Matematik 1 Projekt

Energioptag i buede solfangere

Solfanger 13

Andreas Feldt Poulsen (s134230)Lasse Blaabjerg (s132314)

Thorbjørn Skovhus (s134264)Jakob Drachmann Havtorn (s132315)

Karl Krøjer Toudahl (s122559)

Matematik 1, 01005Danmarks Tekniske UniversitetVejledere: Nils Ulrik Grove og Karsten Schmidt25. April 2014

Indhold

1 Indledning 1

1.1 Solfangere i Danmark og anvendelser af alternativt formede solfangere . . . . . . 1

1.2 Strukturel indledning til rapportens indhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Diskussion af matematisk model 1

2.1 Solvektorfeltets parametrisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Bestemmelse af klokkeslet til værdier af t-parameteren . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Diskussion af modelantagelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Solfanger af plane flader 3

3.1 Indadgaende flux og samlet energioptag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Rotation af solfanger med bestemt vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Rotation af solfanger med vilkarlig vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Enkeltkrummet solfanger 7

4.1 Parametrisering og normalvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Indadgaende flux og samlet energioptag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Rotation af solfanger med bestemt vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 Rotation af solfanger med vilkarlig vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Energioptag gennem solfangere som kugleudsnit 13

5.1 Energioptag gennem en enhedshalvkugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Energioptag gennem kuglekalot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Energioptag gennem en trekvart enhedskugleflade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Sammenligning af energioptaget pr. overfladeareal . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Enkelt glaslinjesolfanger i planen 19

7 Solfangere opbygget af glaslinjer 20

8 Plane solfangere af lukkede konvekse glaskurver 22

9 Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetode 23

10 Rotation af enkeltkrummet solfanger 23

11 Generel betragtning af omdrejningsflade 24

11.1 Undersøgelse af funktionen EllipticE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11.2 Modellering af omdrejningskegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11.3 Udledning af integralformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

12 Eftervisning af integralformel 27

13 Solfanger som nedadvendt omdrejningsparaboloide 28

14 Modellering af lukkede konvekse solfangere 30

14.1 Gauss’ Divergenssætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

14.2 Parameterfremstillinger for fladerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

14.3 Planet α vinkelret pa solvektorfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.4 Lukkede konvekse fladers skygge pa α-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.5 Areal af skyggeflader samt indadgaende flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14.6 Metoden anvendt pa enkeltkrummet solfanger fra opgave 3 . . . . . . . . . . . . 33

15 Reuleaux Trekant som solfanger 33

15.1 Reuleaux Trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

15.2 Reuleaux Trekantens skyggelinje i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15.3 Reuleaux Trekanten som rumlig omdrejningsflade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15.4 Reuleaux Trekantens energioptag som funktion af tiden . . . . . . . . . . . . . . 36

15.5 Rotation af Reuleaux Trekanten omkring x- og y-akse parallelle akser . . . . . . 36

16 Reuleaux Trekant i København 40

17 Sammenfatning 40

A Udregninger i Maple-ark 43

Opgave 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Opgave 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Opgave 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Opgave 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Opgave 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Opgave 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Opgave 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Opgave 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Opgave 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Opgave 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Opgave 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Opgave 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Opgave 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Figurer

3.1 Figurer, der illustrerer modelleringen af energioptaget for solfangeren fra delop-gave 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Figurer, der illustrerer modelleringen af energioptaget for solfangeren fra delop-gave 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Plot af energioptag som funktion af drejningsvinklen s. Energioptaget er maksi-malt ved s = 0 svarende til at solfanger-ryggen er parallel med x-aksen. . . . . . 6

4.1 Figurer anvendt til modellering af den enkeltkrummede solfanger. . . . . . . . . . 8

4.2 Plots som anvendes til bestemmelse af grænserne for integrationen. . . . . . . . . 9

4.3 Den indadgaende flux for solfangeren, nar den er roteret, sa den er rygparallel medx-aksen. Den stiplede kurve er den indadgaende flux for fladen placeret rygparallelmed y-aksen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Figurer anvendt ved rotation af solfangeren med en vilkarlig vinkel s. . . . . . . . 12

5.1 Figurene anvendt og udarbejdet til og ved modellering af halvkuglen. . . . . . . . 14

5.2 Figurerne anvendt til modellering af kuglekalotten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3 Figurerne anvendt til modellering af grænserne for kuglekalotten. . . . . . . . . . 18

6.1 Trekant-solfanger med henholdsvis spids og stump vinkel [5]. . . . . . . . . . . . 20

7.1 Illustration af de afprøvede solfangere [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.1 Illustration af to polygon-solfangere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11.1 Figurerne anvendt til undersøgelse af EllipticE-funktionen. . . . . . . . . . . . . . 24

11.2 Figurerne anvendt til undersøgelse af omdrejnignskeglen. . . . . . . . . . . . . . . 25

11.3 Figurerne anvendt i forbindelse med udledningen af integralformlen. . . . . . . . 27

13.1 Figurer anvendt til modellering af nedadvendt omdrejningsparaboloide med indrecylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

14.1 De to lukkede konvekse flader fra opgave 14 og 15 plottet sammen med planen αog deres skygge til tiden t = π

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14.2 Indadgaende flux for de to lukkede konvekse flader undersøgt i opgave 14 og 15. . 32

14.3 Indadgaende flux for solfangeren fra opgave 3 fundet ved projektions-metoden. . 33

15.1 Figurer der illustrer pointerne i overvejelserne om en Reuleaux trekants geometri-ske egenskaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15.2 Profilkurve og omdrejningsflade for Reuleaux trekanten i rummet. . . . . . . . . 35

15.3 Energioptaget i Reuleaux trekanten som funktion af tiden. Omdrejningsfladen erher ikke roteret, og har symmetriakse omkring z-aksen. . . . . . . . . . . . . . . 37

15.4 Energioptaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden plottet for to forskel-lige rotationer omkring x-aksen. Det bemærkes, at denne rotation kun medføreren forskydning af energioptaget til et andet tidspunkt pa dagen. . . . . . . . . . 38

15.5 Energioptaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden plottet for otte for-skellige rotationer omkring y-aksen. Det bemærkes, at denne rotation medfører ennominel ændring af energioptaget som funktion af tiden, og dermed ogsa et ændrettotalt energioptag. Energioptaget for drejningsvinklen φ = 0 er blot energioptagetfor R uden rotation om nogen akser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.6 Det totale energioptag for Reuleaux trekanten som funktion af drejningsvinklerneθ og φ, her benævnt vinkel. Det ses tydeligt, at energioptaget ved rotation omkringx-aksen er konstant, mens det totale energioptag ved rotation omkring y-aksen ervarierende. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

16.1 Energioptaget for en Reuleaux trekant med lodret symmetriakse placeret i København,og energioptaget for en optimalt placeret Reuleaux trekant i København. . . . . . 40

Tabeller

5.1 Energioptag, overfladeareal samt forholdet mellem disse for de tre enhedskugleud-snit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 Indledning

Dette projekt og denne rapport undersøger, modellerer og præsenterer resultater af beregningerpa solfangere af forskelligartede geometriske former, herunder solfangere af plane flader, enkelt-krummede flader, omdrejningsflader og lukkede konvekse flader. De matematiske kerneredskaberer parametriseringer af flader i planen og rummet samt fluxberegning ved anvendelse af detortogonale fladeintegral og Gauss’ divergenssætning.

1.1 Solfangere i Danmark og anvendelser af alternativt formede sol-fangere

Solfangere er et tvetydigt begreb, der tilsammen dækker over solcelle- og solvarmepaneler. Fællesfor disse paneler er, at de omsætter Solens straler til energi, det være sig enten elektrisk energieller termisk energi. Solfangere er vidt anvendte i dag, og særligt Danmark er et foregangslandfor udvindingen af vedvarende energi, hvor særligt vindenergi og biomasse inkl. affald er storekilder til energi [1, s.51]. Solenergi fra solceller i Danmark har dog gennemgaet en eksplosivudbredelse siden 1990 med en stigning i energiudvinding pa over 1100% [1, s.5], som kun overgasaf energiudvinding fra vindkraft, der siden 1990 er steget med over 1500% [1, s.5]. Pa solvar-mefronten har Danmark ogsa været førende i en række ar med Marstal Fjernvarmeanlæg, somindtil 2012 var verdens største solvarmeanlæg, og med planlagte solvarmeprojekter in mente, serdet ud til at Danmark fra 2014 igen bliver verdensførende [2].Den dominerende form for en solfanger er i dag det karakteristiske rektangulære design. Dettedesign er da ogsa i mange tilfælde det mest effektive design, og i kombination med en roterendesokkel, sa panelet altid er vinkelret pa solen, er det ogsa det mest effektive. Men hvis solfan-gere skal anvendes i fx moderne storbyer eller omkring kornsiloer, er der dog designmæssigeudfordringer, som eliminerer det rektangulære design som et muligt design. Hvis eksempelvisarkitekturen af en skyskraber ikke tillader kedelige rektangulære solfangere, sa kan solfangereforestilles designet i spektakulære former, som i højere grad giver arkitektonisk værdi.

1.2 Strukturel indledning til rapportens indhold

I denne rapport anvendes mange parametriseringer af flader. Disse benævne ofte r, evt. med etsubscript og efterfulgt af en parentes med dets variable. Det skal hertil bemærkes, at der kun forhvert hovedafsnit forsikres entydighed for en parametriserings navn (eksempelvis rrot(u, v, s)),mens disse navne kan ga igen i andre hovedafsnit men med en anden parametriseret flade.

2 Diskussion af matematisk model- Indeholder opgave 1

I dette afsnit præsenteres, vurderes og diskuteres en række af modelantagelserne, der ligger tilgrund for modellerne, der anvendes til undersøgelse og modellering af solfangerne i dette projekt.

2.1 Solvektorfeltets parametrisering

Der argumenteres her for, at solvektorfeltet kan beskrives ved vektorfeltet i ligning 2.1, sombestar af et system af parallelle enhedsvektorer rettet væk fra solen til ethvert tidspunkt afdagen.

V(x, y, z) =

0− cos(t)− sin(t)

, t ∈ [0, π] (2.1)

1

Jf. modelantagelserne (set fra ækvator en jævndøgnsdag) bevæger Solen sig i yz-planen. Derafvides det, at x-koordinatet i vektorfeltets parameterbeskrivelse ma være 0. Det vides desuden,at solen bevæger sig i en halvcirkel pa himlen set fra ækvator, hvilket kan parametriseres ved

r(u, v) =

0cos(t)sin(t)

, t ∈ [0, π] (2.2)

Da der i denne havlcirkel er hhv. cos(t) og sin(t) i y- og z-koordinatet for t ∈ [0;π] fas detnegative fortegn for solvektorfeltet blot fra kravet, at vektorfeltet ma have retning væk fra Solen.Dette opnas jo netop ved at vende parametriseringens normalvektor, sa den bliver modsatrettet.Størrelsen V vil i hele denne rapport referere til solvektorfeltet i ligning 2.1 benævnt som entenV(x, y, z) eller V(t).

2.2 Bestemmelse af klokkeslet til værdier af t-parameteren

I denne delopgave overvejes, hvilke klokkeslæt der hører til forskellige værdier af parameteren tfor solvektorfeltet. Dagen har 12 timer fra kl. 06.00 til 18.00, hvorved t opdeles i π

12 pr. time.Klokken 09.00, 10.00 og 17.00 er t dermed:

t09.00 =(9− 6)π

12=π

4

t10.00 =(10− 6)π

12=π

3

t17.00 =(17− 6)π

12=

11π

12

2.3 Diskussion af modelantagelser

Solfangerens placeringAt solfangeren er placeret pa ækvator medfører, at solen star lodret over solfangeren ved middag.At det er jævndøgn medfører, at dag og nat er lige lange. Disse antagelser simplificerer model-len, da der ikke skal tages højde for varierende dagslængder og skæve indfaldsvinkler fra solen.Modellen er dog dermed kun præcis gyldig for to dage om aret (forars-, og efterarsjævndøgn)og i et smalt geografisk omrade. Modellen vil dog med en nogen tilnærmelse virke som approk-simation de resterende dage ved ækvator da indfaldsvinklen her ikke vil overskride 23.5. Forbedre approksimeret beregning af energioptaget pa andre lokationer, hvor indfaldsvinklen vari-erer, udvikles metoder, hvor rotation inkluderes.

Solens baneValget af koordinatsystem er meget vigtigt, da der her kan foretages nemmere valg end andre.At der indlægges et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem, der flugter med solens bane, giver detsimpleste system at arbejde med.

SolstralingenNar himlen antages at være skyfri, og der ses bort fra irradiation og bøjning af solstralerne, kanvektorernes længde antages at være konstant hele dagen, mens kun indfaldsvinklen vil variere.

EnergioptagetNar det antages, at proportionalitetsfaktoren mellem B+(t) og E(t) er 1, kan der sættes lig-hedstegn mellem de to størrelser, hvilket eliminerer et ekstra (unødvendigt) led i beregningerne.Saledes vil de to størrelser blive behandlet som samme størrelse i denne rapport.

2

Solfangerfladens repræsentation At fladerne, der arbejdes med, er næsten overalt diffe-rentiable gør, at der i de fleste tilfælde kan integreres over fladen uden problemer. At fladen erinjektiv sørger for, at et koordinatsæt i det akseparallelle omrade, som er parametriseringensdefinitionsmængde, kun tilknyttes et koordinatsæt i parametriseringens billedmængde. Saledessørges for, at fladens egenskaber er stringente i den forstand, at der ved for eksempel bestemmelseaf areal eller flux ikke er risiko for at tælle nogle omrader dobbelt etc.

3 Solfanger af plane flader- Indeholder opgave 2

I denne opgave undersøges en solfanger, der bestar af plane flader. Slutteligt modelleres solfan-gerens energioptag som funktion af en drejningsvinkel, og den optimale placering findes.

3.1 Indadgaende flux og samlet energioptag

I denne første delopgave betragtes et sæt af vinklede flader placeret opad hinanden som et telt(se figur 3.1a). De to skra flader betragtes som grafflader i rummet og parametriseres pa følgendevis:

r1(u, v) =

1− uvu

r2(u, v) =

u− 1vu

, u ∈ [0; 1], v ∈ [−1; 1] (3.1)

Idet solfangeren er placeret, sa den er rygparallel med y-aksen, kan den indadgaende flux letbestemmes, da der netop ingen udadgaende flux er at tage højde for. Fluxen udregnes for hveraf de indgaende flader i solfangeren, og den totale flux kan findes som summen af disse. Førstbestemmes normalvektorerne til de to flader, som solfangeren bestar af. Disse fas ved at findekrydsproduktet af de to parametriseringers partielt afledede mht. parametrene u og v. Der fas:

N1 =∂

∂u(r1)× ∂

∂v(r1) =

−10−1

(3.2)

N2 =∂

∂u(r2)× ∂

∂v(r2) =

10−1

(3.3)

Det bemærkes, at disse to normalvektorer for hver af de to flader er indadgaende, hvorfor in-dadgaende flux regnes positivt. Dette er ønskeligt. De to delfluxe bestemmes med integralerneherunder:

B+1 (t) =

∫ 1

−1

∫ 1

0

V(r1(u, v)) ·N1 du dv = 2 sin(t) (3.4)

B+2 (t) =

∫ 1

−1

∫ 1

0

V(r2(u, v)) ·N2 du dv = 2 sin(t) (3.5)

Her er V solens vektorfelt, og N1 og N2 svarer til parameterfremstillingernes normalvektorer.Som forventet er den indadgaende flux ens for fladerne. Den totale flux, og dermed energioptagettil et vilkarligt tidspunkt, E(t), fas nu som summen af de to delfluxe ved

B+(t) = B+1 (t) +B+

2 (t) = 4 sin(t) (3.6)

Den totale indadgaende flux for solfangeren ses plottet som funktion af tiden i figur 3.1b. Forat bestemme det totale energioptag for en hel dag, Etot, tages nu det bestemte integrale af den

3

(a) Her ses solfangeren, som betragtes i denne op-gave. Bemærk at ryggen af solfangeren er parallelmed y-aksen.

(b) Her ses den indadgaende flux for solfangeren,nar den er placeret rygparallelt med y-aksen.

Figur 3.1: Figurer, der illustrerer modelleringen af energioptaget for solfangeren fra delopgave1.

totale flux, B+(t), for t fra 0 til π svarende til tidsrummet over en hel dag. Der fas følgende:

Etot =

∫ π

0

B+(t)dt = 8 (3.7)

3.2 Rotation af solfanger med bestemt vinkel

I denne delopgave drejes solfangeren nu vinklen π2 omkring z-aksen. Solfangeren drejes ved at

gange r1 og r2 med rotationsmatricen herunder:

Rz,π2=

cos(π/2) −sin(π/2) 0sin(π/2) cos(π/2) 0

0 0 1

(3.8)

Dette giver to nye parameterfremstillinger for de to flader givet ved

r1,rot(u, v) =

−vu− 1u

r2,rot(u, v) =

vu− 1u

, u ∈ [0; 1], v ∈ [−1; 1] (3.9)

Med samme metode som tidligere findes nu normalvektorer for parametriseringerne:

N1,rot =∂

∂u(r1,rot)×

∂

∂v(r1,rot) =

0−1−1

(3.10)

N2,rot =∂

∂u(r2,rot)×

∂

∂v(r2,rot) =

01−1

(3.11)

I modsætning til forrige delopgave gælder der nu ikke længere, at al flux gennem fladerne er po-sitiv, svarende til at noget af fladen er i skygge. Der er nu en del af fluxen, som er udadgaende,hvilket giver udfordringen at bestemme hvilken grænse tidsintegralet, i bestemmelsen af det

4

totale energioptag, skal have. Ved at udnytte, at vektorfeltet og fladens normalvektor er vinkel-rette pa hinanden, nar en given flade begynder eller ophører at være belyst, kan dette tidspunktfindes ved at løse prikproduktet af solvektorfeltet og normalvektoren sat lig nul. Dette vil væreet kerneproblem i den resterende del af rapporten.

V (r1,rot(u, v)) ·N1,rot = 0 =⇒ t =3π

4+ nπ, n ∈ Z (3.12)

Her kan løsningerne med det ekstra led nπ, n ∈ Z forkastes, da t i denne model kun antagerværdier mellem 0 og π. Der fas altsa for den første flade et kritisk tidspunkt ved tkritisk,1 = 3π

4 .Da Solen star op i den positive y-akse-ende, og flade 1 saledes rammes af sollys fra t = 0 madet kritiske tidspunkt for flade 1 indikere, hvornar fladen ikke længere rammes af solstralerpa forsiden. Dette indikerer altsa grænsen for, hvornar den indadgaende flux for flade 1 blivertil udadgaende flux. Det er netop denne grænse, der er vigtig for bestemmelsen af det totaleenergioptag. For flade 1 gælder altsa, at det totale energioptag, Etot,1, bestemmes ved integralet

Etot,1 =

∫ tkritisk,1

0

B+1 (t) dt =

∫ 3π4

0

B+1 (t) dt (3.13)

Alle disse overvejelser gør sig ogsa gældende for flade 2, r2(u, v), og der fas her et kritisk tids-punkt, tkritisk,2 = π

4 . Integralet for bestemmelse af det totale energioptag for flade 2 er saledes

Etot,2 =

∫ π

tkritisk,2

B+2 (t) dt =

∫ π

π4

B+2 (t) dt (3.14)

Den totale flux, B+(t), skal dog først bestemmes før det totale energioptag over en hel dag kanberegnes. Pa samme made som tidligere er fluxen givet ved dobbeltintegralet af prikproduktetmellem vektorfeltet og parametriseringens normalvektor.

B+1,rot(t) =

∫ 1

−1

∫ 1

0

V(r1,rot(u, v)) ·N1,rot du dv = 2 cos(t) + 2 sin(t) (3.15)

B+2,rot(t) =

∫ 1

−1

∫ 1

0

V(r2,rot(u, v)) ·N2,rot du dv = −2 cos(t) + 2 sin(t) (3.16)

For B+1,rot(t) gælder, at den kun er indadgaende for t ∈ [0, tkritisk,1], og for B+

2,rot(t) gælder,at den kun er indadgaende for t ∈ [tkritisk,2, π], jf. ovenstaende overvejelser. Den totale flux,B+rot(t), kan beskrives ved en funktion, der kan skrives pa formen:

B+rot(t) =

B+

1,rot(t) for t ∈[0, π4

]B+

1,rot(t) +B+2,rot(t) for t ∈

[π4 ,

3π4

]B+

2,rot(t) for t ∈[

3π4 , π

]I figur 3.2b ses den indadgaende flux plottet som funktion af tiden. Den indadgaende flux erjf. modelantagelserne lig med energioptaget i solfangeren til et vilkarligt tidspunkt. Det totaleenergioptag for en hel dag fas ved at integrere op over den indadgaende flux fra 0 til π. Herskal dog tages højde for, at flade 1 kaster skygge pa flade 2, og vice versa, i løbet af dagen, somdiskuteret ovenfor. Det totale energioptag fas ved integralet:

Etot,rot =

∫ π

0

B+rot(t) dt =

∫ 3π4

0

B+1,rot(t) dt+

∫ π

π4

B+2,rot(t) dt = 4 + 4

√2 ≈ 9.66 (3.17)

Det totale energioptag gennem fladen er altsa større, nar den er placeret rygparallelt med x-aksen, end nar den er placeret rygparallelt med y-aksen. Dette resultat stemmer godt overensmed geometrien, da mere af solfangeren vender mod solen, nar den er placeret rygparallelt medx-aksen.

5

(a) Her ses solfangeren roteret vinklen π2

omkringz-aksen. Bemærk at solfangeren nu er rygparallelmed x-aksen.

(b) Her ses den indadgaende flux for solfangeren,nar den er roteret til at være rygparallelt med x-aksen. Den prikkede linje er den indadgaende flux,nar solfangeren er rygparallel med y-aksen.

Figur 3.2: Figurer, der illustrerer modelleringen af energioptaget for solfangeren fra delopgave2.

3.3 Rotation af solfanger med vilkarlig vinkel

I denne delopgave roteres fladen nu om z-aksen, sa den danner en vinkel s med x-aksen. Rota-tionsmatricen er da:

Figur 3.3: Plot af energioptag som funktion af drejningsvinklen s. Energioptaget er maksimaltved s = 0 svarende til at solfanger-ryggen er parallel med x-aksen.

6

Rz,s =

cos(s) −sin(s) 0sin(s) cos(s) 0

0 0 1

(3.18)

r1,rot og r2,rot drejes nu som i delopgave 2, og fluxen udregnes pa samme vis. Forskellen er her,at fluxen nu er en funktion af bade s og t. De kritiske tidspunkter, hvor fluxen er lig 0 (svarendetil overgangen positiv/negativ eller omvendt) er:

tkritisk,1 = π − arctan(cos(s)) (3.19)

tkritisk2= arctan(cos(s)) (3.20)

Energioptaget regnes igen som summen af integralet af de to delfluxe i de tidsintervaller, hvorfluxen er indadgaende (defineret via hhv. tkritisk,1 og tkritisk,2). Det totale energioptag er nu enfunktion af vinklen s og er givet ved integralet

Etot,s =

∫ π

0

B+s (t) dt =

∫ tkritisk,1

0

B+1,s(t) dt+

∫ π

tkritisk,2

B+2,s(t) dt

=

∫ π−tan−1(cos(s))

0

2 cos(t) cos(s) + 2 sin(t) dt+

∫ π

tan−1(cos(s))

−2 cos(t) cos(s) + 2 sin(t) dt

= 4√

cos(s)2 + 1 + 4

I figur 3.3 ses det totale energioptag plottet som funktion af drejningsvinklen s. Det bemærkes,at det totale energioptag har et maksimum for solfangeren, nar den er rygparallel med x-aksen(s = 0), hvilket altsa stemmer overens med forventningen i forhold til geometrien.

4 Enkeltkrummet solfanger- Indeholder opgave 3

I dette afsnit betragtes en solfanger, som er en enkeltkrummet cylinderflade. Den har profilkurveni (x, z)-planen givet ved z = 1− x2, for x ∈ [−1, 1] og y ∈ [−1, 1].

4.1 Parametrisering og normalvektor

Nu findes først en parameterfremstilling for cylinderfladen. Denne fas ved at benytte profilkur-vens funktionsforskrift pa z-koordinatet og hhv. u og v pa x- og y-koordinatet. Parametriseringenbliver

r(u, v) =

uv

1− u2

, u ∈ [−1; 1], v ∈ [−1; 1] (4.1)

Den indadgaende normalvektor for fladen fas ved at krydse de to partielt afledte parameterfrem-stillinger med hensyn til hver af variablerne u og v med hinanden. Enhedsnormalvektoren fasherefter ved at dividere normalvektoren med dens længde givet ved kvadratroden af prikproduk-tet af vektoren med sig selv. Altsa er normalvektoren givet ved

N(u) =∂

∂ur(u, v)× ∂

∂vr(u, v) =

−2u0−1

(4.2)

7

(a) Her ses den enkeltkrummede solfanger, dermodelleres i dette afsnit. Her rygparallel med y-aksen

(b) Her ses den indadgaende flux for solfangeren,nar den er placeret rygparallelt med y-aksen.

Figur 4.1: Figurer anvendt til modellering af den enkeltkrummede solfanger.

Dette giver enhedsnormalvektoren som

n(u) =N(u)√

N(u) ·N(u)=

− 2u√

4u2 + 10

− 1√4u2 + 1

(4.3)

At normalvektoren, og dermed enhedsnormalvektoren, er indadgaende for parametriseringensikres ved blot at betragte fortegnene. Er den fremkomne normalvektor ikke indadgaende foralle u for fladen, sa kan dette ofte løses ved at bestemme den som krydsproduktet af de afledteaf parameterfremstillingen for fladen i omvendt rækkefølge. Dette anvendes i senere opgaver. Atnormalvektoren er indadgaende er en nødvendighed for at indadgaende flux regnes som positiv,og ikke negativ.

4.2 Indadgaende flux og samlet energioptag

Nu bestemmes den indadgaende flux, B+(t), for solfangeren og derefter det samlede totale ener-gioptag i løbet af dagen. Da den enkeltkrummede flade er placeret rygparallelt med y-aksen, vilsolvektorfeltet pa intet tidspunkt give en negativ flux gennem fladen. Fluxen som funktion aftiden kan saledes meget simpelt udregnes ved nedenstaende ortogonale fladeintegrale

B+(t) =

1∫−1

1∫−1

V(r(u, v)) ·N(u) du dv = 4 sin(t) (4.4)

Da fluxen er B+(t) = 4 sin(t) ses, at fluxen er positiv for hele dagen, t ∈ [0, π], og det totaleenergioptag, Etot fas derfor blot ved integralet af fluxen over hele dage

Etot =

π∫0

4 sin(t)dt = 8 (4.5)

8

(a) Prikproduktet (grønt svarer til positivt) somfunktion af u (vertikalt) og t (horisontalt). (b) u-grænsen som funktion af t.

Figur 4.2: Plots som anvendes til bestemmelse af grænserne for integrationen.

Dette svarer præcis til energioptaget i solfangeren af plane flader tidligere behandlet.

4.3 Rotation af solfanger med bestemt vinkel

Her roteres solfangeren nu omkring z-aksen med vinklen s = π/2, og den indadgaende fluxbestemmes som funktion af tiden, og det totale energioptag i løbet af dagen bestemmes. Igenbenyttes rotationsmatricen fra ligning 3.8, som ganges pa r(u, v).

rrot,π2 (u, v) = Rz,π2· r(u, v) =

vu

1− u2

(4.6)

Som før findes normalvektor, og fluxen bestemmes ved det ortogonale fladeintegrale af prikpro-duktet mellem vektorfeltet og normalvektoren. Normalvektoren er givet ved

Nrot,π2(u) =

∂

∂urrot,π2 (u, v)× ∂

∂vrrot,π2 (u, v) =

0−2u−1

(4.7)

Udfordringen for denne enkeltkrummede solfanger i forhold til solfangeren af plane flader er,at skyggegrænsen nu løber over cylinderen i takt med solens vandring, og at der saledes ikkefindes et kritisk tidspunkt, men en funktion, der beskriver hvilken del af solfangeren, der erbelyst til bestemte tidspunkter. Denne funktion ma da afhænge af en af parametriseringensparametre, hvorfor fluxen ikke kan bestemmes med de sædvanlige grænser i integralet. Herudnyttes, at vinklen mellem cylinderens normalvektor og solens vektorfelt ma være ortogonalved skyggegrænsen, hvilket svarer til, at deres prikprodukt er 0.

