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RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO

RECTÁNGULO. Siendo A = Un ángulo recto = 90º

1º.- Relación entre los lados:

- Por ser un triángulo rectángulo: se cumple el Teorema de Pitágoras, es

decir: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos:

a2 = b2 + c2

2º.- Relación entre los ángulos: - La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º.

A + B + C = 180º

3º.- Relación trigonométricas entre lados y ángulos:

- Siendo el ángulo A = 90º

Los ángulos B y C son complementarios, es decir, juntos entre si suman 90º.

Ahora vamos a establecer razones trigonométricas en el triángulo arriba

dibujado:

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Establecemos igualdades en las fórmulas, y, obtenemos el siguiente

resultado:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

- Solamente existen 4 fórmulas para determinar un triángulo rectángulo:

a.- Conociendo la hipotenusa y un ángulo agudo

b.- Conociendo un cateto y un ángulo agudo

c.- Conociendo la hipotenusa y un cateto

d.- Conociendo los 2 catetos.

Teorema de la altura:

h2 = n2 . m2

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Teorema de los catetos:

b2 = a . n c2 = a. m

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1.- En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuánto

miden los catetos?

* Por ser un triángulo isósceles, tiene 2 catetos iguales.

* Aplicando el Teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

2.- Un triángulo rectángulo, tiene un ángulo C de 36º20’ 15´´. Calcular el

ángulo B

* La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º

* Por ser un triángulo rectángulo, uno de los ángulos A = 90º

* Sustituimos estos datos en la fórmula de la suma de los ángulos de un

triángulo:

A + B + C = 180º

90º +B + 36º 20 ’15´´ = 180º B + 36º 20´15´´ = 90º

B = 90º- 36º 20 ’15´´= 53º 39’ 45’’

3.- En un triángulo rectángulo, sus catetos miden 3 y 4 cm. Calcular la

hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y la proyección de los catetos

sobre la hipotenusa.

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* Por ser un triángulo rectángulo: a2 = b2 + c2

* Aplicamos el Teorema de los catetos: b2 = a . n c2 = a. m

* Aplicamos el Teorema de la altura: h2 = n2 . m2

4.- En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a= 15 cm y un

ángulo B = 20º. Calcular los restantes elementos del triángulo

* La suma de los ángulos de un triángulo es = 180º: A + B + C = 180º

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* Ahora nos “toca” buscar en las relaciones trigonométricas que hemos

fijado al principio del tema, cuando relacionamos los ángulos con los lados.

Y encontramos que una de la que se nos ajusta en este caso es: b = a. cos C

b = 15 . cos 70º El cos de 70º usando una calculadora es 0,342

b= 15 . 0,342 = 5,13 cm con lo cual acabamos calcular un cateto.

A continuación, como conocemos la hipotenusa y un cateto, podemos utilizar

el Teorema de Pitágoras, para calcular el cateto que nos falta: a2 = b2 + c2

Otra forma para calcularlo, sería siguiendo el criterio que hemos utilizado

para calcular el cateto b, es decir buscando las relaciones trigonométricas

entre ángulos y lados, y llenado a buscar nos encontramos con la siguiente

fórmula: c = a. cos B

c = 15. cos 20º cos 20º usando calculadora = 0,94 c= 15 . 0,94 = 14,09

cm.

5.- En un triángulo rectángulo se conoce el lado B que mide 102,4 cm y el

ángulo B =55º. Se pide calcular los demás elementos del triángulo

* Aplicando las relaciones trigonométricas entre los lados y los ángulos del

triángulo, tenemos la siguiente fórmula para aplicar: tg B = b b = c. tg B

c

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c= b = 102,4 = 102, 4 = 71,7036 cm

tg B tg 55º 1,4281

* Aplicamos la fórmula de la suma de los ángulos de un triángulo: A + B + C

= 180º

* Ahora volvemos a aplicar las relaciones trigonométricas entre los lados y

los ángulos de un triángulo rectángulo y nos encontramos: b = a. sen B

1024 = a. sen 55º usando la calculadora sen 55º = 0,8192

a = 102, 4 = 125 cm

0,8192

6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 metros y un cateto 20

metros. Resolver el triángulo.

* Aplicando el Teorema de Pitágoras, obtenemos: a2 = b2 + c2

Aplicando las razones trigonométricas generales tenemos:

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Volvemos a aplicar las razones trigonométricas generales y obtenemos:

7.- Los catetos de un triángulo miden 8 y 24 cm. Calcular los restantes

elementos del triángulo

* Aplicamos el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

*Ahora vamos a las fórmulas que relacionan los lados con los ángulos de un

triángulo rectángulo y obtenemos, antes de despejar: sen C = c

a

* Volviendo a utilizar el mismo criterio, nos encontramos:

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8.- Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si

caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un

punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra

orilla. Calcular la anchura del río.

