Matematicas Resueltos (Soluciones) Numeros Complejos 1º Bachillerato

1

Las expresiones en las que intervienen el nº i reciben

el nombre de números complejos.

El número i se llama unidad imaginaria.

Todo número complejo tiene la forma:

La expresión: se llama forma binómica.

Al número “a” se le llama parte real del número complejo

El número “b” se llama parte imaginaria.

Si b= 0, el número complejo se reduce a un número real.

- Los números reales son un subconjunto de los números complejos.

- Ejemplo: son números reales y también

complejos, con la parte imaginaria nula.

Si “a” = 0 el número complejo se reduce a un imaginario puro.

Ejemplo:

Si a= 0 y b= 0 se llama número complejo 0 y se escribe: 0 +0i

- Número complejos conjugados son los que tienen la misma parte real y las

partes imaginarias opuestas:

Ejemplos:

Números complejos iguales son los que tienen iguales las partes reales y las

imaginarias, por ejemplo:

2

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

Siempre debemos recordar lo siguiente:

SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS.

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando

las partes reales entre sí, y las partes imaginarias, también entre sí.

Vamos a ver algunos ejemplos prácticos.

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS.

Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto a la

suma y teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1

Ejemplo práctico:

Otro:

Vamos a tratar de resolver un ejercicio sencillo, para verlo un poquito más

claro:

Calcular x e y par que (2+xi) + (y-3i) = 7 + 4i

Igualamos las partes reales con las imaginarias y llegamos al siguiente

sistema de ecuaciones:

3

Por tanto x = 7 e y = 5. Y ejercicio resuelto.

Otro ejemplo. Vamos a multiplicar dos nºs imaginarios:

Lo primero que vemos es: -6i y + 6i, se anulan por tanto = 0.

¿Y nos acordamos que i2 = - 1 ?

Entonces la solución, será: 4 – 9 (-1) = + 13

Recordar, en este caso concreto: (3i).(-3i)= = -9i2 = -9 (-1) = + 9

COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS:

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el

denominador.

Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo

conjugado del denominador.

Vamos a ver un ejemplo:

Otro ejemplo:

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Esta operación se efectúa desarrollando la potencia del binomio (a+bi) y,

teniendo en cuenta las potencias del numero i.

Creo que antes de empezar, deberíamos desarrollar las potencias de i, para

“verlas de forma gráfica e irlas memorizando:

4

iº = 1

i1

= √-1

i2 = - 1

i3 = - i

i4

= 1

A partir de aquí “tomar buena nota” de esto que os digo: “Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.”

“Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “

Entonces un método práctico: Para calcular las potencias del número “i” dividiremos el

exponente entre 4, y calculamos la potencia del número “i” que tienen por exponente

el resto de la división.

Cómo es lógico, vamos a ver algunos ejemplos:

MÓDULO Y ARGUMENTO DEL NÚMERO COMPLEJO.

Al número complejo (a+bi) se le hace corresponder el punto de coordenadas:

A(a,b).

A este punto “A” se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii)))

A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del

plano.

5

Si unimos el origen “O” con el punto “A” obtenemos el vector:

A cada número complejo le corresponde un “vector”

Módulo del número complejo: a+bi es el módulo del vector

Se representa:

Argumento del número complejo: a+bi es el ángulo que forma el semieje positivo

de las abcisas con la recta que contiene el vector

Se representa: arg (z) = α

Si ahora aplicamos la definición de la tangente trigonométrica de un ángulo:

En la expresión: hay infinitos ángulos que cumplen la

igualdad.

Si restringimos el valor de x: solamente hay 2 ángulos

que difieren en ∏ y tienen la misma tangente.

Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los

signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado

el “afijo” del número complejo.

A este “argumento” se le llama ARGUMENTO PRINCIPAL.

6

FORMA TRIGONOMÉTRICA Y POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO.

a = r. cos x

b = r. sen x

Vamos a sustituir esos valores en la expresión del número complejo en

forma binómica:

A la expresión: se la llama forma trigonométrica del

complejo a+bi.

Otra forma de representar el número complejo (a+bi) es rx que se llama

módulo-argumental polar donde:

R = módulo

X = argumento

Corolario: dos número complejos escritos en forma polar sssooonnn iiiggguuuaaallleeesss, siempre

y cuando sus mmmóóóddduuulllooosss sean iguales y sus aaarrrggguuummmeeennntttooosss difieran en siendo

k un número entero.

Siendo Z el conjunto de los números enteros

Un número imaginario lo podemos representar de las siguientes formas:

Forma binómica Forma Trigonométrica Forma Polar

7

PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR.

Debemos de tener en cuenta lo siguiente:

1º.- La suma y resta de números complejos no es cómoda hacerla en forma

polar, dando lugar probablemente a múltiples errores.

Para ello pasaremos mediante la expresión trigonométrica a forma

binómico y de esta forma haremos las operaciones pertinentes.

2º.- Por el contrario el producto, cociente, potencia y radicación son

operaciones simples cuando el número complejo está en forma polar.

PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR.

Lo primero que haremos es escribir los números complejos en forma trigonométrica, y

operamos con ellos como en forma binómico:

Por tanto el producto de complejos en forma polar, viene dado por:

Y lo definimos: el producto de 2 números complejos en forma polar, es otro

número complejo que tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por

aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

AAAhhhooorrraaa vvvaaammmooosss aaa vvveeerrr uuunnn cccaaasssooo eeessspppeeeccciiiaaalll::: MMMuuullltttiiipppllliiicccaaarrr uuunnn nnnººº cccooommmpppllleeejjjooo pppooorrr iii:::

--- SSSiiieeemmmppprrreee dddeeebbbeeerrreeemmmooosss ttteeennneeerrr eeennn cccuuueeennntttaaa qqquuueee eeelll nnnººº “““ iii ””” tttiiieeennneee cccooommmooo mmmóóóddduuulllooo

111 yyy cccooommmooo aaarrrggguuummmeeennntttooo 999000ººº...

Por tanto cuando multiplicamos un nº complejo por “ i “, ocurre:

- El Módulo queda multiplicado por 1: NO varia

- El Argumento: es igual al argumento inicial más 90º.

8

Esto quiere decir que geométricamente equivale a un giro de 90º en sentido

“contrario” a las agujas del reloj.

Ahora vamos a representarlo gráficamente:

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR.

El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo

que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la

dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

Ahora es un buen momento, para ver un ejemplo.

Vamos a calcular el valor de x para que el cociente: sea:

a) Un número real positivo.

Los números reales positivos tienen como argumento 0 radianes.

El número 5 0i = 5 de módulo.

El argumento será: ∏ - x = 0 x = ∏ radianes.

9

b) Un número real negativo.

Los números reales negativos tiene como argumento ∏ radianes = 180º.

- 5 + 0i = -5 de módulo.

Argumento: ∏ - x = ∏ Por tanto x = 0 radianes.

c) Un número imaginario puro positivo.

Un ejemplo de número imaginario puro positivo es: 3i

Los números imaginarios puros tienen de argumento:

Por tanto:

POTENCIAS Y RAICES DE Nºs COMPLEJOS EN FORMA POLAR.

Partimos de la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene

por mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll

aaarrrggguuummmeeennntttooo del complejo dado.

10

Radicación de un número complejo en forma polar:

Supongamos que la raíz n-ésima del número complejo

Entonces tenemos:

Si damos valores enteros a k desde 0, hasta n-1 obtenemos “ n “ argumentos

distintos que cumplen la condición impuesta.

Para k ≥ 0 se obtienen argumentos que difieren de los anteriores en un

número entero de 2 ∏ radianes y coinciden con alguno de los anteriores.

Podemos enunciar lo siguiente: LLLaaasss rrraaaíííccceeesss nnn---ééésssiiimmmaaasss dddeee uuunnn nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo sssooonnn

nnnúúúmmmeeerrrooosss cccooommmpppllleeejjjooosss qqquuueee tttiiieeennneeennn dddeee mmmóóóddduuulllooo lllaaa rrraaaííízzz nnn---ééésssiiimmmaaa dddeee mmmóóóddduuulllooo yyy pppooorrr

aaarrrggguuummmeeennntttooo:::

Toda esta teoría, más ampliada queda del modo siguiente:

Los algebristas del los siglos XV y XVI, al buscar una solución para algunas

ecuaciones de segundo grado, por ejemplo x2 + 1 = 0, se encontraron con x 1 .

Afirmaban que las ecuaciones no tenían solución, ya que no hay ningún número real

cuyo cuadrado sea un número negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de

“definir” nuevos números de la forma: iba donde a y b son números reales e i

es 1 , que permitieran resolver cualquier ecuación de segundo grado. Estos

nuevos números se llaman números complejos ( C ).

Ejemplo:

La ecuación de segundo grado: x x2 6 34 0 tiene

como solución:

2

1006 x que expresaremos como i

ix

53

2

106

11

Definición.

SSee llllaammaa nnúúmmeerroo ccoommpplleejjoo aa ttooddaa eexxpprreessiióónn ddee llaa ffoorrmmaa z a bi

ddoonnddee aa yy bb ssoonn nnúúmmeerrooss rreeaalleess;; ii eess llaa uunniiddaadd llllaammaaddaa iimmaaggiinnaarriiaa,,

ddeeffiinniiddaa ppoorr llaass eeccuuaacciioonneess:: 1i oo 12 i ;; aa eess llaa ppaarrttee rreeaall yy

bb eess llaa ppaarrttee iimmaaggiinnaarriiaa ddeell nnúúmmeerroo ccoommpplleejjoo..

Si a = 0, el número complejo bibi 0 , es un número imaginario puro; si

b = 0, se obtiene el número real aia 0

Dos números complejos son iguales si: dccaidciba ;

es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por separado.

Un número complejo es igual a cero si: 0;00 baiba

Representación gráfica.

Sobre el eje de abcisas se representa la parte real

a del número complejo y sobre el eje de ordenadas

la parte imaginaria b. El número complejo ( , )a b

queda representado por el punto P(a,b) del plano de

coordenadas.

A cada número complejo ( , )a b corresponde un

punto P que se llama su afijo, y recíprocamente, a

cada punto corresponde un número complejo. De

este modo queda establecida una aplicación

biyectiva entre los puntos del plano y los números complejos.

Si escribimos z a b a b ( , ) , ,0 0 y consideramos la relación vectorial

correspondiente, podemos escribir: z a bi que llamaremos forma binómica del

numero complejo z . Cuando aparezca escrito como ( , )a b diremos que está en forma

cartesiana.

El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP

que se puede

considerar la representación vectorial del número complejo ( , )a b . La longitud r del

vector OP

se llama módulo del número complejo a bi y su expresión es

r a b 2 2

Complejos conjugados y complejos opuestos.

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes

reales y opuestas sus componentes imaginarias. Se expresan de la forma

siguiente: z a bi y biaz . Gráficamente son simétricos respecto del eje real

(eje de abcisas).

Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos

componentes. Se expresan de la forma siguiente: z a bi y z a bi .

Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas.

12

Propiedades:

zz 2121 zzzz zz

2121 zzzz 2

1

2

1

z

z

z

z

zzz 2

2Re

zzz

2Im

zzz

Forma trigonométrica de un complejo.

Designemos por y r ( r 0 ) las coordenadas polares del punto P( a , b )

tomando por polo el origen de coordenadas y por eje polar, la dirección positiva

del eje OX. En este caso tenemos las expresiones siguientes:

SeniCosriSenrCosriba

Senrb

Cosra

La expresión SeniCosr se llama forma trigonométrica del número

complejo iba y las magnitudes r y se expresan en función de a y b mediante

las fórmulas: a

bArcTgTg

a

bbar ;

22

El número r se llama módulo y argumento del número complejo iba . Si [

0, 2 [, obtenemos el argumento principal.

Operaciones con números complejos. En forma binómica

Suma y resta:

Producto:

Cociente:

a bi

c di

ac bd

c d

bc ad

c di

2 2 2 2

Raíz cuadrada: Si a bi x yi a bi x yi x y xyi 2 2 2 2

igualando las partes real e imaginaria resulta el sistema: x y a

xy b

2 2

2

Operaciones con números complejos. En forma trigonométrica

Producto:

SeniCosrrzzndoMultiplica

SeniCosrz

SeniCosrzSean

2121

22

11

Cociente:

EEEnnn lllaaa ppprrráááccctttiiicccaaa pppuuueeedddeeesss aaappplll iiicccaaarrr lllaaa

ppprrrooopppiiieeedddaaaddd dddiiissstttrrriiibbbuuutttiiivvvaaa ttteeennniiieeennndddooo eeennn

cccuuueeennntttaaa qqquuueee i2 1

EEEnnn lllaaa ppprrráááccctttiiicccaaa ssseee mmmuuullltttiiippplll iiicccaaa

nnnuuummmeeerrraaadddooorrr yyy dddeeennnooommmiiinnnaaadddooorrr pppooorrr eeelll

cccooonnnjjjuuugggaaadddooo dddeeelll dddeeennnooommmiiinnnaaadddooorrr

icbdadbcadicbia

idbcadicbia

13

SeniCosr

r

z

zDividiendo

SeniCosrz

SeniCosrzSean

2

1

2

1

22

11

Operaciones con números complejos. En forma polar

La forma trigonométrica de un complejo sugiere que éste quede perfectamente

determinado por su módulo r y un argumento .

Si escribimos SeniCosrr también tenemos una expresión que pone de

manifiesto los valores del módulo y un argumento. Se le conoce por forma polar

de un número complejo.

El producto en forma polar quedaría:

nnn

rrsrsr iaconsecuenc Como

El cociente en forma polar quedaría:

s

r

s

r

Forma de Moivre para el producto.

n

k

k

n

k

knn SeniCosrrrzzz

11

2121

Forma de Moivre para la potencia.

nSeninCosrznn

Consecuencia: Considerando un complejo de módulo la unidad:

nSeninCosSeniCosn y desarrollando el primer miembro según la

fórmula del binomio de Newton e igualando las partes reales e imaginarias,

podremos expresar nSen y nCos en función de Sen y Cos .

Raíces n-ésimas de un complejo.

Definición: z1 es una raíz n-ésima de z si z zn1

Teorema: Todo complejo z 0 tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas

en C.

Sea SeniCosRz un complejo no nulo.

EEElll mmmóóóddduuulllooo dddeeelll cccoooccciiieeennnttteee eeesss

eeelll cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss

mmmóóóddduuulllooosss...

