Upload
lekhanh
View
270
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Lekcija iz prirucnika
Vesna Zupanovic, Kristina Soric
Primijenjena matematika podrzana racunalom
Tema
Matematicko modeliranje trigonometrijskim funkcijama
poglavlje 3. Trigonometrijske i hiperbolicke funkcije i njihove
inverzne
potpoglavlje 3.8. Modeliranje trigonometrijskim i hiperbolickim
funkcijama
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Sadrzaj
1 Trigonometrijske funkcije i titranje opruge
2 Superpozicija titranja
3 Trigonometrijske funkcije i mlaz vode
4 Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 2 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Trigonometrijske funkcije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 3 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Opca sinusoida
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 4 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge
Kuglica objesena na oprugu titra pod utjecajem elasticne sile
F = −k · x , k je konstanta elasticnosti, x je pomak iz polozaja
ravnoteze.
Pomak
x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,
A je amplituda titranja, ω=2π, f=2π/T, ω je kruzna frekvencija, f
je frekvencija titranja, T je period titranja.
Brzina titranja oscilatora je
v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 5 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge
Kuglica objesena na oprugu titra pod utjecajem elasticne sile
F = −k · x , k je konstanta elasticnosti, x je pomak iz polozaja
ravnoteze.
Pomak
x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,
A je amplituda titranja, ω=2π, f=2π/T, ω je kruzna frekvencija, f
je frekvencija titranja, T je period titranja.
Brzina titranja oscilatora je
v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 5 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge
Kuglica objesena na oprugu titra pod utjecajem elasticne sile
F = −k · x , k je konstanta elasticnosti, x je pomak iz polozaja
ravnoteze.
Pomak
x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,
A je amplituda titranja, ω=2π, f=2π/T, ω je kruzna frekvencija, f
je frekvencija titranja, T je period titranja.
Brzina titranja oscilatora je
v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 5 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge
Kuglica objesena na oprugu titra pod utjecajem elasticne sile
F = −k · x , k je konstanta elasticnosti, x je pomak iz polozaja
ravnoteze.
Pomak
x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,
A je amplituda titranja, ω=2π, f=2π/T, ω je kruzna frekvencija, f
je frekvencija titranja, T je period titranja.
Brzina titranja oscilatora je
v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 5 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-pitanja
Za kuglicu mase m = 0.5 kg, koja titra objesena na oprugu
konstante elasticnosti k = 1.23 N/m amplitudom A = 1 cm.
Odredite
Graficku ovisnost o vremenu x(t) i v(t) za prvih 12 s titranja uz
ϕ=0. Kruzna frekvencija titranja je ω =√km = 1.57 rad/s.
Graficki prikazite ovisnost o vremenu potencijalne Ep =12k · x
2(t) i
kineticke energije Ek =12m · v
2(t) oscilatora.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 6 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-pitanja
Za kuglicu mase m = 0.5 kg, koja titra objesena na oprugu
konstante elasticnosti k = 1.23 N/m amplitudom A = 1 cm.
Odredite
Graficku ovisnost o vremenu x(t) i v(t) za prvih 12 s titranja uz
ϕ=0. Kruzna frekvencija titranja je ω =√km = 1.57 rad/s.
Graficki prikazite ovisnost o vremenu potencijalne Ep =12k · x
2(t) i
kineticke energije Ek =12m · v
2(t) oscilatora.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 6 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-pitanja
Za kuglicu mase m = 0.5 kg, koja titra objesena na oprugu
konstante elasticnosti k = 1.23 N/m amplitudom A = 1 cm.
Odredite
Graficku ovisnost o vremenu x(t) i v(t) za prvih 12 s titranja uz
ϕ=0. Kruzna frekvencija titranja je ω =√km = 1.57 rad/s.
Graficki prikazite ovisnost o vremenu potencijalne Ep =12k · x
2(t) i
kineticke energije Ek =12m · v
2(t) oscilatora.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 6 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-grafovi polozaja i brzine
Ovisnost polozaja o vremenu x(t) = cos (1.57t) cm.
Ovisnost brzine o vremenu v(t) = 1.57 sin (1.57t) cm/s.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 7 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-grafovi polozaja i brzine
Ovisnost polozaja o vremenu x(t) = cos (1.57t) cm.
Ovisnost brzine o vremenu v(t) = 1.57 sin (1.57t) cm/s.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 7 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-grafovi polozaja i brzine
Ovisnost polozaja o vremenu x(t) = cos (1.57t) cm.