9.- Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el

suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º.

Calcular la altura del edificio.

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En la 2ª fórmula sustituimos x por h y obtenemos:

0,5773*(30 + h) = h h = 0,5773 *30 + 0,5573 * h h = 17,319 + 0,5773

h

h – 0,5773 h =17,319 0,4227 h = 17,319 h = 17,319 = 40,50 m

0,4227

10.- Un edificio proyecta una sombra de 150 m, cuando el sol forma un

ángulo de 20º sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

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11.- Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si

caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un

punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra

orilla. Calcular la anchura del río.

12.- Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve

un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la

orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino

formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

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13.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo

de 45º, y si retrocedemos 40 metros, se ve bajo un ángulo de 30º. Calcular

el ancho del río y la altura del árbol

y

Como x = h x = 54,63 metros la altura del árbol. Es un triángulo rectángulo

isósceles.

14.- El ángulo de elevación del faro de una torre es de 55º a una distancia

de 72 metros de la torre. Si una persona se encuentra a 1,10 metros sobre

el suelo, Calcular la altura de la torre.

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Aplicamos Teorema de Pitágoras:

Altura de la torre = 102,82 + 1,10 = 103,92 metros.

15.-Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros, que forma con

la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo está

tirante, calcular la altura a la cual está la citada cometa.

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16.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 12

cm. Calcular el ángulo que forman las ramas del compás.

17.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada una de

las ramas tienen 12cm. De longitud, hallar el radio de la circunferencia que

puede trazarse.

18.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes;

para ello se hacen 2 observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como

ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB es de 30

m. Calcular la altura de la torre.

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Igualamos la primera con la segunda ecuación:

19.- Dos personas ven desde las puertas de sus casas una torre de

televisión, bajo ángulos de 45º y 60º. La distancia entre sus casas es de 126

metros y la antena está situada entre ellas. Calcular la altura de la torre.

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20.- Calcular el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm.

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El ángulo central de un octógono mide:

Por tanto el ángulo mitad del ángulo central mide:

En el triángulo OAH, se tiene:

21.- Calcular el radio de una circunferencia, sabiendo que una cuerda de

24,6 metros tiene un arco correspondiente de 70º

22.- La base de un triángulo isósceles mide 10 metros y el ángulo opuesto

50º. Calcular su área.

En el triángulo ABC:

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23.- Una moneda mide 2,5 cm. de diámetro. Calcular el ángulo que forman

las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm. del centro.

24.-Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de un edificio

formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 metros

hacia el pie del edificio, ese ángulo mide 60º. Calcular la altura del edificio

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25.- Calcular la longitud de la sombra de la Torre Eiffel, de altura 300

metros, cuando la inclinación de los rayos solares es de 14º.

26.-Calcular la altura de una torre, si al situarnos a 25 metros de su pie,

observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º.

27.- Calcular la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno

se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 metros, la

vemos bajo un ángulo de 30º.

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28.-Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la

otra orilla bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 metros de la orilla, el

ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del

río.

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Anchura del río = 13,66 metros

Altura del árbol

29.-Desde una distancia de 86,6 metros del pie del frontón de un edificio,

el ángulo de elevación a la cúspide es de 30º. Calcular la altura de la torre y

la distancia del observador a la cúspide del citado frontón

La altura a la cúspide del frontón es de 50 metros.

Para calcular la distancia del observador, aplicamos el Teorema de

Pitágoras, ya que conocemos el valor de los dos catetos: 86,6 y 50 metros.

30.- Calcular la distancia de una persona a la cúspide de una iglesia, que

tiene 132 metros de alto, sabiendo que el ángulo de elevación es de 41º18’.

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31.-Desde el pie de una torre el ángulo de elevación a la punta de un mástil

colocado en la torre, es de 60º y desde lo alto de la torre, que tiene 50

metros de altura, el ángulo de elevación es de 30º. Calcular la altura de la

almena.

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h = altura del mástil x = distancia del observador al mástil

Sustituimos valores en la ecuación tg de 60º:

32.-Una bandera está atada a un mástil de una altura de 10 metros. Los

ángulos de elevación al punto superior e inferior de la bandera son de 60º y

30º respectivamente. Determinar el alto de la bandera.

