matematici ptr economisti

5/24/2018 matematici ptr economisti

1/189

RODICA TRANDAFIR or)I. DUDA (coordonat

AURORA BACIU RODICA IOAN

MATEMATICI PENTRU ECONOMITI

Volumul 1


2/189

2

Editura FundaieiRomnia de Mine, 2001

ISBN 973-582-336-5


3/189

UNIVERSITATEA SPIRU HARET

Facultatea de Management Financiar-Contabil

Facultatea de Marketing i ComerExterior

RODICA TRANDAFIR I. DUDA (coordonator)

AURORA BACIU RODICA IOAN

MATEMATICI PENTRU ECONOMITI

Volumul 1

EDITURA FUNDAIEIROMNIA DE MINE

3Bucureti, 2001


4/189

4


5/189

5

CUPRINS

1.Elemente de algebrliniar(AURORA BACIU) ... 71.1. Sisteme de ecuaii liniare . 71.2. Sisteme de inecuaii liniare .. 111.3. Spaii vectoriale ... 141.4. Spaii euclidiene .. 201.5. Aplicaii liniare 231.6. Valori proprii i vectori proprii asociai unei aplicaii liniare . 251.7. Forme liniare. Forme ptratice 311.8. Reducerea unei forme ptratice la forma canonic. 35

2.Programare liniar(RODICA TRANDAFIR) 49

2.1. Introducere ... 492.2. Forma generala problemei de programare liniar. 512.3. Soluiile problemei de programare liniar.. 532.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard 552.5. Metoda bazei artificiale ... 612.6. Cazul n care sistemul de restricii conine inegaliti . 662.7. Dualitatea n programarea liniar 702.8. Aplicaii n economie .. 742.9. Probleme de transport .. 77

3.Elemente de teoria grafurilor (RODICA IOAN) 88

3.1. Introducere. Definiii ... 883.2. Matrici asociate unui graf. Proprietile grafurilor .. 923.3. Flux maxim ntr-o reea de transport ... 111

4.Elemente de analizmatematic(I. DUDA) .. 125

4.1. Funcii vectoriale . 1254.2. Limite iterate ... 1304.3. Continuitatea funciilor vectoriale ... 1314.4. Continuitatea spaial.. 1324.5. Derivate pariale .. 1334.6. Interpretarea economica derivatelor pariale 1354.7. Difereniabilitatea funciilor de mai multe variabile ... 1354.8. Derivate pariale de ordin superior .. 140

4.9. Formula lui Taylor ... 142


6/189

6

4.10. Extremele funciilor de mai multe variabile .. 1434.11. Funcii implicite 1484.12. Extreme condiionate legate .. 149

4.13. Funcii omogene de mai multe variabile ... 1514.14. Funcii omogene n economie ... 1524.15. Ecuaii difereniale . 1534.16. Ecuaii difereniale care nu conin variabile independente 1554.17. Ecuaii cu variabile separabile .. 1564.18. Ecuaii omogene 1564.19. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene .. 1574.20. Ecuaii liniare de ordinul nti ... 1584.21. Unele aplicaii n economie a ecuaiilor difereniale . 159

5.Elemente de matematici financiare(AURORA BACIU) ... 1635.1. Dobnda simpl... 1635.2. Dobnda compus... 1645.3. Pli ealonate (rente) .. 1695.4. mprumuturi . 174Probleme propuse (elemente de matematici financiare) 184Bibliografie . 187


7/189

1.ELEMENTE DE ALGEBRLINIAR

1.1.Sisteme de ecuaii liniare

Un sistem de m-ecuaii liniare cu n-necunoscute x1, x2. ..., xn, sescriu sub forma:

1nn1212111 bxa...xaxa =+++

2n2n222121 bxa...xaxa =+++

7

(1.1.1.) .

..mnmn22m11m bxa...xaxa =+++

unde aiji bicu i = 1,2, ..., m i j = 1,2, ..., n sunt constante reale,

(1.1.2) =

==n

1jijij m1,2,...,ibxa

sau sub formmatriceal:

(1.1.3.) AX = b,unde:

A =

=

=

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

b

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

MM

L

LLLL

L

L

Matricea A se numete matricea coeficienilor, b se numetematricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor.Studiul sistemelor cu m-ecuaii i n-necunoscute presupune

determinarea unui sistem de valori (numere) care date necunoscutelorsverifice simultan toate ecuaiile sistemului.

Sistemul de ecuaii pentru care se gsete un asemenea sistem denumere, sau mai multe asemenea sisteme, care s verifice simultantoate ecuaiile sistemului se numete sistem compatibil unicdeterminat, respectiv, sistem compatibil nedeterminat. n cazul n carenu exist

nici un sistem de numere cu aceast

proprietate, sistemul se

va numi sistem incompatibil.


8/189

TEOREMA CRONKER CAPELLI: Sistemul (1.1.1.) este un sis-tem compatibil dac i numai dac rangul matricei A este egal curangul matricei extinse , unde:

=

mmn2m1m

2n22221

1n11211

baaa

baaabaaa

L

LMLLL

L

L

Dac rang A = rang = k = n, numrul necunoscutelor, atuncisistemul (1) este sistem unic determinat.

Dac rang A = rang = k < n, atunci sistemul (1.1.1.) este

sistem compatibil nedeterminat.Studiul sistemelor se poate realiza i prin metoda eliminriisuccesive (Metoda lui Gauss), pe lngalte metode cunoscute din liceu.

Metoda lui Gauss const n transformri elementare succesiveale sistemului ntr-un sistem echivalent, care va elimina pe rnd cte ovariabildin toate ecuaiile sistemului cu excepia unei singure ecuaiin care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.

Dac a11 0, atunci variabila x1 din prima ecuaie poate aveacoeficientul 1 dac se mparte aceastecuaie prin a11. Elementul a11

se va numi pivot. Prima ecuaie va deveni:(1.1.4.)

11

1n

11

n132

11

121 a

bx

a

a...xx

a

ax =++++

11

13

a

a

Pentru a elimina necunoscuta x1din ecuaiile 2, 3, ..., m, ecuaia(1.1.4.) se nmulete pe rnd cu a21, a31, ..., am1i se scade din ecuaia2, apoi din ecuaia 3 .a.m.d. Se obine ecuaiile:

ecuaia 2:

=

++

+

21

11

12n21

11

n1n2321

11

1323221

11

1222 a

abbxa

aaa...xa

aaaxa

aaa

.................ecuaia m:

=

++

+

1m

11

1m21m

11

n1mn3m

11

133m21m

11

122m aa

bbxa

a

aa...xa

a

aaxa

a

aa

8

Se obine astfel un sistem echivalent cu sistemul iniial n carenecunoscuta x1se afldoar n prima ecuaie, cu coeficient unu.


9/189

(1.1.5.)

=

+

=

++

=+++

m111

1mnm1

11

mnmn2m1

11

12m2

n2111

1n2n221

11

1222

11

1

n11

1n

211

12

1

aa

bbxa

a

aa...xa

a

aa

xaa

aa...xa

a

aa

a

bx

a

a...x

a

ax

L

2111

12 aa

bb

n etapa urmtoare, dac x2 are coeficientul nenul n ecuaia a

doua, se va alege acesta pivot i, prin aceeai metod, se va urmrieliminarea necunoscutei x2din toate ecuaiile cu excepia ecuaiei doiunde va avea coeficientul unu.

Algoritmul va continua pn cnd nu vom mai putea eliminadupprocedeul de mai sus nici o variabil.

Sistemul (1.1.5.) echivalent cu sistemul (1.1.1.) se poate calculai schematic cu ajutorul metodei dreptunghiului.

Se scriu coeficienii tuturor necunoscutelor i termenii liberi aisistemului. Calculul unui sistem echivalent se obin astfel: linia nti

se mparte prin elementula11 0, a11 pivotul se ncadreaz. Elementele coloanei ntisunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculeazformndun dreptunghi ce are ca diagonal segmentul ce unete loculelementului de calculat i pivotul. Noul coeficient va fi egal cudiferena dintre produsul coeficienilor de pe diagonala pivotului iprodusul coeficienilor de pe cealalt diagonal, diferena care semparte la pivot.

S

chematic obinem:

a11 a12... a1n b1a21 a22... a2n b2...........am1 am2....amn bm

1 a'12...a'1n b'10 a'22... a'2n b'2.....0 a'm2... a'mn b'm

9


10/189

unde: n1,ja

aa

11

j1j1 ==

11

i1j1ij11ij a

aaaaa =

pentru i = n1,jm,1 =

11

1i111ii a

baabb

=

pentru i = m,2

11

11 a

bb =

n mod similar, n etapele urmtoare se obin sisteme echivalentecu sistemul iniial.

n etapa a n-a se obine:

1 0 ... 0 1)-(n11)-(n

1n)1n(1m,1 ba...a

+

0 1 ... 0 1)-(n21)-(nn2)1n( 1m2 ba...a +

0 0 ... 1 1)-nm1)-(n

mn1n(

1m,m ba...a

+

Soluia sistemului se citete:

10

=

=

++

+

+

n)1n(

mn1mm)1n(

mn

n)1n(

n11m)1n(1m1

)1n(11

xaxabx

xaxabx

LK

L

1)-(n1m

Dacm < n i rang A = rang = m, sistemul este compatibilnedeterminat.

Exemplu. Sse rezolve sistemul:

=

=++

=++

2x2xx2x

4x5xxx

2x4x3xx2

4321

4321

4321

S

oluie: Folosind metoda lui Gauss prezentatmai sus, obinem:


11/189

2 33 44 1 1 221 1 5 1 41 2 1 2 2

1 3/2 2 1/2 10 1/2 7 3/2 30 1/2 7 3/2 3

1 0 19/2 4 100 1 14 3 60 0 0 0 0

Deoarece n ultimul sistem toate elementele a33, a34, b4sunt nule,algoritmul nu mai poate continua. Sistemul este compatibil nedeter-

minat deoarece rang A = rang = 2 (determinantul maxim nenul ce sepoate forma este de ordin 2). Necunoscute principale sunt x1i x2.S

oluia sistemului este:

+=

=

Rx

R

3x146

42/1910

4

3

432

431

x

xx

xxx

1.2.Sisteme de inecuaii liniare

Un sistem de inecuaii liniare cu n-necunoscute x1, x2, ..., xn sescrie sub forma:

a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn


12/189

Studiul sistemelor de inecuaii (1.2.2.) sau (1.2.3.) se reduce la studiulunui sistem de ecuaii prin adunarea, respectiv scderea, la fiecare ecuaie aunei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, i anume:

a11x1+ a12 x2+...+ a1nxn + y1= b1(1.2.4.) a2x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ y2= b2 ..............

am1x1+ am2+ ... + amnxn+ ym= bm

saua11x1+ a12 x2+...+ a1nxn - y1= b1

(1.2.5.) a2x1+ a22x2+ ... + a2nxn- y2= b2

..................

am1x1+ am2+ ... + amnxn ym= bm

yi0 pentru i = 1,mundeVom numi soluie a sistemului de inecuaii (1.2.2.), respectiv (1.2.3.),

un sist m de valori care verificsimultan toate inecuaiile sistemului.eTEOREMA: Oricrei soluii a sistemului de inecuaii (1.2.1.) i co-

respunde o soluie a sistemului de ecuaii (1.2.4.) sau (1.2.5.) i reciproc.Demonstraie: Fie sistemul de inecuaii (1.2.2.) scris sub

formmatriceal

Ax b i x0o soluie a acestui sistem. Deci A x0 b.Sistemul de inecuaii se transform n sistem de ecuaii (1.2.4.)scris sub formmatriceal:

Ax + y = b sau y = b Ax cu y 0

atunci (x0, y0) este soluia sistemului dac

y0= b Ax0 0.

