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1.- VECTORES GEOMÉTRICOS.

Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en el punto

A y su extremo en el punto B.

Ya sabemos que un vector es un segmento de recta orientado en un sentido y que

gracias a ellos podemos representar las magnitudes vectoriales. Pero si deseamos

poder trabajar con vectores, no podemos conformarnos con una representación gráfica

de ellos, necesitamos poder expresarlos de forma numérica, tanto para poder operar

más cómodamente como para poder estudiarlos mejor.

Puesto que cualquier vector puede dibujarse en cualquier punto del plano, antes de

empezar a poder expresarlo numéricamente lo colocaremos de tal forma que su punto

de aplicación coincida con el origen de coordenadas, tal y como aparece en la figura.

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* Para determinar un vector hemos de conocer su:

MÓDULO del vector es la longitud del segmento

El módulo del vector se representa por l AB l .

La intensidad o módulo de un vector es la longitud del segmento que lo

representa, por lo que habrá de ser proporcional al valor de la magnitud

medida. Si un coche se desplaza a 25 km/h y otro a 50 km/h, el vector que

representa al segundo tendrá una longitud doble que la del primero.

La intensidad o módulo de un vector se indica con la letra que designa al vector entre

barras, igual que el valor absoluto de un número. Así, la intensidad del vector v se

denota ¦v¦.

Que dos vectores tengan la misma intensidad o módulo no implican que sean el mismo

vector, ya que pueden diferir en su dirección o sentido. Así, si dos vehículos se

desplazan a 70 km/h, pero uno se dirige hacia Madrid y otro hacia La Coruña, aunque

los vectores tengan la misma intensidad, tendrán direcciones distintas y, por lo tanto,

se tratará de vectores diferentes.

Dibujamos a continuación ejemplos:

Tenemos 3 vectores con el MISMO módulo, pero distintas direcciones.

3

Tenemos 3 vectores con la MISMA dirección, pero distinto módulo

DIRECCIÓN del vector es la dirección de la recta que pasa por A y

B

La dirección de un vector es la recta sobre la que está dibujado o

cualquiera de sus paralelas, es decir, la recta a la que pertenece el segmento

orientado que representa al vector. Dos vectores de igual dirección y

sentido serán iguales si tienen la misma intensidad y si dos vectores tienen

la misma intensidad y son paralelos, aunque no tengan el mismo punto de

aplicación, consideramos que son iguales. Así, los tres vectores que aparecen

en el dibujo, al ser paralelos y tener la misma intensidad son iguales.

Tres vectores iguales: Son paralelos y tienen el mismo sentido, y el mismo módulo.

SENTIDO del vector es el recorrido de la recta cuando nos

trasladamos de A hasta B.

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Módulo =2

Dirección : la de la recta r

Sentido : OX

¡¡ OJO !! CADA DIRECCIÓN TIENE DOS SENTIDOS:

Sentido : XO

DOS VECTORES NO NULOS TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN SI SE

ENCUENTRAN EN RECTAS PARALELAS.

Una recta horizontal puede recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a

izquierda, por lo que tiene dos sentidos. Lo mismo ocurre con todas las rectas y, por

tanto, con los vectores.

Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que

termina.

Vectores opuestos, al tener igual módulo y dirección, pero sentido contrario

De esta forma, siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero

sentido opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos que son vectores

opuestos, ya que se anularían uno a otro.

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2.- EQUIPOLENCIA DE VECTORES.

Vectores equipolentes son todos los que tienen la misma/el mismo:

a.- Longitud-Módulo o Intensidad.

b.- Dirección.

c.- Sentido.

* Todos los vectores equipolentes entre si representan el mismo vector.

* A este vector se le llama : vector libre.

* Gráficamente: dos vectores y son equipolentes,

siempre y cuando, al unir sus orígenes ( en esta figura A y C ) y sus

extremos ( B y D ) se obtiene como resultado un paralelogramo.

******** Vector especial *******

El vector NULO tiene su origen y su extremo en el mismo punto.

Ejemplo:

El Módulo (Intensidad o Longitud ) del vector nulo es cero.

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3.-OPERACIONES CON VECTORES.

Suma de vectores

* Para sumar dos vectores y se representa uno de ellos

2º A continuación CON ORIGEN ( comenzando) en el extremo de se

representa el otro vector

3º.- El vector suma de ambos es el que tiene origen en y extremo en

Es :

Puesto que los vectores se representan de forma gráfica, también pueden sumarse de

forma gráfica:

Paralelogramo. Si deseamos sumar dos vectores, una vez dibujados coincidiendo con

el origen, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro. Ambas

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paralelas se cortan en un punto. El vector cuyo punto de aplicación coincide con el de

los vectores sumandos y cuyo extremo es el que termina en el punto de corte de las

paralelas es el vector suma.