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Llamamos x al ancho de la bandera = alto de la misma

33.-Los ángulos de depresión a la cúspide y base de una torre, vistos desde

un monumento de 96metros de altura son 60º y 30º respectivamente.

Calcular la altura de la torre.

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34.- Una persona quiere construir la escalera de su casa y dispone para ello

de madera suficiente como para hacer 10 escalones. Cada uno de ellos tiene

32 cm. de profundidad, si la altura del piso al techo es de 2,55 metros.

¿Cuál debe ser la inclinación de la escalera? ¿Cuál es la altura de cada

escalón?

La altura de los escalones, la obtenemos:

35.- Una escalera de 30 dm. de largo está apoyada sobre la pared de un

edificio; su base está situada a 15 dm. del edificio. ¿Qué ángulo forma la

escalera con el piso?

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36.- Desde el pie de un edificio de 30 metros de alto, el ángulo de elevación

a la parte superior de otro, situado al frente, es de 45º, y desde la parte

más alta de él, el ángulo de elevación a la parte superior del otro es de 30º.

Calcular la altura del otro edificio y la distancia a la cual está situado del

que tiene 30 metros de altura.

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La altura del edificio es igual a la distancia que los separa x = h = 70,98

metros

37.- El palo central de una tienda de campaña de forma cónica tiene una

altura de 6 metros, y su parte superior está sostenida por cuerdas de 12

metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A qué

distancia están las estacas del pie del mástil central? ¿Cuál es la inclinación

de los cables con la tierra?

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo ABC, para calcular la

distancia de la estaca al pie del mástil:

Ahora calculamos la inclinación del cable con la tierra:

38.- Determinar la altura de una torre cuya cúspide forma un ángulo de

elevación de 42º11´ encontrándose el ojo del observador a 158,6 metros de

distancia de la torre y a una altura de 96 metros sobre el plano de

sustentación de la torre.

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39.- Dos astas de bandera se levantan verticalmente sobre un plano

horizontal. A y B son dos puntos sobre la recta que une los pies de las astas

y están entre ellos. Los ángulos de elevación de las puntas de las astas

vistas desde A son de 30º y 60º; y vistas desde B son de 60º y 45º. Si la

longitud AB es de 9 metros. Calcular las alturas de las astas y la distancia

que las separa.

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Altura del asta de la bandera h = 13,50 metros

Distancia desde la bandera al punto A:

Altura del asta de la bandera a = 21,29 metros

Distancia desde la bandera al punto B = a la altura de la bandera por ser: a

= y = 21,29 m

Distancia que separa ambas banderas: x + 9 + y = 23,38 + 9 + 21,29 = 53,67

metros.

40.-En lo alto de una torre se ha instalado una antena transmisora de

televisión. Un observador ubicado a 80 metros del pie de la torre, ve las

cúspides de la torre y de la antena bajo ángulos de elevación de 45º y 60º,

respectivamente. Calcular la altura de la torre y la longitud de la antena.

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Por tanto altura de la torre = 80 metros.

41.- Para calcular la altura de un globo hemos realizado las mediciones

indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto dista del

punto B? ¿A qué altura está el globo de la superficie terrestre?

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Para poder calcular el cateto b en el triángulo AGB, debemos de conocer el

ángulo G:

AGB = 180º-72º-63º = 45º

42.- Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de

radio, A y C, que distan entre sí 50 kilómetros. Desde las estaciones se

miden los siguientes ángulos BAC = 46º y BCA = 53º. ¿A qué distancia de

cada estación se encuentra el barco?

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Calculamos el valor del ángulo B : 180º-46º-53º = 81º

43.-Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la

figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?

Vamos a calcular la altura del mástil:

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* Altura del mástil: 7,32 metros

Ahora vamos a calcular la longitud del cable:

Longitud total del mástil: a+b = 10,35+14,64 = 24,99 metros

44.- El lado de un rombo mide 8 cm. y el ángulo menor es de 38º.¿Cuánto

miden las diagonales del rombo?

Por tanto la diagonal menor mide: 2y = 2 x 2,6 = 5,2 cm.

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Por tanto la diagonal mayor mide: 2x = 2 x 7,6 = 15,2 cm.

45.- Una estatua de 25 metros está colocada sobre un pedestal. Desde un

punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un

ángulo de 40º. ¿Calcular la altura del pedestal?.

Por tanto la altura del pedestal es de: 5,62 metros.