Fie (x0, y0) soluie pentru sistemul (1.2.4.) Atunci y00 i

Ax0 + y0= b de unde obinem Ax0b i deci x0soluie a sistemului deinecuaii.Exemplu. Sse rezolve sistemul de inecuaii:2x1 +x2 x32

x1 + 2x2+ 3x3 41 x2+ x32x

Soluie: Sistemul de inecuaii se transformntr-un sistem de ecuaii2x1 +x2 x3+ y1= 2

x1 + 2x2+ 3x3 +y2= 4x1 x2+ x3 + y3= 2

12


13/189

P

rin metoda eliminrii complete obinem:

5/25/15/15/1100

15/1415/75/115/2010

3/53/103/1001

2111500003/23/13/710

103/13/23/501

2102/12/32/30

0012/12/72/30

1002/12/12/11

3100111

10103212001112

byyyxxx 321321

S

oluie a sistemului de ecuaie este:

+=

+=

=

3213

3212

311

y5

1y

5

1y

5

1

5

2x

y15

7y

5

1y

15

2

15

14x

y51y3135x

y1, y2, y3 0

n consecinsoluie a sistemului de inecuaii este:

5

2x

15

14x

3

5x

3

2

1

=

=

=

13


14/189

14

1.3.Spaii vectoriale

Fie V o mulime nevidde elemente i K un corp de colari (de

regulK este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor comple-xe C) Pe mulimea V se definesc douoperaii:1. Operaia de adunare + ca lege de compoziie intern, care

asociazfiecrei perechi de elemente (x, y) Vx V un element sumx + y V.

2.Operaia de nmulire cu scalari ca lege de comparaieextern, care asociaz, fiecrei perechi de elemente (, x) Kx V unelement x V

Definiie. Mulimea nevidV se numete spaiu vectorial peste

corpul K dac(V, + ) este grup abelian, adicverific:1

.1. x + y = y + x pentru () x, y V

1

.2. (x + y) + z = x + (y+z) pentru () x,y,z V

1.3. () xV, () Ov element neutru OvVastfel nctx + Ov = Ov + x

1.4. () x V, () x element opus, - x V,a.x + (-x) = (-x) + x = Ov

i (V, )2

.1. (+ ) x = + x pentru () , K, x V

2

.2. (x+y) = x + y pentru () K, x, y V

2

.3. ( ) x = (x) pentru () , K, x V

2

.4. 1k x = x pentru () x V i 1kK

Notaii:

1. Elementele unui spaiu vectorial V se numesc vectori.2

. Elementele corpului K se numesc scalari.

Definiie. Fie V un spaiu vectorial peste corpul K0 Un vectorv V se numete combinaie liniara vectorilor v1, v2,... vmV dacexistscalori 1, 2,...nK astfel nct:

v

= 1 v1+ 2 v2+ ... + nvn.

Definiie. Un sistem de vectori {v1, v2,..., vn} din V se numetesistem de generatori ai spaiului vectorial V dacorice vector v V sepoate scrie ca o combina

ie liniar

a vectorilor v

1, v

2,....v

n.


15/189

Definiie. Un sistem de vectori {v1, v2,..., vn} din V se numetesistem liniar independent dacdin

(1.3.1.) 1v1+ 2v2+... + nvn= 0v rezultscalari nuli 1= 2

= ... = n= 0Dac exist scalari nenuli, sistemul de numete sistem liniardependent.

PROPOZIIA 1.3.1. Vectorii v1, v2,..., vn V sunt liniardependeni dac i numai dac cel puin un vector dintre ei este ocombinaie liniarde ceilali.

Demonstraie: Fie v1, v2, ..., vn vectori liniar dependeni.Atunci existscalarii 1, 2,..., n, nu toi nuli, astfel nct:

1v1+ 2v2+...+ nvn= 0 ie 10k, atunci putem scrie:f

n1

n3

1

32

1

21 v...vvv

+

=

ceea ce arat c vectorul v1 se scrie ca o combinaie liniar deceilali vectori.

Presupunem, eventual renumerotnd vectorii, cv1se scrieca o combina

ie de vectorii v2, v3,...vn. Atunci exist

scalari

2,

3, ...,nnu toi nuli astfel nct:

v1= 2 v2+ 3v3+ ... + nvn

sau

v1 2v2 3v3... nvn= 0v

Deci

vectorii v1, v2, ...vnsunt liniar dependeni.

Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul K. Un sistem de

vectoriB V se numete baza pe spaiul vectorial V daceste formatdintr-un numr maxim de vectori liniar independeni. Numrulvectorilor din bazdetermindimensiunea spaiului.

PROPOZIIA1.3.2. Fie V un spaiu vectorial peste corpul K i B= {b1, b2,..., bn} o baza spaiului V, atunci orice vector v V se scrien mod unic ca o combinaie liniara vectorilor bazei.

Demonstraie: Presupunem c vectorul v V se poate expriman doumoduri n funcie de vectorii bazei B i anume:

15


16/189

v = 1b1+ 2b2+ nbnv

= 1b1+ 2b2 +... + nbn.

S

cznd cele dourelaii obinem:

v= (1 1) b1+ (2 2) b2 +...+ (n n) bn.0Vectorii bazei b1, b2, ... bn conform definiiei sunt liniar

independeni, deci toi scalarii combinaiei sunt nuli. Deci: 1= 2;...,n= n. n consecinun vector se scrie ca o combinai liniarunicdevectorii bazei.

Definiie. Coeficienii 1, 2, ..., n ai reprezentrii vectoruluiv V n baza B se numesc coordonatele vectorului v n baza B.

Se poate scrie atunci v = (1, 2, ..., n).SPAIUL VECTORIAL n DIMENSIONAL este mulimea:

Rn= R R ...= pe care se definesc operaiile:

= Rx,

x

xx

x/x 1n

21

M

x + y = +

n

21

x

xx

M

+

++

=

2n

2211

n

21

yx

yxyx

y

yy

MM

i x = =

n

21

x

xx

M

n

21

x

xx

M

PROPOZIIA1.3.3. Sistemul de vectori unitari:

16

1

0

0

b,...

0

1

0

b,

0

0

1

n2MMM

b1=

formeazo baza spaiului vectorial Rn

numitbaza canonic.

=

OBSERVAIE: n spaiul Rn existo infinitate de baze.PROPOZIIA 1.3.4. Un sistem de vectori { v1, v2, ... vn} V

sunt vectori liniar independeni dac rangul matricei vectorilor esteegal cu numrul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependeni dacrangulmatricei vectorilor este mai mic ca numrul vectorilor.

Demonstraie: Fie vectorii

v1=

=

=

mn

1m

nn2

21

2n1

11

a

av

a

av

a

aMLMM


17/189

Ei sunt liniar dependeni daci numai dacexistscalari 1, 2,... m, nu toi nuli, astfel nct:

=

++

+

0

0

...1

2

21

2

1

11

1 MMMM

mn

m

m

nn a

a

a

a

a

a

ceea ce este echivalent cu sistemul omogen cu m-necunoscute i

n-ecu ii:a

17

m1m221111

LL

n1

=+++

=+++

0aaa

0a...aa

mnm2n21

Sistemul omogen admite soluii diferite de soluia banaldacinumai dacrang A


18/189

b1=

=

=

nn

1n

n

n2

21

2

n1

11

b

b

b

b

b

b,

b

b

MLMM

Fie 1, 2... n coordonatele vectorului v n baza A, atunciv = 1a1+ 2a2+ ... + nan

sauv = A unde = (1, 2, ... n)T

Vectorii bazei A pot fi exprimai la rndul lor ca o combinaieliniar

de vectorii bazei B, deciai= i1b1+ i2b2 + ... + in bn i = n,1

A

ceti vectori nlocuii n combinaia liniara vectorului v, obinem:

v = 1(11b1+ 12b2+ ... + 1nbn)+ ... + mnbn + n (n1b1+ ...+ nnbn)

sauv = (111+...+ n n1) b1+... + (11n+ ... + nnn) bn

n consecincoordonatele vectorului v n baza

vor fi:

++=

++=

nnnn11n

1nn1111

...

...L

S

crismatriceal, relaia devine:

= M M =

nnn1

1n11

L

MMM

L

A se numete matricea de trecere de la baza M la baza .

OBSERVAII1. Matricea de trecere de la o baz la alta este ntotdeauna

matrice nesingular.2. Dac matricea de trecere de la baza A la baza la baza A

este M-13. Fie vectorul v = (v1, v2,... vn) R

n v1, v2,... vn sunt coordo-

natele vectorului v scris n baza canonic.18


19/189

++

+

=

1

0

0

v

0

1

0

v

0

0

1

v

v

v

v

n21

n

2

1

MLMMM

v = E v unde E =

100

010

001

L

MMMM

L

L

Coordonatele lui v n baza A = {a1a2... an} sunt(1, 2,..., n)Tdeci v = A

sau

=

n

1

nnn1

1n11

n

1

aa

aa

v

v

M

L

MMM

L

M

Coordonatele lui v n baza B vor fi vor fi = (1,..., n), deci

v = B De unde B = A sau = B-1A n consecin, matricea de trecere de la baza A la baza B este

(12) M = B-1 A.

Exemplu.Fie vectorii a1= (1, 1, 0)T, a2= (-1, 2, 1)

T, a3= (1, 2,4,)Ti un vector v R3exprimnd n raport cu baza A = {a1, a2, a3}prin coordonatele 1, 2 i 1. Sse exprime coordonatele vectorului v nraport cu baza B = {b1, b2, b3} unde b1= (-1, 2, 3)

T, b2= (1, 1, 1)Ti

b3= (1, 2, 3)T.

Soluie. Matricele de trecere de la baza A, respectiv B la bazacanonicsunt:

A =

=

313

212

111-

Bi410

221

111

Coordonatele vectorului v n raport cu baza B sunt, conform

observaiei de mai sus, relaiei (12):

19


20/189

=

=

=

7/10

7/3

7/13

1

2

1

410

221

11-1

7/37/47/1

7/47/37/6

7/17/17/2

1

2

1

410

221

111

313

212

111-

1

3

2

1

1.4.Spaii euclidiene

Definiie. Fie V spaiu vectorial peste corpul de scalari K. Oaplicaie f: V x V R, notatf (x, y) = = (x/y) se numeteprodus scalar dacsatisface:

1. = + () x1, x2, y V2. = () x, y,V3. = () x, y V, ()K4 . 0 pentru x 0

Definiie. Un spaiu vectorial E peste corpul K pe care s-a definitun produs scalar se numete spaiu euclidian.

Exemplu. Dac spaiu vectorial V este n. dimensional pestecorpul de scalari K i produsul scalar o funcie f : Rnx RnR estedefinit prin:

= x1y1+ x2y2 + ... + xnyn

s e observcu uurincse verificcele patru proprieti de definiie.Definiie. ntr-un spaiu euclidian real sau complex, doi vectori

x, y E se numesc vectori ortogonali dac produsul loc scalar estenul, deci = 0

Definiie. Fie E spaiu euclidian. Un sistem x1, x2, ... xnE senumete sistem ortogonal de vectori dac fiecare vector vi esteortogonal pe toi ceilali vectori. Deci = 0 pentru orice i ji, j = n,1

PROPOZIIA1.4.1. n orice spaiu euclidian n-dimensional estecorpul K existcel puin o bazortogonal care se poate determinacu procedeul lui Gramm Schmidt.

Se pleacde la o bazoarecare a spaiului En, B = {b1, b2, ... bn}ise vor construi vectorii:

a1= b1a2= b2-21a1..

.an = bn- n1a1- n2a2...- nn-1an-120


21/189

Scalarii ij se vor determina punnd condiia ca oricare dinvectori {a1, a2, ... an}sfie ortogonali

==

==

==

22

233223

11

133113

11

12

2112

a,a

a,b0a,a

a,a

a,b0a,a

aa

a,b

0a,a

Se obin

=

jj

jij

a,a

a,ib

Exemplu. S se construiasc o baz ortogonal a spaiuluieuclidian R3

Soluie: Fie vectorii b1=

=

=

2

1

0

b

1

0

1

b

0

1

1

32

Aceti trei vectori avnd rang A = 3 formeazo baza spaiului E3.

Se vor construi vectorii ;01

1

ba 11

==

==

0

1

1

(1,1,0)0),1,(1,

0)1,(1,1),,0,1(_

1

0

1

a,ba 11222

=

=

1-

1/2-

1/2

0

1

1

2

1-

1-

0

1

a 2

=

+

=

==

1/3

1/3-

1/3

1-

1/2-

1/2

3

5

0

1

1

2

1-

2

1

0

1-

1/2-

1/2

1)-1/2-(1/21),-1/2-(1/2

1)-1/2,-(1/2,(012),-

-

0

1

1

(1,1,0)10),(1

(110)12),(0-

2

1

0

aab 213 32313a

21


22/189

Vectorii (a1, a2, a3 ) formeaz o baz ortogonal a spaiului Edeoarece sunt trei vectori liniar independeni i ortogonali doi cte doi.