* Otra forma para sumar dos vectores y consiste en

representar

ambos vectores con el mismo origen.

El vector suma es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados los

vectores

Y

Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar varios vectores a la vez.

En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el

extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta

terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al

unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último.

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Propiedades de la suma de vectores:

Dados dos vectores, estos pueden ser sumados mediante una operación llamada suma

de vectores. Aunque recibe el mismo nombre que la suma de números, se trata de una

operación distinta, ya que esta última adiciona números y produce como resultado

números. La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector.

1º.- Asociativa :

(v + w) + u = w + (v + u)

2º.-Conmutativa:

v + w = w + v

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3º.- Elemento Neutro

El vector 0 cuyo punto de aplicación y punto final coinciden, por lo que su intensidad

vale 0

Ya que v+0 = v

v + 0 = v

4º.-Elemento opuesto (-v),

Todo vector v posee un vector opuesto representado por (–v), que tiene:

a.- El mismo módulo.

b.- La misma dirección.

c.- Sentido opuesto, tal que :

v + (-v) = 0

4 .- RESTA DE VECTORES :

Al igual que en el caso de los números, la resta es una operación derivada de

la suma.

Restar dos vectores consiste en sumarle al primero, el vector opuesto del

segundo: v - w = v + (-w).

Gráficamente, si empleamos el método del paralelogramo, la otra diagonal

del paralelogramo obtenido representa la sustracción de los dos vectores, y

dependiendo del sentido se tratará de:

1º.- v - w, si el punto de aplicación comienza en el final del vector w.

2º.- w - v, si el punto de aplicación lo colocamos en el extremo del vector

v.

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5.-PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.

* Al multiplicar un vector por un número k obtenemos un nuevo

vector

k u que tiene :

1º.- Módulo igual al del vector u por el valor absoluto del número k.

Ejemplo: vector u ( ) número k = 3

Nuevo vector:3

2º.- Dirección: la misma que el vector u

a.- El mismo que u si k es positivo.

3º.- Sentido:

b.- El contrario que u si k es negativo.

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- Este conjunto de vectores libres ( todos los equipolentes ) con las operaciones que

acabamos de definir y que cumplen las operaciones antedichas, tienen estructura de

espacio vectorial.

* El espacio vectorial de los vectores libres en el PLANO se representa por V22.

* El espacio vectorial de los vectores libres en el ESPACIO se representa por

V3.

Propiedades que cumple:

1º Asociativa del Escalar (k)

2º.- Distributiva

3º.- Elemento Neutro

1 es el elemento unidad de los números reales.

RESUMIENDO: Espacio vectorial es el conjunto de vectores libres( todos los

equipolentes) que cumplen las propiedades del producto de un número por un vector.

6.-BASE DE LOS ESPACIOS VECTORIALES. BASE DEL ESPACIO VECTORIAL DE

LOS VECTORES LIBRES DEL PLANO V2.

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* Una base del espacio V2 está formada por dos vectores cualesquiera que

cumplan las siguientes condiciones:

1º.- Que “ no “ sean nulos.

2º.- Que “ no “ sean proporcionales.

- LA BASE CANÓNICA DE V2.

- Es la más sencilla de V2.

- Está formada por dos vectores perpendiculares y de módulo la unidad.

- La representamos por

- Las coordenadas de respecto de la base B, son:

* Vamos a expresa de MODO ÚNICO, cualquier vector como combinación lineal de los

vectores de la base.

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* La base está formada por los vectores :

* La base está formada por los vectores : La expresamos como

combinación lineal :

7.-BASE DEL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO V3.

Una base del espacio V33 está formada por TRES VECTORES cualesquiera que cumplan

las siguientes propiedades:

1º.- Que no sean nulos.

2º.- Que no sean coplanarios.

* Vectores coplanarios son los que están situados en el mismo plano.

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8.- LA BASE CANÓNICA DE V3

La base más sencilla es la formada por tres vectores perpendiculares dos a dos, y que

cumplan las condiciones:

1º.- Que no sean coplanarios

2º.- Que tengan por módulo la unidad

3º.- Lo representamos por:

* Vamos a expresar de modo único cualquier vector como combinación lineal de los

vectores de la base.

