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Nivel 2º Enseñanza Secundaria
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Concepto de fracción
1 ¿Cuántos cubitos amarillos hay en cada uno de estos cubos?
¿Qué fracción representa la parte verde en cada uno?
3 cubitos amarillosPrimer cubo → �Fracción que representa la parte verde: �
2247� = �
89�
18 cubitos amarillosSegundo cubo → �Fracción que representa la parte verde: �
297� = �
13�
12 cubitos amarillosTercer cubo → �Fracción que representa la parte verde: �
1257� = �
59�
2 Calcula:
a) de 24 b) de 100
c) de 27 d) de 14
e) de 800 f) de 480715
45
27
79
35
23
1
3 ¿Cuántos gramos son?
4 ¿Qué fracción de kilo son?
5 Expresa en forma decimal:
a) · 24 = = 16 b) · 100 = = 60
c) · 27 = = 21 d) · 14 = = 4
e) · 800 = = 640 f ) · 480 = = 2247 · 48015
715
4 · 8005
45
2 · 147
27
7 · 279
79
3 · 1005
35
24 · 23
23
a) · 1 000 = 750 gramos b) · 1 000 = 400 gramos
c) · 1 000 = 125 gramos d) · 1 000 = 625 gramos58
18
25
34
a) de kilo b) de kilo
c) de kilo d) de kilo58
18
25
34
a) 50 g = kg = kg b) 100 g = kg = kg
c) 200 g = kg = kg d) 250 g = kg = kg14
2501 000
15
2001 000
110
1001 000
120
501 000
a) 50 gramos b) 100 gramos
c) 200 gramos d) 250 gramos
a) 0,7 b) 0,4 c) 0,375 d) 0,04
a) b) c) d) 125
38
25
710
2
6 Expresa en forma de fracción:
a) 3 b) 2,7 c) 1,41d) 0,05 e) 0,001 f) 0,250
a) 3 = �31� = �
62� = … b) 2,7 = �
2170� c) 1,41 = �
114010�
d) 0,05 = �1500� = �
210� e) 0,001 = �
1 0100� f ) 0,250 = �
12050� = �
14�
8 Pasa a forma fraccionaria:
a) 0,4)
b) 1,4)
c) 2,4)
d) 1,6)
e) 2,35)
f) 1,37)
a) 0,4)
= A b) 1,4)
= 1 + 0,4)
= 1 + �49� = �
193�
c) 2,4)
= 2 + 0,4)
= 2 + �49� = �
292�
d) 1,6)
= D e) 2,35)
= M
f ) 1,37)
Fracciones equivalentes
9 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
10 A = 4,444…– A = 0,444…
9 A = 4,000…
A = �49�
10 D = 16,666…– D = 1,666…
9 D = 15,000…
D = �195� = �
53�
100 K = 137,3737…– K = 1,3737…
99 K = 136,0000…
K = �19396�
100 M = 235,353535…– M = 2,353535…
99 M = 233,000000…
M = �29393�
a) , b) ,
c) , d) , 1640
1435
8–12
–23
47
69
315
210
3
10 Escribe.
a) Una fracción equivalente a �25
� que tenga por numerador 6.
b) Una fracción equivalente a �140� que tenga por numerador 10.
c) Una fracción equivalente a �192� que tenga por numerador 16.
11 Calcula el término x que falta en cada caso:
12 Simplifica hasta obtener una fracción irreducible:
a) 2 · 15 = 3 · 10 → Sí b) 6 · 7 ≠ 4 · 9 → No
c) (–2) · (–12) = 3 · 8 → Sí d) 14 · 40 = 35 · 16 → Sí
a) =
b) =
c) = 1216
912
1025
410
615
25
a) = b) =
c) = d) =
a) x = = 9 b) x = = 6
c) x = = 4 d) x = = 1227 · 3681
3 · 2015
4 · 2718
3 · 155
2781
x36
1520
3x
27x
184
x15
35
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) 72306
144540
121143
1866
4072
45105
5664
3024
4
13 Reduce a común denominador:
14 Reduce a común denominador y después ordena de menor a mayor:
a) m.c.m. (2, 4, 8) = 8
= =
b) m.c.m. (5, 4, 10) = 20
= = =
c) m.c.m. (6, 8, 12) = 24
1 = = = =
d) m.c.m. (3, 5, 6, 15) = 30
= = = = 430
215
530
16
1830
35
1030
13
1424
712
924
38
2024
56
2424
1420
710
1520
34
820
25
18
28
14
48
12
a) , , b) , ,
c) 1, , , d) , , , 215
16
35
13
712
38
56
710
34
25
18
14
12
a) = = b) = =
c) = = d) = =
e) = = f ) = =
g) = = h) = = 417
2 · 22 · 32
2 · 32 · 1772306
415
22 · 22 · 32
22 · 3 · 32 · 5144540
1113
11 · 1111 · 13
121143
311
2 · 3 · 32 · 3 · 11
1866
59
2 · 2 · 2 · 52 · 2 · 2 · 32
4072
37
3 · 3 · 53 · 5 · 7
45105
78