Definiie. Fie V spaiu vectorial peste corpul K O funcie f: V R,notatf(x) = x se numete norma vectorului x, x V dac

verific: 1. 0x

2. xx =

3. yxy ++x

OBSERVAIE. Norma unui vector pe un spaiu euclidian sepoate defini n mai multe feluri. Noi vom folosi norma definit cuajutorul produsului scalar:

= xx,x

Definiie. Un spaiu vectorial pe care s-a definit o norm se vanumi spaiu ca vectorial normat.

PROPOZIIA 1.4.2. n orice spaiu vectorial normat exist obaz ortonormat adic o baz ortogonal n care norma fiecruivector este egalcu unitatea.

Fie o bazortogonal

A = {a

1, a

2, ... a

n} construit

prin proce-

deul Gramm Schmidt.Se va construi o baz ortonormat, fiecare vector din baza A

prin mprirea fiecrui vector la norma sa, se obine baza:

n

nn

2

22

1

11 a

aC,...

a

aC,

a

aC ==

xemplu. Sse determine o bazortonormata spaiului R3E

Rezolvare: Vom pleca cu baza ortogonal

=

=

=

1/3

1/3-

1/3

a;

1-

1/2-

1/2

a;

0

1

1

a 321

V

om norma fiecare vector:

( ) ( )TTT

c

==== 0,

2

1,

2

1

2

01,1,

2

0,1,1

a

a

1

11

22


23/189

( )TT

2

22 3

2-,

6

1-,

6

1

2

3

1-1/2,-1/2,

a

ac

===

( )T

T

c

===

3

3,

3

3-,

3

3

3

11/31/3,-1/3,

a

a

3

33

Vectorii {c1, c2, c3}formeazo bazortonormata spaiului R3

1.5.Aplicaii liniare

Definiie. Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelai corp descalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaie T: V V' senumete aplicaie (transformare sau operator) liniardaceste aditiv iomogen, deci verific:

1. T ( x + y) = T (x) + T (y) () x, y V

2

. T (x ) = T (x) () x V, () K

TEOREMA 1.5.1. O aplicaie T: V V' este aplicaie liniardaci numai dac:(13) T (x + y) = T (x ) + T (y)

Demonstraie: T aplicaie liniar. Vom calcula cu ajutorulproprietilor de definiie 1, 2 valoarea

T (x + y) = T(x) + T (y) = T (x) + T (y) Presupunem crelaia T(x + y) = T (x) + T(y) este

verificat. Atunci ea este verificati pentru scalarii = = s ceea ceconduce la egalitatea 1. ct i pentru scalarul = 0 ceea ce conduce laegalitatea 2. (q.e.d.)

OBSERVAIE. Teorema 1.3.1. poate fi folosit ca definiiepentru aplicaia liniar.

TEOREMA 1.5.2. Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelaicorp de scalari K; B = {a1, a2, ... an}o baza spaiului Vectorial V iB' = {b1, b2, ... bn } o baz a spaiului vectorial V', atunci exist oaplicaie liniarT : V V' cu proprietatea:

T (ak) = bkpentru () k {1, 2, ..., n }

23


24/189

Demonstraie: Fie v V, T: V V' o aplicaie,T(v) = 1b1+ 2b2+ ... + nbn

vom demonstra caplicaia astfel definiteste liniar.Fie v1, v2 doi vectori oarecare din V care se pot exprima n

funcie de baza B astfel:

v1= 11a1+ 12a2+ ... + 1nanv 2

= 21a1+ 22a2+ ... + 2nanV

om calcula

v1+ v2= (11a1+ ... + 1nan) + (21a1+ ... + 2nan) ==

(11+ 21) a1+ ... + (1n+ 2n) an

T(v1+ v2) = (11+ 21) b1+ ... + (1n+ 2n) bn=(11b1 + ... 1nbn) + (21b1+ ... + 2nb1) = T(v1) + T(v2)=

Deci aplicnd teorema 1.3.1. aplicaia T definitmai sus este oaplicaie liniar.

Pentru orice vector ak B coordonatele sale n baza B sunt

0,...,0,...,0

k

1 i deci prin definiie

T(ak) 1+. = 0b .. + 0bk-1+ 1. bk+ 0 bk+1+ ... + 0bn= bkn consecinexisto aplicaie liniarcare verific

T(ak) = bk

1.5.3.Matricea asociatunei aplicaii liniare

Fie aplicaia liniar T: V V', V, V' spaii vectoriale peste uncorp K,

B = {a1,... , an}o baza spaiului vectorial V i B' = {b1...bn}obaz a spaiului vectorial V'. Fie ai un vector oarecare din B atunciT(ai) este un vector al spaiului V' i poate fi reprezentat n mod unicn fun ie de vectorii bazei B':c

T(ai)

= i1b1+ i2b2+ ... + inbn

Matricea format din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ...T(an) n baza B' se va numi matrice asociat aplicaiei liniare T nraport cu perechea de baze {B, B'}

24


25/189

MB, B'(T) =

mnn2n1

2m2212

1n2111

LMMMM

L

L

Exemplu. S se determine matrice asociat aplicaiei liniare

T: R2R3,

(x1x2) = (x1+ x2, - x2, - x1 x2) n raport cu perechea de bazeT

25

}{ } {

=

=

=

=

=

==

0

1-

5

bb

1

1

1

b

bbbi3

1-a

1

1aaa

321

3212121

4

3

1

,,B,B

Soluie: T(a1) = T(1,1) = (1+1,-1,-1 1) = (2,-1,-2)T(a2) = T(-1,3) = (-1+3, -3, +1-3) = (2,-3,-2)

Coordonatele acestor doi vectori n funcie de baza B' sunt

(10/4,-9/8,1/8) i respectiv (3, 1/8, 7/8). Deci matricea asociatperechii de baze este

M B B' (T) =

8/78/1

8/18/9

34/10

1.6.Valori proprii i vectori proprii asociai

unei aplicaii liniareDefiniie. Fie V un spaiu vectorial n-dimensional peste corpul

de scalari K i T: V o aplicaie liniar. Un scalar K se numetevaloare proprie pentru aplicaia liniar T dac exist cel puin unvector nenul v V astfel nct:

(1.6.1.) T (v) = v

Vectorul nenul v V care verific relaia (1.6.1.) se numetevector propriu pentru aplicaia liniarT asociatvalorii proprii .


26/189

1.6.1.Determinarea valorilor i vectorilor propriipentru o aplicaie liniar

Fie T: V V' aplicaie liniar cu matricea aplicaiei AT,definitn 1.3.3., n bazaB= {a1, ..., an}. Relaia (1.6.1.) se mai scrie:

T (v) - v = 0

sau

(1.6.2.) (AT- Ei) v = 0v

u

nde

=

=

=

n

1

i

nnn1

1n11

v

v

vEiaa

aa

M

L

MMM

L

L

MMM

L

10

01

AT

R

elaia (1.6.2.) conduce la sistemul:

(1.6.3.)

( )

( )

( )

=+++

=+++

=+++

0va...vava

0va...vava

0va...vava

nnn22n11n

nn2222112

nn1221111

L

n consecin, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt solu-iile sistemului omogen (1.6.3.). Soluiile sistemului omogen (1.6.3.) nusunt toate nule numai dacdeterminantul sistemului este nul.

Dete

rminantul sistemului (1.6.3.):

( )

=

nnn2n1

2n2212

1n2111

aaa

aaa

aaa

P

L

MMMM

L

L

se numete polinomul caracteristic asociat aplicaiei liniare T.Ecuaia P () = 0 se numete ecuaie caracteristica aplicaiei T. Decise verificteorema:

26


27/189

TEOREMA1.6.2. Fie T : V V K este o valoare propriea aplicaiei liniare T dac i numai dac este rdcin a ecuaieicaract ristice.e

Observaii1. Polinomul caracteristic i deci ecuaia caracteristic nu

depinde de baza aleas.2. Vectorii proprii asociai aplicaiei liniare T : V V pentru

valorile proprii determinate se obin nlocuind valorile proprii nsistemul (1.6.3.) i rezolvnd sistemul.

Soluiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaiaplicaiei T n raport cu baza B.

3. Fiecrei valori proprii i corespund o infinitate de vectori proprii.Sistemul omogen (1.6.3.) este compatibil nedeterminat.cci P()=0. Mulimea soluiilor formeaz un subspaiu, numit

subspaiu propriu ataat valorii proprii respective. Se noteazE={/V-{0}, T()=}4. Un vector propriu poate fi asociat ca vector propriu unei

singure valori proprii asociataplicaiei liniare T.Observaia se demonstreaz presupunnd ca pentru - vector

propriu al lui T existdouvalori proprii adic:

T()= i T()= 0vatunci= sau (-) =0n consecin- =0 i deci = i deci propunerea este fals.

Exemplu: S se determine valorile i vectorii proprii asociaiaplicaiei liniare T: R2R2cu T(1, 2)=( 1+22, 21+2)

Soluie: Matricea aplicaiei este: AT=

12

21

Ecuaia caracteristic

P() =

12

21 =0 (1-)2-4=0 2- 2-3=0 1=-1, 2=3

Vectorii proprii asociai valorii proprii 1 = -1 au coordonatele nraport cu baza canonicdate de sistemul de ecuaii:

{

=+

=+

=+

=+

022

022

0)1(2

02)1(

21

21

211

211

27


28/189

cu soluia 1= -2 2 = k RSubspaiu vectorilor propriu ai lui 1este:

1 = {/= (-k,k) k R}EVectorii proprii asociai valorii proprii 2=3 au coordonatele n

raport cu baza comunicdate de soluiile sistemului.

=

=+

=+

=+

022

022

0)1(2

02)1(

21

21

221

212

cu soluia nedeterminat1=2=h, cu h RSubspaiul propriu

E 2={/=(h,h), h R}TEOREMA 1.6.3 Dac 1, 2, .... p sunt vectori proprii ai

aplicaiei liniare T:VV asociai valorile proprii distincte 1,.... ,patunci sunt liniari independeni.

Demonstraia teoremei se face presupunnd c vectorii ar fidependeni, deci ar verifica: (1.6.4.) 11+22+.....+pp= 0v cu i0

Vectorii proprii ai aplicaiei liniare T verificT(1) = 11, .....T(p)= pp

Calculm:

(1.6.5.) T(11+.....+pp) = 1T(1) +.......+ pT(p) = 111 + ...... +ppp= 0Dacdin (1.6.5.) scdem (1.6.4.) nmulit cu 1se obine:111+.........+ppp-1(11+.......+p1) = 0 sau(2-1) 22+........+(p-1) pp = 0Cum valorile proprii 1,......,p sunt distincte, dac vectorii 2,

3,......, par fi independeni am obine 2 = ....... = p = 0, ceea ce arcontrazice presupunerea fcut. Rezultcvectorii proprii sunt liniarindependeni.

TEOREMA1.6.4. Fie V spaiu vectorial de dimensiune n, T: V Vo aplicaie liniari 1, 2,......, nvalori proprii distincte pentru T. Atunciexisto bazB pentru V astfel nct matricea asociataplicaiei liniare Ts aib form diagonal cu elementele diagonalei principale egale cuvalorile proprii.

28

Demonstraia teoremei pleac de la teorema 1.4.3. cci vectoriiproprii asociai valorilor proprii distincte 1, 2, ......, n sunt 1, 2, .....,nliniar independeni vectorii 1, 2, ....., nformeazo baza spaiuluiV cci numrul lor este maximal. Matricea aplicaiei liniare T, T(i) =ii i = 1,n n raport cu perechea de baze {B, B}este:


29/189

AT=

n

2

1

......00

0.......0

0......0

TEOREMA 1.6.5. Fie V spaiu vectorial de dimensiune n,

T:VV o aplicaie liniarcare are un polinom caracteristic:P()=(-1)

m1 (-2)m2 ......( -p)

mp cu m1+m2+.......+mp=n.Atunci exist o baz B a spaiului vectorial V astfel nct matriceaasociat aplicaiei liniare T n raport cu perechea de baz {B, B} saib form diagonal dac i numai dac dimensiunea fiecruisubspaiu propriu Ei corespunztor valorii proprii ieste egalcu mi-ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective

diagAT =

4342143421pp m

pp

m

p .....,.......,......1

Baza B este format din vectori proprii aparinnd subspaiilorproprii corespunztoare.

