6
Matematički modeli fizičkih sistema Fizički sistem je skup fizičkih komponenti, međusobno povezanih, zbog određenog cilja. Kako nijedan fizički sistem ne može biti prikazan u svoj njegovoj složenosti, neophodno je za potrebe analize i sinteze izvršiti određena uprošćavanja. Takav idealizovan fizički sistem naziva se fizički model. Kada je dobijen fizički model nekog fizičkog sistema, sledeći korak je dobijanje matematičkog modela, koji predstavlja matematičku interpretaciju fizičkog modela, pomoću odgovarajućih fizičkih zakonitosti. Na primer, električna mreža može biti modelovana sistemima jednačina Kirhofovih zakona. Kada se matematički model nekog fizičkog sistema reši za određene početne uslove, dobijeno rešenje je dinamički odziv fizičkog sistema. Matematički modeli većine fizičkih sistema se najčešće daju u formi diferencijalnih jednačina. Matematički model je linearan ako su koeficijenti diferencijalne jednačine funkcije nekog nezavisnog argumenta ili su konstanti. Ako su koeficijenti diferencijalne jednačine funkcije vremena, tada se za matematički model kaže da je linearan i vremenski promenljiv. Kada su koeficijenti diferencijalne jednačine konstantni, onda je model linearan i vremenski nepromenljiv. Za rešavanje matematičkih modela linearnih sistema razvijene su razne matematičke metode, uz primenu računara. Većina fizičkih sistema u praksi su nelinearni. Međutim, u praksi, većina nelinearnosti je takva da je moguće postaviti linearni model, koji sa zadovoljavajućom tačnošću aproksimira ponašanje sistema, u radnom opsegu od interesa. Postoje i fizički sistemi koji se ne mogu na zadovoljavajući način aproksimirati linearnim modelom. To su nelinearni sistemi, koji za analize i projektovanje zahtevaju druge metode. 1 Diferencijalne jednačine fizičkih sistema Posmatran u celini, upravljački sistem u suštini predstavlja aktivnu mrežu, sačinjenu od električnih, mehaničkih,

Matematički modeli fizičkih sistema

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematički modeli fizičkih sistema

Matematički modeli fizičkih sistema

Fizički sistem je skup fizičkih komponenti, međusobno povezanih, zbog određenog cilja. Kako nijedan fizički sistem ne može biti prikazan u svoj njegovoj složenosti, neophodno je za potrebe analize i sinteze izvršiti određena uprošćavanja. Takav idealizovan fizički sistem naziva se fizički model.

Kada je dobijen fizički model nekog fizičkog sistema, sledeći korak je dobijanje matematičkog modela, koji predstavlja matematičku interpretaciju fizičkog modela, pomoću odgovarajućih fizičkih zakonitosti. Na primer, električna mreža može biti modelovana sistemima jednačina Kirhofovih zakona.

Kada se matematički model nekog fizičkog sistema reši za određene početne uslove, dobijeno rešenje je dinamički odziv fizičkog sistema.

Matematički modeli većine fizičkih sistema se najčešće daju u formi diferencijalnih jednačina. Matematički model je linearan ako su koeficijenti diferencijalne jednačine funkcije nekog nezavisnog argumenta ili su konstanti. Ako su koeficijenti diferencijalne jednačine funkcije vremena, tada se za matematički model kaže da je linearan i vremenski promenljiv. Kada su koeficijenti diferencijalne jednačine konstantni, onda je model linearan i vremenski nepromenljiv.

Za rešavanje matematičkih modela linearnih sistema razvijene su razne matematičke metode, uz primenu računara. Većina fizičkih sistema u praksi su nelinearni. Međutim, u praksi, većina nelinearnosti je takva da je moguće postaviti linearni model, koji sa zadovoljavajućom tačnošću aproksimira ponašanje sistema, u radnom opsegu od interesa. Postoje i fizički sistemi koji se ne mogu na zadovoljavajući način aproksimirati linearnim modelom. To su nelinearni sistemi, koji za analize i projektovanje zahtevaju druge metode.

1 Diferencijalne jednačine fizičkih sistema

Posmatran u celini, upravljački sistem u suštini predstavlja aktivnu mrežu, sačinjenu od električnih, mehaničkih, hidrauličnih, pneumatskih i drugih komponenata. Da bi se pristupilo analizi i sintezi, bilo kog tipa upravljačkog sistema, potrebno je poznavati matematičke modele pojedinih njegovih komponenti, kao i fizičke zakone kao što su Njutnov, Kirhofov i dr.

a) Mehanički linearni sistemi

Za translatorno kretanje važi drugi Njutnov zakon:

f i (t )=ma=md2 xdt2

(1)

gde je:fi(t) – sila inercije (N), t – vreme (sek.), m – masa (kg),

Page 2: Matematički modeli fizičkih sistema

– ubrzanje (m/sek2), x – pomeraj (m).

Sila, koja izaziva translatorno kretanje slobodnog kraja opruge, generiše silu reakcije, koja deluje suprotno sili deformacije, u okviru elastične granice idealne linearne opruge (slika 1).

