Matematički modeli Funkcije

Matematiki modeli Funkcijeurica TakaiJelena TatarDuka Pei

Matematiki modeli

Funkcije

Proces matematikog modeliranjaProblem iz svakodnevnog ivotaMatematiki modelFormulacijaInterpretacija

Matematiki modeli - funkcije

IzlazVisina ljudiSupersonini avionZaboravljanjeUenjeSkakutanje lopteTeniserBioritamRizik od sudarairenje gripaLjudska populacijaPutanja telaStarost psaHlaenje kolaaBroj udesaZemljotresiMaksimalna dobitPreeni putSprejSladoledKoncentracija lekaKomarac

Visina ljudiNakon to osoba navri 30-tu godinu ivota, smanjuje se za oko 0.06 cm godinje.

Pitanje: Koliko cm e osoba biti nia kada napuni 35, 45, 55, 65 godina? OdgovorOdrediti analitiki izraz date funkcije. OdgovorSkicirati grafik date funkcije. OdgovorSa grafika odrediti koliko e osoba biti nia kada napuni 40 godina. Odgovor

IzlazLinearna funkcija

Linearna funkcija

y = kx + n

Osobine:

Domen: skup R.

Kodomen: skup R.

Funkcija je nula za

Monotonost:

Ako je k > 0, funkcija je rastua.

Ako je k < 0, funkcija je opadajua.

Znak:

Ako je k > 0: y < 0 za x (-, x0), y > 0 za x ( x0, ),

Ako je k < 0, y > 0 za x (-, x0), y < 0 za x ( x0, ).

Grafik funkcije y = kx + n je prava.

x

y

0

k - koeficijent pravca

n - odseak na y -osi

k = tg

Za k > 0:

funkcija je rastua

- znak

- - -

+ + + + + + + + +

Za k < 0:

funkcija je opadajua

- znak

- - - - - - - - - - - - -

+ + + + + +

n

x0

x0

0

n

x

k

=-

Poevi od 30-te godine ivota, smanjuje se za 0.06cm godinje. Znai da e se u 35-toj godini ivota smanjiti za (35-30)x0.06cm.Zakljuak: f(35)=(35-30)x0.06=0.3cmAnalogno: (45-30)x0.06=0.9cm u 45-toj godini;(55-30)x0.06=1.5cm u 55-toj godini;(65-30)x0.06=2.1cm u 65-toj godini.

NazadKoliko cm e osoba biti nia kadanapuni 35, 45, 55, 65 godina?

Odrediti analitiki izraz date funkcije.Poevi od 30-te godine ivota, smanjuje se za 0.06cm godinje. Znai da e se u n-toj godini ivota (n

Skicirati grafik date funkcije.Za grafik linearne funkcije dovoljne su dve take tog grafika (prava je odreena sa dve take). Vodi se rauna o domenu ove funkcije (n>30).f(35)=0.3f(55)=1.5

35550.31.5Nazad

Sa grafika odrediti koliko e osoba biti nia kada napuni 40 godina.Sa grafika se moe priblino tano oitati vrednost funkcije u traenoj taki:

35550.31.540f(40)=0.6Nazad

Alkohol i rizik od sudara

Rizik od sudaraVeza izmedju koncenracije alkohola u krvi i rizika od sudara data je funkcijom

gde je R rizik od sudara izraen u procentima (verovatnoa sudara), a x je koncentracija alkohola izraena u procentima.

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

0

.

1

0

0

.

1

2

0

.

1

4

0

.

1

6

0

.

1

8

0

.

2

0

0

.

2

2

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

0

1

0

0

x

R

Rizik od sudaraPri kojoj koncentraciji alkohola u krvi je verovatnoa sudara 1 (100%)? Reenje

Koncentracija od 0.220316 % alkohola u krvi dostie (skoro) verovatnou od 100% sudara:

Kod nas je dozvoljena koncentacija alkohola 0.05% kada je verovatnoa da se desi udes 11%:Izlaz

0

.

0

0

0

.

0

2

0

.

0

4

0

.

0

6

0

.

0

8

0

.

1

0

0

.

1

2

0

.

1

4

0

.

1

6

0

.

1

8

0

.

2

0

0

.