Exemplu1. Fie T: R3

R3

datprin: T()=(41+2, -1+32+3, 1-2+3)Sse studieze dacexisto baza spaiului vectorial R3n raport

cu care matricea asociataplicaiei liniare T saibformdiagonal.S

oluie. Matricea transformrii este:

AT=

110

131

114

P

olinomul caracteristic este:

)2()3(

110

131

114

)( 2

+=

=P

Deci ecuaia caracteristic

29


30/189

(3-)2(2-)=0 are =3 valoare proprie de ordin de multiplicitatedoi (rdcindubl) i =-2 valoare proprie distinct.

30

=+

=+

=+

33231

22

31

321

32

321

321

,2,

02

0

0

0)31(

0)33(

0)34(

Vectorii proprii asociai valorii proprii =3 sunt soluiile

sistemului.

R==

=

=

=+

Deci: E3={x/x=(k,2k,k) R} a crei dimensiune este 1. n

conformitate cu teorema 1.4.5. nu existo baza spaiului vectorial R3n raport cu care matricea asociataplicaiei T saibformdiagonal.

2. Fie T:R3R3 o aplicaie liniar a crei matrice asociat nraport cu baza canoniceste:

AT=

130

310

004

Sse studieze dacexisto baza spaiului vectorial R3n raport

cu care matricea asociataplicaiei liniare T saibformdiagonal.S oluie. Ecuaia caracteristicasociateste:

0)2()4(

130

310

0042 =+=

Valorile proprii sunt 1=2=4, 3=-2Vectorii proprii asociai valorii 1=2=4 sunt soluiile sistemului

de ecuaii:

R,R,033

033

0)41(3

03)41(

0)44(

313232

32

32

32

1

=

=

=+

=+

=+

=

Deci

E=3={/=(k,h,h) k,h R}

Dimensiunea subspaiului propriu E=3 este doi ct este i

ordinul de multiplicitate a valorii proprii =3.


31/189

Vectorii proprii corespunztori valorii proprii 3=-2 sunt

soluiile sistemului.

31

32

1

==

=+

=+

=

=++

=++

=+

R,,0

033

033

06

0)21(3

03)21(

0)24(

3321

32

32

1

3

2Deci E=-2 = {/=(0,-p,p) p R}a

crei dimensiune este unu.

Matricea ATse transformAT=

200

040

004

ntr-o bazB = {b1, b2, b3}unde b1, b2E=4 i b3E=-2ca de

exemplu:B = {b1=(1,2,2); b2=(-1,1,1); b3=(0,-3,3)}

1.7.Forme liniare. Forme ptratice

Definiie: Fie v spaiu vectorial peste corpul real, de dimensiunen. O aplicaie f: V R este o form(transformare sau operator) liniardect este aditivi omogen.

f(x+y)=f(x)+f(y) () x, y V

f(x)= f(x) () x V, () R

OBSERVAIEAceast

aplica

ie ata

eaz

fiec

rui vector x = (x

1, x

2,......,x

n) V

scris ntr-o baza spaiului unui numr real f(x) R.DefiniieFie V spaiu vectorial peste corpul R de dimensiune n.

O aplicaie f: V x V R este o form biliniar dac este liniar nraport cu ambele argumente:

f(ax1+bx2, y)=af(x1, y)+b(x2,y)f(x,ay1+by2)=af(x,y1)+b(x,y2) () x1, x2, y V, () a, b R


32/189

1.7.1.Scrierea unei forme biliniare sub formmatricial.

Fie spaiul vectorial V o bazB = {b1,....bn}

Atunci vectorii x,y V se pot scrie:x=x1b1+.....+xnbny=y1b1+......+ynbnAplicaia f: VxV R se scrief(x,y) = f (x1b1+......+xnbn, y1b1+........+ynbn) =

= = = = =

=n

i

n

j

n

i

n

j

ijjijiii axxbbfyx1 1 1 1

),(

sau f(x,y)=(x1,...xn) =x

T

Ay

n

1

nnn

n

y

y

aa

aa

.....

...

1

111

OBSERVAIE: O form biliniar este determinat dac se

cunoate matricea formei A.Exemple: Fie o form biliniar f: R x R R, f(x,y) = x1y1-

2x2y1+x1y2. Vectorii x,y sunt exprimai n baza canonic. Care estematricea formei biliniarn baza canonic? Care este matricea formei

biliniare n baza B={b1,b

2} b

1= ?

=

6

5

b,4

3

2

Soluie:

f(x,y)=(x1,x2) = (x1a11+x2a21 x1a12+x2a22) =

2

1

2221

1211

y

y

aa

aa

2

1

y

y

= x1y1a11+x2y1a21+x1y2a12+x2y2a22.

Aceastformo identificm cu forma biliniardat: f(x,y)=x1y1-

2x2y1+x1y2S e obine matricea formei n baza canonic

Af=

02

11

C ei doi vectori x, y scrii n baza B={b1, b2}devine:

x = B

+

+=

=

21

2

2

1

64

5

1

2

1 3

64

53

x

x

32


33/189

y = B

+

+=

=

21

21

2

1

2

1

64

53

64

53

y

y

n consecinforma biliniardevine:f(x, y) = (31+52; 41+t2) =

+

+

21

2

64

5

02

11

13

= -311-712-21- 52n.

Se obine matricea formei biliniare n baza B:

Af=

51

73

Definiie: O formbiliniarse numete forma biliniarsimetricdacmatricea formei este o matrice simetric, adicmatricea A esteegalcu transpusa sa:

Af = AT

f

Definiie: Fie un spaiu vectorial V peste corpul real R dedimensiunea n. O aplicaie g: V R este o form ptratic dacexisto aplicaie biliniarsimetric

f: VxV R astfel nct g(x) = f(x,x) () x V

Observaie:

f(x,x)=xTAx=(x1.....xn) = =

=

n

1i

n

1jjiij

n

1

nn1n

n111

xxa

x

:

x

a....a

:

a....a

unde A matricea simetricadicaij=aji.Exemple: 1. Fie f: R2xR2R o formbiliniarsimetric

f(x, y) = 2x1y1+x1y2+4x2y2+x2y1. Care este matricea formei bili-niare? Care este forma ptratic?

A= A simetricdeoarece a12=a21=1

41

12

Forma ptratic

g(x)=f(x,x)=(x1x2) (2x1+x2, x1+4x2) ==

x

x

2

1

41

12

2

1

x

x

33= 2x12+x2x1+x1x2+4x22=2x12+2x1x2+4x22


34/189

2. Fie g: R3R o formptraticg(x)=x12+2x1x3-x2x3+x22+3x32sse s rie matricea formei ptratice.c

A= matrice simetric

32/11

2/110101

Definiii: 1. O form ptratic g: V R este pozitiv definit

dactoi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi. Minorii sunt:

nnn1

1n11

n

2221

12112

....aa

:

....aa

......,aa

aaa === ;111

2. O form ptratic g: V R este semipozitiv definit dacminorii sunt:

1

0, 20, ...., n0.

3. O formptraticg: V R este negativ definitdacminorii

impari 1, 3,.... sunt strict negativi iar cei pari 2, 4,....sunt strictpozitivi.4. O formptraticeste seminegativdefinitdac1 0, 3

0,..... i 20, 40,....5. O formptraticpentru care nu sunt ndeplinite nici una din

condi erioare este o formptraticnedefinit.iile ant

Exemple. Sse stabileascnatura formelor ptratice:g1(x) = 8x

2-6x1x2+2x x3+4x22+x3

21 2g2(x) = x1

2-4x1x2+4x22

g3(x) = -2x12-y1x2-x224(x) = x1

2-3x1x2+2x1x3-2x2x3+x32g

S

oluie:

0150;230;8

110

143

038

A 3211 ===

=

g 1(x) este o formptraticpozitivdefinit34


35/189

00;142

21A 212 ==

=

g2(x) este o formptraticsemipozitivdefinit

04/70;212/1

2/12213 ==

=A

04

1-0;-9/40;1

111

102/3

12/31

A 3214 ===

=

g 3

(x) este o formptraticnegativdiferit

g 4

(x) formptraticnedefinit

Definiie. Fie g: VR o formptratic. ntr-o baza spaiuluiB V forma ptratic g are o formcanonic dacmatricea formeieste o matrice diagonaladic:

35

g (y)=b1y12+b2y2

2+....+bryr2

r = rang A < n;

1.8.Reducerea unei forme ptratice la o formcanonic

1.8.1.Metoda Jacobi

Fie o form ptratic g: V R g(x) = xTAx, A matricesimetric. Dactoi minorii matricei A sunt neutri atunci existo bazB a spaiului V astfel nct forma ptraticsse transforme n formcanonic:

2122

2

121

1

.....1

n

n

n yyyg(y)

++

+

=

(y1,....., yn) reprezintcoordonatele vectorului x n baza B.

1.8.2.Metoda valorilor proprii

Aceast metod determin valorile cu ajutorul ecuaiei caracte-

ristice ataat matricei formei. Dac aceast matrice poate fi transfor-


36/189

mat ntr-o matrice diagonal. [ndeplinete condiiile teoremei 1.4.5.]atunci se poate determina o bazn care se poate scrie forma canonic.

1.8.3.Metoda GaussAceastmetodformeazptrate perfecte cnd conine cel puin

un aii0.Exemplul 1:S se transforme forma ptratic g:R3 R, g(x) = x22 - x32 +

+4x1x2 - 4x1x3ntr-o formcanonic.Soluie. Matricea formei este:

=

102

012220

A

Minorii 04;- 32 =

====

102

012

220

12

20;01

Metoda Jacobi nu se poate aplica cci avem minori nuli.Vom ncerca metoda vectorilor proprii scriind ecuaia

caracteristicdin ntrecerea A.

3;3;0

0)9(-

102

012

220

)(P

321

2

===

=+=

=

Valori proprii distinctesubspaiului propriu al valorii proprii 1=0 se obine din

sistemul:

36

===

=

=+

=

=+

=+

=+

2;

2;

02

02

022

0)1(2

0)11(2

02232

32

31

22

1

32

311

211

3211x

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

11


37/189

{ }RkkkkxxE === ),2,2,(/01

Printr-un calcul similar se obine:

E2=-3= {x/x=(h,21 h,h), h R}

E3=3 = {x/x=(-2t, -2t, t) t R}n consecinmatricea A se poate scrie ca o matrice diagonal

A

=

300

030

000care conduce la forma canonicg(y) = -3y22+3y32

Baza n care s-a fcut transformarea se obine din trei vectoricare aparin celor trei subspaii ale vectorilor proprii ca de exemplu:

B

={b1=(1, -2, -2) b2=(2, 1, 2) b3=(2, 2, -1)}

Exemplul 2:Sse scrie o formcanonica formei ptratice:g(x) = 2x1

2+3x22+8x3

2+2x1x2-8x1x3+6x2x3Soluie: Matricea formei este:

=

834

331

412

A

33

22

11

23

22

21

1

105

2

2

1

5

50

5

2

2

1)(

50

834

331

412

,51631

12;2

yyyyyyygAtunci

Minorii 32

+=+=

=

=====

La aceastformptraticse poate folosi i metoda lui Gauss.

g(x)=2

1[2x1+x2-4x3]

2 -2

1x2

2+8x32+4x2x3+3x2

2+8x32+6x2x3

Elementul a11=20 se va forma un ptrat perfect cu cei treitermeni ce conin pe x1[2x12 + 2x1x28x1x3]

37


38/189

Pentru restul termenilor se caut forma unui nou ptrat perfectcu termeni ce conin pe x2

[ ] [ ] 23322

321322

22

321 105

2

5

5

242

2

110

2

542

2

1)( xxxxxxxxxxxxxg

+++=+++=

Substituind:y1 = 2x1 + x2 - 4x3y2=

2

5 x2+5x3

3 = x3yobinem forma canonic

2

3

2

2

2

1 105

2

2

1

yyyg(y) +=

OBSERVAIEDac toi coeficienii aii= 0 unei forme ptratice g(x) sunt nuli

atunci nu se poate aplica nici o metodde mai nainte.n aceastsituaie se va face nti o transformare de forma:xi = yi - yjxj = yi + yjx k

= yk, ki,j

ExempluSse reducforma ptraticg: R3Rg(x) = x1x2+ 2x2x3+ x1x3la o formcanonic

Soluie. Matricea formei este

012/1

102/1

2/12/10

Vom face transformareax1= y1- y2

x2= y1+ y23= y3x

n aceste condiii, forma ptraticdevine:g(y) = (y1-y2)(y1+y2) + 2(y1+y2)y3+ (y1 y2)y3 = y1

2 y22 + 3y1y3+ y2y3

cu matricea

=

02/12/3

2/110

2/301

A

38


39/189

M

inorii, prin metoda Jacobi, sunt:

1=1; 2=-1; 3=2 g(z) = z12 z22 1/2 z3.

