Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrinKristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin Forlaget

Matematik for lærerstuderendeEpsilon1.-6. klassetrin

72497_epsilon_2k.indd 1 17-07-2008 15:20:40

72497_epsilon_2k.indd 2 17-07-2008 15:20:40

Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou

Matematik for lærerstuderendeEpsilon1.-6. klassetrin

Forlaget Samfundslitteratur

72497_epsilon_2k.indd 3 17-07-2008 15:20:40

Kristine Jess, Jeppe Skott, H.C. Hansen, John SchouMatematik for lærerstuderendeEpsilon1.-6. klassetrin1. udgave 2008

© 2008, Forlaget Samfundslitteratur

Omslag: ImperietTegninger: John Kehlet SchouForlagsredaktion: Ole JørgensenProjektledelse: Thomas Bestle

Sats og tryk: Narayana Press, Gylling

Printed in Denmark 2008

ISBN 978-87-593-1336-7

Kapitel 1. Figur 1 foto Scanpix/Reuters. Figur 5 og 6 er fra NCTM 2003. Figur 7 er udarbejdet efter Carpenter T.P. m.fl. 1999. Kapitel 2. Figur 1 er fra Karim Nice: ”How odometers work”, www.howstuffworks. Figuren på side 55 er fra C. Juel 1902. Figuren på side 56 er fra Bonnesen, T. 1904. Figur 2-5 stammer fra Bundgaard, A og Eva Kyttä 1965. Kapitel 4. Figur 1: se figur 6 i kapitel 1. Skemaet på side 106 er fra McClain, K. m.fl. 1998. Figur 16 er fra Fuson, K.C. 2003. Figur 20 og 21 er fra National Research Council (2001). Figur 22 er omtegnet efter Ma, L. 1999. Kapitel 6. Figur 16 foto Evanherk, Wikimedia Commons. Kapitel 10. Figur 3, 5 og 7 er fra Lehrer, R. m.fl. 1999, mens figur 4 er en dansk elevs omtegning af en figur fra samme kilde. Kapitel 16. Figur 1, 2 og 3 er omtegnet fra Russell, S.J. 2006.

Forlaget har ikke kunne lokalisere alle rettighedshavere til bogens illustrationer og opfordrer derfor sådanne med vederlag til gode til at kontakte forlaget på nedenstående adresse.

Forlaget SamfundslitteraturRosenørns Alle 91970 Frederiksberg CTlf. 38153880Fax 35357822www.biofolia.dk

Alle rettigheder forbeholdesKopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

72497_epsilon_2k.indd 4 17-07-2008 15:20:40

Indhold · 5

Indhold

Forord 11

dEl I dE nATURlIGE TAl

Introduktion 17

1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår 19

Tal og det at tælle 20Det indledende arbejde med tal – en tradition og kritikken af den 24

Indledende addition og subtraktion 34Additive situationer – når addition og subtraktion kan bringes i spil 38Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 41

Opsamling på kapitel 1 46

2 Matematiske teorier for naturlige tal 47

Tælletal (ordinaltal) 47Peanos aksiomer 48Definition af talnavne i titalssystemet 49Definition af regningsarterne ‘+’ og ‘ ⋅ ’ 51

Mængdetal (kardinaltal) 55Addition og multiplikation af kardinaltal 60Fusionen mellem tælleremse og mængdetal 63

Modsatte regningsarter 64Ordning af de naturlige tal 68Hvordan får vi styr på uendeligheden? 70

Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 70Tælletallene når aldrig uendelig 73Induktionsbeviset 74Et induktionsbevis i grafteori 74Tælling hinsides uendelig 76


72497_epsilon_2k.indd 5 17-07-2008 15:20:40

6 · Indhold

3 Positionssystemer og regnealgoritmer 81

Alfabetaland 81Fordelene ved positionssystemer 83Positionssystem med vilkårligt grundtal 84Regnealgoritmer i andre talsystemer 88Opsamling på kapitel 3 91

4 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 93

Titalssystemet – et positionssystem 94Addition og subtraktion af flercifrede tal 96

Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 100Hen imod relativt standardiserede metoder 104

Indledende multiplikation og division 113Multiplikative situationer 115Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 119

Forståelse kontra færdighed? 125Opsamling på kapitel 4 128

dEl II TAlTEoRI oG MØnSTRE

Introduktion 133

5 Talteori 135

Hvordan finder man primtal? 136Euklids algoritme 139Diophantiske ligninger 142Aritmetikkens fundamentalsætning 145

Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 147Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 149


6 Talmønstre og figurrækker 151

Udvikling i femkanttallene 153Induktionsbeviser 161Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 163Bestemmelse af en formel med computerhjælp 166Hanoitårnet, fraktaler og fibbonaccital 171Opsamling på kapitel 6 176

72497_epsilon_2k.indd 6 17-07-2008 15:20:41

Indhold · 7

7 Konkrete materialer i matematikundervisningen 177

Hvorfor konkrete materialer? 178Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 180

Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 183Konkrete materialers gennemsigtighed 185

Andre opmærksomhedsfelter vedr. konkrete materialer 190Opsamling på kapitel 7 191

dEl III AlGEBRA

Introduktion 195

8 Tidlig algebra 197

Tidlig algebra – hvad er det? 199Variable og funktioner i tidlig algebra 200

Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 201Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 204Ligninger og lighedstegnet 209

Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 211Argumenter omkring lighedstegnet 212

Læring af algebra i et semiotisk perspektiv 215Kontekstens betydning 217


9 Variable 221

Den ukendte som pladsholder og som variabel 222Variablen i formler og funktioner 229Opsamling på kapitel 9 236

72497_epsilon_2k.indd 7 17-07-2008 15:20:41

8 · Indhold

dEl IV GEoMETRI

Introduktion 239

10 Geometri i de første skoleår 243

Geometri som kulturel aktivitet 244Måling i indskolingen – om at bestemme længder 248

Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 250Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 254Måling og andre faglige områder 256

At arbejde med form i indskolingen 258Fra tegning til diagram 259Opfattelse af og fysiske erfaringer med former 260Begrebsdannelse og geometriske former 263Van Hieles niveauer 265Kritik af og inspiration fra van Hieles 267


11 Flytninger, eksperimentelt og teoretisk 273

Eksperimentel flytningsgeometri 274Flytningernes fænomenologi 276Kombinationer af flytninger 279

Deduktiv flytningsgeometri 284Vores teoretiske model: isometrierne 284Refleksionerne som byggesten for isometrier 286Hovedsætningen om isometrier 291

Klassifikation af alle flytninger i planen 293Opsamling på kapitel 11 301

12 Symmetrier og mønstre i verden og i geometrien 303

Symmetri i enkeltformer 303Frisemønstre 311Tapetmønstre og fliser 314

Konstruktion af fantasifulde flisemønstre 315En duft af krystallografi 318Opsamling på kapitel 12 321

72497_epsilon_2k.indd 8 17-07-2008 15:20:41

Indhold · 9

13 den elementære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytningsregning 323

Karakteristik af de almindeligste polygonale former i skolen 324Symmetrier i van Hieles didaktik 325Den perfekte cirkel, ellipsen og ovalen 327Gruppen, en alternativ regneverden 329

Betydningen af gruppeteori i strukturundersøgelser 338Opsamling på kapitel 13 339

14 Eksperimentelle undersøgelser af former i rummet 341

Genopdagelse af de platoniske legemer 342Eulers polyedersætning 343

Descartes’ spidsheder 344Halvregulære polyedre som inspiration 346Opsamling på kapitel 14 349

15 Geometri i nyere tid 351

Grafteori 351Teorien for Eulerture 354

Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 357Topologi og eulertallet 362

Kuglefladen 363Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 364

Taxageometri i plan og rum 365Opsamling på kapitel 15 367

dEl V SToKASTIK

Introduktion 371

16 databehandling 373

At arbejde med data de første skoleår 375Hvad indgår i at arbejde med data? 375Perspektiver på data 378

Prøv at være datadetektiv 386Elever som datadetektiver 391Opsamling på kapitel 16 393

72497_epsilon_2k.indd 9 17-07-2008 15:20:41

10 · Indhold

17 Sandsynligheder i skolens yngste klasser 395

Strategier for tilrettelæggelse af undervisning 396Et eksempel på sandsynlighedsundervisning i den franske skole 398Elevers forståelse af sandsynligheder 402Statistiske sandsynligheder 408

En vifte af metoder til løsning af en enkelt elevopgave 4111. Det konkrete eksperiment 4122. Det simulerede eksperiment 4123. Teoretisk beregning baseret på hele tal, tælletræ 4134. Teoretisk beregning under anvendelse af brøkbegrebet 4155. Chancetræer. Teoretisk behandling under anvendelse af addi-tion og multiplikation af brøker 415

Reducerede chancetræer og betinget sandsynlighed 419Opsamling af kapitel 17 426

Referencer 429

Stikordsregister 437

72497_epsilon_2k.indd 10 17-07-2008 15:20:41

FoRoRd · 11

Forord

Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linje-faget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er tildelt næsten den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens klassetrin. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grund-skolens begynder- og mellemtrin. Den studerende, der bruger systemet Matematik for lærerstuderende, vil under fællesdelen have arbejdet med det meste af -bogenϒ og en god del af den almene fagdidaktik i δ-bogen samt selvfølgelig de ting, som man lokalt er blevet enige om at lægge særlig vægt på.

Formålet med denne ε-bog er at levere fagligt og fagdidaktisk materiale, såle-des at den lærerstuderende kan specialisere sig til at være lærer på 1.-6. klas-setrin. Det mere almene fagdidaktiske stof vil stadig skulle søges i δ-bogen, mens den fagdidaktik/stofdidaktik, der retter sig specifikt mod de faglige emner i de første skoleår, findes her i ε-bogen. For en typisk lærerstuderende med en god baggrund i matematik fra ungdomsuddannelserne vil det at være matematiklærer i 1.-6. klasse ople-ves som en større udfordring end at være lærer på sluttrinnet. Rent fagligt er forskellen på det, man selv kan, og det man skal undervise i, så stor, at man nemt kommer til at tage fejl af børnenes forudsætninger og behov. Derfor er der på dette niveau et helt særligt behov for at lære om elevernes forforståelser og medbragte tankegods. Det er også velkendt, at eleverne på godt og ondt har større formbarhed i de tidlige skoleår. Her dannes ikke blot de første faglige begreber, men også elevens holdninger og indstillinger til matematik bliver formet – derfor er lærerens ansvar særlig stort.

“Så kan man vel bare bruge ekstra meget tid på de første skoleårs matema-tikdidaktik og lægge mindre vægt på det rent faglige, der vel ikke kan være

72497_epsilon_2k.indd 11 17-07-2008 15:20:41

12 · FoRoRd

så krævende i 1.-6. klasse?” Nej, for her må man skelne mellem, hvad der er elevens behov, og hvad der er lærerens behov. En moderne matematik-undervisning bygger i stort omfang på, at læreren fanger idéer og udsagn fra dialogerne i klasseværelset og i en videre dialog styrker fagligheden hos den enkelte og i klassen som helhed. For at kunne gøre dette kræves en ret stor faglighed – ikke den videre-gående matematik, men en stor bredde i den elementære matematik. Matematiklæreren skal kunne præsentere begreber og metoder på mange måder, så der er tilgange, der taler til hver enkelt elevs forestillinger. Den lærerstuderende skal imidlertid også udvikle sine egne matematiske kom-petencer, som de er beskrevet i bekendtgørelsen for læreruddannelsen og som de fx vil blive evalueret ved en centralt stillet, skriftlig prøve. Vi har derfor skrevet ε med en overvægt af matematikfagligt stof, men i hver af bogens fem dele er der tillige mindst ét fagdidaktisk kapitel. Nogle af de faglige emner behandles ret kortfattet, idet de har fået en grundig be-handling i -bogen.ϒ Mange vil sikkert have sprunget over dele af -bogenϒ i linjefagets fællesdel. I så fald er det tanken, at man indtænker disse dele undervejs i arbejdet med ε-bogen Som forfattere har vi søgt at lette dette arbejde ved ofte at referere til de relevante steder i -bogen.ϒ

Strukturen i denne bog

Den første del af bogen drejer sig om et emne, der gennem generationer har været dominerende i de første skoleår, nemlig de naturlige tal. Behandlin-gen af de naturlige tal i del I har et dobbelt sigte. Dels skal læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels skal læseren få lejlighed til at kende områdets stofdidaktik.

Del I består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring det første skoleår. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og dernæst positions-systemer og regnealgoritmer. I det afsluttende kapitel sætter vi igen fokus på eleverne og stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver dér at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal.

72497_epsilon_2k.indd 12 17-07-2008 15:20:41

FoRoRd · 13

I den anden del graver vi lidt dybere ned i de naturlige tals verden for bl.a. at tilfredsstille det mål i den aktuelt gældende danske læreruddannelse, at den kommende matematiklærer skal kunne “redegøre for dybde og sam-menhæng mellem folkeskolefagets stofområder på begynder- og mellemtrin og dele af videnskabsfaget matematik”. Det sker bl.a. ved, at vi tager fat i emnet talteori, der bringer os om ad klassiske teknikker som Eratosthenes si, Euklids algoritme og løsning af diophantiske ligninger, før vi igen lander i skolens hverdag og ser på, hvordan dette stof kan give anledning til akti-viteter i skolen. Men vi vil også se på talmønstre og figurrækker, der er et af de nyere emner i grundskolen. Her inviteres læseren på den ene side til at gå på opdagelse i talmønstre og fastholdes på den anden side i kravet om bevis, hvilket i denne sammenhæng typisk vil være induktionsbeviset.

Arbejdet med talmønstre og figurrækker lægger op til det arbejde med funktioner og variable, som er overskriften for bogens del III. Funktioner og variable er måske ikke det første, man tænker på i forbindelse med mate-matikundervisning i de første skoleår, men vi tilslutter os den dominerende holdning blandt fagdidaktikere om, at det er vigtigt at starte tidligt med variabelbegrebet i skolen. I matematikdidaktikken hedder dette felt ‘tidlig algebra’, og vi vil i nogle cases se på og reflektere over, hvordan børn kan arbejde med ubekendte og variable på alderssvarende niveau. Samtidig med, at læseren således får indblik i stofdidaktikken på områ-det, inviteres der til, at man på eget niveau arbejder med variabelbegrebet, som det kommer til udtryk i ligninger, formler og funktioner, således at man er fagligt rustet, når eleverne selv finder sidespor og beder læreren om hjælp.

Vi har i -bogenϒ arbejdet med mange af de centrale geometriske emner, som vi derfor ikke vil tage op igen i denne fremstilling. Tilbage står dog en række vigtige geometriske emner, som er relevante for 1.-6. klasse, og som tages op i del IV, nemlig: flytninger, symmetrier samt formlæren i rummet og nyere geometrier som grafteori og taxageometri. Symmetrier og mønstre indgår i matematikundervisningen fra de første skoleår og findes i alle lærebogs-systemer. Vi vil også benytte symmetrier og flytninger til at perspektivere dele af undervisningen i tal og geometri i de første skoleår. I del IV tilgodeses det stofdidaktiske aspekt i et indledende kapitel med

72497_epsilon_2k.indd 13 17-07-2008 15:20:41

14 · FoRoRd

fokus på måling og den geometriske begrebsudvikling hos børn, bl.a. som den er fremstillet hos den hollandske didaktiker van Hiele.

Læseren vil via de sidste kapitler af -bogenϒ have et bredt fagligt og stofdi-daktisk fundament for arbejdet med stokastik i skolen. Det supplerer vi her i del V med et særligt fokus på stokastikken i de tre første skoleår. Samtidig vil vi gerne fortsætte den holdningsbearbejdning, vi startede på i -bogen,ϒ hvor vi prøvede at få læseren til at lægge mere vægt på tolkning af konkrete data end på at bruge en præfabrikeret skabelon til alle data. Vi betegner denne nye holdning med navnet ‘datadetektiv’. Del V består af to kapitler, hvor vi i hvert kapitel har prøvet at flette didak-tiske overvejelser sammen med tilsvarende faglige udfordringer for læseren. Selv om disse udfordringer er på læserens eget niveau, er de netop af en karakter, der ligger tæt på den faglighed og holdningsmæssige indstilling, en lærer har brug for som ballast – både i undervisning og i vejledning af elever.

Der vil igen for denne bogs vedkommende findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside www.forlagetsl.dk (søg på ‘Epsilon’).

København, juni 2008

Kristine Jess, Jeppe Skott, John Schou og Hans Christian Hansen

72497_epsilon_2k.indd 14 17-07-2008 15:20:41

dEl I · dE nATUrlIGE TAl

72497_epsilon_2k.indd 15 17-07-2008 15:20:41

72497_epsilon_2k.indd 16 17-07-2008 15:20:41

InTRodUKTIon · 17

InTrodUkTIon

Ser man på lærebøger fra tiden efter skoleloven af 1814, vil man opdage, at det helt dominerende emne i matematikundervisningen i de første skoleår er de naturlige tal, dvs. tallene 1, 2, 3…, og regning med dem. Også forskellige former for måling af vægt, tid, længde, areal og rumfang er helt afhængige af disse tal, og statistik, et nytilkommet emne i begynderundervisningen, er ligeledes en anvendelse af tal. Læseren af denne bog vil sandsynligvis under arbejdet med fællesdelen af linjefaget have benyttet -bogen,ϒ og derfra have et godt kendskab til de hele tal og brøkerne, som er knyttet til mellemtrinnets emnekreds. I

-bogenϒ tog vi de naturlige tal som noget givet, som vi kun behandlede i en fortælling om talbegrebets historie. Behandlingen af de naturlige tal i første del af denne bog har et dobbelt sigte. Dels kan læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels kan læreren, eller den kommende lærer, få indsigt i områdets stofdidaktik.

Behandlingen af de naturlige tal består af fire kapitler, hvoraf det første sæt-ter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår. Vi giver først et indtryk af, hvilke forståelser af tal – og af det at tælle – børn typisk har, når de kommer i skole. Dernæst diskuterer vi, hvordan man som lærer kan bygge videre på børnenes forforståelser. Fokus er her på addition og subtraktion og på de situationer, hvor disse regnearter kan komme i anvendelse.

Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og positions-systemer og regnealgoritmer.

I matematikken findes to forskellige forståelser af de naturlige tal, nemlig som kardinaltal (mængdetal) og som ordinaltal (tælletal). Når vi medtager en faglig behandling af disse to måder at opfatte tal på, er det, fordi didaktik-

72497_epsilon_2k.indd 17 17-07-2008 15:20:41

18 · dEl I · dE nATURlIGE TAl

ken om de naturlige tal har taget disse faglige termer til sig, og skolebøgerne klart er præget af både kardinaltal og ordinaltal. Sigtet med kapitlet er imidlertid fagligt. Læseren skal prøve at bevise elementære egenskaber ved de naturlige tal, både inden for teorien om kardinaltal og inden for teorien om ordinaltal.

I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter, udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) en dominerende rolle. Den nyere matematikundervisnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel talsystemer som mulige regnemetoder. Derfor følger endnu et matematikfagligt kapitel, der drejer sig om talsy-stemer og regnealgoritmer. Her får læseren lejlighed til at sætte sig i elevens sted, idet der gennem hele kapitlet arbejdes med fremmede talsystemer. I det første, Alfabetaland, er både talsystemet og cifrene anderledes end normalt. Intentionen er, at læseren ved at arbejde med det kan udvikle en dybere forståelse af de måder, tal og regnearter normalt repræsenteres på. De fremmede talsystemer, fx totalssystemet, er dog ikke udelukkende skabt for at uddanne lærere, men bl.a. også for at muliggøre beregninger i computere og lommeregnere

Afslutningsvis sætter vi igen fokus på eleverne og på stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. Der har i skolefaget matematik traditionelt været en modstilling af færdig-hed og forståelse – ikke mindst i forbindelse med netop regnealgoritmerne. Vi gør rede for, at der er både teoretisk og empirisk belæg for at ophæve denne modsætning.