Ovisnost brzine o vremenu v(t) = 1.57 sin (1.57t) cm/s.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 7 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-grafovi polozaja i brzine
Ovisnost polozaja o vremenu x(t) = cos (1.57t) cm.
Ovisnost brzine o vremenu v(t) = 1.57 sin (1.57t) cm/s.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 7 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-potencijalna i kineticka
energija
Opcenito potencijalna energija je
Ep =12k · x
2(t) = 12kA
2 cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 8 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-potencijalna i kineticka
energija
Opcenito potencijalna energija je
Ep =12k · x
2(t) = 12kA
2 cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 8 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-potencijalna i kineticka
energija
Opcenito potencijalna energija je
Ep =12k · x
2(t) = 12kA
2 cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 8 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-kineticka energija
Opcenito kineticka energija je
Ek =12m · v
2(t) = 12mA
2ω2cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 9 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-kineticka energija
Opcenito kineticka energija je
Ek =12m · v
2(t) = 12mA
2ω2cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 9 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s titranjem opruge-kineticka energija
Opcenito kineticka energija je
Ek =12m · v
2(t) = 12mA
2ω2cos2 (ωt + ϕ).
U nasem slucaju
Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 9 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja jednakih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm
y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.
Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja
y1(t) + y2(t).
Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja
T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 10 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija
Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja
razlicitih frekvencija opisana jednadzbama
y1(t) = A sin(ω1t) i
y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.
Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju
zadanih titranja.
Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije
titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda
titranja A = 5 cm.
Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 11 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-graf
y(t) = y1(t) + y2(t) = A sin(ω1t) + A sin(ω2t) =2A sin(ω1+ω2
2 · t) cos(ω1−ω22 · t)
y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001
2 · t)Graf funkcije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 12 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-graf
y(t) = y1(t) + y2(t) = A sin(ω1t) + A sin(ω2t) =2A sin(ω1+ω2
2 · t) cos(ω1−ω22 · t)
y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001
2 · t)
Graf funkcije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 12 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-graf
y(t) = y1(t) + y2(t) = A sin(ω1t) + A sin(ω2t) =2A sin(ω1+ω2
2 · t) cos(ω1−ω22 · t)
y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001
2 · t)Graf funkcije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 12 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-graf
y(t) = y1(t) + y2(t) = A sin(ω1t) + A sin(ω2t) =2A sin(ω1+ω2
2 · t) cos(ω1−ω22 · t)
y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001
2 · t)Graf funkcije
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 12 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar
Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.
Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana
funkcijom
cos(ω1−ω2
2 · t)= cos
(0.001
2 · t).
Frekvencija udara je ω1 − ω2.
Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.
Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val
frekvencije ω1.
Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo
razlicita od ω1 cut ce se udari.
Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari
se vise nece cuti.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 13 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode
Kit u zabavnom parku osim izvodenjem trikova, zabavlja publiku
prskanjem mlazom vode kroz otvor s najvise tocke na glavi.
Kit izbacuje vodu brzinom v m/s, pod kutem θ lebdeci x metara
horizontalno od publike i y metara vertikano iznad zemlje.
Model izbacivanja mlaza vode moze se prikazati kao kvadratna
funkcija u varijabli x
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 14 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode
Kit u zabavnom parku osim izvodenjem trikova, zabavlja publiku
prskanjem mlazom vode kroz otvor s najvise tocke na glavi.
Kit izbacuje vodu brzinom v m/s, pod kutem θ lebdeci x metara
horizontalno od publike i y metara vertikano iznad zemlje.
Model izbacivanja mlaza vode moze se prikazati kao kvadratna
funkcija u varijabli x
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 14 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode
Kit u zabavnom parku osim izvodenjem trikova, zabavlja publiku
prskanjem mlazom vode kroz otvor s najvise tocke na glavi.
Kit izbacuje vodu brzinom v m/s, pod kutem θ lebdeci x metara
horizontalno od publike i y metara vertikano iznad zemlje.
Model izbacivanja mlaza vode moze se prikazati kao kvadratna
funkcija u varijabli x
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 14 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode
Kit u zabavnom parku osim izvodenjem trikova, zabavlja publiku
prskanjem mlazom vode kroz otvor s najvise tocke na glavi.
Kit izbacuje vodu brzinom v m/s, pod kutem θ lebdeci x metara
horizontalno od publike i y metara vertikano iznad zemlje.