APLICAII1. S se rezolve prin metoda eliminrii complete Gaussurmtoarele sisteme:

=++

=+

=++

=++

=

=++

=+

++

=++

=++

1xx2xx

2xx2x

2xxx2

1x5xx

c

5x8xx4

1x3x2x

2x5x3x

b.

x5x4x5x3

2xx3x2x

1xx2xx

.a

4321

321

431

421

321

321

321

3321

4321

4321

R

ezolvare. Se aduc sistemele la sisteme echivalente diagonale:

a)

1 1 -2 1 11 2 3 -1 2

3 5 4 -5 31 1 -2 1 10 1 5 -1 10 2 10 -8 01 0 -7 3 00 1 5 -2 10 0 0 -4 -21 0 -7 0 3/20 1 -5 0 -2

0 0 0 1 1/2 39


40/189

b)3 1 -5 0 2

-1 2 3 1

4 -1 -8

51 1/3 -5/3 2/30 7/3 4/3 5/30 -7/3 -4/3

-7/31 0 -39/21 9/70 1 4/7 5/70 0 0

-2/3

a) Sistem compatibil nedeterminat cu: x1=3/2-7x3; x2= -2 + 5x3;

x3R; x4=1/2b) Sistem incompatibil. Rang A = 2, Rang =3c) Metoda eliminrii complete poate determina sisteme echiva-

lente diagonale i scriind pe orizontal

7/31000

7/90100

7/90010

7/130001

1228000

617100

34010

29001

06200

32/172/100

02/92/110

12/12/101

11211

20121

21102

15011

06-200

351-30

09-12-0

15011

Sistem unic determinnd soluia:7

3;

7

9;

7

9;

7

13==== 4321 xxxx

2 . Sse rezolve sistemele:

=+

=+

=+

=+

=+

=

=+

=+

05x3x

42xx

22xx

1x-xx

b)

xxx

xx

xxx

xxx

a

21

21

32

321

32

222

02

62

)

321

21

321

321

40


41/189

Soluii:a. Sistem unic determinat x1=1; x2=2; x3=-2

b. Sistem incompatibil.

3. Sse studieze dependena liniara sistemelor de vectori:a) v1=(1, 3, -1,1); v2= (0,1,1,0); v3=(-2,1,1,0) n R

4b) v1= (2,1,-3); v2=(4,5,-1); v3=(1,2,1) n R

3c) v1=(0,2,3); v2=(1,-1,3); v3=(-2,1,3) n R

3

Rezolvare. a) Se considerrelaia: 11+22+13=0nlocuind vectorii v1, v2, v3se obine:

=

=

=++=++

=

001

111113

201

0

003

02

1

321

321

31

A

M

atricea vectorilor. Rang A =3

Sistemul omogen este unic determinat cu soluia 1=2=3=0 Cei trei vectori sunt liniar independeni.

b) Pornind de la aceeai relaie se obine sistemul:

=+

=++

=++

03

0

042

321

321

321

25

=

113251

142

A rang A = 2 sistem nedeterminat cu

soluia Rk,2

1,

2

133231 ===

Cei trei vectori sunt liniar dependeni. Relaia de dependen a

celor trei vectori este: 0

22

321 =+ kkk

41


42/189

c) Se scrie matricea vectorial:

3Arang21-AA ==

=333112

210

C

ei trei vectori sunt liniari independeni.

4. n spaiul R3se dau vectorii: v1=(2,1,3), v2=(-1, 2, 0), v3=(1,0, -2). S se arate c acetia formeaz o baz. Se cer coordonatelevectorului v = (2,2,2) n aceastbaz.

Rezolvare: Cei trei vectori v1, v2, v3vor forma o bazn R3dacvor fi liniari independeni. Se scrie matricea:

=

203

021

112

A Se calculeazA= -16 rang A = 3

vectorii sunt liniari independeni. Vectorul v se va scrie: v = 1v1 +2v2 + 3v3(2,2,2) = 1(2,1,3) + + 2(-1,2,0) + 3(1,0,-2)

=

=+

=+

223

22

22

21

21

321

Sistemul trebuie saibsoluie unici anume:2/1,2/1,11 === 32

C

oordonatele vectorului v n baza {v1, v

2, v

3}sunt (1, 1/2, 1/2).

5. n R4 se dau vectorii z1=(1,1,1,1) x2=(0,1,0,1) x3=(2,1,0,0)x4=(-1,0,-1,1). S se arate c acetia formeaz o baz. S se scriecoordonatele vectorului x = (2,1,2,1) n aceastbaz.

Soluie: Formeazbazcci determinantul de ordinul patru estediferit de zero. Coordonatele vectorului n baza {x1, x2, x3, x4}sunt (2,-1, 0, ).0

6. Sse calculeze produsul scalar al vectorilor:a) v1=(1,-2,0,3,4); v2=(1,4,-2,1,2) n R

5

42


43/189

b) == 21 v(2,1,1/2),x

3

1,2,

3

1n R3

Rezolvare:a) =11+(-2) 4 + 0(-2) + 3 1 + 4 2 = 4

< x1, x2> =6

15

3

1

2

121

3

12 =

++

7. Sse normeze vectorii: v1=(3,2,1,3), v2=(0,2,-3,1)

Rezolvare:

==

23

3,

23

1,

23

2,

23

3)3,1,2,3(

23

1*1v

==

14

1,

14

3,

14

2,0)1,3,2,0(

14

1*2v

8. Fie baza b1= (1, 1, 2)T, b2= (-1, 2, 5)

T, b3 = (0, 1, 4)Tn R3.

Sse construiasc o bazortogonal n spaiul R3. Rezolvare: Lumprocedeul Gramm-Schmidt.

==== 2111222T

11 cuaba,(1,1,2)ba 61

aaa,b11

12 =

deci

==6

2,

6

11,

6

7)2,1,1(

6

1)0,2,1(2

TTa ; a3= b3- 31a2cu

=

=

==

==

=

34,

37,

62

62,

611,

671)2,1,1(

23)4,1,0(

1174

36

6

29

,

,

6

9

,

,

3

22

2232

11

1331

a

aa

ab

aa

ab

V

ectorii: {a1, a2, a3}formeazo bazortogonal.

9. Sse verifice cvectorii {a1, a2, a3}i {b1, b2, b3}formeazdoubaze ale spaiului R3. S se gseasc relaiile care exist ntrecoordonatele unui vector v scris n cele doubaze. Vectorii sunt: a1 = (1,2, -3); 2 = (3,1,0); a3= (-2, 1, 4); b1= (2,-2,1); b2= (1,4,0); b3= (0,1,4).a

Rezolvare: Se scriu matricele Ai B

i se calculeaz

rangurile lor.

43


44/189

3ArangB

401

142-

012

B

3ArangAA

==

=

==

=

41

35

403

112

231

Deci: A= {a1, a2, a3}i B = {b1, b2, b3}sunt baze n R3Fie:

A=(1, 2, 3) n baza A A= 1a1+2a2+3a3B=(w1, w2,w3) n baza B B=W1b1+w2b2+w3b3T=AA

Ti T=BBT Deci AAT=BBTRelaia care nmulitlastnga cu A-1se obine:

AT=A-1BB

=

3

2

1

1

3

2

1

401

142

012

w

w

w

403-

112

2-31

10. Sse arate curmtoarele aplicaii sunt aplicaii liniare:a) f: R3R2 f(x1, x2, x3) = (2x1 x3, 2x2)

b) f: R2R2 f(x1, x2) = (x1-x2, 2x1-x2)

Rezolvare:a) Fie: x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) R3i , R Calculm:x + y = (x1+ y1, x2+ y2, x3+y3)

f(x + y) = (2(x1+ y1)-( x3+ y3), 2(x2+ y2)==(2x1-x3, 2x2), + (2y1-y3,2y3)= f(x)+ f(y)Deci f este operator liniar.

b) Fie xF(x1,x2), y=(y1y2) R2i , Rx+ y=(x1+ y1, x2+ y2) f(x+ y)=( x1+ y1- x2- y2, 2x1+ 2y1- x2- y2) == ((x1-x2)+ (y1-y2), (2x1-x2)+ (2y1-y2))== (x1-x2, 2x1-x2) + (y1-y2, 2y1-y2)= f(x)+ f(y)

Deci f este aplicaie liniar.44


45/189

11. Fie aplicaia f: R3R2, f(x) = (x12, x1-x3).Sse verifice daceste o aplicaie liniar.

Rezolvare: x=(x1,x

2,x

3) y=(y

1,y

2,y

3)i ,

R

x+ y = x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3f(x+ y) = (x1+ y1)2, x2+ y2-x3- y3)=(2x1

2+ 2y12+2x1y1+(x2-x3)+ (y2-y3)) f(x)+ f(y)Deci f nu este operator liniar.

12. Fie aplicaia liniarf: R2R3f(x1x2)= (x1+2x2, -x1, x1+x3).Sse scrie matricea ataatoperatorului f.

Rezolvare: Matricea aplicaiei liniare este:

=

11

01

21

A

13. Fie aplicaia liniar f: R3 R3 cu f(x) = (2x1+x2+x3,2x1+3x2+2x3, 3x1+3x2+4x3)

S se scrie matricea ataat aplicaie liniare, s se determenivectorii i valorile proprii. Sse determine o bazn care aplicaia sepoate aduce la o formdiagonal.

Rezolvare: Matricea formei este:

=

433

232

112

A

Pentru a determina valorile proprii se scrie ecuaia caracteristicP()=A-E= 0

07)-(1)-(

1433

232

1112

)(P 2 ==

=

Deci aplicaia are valorile proprii 1=2=1 i 3=745


46/189

Vectorii proprii corespunztori valorilor proprii vor fi soluii alesistemelor:

=+

=+

=++

=++

=++

=++

=++

=++=++

=++

=++=++

03x-3x3x

02x4x-2x

0xx5x-

0x3x3x3

0x2x2x2

0xxx

0x)4(x3x3

0x2x)x(x20xxx)-(2

0x)4(x3x3

0x2x)3(x20xxx)2(

321

321

321

321

321

321

3321

3233

1

3213

3121

3211

3211

Subspaiile vectorilor proprii E=1i E=7sunt:E=1={x/x=(-k-h,h,h) k,h R}dim E=1=2E=7={x/x=(k,2k,3k,) k R}dim E=7=1Matricea A poate fi transformat ntr-o baz, ntr-o matrice

diagonal deoarece subspaiile vectorilor proprii au dimensiuni egalecu ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective.

Deci:

),,(Bbazao-ntr

700

010001

321 bbbA =

=

14. Fie aplicaiile liniare f: R3R3a) f1(x)=(2x1+2x3, x1+x2)

b) f2(x)=(2x1-x2, -x1+2x3, -x2+2x3)Se cere sse scrie matricea ataataplicaiilor. Sse determine

valorile i vectorii proprii; sse determine baza n care matricele pot fidiagonalizate. Rspuns:

;11

22)

=Aa 1=0; 2=3 O bazn care:

=

30

00A este B={b1=(1,-1) b2=(2,1)}

46


47/189

=

210

201

012

)Ab ; 1=2=1; 3=2. Nu existo bazdin R3

n care sse poatdiagonaliza matricea formei A.