2

2

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

0

1

0

0

x

R

Prodaja sladoleda

Prodaja sladoledaKoliina sladoleda S koji se proda u letnjim mesecima je direktno proporcionalna koliini novca uloenog u reklamu R, a obrnuto proporcionalna ceni sladoleda C. Zavisnost koliine prodatog sladoleda od cene i reklame je data sa S=(kR)/C, gde je k koeficijent proporcionalnosti, i zavisi od situacije. (koji se moe odrediti na osnovu posmatranog uzorka).Ako se za reklamu uloi 1000000 dinara, i pri ceni od 200 dinara proda 40000 sladoleda, tada za takvu vrstu sladoleda u tom momentu iz 40000=(kx1000000)/200, sledi da je k=8.Prema tome matematiki model prodaje sladoleda, opisanog gore, po ceni od 200 dinara, u zavisnosti od reklame, je S=(8R)/200, gde je R koliina novca uloenog za reklamu.

Izlaz

Rasprivanje spreja

Rasprivanje sprejaPosmatramo boicu u kojoj se nalazi gas pod pritiskom veim od atmosferskog pritiska. Na vrhu boice nalazi se ventil, ijim dodirom izazivamo smanjenje pritiska gasa unutar boice, to izaziva poveanje zapremine gasa koji izlazi kroz rupicu blizu ventila u vidu spreja. Znai, pri stalnoj temperaturi, pritisak P je obrnuto proporcionalan zapremini V odnosno V=k/P gde je k koeficijent proporcionalnosti, odnosno relativna konstanta koja zavisi od posmatranog sluaja.Na primer, ako je zapremina boice 16cm3 a pritisak je 4kp/cm3 tada je k=VP=16x4=64. Tada je V=64/P matematiki model koji prikazuje zavisnost zapremine gasa od pritiska za bocu posmatranu u primeru.

Izlaz

Brzina preenog puta

Zavisnost vremena od brzineRastojanje izmeu Novog Sada i Beograda je 75 km. Funkcija je matematiki model zavisnosti vremena od brzine kojom se prelazi put Novi Sad-Beograd.Grafik te funkcije je:

Zavisnost vremena od brzineZa koliko vremena se stie od Novog Sada do Beograda ako se putuje kolima brizinom 75 km/h? Za koliko vremena se stie od Novog Sada do Beograda ako se putuje peice prosenom brizinom 4 km/h? Za koliko vremena se stie od Novog Sada do Beograda ako se putuje brzim vozom brzine 200 km/h?Za koliko vremena se stie od Novog Sada do Beograda ako se putuje biciklom prosenom brzinom od 15 km/h?Ispitati monotonost date funkcije. Objasniti kako poveanje brzine utie na vreme potrebno da se pree put Novi Sad - Beograd.

Reenje: Funkcija monotono opada, prema tome oigledno je da poveanje brzine utie na skraivanje vremena putovanja.Opii ponaanje funkcije kada x.

Reenje: Kada x tada vrednost funkcije tei nuli i funkcija ima horizontalnu asimptotu pravu y=0. Na osnovu toga moemo rei da ako brzina tei beskonanosti tada vreme potrebno da se pree put tei nuli.Opii ponaanje funkcije kada x0+.

Reenje: Kada x0+ tada vrednost funkcije tei beskonanosti i funkcija ima vertikalnu asimptotu pravu x=0. Ako brzina tei nuli (preko pozitivnih brojeva) tada vreme potrebno da se pree put tei beskonanosti.Izlaz

Maksimalna dobitAko funkcija opisuje neku ekonomsku pojavu, ispitujui njene osobine i skicirajui grafik mogu se reiti mnogi zadaci optimizacije poslovanja.

Primer:Neka je data funkcija tranje

i funkcija prosenih trokova .Odrediti:) Optimalni obim prodaje za maksimalnu dobit;B) Maksimalan ukupni prihod;C) Interval rentabiliteta;D) Grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih trokova i dobiti.

Reenje:* Funkcija ukupnih prihoda P(x) se dobija mnoenjem cene p i tranje x.

Grafik funkcije ukupnog prihoda:P(x)

Funkcija ukupnih trokova se dobija mnoenjem funkcije prosenih trokova i tranje:

Odatle je funkcija dobiti:

P(x)D(x)C(x)* Na osnovu dobijenih grafika mogu se reiti svi postavljeni problemi.