**** Coordenadas de respecto de la base B.

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En este caso la base está formada por los vectores

Expresamos el vector como combinación lineal de los vectores de la base:

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En este caso la base está formada por los vectores:

La base será:

Expresamos el vector

9.- COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS VECTORES GEOMÉTRICOS.

COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS VECTORES DEL PLANO.

Consideremos la base canónica del plano

Consideremos u el vector que tiene origen en O y extremo en V. (V2)

Entonces: u = 5 i + 3 j

A este par de números reales ( 5, 3 ) le llamaremos coordenadas cartesianas del

vector u .

* Las coordenadas cartesianas del vector u son un par de números reales (x,y) que

permiten

expresar el vector u como combinación lineal de los vectores de la base, del modo :

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u = x i + y j

Siendo ( i , j ) = B una base del plano y :

u un vector cualquiera del espacio V2

CONCLUSIÓN: A cada vector geométrico u del plano le asociamos únicamente un

par de número reales ( x, y ).

A un par de números reales le podremos asociar únicamente un vector geométrico en el

plano.

Coordenadas Cartesianas de un punto en el plano:

Sea A un punto cualquiera del plano.

El vector OA que une el origen O con un punto A, se llama vector de posición del

punto A.

Las coordenadas cartesianas del punto A vienen dadas por las coordenadas cartesianas

del vector de posición OA, y recíprocamente.

- Sea R = ( O, i , j ) una referencia en el plano.

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10.-COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS VECTORES GEOMÉTRICOS.

COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO.

- Consideremos la base canónica del espacio:

u es el vector en V3 que tiene su origen de O y su extremo en V.

Entonces:

* A la terna de números reales ( 2, 5, 3 ) le llamamos coordenadas cartesianas del

vector u

Las coordenadas cartesianas del vector u es la terna de números reales ( x, y, z )

que

permiten expresar el vector u como combinación lineal de los vectores de la base,

del modo:

Siendo una base del espacio y:

u un vector cualquiera en V3.

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CONCLUSIÓN: A cada vector geométrico u del espacio le asociamos únicamente

una terna de número reales ( x, y, z ).

A una terna de números reales le podremos asociar únicamente un vector geométrico

en el espacio.

Coordenadas cartesianas de un punto en el espacio.

-Sea A un punto cualquiera del espacio.

- El vector OA que une el origen O con el punto A se llama vector de posición del

punto A.

- Las coordenadas cartesianas del punto A vienen dadas por las coordenadas

cartesianas de su vector OA y recíprocamente.

- Sea una referencia en el espacio.

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11.-COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE DETERMINADO POR DOS PUNTOS.

- EN EL PLANO:

- Observando la figura:

- Siendo un sistema de referencia del plano respecto del cual

los untos A y B tienen coordenadas :

* Sustituyendo estas coordenadas en la expresión obtenida, resulta:

¿ Cómo calculamos los puntos en el plano ?

Para poder situar los puntos en el plano, necesitamos un sistema de referencia.

- Este sistema de referencia está formado por:

a.- Un punto origen O.

b.- Una base

- Si tomamos como base la canónica, entonces la referencia será:

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- EN EL ESPACIO:

Siendo un sistema de referencia en el espacio

respecto del cual los puntos A y B tienen de coordenadas:

- Sustituyendo estas coordenadas en la fórmula anterior, obtenemos:

¿Cómo calculamos los puntos en el espacio?

Para poder situar los puntos en el espacio necesitamos un sistema de referencia.

Este sistema de referencia está formado por:

a.- Un punto origen O.

b.- Una base

- Tomando como base la canónica, la referencia es:

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12.-COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

Tomamos el segmento determinado por los puntos A y B.

M es su punto medio

Se cumple:

13.- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO EN EL PLANO.

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-Sea un sistema de referencia en el plano.

- Los puntos A, B y M tienen las siguientes coordenadas:

- Sustituimos estos valores en la fórmula:

14.-COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO.

- Sea un sistema de referencia en el espacio.

- Los puntos A, B y M tienen las siguientes coordenadas:

- Sustituimos estos valores en la fórmula:

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15.-COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO.

- Baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan las medianas del citado

triángulo.

- Medianas: Son rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.

- Las coordenadas del baricentro G de un triángulo de vértices:

son:

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1.- Dados los puntos A ( 1,0,0 ) , B ( 2, -1. 0 ) y C ( 0, 0, 1 ). Calcular el punto D

( x,y,z) para que el vector AB sea equipolente con el vector CD

Vectores equipolentes son los que tienen el mismo: módulo, dirección y sentido.

Todos los vectores equipolentes entre si representan el mismo vector, llamado vector

libre.