72497_epsilon_2k.indd 18 17-07-2008 15:20:41

KAPITEl 1 · BØRnS TAlBEGREBER oG REGnEoPERATIonER · 19

1Børns TAlBEGrEBEr oG rEGnEopErATIonEr I oG omkrInG dE FørsTE skolEår

Når eleverne begynder i skole, kan de tælle. Det kan de i den forstand, at de kan tælleremsen et stykke ad vejen; de kan finde, hvor mange enheder der er i en bunke af fx 9 centicubes; og ved at tælle kan de finde resultatet i simple additionssituationer, hvis de har konkrete materialer til rådighed (hvis Albert har fundet 6 kastanjer, og Usman har 7, hvor mange har de så tilsammen?). Og der er nogle elever, der kan meget mere end det. I de første skoleår handler de mest dominerende matematikaktiviteter om tal og om indledende regneoperationer. Det gør de, fordi eleverne i denne periode skal udbygge deres forståelse af de naturlige tal og af de måder, hvorpå man kan benytte tal til at beskrive og beregne størrelser. De skal således udvikle forståelser af tal og færdigheder i talbehandling, der er kvalitativt forskellige fra dem, de møder med, når de kommer i skole. Det er arbejdet med at facilitere elevernes faglige læring på disse områder, der er omdrejningspunkt i dette kapitel.

Der er over de sidste årtier gennemført en meget stor mængde undersøgelser af små skolebørns talforståelser og -færdigheder. De handler fx om, hvordan børnene opfatter tal, og hvordan de forstår de forskellige typer af situatio-ner, hvor addition og subtraktion kan komme i spil. Desuden drejer de sig om, hvordan man kan understøtte børns udvikling af både talforståelse og færdigheder i talbehandling.

Det er en hovedpointe i en stor del af disse undersøgelser, at de to sider af talarbejdet, færdighederne og forståelsen, må udvikles i tæt indbyrdes sam-

72497_epsilon_2k.indd 19 17-07-2008 15:20:41


menhæng. Den overordnede hensigt med dette kapitel er, at læseren udvikler en forståelse af, hvordan man som lærer kan bidrage til det i skolens yngste klasser. Ved at arbejde med forskningsresultaterne i direkte tilknytning til elevers tænkning om og aktivitet med tal er det mere specifikt hensigten, at læseren efter endt læsning:

– Har dannet sig et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af at tælle, børn typisk har med, når de kommer i skole.

– Har udviklet en forståelse af og idéer til, hvordan der kan bygges på elever-nes tællestrategier i arbejdet med tal i indskolingen, herunder at læseren kan forholde sig til den kritik, der har været rettet mod en dominerende tradition i dette arbejde.

– Kan beskrive forskellige situationer, hvor additiv tænkning kan bringes i anvendelse, og kender til de måder, elever typisk går til sådanne situa-tioner på.

TAl oG dET AT TællE

Tal bruges på mange forskellige måder, og det gør det at tælle også. Vi skal i det følgende se på de måder at benytte tal på, som børn gerne skal komme til at beherske, og vi skal se på udviklingen i deres tællestrategier. Vi starter med at se på et eksempel med et tilhørende oplæg.

Eksempel 1

Figur 1.

Eritrea, et lille land på Afrikas horn, havde del-tagere med ved en olympiade for blot anden gang i Athen i 2004. Der var 15 eritreere med, blandt dem den 22-årige mellem- og langdi-stanceløber Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på brystet gennemførte han finalen i 10.000 meter i tiden 27.22.57 og kom ind på en tredjeplads blandt de 24 løbere. Tadesse vandt dermed Eritreas første olympiske medalje no-gensinde.

72497_epsilon_2k.indd 20 17-07-2008 15:20:42


Opgave 1

Læs omtalen af Zersenay Tedesse i eksemplet ovenfor. Undersøg, hvilke måder tal og talord benyttes på, og beskriv forskellene på og sam-menhængene mellem de forskellige måder.

Vi kan benytte tal til at beskrive størrelsen på en mængde. Det gør vi, når vi fx siger, at “der er 26 elever i 1.a, eller, at der er 7 bøger i serien om Harry Potter”. Her bruges hhv. 26 og 7 til at angive størrelsen på en mængde af diskrete1 elementer, angivet ved antallet af elementer i mængden. Tal bruges da som kardinaltal. Det er en anden brug af tal, hvis vi ser på 1-tallet i 1.a eller på talordet ‘sy-vende’ i formuleringen “den syvende og sidste bog i serien om den berømte troldmand hedder Harry Potter og dødsregalierne”. Her er der stadig tale om at behandle en diskret mængde af objekter, hhv. klasser og bøger, men tallet benyttes ikke til at angive størrelsen på hele mængden, men derimod til at angive et elements relative placering i den. Der angives således en vis ordning af mængden, og man taler om en ordinal brug af talord eller om ordinaltal. Der er tale om en tredje anvendelse af talord, når man siger, at “ele-verne i 1.a løber i gennemsnit 60 meter på 12,9 sekunder og Harry Potter og dødsregalierne koster 329,00 kr. Her angiver tallene 60, 14,9 og 329,00 ikke et antal af diskrete elementer i en mængde. De er i stedet knyttet til kontinuerte størrelser, nemlig længde, tid og værdi (målt i penge). Det, der tælles, er således ikke på forhånd iagttagelige ‘elementer’ som elever eller bøger – selv om man naturligvis kan forestille sig en mængde af 329 enkro-ner som betaling for bogen. Derimod er det enheder, og tallet er et måltal, der angiver det antal gange, en valgt enhed må benyttes for at kunne fylde den kontinuerte mængde ud. Enhederne er meter, sekunder og kroner. I modsætning til det kardinale og det ordinale tilfælde behøver der her ikke være tale om hele tal.

Der er således tre numeriske måder at bruge tal på, nemlig som kardinaltal, som ordinaltal og som måltal. Imidlertid er de ikke helt adskilte. Fx intro-ducerer formuleringen Carlo er det tredje barn i familien en ordning ved

1 “Diskrete” betyder i denne forbindelse “adskilte”. De naturlige tal er en mængde af diskrete tal, hvor et tal er adskilt fra det foregående og det næste tal. Den radikale modsætning er de reelle tal, der er en helt sammenhængende talmængde, hvor det slet ikke giver mening at tale om det “næste tal”.

72497_epsilon_2k.indd 21 17-07-2008 15:20:42


at placere Carlo i rækken af børn. Men samtidig betyder den, at Carlo og hans to ældre søskende udgør en gruppe på tre. Her var hensigten (måske) ordinal, men formuleringen kan fortolkes kardinalt. Imidlertid kan der også være et ordinalt aspekt involveret, hvis hensigten er kardinal. Hvis man tæller for at finde svar på spørgsmålet: “Hvor mange er der?” indfører man på sin vis en ordning i mængden, idet man introdu-cerer en tællerækkefølge. Hvis man fx tæller 8 børn, mens man peger på dem en efter en, så betyder otte, at det pågældende barn er det ottende i den rækkefølge, man har lavet ved at tælle. Men her var vi ikke interesseret i rækkefølgen, dvs. i at fx Camilla blev nr. 8. Derimod var vi interesseret i, hvor mange børn der var, dvs. i at bruge otte kardinalt. Det kræver, at man foretager det, Fuson kalder en kardinal integration, dvs. at man knytter otte til ikke bare Camilla, men til mængdens ‘mangehed’ (the manyness). Til-svarende er der en måleintegration involveret, når man i en målesituation forbinder den sidst talte måleenhed med det samlede antal enheder, der bruges (Fuson 1988).

Tal bruges dog også ikke-numerisk, dvs. på måder hvor der ikke – eller i hvert fald ikke primært – er tale om en kvantificering. For det første siger små børn tælleremsen uden at knytte indhold til ordene. Tælleremsen er da netop blot en remse, og ordene betyder da hverken mere eller mindre end okker-gokker-gummiklokker. Ja, faktisk kan børn ofte allerede fra 2-årsalde-ren sige dele af tælleremsen korrekt, uden at de af den grund kan tillægge remsen mening (ibid., kapitel 2). For det andet benytter også voksne talord i situationer, hvor det væsent-ligste ikke er tallenes kvantitative aspekt. Det er tilfældet, når man bruger tal som identifikation, snarere end som en størrelsesangivelse. Nummerplader og telefonnumre er relevante eksempler. Og i nogle lande har fx skoler ikke navne, men numre, så man som elev fx går på skole nr. 7. Der kan godt være et element af ordinalitet i den måde, disse ‘navne’ tildeles på. Det gælder i den indlysende forstand, at man ofte begynder med de mindste af de tal, der kan benyttes til et givet formål. Fx er skole nr. 1 vel typisk den første, der blev oprettet. Selv i sådanne tilfælde er ordinaliteten dog ikke altid fuldkommen, og den er kun sjældent interessant. Det er således ikke hverken givet eller interessant, om busrute 112 blev etableret før rute 83, eller om Zersenay Tadesse med nummer 1153 blev meldt til Olympiaden før eller efter deltageren med nummer 1152 (jf. eksempel 1). Og under alle

72497_epsilon_2k.indd 22 17-07-2008 15:20:43


omstændigheder giver det næppe mening at regne på tal, der benyttes til identifikation.

I alle vores eksempler ovenfor har vi brugt tal i konkrete sammenhænge. Det er også afgørende, at man gør det i undervisningen, ikke mindst i de første skoleår. Imidlertid er det hensigten, at børn efterhånden kommer til at operere på tal som matematiske størrelser, dvs. så tallenes mening også kommer fra deres relationer til andre tal uden reference til konkrete situa-tioner. Så forbindes 6 ikke bare med 6 perler, der skal tælles, men at August er den 6. ældste i klassen eller med at klassen er 6 bred, hvis det er elever i 1. klasse, man måler med. 6 får i stedet (også) sin mening fra sine relationer til andre tal, fx at 6 = 4 + 2, at 6 + 6 = 12, at 6 + 4 = 10, at 6 er det dobbelte af 3, og at 6 = 2 + 2 + 2, og meget senere at 6 er produktet af de to mindste primtal, at det er kvadratroden af 36, og at hvis man ganger 6 med radius i en cirkel, så får man med nogen tilnærmelse cirklens omkreds. I et sådant netværk af relationer bliver 6 ikke bare noget, man kan bruge til at beskrive sin omverden med. Tallet får nærmest genstandskarakter, det bliver noget, man kan gøre noget med. Det er et gennemgående argument i dette kapitel, at udviklingen af en sådan talforståelse bedst understøttes ved, at eleverne i de første skoleår i høj grad benytter konkrete genstande i deres talarbejde, så de fortolker symbol-ske talangivelser ved konkrete materialer eller tegninger, og at de omvendt anvender symboler som beskrivelser af konkrete situationer. Der er belæg for at sige, at det er i en sådan dobbeltbevægelse fra relativt konkrete stør-relser til symboler og fra symboler til konkrete størrelser, at talforståelser og talfærdigheder kan udvikles.

Når man som voksen har benyttet tal utallige (!) gange, synes forskellene i brugen af tal ubetydelige, ja måske endda svære at få øje på. Det skyldes, at tal netop har fået deres eget liv, så det er tallene, man opererer på, når man regner, snarere end de konkrete sammenhænge. Men for børn, der først er ved at udvikle en talforståelse, er det ikke indlysende, at tal, kan bringes i anvendelse på så forskellige måder.

72497_epsilon_2k.indd 23 17-07-2008 15:20:43


Opgave 2

Undersøg nogle matematiklærebøger for 1. klasse med henblik på at finde ud af, hvordan tallenes univers introduceres og hvordan man præsenterer de forskellige måder, som tal benyttes på.

Forslag:

Madsen, J. m.fl. (2006): Format 1. klasse. Elevbog. Alinea. s. 2-9.Jensen, H. N. m.fl. (2004): KonteXt 1- matematik. Elevbog A. Forlaget Malling Beck. s. 2-4 og s. 20Gregersen, P. m.fl. (2003): Matematrix 1A. Elevbog. Alinea. s. 44-45Høegh, J. m.fl. (2007): Matematiktak for 1. klasse. Bog 1. Alinea. s. 7-9: Hverdagens tal; s. 50: Temperatur.Freil, O. m.fl. (2001): Kolorit. Matematik for 1. klasse. Bog A. Gylden-dal. s. 2-3: Tæl og tal.Salomonsen, L.; Toft, K. (2004): Flexmat, Tal og algebra 1.-3. klasse, Gang og del med tal. Forlaget Malling Beck. s. 6-8: Tal i cifferby.Pedersen, M. B.; Krejlund, M; Krogshøj, L. (1992): Matematik i første. Grundbog. Gyldendal. s. 4-5: Find tal; s. 20-21: Kondisti; s. 26-27: Jul; 54-55: Store talPetersen, S. B.; Mogensen, A. (1996): Faktor i første. Elevbog A. For-laget Malling Beck. s. 12-13: Rim og remser; s. 17: Find vej til bolden; s. 20-21: Byen.

det indledende arbejde med tal – en tradition og kritikken af den

Ved skolestarten var der i en del år stor opmærksomhed rettet mod talfor-beredende aktiviteter. Det er aktiviteter som fx at

– Sortere geometriske figurer eller andet i grupper (mængder), fx efter form, farve, størrelse eller andet.

– Forsøge at forbinde to mængder, så hvert element i den ene mængde knyttes til netop et element i den anden mængde, dvs. at lave en en-til-en-korrespondence mellem elementerne, og – hvis det lykkes – at konkludere, at de to mængder er ækvipotente, dvs. lige store.

72497_epsilon_2k.indd 24 17-07-2008 15:20:43


– Ordne mængder efter størrelse uden nødvendigvis at tælle elementer, bl.a. i kontinuerte tilfælde.

Disse aktiviteter har deres baggrund i to inspirationskilder med tæt forbin-delse til hinanden. For det første kan de siges at trække på traditionen i den ny matematik2. Den ny matematik var en reform af skolematematikken, der fra begyndelsen af 1960’erne og i hvert fald i et årti frem fik stor indflydelse på undervisningen. Den byggede på et syn på matematik, der gjorde mæng-debegrebet til det centrale omdrejningspunkt. Det blev derfor afgørende, at eleverne kom til at arbejde med mængder, fx at opdele dem ved at sortere elementer. Desuden er ordning (fx efter størrelse) et centralt begreb i den ny matematik. Og med formuleringer fra mængdelæren er mængder lige store, hvis der kan etableres en-til-en-korrespondence mellem deres elementer, dvs. at der med funktionslærens sprogbrug er tale om en bijektion; derfor blev en-til-en-korrespondence et centralt begreb.

For det andet gennemførte den schweiziske biolog og psykolog Jean Piaget en række undersøgelser af børns taludvikling. De blev en væsentlig del af den psykologiske baggrund for den ny matematik. Piaget adskilte talbegrebet skarpt fra det at tælle. Talgrebet baserede han i stedet på formelle egenskaber ved mængder, fx en-til-en-korrespondence og på det, han kaldte konserva-tion. Piaget dokumenterede i en række undersøgelser, at børn på 5-6 år har svært ved at se, at en mængde bevarede (konserverede) sin størrelse, når der blev flyttet rundt på elementerne i den. De lader sig således vildlede af umiddelbare sanseindtryk. I et eksperiment med 5- og 6-årige børn ligger der en række røde brik-ker på bordet foran dem. Børnene bliver bedt om at tage lige så mange blå brikker op af en kasse, som der er røde på bordet. De 5-årige lægger typisk en række, der er lige så lang som rækken af blå brikker uden at tænke på antal. De 6-årige løser typisk opgaven ved en-til-en-korrespondance, idet de lægger en blå brik over for hver af de røde. Men hvis de røde brikker nu rykkes længere fra hinanden, vil også 6-årige typisk tro, at der er flest brikker i den lange række (Piaget 1953). Sådanne resultater fik Piaget til at konkludere, at der findes et logisk og mængdeteoretisk grundlag for talbegrebet, som må etableres, før der arbej-

2 Se evt. δ-bogen, s. 476 ff. for en kort introduktion til den ny matematik.

72497_epsilon_2k.indd 25 17-07-2008 15:20:43


des med tal og med at tælle. Dels kan de fleste børn på 5-6 år tælle, men altså uden at de nødvendigvis har forståelse af en-til-en korrespondence og kon-servation. Dels, siger Piaget, er der børn på 7 år, der ikke er gode til tal i sæd-vanlig forstand og til at tælle, men som alligevel har udviklet fundamentale forståelser af tal. Det viser sig fx ved, at de kan afgøre, om der er lige mange blå og røde perler på bordet foran dem ved at parre perlerne i de to grupper med hinanden, og ved at de ikke er i tvivl om, at antallet af perler er ufor-andret, hvis man flytter rundt på dem. Disse børn benytter sig altså af en-til-en-korrespondence og af konservation. De har så med Piagets sprogbrug udviklet et talbegreb på trods af deres svage færdigheder (Piaget 1953). Det er nærliggende at konkludere, at en 6-årig dreng ikke har et velud-viklet talbegreb, hvis han korrekt tæller 8 småkager i en kagedåse, men ikke ved:

– om der også er 8 kager, når han bagefter lægger alle kagerne ud på bordet, eller

– om der er kager nok til de 8 mennesker, der sidder ved bordet, og som han også har talt.

De aktiviteter (se s. 24), vi nævnte som indledning til dette afsnit, har til hensigt at udvikle sådanne forståelser, og de skal tjene som grundlag for elevernes senere arbejde med tal.

Imidlertid har undervisning, der lægger hovedvægt på tallenes logiske grundlag, været udsat for kritik, siden Piaget foretog sine undersøgelser. Det skyldes, at den udelukkende tager udgangspunkt i formelle forståelser af tal, som børn tilsyneladende mangler, og ikke hæfter sig ved de forståel-ser, børn har. Og det skyldes, at selve undersøgelserne sætter børn i ganske kunstige kliniske situationer, i stedet for at tage udgangspunkt i, hvordan de håndterer udfordringer med tal og med at tælle i hverdagssituationer. Der er derfor udviklet tilgange til det indledende arbejde med tal, der i højere grad tager udgangspunkt i det, børn kan, når de kommer i skole.

72497_epsilon_2k.indd 26 17-07-2008 15:20:43


Eksempel 2

Gustav er 7 år og 2 måneder gammel. Han går i børnehaveklasse og skal i 1. klasse om tre måneder. I et interview bliver Gustav bedt om at tælle og om at svare på forskellige spørgsmål om tal.(1) Gustav får først fire små bamser, og siden tre bamser mere lagt i samme bunke.Interviewer: Hvor mange er der her? [viser de første fire bamser]Gustav: Fire.Interviewer: Hvad så hvis du får dem her? Hvor mange har du så? [lægger 3 mere i samme bunke]Gustav: Seks.Interviewer: Hvordan fandt du ud af det?Gustav: Jeg talte dem inde i hovedet.Interviewer: Prøv igen – du må godt bruge fingeren.Gustav: [Tæller med en finger på hver] En, to, tre, fire, fem, seks, syv. Syv! [Råber det sidste Syv]

(2) Gustav bliver bedt om at tælle videre fra forskellige tal.Interviewer: Nu skal vi se, om du kan tælle. Jeg siger 28. Kan du så tælle videre.Gustav: 29 og så 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.Interviewer: Hvis jeg nu siger 77, kan du så tælle videre?Gustav: 78, 79… uhm.Int.: Og hvad så?Gustav (efter betænkningstid): Deroppe ved jeg ikke rigtig … Halv-fems?Interviewer: Det er firs, men det var alligevel meget flot.