23 · 723 · 23
5664
54
2 · 3 · 52 · 2 · 2 · 3
3024
a) 1, , , b) , , , 34
12
512
23
710
34
25
c) 1, , , , 1110
75
32
35
d) �23
�, �35
�, �32
�, �76
�
5
d) m.c.m. (3, 5, 2, 6) = 30
�23� = �
2300� �
35� = �
1380� �
32� = �
4350� �
76� = �
3350�
�35� < �
23� < �
76� < �
32�
15 Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (5, 4, 10) = 20
1 = = = =
< < < 1
b) m.c.m. (3, 12, 2, 4) = 12
= = =
< < <
c) m.c.m. (2, 5, 10) = 10
1 = = = =
< 1 < < < 32
75
1110
35
1110
1410
75
1510
32
610
35
1010
34
23
12
512
912
34
612
12
512
812
23
34
710
25
1420
710
1520
34
820
25
2020
a) 1 + = b) + = c) – =
d) 1 – = e) 1 – = f ) + =
g) – = h) 1 – = i) 2 – = 12
32
910
110
110
110
15
310
110
15
23
13
14
34
14
14
12
34
14
12
32
12
a) 1 + b) + c) –
d) 1 – e) 1 – f) +
g) – h) 1 – i) 2 – 32
110
110
15
110
15
13
34
14
12
14
12
12
6
16 Calcula y simplifica:
17 Calcula y simplifica:
a) – + = – + = =
b) + – = + – = =
c) + – = + – = =
d) – + = – + = =
e) 2 – – – = – – – = = =
f ) – 4 + – = – + – = = 23
46
16
156
246
146
16
52
73
89
22 · 23
22 · 323236
336
2836
936
7236
112
79
14
89
1618
918
818
1518
12
49
56
15
315
815
515
615
815
13
25
45
1215
715
915
1015
715
35
23
13
26
16
26
36
16
13
12
a) – + b) + –
c) + – d) – +
e) 2 – – – f) – 4 + – 16
52
73
112
79
14
12
49
56
815
13
25
715
35
23
16
13
12
a) 2 – (1 + ) b) 1 – ( + )c) (2 – ) – (1 – ) d) ( + ) – ( – )e) ( – ) – ( – ) – f) (4 – ) – (5 – ) + (3 – – )g) – [1 – ( + )] h) [2 – ( + )] – [1 + ( – )]i) [ – (1 – )] + [ – (1 – )] + [ – (1 – )]1
612
14
12
13
12
13
12
13
12
23
14
56
38
12
34
58
12
23
15
45
32
14
32
23
56
14
34
56
310
23
7
Producto y cociente de fracciones. Operaciones combinadas
18 Calcula y simplifica:
i) [ – (1 – )] + [ – (1 – )] + [ – (1 – )] = [ – ] + [ – ] + [ – ] =
= – – – = + + = – = – 34
912
–412
–312
–212
26
14
16
56
12
34
12
23
12
16
12
14
12
13
12
h) [2 – ( + )] – [1 + ( – )] = [2 – ] – [1 + ] = – = 076
76
16
56
13
12
13
12
g) – [1 – ( + )] = – [1 – ] = – = = 34
912
112
56
1112
56
23
14
56
f ) (4 – ) – (5 – ) + (3 – – ) = – + = – = = 54
108
348
448
178
174
278
38
12
34
58
e) ( – ) – ( – ) – = ( – ) – ( – ) – = + – =
= + – = = 23
2030
1530
1430
2130
12
715
710
12
1015
315
810
1510
12
23
15
45
32
d) ( + ) – ( – ) = – = – = = 14
312
1512
1812
54
96
14
32
23
56
c) (2 – ) – (1 – ) = – = = 12
24
34
54
14
34
b) 1 – ( + ) = 1 – ( + ) = – = = –215
–430
3430
3030
2530
930
56
310
a) 2 – (1 + ) = 2 – = – = 13
53
63
53
23
a) · b) · 5
c) · d) ·
e) · f) 3 · (– )g) · (–6) h) (– ) · (– )2
934
12
45
410
58
–43
–92
–72
37
15
45
5–3
8
19 Calcula y simplifica:
20 Calcula y simplifica:
a) · = – = – b) · 5 = 1
c) · = – d) · = = 6
e) · = = f ) 3 · (– ) = –
g) · (–6) = – = –3 h) (– ) · (– ) = = 16
3 · 22 · 2 · 3 · 3
29
34
62
12
125
45
14
5 · 44 · 2 · 5 · 2
410
58
3 · 3 · 2 · 22 · 3
–43
–92
32
–72
37
15
43
2015
45
5–3
a) : = = b) : = =
c) 6 : = = 10 d) : 4 = =
e) (– ) : = = f ) (– ) : (– ) = = 38
34 · 2
23
14
–65
–2 · 93 · 5
59
23
23
83 · 4
83
6 · 53
35
–47
–2 · 187 · 9
–718
29
35
2 · 32 · 5
23
25
a) : b) :
c) 6 : d) : 4
e) (– ) : f ) (– ) : (– )23
14
59
23
83
35
–718
29
23
25
a) : ( + ) = : = = 1
b) ( – ) : = : = =
c) ( + 2) · (2 – ) = · = 1
d) ( + ) · ( – ) = · = 14
29
98
19
13
58
12
27
72
127
32
13
103 · 10
310
110
310
12
35
3 · 43 · 4
34
34
14
12
34
a) : ( + ) b) ( – ) :
c) ( + 2) · (2 – ) d) ( + ) · ( – )19
13
58
12
127
32
310
12
35
14
12
34
9
21 Calcula y simplifica:
a) (– ) · ( – ) b) (1 – ) · ( + )c) ( – 2) · (1 – – )