V(x, y, z) ·Nrot,π2(u) = 0 (4.8)

Løses dette udtryk mht. u fas

ugrænse,π2= −1

2tan(t) (4.9)

9

Figur 4.3: Den indadgaende flux for solfangeren, nar den er roteret, sa den er rygparallel medx-aksen. Den stiplede kurve er den indadgaende flux for fladen placeret rygparallel med y-aksen.

Nar prikproduktet mellem vektorfeltet og normalvektoren plottes, fas plottet, som ses i figur4.2a. Her er grænsefunktionen for u grænsen mellem de grønne og bla omrader. Det er netopher, hvor vektorfeltet er vinkelret pa fladen.

Ved at udregne, hvornar grænsefunktionen skærer u-parameterens grænser (-1 og 1) ses det, atvenstre del af tangensfunktionen ender ved t-værdien arctan(2), mens den højre del af tangens-funktionen starter ved t-værdien π − arctan(2). For at udregne fluxen benyttes derfor nu enpiecewise-funktion i Maple. Integralet til bestemmelse af fluxen kan opstilles som følger

B+rot,π2

(t) =

B+1,rot,π2

(t) =1∫−1

1∫− 1

2 tan(t)

V(x, y, z) ·N(u) du dv for 0 ≤ t ≤ tan−1(2)

B+2,rot,π2

(t) =1∫−1

1∫−1

V(x, y, z) ·N(u) du dv for tan−1(2) < t ≤ π − tan−1(2)

B+3,rot,π2

(t) =1∫−1

− 12 tan(t)∫−1

V(x, y, z) ·N(u) du dv for π − tan−1(2) < t ≤ π

Denne fluxfunktion ses plottet i figur 4.3. Den stiplede kurve er den indadgaende flux for sol-fangeren, nar den var placeret rygparallel med y-aksen. Det ses, at den indadgaende flux igener større for denne enkeltkrummede solfanger, nar den er placeret rygparallel med x-aksen, endnar den er placeret rygparallel med y-aksen.

Med den bestemte fluxfunktion kan det totale energioptag bestemmes ved blot at integrere fra0 til π. Dvs. at hver af de tre delfunktion integreres op over det tidsinterval, for hvilke de netop

10

er definerede. Der fas

Etot,π2 =

π∫0

B+rot,π2

(t) dt

=

π∫0

B+1,rot,π2

(t) +B+2,rot,π2

(t) +B+3,rot,π2

(t) dt

=

tan−1(2)∫0

1∫−1

1∫− 1

2 tan(t)

V(x, y, z) ·Nrot,π2(u) du dv dt

+

π−tan−1(2)∫tan−1(2)

1∫−1

1∫−1

V(x, y, z) ·Nrot,π2(u) du dv dt

+

π∫π−tan−1(2)

1∫−1

− 12 tan(t)∫−1

V(x, y, z) ·Nrot,π2(u) du dv dt

= 4 + 2√

5 +1

2ln(5) + ln

(5 + 2

√5)

≈ 9.92 (4.10)

I god overensstemmelse med plottet for den indadgaende flux i figur 4.3 ses det igen, at dettotale energioptag i løbet af dagen er større for solfangeren, nar den er placeret rygparallel medx-aksen, og solvektorfeltet saledes rammer siderne af solfangeren, og der ikke gar flux tabt i deabne gavlomrader.

4.4 Rotation af solfanger med vilkarlig vinkel

I denne delopgave roteres solfangeren en vilkarlig vinkel s omkring z-aksen. Formalet er, atbestemme den rotation af solfangeren, der giver det maksimale totale energioptag i løbet afdagen. De samme metoder, som er blevet brugt tidligere, anvendes ogsa her, og der bestemmespa samme made som før nye grænser for integralerne til bestemmelse af fluxen og energioptaget.Til rotation af solfangeren omkring z-aksen med vinklen s anvendes rotationsmatricen fra ligning3.18, og her vælges at rotere den allerede roterede solfanger, saledes at vinklen s dannes mellemprofilkurve og y-akse, eller anderledes betragtet, mellem fladens ryglinje og x-aksen. Der fasfølgende parametrisering

rrot,s(u, v, s) =

v cos(s)− u sin(s)v sin(s) + u cos(s)

1− u2

(4.11)

Denne parametrisering har følgende indadrettede normalvektor

Nrot,s(u, s) =∂

∂urrot,π2 (u, v)× ∂

∂vrrot,π2 (u, v) =

2u sin(s)−2u cos(s)−1

(4.12)

Pa samme made som før bestemmes grænserne for parameteren u som funktion af tiden, ogder opstilles intervaller for t, for hvilke forskellige integraler giver den indadgaende flux. Hertilbetragtes prikproduktet mellem solvektorfeltet og parametriseringens normalvektor.

V(x, y, z) ·Nrot,s(u, s) = 0 (4.13)

11

(a) Her ses grænserne for parameteren u plottet iform fluxintegrandens (grøn) skæringer med nul-planen (bla). De tre dele, som fluxfunktionen delesop i, afspejles af dette plot, da det kan opdeles itre intervaller for parameteren t.

(b) Her ses det totale energioptag for solfangerengennem en dag plottet som funktion af drejnings-vinklen s. Nar s = 0 er solfangeren placeret ryg-parallel med x-aksen, og intet sollys gar tabt vedgavlene, hvorfor energioptaget her er maksimalt.

Figur 4.4: Figurer anvendt ved rotation af solfangeren med en vilkarlig vinkel s.

Løses dette udtryk for tidsgrænsen mht. u fas

ugrænse,s = −1

2

tan(t)

cos(s)(4.14)

Denne grænse er som før vigtig for opstilling af en fluxfunktion, der udelukkende medtager positivindadgaende flux for fladen. Prikproduktet mellem solvektorfeltet og normalvektoren ses plottet ifigur 4.4a. Nu bestemmes tidspunkterne, hvor u-parameteren er lig hhv. −1 og 1, og der fas, at detførste kritiske tidspunkt er t1,s = tan−1(2 cos(s)), mens det andet er t2,s = π − tan−1(2 cos(s)).

Vha. plottet i figur 4.4a kan der opstilles tre intervaller for tiden t, hvor fluxen for hvert inter-val kan bestemmes ved et ortogonalt fladeintegrale, som i forrige afsnit. Det første fluxintegralefas for t ∈ [0, t1,s] ved at integrere fra u = ugrænse,s til u = 1. Det andet fluxintegrale fas fort ∈]t1,s, t2,s] ved at integrere fra u = −1 til u = 1. Det sidste fluxintegrale fas da for t ∈]t2,s, π]ved at integrere fra u = −1 til u = ugrænse,s. Saledes opstilles fluxfunktionen herunder. For over-skuelighedens skyld er delfluxene, vektorfeltet og normalvektoren notationsmæssigt forkortet fraB+i,rot,s(t, s) til B+

i,rot,s, fra V(x, y, z) til V og Nrot,s(u, s) til Nrot,s.

B+rot,s(t, s) =

B+1,rot,s =

1∫−1

1∫− 1

2tan(t)cos(s)

V ·Nrot,s du dv for 0 ≤ t ≤ tan−1(2 cos(s))

B+2,rot,s =

1∫−1

1∫−1

V ·Nrot,s du dv for tan−1(2 cos(s)) < t ≤ π − tan−1(2 cos(s))

B+3,rot,s =

1∫−1

− 12

tan(t)cos(s)∫

−1

V ·Nrot,s du dv for π − tan−1(2 cos(s)) < t ≤ π

Det bemærkes, at der for denne fluxfunktion opstar et problem for s = π/2 (rygparallel medy-aksen), da cos(π/2) = 0 ,og der sa divideres med 0 i den ene grænse for u. For det totaleenergioptag i løbet af dagen defineres for s = π/2 at Etot,π2 = 8, jf. udregningerne fra førsteafsnit i denne delopgave. Det totale energioptag til alle andre drejningsvinkler, dvs, cos(s) 6= 0,

12

findes ved integralet fra t = 0 til t = π af B+rot,s(t, s). Der fas, at det totale energioptag er givet

ved udtrykket herunder

Etot,s(s) =

π∫0

B+rot,s(t) dt (4.15)

=

π∫0

B+1,rot,s(t) +B+

2,rot,s(t) +B+3,rot,s(t) dt

=

tan−1(2 cos(s))∫0

1∫−1

1∫− 1

2tan(t)cos(s)

V(x, y, z) ·Nrot,s(u, s) du dv dt

+

π−tan−1(2 cos(s))∫tan−1(2 cos(s))

1∫−1

1∫−1

V(x, y, z) ·Nrot,s(u, s) du dv dt

+

π∫π−tan−1(2 cos(s))

1∫−1

− 12

tan(t)cos(s)∫−1

V(x, y, z) ·Nrot,s(u, s) du dv dt (4.16)

Integralet lader sig ikke løses analytisk, men i figur 4.4b ses funktionen plottet. Det ses tydeligt,at energioptaget, som forventet, er maksimalt ved en rotation pa s = 0, svarende til at fladen errygparallel med x-aksen, og profilkurven er parallel med y-aksen.

5 Energioptag gennem solfangere som kugleudsnit- Indeholder opgave 4

I tidligere afsnit er den indadgaende flux, og derved energioptaget, ved relativt simple betragt-ninger vedrørende skygge/sol-belagte omrader pa en enkeltkrummet flade blevet bestemt. Dennemetode udvides nu til omdrejningslegemer, hvilket selv for nogle af de simpleste geometrier visersig at være besværligt.

5.1 Energioptag gennem en enhedshalvkugle

Da kun indadgaende flux ønskes medregnet, søges en parametrisering, der kun medtager densolbelagte del af halvkuglen, som en funktion af tiden. For at simplificere problemet startesder derfor med nogle overordnede betragtninger omkring en hel kugle. For en hel kugle vil dergælde, at den indadgaende flux fra et konstant vektorfelt som solvektorfeltet altid vil være positivgennem den halvdel af kuglen, der vender mod vektorfeltet (solen) og negativt gennem den andenhalvdel. Parametriseres en halvkugle, sa dens centrum ligger i (0, 0, 0), kan den solbelagte og denskyggebelagte del af halvkuglen saledes adskilles med et plan, der star vinkelret pa solvektorfeltet,og gar gennem (0, 0, 0). Den oplagte parametrisering er derfor at lade enhedshalvcirklen i (x, y)-planens 1. og 2. kvadrant overstryge halvkuglen fra (x, y)-planen og over til det pa solvektorfeltetvinkelrette plan. Denne metode vil virke den første halvdel af dagen, men fordi solfangeren(halvkuglen) er symmetrisk gennem (x, z)-planen, ma energioptaget gennem den sidste halvdelaf dagen være lig energioptaget gennem den første halvdel af dagen. Dette generelle resultat kanbenyttes ved samtlige omdrejningslegemer, der roteres omkring z-aksen, hvilket ogsa vil bliveudnyttet senere. Den nævnte parametrisering realiseres ved at bruge en rotationsmatrix, derroterer halvcirklen omkring x-aksen i positiv omløbsretning. Dette skal gøres i en vinkel fra 0

13

(a) Sol- og skyggebelagt enhedshalvkugle kl. 9 omformiddagen.

(b) Den positive flux gennem halvkuglen denførste halvdel af dagen.

Figur 5.1: Figurene anvendt og udarbejdet til og ved modellering af halvkuglen.

til θ, hvor θ = π/2 + t, da dette netop er vinklen mellem (x, y)-planen og planen vinkelret pasolvektorfeltet. Parametriseringen bliver saledes (jf. [3, nr.19]),

r(u, v) =

1 0 00 cos

(v(π2 + t

))− sin

(v(π2 + t

))0 sin

(v(π2 + t

))cos(v(π2 + t

))cos(u)

sin(u)0

(5.1)

=

cos(u)cos(v(π2 + t

))sin(u)

sin(v(π2 + t

))sin(u)

, u ∈ [0;π], v ∈ [0; 1] (5.2)

Denne parametrisering ses plottet kl. 9 om formiddagen i figur 5.1a. I følgende udregning be-stemmes parametriseringens indadgaende normalvektor, N(u, v, t), ved krydsproduktet mellemde partielt afledede af parametriseringen i forhold til hhv. u og v:

N(u, v, t) = r′v(u, v)× r′u(u, v) =

− 12 (π + 2t) sin(u) cos(u)

− 12 (π + 2t) cos

(12v(π + 2t)

)sin2(u)

− 12 (π + 2t) sin

(12v(π + 2t)

)sin2(u)

(5.3)

Nu bestemmes indadgaende flux gennem halvkuglen som funktion af tiden ved at integrereprikproduktet mellem den indadgaende normalvektor til parametriseringen og solvektorfeltet opover grænserne for u og v (jf. [3, nr. 26])

B+(t) =

π∫0

1∫0

V(t) ·N(u, v, t) dudv =π

2(sin(t) + cos2(t) + sin2(t)) (5.4)

Med denne funktion for den indadgaende flux kan den indadgaende flux gennem halvkuglen iløbet af den første halvdel af dagen plottes, som set i figur 5.1b. Det totale energioptag gennemhalvkuglen fas nu ved at integrere op i forhold til tiden fra 0 til π/2, altsa energioptaget mellemkl 6.00 og kl. 12.00, og gange med 2 for at kompensere for den halve dag jf. symmetriargumen-tationen.

Ehalvkugle = 2

π/2∫0

B+(t) dt = π +1

2π2 (5.5)

14

5.2 Energioptag gennem kuglekalot

I det følgende bestemmes energioptaget i løbet af en dag gennem en enhedskuglekalot medz ∈ [0; 1/2], altsa centrum i (0, 0,−1/2). Der haves dermed følgende ligning for kalotten:

x2 + y2 +

(z +

1

2

)2

= 1 , z ∈[0;

1

2

](5.6)

En oplagt parametrisering er saledes at bruge parametrene u = x og v = y og lade z-koordinatenafhænge af de to. Fordi z-koordinaten skal være positiv, bliver radius af kuglekalotten mindreend enhedskuglen, som den er skaret ud af. Radius, a, kan bestemmes ud fra Ligning 5.6 ved atsætte y = 0, z = 0 og derefter løse for x:

a2 = x2 = 1−(

1

2

)2

=3

4⇔ a =

√3

2(5.7)

Den ene af parametrene, her u, sættes til at løbe mellem u ∈ [−√

3/2;√

3/2]. Radius, a, kanogsa benævnes bundradiusen af kuglekalotten, da bunden af kalotten udgøres af en cirkel mednetop radius a. Parametrene u og v, skal saledes altid antage værdier, sa et punkt befinder siginden for denne ”bundcirkel”i (u, v) = (x, y)-planet. Til en given u-værdi, u ∈ [−

√3/2;√

3/2],kan grænserne saledes opstilles for v-parameteren ved følgende betragtning:

u2 + v2 ≤ a2 ⇔ v ∈

[−√

3

4− u2;

√3

4− u2

](5.8)

Kuglekalotten kan derfor parametriseres pa følgende vis:

r(u, v) =

uv√

1− u2 − v2 − 12

, u ∈

[−√

3

2;

√3

2

], v ∈

[−√

3

4− u2;

√3

4− u2

](5.9)

Kuglekalotten er afbilledet i figur 5.2a. Nu bestemmes den indadgaende normalvektor for para-metriseringen og prikproduktet af denne med solvektorfeltet pa sædvanlig vis:

N(u, v) = r′v(u, v)× r′u(u, v) =

− u√1−u2−v2

− v√1−u2−v2

−1

(5.10)

N(u, v) ·V(t) = sin(t) +v cos(t)√

1− u2 − v2(5.11)

Fordi der blot skal integreres op over omrader med positiv flux, nar energioptaget bestemmes,findes en ny grænse for v-parameteren, der er afhængig af, hvor pa kalotten prikproduktet mellemden indadgaende normalvektor og solvektorfeltet er 0 (grænsen mellem negativ og positiv flux).Ved hjælp af ligning 5.11 fas:

N(u, v) ·V(t) = 0⇔ vskyggegrænse(u, t) = − tan(t)

√− u2 − 1

tan2(t) + 1(5.12)

For at give et overblik afbilledes skyggegrænsen fra ligning 5.12 til fire forskellige tider i figur5.2b. Som med halvkuglen er kuglekalotten ligeledes symmetrisk i (x, z)-planet, og derfor kandet totale energioptag i løbet af en dag, beregnes som 2 gange energioptaget gennem den førstehalvdel af dagen. Dette er dog ikke simpelt. For at kunne dette, ma den første halvdel af dagendeles op i fire dele. I den første del af dagen er der, som vist pa figur 5.2b, omrader i siderne afkalotten, der er fuldt oplyst, svarende til u-værdier i intervallerne u ∈ [−

√3/2; skæring1(t)] og

15

(a) Kuglekalotten plottet vha. parametriseringenfra ligning 5.9.

(b) Bundcirklen plottet sammen med skygge-grænsen fra ligning 5.12 i (u, v) = (x, y)-planet.

Figur 5.2: Figurerne anvendt til modellering af kuglekalotten.

u ∈ [skæring2(t);√

3/2], hvor skæring1(t) og skæring2(t) betegner u-koordinaterne i skærings-punkterne mellem bundcirklen og skyggegrænsen. Disse funktioner findes ved at løse følgendefor u:

vskyggegrænse(u, t) =√a2 − u2 (5.13)

⇔ skæring1(t) = −√

4 cos2(t)− 1

2 cos(t)og skæring2(t) =

√4 cos2(t)− 1

2 cos(t)(5.14)

I disse omrader skal der integreres op over de sædvanlige v-grænser for parametriseringen, mensder i midten skal integreres op fra skyggelinjen beskrevet i ligning 5.12 til den øvre v-grænse.Som indikeret pa figur 5.2b, kommer der desuden et tidspunkt, hvor kalotten er fuldt oplyst,svarende til, at skyggegrænsen ikke længere skærer bundcirklen. Dette tidspunkt findes saledes:

skæring1(t) = skæring2(t) = 0⇔ toplyst =π

3(5.15)

Efter dette tidspunkt skal hele kalottens flux medtages. Med resultaterne af disse overvejelserkan enhedskuglekalottens energioptag gennem en hel dag nu beregnes ved følgende:

E1 =

toplyst∫0

skæring1(t)∫−√

3/2

√3/4−u2∫

−√

3/4−u2

N(u, v) ·V(t) dv du

dt ≈ 0.0829 (5.16)

E2 =

toplyst∫0

skæring2(t)∫skæring1(t)

√3/4−u2∫

vskyggegrænse(u,t)

N(u, v) ·V(t) dv du

dt ≈ 1.2188 (5.17)

E3 =

toplyst∫0

√

3/2∫skæring2(t)

√3/4−u2∫

−√

3/4−u2

N(u, v) ·V(t) dv du

dt ≈ 0.0829 (5.18)

16

E4 =

π/2∫toplyst

√

3/2∫−√

3/2

√3/4−u2∫

−√

3/4−u2

N(u, v) ·V(t) dv du

dt =3π

8(5.19)

Ekuglekalot = 2(E1 + E2 + E3 + E4) ≈ 5.1254 (5.20)

5.3 Energioptag gennem en trekvart enhedskugleflade

Ved en trekvart enhedskugleflade forstas den flade, der er givet ved ligningen 5.21:

x2 + y2 +

(z − 1

2

)2

= 1 , 0 ≤ z (5.21)

Da det positive energioptag gennem en hel enhedskugle er let at udregne, betragtes energioptagetfor den kuglekalot, der ”mangler”i bunden af trekvart enhedskuglefladen for, at den er en helenhedskugle. Bortset fra, at denne kuglekalot vender nedad, er denne og den tidligere betragtedekuglekalot helt ens og udregningerne er derfor fuldstændigt analoge til dem foretaget i sidsteafsnit. Derfor nævnes kun de vigtigste forskelle, mens de detaljerede udregninger kan findes idet vedhæftede Maple-bilag A. Da ”topcirklen”pa den nu nedadvendte kuglekalot har sammeradius a, bliver grænserne for parametriseringen de samme. Parametriseringen, den indadgaendenormalvektor samt prikproduktet mellem den indadgaende normalvektor og solvektorfeltet bliverderfor som følger:

r(u, v) =

uv

12 −√

1− u2 − v2

, u ∈

[−√

3

2;

√3

2

], v ∈

[−√

3

4− u2;

√3

4− u2

](5.22)

N(u, v) = r′u(u, v)× r′v(u, v) =

− u√1−u2−v2

− v√1−u2−v2

1

(5.23)

N(u, v) ·V(t) =v cos(t)√

1− u2 − v2− sin(t) (5.24)

Findes skyggegrænsen mht. v-parameteren, fas følgende, som er plottet i figur 5.3b sammen medtopcirklen:

N(u, v) ·V(t) = 0⇔ vskyggegrænse(u, t) = tan(t)

√− u2 − 1

tan2(t) + 1(5.25)

Skæringerne mellem skyggegrænsen og topcirklen bliver som før:

skæring1(t) = −√

4 cos2(t)− 1

2 cos(t)og skæring2(t) =

√4 cos2(t)− 1

2 cos(t)(5.26)

Da der i løbet af den første halvdel af dagen kun er sol for positive y-koordinater, og dennederste grænse for v-parameteren (figur 5.3b) hele tiden er den fundet i ligning 5.25, bliverdenne udregning væsentlig simplere end den tilsvarende i forrige afsnit. Da der ydermere kuner sol pa den nedadvendte kalot indtil tiden (udregnet som før) tskygge = π/3, er der kun etbidragende led til energioptaget, nemlig det ”midterste”led fra før (E2). Dette medregnes togange for hver halvdel af dagen, og der fas

Enedadvendtkuglekalot = 2

tskygge∫0

skæring2(t)∫skæring1(t)

√3/4−u2∫

vskyggegrænse(u,t)

N(u, v) ·V(t) dv du

dt ≈ 0.4130

(5.27)

17

(a) Den nedadvendte kuglekalot plottet vha. pa-rametriseringen fra ligning 5.22.

(b) Topcirklen plottet sammen med skyggegræn-sen fra ligning 5.25 i (u, v) = (x, y)-planet.

Figur 5.3: Figurerne anvendt til modellering af grænserne for kuglekalotten.

Nu bestemmes energioptaget gennem en hel enhedskugleflade i løbet af en hel dag. For detkonstante solvektorfelt vil der altid, som før beskrevet, være positiv flux, svarende til sol, gennemden halvdel af kuglen, der vender mod solen. For at simplificere problemet kan halvkuglen fradet forrige afsnit og solvektorfeltet kl. 12 betragtes, hvor hele halvkuglen er oplyst:

r(u, v) =

sin(u) cos(v)sin(u) sin(v)

cos(u)

, u ∈[0;π

2

], v ∈ [0; 2π] (5.28)

Den indadgaende normalvektor for parametriseringen findes, og prikproduktet mellem denne ogsolvektorfeltet kl. 12.00 bestemmes:

N(u, v) = r′v(u, v)× r′u(u, v) =

− sin2(u) cos(v)− sin2(u) sin(v)− cos(u) sin(u)

(5.29)

N(u, v) ·V(π

2

)= cos(u) sin(u) (5.30)

Da der ingen skygge er, integreres der op over grænserne for parametrene u og v og over heledagen for tiden t. Der fas

Ehelenhedskugle =

π∫0

2π∫0

π/2∫0

cos(u) sin(u) dudv dt = π2 (5.31)

Nu fas energioptaget gennem den betragtede trekvarte enhedskugle ved at trække energioptagetgennem den nedadvendte kuglekalot fra dette resultat:

Etrekvartenhedskuglekalot = Ehelenhedskugle − Enedadvendtkuglekalot ≈ 9.4566 (5.32)

5.4 Sammenligning af energioptaget pr. overfladeareal

I de foregaende afsnit blev det set, hvordan energioptaget har været størst gennem de enheds-kugleudsnit, hvor mest muligt af enhedskuglen er medtaget i udsnittet. I det følgende undersøges,

18

Tabel 5.1: Energioptag, overfladeareal samt forholdet mellem disse for de tre enhedskugleudsnit.

Figur Energioptag Overfladeareal E/A

Halvkugle ≈ 8.0764 2π ≈ 1.2854

Kuglekalot ≈ 5.1254 π ≈ 1.6315

Trekvart kugle ≈ 9.4566 3π ≈ 1.0034

hvilken af solfangerne, der har det største totale energioptag pr. overfladeareal i løbet af en heldag. Overfladearealet af en kugle med radius r er givet ved A = 4πr2. En enhedskugle masaledes have overfladearealet A1 = 4π, og enhedshalvkuglen A2 = 2π. Overfladearealet af kugle-kalotten fas ved at bruge parameterfremstillingen fra det tilhørende afsnit. Overfladearealet fassom integralet over parametriseringsgrænserne med Jacobi-funktionen som integrand. Jacobi-funktionen er givet ved længden af den allerede udregnede normalvektor. Udregnes dette inte-gral (se Maple-ark A), fas overfladearealet af enhedskuglekalotten til A3 = π, mens den trekvarteenhedskugleflade som følge heraf ma have overfladearealet A4 = 4π − π = 3π. Energioptagene,overfladearealerne samt forholdet mellem disse, E/A, er opstillet i tabel 5.1.

Det kan altsa konkluderes, at enhedskuglekalotten har det relativt største energioptag i forholdtil overfladeareal. Dette overrasker ikke, da kuglekalotten skygger mindst for sig selv.

6 Enkelt glaslinjesolfanger i planen- Indeholder opgave 5

I dette afsnit betragtes en simplificeret situation, hvor solfangerne begrænses til planen ogudgøres af plane kurver. Solvektorfeltet kan sa beskrives ved V(t) = (− cos(t),− sin(t)), hvort ∈ [0;π]. Solen star altsa op til højre og gar ned til venstre. I denne forbindelse undersøges enenkelt ret glaslinje med længden x, som er en del af en trekant-solfanger. Linjen undersøges i toforskellige situationer, hvor den har henholdsvis en spids og en stump vinkel ind mod solfangerensom illustreret i figur 6.1. Desuden medtages linjens projektion ned i x-aksen, som har længdenxp.Det totale energioptag i løbet af en hel dag, Etotal, for glaslinjen ønskes bestemt i hver af de tosituationer. Først betragtes den spidsvinklede solfanger. Solfangerens spidse vinkel kan trigono-metrisk udtrykkes som θ = arccos

(xpx

). Den indadgaende enhedsnormalvektor, n, kan sa findes

ved at udnytte, at den udadgaende enhedsnormalvektor ma have vinklen ϕ = π2 − arccos

(xpx

)med x-aksen i positiv omløbsretning. Den udadgaende enhedsnormalvektor kan saledes skrivessom (cos (ϕ) , sin (ϕ)). Dernæst udnyttes, at den indadgaende og udadgaende enhedsnormalvek-tor har modsat retning, hvorved følgende udtryk for n opnas:

n =(− cos

(π2− arccos

(xpx

)),− sin

(π2− arccos

(xpx

)))(6.1)

Fluxintegranden, V · n, far altsa følgende udseende:

V · n = cos(t) · cos(π

2− arccos

(xpx

))+ sin(t) · sin

(π2− arccos

(xpx

))(6.2)

Dernæst kan det udnyttes, at fluxen til ethvert givet t naturligvis er konstant langs hele linjen,hvorfor x ·V ·n blot kan integreres i det tidsinterval, hvor solfangeren er oplyst, for at bestemmeEtotal. Det skal her bemærkes, at solfangeren, i forhold til modelantagelserne, naturligvis vil væreoplyst indtil det tidspunkt, hvor solvektorfeltet er parallelt med glaslinjen, da vinklen mellemvektorfeltet og n herefter vil være over π

2 . Jævnfør kendskabet til den spidse vinkel i solfangeren

19

Figur 6.1: Trekant-solfanger med henholdsvis spids og stump vinkel [5].

integreres udtrykket x ·V ·n altsa fra t = 0 til t = π−arccos(xpx

)for at bestemme Etotal. Herved

opnas følgende resultat:

Etotal =

π−arccos( xpx )∫0

x ·V · n dt = x+ xp (6.3)

Det samlede energioptag i løbet af en dag for en glaslinje, som er en del af en spidsvinklet trekant-solfanger, er altsa lig summen af glaslinjens længde og længden af dens projektion ned pa x-aksen.

