1

PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS CCCOOOMMMUUUNNNEEESSS...

- El dominio de la función es la recta real

- El recorrido(Imagen) es el conjunto de los números reales positivos.

- f(0) = 1 ya que aP

0P = 1.

- Todas las funciones pasan por el punto A (0, 1).

- f(1) = a ya que aP

1P = a.

- f(x+x´) = f(x) . f(x´), es decir:

a(x+x´) = ax . ax´

- La función es continua en todo su dominio.

PPPRRROOOPPPIIIEEEDDDAAADDDEEESSS QQQUUUEEE DDDEEEPPPEEENNNDDDEEENNN DDDEEE LLLAAA BBBAAASSSEEE...

La función es:

a).- Estrictamente creciente si la base es mayor que 1.

b).- Estrictamente decreciente si la base es menor que 1.

El comportamiento de estas funciones en - ∞ y en + ∞ viene dado por:

2

Si la base es mayor que 1:

Si la base es menor que 1:

3

Vamos a mostrar la simetría de las mismas respecto del eje de ordenadas:

4

5

Las funciones exponenciales que tienen bases inversas son simétricas respecto del eje de

ordenadas. Este resultado permite dibujar por simetría estas funciones cuyas gráficas

son similares a las funciones

6

Vamos a ir conociendo, a través de sus gráficas, algunas funciones exponenciales:

7

8

9

10

11

1.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 333

2.- Resolver la siguiente ecuación :

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 666

3.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

12

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

X+1 = 8 x = 8-1 = 7

XXX === 777

4.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 111000

5.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 333

6.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 444

13

7.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

X+1 = 6 x = 6 -1 = 5

XXX === 555

8.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 888

9.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

x-3 = 4 x = 4 + 3 = 7

XXX === 777

10.- Resolver la siguiente ecuación:

14

Lo primero que haremos, será el segundo miembro transformarlo en potencia de 2.

Para ello debemos recordar de las potencias, la siguiente propiedad:

Por tanto el segundo miembro, nos quedaría, del siguiente modo:

Ahora ya podemos expresar el segundo miembro como potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

5x+4 = 3x 5x – 3x = -4 2x = -4

XXX === --- 222

11.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 444///333

12.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 3.

15

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 444///333

13.- Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que haremos, será el segundo miembro transformarlo en potencia de 3.

Para ello debemos recordar de las potencias, la siguiente propiedad:

Por tanto el segundo miembro, nos quedaría, del siguiente modo:

Ahora ya podemos expresar el segundo miembro como potencia de 3.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 555///333

14.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 5.

16

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 777///333

15.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 5.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 111333///222

16.- Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que haremos, será el segundo miembro transformarlo en potencia de 5.

Para ello debemos recordar de las potencias, la siguiente propiedad:

Por tanto el segundo miembro, nos quedaría, del siguiente modo:

Ahora ya podemos expresar el segundo miembro como potencia de 5.

17

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 333///111333

17.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 7.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 888///999

18.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 7.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 111

19.- Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que haremos, será el segundo miembro transformarlo en potencia de 7.

18

Para ello debemos recordar de las potencias, la siguiente propiedad:

Por tanto el segundo miembro, nos quedaría, del siguiente modo:

Ahora ya podemos expresar el segundo miembro como potencia de7.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === --- 333

20.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 2.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

X+1 = 3 x = 3-1 = 2

XXX === 222

21.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 6.

19

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

12 - 3x = 3 - 3x = 3-12 - 3x = - 9 3x = 9 x = 9/3

XXX === 333

22.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 5.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 555

23.- Resolver la siguiente ecuación:

Lo primero que haremos, será el segundo miembro transformarlo en potencia de 2.

La expresión:

Por tanto el segundo miembro, nos quedaría, del siguiente modo:

Ahora ya podemos expresar el segundo miembro como potencia de 2.