UUUnnn aaarrrggguuummmeeennntttooo dddeeelll

cccoooccciiieeennnttteee eeesss lllaaa dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa

dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

14

Supongamos que SeniCosr es una de sus raíces n-ésimas.

Deberá verificarse: SeniCosRSeniCosrn ,

es decir;

SeniCosRnSeninCosrn

Deberán coincidir los módulos: nnRrRr (su valor aritmético,

real y positivo)

Para que los complejos de módulo unidad

SeniCosnSeninCos y coincidan, n y deberán ser dos

argumentos del mismo complejo. En otras palabras, kn 2 de donde:

n

k

2

Resumiendo: Las raíces n-ésimas de z son de la forma:

1,2,1,022

nkk

n

kSeni

n

kCosRn

La raíz n-ésima de número real A, distinto de cero, también tiene n valores,

puesto que en número real es un caso particular del número complejo y puede

ser representado en forma trigonométrica:

SeniCosAAASiSeniCosAAASi 0;000

Interpretación geométrica de las raíces n-ésimas de z

Se observa que todas las raíces tienen el mismo módulo: n R . Por ello, los

afijos de la n raíces están situados sobre la circunferencia de centro el

origen y radio n R .

Si es un argumento de z, un argumento de z1 es n

. Si dividimos los 2

radianes en n partes, cada una de ellas mide n

2radianes.

Así el afijo de z2 se obtiene girando el de z1 en n

2 radianes; el de z3

girando el de z2 otra vez un ángulo de n

2 radianes, y así sucesivamente.

Solución de la ecuación binomia.

La ecuación Axn se llama binomia. Las raíces de esta ecuación serán:

Si A es un número real positivo:

n

kSeni

n

kCosAx n 22

Si A es un número real negativo:

n

kSeni

n

kCosAx n

22

15

Si A es un número complejo, los valores de x se hallan según la expresión

general.

Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades.

Sea yixz , si x e y son variables reales, z es una variable compleja.

Consideremos la función exponencial de variable compleja: yixz eezf

)(

Los valores complejos de la función f(z) se definen del modo siguiente:

ySeniyCosxyix ee

Propiedades:

Sean z, z1 y z2 números complejos y m un número entero, entonces:

2121 zzzzeee

2

121

z

zzz

e

ee

zmmz ee ziz ee

2

Se cumplen las reglas de derivación de la función exponencial de

variable real.

Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo.

Consideremos un número imaginario puro, la fórmula de Euler expresa la

relación entre la función exponencial de exponente imaginario y las funciones

trigonométricas y es: ySeniyCosyie de la podemos deducir las expresiones

de seno y coseno en función de ellas.

iySen

yCos

ySeniyCos

ySeniyCosyiyi

yiyi

yi

yi

ee

ee

e

e

2

2

Forma exponencial de un número complejo:

Sea z un número complejo en forma trigonométrica: SeniCosrz

donde r es el módulo y un argumento. Según la fórmula de Euler: ii ee rzSeniCos

y todo número complejo puede ser representado

en forma exponencial.

16

Núm Concepto Observaciones

1 Unidad imaginaria

2 Forma binónica de un complejo

a+bi donde a y b son números reales cualesquiera.

a se llama parte real

b se llama parte imaginaria

Si a vale cero (tiene la forma bi) el número se llama imaginario puro.

3 Representación gráfica de los números complejos

Afijo es el punto en el plano que representa al nº

complejo.

Las partes reales se representan sobre abscisas y

las imaginarias sobre ordenadas.

Complejos iguales: cuando son iguales sus partes

real e imaginaria.

Complejos conjugados: conjugado de a+bi es a-bi . Si z representa al complejo, el conjugado es

los conjugados son simétricos con respecto al eje horizontal.

Complejos opuestos: opuesto de a+bi es -a-bi . Si z representa al complejo, el conjugado es

los opuestos son simétricos con respecto al origen de coordenadas.

4 Suma de complejos en

forma binómica. Se suman ("por su cuenta") las partes reales y las

partes imaginarias.

5 Producto de complejos en

forma binómica.

Se aplica la propiedad distributiva y se tiene en

cuenta que

6 Cociente de complejos en

forma binómica.

Es decir, se multiplica y divide por el conjugado del denominador

17

7 Potencias de la unidad imaginaria

8 Potencias de complejos en

forma binómica.

Se calculan utilizando el binomio de Newton y teniendo en cuenta los valores de las potencias de unidad imaginaria.

9

Forma polar de un número

complejo. Módulo y argumento.

Módulo :

Argumento:

Forma polar:

10 Forma trigonométrica de un número complejo.

Nota: esta forma es también muy útil para recordar las fórmulas de paso de la forma polar a la binómica. Basta efectuar el producto indicado en la forma trigonométrica para obtener la forma binómica esta forma es también muy útil para recordar las fórmulas de paso de la forma polar a la binómica. Basta efectuar el producto indicado en la forma trigonométrica para obtener la forma binómica.

11

Complejos iguales,

conjugados y opuestos en

formas polar y

trigonométrica.

Complejos iguales: módulos iguales y argumentos

difieren en un número entero de vueltas.

Complejos conjugados:

12 Suma de complejos en

forma polar Lo más cómodo es pasarlos antes a binómica

13 Producto de complejos en

forma polar

Producto de dos complejos: a) MODULO: el

producto de los módulos b) ARGUMENTO: la suma

de los argumentos.

14 Cociente de complejos en

forma polar

Cociente de dos complejos: a) MODULO: el

cociente de los módulos b) ARGUMENTO: la

diferencia de los argumentos.

Nota: para calcular el inverso de un complejo basta

considerar que 1 es un número complejo que tiene por

módulo la unidad y por argumento 0 (o 360º)

18

15

Potencias de complejos en

forma polar. En forma

trigonométrica. Fórmula

de Moivre.

En el caso de que el módulo sea 1, se tiene la

siguiente fórmula (fórmula de Moivre):

16 Radicación de complejos en

forma polar

19

1.- Escribe de todas las formas posibles el siguiente complejo:

1º.- Calculamos el módulo del número:

2º.- Vamos a calcular el argumento del complejo:

Bueno colegas bueno, ahora de nuevo a recordarse del valor de las razones

trigonométricas más usuales.

¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor Rascándose la cabeza, nos

damos cuenta que corresponde a un ángulo de 60º,

Por tanto el argumento será:

Ahora, vamos a expresarlo de todas las formas posibles:

Forma binómica Forma trigonométrica Forma Polar

2.- Escribe de todas las formas posibles el siguiente complejo:

El número i.


El módulo = 1. Porque el número complejo i, tiene la forma: 0 + 1 i

Hemos visto anteriormente, que cuando a = 0 y b › 0, el argumento es

Por tanto arg ( i ) = radianes = 90º

Forma binómica Forma trigonométrica Forma Polar

20

3.- Escribe de todas formas posibles el siguiente complejo:

Hasta aquí sin ningún problema, pero ojitooooooooooooooooooo, porque el coseno es

NEGATIVO, ya que el ángulo está localizado en el 3º cuadrante.

Pero lo mismo que lo anterior, es negativo, porque nos estamos refiriendo a ángulos

situados en el 3º cuadrante.

Por tanto:

Es el momento de sustituir los valores que hemos calculado de las razones

trigonométricas:

Forma Binómica Forma Tringonométrica Forma Polar

4.- Calcular:

1º Paso: Pasamos el complejo a forma polar:

a) Calculamos su módulo:

b) Calculamos su argumento:

Otra ves, tenemos que echar mano de nuestra memoria: ¿cuál es el ángulo cuya

tangente tiene como razón ¿ Pues el ángulo de 60º

Por tanto:

21

5.- Calcular las raíces cúbicas del complejo 8 i

Al ser un problema de radicación, debemos de pasar el número a forma polar.

Es el momento de calcular el módulo:

Vamos a aplicar la fórmula de la radicación de un complejo en forma polar.

Para ello la vamos a escribir y, así acordarnos de ella.

Vamos a sustituir valores:

Para ello le daremos valores a k, hasta n-1, en este caso como es la raíz cúbica,

tienes de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2.

6.- Resolver la siguiente ecuación:

Vamos a despejar z en la ecuación dada.

El número complejo es de la forma: 1 + 0 i

El módulo será:

Su argumento, será:

Es el momento de aplicar la fórmula de los números complejos en forma polar:


22

Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 5 de

un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4

Para k = 0

Para k= 1

Para k = 2

Para k= 3

Para k = 4

7.- Calcular el módulo y argumento del nº complejo:

Lo primero que haremos es representaros gráficamente para saber en que cuadrante

se encuentran, para calcular sus argumentos.

1º.-Módulo de

2º.-Módulo de

3º.-Módulo de

Ahora es el momento de calcular los argumentos correspondientes a cada número:

23

Y según vemos en el dibujo precedente: corresponde al 1º cuadrante.

Y lo mismo que en el apartado anterior: corresponde al 1º cuadrante.

Si echamos otro vistazo al dibujo hecho al principio del ejercicio, corresponde su

situación al 4º cuadrante.

Por tanto el ángulo será: 360º - 30º = 330º

Es el momento de que a partir de los resultados obtenidos, procedamos a sustituir los

valores y dar el resultado solicitad en el enunciado del ejercicio.

Módulo:

Argumento:

Pero como cada giro de la circunferencia son 360º: 435º-360º = 75º.

8.- Escribir el número complejo: en forma polar.

Lo primero, haremos un dibujo, para ver mucho mejor, su posición.

Lo primero que haremos, será calcular el módulo del número.

24

Ahora procedemos a calcular su argumento:

Y además sabemos que está situado en el 4º cuadrante.

Por tanto el ángulo correspondiente (cada giro = 360º). Será: 360º-60º = 300º

Por tanto el nº pedido es:

9.- Expresar en forma polar el siguiente nº complejo:

Lo primero que haremos, para buscarnos una ayuda visual, es representarlo

gráficamente:

El ángulo corresponde al 1º cuadrante

Como siempre, para tener un método propio, vamos a calcular su módulo:

Módulo:

Argumento:


10.- Expresar el número complejo i en forma polar.


gráficamente:


El número tiene la forma: 0 + 1 i

Camo siempre, comenzaremos por calcular su módulo:

Módulo:

25

Ahora le toca el turno al cálculo del argumento:


11.- Expresar el número complejo 3 i en forma polar.


gráficamente:



Comenzaremos por calcular su módulo:

Módulo:

Ahora le toca el turno al cálculo del argumento:


12.- Expresar el número complejo - i en forma polar. Para buscarnos una ayuda visual, lo representaremos gráficamente. De esta forma,

siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando.


El número tiene la forma: 0 - 1 i

Vamos a comenzar calculando, como siempre su módulo:

26

Módulo:

Y ahora le toca el turno al argumento del número complejillo.

Argumento:


13.- Expresar el número complejo 1 en forma polar. Para buscarnos una ayuda visual, lo representaremos gráficamente. De esta forma,

siempre sabremos en que cuadrante estamos trabajando.



Como siempre y, siguiendo nuestro método, vamos a comenzar calculando su módulo:

Módulo:

Argumento:


14.- Expresar el número complejo en forma polar.

Más de lo mismo, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos

en que cuadrante estamos trabajando.


27

Siguiendo nuestro método establecido, vamos a comenzar por calcular su módulo:

Módulo:

Argumento:

Al estar localizado el ángulo en el 2º cuadrante, ¿qué es aquello que debemos de

tener en cuenta para dar la solución?

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh: 180º-35º = 145º Ángulo real.


15.- Expresar el número complejo -1 en forma polar.

Más de lo mismo, lo representaremos gráficamente. De esta forma, siempre sabremos

en que cuadrante estamos trabajando.


El número tiene la forma: -1 + 0 i

Siguiendo nuestro método establecido, vamos a comenzar por calcular su módulo:

Módulo:

Argumento:


16.- Pasar a forma binómica el siguiente nº expresado en forma polar:

28

Esta ya difiere de toda la serie de los ejercicios anteriores.

1º.- Vamos a pasar el número dado a la forma trigonométrica. La vamos a recordar:

Cos 210º = cos 180º = cos 30º Acordarse de ángulos que difieren en 180º+α

= Signo negativo porque está situado en el 3º cuadrante.

Sen 210º = sen 180º = sen 30º Acordarse, de nuevo de ángulo que difieren en

180º+α

= Signo negativo porque está situado en el 3º cuadrante.

Ahora sustituimos estos valores en la fórmula y obtenemos:

Por tanto la solución es:

17.- Expresar el nº complejo en forma binómico.

El ángulo se encuentra en el 4º cuadrante.

Ángulo correspondiente al 4º cuadrante, por tanto el ángulo es referido al 1º

cuadrante: 360º-330º = 30º.

Aquí aplicamos las razones trigonométricas del ááánnnggguuulllooo ooopppuuueeessstttooo...


29


Por de pronto, sabemos que el número está localizado en el 3º cuadrante, sobre el

eje de ordenadas, por tanto no tiene parte real, tan solo imaginaria.

Por este motivo: cos 270º = 0

El sen de 270º = sen 180º + α = sen 90º.

Angulos que difieren 180º+ α

Como el seno es negativo en el 3º cuadrante, sabemos que sen 270º = - 1

El número será:



Por de pronto ya sabemos que el ángulo está localizado en el 2º cuadrante.

Esto lo estamos utilizando, para saber que signos le corresponden a cada una de las

razones trigonométricas.

Buenooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, como está localizado en el 2º

cuadrante, ¿Qué razones trigonométricas utilizaremos?

AAArrrrrreeeaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa...

AAA vvveeerrr cccoooñññooo,,, nnnaaadddaaa dddeee nnnaaadddaaa,,, eeehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh...

BBBuuueeennnooo,,, ssseeerrrááánnn lllaaasss dddeee lllooosss ááánnnggguuulllooosss ααα yyy 111888000ººº --- ααα

EEErrraaa mmmuuuyyy dddiiifffíííccciiilll ,,, eeehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh... MMMeeennnuuudddooo

cccaaarrreeetttoooooooooooooooooooooooooooooo ooosss hhhaaabbbíííaaa qqquuueeedddaaadddooo...

111ººº...--- ÁÁÁnnnggguuulllooo cccooorrrrrreeessspppooonnndddiiieeennnttteee::: 111888000ººº --- 111333555ººº === 444555ººº

30

Por estar en el 2º cuadrante, el ssseeennnooo eeesss pppooosssiiitttiiivvvooo y el cccooossseeennnooo nnneeegggaaatttiiivvvooo. Ojitooooooo

con los signos.