Nu betragtes den stumpvinklede solfanger. Glaslinjens vinkel med x-aksen malt mod uret kantrigonometrisk udtrykkes som θ = arccos

(xpx

). Den indadgaende enhedsnormalvektor ma sa

have vinklen ϕ = π2 − arccos

(xpx

)ind mod solfangeren. Dette giver følgende udtryk for n:

n =(− cos

(π2− arccos

(xpx

)), sin

(π2− arccos

(xpx

)))(6.4)

Fluxintegranden, V · n, far altsa i dette tilfælde følgende udseende:

V · n = cos(t) · cos(π

2− arccos

(xpx

))− sin(t) · sin

(π2− arccos

(xpx

))(6.5)

Som ved den spidsvinklede solfanger vil fluxen ogsa her være konstant langs hele linjen til ethvertt, hvorfor det igen er udtrykket x ·V · n, der skal integreres i det korrekte tidsinterval. I dennesituation vil solvektorfeltet dog være parallelt med linjen ved t = arccos

(xpx

), hvorfor udtrykket

x ·V · n skal integreres fra t = 0 til denne værdi. Følgende resultat opnas:

Etotal =

arccos( xpx )∫0

x ·V · n dt = x− xp (6.6)

Det samlede energioptag i løbet af en dag for en glaslinje, som er en del af en stumpvinklettrekant-solfanger, er altsa lig længden af glaslinjen minus længden af dens projektion ned pax-aksen.

7 Solfangere opbygget af glaslinjer- Indeholder opgave 6

Nu afprøves to solfangere, som hver er opbygget af to glaslinjer, og hvis konstruktion ses illu-streret i figur 7.1. Begge solfangere udgøres af en trekant, hvis grundlinje ligger mellem brænd-punkterne i en ellipse, og hvis toppunkt ligger pa selve ellipsen. Den bla trekant er ligebenet,

20

Figur 7.1: Illustration af de afprøvede solfangere [5].

og den grønne er stumpvinklet. Først ønskes bestemt, hvilken af de to solfangere, der har detstørste Etotal. Til dette formal udnyttes de tidligere fundne sammenhænge.

Den bla solfanger udgøres af to glaslinjer med spidse vinkler ind mod solfangeren, som saledeshver især vil have et Etotal svarende til summen af deres længde og længden af deres projektionned pa x-aksen. Pa baggrund af figur 7.1 indses det let, at Etotal for den bla solfanger saledesvil svare til længden af dens grundlinje plus længderne af de to glaslinjer.

Den grønne solfanger udgøres derimod af en glaslinje med spids vinkel ind mod solfangeren og englaslinje med stump vinkel ind mod solfangeren. Etotal for den stumpvinklede glaslinje vil altsasvare til dens længde minus længden af dens projektion ned pa x-aksen. Det ses ud fra figur 7.1,at projektionen af den stumpvinklede glaslinje ned pa x-aksen netop svarer til det stykke, somprojektionen af den spidsvinklede glaslinje er længere end trekantens grundlinje. Den grønnesolfanger vil saledes ogsa have et Etotal svarende til længden af dens grundlinje plus længderneaf de to indgaende glaslinjer.

Da de to solfangeres trekanter har nøjagtig samme grundlinje, idet grundlinjen udgøres af af-standen mellem brændpunkterne i den samme ellipse, er det saledes kun længden af de linjer,der danner hver solfanger, som har betydning for hvilken solfanger, der har det største Etotal.Imidlertid er linjerne i begge solfangere faktisk brændstraler, idet linjerne i hver solfanger garfra ellipsens brændpunkter til det samme vilkarlige punkt pa ellipsen. Det gælder som bekendtom brændstraler, at summen af deres længder altid er lig storaksen i den ellipse, som de erbrændstraler i. Eftersom begge solfangere er indlagt i samme ellipse, kan det saledes konklude-res, at summen af længderne af de to grønne glaslinjer er lig summen af længderne af de to blaglaslinjer. Af disse grunde ma de to solfangere have samme Etotal.

Dernæst undersøges, hvilken af de to solfangere, der har det største energioptag pr. glaslinjelæng-de. Imidlertid er det netop konkluderet, at de to solfangere har samme Etotal og i den forbindelseendvidere udledt, at summen af de indgaende glaslinjers længder er den samme for begge sol-fangere. Altsa ma begge solfangere ogsa have det samme energioptag pr. glaslinjelængde.

Til sidst ønskes bestemt, hvilken af solfangerne, der har det største areal i forhold til Etotal.Eftersom begge solfangere har det samme Etotal, er dette udelukkende et spørgsmal om, hvilkensolfanger, der har det største areal. Begge solfangere udgøres af trekanter. Arealet af en trekantafhænger kun af grundlinje og højde jf. formlen A = 1

2 lh. Det er dog allerede konkluderet, atde to trekanter har samme grundlinje, hvorfor kun deres højder har betydning. Idet de linjer,som danner hver trekant, har den samme totale længde, kan det let udledes, at den ligebenedetrekant ma have en større højde end den stumpvinklede, hvad der ogsa understøttes af figur 7.1.Saledes kan det konkluderes, at den bla solfanger har det største areal i forhold til Etotal.

21

Figur 8.1: Illustration af to polygon-solfangere.

8 Plane solfangere af lukkede konvekse glaskurver- Indeholder opgave 7

Nu flyttes fokus videre til mere generelt at afprøve de fundne sammenhænge for glaslinjer pato plane solfangere, der er polygoner, som potentielt kunne svæve i luften eller understøttesaf stilladser. Dette gør ingen forskel for Etotal, da solen aldrig kommer nedefra. Dette er enfølge af modelantagelsen om, at solens afstand til jorden er sa stor, at solvektorfeltet bestaraf parallelle vektorer. De to undersøgte solfangeres opbygning ses illustreret i figur 8.1. Førstbetragtes solfangeren til venstre og Etotal bestemmes. Denne solfanger udgøres af tre separateglaslinjer a, b og c. Det indses relativt let, at b og c har spidse vinkler ind mod solfangeren, mens ahar en stump vinkel ind mod solfangeren. Rent fysisk kan det pointeres, at b og c saledes vil væreoplyste i mere end halvdelen af dagen, mens b vil være oplyst i mindre end halvdelen af dagen.Kaldes projektionen af linjen a ned pa x-aksen nu for ap, mens samme notation benyttes for de toandre linjer, opnas følgende udtryk for solfangerens Etotal via de tidligere fundne sammenhænge:

Etotal = a− ap+ b+ bp+ c+ cp (8.1)

Imidlertid ses det ud fra figur 8.1 relativt let at ap = bp+ cp. Udnyttes denne sammenhæng, sesdet, at Etotal for den venstre solfanger har følgende værdi:

Etotal = a+ b+ c (8.2)

Det bemærkes altsa, at solfangerens energioptag i løbet af en hel dag er lig dens omkreds.Nu betragtes solfangeren til højre. Denne solfanger udgøres af glaslinjerne a, b, d og e. Ved somfør at vurdere, hvor længe hver linje vil være oplyst, indses det let, at b og d har spidse vinklerind mod solfangeren, mens a og e har stumpe vinkler ind mod solfangeren. Anvendes sammenotationskonvention som før, opnas et udtryk for solfangerens Etotal. Dog skal det her bemærkes,at projektionen af d ned pa x-aksen er lig d selv. Udtrykket far følgende udseende:

Etotal = a− ap+ b+ bp+ 2d+ e− ep (8.3)

Ud fra figur 8.1 ses, analogt til den anvende solfanger, at d + bp = ap + ep. Udnyttes dennesammenhæng, opnas følgende værdi af Etotal for den højre solfanger:

Etotal = a+ b+ d+ e (8.4)

Igen ses det, at solfangerens energioptag i løbet af en hel dag er lig dens omkreds.I forlængelse af de netop opnaede resultater bemærkes det, at Etotal i forbindelse med de totrekant-solfangere ogsa svarede til deres omkreds, selvom en del af omkredsen la nede i jorden.Pa baggrund af disse observerede resultater vil en generel sammenhæng nu forsøges udledt. Envilkarlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler pa jorden,vil altid kunne repræsenteres ved et antal tilstrækkeligt sma linjestykker, hvorfor tilsvarende

22

observationer burde kunne gøres for en sadan solfanger. Af denne grund konkluderes det, atEtotal for enhver vilkarlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikkehviler pa jorden, vil svare til kurvens længde. Længden af kurven vil jo netop være identisk medomkredsen af den figur, som kurven danner. Etotal for enhver solfanger af den nævnte type vilsaledes kunne bestemmes ved blot at bestemme dens omkreds.

9 Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetode- Indeholder opgave 8

Nu forsøges den netop fundne sammenhæng overført til solfangere i rummet og i den forbindelsebetragtes igen den enkeltkrummede parabelsolfanger placeret rygparallelt med y-aksen. I dennesammenhæng havde solfangeren som bekendt parameterfremstillingen i Ligning 5.2.

I denne situation kan solfangeren faktisk repræsenteres ved en lang række identiske lukkede kon-vekse stykkevist differentiable glaskurver, som alle kan siges at være beliggende i (x, z)-planen,om end de har forskellige y-værdier. Jævnfør de tidligere fundne sammenhænge, ma solfangerenssamlede Etotal saledes svare til summen af længderne af alle disse lukkede kurver. Det kan rela-tivt let indses, at denne sum vil svare til arealet af den flade, som udgør solfangeren plus arealetaf solfangerens bund i xy-planen. Altsa ma det være muligt at verificere det tidligere fundneresultat ved at beregne solfangerens Etotal med den netop beskrevne metode og sammenligne deto værdier. Solfangerens bund er kvadratisk med sidelængden 2, hvorfor dens areal vil være 4.Det er saledes kun arealet af den flade, som udgør solfangeren, der skal bestemmes. Dette gørespa sædvanlig vis. I denne forbindelse anvendes Jacobi-funktionen, der beregnes med formlenJacobir = |r′u(u, v)× r′v(u, v)|. Selve udregningen ses i bilagene. Den fundne Jacobi-funktion eropskrevet i ligning 9.1.

Jacobir =√

4u2 + 1 (9.1)

Arealet bestemmes derefter som altid ved at integrere i de gældende parametergrænser. Selveudregningen ses i bilagene. Følgende værdi for arealet af solfangerens flade opnas.

A ≈ 5.9158 (9.2)

Lægges denne værdi sammen med bundens areal pa 4, opnas Etotal = 9.9158, der netop erdet samme resultat, som tidligere blev opnaet ved udregning med skyggelinjer. Herved er dettidligere resultat verificeret, og en simpel metode til bestemmelse af Etotal for enkeltkrummedesolfangere, der vender op mod solen, er blevet eftervist.

10 Rotation af enkeltkrummet solfanger- Indeholder opgave 9

Nu ønskes det afgjort, hvorledes en vilkarlig enkeltkrummet solfanger med rektangulær bundskal drejes omkring z-aksen for at give maksimalt Etotal. Dette kan gøres ud fra nogle logiskebetragtninger. Enhver enkeltkrummet solfanger vil, uanset dens opbygning, være fuldt oplyst iet eller andet tidsinterval omkring midten af dagen om ikke andet sa ved t = π/2. Sa længesolfangeren er fuldt oplyst, vil dens energioptag naturligvis ikke pavirkes af, hvorvidt den erdrejet en eller anden given vinkel omkring z-aksen. Drejningsvinklen har saledes kun betydningfor energioptaget i de tidsperioder, hvor solfangeren ikke er fuldt oplyst. Disse tidsperiodervil generelt ligge omkring starten og slutningen af dagen. Tager man sa udgangspunkt i densituation, hvor solfangerens profilkurve er parallel med y-aksen, kan det let indses, at al densol, som sendes mod solfangeren, fx ved t = 0, vil ramme overfladen og blive optaget. Drejessolfangeren derefter, sa dens ledekurve danner en vinkel med y-aksen, vil noget af den sol, som

23

sendes mod solfangeren, ved fx t = 0, ramme bagsiden af den modsatte overflade og saledesga til spilde. Jo større drejningsvinklen er, jo mere sol vil der ga til spilde, op til det punkt,hvor solfangeren er drejet vinklen π/2, saledes at gavlene vender mod y-aksens ender. I dennesituation vil der slet ikke være noget energioptag ved t = 0. Man kan altsa let indse, at deneneste situation, hvor der aldrig er noget sol, der gar til spilde, er den, hvor profilkurven erparallel med y-aksen. Dette ma saledes logisk set være den ideelle placering af solfangeren.Enhver enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund vil altsa have maksimalt Etotal, hvisden er drejet, sa profilkurven er parallel med y-aksen.

11 Generel betragtning af omdrejningsflade- Indeholder opgave 12 og 13

I det følgende afsnit gøres generelle betragtninger i forbindelse med integralformlen for omdrej-ningsflader, der introduceres i Projektkøreplanen [5].

11.1 Undersøgelse af funktionen EllipticE

I denne delopgave undersøges funktionen EllipticE. Maple definerer EllipticE-funktionen pafølgende made:

EllipticE(x) =

∫ 1

0

√1− x2t2

1− t2dt EllipticE(ix) =

∫ 1

0

√1 + x2t2

1− t2dt (11.1)

Det ses her tydeligt, at funktionen EllipticE(x) minder om det inderste integrale i funktionen forEtotal af omdrejningslegemer. Det ses desuden, at EllipticE(x) antager reelle funktionsværdierfor |x| < 1, hvor den ved |x| = 1 antager funktionsværdien 1. For EllipticE(ix) ses det, at dennefunktion antager reelle funktionsværdier for alle x ∈ R. Det ses desuden af nedenstaende graf,at EllipticE(ix) bevæger sig asymptotisk mod funktionsværdien |x| for store x-værdier.

(a) Funktionen EllipticE(x). Det er her tydeligt,at funktionen kun er defineret for x ≤ 1.

(b) Funktionen EllipticE(ix). Det er her tydeligt,at funktionen gar asymptotisk mod funktionsvær-dien |x| for store x-værdier.

Figur 11.1: Figurerne anvendt til undersøgelse af EllipticE-funktionen.

24

(a) Her ses den omtalte omdrejningskegle. (b) Her ses plottet af prikproduktet mellem vek-torfeltet og omdrejningskeglens normalvektor. Detbla omrade pa figuren indikerer indadgaende flux,røde omrader indikerer udadgaende flux.

Figur 11.2: Figurerne anvendt til undersøgelse af omdrejnignskeglen.

For begge funktioner gælder, at de er kontinuerte og differentiable, hvor begge funktioners stam-funktioner bestar af generaliserede, hypergeometriske funktioner. Funktionernes afledte er defi-nerede overalt pa funktionernes respektive definitionsmængde og bestar af elliptiske funktioner(differentialet er dog ikke defineret for x = 0 for nogen af de to funktioner og ej heller ±x = 1for EllipticE(x)).

11.2 Modellering af omdrejningskegle

Som indledning til udledningen af integralformlen for omdrejningsflader betrages i denne delop-gave en omdrejningskegle med bundradius r og højde h. De elementære metoder anvendt i deførste opgaver genanvendes i denne opgave til bestemmelse af grænserne for integralerne. Førstparametriseres omdrejningskeglen som funktion af dens bundradius og højde ved

r(u, v, h, r) =

ur cos(v)ur sin(v)h− hu

, u ∈ [0, 1], v ∈ [−π, π] (11.2)

I figur 11.2a ses et plot af omdrejningskeglen. Normalvektoren for parameterfremstillingen er

N(u, v, h, r) =

−urh cos(v)−urh sin(v)−r2u

(11.3)

25

For at finde skyggegrænsen over keglefladen betragtes som sædvanligt prikproduktet mellemsolvektorfeltet og parametriseringens normalvektor.

V (r(u, v, h, r)) ·N(u, v, h, r) = 0 =⇒ tkritisk,n =− tan−1

(h sin(v)

r+ nπ

), n ∈ Z (11.4)

Plottes prikproduktet mellem solvektorfeltet og parametriseringens normalvektor for værdier afr, h og u, fas plottet afbildet i figur 11.2b, der illustrerer grænserne, der skal anvendes for atbestemme det totale energioptag over en dag for omdrejningskeglen. Det bla omrade pa figurenindikerer indadgaende flux, mens de røde omrader indikerer udadgaende flux. Det ses heraf, at

der for v ∈ [−π, 0] skal integreres fra tkritisk,0 = − tan−1(h sin(v)

r

)til π, mens der for v ∈ [0, π]

skal integreres fra 0 til tkritisk,1 = π − tan−1(h sin(v)

r

). Med styr pa grænserne kan integralet

opstilles, og et udtryk for det totale energioptag over en dag kan udregnes ved

Etot =

∫ 1

0

∫ 0

−π

∫ π

tkritisk,0

V (r) ·N dt dv du+

∫ 1

0

∫ π

0

∫ tkritisk,1

0

V (r) ·N dt dv du

=r2π + 2r2 EllipticE

(√−h

2

r2

)(11.5)

Dette udtryk kan simplificeres ved at faktorisere og anvende at√−1 = i. Dette gøres herunder,

mens der indføres størrelsen a = hr .

Etot = r2π + 2r2 EllipticE

(√−h

2

r2

)(11.6)

= r2 (π + 2 EllipticE (a i)) (11.7)

Dette er det analytiske udtryk for den eksakte værdi af det totale energioptag for en opretstaendeomdrejningskegle.

11.3 Udledning af integralformlen

Resultatet fra ligning 11.7 kan bruges til at udlede integralformlen, der approksimerer en om-drejningsflade med uendeligt mange, uendeligt sma vandrette kegleudsnit. Først betragtes doget vandret kegleudsnit med en endelig størrelse.

Af ligning 11.7 ses, hvordan energioptaget i en opretstaende kegle kun er afhængig af dens bun-dradius r og størrelsen a = h/r, der jo svarer til profilkurvens hældning med omvendt fortegn.Bundradiusen er ydermere blot længden af profilkurvens projektion pa x-aksen, og saledes be-tragtes blot profilkurven i 2D, fremfor keglen i 3D. Pa figur 11.3a betragtes et tilfældigt vandretkegleudsnit, dvs. et stykke af keglen, der er skaret ud af to vandrette planer, her markeret medblat. Et sadant tilfældigt vandret kegleudsnit er givet ved henholdsvis u, som er afstanden fradet øverste plans skæring med keglens yderside til omdrejningsaksen, og ∆u, som er forskelleni samme afstand fra det øverste plan til det nederste. Givet profilkurvens hældning, kan energi-optaget gennem det tilfældige vandrette kegleudsnit beregnes som energioptaget i en kegle medbundradius u+ ∆u fratrukket energioptaget i en kegle med bundradius u. Pa figur 11.3a svarerdette til energioptaget i keglen bestaende af det røde og det bla omrade fratrukket energioptageti keglen bestaende af det røde omrade. Anvendes ligning 11.7 fas:

Eudsnit =((u+ ∆u)2 − u2

)(π + 2EllipticE(ai)) (11.8)

=(2u∆u+ ∆u2

)(π + 2EllipticE(ai)) (11.9)

= (2u+ ∆u) (π + 2EllipticE(ai))∆u (11.10)

26

(a) Konceptionel 2D tegning af et vandretkegleudsnit (blat).

(b) Den givne ledekurve inddeles i stykker medbredden ∆u, der approksimeres med et vandretkegleudsnit.

Figur 11.3: Figurerne anvendt i forbindelse med udledningen af integralformlen.

Nu betragtes et tilfældigt omdrejningslegeme, der fremkommer, ved rotation af en aftagende(z′(u) ≤ 0) profilkurve z(u) i 1. kvadrant i (x, z)-planen omkring z-aksen. Idet profilkurvener aftagende, kan energioptaget approksimeres i et sadant omdrejningslegeme ved at dele pro-filkurven op i et antal stykker med bredden ∆u, der hver især approksimeres med et vandretkegleudsnit som illustreret i figur 11.3b. Energioptaget bliver saledes approksimeret ved summenaf de vandrette kegleudsnits energioptag, der kan beregnes med ligning 11.10, hvor a = −z′(u).Gøres ∆u sa uendelig lille, approksimerer kegleudsnittene profilkurven uendelig godt, og ∆u kanskiftes ud med du. Ydermere bliver leddet 2u+du uendeligt tæt pa 2u. I grænsen, hvor stykkernebliver uendeligt sma, kan summen erstattes af et integrale. Dette giver altsa:

Etotal =

r∫0

2u(π + 2EllipticE(−z′(u)i))du (11.11)

Dernæst anvendes definitionen pa EllipticE-funktionen, hvorved energioptaget i ethvert omdrej-ningslegeme, der dannes af en positiv aftagende profilkurve, z(u), altsa kan udregnes ved:

Etotal =

r∫0

2u

π + 2

1∫0

√1 + z′(u)2τ2

1− τ2dτ

du (11.12)

12 Eftervisning af integralformel- Indeholder opgave 10

I denne del undersøges integralformlens (Ligning 11.12) anvendelighed pa enhedshalvkuglen ogkuglekalotten, som blev behandlet tidligere. Formlen anvendes nu pa enhedshalvkuglen, der harledekurven

√1− u2. Det bemærkes, at denne ikke er differentiabel i u = 1, hvorfor grænsen ma

27

modificeres til at være tæt pa 1. Saledes løses integralet

Etotal =

0.999999∫0

2u(π + 2

1∫0

√1 +

∂

∂u(√

1− u2)2τ2

√1− τ2

dτ,dx ≈ 8.0707 (12.1)

Dette ses at stemme fint overens med den foregaende og mere manuelle metode. Grunden til denlille forskel er, at man ikke kan integrere helt op til den virkelige grænse pa 1. Integralformlenanvendes nu pa kuglekalotten, der har ledekurven

√1− u2−1/2 samt radius (og dermed grænsen)√

3/2.

Etotal =

√3

2∫0

2u(π + 2

1∫0

√1 +

∂

∂u

(√1− u2 − 1

2

)2

τ2

√1− τ2

dτ,dx ≈ 5.1254 (12.2)

Resultatet stemmer nu fuldstændigt overens med det manuelle resultat, hvorfor integralformlenma siges at være eftervist for de to tilfælde og en del nemmere at arbejde med end den manuellemetode. Det eneste, der kræves, er integralets grænse og en ledekurve for det omdrejningslegeme,der betragtes, hvilket naturligvis ogsa begrænser formlens anvendelighed til legemer, der kanbeskrives som omdrejningslegemer.

13 Solfanger som nedadvendt omdrejningsparaboloide- Indeholder opgave 11

I denne sektion undersøges en solfanger, som er en nedadvendt omdrejningsparaboloide. Maleter at skitsere solfangerens totale energioptag pr. arealenhed som funktion af højden. Denne pa-raboloide har bundcirklen (x, y, z)|x2 + y2 = 1 og z = 0 og toppunktet (x, y, z) = (0, 0, h).En parametrisering af ledekurven for dette omdrejningslegeme skal opfylde, at Z(u, h) = 0 naru = 1 samt Z(u, h) = h nar u = 0, idet u ligger mellem 0 og radius af paraboloidens grundcirkel,som er 1. En sadan ledekurve er givet ved Z(u, h) = h(1 − u2). Paraboloiden skal nu parame-triseres, hvilket er ligetil, idet z-koordinaten er givet ved ledekurvens parameterfremstilling, ogx- og y-koordinaten er givet ved parameterfremstillingen for enhedscirklen, idet x2 + y2 = 1.Dette er analogt til at gange ledekurven med rotationsmatricen i ligning 3.18. Dermed bliverparametriseringen af paraboloiden følgende

r(u, v, h) =

u cos(v)u sin(v)h(1− u2)

, u ∈ [0; 1], v ∈ [0; 2π] (13.1)

Nu hvor parametriseringen er blevet fastlagt, kan arealet af paraboloidens overflade som funktionaf højden findes ved hjælp af fladeintegralet. Først bestemmes Jacobi-funktionen.

Jacobir(u,v,h) =

∣∣∣∣ ∂∂ur(u, v, h)× ∂

∂vr(u, v, h)

∣∣∣∣ = u√

4h2u2 + 1 (13.2)

Dernæst bestemmes fladeintegralet og dermed overfladearealet

Aparaboloide =

∫ 2π

0

∫ 1

0

u√

4h2u2 + 1 du dv =π(4h2

√4h2 + 1 +

√4h2 + 1− 1)

6h2(13.3)

Energioptaget findes nu ved hjælp af integralformlen, hvorefter energioptaget pr. areal plottessom funktion af højden i 13.1a. Nu placeres en cylinder inden i paraboloiden, hvorefter det ønskesat beregne cylinderens højde og radius, samt paraboloidens højde, saledes at paraboloiden har

28

(a) Energioptag pr. arealenhed som funktionaf højden for en nedadvendt omdrejningspara-boloide. Bemærk at E/A bliver større, jo lavereparaboloiden er, idet der vil være mindre skyg-ge pa en lav paraboloide.

(b) Nedadvendt omdrejningsparaboloide inde-holdende en cylinderflade med konstant volu-men. Begge flader er optimeret, for at give mak-simalt energioptag pr. arealenhed

Figur 13.1: Figurer anvendt til modellering af nedadvendt omdrejningsparaboloide med indrecylinder.

maksimal Etotal pr. arealenhed, idet cylinderen har et konstant volumen pa π/2. Volumen for envilkarlig cylinder er givet som V = hr2π. Dette sættes nu lig π/2. π/2 = hcylr

2π ⇔ 1/2 = hcylr2.

Nu substitueres r = a, hvorefter der gælder, at cylinderens højde til en given a-værdi er ligparaboloidens z-værdi for den tilsvarende værdi af u = a, dvs. hcyl = hpar(1 − a2). Detteindsættes nu i formlen for cylinderens volumen, hvorefter et udtryk for paraboloidens højde somfunktion af cylinderens radius findes.

1

2= hcylr

2 ⇔ a2hpar(1− a2) =1

2⇔ hpar =

1

2a2(1− a2)(13.4)

Dette udtryk differentieres nu mht. radius. Derved findes det punkt, hvor tilvæksten i parabo-loidehøjden med cylinderens radius er 0, og højden derfor er mindst mulig. Sagt pa en andenmade findes minimum for paraboloidens højde som funktion af cylinderradius ved at differentierefunktionsudtrykket og sætte det lig 0. Altsa bestemmes den cylinderradius, for hvilken parabo-loidens højde er mindst mulig. Denne cylinderradius vil sa medføre det maksimale energioptagpr. paraboloideareal for paraboloiden indeholdende cylinderen, jft. 13.1a.

∂

∂ahpar =

∂

∂a

1

2a2(1− a2)=

2a2 − 1

a3(a2 − 1)(13.5)

Dette sættes nu lig 0 og løses for a

2a2 − 1

a3(a2 − 1)= 0⇔ a = ± 2√

2(13.6)

Der ses bort fra den negative løsning, da a betegner en længde. Den fundne radius er dermed2/√

2, og denne indsættes nu i formlen for hpar, samt hcyl, hvorved den optimale højde forparaboloiden og cylinderen findes.

hpar,opt =1

2(

2√2

)2(

1−(

2√2

)2) = 2 hcyl,opt = 2

(1−

(2√2

)2)

= 1 (13.7)

29

Nu bestemmes det optimale energioptag pr. areal vha. de netop fundne størrelser. Energioptagetbestemmes vha. integralformlen til 9.623 (se evt. appendix A), og overfladearealet af paraboloidenbestemmes med 13.3 til Apar = 17/24

√17π − 1/24π. Dermed bliver det optimale E/A = 1.064.