P(x)D(x)C(x)*Maksimalna dobit je maksimum funkcije dobiti x=50 i iznosi 9500 novanih jedinica.Maksimalna dobit

P(x)D(x)C(x)*Maksimalan ukupni prihod je maksimum funkcije ukupnog prihoda: dostie se za x=200 i iznosi 40000 novanih jedinica.Maksimalan ukupni prihod

P(x)D(x)C(x)*Interval rentabilnosti je interval u kome je funkcija dobiti pozitivna: dostie se izmeu x=5 i x=95. Interval rentabilnostiIzlaz

Kriva zaboravljanja

Ebinhausova kriva zaboravljanja

t je vreme izaraeno u danima, koje je proteklo od prestanka uenja, a f(t) predstavlja procenat zadranog materijala. Funkcije zadate iz delova

Neke funkcije zadate po delovima

Funkcija y = | x |

apsolutna vrednost od x

| x | =

x , x 0

x , x < 0

0

x

y

1

Posmatramo deo grafika:

y = x , kada je x 0

y = x , kada je x < 0

Funkcija y = sgn x

Funkcija znak (signum) od x

sgn x =

1 , x > 0

1 , x < 0

0 , x = 0

Posmatramo deo prave:

y = 1 , kada je x 0

y = 1 , kada je x < 0

taka (0,0) pripada grafiku

x

y

0

1

1

Neobojenim kruiem naglaavamo da take (0,1) i (0,-1) ne pripadaju grafiku funkcije.

Funkcija y = [ x ]

Funkcija najvei ceo deo (najvee celo) od x

x

y

0

Funkcija najvei ceo deo od x, u oznaci [x], realan broju x preslikava u najvei ceo broj koji nije vei od x.

Na primer:

[2,35] = 2

[1,123] = 2

[0] = 0

[] = 3

1

Ebinhausova kriva zaboravljanja1. Ispitati tok funkcije zaboravljanja. Reenje2. Da li se moe rei da koliina zaboravljanog materijala opada sa poveanjem vremenskog intervala? Reenje3. Kada se najbre zaboravlja? Reenje4. Odrediti koliinu zaboravljenog materijala: posle 20 minuta (ili 1/72 dana), posle 1 as (1/24 dana), posle 5 asova (19/24 dana), posle 1 dana, posle 2 dana, posle 6 dana, posle 30 dana. Reenje1. Funkcija opada

2. Ne. Koliina zadraanog materijala opada, to znai da koliina zaboravljenog materijala raste.3. U toku prvih 20 minuta

Zaboravljanje razliitih vrsta gradiva

Na grafiku su prikazane etiri krive zaboravljanja razliitih sadrzaja.Plava kriva prikazuje procenat zadraavanja sutinskih ideja.Crna kriva prikazuje procenat zadraavanja poezije.Zelena kriva prikazuje procenat zadraavanja proze.Crvena kriva prikazuje procenat zadraavanja besmislenih slogova, Ebinhausova kriva.


1. Odrediti matematiki model, odnosno funkciju iji je grafik plava kriva koja prikazuje procenat zadraavanja sutinskih ideja. Reenje2. Povezati sledee funkcije sa nihovim graficima na slici: ReenjeReenjeReenje


3. Objasniti kako utie vreme proteklo posle uenja na procenat zadraavanja vrste gradiva u zavisnosti od proteklog vremena. Reenje4. Kada se najbre zaboravlja? ReenjeProcenat zadranog gradiva opada sa vremenom a procenat zaboravljenog gradiva raste sa vremenom nezavisno od vrste gradiva.*Sutinske ideje se uglavnom zapamte posle 30 dana, odnosno najdue se pamte.*Poezija se due pamti od proze i besmislenih slogova.*Proza se due pamti od besmislenih slogova.Najbre se zaboravlja u poetku, a ono to posle izvesnog vremena ostane u pamenju sporije se zaboravlja.Izlaz

Kriva uenja

Kriva uenja

Matematiki model koji prikazuje zavisnost procenta tanog reprodukovanja od broja ponavljanja odreenog gradiva.

Kriva uenja1. Odrediti u(1), u(2), u(3), u(4) i u(5). Reenje2. Odrediti monotonost funkcije i objasniti. Reenje3. ta se deava kada Objasniti. ReenjeFuncija monotono raste (to se vie ponavljanja vie se naui). Mnogo se vie gradiva naui u poetku uenja nego kasnije.Funkcija u ima horizontalnu asimptotu y=100 kada To znai da se posle velikog broja ponavljanja naui uglavnom sve gradivo (100%).Izlaz

irenje gripa

irenje gripa

Model irenja gripa. Funkcija f prikazuje broj obolelih u zavisnosti od vremena t (u nedeljama).U poetku irenja gripa, za t=0 dobija se to znai da je priblino 1429 ljudi bilo bolesno.Posle prve nedelje (f(1)=5492) je bilo bolesno 5492 ljudi.Posle druge nedelje (f(2)=15032) je bilo bolesno 15032 ljudi.Posle tree nedelje bilo je bolesno 24546 ljudi.Posle etvre nedelje bilo je bolesno 28583 ljudi.*Data funkcija ima horizontalnu asimptotu, to znai da se broj obolelih posle etiri nedelje praktino ne poveava.Izlaz