20

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === ±±± 222

24.- Resolver la siguiente ecuación:

Se trata de una ecuación exponencial. Vamos a expresar el segundo miembro como

potencia de 5.

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX B

BB111 B

BB === 222 XXX B

BB222 B

BB === ---777/// 222

25.- Resolver la siguiente ecuación:

Vamos a descomponer en potencias, el producto del segundo miembro:

AAAhhhooorrraaa lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeeelll mmmooodddooo sssiiiggguuuiiieeennnttteee:::

AAApppllliiicccaaannndddooo lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd::: a(x+x´) = ax . ax´

21

A continuación igualamos los exponentes y obtenemos:

XXX === 333

26.- Resolver la siguiente ecuación:

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es x+1, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

2º Paso: Vamos a observar el segundo término:

Lo dejamos tal cual

3º Paso: Vamos a observar el tercer término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es x-1, como podemos comprobar es una resta de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

22

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La diferencia de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

Por tanto ya tenemos los tres términos de la ecuación con el formato:

EEElll sssiiiggguuuiiieeennnttteee pppaaasssooo qqquuueee vvvaaammmooosss aaa dddaaarrr,,, cccooonnnsssiiisssttteee eeennn hhhaaaccceeerrr uuunnn cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

Y procedemos a sustituir en el enunciado

Ahora procedemos a efectuar la sustitución:

23

Hemos calculado y = 8. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 333

222777...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es x+3, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

2º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 4

- El exponente es x+1, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

24

U- Nos encontramos con una nueva variante en este ejercicio, y es el siguiente:

El 1º término es una potencia de base: 2

El 2º término es una potencia de base: 4

VVVaaammmooosss aaa iiinnnttteeennntttaaarrr tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa dddeee bbbaaassseee 444 eeennn oootttrrraaa dddeee bbbaaassseee 222:::

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Por tanto ya tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

Aquí notamos una pequeña diferencia, y es que tenemos uno de los términos en la forma

¿Qué hacemos? Simplemente volvemos a aplicar la propiedad de la suma de

potencias de la misma base, obteniendo:

Ahora, si tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

SSSuuussstttiiitttuuuyyyeeennndddooo eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn qqquuueeedddaaa cccooonnnvvveeerrrtttiiidddaaa eeennn

lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee:::

EEElll sssiiiggguuuiiieeennnttteee pppaaasssooo qqquuueee vvvaaammmooosss aaa dddaaarrr,,, cccooonnnsssiiisssttteee eeennn hhhaaaccceeerrr uuunnn cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

Y procedemos a sustituir en la ecuación obtenida:

25

La expresión, una vez efectuamos el cambio de variable nos queda así:

Resolvemos la ecuación de 2º grado para calcular “y”

Hemos calculado y = 8. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 333

222888...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es 2x-1, como podemos comprobar es una resta de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La resta de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

26

2º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x-1, como podemos comprobar es una resta de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La resta de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

Por tanto ya tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

Aquí notamos una pequeña diferencia, y es que tenemos uno de los términos en la forma

¿Qué hacemos? Simplemente volvemos a aplicar la propiedad de la suma de

potencias de la misma base, obteniendo:

Ahora, si tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

SSSuuussstttiiitttuuuyyyeeennndddooo eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn qqquuueeedddaaa cccooonnnvvveeerrrtttiiidddaaa eeennn

lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee:::

EEElll sssiiiggguuuiiieeennnttteee pppaaasssooo qqquuueee vvvaaammmooosss aaa dddaaarrr,,, cccooonnnsssiiisssttteee eeennn hhhaaaccceeerrr uuunnn cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

Y procedemos a sustituir en la ecuación obtenida:

27

La expresión, una vez efectuamos el cambio de variable nos queda así:

Resolvemos la ecuación de 2º grado para calcular “y”

Hemos calculado y =9. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

222999...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 6

- El exponente es -x.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

Por tanto ya tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

28

Ahora vamos a sustituir en la ecuación dada y ver como nos quedaría:

AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn eeefffeeeccctttuuuaaammmooosss uuunnn cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

AAAhhhooorrraaa sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn aaannnttteeerrriiiooorrr:::

VVVaaammmooosss aaa rrreeesssooolllvvveeerrr eeessstttaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeee 222ººº gggrrraaadddooo pppaaarrraaa cccaaalllcccuuulllaaarrr eeelll vvvaaalllooorrr dddeee “““ yyy “““

Hemos calculado y =1. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

¿¿¿CCCooonnn qqquuuééé nnnooosss eeennncccooonnntttrrraaammmooosss??? QQQuuueee lllaaa bbbaaassseee pppooorrr eeelll eeexxxpppooonnneeennnttteee dddeee lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa tttiiieeennneee qqquuueee

dddaaarrr cccooommmooo rrreeesssuuullltttaaadddooo 111...

¿¿¿CCCuuuááálll eeesss lllaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeee lllaaasss pppooottteeennnccciiiaaasss,,, eeennn lllaaa qqquuuééé lllaaa bbbaaassseee eeellleeevvvaaadddaaa aaa ccciiieeerrrtttooo eeexxxpppooonnneeennnttteee dddaaa

cccooommmooo rrreeesssuuullltttaaadddooo sssiiieeemmmppprrreee 111???

EEEsss lllaaa qqquuueee tttiiieeennneee pppooorrr eeexxxpppooonnneeennnttteee 000... YYYaaa qqquuueee cccuuuaaalllqqquuuiiieeerrr pppooottteeennnccciiiaaa iiinnndddeeepppeeennndddiiieeennnttteeemmmeeennnttteee dddeee lllaaa bbbaaassseee

eeellleeevvvaaadddaaa aaa ooo dddaaa cccooommmooo rrreeesssuuullltttaaadddooo 111...

PPPooorrr tttaaannntttooo xxx === 000 666ººº === 111

Por tanto: xxx === 000

333000...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x+2, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

29

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

2º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x+1, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

3º Paso: Vamos a observar el cuarto término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x-1, como podemos comprobar es una resta de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La resta de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

30

Ahora vamos a sustituir en la ecuación dada y ver como nos quedaría:

AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn eeefffeeeccctttuuuaaammmooosss uuunnn cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

AAAhhhooorrraaa sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn aaannnttteeerrriiiooorrr:::

Hemos calculado y =9. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

333111...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x+2, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

31

2º Paso: Vamos a observar el primer término:

Hemos observado, que el segundo término, tiene el formato:

Tenemos que transformar el segundo término en la forma:

Por tanto ya tenemos los dos términos de la ecuación con el formato:

AAAhhhooorrraaa,,, yyyaaa ppprrroooccceeedddeeemmmooosss aaa hhhaaaccceeerrr lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleeesss,,, pppaaarrraaa sssuuussstttiiitttuuuiiirrrlllooosss eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn

dddaaadddooo...

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =9. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

333222...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es 2x.

32

Tenemos que transformar el segundo término en la forma:

Ahora vamos a proceder a efectuar los cambios de variable:

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =2. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 111

333333...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es 2x-1.

Tenemos que transformar el segundo término en la forma:

AAAqqquuuííí lllooo ttteeennneeemmmooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaadddooo...

HHHaaaccciiieeennndddooo ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss,,, eeelll tttééérrrmmmiiinnnooo nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

33

2º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 4

- El exponente es x.

Debemos transformarlo en una potencia en la forma:

Tenemos que transformar el segundo término en la forma:

AAAqqquuuííí lllooo ttteeennneeemmmooosss tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaadddooo...

Ahora vamos a proceder a efectuar los cambios de variable:

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =4. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

333444...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es x+3, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

34

Vamos a hacer operaciones, y obtenemos:

AAAhhhooorrraaa yyyaaa pppooodddeeemmmooosss ppprrroooccceeedddeeerrr aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =4. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

333555...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x-2, como podemos comprobar es una resta de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La diferencia de los exponentes.