(3) Gustav bliver spurgt om, hvad der kommer før forskellige tal:Interviewer: Hvad kommer lige før 8?Gustav: 1, nej 7.Interviewer: Hvad med 18?Gustav: 17.Interviewer: Hvordan ved du det?Gustav: Det vidste jeg bare.Interviewer: Så prøver vi med 20.

72497_epsilon_2k.indd 27 17-07-2008 15:20:43


Gustav: Jeg tænker lige … [der går 10 sekunder] … 19. Interviewer: Hvordan gjorde du det?Gustav: Jeg talte bare.Interviewer: Talte du fra 10 eller fra 1?Gustav: 1, 2, 3, …Interviewer: Hvad tror du så, der kommer lige før 103?Gustav: [tænker] 102.Interviewer: Hvordan fandt du det?Gustav: Jeg tænkte bare 3, så to, så hundrede, og så er det hundrede og to.

(4) Gustav får vist tre tierstænger af centicubes (hver af dem sat sam-men af to femmere i forskellige farver) og to løse centicubes.Interviewer: [tager en tier op] Hvor mange er der i sådan en?Gustav: [mumler]…syv, otte, ni, ti.Interviewer: [tager en anden tier] Hvad er der så i den?Gustav: [måler dem mod hinanden] Ti.Interviewer: Hvor mange er der i den her?Gustav: [han måler igen] Ti.Interviewer: Hvor mange er der i alt. Du må godt tælle højt.Gustav: [sidder lidt uden at sige noget] 30.Interviewer: Hvordan gjorde du det?Gustav: [vrider sig lidt] Ti, tyve, tredive.Interviewer: Men hvor mange i alt med dem der [peger på de to en-kelte centicubes].Gustav: Der var lige tredive, så var der to. Så der var 32.

Overvej/diskuter 1

Hvis man skal bygge sin undervisning på det, eleverne kan og ved i forvejen, må man jo vurdere det på baggrund af deres udtalelser eller opgaveløsninger.

Undersøg Gustavs svar i eksemplet ovenfor. Vurder på baggrund af hans reaktion på de fire situationer, hvad han kan og ved om tal og om det at tælle.

72497_epsilon_2k.indd 28 17-07-2008 15:20:43


Udvikling i tællestrategier og i forståelse af meningen med at tælle før skolestart

Fuson (1988, 2003) er en af dem, der har lagt vægt på det, børn kan, ikke kun på det, de ikke kan. Hun har undersøgt børns dagligdags problemløsning, når den involverer tal. Hun foreslår, at eleverne skal udvikle deres kunnen på talområdet i tæt sammenhæng med, at de udvikler en forståelse af de måder, man kan arbejde med tal på. Det kan ske med udgangspunkt i deres tællestrategier.

Fuson (1988) beskriver nogle udviklingstrin i barnets måder at tælle på. Tre af trinene i hendes beskrivelse handler (også) om udviklingen i før-skolealderen:

1) Talremsen som en streng: Barnet lærer talremsen ved bare at efterligne lydene uden at differentiere mellem de forskellige ord: entotrefirefem…. Hvis der kobles til genstande, der ‘tælles’, har de ingen fornemmelse af en-til-en-korrespondence mellem lydene og genstandene.

2) Talremsen som en ubrydelig liste: Barnet differentierer nu mellem de forskellige ord i talremsen. Ordene tænkes adskilt: en, to, tre, … Listen er ubrydelig, idet barnet bliver nødt til at begynde forfra hver gang eller i hvert fald at få hjælp til at komme ind i remsen. Mens barnet således ikke kan tælle videre fra seks, så kan det muligvis, hvis det bliver bedt om at fortsætte fra fire, fem, seks,…. Senere i denne fase kan det stoppe, når det kommer til et tal, som det bliver bedt om at tælle til. I denne periode begynder det at kunne koordinere talordene med en pegebevægelse og med de genstande, det peger på. Desuden kan det muligvis tælle kardinalt (for at finde hvor mange?), ordinalt (for at finde hvilken placering?) og for at måle (for at finde hvor mange enheder?). Desuden kan det finde simple summer, hvis det kan tælle sig til resultatet.

Eksempel 3

Kari på 5 år og 3 måneder spiller bold med sin morfar og sine brødre mod et andet hold. Hun laver et mål og skal finde ud af, hvor mange point hendes hold nu har.

72497_epsilon_2k.indd 29 17-07-2008 15:20:43


Morfar: Hvor mange har vi nu? … [Kari stopper og tænker i nogle sekunder] Hvor mange havde vi før?Kari: Tolv.Morfar: Hvor mange har vi så nu?Kari: En, to, tre, fire, fem, seks, syv, otte, ni, ti, elleve, tolv, tretten, fjor//Morfar: //hov!!Kari: … tolv, tretten. Tretten!

3) Talremsen som en kæde, der kan brydes: Her kan børn tælle videre fra tal i den del af remsen, de behersker, og de kan uden videre angive det ef-terfølgende og det foregående tal. Ethvert tal hænger således sammen med det foregående og det efterfølgende, hvilket er grunden til, at Fuson taler om kæde snarere end om en liste. På dette niveau begynder børn også at kunne tælle baglæns.

Eksemplet med Gustav ovenfor viser, at Gustav har en ganske veludviklet talforståelse. I forbindelse med det første spørgsmål viser han, at han beher-sker kardinal integration. Det gør han ganske eksplicit ved at sige: “en, to, tre, fire, fem, seks, syv. Syv!” Mens den første af de to gange, han siger syv, refererer til den syvende bamse, så angiver den sidste mængdens størrelse, dvs. kardinalitet. Desuden illustrerer eksemplet med Gustav, at et barn, der har udviklet en tællestrategi til et vist niveau, godt kan benytte en strategi, der hører et tid-ligere niveau til. Gustav kan godt tælle videre i den del af tælleremsen, som han behersker (jf. hans svar på (2)). Imidlertid tæller han ikke af sig selv vi-dere i sit svar på (1), hvor han har 4 bamser og får 3 mere. I den situation tæl-ler han alle bamserne forfra. Man kan ikke af situationen se, om han gør det af hensyn til intervieweren, og om han faktisk talte videre fra 4 første gang, han gav et svar. Men for et barn på hans alder ville det være ganske almin-deligt at tælle forfra. At det muligvis også er tilfældet for Gustav, kan man få indtryk af ved at se på hans svar på (3). Her viser han, at han tit ved, hvilket tal der går forud for et, han præsenteres for. Han kan dog ikke umiddelbart angive forgængeren til 20. For at finde det begynder han at tælle fra 1, mens han måske kunne have begyndt fra 10 eller fra et andet tal.

72497_epsilon_2k.indd 30 17-07-2008 15:20:43


Penny Munn har også undersøgt, hvad børn kan med tal, snarere end hvad de ikke kan (fx Munn 1997). Hun spørger dog først, hvad rationalet var bag det hidtidige fokus på de logiske ‘mangler’ ved små børns talforståelse. Hun henviser bl.a. til Piagets resultat om manglende konservation og siger desuden, at undersøgelser syntes at have vist, at:

– Små børn, der ser ud til at kunne tælle, ikke kan gøre det, hvis det, de tæller, ikke ligger på række. Hvis genstandene fx ligger i rundkreds, tæl-ler børn typisk ikke hver genstand netop én gang. Det tages som udtryk for manglende forståelse af en-til-en-korrespondance mellem talord og genstande.

– Hvis 3-4-årige børn bliver bedt om at finde ud af, hvilken af to mængder der indeholder flest elementer, så tæller de ofte slet ikke, medmindre de bliver direkte bedt om det.

Disse resultater peger altså på tilsyneladende mangler ved børns talbegreb, og de udgør en del af baggrunden for den talforberedende undervisning. Men til trods for resultaterne, siger Munn, har børn faktisk en talforstå-else. Når tidligere forskning ikke var opmærksom på det, skyldes det, at den ikke i tilstrækkelig grad så tal og tællesituationer fra børnenes side. Hvis man gør det, siger hun, kan man med rette sige, at børn helt ned til 3- og 4-års-alderen kan benytte grundlæggende aspekter af at tælle, hvis de tal, de skal arbejde med, er små nok. Andre undersøgelser har, siger hun, påpeget, at førskolebørn har grundlæggende forståelser af addition og subtraktion. Munn undersøgte tal- og tælleforståelsen hos 56 skotske børn i 4-5-års-alderen. Hun besøgte børnene fire gange, fra de gennemsnitligt var 4 år og 3 måneder gamle, til de var 5 år og 4 måneder, og fulgte dem dermed fra deres sidste år i børnehaven til de netop var begyndt i skolen. Børnene blev stillet fem spørgsmål. De tre første skulle undersøge, hvad børnene kunne med hensyn til at tælle. De blev bedt om:

1) At tælle så langt de kunne; idéen var at finde ud af, hvor meget af tæl-leremsen de kunne.

2) At tælle klodser; idéen var at se, hvor langt de kunne koordinere talord med bevægelse og klods.

72497_epsilon_2k.indd 31 17-07-2008 15:20:43


3) At give intervieweren et antal klodser; idéen var at afgøre, hvor langt de havde udviklet kardinal integration.

Det var et generelt resultat af undersøgelsen, at børnene kunne tælleremsen længere, end de kunne tælle klodser, og at de kunne tælle flere klodser, end de kunne give til intervieweren. Desuden bemærkede Munn, at bør-nene kun udviklede sig lidt i forhold til, der skulle teste deres forståelse af kardinalitet. Hun fandt, som vi ser i det følgende en forklaring på dét i svarene på de to sidste af de fem spørgsmål, hun stillede, spørgsmål om, hvad børnene tæller, og hvorfor de tæller.

De to sidste spørgsmål skulle ikke teste, hvor dygtige børnene var til at tælle, men undersøge deres forestillinger om tal og om at tælle. Det generelle re-sultat var, at små børn sjældent forstår voksnes formål med at tælle. Der var således kun ét barn, der før hun kom i skole sagde, at hun talte for at “finde ud af hvor mange”. Så selv om alle børnene i en vis grad kunne tælle (i betydnin-gerne at kunne tælleremsen, at koordinere talord med bevægelse og genstand og at give et antal klodser), talte de ikke af samme grunde som voksne. Ved det sidste besøg, da børnene var begyndt i skole, fandt Munn fire kategorier af svar på hvorfor-spørgsmålet (Munn 1997, vores oversættelse). Børnene sagde, at de talte:

– For sjov, fx “fordi jeg har lyst”; “bare fordi jeg gør” (kategori 1).

– For at leve op til andres forventninger, fx “min fætter siger, jeg skal”; “fordi min far og mor gerne vil have, jeg gør det” (kategori 2).

– For at lære, fx “fordi så kan jeg lære at kende tallene”; “for at lære alle mine tal” (kategori 3).

– For at finde ud af, hvor mange der er, fx “for at vide, hvor meget legetøj der er” (kategori 4).

Der var fem børn i kategori 4, syv i kategori 3 og to i kategori 2. Resten, dvs. 42 af de 56 børn, gav enten svar i kategori 1 eller gav svar, der ikke gav mening i relation til spørgsmålet.

Det ser således ud til, at børn omkring skolestart nok kan tælle, men at de sjældent deler voksnes opfattelse af meningen med at tælle. Det skyldes,

72497_epsilon_2k.indd 32 17-07-2008 15:20:43


foreslår Munn, at tælleaktiviteter for små børn typisk har legekarakter og ikke anvendes til at bestemme hvor mange. Derfor er børn ikke op-mærksomme på at tælle hver genstand netop én gang, på om antallet er det samme, når man flytter rundt på genstandene, og på overhovedet at begynde at tælle, når de får stillet spørgsmål om hvor mange? Tælleaktivitet er for de børn ikke et spørgsmål om at fastlægge noget kvantitativt. Det er et spørgsmål om at være med i en social proces, der grundlæggende har karakter af en leg.3

Undersøgelse 1

Kontakt den lokale skole eller få på anden måde kontakt til nogle børn i alderen 6-8 år. I kan evt. planlægge det, så forskellige grupper på holdet arbejder med børn i forskellige aldre inden for aldersgrup-pen. Planlæg og gennemfør et interview med en gruppe på 2-3 børn om tal, om at tælle og/eller om regnearterne. Afhængig af børnenes alder kan I fx undersøge:Hvor langt de kan tælle.Hvilke fortællinger om at tælle og evt. om at regne, de kan fortælle.Hvilke tællestrategier, de benytter.Hvilke additionsstrategier, de benytter.Hvilke ….

Tællestrategier som udgangspunkt i undervisning

I forlængelse af de refererede resultater giver Munn nogle forslag til arbej-det med tal i skolestarten. Det er en grundlæggende idé, at børns sociale og legeorienterede tællen skal tages alvorligt som udgangspunkt for, at de gradvist inddrages i at tælle for at kvantificere, bl.a. i situationer hvor de selv ønsker at antalsbestemme. De skal altså udvikle deres kunnen i og forståelse af at tælle (og senere i anden talbehandling) ved at engagere sig i situationer, hvor de har behov for at kvantificere.

3 Denne forklaring er i høj grad forenelig med Sfards forklaring på, at børn på 4-5 år ikke be-gynder at tælle, når de skal sammenligne antal. Vi diskuterede Sfards eksempel i forbindelse med δ-bogens behandling af læring som deltagelse (s. 94 ff.). Med Sfards terminologi kan man sige, at børnene i Munns undersøgelse endnu ikke har individualiseret den rutine, det er at underbygge matematiske fortællinger om antal med et tælleritual.

72497_epsilon_2k.indd 33 17-07-2008 15:20:43


Munns forslag til undervisning bygger på, at meningsfuldt arbejde med tal ikke forudsætter en forståelse af grundlæggende principper om fx konserva-tion og en-til-en-korrespondance, men at forståelsen af disse principper kan være resultat af deltagelse i de tællesituationer, der handler om at kvantificere. Dette står i modsætning til Piagets forslag om, at man ikke skal arbejde med tal i skolen, før eleverne har udviklet forståelse af en-til-en-korrespondance og konservation.

Der er ikke fuld enighed om, hvordan vægtningen skal være mellem de grundlæggende principper og deltagelse i tællesituationer i den indledende undervisning i tal og regning. På baggrund af resultater som fx Fusons og Munns synes det dog rimeligt ikke at lægge entydig vægt på de talforbereden-de principper som fx en-til-en-korrespondance og konservation. Elevernes forståelse af disse principper kan udvikles samtidig med eller i forlængelse af, at de videreudvikler deres tællestrategier. Samtidig kan tællestrategierne danne udgangspunkt for, at eleverne udvikler mere generelle metoder til an-talsbestemmelse i forbindelse med fx addition og subtraktion.

IndlEdEndE AddITIon oG SUBTRAKTIon

Der er grundlæggende to typer af udfordringer for eleverne i indskolingen i relation til addition og subtraktion. Den ene er at genkende og opstille situationer, der er additive i den forstand, at addition eller subtraktion brin-ges i anvendelse. Der er flere forskellige af den slags situationer, og for små børn er det ikke umiddelbart indlysende, at man kan bruge den samme procedure i dem alle. En af udfordringerne for børn i de første skoleår er altså at lære additive situationer at kende. Den anden udfordring for eleverne er at udvikle deres mere tekniske for-måen i forbindelse med at finde summer og differenser og at udvikle deres faglige forståelser i forbindelse hermed. Især skal de udvikle deres forståelse af 10-talssystemet samtidigt med, at de bygger videre på deres kunnen og forståelse af talbehandling. Der er udviklet en del forslag til, hvordan børn kan arbejde med forstå-elsen af additive situationer og med deres tekniske kunnen og forståelse samtidig. Vi skal lige straks se på et sådant forslag. Men først skal vi se på eksempler på elevers arbejde med addition og subtraktion.

72497_epsilon_2k.indd 34 17-07-2008 15:20:43


Eksempel 4

Elever i 1. klasse har forsøgt at vise, hvordan de adderer 5 + 7.

Figur 2.

Elever i 1. klasse har lavet subtraktionsopgaver.

Figur 3.

72497_epsilon_2k.indd 35 17-07-2008 15:20:44


En elev i 1. klasse må købe for 70 kr.

Figur 4.

Overvej/diskuter 2

Se på elevernes besvarelser i eksemplerne ovenfor. Overvej, hvordan de kan have tænkt, og hvad der er styrker og svagheder i det, de har gjort.

Overvej og diskuter, hvordan man som lærer til disse elever kan for-holde sig til disse besvarelser.

Eksempel 5

I Standards 2000 er der et eksempel på en opgave, der er stillet til en 2. klasse (NCTM, 2000, s. 86-87). Opgaven lyder (i vores oversættelse): “På vores skole er der 153 elever. På den skole, der ligger længere nede ad gaden, er der 273 elever. Hvor mange elever er der på begge skoler til sammen?”

Nogle elever skriver de to addender under hinanden, og lægger enere, tiere og hundreder sammen efter hinanden. Nogle af disse elever får 426 som resultat, mens andre får 3126. En elev, Randy henter konkrete materialer i form af bønner og bean sticks, små pinde som eleverne selv har lavet tidligere (10-15 cm lange ‘ispinde’, med 10 bønner limet på hver) for at finde sin løsning. Han er ikke sikker på, hvordan han skal skrive sit arbejde op, så han tegner det (se figur 5).

72497_epsilon_2k.indd 36 17-07-2008 15:20:44


Figur 5.

Ana skriver som vist i figur 6 og finder svaret 426.

Figur 6.

Overvej/diskuter 3

Læs beskrivelsen af elevernes besvarelser i eksemplet ovenfor. Overvej, hvordan børnene kan have tænkt, og hvad der er styrker og svagheder i det, de har gjort.

Overvej og diskuter, hvordan man som lærer i den 2. klasse kan reagere på den mangfoldighed af måder at arbejde med oplægget på.

Eksemplerne ovenfor viser, at børn kan gå til addition og subtraktion på en række forskellige måder. I det sidste eksempel forsøger nogle med større eller mindre held at bruge en standardalgoritme. Andre finder konkrete materialer, som de støtter sig til. Og atter andre skriver notater for at holde fast i delresultater, som de kan bruge for at finde et svar.

Det ser således ud, som om eleverne har udviklet ganske forskellige pro-cedurer til løsning af de pågældende oplæg. Imidlertid er kompleksiteten

72497_epsilon_2k.indd 37 17-07-2008 15:20:45


for eleverne ikke bare knyttet til teknisk at kunne finde summen af nogle tal. De skal også kunne se eller finde frem til, at det overhovedet er det, der er opgaven. De skal altså kunne genkende situationen som en, hvor de indgående tal skal lægges sammen. Det er ikke helt så enkelt, som det lyder, hvilket skyldes, at addition og subtraktion bringes i spil i en række forskellige situationer.

