MATEMATIK - özet-2013

8/9/2019 MATEMATIK - zet-2013

1/25

KPSS ALES YGS LYS VB.

MATEMATK 2013

DZENLEYENZAFER ZTRK


2/25

1

MATEMATK 2013 KPSS ALES LYS YGS ZAFER ZTRK

NDEKLER

No Konular Sayfa N.0 indekiler 1

KPSS ALES YGS LYS1 Temel Kavramlar, Say Sistemleri 22 Doal Saylarda Blme, Blnebilme 3

3 Asal arpanlara Ayrma, EKOK EBOB 44 Rasyonel Saylar 55 Basit Eitsizlik ve Sralama 66 Mutlak Deer 77 sl Deer 78 Kkl Deer 89 arpanlara Ayrma ve Sadeletirme 9

10 Oran Orant 911 Denklem zme 1012 Say, Kesir, Ya, Hareket Problemleri 1013 i Havuz Problemleri 13

14 Yzde, Kar Zarar ve Faiz Problemleri 1415 Karm Problemleri 1616 Grafik Problemleri 1617 Kmeler 1718 lem 1919 Modler Aritmetik 2020 Permtasyon Kombinasyon 2121 Olaslk 23

ALES 25Yaknda


3/25

2


A. TEMEL KAVRAMLAR, SAYI SSTEMLER

arpma Blme lemleri:( ) ( ) ( )=+ * ( ) ( ) ( )+= * ( ) ( ) ( )+=++ * ( )( )

( )=+

( )( )

( )+=

( )( )

( )+=++

lem Sras:

1.

nce parantez ii ve btn ilemler yaplr.2. s (kuvvet) varsa s alnr.3. arpma / blme ilemi yaplr.4. Toplama / karma ilemi yaplr.

rnek:

( )( ) ( ) 162144/81224/24*32 3 =+=++=++

Say Kmeleri:* Rakam = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}* Say = ( - , +)* Doal Say = N = {0, 1, 2, , +}* Sayma Say = N+= {1, 2, , +}* Tamsaylar = Z = { - , , -1, 0, 1, 2, + }* Tamsaylar = Z = Z-+ {0} + Z+* Reel Saylar = R = ( - , + ) = Q Q

* Rasyonel Saylar =

= 0bveZb,a:b

aQ

* fadenin durumu:

msztanx,0b,0a

belirsizx,0b,0a

0x,0b,0a

b

ax

==

===

==

=

* rrasyonel Saylar = ,...,7,2Q 3 = net olmayan* ift saylar = { }...,4,2,0,2,4,... = * Tek saylar = { }...,5,3,1,1,3,...T =

TT

TT

=

=

=

*

*T

TT*T

=

=

=

TT

,iinZn

n

n

=

=

+

1T

1

0

0

0

=

=

Tanimsiz00x

1x0x0

0

==

=

Pozitif Negatif Saylarda lemler:

dc0ba , vb.

Pozitif saynn btn kuvvetler (tek, ift fark etmez)pozitif, negatif saynn tek kuvvetleri negatif, ift kuvvetleripozitiftir.

0cift > , 0d Tek > , 0a ift > , 0b Tek < , 1T 00 ==

rnek: 0b*a 2 < , 0c*b 3 > , 0c

a> ise a, b, c iaretler?

0b0b*a2

0a00c

a

> ise a (-), b (-), c (-) olur.

Asal Saylar:* 1 ve kendisinden baka pozitif tam bleni olmayan ve

1den byk tam saylardr. En kk ve tek ift asal say 2dir.* Asal saylar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, vb.

Aralarnda Asal Saylar:* 1den baka pozitif tam bleni olmayan en az iki tam

say. a ile b, x ile y aralarnda asal saylar ise;

=y

x

b

a xa = ve yb =

rnek: 5 ile 7; 10 ile 21; vb. aralarnda ikili asal say.(Aralarnda 1den baka bleni yoktur.)

rnek:12, 15, 20 aralarnda asal say. (12 ile 15 arasnda3e blen varsa da 20de 3e blen yok.)

rnek:(2x-1) ile (3y+2) aralarnda asal;

63

35

1x2

2y3=

+

9

5

1x2

2y3=

+

1y

5x

91x2

52y3

=

=

=

=+

Ardk Saylar:* Ardk sayma saylar: 1, 2, 3, 4, , n,

* Ardk ift sayma saylar: 2, 4, 6, 8, , 2n, * Ardk tek sayma saylar: 1, 3, 5, 7, 9, , 2n-1, * Ardk tam saylar: n, n+1, n+2, n+3, * Ardk ift tam saylar: 2n, 2n+2, 2n+4, * Ardk tek tam saylar: 2n-1, 2n+1, 2n+3, * Ardk saylar aras fark 1, ift ve teklerde fark 2.

*( )2

1n*nn...321

+=++++

* ( )1n*nn2...642 +=++++

* ( ) 2n1n2...7531 =+++++

T.S.: Terim Says, S.T.: Son Terim, I.T.: lk terim, A.:Art Miktar, T.T.: Terimler Toplam.

*2

.A.T.I.T.S*.S.T.T.T ++

=

1.A

.T.I.T.S.S.T +

= bxa

.A

.T.I.T.S.S.T

=

bxa

bxa


4/25

3


Faktriyel:* !nn*...*5*4*3*2*1 = (Faktriyel)* )!2n(*)1n(*n)!1n(*n!n == * 0! = 1! = 1

* !n basamakl saynn sondan x basama sfr ise;

ecax

5efe*5c

5cdc*5a

5aba*5n

++=


5/25

4


* xa0 aralkta b veya c ile blnen saylar:mk*bx += np*cx +=

( ) dc,bOkek = rt*dx += ( ) ( ) ( ) ( )BAsBsAsBAs IU += z = k + p t

* bxa


6/25

5


* Rd

c,

b

a olmak zere bu iki saynn OBEB ve OKEKi;

( )( )d,bOBEB

c,aOKEK

d

c,

b

aOKEK =

( )( )d,bOKEK

c*b,d*aOBEB

d

c,

b

aOBEB =

* Rf

e

,d

c

,b

a

( )( )f,d,bOBEB

e,c,aOKEK

f

e,d

c,b

aOKEK =

rnek:a*b*c llerine sahip kutulardan kutu elde etmekiin gereken miktar?

d)c,b,a(EKOK = c*b*a

d*d*dKutu=

rnek:a*b*c llerindeki odaya en az ka kutu girer?

d)c,b,a(EBOB = d*d*d

c*b*aKutu=

rnek:a*b alannda tarlaya en az aa dikmek:

;ise2ky*cb

1kx*cac)b,a(EBOB

+=

+==

Kelere dikilmezse: ( )2k1k*2 + tane aa.

Keler + tarla iine: ( )12k11k*2 +++ tane aa.

Aa Says =c

ba*2

+ (Keler dhilse)

rnek: a, b, c srelerinde alan zilin ilk aldktan ikinciala kadar geen sre:

k)c,b,a(EKOK = Birlikte ilk al k zamandadr.

rnek:Traktr soru: n tekerlek evre A br, arka tekerlekevre B br, traktr harekete baladktan sonra ilk konuma

geldiinde n tekerlek arka tekerlekten ka fazla tur atm?C)B,A(EKOK = br (Alnan yol)

YXZY*BC

X*AC=

=

= tur fazla atmtr.