Saledes er der blevet beregnet værdier for at opna maksimal E/A for en nedadvendt omdrej-ningsparaboloide, der indeholder en cylinder med konstant volumen.

14 Modellering af lukkede konvekse solfangere- Indeholder opgave 14 og 15

I den resterende del af rapporten betragtes lukkede konvekse flader som solfangere. I dette afsnitbetragtes specifikt to forskellige lukkede konvekse solfangere.

14.1 Gauss’ Divergenssætning

De følgende to opgaver, hhv. opgave 14 og 15, vil tage udgangspunkt i Gauss’ divergenssætning.∫Ω

∇ ·V dV =

∫∂Ω

∇ · n dA = Flux(V, ∂Ω) (14.1)

En af de første antagelser i dette opgavesæt betod i, at solens vektorfelt var konstant, hvorveddivergensen af solvektorfeltet altsa er 0. Gauss’ divergenssætning siger dermed, at netto-fluxengennem enhver lukket flade i solvektorfeltet ma være 0. I dette tilfælde kan dette udnyttes, dafladen er konveks, hvilket betyder, at den indadgaende flux gennem den solbelagte flade er lig denudadgaende flux gennem den skyggebelagte flade. Samtidig kan disse to flader ”lukkes”til to nyelukkede flader med deres projektion pa et plan, α-planet, der star vinkelret pa solvektorfeltet.Konkret sættes α-planet til at ga gennem origo. Da netto-fluxen ligeledes er 0 gennem disselukkede flader, ma den indadgaende flux pa den oplyste flade være præcis halvdelen af fluxengennem de to projicerede flader. Da disse flader ikke er krumme, og længden af solvektorfeltetaltid er 1, bliver derfor den indadgaende flux gennem enhver lukket konveks flade halvdelen afarealet af hele fladen projicieret ned pa α-planet vinkelret pa solvektorplanet, hvilket svarer tilarealet af hele fladens skygge pa α-planen, der dobbeltdækkes ved projektionen. Denne overgangfra flux til areal kan udtrykkes matematisk, som ses gjort i det følgende

B+F =

1

2Fluxprojektionen =

1

2

∫F

V · n dµ =1

2

d∫c

b∫a

V · n · |N| du dv =1

2

d∫c

b∫a

|N| du dv

=1

2Aprojektionen = Askyggen (14.2)

14.2 Parameterfremstillinger for fladerne

Punktmængden A svarer til en halv ellipsoide, som er hævet over (x, y)-planet med afstanden 4.Halvakserne er hhv. 1, 1 og 2 og parameterfremstillingen er derfor:

rA,bund =

sin(u) cos(v)2sin(u) sin(v)

4

, u ∈ [0;π/2], v ∈ [−π;π] (14.3)

rA,top =

sin(u)cos(v)2 sin(u)sin(v)

cos(u) + 4

, u ∈ [0;π/2], v ∈ [−π;π] (14.4)

30

Parameterfremstillingen for solfangerhusets tag fas ud fra ledekurven i opg. 3. Gavlene fas vedat betragte de to endepunkter af cylinderen og derfra bygge en flade fra højden 4 og op tilledekurvens højde. Bunden fas let ved et kvadrat hævet til højden 4. I alt fas fire parametriseredeflader før drejningen:

rhus,top =

uv

−u2 + 5

, u ∈ [−1; 1], v ∈ [−1; 1] (14.5)

rhus,bund =

uv4

, u ∈ [−1; 1], v ∈ [−1; 1] (14.6)

rhus,gavl1 =

u1

w(−u2 + 1) + 4

, u ∈ [−1; 1], w ∈ [0; 1] (14.7)

rhus,gavl2 =

u−1

w(−u2 + 1) + 4

, u ∈ [−1; 1], w ∈ [0; 1] (14.8)

I stedet for at rotere fladerne ovenfor parametriseret roteres solvektorfeltet vinklen s omkringz-aksen. Solvektorfeltet bliver da

Vrot,s =

− sin(s) cos(t)− cos(s) cos(t)− sin(t)

(14.9)

14.3 Planet α vinkelret pa solvektorfelt

αt-planet, der til enhver tid er ortogonal pa solvektorfeltet, fas ved at benytte solvektorfeltets ko-ordinater som koefficienter i det generelle plan-udtryk. Herved bliver αt givet ved− sin(s) cos(t)x−cos(s) cos(t)y−sin(t)z = 0. Stedvektoren har formen: OP = (x, y, z). Det udnyttes nu, at en vek-tor projiceres ned pa et plan findes ved at trække vektorens projektion pa planets normalvektorfra vektoren selv. Dette sker via formlen:

OPαt = OP − OP ·Nαt|Nαt |2

Nαt (14.10)

hvor Nαt svarer til solvektorfeltet, som er ortogonalt pa αt. Herved fas:

OPαt =

xy + (−cos(t)y − sin(t)z)cos(t)z + (−cos(t)y − sin(t)z)sin(t)

(14.11)

14.4 Lukkede konvekse fladers skygge pa α-plan

Projektion af punktmængden A og solfangerhuset pa αt fas ved at benytte formlen i ligning14.10. Denne situation er plottet for begge flader i figur 14.1.

14.5 Areal af skyggeflader samt indadgaende flux

Arealerne af de projicerede skyggeflader for punktmængden A samt solfangerhuset fas som halv-delen af fladeintegralet over Jacobi-funktionerne, som er knyttet til de tilhørende parametiserin-ger, som objektet er opbygget af. Udregningerne for disse udtryk kan ses i Maple-bilaget. I figur14.2a og 14.2b er plottet hhv. den indadgaende flux som funktion af tiden og det totale energi-optag i løbet af dagen, som funktion af drejningsvinklen. Det totale energioptag over hele dagen

31

(a) Projektion af punktmængden A pa planet αttil tiden t = π/6.

(b) Projektion af solfangerhus drejet vinklen s =π/3 pa planet αt til tiden t = π/5.

Figur 14.1: De to lukkede konvekse flader fra opgave 14 og 15 plottet sammen med planen αog deres skygge til tiden t = π

5 .

(a) Arealet af skyggefladen for punktmængdenA som funktion af tiden t svarende til B+(t) forpunktmængden A. Det ses, at energioptaget top-per midt pa dagen svarende t = π/2 samt at dettotale energioptag over hele dagen er 13,89.

(b) Det totale energioptag for solfangerhuset somfunktion af drejningsvinklen s. Det ses, at ener-gioptaget har et maksimum ved en rotation pas = π/4.

Figur 14.2: Indadgaende flux for de to lukkede konvekse flader undersøgt i opgave 14 og 15.

32

Figur 14.3: Indadgaende flux for solfangeren fra opgave 3 fundet ved projektions-metoden.

fas ved at integrere udtrykket for den indadgaende flux med hensyn til t i intervallet t ∈ [0;π],hvilket for punktmængden A giver værdien 13,89. For solfangerhuset ses det ved aflæsning, atdet totale energioptag er maksimalt ved drejningen s ≈ π/4.

14.6 Metoden anvendt pa enkeltkrummet solfanger fra opgave 3

Den enkeltkrummede solfanger fra opgave 3 svarer præcis til solfangerhuset betragtet ovenforuden bund og gavl. Da gavlene pa denne solfanger er identiske og parallelle vil fluxen gennemden ene gavl til ethvert tidspunkt udlignes af fluxen gennem den anden gavl i et konstant vek-torfelt. Derfor er netto-fluxen gennem den krumme flade og dens bund stadig 0, og gavlene kanuden videre fjernes fra solfangeren uden at metoden bryder sammen. Med andre ord kan denindadgaende flux gennem solfangeren i opgave 3 findes med projektions-metoden, hvis kun sol-fangeren samt bunden medtages. Dette resulterer i figur 14.3, hvilket stemmer overens med detraditionelle beregninger (startorienteringen er drejet π/2).

15 Reuleaux Trekant som solfanger- Indeholder opgave 17

I denne opgave foretages modellering af en Reuleaux trekant som solfanger.

15.1 Reuleaux Trekant

En Reuleaux trekant er en særlig geometrisk figur med nogle bestemte egenskaber. Reuleauxtrekanten er en af de sakaldte Reuleaux polygoner. Disse tegnes alle ved at definere et punkt ihvert af en ligesidet polygons hjørner, og derefter tegne en cirkel med en bestemt radius omkringdisse hjørnepunkter. Dette gøres for hvert hjørnepunkt med den samme cirkelradius. De linjer,der opstar som bestemte stykker af disse cirklers cirkelbuer, er da netop Reuleaux polygonen. ForReuleaux trekanten ses konstruktionen i figur 15.1a. For disse specielle typer polygoner gælder

33

(a) Her ses hvordan en Reuleaux trekant konstru-eres med udgangspunkt i en ligesidet trekant. Frahvert hjørnepunkt tegnes en cirkel med bestemtradius. Den figur, der dannes af bestemte stykkeraf cirkelbuerne, er da netop Reuleaux trekanten[4].

(b) Her ses, hvordan to parallelle tangentlinjertil Reuleaux trekanten kaster en skygge pa enret linje, som er vinkelret pa tangentlinjerne, derhar samme længde som afstanden mellem punk-tet pa den ene side og det modstaende skarnehjørnepunkt.[5, s.15]

Figur 15.1: Figurer der illustrer pointerne i overvejelserne om en Reuleaux trekants geometriskeegenskaber

der, da hvert hjørnepunkts modstaende side er en del af cirkelbuen af cirklen med centrum idet pagældende hjørnepunkt, at alle punkter pa en side er ækvidistante med det modstaendehjørnepunkt.

15.2 Reuleaux Trekantens skyggelinje i planen

I dette afsnit redegøres for, at trekantens skygge pa en ret linje, som er vinkelret pa det pla-ne solvektorfelt, er konstant. Argumentet for denne egenskab er i tæt forlængelse af den netopomtalte egenskab for Reuleaux trekanten. Da alle punkter pa en side er ækvidistante med detmodstaende hjørnepunkt, følger der, at vilkarlige to parallelle tangentlinjer til Reuleaux trekan-ten vil være ækvidistante. Dette følger med den tilføjelse, at vektorer fra solvektorfeltet, dernetop er parallelle, altid vil kunne sammenlignes med parallelle tangentlinjer, og at disse altid,grundet trekantens geometri, vil kunne tegnes, sa den ene skærer et hjørnepunkt pa trekanten.

15.3 Reuleaux Trekanten som rumlig omdrejningsflade

Nu vil en bestemt Reuleaux trekant med cirkelradier 2 og følgende centrummer blive overført tilrummet ved at betragte den som en omdrejningsflade. Denne benævnes R.

C1 =(−1, 0) (15.1)

C2 =(0,√

3) (15.2)

C3 =(1, 0) (15.3)

Dette gøres her ved at betragte den del af trekanten, der er pa den positive u-akse i figur 15.1b.Denne benævnes K. K roteres sa 2π omkring den lodrette z-akse. Den højre side af trekanten og

34

(a) Her ses profilkurven for den rumlige omdrej-ningsflade, Reuleaux trekanten i rummet.

(b) Her ses omdrejningsfladen, den rumlige Reu-leaux trekant, der fremkommer ved rotation afprofilkurven 2π omkring z-aksen.

Figur 15.2: Profilkurve og omdrejningsflade for Reuleaux trekanten i rummet.

bunden af trekanten parametriseres hver for sig med følgende parametriseringer

sside(u) =

u0√

4− (1 + u)2

, u ∈ [0, 1] (15.4)

sbund(u) =

u0√

3−√

4− u2

, u ∈ [0, 1] (15.5)

Ved rotation omkring z-aksen tages, som altid, vektorproduktet mellem rotationsmatricen ogparametriseringen af profilkurven. Dette leder til de følgende to parametriserede omdrejnings-flader.

rside(u, v) =

u cos(v)u sin(v)√

4− (1 + u)2

, u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π] (15.6)

rbund(u, v) =

u cos(v)u sin(v)√

3−√

4− u2

, u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π] (15.7)

rside(u) er gældende for den del af profilkurven hvor z > 0. rbund(u) er gældende for den del afprofilkurven hvor z < 0. Omdrejningsfladen, der er resultatet af disse parametriseringer, ses plot-tet i figur 15.2b. Hvis omdrejningsfladen R skæres med en vilkarlig plan gennem symmetriaksen,vil fællesmængden mellem denne plan og fladen R i alle tilfælde udgøre en Reuleaux trekant. Toparallelle tangentplaner, der tangerer Reuleaux trekanten i rummet, vil altid skære i to punkter,som modsvarer to punkter pa en Reuleaux trekant i planen. For to sadanne punkter gælder dettidligere formulerede argument om den konstante bredde i en sadan Reuleaux trekant. Derforma det gælde, at afstanden mellem de to parallelle tangentplaner ogsa er konstant.

35

15.4 Reuleaux Trekantens energioptag som funktion af tiden

Med samme metode som tidligere anvendt for lukkede konvekse flader, hvor Gauss’ divergens-sætning anvendes til argumentation for, at halvdelen af fluxen gennem skyggen af fladen paden, altid pa solvektorfeltet vinkelrette α-plan, er lig med den indadgaende flux gennem fladen.Saledes projiceres parametriseringerne for omdrejningsfladen R ind pa α-planen, og fluxen be-stemmes med det sædvanlige ortogonale fladeintegral. Projektionerne findes ved anvendelse afde vektorer, der udspænder α-planen,

v1 =

100

(15.8)

v2 =

0sin(t)− cos(t)

(15.9)

For Reuleaux trekanten i rummet har projektionerne, normalvektorerne og Jacobifunktionerne,som alle bestemmes fortløbende, meget store og komplekse matematiske udtryk, hvorfor disseikke præsenteres her. Normalvektorer og Jacobifunktioner findes pa normalvis og projektionenpa samme made som tidligere ved følgende. De benævnes specielt, p(u, v, t).

pside(u, v, t) = (rside(u, v) · v1) · v1 + (rside(u, v) · v2) · v2 (15.10)

pbund(u, v, t) = (rbund(u, v) · v1) · v1 + (rbund(u, v) · v2) · v2 (15.11)

Fluxen gennem fladen, tilsvarende energioptaget, som funktion af tiden, findes da ved følgendeortogonale fladeintegral

E(t) =1

2

1∫0

2π∫0

Jacobipside(u, v, t) + Jacobipbund(u, v, t) dv du (15.12)

Ved evaluering af dette analytisk udtryk for energioptaget vha. Maple konstateres, at det kuner muligt at løse integralerne for ganske fa værdier af t. Med disse kan udtrykkets gyldighed dogkontrolleres, idet arealet af en cirkel er Acirkel = πr2, og arealet af en Reuleaux trekant er givetved AReuleaux = 1

2

(π −√

3)s2. Dette er nyttigt, da det vides, at arealet af skyggen under den

rumlige Reuleaux trekant netop er arealet af en cirkel med radius r = 2 til tiden t = π2 og arealet

af en Reuleaux trekant med sidelængde s = 2 til tiden t = 0. Der fas med ovenstaende udtryknetop tilsvarende resultater ved evaluering i Maple (jf. Maple udregningsark).Af disse overvejelser ses det tydeligt, at arealet af skyggen og energioptaget ikke er konstant iløbet af dagen for omdrejningsflade R.For videre at illustrere dette opstilles en funktion til numerisk beregning af energioptaget. Denneses plottet i figur 15.3

15.5 Rotation af Reuleaux Trekanten omkring x- og y-akse parallelleakser

I dette afsnit undersøges energioptaget i omdrejningsfladen R ved rotation omkring hhv. x- ogy-akse parallelle akser.

36

Figur 15.3: Energioptaget i Reuleaux trekanten som funktion af tiden. Omdrejningsfladen erher ikke roteret, og har symmetriakse omkring z-aksen.

Til rotation omkring disse akser anvendes følgende rotationsmatricer

Rx(θ) =

1 0 00 cos(θ) sin(θ)0 − sin(θ) cos(θ)

(15.13)

Ry(φ) =

cos(θ) 0 − sin(θ)0 1 0

sin(θ) 0 cos(θ)

(15.14)

Som altid udregnes projektioner, normalvektorer og Jacobifunktioner for parametriseringerne.De fas ved nedenstaende udtryk. Her benævnes specielt projektioner, p(u, v, t, θ, φ).

pside,rot(u, v, t, θ, φ) =

(Ry(φ) ·Rx(θ) · rside(u, v)) .

100

·1

00

+

(Ry(φ) ·Rx(θ) · rside(u, v)) .

0sin(t)− cos(t)

· 0

sin(t)− cos(t)

(15.15)

pbund,rot(u, v, t, θ, φ) =

(Ry(φ) ·Rx(θ) · rbund(u, v)) .

100

·1

00

+

(Ry(φ) ·Rx(θ) · rbund(u, v)) .

0sin(t)− cos(t)

· 0

sin(t)− cos(t)

(15.16)

Her roteredes projektionerne blot ved at tage vektorproduktet mellem rotationsmatricerne ogprojektionen. Hermed fas en projektion, som inkluderer vinklerne θ og φ, der kontrollerer ro-tationen af omdrejningsfladen omkring x- og y-akse parallelle akser. Projektioner fandtes som

37

Figur 15.4: Energioptaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden plottet for to forskelligerotationer omkring x-aksen. Det bemærkes, at denne rotation kun medfører en forskydning afenergioptaget til et andet tidspunkt pa dagen.

tidligere ved anvendelse af vektorerne v1 = (1, 0, 0) og v2 = (0, sin(t),− cos(t)).

Rotation omkring x-aksenI plottet i figur 15.4 ses energioptaget i omdrejningsfladen ved ingen rotation og ved en rotationpa θ = π

6 . Det ses her, at en rotation omkring x-aksen kun medfører en forskydning af energi-optaget langs tidsaksen, men ikke ændrer det totale energioptag. Denne sammenhæng er i godoverensstemmelse med Reuleaux trekantens geometri, da man fra solens synspunkt ser sammefigur blot fra forskellig start- og slutvinkel ved rotation af figuren om x-aksen.

Rotation omkring y-aksenI plottet i figur 15.5 vises energioptaget som funktion af tiden plottet for otte forskellige ro-tationsvinkler omkring y-aksen. Her ses forskellige totale energioptag i løbet af en hel dag forforskellige drejningsvinkler omkring y-aksen. Denne sammenhæng er ogsa i god overensstemmel-se med Reuleaux trekantens geometri, da en rotation om y-aksen medfører, at figuren ser drejetud fra solens synspunkt, modsat for rotation om x-aksen.Disse sammenhænge for drejning omkring hhv. x- og y-akserne kan illustreres mere stringent

ved at plotte en numerisk funktion til bestemmelse af det totale energioptag i løbet af en dagsom funktion af drejningsvinklerne. Denne funktion ses plottet i figur 15.6. Det totale energiop-tag ved rotation omkring y-aksen har tydeligt maksima ved rotationsvinklen φ = 0 og φ = π,mens der findes et minimum i det totale energioptag ved vinklen φ = π

2 . Det totale energioptagsom funktion af drejningsvinklen omkring x-aksen er, som forventet, konstant. I forhold til enReuleaux trekant med lodret symmetri-akse svarer dette til, at energioptaget er maksimalt paækvator og minimalt pa polerne.

38

Figur 15.5: Energioptaget for Reuleaux trekanten som funktion af tiden plottet for otte forskel-lige rotationer omkring y-aksen. Det bemærkes, at denne rotation medfører en nominel ændringaf energioptaget som funktion af tiden, og dermed ogsa et ændret totalt energioptag. Energiop-taget for drejningsvinklen φ = 0 er blot energioptaget for R uden rotation om nogen akser.

Figur 15.6: Det totale energioptag for Reuleaux trekanten som funktion af drejningsvinklerneθ og φ, her benævnt vinkel. Det ses tydeligt, at energioptaget ved rotation omkring x-aksen erkonstant, mens det totale energioptag ved rotation omkring y-aksen er varierende.

39

16 Reuleaux Trekant i København- Indeholder opgave 18

I denne opgave betragtes en Reuleaux trekant placeret et sted i København. Her vælges Brønshøj-Torv, som har en placering pa 5542’18.0”N og 1229’34.8”E. Da solen bevæger sig Øst-Vest,og det, jft. forrige opgave, blev konkluderet, at kun rotation omkring y-aksen har betydningfor energioptaget i en Reuleaux trekant, vil denne længde-breddegrads placering blot medføre,at Reuleaux trekanten kan betragtes som værende roteret 5542’18.0”omkring y-aksen, nar viopstiller den med lodret symmetri-akse i København. Dette svarer til en rotation pa 55.7, somigen svarer til en vinkel pa 55.7π

180 radianer.Ønskes optimalt energioptag gennem Reuleaux trekanten, skal Reuleaux trekanten saledes blotroteres 55.7 tilbage mod Ækvator rundt om øst-vest aksen. Med andre ord skal spidsen afReuleaux trekanten pege direkte mod solens position kl. 12.00 for at opna maksimalt energioptag.I figur 16.1 ses energioptaget for en Reuleaux trekant i København, hhv. placeret med lodretsymmetriakse og optimalt.

Figur 16.1: Energioptaget for en Reuleaux trekant med lodret symmetriakse placeret iKøbenhavn, og energioptaget for en optimalt placeret Reuleaux trekant i København.

17 Sammenfatning

Dette projekt har modelleret en række solfangere i forskellige geometriske former med forskel-lige metoder. Først blev en solfanger med en fast skyggelinje betragtet med en simpel geome-trisk metode. Dernæst blev en solfanger med en vandrende skyggeline betragtet, og hertil blevprikproduktet mellem vektorfelt og fladens indadgaende normalvektor anvendt til bestemmelseaf skyggelinjen. Endvidere blev en række omdrejningsflader, herunder en halvkugle, en kugle-kalot og et keglesnit, betragtet og den indadgaende flux blev bestemt ved anvendelse af videnom skyggelinjernes placering, ligeledes ud fra prikproduktet mellem vektorfelt og fladens ind-adgaende normalvektor. Da flyttedes fokus til at finde en mere effektiv metode for modelleringaf solfangere. Hertil betragtedes først en solfanger bestaende af en glaslinje i 2 dimensioner. Her

40

fandtes en sammenhæng mellem energioptag og længden af glaslinjen. Dernæst betragtedes enrække konvekse solfangere bestaende glaslinjer og fandtes at energioptaget var givet ved om-kredsen af solfangeren. Desuden udledtes en formel til bestemmelse af energioptag i solfangerebestaende af omdrejningslegemer ved approksimation med keglesnit. For lukkede konvekse sol-fangere i rummet fandtes ved hjælp af Gauss’ divergenssætning desuden, at energioptaget vargivet ved arealet af fladens skygge pa α-planet.

41

Litteratur

[1] Energistatistik 2012 - data, tabeller, statistikker og kort. Rapport, Energisty-relsen, 2013. Hentet fra http://www.ens.dk/sites/ens.dk/files/info/tal-kort/

statistik-noegletal/aarlig-energistatistik/energistatistik2012.pdf d. 21. april2014 kl. 19.25.

[2] Udvalget for Bæredygtig Energi pa Ærø Estrup T.B. Kampen om titlen ?ver-dens største solfangeranlæg? http://veaeroe.wordpress.com/2012/12/13/

kampen-om-titlen-verdens-storste-solfangeranlaeg/, December 2012. Hentet d.21. april 2014 kl. 19.55.

[3] Steen Markvorsen, Karsten Schmidt og Søren Enemark. eNoter fra Matematik 1 kursus01005. DTU Compute, September 2012.

[4] Frederic Michel. How to construct a reuleaux triangle. http://en.wikipedia.org/wiki/

File:Construction_triangle_Reuleaux.svg, August 2009. Hentet d. 14. april 2014 kl.21.58.

[5] Karsten Schmidt. Solfanger Projekt Køreplan, 2014.

42

A Udregninger i Maple-ark

Vedlagt i dette bilag er et fuldstændigt Maple ark indeholdende samtlige udregninger foretageti forbindelse med løsning af alle opgaver.

43

> >

(1.1.1)(1.1.1)

> >

> >

Opgave 1 - Diskussion af Solvektorfeltetrestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:

1. SolvektorfeltetBegrund at man med rimelighed kan beskrive solvektorfeltet ved

V x, y, z = 0,Kcos t ,Ksin t hvor t 2 0, p

Defineres:V:=unapply( <0,-cos(t),-sin(t)> ,x,y,z,t):'V(x,y,z,t)'=V(x,y,z,t);

V x, y, z, t =

0

Kcos t

Ksin t

Solen bevæger sig langs en halvcirkel i y,z-planen. Derfor er x-koordinaten altid 0. Denne halvcirkel kan parametriseres med vektorer på formen 0, cos t , sin t hvor t 2 0, p . Da vektorfeltet fra solen til en given t netop kommer fra solen så vendes fortegnet på vektorerne og der fås 0,Kcos t ,Ksin t .Det ses at vektorfeltet da til en bestemt værdi af tiden t 2 0, p udspænder et system af parallelle enhedsvektorer, som er rettet mod y-aksen eller løber parallelt med den (t = 0 og t = p)

animate fieldplot3d, V x, y, z, t , x =K2 ..2, y =K2 ..2, z = 0 ..2, arrows = THICK, color= grey, grid = 3, 3, 3 , t = 0 ..Pi, frames = 50

44

t = 0.

45

> >

> > > >

> >

> >

> >

> >

> >

> > > >

Opgave 2 - Solfanger af plane fladerrestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:

Under de nævnte modelbetingelser består en solfanger af to skrå plane flader, hvoraf den første er udspændt mellem de fire punkter (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, -1, 1), (1, -1, 0) og den anden mellem (0, 1, 1), (-1, 1, 0), (-1, -1, 0), (0, -1, 1). Solfangerens ”gavle” anses som neutrale, og medtages ikke i beregningerne.

1. Indadgående flux og samlet energioptagParametrisering af spejdertelt

r1:=unapply( <1-u , v , u> ,u,v):'r1(u,v)'=r1(u,v);r2:=unapply( <u-1 , -v , u> ,u,v):'r2(u,v)'=r2(u,v);

Plots af spejderteltflader

flade1punkterplot:=pointplot3d([1,1,0],[0,1,1],[0,-1,1],[1,-1,0],color=red,symbol=solidcircle,symbolsize=20):flade2punkterplot:=pointplot3d([0,1,1],[-1,1,0],[-1,-1,0],[0,-1,1],color=blue,symbol=solidcircle,symbolsize=20):

flade1plot:=plot3d(r1(u,v),u=0..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=red,labels=[x,y,z]):flade2plot:=plot3d(r2(u,v),u=0..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=blue,labels=[x,y,z]):

display(flade1punkterplot,flade1plot,flade2punkterplot,flade2plot);

r1 u, v =

1K u

v

u

r2 u, v =

uK 1

Kv

u

46

> >

(2.1.1)(2.1.1)

> >

Parameterfremstillingerne er lavet sådan at normalvektorerne er indadrettede for begge flader. Dvs. indadgående flux regnes positivt.

V:=unapply( <0,-cos(t),-sin(t)> ,x,y,z):'V(x,y,z)'=V(x,y,z);

V x, y, z =

0

Kcos t

Ksin t

r1u:=diff~(r1(u,v),u):

47

> >

> >

> >

(2.1.3)(2.1.3)

> >

> >

> >

> >

(2.1.2)(2.1.2)

> >

r1v:=diff~(r1(u,v),v):n1:=simplify(kryds(r1u,r1v));

n1 :=

K1

0

K1

r2u:=diff~(r2(u,v),u):r2v:=diff~(r2(u,v),v):n2:=simplify(kryds(r2u,r2v));

n2 :=

1

0

K1

n1plot:=VectorCalculus[PlotVector](n1,color=red):n2plot:=VectorCalculus[PlotVector](n2,color=blue):display(flade1punkterplot,flade1plot,flade2punkterplot,flade2plot,n1plot,n2plot);

Flux gennem fladen, positivt regnet i normalvektorens retning

48

> >

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

(2.1.8)(2.1.8)

(2.1.5)(2.1.5)

> >

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.1.7)(2.1.7)

(2.1.6)(2.1.6)

prik(V(vop(r1(u,v))),n1):integrand1:=simplify(%);

integrand1 := sin tprik(V(vop(r2(u,v))),n2):integrand2:=simplify(%);

integrand2 := sin tFlux1:=int(int(integrand1,u=0..1),v=-1..1);

Flux1 := 2 sin tFlux2:=int(int(integrand2,u=0..1),v=-1..1);

Flux2 := 2 sin tFlux:=unapply(Flux1+Flux2,t);

Flux := t/4 sin t

Energioptag i løbet af hele dagenplot Flux t , t = 0 ..p, labels = 't ', typeset B 'C' t

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

B C t

0

1

2

3

4

Fluxen har maksimum ved middag t =p2

.

