


Vamos a seguir haciendo operaciones en el numerador:

Seguimos efectuando más operaciones con el numerador:

Una ver terminadas todas estas operaciones: ¿Qué haremos en este paso? Pues

deberíamos simplificar, para ello, sacamos h factor común en el numerador y en

el denominador:

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Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta primera solución del

problema:

f’(1) = - 3

2ª.- Ahora vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto -1, por tanto x = - 1


El valor de x = -1


Vamos a efectuar operaciones en el numerador:



el denominador:

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Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta segunda solución del

problema:

3ª.- Ahora vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto 5, por tanto x = 5


El valor de x = 5





el denominador:

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Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta tercera solución del

problema:

11.- Halla la derivada de en los puntos de abscisas –2, –1, 1 y 2.

Vamos a comenzar calculando el valor de la abcisa -2, por tanto x = - 2


El valor de x = 5



Seguimos haciendo operaciones:

1º Vamos a operar con el numerador de esta fracción:

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El siguiente paso, es simplificar, para irnos aclarando:


problema:

2ª.- Ahora vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto -1, por tanto x = - 1


El valor de x = - 1



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Seguimos haciendo operaciones. Con cuidado, vamos a ir despacito paso a paso, para

evitar confusiones a la hora de operar. Precisamente este problema, es para evaluar,

como estamos en operatoria.

Parece que ya hemos llegado al final, entonces lo que hacemos a continuación, es

simplificar:


problema:



El valor de x = 1


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Vamos a efectuar operaciones:


simplificar


problema:



El valor de x = 2


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simplificar

Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta cuarta solución del problema:

12.- Halla la derivada de y = x2 – 2x en los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 y

4.

1ª.- Vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto - 2, por tanto x = - 2

La función dada es: x2 – 2x

El valor de x = - 2

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problema:

2ª.- Vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto - 1, por tanto x = - 1


El valor de x = - 1



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simplificar


problema:

3ª.- Vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto 0, por tanto x = 0


El valor de x = 0



simplificar


problema:

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El valor de x = 1



Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta cuarta solución del problema:



El valor de x = 2


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Vamos a simplificar, par ello sacamos factor común h:

Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta quinta solución del problema:



El valor de x = 3

Vamos a sustituir estos valores en la fórmula general de la derivada:

Efectuemos operaciones:

Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta sexta solución del problema:

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El valor de x = 4



Vamos a simplificar y para ello sacamos factor común h:

Como h tiende a 0, hacemos h = 0, y tenemos esta séptima solución del problema:

13.- Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:

1) [–2, 0]

2) [0, 2]

3) [2, 5]

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14.- Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e

indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:

a) f (x) = 1/x

b) f (x) = (2 – x)3

c) f (x) = x2 – x + 1

d) f (x) = 2x

Si la T.V.M. es positiva, la función crece.

¿Qué hemos hecho, para resolverlo?

La función dada es 1/x

1º Hemos calculado el valor de la función cuando x= 1, para ellos hemos

sustituido el valor de x por 1, y obtenemos:

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2º.- Hemos calculado el valor de la función cuando x= 3, para ellos hemos

sustituido el valor de x por 3, y obtenemos:

Y a continuación, hemos sustituido estos valores obtenidos, en la fórmula

general de la Tasa de Variación Media.

b.- La función dada es: (2 – x)3

Procedemos de la misma forma que el paso anterior, vamos a iniciar calculando los valores

de x en la función dada:

c.- La función dada es: x2 – x + 1

Procedemos de la misma forma que el paso anterior, vamos a iniciar calculando los valores


d.- La función dada es: 2x Procedemos de la misma forma que el paso anterior, vamos a iniciar calculando los valores


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15.- Dada la función f (x) = x2 – 1, halla la tasa de variación media en el

intervalo [2, 2 + h]

Vamos a calcular el valor de la función, cuando x = 2

Vamos a calcular el valor de la función, cuando x = 2+h

Lo que nos queda es sustituir estos valores obtenidos, en la fórmula general de

la Tasa de Variación Media:

16.- Aplicando la definición de derivada, calcula f ' (–2) y f ' (3), siendo

1º.-Vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto -2, por tanto x = -2


El valor de x = -2

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Vamos a simplificar y ya obtenemos la solución:

Por tanto:

2º.-Vamos a calcular el valor de la abcisa en el punto 3, por tanto x = 3


El valor de x = 3

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Vamos a simplificar y ya obtenemos la solución:

Por tanto:

17.- Calcular la derivada de usando el método de definición de la

derivada usado hasta ahora.


El valor de x = x3

Vamos a sustituir estos valores, en la fórmula general de la derivada:

A continuación, vamos a comenzar haciendo operaciones en el numerador:

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Ahora vamos a sacar factor común h, para simplificar:

Como h tiende a cero, hacemos h = 0, y a tenemos la solución

18.- Halla la función derivada de y = x3 + x2

La función dada es: x3 + x2

El valor de x = x3 + x2



1º Vamos a sacar el paréntesis:

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Vamos a suprimir: x3 que están sumando y restando:

Vamos a suprimir: x2 que están sumando y restando:

Ahora ¿cómo seguimos?

Sacaremos factor común h, para poder simplificar. Vamos a ello:

Ahora simplificando, nos queda la siguiente expresión:

Una vez hemos, simplificado, seguimos como siempre con el orden que hemos

establecido: como h tiende a 0, hacemos h = 0 y sustituimos:

Ya tenemos la solución al problema:

19.- Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de la siguiente

función es la que se indica f (x) = 5x f ' (x) = 5

La función dada es: 5x

El valor de x = 5x

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1º.- Vamos a suprimir 5x que está sumando y restando:

2º.- Dividimos numerador y denominador entre h, y obtenemos el resultado del

problema.

20.-Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de la siguiente

función es la que se indica f (x) = 7x2 f ' (x) = 14x

La función dada es: 7x2

La función en x = 7x2



1º.- Vamos a suprimir 7x2 que está sumando y restando:

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Ahora ¿cómo seguimos?



establecido: como h tiende a 0, hacemos h = 0 y sustituimos, obteniendo el

resultado pedido en el problema.


función es la que se indica f (x) = x2 + x f ' (x) = 2x + 1

La función dada es : x2 + x

La función en x = x2 + x



1º.- Vamos a suprimir x2 que está sumando y restando:

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2º.- Vamos a suprimir x que está sumando y restando:



establecido: como h tiende a 0, hacemos h = 0 y sustituimos, obteniendo el

resultado pedido en el problema:


función es la que se indica


El valor de x =



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A continuación, vamos a seguir haciendo operaciones, incluyendo el

denominador:

Bueno, tenemos que seguir adelante, ahora no nos vamos a achicar ni a tener miedo a

seguir

Tenemos en el numerado 3x sumando y 3x restando, lo vamos a eliminar:

¿Cuál será el siguiente paso?

Sacar factor común h, para poder simplificar: seguimos observando, que

siempre damos los mismos pasos, para procurar no perdernos haciendo los

ejercicios.

Ahora ya simplificamos, dividiendo entre h numerador y denominador, para

buscar la solución:

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Como h tiende a cero, hacemos h = 0, y a tenemos la solución:

con lo cual queda demostrado

Creo que ya son suficientes problemas, para estar en condiciones de garantizar, que nos

echen los que quiera, que vamos a ser capaces de resolverlos.

Debemos de tener en cuenta, que tendremos que seguir el mismo método, para cometer el

menor número de errores.

Y sobre todo, mucho cuidado con las operaciones. Ir paso a paso, estos ejercicios, son

precisamente para probarnos como estamos en operatoria.

Esta es una introducción a la derivación, pero existen unas normas, con unas fórmulas

genéricas, para verdaderamente calcular derivadas de cualquier expresión. Las veremos

en cuanto lleguemos la Nivel II.

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