a) (– ) · ( – ) = (– ) · ( – ) = (– ) · (– ) =
b) (1 – ) · ( + ) = ( – ) · ( + ) = · =
c) ( – 2) · (1 – – ) = ( – ) · ( – – ) =
= (– ) · (– ) = (– ) · (– ) = 4
22 Calcula y simplifica:
24 Calcula y simplifica:
73
127
2812
127
2512
1512
1212
147
27
2512
54
27
514
56
37
36
26
47
77
12
13
47
16
120
103
520
420
103
14
15
103
2512
54
27
12
13
47
14
15
103
17 Calcula y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) 6 b) c)
d) e) f ) 23
16
815
32
32
116
132
123
13
12
34
25
2
13
a) b) c)– 1
– 112
32
+
+ 23
16
12
23
+
+ 310
34
14
25
10
Problemas de aplicación
25 Tres cuartas partes de un metro de cinta cuestan 2,10 euros. ¿Cuántocuestan dos metros y medio?
�34� de metro cuestan 2,10 €.
�14� de metro cuestan 0,7 € → 1 m cuesta 2,8 €.
2,5 metros cuestan 2,8 · 2,5 = 7 €.
26 Ernesto ha recorrido, en su paseo, dos quintas partes del camino quetiene una longitud total de 8 km. ¿Cuánto le falta para llegar al final?
Ernesto debe recorrer aún �35� del camino.
Le faltan �35� · 8 km = �
35� · 8 000 m = 4 900 m = 4,8 km
28 Un tren ha cubierto ya tres quintos de su itinerario. Si aún le faltan 84kilómetros hasta el final, ¿cuál es la longitud total del recorrido?
�25� del itinerario son 84 km.
�15� del itinerario son 42 km.
El itinerario tiene 42 · 5 = 210 km.
c) = = = 1321
13 · 2020 · 21
+
+ 310
34
14
25
2120
1320
a) = = –1 b) = = = 75
7 · 66 · 5
– 1
– 112
32
– 12
12
+
+ 23
16
12
23
56
76
11
29 Raquel se ha gastado 3/10 de su dinero en un cómic. Si aún le quedan21 euros, ¿cuánto tenía al principio? ¿Cuánto le costó el cómic?
�170� del dinero que tenía son 21 €.
�110� del dinero son 3 €.
Tenía 3 · 10 = 30 €.
El cómic le costó �110� · 30 = 9 €.
30 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Si en vivienda gasta 5 400 euros anuales, ¿qué cantidad gasta al año en comi-da?
�25� del presupuesto son 5 400 €.
El presupuesto total son 5 400 · �52� = 13 500 €.
En comida se gasta �13� · 13 500 = 4 500 € al año.
31 Esta lista expresa, en forma de fracción, los resultados que un grupo dealumnos y alumnas han obtenido en un examen:
CALIFICACIONES
�110� de la clase . . . . . Sobresaliente
�130� de la clase . . . . . Notable
�61� de la clase . . . . . . Bien
�31� de la clase . . . . . . Suficiente
Han suspendido 1 – = de los alumnos y alumnas.110
910
+ + + = = = 910
2730
3 + 9 + 5 + 1030
13
16
310
110
12
32 ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30litros?
� Resuelve primero este otro:
¿Cuántas botellas de 2 litros se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
¿Qué operación resuelve el problema?
30 : �34� = �
1230� = 40
Se pueden llevar 40 botellas.
33 Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de3/4 de litro. ¿Cuántos litros de agua había en el bidón?
40 · �34� = 30 litros
34 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántosfrascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de 3/4de litro?
�34� : �
210� = �
640� = 15 frascos
35 De un depósito que estaba lleno se han sacado, primero, 2/3 del total y,después, 1/5 del total. Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capa-cidad del depósito?
�15� + �
34� = �
1290�
Quedan 1 – �1290� = �
210�; �
210� · 1 000 = 50 litros
36 De un depósito que estaba lleno se han sacado, primero, 2/3 del total y,después, 1/5 del total. Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capa-cidad del depósito?
�23� + �
15� = �
1135�
Quedan �125� del total, que son 400 litros.
La capacidad del depósito es de 400 · �125� = 3 000 litros.
13
37 Jacinto se come los 2/7 de una tarta y Gabriela los 3/5 del resto. ¿Quéfracción de la tarta se ha comido Gabriela? ¿Qué fracción queda?
Gabriela ha comido: �35� · �
57� = �
37�
Entre los dos han comido: �27� + �
37� = �
57�
Quedan �27� de tarta.
38 Aurora sale de casa con 25 euros. Se gasta 2/5 del dinero en un libro y,después, 4/5 de lo que le quedaba en un disco.
¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
�25� + �
45� · �
35� = �
25� + �
1225� = �
2225�
Vuelve a casa con �235� · 25 = 3 €.