Por tanto:



Por de pronto ya sabemos que el ángulo está localizado en el 2º cuadrante. Y además

sobre el eje de las abcisas.

¿Por quééééééééééééééééééééééééééééééééééé

Porque el ángulo es de 180º. Por tanto tampoco

tiene parte imaginaria

¿Cuál es el valor del seno de 180º? Es 0.

Por estar en el 2º cuadrante, es: nnneeegggaaatttiiivvvooo


Era muy difícil,

verdaddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd.

21.- Calcular en forma polar:

¿Qué os vendrá a la memoriaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, es eso. Pues muy bien.

El producto de nºs en forma polar, se calcula de esta forma:

El Módulo = Es el producto de los módulos.

El Argumento = Es la suma de los argumentos de ambos nºs.

Muy biennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.

31



¿Nos acordaremos de cómo se efectúa la división de dos números en forma polar?

Pues de la forma siguiente:

El Módulo = Es el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss de ambos números

El Argumento = Es la rrreeessstttaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss de ambos números

Vamos a efectuar cálculos:



Esto que tenemos delante es una potencia de números complejos. Tenemos que

acordarnos de la teoría, para poder calcularlos.

El Módulo: Se obtiene eeellleeevvvaaannndddooo eeelll mmmóóóddduuulllooo aaa lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa indicada.

El Argumento: Se obtiene mmmuuullltttiiippplll iiicccaaannndddooo eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo pppooorrr eeelll ííínnndddiiiccceee dddeee lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa

dada.


24.- Expresar el número complejo en forma polar.

Vamos a representarlo gráficamente, para ver un montón de datos.


Lo primero es seguir siempre con nuestro método establecido. Vamos a calcular el:

( )3 60º

5

32

Módulo:

Argumento:

¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica de la tangente = √3? Es el ángulo de 60º

Cómo está en el 4º cuadrante, su relación con respecto al primero será: 360º-60º =

300º

Ahora damos valores a k en la fórmula correspondiente hasta n-1 y obtenemos:

Los valores de “ n 2 pueden ser 0, 1 y 2, ya que el índice de la raíz es 3.


Al ser una raíz cúbica, debe de tener 3 soluciones. Por tanto faltan 2, que debemos

de calcular.

Doy por supuesto, que ya sabéis que las dos soluciones que nos faltan, son número

complejos.

El número dado, tiene la forma: - 1 + 0 i.

Vamos a representarlo gráficamente, para hacernos una idea mucho mejor de que es

lo que vamos a calcular.

Una imagen, valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee………………………………..

Cómo por ejemplo, ésta:

33

¿ O nooooooooooooooooooooooo?

Pero en realidad, el dibujo del problema, es el siguiente:


El número tiene la forma: -1 + 0 i

Vamos a calcular siguiendo nuestro método personal:

Módulo:

Argumento: El ángulo es de 180º

Por tanto, ya hemos llegado a la siguiente expresión general: El nº tiene forma:

Como siempreeeeeeeeeeeeeeeee……………… le daremos valores a k, hasta n-1. Al ser

una raíz cúbica los valores que puede asumir serán: 0, 1 y 2.

El siguiente paso, consiste en pasar los números a forma trigonométrica, para poder

sustituir razones trigonométricas conocidas:

Por tanto, 1ª solución:

34


El ángulo correspondiente a este ángulo en el 1º cuadrante, sería: 360º-300º = 60º

Peroooooooooooooooooooooo: como estamos en realidad trabajando en el 4º cuadrante,

debemos tener especial precaución con los signos:

Sabemos que en el 4º cuadrante: El Seno es NEGATIVO y el Coseno es POSITIVO.

Por tanto:



Vamos a proceder a resolver esa ecuación de 2º grado:

Las soluciones son:

27.- Resolver:

Lo primero que haremos, para verlo mucho más clarito es representarlo gráficamente.

No os canséis nunca de dibujaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaar, os ayudará una enormidad.

El ángulo corresponde al 1º cuadrante.

Veis, ya tenemos una buena ayuda.

Como siempre y siguiendo nuestro método propio, establecido por “nosotras/os

mismas/os” vamos a calcular:

35

Módulo:

Argumento:

¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica tiene por valor 1 como tangente?

Venga a bucear en nuestra memoria que es muy fácil:

Y apareció nuestro almacén de datos o disco duro.

Bueno para algunas/os está duro de miedo. Está relleno de

serrín.

Bueno a lo que vamos: El ángulo es el de 45º

Pues siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, es cierto, es así de cierto.

Entonces, el paso siguiente es pasar el número a fffooorrrmmmaaa pppooolllaaarrr...

Biennnnnnnnnnnnnnnn, ya tenemos calculado el argumento.

Entoncesssssssssssssssssssssssssssssssss, ahora tenemos que darle valores a k, hasta

n-1. En este caso los valores que puede asumir oscilan entre: o,1,2 y 3 por ser una

raíz cuarta.

Y listo.

36

28.- Los afijos de los números complejos z1, z2 y z3 son los vértices de un

triángulo equilátero cuyo incentro es el origen de coordenadas. Sabiendo

que z1= 1+i, calcular z2 y z3,

¿Sabemos lo que es el incentro? Ah nooooooooooooooooooooooooooooooooo.

Bueno os recuerdo: Es el punto donde se cortan las 3 bisectrices interiores de un

triángulo.

Por tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Y además es el radio de la circunferencia inscrita.

¿Valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee colegas?

Vamos a dibujar la figura:

El radio tiene por módulo el de z1

Vamos a calcularlo:

Módulo:

Argumento:

¿Cuál es el ángulo cuya razón trigonométrica tiene por valor 1 como tangente?

Vengaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa a bucear en nuestra memoria que es muy fácil:

Y apareció nuestro almacén de datos o disco duro.

Ese disco duro es nuestra memoria, no es una Consola

de videojuegos, precisamenteeeeeeeeeeeeeeeeeee.

Bueno a lo que vamos: El ángulo es el de 45º

Como siempre, y siguiendo nuestro método, pasamos el número a fffooorrrmmmaaa pppooolllaaarrr:::

37

Por tratarse de un triángulo equilátero, los vértices están equidistantes:

360º: 3 = 120º

Entonces:

Y:

Y problema resuelto. ¿Era difícil? Buenooooooooooooooooooooooooooooooo

29.- Considerando el número complejo z = 1 + 3i, se efectúa un giro de

centro cuyo centro es el origen de coordenadas y una amplitud de 30º.

Calcular el número complejo z’ transformado por z en el citado giro.

Bueno tranquissssssssssssss

Con calmaaaaaaaaaaaaaaa.

Tenemos que resolverlo.

¿Y si hacemos un dibujo?

Por el dibujo, ya sabemos algo, que el ángulo está localizado en el 1º cuadrante,

antes de efectuar el giro.

Como siempre, y siguiendo con nuestro método propio, vamos a calcular:

Módulo:

38

Argumento:

Como no es un valor conocido como razón trigonométrica, con una calculadora

obtenemos que corresponde a un ángulo: 71º 33’

Por tanto lo siguiente y de acuerdo a nuestro método, es pasar el número a forma

polar:

Antes de efectuar el giro.

En el momento en que procedemos a efectuarlo, el número dado pasa a ser:

30.- Calcular la siguiente raíz:

Lo primero que haremos, será pasar el número dado a forma polar.

Ahora le damos valores a k, hasta n-1. En este caso los valores que puede asumir

serán: 0,1,2 y 3, ya que se trata de una raíz cuarta.

Ángulo 1º cuadrante

A continuación, pasamos el número a forma trigonométrica y obtenemos:

¿Quién puede tener

tan mala leche, para

inventar una cosa de

este calibre?

39

Ya hemos conseguido dar la primera solución del ejercicio.

El ángulo está localizado en el segundo cuadrante.

Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y 180º-α.

El ángulo correspondiente es: 180º-135º = 45º

Ojitooooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! y especial

precaución con los signos.

En el 2º cuadrante: El seno es pppooosssiiitttiiivvvooo y el coseno nnneeegggaaatttiiivvvooo.

Por tanto:

Ya hemos conseguido dar la segunda solución del ejercicio.

El ángulo está localizado en el tercer cuadrante.

El ángulo correspondiente al 1º, será: 225º-180º = 45º.

Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y 180º+α.

En el 3º cuadrante: El seno y el coseno son: nnneeegggaaatttiiivvvooosss...

Por tanto:

Ya hemos conseguido dar la tercera solución del ejercicio.

El ángulo está localizado en el cuarto cuadrante.

40

Por tanto tenemos que aplicar las razones trigonométricas de α y -α.

En el 3º cuadrante: El seno es nnneeegggaaatttiiivvvooo y el coseno es pppooosssiiitttiiivvvooo...

EEEl ángulo correspondiente referido al primero, será: 360º-315º = 45º.

Y con esta cuarta solución, hemos terminado de resolver el ejercicio.

31.- Calcular x para que el cociente: sea un número imaginario

puro.

¿Qué pasaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, estamos todo

el personal esperando a ver si suena la flauta por

casualidad, o nos vamos a poner a currar de una vez?

¿A estas alturas alguien se acuerda de cómo se

efectúa la división de números racionales?

¿ Nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ?

Vamos a recordarlo:

COCIENTE DE NUMEROS COMPLEJOS: - La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.

Esto significa multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del

denominador.

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa siiiiii….

¿Y nos acordaremos de esto?

Porque es necesario, si queremos seguir avanzado para resolverlo.

Bien, vamos a sustituir ese valor en la expresión que hemos obtenido:

41

Por si alguna/algún no se ha dado cuenta todavía, lo único que hemos hecho

ha sido sustituir el valor de i2 por -1.

Echando un vistazo a lo que hemos conseguido, se me ocurre pensar en una cosa:

Tenemos un lío montado de mucho lereleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee.

A ver como le metemos mano a ese melocotón de ahí arriba, para poder continuar.

Se me ocurre: Aislar las partes imaginarias, por ejemplo:

¿Cuál es en realidad el “meollo” del problema, o ejor

de qué quieren que nos acordemos para poder

resolver este ejercicio?

De esto atontadas/atondados:

Si el número tiene que ser imaginario puro, LA PARTE

REAL TIENE QUE SER CERO.

Buenooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo, pues no es tan difícil

Basta con igualar la parte real a 0 y resolver esta ecuación, para ver el resultado.

Por tanto la solución, es x = -2

32.- Representa gráficamente los siguientes número complejos y di cuales

son reales, cuales imaginarios y, de éstos, cuáles son imaginarios puros.

42

Respuestas:

Son reales: 7, 0 y – 7

Imaginarios:

Imaginarios Puros:

Ahora vamos a representarlos gráficamente:

33.- Obtener las soluciones de las siguientes ecuaciones y representarlas

gráficamente:

Representación gráfica de estas dos soluciones:

43




34.- Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:

1º.-

Opuesto: - 3 + 5 i

Conjugado: 3 + 5 i


44

2º.-

Opuesto: - 5 - 2 i

Conjugado: 5 + 2 i


3º.-

Opuesto: 1 + 2 i

Conjugado: - 1 + 2 i


45

4º.-

Opuesto: 2 - 3 i

Conjugado: - 2 - 3 i


5º.-

Opuesto: - 5

Conjugado: 5


6º.-

Opuesto: 0

Conjugado: 0 Representación gráfica de estas dos soluciones:

7º.-

Opuesto: - 2 i

Conjugado: - 2 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

46

8º.-

Opuesto: 5 i

Conjugado: 5 i Representación gráfica de estas dos soluciones:

35.- Sabemos que i2 = - 1. Calcular:

1º.-

Antes de comenzar, este ejercicio, es para refrescar nuestra memoria, sobre las

potencias de i.

Lo vamos a volver a escribir, para refrescarlo:

“Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.”





iº = 1 i1

= i

i2 = - 1

i3 = - i

i4

= 1

Solución:

47

2º.-

Echando un vistazo a la tabla anterior, tenemos la solución:

Solución:

3º.-

Solución:

4º.-

Solución:

5º.-

Solución: “Las potencias de i, cuyo exponente es múltiplo de 4 son iguales a 1 “

6º.-

Solución:

7º.-

Solución:

8º.-

Solución:

36.- Efectúa las siguientes operaciones y simplificar el resultado:

1º.-

Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Vamos a ello:

48

Solución:

2º.-

Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Vamos a ello:

Solución:

3º.-

Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación:

Por tanto, una vez hechas operaciones, resulta:

Solución:

4º.- Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación:

Por tanto, una vez hechas operaciones, resulta:

Solución:

5º.-

Lo primero que haremos, será sacar paréntesis. Es una multiplicación:

49

Antes de continuar multiplicando por el segundo paréntesis, vamos a efectuar

operaciones en el 1º, para simplificar la operatoria y tratar de evitar errores, or

hacerlo muy complicado.

Ahora si, vamos a efectuar la multiplicación final de ambos paréntesis:

Por tanto la solución del ejercicio es:

Solución:

6º.-

¿Y nos acordamos a estas alturas de cómo se efectúa la división de números

complejos?

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo.

Bueno, llegado este momento, vamos a recordarnos de la teoría, para poder continuar

o al menos iniciar la resolución de este ejercicio.


denominador.


conjugado del denominador

¿Y cuál es esa historieta del complejo del numerador?

Para los No muy burros, es el denominador cambiado de signooooooooooooooooooooooo.

Por tanto el complejo en este caso será: ( 4 + 2 i) ¿Difícil, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh?

50

Vamos a efectuar operaciones en el numerador, teniendo en cuenta como siempre, que

la expresión i2 = - 1

Solución:

7º.-

Es el mismo ejemplo que el ejercicio anterior. Tratan de que nos acordemos de cómo

se efectúa la división de números complejos, teniendo en cuenta que quieren que nos

demos cuenta de utilizar el “complejo del denominador”

No tiene otra complicación, ni dificultad añadida.

Además nos obligan a recordar el tema de potencias de números complejos, para

darnos cuenta de los cambios que tenemos que hacer en determinados momentos de los

cálculos.


denominador.


conjugado del denominador

Si el denominador es 3 + i, el conjugado será la misma expresión, cambiada de signo,

en este caso, sería: 3 – i.

Vamos a efectuar operaciones en el numerador, teniendo en cuenta como siempre, que

la expresión i2 = - 1

Este resultado, todavía lo podemos “pulir un poco” para dar un resultado, un poquito

más coherente. Nos quedaría:

51

Solución:

8º.-

- La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.


denominador.