Efectuamos operaciones con este término:

AAAhhhooorrraaa yyyaaa ttteeennneeemmmooosss lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss eeennn lllaaa fffooorrrmmmaaa:::

CCCooonnn lllooo cccuuuaaalll yyyaaa pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee,,, pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr:::

35

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =243. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 555

333666...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 5

- El exponente es x+1, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a efectuar operaciones con este término:

2º Paso: Vamos a observar el tercer término:

- La base de la potencia es 5

- El exponente es x+2, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

36

Vamos a efectuar operaciones con este término:

AAAhhhooorrraaa yyyaaa ttteeennneeemmmooosss lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss eeennn lllaaa fffooorrrmmmaaa:::

CCCooonnn lllooo cccuuuaaalll yyyaaa pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee,,, pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr:::

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado . Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === --- 222

333777...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 5

- El exponente es x-1, como podemos comprobar es una diferencia de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La diferencia de los exponentes.

Vamos a efectuar operaciones con este término:

37

2º Paso: Vamos a observar el tercer término:

- La base de la potencia es 5

- El exponente es x-2, como podemos comprobar es una diferencia de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La diferencia de los exponentes.

Vamos a efectuar operaciones con este término:

AAAhhhooorrraaa yyyaaa ttteeennneeemmmooosss lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss eeennn lllaaa fffooorrrmmmaaa:::

CCCooonnn lllooo cccuuuaaalll yyyaaa pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee,,, pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr:::

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y =25. Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

38

333888...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 4

- El exponente es x.

VVVaaammmooosss aaa eeexxxppprrreeesssaaarrrlllooo eeennn fffooorrrmmmaaa:::

AAAhhhooorrraaa yyyaaa ttteeennneeemmmooosss lllooosss dddooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss eeennn lllaaa fffooorrrmmmaaa:::

CCCooonnn lllooo cccuuuaaalll yyyaaa pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee,,, pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr:::

En este momento, sustituimos en la expresión dada estos cambios de variable, y la

expresión dada, nos queda de la siguiente forma:

Hemos calculado y B1B =4, e yB2B = 1 Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el

cambio de variable y sustituimos y por los valores obtenidos:

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB === 222 xxx B

BB222 B

BB === 000

333999...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

¿¿¿CCCóóómmmooo eeexxxppprrreeesssaaammmooosss uuunnnaaa rrraaaííízzz eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaa???

MMMeeedddiiiaaannnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffóóórrrmmmuuulllaaa:::

39

VVVaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr lllaaa rrraaaííízzz dddeeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo,,, eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaa:::

AAAhhhooorrraaa yyyaaa sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, yyy ooobbbttteeennneeemmmooosss:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx === 111

444000...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: OOOpppeeerrraaannndddooo cccooonnn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo::: 111000 P

PP

222 P

PP

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB === 777 xxx B

BB222 B

BB === 444

444111...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el segundo término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x-1, como podemos comprobar es una diferencia de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Cociente de potencias de igual base:

El cociente de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

40

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La diferencia de los exponentes.

Vamos a efectuar operaciones con este término:

2º Paso: Vamos a observar el tercer término:

- La base de la potencia es 3

- El exponente es x+1, como podemos comprobar es una suma de 2 términos.

Aplicamos una de las propiedades de las potencias: Suma de potencias de igual base:

La suma de potencias de la misma base, es otra potencia que tiene:

a.- Por base: La misma

c.- Por exponente: La suma de los exponentes.