40 Un vendedor despacha, por la mañana, las 3/4 partes de las naranjasque tenía. Por la tarde vende 4/5 de las que le quedaban.
Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
Por la tarde vende �45� · �
14� = �
15�.
En total vende �34� + �
15� = �
1290�.
Le quedan �210�, que son 100 kg de naranjas.
Tenía, al principio, 100 · 20 = 2 000 kg de naranjas.
14
41 Una amiga me pidió que le pasase un escrito a ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total, el segundo 1/3 de lo restante, el tercero 1/6 de loque faltaba y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios.
¿Puedes averiguar cuántos folios tenía el escrito?
En el gráfico se observa claramente que �112� del trabajo son 6 folios.
El trabajo total son 12 · 6 = 72 folios.
42 El propietario de un solar ha decidido venderlo en parcelas para obte-ner una mejor rentabilidad. Vendió primero 3/7 del mismo, luego la mitadde lo restante y todavía le quedaron 244 m2 sin vender.
Calcula la superficie del solar.
Primer día, 1/4
Segundo día, 1/3 del resto
Cuarto día, 1/6 de lo que faltaba
Cuarto día se concluye, 30 folios
→ 30 folios
son 30 folios → total son = 6 · 12 = 72 folios.30 · 125
512
PRIMERDÍA
SEGUNDODÍA
TERCERDÍA
CUARTODÍA
PASA14
· = 14
34
14
· = 112
12
16
34
1 – = 12
12
1 – – = 512
112
12
512
0QUEDA
del solar son 244 m2
Vendió: + · = + =
Quedan de la superficie, que son 244 m2.
La superficie del solar son = 854 m2.244 · 1414
414
1014
414
37
47
12
37
414
15
43 En un baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quin-tas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no están bailando?
Según se observa en la gráfica, �69� de los hombres y mujeres están bailando.
Por tanto, �39� = �
13� de los asistentes no bailan.
44 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un caballo y un burro. Cuando llevaa trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el ca-ballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, entonces pone 3/5 dela carga en el caballo y 2/5 en el burro.
¿Cómo distribuirá la carga hoy, si lleva a los tres animales y tiene que trans-portar una carga de 190 kg?
Hay que dividir la carga en 19 partes, de las que 9 llevará la mula, 6 el caballo y4 el burro.
Es decir: • MULA → �199� · 190 = 90 kg
• CABALLO → �169� · 190 = 60 kg
• BURRO → �149� · 190 = 40 kg
APLICA ESTA ESTRATEGIA
Dibuja un esquema que te ayude a organizarlas ideas.
MULA
CABALLO
BURRO
16
46 María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa se en-cuentra con su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana.Después pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que lequedan más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francis-co y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad de las que le quedan más mediamanzana. Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque seha quedado sin nada.
Sabiendo que en ningún momento ha partido ninguna manzana, ¿cuántasmanzanas recogió?
45 En cierta tribu primitiva, escondida en la selva, 2/3 de los hombres están casados con 3/5 de las mujeres. ¿Qué fracción de la población permanece soltera?
�23� = �
69� de hombres están casados con �
35� = �
160� de mujeres.
Dividida la población en 19 grupos, 12 de ellos están casados (6 de hombrescon 6 de mujeres).
Permanecen solteros �179� de la población.
— de hombres23
— de mujeres35
APLICA ESTA ESTRATEGIAEmpieza por el final.
— ¿Cuántas manzanas dio a Francisco?— Sabiendo eso, ¿cuántas dio a Rosa?
17
Francisco ha tenido que recibir un número impar de manzanas porque, en otrocaso, María debería haber partido alguna. Y antes de dar manzanas a Rosa y a Sara, en su cesta debía haber un número impar de manzanas por el mismomotivo.
Si suponemos que a Francisco le da una manzana (la mitad de lo que llevabamás media), antes de darle a Rosa llevaba 3 y le da 1,5 + 0,5 = 2. Y antes dedarle a Sara llevaba 7, a quien le da 3,5 + 0,5 = 4.
Supongamos que llevaba x manzanas:
= 0 → x = 7 manzanasx – 78
DA
SARA x + = x + 12
12
12
+ = x + 14
12
x – 14
+ = x + 18
12
x – 38
QUEDAN
x – = x – 12
x + 12
– = x – 34
x + 14
x – 12
– = x – 78
x + 18
x – 34
ROSA
FRANCISCO
18
p l i c a c i ó n d e c o n c e p t o s
1 El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar elcubo grande, recubrimos el anterior de dados rojos.
¿Qué fracción de los dados del cubo grande son amarillos? ¿Y rojos?
de los dados del cubo grande son amarillos y son rojos.
• Cubo pequeño: 33 = 27 dados, todos amarillos.