Hlaenje kolaa

Hlaenje kolaaKolai koji se izvade iz rerne imaju temperaturu od 100oC i poinju da se hlade na sobnoj temperaturi od 25oC. Posle 10 minuta imaju temperaturu od 60oC.Posle koliko vremena e kolai imati temperaturu 30oC? Reenje

Prema Njutnovom zakonu hlaenja vai:To je matematiki model temperature T kolaa, u zavisnosti od poetne temperature T0, konstantne sobne temperature C i proteklog vremena t (konstanta k se odreuje u zavisnosti od date situacije).Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija

y = ax

Nezavisna promenljiva x se nalazi u eksponentu.

Osnova a je realan pozitivan broj (konstanta).

Osobine i grafik:

Domen je skup R.

Kodomen je skup R+.

Nema nula.

Uvek je pozitivna.

Monotonost:

a > 1, funkcija je rastua.

0 < a < 1, funkcija je opadajua.

Asimptota grafika je x -osa.

Za bilo koju vrednost a grafik funkcije prolazi kroz taku (0,1).

x

y

0

(0,1)

Grafici eksponencioalne funkcije za neke vrednosti a.

y = 3x

y = 2x

y = 1,5 x

y = 1

3x

2x

1,5 x

y = 1

y =

y = 0,5 x

0,5 x

y =

1

3

x

1

3

x

2

3

x

2

3

x

Hlaenje kolaa

Ako je i tada jeKonstanta k se odeuje iz uslova da je posle 10min temperatura kolaa bila odnosno iz jednaine:

ije se reenje dobija iz i oblika jePrema tome temperatura kolaa u ovom sluaju je Sada se moe odrediti za koje vreme e temperatura kolaa biti . Iz

odakle je Znai posle 36 minuta temperatura kolaa e biti neto manja od Izlaz

Skakutanje lopte

Skakutanje lopteNeka je spirala jednim delom privrena za plafon a na drugom visi lopta u ravnotenom poloaju u stanju mirovanja. Zamislimo osu d=0 koja prolazi kroz centar lopte i paralelna je sa plafonom na koji je privena lopta. Ako se lopta povue na dole za 2, tada se moe oznaiti sa d=-2 osa koja je paralelna sa plafonom i prolazi kroz centar lopte u najniem poloaju. Znai, za t=0 lopta je na rastojanju 2 od ravnotenog poloaja.

d=-2d=0t =0d=2

Skakutanje lopteKada pustimo loptu i posmatramo njen poloaj u toku 12sec njeno odstojanje od ravnotenog poloaja e praviti prosto harmonijsko kretanje koje se moe opisati kosinusoidom.

d=-2d=0d=2t =0t =1t =2t =3t =4t =5t =7t =6t =8t =9t =11t =10t =12

Skakutanje lopteOdrediti konstante a i . Reenje

d=-2d=0d=2t =0t =1t =2t =3t =4t =5t =7t =6t =8t =9t =11t =10t =12Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske

funkcije

y = sin x

y = cos x

y = tg x

y = ctg x

x

y

0

1

Trigonometrijski krug K(0,1)

Proizvoljan ugao

Trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla

kruni luk duine

OM = sin

OM= cos

AN= tg

BP = ctg

realan broj

M

M

M

N

P

B

A

Osobine i grafik funkcije y = sin x

Osobine:

Domen je skup R.

Kodomen je [-1,1]

Osnovni period je = 2

Nule funkcije su:

Ekstremne vrednosti su:

ymin , za

ymax , za

Znak funkcije:

y < 0 , za

y > 0 , za

Monotonost:

y rastua za

y opadajua za

Osobine i grafik funkcije y = cos x

Osobine:

Domen je skup R.

Kodomen je [-1,1]

Osnovni period je = 2

Nule funkcije su:

Ekstremne vrednosti su:

ymin , za

ymax , za

Znak funkcije:

y < 0 , za

y > 0 , za

Monotonost:

y rastua za

y opadajua za

Osobine i grafik funkcije y = tg x

Osobine:

Domen je skup R\

Kodomen je R.

Osnovni period je =

Nule funkcije su:

Ekstremne vrednosti nema.

Znak funkcije:

y < 0 , za

y > 0 , za

Funkcija je rastua za

Osobine i grafik funkcije y = ctg x

Osobine:

Domen je skup R\

Kodomen je R.

Osnovni period je =

Nule funkcije su:

Ekstremne vrednosti nema.