Model izbacivanja mlaza vode moze se prikazati kao kvadratna
funkcija u varijabli x
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 14 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna
funkcija
Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.
Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.
Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali
funkciju samo jedne varijable x .
Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 15 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna
funkcija
Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.
Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.
Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali
funkciju samo jedne varijable x .
Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 15 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna
funkcija
Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.
Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.
Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali
funkciju samo jedne varijable x .
Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 15 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna
funkcija
Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.
Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.
Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali
funkciju samo jedne varijable x .
Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 15 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna
funkcija
Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.
Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.
Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali
funkciju samo jedne varijable x .
Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 15 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta
Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2
metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.
Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.
2 = 1 · tanθ − 9.8·12
2(7·cosθ )2
20 = 10tanθ − 1
(cosθ )2
20 = 10tanθ −(
1 + (tanθ )2)
(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0
z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,
tanθ1 = 7, tanθ2 = 3
θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 16 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta
Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2
metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.
Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.
2 = 1 · tanθ − 9.8·12
2(7·cosθ )2
20 = 10tanθ − 1
(cosθ )2
20 = 10tanθ −(
1 + (tanθ )2)
(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0
z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,
tanθ1 = 7, tanθ2 = 3
θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 16 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta
Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2
metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.
Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.
2 = 1 · tanθ − 9.8·12
2(7·cosθ )2
20 = 10tanθ − 1
(cosθ )2
20 = 10tanθ −(
1 + (tanθ )2)
(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0
z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,
tanθ1 = 7, tanθ2 = 3
θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 16 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta
Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2
metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.
Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.
2 = 1 · tanθ − 9.8·12
2(7·cosθ )2
20 = 10tanθ − 1
(cosθ )2
20 = 10tanθ −(
1 + (tanθ )2)
(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0
z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,
tanθ1 = 7, tanθ2 = 3
θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 16 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta
Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2
metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.
Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?
f (x) = xtanθ −9.8x2
2(v · cosθ )2 .
Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.
2 = 1 · tanθ − 9.8·12
2(7·cosθ )2
20 = 10tanθ − 1
(cosθ )2
20 = 10tanθ −(
1 + (tanθ )2)
(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0
z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,
tanθ1 = 7, tanθ2 = 3
θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 16 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom
Zadan je graf kretanja inflacije u ovisnosti o vremenu,
i(t) = 2e−0.01t sin t + 3.1, gdje je t vrijeme u mjesecima.
Nacrtajte graf funkcije za razlicite intervale varijable t. Komentirajte.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 17 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom
Zadan je graf kretanja inflacije u ovisnosti o vremenu,
i(t) = 2e−0.01t sin t + 3.1, gdje je t vrijeme u mjesecima.
Nacrtajte graf funkcije za razlicite intervale varijable t. Komentirajte.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 17 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom
Zadan je graf kretanja inflacije u ovisnosti o vremenu,
i(t) = 2e−0.01t sin t + 3.1, gdje je t vrijeme u mjesecima.
Nacrtajte graf funkcije za razlicite intervale varijable t. Komentirajte.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 17 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-50 mjeseci
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 18 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-100 mjeseci
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 19 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-500 mjeseci
Inflacije ima oscilacije oko pravca y = 3.1.
Sto je vrijeme t vece, oscilacije su sve manje i manje. Inflacija bez
obzira na oscilacije, dugorocno konvergira u vrijednost 3.1.
Funkcija ima prigusene oscilacije.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 20 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-500 mjeseci
Inflacije ima oscilacije oko pravca y = 3.1.
Sto je vrijeme t vece, oscilacije su sve manje i manje. Inflacija bez
obzira na oscilacije, dugorocno konvergira u vrijednost 3.1.
Funkcija ima prigusene oscilacije.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 20 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-500 mjeseci
Inflacije ima oscilacije oko pravca y = 3.1.
Sto je vrijeme t vece, oscilacije su sve manje i manje. Inflacija bez
obzira na oscilacije, dugorocno konvergira u vrijednost 3.1.
Funkcija ima prigusene oscilacije.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 20 / 20
Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije
Primjer s inflacijom-500 mjeseci
Inflacije ima oscilacije oko pravca y = 3.1.
Sto je vrijeme t vece, oscilacije su sve manje i manje. Inflacija bez
obzira na oscilacije, dugorocno konvergira u vrijednost 3.1.
Funkcija ima prigusene oscilacije.
Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 20 / 20