• Cubo grande: 53 = 125 dados en total:
2 Calcula mentalmente.
a) de 60 b) de 90 c) de 120
d) de 35 e) de 18 f ) de 100
a) de 60 = 40 b) de 90 = 9 c) de 120 = 90
d) de 35 = 10 e) de 18 = 10 f ) de 100 = 60
3 ¿Cuántos gramos son?
a) de kilo b) de kilo c) de kilo
a) de kilo = 750 g b) de kilo = 600 g c) de kilo = 350 g720
35
34
720
35
34
35
59
27
34
110
23
35
59
27
34
110
23
27• 27 de 125 dados son amarillos 8 —125
98• resto: 125 – 27 = 98 de 125 son rojos 8 — de dados rojos125
°§§¢§§£
98125
27125
A
19
4 ¿Cuántos minutos son?
a) de hora b) de hora c) de hora
a) de hora = 50 min b) de hora = 15 min c) de hora = 48 min
5 ¿Qué fracción de hora son?
a) 5 minutos b)24 minutos c) 360 segundos
a) 5 min = de h = de hora
b) 24 min = de h = de hora
c) 360 s = de h = de hora
r a c c i o n e s y d e c i m a l e s
6 Expresa en forma decimal.
a) b) c)
d) e) f )
a) = 3,5 b) = 0,54 c) = 0,104
d) = 1,1)6 e) = 0,
)4 f ) = 0,
)45
7 Pasa a forma fraccionaria.
a) 1,1 b)0,13 c) 0,008
d)0,)8 e) 1,
)8 f) 2,
)8
g) 0,)24 h)0,0
)2 i) 0,1
)3
a) 1,1 = b) 0,13 = c) 0,008 =
d) 0,)8 = e) 1,
)8 = f ) 2,
)8 =
g) 0,)24 = h) 0,0
)2 = i) 0,1
)3 = 2
15145
2499
269
179
89
81 000
13100
1110
511
49
76
13125
2750
72
511
49
76
13125
2750
72
F
110
3603 600
25
2460
112
560
45
312
56
45
312
56
20
q u i v a l e n c i a d e f r a c c i o n e s
8 Escribe:
a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6.
b)Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12.
c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91.
a) , ya que = =
b) , ya que = =
c) , ya que = =
9 Calcula x en cada caso:
a) = b) = c) = d) =
a) = 8 x = 55 b) = 8 x = 15
c) = 8 x = 117 d) = 8 x = 42
10 Reduce a común denominador.
a) 1, , , b) , , ,
a) 1, , , 8 , , , b) , , , 8 , , ,
11 Ordena de menor a mayor.
a) ; 0,6; ; ; 1,)1 b) ; ; ;