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene

por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Resumiendo el conjugado de un número complejo, es el propio numero complejo,

cambiado de signo la parte imaginaria.

Seguimos haciendo operaciones en el numerador y denominador, teniendo en cuenta el

valor de la potencia i2.

Solución:

9º.-

Vamos a racionalizar el denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el

denominador por el complejo conjugado del denominador:

Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1.

Solución:

52

10º

La división de números complejos se realiza “racionalizando” el denominador.


denominador.

Ya hemos hecho la transformación de i2 = - 1

Solución:

11º

Vamos a racionalizar el denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el

denominador por el complejo conjugado del denominador:


Solución:

12º

Lo primero que vamos a hacer, es multiplicar por 3 todo el paréntesis:

Y aunque parezca mentira, ejercicio resuelto.

Solución:

53

13º

Lo primero que vamos a hacer es elevar – 3 i al cuadrado, para seguir haciendo

operaciones.

Vamos a racionalizar el denominador. Es el momento idóneo, para ello:

Ya hemos sustituido el valor de i2 por – 1

Solución:

37.- Obtener polinomios cuyas raíces, sean:

a)

Ahora es otro gran momento, para ir haciendo operaciones y deshacer los paréntesis:


Solución:

Si resolvéis esta ecuación de 2º, es la mejor prueba, para ve que es cierto.

Podemos sacar esta conclusión: Cuando dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene

coeficientes reales.

54

b)

Lo mismo que el ejemplo anterior, vamos a multiplicar entre sí las dos raíces,

añadiendo una incógnita, por ejemplo la x.

Hacemos la transformación de i2 = - 1 y nos queda:

La prueba, es el resolver, está ecuación.

Por tanto, Solución:

Cuando dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales.

38.- Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi)2 sea un número imaginario

puro?

Lo primero que debemos preguntarnos es: ¿ Cuándo un número complejo es imaginario

puro?

La Respuesta: Cuando la parte real es nula. Es decir vale 0, de de otro modo: Cuando

el número imaginario NO tiene parte real.

Vamos a desarrollar el cuadrado, dado en el enunciado:

Haremos hecho la transformación de i2 = - 1

El siguiente paso, es igualar la parte real a 0, para ver de encontrar una solución. Y

resolvemos la ecuación propuesta con este paso.

Soluciones:

39.- Representar gráficamente la suma z1 +z2 y

comprobar que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

Lo primero que haremos, es sumar los dos números complejos:

La suma de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre

sí, y las partes imaginarias, también entre sí.

55

Vamos a representar gráficamente este resultado obtenido, junto con los dos números

dados en el enunciado:

40.- Pasar a forma polar los siguientes números complejos:

a).-



Bueno colegas bueno, ahora de nuevo a recordar el valor de las razones



damos cuenta que corresponde a un ángulo de 60º,


Por tanto la solución, es:

b).-



56

Bueno colegas más de lo mismo: toca de nuevo, recordar el valor de las razones



damos cuenta que corresponde a un ángulo de 30º



c).-


Antes de continuar, debemos acordarnos que i = -1, para sustituir este valor.


Como el nº tiene forma: a + b.i en este caso b= 1, ya que 1 . i = i

¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor -1.Rascándose la cabeza, nos damos

cuenta que corresponde a un ángulo de 45º.

Peroooooooooooooooooooooooooooooooooooooo la tangente de 45º = 1, con signo

positivo y aquí tenemos un signo negativo.

Bien vamos a traer a nuestra memoria esta parte de la teoría:

Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de

a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del

número complejo.


¿Por qué no hacemos un dibujo?

¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo? En el 2º.

Nos viene al ”pelo” porque la tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante.

57

Por tanto el ángulo será: 90º + 45º = 135º



d).-



Con la ayuda de una calculadora, y teniendo en cuenta que la tangente, es negativa en

el 2º y 4º cuadrante, llegamos a la conclusión que:


e).-

Este es un número imaginario puro. Es decir No tiene parte real.




damos cuenta que corresponde a un ángulo de 90º.


41.- Escribir en forma binómica los siguientes números complejos:

a).-

¿Halaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa? Y por donde comenzamos, será la primera

pregunta que cada una/uno nos planteamos.

Y la siguiente pregunta ¿para qué coño vale esto de los números complejos o

imaginarios?

58

Respuesta: Es necesario saberlos y punto pelota. Y el que o, la que no esté de

acuerdo, que se PONGAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.

Vamos a traer a nuestra memoria algún recuerdo de la “teoría” que debemos de

saber. Para eso se estudió:

Forma binómica Es la forma más sencilla de representarlo.

¿Cuál es la siguiente duda qué nos surge? Bueno, las de Dios diremos cada uno de

nosotras/nosotros.

Si somos un poquito lógicos, que para ello no sirven las dichosas matesssss, ¿en qué

forma viene dado en el enunciado este complejo?

Creo que en forma trigonométrica. Pues vamos a efectuar operaciones en esta forma,

y veamos a donde nos conduce.

Basta recordar, esto que escribimos a continuación.

a = r. cos x

b = r. sen x

Vamos a sustituir esos valores en la expresión del número complejo en forma binómica:

A la expresión: se la llama forma trigonométrica del

complejo a+bi.

Creo que es un buen momento, para comenzar a solucionar el ejercicio:

¿Y ahora, quéééééééééééééééééééé´pasa? ¿Cómo nos tragamos este marrónnnnn?

Si no somos ni burras/burros, tenemos que pensar que tendremos que buscar en

grados sexagesimales, la correspondencia en radianes.

Para ello, tenemos una figura,

preciosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, para usarla de

vez en cuando.

Es necesario evolucionar y

aprender, para ser un poco menos

burras/burros

59

Es esta que sigue a continuación:

Otro problema resuelto, ehhhhhhhhhhhhhh

Se corresponde con un ángulo de 30º.

Ya que

Que alguien diga que no sabe los valores

del seno y coseno de un ángulo de 30º.

Entonces es un buen momento, para sustituir estos valores del ángulo de 30º en la

fórmula que hemos obtenido anteriormente.


b).-

Ahora, ya somos un poquito lógicos, ¿en qué forma viene dado en el enunciado este

complejo?

Creo que en forma trigonométrica. Pues vamos a efectuar operaciones en esta forma,

puesto que ya hemos solucionado el ejercicio anterior.

Pero como siempre en la vida: Nada es fácil y en este ejercicio nos introducen una

nueva variante y, es facilitarnos un ángulo del que “aparentemente” no conocemos sus

razones trigonométricas, para poder sustituirla en la fórmula correspondiente.

Poro no es así, puesto que tenemos una “cachola” para pensar un pelínnnnnnnnn.

¿Qué hacer, bwana? Algo tan sencillo, como situar el ángulo en el primer cuadrante,

teniendo “excesiva” precaución en mantener los signos del 2º cuadrante, que es en

realidad el ángulo dado.

Entonces, para que nadie se “hernie mentalmente” 135º-90º = 45º.

¿Alguna burra o algún burrancán, no se acuerda de los valores de las razones

trigonométricas del ángulo de 45º?

Sencilla respuesta: Que las repaseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee.

60

Ahora es el momento de ir a la fórmula correspondiente y sustituir los valores

correspondientes.

Por tanto, el ángulo de 135º, traspaso al primer cuadrante, respetando los signos,

equivalen a un ángulo de 45º.

Con recordarnos del valor de estas razones, ya podemos sustituir en la fórmula

correspondiente.

Vamos a continuar efectuando operaciones:

Por tanto, la Solución es:

c).-

El ángulo de 45º, es más de un giro a la circunferencia. Por tanto, lo primero que

vamos a hacer es restar un giro completo que equivale a 360º.

495º-360º = 135º

Con lo cual es el mismo ángulo del ejemplo anterior, por tanto el resultado es el

mismo., Obviamente, no vamos a volver a repetir los cálculos

d).- Procedemos, como venimos haciendo hasta ahora, manteniendo un criterio propio, para

tratar de buscar una solución al ejercicio planteado.

¿Cuál es el ángulo correspondiente al dado en el enunciado, referido al 1º cuadrante,

para tratar de buscar unos valores de las razones trigonométricas conocidas y poder

sustituir estos valores en la fórmula a aplicar?

De entrada, ya sabemos una cosa: Que el ángulo de 240º está localizado en el 3

cuadrante.

Por tanto en ese 31 cuadrante, tanto el seno como el coseno son NEGATIVOS.

¿Y qué ángulo corresponde, referido al 1º cuadrante?

Hacemos esta resta: 240º-180º = 60º.

61

Por tanto las razones conocidas, serán las referidas a ángulos de 60º.

Vamos a comenzar las sustituciones en la fórmula correspondiente:

Si observamos, nos damos cuenta que los 2 signos son negativos, tanto seno como

coseno, por estar el ángulo localizo en el 3º cuadrante.

Seguimos haciendo operaciones. Multiplicamos ambas expresiones, por el 3 que

multiplica a todo lo que está dentro del paréntesis y obtenemos el resultado final.


42.- Escribir en forma binómico y en forma polar el complejo:

Echando un vistazo, vemos que ese número complejo nos lo dan en la forma

trigonométrica, por tanto es muy sencillo dar la solución para pasarlo a forma polar.

Sin hacer ningún tipo de operaciones, el número, expresado en forma polar: Solución =

Ahora, vamos a dar la otra solución que nos queda, y es pasarlo a forma binómica.

Seguimos haciendo operaciones, multiplicando el 8 por las dos expresiones dentro del

paréntesis:

Solución

43.- Sean los números complejos

a) Expresa z1 y z2 en forma binómica.

b) z1 .z2 y z2/z1 y pasa los resultados a forma polar

c) Compara los módulos y los argumentos de z1.z2 y z2/z1 con los de z1 y

z2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

62

a) Vamos a expresar los números dados en forma binómico, para ellos no tenemos más

que en la fórmula correspondiente, sustituir los valores de las razones trigonométricas

Seguimos haciendo operaciones y, multiplicamos el 4 por los sumandos del paréntesis:

La primera solución, es:

En la 2º parte de esta cuestión, nos facilitan un ángulo de 210º. Lo que tenemos que

hacer, es tratar de ver le equivalencia con un ángulo del 1º cuadrante, para poder

utilizar los valores de las razones trigonométricas conocidas.

Siempre con la precaución de los signos del seno y coseno, en función de en que

cuadrante está ubicado el ángulo dado.

En este caso 210º, corresponden al 3º cuadrante. En este cuadrante, tanto el seno

como el coseno, tienen signo negativo.

Para calcular el ángulo correspondiente al 1º cuadrante, como siempre hacemos la

siguiente resta:

240º-180º = 60º Este es el ángulo correspondiente al 1º cuadrante.

Vamos a comenzar las sustituciones en la forma correspondiente, relativa a ángulos de

60º.

La segunda solución a este apartado, es:

b) Vamos a efectuar el producto z1 . z2

¿Alguna/alguno se acuerda como se multiplican los números complejos?

¿Noooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo………………..? Bueno,

vamos a recordar la teoría.

Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma y

teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1

63

a + bi -c - di

Llegados a este punto, mucho “cuidado” Nos aparece la expresión i2. Es el momento

de sustituir por su valor numérico ya que i2 = -1.

Entonces este producto bd nos queda:

Bien ya tenemos los cuatro sumandos, resueltos, es cuestión de “articular la suma”:

Esta sería la solución en forma binómico, vamos a pasarlo a forma polar.

Otra forma de representar el número complejo (a+bi) es rx que se llama módulo-

argumental polar donde: R = módulo

X = argumento

Si r = 12

y x = 60º+210º = 270º

El nº obtenido, en forma polar es:

Ahora vamos a efectuar el COCIENTE de los dos números complejos.

Antes de seguir, creo que sería conveniente, traer a nuestra memoria, esa parte de

la teoría:

64



denominador.

Si el denominador es:

Por tanto, ya podemos comenzar con la división:

Ahora vamos a racionalizar el denominador:

Vamos a efectuar operaciones:

Vamos a comenzar por hacer operaciones con el denominador, puesto que es la parte

más sencilla.

Es una elección como otra cualquiera.

2 + 2 √3 i

2 – 2 √3 i

4 + 4 √3 i

- 4√3 i - (4.3.i2)

4 – 0 -12i2 Como i

2 = - 1 El denominador será: 4 + 12 = 16

Ahora seguimos con el numerador:

Lo primero que debemos de hacer, es simplificar para hacer la operación más sencilla.

Y podemos dividir todo entre 2.

65

Aquí si multiplicamos

Por otro lado, hacemos el cambio de i2 = -1

El numerador nos queda:

Por tanto:

Este es el resultado en forma binómico. Y tenemos que pasarlo a forma polar.

¿Cómo coño haremos, nos estamos preguntando?

1º Paso: Pasamos el complejo a forma polar:

a) Calculamos su módulo:

b) El Argumento: como estamos hablando en realidad, del cociente de dos número

complejos, el citado argumento vendrá dado, por la “diferencia” de los argumentos, de

los ángulos dados.

Por tanto, será: 210º -60º = 150º.

La solución a este apartado, es:

c).- El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que

tiene por mmmóóóddduuulllooo el ppprrroooddduuuccctttooo de los módulos y por aaarrrggguuummmeeennntttooo, la suma de los

aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

44.- Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en forma polar y en

forma binómica.

66

a).-

El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que



En forma binómico, sería:

El sen de 180º = -1 y el Cos de 180º = 0.

b).-

El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene

por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss



c).-

El producto de 2 números complejos en forma polar, es otro número complejo que




Ya sabemos una cosa el ángulo de 120 está localizado en el segundo cuadrante. Los

valores de las razones trigonométricas que conocemos se corresponden con el 1º

cuadrante.

Entonces vamos a ver que ángulo le corresponde: 120º-90º = 30º.

Aplicaremos los valores del ángulo de 30º, teniendo en cuenta que el seno en el 2º

cuadrante es positivo y el coseno es “negativo”

67

d).-

Por el enunciado, conocemos dos datos fundamentales:

1º.- Que es un cociente de complejos 2º.- Que el ángulo de

Y como son 2 veces Por tanto el enunciado dado, nos queda reducido al siguiente:





Seguimos haciendo operaciones y multiplicamos los sumandos del paréntesis, por 5.

e).-

1º.- Siguiendo nuestro método establecido, calcularemos el módulo.

2º.- Calculamos el argumento.

¿Cuál es la razón trigonométrica, cuya tangente toma el valor de √3?

Se corresponde con el ángulo de 60º en el 1º cuadrante.