15. S se aduc la forma canonic, prin metoda lui Gauss,formele ptratice:

a) g1(x) = 2x2+2

2+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x31

) g2(x)=5x12+6x2

2+4x32-4x1x2-4x1x3b

Rezolvare:

a) Observm cavem coeficienii aii0, de exemplu a11=2. Sealeg toi termeni care pe xnformnd un ptrat cu acetia.

g(x) = (2x12 - 2x1x2 + 4x1x3) + x2 + x3 - 2x2x3=

2

1(2x1 - x2 + 2x3)

2

-2

1x2

2- 2x32+2x3x3+x2+x3-2x2x3=

2

1(2x1-x2+2x3)

2+2

1x2

2-x32

Dacnotm: y1=2x1-x2+2x3; y2=x2; y3=x3atunci:

23

22

21 2

1

2

1yyy(y)g1 +=

b) Procednd similar se obine:

23

22

21

13

40

26

5

5

1yyy(y)g1 ++= unde

=

=

=

33

222

3211

5

4

5

26

225

xy

xxy

xyxy

16. Utiliznd metoda valorilor proprii s se aduc la formacanonicurmtoarele forme ptratice:

a) g1(x) = 5x12 + 6x2

2 + 4x32 - 4x1x2 - 4x1x3

b) g2(x) = x12 + 5x2

2 + x32 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3

Rezolvare: a) Se scrie matricea simetrica formei ptratice

47


48/189

=

402

062

225

A

Se determin valorile proprii scriind ecuaia caracteristic aacestei matrici.

P() = 08)-(5)-(2)-( ==

402

062

225

Valorile proprii sunt: 1=2, 2=5, 3=8Subspaile vectorilor proprii: E1={x/x=(2a, a, 2a) a R}E2= {x/x= (a, 2a, -2a), a R }E3= {x/x=(-2a, 2a, a) a R }

Vectorii

1 = (2,1,2) E1; 2 = (1,2,-2) t2; 3 = (-2, 2, 1) t3formeazo

bazortogonala spaiului R3

. Vectorii normai

=

= 5

2,5

1,5

2w

1

11

=

=5

2,

5

2,

5

1w

2

22 i

=

=

5

1,

5

2,

5

2w

3

33 formeaz o baz

ortonormatn care forma ptraticse transformn forma canonic:

g1(y)=2y12+5y2

2+8y3

b) Similar se obine:

g2(y)=-2y12+3y2

2+6y32ntr-o bazortonormat

=

=

=

6

1,

6

2,

3

1,

3

1,

3

1,0,

2

11

6

1 ww

2

1-w 32

48


49/189

49

2.PROGRAMARE LINIAR

2.1.Introducere

n prezent o serie de activiti economice i sociale complexeconduc la rezolvarea unor probleme de optimizare. Astfel, problemedin domeniul planificrii produciei, de planificare a investiiilor,probleme de transport, probleme de dietetc. conduc la probleme de

optimizare ale cror soluii optime trebuie determinate. Modelarea lormatematic a permis utilizarea aparatului matematic furnizat dealgebra liniar pentru determinarea soluiilor optime. De exemplu,modelarea n unele probleme economice poate fi fcutastfel: notndcu xi(i = 1,..., n) nivelele la care trebuie sse desfoare n activiti iprin f (x1,.., xn) funcia obiectiv (de eficien) se cere sse determinevalorile variabilelor Xi, (i = 1,..., n) aa nct funcia obiectiv s iavaloarea maxim(minim).

[max/min] f (x1,..., xn) (2.1.1.)

cu condiiilefj(x1,..., xn) 0, 0 j m (2.1.2.)

numite i restriciile problemei.

Dac funciile f i fj,, (j = 1,..., m) sunt funcionale liniare,problema este de programare liniar.

Iatcteva exemple:

Exemplul 1:Problemde planificare a produciei

O ntreprindere industrialdispune de materiile prime M1,...Mn,deci care fabricprodusele P1,...Pm. Dintr-o tonde materie primMi(i = 1,..., n) se produc aij uniti din produsul Pj (j = 1,..., m) (aij senumesc i consumuri specifice).

Lunar ntreprinderea trebuie s producbj (j = 1,..., m) uniti

din fiecare produs Pj . Dac preul unei tone din materia prim Mieste ci (i = 1,..., n), s se ntocmeasc un plan de consum lunar almateriilor prime astfel nct pentru realizarea produciei planificate,cheltuielile sfie minime.

Fie xj cantitatea din materia prim Mi utilizat n procesul deproducie, aijxj reprezint cantitatea de materie prim din resursa Mi


50/189

utilizatpentru producerea cantitii de produs Pj, iar cantitatea totaldin resursa Minecesarpentru producia total formatdin produseleP1,..., Pneste

a1jx1+ a2jx2+ ....anjxninnd seama de faptul c lunar ntreprinderea trebuie s

produ cel puin bjuniti din fiecare produs Pjca1jx1+ a2jx2+....+ anjxn bj (j = 1,..., m)

Deci, modelul matematic al problemei este

50

n

jiij bxa , (j = 1,...,m) (2.1.3.)=1i

xi 0, i = 1,..., n (2.1.4.)

[min] f = (2.1.5.)=

n

11iixc

Condiiile (3) sunt restriciile problemei, (4) sunt condiii denenegativitate, iar f este funcia obiectiv sau funcia de eficien.

Exemplul 2:O problemde utilizare optima unor resurse.n condiiile exemplului 1, deci din materiile prime R1,...,Rncare

sunt limitate de cantitile b1,..., bn se fabric produsele P1,..., Pm. Secunosc consumurile specifice aij0 i beneficiile unitare cj, (j = 1,..., m)(cjeste suma realizatprin valorificarea unei uniti din produsul Pj nuniti bneti). Se cere s se determine cantitile xj, deci fiecareprodus Pjcare trebuie realizate astfel nct beneficiul sfie maxim.

Modelul matematic al problemei este:

=

m

1jijij bxa i = 1,..., n (2.1.6.)

xj0, j = 1,..., m (2.1.7.)

[max] f = (2.1.8.)=

m

1jjjxc


51/189

Condiiile (6) rezult din faptul c nu putem consuma din fiecare

resursmai mult dect cantitatea de care dispunem, iar reprezint

ncasrile totale.=

m

1j

jjxc

Se pot da i alte exemple de probleme de programare liniar, pecare le vom trata n cadrul acestui capitol.

2.2.Forma generala problemei de programare liniar

F

orma generala unei probleme de programare liniareste:

, j = 1,..., k (2.2.1.)= n

1ijiij bxa

, j = k+1,..., l (2.2.2.)=

n

1ijiij bxa

, j = l+1,..., m (2.2.3.)=

=n

1ijiij bxa

, (2.2.4.)0x,,0x,0x

p21 iii K

0x,,0xrp1p ii

++

K

celelalte variabile nu au semnul specificat

[max/min] f = (2.2.5.)=

n

1i

iixc

A rezolva o astfel de problem nseamn a determina valorile

nenegative ale variabilelor Xi care satisfac condiiile (2.2.1.), (2.2.2.),(2.2.3.) (deci a determina nivelurile Xi la care se desfoar anumiteactiviti) i care optimizeazfuncia obiectiv f (sau funcie de eficien).

O problem de programare liniar poate fi formulat i matricealdactoate inecuaiile sistemului de restricii au acelai sens (condiie carepoate fi uor ndeplinitnmulind cu 1 inecuaiile (2.2.1.) sau (2.2.2.).

51

De exemplu, notnd cu A = (aij)m n , b = (b1,...,bm)t, C = (c1,...,

cm) i


52/189

X

= (x1,..., xn)tproblema din ex. 1. Se scrie:

AX bX 0 (2.2.6.)[min] f = CX

Forma standard a unei probleme de programare liniareste:AX = b (2.2.7.)X 0 (2.2.8.)[max/min] f = CX (2.2.9.)

Orice problem de programare liniar poate fi adus la formastandard i anume:

Toate inecuaiile din sistemul de restricii pot fi transformate n

egaliti adunnd sau scznd (dupcaz) o serie de variabile nenegativenumite variabile ecartsau de compensare. n acest fel din matricea A =(aij) obinem matricea Al obinut din A la care s-au adugat l vectoricoloancu toate elementele nule cu excepia elementului situat pe linia jcare este +1 pentru inecuaiile sau 1 pentru inecuaiile , iar vectorulx = (x1,..., xn)

t devine Xl obinut din X prin adugarea a l componentenenegative xn + 1,..., xn + l i care reprezint activiti fictive. Analog Cdevine Cl= (c1,..., cn, 0,..., 0), adugnd la C, l componente nule.

Variabilele nenegative rmn aceleai, iar n locul

variabilelor negative vom introduce noi variabile

nenegative prin substituiile

p1 iixx K

rp iixx ,,

1K

+

wk= xk (k = ip + 1,..., ir)

Variabilele care nu au semnul specificat se pot

nlocu fictiv cu diferena a douvariabile presupuse nenegative i anume:n1r ii

x,,x K+

i

0v0,u,vux kkiii kkk = , (k = r,..., n)

Aceste modificri conduc la forma extins a problemei deprogra niamare li r :

Al Xl= bXl0[max/min] f = ClXl

c

are este forma standard.

52


53/189

Exemplul 1:Sse aducla forma standard problema de progra-mare liniar:

x1+ 3x2 x3 2x4+ 3x5= 7

x1 2x2 x3 + x5+ 2x66

2x1+ 3x2+ 2x3 x4 x6+ x74

3x1+ x2 x3+ 2x5 x6 3x73

x1 0, x2 0, x3 0, x7 0, x4, x5, x6frrestricii de semn[max] f = 3x1 2x2+ x3+ x4 x5+ 2x7.

Pentru x3i x7care sunt negative facem substituiilew3= x3, w7= x7,

iar variabilele x4, x5, x6 care nu au restricii de semn se vor

nlocui cu x4= u4 v4 ; x5= u5 v5; x6= u6 v6Cu ac

este nlocuiri sistemul de restricii devine:

x1+ 3x2+ w3 2(u4 v4) + 3(u5 v5) = 7x1 2x2+ w3+ (u5 v5) + 2(u6 v6) 62x1+ 3x2 2w3 (u4 v4) (u6 v6) w743

x1+ x2+ w3 + 3w7= 3

3x1 2x2 w3+ (u4 v4) (u5 v5) 2w7i f =P entru forma standard ad

ugm variabilele ecart .......... i obinem

x1+ 3x2+ w3 2u4+ 2v4+ 3u5 3v5= 7

x1 2x2+ w3+ u5 v5+ 2u6 2v6+ = 6e

8x

2x1+ 3x2 2w3 u4 v4 u6 v6 w7 = 4e

9x

53

103x1+ x2+ w3 + 3w7 3

ex

x10, x20, w30, u40, v40, u50, v50, u60, v60,

w70,0x0,x0,x e10

e9

e8

[max] f = 3x1 2x2 w3+ u4 v4 u5+ v5 2w7

De menionat cn orice cerinde optimizare maximul i mini-mul se pot nlocui reciproc, anume:

[max] f(x) = [min ] (f(x))[min] f(x) = [ max] (f(x))


54/189

2.3.Soluiile problemei de programare liniar

n continuare vom considera problema standard (S) de programare

liniar. Pentru compatibilitatea sistemului (2.2.7.) considerm crang A = rang (Ab)i rang A = m ceea ce implicmnDEFINIIA 3.1. Numim soluia posibil (sau realizabil) a

problemei (S) un vector x = (x1, ..., xn)t din spaiul soluiilor care

satisface (2.2.7.) i (2.2.8.)Mulimea soluiilor posibile este o submulime a spaiului

vectorial n- dimensional al soluiilor, ea poate fi vid, redus la unpunct, infinit dar mrginit, infinit i nemrginit aa cum rezultdin exemplele pe care le vom analiza.

Se demonstreazcmulimea soluiilor posibile este o mulimeconvex.

DEFINIIA3.2. O soluie posibil(sau realizabil) X se numetesoluie de baz(sau program de baz) dacare cel mult m componentestrict pozitive (xi1,..., xir, r m) i dac vectorii coloan ai1, ..., aircorespunztor coordonatelor nenule xir (r m), ale vectorului X suntliniar independeni.

Dac soluia de baz are exact m componente nenule ea este

nedegenerat, n caz contrar (dacconine mai puin de m componentenenule) ea este degenerat.

DEFINIIA 3.3. Se numete soluie optim a problemei (S) osoluie posibilcare satisface cerina de optim (2.2.9).

