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Matematicas Resueltos (Soluciones) Derivadas Nivel I 1º Bachillerato

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1º Bachillerato Opción Ciencias de la Naturaleza y Sociales

Text of Matematicas Resueltos (Soluciones) Derivadas Nivel I 1º Bachillerato

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variacin, condujo en el siglo XVII hasta la nocin de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el clculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuy la aparicin de una buena notacin, que es la que usaremos. Las aplicaciones prcticas de esta teora no dejan de aparecer. 1. Tasa de variacin media Incremento de una funcin Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la funcin Tasa de variacin media Llamamos tasa de variacin media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la funcin y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la funcin y de la variable, es decir:

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Ejemplo 1. Halla la tasa de variacin media de la funcin f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solucin

2. Tasa de variacin instantnea. La derivadaConsideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variacin media en el intervalo [a, a +h] sera

Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la funcin f en el punto a y se designa por f (a) , por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite de la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. 2. Interpretacin geomtrica de la derivadaLa tasa de variacin media de una funcin f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la grfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la funcin en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))

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La ecuacin de la recta tangente en dicho punto se puede expresar:

y - f(a) = f (a)(x-a) .Ecuacin punto pendiente de la recta tangente a la grfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f(a)

En la figura se muestra la grfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuacin y 3 = 2(x-1)Indicacin. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Normalmente la definicin de derivada, nos la vamos a encontrar con la frmula siguiente:

Para designar la derivada de la funcin f en el punto x se emplean diversas notaciones: y(x), f(x), D f(x)

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Antes de comenzar los ejercicios, vamos a recordar algo importante: Calcular derivadas es calcular lmites dados por la expresin, que hemos definido anteriormente. Si aplicamos directamente el teorema del cociente de lmites, obtenemos como resultado una indeterminacin de tipo 0/0. Por tanto, habr que eliminar esta indeterminacin haciendo transformaciones en la expresin dada. 1.- Calcular D x

2.- Calcular D (2x+5) Lo primero que haremos ser sustituir en la frmula general:

X por el valor del enunciado que es: x = 2x+5

Ahora vamos a efectuar operaciones en el numerador: Nos quedara la siguiente expresin:

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El siguiente paso es seguir haciendo operaciones con el numerador: Nos queda la siguiente expresin:

3.- Calcular D x

2

Como siempre, vamos a partir de la frmula general de la derivada en un punto.

Para seguir siempre el mismo patrn, sustituimos en esta frmula, el valor de x, dado en el enunciado del problema que es: x2

El siguiente paso es seguir haciendo operaciones con el numerador: Nos queda la siguiente expresin:

Ahora vamos a simplificar el numerador, una vez hechas operaciones:

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Para seguir haciendo operaciones, qu se nos ocurre en este momento? Creo que lo nico que veo, es sacar factor comn en el numerador, pues vamos a ver como nos queda la expresin.

Si dividimos entre h el numerador y denominador, nos queda:

Ahora, cmo seguimos? Sencillo, lo nico que nos queda por hacer es observar la expresin que tenemos y ver que h tiende a =, por tanto hacemos h = 0:

4.- Calcular D x

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Como siempre, vamos a partir de la frmula general de la derivada en un punto. En realidad, lo que estamos haciendo, es buscar un patrn, para siempre proceder de la misma forma, y evitarnos errores por tratar de buscar distintos mtodos para resolver estos problemas.

Para seguir siempre el mismo patrn, sustituimos en esta frmula, el valor de x, dado en el enunciado del problema que es: x3

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Ahora vamos a simplificar el numerador, una vez hechas operaciones:

Para seguir haciendo operaciones, qu se nos ocurre en este momento? Creo que lo nico que veo, es sacar factor comn en el numerador, pues vamos a ver como nos queda la expresin.

Si dividimos entre h el numerador y denominador, nos queda:

Ahora, cmo seguimos? Si observamos la expresin obtenida, lo nico que nos queda por hacer es observar h tiende a cero, por tanto hacemos h = 0

5.- CalcularBuenooooo.. tranquilas/tranquilos todos, no va a ser difcil, es conveniente, que nos acostumbrmonos a trabajar con races. Pensemos en que nunca nos van a evaluar con ejercicios sencillos.