Additive situationer – når addition og subtraktion kan bringes i spil

I eksempel 5 ovenfor er der tale om en additionssituation, hvor børnene skal finde det samlede antal elever på to skoler. Der er således to mængder, nemlig børnene på hver af de to skoler, hvis elementer betragtes under et. Svaret på spørgsmålet, 426 elever, kunne være svar på, hvor mange elever, der skal købes is til ved skolernes fælles idrætsdag. Der er imidlertid andre end den slags situationer, der giver anledning til addition. Fx kan “Caroline har 273 kr. Tesfai har 153 kr. mere end Caroline. Hvor mange penge har Tesfai?” give anledning til samme addition som ovenfor. Situationen er dog ikke umiddelbart af samme slags, og små børn vil typisk løse den anderledes, end de løser den første. Der er derfor grund til at kategorisere additive situationer, dvs. situationer der kan behandles med addition eller subtraktion. Det har de gjort i et udviklingsprogram, der hedder Cognitively Guided Instruction. Vi skal begynde med at se på et eksempel om Rachel, en elev i 1. klasse (Carpenter, Fennema & Franke 1996):4

Overvej/diskuter 4

Lærer: TJ havde 13 chokoladesmåkager. Han spiste 5 af dem til frokost. Hvor mange småkager har han tilbage?Rachel: [Lægger 13 kastanjer3 på bordet, fjerner 5 af dem og tæller resten] Der er 8.Lærer: Fint. Nu skal du se, her er en anden en. Jenelle har 7 trolde i sin samling. Hvor mange flere trolde skal hun købe for at få 11?

4 I tektsten fra Carpenter, Fennema & Franke står der bare, at det er tællematerialer, ikke at det er kastanjer.

72497_epsilon_2k.indd 38 17-07-2008 15:20:45


Rachel: [Lægger 7 kastanjer på bordet; så lægger hun flere, indtil hun har 11; så tæller hun dem, hun lagde til.] Fire.Lærer: Det er godt. Her er en mere. Willy har 12 farveblyanter. Lucy har 7 farveblyanter. Hvor mange flere farveblyanter har Willy end Lucy?Rachel: [Laver to bunker af kastanjer, en med 12 den anden med 7. Hun lægger dem op i to rækker, så dem i bunken med 7 passer med 7 af dem fra bunken med 12. Så tæller hun dem i rækken med 12, der ikke har en ‘makker’ i bunken med 7] Fem mere.(Carpenter, Fennema & Franke, 1996 s. 7, vores oversættelse).

Se på de tre spørgsmål i eksemplet ovenfor og på Rachels løsninger. Karakteriser de tre situationer. Overvej hvordan I selv ville finde sva-rene, og sammenlign med Rachels metoder.

Carpenter, Fennema & Franke og Cognitively Guided Instruction

Cognitively Guided Instruction (CGI) er et amerikansk udviklingsprogram for matematik i de mindste klasser. Det er ledet af Thomas Carpenter, Eli-zabeth Fennema og Megan Franke (fx Fennema m.fl. 1996; Carpenter, Fen-nema & Franke 1996). Det er et udgangspunkt for CGI, at eleverne bringer forståelser med sig til undervisningen, som deres fortsatte læring skal bygge på. Eleverne kan og skal altså udvikle stadigt mere avancerede måder at behandle fx additive situationer på ved gradvist at forfine deres foreløbige og mere intuitive tænkning. Fx kan udgangspunktet være Rachels tænkning om og løsninger af de tre spørgsmål i eksemplet ovenfor. En sådan gradvis udvikling af stadigt bedre metoder står i kontrast til en undervisning, hvor eleverne til en begyndelse instrueres i bestemte metoder, som de forventes at overtage i færdig form. Undervisningen skal altså ifølge CGI orientere sig mod de forståelser og færdigheder, eleverne i klassen har. Det er da lærerens opgave at fortolke og udfordre elevernes aktuelle tænkning. Men for at kunne det, må hun have redskaber at fortolke med. Derfor har CGI udviklet generelle modeller af børns tænkning om tal og regnearterne, som man kan benytte som perspek-tiv på sine egne elevers arbejde. Modellerne omfatter dels en kategorisering af additive situationer, dels en beskrivelse af en typisk progression i elevernes arbejde med dem.

72497_epsilon_2k.indd 39 17-07-2008 15:20:45


CGI beskriver fire kategorier af additive situationer. De er udviklet ved en analyse af, hvordan børn tænker om situationerne. I de to første situationer er der en handling involveret. Det er (1) i foreningssituationer (join), hvor adskilte mængder føres sammen, og (2) i adskillelsessituationer (separate), hvor en mængde deles op i to. Derudover opererer CGI (3) med situationer med del-del-helhed (part-part-whole), hvor en størrelse (helheden) består af to dele, men hvor der ikke er en handling involveret, og (4) med sammenlig-ningssituationer (compare). I oversigten over situationerne bruger de i dem alle et eksempel med to børn, Connie og Juan og deres marmorkugler.

Problem typeJoin (Result Unknown)

Connie had 5 marbles.Juan gave her 8 moremarbles. How manymarbles does Conniehave altogether?

(Change Unknown)Connie has 5 marbles.How many moremarbles does she needto have 13 marblesaltogether?

(Start Unknown)Connie had somemarbles. Juan gave her5 more marbles. Nowshe has 13 marbles.How many marbles didConnie have to startwith?

Separate (Result Unknown)Connie had 13marbles. She gave 5 toJuan. How manymarbles does Conniehave left?

(Change unknown)Connie had 13marbles. She gavesome to Juan. Now shehas 5 marbles left. Howmany marbles didConnie give to Juan?

(Start Unknown)Connie had somemarbles. She gave 5 toJuan. Now she has 8marbles. How manymarbles did Conniehave to start with?

Part- Part-Whole

(Whole Unknown)Connie has 5 red marb el s and 8 bluemarbles. How many marbles doesshe have?

(Part Unknown)Connie has 13 marb el s. 5 are redand the rest are blue. How many bluemarbles does Connie have?

Compare (Difference Unknown)Connie has 13 marbes.Juan has 5 marbles.How many moremarbles does Conniehave than Juan?

(Compare QuantityUnknown)Juan has 5 marb el s.Connie has 8 morethan Juan. How manymarbles does Conniehave?

(Referent Unknown)Connie has 13 marbles.She has 5 moremarbles than Juan.How many marblesdoes Juan have?

Figur 7. oversigt over additive situationer hos Carpenter m.fl. (1999, s. 12).

Nogle af eksemplerne i oversigten fra Carpenter m.fl. synes så lig dem i andre kategorier, at man kan spørge sig, om de ikke lige så godt kan placeres andre steder i skemaet. Det gælder fx den del-del-helhed-situation, at “Connie har 5 røde og 8 blå marmorkugler. Hvor mange har hun i alt?” Den situation kan måske også ses som en situation, hvor de røde og de blå kugler forenes i en mængde. Den for eleverne væsentlige forskel er imidlertid, at der her ikke er tale om en handling. Hvis formuleringen havde været, at “Connie har 5 røde marmorkugler på bordet, og nu henter hun 8 blå. Hvor mange har hun så på bordet”?, så ville det være en foreningssituation.

72497_epsilon_2k.indd 40 17-07-2008 15:20:45


Det er altså en væsentlig del af udfordringen for eleverne i de første skoleår at lære, hvornår addition og subtraktion kan bringes i spil. De skal derfor arbejde med disse forskellige typer af additive situationer. Desuden skriver Fuson (2003), at hvis eleverne skal udvikle en forståelse af, hvornår addition og subtraktion kan bringes i spil, skal de tage de omverdenssituationer, de stilles over for, alvorligt, ved fx at tegne eller på anden måde repræsentere situationerne for sig selv. Antag for eksempel, at eleverne stilles over for en opgave som: “Erika havde $ 8. I aftes skulle hun babysitte, og nu har hun $ 14. Hvor meget tjente hun ved at babysitte?” Eleverne vil normalt repræsentere situationen, så ændringen hænger sammen med de $ 8, og tænke, tegne eller skrive noget, der formelt kan repræsenteres som 8 + A = 14. I modsætning hertil vil, siger Fuson, lærebøger (og lærere inspireret af bøgerne) presse eleverne til at skrive 14 – 8.

Overvej/diskuter 5

Vend tilbage til eksemplet med det samlede antal elever på to skoler (jf. s. ***). Placer situationen i oversigten over additive situationer fra Carpenter m.fl. Diskuter, om den kan placeres flere steder.

Se også på det andet tidligere eksempel: “Caroline har 273 kr. Tesfai har 153 kr. mere end Caroline. Hvor mange penge har Tesfai?” Placér også denne i oversigten over additive situationer fra Carpenter m.fl. Diskuter igen, om den kan placeres flere steder.

Udviklingen i børns arbejde med additive situationer

Som vi så, brugte eleverne meget forskellige tilgange til løsning af opgaven i eksempel 5. Nogle brugte standardalgoritmer, andre nogle mindre standar-diserede skriftlige notationer, og endnu andre brugte konkrete materialer. Der er et udviklingselement i disse løsninger, som vi skal se på i det følgende. Det skal vi gøre ved igen at referere til CGI og til Fusons beskri-velse af udviklingen i små skolebørns metoder i additive sammenhænge. Vi begynder med at se på et par eksempler fra CGI om additive situationer i forbindelse med en- og tocifrede tal.

72497_epsilon_2k.indd 41 17-07-2008 15:20:45


Addition og subtraktion – tal op til 205

Eksempel 6

Karla, der går i indskolingen4, får stillet opgaven:

Roger har 13 klistermærker. Han giver nogen til Colleen. Så har han 4 klistermærker tilbage. Hvor mange gav han til Colleen? (Carpenter m.fl. 1999 s. 17, vores oversættelse).

Karla tæller først 13 kuber (som centicubes) op. Hun begynder så at fjerne kuber langsomt og en efter en. Da hun har fjernet 6, tæller hun dem, der er tilbage. Hun fjerner 3 mere og tæller igen resten. Nu er der fire. Hun tæller så dem, hun har fjernet og siger: “Han gav hende 9.”

Karlas strategi er et eksempel på det, Carpenter og hans kolleger kalder di-rekte modellering. Ved direkte modellering benytter eleven tællematerialer, her kuber, til at repræsentere de genstande, der skal regnes på i situationen. Direkte modellering kan komme i betragtning i forbindelse med alle de fire hovedgrupper af additive situationer i oversigten fra Carpenter m.fl.

Efterhånden behøver børn ikke længere have fysiske repræsentationer af de genstande, de skal arbejde med. De kan så benytte mere abstrakte tæl-lestrategier uden fysisk repræsentation. Et eksempel er Ann, der arbejder med følgende oplæg:

Robin havde 8 legetøjsbiler. Hendes forældre gav hende nogle flere til hendes fødselsdag. Så havde hun 13 biler. Hvor mange biler fik hun af sine forældre? (Ibid., s. 16).

Ann sidder lidt og tænker. Så siger hun: “Otte [pause], ni, ti, elleve, tolv, tretten”, og for hvert tal hun siger efter otte, strækker hun en finger. Da hun er færdig, ser hun på sin nu udstrakte hånd og siger: “De gav hende 5”.

5 Det fremgår ikke af teksten nøjagtigt, hvor gammel Karla er, eller hvilken klasse hun går i.

72497_epsilon_2k.indd 42 17-07-2008 15:20:45


Overvej/diskuter 6

1) Hvilken hovedgruppe og undergruppe af additive situationer er der tale om i eksemplet med Karla? (brug Carpenter m.fl.’s opdeling).

Udvikl oplæg til en 1. klasse om en situation fra hver af de andre ho-vedgrupper og overvej og diskuter, hvordan I tror, en elev ville kunne arbejde med oplægget ved direkte modellering.

2) Hvilken hovedgruppe og undergruppe af additive situationer er der tale om i eksemplet med Ann (stadig i Carpententer m.fl.’s op-deling)?

Se igen på de oplæg, I udviklede ovenfor. Overvej og diskuter, hvordan I tror, en elev i 1. klasse ville kunne arbejde med oplæggene med en tællestrategi uden konkrete materialer.

Både med og uden konkrete materialer til rådighed er der en typisk pro-gression i de måder, hvorpå indskolingsbørn vil håndtere opgaver som dem i eksemplerne ovenfor. Fuson (2003) har beskrevet denne progression på baggrund af en læsning af omfattende forskning på området. Grundlæg-gende udfordrer forskningsresultaterne idéen om, at der er nogle talfacts for etcifrede tal, som man må træne som udenadslære som udgangspunkt for det senere talarbejde. Man behøver således ikke at begynde med at træne summer som fx 5 + 6 = 11. Derimod kan man bygge på, at eleverne kan tælle. Vi så tidligere på Gustav, der skal finde ud af, hvor mange bamser han har på bordet foran sig, når han først har 3 og så får 4 mere (jf. s. ***). Vi foreslog, at han muligvis først talte de fire, derefter de 3 og endelig dem alle 7. Hvis det er en rigtig fortolkning, er det udtryk for det, Fuson omtaler som en tæl-alle-strategi. Det typiske næste skridt er, at børn opdager (og kan hjælpes til at opdage), at de ikke behøver at tælle elementerne i den første mængde. Uanset om de har konkrete hjælpemidler til rådighed eller ej, kan de så begynde at bruge en tælle-videre-strategi. Ann bruger en avanceret udgave af at tælle videre i eksemplet ovenfor, hvor hun skal finde, hvor mange nye biler Robin har fået, når hun før havde 8 og nu har 13. Ann tæller videre fra 8 op til 13 uden

72497_epsilon_2k.indd 43 17-07-2008 15:20:45


tællematerialer. Men samtidig bruger hun sine fingre til at tælle de tal, hun bruger, til at tælle videre med. Ann kender den ene addend og resultatet af en addition og tæller altså op fra den kendte addend til resultatet. I en anden situation kunne hun have fået at vide, at Robin har 5 blå biler og 8 røde biler, og være blevet spurgt om, hvor mange Robin så har i alt. Hun havde muligvis talt: “Fem. Fem, seks, syv, otte, ni, ti, elleve, tolv, tretten. Tretten!” Hun havde da talt videre fra den første addend. Det næste typiske udviklingsskridt er at tælle videre fra den største addend, her fra 8. Det forudsætter, at eleven efterhånden indser og kan benytte, at addendernes orden er ligegyldig.

Et næste udviklingstrin i forbindelse med additive situationer er at basere sig på huskede talfacts eller det, der på engelsk omtales som derived number facts, udledte talfacts. Udledte talfacts er resultater, som eleverne selv og ofte relativt enkelt kan komme frem til med udgangspunkt i resultater, de kender i forvejen. Det giver Carpenter og hans kolleger eksempler på.

Eksempel 7

Fire elever skal løse opgaven: “Der sidder 6 frøer nede ved mosen. Så kommer der 8 frøer mere. Hvor mange frøer er der nu?” De svarer næsten umiddelbart og samtidig 14. De forklarer:

Rudy: Fordi 6 og 6 er 12, og 2 mere, det er 14.Denise: 8 og 8 er 16. Men det her er 8 og 6. Det er 2 mindre, så det er 14.Theo: Jamen, jeg tog 1 fra de 8 og gav det til de 6. Så bliver det 7 og 7 og det er 14.Sandra: 8 og 2 er 10, og 4 mere er 14.(Carpenter m.fl. 1999 s. 24.)

De fire svar i eksemplet afspejler to grundlæggende metoder til at finde udledte talfacts med. Den ene er at bruge fordoblinger. Rudy, Denise og Theo finder alle en fordobling, der ligger tæt på opgavens tal og benytter fordoblingen som delresultat for at finde svaret på den stillede opgave. Den anden grundlæggende metode er den, Sandra bruger. Hun bygger en 10’er og regner videre derfra. Fordobling og byg-10 er gode metoder til at finde udledte talfacts. De

72497_epsilon_2k.indd 44 17-07-2008 15:20:45


fleste børn lærer sig relativt hurtigt resultatet af fordoblinger, og de kan lære at tælle op eller ned fra resultatet af fordoblinger for at finde resultater af andre additionssituationer. At bygge 10’er er en vigtig strategi, fordi det er en strategi, der både kan bygge på og videreudvikle elevernes forståelse af titalssystemet (se s. *** ff.).

Udviklingen af udledte talfacts kan knyttes til det begreb om antaget-fælles matematiske praksisser, som Paul Cobb og hans kolleger har udviklet, og som vi beskriver i δ-bogen (s. 142 ff.). Man kan som lærer sammen med eleverne udvikle en tradition, hvor det er en del af normerne i klassen, at man skal retfærdiggøre sine forslag og resultater, at man skal forsøge at forstå andres forklaringer, og at man skal give udtryk for og begrunde enighed og uenighed. I en sådan klasse bliver den fælles diskussion af løsninger og løsningsstrategier central. Det er da lærerens opgave både proaktivt og reaktivt at privilegere metoder, der fx bygger på omgrupperinger af tal som de to netop viste.

Overvej/diskuter 7

Forestil jer, at Denise er blevet bedt om at svare på spørgsmålet med frøerne i eksemplet ovenfor. Andre elever i klassen har brugt tæl-alle ved hjælp af konkrete materialer eller tæl-videre fra enten den første eller den største addend med eller uden konkrete materialer. De fleste er enige i resultatet. Denise bliver bedt om at forklare sin fremgangs-måde, og der kan da ske følgende:

Denise: 8 og 8 er 16. Men det her er 8 og 6. Det er 2 mindre, så det er 14.Lærer: “8 og 8 er 16 og så er det 2 mindre”, siger du. Forstod I det alle sammen? Er der en anden, der kan forklare, hvordan det er, Denise har gjort?Danny: Jamen, jeg har også fået 14, men jeg har talt…Lærer: Så du har talt, det var da også en god måde, men er der nogen, der kan forklare mig Denise’ måde? … Denise, så må du prøve selv igen.Denise: Jamen, hvis det var 8 + 8 så var det 16. Men så er jeg jo kommet 2 for langt, for 8 er to mere end 6, og så skal jeg jo 2 tilbage igen.

72497_epsilon_2k.indd 45 17-07-2008 15:20:45


Overvej og diskuter, hvordan læreren kan bygge videre på Denise’ idé med fordobling som udgangspunkt for en fortsat klassesamtale

Digt en dialog om Sandras forslag til løsning af det samme problem. Læg især vægt på lærerens rolle i og bidrag til dialogen.

oPSAMlInG På KAPITEl 1

– I δ-bogen har vi på side 311 vist en såkaldt videnspakke for subtraktion6. Konstruer selv en videnspakke for addition af tallene op til 20.

– Forestil jer, at I skal holde et kvarters oplæg om arbejdet med tal ved et forældremøde i jeres 1. klasse. Lav en disposition for oplægget.

6 Se også side *** i kapitel 4 hvor der er vist en videnspakke for multiplikation med tocifrede tal.

72497_epsilon_2k.indd 46 17-07-2008 15:20:45

KAPITEl 2 · MATEMATISKE TEoRIER FoR nATURlIGE TAl · 47

2mATEmATIskE TEorIEr For nATUrlIGE TAl

I δ-bogen gengav vi i en vignet til kapitlet “Hvad er matematik” det berømte citat af den tyske matematiker Kronecker: “Gud har skabt de naturlige tal, alt andet er menneskeværk”. Han skrev dette omkring 1880, hvilket mar-kerer en tid i historien, hvor det var lykkedes matematikerne at beskrive og konstruere de rationale tal, reelle tal og komplekse tal på grundlag af de naturlige tal.