Exemplul 2.1.:Fie programul (S)x1 x2 2x3 x4 = 4 (2.3.1.)2x1+ x2 4x3 x5 = 6xi0 i = 1, ..., 5 (2.3.2)

Matricea 10412

01211A

= are rangul 2

Vectorul X1= (20/3, 4/3, 1, 0, 4)teste o soluie posibildeoarece

satisface condiiile (2.1.1) i (2.1.2.)Vectorul X2 = (4, 0, 0, 0, 2)

t reprezint o soluie de baznedegeneratdeoarece numrul componentelor nenule este 2 = rang A

i vectorii

=

2

11a i

=

1

0a 5 sunt liniar independeni.

54


55/189

Vectorul X3 = (22/3, 0, 2, 0, 0)t nu este o soluie de baz dei

este o soluie posibil deoarece vectorii coloan din matricea A

corespunztori componentelor nenule

= 2

11a i

= 4

2-a 3 sunt

liniar dependeni.Vom da n continuare cteva teoreme privind soluiile unui

program liniar. pentru demonstrarea lor se pot consulta [1], [2], [3], ...TEOREMA 3.1. ntre soluiile posibile ale unei probleme de

programare liniari soluiile posibile ale problemei extinse existocorespondenbiunivoc.

TEOREMA 3.2. ntre soluiile optime ale unei probleme de

programare liniari cele ale problemei extinse existo corespondenbiunivoc.

Spaiul vectorial n-dimensional al tuturor soluiilor X se numetespaiul soluiilor, iar mulimea soluiilor posibile formeaz unsubspaiu H al acestuia ea poate fi vid, redusla un punct, infinitdarmrginitsau infiniti nemrginitaa cum va rezulta din exemplelepe care le vom da.

TEOREMA 3.3. Dac pentru un program liniar H atunciexistcel puin o soluie de baz.

Din cele expuse pn acum rezult c pentru rezolvarea uneiprobleme de programare liniareste necesar i suficient sputem descoperin mulimea soluiilor de bazpe acelea care optimizeazfuncia obiectiv.n cazul n care n problemintervin dousau trei variabile soluia putea fideterminat prin metode elementare i anume metoda grafic i metodaalgebric [...]. n celelalte cazuri o inspectare completa mulimii tuturorsoluiilor de baz ar presupune un volum mare de calcule i o serie dedezavantaje ca n cazul problemelor cu soluie infinit.

O metod care ne d rspunsuri precise i concludente i care

necesit un volum relativ mic de calcule este metoda simplex, carepermite determinarea soluiei optime pornind de la o soluie de bazdupun numr finit de iterate.

2.4.Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard

Fie programul standard(S) AX = b (2.4.1.)X 0 (2.4.2.)

[max] f = CX (2.4.3.)55


56/189

cu notaiile din paragraful 1. Dac vectorii coloan ai matriceiA, mi2i1i formeaz o baz n R

m, atunci xi1, xi2, ... , xim senumesc coordonate bazice (variabile de baz). Matricea A poate fi

descompusn dousubmatrice EB formatdin vectorii

a,...,a,a

mi1i a...,,a iE formatcu celelalte coloane, deci:EBA= (2.4.4.)

i analogC = (CB, CE), X = (XB, XE)

t (2.4.5.)iar forma standard se scrie

( ) BX,XFE tEB = (2.4.6.)

XB0, XE0 (2.4.7.)[max] f = (CB, CE) (XB, XE)

t (2.4.8.)Fcnd calculele, rezultEXB+ FXE= B (2.4.9.)XB0, XE0 (2.4.10.)[max] f = CBXB+ CEXE (2.4.11.)O soluie a sistemului (3.9) esteXB= B

-1b B-1EXE (2.4.12.)

lund aici XF= 0 obinem o soluie de bazpentru (2.4.9.) i anumeXB= B

-1b (2.4.13.)Dac XB 0 spunem c baza imi a,...,a4B 1= este primal

admisibil. Dac vectorul ( )tjijijij m21 ,...yy,ya = (j = 1, ..., n) areaceste componente n raport cu baza B iar

( ) { } Jj,,...ii,iI,ycx,,...cc,cC m21Ii

ijijimi2i1E ===

(2.4.14.)

cu J = {1, ..., n, y-I}Dispunnd de o baz primal admisibil se ntocmete tabelulsimplex n care trecem:

a) soluia XB= B-1b

b) CB= (Ci1, ..., Cim)

c)

==Ii

iiBBB XCXCf (

valoarea funciei obiectiv

corespunztoare soluiei de baz.

56


57/189

d) ( )tjijijij1 m21 y,...,y,yaB = care reprezint coordonatele

vectorilor nji,aj n baza B. dacB este baza canonicyijsunt

coeficienii din sistemul de restricii dat.e) se calculeaz

=Ii

ijij yCf

f) se calculeazdiferenele

=

Ij,0

Ij,cycfz Ii

jiji

jj

U n astfel de tabel simplex aratdeci sub forma:

57

am

c1 c2 ... ci ... cm cm+1 ... cn1a 2a ... ia ... 1ma + CB B XB ... na

c1 1a 1x~ 1 0 0 y1,m+ y1,... ... 0 1 ... n

c2 2a 2x~ 0 1 ... 0 0 y2,m+1 ... y2,n

M M M M M M M M M

ci ia ix~ 0 0 . 1 0 y +1 . n.. i,m .. yi,

M M M M M M M M M

cm ma mx~ 0 0 . 0 1 y m+1 . y ,n.. m, .. m

fB f1 f2 fi fm fm+1 ... Fnci-fj . c 1 n0 0 .. 0 0 m+1-fm+ ... cn-f

n continuare apl test de tim l i bazat

pe urm

roblema deprogr

tru care fj j

opt B

ueste o

se ic ul op alitate a soluiei XBtoarele teoreme pe care le dm frdemonstraie i anume:

EOREMA 4.1. Dac fj c

j 0 pentru toi j J, pT

amare liniarare optim finit i fopt= fB.TEOREMA4.2. Dacpentru un indice jJ pen c < 0

toate componentele xjk0, programul are optim infinit1. Dactoi cj fj0, jJ atunci XBeste soluia optimi f = f

2. Dac exist cel puin o diferen fj cj< 0 atunci soluia nptim. n acest caz existurmtoarele posibiliti.

a) Fie lJ aa nct 0fc


58/189

b) Fie l J cu 0fc 0

atunci soluia poate fi mbuntit.Se trece la prima iterat prin care se determin vectorul care

intrn bazi vectorul care iese din baz. Indicele k al vectorului care intrn bazne este dat de

ck fk= max {cj fj/ cj fj> 0} (4.14.)iar indicele h al vectorului care iese din bazeste dat de

= 0yI,i/y

x~min

y

xik

ik

i

kh

hf

(

(4.15.)

din bazi ia locul vectorul

58

n acest mod vectorului ha k

Se stabilete elementul pivot ykh i se recalculeaz toateelementele tabloului simplex i se obine o nousoluie de baz*. Dacaceastsoluie nu este optimse trece la iterata urmtoare. Ca rezultatal fiecrei iterate se obine o nousoluie de bazi n baza teoremelorenunate anterior n final obinem soluia optimsau ne convingem cnu avem optim finit.

a

ObservaiiReamintim regula de calcul:- elementele de pe linia pivotului se mpart la pivot

- elementele de pe coloana pivotului devin nule cu excepiapivotului care devine 1

- celelalte elemente se calculeaz dup regula dreptun-ghiului. Se determinvaloarea unui determinant de ordin doi undepe diagonala principal avem pivotul i elementul ce trebuierecalculat iar celelalte elemente se gsesc pe linia i coloana pivo-tului intersectate cu linia i coloana elementului de calculat. Rezul-tatul se mparte la pivot.

Exemplul 4.1.: Sse rezolve problema de programare liniar4x1 + 2x2 6x3+ x4= 4x1 x2+ x5= 3max] f = 4x1 - x2+ 2x3+ x5[

Soluie

10011

01624

=A , rang A = 2


59/189

Vectorii

=

0

1a 4 i

=

1

0a 5 formeazo baz.

V

ariabilele bazice sunt x5i x6deci I = {5, 6}.

Alctuim tabelul simplex

4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a

04a

4 4 2 -6 1 0

1 5a

3 1 -1 0 0 1

fj 3 1 -1 0 0 1cj fj 3 0 2 0 0

Cea mai mare diferenpozitiveste c1 f1= 4 i avem yi1 > 0deci soluia poate fi mbuntit.

n baz va intra vectorul 1a . Pentru a vedea ce vector iese nbazcalculm

11

3,

4

4min

y

xmin

i1

i =

=

deci din baziese vectorul 4a . Pivotul este 4.T

abelul simplex din iterata urmtoare este:

4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a

4 1a 1 1 1/1 -3/2 1/4 0

1 5a 2 0 -3/2 3/2 -1/4 1fj 6 4 1/2 -9/2 3/4 1cj fj 0 -3/2 13/2 -3/4 0

Mai avem o diferencj fjpozitivdeci n baz intrvectorul

3a i iese vectorul 5a deoarece pe coloana lui 3a avem o singur59


60/189

coordonat pozitiv 3/2. pivotul este 3/2. Tabloul simplex n iterataurmtoare este:

4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a

4 1a 3 1 -1 0 0 1

2 3a 4/3 0 -1 1 -1/6 2/3fj 44/3 4 -6 2 -1/3 16/3cj fj 0 5 0 1/3 -13/3

Avem doudiferene cj fjpozitive dar pe coloanele lor elementeley

ijtransformate sunt negative deci problema nu are optim finit.

Exemplul 4.2.:Sse rezolve problema de programare liniar.2x1+ x2+ x3+ x5= 2x1+2 x22 x3+ x6= 33x1 x2+ x3+ x4= 5[max] f = 3x1+ x2 x3+ 2x4 + x6Soluie:

001113

100221

010112

A

= , rang A = 3

Vectorii 465 a,a,a formeazo bazT

abloul simplex este urmtorul

a6

3 1 -1 2 0 1 cjcB B xB

1a 2a 3a 4a 5a 0

5a 2 2 1 1 0 1 0

1 6a 3 -1 2 -2 0 0 12

4a 5 3 -1 1 1 0 0

fj 13 5 0 0 2 0 1cj f -2 1 -1 0 0 0

60

jAvem c2 f2> 0 deci intrn bazvectorul 2a

Din26

6

y

x

2

3

2

3,

1

2min ==

deci iese din baz vectorul 6a .

Pivotul este y62= 2


61/189

U

rmtorul tabel este:

3 1 -1 2 0 1 cjc

BB x

B 1a 2a 3a 4a 5a 6a 05a 1/2 5/2 0 2 0 1 -1/2

12a 3/2 -1/2 1 -1 0 0 1/2

24a 13/2 5/2 0 0 1 0 1/2

fj 29/2 9/2 1 -1 2 0 3/2cj fj -3/2 0 0 0 0 -1/2

Toate diferenele cj fjsunt negative sau nule deci

zopt=2

29 i este realizat pentru valorile x1= 0,23x 2 = , x3= 0,

2

13x 4 = , 2

1x 5 = i x6=0. Soluia optimeste X = ( 0, 3/2, 0, 13/2,

1/2, 0)t i este nedegenerat (numrul de componente pozitive alevectorului soluie X egal cu numrul restriciilor).

2.5.Metoda bazei artificiale

n problemele studiate anterior matricea sistemului de restriciiconinea vectori unitari care alctuiau o baz unitar ceea ce uuradeterminarea unei soluii iniiale de baz. Dacaceastbazunitarnuexist, recurgem la metoda bazei artificiale prin introducerea

variabilelor pentru a avea o baz primal admisibil i se

rezolvproblema de programare liniar.

0x ak

AX + IX(a)= b

X 0; X(a)0[max] f = CX X(a)cu un numr real arbitrar strict pozitiv (pentru min f se adaug

X(a))Orice soluie posibila problemei iniiale este o soluie posibil

a programului extins pentru care valorile tuturor variabilelor artificialesunt nule i reciproc orice posibila programului extins n care toatevariabilelor artificiale sunt nule, este o soluie a programului iniialdupnlturarea acestora.

Asemenea soluii se realizeazpentru [min] X(a)61


62/189

O astfel de problemse rezolvprin metoda celor doufaze:Faza I. n aceastfazse rezolvproblemaAX + IX(a)= b

X 0; X(a)0[min] f1= X

(a)La sfrit putem avea urmtoarele situaii:1) [min] f1= 0 deci toate variabilele artificiale sunt nule i nici o

variabil artificialnu este bazicfade soluia optim. n acest cazdispunem de o soluie de baza programului extins din care prin nl-turarea variabilelor artificiale se obine o soluie de baz a progra-mului iniial i se trece la faza a II-a.