D. RASYONEL SAYILAR

Rasyonel Saylar:

* Basit kesir: 0b;bab

a

>


7/25

6


*990

ababcdcdb,a__

= Devirli ondalkl say

* 2,a91,a = Devirlide tek devreden 9 ise soldan 1 artar.

rnek:990

1234

990

121246462,1...2464646,1__

=

==

rnek: cba442

440c;

112

110b;

103

101a

=

=

=

rnek: cba440

442c;

110

112b;

101

103a >>===

rnek: cba440

442c;

110

112b;

101

103a


8/25

7


F. MUTLAK DEER

* aR, say dorusu zerinde balang noktasna olanuzakldr.

*

aa0a

0a0a

aa0a

Ra

=>

==

=


10/25

9


* n*m nm n y*xx*y =

*

= m1

*n

1

m

1

m n x*yx*y

* nnn yxyx ++

* y*xy...*x*x*xy...*x*x*xy

=== 43421

*( )

( )

( )

=

=

=

+=+++

+=

+

1nn n n

1nn n n

x...:x:x:x

x...*x*x*x

a...xxx

1a...xxx

1a*ax

rnek: ?x8...xxx ==

( ) 729*81a*ax ==+= (karmada kk deer alnr.)

rnek: ?...202020x =+++=

( ) 5*4201a*ax ==+= (+ olduundan en by olan 5)

rnek: ?91273x 3 =++=

3391273 227331273x3

+=++= = ++

22853253 3 3333 ====+=+=

I. ARPANLARA AYIRMA VE SADELETRME

* ( ) ( )ba*baba22

+= (ki kare fark)* ( ) ( ) b*a*2bab*a*2baba 2222 +=+=+

* ( ) 222 bb*a*2aba += (Tam kare)

* ( ) ( ) b*a*4baba 22 += (Tam kare)

* ( ) 222 bb*a*2aba ++=+ (Tam kare)

* ( ) ( ) b*a*4baba 22 +=+ (Tam kare)

* ( ) 32233 bb*a*3b*a*3aba += (Kpl ifade)

* ( ) 32233 bb*a*3b*a*3aba +++=+ (Kpl ifade)

* ( ) ( )2233 bb*aa*baba ++= (ki kp fark)* ( ) ( )2233 bb*aa*baba ++=+ (ki kp toplam)* ( ) ( )ba*b*a*3baba 333 ++=+ (ki kp toplam)

* ( ) ( )c*bc*ab*a*2cbacba 2222 +++++=++

* ( ) ( )c*bc*ab*a*2cbacba 2222 +++=+

* ( ) ( )c*ab*ac*b*2cbacba 2222 +++=

* ( )abba = (aret deitirme)

* ( ) x*cbax*cx*bx*a +=+ (Ortak parantez)

* ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

==

==

nn

nnn

babatekn

abbaciftnba

* =

++= b4

a

2

a

2

acbx*axy

222 c

2

axy

2

+=

* ( ) ( ) 0nx*mxn*mc

nmb0cx*bx2 =++

=

+==++

* 0cx*bx*a

gf

x*ex*d

2 =++

=

=

g*fc

x*e*x*dx*a 2

( ) ( ) 0gx*e*fx*d =++

rnek:2xx2

6xx 2

2

ifadesinin sadeletiriniz.

( ) ( )2x*3x06xx

23

xx

2 +=+

+

( ) ( )2x*1x202xx2

21

xx2

2 +=

+

( ) ( )( ) ( )

( )( )1x2

3x

2x*1x2

2x*3x

2xx2

6xx2

2

=++

=

rnek: 1xx2 += ise ?xx 45 =+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x*1x1x*x1x*xxx 222445 ++=+=+=+ ( ) ( ) ( ) ( )1x*1x*21x1x*1x*2xxx 245 ++++=+++=+ ( ) ( ) 2x*5x*31x*2x*3xx 245 ++=++=+

( ) 5x*82x*51x*3xx 45 +=+++=+

J. ORAN ORANTI

* c*bd*ad

c

b

a== (k orant sabiti)

* k*dc

k*ba

kd

c

b

a

=

=

==

* kdb

ca

db

cak

d

c

b

a=

=++

==

* kd*nb*m

c*na*m

d*nb*m

c*na*mk

d

c

b

a=

=++

==

* 2kd*b

c*ak

d

c

b

a===

* 1d:b

c:a

c*b

d*ak

d

c

b

a====

* n

n

n

n

n

kd

c

b

ak

d

c

b

a====

* = kb

c*a (b, c veya a ile doru; a, c ile ters orantl)

*c

kakc*a == (T.O.) b*kck

b

c== (D.O.)

* a, bnin aritmetik, geometrik, harmonik ortalamalar:

2

ba.O.A += b*a.O.G =

ba

b*a*2

b

1

a

12

.O.H+

=+

=

* a, b, cnin aritmetik, geometrik, harmonik ortalamalar:

3cba.O.A ++= 3 c*b*a.O.G = ( )

.O.A.O.G

c

1

b

1

a

13.O.H 2=

++=


11/25

10


* a, b, c srayla x, y, z ile orantl ise;

z:y:xc:b:az

c

y

b

x

a===

*

=

==

x*db

x*ca

d

c

b

a (Doru orantda)

*

=

==

x*ad

x*bcd*bc*a (Ters orantda)

*

rnek: ?bab*7a*4Zb,a == +

k*3bak*4b,k*7ab*7a*4 ====

rnek: a, b, cden oluan toplulukta 48 kii var. Butoplulukta saylar srayla 3, 4 ve 5 ile orantl ise a grubundakii says?

k5c,k4b,k3a48cba ====++ 2k48k*1248k5k4k3 ===++

62*3k3a === kii

rnek: 3 ii bir gnde 48 tane paket hazrlarsa ayngteki 5 ii 1 gnde ka paket yapar?

paketx

paket48X

isci5

isci3 .O.D 803

48*5x == paket

rnek: a, b ile ters, c ile doru orantldr. a= 6, b= 10iken c= 15 ise a= 8, c= 6 iken b=?

38*15

6*10*6

b6

b*8

15

10*6

kc

b*a

====

rnek:4 tane ii, gnde 5 saat alarak bir ii 6 gndebitirirse; ayn iin iki katn 3 ii gnde 8 saat alarak ka

gnde bitirir?

10xx*8*3

6*5*4

k*2

k== gn

*OrtalamaNotlarin

ToplamiNotlarinOrtalamaNot =

*

SayisiKisi

ToplamiYaslarinOrtalamaYas =

rnek: Grupta 15 erkek, 12 kz var. Erkeklerin yaortalamas 27, kzlarn da 18dir. Grubun ya ortalamas=?

405E2715

E== kii 216K18

12

K== kii

2327

621

1215

216405

1215

KE.O.Y.G ==

++

=++

=

rnek:40 ve 60 saylarnn harmonik ve geometrik ort.=?