Znak funkcije:

y < 0 , za

y > 0 , za

Funkcija je opadjua za

0

xk

p

=

min

2

2

xk

p

p

=-+

max

2

2

xk

p

p

=+

(

)

02,2

xkk

ppp

++

0

2

xk

p

p

=+

(

)

2,22

xkk

pppp

++

max

2

xk

p

=

3

2,2

22

xkk

pp

pp

++

2,2

22

xkk

pp

pp

-++

min

2

xk

pp

=+

2,2

22

xkk

pp

pp

-++

,2

2

xkk

p

pp

-+

2,2

2

xkk

p

pp

+

0

xk

p

=

{

}

,

kkZ

p

(

)

,

xkk

ppp

+

,

2

xkk

p

ppp

++

,

2

xkk

p

pp

+

0

2

xk

p

p

=+

,

2

kkZ

p

p

+

Skakutanje lopteDa li prethodna funkcija predstavlja odgovarajui model odstupanja lopte od ravnotenog poloaja i tokom dueg vremenskog intervala? Reenje

Ne, jer je odstupanje vremenom sve manje. Odgovarajui matematiki model bi bio zadat funkcijom:

Izlaz

Putanja tela

Putanja tela baenog u visTelo baeno vertikalno uvis ima putanju gde je ubrzanje zemljine tee, poetna brzina i poetna visina.Lopta je baena u vis sa vrha tornja u Pizi, visine 58m sa prosenom brzinom 30m/s. Odrediti posle koliko vremena e lopta dodirnuti zemlju. Reenje

Putanja koju lopta pree moe se izraziti kao stKvadratna funkcija

Kvadratna funkcija

y = ax2 + bx + c

a, b, c realni koeficijenti i a 0

Funkcija y = ax2

y = x2

y = 2 x2

y = 0,5 x2

y = x2

Osobine:

Domen je skup R.

Kodomen:

R+{0}, ako je a 0

R-{0}, ako je a < 0

Funkcija je parna

Nula funkcije je broj 0.

Monotonost:

ako je a 0, funkcija opada do nule, zatim raste.

ako je a < 0, funkcija raste do nule, zatim opada.

Ekstremna vrednost:

Tmin (0,0), ako je a 0

Tmax (0,0), ako je a < 0

Funkcija y = ax2 + n

y = ax2

x

y

y = ax2 + n

n

Koeficijent n nam pokazuje za koliko se grafik funkcije translira du y- ose.

Translacijom du y- ose se mogu pojaviti nule funkcije, a time i promene znaka funkcije. Koordinate temena su T(0,n).

Funkcija y = a(x m)2

y = ax2

x

y

y = a(x m)2

Koeficijent m nam pokazuje za koliko se grafik funkcije translira du x- ose.

m

Translacijom du x- ose gubi se parnost funkcije i menjaju koordinate temena

T (m,0).

Funkcija y = ax2 + bx + c

y = ax2

x

y

y = ax2 + bx + c

Transformiemo izraz:

u tzv. kanonski oblik

Grafik polazne funkcije translira se za vektor

T

m

n

v

r

2

4

,

24

bacb

v

aa

-

=-

r

2

2

4

24

bacb

yax

aa

-

=-+

Putanja tela baenog u vis

1. Odrediti maksimum i nule funkcije s i dati tumaenje u vezi putanje lopte. Reenje Maksimum date funkcije moe se odrediti kao teme parabole:

a nule funkcije s su:

Putanja tela baenog u vis

Ako se telo basi uvis sa visine od 58m sa poetnom brzinom 30m/s, tada e ono posle 3.0612s dostii visinu od 103.92m i posle toga e poeti da pada i dodirnuti zemlju posle 7.6664s. *Primetimo da smo uzeli samo pozitivnu nulu, jer t 0.

Ako se telo baci u vis istom brzinom ali sa zemlje, koliko i kada e ono biti najvie udaljeno od zemlje i kada e ono udariti zemlju? ReenjeMatematiki model ove pojave jeTeme parabole, je nule su t=0 i t=6.1224 *Ako se telo baci sa zemlje pod navedenim uslovima tada e dostii najveu visinu 45.918m za 3.0612 s (isto vreme kao i kod Pize), a pogodie zemlju posle 6,1224 s.Izlaz

BioritamU teoriji bioritma koristi se sinusna funkcija kao mera potencijala neke osobe u toku vremena.