a) 0,6 < < 1,)1 < <
ya que 0,6 < 0,9 = < 1,1 < 1,4 = < 1,5 =
b) < < <
ya que = ; = ; = ; = 4530
32
3530
76
2030
23
1830
35
32
76
23
35
)32()7
5()910(
32
75
910
76
32
35
23
75
32
910
430
530
630
1030
215
16
15
13
1424
924
2024
2424
712
38
56
215
16
15
13
712
38
56
91169
x78
1199
13x
x35
2149
15x
622
91169
x78
1199
13x
x35
2149
15x
622
79
13 · 713 · 9
91117
91117
13
4 · 14 · 3
412
412
25
3 · 23 · 5
615
615
E
21
u m a y r e s t a d e f r a c c i o n e s
12 Calcula mentalmente.
a) 1 – b)1 + c) –
d)1 – e) 1 + f ) –
g) – h) – i) +
a) 1 – = b) 1 + = c) – =
d) 1 – = e) 1 + = f ) – =
g) – = h) – = i) + =
13 Calcula y simplifica.
a) – + b) + –
c) – + d) – 2 + –
a) – + = = b) + – = =
c) – + = = d) – 2 + – = = 0
14 Calcula y simplifica.
a) – + – b) – + –
c) – + – d) – – +
e) – – – f ) – + –
a) – + – = = =
b) – + – = = – = –
c) – + – = = – = – 512
50120
51 – 44 + 78 – 135120
98
1320
1130
1740
132
396
39 – 20 + 34 – 5696
712
1748
524
1332
124
372
22 – 30 + 32 – 2172
724
49
512
1136
25117
2378
526
2378
215
427
15
23
1112
1322
3166
2144
98
1320
1130
1740
712
1748
524
1332
724
49
512
1136
06
56
32
43
19
218
12
59
16
25
615
215
15
13
25
410
110
15
12
56
32
43
12
59
16
215
15
13
110
15
12
38
18
14
18
18
14
16
13
12
16
16
13
43
13
23
13
110
110
15
1110
110
910
110
18
14
18
14
13
12
16
13
13
13
110
15
110
110
S
22
d) – – + = = =
e) – – – = = =
f ) – + – = =
15 Opera.
a) 2 – 1 + b) 1 – – 2 –
c) – – – d) 3 – – – + –
e) – 2 – – f ) 3 – – – 2 – +
g) – – – – –
h) – – + – + –
a) 2 – 1 + = 2 – = =
b) 1 – – 2 – = – = – = – = –
c) – – – = – = – = =
d) 3 – – – + – = – + = = =
e) – 2 – – = – 2 – = – 2 + = = =
f ) 3 – – – 2 – + = 3 – – 2 – = – = =
g) – – – – – = – – – = – =
= = =
h) – – + – + – = – – – + =
= – – = + – = = 1130
2260
930
560
712
930
–560
712
]–830
1730[]11
151320[7
12])2330
12(17
30[])815
15(13
20[712
2330
92120
135 – 43120
43120
2724]1
2425[]5
2443[])5
678(2
5[])16
38(4
3[1724
58 – 4124
4124
2912]7
24[]712[])1
816([])1
634([
13
26
7 – 12 + 76
76
76]7
6[76])1
332([7
6
3415
13660
160 – 9 – 1560
–520
320
83)7
20110()3
534()1
3(1321
8 + 521
–521
821
9 – 1421
15 – 721)2
337()1
357(
12
24
34
14
8 – 54
4 – 34)5
4()34(
25
10 – 85
85)3
5(])23
3012(17
30[])815
15(13
20[712
])56
78(2
5[])16
38(4
3[])1
816([])1
634([])1
332([7
6
)720
110()3
534()1
3()23
37()1
357(
)54()3
4()35(
43234
69 – 45 + 69 – 50234
25117
2378
526
2378
527
25135
90 – 27 – 20 – 18135
215
427
15
23
13
44132
63 – 62 – 78 + 121132
1112
1322
3166
2144
23
ultiplicación y división de fracciones
16 Calcula y simplifica.
a) · 14 b) : 4 c) ·
d) : e) · f ) :
g) · h) : i) :
a) · 14 = b) : 4 = = c) · = – = –2
d) : = – e) · = = f ) : = =
g) · = = h) : = =
i) : =
17 Resuelto en el libro de texto.
18 Calcula y reduce.
a) b) c) d)
a) = 1 : = 6 b) = 6 : = = 9
c) = : = = d) = : = =
19 Opera y reduce.
a) · 3 · b) : 5 :
c) · : d) : ·
a) · 3 · = = 2 b) : 5 : = : = = 13
70210
10510
72)10
21(72
330165)22
15(511
49)14
15720()20
131526(8
9
)1021(7
2)2215(5
11
310
620
43
25
2—54—3
12
510
15
110
1—101—5
182
23
62—3
16
11—6
2—54—3
1—101—5
62—3
11—6
27224
28(–9)
–38
–45
–528660
1211
(–48)55
–1130
–3961 260
(–77)36
635
23
2030
25
415
310
1860
920
23
35
(–5)11
311
42
4(–7)
72
110
220
25
427
37
28(–9)
–38
1211
(–48)55
(–77)36
635
25
415
920
23
(–5)11
311
4(–7)
72
25
37
M
24
c) · : = · = =
d) : · = · = =
peraciones combinadas
20 Calcula.
a) 7 – 6 · b)3 · – c) – ·
d) · – e) · – f ) · –
a) 7 – 6 · = 7 – 2 = 5 b) 3 · – = – = =
c) – · = – = = d) · – = – =
e) · – = – = 0 f ) · – = · = =
21 Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados.
a) · – · b) · – ·
c) · – · d) · – ·
a) · – · = – =
b) · – · = · · = =
c) · – · = – · = · =
d) · – · = · – = · =
Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de laoperación.
22 Opera y reduce.
a) 1 – · 2 – b) 1 – : 1 +
c) – · 1 + d) – : + )25
14()1
235()2
3()35
23(
)18()1
4()35()5
7(
2948
2924
12)3
2443(1
2)34
16
43(1
2
38
34
36
34)1
646(3
4)16
43
12(
716
2148
34
76
12
34)1
643(1
2
1324
324
46
34
16
43
12
)34
16
43(1
234)1
643
12(
34)1
643(1
234
16
43
12
110
660
215
34)2
5815(3
425
2460
25
815
34
421
27
1021
27
57
23
58
1524
1524
54
56
34
54
910
1820
320
2120
320
720
13
)25
815(3
425
815
34
27
57
23
56
34
54
320
720
13
O
16
4202 520
49
105280
49)14
15720(
13
1 5604 680
195520
89)20
131526(8
9
25
e) – – · + f ) 1 + – : –
g) – – + · h) – + – :
