Tangentes a una curva
y = f (x )
5 3
5
3
9
14
Halla, mirando la grfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14). f ' (3) = 0; f' (9) = 3 ; f' (14) = 1 4
Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva. La derivada tambin es positiva en x = 4, x = 2, x = 0
Di otro punto en el que la derivada es cero. La derivada tambin es cero en x = 11.
Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa. La derivada tambin es negativa en x = 4, x = 5
Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que si x [a, b ], entonces f' (x) > 0. Por ejemplo, en el intervalo [5, 2] se cumple que, si x [5, 2], entonces f ' (x) > 0.
1
Funcin derivada
Contina escribiendo las razones por las cuales g (x) es una funcin cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x). En el intervalo (a, b), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b). La derivada de f en b es 0: f' (b) = 0. Y tambin es g(b) = 0. En general: g (x) = f' (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal.y = g (x ) = f ' (x) b a
y = f (x )
g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) es creciente. g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.
b a
Las tres grficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las grficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cul es la de cada una.
1) B 2) A 3) C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la funcin es creciente, y es negativa donde la funcin decrece.
1
2
3
A
B
C
2
1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1x 1x a) f (x) = b) f (x) = 1+x 1+x
c) f (x) = ln
1x 1+x 1 tg x 1 + tg x
d) f (x) =
1 tg x 1 + tg x
e) f (x) =
f ) f (x) = ln e tg x h) f (x) = log (sen x cos x)2 j ) f (x) = sen x + 1 cos x 1 l) f (x) = sen (3x5 2x + 2x ) n) f (x) = cos2 x + (3 x)23 3
g) f (x) = 3 x + 1 i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x k) f (x) = arc sen x m) f (x) = sen x + x 2 + 1
2 a) f' (x) = 1 (1 + x) (1 x) 1 = 1 x 1 + x = (1 + x) 2 (1 + x) 2 (1 + x) 2 b) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) = 2
1 1 2 = (1 + x) 2 (1 x)(1 + x) 3 1x 1+x
c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) = 1 2 2(1 + x) = = 2 1 x (1 + x) 2 (1 x)(1 + x) 2 1 x2 1+x
De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 x) ln (1 + x). Derivamos: f' (x) = 1 1 = 1 x 1 + x = 2 1x 1+x 1 x2 1 x2
2 2 d) f' (x) = (1 + tg x)(1 + tg x) (1 tg x) (1 + tg x) = 2 (1 + tg x) 2 2 = (1 + tg x)[1 tg x 1 + tg x] = 2(1 + tg x) 2 (1 + tg x) (1 + tg x) 2
De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f' (x) =2 2 2 D [tg x] = (1 + tg 2 x) = 2(1 + tg x) 2 2 (1 + tg x) 2 (1 + tg x) (1 + tg x)
3
e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): f' (x) = 2
2 (1 + tg 2 x) 1 2(1 + tg x) = (1 + tg x) 2 1 tg x (1 tg x)(1 + tg x) 3 1 + tg x
Tambin podramos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b). f) tg x f (x) = ln e tg x = ln e (tg x) / 2 = 2 f' (x) = 1 + tg 2 x 2