Ahora, mucha precaución con el signo negativo. Nos tenemos que preguntar, siguiendo

un orden lógico.

68

¿En qué cuadrantes es negativa la tangente?

Respuesta: En el 2º y en el 4ª.

Como 60º está en el primer cuadrante, esta respuesta no nos vale.

Por tanto el ángulo está localizado en el 4º cuadrante.

¿Qué equivalente tiene en el 1º cuadrante?

Lo de siempre, haremos la resta correspondiente: 360º-60º = 300º.

Por tanto:

El número equivale a: Es el momento de efectuar la potencia.

Para ello, vamos atraer a nuestra memoria la teoría:

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por

mmmóóóddduuulllooo: lllaaa pppooottteeennnccciiiaaa nnn---ééésssiiimmmaaa dddeeelll mmmóóóddduuulllooo y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: “““ nnn “““ vvveeeccceeesss eeelll aaarrrggguuummmeeennntttooo del

complejo dado.

Sustituyendo valores en esta fórmula anterior, obtenemos:

Tenemos un ángulo de 1500º. Por tanto como tendremos que dar resultados en función

de ángulos relativos a un giro de la circunferencia, es decir de 360º, ¿Qué haremos?

Dividimos 1500º: 360º(que es un giro de circunferencia = 2 П k) = 60º.

Por tanto ya estamos en condiciones de dar el resultado en forma binómica:

Continuamos haciendo operaciones. Lo primero multiplicar el paréntesis y, a

continuación simplificar, para llegar al resultado pedido.

Por tanto en forma binómica es:

f).- 4 i

Este ejercicio es un caso especial, para que nos acordemos de algo esencial, que

hemos visto en la teoría, en el momento oportuno.

69

--- SSSiiieeemmmppprrreee dddeeebbbeeerrreeemmmooosss ttteeennneeerrr eeennn cccuuueeennntttaaa qqquuueee eeelll nnnººº

--- “““ iii ””” tttiiieeennneee cccooommmooo MMMóóóddduuulllooo 111 yyy cccooommmooo aaarrrggguuummmeeennntttooo

--- 999000ººº...

Por tanto cuando multiplicamos un nº complejo por “ i “,

ocurre:

- El Módulo queda multiplicado por 1: NO varia

- El Argumento: es igual al argumento inicial más 90º.

Esto quiere decir que geométricamente equivale a un

giro de 90º en sentido “contrario” a las agujas del

reloj.


45.- Dados los complejos

obtener en forma polar:

a) z. w

El producto de nºs en forma polar, se calcula de esta forma:

El Módulo = Es el producto de los módulos.

El Argumento = Es la suma de los argumentos de ambos nºs.

La solución de este primer apartado, es:

b)




En todos los ejercicios, siempre nos proponen algo oculto, para evitar que tan solo,

tomemos los datos del enunciado y nos dediquemos a sustituir valores en unas fórmulas

que conocemos de memoria.

Por tanto, siempre deberemos estar alerta, para tratar de “localizar” lo “oculto” y

darle la solución correcta.

En este ejercicio, concretamente, eso “oculto” se trata de que en el denominador, el

paso previo antes de sustituir los valores dado en el enunciado, efectuemos una

potencia de números complejos.

70

Vamos a ello:

Para ello, vamos atraer a nuestra memoria la teoría:



complejo dado.

El denominador quedaría, de la forma siguiente:

Ahora, si el momento de sustituir valores en la fórmula del cociente:

La solución, a este apartado es:

c)

En ese caso eso “oculto” que en realidad, salta a la vista, es lo siguiente: En el

denominador, tenemos una combinación de un producto por una potencia.

Será conveniente calcular primero la potencia y a continuación, efectuar el producto

correspondiente, para simplificar cálculos.

Estas son elecciones personales, que cada uno tiene que hacer a su manera. Pero es

bueno, el tener un método propio, para reducir al máximo el nº de errores.

Yo voy a proceder a “deshuesar el ejercicio” a mi manera.

Lo primero que voy a hacer, es calcular la potencia del numerador. Es lo más sencillo

y ya es un camino andado.

Numerador: Listo para sustituir en el enunciado

Denominador:

1º: Calculo la potencia de t2

2º.- Calculo el producto:

Ya lo he calculado. Ahora sustituyo

en el enunciado.

Ahora aplicaré la fórmula del cociente de nºs complejos.

71




Ahoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa si nos encontramos con lo

“oculto”. ¿Por qué?

¿Cómo interpretamos este argumento negativo? Arreaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa………

Vamos a darle vueltas al coco un ratito, porque es sencillo, ya que en casi todos los

ejercicios estamos haciendo transformaciones de ángulos, para “recolocarlos” en unos

cuadrantes u otros.

Este es el caso. Por tanto, muy despacito, usando la lógica, cada uno a su manera.

Vamos a recordarnos de algo que hemos visto en la teoría:

1º.- Argumento del número complejo: a+bi es el ángulo que forma el semieje positivo

de las abcisas con la recta que contiene el vector

2º.- En la expresión: hay infinitos ángulos que cumplen la

igualdad.

Restringiendo el valor de x: solamente hay 2 ángulos que difieren

en ∏ y tienen la misma tangente.

Entonces “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en cuenta los signos de

a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del

número complejo.


Puede parecer un poco complicado a simple vista, pero lo vamos a “ver gráficamente”

para hacerlo muy sencillo y, entendernos.

¿Normalmente, qué estamos haciendo para “encuadrar argumentos de ángulos” y

“recolocarlos” en el 1º cuadrante, para poder sustituir el valor de sus razones

trigonométricas conocidas?

Hasta ahora, siempre procedíamos: 360º - “el ángulo que queríamos “recolocar” y

este resultado, nos decía a que ángulo se correspondía en el 1º cuadrante.

Como en este caso dado, el argumento es negativo, procedemos de la forma inversa:

360º + “el argumento negativo(que en este caso es el “recolocado), nos dirá a que

ángulo se corresponde en realidad.

72

Resumiendo: lo hacemos al “revés de lo que veníamos haciendo, porque partimos de la

base que tenemos el ángulo “recolocado” y queremos calcular el ángulo real.

Por tanto y, dejando de enrollarnos como pulpos, aplicamos:

360º+(-60º) = 300º

Nunca perdamos de vista una cosa importante: Cuando hablamos de argumentos de

ángulos, los resultados pueden considerarse como el cálculo de la tangente, que

obtenemos al dividir el coeficiente de la parte imaginaria entre el coeficiente de la

pare real del número complejo.

Por tanto, siempre estamos hablando de equivalencias de cálculos de tangentes.

Esto nos tiene que servir “siempre” para tener presente el signo de esta razón

trigonométrica en el cuadrante correspondiente

Si no está muy bien explicado, lo siento. No lo se exponer mejor. Y que no sirva para

enrollarossssssssssssssssssss, sino tan solo para aclararosssssss….. en todo momento.

La tangente “negativa” en el 4º cuadrante.

Por ello -60º del 1º cuadrante, son realmente 300º .

Es un poco rollito, pero nos sirve, para no olvidarnos de estos matices.

d)

En el numerador, tenemos una combinación de un producto por una potencia.

Será conveniente calcular primero la potencia y a continuación, efectuar el producto

correspondiente, para simplificar cálculos.

Numerador:

1º.- El cálculo de la potencia, es:

2º.- El producto de los dos factores:

Ahora es el momento de sustituir los valores, en la fórmula dada en el enunciado:

Aquí, está la “variante” a la que estamos llamando lo “oculto”.

¿Cómo interpretamos este resultado obtenido?

Algo tan sencillo, como que el argumento del nº complejo es un ángulo de 0º.

73

Y 0º ¿qué significado tiene? Tan sencillo, como que se trata de un número real.

Por tanto no tiene parte imaginaria. Por tanto:

La solución, a este apartado es:

46.- Calcular las raíces sextas de 1. Representarlas y expresarlas en forma

binómica.

Supongamos que la raíz n-ésima del número complejo

Entonces tenemos:

Si damos valores enteros a k desde 0, hasta n-1 obtenemos “ n “ argumentos

distintos que cumplen la condición impuesta.

Para k ≥ 0 se obtienen argumentos que difieren de los anteriores en un número entero

de 2 ∏ radianes y coinciden con alguno de los anteriores.

Podemos enunciar lo siguiente: LLLaaasss rrraaaíííccceeesss nnn---ééésssiiimmmaaasss dddeee uuunnn nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo sssooonnn nnnúúúmmmeeerrrooosss

cccooommmpppllleeejjjooosss qqquuueee tttiiieeennneeennn dddeee mmmóóóddduuulllooo lllaaa rrraaaííízzz nnn---ééésssiiimmmaaa dddeee mmmóóóddduuulllooo yyy pppooorrr aaarrrggguuummmeeennntttooo:::


El módulo será:





un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5.

Ya sabemos algo importante. Es un numero real, ya que carece de parte imaginaria.

Para k = 0

74

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3

Para k = 4

Para k =5

Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. Vamos a recordar la

fórmula correspondiente y comenzar las sustituciones:

Sabemos que el módulo r = 1

Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo.


Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo.

Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo

75

Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno con signo negativo.

Angulo del cuarto cuadrante, seno negativo y coseno con signo positivo.

Ahora es el momento de representarlo gráficamente:

47.- Resolver la ecuación

Vamos a despejar z en la ecuación dada.


El módulo será:




Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria


un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2.

Para k = 0

Para k =1

76

Para k =2







48.- Calcular

En este tipo de ejercicios, lo primero que se nos debería de ocurrir es hacer un

dibujo, para ver donde está ubicado la i del enunciado.

Vamos a ello, para “verlo” mucho más claro:

Ya sabemos algo importante.

El nº i, está situado sobre el eje de

las

ordenadas y el ángulo está localizado

en el 3º cuadrante.

Vamos a tratar de calcular el módulo del número.

Para ello, ya sabemos que tiene la forma de: a + b i. Es un número imaginario puro.

77

Lo primero, antes de sustituir en la fórmula, para calcular su módulo:

Por tanto:

Ahora, le toca el turno al argumento:

¿Y cuál es el ángulo que tiene como valor de la razón trigonométrica ∞?

La respuesta es: Existen dos ángulo que cumplen con este requisito, el de90º y el de

270º.

¿Cuál será de ambos? Pues el de 270º, ya que tiene signo negativo.

Por tanto: arg (z) = 270º





Ya sabemos algo importante. Es un número imaginario puro, ya que carece de parte

real.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2




78

Angulo del primer cuadrante, seno y coseno con signo positivo

Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno con signo negativo.

Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º + α

¿Qué razones aplicaremos? Traspasamos el ángulo al primero cuadrante, como

siempre: 360º - 330º = 30º



Vamos a despejar x en la ecuación dada.


El módulo es:


Puesto que está situada sobre el 2º cuadrante. Afijo negativo.




un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3.


real.

Para k = 0

Para k = 1

79

Para k = 2

Para k = 3

Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. La fórmula correspondiente

es:



Valores aplicadas: 180º-135º = 45º. Las del ángulo de 45º.



Angulo del tercer cuadrante, seno y coseno signo negativo.



50.- Resolver la siguiente ecuación: Vamos a despejar x en la ecuación dada.

El módulo, es:

El número complejo es de la forma: 1 + 0 i. Es un número real


80

Puesto que está situada sobre el 2º cuadrante. Afijo negativo.




un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5.


real.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3

Para k = 4

Para k = 5

Vamos a pasar los resultados obtenidos a forma binómica. La fórmula correspondiente

es:





Angulo del segundo cuadrante, seno con signo positivo y coseno signo negativo.

81

Valores aplicadas: 180º + 30º = 210º. Las del ángulo de 30º. Ángulos que difieren

en 180º + α.




51.- Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo

son los resultados de las siguientes operaciones:

a).- z . w

Ya veréis como este ejercicio es muy sencillo de hacer. Parece que nos da un poco de

miedo, pero con un razonamiento sencillo, no lo va a ser.

z y w son raíces sextas de 1 ya que:

b).-

c).- z2

c).- z3

52.- Calcular las siguientes raíces y representar gráficamente sus

soluciones.

a)-

82

1º.- º Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de

la forma a + 0 i

2º.- Vamos a calcular su argumento:

Hay dos ángulos que pueden cumplir esta condición, el de 0º y el de 180º. Como la

raíz tiene signo negativo, significa que el ángulo pedido es de 180º. Es un argumento

negativo.





tiene de índice 2, daremos valores comprendidos entre 0 y 1.

Para k = 0

Para k = 1

Estas raíces, gráficamente, las representamos:

b)- 1º.- Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de la

forma a + 0 i

Antes de hacer el cálculo del módulo, vamos a efectuar esta operación:

83

Por tanto el módulo de esta raíz, será:

2º.- Vamos a calcular su argumento

Hay dos ángulos que pueden cumplir esta condición, el de 0º y el de 180º. Como la

raíz tiene signo negativo, significa que el ángulo pedido es de 180º. Es un argumento

negativo.





tiene de índice 3, daremos valores comprendidos entre 0, 1 y 2.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Vamos a pasar estos números a forma binómica, para poder representarlos:

Angulo del primer cuadrante: Seno y coseno positivos.

Angulo del segundo cuadrante: coseno Negativo y Seno Positivo

Hemos aplicado la fórmula de 360º-300 = 60º

84

Angulo del cuarto cuadrante: Seno negativo y Coseno positivo.

Su representación gráfica es:

c)-

Antes de calcular el módulo, con objeto de facilitar el cálculo del mismo, vamos a

efectuar operaciones independientes: por una parte vamos a calcular el módulo del

numerador, suponiendo que no hubiese denominador, ni tan siquiera la raíz cúbica.

En resumen tomamos como nº dado: 1 - i

El módulo de este número, sería:

Ahora, hacemos lo mismo con el denominador:

1º.- Ahora es el momento de calcular el módulo verdadero. Sustituimos los valores

calculados:

Era un poco liante, pero ya tenemos el módulo calculado.

Ahora vamos con el argumento, que lo mismo que con el módulo, vamos a efectuar

cálculos por separado, a ver a donde nos conducen.

La parte del numerador: 1 – i su argumento sería:

Por tanto, cuando la tangente, toma como valor – 1, el ángulo correspondiente es:

315º

85

Por tanto argumento de 1-i (numerador) = 315º

La parte del denominador: 1 + i. Su argumento sería:

Por tanto, cuando la tangente, toma como valor 1, el ángulo correspondiente es: 45º

Por tanto argumento de 1+i (denominador) = 45º

El cociente de 2 números complejos en forma polar es otro número complejo

que tiene por mmmóóóddduuulllooo: el cccoooccciiieeennnttteee dddeee lllooosss mmmóóóddduuulllooosss y por aaarrrggguuummmeeennntttooo: la

dddiiifffeeerrreeennnccciiiaaa dddeee lllooosss aaarrrggguuummmeeennntttooosss...

