Matemáticas y la vida

(probabilidades)

La probabilidades ¿que son?Las Probabilidades pertenecen a la rama de la

matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

Probabilidades, Algunas Definiciones

Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde

caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una

experiencia aleatoria.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

→ La probabilidad de convertirse en astronauta es de 1 entre 13,2 mill.

Experimentos o fenómenos aleatorios: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Suceso aleatorio: es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Ejemplos:

En un dado, E={1,2,3,4,5,6}

En una moneda, E={C,+}

Ejercicios

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Lanzar tres monedas. 2. Lanzar tres dados y anotar la suma de los

puntos obtenidos. 3. Extracción de dos bolas de una urna que

contiene cuatro bolas blancas y tres negras. 4. El tiempo, con relación a la lluvia, que

hará durante tres días consecutivos.

Solución:

1. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

2. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

3. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

4. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

Definición de Laplace.

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el

número de resultados posibles del experimento.

La probabilidad deque te parta un rayo es de 2.650.000 a 1, es mucho más probable que te caiga un rayo a que ganes la lotería, y por una

gran diferencia.

Ejercicio

En una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?

P (as) 4/40 = 0,1 = 10%

P (oro) 10/40 = 0,25 = 25%

Definición axiomática.

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su

probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

si en un experimento que se ha repetido n veces un determinado suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia relativa fr del suceso A es:

fr = k/n

Probabilidad de que te lastimes en el baño este año: 1 a 10.000

Probabilidad de encontrar un trébol de 4 hojas al primer intento: 1 a 10.000

Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de

cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la

probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:Probabilidad Total

P (B) = P(A1) x P(B/A1) + P(A2) x P(B/A2)+....+P(An) x P(B/An)

Teorema de Bayes

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Teorema de Bayes

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Probabilidad de que hoy veas un OVNI: 1 a 3 millones

Probabilidad de sufrir un accidente de avión: 1 a 500.000

Probabilidades y mecánica cuántica

Las palomitas de maíz son un fenómeno estadístico muy interesante. Un montón de

granos de maíz se fríen en una olla. Cuando se dan ciertas condiciones, los granos estallan y se abren en una especie de flor blanca. Pero no se abren todos a la vez. Unos van primero, otros después. ¿De qué depende que un grano se abra? No lo sabemos. Posiblemente de la

temperatura, que será la misma para todos los granos. Quizá también de la estructura

particular de cada uno; por eso estallan en distintos momentos.

Como los detalles son muy complicados, sólo podemos aspirar a describir las palomitas con

probabilidades. Una forma de hacerlo sería anunciar qué proporción de los granos han estallado al minuto de estar al fuego, a los dos minutos, a los tres, a los

cuatro... Podríamos decir, por ejemplo, que al minuto ningún grano se ha convertido en palomita, pero que a los cinco casi todos lo han hecho. Hablar de cada grano

individual sería dificilísimo. No sabríamos qué propiedades del grano usar para el análisis. Pero quizá

algún día se pueda, y en ese caso podremos saber cuándo se convertirá en palomita cada uno de los

granos de maíz.

En la física anterior a la cuántica, llamada física clásica, se usaban probabilidades cuando el fenómeno era tan complicado que no había

esperanza de tomar conocimiento de todos los detalles pertinentes. La cosa no era imposible, sin

embargo. Se podía uno imaginar que, con gran laboriosidad, se podría analizar el fenómeno y

describirlo con toda certeza, sin usar probabilidades.

En la mecánica cuántica, en cambio, sólo caben las descripciones probabilísticas, como la de las palomitas. Si en vez de granos de maíz tomamos, por ejemplo, átomos radiactivos que pueden desintegrarse o no en un lapso dado, la situación es similar. Sólo podemos saber qué

proporción de los átomos se habrán desintegrado al cabo de cierto tiempo, pero no en qué momento lo hará cada

átomo. La diferencia con las palomitas es fundamental: las palomitas las tratamos con probabilidades porque recoger

los datos necesarios para el análisis exacto sería demasiado complicado; los átomos, en cambio, son

probabilísticos por naturaleza. Según la mecánica cuántica (o quienes la interpretan), el mundo cuántico es

probabilístico porque NO HAY datos más detallados que recoger. Un átomo se desintegra en un momento dado

porque sí, no porque algo en su estructura determine que ha de hacerlo.

La probabilidad de sufrir cortes grandes afeitandose es de 1 entre 6.585

La probabilidad de sufrir lesiones usando una sierra electrica es de 1 entre 4.464

Este aspecto probabilístico fundamental de la mecánica cuántica molestaba mucho a Albert Einstein. Einstein nunca se hizo a la idea de que en el universo hubiera

fenómenos que ocurren porque sí, sin causa alguna. La mecánica cuántica debía ser una teoría incompleta, que no permitía tomar en cuenta los detalles necesarios para hacer cálculos exactos. Algunos físicos de la época eran de la misma opinión, pero la mayoría se convencieron de que no: la mecánica cuántica era la teoría más completa

posible y por lo tanto sí había fenómenos así.

Por eso Einstein, en una carta a su amigo Max Born, dijo que no podía creer que Dios jugara a los dados con el universo.

Probabilidad de convertirte en un Santo: 1 a 20 millones

Probabilidad de morir por una enfermedad del corazón: 1 a 3

Probablemente esta diapositiva sea el final de la presentación.

¡Pero no, porque es la que estás viendo ahora!

Fin

Montoya.