Etot:=int(Flux(t),t=0..Pi);

49

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.2.2)(2.2.2)

> >

(2.2.3)(2.2.3)

> >

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

> >

(2.2.1)(2.2.1)

Etot := 8

2. Rotation af solfangeren med bestemt vinkel

Solfangeren drejes nu vinklen p2

omkring z-aksen, således at solfangerens ”ryg” er parrallel med

x-aksen. Bestem igen for et vilkårligtt den indadgående flux BC (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energioptag Etotal for hele dagen.

Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(Pi/2) , -sin(Pi/2) , 0 ], [ sin(Pi/2) , cos(Pi/2) , 0 ], [ 0 , 0 , 1 ] ]);

Rotationsmatrix :=

0 K1 0

1 0 0

0 0 1

Rotationsmatrix.r1(u,v):r1d:=unapply(%,u,v):'r1d(u,v)'=r1d(u,v);

r1d u, v =

Kv

1K u

u

Rotationsmatrix.r2(u,v):r2d:=unapply(%,u,v):'r2d(u,v)'=r2d(u,v);

r2d u, v =

v

uK 1

u

flade1roteretplot:=plot3d(r1d(u,v),u=0..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=yellow,labels=[x,y,z]):flade2roteretplot:=plot3d(r2d(u,v),u=0..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=green,labels=[x,y,z]):

display(flade1roteretplot,flade2roteretplot,flade1plot,flade2plot);

50

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.2.5)(2.2.5)

> >

> >

> >

> >

(2.2.4)(2.2.4)

> >

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

> >

Fladerne er tydeligvis roteret p2

Nu beregnes den indadgående flux for et vilkårligt t og derefter det totale energioptag Etotalr1du:=diff~(r1d(u,v),u):r1dv:=diff~(r1d(u,v),v):n1d:=simplify(kryds(r1du,r1dv));

n1d :=

0

K1

K1

r2du:=diff~(r2d(u,v),u):r2dv:=diff~(r2d(u,v),v):n2d:=simplify(kryds(r2du,r2dv));

n2d :=

0

1

K1

n1dplot:=VectorCalculus[PlotVector](n1d,color=yellow):n2dplot:=VectorCalculus[PlotVector](n2d,color=green):

51

> >

> >

> >

(2.2.9)(2.2.9)> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

> >

(2.2.11)(2.2.11)

(2.2.6)(2.2.6)

(2.1.9)(2.1.9)

(2.2.10)(2.2.10)

(2.2.8)(2.2.8)

(2.2.7)(2.2.7)

display(flade1roteretplot,flade2roteretplot,n1dplot,n2dplot);

Flux gennem fladen, positivt regnet i normalvektorens retningprik(V(vop(r1d(u,v))),n1d):integrand1d:=simplify(%);

integrand1d := cos t C sin tprik(V(vop(r2d(u,v))),n2d):integrand2d:=simplify(%);

integrand2d := Kcos t C sin tFlux1d:=int(int(integrand1d,u=0..1),v=-1..1);

Flux1d := 2 cos t C 2 sin tFlux2d:=int(int(integrand2d,u=0..1),v=-1..1);

Flux2d := K2 cos t C 2 sin tsolve(Flux1d=0,t,AllSolutions);

K14

pC p _Z1~

solve(integrand1d=0,t,AllSolutions);

K14

pC p _Z2~

52

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

> >

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.2.13)(2.2.13)

solve(Flux2d=0,t,AllSolutions);14

pC p _Z3~

solve(integrand2d=0,t,AllSolutions);14

pC p _Z4~

Vi skal nu finde det interval af t-værdier som giver udelukkende indgående flux på hver flade hver især.For flade 1plot(Flux1d,t=0..Pi);

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

K2

K1

0

1

2

Dette giver t 2 0,3 p4

For flade 2plot(Flux2d,t=0..Pi);

53

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.2.14)(2.2.14)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

K2

K1

0

1

2

Dette giver t 2p4

, p

Flux1dpiecewise:=piecewise(Flux1d>0,Flux1d);

Flux1dpiecewise :=2 cos t C 2 sin t 0 ! 2 cos t C 2 sin t

0 otherwise

plot(Flux1dpiecewise,t=0..Pi);

54

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.2.15)(2.2.15)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p0

0.5

1

1.5

2

2.5

Flux2dpiecewise:=piecewise(Flux2d>0,Flux2d);

Flux2dpiecewise :=K2 cos t C 2 sin t 0 !K2 cos t C 2 sin t

0 otherwise

plot(Flux2dpiecewise,t=0..Pi);

55

> >

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.2.16)(2.2.16)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fluxd:=Flux1dpiecewise+Flux2dpiecewise;

Fluxd :=2 cos t C 2 sin t 0 ! 2 cos t C 2 sin t

0 otherwiseC

K2 cos t C 2 sin t 0 !K2 cos t C 2 sin t

0 otherwise

Fluxdplotd plot Fluxd, t = 0 ..Pi, y = 0 ..4, labels = 't ', typeset B 'C' t :Fluxplotd plot Flux t , t = 0 ..p, labels = 't ', typeset B 'C' t , linestyle = dot :display(Fluxdplot,Fluxplot);

56

> >

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.2.20)(2.2.20)> >

(2.2.17)(2.2.17)

> >

(2.2.19)(2.2.19)> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.2.18)(2.2.18)

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

B C t

0

1

2

3

4

Fluxen har maksimum ved middag t =p2

.

Energioptag i løbet af hele dagenint(Flux1d,t=0..3*Pi/4);evalf(%);

2C 2 24.828427124

int(Flux2d,t=Pi/4..Pi);evalf(%);

2C 2 24.828427124

Etot=int(Flux1d,t=0..3*Pi/4)+int(Flux2d,t=Pi/4..Pi);

8 = 4C 4 2Etotd:=int(Fluxd,t=0..Pi);evalf(%);

Etotd := 4C 4 29.656854248

display(flade1roteretplot,flade2roteretplot);

57

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.3.2)(2.3.2)

(2.2.12)(2.2.12)

(2.3.1)(2.3.1)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

> >

3. Rotation af solfangeren med vilkårlig vinkelTil sidst drejes solfangeren således at dens ”ryg” danner en vinkels med x-aksen. Find det kritiske tidspunkt t0 for hver af fladerne hvor fladen veksler fra at ligge i skygge til at være solbelyst eller

omvendt. Bestem herefter Etotal som funktion af s 2 0,p2

, og plot denne funktion.

Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s) , -sin(s) , 0 ], [ sin(s) , cos(s) , 0 ], [ 0 , 0 , 1 ] ]);

Rotationsmatrix :=

cos s Ksin s 0

sin s cos s 0

0 0 1

r1d(u,v);

Kv

1K u

u

58

> >

> >

> >

> > > >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

> >

> >

(2.3.11)(2.3.11)> >

> >

> >

> >

(2.3.7)(2.3.7)

(2.3.5)(2.3.5)

> >

> >

(2.3.9)(2.3.9)

> >

(2.3.3)(2.3.3)

(2.3.6)(2.3.6)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

> >

(2.3.4)(2.3.4)

(2.3.8)(2.3.8)

(2.3.10)(2.3.10)

r2d(u,v);

v

uK 1

u

Rotationsmatrix.r1d(u,v):r1ds:=unapply(%,u,v):'r1ds(u,v)'=r1ds(u,v);

r1ds u, v =

Kcos s vK sin s 1K u

Ksin s vC cos s 1K u

u

Rotationsmatrix.r2d(u,v):r2ds:=unapply(%,u,v):'r2ds(u,v)'=r2ds(u,v);

r2ds u, v =

cos s vK sin s uK 1

sin s vC cos s uK 1

u

Det kritiske tidspunkt for hver af fladerne er givet ved det tidspunkt hvor fluxen gennem hver af fladerne hver især er nul.r1dsu:=diff~(r1ds(u,v),u):r1dsv:=diff~(r1ds(u,v),v):n1ds:=simplify(kryds(r1dsu,r1dsv));

n1ds :=

sin s

Kcos s

K1

r2dsu:=diff~(r2ds(u,v),u):r2dsv:=diff~(r2ds(u,v),v):n2ds:=simplify(kryds(r2dsu,r2dsv));

n2ds :=

Ksin s

cos s

K1

prik(V(vop(r1ds(u,v))),n1ds):integrand1ds:=simplify(%);

integrand1ds := cos t cos s C sin tprik(V(vop(r2ds(u,v))),n2ds):integrand2ds:=simplify(%);

integrand2ds := Kcos t cos s C sin t

Flux1ds:=int(int(integrand1ds,u=0..1),v=-1..1);Flux1ds := 2 cos t cos s C 2 sin t

Flux2ds:=int(int(integrand2ds,u=0..1),v=-1..1);Flux2ds := K2 cos t cos s C 2 sin t

plot3d([Flux1ds,[t,s,0]],t=0..Pi,s=0..Pi/2,color=[blue,green],orientation=[0,0,0]);

59

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.3.3)(2.3.3)

(2.2.12)(2.2.12)

> >

(2.1.9)(2.1.9)

> >

plot3d([Flux2ds,[t,s,0]],t=0..Pi,s=0..Pi/2,color=[blue,green],orientation=[0,0,0]);

60

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.3.13)(2.3.13)

> >

(2.3.3)(2.3.3)

(2.3.12)(2.3.12)

(2.2.12)(2.2.12)

> >

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.3.14)(2.3.14)> >

> > Kritiske tidspunkter:t01:=solve(Flux1ds=0,t,allsolutions);

t01 := Karctan cos s C p _Z35~t011:=Pi-arctan(cos(s));

t011 := pK arctan cos st02:=solve(Flux2ds=0,t);

t02 := arctan cos splot(t011,s=0..Pi/2);

61

> >

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.3.3)(2.3.3)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

s

p16

p8

3 p16

p4

5 p16

3 p8

7 p16

p2

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

plot(t02,s=0..Pi/2);

62

> >

(2.1.4)(2.1.4)

(2.3.15)(2.3.15)> >

(2.3.17)(2.3.17)

> >

> >

> >

> >

> >

(2.3.3)(2.3.3)

> >

(2.2.12)(2.2.12)

(2.3.16)(2.3.16)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

s

p16

p8

3 p16

p4

5 p16

3 p8

7 p16

p2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Vi vil nu bestemme det totale energioptag som funktion af drejningsvinklen s og plotte dette.int(Flux1ds,t=0..t011);

2C 2 cos s 2 C 1int(Flux2ds,t=t02..Pi);

2C 2 cos s 2 C 1Etot:=int(Flux1ds,t=0..t011)+int(Flux2ds,t=t02..Pi);

Etot := 4C 4 cos s 2 C 1plot(Etot,s=0..Pi/2,labels=[s,'E[total]']);

63

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

(2.3.19)(2.3.19)

> >

> >

> >

(2.3.3)(2.3.3)

(2.2.12)(2.2.12)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.3.18)(2.3.18)

> >

s

p16

p8

3 p16

p4

5 p16

3 p8

7 p16

p2

Etotal

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

9.2

9.4

9.6

Når solfangeren er parallel med y-aksen svarer det til s =p2

Etotd;evalf(%);

4C 4 29.656854248

Når solfangeren er parallel med y-aksen svarer det til s = 0Etot;

4C 4 cos s 2 C 1

Dette ses at stemme.

64

> >

> >

Opgave 3 - Enkeltkrummet solfangerrestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:

Vi betragter en solfanger som er en cylinderflade, hvis ledekurve i (x, z)-planen har ligningen z = 1K x2,og som opfylder x 2 K1, 1 , y 2 K1 , 1 .

1. Parametrisering og NormalvektorAngiv en parameterfremstilling for cylinderfladen, og bestem et udtryk for dens indadgående enhedsnormalvektor nplot(1-x^2,x=-1..1);

65

(1.1.1)(1.1.1)

> >

> >

> >

xK1 K0.5 0 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Profilkurvens parametriserings2d:=unapply( < u, 1-u^2 > ,u):'s2d(u)'=s2d(u);

s2d u =u

Ku2 C 1

plot([s2d(u)[1],s2d(u)[2],u=-1..1]);

66

> >

(1.1.3)(1.1.3)

> >

> >

> >

(1.1.2)(1.1.2)

> >

> >

> >

K1 K0.5 0 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parametriseringen af profilkurven overføres til rummets3d:=unapply( < u, 0 ,1-u^2 > ,u):'s3d(u)'=s3d(u);

s3d u =

u

0

Ku2 C 1

ledekurveplot:=spacecurve(s3d(u),u=-1..1,scaling=constrained,color=red):r:=unapply( < u, -v ,1-u^2 > ,u,v):'r(u,v)'=r(u,v);

r u, v =

u

Kv

Ku2 C 1

fladeplot:=plot3d(r(u,v),u=-1..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=blue,labels=[x,y,z]):display(ledekurveplot,fladeplot);

67

> >

(1.1.4)(1.1.4)

> >

(1.1.5)(1.1.5)

> >

> >

Den indadgående normalvektor bestemmesru:=diff~(r(u,v),u):rv:=diff~(r(u,v),v):n:=simplify(kryds(ru,rv));

n :=

K2 u

0

K1

Denne normeresne:=n/sqrt(prik(n,n));

ne :=

K2 u

4 u2 C 1

0

K1

4 u2 C 1

Plot af fladen med ledekurve og én normalvektor

68

> >

(1.2.2)(1.2.2)

> > > > > >

> >

(1.2.1)(1.2.1)

> >

u:=-.4:neplot:=VectorCalculus[PlotVector](ne,color=yellow):display(ledekurveplot,fladeplot,neplot);

u:='u':

2. Indadgående flux og samlet energioptagBestem for et vilkårligt t den indadgående flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag Etotal for solfangeren for hele dagen.V:=unapply( <0,-cos(t),-sin(t)> ,x,y,z):'V(x,y,z)'=V(x,y,z);

V x, y, z =

0

Kcos t

Ksin t

Fluxen bestemmesprik(V(vop(r(u,v))),n):integrand:=simplify(%);

integrand := sin t

69

(1.2.3)(1.2.3)

> >

> >

> >

> >

> > (1.2.4)(1.2.4)

(1.3.1)(1.3.1)

Flux:=int(int(integrand,u=-1..1),v=-1..1);Flux := 4 sin t

Flux1d plot Flux t , t = 0 ..p, labels = 't ', typeset B 'C' t : display Flux1

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

B C t

0

1

2

3

4

Total energioptagEtot:=int(Flux,t=0..Pi);

Etot := 8

3. Rotation af solfanger med bestemt vinkel

Solfangeren drejes nu vinklen p2

omkring z-aksen, således at solfangerens ledekurve nu er parallel

med y-aksen. Hvordan ser parameterfremstillingen nu ud? Bestem for ethvert t den indadgående flux B+(t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag Etotal for hele dagen.

Fladen roteres omkring z aksen

Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(Pi/2) , -sin(Pi/2) , 0 ], [ sin(Pi/2) , cos(Pi/2) , 0 ],

70

(1.2.3)(1.2.3)> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.3.2)(1.3.2)

> >

(1.3.1)(1.3.1)

[ 0 , 0 , 1 ] ]);

Rotationsmatrix :=

0 K1 0

1 0 0

0 0 1

Rotationsmatrix.r(u,v): rd:=unapply(%,u,v):'rd(u,v)'=rd(u,v);

rd u, v =

v

u

Ku2 C 1

fladeplotdrejet:=plot3d(rd(u,v),u=-1..1,v=-1..1,scaling=constrained,color=green,labels=[x,y,z]):display(fladeplot,fladeplotdrejet);

display(fladeplotdrejet);

71

(1.3.3)(1.3.3)

(1.2.3)(1.2.3)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.3.1)(1.3.1)

Problemet er at fladen nu ikke veldefineret har en skyggegrænse som i opgave 2. Her vil skyggegrænsen kastes på fladen af fladen selv og vil bevæge sig langsomt over toppen af "parablen". Hertil anvendes antagelse 4.

Normalvektoren bestemmes

rdu:=diff~(rd(u,v),u):rdv:=diff~(rd(u,v),v):nd:=simplify(kryds(rdu,rdv));

nd :=

0

K2 u

K1

Denne normeresned:=nd/sqrt(prik(nd,nd));

72

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

> >

(1.3.6)(1.3.6)

> > (1.3.5)(1.3.5)

> >

(1.3.1)(1.3.1)

ned :=

0

K2 u

4 u2 C 1

K1

4 u2 C 1

Prikproduktet skal være positivt for at vektorfeltet er vinklet maks 90° på normalvektoren.plot3d([[u, t, 2*cos(t)*u+sin(t)], [u, t, 0]],u=-1..1,t=0..Pi,color=[green,blue],labels=[u,t,prik],orientation=[0,0,0]);

prik(V(x,y,z),nd);2 cos t uC sin t

u=solve(%=0,u);

u = K12

sin tcos t

Dette er udtryk for de grænser der skal anvendes ved bestemmelse af den samlede flux.

73

> >

> >

(1.3.7)(1.3.7)

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

> >

> >

> >

(1.3.8)(1.3.8)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.9)(1.3.9)

plot(-(1/2)*tan(t),t=0..Pi,y=-1..1,labels=[t,u],discont=true);

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

u

K1

K0.5

0

0.5

1

Tiden kan opdeles i tre delintervaller.Det første er fra 0 til:t=solve(-(1/2)*tan(t)=-1,t,allsolutions);

t = arctan 2 C p _Z2~evalf(Pi-arctan(2));

2.034443936

Det andet er derfra og tilt=solve(-(1/2)*tan(t)=1,t,allsolutions);

t = Karctan 2 C p _Z3~

og slutteligt fra Karctan 2 C p til p.

Vi opstiller en funktion der beskriver fluxen ved fluxen gennem fladen med tidsvarierende grænser til de tidsintervaller hvor der kun er indgående (positiv) flux:

Flux0d t/piecewise t! arctan 2 , int int prik V x, y, z , nd

74

> >

(1.3.10)(1.3.10)

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.3.4)(1.3.4)

> > > >

> >

> >

> >

> >

(1.3.1)(1.3.1)

, v =K1 ..1 , u =K12

tan t ..1 , piecewise t! PiK arctan 2 , int int prik V x, y, z , nd

, v =K1 ..1 , u =K1 ..1 , int int prik V x, y, z , nd

, v =K1 ..1 , u =K1 ..K12

tan t :

'Flux0'=Flux0(t);

Flux0 =

2 cos t 1K14

tan t 2 C 2 sin t 1C12

tan t t! arctan 2

4 sin t t! pK arctan 2

2 cos t 14

tan t 2 K 1 C 2 sin t K12

tan t C 1 otherwiseotherwise

Flux2d plot Flux t , t = 0 ..p, labels = 't ', typeset B 'C' t , linestyle = dot :Flux3d plot Flux0 t , t = 0 ..p, labels = 't ', typeset B 'C' t :display(Flux2,Flux3);

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

B C t

0

1

2

3

4

Det totale energioptag er

75

> >

> > > >

(1.3.4)(1.3.4)

(1.4.3)(1.4.3)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.4.2)(1.4.2)

(1.4.4)(1.4.4)

> >

(1.2.3)(1.2.3)

> >

(1.4.1)(1.4.1)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.11)(1.3.11)

Etot0:=int(Flux0(t),t=0..Pi);evalf(%);

Etot0 := 4C 2 5 K12

ln 5 C ln 5C 2 5

9.915771429

4. Rotation af solfanger med vilkårlig vinkelTil sidst drejes solfangeren således at ledekurven danner en vinkel s med x-aksen. Bestem herefter

et eksakt udtryk for Etotal som funktion af s 2 0,p2

, og plot denne funktion.

Vi drejer den parametrisede flade.Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s) , -sin(s) , 0 ], [ sin(s) , cos(s) , 0 ], [ 0 , 0 , 1 ] ]);

Rotationsmatrix :=

cos s Ksin s 0

sin s cos s 0

0 0 1

Rotationsmatrix.rd(u,v): rds:=unapply(%,u,v):'rds(u,v)'=rds(u,v);

rds u, v =

cos s vK sin s u

sin s vC cos s u

Ku2 C 1

Finder normalvektorrdsu:=diff~(rds(u,v),u):rdsv:=diff~(rds(u,v),v):nds:=unapply(simplify(kryds(rdsu,rdsv)),s):'nds(s)'=nds(s);

nds s =

2 sin s u

K2 cos s u

K1

Normeret normalvektorneds:=nds(s)/sqrt(prik(nds(s),nds(s)));

neds :=

2 sin s u

1C 4 sin s 2 u2 C 4 cos s 2 u2

K2 cos s u

1C 4 sin s 2 u2 C 4 cos s 2 u2

K1

1C 4 sin s 2 u2 C 4 cos s 2 u2

76

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.4.5)(1.4.5)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.11)(1.3.11)

Når fluxen skal bestemmes skal den kun regnes for den belyste del af fladen. Den belyste del af fladen kan findes ved at betragte prikproduktet mellem vektorfeltet og normalvektoren til fladen:prik(V(x,y,z),nds(s));

2 cos t cos s uC sin t

Når prikproduktet er 0 har vi grænse mellem skygge og lys (skyggegrænsen).Så fluxen kan deles op i 3 dele som funktion af tiden jf nedenstående plot.plot3d([[u, t, 2*cos(t)*u+sin(t)], [u, t, 0]],u=-1..1,t=0..Pi,color=[green,blue],labels=[u,t,prik],orientation=[0,0,0]);

De blå områder viser steder hvor fluxen er negativ (0) og det grønne er hvor fluxen er positiv.Vi isolerer u i prikproduktet når dette sættes lig nul.

77

> >

> >

(1.4.9)(1.4.9)

(1.4.10)(1.4.10)

(1.3.4)(1.3.4)

(1.4.8)(1.4.8)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.4.11)(1.4.11)

> >

(1.4.12)(1.4.12)

(1.4.6)(1.4.6)

(1.4.7)(1.4.7)

(1.3.1)(1.3.1)

> >

(1.3.11)(1.3.11)

solve(prik(V(x,y,z),nds(s)),u,allsolutions);

K12

sin t

cos t cos s

Som kan forkortes tilgrænse:=unapply(-(1/2)*tan(t)/cos(s),t,s);

grænse := t, s /K12

tan tcos s

Det er denne grænse som u skal integreres fra hhv. til som er funktion af tiden. (linjen mellem den blå og grønne flade.Det første delinterval for t er fra t=0 til t[1]=solve(-(1/2)*tan(t)/cos(s)=-1,t,AllSolutions);

t1 = arctan 2 cos s C p _Z34~

Der hvor grænsen er lig 1 er grænsen denne blot plus π.t[2]=solve(-(1/2)*tan(t)/cos(s)=1,t,AllSolutions);

t2 = Karctan 2 cos s C p _Z35~

hvilket tilsvarer grænserne i forrige opgave.Denne tidsgrænse definerestidsgrænse1:=unapply(solve(-(1/2)*tan(t)/cos(s)=-1,t),s);

tidsgrænse1 := s/arctan 2 cos stidsgrænse2:=unapply(Pi-arctan(2*cos(s)),s);

tidsgrænse2 := s/pK arctan 2 cos s

Vi opstiller en funktion der beskriver fluxen ved fluxen gennem fladen med tidsvarierende grænser til de tidsintervaller hvor der kun er indgående (positiv) flux:

Flux:=(t,s)-> piecewise(t<tidsgrænse1(s),int(int(prik(V(x,y,z),nds(s)),v=-1..1),u=grænse(t,s)..1),piecewise(t<tidsgrænse2(s),int(int(prik(V(x,y,z),nds(s)),v=-1..1),u=-1..1),int(int(prik(V(x,y,z),nds(s)),v=-1..1),u=-1..grænse(t,s)))):'Flux'=Flux(t,s);

Flux =

2 cos t cos s 1K14

tan t 2

cos s 2 C 2 sin t 1C12

tan tcos s

t! arctan 2 cos s

4 sin t t! pK arctan 2 cos s

2 cos t cos s 14

tan t 2

cos s 2 K 1 C 2 sin t K12

tan tcos s

C 1 otherwiseotherwise

Denne flux som funktion af tiden animeres for værdier af s.

animate plot, Flux t, s , t = 0 ..Pi , s = 0 ..Pi2

, frames = 100

78

> >

> >

(1.2.3)(1.2.3)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

(1.4.6)(1.4.6)

> >

> >

> >

(1.4.13)(1.4.13)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.11)(1.3.11)

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p0

1

2

3

4s = 0.