486040

60*40*2

b

1

a

12

.O.H =+

=

+

=

98,48620240060*40b*a.O.G =====

K. DENKLEM ZME

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem:

*

=

==+

a

b.K.

a

bx0bx*a0a,Rb,a

* R.K.000bx*a0b,0a,Rb,a ===+== * ===+= {}.K.0b0bx*a0b,0a,Rb,a

Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Denklem:* 0cy*bx*a0b,0a,Rb,a =++

*0fy*ex*d

0cy*bx*a

=++

=++iki bilinmeyenli iki denklem ise;

}y,x{.K.e

b

d

a= Tek bir sral ikili

R.K.f

c

e

b

d

a=== Sonsuz sral ikili

== .K.f

c

e

b

d

a Bo kme

rnek: ?yx26y*3x*538y*2x*3 =+

= =+

* Yok etme yntemi ile bulma:

166x*1952y*6x*10

114y*6x*9

26y*3x*5

38y*2x*3

/2

/3=

=

=+

=

=+

73,819

166x == , 89,5

2

73,8*338

2

x*338y =

=

=

62,1489,573,8yx =+=+

* Yerine koyma yntemi ile bulma:

2

x*338y38y*2x*3

==+

=

= 262x*338

*3x*526y*3x*5

73,8x166x*19262

x*9114x*10===

+

Sonra x grlen yerine konarak y bulunur.* Karlatrma yntemi ile bulma:

2

x*338y38y*2x*3

==+

3

26x*5y26y*3x*5

==

73,8x3

26x*5

2

x*338=

=

Sonra x grlen yerine konarak y bulunur.

n. Dereceden ki Bilinmeyenli Denklem:

* 0ax*a...x*ax*a 01

11n

1nn

n =++++

L. SAYI, KESR, YA, HAREKET PROBLEMLER

Say Problemleri:* 3x + Bir saynn fazlas* x*3 Bir saynn kat

* ( )2x*5 + Bir saynn iki fazlasnn be kat* 1x*4 Bir saynn drt katnn bir eksii

* 2x2 Bir saynn karesinin iki eksii* ( )23x Bir saynn eksiinin karesi

* 5y3x += Bir say, dier saynn katnn be fazlas


12/25

11


rnek: Bir snfta kitap almak isteyen renciler kendiaralarnda, 250er lira topladklarnda 500 lira eksik, 300erlira topladklarnda 500er lira fazla paralar oluyor. Snf=?

500x*300500x*250T =+= 20x1000x*50 == Snf mevcudu = 20 kii.

rnek: Bir snftaki renciler sralara 2erlioturduklarnda 6 renci ayakta kalyor, 3erli oturunca 2 srabo kalyor. Snfta ka renci var?

( )2x*36x*2T =+= 12x6x*36x*2 ==+ (sra says)

30612*26x*2T =+=+= (renci says)

rnek: Bir merdivenin basamaklarni ikier ikier kpdrder drder inen Erdal, karken att adm says, inerkenatt adm saysndan 7 fazla ise merdiven ka basamakldr?

( )7x*4x*2T == ( ) 14x28x*4x*27x*4x*2 ===

2814*2x*2T === (merdiven says)

rnek:Bir krtasiyede 8 defter ile 5 kalemin fiyat 35,5 ,

bir krtasiyede 3 defter fiyat ile 7 kalem alnabilirse bir defterfiyat ka = ?5,35K*5D*8 =+ k*3K,k*7DK*7D*3 ===

5,0k5,35k*715,35k3*5k7*8 ===+

5,35,0*7k*7D ===

rnek: Bir yolda 4 adm ileri, 1 adm geri adm atarakyryen bir kii toplam 172 adm att. Batan ka adm ilerler?

4 adm (), 1 adm geri () iken 4 + 1 = 5 adm234*5172 += 172 admda 34 kere 5 adm ilendi,

kalan iki adm da 2 adm ileri gidecek.lerlemede net adm hareket 4 1 = 3 adm (net ilerleme)

1023*34 = adm Son iki hareket ncesindeki durumToplam adm = 102 + 2 = 104 adm.

rnek: 155 litrelik havuz, 5 ve 8 litrelik iki bidonla sutanarak doldurulacak. Bu iki bidonla toplam 25 defa sutanrsa 5 litrelik bidonla ka defa su tanr?

5 litre x defa; 8 litre (25 x) defa su tanr.( ) 15x155x25*8x*5 ==+ defa su tanr.

rnek: Musa, kuyrukta batan (n-2). srada, sondan(3n+1). sradadr. Kuyrukta 34 kii varsa kanc sradadr?

1ArkadaOndeKisi += (x. srada olduu iin)

9n36n411n*32n34 ==++=

.7).29().2n( == sra (nden itibaren sras)

rnek: Musa, srada batan 10. srada, Erdal ise sondan14. sradadr. Musa ile Erdal arasnda 3 kii varsa srakuyruunda en az ve en ok ka kii olabilir?

rnek: Bir traktrn n tekerleinin evresi 1,8 m, arkatekerleinin evresi 3,6 mdir. n tekerlein dn says arkatekerlein dn saysndan 100 fazla ise ilerleme mesafesi?

n tekerlek .m8,11 = (r1 yarapl, n1 dn)Arka tekerlek .m6,32 = (r2 yarapl, n2 dn)n tekerlein dn says, arka tekerleinin 2 katdr.

2n*21n = 1002n2n*2 += 1002n = devirTraktrn ald yol:

.m360100*6,32n*2x ===

Kesir Problemleri:

*2

x Bir saynn yars

*3x Bir saynn te biri

*5

x*2 Bir saynn bete ikisi veya 2 / 5i,

*2

3x + Bir saynn fazlasnn yars

rnek: Bir kesrin deeri 3 / 5tir. Bu kesrin payna 1eklenir, paydasndan 1 karlrsa kesrin deeri 2 / 3tr.

Balangtaki kesrin pay nedir?

5x2x*103x*93

2

1x*5

1x*3

5

3==+=

+

Balangtaki kesrin pay = 3 * x = 3 * 5 = 15

rnek: Bir kabn arl bo iken a gr, te biri suyladolarken b gr ise kabn tamam su dolsa arl ka gr=?

Kabn alabilecei su miktar 3V olsun.

xb*3a*2xaV*3

b*3a*3V*3

xaV*3

baV=

=

=+

=+

=+

a*2b*3x = gr.

* Bir telin herhangi bir ucundan tel kesiliyorsa kesilenparann yars kadar ve ters ynde; bir ucuna tel ekleniyorsaeklenen parann yars kadar ve ayn ynde telin orta noktasdeiir. (G1 Gx)


13/25

12


rnek: Belirli bir ykseklikten braklan bir top, yerevuruundan sonra bir nceki yksekliinin 3/16s kadar

ykselir. Top yere arpndan sonra 18 cm ykselirse birincivuruundan sonra ka cm ykselir?

512h16

3*h18X*hY

2n =

== cm

Birinci sekmede 9616

3*512X*hY

1n =

== cm

Ya Problemleri:

Durumlar Elif Betlimdiki yalar x ya yl sonraki yalar x + a y + aa yl nceki yalar x a y aimdiki yalar toplam x + yk yl sonraki yalar toplam x + y + 2*kimdiki yalar fark x yk yl sonraki yalar fark x yDoduu zamanki yalar 0 0a yl sonra dosa idi x a y a

a yl nce dosa idi x + a y + a

* Ya fark yllara gre deimez.* Sorularda yanda iken ibare, ya byk iin, yana

geldiinde ibare, ya kk olan kii iin kullanlr.

rnek: idem 2 yl nce dosa idi ya a, 4 yl sonradosa idi ya b olacakt. Bugnk ya 24 ise a + b=?

26224kxa =+=+= (2 yl nce dosa)20424kxb === (4 yl sonra dosa)

462026ba =+=+

rnek: Elif, Polatn bugnk yana geldiinde Polat 43

yanda olacak. Elif bugn 25 yanda ise Polat bugn=?

Durumlar Elif Polatimdiki yalar 25 XElif Polatn yana geldiinde X 43

342

2543X34XX4325X =

+=== yanda

rnek: Sedat arkadana 7 yl sonraki yam, doumylmn rakamlar toplamna eit olacak. dedi. Bu konuma1998de olduuna gre Sedat hangi ylda dodu?

Sedat 19xy ylnda dosun.

200571998 =+ (7 yl sonraki ya iin)95y*2x*11yx91xy192005 =++++= 1979Yil9y,7x === (Doduu yl)

Hareket Problemleri:* t*VX = Yol = Hz * Zaman* 1 km = 1000 m* 1 saat = 60 dakika = 3600 saniye

* 1 km/h =s

m

3600

1000*1

dk

m

600

1000*1 = (dnmlerde)

Yol (x) Hz (V) Zaman (t)

Kilometre (km) km / h Saat (h)Metre (m) m / dk Dakika (dk)Metre (m) m / s Saniye (s)

Uak, vb. sorularda da mantk ayndr.