El complejo de la parte del numerador, en realidad, sería:

El complejo de la parte del denominador, en realidad, sería:

El cociente de ambos, sería:

Con lo cual el argumento del numerador es de: 270º.

Ya tenemos todos los datos, podemos comenzar a calcular las raíces:






Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Ahora vamos a pasarlos a forma binómica, para poder representarlos gráficamente:

86

Angulo del primer cuadrante: Seno y coseno positivos.

Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en 180º+ α.




Su representación gráfica, es:

d)-

1º.- Vamos a calcular el módulo correspondiente. Ya sabemos que el número es de la

forma 0 + b i


El ángulo que cumple esta condición, es el de 90º.




87



Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para representar gráficamente estas soluciones, vamos a pasar estos resultados a

forma binómica.

Ángulo correspondiente al 1º cuadrante: Seno y Coseno positivos.

Ángulo correspondiente al 2º cuadrante: Seno Positivo y Coseno Negativo.

Hemos aplicado la fórmula: ángulos que difieren en 180º - α

Su representación gráfica es la siguiente:

53.- Calcular en forma binómica, los siguientes números complejos:

a).-

Vamos a recordar un poco la teoría una vez hemos echado un vistazo. Y para evitar

errores, comos siempre, vamos a utilizar nuestro método propio.

Comenzamos haciendo operaciones tan solo con el numerador, que es un producto de

complejos.

88

Se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma y

teniendo siempre en cuenta que i2 = - 1

Ahora ya estamos en condiciones de resolver íntegramente el ejercicio propuesto,

quedando reducido a un cociente de números complejos.



denominador.

La solución es:

b).-

Lo mismo que en el ejercicio anterior. Tenemos un cociente de complejos, pero

siguiendo nuestras normas, vamos a efectuar operaciones con el denominador por si

solo, ya que es un producto de complejos.

Ahora ya estamos en condiciones de resolver íntegramente el ejercicio propuesto,

quedando reducido a un cociente de números complejos.

La solución es:

c).-

89

Comenzamos haciendo operaciones tan solo con el numerador, que es un producto de

complejos.

Ahora haremos globalmente el ejercicio, puesto que es un simple cociente de números

complejos:

La solución es:

d).-

Vamos a tomar cada fracción de forma individual, para efectuar su propio cociente.

1ª Fracción:

2ª Fracción:

Ahora llega el momento de hacer la suma total: Es una suma de fracciones normal y

corriente

La solución es:

54.-Dado el número complejo prueba que:

a).-

Lo primero que podemos hacer es: Elevar al cuadrado el valor de z, dado en el

enunciado, para después poder sustituir este valor, en la ecuación dada en este

apartado.

90

Ahora vamos a sustituir el valor de z y de z2 en la ecuación dada.

z z2

Seguimos haciendo operaciones:

Con lo cual queda perfectamente demostrado que se cumple.

b).-

Lo primero que hacemos es sustituir el valor de z, por el dado en el enunciado.


Como en el apartado anterior a), habíamos calculado el valor de z2 vemos que

efectivamente también se cumple esta igualdad, con lo cual queda demostrado que es

cierta.

Cosas que hemos hecho en las operaciones:

1º.- Unificamos denominador

2º.- Es un cociente de complejos.

3º.- Es el valor de z2 obtenido en el apartado a.

91

55.- Calcula m y n para que se verifique la siguiente igualdad:

Así, a primera vista, parece que no nos da un “buen rollito” porque no tenemos ni

puñetera idea de por donde meterle mano.

Y una preguntita sin mala leche: ¿Y si jugamos un poquito a ordenarlo de otra manera?

Porque al ser un número complejo, tiene una parte real y otra imaginaria. Aquí parece

que con toda la mala uva del mundo, están mezclados este concepto al que aludimos.

Es lo que venimos hablando de “cosas ocultas” Y no estamos hablando de Ovnis, ni

otras cosas raras.

Bueno, entonces, tanto el número 2 y la letra n, serán las partes reales del número.

Vamos a colocarlo, utilizando este criterio y nos queda:

Ya hemos dado un pequeño pasito hacia delante. Tenemos el número ordenado. Tiene

su parte real y también la imaginaria.

Biennnnnnnnnnnnnnn…………….. en el 2º miembro de la ecuación, tenemos una parte real

y otra imaginaria.

Y ahora otra preguntita sin mala “enjundia, ehhhhhhhhhhhh”. ¿qué pasará si igualamos

la parte real del 1º termino con la del 2º y la parte imaginaria del 1º, con la del 2º

miembro, también?

Si no probamos, jamás llegaremos a ningún sitio. Pues amoooooooooooooooooooojjjjjjjjj

ayyyyyyyyyyyyyyyyyyyáááááááááááááááááá.

56.- Determinar k, para que el cociente: sea igual a 2 – i.

Lo primero que vamos a hacer, es efectuar esta división de complejos.

Hemos sustituido el valor de i2 por -1

92

Antes de continuar, vamos a efectuar un pequeño cambio, para “prepararnos a nuestra

manera” el numerador.

Vamos a agrupar por un lado las partes reales y por otra parte las partes imaginarias

del resultado obtenido anteriormente.

Operaciones que hemos hecho:

1º.- Separar partes reales de imaginarias.

2º.- Cambiar de lugar términos y sacar factor común i.

Ahora es el momento para resolver el ejercicio propuesto:

Esta es la ecuación tal cual queda, para resolver. Con igualar las partes reales 2 y las

imaginarias a –i = -1, ya tenemos la ecuación propuesta.

La solución es: k = 3

57.- Calcular a y b de modo que se verifique

Lo primero que haremos, es desarrollar el cuadrado.

Ahora la ecuación dada, nos queda de la forma siguiente:

Hemos cambiado el valor de i2, por su valor = -1

En este tipo de problemas, siempre se procede de la misma forma: Se igualan las

partes reales y las parte imaginarias. Se resuelve la ecuación y listo.

Ahora sustituimos este valor en la primera ecuación, para obtener el resultado.

93

Por tanto: Si y si

58.- Dados los complejos 2 – ai y 3 - bi. Calcular a y b para que su

producto sea igual a 8 + 4i.

El enunciado expresado en forma matemática, nos queda de la forma siguiente:

Vamos a hacer operaciones:

Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1

Aplicamos el método establecido: Igualar las partes reales entre sí y, las imaginarias

lo mismo.

Sustituimos este valor de b en la 1ª ecuación:

Y ejercicio resuelto.

59.- Calcula el valor de a y b para que se verifique la siguiente igualdad:

Lo primero que vamos a hacer, es sacar denominador, multiplicándolo por la 1º parte

de la igualdad.

94

Vamos a efectuar el cambio de valor de i2 por -1, para a continuación igualar las

partes reales entre si y las imaginarias, también.

Sustituimos el valor de en la 2ª ecuación y resolvemos:

Y asunto liquidado.

60.- Calcular el valor de b para que el producto (3-6i) (4+bi) sea:

a) Un número imaginario puro

b) Un Número real.

Lo primero que debemos de hacer, es efectuar el producto y separar las partes

imaginarias de las partes reales.

Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1

a) ¿Para que un número complejo sea imaginario puro, qué condición tiene que

cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte real no exista, sea nula, es decir sea CERO.

Aquí estaba eso que llamamos nosotros de alguna forma “oculto”. Es tan solo saber

“leer” lo que dice el enunciado.

Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte real.

b) ¿Para que un número complejo sea un número real, qué condición tiene que

cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte imaginaria no exista, sea nula, es decir sea

CERO.

Aquí estaba eso que llamamos nosotros de alguna forma “oculto”. Por tanto, vamos a

igualar a 0, la parte imaginaria.

Ejercicio resuelto.

95

61.- Calcular a para que (a -2i)2 sea un número imaginario puro.

Lo primero que debemos de hacer, es desarrollar el cuadrado.

Ya hemos cambiado el valor de i2 por -1 y hemos agrupado partes reales e

imaginarias.

c) ¿Para que un número

d) complejo sea imaginario puro, qué

e) condición tiene que cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte

real, sea nula, es decir sea CERO.

Por tanto, vamos a igualar a 0, la

parte real y resolver.

62.- Calcula x para que el resultado del producto (x+2+ix) ( x-i) sea un

número real. Procedemos como siempre, lo primero, vamos a efectuar el producto:

A continuación, vamos a agrupar partes reales e imaginarias.

¿Para que un número complejo sea un número real, qué condición tiene que cumplir?

Algo tan sencillo como: Que su parte imaginaria sea CERO.

Por tanto, vamos a igualar a 0, la parte imaginaria.

63.- Representar los siguientes números complejos, sus opuestos y sus

conjugados y, expresarlos en forma POLAR.

a) 1 - i

Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por:


96

2º.- Calculamos su argumento:

¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumple el ángulo de

315º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante.

Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por eso está en el 4º cuadrante.

Esto lo vamos a ver cuando lo representamos gráficamente.

Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es:

Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e

imaginaria.

Por tanto el Opuesto al dado, será:






Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por eso está en el 2º cuadrante.


Bueno, es por esto: “ojito” para saber cual es el “argumento”, tendremos en

cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos en que cuadrante

está situado el “afijo” del número complejo.


Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es:

En forma POLAR este Opuesto es:

Ahora vamos a calcular su Conjugado: Número complejos conjugados son los que difieren TAN SOLO en el signo de la parte

imaginaria.

Por tanto el conjugado al dado, será: 1 + i


97



45º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante.



“argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma averiguaremos

en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo.


Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: 1 + i

En forma POLAR este Conjugado es:

Es el momento de representarlos todos ellos gráficamente y ver de forma clara, lo

que decíamos sobre el tema de argumentos y afijos.

b) - 1 + i Aplicando nuestro método que hemos establecido, vamos a comenzar por:











98


imaginaria.

Por tanto el Opuesto al dado, será: 1 - i











Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: 1 - i



imaginaria.

Por tanto el conjugado al dado, será: - 1 - i










99

Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es: -1 - i




c)













imaginaria.





100









imaginaria.

Por tanto el conjugado al dado, será:



¿Cuál es el ángulo que tiene por tangente el valor calculado? La cumplen los ángulos de

150º y 330º. Ya que la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante.






Por tanto 3ª respuesta. El nº Conjugado es:




Vamos a representarlo:

101

d)





30º y 210º. Ya que la tangente es positiva en el 1º y 3º cuadrante.








imaginaria.








102




imaginaria.















e) – 4

Lo primero que sabemos, es que se trata de un número real., ya que no tiene parte

imaginaria.

Por tanto el número es de la forma: 1 + 0 i



103



0º y 180º. Está situado sobre el eje de abcisas.

Pero sabemos que el módulo del nº dado es negativo. Por tanto el ángulo es de 180º



imaginaria.

Por tanto el Opuesto al dado, será: 4





0º y 180º. Está situado sobre el eje de abcisas.

Pero sabemos que el módulo del nº dado es positivo. Por tanto el ángulo es de 0º

Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: 4



imaginaria.

Por tanto el conjugado al dado, será: 4

Por tanto, el OPUESTO Y EL CONJUGADO, SON EL MISMO NUMERO.

104

e) 2i

Ya sabemos que el número complejo es un imaginario puro, puesto que no tiene parte

real. El número es de la forma: 0 + b i.





90º. Está situado sobre el eje de ordenadas.



imaginaria.

Por tanto el Opuesto al dado, será: - 2 i






Por tanto 2ª respuesta. El nº Opuesto es: - 2 i



imaginaria.

Por tanto el conjugado al dado, será: - 2 i


105

f)

Ya sabemos que el número complejo es un imaginario puro, puesto que no tiene parte

real. El número es de la forma: 0 + b i.








imaginaria.







106




imaginaria.



h)











Por tanto 1ª respuesta. El nº en forma Polar es: Ahora vamos a calcular su Opuesto: Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e

imaginaria.


107














imaginaria.












108


64.- Escribir en forma binómica los siguientes números complejos:

a)

b)

Si П = 180º,

c)

d)

e)

Si П = 180º,

109


a)



¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor 1. Existen 2 ángulos que tienen ese

valor, son los de 45º y 225º.

La tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante.

Sabemos que el módulo es negativo, por tanto se corresponde con el ángulo de 225º



b)



¿Cuál es el ángulo cuya tangente tiene por valor - √3. Existen 2 ángulos que tienen

ese valor, son los de 120º y 300º.

La tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante.

Sabemos que el módulo es positivo, por tanto se corresponde con el ángulo de 300º



66.- Calcular y representar gráficamente el resultado de los siguientes

números complejos:

110

a)

Lo primero que tenemos que descubrir es lo que llamamos “oculto” y en este caso, si

echamos un vistazo al numerador, vemos algo raroooooooooooooooooooooooooo………………

Tenemos “i” elevado a – 7. Es decir elevado a una potencia negativa.

¿Qué debemos de hacer? Pasarlo a un exponente positivo.

¿Y cómo? De la forma siguiente:

1º.- Hacemos este cambio:

2º.- Sacamos denominadores.

Ahora vamos a sustituir el valor de, de acuerdo a la potencia dei:

“Todas las potencias de i se repiten de 4 en 4.”





i 14

= 3 de cociente y 2 de resto, por tanto el exponente igual a 2

i 8 = 4 de cociente y 0 de resto, por tanto igual a 1.

Volvemos a sustituir el valor de i2 por -1.


111

b)

Aquí vamos a ser cuidadosos con las operaciones, para no cometer errores. Hay un

montón de ellas y vamos a ir paso paso.

Ahhhhhhhh

¿Por dónde Haciendo operaciones

comenzamos? con el numerador

Entonces:

1º.- Vamos a calcular el

numerador en forma polar.

2º.- Calcularemos el

denominador en la misma

forma.

1º Parte. Calculo del numerador:

1º.- Como siempre vamos a calcular el módulo:

2º- Ahora le toca el turno al argumento:




Es el ángulo de 315º




Por tanto el numerador nos queda de la forma siguiente:

Por el momento lo dejamos “aparcado” aquí, hasta calcular el valor del denominador.