Primer bioritma osobe roene 29.05.1968. godine za period od 10.02. do 06.03. 2007. godine.IzlazPeriod krive emocionalnog potencijala je 28 danaNajgori dan za tranje maratona je 13-ti februarPeriod krive intuitivnog potencijala je 36 danaNajgori dan za bavljenje naukom je 22-gi februar

Supersonini avion

Brzina supersoninog avionaBrzina supersoninog aviona se izraava Mahovim brojem (Ernst Mach, fiziar, 1838-1919). Mahov broj M je kolinik brzine aviona i brzine zvuka (331m/s). Ako supersonini avion ima brzinu zvuka, tada je Mahov broj 1. Ako je brzina aviona vea od 1 Maha uje se zvuni udar koji formiraju zvuni talasi u prostornom uglu (u obliku konusa).

Brzina supersoninog avionaFunkcija

je matematiki model veze izmeu prostornog ugla i mahovog broja.Na primer,

ako je ugao tada je brzina supersoninog aviona 2 Maha, odnosno 662m/s;ako je tada se brzina supersoninog aviona dobija iz

jednaka je m/s.Izlaz

TeniserAko teniser udari lopticu brzinom v0 m/s pod uglom , tada e loptica udariti zemlju na rastojanju d (izraeno u metrima) od mesta gde je servirana. U fizici se ova pojava naziva kosi hitac. Matematiki model veze izmedju v0, d i jeste funkcija

ili

TeniserPod kojim uglom treba N. okovi da servira lopticu brzinom od 60 m/s (odnosno 216 km/h) da bi loptica pala najdalje. Reenje

Da li to moe da bude dobra lopta? ReenjeOvo je aut lopta zato to je duina terena neto manja od 25 m.

TeniserOdediti ugao pod kojim R. Federer treba da servira tako da loptica padne na rastojanju 15 m. Reenje

Izlaz

Zemljotresi

ZemljotresiCharles Richter, ameriki geolog, je 1935.g na osnovu posmatranja zemljotresa od 1900.g do 1950.g definisao magnitudu zemljotresa kao:

gde je I intenzitet zemljotresa (meren kao amplituda seizmografa koja se ita 100 km od epicentra zemljotresa) , a S je intenzitet standardnog zemljotresa (ija je amplituda 1 micron ili 104cm ).Magnituda standardnog zemljotresa je:

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija

y = loga x

Podsetimo se:

loga b je realan broj kojim treba stepenovati broj a da bi se dobio pozitivan broj b .

Odnosno, ako je loga b = x, onda je a x = b.

Grafik funkcije inverzne funkciji f (x) je simetrian grafiku polazne funkcije u odnosu na pravu y = x.

Zakljuujemo:

Broj a je pozitivan; broj b je pozitivan.

Funkcija y = loga x je inverzna funkciji y = a x.

x

y

0

a x

loga x

y = x

1

1

Osobine i grafik:

Domen je skup R+.

Kodomen je R.

Nula funkcije je x 0 = 1.

Znak funkcije:

Ako je a > 1, onda je y < 0 za x(0,1) i

y > 0 za x > 0

Ako je 0 < a < 1, onda je y > 0 za x(0,1) i y < 0 za x > 0

Monotonost:

Ako je a > 0, funkcija je rastua.

Ako je 0 < a < 1, funkcija je opadajua.

Asimprota grafika funkcije je y - osa.

x

y

0

loga x

1

loga x

- -

+ + + + + + +

+ +

- - - - - - - - - -

Zemljotresi Pokazati da svaki broj na Richterovoj skali oznaava intenzitet 10 puta jai od prethodnog. Reenje

ZemljotresiZemljotres magnitude 8 je deset puta jai od zemljotresa magnitude 7, a 100 puta jai od zemljotresa magnitude 6.Primer: Zemljotres koji se dogodio u Crnoj Gori 15. aprila 1979. godine, u 7 asova i 19 minuta (po lokalnom vremenu) naalost, pripadao je klasi katastrofalnih i ovaj zemljotres je posedovao magnitudu od 7 jedinica Rihterove skale. Zemljotres s magnitudom 4.5 jedinica Rihterove skale se dogodio u epicentralnom podruju Mionice 22. marta 2006. godine.

ZemljotresiKoliko puta je bio jai zemljotres u Crnoj Gori od zemljotresa u Mionici? Reenje

Izlaz

Broj automobilskih udesa u zavisnosti od godina vozaa

Broj udesaFunkcija je matematiki model broja saobraajnih udesa na preenih 200 hiljada kilometara u zavisnosti od godina vozaa.

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

0

.

0

0

.

2

0

.

4

0

.

6

0

.

8

1

.

0

1

.

2

1

.