TællETAl (oRdInAlTAl)

Der var imidlertid mange matematikere, der mente, at også de naturlige tal var menneskeværk og ikke noget naturen iboende, som navnet eller kunne antyde. Det lykkedes for den italienske matematiker Giuseppe Peano (1858-1932) at konstruere de naturlige tal på et meget lille aksiomatisk grundlag og altså uden referencer til naturen. Han var ikke den første, der prøvede det, men det var ham, der kom til at lægge navn til denne kon-struktion: Peanos aksiomer. De optræder første gang i hans latinske værk fra 1889 Arithmetices principa, nova methodo exposita, hvilket på dansk betyder “Aritmetikkens principper, fremstillet efter en ny metode”. For en lærerstuderende er det vigtigt i denne sammenhæng at adskille pædagogik og matematik. Pædagogen vil gerne give den mest anskuelige og hverdagsagtige forklaring på de naturlige tals egenskaber, mens mate-matikeren har brug for at bevise disse egenskaber uafhængigt af den ydre verdens beskaffenhed. Og det var det sidste projekt, som Peano gik ombord i. Det var bl.a. hans hensigt at definere, hvad det ville sige at addere to tal uden at henvise til konkrete fænomener som sammenskubning af æbler eller kugler på en kugleramme. Vi vil kort give et indtryk af, hvad Peano opnåede, idet vi vælger at præsentere hans arbejde vha. en af de knap så abstrakte

72497_epsilon_2k.indd 47 17-07-2008 15:20:45


udgaver af hans aksiomer. Populært sagt bygger hans teori på tælleremsen og lægger således i første omgang en særlig vægt på rækkefølge og orden i tallene, hvorfor teorien knytter an til det, vi i kapitel 1 kaldte ordinaltal. Man kan også lægge vægten på, at tal er opstået som en abstraktion fra konkrete mængder. En sådan faglig teori, der blev udviklet for mere end 100 år siden, benytter den tekniske term kardinaltal for tallene. De to teorier eller syn på tal må begge – i tilpas modificeret form – tænkes ind i undervisningen i skolen. Gennem arbejdet med dette kapitel opnås et grundlag herfor, idet læseren vil:

– Få indsigt i Peanos aksiomatiske opbygning af de naturlige tal, ordinal-tal.

– Kende til opbygningen af de naturlige tal baseret på mængdelæren, kar-dinaltal.

– Kunne bevise nogle af de associative, kommutative og distributive love, der gælder for de naturlige tal med addition og multiplikation.

– Vide, hvordan de omvendte regningsarter til addition og multiplikation, subtraktion og division, kan defineres og udvikles inden for teorierne.

– Kunne fortolke disse teorier, så de kan anvendes i undervisningen.

– Kunne håndtere de naturlige tals uendelighed, bl.a. ved hjælp af induk-tionsbeviset.

Peanos aksiomer

Vi har tidligere ( -bogen,ϒ s. 203) sammenskrevet Peanos aksiomer til kun tre, men vælger her, hvor vi skal bruge dem i beviser, at udfolde dem lidt igen. Man kan sige, at aksiomerne refererer til dagligdagserfaringer1, da de

1 For at gøre klart at der her ikke er tale om nogen som helst hverdagsreferencer, viser vi her i fodnoten, at aksiomerne godt kan skrives helt abstrakt udelukkende med reference til mæng-delære og logik:

Aksiom 1: 1 .∈ Aksiom 2: : ( ) .a e a∀ ∈ ∃ ∈ Aksiom 3: : ( ) 1.a e a∀ ∈ ≠ Aksiom 4: , : ( ) ( ).a b a b e a e b∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ Hvis vi lader P(a) betegne, at en påstand P om naturlige tal er sand for tallet a, lyder aksiom

5: ( ) [ ](1) ( ) ( ( ) : ( ) .P P a P e a n P n ∧ ⇒ ⇒ ∀ ∈

72497_epsilon_2k.indd 48 17-07-2008 15:20:45


indeholder ordet “efterfølger”, men vi benytter ingen associationer til “efter-følger”; blot at det er en funktion fra de naturlige tal til de naturlige tal.

Aksiom 1. Der findes et naturligt tal 1.Aksiom 2. Hvert naturligt tal a har en efterfølger e(a).Aksiom 3. Der er intet naturligt tal, der har efterfølgeren 1.Aksiom 4. To forskellige naturlige tal har forskellige efterfølgere.Aksiom 5. Hvis 1 har en egenskab, og hvis egenskaben nedarves fra et tal til dets efterfølger, så har alle tal denne egenskab (kaldet induk-tionsaksiomet).

Selv om vi i det følgende vil være tro mod Peanos projekt, kan vi godt lige oversætte til børnenes verden, hvor aksiom 1-4 svarer til deres almindelige kendskab til tælleremsen, og fx e(7) svarer til at tælle et trin videre fra 7, således at e(7) = 8. De fleste børn i første klasse vil på deres egen måde kende aksiom 1-3, hvorimod nogle af dem ikke vil være bevidste om aksiom 4, der på deres niveau svarer til, at man kan tælle baglæns (overvej lige det). Det er nok de færreste børn i 1. klasse, der har klare forestillinger, der svarer til aksiom 5, der i et barns sprog nærmest svarer til: Man kan tælle sig frem til ethvert tal.

definition af talnavne i titalssystemet

Vi går nu i gang med det rent matematiske projekt “at konstruere de natur-lige tal” uden reference til børn, anskuelighed og hverdagserfaringer, idet vi blot bygger på Peanos aksiomer. Vi starter med noget, som ikke hører med til standardfremstillingerne af de naturlige tal, idet det jo er en biolo-gisk tilfældighed, at de naturlige tal navngives ud fra vores ti fingre. Men vi synes, det giver en god øvelse i brugen af aksiomerne at give tallene navne i titalssystemet.

Ifølge aksiom 1, 2 og 3 findes der et naturligt tal e(1) som er forskellig fra 1. Dette tal betegner vi ved symbolet 2. Dernæst må der ifølge aksiom 2 findes et tal e(2). Dette tal kan ifølge aksiom 3 ikke være 1, og ifølge aksiom 4 kan

72497_epsilon_2k.indd 49 17-07-2008 15:20:45


det heller ikke være 2, da vi så ville have e(1) = e(2). Der er altså tale om endnu et tal, og vi vælger at benævne det 3. Tilsvarende defineres betydningen af symbolerne 4, 5, 6, 7, 8 og 9 ved 4 = e(3), 5 = e(4), 6 = e(5), 7 = e(6), 8 = e(7), 9 = e(8). Vi kalder disse symboler samt endnu et, nemlig 0, for cifre. 0 er et symbol, der ikke modsvarer noget naturligt tal, men som i sammensætninger bruges til at give naturlige tal navne, fx 10 = e(9).

Vi ønsker at give ethvert naturligt tal et talnavn i titalssystemet. Et talnavn skal bestå af en endelig række cifre (et ‘ord’ dannet af cifre), hvor det første ciffer ikke må være 0. Hvis a har fået et sådant navn, skal vi definere, hvor-ledes vi giver e(a) et navn. Hvis a således har navnet 60.347, skal e(a) have navnet 60.34e(7) = 60.348, altså samme navn, hvor dog sidste ciffer er udskiftet med efterfølgeren. Hvis sidste ciffer er 0, skal det erstattes med 1, og hvis sidste ciffer er 9, skal det erstattes med 0, og næstsidste ciffer skal da erstattes med sin efterfølger med samme undtagelsesbestemmelser som ved sidste ciffer, hvis det er 0 eller 9. Der gælder ifølge denne definition e(179) = 180, e(180) = 181 og e(199) = 200, idet vi har e(199) = 1e(9)0 = e(1)00 = 200. Tilsvarende finder vi, at e(1999) = 19e(9)0 = 1e(9)00 = e(1)000 = 2000. Læseren kan nu ret let opfinde en regel for det specialtilfælde, hvor et talnavn består af lutter 9-taller. På denne måde har ethvert naturligt tal fået et navn i titalssystemet. Det følger af aksiom 5, hvis vi bruger aksiomet på den egenskab ved naturlige tal, at de skal have et navn i titalssystemet. For aksiom 5 siger: Hvis 1 har en egenskab, og hvis egenskaben nedarves fra ét tal til dets efterfølger, så har alle tal denne egenskab. Det vil oversat til den konkrete situation sige: Hvis 1 har fået navn, og hvis det at have fået navn nedarves fra ét tal til dets efterfølger, så har alle tal fået navn. Men 1 har jo fået navn, og vi har lige beskrevet, hvordan et navn for et tal naturligt modificeres til et navn for efterfølgeren. Aksiom 5 fortæller os, at alle naturlige tal derved har fået et navn.

Opgave 1

Den definition af talnavne, vi har givet ovenfor, har været kendt i mange år, og man har i to tusinde år spekuleret på, hvordan man kunne gøre den mekanisk, så man selv slap for at tælle. Især har man

72497_epsilon_2k.indd 50 17-07-2008 15:20:45


været interesseret i at lave en tæller for længden af en tur, et såkaldt odometer.

Figur 1.

Overvej ved hjælp af illustrationen, hvordan man kan indrette et så-dant tælleapparat.

definition af regningsarterne ‘+’ og ‘ ⋅ ’

Vi vil nu definere de to grundlæggende regningsarter, addition og multipli-kation, ud fra Peanos aksiomer.

Definition 1

Definition af addition1) For ethvert tal a defineres a + 1 som e(a).2) Hvis a + b allerede er defineret, defineres a + e(b) = e(a + b).

Der er tale om en såkaldt rekursiv definition. “Rekursiv” betyder ifølge Poli-tikens Nudansk Ordbog “som hele tiden kan genanvendes på sit eget output; om regler og procedurer i matematik, edb og sprogvidenskab”. Og det er netop, hvad vi bliver nødt til, hvis vi vil finde 5 + 3 ifølge denne definition. For vi kan hverken bruge 1) eller 2) i definitionen til direkte at bestemme 5 + 3.

Så først bruger vi 1) til at bestemme 5 + 1 = e(5) = 6, hvor vi refererer tilbage til definitionen på talnavnene i forrige afsnit. Herefter kan vi bruge 2) til at bestemme 5 + 2, idet det er det samme som 5 + e(1), og derfor ifølge 2) pr. definition er lig med e(5 + 1). Men her er vi så heldige (eller forudseende), at vi netop har bestemt 5 + 1 = 6, så resultatet er e(6) = 7.

72497_epsilon_2k.indd 51 17-07-2008 15:20:46


Da vi nu kender 5 + 2 = 7, så kan vi direkte bruge 2) til at finde 5 + 3 = 5 + e(2) = e(5 + 2) = e(7) = 8. Besværligt ja, men det viser, at vi har fat i en kraftfuld definition.

Definitionen giver faktisk svaret på, hvad a + b er, ligegyldigt hvilke naturlige tal, a og b, vi vælger. For hvis vi vælger a vilkårligt, så kan vi se på, hvilke naturlige tal, b, der har den egenskab, at a + b er defineret. Ifølge definitionen af addition er a + 1 defineret, så 1 har den ønskede egenskab. Hvis et tal b har egenskaben, at a + b er defineret, har også e(b) egenskaben, idet vi ved, at a + e(b) = e(a + b). Dette betyder imidlertid ud fra aksiom 5, at alle tal har denne egenskab; dvs. at a + b er defineret for alle naturlige tal.

Opgave 2

Udregn 8 + 3, idet al skolelærdom glemmes for en stund, og der kun refereres til definitionerne i dette kapitel.

Definition 2

Definition af multiplikation1) For ethvert tal a defineres 1 ∙ a = a.2) Hvis b ∙ a er defineret, defineres e(b) ∙ a = b ∙ a + a.

Igen er der tale om en rekursiv definition, og igen definerer den faktisk b ⋅ a for alle naturlige tal a og b. Lad os prøve at udregne 3 ∙ 3. Først udregnes 1 ∙ 3, som er lig med 3 ifølge definitionens punkt 1. Så kan vi udregne 2 ∙ 3, da det er e(1) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + 3 ifølge definitionens punkt 2. Det giver så 3 + 3, som, ved vi, kan udregnes ud fra definitionen på addition. Vi vil ikke gå i detaljer med udregningen, men anfører det velkendte resultat 3 + 3 = 6. Så kan vi endelig komme til at udregne 3 ∙ 3 direkte, idet det ifølge punkt 2 i definitionen på multiplikation giver e(2) ∙ 3 = 2 ∙ 3 + 3. Herefter bruger vi det netop viste samt definitionen på addition til at nå resultatet 6 + 3 = 9. Vi konkluderer, at 3 ∙ 3 = 9.

72497_epsilon_2k.indd 52 17-07-2008 15:20:46


Opgave 3

Udregn 2 ∙ 5, idet al skolelærdom glemmes for en stund, og der kun refereres til definitionerne i dette kapitel.

Opgave 4

Vi har i et par af de ovenstående øvelser vist, at 8 + 3 = 11 og 2 ∙ 5 = 10. Hvis vi skal holde os inden for den teori, vi har opbygget i kapitlet indtil nu, kan vi ikke vide noget om, at ‘+’ og ‘∙’ måske er kommutative regningsarter.

Udregn 3 + 8 og 5 ∙ 2, idet al skolelærdom igen glemmes for en stund, og der kun refereres til definitionerne i dette kapitel. Bemærk, at udreg-ningen bliver helt anderledes, når addendernes orden eller faktorernes orden byttes om.

Tilsvarende har vi endnu ikke bevist, at den associative lov gælder for addition og multiplikation.Udregn ifølge definitionen (4 + 1) + 2 og 4 + (1 + 2) og sammenlign både udregninger og resultater.Udregn ifølge definitionen (2 ∙ 3) ∙ 4 og 2 ∙ (3 ∙ 4) og sammenlign både udregninger og resultater.

Sætning 1

Addition er associativ i de naturlige tal. Der gælder altså for alle na-turlige tal a, b, c, at(a + b) + c = a + (b + c).

Bevis

Lad a og b være vilkårlige naturlige tal, som er fastholdt gennem hele beviset. Vi vil nu interessere os for mængden af naturlige tal c, der har egenskaben: (a + b) + c = a + (b + c).Da vi lægger op til at bruge Peanos aksiom 5, vil vi først vise:

72497_epsilon_2k.indd 53 17-07-2008 15:20:46


1) at c = 1 har denne egenskab, og dernæst

2) at hvis et naturligt tal c har egenskaben, så har dens efterfølger også egenskaben.

1) Vi vil vise, at c = 1 har egenskaben (a + b) + c = a + (b + c), altså at (a + b) + 1 = a + (b + 1).

Derfor udregner vi hver side for sig og sammenligner. Når vi skal udregne venstre side, møder vi først en parentes, der som altid i matematikken betyder, at a + b skal betragtes som ét tal (a + b). Derefter betyder (a + b) + 1 ifølge definitionen på addition det samme som e(a + b). Når vi skal udregne højre side, observerer vi, at der er en parentes (b + 1), der betyder, at denne sum skal opfattes som ét tal, og ifølge definitionen på addition er dette tal e(b), så nu kan vi fortolke højre side som a + e(b). Dette er imidlertid ifølge definitionen på addition punkt 2 det samme som e(a + b). Vi konkluderer, at højre side er lig med venstre side, og altså at ad-dition af tallet 1 er associativ.

2) For at færdiggøre beviset, antager vi nu, at c er et tal, der opfylder, at (a + b) + c = a + (b + c). Vi skal så bevise, at associativiteten er opfyldt for a, b og e(c), altså at (a + b) + e(c) = a + (b + e(c)). Beregner vi de to sider af lighedstegnet hver for sig, har vi

(a + b) + e(c) = e((a + b) + c)) og

a + (b + e(c)) = a + e(b + c) = e(a + (b + c)),

og da vi antog (a + b) + c = a + (b + c), giver aksiom 5, at (a + b) + c = a + (b + c) for alle a, b og c.

Opgave 5

Bevis, at addition er kommutativ i de naturlige tal, idet beviset opdeles i to trin:1) For alle a gælder a + 1 = 1 + a.2) For alle naturlige tal a og b gælder a + b = b + a.

72497_epsilon_2k.indd 54 17-07-2008 15:20:46


Hint: Beviserne går lidt på samme melodi som beviset ovenfor, men man bliver nødt til undervejs at benytte selve den associative lov, altså sætning 1, fx til at udregne e(a) + 1 = (a + 1) + 1 =(1 + a) + 1 = 1 + (a + 1) = 1 + e(a).

Opgave 6

Prøv, om du kan bevise den kommutative lov for multiplikation eller den distributive lov (gange ind i en parentes) ud fra det teoretiske grundlag, der er lagt.

Den første matematikdidaktiker, der skrev en skolebog byggende på Peanos aksiomer i populariseret udgave var den senere matematikprofessor C. Juel (1854-1935), der i 1902 udgav Ren og anvendt Aritmetik. Det centrale punkt, hvor han indfører Peanos aksiomer i form af en enkelt påstand, står med fed skrift i nedenstående klip fra side 6 i hans bog.

MænGdETAl (KARdInAlTAl)

Da vi i -bogenϒ kort skulle skitsere grundlaget for de naturlige tal (s. 310-12), valgte vi at se på dem som repræsentanter for antallet af elementer

72497_epsilon_2k.indd 55 17-07-2008 15:20:47


i mængder. Vi valgte dette syn på tallene, fordi det giver en næsten direkte forståelse af de grundlæggende regnelove: de associative og kommutative love for både addition og multiplikation samt den distributive lov. I undervisningen af børn er det nærliggende at repræsentere tal konkret, fx med centicubes. Fagligt set bygger denne opfattelse af de naturlige tal på mængdelæren og funktionsbegrebet. Det karakteristiske er, at man med dette perspektiv kan tale om, at to mængder har lige mange elementer, uden at man tæller, hvor mange elementer de har.

Den første, der indførte mængdetalsperspektivet konsekvent i en skolebog, var rektor for Borgerdydsskolen Tommy Bonnesen (1873-1935). Vi anfører det centrale sted i hans bog Artimetik for mellemskolen fra 1908, før vi udfolder dette perspektiv fagligt:2

Definition 3

Definition af ækvipotensTo mængder A og B kaldes ækvipotente (er lige store), hvis der findes en bijektion2 imellem dem, som i figur 2.

2 En bijektion er ifølge -bogen,ϒ s. 464 en funktion (afbildning), der er både injektiv (en-entydig) og surjektiv (på).

72497_epsilon_2k.indd 56 17-07-2008 15:20:47


A

AA

AA

A

AA

Figur 2. Bijektionen illustreres i skolesammenhæng med pile, der udgår fra alle elementer i en mængde placeret til venstre, der rammer alle elementer i mængden til højre, vel at mærke på

en sådan måde at to pile aldrig rammer eller udgår fra det samme element.

Eksempel 1

Hvis vi begrænser os til at se på naturlige tal op til og med 100, er mæng-den af ulige tal ækvipotent med mængden af lige tal. Kaldes mængden af ulige tal for U og mængde af lige tal for L, vil funktionen ( ) 1f x x= + være en bijektion fra U til L (fx → → →1 2, 3 4,... 99 100 ). Vi har, at x + 1 er et lige tal, hvis x er ulige, så funktionen er velde-fineret som funktion fra de ulige tal ind i de lige tal. Vi skal så vise, at den er injektiv, hvilket vil sige, at den aldrig af-bilder to forskellige tal over i det samme tal. Dette er umiddelbart klart, fordi ( ) ( )f x f y= betyder, at x + 1 = y + 1, og dermed at x = y. Dernæst skal vi vise, at f er surjektiv, altså at den rammer alle de lige tal i området. Men det kommer til at passe, for de lige tal mellem 1 og 100 er af formen 2n, hvor n løber fra 1 til 50. Hvis vi ser på et sådant lige tal, er det klart, at ( )2 1 2f n n− = , idet 2n – 1 + 1 = 2n. Men 2n – 1 er et af de ulige tal 1, 3, …, 99 i området 1-100, så ethvert lige tal er et billede af et ulige.