g) f (x) = 3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2 f' (x) = 3 (x + 1) / 2 1 ln 3 3 x + 1 ln 3 = 2 2
h) f (x) = log (sen x cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)] f' (x) = 2
[
cos x 1 sen x 1 2 cos 2 x sen 2 x + = = sen x ln 10 cos x ln 10 ln 10 sen x cos x
]
=
4 4 cos 2x 4 cos 2 x sen 2 x = = ln 10 ln 10 sen 2x ln 10 tg 2x 2sen x cos x
De otra forma: f (x) = log (sen x cos x) 2 = 2 log f' (x) = 2
(
sen 2x 2
)
1 4 cos 2x = ln 10 sen 2x ln 10 tg 2x 2
i)
f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x f' (x) = 1 cos x + 1 cos x 1 sen x + 1 ( sen x 1 ) + = 2 x + 1 2 x 1 cos x + 1 cos x 1 sen x + 1 sen x 1 = 2 x + 1 2 x 1 1
j)
f' (x) =
k) f' (x) =
1 x
1 1 = 2x 2 x x23
l)
f' (x) = cos (3x 5 2 x + 2x ) 15x 4
(
1 2 + 3 x 3 x2
3
)
m) f' (x) =
1 cos x + 2x (cos x + 2x) = 2 +1 2 sen x + x 2 sen x + x 2 + 1
4
n) f' (x) = 2cos x + (3 x) 2 sen x + (3 x) 2
3
[
3
]
1 + 2(3 x) (1) = 3 (x + (3 x) 2 )2
3 3 2 cos x + ( 3 x) 2 sen x + ( 3 x) 2 (2x 5) = = 3 3 x + (3 x)2 )2 = (5 2x) sen (2 x + (3 x) 2) 3 3 (x + (3 x)2 )23
2. Halla las derivadas 1.a, 2.a y 3.a de las siguientes funciones: a) y = x 5 a) y = x 5 y' = 5x 4; y'' = 20x 3; y''' = 60x 2 b) y = x cos x y' = cos x x sen x y'' = sen x sen x x cos x = 2sen x x cos x y''' = 2cos x cos x + x sen x = 3cos x + x sen x c) y = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x y' = 1; y'' = 0; y''' = 0 3 3. Calcula f' (1) siendo: f (x) = x 3x e 4 5 2 3x 2 3 15 1/2 1/3 1/3 4 9 e 4 x 13/30 3 2/15 e 4 f (x) = x 3x e 4 = x 3 x e = x 13/30 = 5 1/5 x 2/5 2 2 23 2 3x 215
b) y = x cos x
c) y = sen2 x + cos2 x + x
f' (x) =
9 e 4 13 x 17/30 = 13 9 e 4 30 x 17 3 30 60 13 9 e 4 6015
15
Por tanto: f' (1) =
4. Calcula f' (/6) siendo: f (x) = (cos2 3x sen2 3x) sen 6x f (x) = (cos 2 3x sen 2 3x) sen 6x = cos 6x sen 6x = f' (x) = 12cos 12x = 6cos 12x 2 sen 12x 2
Por tanto: f' = 6 cos 12 = 6 cos(2) = 6 1 = 6 6 6
( )
5
5. Calcula f' (0) siendo: f (x) = ln x 2 + x + 1 1
3
arc tg
2x + 1
3
f (x) = ln x 2 + x + 1
1 2x + 1 1 2x + 1 1 arc tg arc tg = ln (x 2 + x + 1) 2 3 3 3 3 =
f' (x) =
1 1 2/ 3 2x + 1 2 x2 + x + 1 2x + 1 3 1 + 3
(
)
2
=
2x 2
1 2 2x + 1 = 4x 2 + 3 1 + 4x + 1 + 2x + 2 3
= = =
2 2x + 1 3 = 2x 2 + 2x + 2 3 3 + 4x 2 + 4x + 1 2x + 1 2 2x + 1 1 = = 2x 2 + 2x + 2 4x 2 + 4x + 4 2x 2 + 2x + 2 2x 2 + 2x + 2 2x x = 2x 2 + 2x + 2 x2 + x + 1
Por tanto: f' (0) = 0
1. Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la funcin: x 2 3x, x 3 f (x) = 3x 9, x > 3 Continuidad en x0 = 3:x 8 3 x 8 3+
lm lm
f (x) = lm (x 2 3x) = 0 lm f (x) = f (3) = 0 x83 x83 f (x) = lm (3x 9) = 0 Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3. x83
Derivabilidad en x0 = 3:x 8 3 x 8 3+
lm lm
f' (x) = lm (2x 3) = 3 = f' (3 ) x83 Las derivadas laterales existen y coinciden. +) f' (x) = lm + (3) = 3 = f' (3 x83
Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Adems, f' (3) = 3.