2º Parte. Calculo del denominador:


112





Es el ángulo es el de 30º

Por tanto el denominador nos queda de la forma siguiente:

Es el momento de sustituir estos valores en el enunciado:

Vamos a efectuar esta división de complejos en forma polar.

Recordatorio de la teoría:




Lo tenemos todo preparado, para elevar al cubo numerador y denominador y, ver como

nos queda.

Vamos a hacer las operaciones de forma “gráfica” para que todas/todos los veáis muy

claro. Estamos trabajando con potencias y raíces.

Ahora es el momento de simplificar:

Esto en cuanto al módulo NO NOS OLVIDEMOS DEL ARGUMENTO, que también está

elevado al cubo:

Como es una potencia de complejos, tendremos que recordarnos como se procede con

el argumento:

113



complejo dado.

El módulo de esta potencia, es lo que hemos calculado.

Por tanto su argumento es: 285º x 3 = 855º.

Por tanto hemos llegado al siguiente resultado en forma polar:

Nos encontramos con un ángulo de 885º, por tanto sería conveniente expresarlo, en

forma de otro, cuyas razones trigonométricas conozcamos, y poder expresarlo en

forma binómica.

Recordar: Cada giro de la circunferencia son 360º. Por tanto 2 giros son 720º.

Si tenemos 855º -720º = Estamos en el 3º giro y describiendo un ángulo de 135º.

Por tanto: El número está situado en el 2º cuadrante.

Aplicamos las fórmulas de los ángulos que difieren 90º + α

Volvemos a hacer las operaciones forma “gráfica” para que no se pierda nadie en la

resolución del ejercicio. Vamos a multiplicar el módulo por los factores que hay dentro

del paréntesis:


67.- Calcular y representar gráficamente el resultado de los siguientes

números complejos:

a)

114

Lo primero que haremos como siempre, es calcular su módulo:












Para k = 0

Para k =1

Para k =2




115

Para efectuar los cálculos anteriores, nos hemos servido de una calculadora, ya que

las razones no son las de ángulos conocidos.


b)



Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo y ver otra posibilidad

en vez de hacerlo de forma directa, como hemos venido haciendo hasta ahora:

Sabemos que el número tiene la forma: 1 +0 i. Por tanto no tiene parte imaginaria.

Pero en el enunciado, tenemos una raíz cuarta. Por tanto el módulo verdadero, será la

raíz cuarta de 16.

Por tanto el valor del módulo es: 2




Y su módulo, además es negativo.






Para k = 0

116

Para k =1

Para k =2

Para k = 3






Hemos aplicado la fórmula de ángulos que difieren en α y – α


c)



117



Sabemos que el número tiene la forma: 0 +1 i. Por tanto no tiene parte imaginaria.

Pero en el enunciado, tenemos una raíz cúbica. Por tanto el módulo verdadero, será la

raíz cúbica de 8.




90º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de ordenadas.






Para k = 0

Para k =1

Para k =2




118




68.- Calcular pasando a forma polar y binómica, los siguientes números

complejos:

a)

Lo primero que se nos ocurrirá, será colocarlo de otra forma, ya que nosotros

estamos acostumbrados a verlo de la forma siguiente:





Pero en el enunciado, tenemos una potencia. Por tanto el módulo verdadero, será la

potencia de 2 elevado a la quinta.



119




Por tanto el ángulo es el de 60º.

El: “argumento”, tendremos en cuenta los signos de a y b. De esta forma

averiguaremos en que cuadrante está situado el “afijo” del número complejo.


Vamos a ver cual es el número pedido. Hemos calculado el argumento. Es un ángulo de

60º

Ahhhhhhhhhh

Está todo elevado a Por tanto el módulo que habíamos calculado era 25.

la 5ª, en el enunciado.

Y con el argumento, haremos lo mismo. Por tanto:

Antes de elevar a la 5ª el resultado, tenemos:

Aquí tenemos lo “oculto de marras”. Consiste en elevar

Este resultado a la 5ª, ya que es una potencia:

Por tanto:

1ª Solución: El número en forma polar es:

Ahora vamos a darlo en forma binómica:





2ª Solución: El número en forma binómica es:

b)

120

¿¿¿AAA dddóóónnndddeee vvvaaannn??? VVVuuueeelllvvvaaannn ¿¿¿CCCrrreeeeee qqquuueee sssooommmooosss ccciiieeennntttííífffiiicccooosss

pppooorrrfffaaaaaaaaaaaaaaaaaa………...¿¿¿QQQuuuééé pppaaasssaaa??? dddeee lllaaa NNNAAASSSAAA??? EEEssstttooo nnnooo

hhaayy qquuiieenn lloo rreessuueellvvaa

Buenoooooooooooooooooooooooooooooooo,con mucha calma, a ver como le metemos

mano.

1º.- Tenemos un producto de dos números complejos. Yo aportaría una idea. ¿Por qué

no calculamos primero en forma Polar el 1º factor. Después veremos.

Pero siempre es conveniente simplificar los cálculos, lo máximo posible.

Vamos a ello.

1ª Operación.- Calculamos el módulo del número:

“Ojitoooooooooooooooooooooooo” lo que llamamos oculto, se nos presente en forma de

potencia. Tenemos un complejo elevado a la 6ª.

Por tanto cuando calculemos el módulo y argumento, al final ese resultado, debemos

de efectuar una potencia. Era lo oculto.

Pero antes de nada, vamos a colocar el primer factor, tal cual estamos acostumbrados

a verlo:

“”””” Ojo con este resultado”””””””””” Al final deberemos de elevarlo a 6.

2ª Operación.- Calculamos el argumento del número:





121

“”””” Ojo con este resultado”””””””””” Al final deberemos de elevarlo a 6.

Entonces, hasta ahora, el número que hemos calculado es:

Como ya nos quedan más operaciones que hacer con este factor, es la hora de

efectuar la potencia que tenemos pendiente y, ya tendremos LISTO definitivamente

Este paso.

¡¡¡¡A mí también me huele muy mal

la respuesta obtenida!!!!!!!!!!!!

¿La trampa, dónde está?

Sencillamente en darse

cuenta de esto:

720º = 2 giros completos

a la circunferencia.

Por tanto el resultado

final es:

Hay que tener muy mala leche, para poner tantas trampas en el mismo ejercicio.

Por tanto el primer factor, es:

2º.- ¿Por qué no calculamos segundo factor en forma Polar.

Vamos a calcular el módulo correspondiente:

Ahora le toca el turno al argumento:




Entonces el ángulo es el de 330º.

Por tanto el segundo factor, es:

122

Ahora ya es el momento de efectuar el producto que nos indicaban en el enunciado.

Ya tenemos el resultado en forma polar:

Ahora vamos a pasarlo a forma binómica.

Ya tenemos el resultado en forma binómica:

c)





***** Ojo nos falta calcular la raíz cuarta de este módulo*******

Por tanto:

Este es el módulo pedido en el enunciado. Ya le tenemos calculado.

Ahora vamos a calcular el argumento:








Para k = 0

123

Para k =1

Para k =2

Para k = 3




Sabemos que el módulo r =




d)

Este el primer caso un poquito raro que se nos da y que no habíamos visto hasta

ahora. El número complejo tiene esta forma:

Por tanto es una división de complejos.

El numerador es un número real.

Entonces, el numerador en forma polar, será:

Ahora vamos a calcular el denominador en forma polar.

124



Vamos a efectuarlo por partes, para que resulte fácil el cálculo en vez de hacerlo de

forma directa.

Aquí la trampa o lo oculto, radica en que tanto este módulo que hemos calculado, como

el argumento que vamos a calcular es necesario ELEVARLO a la 5ª potencia.

Por tanto: No olvidarossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss….

2º.-Vamos a calcular el argumento.





Por consiguiente el numerador lo TENEMOS QUE ELEVAR A LA 5ª.

Por tanto el denominador nos queda de la forma siguiente:

El ejercicio dado nos queda de la forma siguiente:




En todos los ejercicios, siempre nos proponen algo oculto, para evitar que tan solo,

tomemos los datos del enunciado y nos dediquemos a sustituir valores en unas fórmulas

que conocemos de memoria.

Por tanto, siempre deberemos estar alerta, para tratar de “localizar” lo “oculto” y

darle la solución correcta.

Este ejercicio, tiene mogollón de trampas o cosas “ocultas” Ya vereis

125

Si no andamos muy vivos, no hay quien

lo resuelva.

Por tanto cuidado, para salvar cada

obstáculo planteado.

1º Paso que recomiendo: Simplificar.

El nº dado, nos queda:

2º Paso recomendable: Racionalizar el complejo. Nos queda de la siguiente forma:

Tenemos un lío de mucho lereleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee montado. ¿Por

dónde comenzar a deshuesar esta cabronada?

La madre que le parió al mono

este.

¿De qué se reirá, porque la

cosa no está para muchas

coñas.? No se por donde

seguirrrrrrrrrrrrrrrrrrr..

Auxiliooooooooooooo

Tranquiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii el personal, vamos despacio a ser lógicos y

razonables y con criterio, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.

1ª pregunta: ¿Cuántos grados tenemos en el denominador? Son 1.575º.

Bien, se me ocurre una cosa: ¿Y si lo dividimos entre 360º? Que es un giro completo

a la circunferencia?

1575 360 Es decir. Estamos en el 4º giro y con un ángulo de 135º

135 4

126

Por consiguiente, el número complejo, ya ha dado otro cambio y nos queda:

Ya no podemos hacer nada más, tan solo efectuar la división:

Y nos quedaría, de la forma siguiente:

Me cago en su leche, ¿un argumento negativo?

Nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo puede

serrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

Otra “trampa, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh.

Vale, pero vamos a ser lógicos y acordarnos de esta parte de la teoría:

Corolario: dos número complejos escritos en forma polar sssooonnn iiiggguuuaaallleeesss, siempre

y cuando sus mmmóóóddduuulllooosss sean iguales y sus aaarrrggguuummmeeennntttooosss difieran en siendo

k un número entero.

Siendo Z el conjunto de los números enteros

¿Y si damos un giro completo a la circunferencia, qué ocurrirá?

El argumento va a ser positivo. Y eso es lo que pretendemos:

Siendo k = 1 2 . 1 . П = 360º

360º + ( - 135º) = 225º. Ya estááááááááááááááááááááááááááá´

Por tanto el número dado en forma polar es:





Por tanto el número dado en forma binómica es:

Este ejercicio es completito y con muchas “cosas ocultas o trampas”.

127

e)

Biennnnnnnnn, en este caso, tenemos un cociente de números complejos.

Vamos a proceder por partes. Vamos a calcular el numerador.

1º.-Su módulo, es el siguiente:

2º.- Su argumento, será:





Vamos a calcular el denominador.

1º.- Su modulo es el siguiente:

2º.- Su argumento, será:





Por tanto el número dado, nos queda de la forma siguiente:

Vamos a simplificar en este momento, se nos irán las raíces de 2.

128

Por tanto el número en forma polar, nos queda de la siguiente forma:





Por tanto el número en forma binómica, es:

Es un número real. Y está situado sobre el eje de abcisas.

69.- Calcular m para que el número complejo 3 - m i tenga el mismo módulo

que

Bueno, tampoco es para ponerse

asíiiiiiiiiiiií……………………. Vamos a ver que

somos capaces de hacer. Pero sin

desesperarse.

Fijaos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Tenemos dos números complejos.

Veremossssssssssss por donde salir……

Comienza la operación “de desguace”

Un acosa antes de nadaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Si nos

fijamos tendremos que montar una ecuación.

Pero tenemos 2 incógnitas que son “m” e “i”.

¿Pero sabemos los valores que puede tomar “i” Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii,coño.

1º número dado en el enunciado: 3 – m i.

¿Y si lo colocamos en forma de raíz? Por supuesto no varía su valor absoluto.

¿Cómo lo haremos? Asíiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii…………………..

129

Elevando al cuadrado cada factor dentro de una raíz cuadrada.

¿De acuerdo?

Parece que no, pero hemos dado un paso importante. ¿Por qué? Porque podemos

“sustituir” el valor de i2 por – 1, y de esta forma eliminamos una “posible” incógnita.

Aquí nos plantamos y vamos a hacer con el otro complejo, otra operación:

Elevando al cuadrado: Es la operación contraria a la anterior.

Aquí está lo culto o la trampa de todos los ejercicios.

Fijaos: El primer factor “No aparecen raíces” Por tanto respuesta explícita.

En el segundo, aparecen las raíces. Por tanto respuesta implícita.

Entonces, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

¿Y si igualamos entre sí, las partes reales?

¿Por qué? Por que nos piden calcular el “módulooooooooooooooooooooooooooooooooooooo”

Por tanto las dos soluciones, son:

70.- Expresar en forma polar z, su opuesto y su conjugado en cada uno de

estos casos:

a)

En estos ejercicios, se trata de recordarnos cual es el opuesto y el conjugado de un

número complejo.

Como siempre, tendremos que seguir con nuestro método establecido:

1º.- Calculamos el módulo:

130

2º.- Calculamos el argumento:





El número z, en forma polar es:

Ahora vamos a calcular su opuesto.

Número complejos opuestos son los que difieren en el signo de la parte real e

imaginaria.

Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas.

Por tanto el opuesto al número dado, será:

Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo:

Ahora vamos a calcular su argumento:

¿Cuáles son los ángulos posibles, qué tienen como valor de su tangente el que hemos

calculado?

De entrada la cumplen, los ángulos de 120º y de 300º.


Y su módulo, también es negativo. Por tanto el ángulo es el de 300º.

Por tanto el Opuesto en forma Polar, será:

Ahora vamos a calcular su Conjugado:

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y

opuestas sus componentes imaginarias.

El conjugado es:

Vamos a calcular su módulo:

131

Ahora procedemos con el argumento:


calculado?



Pero su módulo es positivo. Por tanto el ángulo es el de 60º.

Por tanto el conjugado en forma Polar, será:

b)

Como siempre, lo primero vamos a calcular el módulo correspondiente:

Ahora procederemos a calcular su argumento:


calculado, es decir 1?



Pero su módulo es negativo. Por tanto el ángulo es el de 225º.

Por tanto el número dado, en forma Polar, será:

Vamos a calcular su Opuesto:


imaginaria.


Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo

Si “observamos” el módulo no varía.

Ahora vamos con el argumento:

132


calculado, es decir 1?




Por tanto el número opuesto, en forma Polar, será:




El conjugado es:


Si seguimos observando, el módulo, sigue sin variar.

Ahora calculemos su argumento:


calculado, es decir - 1?