Eksempel 2

I de fleste matematikklasser vil der være lige så mange øjne som ører, fordi vi kan afbilde mængden af øjne bijektivt over i mængden af ører ved funktionen f defineret ved:f(højre øje på en person) = højre øre på samme personf(venstre øje på en person) = venstre øre på samme person.

72497_epsilon_2k.indd 57 17-07-2008 15:20:48


Definition 4

Definition af endelig og uendelig mængdeEn mængde A kaldes endelig, hvis enhver injektiv afbildning fra A til A også er surjektiv.Hvis derimod mængden A har injektiv afbildning fra A til A, som ikke er surjektiv, kaldes A for uendelig.

Eksempel 3

Eksempel på endelig mængdeSkønt klassekvotienterne er steget de senere år, er alle klasser og se-minariehold dog stadig endelige. Hvis man vil vise, at dette er tilfældet ud fra definitionen ovenfor, skal man altså vise, at enhver injektiv afbildning af holdet til holdet er surjektiv. Det kan eksperimentelt eftervises ved, at alle på holdet peger på en anden på holdet, for dette repræsenterer en afbildning. Så skal man sørge for, at afbildningen er injektiv, hvilket vil sige, at to studerende ikke må pege på den samme. Hvis afbildningen er således indrettet, skal den på endelige hold også være surjektiv, hvilket vil sige, at alle bliver udpeget. Det viser sig altid at være tilfældet, hvilket er let at forklare ud fra sund fornuft. For hver gang to studerende peger på den samme, bliver billedmængden 1 mindre. Men peger de alle på forskellige, etableres der en bijektion mellem hele holdet og billedmængden, hvorfor billedmængden bliver lige så stor som hele holdet og dermed lig med hele holdet.

Eksempel 4

Eksempel på uendelig mængdeMængden af naturlige tal som defineret af Peano er uendelig ifølge definitionen ovenfor, for der findes en afbildning fra til , som er injektiv, men ikke surjektiv, nemlig efterfølgerfunktionen e(a). Man kunne dog også gå mere drastisk til værks og defi-nere ( ) 1000f n n= + . Dette er igen en injektiv funktion, idet

= ⇒ + = + ⇒ =( ) ( ) 1000 1000f n f m n m n m . Men den er ikke sur

72497_epsilon_2k.indd 58 17-07-2008 15:20:48


jektiv, da billedmængden er {1001, 1002, 1003,…}, og altså mangler de første tusinde tal. Så her har vi klart en funktion, der ikke er sur-jektiv, men alligevel injektiv, hvilket gør mængden uendelig ifølge definitionen på uendelig.

Opgave 7

Argumentér for, at A = {1, 2, 3} er en endelig mængde ifølge defini-tionen, og for at mængden af hele tal, = − − − {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}, er uendelig ifølge definitionen.

Definition 5

Definition på færre og flereEn endelig mængde A siges at have færre elementer end en anden endelig mængde B, hvis der findes en injektiv afbildning fra A ind i B, som ikke også er surjektiv. I denne situation siges B at have flere elementer end A.

Denne tilgang til de naturlige tal gennem størrelsen af mængder er inte-ressant, fordi vi kan komme vidt omkring uden at have defineret, hvad vi egentlig vil forstå ved tal. Og faktisk er det ikke helt nemt at få klarhed over, hvad tal egentlig er. For at slippe nemt om ved det, vil vi sige, at et tal er det, som ækvipotente mængder har til fælles3, og vi kalder tallet knyttet til en mængde A for ( )t A med den tekniske betegnelse kardinaltallet for A.

Opgave 8

Hvordan kan man ud fra definitionen på ‘færre end’ hurtigt afgøre, om der er færre studerende i et lokale, end der er stole i lokalet?

Hvordan kan man afgøre, om der er flere sammensatte tal mellem 300 og 400 (inkl.), end der er primtal?

3 Hvis dette lidt luftige udtryk efter inspiration fra bl.a. Bertrand Russel skal reduceres til mæng-delære, skal man først vise, at ‘ækvipotens’ er en såkaldt ækvivalensrelation i mængden af alle mængder. Derefter definerer vi tal (kardinaltal) som ækvivalensklasserne i mængden af alle mængder. ( )t A bliver så klassen bestående af alle de mængder, som er ækvipotente med A.

72497_epsilon_2k.indd 59 17-07-2008 15:20:48


Hvordan kan man ved den store taffelopdækning afgøre, om der er lige så mange dessertgafler, som der er portvinsglas?

Addition og multiplikation af kardinaltal

Regning med kardinaltal bygger på mængdelæren. Centralt i definitio-nen på addition og multiplikation af kardinaltal står begreberne forenings-mængde og krydsprodukt. Vi har derfor illustreret disse begreber i figur 3 for = {1, 2, 3, 4}A og = { , , }B æ ø å .

1 2 3 4 æ ø å

A B

A B

B x A

4

3

2

1

(æ,3) (ø,3) (å,3)

(æ,4) (ø,4) (å,4)

(æ,2) (ø,2) (å,2)

(æ,1) (ø,1) (å,1)

æ ø å

Figur 3.

Definition 6

Definition af ‘+’ og ‘·’Hvis a og b er to tal, vælger vi disjunkte4 mængder A og B, så = ( )a t A og = ( ).b t B Vi definerer så + = ∪( )a b t A B og ⋅ = ×( )a b t A B .

4

4 Disjunkte betyder blot, at det samme element ikke må gå igen i A og B. A og B vælges kort sagt helt forskellige. I forbindelse med A B× gør det faktisk ikke noget, om der skulle være fælles elementer.

72497_epsilon_2k.indd 60 17-07-2008 15:20:48


Eksempel 5

Lad os udregne 3 + 4 og 3 ∙ 4, idet vi lader 3 være tallet for mængden {x, y, z} og lader 4 være tallet for mængden {1, 2, 3, 4}. For at bestemme 3 + 4 skal vi betragte foreningsmængden ,A B∪som er {x, y, z, 1, 2, 3, 4}. Ifølge definitionen er 3 + 4 lige med t({x, y, z, 1, 2, 3, 4}), som vi normalt angiver som 7. For at bestemme 3 ∙ 4, skal vi betragte krydsproduktet A B× . Inden for mængdelæren forstås herved mængden af alle ‘talpar’ (a,b), hvor a ligger i A, og b ligger i B. I det konkrete tilfælde bliver A B× mængden {(x,1); (x,2); (x,3); (x,4); (y,1); (y,2); (y,3); (y,4); (z,1); (z,2); (z,3); (z,4)}. For at finde svaret på regnestykket 3 ∙ 4 skal vi nu bestemme tallet for denne lidt sjove mængde, men hvis vi blot husker på, at fx (x,3) er et enkelt element, kan vi godt bestemme tallet for denne mængde. Tallet er nemlig det, vi kender som 12. Altså 3 ∙ 4 = 12 ifølge denne definition.

Opgave 9

Hvorfor er det vigtigt i definitionen af a + b, at de to mængder A og B ikke har elementer fælles?

Sætning 2

Addition og multiplikation er associative og kommutative regnings-arter, og multiplikation er distributiv over addition.

Bevis

(Se evt. først den intuitive udgave på side 311 i -bogen).ϒ

1) For at vise at addition er associativ, skal vi vise (a + b) + c = a + (b + c). Med definitionen af ‘+’ er dette umiddelbart sandt, fordi de begge er tallet for A B C∪ ∪ , som er samlingen af elementer, der er med i enten A, B eller C.

72497_epsilon_2k.indd 61 17-07-2008 15:20:48


2) Associativitet af multiplikation vil sige (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c), altså at tallene for hhv. ( )A B C× × og ( )A B C× × er ens, hvilket vil sige, at de to mængder er ækvipotente. Det kan vi indse ved at lave den bijektive afbildning: (( , ), ) ( ,( , ))x y z x y z→ af ( )A B C× × på ( )A B C× × .

3) a + b = b + a, fordi de er henholdsvis tallet for A B∪ og for B A∪ , men disse to foreningsmængder angiver den samme mængde, nemlig mængden af alle elementer som er med i A eller i B.

4) a ∙ b = b ∙ a, fordi A B× er ækvipotent med B A× , fx er funktionen5 (( , )) ( , )f x y y x= en bijektion fra A B× til B A× .

5) a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c, fordi de er kardinaltal for hhv. ( )A B C× ∪og ( ) ( ),A B A C× ∪ × som er ens, fordi de består af alle talpar (x,y), hvor x ligger i A, og y ligger i B eller C, jf. figur 4.

B

C

A

A x B

A x C

(A x C) (A x C)

B C

A

A x (B C)

Figur 4. 5

5 Svarende til det kendte kneb at bytte om på bredde og længde i et rektangel og se, at arealet er det samme (jf. s. ***).

72497_epsilon_2k.indd 62 17-07-2008 15:20:48


Opgave 10

Disse beviser lader sig omsætte til argumenter, som er forståelige for børn. Prøv at lave sådanne omsætninger – du kan finde støtte på s. 311 i -bogen.ϒ

Fusionen mellem tælleremse og mængdetal

Man kan i princippet godt udvikle teorien om mængdetal meget langt uden at give tallene de kendte betegnelser fra vores titals-positionssystem. Men hvis tallene skal bruges i skole eller samfund, bliver man nødt til at give dem de sædvanlige betegnelser og ikke nøjes med angivelsen t({x, y, z, 1, 2, 3, 4}), som vi gjorde ovenfor. Man klarer sig som regel med følgende dobbeltdefinition:

Definition 7

Definition af kardinaltalsnavneVi definerer med afsæt i tælletalsteorien for ethvert naturligt tal a,

{1, 2, 3, ..., }.a a= Hvis vi herefter skal finde kardinaltallet for en endelig mængde A, finder vi en sådan ,a som er ækvipotent med A, altså har lige så mange elementer som A. Derefter kan vi definere =( ) .t A a

Det, der står i denne definition, er i hverdagssprog, at man bare tæller an-tallet af elementer i mængden. Dette er slet ikke så let, som det lyder, så definitionen ovenfor er faktisk vigtig. Man siger 1 og peger på det første element i mængden, fortsætter tælleremsen og benytter det tal fra remsen, som man fremsiger ved det sidste element i mængden, som kardinaltallet for denne mængde. Det er afgørende, at man tæller bijektivt og først siger næste tal i remsen, når man har peget på et nyt element og sørger for aldrig at komme til at pege på samme element to gange. I skolesammenhæng bliver man nødt til at anvende denne fusion af tæl-letal og mængdetal, ikke mindst hvis man har satset meget på mængdetal i den tidlige opbygning af tallene, som man fx gjorde under den ‘ny matema-tik’ 1960-80. På folkeskoleniveau var Agnete Bundgaard en af pionererne i

72497_epsilon_2k.indd 63 17-07-2008 15:20:48


nogle forsøgstekster udarbejdet under Nordiska kommittén för modernisering av matematikundervisningen. Figur 5 er taget fra side 15a i Lærerens bog til matematik, vers. 3, Frederiksberg 1965. Man ser, at der laves en bijektion fra stjernemængden over til talmængden 1, 2, 3, 4, hvilket inden for dette perspektiv er definitionen på, at 4 kan bruges til at betegne antallet af ele-menter i mængden.

Figur 5.

ModSATTE REGnInGSARTER

Vi har nu fået etableret mængden af de naturlige tal, indført talnavne og regningsarterne addition og multiplikation. Det mere generelle studium af tal foregår i det matematiske speciale, der kaldes algebra. Og her er der en almen metode til at videreudvikle enhver regningsart til den omvendte regningsart. Hvis vi kalder regningsarten for ‘*’, der fx kan stå for ‘+’ eller ‘∙’, kan vi indføre den omvendte regningsart ‘¤’ således:a ¤ b = c ⇔ a = c * bMed andre ord definerer vi, at resultatet af a ¤ b er lig med c præcis, når a = c * b. Dette princip vil vi benytte til at indføre subtraktion som den om-vendte regningsart til addition og division som den omvendte regningsart til multiplikation.

72497_epsilon_2k.indd 64 17-07-2008 15:20:49


Definition 8

Definitioner af subtraktion og divisionVi definerer ‘–’ og ‘:’ ved følgende udsagn gældende for naturlige tal:a b c a c b− = ⇔ = +

: = c .a b c a b= ⇔ ⋅

Eksempel 6

Vi fortolker definitionerne på eksemplerne 6−2 og 6 : 2. Hvis vi vil udregne 6−2 ud fra definitionen, skal vi kalde det ukendte resultat for c, altså skrive 6−2 = c og så benytte første defi-nition, der siger, at dette er ensbetydende med, at 6 = c + 2. Bemærk, at problemet nu er oversat til et rent additionsproblem, der bliver let at løse, hvis vi benytter den kommutative lov for addition og omformer til 6 = 2 + c. For c kan ifølge dette fortolkes som det antal, der skal tælles frem fra 2 for at nå seks, og svaret er som bekendt 4. Vi har altså ud fra vores aksiomatiske opbygning af de naturlige tal fået bevist, at 6−2 = 4. Hvis vi tilsvarende vil udregne 6: 2, kalder vi også resultatet for c og får så ifølge den anden definition 6 : 2 6 2c c= ⇔ = ⋅ . Hermed er problemet omdannet til et rent multiplikationsproblem, hvor det drejer sig om at finde ud af, hvor mange gange man skal tage 2 for at få 6, og svaret er som bekendt 3. Vi har altså i vores aksiomatiske opbygning kunnet bevise, at 6 : 2 3.=

Opgave 11

Find ud fra definitionerne 6 – 3 og 6 : 3.Find 314 – 2 og 314 : 2, idet du også her forsøger at glemme al skole-lærdom og kun refererer til definitioner og sætninger i dette kapitel.Vis ud fra definitionerne, at ( )a b b a+ − = og ( ) : .a b b a⋅ =

I skolen bruger man et vidt spektrum af hverdagserfaringer og repræsenta-tioner, når man skal indføre subtraktion og division. Derfor vil vores defini-tioner ovenfor ikke være måden at indføre disse regningsarter på. Men vores

72497_epsilon_2k.indd 65 17-07-2008 15:20:49


definition bliver (og ikke mindst blev) sommetider brugt som en kontrol af, at man har regnet rigtigt i de nye og svære regningsarter. Derfor kaldes de to definitioner ofte i stedet for ‘subtraktionsprøven’ og ‘divisionsprøven’. Det sjove er, at de hermed alligevel bliver en slags definition, fordi disse prøver kommer til at virke som den øverste instans, der skal afgøre, om 52 – 13 = 39 og 52 : 13 = 4 er sande udsagn, fordi de tjekkes med sandheden af 52 = 39 + 13 og 52 = 4 ∙13.

I mange anvendelsessituationer fortolker man de ensbetydende udsagn i definitionerne som følgende:a b c a c b− = ⇔ = + fortolkes: b adderes på begge sider af ,a b c− = og ‘– b’ og ‘+ b’ ophæver hinanden, så det giver .a c b= +

:a b c a c b= ⇔ = ⋅ fortolkes: b ganges på begge sider af : ,a b c= og ‘ : b ’ og ‘ b⋅ ’ ophæver hinanden, så det giver .a c b= ⋅

For at demonstrere den faglige styrke i vores definitioner og disse fortolknin-ger, vil vi vise, hvordan man med dem som udgangspunkt kan vise diverse sætninger involverende ‘–’ og ‘:’.6

Sætning 3

For alle6 naturlige tal gælder:1) ( ) ( )a b c a b c− − = − + 3) ( : ) : : ( )a b c a b c= ⋅2) ( ) ( )a b c a b c− − = − + 4) : ( : ) ( : )a b c a b c= ⋅

Bevis1) ( ) ( )a b c a b c− − = − + . Vi vil her addere ( )b c+ så ( )b c− + neu-traliseres på højre side, hvorefter ligningen ændres til følgende, som er lettere at vise:

1’) ( ) ( ) .a b c b c a− − + + =

6 Alle – for så vidt at alle beregningerne herunder giver naturlige tal som resultat. Hvis ikke, bliver vi som bekendt nødt til at udvide mængden af tal til de hele og rationale tal, jf. -bogen,ϒkapitel 6-8.

72497_epsilon_2k.indd 66 17-07-2008 15:20:49


Her står nemlig på venstre side, at vi skal lægge ( )b c+ til noget, men da vi har at gøre med addition, kan vi ifølge sætning 2 tillade os at hæve denne parentes. Ligeledes kan vi bytte om på addendernes orden, så vi kan tillade os først at addere c’et, der ophæver – c, så ligningen ændres til:

1’’) ( ) .a b b a− + =

Men her kan vi subtrahere b på hver side og udnytte, at + b og – b ophæver hinanden på venstre side, hvorefter vi får:

1’’’) ( ) ,a b a b− = − hvilket er sandt.

Den anden identitet vises således:

2) ( ) ( )a b c a b c− − = − + . Her vil vi addere ( )b c− til hver side for at neutralisere ( )b c− − på venstre side, og vi får så den lettere opgave at vise:

2’) ( ) ( ).a a b c b c= − + + −

Her er der tre led, der skal adderes på højre side. Vi bytter om på de to sidste, da addition er kommutativ ifølge sætning 2, og vi udregner hurtigt ( )b c c− + til b, så ligningen reduceres til 2’’) ( ) .a a b b= − +

Som i 1’’ kan vi subtrahere b på begge sider og få:

2’’’) ( ),a b a b− = − hvilket er sandt.

Den tredje og fjerde identitet bevises på akkurat samme måde som 1) og 2), idet ‘+’ erstattes af ‘ ⋅ ’ og ‘− ’ erstattes af ‘:’.

Opgave 12Det gik meget hurtigt med beviset for 3) og 4) i sætning 3. Udfør detaljerne.

72497_epsilon_2k.indd 67 17-07-2008 15:20:49


oRdnInG AF dE nATURlIGE TAl

Vi har under omtalen af kardinaltal (s. ***) set, at begrebet ‘færre end’ kan defineres ved hjælp af funktioner. Hvis man skal bevise forskellige regler om de naturlige tals ordning, er følgende definition lettere at have som udgangspunkt.

Definition 9

Definition af ‘mindre end’Vi vil kalde et naturligt tal a mindre end et andet naturligt tal b, hvis der findes et naturligt tal x, således at a x b+ = . Kort udtrykt:

: .a b x a x b< ⇔∃ ∈ + =

Opgave 13

Benyt definitionen ovenfor til at argumentere for, at 5 < 7, og for, at a a a< + for ethvert naturligt tal a.

Det viser sig, at ligegyldig hvilken definition man i en aksiomatisk opbygning vælger for ‘mindre end’, så er det svært at bevise, at der for to forskellige, vilkårlige naturlige tal a og b må gælde, at enten er a mindre end b, eller også er b mindre end a. Det er til gengæld indlysende for ethvert barn i skolen, derfor vil vi som illustration af styrken i definitionen på ‘mindre end’ vise et par andre sætninger.