6
2. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en : x 2 mx + 5, x 0 f (x) = 2 x>0 x + n, Si x ? 0, la funcin es continua y derivable, pues est formada por dos polinomios. Continuidad en x = 0: f (x) = lm (x 2 mx + 5) = 5 x80 Para que f (x) sea continua en x = 0, 2 + n) = n lm + f (x) = lm (x ha de ser: n = 5 x80 x80 f (0) = 5 x 8 0
lm
Derivabilidad en x = 0:x 8 0 x 8 0+
lm lm
f' (x) = lm (2x m) = m = f' (0) x80 Para que sea derivable en x = 0, ha de ser: m = 0 8 m = 0 lm + (2x) = 0 = f' (0+) f' (x) = x80
Por tanto, f (x) es derivable en
para m = 0 y n = 5.
1. Sabemos que la derivada de la funcin f (x) = x 3 es f ' (x) = 3x 2. Teniendo en cuenta este resultado, halla la derivada de su funcin inversa: f 1 (x) = x . (f 1 )' (x) = 1 3 x 23 3
1. Comprueba que sen (x 2 y) y 2 + x = 2
2 pasa por el punto 2, 4 16 la ecuacin de la recta tangente en ese punto. Sustituimos x = 2, y = en la expresin: 42 2 2 sen 4 + 2 = 0 + 2 = 2 16 16 16 4
( )
y halla
(
)
Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto 2, . 4
( )
7
Necesitamos obtener el valor de f ' 2, . Hallamos previamente f ' (x, y): 4 Derivamos sen (x 2 y) y 2 + x = 2 2 : 16
( )
cos (x 2 y) (2xy + x 2 y ' ) 2y y ' + 1 = 0 2xy cos (x 2 y) + y ' x 2 cos (x 2 y) 2y y ' + 1 = 0 y ' (x 2 cos (x 2 y) 2y) = 1 2xy cos (x 2 y)2 f ' (x, y) = 1 2xy cos (x y) 2 cos (x 2y) 2y x
Por tanto: f ' 2, = 1 cos = 1 + = 2 + 2 = 2 2 4 4 cos /2 4 /2 8 8+ La ecuacin de la recta tangente es: y = + 2 2 (x 2) 4 8+ 2. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f (x) = (sen x)x b) g (x) = x sen x
( )
a) f (x) = (sen x) x 8 ln f (x) = x ln (sen x) f' (x) cos x = ln (sen x) + x f (x) sen x b) g (x) = x sen x 8 f' (x) = (sen x) x ln (sen x) +
[
x cos x sen x
]
8 ln g (x) = sen x ln x
g' (x) 1 = cos x ln x + sen x g (x) x g' (x) = x sen x cos x ln x +
[
sen x x
]
1. Calcula Dy, dy, Dy dy: a) y = x 2 x para x0 = 3, dx0 = 0,01 b) y = x 2 1 para x0 = 2, dx0 = 0,1 c) y = x para x0 = 125, dx0 = 1 a) Dy = y (3,01) y (3) = 6,0501 6 = 0,0501 dy = y ' dx = (2x 1) dx, que evaluado en x0 = 3 y dx0 = 0,01 es: 5 0,01 = 0,05 Dy dy = 0,00013
8
b) Dy = y (2,1) y (2) = 1,8466 1,7321 = 0,1145 dy = y ' dx = 2 x
x 2 1
dx, que evaluado en x0 = 2 y dx0 = 0,1 es:
3
0,1 = 0,1155
Dy dy = 0,001 c) Dy = y (126) y (125) = 5,01330 5 = 0,01330 dy = y ' dx = 1 3 x 23
dx, que evaluado en x0 = 125 y dx0 = 1 es:
1 1 = 0,01333 75 Dy dy = 0,00003 2. A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un bao de plata de 0,2 mm de grosor. Calcula la cantidad de plata empleada (aproximadamente, a partir de la diferencial). V= 4 3 r 3
dV = 4r 2 h = 4 72 0,02 = 12,3088 Se emplean, aproximadamente, 12,3 cm3 de plata.3
3. Calcula una aproximacin de 126 dando los siguientes pasos: Llama f (x) = x . Obtn df para x0 =