2) [min] f1= 0 i cel puin o variabil artificial este bazic ea

trebuie eliminatastfel:- dacpe linia variabilei artificiale existelemente nenule (rangA = m) alegem unul dintre acestea drept pivot i facem nco iteraiepentru a o elimina din baz.

- dacpe linia variabilei artificiale nu avem elemente nenule (rangA < m), o vom neglija suprimnd-o din tabel. Se trece la faza a II-a

3) [min] f1> 0 problema iniialnu are soluie de baz.Faza a II-a. n aceast faz n cazul 1) se elimin din ultimul

tabel simplex coloanele variabilelor artificiale i se continu

algoritmul introducnd coeficienii funciei obiectiv f = CX. n cazul2) dac n bazau mai rmas variabile artificiale nenule aceasta estedovada cproblema iniialnu admite soluii. Dacn baza rmas ovariabil artificialdar pe linia ei n tabelul simplex toate elementelesunt nule, se suprimaceastlinie i se trece la faza a II-a.

Exemplul 5.1.:Sse rezolve programul liniar2x1+ 3x2+ x3= 4x2+ 2x3+ x4= 6x1+ x3+ x4= 8xi0, 1 i 4[max] f = x1+ 8x2+ x3+3x4Soluie

1101

1210

0132

A=

62


63/189

Nu dispunem de o bazcanonicdeci vom aduga sistemului de

restricii variabile artificiale i vom rezolva problema prin

metoda celor doufaze.

a7

a6

a5 x,x,x

Faza I. Rezolvm programul liniar

2x1+ 3x2+ x3+ = 4a5x

x2+ 2x3+ x4+ = 6a6x

x1+ x3+ x4+ = 8a7x

xi0, (1 i 4) 7k50,xak

[min] f1=a

7

a

6

a

5

xxx ++A

vem o problemde minim

T

abloul simplex este:

63

0 0 0 0 1 1 1 cjCB B XB

1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 1

5a 4 2 3 1 0 1 0 0

16a 6 0 1 2 1 0 1 0

17a 8 1 0 1 1 0 0 1

fj 18 3 4 4 2 1 1 1cj-fj -3 -4 -4 -2 0 0 01

5a 1 2 5/2 0 -1/2 1 -1/2 0

03a 3 0 1/2 1 1/2 0 1/2 0

17a 5 1 -1/2 0 1/2 0 -1/2 1

fj 6 3 2 0 0 1 -1 1cj-fj -3 -2 0 0 0 2 00

1a 1/2 1 5/4 0 -1/4 1/2 -1/4 0

03a 3 0 1/2 1 1/2 0 1/2 0

17a 9/2 0 3/4 0 3/4 -1/2 -1/4 1

fj 9/2 0 3/4 0 3/4 -1/2 -1/4 1cj-fj 0 -3/4 0 -3/4 3/2 3/4 0

0 1a 2 1 3/2 0 0 1/3 -1/3 1/3


64/189

03a 0 0 0 1 0 1/3 2/3 -2/3

04a 6 0 0 0 1 -2/3 -1/3 4/3

fj 0 0 0 0 0 0 0 0cj-fj 0 0 0 0 1 1 1

Am eliminat din baz toate variabilele artificiale i f1 opt = 0.Trecem la faza urmtoare.

Faza a II-a. Relum tabelul simplex de unde am rmas dar cu cjcoeficienii funciei obiectiv f i fr coloanele vectorilor 765 a,a,a .Avem pentru problema de maxim tabelul:

1 8 1 3 cjCB B XB

1a 2a 3a 4a 1

1a 2 1 3/2 0 0

13a 0 0 0 1 0

34a 6 0 1 0 1

fj 20 1 9/2 1 3

cj-fj 0 7/2 0 082a 4/3 2/3 1 0 0

13a 0 0 0 1 0

34a 7 -2/3 0 0 1

fj 87/3 10/3 8 1 3cj-fj -7/3 0 0 0

max f = 387 i este realizat de vectorul

t

70,,340,A = i

este degenerat

Exemplul 5.2.:Sse rezolve programul liniar-x1 + x2+ x3= 1x1 x2+ x4= 1x1 + x2+ 2x3= 4xi 0, 1 i 4

[max] f = 2x1 x2+ 3x3+ x464


65/189

Soluie

02111011

0111

A

=

n A avem un vector coloanunitar ( )t4 0,1,0a = deci adugmsistemului de restricii numai dou variabile artificiale la prima

ecuaie i la ultima i rezolvm problema prin cele doufaze.

a5x

a6x

Faza I. Rezolvm programul liniar:

-x1+ x2+ x3+ = 1a5x

x1 x2+ x4= 1

x1+ x2+ 2x3+ = 4a6x

xi0, 1 i 4, 0x0,xa6

a5

[min] f1=a6

a5 xx +

A

vem tabelul simplex:

65

0 0 0 0 1 1 cjcB B xB1a 2a 3a 4a 5a 6a

15a 1 -1 1 1 0 1 0

04a 1 1 -1 0 1 0 0

16a 4 1 1 2 0 0 1

fj 5 0 2 3 0 1 1cj fj 0 -2 -311 0 0 0

0 3a 1 -1 1 1 0 1 00

4a 1 1 -1 0 1 0 0

16a 2 3 -1 0 0 -2 1

fj 2 3 -1 0 0 -2 1cj fj -311 1 0 0 2 00

3a 5/3 0 2/3 1 0 1/3 1/3

04a

1/3 0 -2/3

0 1 2/3 -1/3


66/189

01a 2/3 1 -1/3

0 0 -2/3

1/3

fj 0 0 0 0 0 0 0

F

aza a II-a

2 -1 3 1 cj

CB B XB 1a 2a 3a 4a

3 3a 5/3 0 2/3 1 0

1 4a 1/3 0 -2/3 0 12 1a 2/3 1 -1/3 0 0

fj 20/3 2 2/3 3 1cj-fj 0 -5/3 0 0

Rezult [max] f =3

20 i este realizat de vectorul X = (2/3, 0,

5/3, 1/3)t, soluie nedegenerat.

2.6.Cazul n care sistemul de restricii conine inegaliti

Am vzut n paragraful 1 corice program liniar poate fi adus laforma standard prin adugarea (pentru inegaliti de tipul ) sauscderea (pentru inegaliti de tipul ) a unor variabile ecart (decompensare) care pot fi interpretate economic ca reprezentnd activi-ti fictive pe care ntreprinderea nu le efectueazi crora n funciade eficien le vor corespunde beneficii nule. Problema extins se

rezolv prin metoda simplex studiatanterior.Exemplul 6.1.: S se aduc la forma standard i s se rezolve

problema de programare liniar:x1 + x2+ 2x3102x1 + x2+ 3x312x1 + x2+ x37xi 0, 1 i 3[max] f = 2x1 + x2 3x3

66


67/189

Soluia 1. Problema extinseste:x1 + x2+ 2x3+ x4= 102x1 + x2+ 3x3+ x5= 15x1 + x2+ x3+ x6= 7xi 0, 1 i 7[max] f = 2x1 + x2 3x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6

Avem urmtorul tabel simplex

2 1 -3 0 0 0 cjc

BB x

B 1a 2a 3a 4a 5a 6a 04a 10 1 1 2 1 0 0

05a 12 2 1 3 0 1 0

06a 7 1 1 1 0 0 1

fj 0 0 0 0 0 0 0cj fj 2 1 -3 0 0 00

4a 4 0 1/2 1/2 1 -1/2 0

21a 6 1 1/2 3/2 0 1/2 0

06a 1 0 1/2 -1/2 0 -1/2 1

fj 12 2 1 3 0 1 0cj fj 0 0 -6 0 -1 0

A

vem fopt= 12 pentru X = (6, 0 , 0)t. Soluia este degenerat

Exemplul 6.2.: S se aduc la forma standard i s se rezolve

programul liniar:3x1+x2-x3 =9 (6.2.1.)x12x2+x3x4 6x1+3x2x33x4 3,x10, x20, x30, x4nu are semn specificat (6.2.2.)[max.] f = 2x1+2x2x3x4.Soluie Facem substituiile x3= y3, y3 0,x4= u4 v4 cu u40, v4 0. Programul devine3x1 + x2 + y3= 9 (6.2.1)

67x1 2x2 y3 u4+ v46


68/189

x1 + 3x2+ y3+ 3u4 3v43x10, x2 0, y30, u4 0, v40 (6.2.2)[max] f = 3x1+ 2x2+ y3 u4+ v4 (6.2.3)

Restriciile conin i inecuaii deci la inecuaia a doua adugmvariabila ecart y50 iar n ultima scdem variabila ecart y60 deci

programul devine3x1 + x2 + y3= 9x1 2x2 y3 u4+ v4+ y5= 6x1+ 3x2+ y3+ 3u4 3v4 y6= 3 (6.2.1)i [max.] f = 3x1+ 2x2+ y3 u4+ v4+ 0y5+ 0y6.A

vem

A =

654432

7654321

yyxuyx

103-3131

0111-1-2-1

0000113aaaaaaa

1x

, rang A = 3

Nu avem o bazcanonic, n A vectorul 6a = (0,1,0)t

este unitar.Completm o baz cu ajutorul variabilelor artificiale adugat

membrului nti al primei ecuaii i adugat ultimei ecuaii

(5.2.1). Problema se rezolvprin metoda celor doufaze:

a7y

a8y

Faza I-a Avem de rezolvat programul liniar:

3yy3v3uy3xx

6yvuy2xx

9yyx3x

a8644321

544321

a7321

=++++

=++

=+++

x10, x20, y30, u40, v40, y50, y60, y70, y80a8

a71 yyf[min] +=

T

abelul simplex va fi:

0 0 0 0 0 0 0 1 1 cjcB B xB

1a

68

2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a


69/189

18a 9 3 1 1 0 0 0 0 1 0

06a 6 1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0

1 9a 3 1 3 1 3 -3 0 -1 0 1f1j 12 4 4 2 3 -3 0 -1 1 1cj-fij -4 -4 -2 -3 3 0 2 0 01 a8 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3 1 -1/30

6a 7 4/3 0 -2/3 0 0 1 -1/3 0 1/3

02a

1 1/3 1 1/3 1 -1 0 -1/3 0 1/3

fij 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3 1 -1/3

cj-fij -8/3 0 -2/3 1 -1 0 2/3 0 4/301a 3 1 0 1/4 -3/8 3/8 0 1/8 3/8 -1/8

06a 12 0 0 -1 1/2 -1/2 1 -1/2 -1/2 1/2

02a 0 0 1 1/4 9/8 -9/8 0 -3/8 -1/8 3/8

fij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Am obinut [min] f1= 0 i din bazam eliminat toate variabileleartificiale.

Faza a II-a. Relum ultima parte a tabelului simplex fr ulti-mele doucoloane i cu coeficienii cjai funciei f. Vom avea:

3 2 1 -1 0 0

cB B xB 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a

3 1a 3 1 0 1/4 -3/8 3/8 0 1/8

0 6a 12 0 0 -1 1/2 -1/2 1 -1/2

2 2a 0 0 1 1/4 9/8 -9/8 0 -3/8fj 9 3 2 5/4 9/8 9/8 0 -3/8cj-fj 0 0 -1/4 -17/8 -1/8 0 3/80

7a 24 8 0 2 -3 3 0 10

6a 24 4 0 0 -1 1 1 02

2a 9 3 1 1 0 0 0 0fj 18 6 2 2 0 0 0 0

cj-fj -3 0 -1 -1 1 0 069


70/189

15a 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3

06a 16 4/3 0 -2/3 0 0 1 -1/3

2 2a 9 3 1 1 0 0 0 0fj 26 26/3 2 8/3 -1 1 0 1/3cj-fj -17/3 0 -5/3 0 0 0 -1/3

f opt = 26 i este realizat de X = (0, 9, 0, -8)t. Soluia este

degenerat.

70


71/189

71

2.7.Dualitatea n programarea liniar

Problema dualitii n programarea liniar prezint un interesdeosebit din punct de vedere matematic ct i economic. n paragra-fele anterioare am fcut ipoteza ca rang A = m pn la metoda bazeiartificiale, rmnnd totui res

Documents

matematici ptr economisti