Sætning 4

Ordningen ‘mindre end’ er transitiv, hvilket vil sige, at der for vilkårlige naturlige tal a, b og c gælder: ( ) ( ) ( ).a b b c a c< ∧ < ⇒ <

72497_epsilon_2k.indd 68 17-07-2008 15:20:49


Bevis

( ) ( )a b b c< ∧ < betyder, at det gælder, at a b< og b c< , hvilket ifølge definitionen vil sige, at der findes naturlige tal x og y, så a x b+ = og b y c+ = . Indsættes her b a x= + fra den første ligning i den an-den, fås ( )a x y c+ + = eller ved at flytte parentes (associative lov)

( )a x y c+ + = . Men x + y er et naturligt tal, så ifølge definitionen på ‘<’ er a c< , hvilke skulle vises.

Sætning 5

For alle naturlige tal a, b og c gælder:.a b a c b c< ⇔ + < +

Bevis

Først vises ⇒Her er givet, at a er mindre end b, hvilket ifølge definitionen betyder, at der findes et naturligt tal x, så .a x b+ = Adderes c til hver side og benyttes den kommutative lov til at ordne leddene, fås ( )a c x b c+ + = + , hvilket ifølge definitionen på ‘mindre end’ be-tyder .a c b c+ < +

Så vises ⇐a c b c+ < + er nu givet, og vi skal vise a b< . Det givne betyder, at der findes et naturligt tal x, så ( )a c x b c+ + = + . Subtraherer vi her c på hver side, fås ,a x b+ = hvilket ifølge definitionen betyder .a b<

Opgave 14

Vis ud fra definitionen på < og inden for vores aksiomatiske opbyg-ning, at der for alle naturlige tal a, b og c gælder: .a b a c b c< ⇔ ⋅ < ⋅

72497_epsilon_2k.indd 69 17-07-2008 15:20:49


hVoRdAn FåR VI STyR På UEndElIGhEdEn?

Vi har set, at man får brug for en sammensmeltning af mængdetal og tæl-letal for at kunne give et navn for antallet (kardinaltallet) af elementer i en mængde. Denne sammensmeltning udvisker dog ikke den store forskel, der er på de to opfattelser af tal.

Mængdetallene bryder uendelighedsmuren

Hvor tælletallene bygges op nedefra med endelige tællinger, er der i mæng-detallene ingen krav om endelighed. Alt hvad vi har skrevet om kardinaltal gælder også for uendelige kardinaltal, altså tallene for uendelige mængder. Vi kan således addere og multiplicere uendeligt store tal, de kommutative, associative og distributive love gælder, og vi kan bruge vores definitioner på lige stor eller ækvipotent på uendelige mængder (s. ***). Selv definitionerne på færre og flere kan tilpasses uendelige mængder.

Eksempel 7

Der er lige så mange kvadrattal, som der er naturlige tal. Lad os kalde mængden af naturlige tal for og mængden af kvadrattal {1, 4, 9, …} forK . Hvis vi skal vise, at disse mængder er lige store ifølge vores definition på ækvipotens, skal vi etablere en bijektion fra mængden tilK�. En sådan bijektion er defineret ved 2( ) .f n n= Den rammer pr. definition netop alle kvadrattal, så den er surjektiv. Den er klart injektiv, eftersom to forskellige naturlige tal selvfølgelig også har for-skellige kvadrater. At det strider lidt imod sund fornuft, at der er lige så mange kvadrat-tal som naturlige tal, må vi tage med, når vi bygger på matematiske definitioner. Et af formålene ved matematik er netop at tænke over ting, hvor den sunde fornuft må melde pas. Og det må den sunde fornuft, når det drejer som om uendeligheder. Vi kan kort nævne, at vores definitioner fører frem til, at der er lige så mange brøker, som der er naturlige tal, men at mængden af reelle tal er større end begge disse mængder.

72497_epsilon_2k.indd 70 17-07-2008 15:20:49


Undersøgelse 1

Hilberts hotelDer er mange interessante og relativt let forståelige konsekvenser af de naturlige tals uendelighed, der er samlet i fortællinger om Hilberts Hotel. Søg oplysninger om Hilberts Hotel på internettet, og overvej, hvorledes du vil bruge fortællingerne til at introducere uendeligheds-begrebet på mellemtrinnet i skolen.

Antallet af elementer i de naturlige tal angives ved kardinaltallet 0ℵ (udtales alef-nul). Som vi har set i eksempl 7, er antallet af kvadrattal også lig med

0ℵ . Alle uendelige mængder, der kan tælles, har kardinaltallet 0ℵ , fordi man ved optællingen etablerer en bijektion til de naturlige tal. Fx kan mængden af positive rationale tal + tælles og har derfor kardinaltal 0ℵ . Man kan fx tælle således: først tælles de brøker, hvor tæller og nævner tilsammen giver 2, så vi ‘siger’ 1 ved 1

1 , så tælles de brøker, hvor tæller og nævner tilsammen giver 3, altså “siger” vi 2 ved 1

2 og 3 ved 21 . Dernæst tæller vi dem, hvor

tæller og nævner tilsammen giver 4. Lad os sige, at vi tæller efter voksende tællere, så vi ‘siger’ 4 ved 1

3 , 5 ved 22 , men det fortryder vi, fordi vi allerede

har haft tallet 22 = 1 før. Så i stedet springer vi over 2

2 og ‘siger’ 5 ved 31 .

Derefter tæller vi dem, hvor tæller og nævner tilsammen giver 5 osv.

Opgave 15

Hvis vi bruger den foreslåede metode til at tælle elementerne i ,+ hvilket nummer er vi så nået til ved 2

3 ? Kan vi være sikre på, at vi når frem til at medtælle brøken 117

201?

Hvis vi prøver at regne med uendelige tal, vil vi bemærke mange usæd-vanlige ting. Hvis vi fx vil gange 0ℵ med 0ℵ , skal vi ifølge mængdetals-definitionen på multiplikation finde mængder, der har 0ℵ elementer, og her er det nemmest at vælge selv. For at finde 0ℵ gange 0ℵ skal vi se på krydsproduktet × , der består af alle koordinatpar (n,m), hvor n og m er naturlige tal. Det viser sig, at det er ret let at planlægge en procedure, der tæller alle elementerne i denne mængde, fx som illustreret på figur 6. Når vi således kan tælle elementerne i × , så er × ækvipotent med

72497_epsilon_2k.indd 71 17-07-2008 15:20:49


og har derfor kardinaltallet 0ℵ . Vi får altså det interessante, at 0ℵ gange

0ℵ er lig med 0ℵ . Dette betyder ikke, som man kunne tro, at man bare kan sige “uendelig gange uendelig er lig med uendelig”, for der er større uendeligheder end

0ℵ . Det viser sig, at de reelle tal er en større uendelighed end 0ℵ . Det lyk-kedes i 1874 for Georg Cantor (1848-1918) at påvise, at det aldrig vil kunne lade sig gøre at opstille en tælleproces, der optæller alle de reelle tal på en systematisk (eller for den sags skyld usystematisk) måde (for et bevis søg på ‘tællelig mængde’ på internettet). Derfor kalder man kardinaltallet for de reelle tal for 1ℵ . Der er uendeligt mange forskellige uendelige kardinaltal, hvilket Cantor også var den første til at bevise, men man ved fx stadig ikke, om der findes kardinaltal, der er større end 0ℵ og mindre end 1ℵ . Den, der kan bringe ny afklaring til det spørgsmål, vil gå over i historien, da noget tyder på, at påstanden om, at der ikke findes mellemliggende kardinatal, hverken kan bevises eller modbevises7.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

(1,3) (2,3) (3,3)

(1,4) (2,4)

(1,5)

Figur 6.

7 For at læse mere om dette søges på påstandens engelske navn “continuum hypothesis” på internettet.

72497_epsilon_2k.indd 72 17-07-2008 15:20:49


Tælletallene når aldrig uendelig

Vi har i fremstillingen i dette kapitel langt hen ad vejen brugt tælletal og mængdetal som to forskellige teorier for tal. Men når det kommer til uen-delighed, er forskellen stor. Der er ganske vist uendeligt mange naturlige tal, som de er defineret ved Peanos aksiomer, men samtidig er ethvert konkret valgt naturligt tal endeligt. Vi vil kort fremhæve, hvilke af Peanos aksiomer der bruges som belæg for disse påstande.

A. Der er uendeligt mange naturlige tal.Grunden til dette findes i følgende af Peanos aksiomer:

Aksiom 2. Hvert naturligt tal a har en efterfølger e(a).Aksiom 3. Der er intet naturligt tal, der har efterfølgeren 1.Aksiom 4. To forskellige naturlige tal har forskellige efterfølgere.

Disse aksiomer kan samles i den påstand, at der findes en injektiv afbildning af ind i , nemlig efterfølgerfunktionen fra til , og denne afbildning er ikke surjektiv, da den ikke rammer 1. Dette medfører ifølge definition 4, at er en uendelig mængde.

B. Ethvert naturligt tal er endeligt.Det, der forhindrer os i at løbe ind i uendelige tal i Peanos opbygning af de naturlige tal, er:

Aksiom 5. Hvis 1 har en egenskab, og hvis egenskaben nedarves fra et tal til dets efterfølger, så har alle tal denne egenskab.

Nu ved vi jo godt fra skole og dagligliv, at ethvert naturligt tal er endeligt, så det, vi gør nu, er at bevise, at det også er tilfældet i den aksiomatiske opbygning, vi har præsenteret i dette kapitel.

72497_epsilon_2k.indd 73 17-07-2008 15:20:49


Bevis

Beviset er let, hvis vi bruger aksiom 5 på egenskaben at være et ende-ligt tal. Det er klart, at 1 er endeligt. Og ud fra enhver opfattelse8 af at et tal er endeligt, synes det indlysende, at hvis et tal n er endeligt, er tallets efterfølger n + 1 også endeligt. Induktionsaksiomet fortæller os nu, at alle tal er endelige.

8

Vi har tidligere omtalt, at det intuitive indhold i induktionsaksiomet er, at man kan tælle sig frem til ethvert naturligt tal. Heri ligger også intuitivt, at alle naturlige tal må være endelige, for vi når dem før eller senere i tæl-leremsen.

Induktionsbeviset

Selv om der er uendeligt mange naturlige tal, så nås alle tal før eller senere i tælleremsen. Det faktum har givet anledning til en kraftfuld bevisteknik: induktionsbeviset. Vi har ofte brugt det i dette kapitel og skal vende tilbage til det mange gange her i ε-bogen. Vi kalder det et induktionsbevis, hvis en egenskab bevises med reference til Peanos aksiom 5. Vi giver i det følgende det efter vores mening simpleste eksempel på et induktionsbevis.

Et induktionsbevis i grafteori

I grafteori undersøger man netværk bestående af kanter og punkter. En kant går altid mellem to punkter. En firkant består grafteoretisk set af fire kanter og fire punkter. I en firkant findes der en rundtur langs kanter, som fører tilbage til udgangspunktet. Grafer uden nogen som helst rundture kaldes for træer, hvilket er forståeligt ud fra de to afbildede eksempler i figur 7.

8 Hvis beviset skulle være pletfri, skulle vi faktisk bruge vores definition på endelig s.***. Vi skulle altså vise, at hvis enhver injektion fra {1, 2, 3, …, n} til {1, 2, 3, …, n} er en surjektion, gælder det samme i mængden {1, 2, 3, …, n + 1}, hvilket kan klares ved at justere lidt på funktionerne.

72497_epsilon_2k.indd 74 17-07-2008 15:20:49


Figur 7.

Tæller man antallet af kanter og punkter i de to træer, findes i det ene 24 kanter og 25 punkter, mens der i det andet er 28 kanter og 29 punkter. Det er lidt pudsigt, at der i begge tilfælde er netop ét punkt mere, end der er kanter. Men det er nu ikke nogen tilfældighed, for man kan bevise, at det altid er tilfældet:

Påstand: I et endeligt træ er antallet af punkter 1 større end antallet af kanter.

Bevis

Vi søger at bevise påstanden med et induktionsbevis, hvilket dog for-udsætter en slags nummerering, der fx kan ske efter antallet af kanter i et sådant træ.

1) Vi viser først, at påstanden passer for træer med kun én kant. Så-danne træer består af en kant med to endepunkter. Så her er antallet af punkter én større end antallet af kanter.

2) Vi skal nu vise, at egenskaben nedarves til en -efterfølger. Det vil sige, at vi går ud fra, at påstanden gælder for træer med n kanter. Vi skal så vise, at den også gælder for træer med n + 1 kanter. Men et sådant træ kan jo betragtes som et træ med n kan-ter, som har fået sat en ekstra gren/kant på. Ved at sætte en eks-tra kant på forøges antallet af kanter med 1, og antallet af punk-ter forøges også med 1, nemlig den nye ‘grenspids’. Grenspidsen

72497_epsilon_2k.indd 75 17-07-2008 15:20:50


kan nemlig ikke ende i et gammelt punkt, da der så ville opstå en kreds. Så hvis påstanden gælder for træet med n kanter, må den også gælde for det nye træ med n + 1 kanter, fordi både antal kanter og antal punkter er blevet forøget med 1. Sagt på en anden måde: Hvis forskellen på antal punkter og antal kanter før var 1, må forskellen også være 1 efter, at de begge er blevet forøget med det samme.

Konklusion: Sådan set er det nok at nævne i starten, at dette er et induk-tionsbevis, og så lave beviserne i 1) og 2). Men da dette skulle være den let tilgængelige og eksemplariske udgave af et induktionsbevis, runder vi af med ritualet for et induktionsbevis: Vi har vist, at sætningen gæl-der, hvis antallet af kanter er 1, og vi har vist, at sætningen vedbliver at være sand, når vi tilføjer en ny kant. Derfor gælder sætningen for træer med 2 kanter, 3 kanter, 4 kanter og et vilkårligt antal kanter. Dermed gælder for ethvert endeligt træ, at antallet af punkter er én større end antallet af kanter, hvilket var påstanden i sætningen.

Tælling hinsides uendelig

Man har også søgt at fortsætte tælletallene ud over uendelig. I disse forsøg hedder det første uendelige tælletal omega, ω, og det næste ω + 1. Disse to tal er forskellige i modsætning til de tilsvarende kardinaltal, hvor der gælder 0 0 1.ℵ =ℵ + Hvis man således fortsætter tælleremsen ud over uendelig, kan denne nye remse ikke tilfredsstille alle Peanos aksiomer, da det jo er en konsekvens af dem, at alle naturlige tal er endelige. Vi kan kalde denne tælleremse for transfinit, idet den overskrider (transcenderer) det endelige (finitte). Et ka-rakteristisk træk ved den transfinitte tælleremse er, at det nu ikke blot er 1, der ikke har en umiddelbar forgænger. Heller ikke ω har en sådan forgænger. Der findes ikke et tal lige før uendelig. Andre uendelige tælletal som fx ω + 17 har dog en umiddelbar forgænger, nemlig ω + 16, men problemet kom-mer igen ved ω + ω. Så der må være et af Peanos aksiomer, der ikke gælder for den transfinitte tælleremse, og det viser sig at være induktionsaksiomet. Dette burde måske ikke overraske, fordi vi lige har påvist, at det netop er induktionsaksiomet, der sikrer, at alle naturlige tal er endelige.

72497_epsilon_2k.indd 76 17-07-2008 15:20:50


Hvis man vil bevare en udgave af induktionsaksiomet til brug for den transfinitte tælleremse, må man modificere den til fx:

Aksiom 5* (det transfinitte induktionsaksiom)Hvis1) man kan vise, at 1 har en egenskab, og2) hvis man kan vise, at n har egenskaben ud fra, at egenskaben besid-des af alle tal mindre end n,3) så har alle tal denne egenskab.

Læseren vil bemærke, at denne formulering afviger fra det oprindelige aksiom 5 på et par vigtige punkter. For det første forudsætter den nye for-mulering, at man har ordnet sine tal – altså har fået defineret, hvad det vil sige, at a er mindre end b. For det andet tillader formuleringen, at man kan tage hoppet fra de endelige naturlige tal til det første uendelige tal ω. Problemet med ω er, at det ikke har en umiddelbar forgænger, men det gør ikke noget nu, hvis man nærlæser aksiom 5*. Til gengæld ligger der nu et større krav i forudsætningerne i aksiom 5*, så det bliver sværere at lave induktionsbeviser, der strækker ud i det uendelige. Af denne og andre gode grunde vil vi ikke forfølge sagen yderligere her – søg evt. på internettet med søgeordet “transfinite”.

Overvej/diskuter 1

Som eksempel på børns forestillinger om store tal bringer vi her et klip fra et interview med Lukas, der går i børnehaveklasse. Lukas har talt en del med sin storesøster Emilie om matematik i skolen:

Interviewer: Hvad er det største tal?Lukas: Trilliard.Interviewer: Er det det største tal?Lukas: Ti tusinde.Interviewer: Hvis jeg tæller trilliard og en mere?Lukas: 1 trilliard.Interviewer: Titusinde og en mereLukas: En trilliard.

72497_epsilon_2k.indd 77 17-07-2008 15:20:50


Int.: Hvad så hvis du får en trilliard af mig og en af din onkel?Lukas: To trilliarder.Interviewer tier og ser på Lukas.Lukas: Så er det ti trilliarder.Int: Hvis nu du havde ti trilliarder og Emilie kom med en mere til dig.Lukas: Nul!Int gentager: Hvis nu du havde ti trilliarder og Emilie kom med én mere til dig.Lukas: Elleve trilliarder.Int.: Hvad tror du så, det største tal er?Lukas: Elleve trilliarder.Int. ser spørgende ud.Lukas: Eller trilliard tusinde.Int.: Hvad nu hvis jeg sagde en million trilliarder. Hvad så?Lukas: Hvis man får 15 trilliarder?Int.: 15 trilliarder eller en million trilliarder, hvad er mest? Hvad vil du helst have?Lukas: Million trilliarder.Int.: Er der i det hele taget et tal, der er størst?Lukas: Hundrede trilliarder.Int. Hvad så hvis du fik hundrede trilliarder til … Så er der rigtig mange? Kan man blive ved?Lukas: Nej. Så får man et eller andet med uendelig, og det er ikke et tal. (sic!)

Forsøg at give en karakteristik af Lukas’ forestillinger om store tal og overvej, hvordan man som lærer kan stille sig til udsagnet: “uendelig er ikke et tal”.

Overvej/diskuter 2

Overvej, hvad I vil svare elever i 1. klasse, der spørger:– Hvor langt kan man tælle?– Findes der et største tal?– Kan man have 0-års fødselsdag?– Er der flest lige eller ulige tal?

72497_epsilon_2k.indd 78 17-07-2008 15:20:50



Efter at have arbejdet med dette kapitel vil du bedre kunne klare følgende udfordringer eller spørgsmål. Prøv!

– Du har en god veninde, der netop er i gang med at læse fællesdelen af matematikfaget på seminariet. Hun vil godt lige høre noget om, hvad I lærer på specialiseringsdelen for 1.-6. klasse. Da hun har hørt om det med ordinal- og kardinaltal, spørger hun, om du vil give hende en grundig skriftlig forklaring på, hvad disse begreber dækker over (inddrag evt. også kapitel 1). Hvad værre er, så påstår hun, at hun aldrig har forstået, hvad et induktionsbevis er for noget, så det vil hun også meget gerne have en forklaring på, men i et let forståeligt sprog.