- Como son vectores equipolentes, igualamos ambas expresiones y obtenemos:

En la coordenada z-1, pasamos al primer miembro -1 y nos queda:

Con lo cual la expresión ordenada resulta:

* Vamos a comprobar si la respuesta obtenida es cierta:

- Por tanto el vector CD es equipolente con el vector AB

2.- Un avión mantiene una orientación Sur con una velocidad de 900 km/hora. Vuela a

través de una corriente de aire que va hacia el Este con un velocidad de 400 km/hora.

Hallar gráficamente la dirección del movimiento del avión con respecto al suelo ¿ Cuál

es su velocidad?

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- La dirección viene dada por el vector AZ.

3.- Dibujar dos vectores que tengan el origen común y los sentidos opuestos. ¿Qué

ángulo forman dichos vectores?

Forman un ángulo de 180º.

4.-¿ Son equipolentes los vectores AB y CD, siendo A (3,4) B ( 7,2) C ( -1, 0)

y D (3, -2)?

- Vectores equipolentes son los que tienen el mismo: módulo, dirección y

sentido.

- Todos los vectores equipolentes entre si, representan el mismo vector

llamado

vector libre.

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Son el mismo vector. Por tanto son equipolentes.

5.- Calcular las coordenadas de los vectores AB y CD, siendo A ( 1, -2 ) ,B ( 3, -2 )

,C ( 8, -1 ) y D ( 3, 6 ).

6.- Calcular las coordenadas de los vectores AB y CD, siendo A ( 1,-1,0 ),

B ( 2,0,1,) C (9,2,3,) y D ( 5,4,3,).

7.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A ( 1,2,3),B ( 3, 4 5)

C (-2,6,9) y D ( 0, 8, 10 ).

Por tanto no son equipolentes.

8.- Dados los puntos A( 2,3,) y B ( -7,2 ), calcular las coordenadas del punto medio

del segmento AB.

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9.-Dados los puntos A ( 1, -2, 3 ) y M ( -2, 7, 8 ), siendo M el punto medio del

segmento AB, calcular las coordenadas del punto B.

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10.- Halla las coordenadas del punto D para que los vectores AB, CD sean

equipolentes, siendo

A( 2, -1, 4 ) B ( -8, 3, 1 ) y C ( 2, 1, 3 ).

Como tienen que ser equipolentes, es necesario tengan: mismo módulo, misma dirección

y mismo sentido, por tanto igualamos las componentes del vector AB y las del CD,

obteniendo:

11.- Dos fuerzas f1 y f2 de intensidades 20 y 30 N, respectivamente, actúan sobre

un mismo cuerpo y forman entre ellas un ángulo de 90º.¿Cuántos N tiene una fuerza

f3 de manera que sirva para establecer un equilibrio?

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12.- Dado el triángulo de vértices A(2,3), B(5,1) y C (4,7). Calcular las coordenadas

del baricentro.

- Baricentro es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo.

- Mediana es el segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

13.- ¿Existe algún vector que coincida con su opuesto?

- No porque tienen sentidos opuestos.

* Para ser coincidentes dos vectores, tienen que tener obligatoriamente el mismo sentido.

14.-¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?

-Si es posible.

Para ello los vectores tienen que ser opuestos( sentido contrario ), deben de tener

además el mismo módulo y la misma dirección.

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15.- Un nadador está nadando contra la corriente de un río con una velocidad de 3

km/hora.La corriente del río tiene una velocidad de 2km/hora.¿ Cuánto tardará en

recorrer un tramo del río de 1000 metros de longitud?

1km = 1000 metros. Por tanto tardará 1 hora.

16.- Dos automóviles circulan por una carretera con velocidades de 120 y 100

kms/hora, respectivamente.¿Cuál será la velocidad del más veloz respecto del más

lento?

- Cuando llevan sentido opuesto: 120-100 = 20 km/hora.

- Cuando llevan el mismo sentido: 120+100 = 220 km/hora.

17.-¿Es cierto que el módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los

módulos de dichos vectores?¿Cómo tienen que ser los vectores para que se cumpla lo

anterior?

- Que tengan orígen común.

- Deben de tener la misma dirección y el mismo sentido.

18.- Los módulos de 3 vectores a b y c son 3, 4 y 7 respectivamente.¿Cómo

tienen que ser los vectores para que se cumpla: a + b + c = 0?

- La suma de dos de ellos tienen que ser opuesto a la del tercero.

3+4-7 = 0

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19.-Dos vectores que tienen origen común y módulo 5, forman un ángulo de

45º.¿Cuál será el módulo del vector suma?