Za ovaj sisteme važi Hukov zakon:

Fe(t) = K x(t) (2)

gde je:Fe(t) – sila elastičnosti opruge (N),K – krutost opruge (N/m), x(t) – pomeraj slobodnog kraja opruge (m).

Slika 1

Sila, koju izaziva viskozno trenje u translatornom kretanju (slika 2) je:

f t (t )=Bυ (t )=B dxdt (3)

gde je:ft(t) – sila viskoznog trenja (N),B – koeficijent viskoznog trenja (Nsec./m),υ (t) – relativna brzina dodirnih površina (m/sec}.

Slika 2

Za rotaciono kretanje (sl. 3) je moment ubrzanja:

Slika 3

a

Page 3: Matematički modeli fizičkih sistema

M u=Jdωdt

=J d2θ

dt2(4)

gde je:Mu – moment ubrzanja (Nm),J – moment inercije (kgm2),

B

d2θdt2

– ugaono ubrzanje (rad /sek2). Pri pokretanju zamajca na osovini usled uvijanja osovine, javlja se i torzioni moment na

osovini:

Me = kθ (t) (5)

gde je:Me(t) – torzioni moment elastičnosti (Nm),θ – ugaoni pomeraj osovine (rad),k – koeficijent torzione elastičnosti (Nm /rad).Ako je zamajac rotora u viskoznoj sredini, tada tada se pojavljuje i moment viskoznog

trenja:

M t (t )=Bω (t )=B dωdt (6)

gde je:B – koeficijent viskoznog trenja (Nm/rad/sec),dθdt – ugaona brzina (rad/sek),Mt(t) – moment viskoznog trenja (N/m). Diferencijalna jednačina sistema za pokretanje zamajca na osovini u viskoznoj sredini je

Jd2θdt2

+B dθdt

+kθ ( t )=M (t )(7)

gde je:M (t) – pokretački moment koji izaziva rotaciju.Ova jednačina izražava zakon ravnoteže momenata. To je diferencijalna jednačina drugog

reda sa konstantinim koeficijentima. Kako je ω = dθ/dt to ova jednačina se često izražava u obliku :

Jdωdt

+Bω+k∫−∞

t

ωdt=M (t )(8)

Page 4: Matematički modeli fizičkih sistema

b) Električni linearni sistem

Osnovni parametri električnog linearnog sistema su otpornost, induktivnost i kapacitivnost. Analiza ovih sistema se izvodi na bazi Kirhofovih zakona. Dinamičko ponašanje rednog RLC kola (sl. 4), opisuje se diferencijalnom jednačinom:

Ldidt

+Ri+ 1C∫0

t

idt=u (t )(9)

Slika 4

Ako se uvede smena i=dq

dt , prethodna jednačina ima oblik

Ld2 qdt2

+R dqdt

+ 1Cq=u (t )

. (10)

Poredeći zadnje jednačine, sa jednačinama iz linearnih mehaničkih sistema, vidimo da su te jednačine istog oblika, ali sa različitim fizičkim veličinama, parametrima i dimenzijama. Takvi sistemi čije su diferencijalne jednačine istog oblika, zovu se analogni sistemi. Na osnovu sličnosti ovih jednačina moguće je formirati tabelu analogija (tabela 1.), između fizičkih veličina, električnih i mehaničkih sistema.

Tabela 1.

Električni sistemMehanički translatorni

sistemMehanički rotacioni

sistemNapon u Sila F Moment M

Induktivnost L Masa m Moment inercije JOtpornost R Koeficijent trenja B Koeficijent trenja B

Recipročni kapacitet 1/C Krutost oprege K Koeficijent torzije k Količina elektriciteta q Pomeraj x Ugaoni pomeraj θ

Page 5: Matematički modeli fizičkih sistema

Struja i Brzina υ Ugaona brzina ω

Koncept analognih sistema se može proširiti i na druge fizičke sisteme, kao što su termički, hidraulični, pneumatski i drugi. Najlakše je neelektrične sisteme modelovati u analogne električne. Na primer, složeni mehanički sistemi se mogu proučavati istim metodama kao i električne mreže ako se uvede pojam mehaničke impedanse i mehaničke konture. Primenom Laplasove transformacije na jednačinu (9), za početne uslove jednake nuli, dobija se algebarska jednačina:

LsI (s )+RI (s )+ 1C⋅s

I ( s)=u ( s )(11)

na osnovu koje se izračunava uprošćena kompleksna impedansa električne konture redne veze RLC elemenata

Z ( s)=u ( s)I (s )

=Ls+R+ 1C⋅s . (12)

Na isti način se mogu definisati i mehaničke impedanse translatornog i rotacionog sistema:

Z t (s )=F (s )x (s )

=ms+B+ks

Zr ( s)=M ( s)θ (s )

=Js+B+ks (13)

Prema tome, uvodeći pojam mehaničke konture sa odgovarajućom mehaničkom impedansom, moguće je, za bilo kakav složen linearni mehanički sistem, formirati odgovarajuću pasivnu električnu mrežu. Tako se mehanički sistemi analiziraju istim postupkom kao i električne mreže.