a) 1 – · 2 – = · = =
b) 1 – : 1 + = : = =
c) – · 1 + = · = =
d) – : + = : = =
e) – – · + = – · = + = =
f ) 1 + – : – = 1 + : = 1 – = =
g) – – + · = – · = – = =
h) – + – : = – + : = – + = = =
23 Resuelto en el libro de texto.
24 Opera paso a paso.
a) 4 · 1 – – : 3 b) – : 7 + · 2
c) 5 · + – 2 : d) + · – – : –
e) 1 – · – – · 1 + f ) – – : – 1 : –
a) 4 · 1 – – : 3 = 4 · – : 3 = – : 3 = 3 : 3 = 1
b) – : 7 + · 2 = : 7 + · 2 = + · 2 = · 2 = 1
c) 5 · + – 2 : = 5 · – 2 : = – 2 : = : = 132
32
32]7
2[32]7
10[32])2
5310([
12]1
316[]1
376[]1
3)12
53([
]12
72[]1
278[]1
2)18([
)314
12(])3
10()25
14(2
7[])37()2
534(2
3[)25(
])14
23()3
456(3
5[)12
13(3
2])25
310([
]13)1
253([]1
2)18([
512
175420
–35 + 210420
70140
112
710
720
112
710)2
534()1
314(
18
1651 320
3388
1530
311
118
1530
311)5
834()3
15710(
37
45105
60105)–3
20()335()2
514()1
527(
23
440660
55220
512)11
10()–522(5
12)710
25()1
2311(5
12
213
20130
1320
110)2
514()1
235(
19
545
53
115)2
3()35
23(
23
2436
98
34)1
8()14(
25
1435
75
27)3
5()57(
710)2
534()1
314(3
11)58
34()3
157
10()2
514()1
527()7
1025()1
23
11(512
26
d) + · – – : – = · – : = · – =
= · =
e) 1 – · – – · 1 + = · – · = · – =
= · =
f ) – – : – 1 : – = – : : =
= – : = : =
25 Resuelto en el libro de texto.
26 Opera y reduce.
a) b) c) d)
a) = = : = 2
b) = = : = =
c) = = =
d) = = = : = 43
14
13
1—31—4
1 1— : —15 57 7— : —12 3
2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3
12
1/21
5 3— · —6 53 4— · —4 3
1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3
110
660
56
112
1—125—6
1 1— – —3 4
11 – —6
720
710
7—107—20
31 – —10
3 2— – —4 5
2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3
1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3
1 1— – —3 4
11 – —6
31 – —10
3 2— – —4 5
14
414
114
414]3
1427[
414])–7
10()–320(2
7[)314
12(])3
10()25
14(2
7[110
16
35
]12
23[3
5]107
720
23[3
5])37()2
534(2
3[)25(
13
25
56
]15
35[5
6])512()1
12(35[5
6])14
23()3
456(3
5[)12
13(
27
otencias y fracciones
27 Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma defracción o, si es el caso, de número entero:
a)2
b)2
c)0
d)–1
e)–2
f )–1
a)2
= = b)2
= = c)0
= 1
d)–1
= e)–2
= 32 = 9 f )–1
= 10
28 Calcula.
a) 2–2 b) (–2)–2
c)–2
d) ––2
e) 2–3 f ) (–2)–3
g)–3
h) ––3
a) 2–2 = = b) (–2)–2 = =
c)–2
= 22 = 4 d) ––2
= (–2)2 = 4
e) 2–3 = = f ) (–2)–3 = = –
g)–3
= 23 = 8 h) ––3
= (–2)3 = –8
29 Expresa sin usar potencias negativas.
a) x–2 b)x–3 c) x–4
d) e) f )
a) x–2 = b) x–3 = c) x–4 =
d) = x2 e) = x3 f ) = x31x–4
1x–3
1x–2
1x4
1x3
1x2
1x–4
1x–3
1x–2
)12()1
2(18
1(–2)3
18
123
)12()1
2(14
1(–2)2
14
122
)12()1
2(
)12()1
2(
)110()1
3(43)3
4()3
4(116
142)1
4(14
122)1
2()1
10()13()3
4()3
4()14()1
2(
P
28
30 Reduce a una potencia única.
a) a5 · a2 b)a · a2 · a3 c) x5 · x–3
d)x–2 · x5 e) a2 · f ) · a–3
g) x3 · x–2 · x h)x–2 · x–2 · x–2 i)
j) k) l)
a) a5 · a2 = a7 b) a · a2 · a3 = a6 c) x5 · x–3 = x2
d) x–2 · x5 = x3 e) a2 · = a2 · a2 = a4 f ) · a–3 = a2 · a–3 = a–1
g) x3 · x–2 · x = x2 h) x–2 · x–2 · x–2 = x–6 i) = = a2
j) = = a–3 k) = = x l) = = x
31 Simplifica.
a) x3 ·5
b)x3 :5
c)4
· b4
d)3
: a3 e) (a2)3 · 7
f )3
:3
a) x3 ·5
= = x–2 b) x3 :5
= x3 · x5 = x8
c)4
· b4 = = a4 d)3
: a3 = = b–3
e) (a2)3 · 7
= = a–1 f )3
:3
= : = = a3
32 Escribe con todas sus cifras estas cantidades:
a) 37 · 107 b)64 · 1011
c) 3,5 · 1013 d)26 · 10–5
e) 5 · 10–7 f ) 2,3 · 10–8
a) 37 · 107 = 370 000 000 b) 64 · 1011 = 6 400 000 000 000
c) 3,5 · 1013 = 35 000 000 000 000 d) 26 · 10–5 = 0,00026
e) 5 · 10–7 = 0,0000005 f ) 2,3 · 10–8 = 0,000000023
a9
a61a9
1a6)1
a3()1a2(a6
a7)1a(
a3
b3 · a3)ab(a4 · b4
b4)ab(
)1x(x3
x5)1x(
)1a3()1
a2()1a()a
b()a
b()1x()1
x(
x–1
x–2x–1
x2 · x–4x–2
x–3x2 · x–4
x–3a5
a8a · a4
a3 · a5
a7
a5a3 · a4
a5
1a–2
1a–2
x–1
x2 · x–4x2 · x–4
x – 3a · a4
a3 · a5
a3 · a4
a5
1a–2
1a–2
29
33 Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos.
• 5 300 000 000 = 53 · 108
• 0,00013 = 13 · 10–5
a) 8 400 000 b)61 000 000 000
c) 0,0007 d)0,00000025
a) 8 400 000 = 84 · 105 b) 61 000 000 000 = 61 · 109
c) 0,0007 = 7 · 10–4 d) 0,00000025 = 25 · 10–8
roblemas con números fraccionarios
34 Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 mi-llas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?