A pesar de todo, como siempre tendremos que seguir utilizando nuestro patrn establecido en todos y cada uno de los ejercicios anteriores. Vamos a ello:

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Vamos a partir de la frmula general de la derivada en un punto:

Para seguir siempre el mismo patrn, sustituimos en esta frmula, el valor de x, dado en el enunciado del problema que es: Como no queda otro remedio, vamos a continuar haciendo el ejercicio:

Bueno, ahora otro problema ms, tenemos este mogolln, y qu hacer? Menos abandonar, cualquier cosa. Vamos a estrujarnos el coco, y mirar lo que tenemos delante, y ver que se nos ocurre para salvar este entuerto. Y tan solo tenemos una opcin. Es la siguiente: Pensando un poquito, hemos dicho en la pgina de teora que cuando vamos a calcular derivadas, en realidad estamos calculando lmites, dados por la frmula general. Adems habamos dicho, que si aplicamos directamente el cociente de lmites, siempre nos bamos a encontrar con las expresiones indeterminadas del tipo 0/0. Nos acordamos ahora? Bien, pues sirva esta de nota de recordatorio. Entonces dnde nos encontramos? Estamos parados ante un lmite, con una indeterminacin del tipo 0/0, y ahora qu hacamos cuando estbamos resolviendo problemas de lmites y nos encontrbamos con este tipo de indeterminaciones? Os acordis ahora? Tranquilas/tranquilos colegas: Para deshacer la indeterminacin tenemos que multiplicar y dividir la expresin por el conjugado del numerador de la funcin dada. Esta es la funcin dada, una vez hemos sustituido sus valores:

Por tanto su conjugada es:

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Entonces ahora, lo que haremos ser deshacer la indeterminacin, de acuerdo con estos datos que tenemos. Sustituyendo estos valores obtenemos:

El siguiente paso es seguir haciendo operaciones con el numerador: Nos queda la siguiente expresin:

Si dividimos entre h el numerador y denominador, nos queda:

Ahora, cmo seguimos? Si observamos la expresin obtenida, lo nico que nos queda por hacer es observar h tiende a cero, por tanto hacemos h = 0

6.- Calcular la derivada de la funcin f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Vamos a partir de la frmula general de la derivada en un punto:

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Para seguir siempre el mismo patrn, sustituimos en esta frmula, el valor de x, dado en el enunciado del problema que es: x = 3x+5

Ahora vamos a efectuar operaciones en el numerador: Nos quedara la siguiente expresin:

El siguiente paso es seguir haciendo operaciones con el numerador: Nos queda la siguiente expresin:

Ahora vamos a hacerlo de otra forma: f= 3x+5 X=1 f(1+h) = 3(1+h)+5 = 3 + 3h + 5 = 3h + 8 f(1) = 3.1 + 5 = 8 Ahora vamos a sustituir estos valores en la frmula general de la derivada:

Por tanto f(1) = 3

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7.- Calcular la derivada de la funcin f(x) =

en el punto 2.

Vamos a calcularlo, por el nuevo sistema que hemos utilizado en el ejercicio anterior. La funcin dada es El valor de x = 2

Ahora vamos a sustituir estos valores en la frmula general de la derivada:

Estamos parados, porque tenemos un lmite, con una indeterminacin del tipo 0/0, y ahora qu hacamos cuando estbamos resolviendo problemas de lmites y nos encontrbamos con este tipo de indeterminaciones? Para deshacer la indeterminacin tenemos que multiplicar y dividir la expresin por el conjugado del numerador de la funcin dada. El conjugado del numerador es: Entonces ahora, lo que haremos ser deshacer la indeterminacin, de acuerdo con estos datos que tenemos. Sustituyendo estos valores obtenemos:

Recordamos, que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: Vamos a efectuar esta operacin en el numerador:

Por tanto el numerador, nos queda reducido a h

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Ahora vamos a observar, como nos queda la expresin, como consecuencia de todos estos clculos:

Ahora vamos a dividir numerador y denominador entre h.

Siguiente paso: como h tiende a o, hacemos h = 0 Y observamos el denominador:

Por tanto, sumamos en el denominador y obtenemos el resultado pedido:

8.- Halla la T.V.M. de la funcin y = x [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8].

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8x + 12 en los intervalos [1, 2], [1, 3],

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9.- Halla la

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