Vi definerer det totale energioptag i løbet af en dag som funktion af drejningsvinklen.Energi1d unapply piecewise cos s s 0, int int int prik V x, y, z , nds s, v =K1 ..1 , u = grænse t, s ..1 , t = 0 ..tidsgrænse1 s C int int int prik V x, y, z ,

nds s, v =K1 ..1 , u =K1 ..1 , t = tidsgrænse1 s ..tidsgrænse2 s C int int int prik V x, y,

z , nds s , v =K1 ..1 , u =K1 ..grænse t, s , t = tidsgrænse2 s ..Pi , 8 , s assuming tR 0 and t% p

Energi1 := s/piecewise cos s s 0,0

arctan 2 cos s

2 cos t cos s 1

K14

tan t 2

cos s 2 C 2 sin t 1C12

tan tcos s

dtC8

4 cos s 2 C 1C

pK arctan 2 cos s

p

2 cos t cos s 14

tan t 2

cos s 2 K 1 C 2 sin t K12

tan tcos s

79

> >

> >

(1.4.15)(1.4.15)

(1.4.14)(1.4.14)

(1.3.4)(1.3.4)

> >

> >

> >

> >

> >

(1.4.13)(1.4.13)

> >

(1.2.3)(1.2.3)

> >

(1.4.6)(1.4.6)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.3.11)(1.3.11)

C 1 dt, 8

'Energi1'=Energi1(s);

Energi1 =0

arctan 2 cos s

2 cos t cos s 1K14

tan t 2

cos s 2 C 2 sin t 1C12

tan tcos s

dtC8

4 cos s 2 C 1C

pK arctan 2 cos s

p

2 cos t cos s 14

tan t 2

cos s 2 K 1 C 2 sin t K12

tan tcos s

C 1 dt cos s s 0

8 otherwise

Vi tester at energioptaget er 8 i løbet af en dag når fladen er parallel med y-aksen:Energi1(Pi/2);

8

Det totale energioptag i løbet af en hele dag som funktion af drejningsvinklen plottes:plot(Energi1(s),s=0..Pi/2,labels=[s,'E']);

s

p16

p8

3 p16

p4

5 p16

3 p8

7 p16

p2

E

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

9.2

9.4

9.6

9.8

Der er maksimum ved s=0 - dvs. når fladen er rygparallel med x-aksen

80

> >

> >

> >

> >

> >

(2.2)(2.2)> >

(2.1)(2.1)

> >

(2.4)(2.4)

(2.5)(2.5)

(2.3)(2.3)

Opgave 4.1 A, Energioptag gennem en enhedshalvkuglerestart : with plots : with LinearAlgebra :prikd x, y / VectorCalculus DotProduct x, y :krydsd x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y , Vector :vopdproc X op convert X, list end proc:gradd X, Y / convert linalg grad X, Y , Vector column :divd V/ VectorCalculus Divergence V :rotdproc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end proc:Vtd x, y, z, t / 0,Kcos t ,Ksin t

Vt := x, y, z, t / 0, Kcos t , Ksin t

Vd x, y, z / 0,Kcos t ,Ksin tV := x, y, z / 0, Kcos t , Ksin t

Vi definerer en halvcirkel i (x,y)-planen, som herefter roteres om x-aksen i en vinkel Pi2

C t, således at

der overstryges et område svarende til den solbeskinnede del af figuren til tiden t indtil kl. 12.r2d u/ cos u , sin u , 0

r2 := u/ cos u , sin u , 0

rotmatxtd 1, 0, 0 0, cos v$Pi2

C t , sin v$Pi2

C t 0,Ksin v$Pi2

C t , cos v

$Pi2

C t

rotmatxt :=

1 0 0

0 cos v 12

pC t Ksin v 12

pC t

0 sin v 12

pC t cos v 12

pC t

r3d unapply prik rotmatxt, r2 u , u, v, t : r3 u, v, tcos u

cos v 12

pC t sin u

sin v 12

pC t sin u

Det solbeskinnede område animeres og plottes sammen med vektorfeltet:

animate plot3d, r3 u, v, t , u = 0 ..Pi, v = 0 ..1, labels = x, y, z , scaling = constrained, color

= red , t = 0 ..Pi2

, frames = 50

81

> >

> >

(2.6)(2.6)

> > (2.7)(2.7)

t = 0.

vektorfplotd fieldplot3d Vt x, y, z,Pi4

, x =K1.2 ..1.2, y =K1.2 ..1.2, z = 0 ..1.2, scaling

= constrained, arrows = THICK, color = yellow, grid = 4, 4, 3

vektorfplot := PLOT3D ...

kugleplotd plot3d r3 u, v,Pi4

,1.4Pi

$u, 1.4$v, 0 , K1.4Pi

$u, 1.4$v, 0 ,1.4Pi

$u,K1.4

$v, 0 , K1.4Pi

$u,K1.4$v, 0 , r3 u,v3C 1,

Pi4

, u = 0 ..Pi, v = 0 ..1, color = yellow,

green, green, green, green, grey , labels = x, y, z , labelfont = "TIMES", 14

kugleplot := PLOT3D ...

display kugleplot, vektorfplot

82

> >

(2.8)(2.8)

> >

> >

(2.9)(2.9)

Den indadvendte normalvektor findes:rm3ud diff~ r3 u, v, t , u : rm3vd diff~ r3 u, v, t , v : N3d unapply kryds rm3v,

rm3u , u, v, t :'N3 u, v, t '= simplify N3 u, v, t

N3 u, v, t =

K12

pC 2 t sin u cos u

K12

pC 2 t cos12

v pC 2 t sin u 2

K12

pC 2 t sin12

v pC 2 t sin u 2

Prikproduktet mellem den indadgående normalvektor og solvektorfeltet intereres over parametriseringens grænser, hvorved fluxen findes og plottes:Flux3d unapply int int prik V x, y, z , N3 u, v, t , u = 0 ..Pi , v = 0 ..1 , t

Flux3 := t/12

sin t pC12

p cos t 2 C12

p sin t 2

plot Flux3 t , t = 0 ..Pi2

, labels = t, Flux , legend =12

sin t pC12

p cos t 2

83

(2.10)(2.10)

> >

> >

> >

C12

p sin t 2 , legendstyle = location = bottom , labelfont = "TIMES", 14

12

sin t pC 12

p cos t 2C

12

p sin t 2

t

p16

p8

3 p16

p4

5 p16

3 p8

7 p16

p2

Flux

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

Det samlede energioptag findes ved at integrere fluxen op mht. tiden fra kl. 6.00 til 12.00 og gange med2:

Energikugled int Flux3 t , t = 0 ..Pi2

$2

Energikugle := pC12

p2

Opgave 4.1 B, Energioptag gennem kuglekalot

restart : with plots : with LinearAlgebra :prikd x, y / VectorCalculus DotProduct x, y :krydsd x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y , Vector :vopdproc X op convert X, list end proc:gradd X, Y / convert linalg grad X, Y , Vector column :divd V/ VectorCalculus Divergence V :

84

(3.1)(3.1)

> >

> >

(3.4)(3.4)

(3.3)(3.3)

> >

> >

> >

> >

(3.5)(3.5)

> >

> >

(3.2)(3.2)

rotdproc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end proc:Vtd x, y, z, t / 0,Kcos t ,Ksin t

Vt := x, y, z, t / 0, Kcos t , Ksin t

Vd x, y, z / 0,Kcos t ,Ksin tV := x, y, z / 0, Kcos t , Ksin t

Vi definerer parameterfremstillingen, finder grænser og plotter:

rd u, v / u, v, sqrt 1K u2 K v2 K12

: r u, v

u

v

Ku2 K v2 C 1 K12

a1d solve r u, 0 3 = 0, u

a1 := K12

3 ,12

3

vgrænsed solve u2 C v2 = a1 2 2, v

vgrænse :=12

K4 u2 C 3 , K12

K4 u2 C 3

plot3d r u, v , u = a1 1 ..a1 2 , v = vgrænse 1 ..vgrænse 2 , scaling = constrained, labels= x, y, z , color = red

85

(3.7)(3.7)

(3.6)(3.6)

> >

(3.8)(3.8)

> >

> >

> >

> >

Vi finder normalvektoren samt prikproduktet:rmud diff~ r u, v , u : rmvd diff~ r u, v , v : Nd unapply kryds rmv, rmu , u, v :

N u, v

Ku

Ku2 K v2 C 1

Kv

Ku2 K v2 C 1

K1

prikprodd unapply prik V x, y, z , N u, v , u, v, t

prikprod := u, v, t /cos t v

1K u2 K v2C sin t

Vi finder, hvornår prikproduktet er lig 0 og animerer området:vgrænseskygged unapply solve prikprod u, v, t = 0, v , u, t

86

> >

(3.10)(3.10)

(3.9)(3.9)

> >

> >

(3.8)(3.8)

> >

> >

vgrænseskygge := u, t /Ktan t Ku2 K 1

tan t 2 C 1

cirkeld implicitplot x2 C y2 =34

, x =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, y =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color

= blue, scaling = constrained, labels = u, v , legend = bundcirkel

cirkel := PLOT ...

animate plot, vgrænseskygge u, t , u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, labels = u, v , legend

= skyggegrænse , t = 0 ..Pi2

, frames = 50, background = cirkel

skyggegrænse bundcirkel

uK0.8 K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

v

K0.8

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1t = 0.

skygge1d plot vgrænseskygge u,Pi8

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = black, legend = t

=p8

skygge1 := PLOT ...

87

> >

> >

> >

(3.11)(3.11)

(3.13)(3.13)

(3.8)(3.8)

> >

> >

(3.12)(3.12)

> >

skygge2d plot vgrænseskygge u,Pi4

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = purple, legend

= t =p4

skygge2 := PLOT ...

skygge3d plot vgrænseskygge u,Pi3

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = brown, legend

= t =p3

skygge3 := PLOT ...

skygge4d plot vgrænseskygge u,2$ Pi

5, u =K

sqrt 32

..sqrt 3

2, color = red, legend

= t =2 p5

skygge4 := PLOT ...

display cirkel, skygge1, skygge2, skygge3, skygge4

bundcirkel t = 18

p t = 14

p

t = 13

p t = 25

p

uK0.8 K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

v

K0.8

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Vi bestemmer skæringen mellem vores skyggegrænsefunktion og cirkel samt tidspunktet, hvor kalotten

88

> >

> >

> >

(3.21)(3.21)

(3.11)(3.11)

(3.22)(3.22)

> >

(3.15)(3.15)

> >

(3.19)(3.19)

> >

> >

> >

> >

(3.14)(3.14)

(3.16)(3.16)

(3.17)(3.17)

> >

> >

> >

(3.18)(3.18)

(3.8)(3.8)

(3.20)(3.20)

er fuldt oplyst:skæringcirkeld solve vgrænseskygge u, t = sqrt a1 2 2Ku2 , u

skæringcirkel :=12

4 cos t 2 K 1

cos t, K

12

4 cos t 2 K 1

cos t

tkritiskd solve skæringcirkel 1 = 0

tkritisk :=13

p,23

p

Vi bestemmer energioptaget over en halv dag, da der integreres op over de relevante områder til de relevante tider:int int int prikprod u, v, t , v =Ksqrt a1 2 2 K u2 ..sqrt a1 2 2 K u2 , u = a1 1

..skæringcirkel 2 , t = 0 ..tkritisk 1

K12

I EllipticE 2 K316

pC12

I EllipticE12

, 2

Edel1d evalf %Edel1 := 0.0828784929C 0. I

int int int prikprod u, v, t , v =Ksqrt a1 2 2 K u2 ..sqrt a1 2 2 K u2 , u= skæringcirkel 1 ..a1 2 , t = 0 ..tkritisk 1

K12

I EllipticE 2 K316

pC12

I EllipticE12

, 2

Edel3d evalf %Edel3 := 0.0828784929C 0. I

int int int prikprod u, v, t , v = vgrænseskygge u, t ..sqrt a1 2 2 K u2 ,'AllSolutions ' , u= skæringcirkel 2 ..skæringcirkel 1 ,'AllSolutions ' , t = 0 ..tkritisk 1 assuming tT real

and tO 0

0

13

p

K14

1

cos t 2 K3 cos t 2 sin t arcsin13

3 4 cos t 2 K 1

cos t

K 4 cos t 2 arcsin12

4 cos t 2 K 1

cos t

K 4 cos t 2 K 1 sin t sin t 2

cos t 2 cos t C 2 4 cos t 2 K 1 cos t 2

K 4 cos t 2 K 1 dt

Edel2d evalf %Edel2 := 1.218833122

Edel4d int int int prikprod u, v, t , v =Ksqrt a1 2 2 K u2 ..sqrt a1 2 2 K u2 , u

89

(4.4)(4.4)

> >

(4.1)(4.1)

> >

(3.23)(3.23)

> >

(3.11)(3.11)

(3.22)(3.22)

(4.5)(4.5)

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(4.3)(4.3)

(3.8)(3.8)

> >

> >

= a1 1 ..a1 2 , t = tkritisk 1 ..Pi2

Edel4 :=38

p

Energitotald evalf 2$ Edel1CEdel2CEdel3CEdel4Energitotal := 5.125374706C 0. I

Opgave 4.1 C, Energioptag en trekvart enhedskugleflade

restart : with plots : with LinearAlgebra :prikd x, y / VectorCalculus DotProduct x, y :krydsd x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y , Vector :vopdproc X op convert X, list end proc:gradd X, Y / convert linalg grad X, Y , Vector column :divd V/ VectorCalculus Divergence V :rotdproc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end proc:Vtd x, y, z, t / 0,Kcos t ,Ksin t

Vt := x, y, z, t / 0, Kcos t , Ksin t

Vd x, y, z / 0,Kcos t ,Ksin tV := x, y, z / 0, Kcos t , Ksin t

Vi betragter den del af kuglen, som ligger under jorden og dermed ikke bidrager til energioptaget. Vi definerer parameterfremstillingen, finder grænser og plotter:

rd u, v / u, v,Ksqrt 1K u2 K v2 C12

: r u, v

u

v

K Ku2 K v2 C 1 C12

a1d solve r u, 0 3 = 0, u

a1 := K12

3 ,12

3

vgrænsed solve u2 C v2 = a1 2 2, v

vgrænse :=12

K4 u2 C 3 , K12

K4 u2 C 3

plot3d r u, v , u = a1 1 ..a1 2 , v = vgrænse 1 ..vgrænse 2 , scaling = constrained, labels= x, y, z , color = red

90

(4.8)(4.8)

> >

(4.7)(4.7)

> >

> >

> >

(4.6)(4.6)

(3.11)(3.11)

(3.22)(3.22)

(3.8)(3.8)

> >

> >

> >

Vi finder den indadgående normalvektor samt prikproduktet:rmud diff~ r u, v , u : rmvd diff~ r u, v , v : Nd unapply kryds rmu, rmv , u, v :

N u, v

Ku

Ku2 K v2 C 1

Kv

Ku2 K v2 C 1

1

prikprodd unapply prik V x, y, z , N u, v , u, v, t

prikprod := u, v, t /cos t v

1K u2 K v2K sin t

Vi finder, hvornår prikproduktet er lig 0 og animerer området:vgrænseskygged unapply solve prikprod u, v, t = 0, v , u, t

91

> >

(4.8)(4.8)

> >

(4.10)(4.10)

> >

> >

> >

(3.11)(3.11)

(4.9)(4.9)

(3.22)(3.22)

(3.8)(3.8)

> >

> >

vgrænseskygge := u, t /tan t Ku2 K 1

tan t 2 C 1

cirkeld implicitplot x2 C y2 =34

, x =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, y =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color

= blue, scaling = constrained, labels = u, v , legend = topcirkel

cirkel := PLOT ...

animate plot, vgrænseskygge u, t , u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, labels = u, v , legend

= skyggelinje , t = 0 ..Pi2

, frames = 50, background = cirkel

skyggelinje topcirkel

uK0.8 K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

v

K1

K0.8

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

t = 0.

skygge1d plot vgrænseskygge u,Pi8

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = black, legend = t

=p8

skygge1 := PLOT ...

92

> >

> >

(4.11)(4.11)

(4.8)(4.8)

(4.12)(4.12)

> >

> >

(4.13)(4.13)

> >

(3.11)(3.11)

> >

(3.22)(3.22)

(3.8)(3.8)

> >

> >

> >

skygge2d plot vgrænseskygge u,Pi4

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = purple, legend

= t =p4

skygge2 := PLOT ...

skygge3d plot vgrænseskygge u,Pi3

, u =Ksqrt 3

2..

sqrt 32

, color = brown, legend

= t =p3

skygge3 := PLOT ...

skygge4d plot vgrænseskygge u,2$ Pi

5, u =K

sqrt 32

..sqrt 3

2, color = red, legend

= t =2 p5

skygge4 := PLOT ...

display cirkel, skygge1, skygge2, skygge3, skygge4

topcirkel t = 18

p t = 14

p t = 13

p

t = 25

p

uK0.8 K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

v

K0.8

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

93

> >

(4.18)(4.18)

> >

> >

(4.15)(4.15)

> >

(3.11)(3.11)

(3.22)(3.22)

(4.19)(4.19)

> >

> >

> >

(4.16)(4.16)

> >

(4.17)(4.17)> >

(4.11)(4.11)

(4.8)(4.8)

> >

> >

> >

(4.14)(4.14)

(3.8)(3.8)

Vi bestemmer skæringen mellem vores skyggegrænsefunktion og cirkel, samt tidspunktet, når hele fladen er i skygge:skæringcirkeld solve vgrænseskygge u, t =Ksqrt a1 2 2Ku2 , u

skæringcirkel :=12

4 cos t 2 K 1

cos t, K

12

4 cos t 2 K 1

cos t

tkritiskd solve skæringcirkel 1 = 0

tkritisk :=13

p,23

p

Vi bestemmer nu energioptaget gennem fladen "under" jorden gennem en hel dag:

Efladeunder = 2$ int int int prikprod u, v, t , v = vgrænseskygge u, t ..sqrt a1 2 2 K u2 ,

'AllSolutions ' , u = skæringcirkel 2 ..skæringcirkel 1 ,'AllSolutions ' , t = 0 ..Pi3

Efladeunder = 2

0

13

p

K14

1

cos t 2 4 cos t 2 K 1 Kcos t 2 K 1

cos t 2 sin t cos t

K 4 cos t 2 arcsin12

4 cos t 2 K 1

cos t csgn cos t

C 3 cos t 2 arcsin13

3 4 cos t 2 K 1

cos t sin t C 2 4 cos t 2 K 1 cos t 2

K 4 cos t 2 K 1 csgn1

cos t csgn cos t dt

Efladeunder = evalf rhs (4.16)Efladeunder = 0.4129857258

Vi bestemmer nu energioptaget gennem en hel kugle. Her vil der gennem hele dagen være oplyst en halvkugle, svarende til, at vektorfeltet var konstant 0, 0,K1 og vi betragtede halvkuglen i 4.a:V1d 0, 0,K1

V1 :=

0

0

K1

r1d u, v / sin u $cos v , sin u $sin v , cos ur1 := u, v / sin u cos v , sin u sin v , cos u

plot3d r1 u, v , u = 0 ..Pi2

, v = 0 ..2$Pi, scaling = constrained

94

> >

(4.20)(4.20)

> >

> >

> >

> >

> >

(3.11)(3.11)

(3.22)(3.22)

(4.23)(4.23)> >

> >

> >

> >

(4.22)(4.22)

(4.11)(4.11)

(4.8)(4.8)

(4.21)(4.21)

(3.8)(3.8)

rmu1d diff~ r1 u, v , u : rmv1d diff~ r1 u, v , v : N1d unapply kryds rmv1,rmu1 , u, v : N1 u, v

Ksin u 2 cos v

Ksin u 2 sin v

Kcos u cos v 2 sin u K cos u sin v 2 sin u

prikprod1d unapply prik V1, N1 u, v , u, vprikprod1 := u, v /cos u cos v 2 sin u C cos u sin v 2 sin u

Ehelkugle = int int int prikprod1 u, v , u = 0 ..Pi2

, v = 0 ..2$Pi , t = 0 ..Pi

Ehelkugle = p2

Energioptaget gennem en hel dag fås nu som energioptaget gennem helkuglen minus energioptaget i den del af kuglen, som i figur C ligger under jorden:EnergiC = evalf rhs (4.22) Krhs (4.17)

EnergiC = 9.456618678

95

> >

(5.1)(5.1)

> >

(5.2)(5.2)

> >

> >

> >

(5.4)(5.4)

> >

(3.11)(3.11)

> >

(3.22)(3.22)

(5.3)(5.3)

> >

> >

(5.9)(5.9)

> >

(4.11)(4.11)

> >

(4.8)(4.8)

(5.6)(5.6)

> >

(5.5)(5.5)

> >

(5.8)(5.8)

(5.7)(5.7)

(3.8)(3.8)

> >

> >

Opgave 4.2, Sammenligning af energioptag pr. overfladearealrestart : with plots : with LinearAlgebra :prikd x, y / VectorCalculus DotProduct x, y :krydsd x, y / convert VectorCalculus CrossProduct x, y , Vector :vopdproc X op convert X, list end proc:gradd X, Y / convert linalg grad X, Y , Vector column :divd V/ VectorCalculus Divergence V :rotdproc X uses VectorCalculus; BasisFormat false ; Curl X end proc:Vtd x, y, z, t / 0,Kcos t ,Ksin t

Vt := x, y, z, t / 0, Kcos t , Ksin t

Vd x, y, z / 0,Kcos t ,Ksin tV := x, y, z / 0, Kcos t , Ksin t

Overfladearealet af halvkuglen fås som halvdelen af overfladen af en hel kugle:

A = 4$p$r2

Ahalvd 2$PiAhalv := 2 p

Overfladearelet af kalotten bestemmes ved et fladeintegral over fladen, hvor f x sættes til 1:

rd u, v / u, v, sqrt 1K u2 K v2 K12

: r u, v

u

v

Ku2 K v2 C 1 K12

a1d solve r u, 0 3 = 0, u

a1 := K12

3 ,12

3

vgrænsed solve u2 C v2 = a1 2 2, v

vgrænse :=12

K4 u2 C 3 , K12

K4 u2 C 3

rmud diff~ r u, v , u : rmvd diff~ r u, v , v : Nd unapply kryds rmu, rmv , u, v :Jacobid unapply sqrt prik N u, v , N u, v , u, v : Jacobi = simplify Jacobi u, v

Jacobi = K1

u2 C v2 K 1

Akalotd int int Jacobi u, v , v = vgrænse 2 ..vgrænse 1 ,'AllSolutions ' , u = a1 1..a1 2

Akalot := p

Overfladearealet af den "trekvarte" kugle kan nu findes ved at trække kalotarealet fra en helkugle:Atrekvartd 4$PiKAkalot

Atrekvart := 3 p

96

> >

> >

(5.10)(5.10)

> >

> >

> >

> >

(5.14)(5.14)

(5.15)(5.15)

> >

(3.11)(3.11)

(5.16)(5.16)

(3.22)(3.22)

> >

> >

(5.12)(5.12)

> >

(4.11)(4.11)

(4.8)(4.8)

(5.11)(5.11)

> >

(3.8)(3.8)

(5.13)(5.13)

> >

Vi kan nu bestemme energioptaget over en dag pr. areal for de tre figurer:

relEhalvkugle =PiC

p2

2Ahalv

relEhalvkugle =12

pC

12

p2

p

relEhalvkugle = evalf rhs (5.10)relEhalvkugle = 1.285398164

relEkalot =5.125374706Akalot

relEkalot =5.125374706

p

relEkalot = evalf rhs (5.12)relEkalot = 1.631457439

relEtrekvartkugle =9.456618678Atrekvart

relEtrekvartkugle =3.152206226

p

relEtrekvartkugle = evalf rhs (5.14)relEtrekvartkugle = 1.003378405

evalf pC12

p2

8.076394856

97

> >

(1.2)(1.2)

> >

(1.1)(1.1)

Opgave 5 - Enkelt glaslinjesolfanger i planenrestart:with(LinearAlgebra):

V = Kcos t ,Ksin t , t e 0; p

Spidsvinklet trekant-solfanger:

Indadgående enhedsnormalvektor: n =Kcos

p2

K cosK1 xpx

Ksinp2

K cosK1 xpx

V, n = cos t $cosp2

K cosK1 xpx

C sin t $sinp2

K cosK1 xpx

E t = x$V, n = x$ cos t $cosp2

K cosK1 xpx

C sin t $sinp2

K cosK1 xpx

Solfangeren er oplyst indtil t = pK cosK1 xpx

Etotal =0

pK cosK1 xpx

x$ cos t $cosp2

K cosK1 xpx

C sin t $sinp2

K cosK1 xpx

dt

Udregning:

int(x*(cos(t)*cos(Pi/2-arccos(xp/x))+sin(t)*sin(Pi/2-arccos(xp/x))),t=0..Pi-arccos(xp/x));

xpC x

Stumpvinklet trekant-solfanger:

Indadgående enhedsnormalvektor: n =Kcos

p2

K cosK1 xpx

sinp2

K cosK1 xpx

V, n = cos t $cosp2

K cosK1 xpx

Ksin t $sinp2

K cosK1 xpx

E t = x$ cos t $cosp2

K cosK1 xpx

Ksin t $sinp2

K cosK1 xpx

98

> >

(1.2)(1.2)

Solfangeren er oplyst indtil t = cosK1 xpx

Etotal =0

cosK1 xpx

x$ cos t $cosp2

K cosK1 xpx

Ksin t $sinp2

K cosK1 xpx

dt

int(x*(cos(t)*cos(Pi/2-arccos(xp/x))-sin(t)*sin(Pi/2-arccos(xp/x))),t=0..arccos(xp/x));

KxpC x

99

> > (2.5)(2.5)

> >

(2.3)(2.3)

(2.2)(2.2)

(2.1)(2.1)

> >

> >

(1.2)(1.2)

(2.4)(2.4)

> >

Opgave 8 - Parabelsolfanger betragtet med glaskurvemetodeParameterfremstilling:

r u, v = v, u, 1K u2 , u e K1, 1 , v e K1, 1

ru ' u, v = 0, 1,K2$u

rv ' u, v = 1, 0, 0

r[u]:=Vector[column]([ 0 , 1 , -2*u ]);

ru :=

0

1

K2 u

r[v]:=Vector[column]([ 1 , 0 , 0 ]);

rv :=

1

0

0

CrossProduct(r[u],r[v]);

0

K2 u

K1

Jacobir = K2$u 2 C K1 2 = 4$u2 C 1

A =K1

1

K1

1Jacobir du dv =

K1

1

K1

14$u2 C 1 du dv

int(int(sqrt(4*u^2+1),u=-1..1),v=-1..1);

2 5 K ln K2C 5

evalf[6]( (2.4) );5.91577

100

> >

> >

> >

> >

(1.2)(1.2)

> >

(1.1)(1.1)

Opgave 12.1 - Undersøgelse af funktionen EllipticEwith(plots):

Først undersøges EllipticE(x).EllipticE(x);

plot(EllipticE(x),x=-1..1);

int(EllipticE(x),x);

plot(int(EllipticE(x),x),x=-1..1);

101

> >

(1.3)(1.3)

> >

diff(EllipticE(x),x);

plot(diff(EllipticE(x),x),x=-1..1);

102

> > (1.4)(1.4)

> >

Nu undersøges EllipticE(ix).EllipticE(I*x);

plot(EllipticE(I*x),x=-5..5);

103

(1.5)(1.5)

> >

> >

> >

int(EllipticE(I*x),x);

(1/2)*Pi*0*hypergeom([-1/2, 1/2, 1/2], [1, 3/2], -0^2);

plot(int(EllipticE(I*x),x),x=-5..5);

104

(1.6)(1.6)

> >

> >

simplify(diff(EllipticE(I*x),x));

plot(simplify(diff(EllipticE(I*x),x)),x=-5..5);

105

106

> >

(1.2)(1.2)

> >

> >

(1.1)(1.1)

> >

Opgave 12.2 - Modellering af omdrejningskeglerestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:

Bestem med hjælp fra Maple den eksakte værdi af Etotal for en opretstående omdrejningskegle K som har højden h og bundradius r.

Vink: Dette grundlæggende resultat for omdrejningsflader er vi nødt til at finde ved elementær inspektion af de områder der skal integreres over på forskellige tidspunkter af dagen, med metoder svarende til de første opgaver.

V:=unapply( <0,-cos(t),-sin(t)> ,x,y,z):'V(x,y,z)'=V(x,y,z);

V x, y, z =

0

Kcos t

Ksin t

Udregning af formel for profilkurvenZ:=unapply(h-h/r*x,x,r,h);

Z := x, r, h /hKh xr

plot(Z(x,2,5),x=0..5,scaling=constrained);

107

> >

(1.3)(1.3)

> >

> >

x1 2 3 4 5

K6

K4

K2

0

2

4

Parametrisering af profilkurves:=unapply( < u*r, 0 , -h*u+h > ,u,h,r):'s(u,h,r)'=s(u,h,r);

s u, h, r =

u r

0

Kh uC h

Plottet for højde 2:spacecurve(s(u,2,1),u=0..1,labels=[x,y,z]);

108

> >

> >

> >

(1.5)(1.5)

(1.4)(1.4)

(1.6)(1.6)

> >

Vi finder Jacobifunktionen for profilkurven:Tangentvektors´:=unapply(diff~(s(u,h,r),u),u,h,r):'s´(u,h,r)'=s´(u,h,r);

s´ u, h, r =

r

0

Kh

Jacobifunktionensqrt(prik(s´(u,h,r),s´(u,h,r))):Jacobi:=simplify(%);

Jacobi := h2 C r2

Parametrisering af omdrejningskegler:=unapply( < u*r*cos(v) , u*r*sin(v) , -u*h+h > ,u,v,h,r):'r(u,v,h,r)'=r(u,v,h,r);

109

> >

(1.7)(1.7)

> >

> >

(1.6)(1.6)

> > > >

> >

r u, v, h, r =

u r cos v

u r sin v

Kh uC h

Hvor u 2 0, 1 og v 2 Kp, p og hr

= a.

rplot:=plot3d(r(u,v,3,1),u=0..1,v=-Pi..Pi,scaling=constrained,labels=[x,y,z],orientation=[20,80,0]):display(rplot);

ru:=diff~(r(u,v,h,r),u):rv:=diff~(r(u,v,h,r),v):n:=unapply(simplify(kryds(rv,ru)),u,v,h,r):'n(u,v,h,r)'=n(u,v,h,r);

n u, v, h, r =

Ku r cos v h

Ku r sin v h

Kr2 u

nplot:=VectorCalculus[PlotVector](n(1,Pi,2,2),color=red):display(rplot,nplot);

110

> >

(1.6)(1.6)

> >

> >

(1.8)(1.8)prik(V(x,y,z),n(u,v,h,r));

cos t u r sin v hC sin t r2 u

f:=(u,v,h,r,t)->(1.8):

Det blå område på figuren herunder indikerer positiv flux (indadgående flux), røde områder indikerer negativ flux (udadgående) som ikke skal regnes med.

grænseplot:=implicitplot(subs(r=1,h=2,u=0.5,cos(t)*u*r*sin(v)*h+sin(t)*r^2*u),v=-Pi..Pi,t=0..Pi,filled=true):display(grænseplot);

111

> >

(1.6)(1.6)

Plotter prikproduktet lig 0animate(plot3d,[[f(u,v,2,2,t),<u,v,0>],u=0..1,v=0..2*Pi,color=[red,green]],t=0..Pi,frames=50,orientation=[0,0,0]);

112

> >

(1.9)(1.9)

(1.6)(1.6)

(1.10)(1.10)

> >

t = 0.