*ZamanToplam

YolToplam

HizOrtalama =

*ort

ortort t

XV =

2

2

1

1

21ort

V

X

V

XXX

V+

+= (Gidi: X1, geli: X2)

*21

21ort VV

V*V*2V

+= (Gidi geli yollar eitse)

rnek:Bir ara, A ile B arasndaki yolu saatte 40 km ilegidip beklemeden saatte 60 km sabit hzla geri dnyor. Buaracn ortalama hz nedir?

120

X*5X*2

120

X*3

120

X*2X*2

40

X

60

XXX

V

X

V

XXX

t

XV

2

2

1

121

ortortort =

+=

+

+=

+

+==

48X*5

120*X*2Vort == km / h

rnek:Saatteki hz 48 km/h olan bir tren uzunluu 130 m,bu tren 510 m uzunluunda bir tnele tam girerken altrlanbir kronometre, tren tnelden ktnda kanc saniyededir?

Tren Yolu = 130 + 510 = 640 m48 km / h = 48 * 1000/3600 = 40/3 m/sTneli Geme Zaman = Trenin Yolu / Trenin Hz

4840 3*640

3

40640t === sn (Kronometre 48. sn'dedir.)


14/25

13


M. HAVUZ PROBLEMLER

i Problemleri:* Ali bir ii tek bana a saatte, Burak ayn ii tek bana b

saatte, her ikisi birlikte bu ii t saatte bitirsin.

t

1

b

1

a

1=+ 1

b

t

a

t=+

abtba Vc > Vb)

*t

1

b

1

a

1= (C musluu kapal ise)

*t1

c1

a1 =+ (B musluu kapal ise)

*t

1

c

1

b

1

a

1=+ ( musluk da aksa)

* Musluklarn ak hz ile havuz dolma / boalma sresiters orantldr. (Va ile ta arasnda ters orant var.)

rnek: ekildeki B musluu dolu havuzu tek bana 16saatte boaltr. A musluu ise dolu havuzu tek bana, kendihizasna kadar 8 saatte boaltr. Havuz dolu iken ikisi birliktealrsa ka saatte boaltr?

Havuzun alt yarsn B musluu 8 saatte boaltr. Havuzunst yarsn A ve B musluklar beraber x saatte boaltsn.

4xx

1

8

1

8

1==+ saatte boaltr.

Havuz: t = 4 + 8 = 12 saatte boaltr.

rnek:ekildeki havuzun st ksmnda havuzu dolduran A

ve C musluklar, havuzun tam ortasnda ise havuzun yarsnboaltan B musluu var. A musluu bo havuzu tek bana 8saatte, C musluu tek bana 4 saatte doldurur. musluk aynanda aldnda havuz 44/15 saatte dolarsa B musluu nekadarda havuzun yarsn boaltr?

Havuzun yarsn A musluu 4 saatte, C musluu 2 saattedoldurur. Alt yarsn A ve C musluklar birlikte doldurur.

3

4x

x

1

2

1

4

1==+ (Alt yarsnda dolma)


15/25

14


Havuzun st yarsnn dolma sresi:

5

8

15

24

15

20

15

44

3

4

15

44=== saatte dolar.

st yarsnda dolma durumuna gre Bnin durumu:

8t8

1

t

1

8

5

2

1

4

1

t

1

5

81

t

1

2

1

4

1==+==+

rnek:Normal ak hz % 25 artan musluk, bo havuzu 12

saatte doldurursa normal ak hznda ne kadarda doldurur?V ak hz % 25 artmsa ak hz 1,25V olur.1,25V hzla 12 saatte dolarsa; V hzyla t saatte dolar. (TO)

15tt*V12*V*25,1 == saatte dolar.

N. YZDE, KAR ZARAR, FAZ PROBLEMLER

Yzde Problemler:

*100

x*a Bir a saysnn % xi

*100

y*

100

x*a Bir a saysnn % xinin % ysi

*

+100

x100*a Bir a saysnn % x krl sat

*

100

x*a Bir a saysnn % x kr

*

100

y100*a Bir a saysnn % y zararl sat

*

100

y*a Bir a saysnn % y zarar

* Verilen problemlerde 100x baz alarak zme gidilir.

rnek:Hangi saynn % 25inin % 40 12ye eittir?

120a12100

40

*100

25

*a ==

rnek: Bir otobsteki yolcularn % 40 kadndr. Buotobsten erkek yolcularn % 20si inip, otobse belirli saydakadn yolcu bindiinde, otobsteki erkek yolcularn sayskadn yolcularn saysna eit oluyor. Otobse binen kadn

yolcularn says, otobste bulunan kadn yolcularn saysnn% kadr?

Yolcularn tamam: 100x

Kadn yolcularn says: x40100

40*x100 =

Erkek yolcularn says: x60x40x100 =

Otobsten erkek yolcularn % 20si indiinden;nen erkek yolcu says: x12100

20*x60 =

Otobste kalan erkek yolcu says: x48x12x60 = Otobse a tane kadn yolcu bindiinde, otobsteki erkek

yolcularn says kadn yolcularn saysna eit ise:ax8x48ax40 ==+

Otobse binen kadn yolcularn says, otobste bulunankadn yolcularn saysnn % bsi:

20bx8100

b*x40 ==

rnek:Bir snfn % 80i kz, kzlarn % 25i gzlkldr.

Buna gre gzlksz kzlar snfn yzde kadr?Snfn tamam: 100x

Kz says: x80100

80*x100 =

Erkek says: x20x80x100 =

Gzlkl kz says: x40100

25*x80 =

Erkek Kz ToplamGzlkl 20*xGzlksz 60*xToplam 20*x 80*x 100*x

Gzlksz kzlar, snfn % ks ise;

60kx60100

k*x100 == (%)

rnek: ki saynn arpmnda saylardan biri % 25arttrlp dier say % 20 azaltlrsa arpm nasl deiir?

b*a stenen arpm

a*25,1100

25100*a =

+ a says % 25 arttrlrsa

b*8,0100

20100*b =

b says % 20 azaltlrsa

b*ab*8,0*a*25,1 = Son durumdaki arpmlk arpm ile son arpm ayn. Deimemitir.

Kr Zarar Problemleri:* A: Maln al (olu, maliyet) fiyat* S: Maln sat (etiket) fiyat* x: Kr yzdesi* y: Zarar yzdesi* K: Kr* Z: Zarar

* Kr = Sat fiyat Al fiyat

*100

x*AASK ==

* Zarar = Al fiyat Sat fiyat

*100

y*ASAZ

==

rnek:Defterlerin 6 tanesini 5 TLye alan bir krtasiyeci, 3tanesini 4 TLye satmtr. Buna gre krtasiyeci defterlerin

satndan % ka kr elde etmitir?

1 tane defter maliyet:6

5

x

AAx ==

1 tane defter sat:3

4

y

SSy ==

1 tane defter kr durumu:2

1

6

5

3

4AxSxK ===

Defter kr yzdesi: 60x100x*

65

21

100x*AxK ===

rnek:eker kilogram a TL, ekere % 25 zam yaplrsa aTLye ka kg eker alnr?

1 kg eker zaml fiyat:4

a*5

100

25100*aS =

+=

x kg eker zaml fiyat:

olurTLa

iseTL4

a5X

kersekgx

kersekg1 (D.O.)