Vamos a efectuar operaciones con este término:

CCCooonnn lllooo cccuuuaaalll yyyaaa pppooodddeeemmmooosss eeefffeeeccctttuuuaaarrr eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee,,, pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr:::

Hemos calculado y=27.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 333

444222...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ºººPPPaaasssooo::: HHHaaaccceeemmmooosss ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr tttééérrrmmmiiinnnooo:::

LLLooo vvvaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr eeennn fffooorrrmmmaaa:::

41

LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee mmmaaannneeerrraaa:::

YYYaaa eeessstttaaammmooosss eeennn dddiiissspppooosssiiiccciiióóónnn dddeee eeefffeeeccctttuuuaaarrr lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

Hemos calculado y=3.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 111

444333...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

1º Paso: Vamos a observar el primer término:

- La base de la potencia es 2

- El exponente es 2x.

VVVaaammmooosss aaa eeexxxppprrreeesssaaarrrlllooo eeennn fffooorrrmmmaaa:::

222ºººPPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll 222ººº tttééérrrmmmiiinnnooo:::

LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee mmmaaannneeerrraaa:::

YYYaaa eeessstttaaammmooosss eeennn dddiiissspppooosssiiiccciiióóónnn dddeee eeefffeeeccctttuuuaaarrr lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

42

Hemos calculado y B1B =4, e yB2B = 2 Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el

cambio de variable y sustituimos y por los valores obtenidos:

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB === 222 xxx B

BB222 B

BB === 111

444444...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn lllooosss eeexxxpppooonnneeennnttteeesss dddeeelll 111ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB === 333 xxx B

BB222 B

BB === 222

444555...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: EEEnnn eeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo ttteeennneeemmmooosss 000,,, 555

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx ===--- 111///333

43

444666...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

Ahora ya procedemos a efectuar el cambio de variable:

Hemos calculado y=25.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

444777...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr tttééérrrmmmiiinnnooo:::

222ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ssseeeggguuunnndddooo tttééérrrmmmiiinnnooo:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

44

Hemos calculado y P

2P=125.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 333///222

444888...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

222ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo

Tenemos en el primer miembro como base: y en el segundo:

¿¿¿CCCóóómmmooo pppooodddrrreeemmmooosss iiiggguuuaaalllaaarrr lllaaasss dddooosss bbbaaassseeesss,,, uuutttiiillliiizzzaaannndddooo aaalllggguuunnnaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeee lllaaasss

pppooottteeennnccciiiaaasss??? VVVaaammmooosss aaa vvveeerrrlllooo aaa cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn:::

45

Partimos tomando como base p para transformarla en

En el segundo miembro de la igualdad tenemos la expresión:

Haciendo operaciones:

Por tanto:

Retomamos el problema, y el segundo miembro nos quedará de la siguiente forma:

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx === 111111///111333

444999...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: EEElll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo lllooo pppaaasssaaammmooosss aaa uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa dddeee bbbaaassseee 222:::

PPPooorrr tttaaannntttooo lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa:::

46

AAAhhhooorrraaa yyyaaa eeessstttaaammmooosss eeennn sssiiitttuuuaaaccciiióóónnn,,, dddeee rrreeesssooolllvvveeerrr eeelll eeejjjeeerrrccciiiccciiiooo:::

Por tanto: xxx === 111

555000...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn lllooosss tttééérrrmmmiiinnnooosss pppaaarrraaa dddeeesssaaarrrrrrooollllllaaarrrlllooosss yyy vvveeerrr cccooommmooo nnnooosss

qqquuueeedddaaa lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa:::

CCCaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

Hemos calculado y=9.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

555111...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr tttééérrrmmmiiinnnooo:::

VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

47

Hemos calculado y=1.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

¿Qué potencia da siempre como resultado 1? Aquella, en la cual

independientemente de su base, el exponente sea 0.