Vi finder tidsgrænsen:tkritisk:=solve(prik(V(x,y,z),n(u,v,h,r))=0,t);

tkritisk := Karctanh sin vr

Vi finder det totale energioptag i løbet af en dag som funktion af højden og radius.

Vi integrerer (ud fra implicitplot ovenfor) fra det kritisk tidspunkt til p på

Etot =0

1

Kp

0

tkritisk

pprik V vop r u, v, h, r , n u, v, h, r dt dv duC

0

1

0

p

0

tkritiskC pprik V vop r u, v, h, r , n u, v, h, r

dt dv du

Etot = 2 r2 EllipticE Kh2

r2C r2 p

113

(1.13)(1.13)

> >

> >

(1.12)(1.12)

> >

(1.6)(1.6)

(1.11)(1.11)

Etot =0

1

Kp

0

tkritisk

pprik V x, y, z , n u, v, h, r dt dv duC

0

1

0

p

0

tkritiskC pprik V x, y, z ,

n u, v, h, r dt dv du

Etot = 2 r2 EllipticE Kh2

r2C r2 p

Etot:=unapply(2*r^2*EllipticE(sqrt(-h^2/r^2))+r^2*Pi,h,r);

Etot := h, r /2 r2 EllipticE Kh2

r2C r2 p

Etotf=factor(Etot(h,r));

Etotf = r2 pC 2 EllipticE Kh2

r2

Dette kan omskrives til følgende da h og r er reelle tal

Etot = r2 pC 2 EllipticE KhrI

Etot = r2 pC 2 EllipticE a I

114

> >

> >

(1.4)(1.4)

(1.5)(1.5)> >

(1.1)(1.1)> >

(1.3)(1.3)

> >

(1.2)(1.2)

> >

Opgave 10 - Solfangere som er omdrejningsfladerrestart;assume u T real : assume 0 ! u! 1 : interface showassumed = 0 ;

0

I denne opgave benyttes integralformlen til, at regne energioptaget gennem et omdrejningslegeme. Formlen defineresE:=(Z,a)->(int(2*u*(Pi+2*int(sqrt(1+diff(Z,u)**2*t**2)/sqrt(1-t**2), t=0..1,numeric=true)),u=0..a));

E := Z, a /

0

a

2 u pC 2 int1C

v

vu Z

2 t2

Kt2 C 1, t = 0 ..1, numeric = true du

Herefter bruges formlen til, at udregne energioptaget i kuglekalotten fra opgave 4.E(sqrt(1-u^2)-1/2,sqrt(3)/2);

0

12

3

2 u pC 2

0.

1.1.C

u2 t2

K1. u2 C 1.

K1. t2 C 1.dt du

evalf(%);5.125374706

Samme resultat som den manuelle metodeDet samme gøres nu for halvkuglen i opgave 4E(sqrt(1-u^2),0.999999);

8.070731703

Resultatet er ikke helt identisk med den manuelle metode, hvilket skyldes at flade ikke er differentiabel i1 og derfor, vælges der en græsen 'tæt' på 1. Derfor kommer der en lille afvigelse i energioptaget.

115

> >

> >

(2.1.1)(2.1.1)> >

(2.1.2)(2.1.2)

> >

> >

Opgave 11 - Nedadvendt omdrejningsparaboloiderestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;Curl(X) end proc:

En nedadvendt omdrejningsparabloide har toppunkt i (x, y, z) = (0, 0, h), og dens bundcirkel erpunktmængden x, y, z x2 C y2 = 1 og z = 0

a)Plot forholdet mellem solfangerens Etotal og dens overfladeareal som funktion højden h.

assume(u::real,x::real,a::real,t::real,tau::real,h::real,h>0,u>0,t>0,a>0);

Udregning af formel for profilkurven(x+1)*(x-1)*(-h);

K xC 1 xK 1 hZ:=unapply(h*(-x^2+1),x,h);

Z := x, h /h Kx2 C 1plot(Z(x,2),x=-1..1);

116

> >

(2.1.3)(2.1.3)

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

xK1 K0.5 0 0.5 1

0.5

1

1.5

2

Parametrisering af profilkurves:=unapply( < u, 0 , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h):'s(u,v,h)'=s(u,v,h);

s u, v, h =

u

0

K uC 1 uK 1 h

Parametrisering af paraboloider:=unapply( < u*cos(v) , u*sin(v) , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h):'r(u,v,h)'=r(u,v,h);

r u, v, h =

u cos v

u sin v

K uC 1 uK 1 h

hvor u 2 0 , 1 , v 2 0, 2 prplot:=plot3d(r(u,v,2),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained):display(rplot);

117

(2.1.6)(2.1.6)

> >

> >

> >

(2.1.5)(2.1.5)

> >

> >

(2.1.7)(2.1.7)

Vi beregner nu overfladearealet af fladen vha. fladeintegralet

Jacobifunktionb:=CrossProduct(diff~(r(u,v,h),u),diff~(r(u,v,h),v)):simplify(sqrt(b.b)) assuming u>0 and v>0 and h>0:Jacobi:=unapply(%,u,v,h);

Jacobi := u, v, h /u 4 h2 u2 C 1

Overfladeareal:

Ad unapply0

2$p

0

1Jacobi u, v, h du dv, h ;

A := h/23

4 h2 C 1 pC16

4 h2 C 1 ph2 K

16

ph2

Areal=factor(A(h));

Areal =16

p 4 h2 4 h2 C 1 C 4 h2 C 1 K 1

h2

118

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.1.8)(2.1.8)

plot(A(h),h=0..15);

h0 5 10 15

10

20

30

40

50

60

Det ses hvordan arealet vokser med stigende højde, som forventet. Integralformlen for Etotal defineres, som kun gælder for omdrejningslegemer.

Eformel:=(Z,a)->(int(2*u*(Pi+2*int(sqrt(1+diff(Z,u)**2*t**2)/sqrt(1-t**2), t=0..1,numeric=true)),u=0..a));

Eformel := Z, a /

0

a

2 u pC 2 int1C

v

vu Z

2 t2

Kt2 C 1, t = 0 ..1, numeric

= true du

Herefter defineres profilkurvenZ(u,h);

h Ku2 C 1(diff(Z(u,h),u))^2;

119

> >

(2.1.12)(2.1.12)

(2.1.11)(2.1.11)

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

> >

4 h2 u2

Integralet udregnesEformel(h*(-u^2+1),1);

0

12 u pC 2

0.

1.

4. h2 u2 t2 C 1.

K1. t2 C 1.dt du

Det bemærkes at maple ikke kan udregne integralet numerisk. Dette er heller ikke nødvendigt, da der bare skar laves et plot over energioptaget pr. arealenhed. Dette gøres med et 'sequenceplot', da hvert punkt i grafen kræver relativt meget regnekraft og en fuldstændig graf derfor vil tage meget lang tid at udregne. Nedenfor ses et sequenceplot for E som funktion af højden. Det stiger selvfølgelig bare mod det uendelige, idet en større overflade også vil betyde et større energioptag.E:=unapply(%,h);

E := h/

0

1

2 u pC 2 4. h2 u2 C 1. EllipticE2. u h

4. h2 u2 C 1.du

plot([seq]([j,E(j)],j=0.1..10,0.2),style=point,labels=['h',E]);

h1 2 3 4 5 6 7 8 9

E

10

15

20

25

Herefter laves et sequenceplot over energioptaget som brøkdel af arealet som funktion af højden af

120

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> > omdrejningsfladen:plot([seq]([j,E(j)/A(j)],j=0.1..10,0.2),style=point,view=0..2,labels=['h',E/A]);

h1 2 3 4 5 6 7 8 9

EA

0

0.5

1

1.5

2

Energioptaget pr. areal er højest når højden er lavest

b)

En cylinder med rumfang p2

ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel på (x, y)-

planen, mens dens topcirkel rører paraboloiden hele vejen rundt. Bestem parabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at parabloiden opnår maksimalt Etotal pr. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi.

Om cylinder med rumfang

121

(2.2.1)(2.2.1)

> >

(2.2.3)(2.2.3)

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

(2.2.2)(2.2.2)

p2

, højde h og radius r gælder følgende ud fra volumenformlen for en

cylinderVolumenet for den her givne cylinder er givet ud fra parametriseringen af paraboloiden.

Paraboloiden er parametriseret ved'r(u,v,h)'=r(u,v,h);

r u, v, h =

u cos v

u sin v

K uC 1 uK 1 h

ProfilkurvenZ(u,h);

h Ku2 C 1

Den generelle formel for en cylinders volumen opstilles

r2hcylp = V

Dette sættes nu lig p2

som er cylinderens volumen

r2hcylp =p2

5 r2hcyl =12

Vi substituerer r = a og at højden af cylinderen skal være lig med højden af paraboloiden når u = a, dvs hcyl = h Ka2 C 1 .

a2h Ka2 C 1 =12

Herudfra udtrykkes højden som funktion af radius

h =1

2 a2 1K a2

Herefter plottes højden som funktion af radius, hvor et ekstremumspunkt er tydeligt

hd1

2 a2$ 1K a2 ;

h :=1

2 a2 Ka2 C 1plot(h,a=0..4);

122

> >

(2.2.4)(2.2.4)

> >

> >

(2.2.5)(2.2.5)

(2.1.10)(2.1.10)

a1 2 3 4

0

10

20

30

Der differentieres nu mht. radius. Sættes dette udtryk lig nul findes der hvor tilvæksten af ha

er nul

og dermed et ekstremum (optimal).h´:=diff(h,a);

h´ := K1

a3 Ka2 C 1C

1

a Ka2 C 12

Det fremkomne udtryk for den afledte højde kan altså bruges til at finde den radius som giver højestmuligt energioptag. (Energioptaget pr. areal er højest når højden er lavest). Dermed findes den radius der hører til den laveste højde.solve(h´=0,a);

Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables.

12

2 , K12

2

Dette er den optimale radius af cylinderen.

a =12

2

123

> >

> >

(2.2.9)(2.2.9)

> >

> >

> >

> >

(2.2.8)(2.2.8)

> >

> >

> >

(2.2.6)(2.2.6)

(2.2.10)(2.2.10)

(2.2.7)(2.2.7)

> >

> >

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

a:=1/2*sqrt(2):

Nu kan højden af paraboloiden bestemmes ud fra h =1

2 a2$ 1K a2

h:=1/(2*a^2*(-a^2+1));h := 2

Der fås at højden af cylinderen skal være lig med højden af paraboloiden i den uKværdi der er radius af cylinderen, a, dvs:'h[c]'=h*(-a^2+1);

hc = 1

Det totale energioptag på en dag for en paraboloide med højde 2 erevalf(E(2));

9.622964151

Arealet af paraboloiden erA(2);

1724

17 pK1

24 p

Energioptaget pr. areal for denne optimale paraboloide er'E/A'=evalf(E(2)/A(2));

EA

= 1.063989816

restart:with(plots):Resultatet plottes:r:=unapply( < u*a*cos(v) , u*a*sin(v) , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h,a):'r(u,v,h,a)'=r(u,v,h,a):c:=unapply( < a*cos(v) , a*sin(v) , u*h > ,u,v,h,a):'c(u,v,h,a)'=c(u,v,h,a):rplot:=plot3d(r(u,v,2,1),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained,transparency=0.5,color=blue):cplot:=plot3d(c(u,v,1,(1/2)*sqrt(2)),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained,color=green,labels=[x,y,z],orientation=[105,80,0]):display(rplot,cplot);

124

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

125

> >

> >

(2.1.1)(2.1.1)> >

(2.1.2)(2.1.2)

> >

> >

Opgave 11 - Nedadvendt omdrejningsparaboloiderestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;Curl(X) end proc:

En nedadvendt omdrejningsparabloide har toppunkt i (x, y, z) = (0, 0, h), og dens bundcirkel erpunktmængden x, y, z x2 C y2 = 1 og z = 0

a)Plot forholdet mellem solfangerens Etotal og dens overfladeareal som funktion højden h.

assume(u::real,x::real,a::real,t::real,tau::real,h::real,h>0,u>0,t>0,a>0);

Udregning af formel for profilkurven(x+1)*(x-1)*(-h);

K xC 1 xK 1 hZ:=unapply(h*(-x^2+1),x,h);

Z := x, h /h Kx2 C 1plot(Z(x,2),x=-1..1);

126

> >

(2.1.3)(2.1.3)

> >

> >

> >

(2.1.4)(2.1.4)

> >

xK1 K0.5 0 0.5 1

0.5

1

1.5

2

Parametrisering af profilkurves:=unapply( < u, 0 , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h):'s(u,v,h)'=s(u,v,h);

s u, v, h =

u

0

K uC 1 uK 1 h

Parametrisering af paraboloider:=unapply( < u*cos(v) , u*sin(v) , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h):'r(u,v,h)'=r(u,v,h);

r u, v, h =

u cos v

u sin v

K uC 1 uK 1 h

hvor u 2 0 , 1 , v 2 0, 2 prplot:=plot3d(r(u,v,2),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained):display(rplot);

127

(2.1.6)(2.1.6)

> >

> >

> >

(2.1.5)(2.1.5)

> >

> >

(2.1.7)(2.1.7)

Vi beregner nu overfladearealet af fladen vha. fladeintegralet

Jacobifunktionb:=CrossProduct(diff~(r(u,v,h),u),diff~(r(u,v,h),v)):simplify(sqrt(b.b)) assuming u>0 and v>0 and h>0:Jacobi:=unapply(%,u,v,h);

Jacobi := u, v, h /u 4 h2 u2 C 1

Overfladeareal:

Ad unapply0

2$p

0

1Jacobi u, v, h du dv, h ;

A := h/23

4 h2 C 1 pC16

4 h2 C 1 ph2 K

16

ph2

Areal=factor(A(h));

Areal =16

p 4 h2 4 h2 C 1 C 4 h2 C 1 K 1

h2

128

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

(2.1.9)(2.1.9)

> >

(2.1.8)(2.1.8)

plot(A(h),h=0..15);

h0 5 10 15

10

20

30

40

50

60

Det ses hvordan arealet vokser med stigende højde, som forventet. Integralformlen for Etotal defineres, som kun gælder for omdrejningslegemer.

Eformel:=(Z,a)->(int(2*u*(Pi+2*int(sqrt(1+diff(Z,u)**2*t**2)/sqrt(1-t**2), t=0..1,numeric=true)),u=0..a));

Eformel := Z, a /

0

a

2 u pC 2 int1C

v

vu Z

2 t2

Kt2 C 1, t = 0 ..1, numeric

= true du

Herefter defineres profilkurvenZ(u,h);

h Ku2 C 1(diff(Z(u,h),u))^2;

129

> >

(2.1.12)(2.1.12)

(2.1.11)(2.1.11)

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

> >

4 h2 u2

Integralet udregnesEformel(h*(-u^2+1),1);

0

12 u pC 2

0.

1.

4. h2 u2 t2 C 1.

K1. t2 C 1.dt du

Det bemærkes at maple ikke kan udregne integralet numerisk. Dette er heller ikke nødvendigt, da der bare skar laves et plot over energioptaget pr. arealenhed. Dette gøres med et 'sequenceplot', da hvert punkt i grafen kræver relativt meget regnekraft og en fuldstændig graf derfor vil tage meget lang tid at udregne. Nedenfor ses et sequenceplot for E som funktion af højden. Det stiger selvfølgelig bare mod det uendelige, idet en større overflade også vil betyde et større energioptag.E:=unapply(%,h);

E := h/

0

1

2 u pC 2 4. h2 u2 C 1. EllipticE2. u h

4. h2 u2 C 1.du

plot([seq]([j,E(j)],j=0.1..10,0.2),style=point,labels=['h',E]);

h1 2 3 4 5 6 7 8 9

E

10

15

20

25

Herefter laves et sequenceplot over energioptaget som brøkdel af arealet som funktion af højden af

130

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> > omdrejningsfladen:plot([seq]([j,E(j)/A(j)],j=0.1..10,0.2),style=point,view=0..2,labels=['h',E/A]);

h1 2 3 4 5 6 7 8 9

EA

0

0.5

1

1.5

2

Energioptaget pr. areal er højest når højden er lavest

b)

En cylinder med rumfang p2

ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel på (x, y)-

planen, mens dens topcirkel rører paraboloiden hele vejen rundt. Bestem parabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at parabloiden opnår maksimalt Etotal pr. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi.

Om cylinder med rumfang

131

(2.2.1)(2.2.1)

> >

(2.2.3)(2.2.3)

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

(2.2.2)(2.2.2)

p2

, højde h og radius r gælder følgende ud fra volumenformlen for en

cylinderVolumenet for den her givne cylinder er givet ud fra parametriseringen af paraboloiden.

Paraboloiden er parametriseret ved'r(u,v,h)'=r(u,v,h);

r u, v, h =

u cos v

u sin v

K uC 1 uK 1 h

ProfilkurvenZ(u,h);

h Ku2 C 1

Den generelle formel for en cylinders volumen opstilles

r2hcylp = V

Dette sættes nu lig p2

som er cylinderens volumen

r2hcylp =p2

5 r2hcyl =12

Vi substituerer r = a og at højden af cylinderen skal være lig med højden af paraboloiden når u = a, dvs hcyl = h Ka2 C 1 .

a2h Ka2 C 1 =12

Herudfra udtrykkes højden som funktion af radius

h =1

2 a2 1K a2

Herefter plottes højden som funktion af radius, hvor et ekstremumspunkt er tydeligt

hd1

2 a2$ 1K a2 ;

h :=1

2 a2 Ka2 C 1plot(h,a=0..4);

132

> >

(2.2.4)(2.2.4)

> >

> >

(2.2.5)(2.2.5)

(2.1.10)(2.1.10)

a1 2 3 4

0

10

20

30

Der differentieres nu mht. radius. Sættes dette udtryk lig nul findes der hvor tilvæksten af ha

er nul

og dermed et ekstremum (optimal).h´:=diff(h,a);

h´ := K1

a3 Ka2 C 1C

1

a Ka2 C 12

Det fremkomne udtryk for den afledte højde kan altså bruges til at finde den radius som giver højestmuligt energioptag. (Energioptaget pr. areal er højest når højden er lavest). Dermed findes den radius der hører til den laveste højde.solve(h´=0,a);

Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables.

12

2 , K12

2

Dette er den optimale radius af cylinderen.

a =12

2

133

> >

> >

(2.2.9)(2.2.9)

> >

> >

> >

> >

(2.2.8)(2.2.8)

> >

> >

> >

(2.2.6)(2.2.6)

(2.2.10)(2.2.10)

(2.2.7)(2.2.7)

> >

> >

> >

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

> >

a:=1/2*sqrt(2):

Nu kan højden af paraboloiden bestemmes ud fra h =1

2 a2$ 1K a2

h:=1/(2*a^2*(-a^2+1));h := 2

Der fås at højden af cylinderen skal være lig med højden af paraboloiden i den uKværdi der er radius af cylinderen, a, dvs:'h[c]'=h*(-a^2+1);

hc = 1

Det totale energioptag på en dag for en paraboloide med højde 2 erevalf(E(2));

9.622964151

Arealet af paraboloiden erA(2);

1724

17 pK1

24 p

Energioptaget pr. areal for denne optimale paraboloide er'E/A'=evalf(E(2)/A(2));

EA

= 1.063989816

restart:with(plots):Resultatet plottes:r:=unapply( < u*a*cos(v) , u*a*sin(v) , -(u+1)*(u-1)*h > ,u,v,h,a):'r(u,v,h,a)'=r(u,v,h,a):c:=unapply( < a*cos(v) , a*sin(v) , u*h > ,u,v,h,a):'c(u,v,h,a)'=c(u,v,h,a):rplot:=plot3d(r(u,v,2,1),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained,transparency=0.5,color=blue):cplot:=plot3d(c(u,v,1,(1/2)*sqrt(2)),u=0..1,v=0..2*Pi,scaling=constrained,color=green,labels=[x,y,z],orientation=[105,80,0]):display(rplot,cplot);

134

> >

> >

(2.1.10)(2.1.10)

135

> >

> >

(1.1)(1.1)

> >

> >

> >

(1.3)(1.3)

> >

(1.4)(1.4)

> >

> >

(1.2)(1.2)

(1.5)(1.5)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

Opgave 14 - Modellering af lukkede konvekse solfangererestart;rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:with(plots): with(LinearAlgebra): with(VectorCalculus): BasisFormat(false):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):

re:=<sin(u)*cos(v),2*sin(u)*sin(v),cos(u)+4>:'re(u,v)'=re;

re u, v =

sin u cos v

2 sin u sin v

cos u C 4

rb:=<cos(v)*sin(u),2*sin(v)*sin(u),4>:'rb(v,u)'=rb;

rb v, u =

sin u cos v

2 sin u sin v

4

solvektorfelt:=<0,-cos(t),-sin(t)>;

solvektorfelt :=

0

Kcos t

Ksin t

projre:=re-(solvektorfelt.re)*solvektorfelt assuming t>0;

projre :=

sin u cos v

2 sin u sin v C K2 cos t sin u sin v K sin t cos u C 4 cos t

cos u C 4C K2 cos t sin u sin v K sin t cos u C 4 sin t

projrb:=rb-(solvektorfelt.rb)*solvektorfelt assuming t>0;

projrb :=

sin u cos v

2 sin u sin v C K2 cos t sin u sin v K 4 sin t cos t

4C K2 cos t sin u sin v K 4 sin t sin t

plot1:=plot3d(re,rb,u=0..Pi/2,v=-Pi..Pi):plot2:=plot3d(subs(t=Pi/6,projre), subs(t=Pi/6,projrb),u=0..Pi/2,v=-Pi..Pi):

136

(1.8)(1.8)

> >

(1.7)(1.7)

> >

> >

(1.6)(1.6)

> >

> >

alfa:=implicitplot3d(-cos(Pi/6)*y-sin(Pi/6)*z=0,x=-2..2,y=-4..2,z=0..5,scaling=constrained,colour=white,style=surface):

display(plot1,plot2,alfa,scaling=constrained);

n1:=simplify(kryds((diff~(projre,u),(diff~(projre,v)))));

n1 :=

0

sin u cos t cos t sin u sin v C 2 sin t cos u

sin u sin u cos t sin v sin t K 2 cos t 2 cos u C 2 cos u

Jacobi1:=simplify(sqrt(prik(n1,n1))) assuming 0<u,u<Pi/2;Jacobi1 :=

sin u cos u 2 cos v 2 cos t 2 C 4 sin u cos u cos t sin v sin t

K 5 cos u 2 cos t 2 K cos v 2 cos t 2 C 4 cos u 2 C cos t 2 1/2

n2:=kryds((diff~(projrb,u),(diff~(projrb,v))));

n2 := K2 2 cos u sin v K 2 cos t 2 cos u sin v cos t sin u cos v sin t

137

(1.8)(1.8)

> >

> >

(1.10)(1.10)

> > > >

(1.9)(1.9)

C 2 cos t cos u sin v sin t 2 sin u cos v K 2 cos t 2 sin u cos v ,

2 cos u cos v 2 cos t sin u sin t C 2 sin v 2 sin u cos t sin t cos u ,

cos u cos v 2 sin u cos v K 2 cos t 2 sin u cos v C 2 cos u sin v

K 2 cos t 2 cos u sin v sin u sin v

Jacobi2:=simplify(sqrt(prik(n2,n2))) assuming 0<u,u<Pi/2,0<t,t<Pi;

Jacobi2 := 2 cos u sin u sin t

Digits:=4:E:=1/2*Int(Int(abs(Jacobi1)+abs(Jacobi2),u=0..Pi/2),v=-Pi..Pi);

E :=12

Kp

p

0

12

p

sin u cos u 2 cos v 2 cos t 2 C 4 sin u cos u cos t sin v sin t

K 5 cos u 2 cos t 2 K cos v 2 cos t 2 C 4 cos u 2 C cos t 2 1/2

C 2 cos u sin u sin t du dv

plot E, t = 0 ..p, view = 0 ..7, labels = 't ', typeset B 'C' t ;

138

(1.8)(1.8)

> > (1.11)(1.11)

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

B C t

0

1

2

3

4

5

6

7

evalf(Int(E,t=0..Pi));13.89

139

> >

> >

> >

(1.2)(1.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.4)(1.4)

> > > >

> >

> >

(1.3)(1.3)

> >

> >

> >

(1.1)(1.1)

Opgave 15 - Modellering af lukkede konvekse solfangererestart;rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:with(plots): with(LinearAlgebra): kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):interface(showassumed=0):

assume(u>-1, u<1, w>0, w<1, t>0, t<Pi/2, s>0, s<Pi/2, u::real, w::real, v::real, s::real):

alfaplan:= cos(t)*y-sin(t)*z:

alfaplanrot:= unapply(-sin(s)*cos(t)*x-cos(s)*cos(t)*y-sin(t)*z,s,t):

rbund:=<u,v,4>:'rbund'=rbund;

rbund =

u

v

4

rtop:=<u,v,-u^2+5>:'rtop'=rtop;

rtop =

u

v

Ku2 C 5

rgavl1:=<u,1,w*(-u^2+1)+4>:'rgavl1'=rgavl1;

rgavl1 =

u

1

w Ku2 C 1 C 4

rgavl2:=<u,-1,w*(-u^2+1)+4>:'rgavl2'=rgavl2;

rgavl2 =

u

K1

w Ku2 C 1 C 4

solvektorfelt:=unapply(<0,-cos(t),-sin(t)>,t):

140

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(1.5)(1.5)

> >

> >

> >

Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(s) , sin(s) , 0 ], [ -sin(s) , cos(s) , 0 ], [ 0 , 0 , 1 ] ]):

Rotationsmatrix.solvektorfelt(t): solroteret:=unapply(%,s,t):'solroteret(s,t)'=solroteret(s,t);

solroteret s, t =

Ksin s cos t

Kcos s cos t

Ksin t

projbund:=rbund-(solroteret(s,t).rbund)*solroteret(s,t) assuming t>0:projtop:=rtop-(solroteret(s,t).rtop)*solroteret(s,t) assuming t>0:projgavl1:=rgavl1-(solroteret(s,t).rgavl1)*solroteret(s,t) assuming t>0:projgavl2:=rgavl2-(solroteret(s,t).rgavl2)*solroteret(s,t) assuming t>0:

plot1:=plot3d(subs(t=Pi/5,s=Pi/3,rbund), subs(t=Pi/5,s=Pi/3,rtop),u=-1..1,v=-1..1):plot2:=plot3d(subs(t=Pi/5,s=Pi/3,rgavl1), subs(t=Pi/5,s=Pi/3,rgavl2),u=-1..1,w=0..1):plot3:=plot3d(subs(t=Pi/5,s=Pi/3,projbund), subs(t=Pi/5,s=Pi/3,projtop),u=-1..1,v=-1..1,style=patch,color=black):plot4:=plot3d(subs(t=Pi/5,s=Pi/3,projgavl1), subs(t=Pi/5,s=Pi/3,projgavl2),u=-1..1,w=0..1,style=patch,color=black):

alfa:=implicitplot3d(alfaplanrot(Pi/3,Pi/5)=0,x=-4..0,y=-2.3..1.1,z=1..5,scaling=constrained,colour=grey,style=surface):

display(plot1,plot2,plot3,plot4,alfa,scaling=constrained);

141

> >

> >

> >

(1.7)(1.7)

> >

(1.8)(1.8)

> >

> >

> >

(1.9)(1.9)

> >

(1.6)(1.6)> >

Nbund:=simplify(kryds((diff~(projbund,u),(diff~(projbund,v))))):Ntop:=simplify(kryds((diff~(projtop,u),(diff~(projtop,v))))):Ngavl1:=simplify(kryds((diff~(projgavl1,u),(diff~(projgavl1,w))))):Ngavl2:=simplify(kryds((diff~(projgavl2,u),(diff~(projgavl2,w))))):

Jacobi1:=simplify(sqrt(prik(Nbund,Nbund)));Jacobi1 := sin t

Jacobi2:=simplify(sqrt(prik(Ntop,Ntop)));Jacobi2 :=

K4 cos s 2 cos t 2 u2 C 4 sin s sin t cos t uC 4 cos t 2 u2 K cos t 2 C 1Jacobi3:=simplify(sqrt(prik(Ngavl1,Ngavl1)));

Jacobi3 := Kcos s cos t u2 K 1Jacobi4:=simplify(sqrt(prik(Ngavl2,Ngavl2)));

Jacobi4 := Kcos s cos t u2 K 1

142

(1.10)(1.10)

> >

(1.11)(1.11)

> >

> >

> >

Flux:=unapply((int(int(Jacobi1+Jacobi2,u=-1..1),v=-1..1)+int(int(Jacobi3+Jacobi4,u=-1..1),w=0..1)),s,t);

Flux := s, t /K12

1

cos t cos s 2 K 1

K2 cos t cos s 2 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

K 8 cos s 2 sin t cos t

K 2 cos t cos s 2 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C sin s sin t 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

K sin s sin t 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C 2 cos t 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C 8 sin t cos t

C 2 cos t 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C83

cos s cos t

Ed s/evalf Int Flux s, t , t = 0 ..Pi2

, digits = 5 ;

E := s/evalf Int Flux s, t , t = 0 ..12

p, digits = 5

plot([seq]([j,E(j)],j=0.1..3.1415/2,0.01),labels=['s','E']);

143

(1.10)(1.10)

> >

> >

(1.12)(1.12)

> >

s0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

E

10

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

Undersøgelse af solfanger fra opgave tre Her betragtes ovenstående solfanger uden gavleFlux1:=unapply(int(int(Jacobi1+Jacobi2,u=-1..1),v=-1..1),s,t);

Flux1 := s, t /K12

1

cos t cos s 2 K 1

K2 cos t cos s 2 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

K 8 cos s 2 sin t cos t

K 2 cos t cos s 2 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C sin s sin t 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

K sin s sin t 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C 2 cos t 1C 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

C 8 sin t cos t

C 2 cos t 1K 4 sin s cos t sin t K 4 cos s 2 cos t 2 C 3 cos t 2

144

> >

(1.13)(1.13)

(1.10)(1.10)

> >

> >

> >

E1d s/evalf Int Flux1 s, t , t = 0 ..Pi2

, digits = 5 ;

E1 := s/evalf Int Flux1 s, t , t = 0 ..12

p, digits = 5

plot([seq]([j,E1(j)],j=0.1..3.1415/2,0.01),labels=['s','E[tot]']);

s0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Etot

8.2

8.4

8.6

8.8

9.0

9.2

9.4

9.6

9.8

Dette er det samme totale energioptag som for solfangeren i opgave 3

145

> >

> >

> >

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

> >

(16.1.2)(16.1.2)

(16.1.1)(16.1.1)

Opgave 17 - Reuleaux Trekantrestart:with(plots):with(LinearAlgebra):prik:=(x,y)->VectorCalculus[DotProduct](x,y):kryds:=(x,y)->convert(VectorCalculus[CrossProduct](x,y),Vector):vop:=proc(X) op(convert(X,list)) end proc:grad:=(X,Y)->convert(linalg[grad](X,Y),Vector[column]):div:=V->VectorCalculus[Divergence](V):rot:=proc(X) uses VectorCalculus;BasisFormat(false);Curl(X) end proc:

1. Reuleaux trekantens skyggelinje i planenGør rede for at trekantens skygge på en ret linje som er vinkelret på det plane solvektorfelt, er konstant.