( )5

4x1*ax*

4

a*5==

kg eker alnabilir.

rnek: Bir manav kilosu x liradan y kilo elma alyor.Elmann 5 kilosu rk kyor. Buna gre 1 kilo elma kaliraya mal olur?


16/25


17/25

16


O. KARIIM PROBLEMLER

*100

X

MiktariKarisim

MiktariMaddeSafYuzdesiMadde ==

*100

MiktarMaddeEtkin*MiktariKarisimMiktariMaddeSaf =

* Saf altn = 24 ayar* Karmda etkin madde eklenirse veya karlrsa % 100;

etkin olmayan madde eklenirse veya karlrsa % 0 kabuledilir. (rnein; % 20si alkol (etkin madde) olan alkol sukarma alkol eklenirse % 100, su eklenirse % 0)

* A kabnda % xi tuz olan a lt, B kabnda % yi tuz olan blt iken ikisi C kabnda kartrldnda (a+b) litrelik karmntuz yzdesi z ise;

( )100

z*ba100

y*b100

x*a +=+

( )ba

y*bx*azz*bay*bx*a

++

=+=+

rnek: 11 gr 18 ayar altn karmnda altnn ayarn22ye karmak iin karma ka gr saf altn katlr?

( ) x*22242x*2419822*x1124*x18*11 +=++=+ 22x44x*2 == gr saf altn

rnek:12 gr 15 ayar altn ile 18 gr 20 ayar altn eritilerekkartrldnda oluan karm?

18x540x*30x*3020*1815*12 ===+ ayar

rnek:96 gr su ile 24 gr tuz karrsa karmn tuz oran?

( ) 20120

100*24x

100

x*249624 ==+= (%)

rnek:Alkol oran % 30 olan 50 litrelik alkol- su karma10 lt su, 20 lt saf alkol, su oran % 40 olan 15 litre karmeklenir ve 5 litre su buharlatrlrsa karmn alkol oran ne?

( )100

x*)515201050

100

0*5

100

40100*15

100

100*20

100

0*10

100

30*50 +++=

+++

100

x*900

100

60*15

100

100*200

100

30*50=+++

8,4890

4400xx*9090020001500 ===++ (%)

rnek:Kilogram 5 TL olan 12 kg pirin ile kilogram 3,5TL olan 8 kg pirin kartrlyor. Bu karmdan % 25 kar eldeetmek iin karmn kilogram ka TL?

4,4x88x*20x*205,3*815*12 ===+ TL

5,5100

125*4,4 = TL (% 25 kr elde etmek iin karm kg)

rnek:ekildeki kaplardan birincisinin taban alan S cm2,ykseklii 3*h cm; ikincisinin taban alan 3S cm2, ykseklii

2h cmdir. Tuz-un karmyla dolu olan bu kaplardan I.Kaptaki karmn tuz oran % 90, II. kaptakinin ise % 60 isebu kaplarda tuz un karmlar nc bir kapta kartrlrsa

yeni karmn tuz oran?

V*3h*S*3h*3*SV1 === (1. kap hacmi)

V*6h*S*6h*2*S*3V2 === (2. kap hacmi)

( )100

x*V6V310060*V6

10090*V3 +=+

709

630xx*V9V*360V*270 ===+ (%)

P. GRAFK PROBLEMLER

izgi Grafii:

rnek:Grafikte Serkann bir hafta boyunca zd sorusays verilmitir. Serkan bu bir haftada ortalama ka soruzmtr?

2007

1400

7

50150300100350200250==

++++++ soru

Stun Grafii:

rnek: Grafik, bir firmann 2010 2014 yllar arasndagelir ve giderlerinin gsterir.

Firma en fazla kazanc hangi ylda yapmtr? Firmann 5yl boyunca ortalama kazanc nedir?

2010 Kazan = 6 4 = 2 milyon YTL2011 Kazan = 7 6 = 1 milyon YTL

2012 Kazan = 5 4 = 1 milyon YTL2013 Kazan = 7 4 = 3 milyon YTL2014 Kazan = 6 5 = 1 milyon YTL

En fazla kazanc 2013 ylnda 3 milyon YTL.


18/25

17


Firmann 5 yl ortalama kazanc:

6,15

8

5

13112==

++++ milyon YTL

Daire Grafii:

rnek: Grafik, bir i yerinde alan 120 kiinin en sonmezun olduklar retim dzeylerine gre dalm gsterir.

Bu i yerinde alan lisans mezunu says nedir?

gosterilir150

orsagosteriliy360X

kisix

kisi1200

0

50x120*150360*x == kii

Bu i yerinde alan nlisans mezunlarndan 10 kiiayrlp onlarn yerine lisans mezunu 10 kii alnrsa alanlariinde lisans mezunlarnn % oran nedir?

50360

150*120x == kii lisans mezunu

20360

60*120x == kii nlisans mezunu

20 10 = 10 kii nlisans mezunu kalr50 + 10 = 60 kii lisans mezunu olur

50y100

y*12060 == (%)

Doru Grafii:

rnek: Aadaki I. grafik, sabit hzla hareket eden biraracn yolda geen sreye gre deposunda kalan benzinmiktarn, II. grafik ise ayn aracn yolda geen sreye greald yol miktarn gsterir. Bu ara, deposunda bulunan 80litre benzinle ka km yol alr?

702

140

t

xVt*Vx ==== km/h (1 saatteki hz)

2 saatte 80 48 = 32 litre benzin tketir.1 saatte 32 / 2 = 16 litre benzin tketir.80 litre benzinle 80 / 16 = 5 saat yol alabilir.

3505*70t*Vx === km yol alr.

Tablo:

rnek: Aadaki tabloda 2003, 2004 ve 2005 yllarndaeitli etkinliklere katlan kii says verilmitir.

YILLAR2003 2004 2005

ET

KNLK

Ahap Boyama 72 60 30rg 65 30 40Ebru 95 60 35

Seramik 36 35 60Cam Ssleme 40 25 20

Cam ssleme etkinliine 2004 ylnda katlan kii says,2003 ylna gre % ka azald?

5,3740

100*15x2540

100

x*40 === (%)

Etkinliklere 2004 ylnda katlanlar bir daire grafiiylegsterildiinde, seramik kursuna katlanlara ait daire dilimininmerkez as nedir?

gosterilir

orsagosteriliy360X

kisi35

kisi2100

0

060210*360*35 ==

Bir stun grafiinde bykten ke doru kii saylargsterilmi olsa idi ortadaki etkinlik ne olurdu?

Ahap boyama (162 kii), rg (135 kii), ebru (190 kii),seramik (131 kii), cam ssleme (85 kii) oluyorsa sralama:

Ebru > Ahap Boyama > rg > Seramik > Cam SslemeBuna gre ortadaki etkinlik rg idir.

Q. KMELER

* Kmelerde eleman says : s(A), s(B), vb.* { }{ }f,e,d,c,b,aA= ise; ( ) 5As = { } Ad,c;Af;Ae;Ab;Aa (Aitlik) Ad,Ac

* { }e,d,c,b,aA = Liste gsterimi

*

* { }

{ }+

=

=

ZCiftM

,...4,2,0M Ortak zellik yntemi ile gsterimi

* Bo kme : { }veya ( s(A) = 0 =A )A= { }, B= {d} =A , B

* Denk kme : ( s(A) = s(B) BA )A= {a, b, c}, B= {d, e, f} BA

* Eit kme : = (Elemanlar ayn olmal)A= {a, b, c}, B= {a, b, c} BA=

* Alt kme : veya A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e} BA


19/25

18


* Alt kme zellikleri:A AAA B ve B A ise A = BA B ve B C ise A C

* s(A) = n olmak zere;

A kmesinin alt kme says:n2

A kmesinin z alt kme says: 12n

rnek: { } { }{ }e,d,c,b,aA= { } { } { }{ } { } { } Ae,d,Aa,Ae,d,Ae,d,Ac,Ac

rnek: { }5,4,3,2,1A= kmesinin alt kmelerinin katanesinde 1 ve 5 bulunmaz?