Por tanto el número conjugado, en forma Polar, será:

c)

Como siempre, lo primero vamos a calcular el módulo correspondiente:


133


calculado?




Por tanto el número dado, en forma Polar, será:

Vamos a calcular su Opuesto:


imaginaria.


Seguimos, como siempre con nuestro método personal, vamos a calcular el módulo

Si “ seguimos observando” el módulo sigue sin variar en ningún caso.

Ahora vamos con el argumento:


calculado?




Por tanto el número opuesto, en forma Polar, será:




El conjugado es:


134

Si seguimos observando, el módulo, sigue sin variar.



calculado? La cumplen los ángulos de 30º y de 210º



Por tanto el número conjugado, en forma Polar, será:

71.- Representa el polígono regular que tiene por vértices los afijos de la

siguiente raíz:

A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del plano.

A este punto, se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii)))

Vamos a buscar las soluciones de este número complejo.

Sabemos que es de la forma: 0 + b i . Es decir es un número imaginario puro. No

tiene parte real.

1º.- Calculamos su módulo:

Pero este no es el verdadero módulo, ya que es una raiz 5ª. Por tanto el verdadero

es:

En este caso da la casualidad que no varía.



90º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de ordenadas.



135


real.

Para ello le vamos a ir dando valores a k, hasta n-1. en este caso al ser la raíz 5ª

de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3

Para k = 4

El polígono representado gráficamente es:


siguiente raíz:

Sabemos que es de la forma: 1 + 0 i . Es decir es un número real. No tiene parte

imaginaria.


Pero este no es el verdadero módulo, ya que es una raiz 6ª. Por tanto el verdadero

es:

Lo mismo que el caso anterior, da la casualidad que no varía.

136



0º y 180º. Por tanto, el número está situado sobre el eje de abcisas.

Como su módulo es negativo. El ángulo es de 180º


Ya sabemos algo importante. Es un número real, ya que carece de parte imaginaria.


de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3,4 y 5.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3

Para k = 4

Para k = 5



siguiente raíz:

Como siempre vamos a comenzar calculando su módulo.

137

Pero este tampoco es el módulo real del número dado. Ya que el enunciado nos dice

que es una raíz 4ª.

Por tanto para calcular el módulo “verdadero” será necesario calcular al raíz 4ª del

módulo que hemos calculado.

Ahora vamos a calcular su argumento:


calculado? La cumplen los ángulos de 30º y de 210º





de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2 y 3.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3


138

74.- Calcula dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de

sus argumentos y la suma de su módulos 8.

Este ejercicio, tiene toda la pinta de que va a resolverse con un sistema de

ecuaciones. Nos dan los datos, para que busquemos igualdades.

Lo primero, vamos a buscar un “nombre” a estos números que nos piden.

Les vamos a llamar: Y les “bautizamos” de esa manera, porque nos hablan

de módulos y argumentos.

Ahora vamos a comenzar por “traducir” los datos del enunciado.

Debemos de acostumbrarnos a “traducir” que en realidad, no es otra cosa que

“interpretar” lo que está escrito.

1º.- La primera igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente:

Nos dice que su cociente sea 3.

Un cociente de número de complejos en forma POLAR, debe tener módulo y

argumento.

Pues con estos datos, vamos a expresar esta primera igualdad:

Fijaos que sencillo, una vez “traducido” el mensaje dado:

Puesto que es un número real, carece de parte imaginaria.

Por tanto el argumento tiene que ser el de 0º

Por tanto la primera ecuación, que podemos articular, es la siguiente:

La vamos a dejar “aparcada de momento. Con esta ecuación sola no

vamos a ninguna parte. Nos hacen falta más ecuaciones. Puesto que al

menos, ya tenemos dos incógnitas

2º.- La segunda igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente:

139

Nos dicen que la suma de sus argumentos, sea igual a:

Volvemos a traducir y podemos establecer, en lo referente a sus argumentos:

Pero, pero, pero aquí tenemos que ser cautos, porque hay “algo oculto” que le estamos

llamando a lo que debemos de interpretar.

No lo podemos dejar escapar, porque entonces no podríamos resolver el ejercicio.

¿Os preguntaréis y qué es eso “oculto”?

Pues algo tan sencillo como esto: En el apartado anterior, hemos “armado una

ecuación” como el cociente entre los dos números, y hemos llegado a la conclusión de

que esa división, era igual a 3º.

¿Qué significado tiene realmente?

Pues es éste y, por cierto, de vital importancia:

Por tanto, sin querer o queriendo, pero dándonos cuenta, en este 2º apartado, ya

hemos montado un sistema de dos ecuaciones, que es el siguiente:

Por tanto resolviendo esta ecuación, ya podemos calcular el

argumento del número pedido.

Pero sin “lanzarnos”, vamos a seguir “traduciendo” el enunciado, puesto que todavía

nos queda la tercera parte por “interpretar”

Obviamente, se tratará de buscar una ecuación, para “arrimarla” a la que teníamos

“aparcada” y poder estar en disposición de calcular el módulo del número pedido.

3º.- La tercera igualdad que podemos establecer sobre el enunciado es la siguiente:

Nos dicen: La suma de sus módulos sea 8.

Bien, será esta:

Muy bien colegas, ya tenemos todos los datos escritos. Ahora tan solo nos queda una

cosa: Poner en orden y agrupar módulos con módulos y argumentos con argumentos.

Y daremos las soluciones pedidas. Las ecuaciones son:

140

En cuanto a módulos:

En cuanto a argumentos:

Y resolviendo estos dos sistemas de ecuaciones, resolveremos el ejercicio.

1º.- Vamos a calcular el módulo:

Ahora sustituimos este valor en la que teníamos despejado “r “y nos queda:

Los módulos de los números pedidos, son: r = 6 y s = 2.

2º.- Vamos a calcular sus argumentos:

Por tanto el resultado final pedido, son los números siguientes:

75.- ¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente:

Vamos a efectuar el cociente de este complejo:

141

Ya hemos hecho el cambio de – 12 = 1

Ahora nos conviene separar la parte real de la parte imaginaria. Aquí estaba lo

“oculto”

¿Qué tiene que ocurrir para que un número sea imaginario puro?

Pues que su parte real sea igual a 0.

Entonces, con igualar la parte real a 0 y resolver esa ecuación habremos dado con la

solución.

Tiene dos soluciones:

76.- Calcula en función de x, el módulo de

Vamos a efectuar la división de este número complejo:

Ya hemos hecho el cambio de 12 = - 1

Ya tenemos hecha la división y separadas las partes reales de las imaginarias.

Por tanto el valor absoluto de z, será igual a:

142

Por tanto el módulo z = 1

77.- Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir:

esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

Al cualquier número complejo (a+bi) se le hace corresponder el punto de coordenadas:

A(a,b).

A este punto “A” se le llama “aaafffiiijjjooo””” dddeeelll nnnúúúmmmeeerrrooo cccooommmpppllleeejjjooo (((aaa+++bbbiii)))

A cada número complejo le hacemos corresponder siempre un punto del plano.

¿Os dais cuenta de la importancia que tiene el tener claro la teoría? Sin ella, es

imposible llegar a ningún razonamiento lógico.

Dicho esto vamos a buscar lo “oculto” y a “traducir” el mensaje del enunciado.

Nos dicen : …………” para que esté representado en la bisectriz del 1º cuadrante”.

¿Qué es una bisectriz de un ángulo? Es una recta, que divide a un ángulo en dos

partes iguales.

Esto en lenguaje de andar por casa, ya que la verdadera definición de bisectriz, es:

Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Por tanto este puñetero galimatías, si lo queremos traducir para resolver nuestro

problema, ¿qué significado tiene?:

Para las burras y los burros: que a = b. Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii, así de sencillo.

Arreaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

no era tan difícil el asunto.

Por tanto, vamos a igualar la

parte real y la imaginaria.

Primero resolveremos el cociente.

143

Ya hemos hecho el cambio de 12 = - 1

Ha de cumplir la condición de a = b

Y como los número complejos son de la forma: a + b . i

La solución es: x = 14

78.- La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus

módulos es 10. ¿Cuáles son esos números?

Lo primero que haremos, será “bautizar” a cada uno de los números.

A uno le llamaremos z y a su conjugado le llamaremos

Los conjugados se representan, como el mismo número con un guión encima del mismo.

La siguiente fase, consiste en “traducir” los datos del enunciado.

1º La suma de ellos es 8.

Bueno traducido, significa:

2º.- La suma de sus módulos es 10.

Traducido:

Fijarse como los expresamos: Significa que estamos hablando de valores absolutos, es

decir prescindiendo de los signos.

Conclusión: Por enunciado se tiene que cumplir en la segunda ecuación:

¿Nos preguntamos todas/todos, para qué vale esto?

Bien, la respuesta ahora mismo.

Primero un ligero matiz. Vamos a escribir los números dados en el enunciado en forma

de complejos.

144

Y su conjugado:



Ahora viene la respuesta que estamos esperando, desde hace un ratito.

Sustituimos estos valores en la 1ª ecuación:

Por tanto:

Ya tenemos calculada la parte REAL del complejo.

Ahora vamos a calcular el módulo de la parte imaginaria.

El módulo de un número complejo es:

¿Qué ecuación hemos establecido al principio cuando hemos “traducido”?

Esta: y habíamos calculado su valor que era 5.

Por tanto, esa raíz cuadrada para calcular el módulo de la parte imaginaria, ¿qué

condición tiene qué cumplir?

Y seguimos traduciendo. Pues que sea igual a 5.

Lo expresamos de la forma siguiente:

Bueno vamos a calcular el valor de b.

Lo primero que haremos es elevar al cuadrado, para eliminar la raíz.

Por tanto el módulo de la parte imaginaria, será

Las soluciones son:

79.- La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es

2, y el cociente de este número entre el segundo es un número real. Calcular

ambos números.

145

Lo primero que vamos a hacer, es “bautizar” esos números que nos piden.

A uno le llamaremos, por ejemplo “z” y al otro, por ejemplo “w”.

Por otra parte, todos debemos de saber que un complejo es de la forma: a + b i

Bien, vamos a expresar los números “bautizados” en forma binómica:

Ahora llega el momento de “traducir” el enunciado, para establecer igualdades:

Lo 1º que nos dice es que su suma sea 3 + i

Traducido significa esto:

Lo 2º que nos dice el enunciado es que la parte real del primer número es 2:

Traducido significa esto:

Por tanto llegamos la conclusión siguiente:

Si la suma de los 2 números es: 3 + i, como la parte real suma 3, ¿cuál es el módulo

del otro número?

No es tan dificillllllllllllllllllll: 3 -2 = 1

Por tanto

No perder de vista, algo importante, que hasta este momento, hemos estamos

calculando tan solo de módulo del número complejo.

Ahora le toca el turno a la parte imaginaria.

Tenemos que la suma del ambos números es: 3 + i, que es lo mismo que 3 + 1. i

¿Cuál es el factor que multiplica a “i”? Hemos escrito que es 1.

Por tanto la suma de b + d tiene que ser igual a 1.

Lo expresamos de esta forma:

Por tanto, despejando b:

Si seguimos traduciendo el enunciado, la 2ª parte del mismo, nos dice que hagamos el

cociente de ambos números. Bien vamos a ellos, después ya veremos a que lo vamos a

igualar.

Estos módulos son los que hemos calculado previamente.

146

Ya hemos hecho la sustitución correspondiente de i2 = - 1


Aquí hemos agrupado la parte real por un lado y la imaginaria por otro.

Si seguimos “traduciendo” el enunciado, ¿que nos dice del cociente de éstos números?

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh que z/w tiene que ser un número REAL.

¿ Y cuándo hablamos de números complejos, para qué un número sea real, qué

condición tiene qué cumplir?

Algo tan sencillo como que: Su parte imaginaria sea igual a 0.

Creo que con igualar la parte imaginaria a 0, tendremos el ejercicio resuelto.

Buenooooooooooooooooooooooooooo lo que

faltaba una ecuación y “2” incógnitas.

¿Qué haréééééééééééé´para continuar?

Algo tan sencillo, como traer a la memoria,

Esto, que habíamos calculado anteriormente:

Por tanto, despejando b:

Lo sustituimos en la ecuación que tenemos y ya está.

Los números pedidos son:

Y ejercicio resuelto.

147

80.- Representar gráficamente los resultados de obtener al calcular el

número complejo: y calcula el lado del triángulo formado al

unir estos tres puntos.

Vamos a efectuar el problema, siguiendo con nuestro método establecido, para

cálculos de números complejos.


Pero este no es el módulo real. Nos falta calcular la raíz cúbica de este número.

Para comenzar las cosas bien, vamos a ver como nos queda el resultado anterior:

Por tanto el módulo real, será:


¿Qué ángulos tiene como valor esta razón trigonométrica? Pues las cumplen los ángulos

de 45º y 225º.

Como el módulo es negativo y la tangente es negativa en el 2º y 4º cuadrante, el

ángulo es el de 225º.

Por tanto el número en forma polar, será:



de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1 y 2.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

148


¿Cómo podremos calcular la longitud del lado?

Como estamos con temas de trigonométrica, ¿pro qué no aplicamos el teorema del

coseno?

81.- Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa el resultado en forma

binómica:

a)

Por tanto es un número imaginario puro, ya que no tiene parte real.

b)

c)

149

Es una ecuación de 2º grado. Vamos a resolverla:

d)

82.- Resuelve la siguiente ecuación:

Por tanto su módulo es 2 y su argumento 180º. Ya que es “i” y como la raíz tiene el

signo -, la tangente está localizada en el 2º cuadrante, sobre el eje de abcisas.

Por tanto el número en forma polar, es:




real.


de un número, los valores que podremos aplicar, serán: 0,1,2,3 y 4.

Para k = 0

Para k = 1

Para k = 2

Para k = 3

150

Para k = 4




86.- Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:

a)

Por tanto el módulo será 1.

Ahora calculamos su argumento:

Los ángulos que cumplen esta condición, son los de 0º y 360º. Al ser el módulo

positivo y la tangente es positiva en el 1º y en el 3º cuadrante.

Por tanto el ángulo es el de 0º. Es un número real.





151

Para k = 0

Para k= 1

Para k = 2

Para k= 3

b)

El Argumento de i, por tanto es = 180º. Está situado sobre el eje de abcisas y el

módulo(la raíz) es negativa.





Para k = 0

Para k= 1

Para k = 2

Para k= 3

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Matematicas Resueltos (Soluciones) Numeros Complejos 1º Bachillerato