Vi har følgende for en Reuleaux Trekant

r1 = r2 = r3 = 2

C1 = K1, 0

C2 = 0, 3C3 = 0, 1

Da trekantens sider er dele af cirkelskiverne p3

for tre cirkler med centrum i trekantens hjørner

vil diameteren i trekanten være cirklernes diameter alle steder.

c1:=unapply( < 2*cos(u)-1,2*sin(u) > ,u):'c1(u)'=c1(u);

c1 u =2 cos u K 1

2 sin u

hvor u 2 0,p3

c2:=unapply( < 2*cos(u)+1,2*sin(u) > ,u):'c2(u)'=c2(u);

c2 u =2 cos u C 1

2 sin u

hvor u 22 p3

, p

c3:=unapply( < 2*cos(u),2*sin(u)+sqrt(3) > ,u):

146

> >

> >

> >

> >

(16.1.4)(16.1.4)

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

> >

> >

> > 'c3(u)'=c3(u);

c3 u =2 cos u

2 sin u C 3

hvor u 24 p3

,5 p3

c1plot:=plot([c1(u)[1],c1(u)[2],u=0..Pi/3],scaling=constrained,color=blue):c2plot:=plot([c2(u)[1],c1(u)[2],u=2*Pi/3..Pi],scaling=constrained,color=green):c3plot:=plot([c3(u)[1],c3(u)[2],u=4*Pi/3..5*Pi/3],scaling=constrained,color=red):cplot:=[c1plot,c2plot,c3plot]:display(cplot);

K1 K0.5 0 0.5 1

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

s:=unapply( < 2*u-1,0 > ,u):'s(u)'=s(u);

s u =2 uK 1

0

splot:=plot([s(u)[1],s(u)[2],u=0..1],scaling=constrained,color=

147

> >

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.1.5)(16.1.5)

> >

> >

> >

red):display(c1plot,c2plot,c3plot,splot);

K1 K0.5 0 0.5 1

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

s:=unapply( < (2*u-1), (u+1)*sin(v)> ,u,v):'s(u,v)'=s(u,v);

s u, v =2 uK 1

uC 1 sin v

animate(plot,[[s(u,v)[1],s(u,v)[2],u=0..1]], v=0..1, frames = 50, background = cplot);

148

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

> >

> >

> >

(16.2.1)(16.2.1)

K1 K0.5 0 0.5 1

K0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

v = 0.

2. Parametriseringer for Reuleaux trekantBetragt den kurve K som den højre halvdel af Reuleaux trekanten består af. Opstil en parameterfremstilling for hver af de to dele som udgør K.

c1:=unapply( < u,0,sqrt(4-(1+u)^2) > ,u):'c1(u)'=c1(u);

c1 u =

u

0

4K uC 1 2

hvor u 2 0, 1

c2:=unapply( < u,0,sqrt(3)-sqrt((u+2)*(-u+2)) > ,u):'c2(u)'=c2(u);

149

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

(16.1.3)(16.1.3)

> > > >

> >

> >

c2 u =

u

0

3 K uC 2 KuC 2

hvor u 2 0, 1

s:='s':c1plotd plot c1 u 1 , c1 u 3 , u = 0 ..1 , scaling = constrained, color = blue, legend

= typeset sside u :c2plotd plot c2 u 1 , c2 u 3 , u = 0 ..1 , scaling = constrained, color = green,

legend = typeset sbund u :display(c1plot,c2plot);

sside u sbund u

0.2 0.4 0.6 0.8 1

K0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

3. Reuleaux som rumlig omdrejningsfladeLad R betegne det omdrejningslegeme der opstår ved drejning af K omkring z-aksen.Overvej om R har konstant bredde, dvs: Hvis R placeres mellem to parallelle tangentplaner, er

150

(16.3.2)(16.3.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(16.3.3)(16.3.3)

(16.2.2)(16.2.2)

(16.1.3)(16.1.3)

> >

(16.3.1)(16.3.1)

> >

afstanden mellem tangentplanerne da den samme uanset hvilket sæt af parallelle tangentplaner der er valgt?Rotationsmatrix:=Matrix([ [ cos(v) , -sin(v) , 0 ], [ sin(v) , cos(v) , 0 ], [ 0 , 0 , 1 ] ]);

Rotationsmatrix :=

cos v Ksin v 0

sin v cos v 0

0 0 1

c1d:=unapply(Rotationsmatrix.c1(u),u,v): 'c1d(u,v)'=c1d(u,v);

c1d u, v =

cos v u

sin v u

4K uC 1 2

c2d:=unapply(Rotationsmatrix.c2(u),u,v): 'c2d(u,v)'=c2d(u,v);

c2d u, v =

cos v u

sin v u

3 K uC 2 KuC 2

Hvor u 2 0, 1 og v 2 0, 2 p

c1dplot:=plot3d(c1d(u,v),u=0..1,v=0..2*Pi,labels=[x,y,z],orientation=[-150,80,0]):c2dplot:=plot3d(c2d(u,v),u=0..1,v=0..2*Pi):display(c1dplot,c2dplot);

151

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

> > > >

> >

> >

4. Reuleaux Trekantens energioptag som funktion af tidenArealet Reuleaux Trekantens projektion ned på fladen a (som er konstant vinkelret på solvektorfeltet), dvs. arealet af Reuleaux Trekantens skygge er fluxen gennem fladen til det tidspunkt. Ved at integrere dette op over dagens længde fås det totale energioptag.

Initialiseringrestart:with(LinearAlgebra):with(plots):diffvecdproc vec, var : return diff vec 1 , var , diff vec 2 , var , diff vec 3 , var : end proc:interface showassumed = 0 :

assume u T real, vT real, tT real, uO 0, u! 1, 0 ! t!p2

:

VektorfeltVd 0,Kcos t ,Ksin t :

152

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

(16.4.1)(16.4.1)

(16.1.3)(16.1.3)

> >

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

Parametriseringer

r1d u, v / u$cos v , u$sin v , 4K uC 1 2 :

r2d u, v / u$cos v , u$sin v , 3 K 4K u2 :

Projektioner på fladen aproj1d u, v, t / r1 u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C r1 u, v . 0, sin t ,Kcos t $ 0,

sin t ,Kcos t :proj2d u, v, t / r2 u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C r2 u, v . 0, sin t ,Kcos t $ 0,

sin t ,Kcos t :

Normalvektorer for projektioner (skygger)N1d u, v, t /diffvec proj1 u, v, t , u # diffvec proj1 u, v, t , v :N2d u, v, t /diffvec proj2 u, v, t , u # diffvec proj2 u, v, t , v :

Jacobifunktioner for projektioner

J1d u, v, t /simplify N1 u, v, t .N1 u, v, t :

J2d u, v, t /simplify N2 u, v, t .N2 u, v, t :

Analytisk funktion til bestemmelse af energioptag (indadgående flux/areal af fladen)

Eanad t/12$

0

1

0

2$p

J1 u, v, t C J2 u, v, t dv du :

Bestemmelse af energioptag for bestemte værdier af t til sammenligning med Reuleaux trekant og cirkel:

Når tiden er t =p2

fås at Reuleaux trekantens profil er en cirkel og vi forventer arealet π.

Når tiden er t = 0 fås en Reuleaux trekant og arealet forventes at være 12

pK 3 s2 hvor s = 2

for den pågældende trekant. Dvs. arealet forventes at være 12

pK 3 $22 =K2 3 C 2 p. Der

fås følgende med modellen:

'E 0 '= Eana 0 ;'Ep2

'= Eanap2

;

E 0 = K2 3 C 2 p

E12

p = p

Parametriseringernes Jacobifunktioner opskrives og evalueres:'J1(u,v,t)'=J1(u,v,t);'J2(u,v,t)'=abs(J2(u,v,t));

153

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

J1 u, v, t =u sin v cos t uC sin v cos t C sin t Ku2 K 2 uC 3

Ku2 K 2 uC 3J2 u, v, t

=u Kcos v 2 sin t Ku2 C 4 K sin v 2 Ku2 C 4 sin t C sin v cos t u

Ku2 C 4

Det ses, at Jacobifunktionen for flade 2 kan forsimples vha. idiot reglen sin2 v C cos2 v = 1 således, at der kan skrives følgende

J2 u, v, t =u$ sin v $u$cos t K sin t $ 4K u2

4K u2

Der opstilles en numerisk funktion til plotning, da den analytisk funktion kun har løsninger for bestemte t.

Ed t/ evalf 0.5$Int Int

u$ sin t $ 3K u2 K 2 u C sin v $cos t $uC sin v $cos t

3K u2 K 2 u

Cu$ sin v $u$cos t K sin t $ 4K u2

4K u2, v = 0 ..2 p, digits = 4 , u = 0 ..1, digits

= 4 :

Nu plottes energioptaget som funktion af tiden for en Reuleauxtrekant placeret som vist i plottet ovenfor (dvs. ikke-roteret / med symmetriakse parallel med z-aksen).

E-værdier:Exværdier1:=[seq](E(j),j=0..3.1,0.01):

Tilhørende t-værdiertxværdier1:=[seq](j,j=0..3.1,0.01):

Energioptag som funktion af tidenP1x:=plot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nops(Exværdier1)),x=0..Pi,y=2.8..3.2,thickness=2,color=blue,labels=['t','E'],legend=[Energioptag]):display(P1x);

154

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

Energioptag

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

E

2.8

2.9

3

3.1

3.2

Energioptaget for fladen ændrer sig en smule over dagen.

5. Rotation af Reuleaux Trekant omkring x-akse og y-akse parallelle akserAntag at vi ændrer R’s position ved at dreje den en vilkårlig vinkel omkring en akse parallel med x-aksen. Vil Etotal for R da være uændret? Samme spørgsmål hvis vi drejer omkring en akse parallel med y-aksen.assume(theta::real):assume(phi::real):

Definition af rotationsmatricerRx:=theta -> <1,0,0|0,cos(theta),sin(theta)|0,-sin(theta),cos(theta)>:Ry:=theta -> <cos(theta),0,-sin(theta)|0,1,0|sin(theta),0,cos(theta)>:

Rotation og projektion af parameterfremstillinger

155

> > > >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

projrot1d u, v, t, q, f / Ry f .Rx q .r1 u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C Ry f.Rx q .r1 u, v . 0, sin t ,Kcos t $ 0, sin t ,Kcos t : projrot1 u, v, t, q, f :

projrot2d u, v, t, q, f / Ry f .Rx q .r2 u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C Ry f.Rx q .r2 u, v . 0, sin t ,Kcos t $ 0, sin t ,Kcos t :

Definition af NormalvektorerNrot1d unapply diffvec projrot1 u, v, t, q, f , u # diffvec projrot1 u, v, t, q, f , v ,

u, v, t, q, f : Nrot1 u, v, t, q, f :Nrot2d unapply diffvec projrot2 u, v, t, q, f , u # diffvec projrot2 u, v, t, q, f , v ,

u, v, t, q, f :

Definition af Jacobifunktioner

Jrot1d u, v, t, q, f / Nrot1 u, v, t, q, f .Nrot1 u, v, t, q, f : Jrot1 u, v, t, q, f :

Jrot2d u, v, t, q, f / Nrot2 u, v, t, q, f .Nrot2 u, v, t, q, f :

Energioptaget til et tidspunkt og det totale energioptag i løbet af en dag defineres som funktionerErotd q, f, t / evalf 0.5$Int Int simplify Jrot1 u, v, t, q, f C

simplify Jrot2 u, v, t, q, f , v = 0 ..2$p, digits = 4 , u = 0 ..1, digits = 4 :Etotrotd q, f /evalf Int 0.5$Int Int simplify Jrot1 u, v, t, q, f

C simplify Jrot2 u, v, t, q, f , v = 0 ..2$p, digits = 4 , u = 0 ..1, digits = 4 , t = 0..p, digits = 4 :

Rotation omkring x-aksen

Værdier for rotation omkring x-aksen med q =p6

Exværdier2:=[seq](Erot(Pi/6,0,j),j=0..4.5,0.03):txværdier2:=[seq](j,j=0..4.5,0.03):P2x:=plot([seq]([txværdier2[j],Exværdier2[j]],j=1..nops(Exværdier2)),x=0..3.5,y=2.7..3.2,color=blue,thickness=2,color=red,labels=['t','E'],legend = [theta=Pi/6]):

(Nye værdier til tilpasset plot af drejning q = 0, så graferne har samme grænser)Exværdier3:=[seq](E(j),j=0..4.5,0.01):txværdier3:=[seq](j,j=0..4.5,0.01):P3x:=plot([seq]([txværdier3[j],Exværdier3[j]],j=1..nops(Exværdier3)),x=0..Pi,y=2.8..3.2,thickness=2,color=blue,labels=['t','E'],legend = [theta=0]):

Display af plottene:display(P3x,P2x);

156

> > > >

> > > >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

q = 0 q = 16

p

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

E

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

Det ses her hvordan en rotation omkring x-aksen blot medfører en forskydning af grafen for energioptaget som funktion af tiden. Der lader ikke til at være nogen netto-ændring i det totale energioptag. Dette undersøges i afsnittet "Undersøgelse af totalt energioptag for Reuleaux trekanten" herunder.

Rotation omkring y-aksenNu drejer vi Reuleaux trekanten om y-aksen med en række forskellige vinkler.Dette gøres ved at beregne værdier for energien til forskellige tidspunkter til et sæt af drejningsvinkler omkring y-aksen herunder

EnergiværdierEyværdier1:=[seq](Erot(0,Pi/6,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier2:=[seq](Erot(0,Pi/5,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier3:=[seq](Erot(0,Pi/4,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier4:=[seq](Erot(0,Pi/3,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier5:=[seq](Erot(0,9*Pi/24,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier6:=[seq](Erot(0,11*Pi/24,j),j=0..3.1,0.1):Eyværdier7:=[seq](Erot(0,Pi/2,j),j=0..3.1,0.1):

157

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

> >

> >

Tilhørende t-værdiertyværdier1:=[seq](j,j=0..3.1,0.1):

Disse defineres i plots:P1y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier1[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=orange,labels=['t','E'],legend = [phi=Pi/6]):P2y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier2[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=blue,labels=['t','E'],legend = [phi=Pi/5]):P3y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier3[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=red,labels=['t','E'],legend =[phi=Pi/4]):P4y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier4[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=green,labels=['t','E'],legend= [phi=Pi/3]):P5y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier5[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=purple,labels=['t','E'],legend = [phi=9*Pi/24]):P6y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier6[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=yellow,labels=['t','E'],legend = [phi=11*Pi/24]):P7y:=plot([seq]([tyværdier1[j],Eyværdier7[j]],j=1..nops(tyværdier1)),thickness=2,color=black,labels=['t','E'],legend= [phi=Pi/2]):

(Tilpasset plot P1x mht. legend og farve)P4x:=plot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nops(Exværdier1)),x=0..Pi,y=2.8..3.2,thickness=2,color="SteelBlue",labels=['t','E'],legend = [phi=0]):

Visning af plotsViser plots for forskellige drejninger omkring y-aksen inklusiv ikke-drejet.display(P4x,P1y,P2y,P3y,P4y,P5y,P6y,P7y);

158

> >

> > > >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

> >

> >

> >

f = 0 f = 16

p f = 15

p f = 14

p

f = 13

p f = 38

p f = 1124

p f = 12

p

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

E

2.8

2.9

3

3.1

3.2

Undersøgelse af totalt energioptag for Reuleaux trekantenDet totale energioptag for trekanten beregnes for forskellige rotationer omkring hhv. x og y-aksen.

Energioptag for rotation omkring x-akseExværdierrot:=[seq](Etotrot(j,0),j=0..3.1,0.1):txværdierrot:=[seq](j,j=0..3.1,0.1):Pxrot:=plot([seq]([txværdierrot[j],Exværdierrot[j]],j=1..nops(Exværdierrot)),x=0..Pi,y=8.6..10,thickness=2,color=red,labels=['vinkel','E[total]'],legend = typeset("Rotation omkring x-aksen")):

Energioptag for rotation omkring y-akseEyværdierrot:=[seq](Etotrot(0,j),j=0..3.1,0.1):tyværdierrot:=[seq](j,j=0..3.1,0.1):Pyrot:=plot([seq]([tyværdierrot[j],Eyværdierrot[j]],j=1..nops(Eyværdierrot)),x=0..Pi,y=8.6..10,thickness=2,color=blue,labels=['vinkel','E[total]'],legend = typeset("Rotation

159

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

omkring y-aksen")):

Display af plottene af energioptagetdisplay(Pxrot,Pyrot);

Rotation omkring x-aksenRotation omkring y-aksen

vinkel

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

Etotal

8.6

8.8

9.0

9.2

9.4

9.6

9.8

10.0

Det ses hvordan energioptaget pr. dag i Reuleaux trekanten er konstant ved drejning omkring x-aksen, men har et maksimum og et minimum for drejning omkring y-aksen ved vinklerne f = p

og f =p2

. Altså er energioptaget maksimalt når solfangeren slet ikke roteres omkring y-aksen.

160

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

(17.1.1)(17.1.1)

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

Opgave 18 - Reuleaux Trekant i KøbenhavnDer skal i København rejses en solfanger af formen R (omdrejningsfladen fra forrige opgave med Reuleaux-trekanten som profilkurve). Som udgangspunkt ønskes der maksimalt Etotal af R ved jævndøgn.

1. Animation af skygge og plot af energioptagFørst overvejes opstilling af R med lodret symmetriakse.Plot solfangerens energioptag ved jævndøgn som funktion af tiden, og illustrer evt. med en animation af R’s skygge på ”Gauss-projektionsskærmen” hen over dagen. Bestem Etotal.

c1d:=(u,v) -> <u*cos(v),u*sin(v),sqrt(4-(1+u)^2)>:c1d(u,v);c2d:=(u,v) -> <u*cos(v),u*sin(v),sqrt(3)-sqrt((u+2)*(2-u))>:c1dplot:=plot3d(c1d(u,v),u=0..1,v=0..2*Pi,orientation=[20,80,0],labels=[x,y,z]):c2dplot:=plot3d(c2d(u,v),u=0..1,v=0..2*Pi,orientation=[20,80,0],labels=[x,y,z]):

u cos v

u sin v

4K uC 1 2

cdplot:=[c1dplot,c2dplot]:display(cdplot);

161

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.4.2)(16.4.2)

(16.1.3)(16.1.3)

At Reuleaux trekanten har lodret symmetriakse betyder at trekanten står på jorden med bundfladen og spidser til opad med den lodrette symmetriakse vinkelret på jorden. I København er breddegraden (midt i Brønshøj) 55.70°. Dette giver altså en vinkling på y-aksen for solfangeren (ved jævndøgn) på 55.70°. Disse omregnes til radianer:

55.70°$p180°

= 0.31 p

Solen står op i øst (positive y-akse-ende) og går ned i vest (negative y-akse-retning). x-aksen markerer således nord (negative-x-akse-retning) og syd (positive x-akse-retning).

Først laves en animation af Reuleaux trekantens skygge ved optimal placering:Redefinerer projektioner på a-planen:proj1d u, v, t / c1d u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C c1d u, v . 0, sin t ,Kcos t

$ 0, sin t ,Kcos t :proj2d u, v, t / c2d u, v . 1, 0, 0 $ 1, 0, 0 C c2d u, v . 0, sin t ,Kcos t

$ 0, sin t ,Kcos t :

Redefinerer plots til testplot af skygge til bestemt tidspunkt:

162

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

> >

> >

> >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

(16.1.3)(16.1.3)

> >

proj1plot:=plot3d(proj1(u,v,Pi/4),u=0..1,v=0..2*Pi,orientation=[20,80,0],labels=[x,y,z],color=grey):proj2plot:=plot3d(proj2(u,v,Pi/4),u=0..1,v=0..2*Pi,orientation=[20,80,0],labels=[x,y,z],color=grey):projplot:=[proj1plot,proj2plot]:display(projplot);

Animationer af skygge fra de to parametriserede flader hver isæran1:=animate(plot3d,[proj1(u,v,t),u=0..1,v=0..2*Pi],t=0..Pi,frames=50,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface):an2:=animate(plot3d,[proj2(u,v,t),u=0..1,v=0..2*Pi],t=0..Pi,frames=50,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface):

Visning af begge skygger i samme plot med første orientering:display([an1,an2],orientation=[20,80,0]);

163

> >

> >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

> >

t = 0.

Med anden orientering:display([an1,an2],orientation=[30,20,0]);

164

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

> >

> >

(16.1.3)(16.1.3)

t = 0.

Nu laves en animation af Reuleaux trekantens skygge ved placering i København:

an3:=animate(plot3d,[projrot1(u,v,t,0,(55.70*Pi)/180),u=0..1,v=0..2*Pi],t=0..Pi,frames=50,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface):an4:=animate(plot3d,[projrot2(u,v,t,0,(55.70*Pi)/180),u=0..1,v=0..2*Pi],t=0..Pi,frames=50,labels=[x,y,z],color=grey,style=surface):display([an3,an4]);

165

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

> > > >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

(16.1.3)(16.1.3)

t~ = 0.

Nu laves et plot af energioptaget til forskellige tidspunkter af dagenEyværdierkbh:=[seq](Erot(0,(55.70*Pi)/(180),j),j=0..3.1,0.05):tyværdierkbh:=[seq](j,j=0..3.1,0.05):Pykbh:=plot([seq]([tyværdierkbh[j],Eyværdierkbh[j]],j=1..nops(tyværdierkbh)),thickness=2,color=red,labels=['t','E'],legend =typeset("Energioptag for solfanger i København")):

(Tilpasset plot P1x)P5x:=plot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nops(Exværdier1)),x=0..Pi,y=2.8..3.2,thickness=2,color=blue,labels=['t','E'],legend =typeset("Maksimalt muligt energioptag")):

display(P5x,Pykbh);

166

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(17.1.2)(17.1.2)

(17.1.4)(17.1.4)

> > (17.1.3)(17.1.3)

(16.4.2)(16.4.2)

> >

(16.1.3)(16.1.3)

Maksimalt muligt energioptagEnergioptag for solfanger i København

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

E

2.8

2.9

3

3.1

3.2

Maksimalt energioptag er ved middag t =p2

og her er energioptaget:

'E[optag](Pi/2)'=Erot(0,(55.70*Pi)/(180),Pi/2);

Eoptag12

p = 3.0455

Det totale energioptagt kan bestemmes således:'E[tot](København)'=Etotrot(0,(55.70*Pi)/(180));m:=9.234:

Etot København = 9.234

'E[tot](Maksimalt)'=Etotrot(0,0);n:=9.551:Etot Maksimalt = 9.551

Forskellen kan beregnes:

167

> >

> >

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(17.1.5)(17.1.5)

> >

> >

(16.4.2)(16.4.2)

(16.1.3)(16.1.3)

(17.1.6)(17.1.6)

> > 'DEtot '= nKm

DEtot = 0.317

Forskel i procent (hvor mange procent mindre er energioptaget i København i forhold til maksimalt udbytte) kan også beregnes:

'DEtot '=nKmn

$100

DEtot = 3.319024186

Plot med 0 til 3.2 på y-aksen (illusterer den lille forskel)Pykbh1:=plot([seq]([tyværdierkbh[j],Eyværdierkbh[j]],j=1..nops(tyværdierkbh)),thickness=2,color=red,labels=['t','E'],legend =typeset("Energioptag for solfanger i København")):P5x1:=plot([seq]([txværdier1[j],Exværdier1[j]],j=1..nops(Exværdier1)),x=0..Pi,y=0..3.2,thickness=2,color=blue,labels=['t','E'],legend =typeset("Maksimalt muligt energioptag")):display(P5x1,Pykbh1);

168

> >

> >

> >

> >

(16.2.2)(16.2.2)

> >

(17.1.5)(17.1.5)

(16.4.2)(16.4.2)

(16.1.3)(16.1.3)

> >

Maksimalt muligt energioptagEnergioptag for solfanger i København

t

p8

p4

3 p8

p2

5 p8

3 p4

7 p8

p

E

0

1

2

3

2. Beskriv hvordan R positioneres optimalt, således at der opnås maksimalt Etotal ved jævndøgn i København.

Solfangeren placeres som beskrevet ovenfor. En tilføjelse kunne være at dreje solfangere i løbet af dagen sådan at energioptaget til ethvert tidspunkt a er p, og der således ikke spildes noget.

169