Por tanto: xxx === 000

555222...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ºººPPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa iiiggguuuaaallldddaaaddd:::

777666888 === 333 ... 444 P

PP

444 P

PP

AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn,,, yyyaaa eeefffeeeccctttuuuaaammmooosss eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

444 P

PP

xxxP

PP === yyy 444 P

PP

222xxxP

PP === yyy P

PP

222P

PP

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

Hemos calculado y=16.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio de

variable y sustituimos y por el valor obtenido:

Por tanto: xxx === 222

555333...--- RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ºººPPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa iiiggguuuaaallldddaaaddd:::

¿Qué potencia da siempre como resultado 1? Aquella, en la cual independientemente de su

base, el exponente sea 0.

48

Por tanto 1 = 8P

0P

Vamos a sustituir en la expresión dada:

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

Ahora ya podemos resolver la ecuación:

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB=== --- 222 yyy xxx B

BB222 B

BB === --- 111

555444...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: eeefffeeeccctttuuuaaammmooosss ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr tttééérrrmmmiiinnnooo dddeee lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn:::

AAA cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn,,, yyyaaa eeefffeeeccctttuuuaaammmooosss eeelll cccaaammmbbbiiiooo dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleee:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

Hemos calculado y B1B=5 e yB2 B= 1.Ahora vamos a la expresión que hemos utilizado en el cambio

de variable y sustituimos y por los valores obtenidos:

Por tanto: xxx B

BB111 B

BB=== 111 yyy xxx B

BB222 B

BB === 000

49

555555...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ssseeeggguuunnndddooo mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

LLLaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa,,, nnnooosss qqquuueeedddaaarrríííaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

¿¿¿CCCóóómmmooo pppooodddrrreeemmmooosss iiiggguuuaaalllaaarrr lllaaasss dddooosss bbbaaassseeesss,,, uuutttiiillliiizzzaaannndddooo aaalllggguuunnnaaa ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddeee lllaaasss

pppooottteeennnccciiiaaasss??? VVVaaammmooosss aaa vvveeerrrlllooo aaa cccooonnntttiiinnnuuuaaaccciiióóónnn:::

Partimos tomando como base para transformarla en

En el segundo miembro de la igualdad tenemos la expresión:

Haciendo operaciones:

Por tanto:

Retomamos el problema, y el segundo miembro nos quedará de la siguiente forma:

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

50

Por tanto: xxx B

BB B

BB=== ---666

555666...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

111ºººPPPaaasssooo::: vvvaaammmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn eeelll eeexxxpppooonnneeennnttteee qqquuueee hhhaaayyy dddeeennntttrrrooo dddeee lllaaa rrraaaííízzz:::

EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo,,, eeennn eeesssttteee mmmooommmeeennntttooo nnnooosss qqquuueeedddaaa:::

PPPeeerrrooo 999 === 333 P

PP

222P

PP EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo nnnooosss qqquuueeedddaaarrríííaaa dddeee lllaaa fffooorrrmmmaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee:::

VVVooolllvvveeemmmooosss aaa tttrrraaabbbaaajjjaaarrr cccooonnn eeelll eeexxxpppooonnneeennnttteee qqquuueee hhhaaayyy dddeeennntttrrrooo dddeee lllaaa rrraaaííízzz:::

EEEnnntttooonnnccceeesss eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo nnnooosss qqquuueeedddaaa:::

¿¿¿CCCóóómmmooo eeexxxppprrreeesssaaammmooosss uuunnnaaa rrraaaííízzz eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaa???

MMMeeedddiiiaaannnttteee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffóóórrrmmmuuulllaaa:::

VVVaaammmooosss aaa tttrrraaannnsssfffooorrrmmmaaarrr lllaaa rrraaaííízzz eeennn fffooorrrmmmaaa dddeee pppooottteeennnccciiiaaa:::

51

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

YYYaaa ttteeennneeemmmooosss lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, cccooonnn dddooosss pppooottteeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa mmmiiisssmmmaaa bbbaaassseee:::

Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 111///222

555777...---RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss:::

HHHaaaccceeemmmooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleeesss:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss lllooosss vvvaaalllooorrreeesss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, eeennn lllaaa eeexxxppprrreeesssiiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo:::