{ } ( ) 823As5,4,3,2,1A 3 ==//=

rnek: { }e,d,c,b,aA= kmesinin alt kmelerinin katanesinde a bulunurken e bulunmaz?

*Alt kmede e bulunmas istenmiyor, bundan kartlr.

{ } ( ) 1624Ase,d,c,b,aA 4 ==/= Kalan 4 elemanlda a bulunmas gerektiinden kalan 3

elemanlda ann bulunmad durumlar:

{ } ( ) 823Asd,c,b,aA 3 ==/= 8816 = //* Veya kombinasyon ile bulunursa;

( ) 10!2

4*5

!2!*3

!5

!2)!*25(

!52,5C ===

=

ki elemanlda 2 ekilde e bulunmaz. 10 2 = 8//

rnek: { }f,e,d,c,b,aA= kmesinin 3 elemanl altkmelerinin ka tanesinde a bulunurken d bulunmaz?

( ) 64

24

!2!*2

!4

!4)!*24(

!42,4C ===

=

Evrensel Kme Tmleyen:

* Evrensel kme: Eile gsterilir. Btn kmeleri kapsar.* Tmleyen: A veya A ile gsterilir. A kmesinde

olmayan, evrensel kmede olan kmedir.

( ) AA = {}E ==

E= BA AB

rnek:

rnek:( ) ( )

( ) ( ) ( ) ?Es

10BsAs

16BsAs=

=+

=+

( ) ( ) ( ) ( ) 1016BsBsAsAs +=+++ ( ) ( ) ( ) ( ) 13Es26Es*226EsEs ===+

Kmelerde lemler Fark:

* Kmelerde Birleim: AB, vb.

* Kmelerde Kesiim: AB, vb.* Kmelerde Ayrk: AB=vb.

* Kmelerde Fark Kavram:

( ) BABA =

( ) BABA =

( ) ( ) ( )CABACBA =

( ) ( ) ( )CABACBA =

( ) ( ) ( )ABsAsBAs += ( ) ( ) ( )BAsBsBAs +=

( ) ( ) ( ) ( )ABsBAsBAsBAs ++= ( ) ( ) ( ) ( )BAsBsAsBAs +=

Kmelerde ve bala Kesiim, veya balaBirleim i anlamlandrr.

rnek:ekildeki taral blge nasl ifade edilir?

rnek:( ) ( )

( )

( )

( ) ?As19BAs

1xBAs

4xABsBAs

=

=

=

+==

rnek: Bir snftaki rencilerin % 65i ngilizce, % 45iise Almanca biliyor. Snftaki rencilerden her biri budillerden en az birini bildiine ve her iki dili bilen 4 renciolduuna gre snf mevcudu nedir?


20/25

19


( ) ( ) ( ) ( )AIsAsIsAIs += ( )AIsx*45x*65x*100 +=

( )5

2x4x*10AIs ===

( ) 405

2*100x*100AIs === (Mevcut kii)

l eklin Yorumlanmas:

Sadece 1 dil bilenlerin says = a + b + cEn az 1 dil bilenlerin says = a + b + c + x + y + z + t

En ok 1 dil bilenlerin says = a + b + c + kSadece 2 dil bilenlerin says = x + y + zEn az 2 dil bilenlerin says = x + y + z + tEn ok 2 dil bilenlerin says = x + y + z + a + b + c + k3 dil bilenlerin says = tEn az 3 dil bilenlerin says = tEn ok 3 dil bilenin says = a + b + c + x + y + z + t + kHi dil bilmeyenlerin says = kAlmanca dilini bilenlerin says = a + x + y + tSadece Almanca dilini bilenlerin says = aFranszca dilini bilenlerin says = b + x + z + tSadece Franszca dilini bilenlerin says = b

ngilizce dilini bilenlerin says = c + y + z + tSadece ngilizce dilini bilenlerin says = c

rnek:38 kiilik bir snfta Franszca bilen 14 ve bu iki dilide bilmeyen 11 kii olduuna gre sadece ngilizce bilen kakii vardr?

rnek: Futbol ve basketbol oynayanlarn oluturduu birsnfta futbol oynamayanlarn saysnn 2 kat, basketboloynamayanlarn saysnn 3 kat ve her iki sporla dailgilenenlerin saysnn 4 kat birbirine eittir. Snf mevcudu30dan fazla ise bu snfta en az ka kii futbol oynar?

R. LEM

* , , , , gibi sembollerle yaplan kurallardr.

rnek: Tamsaylar kmesi zerinde ilemi aadakibiimde tanmlanyor. Buna gre 3 5 = ?

x y = x * y + x y

3 5 = 3 * 5 + 3 5 = 13

rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi aadakibiimde tanmlanyor. Buna gre 2 3 = ?

y*xyxy

1

x

1+=

3

2

3

1*

2

1

3

1

2

132

3/1

1

2/1

1=+==

* abba = ileminin deime zellii* xxeex == ileminin birim (etkisiz) eleman* exyyx == ileminin xin tersi (y = x-1)

* yxyyx == ileminin yutan eleman

rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi,a b = 2a + b (b a) biiminde tanmlanyor.

ileminin deime zellii olursa 3 (-2) = ?

a b = 2a + b (b a) (a b) + (b a) = 2a + bDeime zellii (a b) = (b a)

2* (a b) = 2a + b a b =2

ba2 +

3 (-2) = 22

23*2=

rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi,

>

+=

,iseba,ba2

,iseba,1baba biiminde tanmlanyor.

Buna gre (2 1) 3 = ?

2 > 1 2 1 = 2*2 1 = 33 3 3 3 = 3 + 3 1 = 5

rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi,5yxyx += biiminde tanmlanyor.

Buna gre ileminin birim (etkisiz) eleman katr?

Birim eleman e olsun. x e = x yolundan;5e5exxex =+==

rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi,2yxyx ++= biiminde tanmlanyor.

Buna gre ileminde 3n tersi katr?

Birim eleman e olsun. x e = xyolundan;2e2exxex =++==

ileminde 3n tersi 3-1, 3 3-1= eise;

2233e33 11 =++=

73 1 = //


21/25

20


rnek:Reel saylar kmesi zerinde ilemi,xy2yxyx += biiminde tanmlanyor.

Buna gre ileminin yutan eleman katr?

Yutan elemanda xy = yx = yise;

2

1yxxy2xy2yxyyx ==+== //

Tabloda lem* { }e,d,c,b,aA= kmesinde ilemi olsun: a b c d ea d e a b cb e a b c dc a b c d ed b c d e ae c d e a b

* Satr ve stunda ilemlerin kesitikleri nokta o ileminsonucudur. Satr ve stunda ayn hizada ana sralamannaktklar nokta ise o ilemin birim elemandr. (e = c)

* ilemine gre tabloda;

aaa 2 =

aaaa 3 = 4 34 21

etann

n a...aaaa =

rnek:Yukardaki tabloda aadaki ilemler nedir?

* ( ) ( ) adedcba == * ( )( )[ ] ( )[ ] [ ]abaacbaedcba ==

cea ==

* ( ) ( ) ( ) bcdeeccaaeca222

== cbd ==

* ( ) ( ) ( ) abeeddaa 22244288216 ======= * Birim (etkisiz) eleman = e = c

* ( ) yxyf 1x = ilemi verilir. ( ) ?bfa =

( ) babf 1a = eaa 1 = caa 1 =

lem yapmadan tablodan bulacak olursak; ann tersi, aile hangi rakamn kesitii noktada c (birim eleman)i veriyor.

