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Contextualización
En esta sesión trabajaremos con el cálculo integral, nuestro objetivo es definir la anti derivada y la integral indefinida de una función diferencial así como aplicar algunas fórmulas básicas de integración.
También aprenderemos a utilizar el teorema fundamental del cálculo que es una de las aplicaciones principales de la integral para el cálculo de áreas por debajo de una curva.
Extraído de: http://knoji.com/images/user/cropped%20integral%20function(1).jpg solo para fines educativos.
Introducción
En la sesión anterior se trabajó el cálculo diferencial.
Diferenciamos una función y obtuvimos otra función que era su
derivada. El cálculo integral se ocupa del proceso inverso.
Dada la derivada de una función se debe de encontrar la función
original. La necesidad de hacer esto surge de manera natural.
Por ejemplo, podemos tener una función de velocidad en función
del tiempo y queremos encontrar la función de posición a partir
de ella.
Al trabajar el cálculo integral nos encontramos con las siguientes
interrogantes:
• ¿Qué es una integral indefinida?
• ¿Qué es la constante de integración?
• ¿Cuál es la diferencia entre la integral indefinida y la
definida?
Explicación
Definición de integral indefinida.
Una anti derivada de una función f, es una función F tal que F´(x) = f(x)
o en forma equivalente, en notación diferencial: dF = f(x) dx.
Por ejemplo:
Dx(x2+1) = 2x y Dx(x
2-5) = 2x
Tanto la primera expresión como la segunda son las anti derivadas de 2x, es
claro que como la derivada de una constante es cero, x2+C es también la
anti derivada de 2x para cualquier constante C. Así, 2x tiene un número
infinito de anti derivadas. Por lo tanto se concluye que: Dos anti derivadas
cualesquiera de una función difieren sólo en una constante.
Explicación
Forma general de la integral indefinida:
;
Donde:
El símbolo se llama símbolo de integración, f(x) es el integrando; dx es parte de la notación integral e indica la variable a integrar y C es la constante de integración.
Cálculo de integrales
Ahora se darán algunas fórmulas de integración básica para el cálculo de esta operación.
Explicación
Formulas básicas de integración:
1. Ckxkdx K es una constante
2.
Cn
xdxx
n
n
1
1
n= cualquier número excepto el
-1.
3. Cedxe xx
4. Cn
xkxkdxkx
n
nn
1
1
Donde k es una constante y n es
cualquier número real excepto el
-1.
5. Cxdxxdxx
ln1 1
Solamente cuando n= -1
6.
C
mn
xdxxdxx
mn
mnm n
1
1
Explicación
Ejemplos: Resuelve las siguientes integrales
Regla Resultado
1. dx3 Ckxkdx 3x + C
2. dxx7
Cn
xdxx
n
n
1
1
Cxx
817
817
3. dxx26 C
n
xkxkdxkx
n
nn
1
1
3
312
23
612
6 xxx
4. xe
5
6
Cedxe xx Ce x
5
6
Explicación
1. dxxx 172 35 4
Aquí se deberán aplicar la regla
1,2 y 6 para este polinomio, ya
que se integra término por
término
Cxxx
Cxxx
xxx
45
9
459
1315
4
4
7
2
5
14
74
52
113
71
54
2
Explicación
Aplicación de integrales
Una de las principales aplicaciones de la integral es el uso del Teorema fundamental del calculo que es utilizado para calcular el área por debajo de una curva representada por una función f(x) en un intervalo determinado.
Definición del teorema:
Si f es continua en el intervalo [a,b] y F es cualquier anti derivada de f en el intervalo, entonces
Es importante que entienda la diferencia entre una integral definida y una integral indefinida. La integral definida es un número definido como el límite de una suma.
Explicación
Ejemplo: encontrar 3
1
2 63 dxxx
Integremos cada uno de los términos que forma la expresión:
xxx
dxxdxdxx 61112
3631112
2
Simplificando nos quedara la siguiente anti derivada:
xx
x 62
2
3
Explicación
En esta expresión haremos las evaluaciones de los límites de la integral,
recordemos que estos valores son -1 y 3, primeramente se sustituirá por el
valor de 3
2
8118
2
927)3(6
2
3)3(6
2
2
3
2
3 xx
x
Ahora haremos el mismo proceso pero con el valor de -1
2
156
2
11)1(6
2
1)1(6
2
2
3
2
3
xx
x
Ahora ya para finalizar se realiza la resta de estos dos procesos:
482
96
2
15
2
81
2
15
2
81
Conclusión
Una anti derivada o integral de una función f es una función F tal que F´(x) = f(x). Dos anti derivadas cualesquiera de f difieren cuando mucho en una constante. La anti derivada más general de f se llama integral indefinida de f y se denota.
Así que,
Las fórmulas que se nos dan son para calcular distintas anti derivadas, se deben de utilizar de manera apropiada identificando primeramente la forma que se tiene para integrar.
Una de las principales aplicaciones de la integral es el teorema fundamental del cálculo, su uso principal es para calcular el área por debajo de la curva que se tiene de la función F(x) en un intervalo [a, b].
En la siguiente sesión iniciaremos nuestro aprendizaje en las matemáticas financieras a través de los temas de interés simple y compuesto.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para
enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de
Internet.
Integral indefinida. Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:
http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.ht
ml
Ejercicios resueltos de integrales indefinidas inmediatas.
Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-
INM.HTML
Teorema fundamental del cálculo. Recuperado el día 21 de abril
del 2014 de: http://www.cs.buap.mx/~fjrobles/TeoFun.pdf
Para aprender más…
Video donde se explica el concepto de anti derivada
Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:
http://www.youtube.com/watch?v=RH26P2Yn1fQ
Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:
https://es.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-
definite-integrals/indefinite_integrals/v/antiderivatives-and-
indefinite-integrals
Video que explica el teorema fundamental del cálculo:
Recuperado el día 21 de abril del 2014 de:
http://www.youtube.com/watch?v=4rqv70-XC7E
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te
permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.