4

x

y

Broj udesaU kojim godinama ovek ima najmanje udesa. Reenje

Ispitati monotonost funkcije f i na osnovu toga dati odgovarajue tumaenje. Reenje

Parabola ima minimum za to znai da ljudi sa 45 godina imaju najmanje saobraajnih udesa.

Data kvadratna funkcija opada kada a raste kada je x>45. Na osnovu toga moe se rei da se broj udesa smanjuje sa poveanjem godina ivota od 18 do 45, a raste posle 45 godina.

Izlaz

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

0

.

0

0

.

2

0

.

4

0

.

6

0

.

8

1

.

0

1

.

2

1

.

4

x

y

Komarac

KomaracU Kopakom Ritu u prolee broj komaraca naglo raste i njihov broj po jednom hektaru je

gde je t broj dana nakon poslednjeg mraza.

25

20

15

10

5

0

2e+5

1.5e+5

1e+5

5e+4

t

k

KomaracKoliko e komaraca biti u ritu posle 10 dana, posle 20 dana i posle 30 dana. Reenje

Posle 10 dana e biti k(10)=2500. Posle 20 dana e biti k(20)=25000. Posle 30 dana e biti k(10)=2.5x105 (dvestopedest hiljada komaraca).Izlaz

25

20

15

10

5

0

2e+5

1.5e+5

1e+5

5e+4

t

k

Koncentracija leka u krvi

Koncentracija leka u krviMatematiki model koncentracije leka u krvi jeste funkcija gde je C izraeno u miligramima po litru i zavisi od vremena proteklog posle uzimanja leka.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

0

.

0

0

.

5

1

.

0

1

.

5

2

.

0

2

.

5

t

C

Kada je koncentracija leka u krvi najvea? ReenjeFunkcija ima minimum u taki t=1, pa funkcija C ima maksimum za t=1, to znai da je koncentracija leka najvea posle 1 asa i iznosi 2.5 miligrama po litri.Znai da koncentracija leka raste u prvom satu, kada dostie maksimum i posle pada. Posle dueg vremenskog perioda, na primer posle 12 sati, koncentracija leka je 0,413 miligrama po litri.Koliina leka u krvi tei nuli kada se vremenski interval od uzimanja leka poveava i tei beskonanosti.

Izlaz

Starost psa

Starost psa u ljudskim godinamaFunkcija

je matematiki model koji povezuje godine psa i oveka, odnosno izraava starost psa u ljudskim godinama.

0

2

4

6

8

1

0

1

2

1

4

1

6

1

8

2

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

0

1

0

0

x

h

Starost psa u ljudskim godinamaKoliko ljudskih godina ima pas od 2 godine? Reenje

Izlaz

0

2

4

6

8

1

0

1

2

1

4

1

6

1

8

2

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

0

1

0

0

x

h

Test vertikalne linijeGrafik bilo koje funkcije ima osobinu da svaka prava paralelna sa y-osom see taj grafik u najvie jednoj taki.Jeste grafik funkcijeNije grafik funkcijePresekPresekIzlaz

Ljudska populacija

Podaci o ljudskoj populacijiUcrtaju se odgovarajue take

GodinaPopulacija(u milionima)1900191019201930194019501960197019801990200016501750186020702300256030403710445052806080

Chart1

1650

1750

1860

2070

2300

2560

3040

3710

4450

5280

6080

Ljudska populacija (u milionima)

Godina

Sheet1

GodinaPopulacija

1900165019001910192019301940195019601970198019902000

1910175016501750186020702300256030403710445052806080

19201860

19302070

19402300

19502560

19603040

19703710

19804450

19905280

20006080

Sheet1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


Godina

Sheet2

Sheet3

Kriva koja najbolje opisuje realno stanjeLinija krive sugerie na eksponencijalnu funkcijuEkponencijalni matematiki modelIzlaz

Chart1

1650

1750

1860

2070

2300

2560

3040

3710

4450

5280

6080


Godina

Sheet1

GodinaPopulacija

1900165019001910192019301940195019601970198019902000

1910175016501750186020702300256030403710445052806080

19201860

19302070

19402300

19502560

19603040

19703710

19804450

19905280

20006080

Sheet1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


Godina

Sheet2

Sheet3

(

)

12.77

6,

x

Rxe

=

0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 2 0 0 . 2 2

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

x

R

(

)

12.77

6

x

Rxe

=

(

)

0.22099.600

R

=

(

)

0.0511.362

R

=

(

)

75

,

x

fx

=

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

0

0

2

4

6

8

1

0

1

2

1

4

x

y

010203040506070

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y

400

xp

=-

(

)