Baklrsa a ile e kesiirse cyi verir. ea 1 = ( ) dbebfa ==

S. MODLER ARTMETK

* Tekrarl sistemlerde son varlacak noktay bulmak iinkullanlr.

y = a*x + b (xin a defa kullanlmas ve kalan bnindeerine ulalmas.)

* 1m,Zk,n,m,a > olmak zere; ann myeblmnden elde edilen kalan k ise mod mde ann dengi kdir

ve ( ))mmodka biiminde gsterilir.

* a ve b saylar m saysna blndnde kalanlar eitolursa (a=m*x+k, b=m*y+k);

( ))mmodba

* ( ))mmodka ( ))mmod0ka || x*mka =

* ( ))mmodba ve ( ))mmodyx olmak zere;

( ))mmodybxa ++

( ))mmodybxa

( ))mmody*bx*a

+Zn ( ))mmodba nn

Zk ( ))mmodk*bk*a

* Bir saynn birler basamandaki rakam (mod 10) ilebulunur. Birler basamandaki rakam 0, 1, 5, 6 olan saynnkanc kuvveti alnrsa alnsn ayn olur. Dierlerinde kancderecesi ilk rakam veriyorsa o derecedekiler salar.

* Haftann gnlerinde Mod 7 ile allr.

* Yln aylarnda Mod 12 ile allr.

rnek:1273 saysnn mod 7deki karl nedir?6181*71273 += ( ))7mod61273

rnek: ( ))9mod6x denkliini salayan x deeri?

( ) k*96x)9mod06x = )Zk( 15xk*96x1k ===

Burada k deerine deerler atayarak x deerleri bulunur.

rnek: ( ))mmod018 denkliini salayan farkl mdeerlerinin toplam?

18i tam blen m says (m>1) olduuna gre; 18in tam

katmanlar olacak ekilde m deerleri: 2, 3, 6, 9, 18.m=2+3+6+9+18= 38//

rnek: 147 saysnn 5 ile blmnden kalan nedir?

( )( )( )( )

( )

//4

4*1

7*7

11*563*2

31*584*2

40*542

21*57

)5mod17

)5mod37

)5mod47

)5mod27

3

2342

4

3

2

1

=

=

+==

+==

+==

+=

rnek: 20082008 saysnn 10 ile blmnden kalan nedir?

( )( )

( )

( )

( )

+==

+==

+==

+==+=

84*10486*8

61*10162*8

23*10324*8

46*106488200*102008

)10mod82008

)10mod62008

)10mod22008

)10mod42008)10mod82008

2

5

4

3

21

( ) ( ) 6882008 450245024 === Burada

48 saysndan sonra kalan tekrar baa dnmtr.Bu saynn ss ne kadar artsa da sonu 6 kacak.

rnek:4825

53 + toplamnn birler basama nedir?( ))10modyx53 4825 ++

( ))10modx325 ( ))10mody548


22/25

21


( )( )( )( )

( ) //3x3*3

)10mod13

)10mod73

)10mod93

)10mod33

164

4

3

2

1

=

( )

( )( ) //5y5

)10mod55

)10mod55 4812

1

=

//853yx =+=+ (Birler basama)

rnek: Bugn gnlerden cumartesi olursa 424 gn sonrave 352 gn nceki gnler hangileridir?

* 424 gn sonraki gn:( ) ( ))7mod4424460*7424)7modx424 +=

Bugn 0. gn saylarak 4 gn sonraya gidilirse:Cumartesi Pazar Pazartesi Sal aramba

0 1 2 3 4424 gn sonraki gn = aramba

* 352 gn nceki gn:( ) ( ))7mod2352250*7352)7modx352 +=

Bugn 0. gn saylarak 2 gn nceye gidilirse:Perembe Cuma Cumartesi

-2 -1 0352 gn nceki gn = Perembe

rnek:Pazartesi 1. gn alnrsa 500. gn hangi gn olur?1. gn Pazartesi ise 500. gn iin 499 gn sonrasna

baklr.( ) ( ))7mod2499271*7499)7modx499 +=

Pazartesi Sal aramba0 1 2

500. gn olan aramba idir.

rnek: Bir asker 4 gnde bir nbet tutar. lk nbetiniPerembe tutarsa, 19. nbetini hangi gn tutar?

19. nbette ilk gn Perembe tutarsa kalan 18 gn iinde4 gnde bir tutma olasl olursa 18*4= 72 gn sonra tutar.

( ) ( ))7mod270210*772)7modx72 += Perembe Cuma Cumartesi

0 1 219. nbetini Cumartesi tutar.

rnek:Bir hasta 3 ayda bir kontrole gider. 8. kontrolneOcak aynda giderse ilk kontrolne hangi ay gider?

8. kontrole Ocak aynda giderse 7 kontrol nceki olan ve

her kontrol aras 3 ay olursa 7*3= 21 ay ncesi ilk kontrol.( ) ( ))12mod92191*1221)12modx21 += Mays Haziran Temmuz Austos Eyll Ekim Kasm Aralk Ocak

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 09 ay nceki gn olan ilk kontrol Nisan ayndadr.

rnek: Bir hemire 5 gnde bir, doktor ise 8 gnde birnbet tutar. kisi beraber ilk nbeti Sal tutarsa 10. nbetinibirlikte ne zaman tutar?

( ) 408,5OKEK = gn (kisi birlikte ilk nbet tutarlarsa)10. nbeti Sal tutarsa, 9 nbet iin 40 gnde bir eklinde

birlikte nbet tutarlarsa; 9*40= 360 gn sonra tutar.( ) ( ))7mod3360351*7360)7modx360 +=

Sal aramba Perembe Cuma0 1 2 3

10. nbetlerini Cuma birlikte tutar.

rnek: DENZDENZDENZ eklinde oluturulan harfdizisine bakldnda batan 48. harf nedir?

DENZ eklinde periyodik giden seri 5er serilerdendir.

( ))5mod34839*548 += Z D E N Z D0 1 2 3

48. harf N dir.

T. PERMTASYON KOMBNASYON

Saymann Temel Kurallar* ( ) aAs = ve ( ) bBs = ; A ve B sonlu ve ayrk iki kme;

( ) ( ) ( ) baBsAsBAs +=+= (Toplama kural) ( ) ( ) ( ) b*aBs*AsBAs == (arpma kural)

* Ayrk olan iki ilemden biri a farkl yolla, dieri ise bfarkl yolla yaplabiliyorsa bu ilemler;

Veya / Ya da balac varsa a + bVe balac varsa a * b

rnek:A ehrinden B ehrine 3 farkl yol, B ehrinden C

ehrine 5 farkl yol vardr. A ehrinden C ehrine gidecek olanbiri B ehrine uramak kouluyla ka farkl yoldan gider?

Adan Bye 3 farkl yol; Bden Cye 5 farkl yol olduunagre ikisi de ayn anda istendiine (ve) gre 3*5=15 farkl yol.

rnek:12 e kareden oluan ekilde ka kare olabilir?

rnek: { }5,4,3,2,1A= kmesinin elemanlar kullanlarakyazlabilecek rakamlar farkl basamakl saylardan katanesi 300den byktr?

abc saysnn 300den byk olmas iin a=3,4,5 olmal.

rnek: { }3,2,1,0A= kmesinin elemanlar kullanlarakyazlabilecek rakamlar farkl basamakl ka ift doal sayyazlabilir?

abc saysnn a0 olmal ( basamakl olmas iin)ift doal say istendiinden c=0 veya 2 alabilir. c=2 iken

a0 olmadan ve 0 da bde katacak ekilde hesaplanmaldr.