– Hvorfor har videnskabsfaget matematik brug for en opbygning af de naturlige tal, som den Peano opfandt?

– Det er sjældent, at man direkte vil benytte videnskabelige teorier i den tidlige faglige undervisning. Udpeg et par ting fra den faglige præsentation i dette kapitel, som dog vil kunne berige din matematikundervisning på 1.-6. klassetrin.

72497_epsilon_2k.indd 79 17-07-2008 15:20:50

72497_epsilon_2k.indd 80 17-07-2008 15:20:50

KAPITEl 3 · PoSITIonSSySTEMER oG REGnEAlGoRITMER · 81

3posITIonssysTEmEr oG rEGnEAlGorITmEr

I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) på tal opskrevet i et positionssystem med 10 som grundtal en dominerende rolle. Den nyere matematikunder-visnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel positions-systemer som mulige regnemetoder. Derfor er det hensigten, at læseren efter arbejdet med dette kapitel:

– Har genoplevet barnets kamp med og frustration over at sætte sig ind i en fremmed talverden.

– Danner sig personlige refleksioner over såvel positionssystemer som reg-nemetoder i fremmedartede positionssystemer.

– Erkender fordelene ved et positionssystem frem for tidlige positionsuaf-hængige systemer som fx romertal.

– Teknisk behersker at regne i et talsystem med fremmed base og kan omskrive et tal fra én base til en anden.

AlFABETAlAnd

Fra talbegrebets historie har vi lært, at det meste omkring tallenes udseende og grundlæggende regnemetoder er kulturbestemt. Det har inspireret os til at konstruere en fantasiverden i opgave 1, som dog er lidt påvirket af tidlig græsk talnotation og nogle generelle principper, der genfindes i mange kulturer. Vi har kaldt denne fantasiverden for Alfabetaland og inviterer nu læseren til at lære sig at tælle og regne på ny i dette lands noget anderledes kultur.

72497_epsilon_2k.indd 81 17-07-2008 15:20:50


Målet hermed er at give læseren en ret enestående mulighed for at gen-opleve nogle af de vanskeligheder, som et barn oplever i mødet med tal og talbehandling i skolen.

Faktisk bør opgaven starte med en ren mundtlig indgang til tælleremsen i Alfabetaland, hvor læreren har tilrettelagt lege med tælleremsen. En efter-ligning kan foregå ved at tælle rundt på holdet, således at førstemand siger ‘alfa’, den næste ‘beta’ osv. For at legen skal svare til virkeligheden i børns udvikling, er det vigtigt, at tællelegen i begyndelsen foregår uden adgang til skrift og læsning.

Opgave 1

Hvad nu, hvis vi talte således:

alfa, beta, gamma, delta, alfem

alfemalfa, alfembeta, alfemgamma, alfemdelta, betem

betemalfa, betembeta, betemgamma, betemdelta, gammem,

osv. (hvad det så helt præcist vil sige)

– og hvad, hvis vi skrev det således op:

α, β, γ, δ, αο,αα, αβ, αγ, αδ, βο,βα, ββ, βγ, βδ, γο,γα, …

– kunne du så:– tælle til deltem?– tælle antallet af mønter i din pung?– i hovedet udregne alfemgamma plus alfemgamma?– skriftligt udregne αβ + αγ?– tælle videre i tælleremsen længere fremme: deltemalfa, deltembeta,

deltemgamma, deltemdelta, alfun, alfunalfa, alfunbeta, …?– skrive videre i samme række: δα, δβ, δγ, δδ, αοo, αoα, αoβ?– skrive den lille gangetabel op i Alfabetalandnotation?– klare lidt mere komplekse beregninger som δα + αδγ og δβ ⋅ δγ

og nogle, du selv formulerer?

72497_epsilon_2k.indd 82 17-07-2008 15:20:50


Overvej/diskuter 1

Før vi igen forlader Alfabetaland vil det være nærliggende at gøre sig nogle overvejelser over, hvor meget situationen ligner den, barnet møder i skolens matematikundervisning. Og om der er aspekter af den tidlige talbehandling, I via besøget i Alfabetaland er blevet særlig opmærksomme på.

FoRdElEnE VEd PoSITIonSSySTEMER

Vi har i kapitel 4 om tallenes historie i -bogenϒ set, at man kan konstruere symboler for tal på mange måder. I de ældste systemer blev man nødt til at opfinde nye symboler, efterhånden som man fik brug for større tal. Fx i romertal, hvor de første titalspotenser hedder I, X, C, M. Umiddelbart kan det se kortere og mere praktisk ud end vores nutidige notation i ti-talssystemet 1, 10, 100, 1000, men den fordel sættes i skyggen af, at et tal som 444 skal skrives som CDXLIV eller efter en tidlig udgave af romertal CCCCXXXXIIII. Fordelen ved vores system er også, at det er let at lave symboler for de næste titalspotenser 10.000 og 100.000, mens de gamle romere måtte finde på nye symboler. Dog ser man i deres symboler X for 10.000 og C for 100.000, at også romerne satte pris på det genbrugsprincip, der er i positi-onssystemer. Den første, der satte ord på denne indlysende fordel ved vores moderne positionssystem baseret på grundtallet 10, var Leonardo af Pisa i bogen Liber Abaci fra 1202 ( -bogen,ϒ s.169):

De ni indiske tal er 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Med disse tal og med tegnet 0… kan man skrive ethvert tal, som det skal blive vist senere.

Vi har i kapitel 2 vist, hvorledes disse såkaldte cifre kan bruges som en slags bogstaver, hvormed man kan ‘stave’ til eller skrive ethvert tal som fx 45.198. Den anden fordel ved positionssystemet er måske endnu mere indlysende i skolesammenhæng: de effektive regnealgoritmer, vores positionssystem lægger op til. Det er sådan, at hvis man først har lært at regne med cifre (altså med enere) i regninger som 2 + 3 = 5, 7 + 2 = 9 og 7 + 8 = 15, kan disse bereg-

72497_epsilon_2k.indd 83 17-07-2008 15:20:50


ninger lige så godt fortolkes som beregninger med tiere, således at fx 2 + 3 = 5 læses som: “to tiere og tre tiere giver fem tiere”. Så vores tre regnestyk-ker kan i positionssystemets logik umiddelbart overføres til 20 + 30 = 50, 70 + 20 = 90 og 70 + 80 = 150. For den, som har begrebet princippet, kan det også fortolkes som beregninger med hundreder: 200 + 300 = 500, 700 + 200 = 900 og 700 + 800 = 1500. Den, der har forstået princippet i vores positionssystem og kan addere enere, kan derfor også klare en beregning som 772 + 823, fordi opgaven fx oversættes til 2 + 3 og 70 + 20 og 700 + 800, hvilket ifølge det ovenstående giver 5 enere, 9 tiere og 15 hundreder, hvilket giver 5 + 90 + 1500, der ifølge positionssystemets princip er 1595. Når børn udvikler deres egne algorit-mer, vil denne store fordel ved positionssystemet ofte være indarbejdet (jf. elevbesvarelse fra 2. klasse i figur 1), eller også vil læreren med tiden gøre eleven opmærksom på økonomien i det.

Figur 1.

PoSITIonSSySTEM MEd VIlKåRlIGT GRUndTAl

I nogle sammenhænge er det også en fordel ved positionssystemer, at man kan konstruere et positionssystem med et vilkårligt valgt grundtal. I for-bindelse med fremkomsten af elektronisk databehandling var det således en fordel, at man kunne vælge et positionssystem med kun to cifre, 0 og 1. På denne måde kunne man repræsentere tal ved elektriske spændinger i ledninger. Hvis der var spænding på en ledning, skulle det svare til 1, og hvis der ikke var spænding, skulle det svare til 0. Prisen for at benytte et sådant

72497_epsilon_2k.indd 84 17-07-2008 15:20:50


totalssystem (binært talsystem) er, at ‘tierovergangen’ allerede kommer ved 2, så der skal en ny ledning til for at holde øje med, hvor mange toere man har, en til at holde øje med firere og en til ottere, således at fire ledninger ved siden af hinanden ved passende spændinger kan repræsentere et tal som 1101 i totalssystemet. Dette tal skal fortolkes som 1 8+1 4+0 2+1 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , der svarer til 13 i vores foretrukne titalssystem.

Eksempel 1

En byteI forbindelse med computerteknologien ville man gerne have tal nok til rådighed til at kunne nummerere alle de tegn, der findes på et tas-tatur. Så det var ikke nok med fire ledninger ved siden af hinanden. Man måtte op på et ‘lakridsbånd’ med otte ledninger (figur 2), hvilket kunne repræsentere tal op til 255. Fx kan tallet 173 repræsenteres ved hjælp af spænding i 8 ledninger som

1 · 1+

0

0

0

+

+

+

+

0 · 2

1 · 4

1 · 8

0 · 16

1 · 32

0 · 64

1 · 128

I alt 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 173Figur 2. En byte repræsenteret ved ledninger.

I informationsteorien kaldes sådan en sekvens med 8 binære cifre for en ‘byte’ information.

72497_epsilon_2k.indd 85 17-07-2008 15:20:50


Opgave 2

Oversæt følgende tal skrevet i totalssystemet til titalssysstemet: a = 111101 og b =10101010.Prøv at addere a og b i totalssystemet, idet du efterligner metoder fra skolen. Kontroller eventuelt summen ved at oversætte til titalssystemet. Udregn derefter b – a i totalssystemet.

Definition

Hvis man vil skrive et tal i base g, skal man råde over cifre for tallene 0, 1, 2, 3 …, g – 1. Størrelsen af et tal skrevet i base g, altså med grund-tallet g, defineres ved:

1 2 11 2 1 0 1 2 1 0... (base ) ... .n n

n n n na a a a a g a g a g a g a g a−− −= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + +

Eksempel 2

Hvis vi moderniserer Alfabetalands system lidt ved at indføre ara-bertal, så 1 = α, 2 = β, 3 = γ, 4 = δ og 0 = o, så har man i Alfa-betaland indført et positionssystem med grundtallet 5. Hvis man vil omregne mellem base fem og base ti, så kan man blive forvir-ret, hvis ikke der ved hvert talnavn er angivet, om det faktisk er i den ene eller den anden base. I den situation bruger man romertal til at angive base, fx 1001 8 1 9II X X X= + = og 4132V kan i base X omskrives til 3 2 14 5 1 5 3 5 2 500 25 15 2 542,⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + = , dvs. 4132 542 .V X=

Hvis man omvendt har tal som 432 opskrevet i base X og vil have den udtrykt i base V, så må man først bestemme den største femmerpotens, der kan hentes ud af 432. Da de relevante potenser af 5 i base X er 1, 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625, ser vi, at den størst mulige er 53 = 125. Den går tre hele gange op i 432, hvorfor cifferet i base V tallet, svarende til denne position (a3), skal være 3. Til rest er nu 432 – 3 ⋅ 125 = 432 – 375 = 57. For at finde a2, måler vi, hvor mange gange vi kan tage 25 ud af 57. Vi finder a2 = 2.

72497_epsilon_2k.indd 86 17-07-2008 15:20:50


Til rest er nu 57 – 2 ⋅ 25 = 57 – 50 = 7. For at finde a1, måler vi, hvor mange gange vi kan tage 5 ud af 7. Vi finder a2 = 1. Og der er 2 enere til rest, hvilket giver a0 = 2.Resultatet bliver 432X = 3212V.

Hvis man vil opstille en algoritme ud fra fremgangsmåden, kan be-regningen med fordel skrives skematisk op:

Rest (i base X) Potens (i base X) Ciffer/kvotient Forbrug432 125 3 37557 25 2 507 5 1 52 1 2 20 Svar: 3212 (i base V)

Opgave 3

Skriv 41322V i base X.Skriv 9823X i base V.Skriv 6512VII i base X.Skriv 6512VII i base II.

Opgave 4

Hvis man vælger baser med grundtal højere end 10, bliver man nødt til at opfinde cifre for 10, 11 og evt. flere følgende tal. I datalogi regner man ofte i et 16-talssystem, hvor cifrene efter 9 hedder: A, B, C, D, E, F, mens 16X selvfølgelig hedder 10 i 16-talssystemet eller det hexa-decimale talsystem, som det også kaldes.1) Skriv 2EF i det hexadecimale talsystem i base X.

2) Beregn i det hexadecimale talsystem ABE + FED.

3) De hexadecimale tal i en computer dukker sjældent frem til bru-gerfladen, men man kan dog opleve adresser som http://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page. Her ville syntaksen for URL-adresser ikke acceptere et mellemrum mellem Main og Page og skrev derfor i ste-det nummerkoden (ASCII) for mellemrum netop i en hexadecimal kode. Hvad er nummerkoden, 20, for mellemrum oversat til titals-systemet?

72497_epsilon_2k.indd 87 17-07-2008 15:20:51


REGnEAlGoRITMER I AndRE TAlSySTEMER

For en lærerstuderende giver arbejdet med regning i andre talsystemer en mulighed for at genopleve den lange proces, der fører frem til beherskelse af de fire regningsarter. Processer, der er blevet helt automatiserede i de lærte algoritmer, taber ved regning i andre talsystemer karakteren af at være indlysende. Man bliver nødt til at reflektere meget bevidst over, hvad det er, man gør i disse automatiserede processer, og derved bliver man bedre til at forstå elevernes problemer og overvejelser. Vi vender tilbage til Alfabetaland for at regne i base V, men i en version, der er lidt tættere på det velkendte, idet vi anvender vores kendte ‘arabertal’. Prøv indledningsvis at udfordre dig selv med følgende regneopgaver, idet det er forbudt at oversætte til titalssystemet og lave beregningerne der:

324V + 143V = 324V – 143V = 324V ⋅ 143V = 114042V : 324V =

Hvis man skal efterligne metoder kendt fra titalssystemet, så er det første, man kommer til at savne, tabellerne. Fx får man i den første addition brug for at lægge enerne sammen 4 + 3. Det er klart, at hvis man kender tælleremsen i femtalssystemet, så kan man simpelthen tælle 3 frem fra 4:

1 2 3 4 10 11 12 13 14

1 2 3

Figur 3.

På denne måde kan man også konstruere den lille tabel for addition og evt. lære den udenad, hvis man vil være hurtig til at regne i dette talsy-stem, men det er nok mere realistisk, at man vil ‘slå op’ i tabellen, ligesom i skoletiden.

Opgave 5

Opstil den lille tabel for addition i femtalssystemet ved at udfylde de manglende pladser i tabellen på næste side

72497_epsilon_2k.indd 88 17-07-2008 15:20:51


+ 0 1 2 3 40 41 2 32 434 13

Nu, hvor vi råder over den lille additionstabel, kan den også bruges til at addere femmere og femogtyvere efter samme princip, som vi så i afsnittet om fordelene ved positionssystemer, så 224V + 143v ses ved opslag i tabel-len at give:12V enere, 11V femmere og 3 femogtyvere, hvilket er det samme som2 enere, 12V femmere og 3 femogtyvere, hvilket er det samme som2 enere, 2 femmere og 4 femogtyvere, hvilket er det samme som422V.

Opgave 6

Udregn ved hjælp af tabellen 4324V + 1324V.Undersøg, hvordan plustabellen også kan anvendes som en minustabel og benyt den til at udregne224V – 143V og 4324V – 1324V.

Opgave 7

Prøv at beregne 21V ⋅ 13V, 24V ⋅ 43V og 32V ⋅ 33V ved at udnytte den metode, du benytter til at multiplicere tal i titalssystemet.

Opgave 8

I dine udregninger i opgave 7 kom du sikket til at savne den lille multiplikationstabel.Opstil den lille multiplikationstabel for femtalssystemet.

⋅ 1 2 3 41 22 4 1134 13

72497_epsilon_2k.indd 89 17-07-2008 15:20:51


Opgave 9

Prøv, om du kan overføre den metode, du bruger til at multiplicere tal i titalssystemet, til femtalssystemet ved fx at beregne 324V ⋅ 143V. Hvis det volder vanskeligheder, kan du blive nødt til – som børnene i skolen – at tænke mere bevidst på at udfolde regnestykket til (300V + 20V + 4) ⋅ (100V + 40V + 3), og på ny genfinde simple regler, der svarer til fx “man ganger med 10 ved at sætte et nul bagefter”.

Opgave 10

Skriv en forklaring på, hvordan man ganger to tal med hinanden i femtalssystemet. Forklaringen skal henvende sig til børn i 3.-4. klasse i et land, hvor tallene er skrevet i base V.

Opgave 11

Som bekendt er division meget vanskeligere end multiplikation, fordi man i langt højere grad skal gætte på, hvor mange gange divisor går op i delberegningerne undervejs. Når divisor er encifret, kan man dog bruge gangetabellen som en slags divisionstabel. Prøv fx at udregne 1102V : 4 ved hjælp af gangetabellen. Resultatet bliver 123V.

Men allerede ved tocifrede tal bliver det noget vanskeligere. Prøv fx 2321V : 12V. Resultatet bliver 143V.

Prøv derefter med divisionsopgaven fra indledningen til dette afsnit 114042V : 324V. Resultatet bliver 143V.

Opstil to divisionsopgaver i base V, opgaver som, du er sikker på, ‘går op’. Udveksl opgaverne med medstuderende.

Opgave 12

Det er let at se på et tal som 34560 i base X, at både 2 og 5 går op i tallet. Kan man let se på et tal som fx 234320V i base V, om både 2 V og 5V går op?

72497_epsilon_2k.indd 90 17-07-2008 15:20:51


Opgave 13

Det har skabt revolution i meget regnearbejde i og uden for skolen, at den elektroniske lommeregner blev opfundet. Hvordan i al verden kan man få elektriske strømme til at udføre et regnearbejde? Sandsynliggør, at det ikke er så svært at forestille sig, når man ved, at lommeregnerne benytter totalssystemet: Skriv den lille additionstabel og den lille mul-tiplikationstabel op i base II, og udfør selv nogle beregninger som11011II + 10110II og 11011II ⋅ 10110II.

Opgave 14

Overvej, hvilken hensigt der kan være med, at lærebøger for begyn-dere præsenterer tidlige talsystemer eller tal med andet grundtal end 10. Se fx på:Jensen, H. N. m.fl. (2007): KonteXt 3 – matematik. Elevbog B. Forlaget Malling Beck. s. 4-7: Ægypternes tal.Høegh, J. m.fl. (2007): Matematiktak for 3. klasse. Bog 2. Alinea. s. 56-57: Tal (romertal).


Det væsentligste mål med dette kapitel var at bringe læseren i elevens sted i forhold til kompleksiteten i positionssystemet og regnealgoritmerne. Dertil kommer, at læseren i sit arbejde måske vil få brug for teknisk at kunne begå sig i andre talsystemer og bl.a. kende til betydningen af det binære system i computerteknologien.

Beskriv ved hver punkt fra indledningen til dette kapitel, i hvilket omfang du har nået målet. Dvs. om du:

– Har genoplevet barnets kamp med og frustration over at sætte sig ind i en fremmed talverden.

– Har reflekteret over såvel positionssystemer som regnemetoder i frem-medartede positionssystemer.

72497_epsilon_2k.indd 91 17-07-2008 15:20:51


– Erkender fordelene ved et positionssystem frem for tidlige, positionsuaf-hængige systemer som fx romertal.

– Teknisk behersker at regne i et talsystem med fremmed base og kan omskrive et tal fra én base til en anden.

72497_epsilon_2k.indd 92 17-07-2008 15:20:51

Documents

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrinKristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin Forlaget