1900

3

Cxx

x

=+

(

)

2

()400400

Pxpxxxxx

==-=-

2

1900

()()331900

CxxCxxxx

x

==+=+

2

()()()44001900

DxPxCxxx

=-=-+-

(

)

1

72

/2

35

3

309.6ln(3.6)3/24

20193/242,

202

t

t

tzat

ftezat

zat

-

+

-

=+

(

)

9

11

722424

12630

58.7%48.2%35.7%31.5%27%23.8%21%

x

ft

(

)

1

72

/2

35

3

309.6ln(3.6)3/24

20193/242,

202

t

t

tzat

ftezat

zat

-

+

-

=+

(

)

1

72

/2

35

3

309.6ln(3.6)3/24

20193/242

202

t

t

tzat

ftezat

zat

-

+

-

=+

p

o

t

10t100

(

)

2

7log65

p

ptt

=-+

100

=

y

94

()100

91

x

ux

x

-

=

+

ux100

9x4

9x1

(

)

12345101520

50%73,7%82,1%86,5%89.1%94%96%97.2%

x

ux

.

x

(

)

t

e

t

f

5

.

1

20

1

30000

-

+

=

(

)

,

6

.

1428

0

=

f

(

)

0

kt

TCTCe

=+-

0

0

100

TC

=

0

25

CC

=

(

)

25100252575.

ktkt

Tee

=+-=+

0

60,

TC

=

10

602575

k

e

=+

10

35

75

k

e

=

0.076214.

k

=-

0.076214

2575.

t

Te

-

=+

0

30

TC

=

0,0760.076

302575,575,

tt

ee

--

=+=

1

15

ln

0.076

35.632.

t

-

==

0

30.

C

cos

yat

w

=

(

)

cos

022cos02

2

6

3

yat

tdaa

w

pp

w

w

=

==--==-

==

0.1

3cos2

t

det

-

=

,

)

(

0

0

2

2

s

t

v

t

t

s

g

+

+

-

=

2

/

8

.

9

s

m

g

=

0

v

0

s

58

30

9

.

4

)

(

2

+

+

-

=

t

t

t

s

(

)

,

92

.

103

2

061

.

3

,

2

061

.

3

8

.

9

30

=

=

-

-

=

s

t

.

0

544

.

1

,

4

666

.

7

-

=

=

t

t

t

t

t

s

30

9

.

4

)

(

2

1

+

-

=

),

918

.

45

,

2

061

.

3

(

1

sin

2

M

a

=

3

,

p

a

=

6

,

p

a

=

12

1

3.8637,

sin

M

p

==

3.86373311278.9

=

2

50

sincos,

o

v

d

qq

=

2

sin2

0

.

10

o

v

d

q

=

(

)

sin2

f

qq

=

4

p

q

=

3600

36

100

.

dm

==

3600

15sin2

100

q

=

1536sin2

q

=

5

1

212

arcsin0.21489

q

==

0.21489

18012.312

p

=

log

I

M

S

=

loglog10

S

M

S

===

1

log,1log

I

I

MM

SS

=+=

1

log1log,

I

I

SS

+=

1

loglog10log

I

I

SS

+=

1

10

loglog

I

I

SS

=

1

10.

II

=

7log,4.5log

c

M

I

I

SS

==

7loglog

c

IS

=-

4.5loglog

M

IS

=-

2.5log

c

M

I

I

=

2.5

10316.233.

c

M

I

I

==

(

)

2

0.0010.092.5

fxxx

=-+

2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

1 . 2

1 . 4

x

y

0.09

0.002

45.0,

x

-

=-=

(

)

18,45,

x

(

)

0,12

2.510

t

kt

+

=

25 20 15 10 5 0

2e+5

1.5e+5

1e+5

5e+4

t

k

(

)

0,12

2.510

t

kt

+

=

C

t

5t

t

2

1

,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

2 . 5

t

C

(

)

2

5

1

t

t

Ct

+

=

(

)

1

htt

t

=+

(

)

432

0.0016180.0773261.236711.4602.914

hxxxxx

=-+-++

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

x

h

(

)

432

0.0016180.0773261.236711.4602.914

hxxxxx

=-+-++

(

)

221.480

h

=

1650

1750

1860

2070

2300

2560

3040

3710

4450

5280

6080

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

19001910192019301940195019601970198019902000

Godina


1650

1750

1860

2070

2300

2560

3040

3710

4450

5280

6080

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1890190019101920193019401950196019701980199020002010

Godina


(

)

(

)

0.0080792661.013731

t

P

=

Documents

Matematički modeli Funkcije