46.- Un avión vuela entre dos ciudades A y B, que distan 80 km. Las visuales

desde el avión a A y a B forman ángulos de 29º y 45º con la horizontal,

respectivamente.¿ A qué altura se encuentra el avión?

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47.- De un triángulo rectángulo se sabe que su área es 864cm2 y un cateto

mide 48 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

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48.- En una circunferencia de radio 6 trazamos una cuerda AB a 3 cm. del

centro. Calcula el ángulo AOB.

Los triángulos AOP y BOP son iguales. En ambos conocemos un cateto y la

hipotenusa.

Vamos a calcular el ángulo BOP que es la mitad de AOB.

Tomamos como referencia el triángulo BOP: Es un triángulo rectángulo.

Ángulo P = 90º

OP = 3 cm. es uno de los catetos.

OB = 6 cm. es la hipotenusa.

Por tanto BOP = 60º; y éste como es la mitad del ángulo AOB:

AOB = 2 x BOP = 2 x 60º = 120º

49.- Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que

distan entre sí 10 km. orientan sus antenas hacia el punto donde está la

emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué

distancia de A y B se encuentra la emisora?

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C = 180º -( A + B ) = 180º - ( 45º+65º) = 75º

Aplicamos el Teorema de los Senos:

50.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm. y 13 cm. Sus

tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcular la distancia entre los

centros.

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Distancia entre los centros: y –x:

Distancia = 50,23 – 38,64 = 11, 59 cm

51.-Una persona situada sobre el puente de un foso de un castillo, observa

lo alto de la torre de una almena bajo un ángulo de 48º con respecto al plano

donde está situado el citado observador. La horizontal forma un ángulo de

20º con respecto a la base de la citada almena. Si el observador se retira

50 metros, observa lo alto de la citada almena bajo un ángulo de 30º.

Calcular la altura de la almena.

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h = 54,13382 x 1,110612 = 60,121670 m. altura desde el puente a lo alto de

la almena.

Esta es la distancia que existe desde el puente hasta la base de la almena.

Altura total de la almena es: h + a = 60,121670 + 19, 70310 = 79,82477

metros.

52.- Una persona situada en un cerro, observa lo alto de la almena de una

torre, bajo un ángulo de 22º. El observador divisa al mismo tiempo el pie de

la almena bajo un ángulo de 18º sobre la horizontal. Si esta persona se aleja

50 metros, ve lo alto de la citada almena bajo un ángulo de 32º. Calcular la

altura de la almena.

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Esta es la distancia que hay entre el observador y la almena.

Es la altura de la almena + la altura del cerro con respecto a la horizontal

donde se encuentra situado el observador.

Vamos a calcular la altura desde la horizontal del observador a la base de la

almena:

La altura de la almena es:

h – a = 122,3981 – 47,3955 = 75, 0026 metros.

Vamos a hacerlo de

otra forma:

Sustituimos en esta ecuación el valor de h+a y obtenemos:

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Sustituimos este valor de x en la ecuación 0,8391 x = h+a y obtenemos:

Vamos a calcular la altura de la horizontal del cerro, donde se encuentra el

observador, hasta la base de la almena:

La altura de la almena será: h – a = 122.3981 – 47,3955 = 75, 0026 m.

53.- Para medir la altura de una montaña AB nos hemos situado en los

puntos C y luego hemos avanzado hacia D, distantes entre sí 250 metros, y

hemos tomado las siguientes medidas ACB = 60º BCD = 65º y BDC = 80º.

Calcular la altura de la montaña.

Para poder calcular la altura AB en el triángulo BAC necesitamos conocer

BC, que los calculamos aplicando el teorema del seno en el triángulo BCD.

Ángulo B = 180º - 80º - 65º = 35º

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En el triángulo BAC:

54.- Calcular el ángulo que forma la tangente a las circunferencias de la

figura con la línea que une sus centros. Los radios mide 4cm. y 9 c. y la

distancia entre sus centros es de 16 cm.

En el triángulo AMP:

En el triángulo BNP:

Igualamos ambas ecuaciones y obtenemos:

Sustituimos el valor obtenido, en la primera ecuación y obtenemos:

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55.- Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden

9m y 4 m. respectivamente. Calcula el ángulo 2α que forman sus tangentes

comunes.

Los radio de las circunferencias, forman con las tangentes dos triángulos

rectángulos

OP = 4 + x O´P = 9 + 4 + 4 + x = 17 +x

Igualamos ambas ecuaciones y obtenemos:

Sustituimos x por su valor en cualquiera de las ecuaciones, para calcular el

ángulo;

Por tanto