Le faltan por recorrer 1 190 millas.
• Recorridas: 8 Faltan: de 1 700 = = 1 190 millas.
35 Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está elkilo?
El kilo de cerezas está a 2,40 €.
• de kg son 1,80 € 8 de kg son = 0,60 €
• 1 kg = de kg son 4 · 0,60 = 2,40 €
36 Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que su-pone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test?
El test tiene 60 preguntas.
• son 35 preguntas 8 son = 5 preguntas.
• El total son 8 12 · 5 = 60 preguntas.
37 Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvilque le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?
Le quedan 150 €.
• son 90 € 8 son = 30 €
• Le quedan , que son 5 · 30 € = 150 €58
903
18
38
1212
357
112
712
44
1,803
14
34
7 · 1 70010
710
310
P
30
38 Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una velade cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela?
La longitud de la vela era de 30 cm.
• Consume 8 quedan , que son 21 cm.
• es = 3 cm, y el total es 8 10 · 3 = 30 cm
39 El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si es-tirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?
El resorte en reposo mide 2,7 cm.
• de la longitud son 4,5 cm 8 es = 0,9 cm
• El total, , es 3 · 0,9 = 2,7 cm
40 La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión?
Viajan 64 americanos.
• Europeos y africanos: + = de 240 pasajeros.
• El resto serán de 240 8 · 240 = 64 americanos.
41 Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical yla cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción lequeda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda?
Le queda del dinero, que son 675 €.
1— del resto, discos 4
2— cadena 5
9 9Quedan — de 1500 8 — · 1500 = 675 € 20 20
920
415
415
1115
25
13
33
4,55
13
53
1010
217
110
710
310
31
42 Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de piensopara alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto?
Tiene 400 kg de pienso.
43 Dos problemas similares.
a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracciónqueda del contenido original?
b)De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuar-tos. ¿Qué fracción queda del contenido original?
a) Quedan del tambor.
b) Quedan del tambor.
2 kg
9Quedan — del total 20
3 3— de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4
920
5 kg
2Quedan — del total 5
3Gasta 3 kg, — del total 5
25
3— resto 4
3— Julio 7
4 1 1Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg 28 7 7
32
44 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos fras-cos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio?
Se pueden llenar 70 frascos.
• 3,5 l = 3 + l = l en el bidón.
• : = 70 8 70 frascos.
45 Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con unacapacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100envases?
Se necesitan 60 l.
• (100 envases) · l cada envase = = 60 l
46 La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llena-do seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?
Cada tarro contiene de kg.
• 2 kg y cuarto 8 2 + kg = kg
• kg : (6 tarros) = = de kg cada tarro.
47 Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semanaescucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tressin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?
Había 25 discos.
42.ª semana: — del resto 5
38 Quedan —, que son 3 discos 8 Había 25 discos 25
21.ª semana: — del total 5
38
94 · 6)9
4(94)1
4(38
100 · 35)3
5(
120
72
72)1
2(
33
48 Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, yel miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosalestiene en total en el jardín?
El jardín tiene 70 rosales.
8 total, ; que son 35 · 2 = 70 rosales.
49 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden susingresos mensuales?
Los ingresos mensuales son de 1 500 €.
• Vivienda y comida: + =
• Quedan 1 – = , que son 400 € 8 serán = 100 €
• El total, , son 15 · 100 = 1 500 €.
50 Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de loque faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuán-tos folios tenía el escrito?
El escrito tenía 72 folios.
308 Quedan 30 folios, — = 6 folios cada cuadro 8 58 Total = 6 · 12 = 72 folios
11.er día, — 6 4
12.º día, — del resto 3
18 3.er día, — del resto 6
6 6
6 6 6
1515
4004
115
415
1115
1115
13
25
3535
3Martes, — del resto 5
10 1 20Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales 35 35 10
2Lunes, — 7
34
51 María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se en-cuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana.Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le que-daban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco yvuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media.
Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha queda-do sin nada.
¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partióninguna?
Cogió 7 manzanas.
Comprobamos:
• Sara recibe: 7 + = 4 manzanas 8 sobran 3
• Rosa recibe: 3 + = 2 manzanas 8 sobra 1
• Francisco recibe: 1 + = 1 manzana 8 sobra 0
52 En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tresquintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?
No bailan de los asistentes.
(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, yaque bailan por parejas.
6— del total bailan 9
3 1— = — del total no bailan 9 3
HOMBRES
BAILAN (*)
MUJERES
3— de hombres bailan 4
3— de mujeres bailan 5
13
12
12
12
12
12
12
°§§§§¢§§§§£
35
53 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuandolleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en elcaballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la cargaen el caballo y 2/5 en el burro.
¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transpor-tar una carga de 190 kg?
La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg.
• Si el burro lleva una carga de 1:
— Carga del caballo, carga del burro = · 8
— Carga de la mula, carga del caballo 8
La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9.
Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro , caballo , mula .
• Mula: de la carga = · 190 = 90 kg
• Caballo: de la carga = · 190 = 60 kg
• Burro: de la carga = · 190 = 40 kg419
419
619
619
919
919
919
619
419
94
32
32)2
532
35(3
2
°§§§§¢§§§§£
36