MMMuuullltttiiipppllliiicccaaammmooosss pppooorrr(((222)))

SSSuuummmaaammmooosss aaammmbbbaaasss eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss yyy ooobbbttteeennneeemmmooosss:::

AAAhhhooorrraaa,,, eeesssttteee vvvaaalllooorrr ooobbbttteeennniiidddooo,,, lllooo sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeennn lllaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa sssuuussstttiiitttuuuiiirrr eeessstttooosss vvvaaalllooorrreeesss eeennn lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleeesss:::

52

Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 333 eee yyy === 222

555888...---RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss:::

EEEfffeeeccctttuuuaaammmooosss ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss yyy nnnooosss qqquuueeedddaaa eeelll sssiiisssttteeemmmaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

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Por tanto: xxx B

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BB B

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SSSiiimmmpppllliiifffiiicccaaannndddooo:::

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Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 333 eee yyy === 222

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Por tanto: xxx B

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Por tanto: xxx B

BB111 B

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BB === ---222

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VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

LLLaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddaaadddaaa eeennn eeelll eeennnuuunnnccciiiaaadddooo,,, nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

AAAhhhooorrraaa ppprrroooccceeedddeeemmmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr lllooosss cccaaammmbbbiiiooosss dddeee vvvaaarrriiiaaabbbllleeesss:::

NNNooosss qqquuueeedddaaarrrááá lllaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

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Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 333

777444...---RRReeesssooolllvvveeerrr lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee eeecccuuuaaaccciiióóónnn:::

VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn eeelll ppprrriiimmmeeerrr mmmiiieeemmmbbbrrrooo:::

HHHaaaccceeemmmooosss ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss pppaaarrraaa rrreeesssooolllvvveeerrr::: SSSaaacccaaammmooosss fffaaaccctttooorrr cccooommmúúúnnn

¿Qué potencia da siempre como resultado 1? Aquella, en la cual independientemente de su

base, el exponente sea 0.

Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 333

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777555...---RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss:::

111ººº PPPaaasssooo::: VVVaaammmooosss aaa eeefffeeeccctttuuuaaarrr ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss cccooonnn lllaaa ppprrriiimmmeeerrraaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn...

LLLaaa 111ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn dddeeelll sssiiisssttteeemmmaaa nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

SSSuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeesssttteee vvvaaalllooorrr eeennn lllaaa ssseeeggguuunnndddaaa eeecccuuuaaaccciiióóónnn,,, ooobbbttteeennniiieeennndddooo:::

CCCooommmooo ttteeennníííaaammmooosss qqquuueee xxx === 444yyy,,, sssuuussstttiiitttuuuiiimmmooosss eeelll vvvaaalllooorrr dddeee yyy,,, pppaaarrraaa ooobbbttteeennneeerrr xxx:::

Por tanto: xxx B

BB B

BB=== 222000 eee yyy === 555

777666...---RRReeesssooolllvvveeerrr eeelll sssiiiggguuuiiieeennnttteee sssiiisssttteeemmmaaa dddeee eeecccuuuaaaccciiiooonnneeesss:::

111ººº PPPaaasssooo::: TTTrrraaannnsssfffooorrrmmmaaammmooosss eeelll 222ººº mmmiiieeemmmbbbrrrooo dddeee lllaaa 222ªªª eeecccuuuaaaccciiióóónnn aaa uuunnnaaa pppooottteeennnccciiiaaa:::

EEElll sssiiisssttteeemmmaaa,,, dddaaadddooo,,, aaahhhooorrraaa nnnooosss qqquuueeedddaaa dddeee lllaaa sssiiiggguuuiiieeennnttteee fffooorrrmmmaaa:::

MMMuuullltttiiipppllliiicccaaammmooosss pppooorrr (((222)))

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---xxx === 333 ---111 === 222 xxx === --- 222

Por tanto: xxx B

BB B

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