23/25

22


Permtasyon:* Permtasyon; sralama (dizili) demektir. Seilmi olan

nesnelerin sralan veya dizilii sz konusudur.* n elemanl bir kmenin rli permtasyonu:

( )( )

( ) ( )4444 34444 21

carpanetanr

1rn*...*1n*n!rn

!nr,nP +=

=

* n tane nesne hi koulsuz ve yan yana n! sayda dizili(sralama) gerekletirir.

( ) !nn,nP =

rnek:

( )( )

2105*6*7!4

!4*5*6*7

!4

!7

!37

!73,7P ====

=

( ) ( ) 6n301n*n302,nP ===

rnek: 8 kiinin katld satran turnuvasnda,yarmaclara verilecek olan ilk derece ka farkl ekilde?

( ) 241*2*3*4!44,4P ===

rnek:Birbirinden farkl 3 fizik, 4 kimya ve 5 matematikkitab bo bir rafa yan yana dizilecektir.Bu kitaplar ka farkl biimde sralanabilir?Toplam = 3 + 4 + 5 = 12 kitap var.

( ) !1212,12P = (Kendi says kadar dizilimi olur.)

Ayn dersin kitaplar yan yana durmak kouluyla bukitaplar bo bir rafa ka farkl ekilde sralanabilir?

3 Fizik kitab kendi arasnda ( ) !33,3P =

4 Kimya kitab kendi arasnda ( ) !44,4P =

5 Matematik kitab kendi arasnda ( ) !55,5P = Her ders kitaplar yan yana olacandan dersleri tek

kitap olarak sayarsak F:1, K:1, M:1 gibi kendi aralarndadizilmeleri ( ) !33,3P =

Kitaplar: ( ) ( ) ( ) ( ) !3!*5!*4!*33,3P*5,5P*4,4P*3,3P =

Tekrarl Permtasyon:* Sralanm n tane elemandan; farkl a, b ve c trlerinden

olan n elemann yerlerinin deitirilmesiyle oluan farklsralamalarn says:

++= cban!c!*b!*a

!n

c,b,a

n=

rnek: 1100222 saysnn rakamlarnn yerlerideitirilerek 7 basamakl ka farkl say yazlr?

1 rakam = 2 tane; 0 rakam= 2 tane; 2 rakam= 3 tane.

210!3!*2!*2

!7

3,2,2

7==

(Tm ihtimal)

Sfrn baa gelmeme ihtimali (7 basamaklda iki sfrnolmad durumlar):

1507

27*210 =

(stenen durum)

rnek: BELLEK szcndeki harflerin yeri deierekyazlabilecek anlaml anlamsz 6 harfli ka szck var?

B:1, E:2, L:2, K:1; Toplam 6 harf (n)

180!1!*2!*2!*1

!6

1,2,2,1

6==

szck var.

Dnel (Dairesel) Permtasyon:* Basit kapal bir eri zerinde (etrafnda), n tane elemann

sralanmasdr. n tane elemann dnel sralamas: ( )!1n

rnek: 3 avukat, 4 retmen yuvarlak masa etrafndaoturacaktr.

Ka farkl ekilde otururlar?Toplam = 3 + 4 = 7 kii(n-1)! = (7-1)! = 6! sayda masada oturabilirler.

Ayn meslek grubuna ait kiiler yan yana oturmakkouluyla, ka farkl ekilde oturabilirler?

3 avukat kendi arasnda ( ) !33,3P =

4 retmen kendi arasnda ( ) !44,4P = Her brantaki tek kii saylrsa; A:1, :1 olup 1+1=2

kii yuvarlak masa etrafnda (n-1)!=(2-1)!=1! farkl ekildeoturur. Genel olarak oturmalar:

( ) ( ) ( ) !1!*4!*3!12*4,4P*3,3P = ekilde otururlar.

Kombinasyon:* Kombinasyon; seim seme ilemleri yapar. Sralama

veya dizili yoktur, nesneleri semi olmak yeterlidir.* n elemanl bir kmenin rli kombinasyonu (alt kmeleri

says) C(n,r):

( )( )

( )!r

r,nP

!r!*rn

!n

r

nr,nC =

=

=

* { nba||bab

n

a

n=+=

=

* 1n

n

0

n=

=

* n

1

n=

*

=

rn

n

r

n

* n elemanl bir kmenin alt kme saysn2 ;

n2n

n...

2

n

1

n

0

n=

++

+

+

rnek:

( )( )

355*7!3!*4

!4*5*6*7

!3!*4

!7

!3!*37

!73,7C ====

=

( ) ( )

( ) 7n421n*n21!2

2,nP212,nC ====

rnek:8 kii arasndan 6 kiilik bir ekip ka farkl ekildeseilir?

( )28

2

7*8

!2

2,8P

2

8

68

8

6

8===

=

=

deiik ekilde.

rnek: 6 elemanl bir kmenin en az 3 elemanl ka altkmesi vardr?

16!2

5*6

!3

4*5*61

1

6

2

6

3

6

6

6

5

6

4

6

3

6+++=+

+

+

=

+

+

+

42161520 =+++= tane en az 3 elemanl alt kme var.

rnek: 15 kiilik bir snftan bir bakan ve bir bakanyardmcs ka farkl ekilde seilir?


24/25

23


Bir bakan snftan C(15,1)=15 ekilde seilir.Kalan 14 kii iinde bakan yardmcs da C(14,1)=14

ekilde seilir.kisi birlikte = 15 * 14 = 210 farkl ekilde seilir.

rnek:Bir snfta 10 erkek, 12 kz var. Bu snftan 1 erkek,2 kz renciden oluan kiilik bir grup ka farkl ekilde?

66066*10!2

11*12*

!1

10

2

12*

1

10===

deiik ekilde.

rnek: 5 pantolon ve 5 gmlei bulunan Ozann,pantolonlarnn siyah, ikisi mavi; gmleklerinin ikisi siyah, mavidir. Ozan, farkl renklerde 1 pantolon ve 1 gmleika deiik ekilde giyer?

5 Pantolon : Siyah: 3, Mavi: 25 Gmlek : Siyah: 2, Mavi: 3

rnek: Ayen elindeki deiik renkteki 8 boya kaleminikullanarak ekilde verilen alt kareyi, 1 ve 6 numaral karelerayn renkte, dier kareler de bu karelerden ve birbirinden

farkl renklerde olacak ekilde boyanmak isteniyor. Bu boyamaii ka farkl ekilde yaplabilir?

1 ve 6 nolu kareler ayn renk boyanacandan kutuya 5farkl renk seilmelidir. Ayrca istedii srada boyayabilir (5

durum iinde):

( ) ( ) ( )

6720!5*!3

6*7*8!5*

!3

3,8P5,5P*5,8C === ekilde

rnek: d1 ve d2 dorular birbirine paraleldir. Keleriekildeki 8 noktadan herhangi olan ka gen izilir?

(A, B, C, D, E d1; K, L, M d2)

453*103*513*

25

23*

15 =+=

+

tane

Veya; eksende 8 nokta, tm durum gen olmama durum;

( ) 45110563

3

3

5

3

8=+=

+

tane

rnek: 4 erkek ve 5 kz arasndan 3 kiilik bir grupoluturulacak. Bu gruptan en az birinin erkek olmas istenirsebu grup ka farkl ekilde oluur?

(1e+2k) +(2e+1k)+ (3e+0k) = Tm koul - (0e+3k)

74430400

5*

3

4

1

5*

2

4

2

5*

1

4=++=

+

+

veya

7410843

5

3

9==

farkl ekilde

U. OLASILIK

Deney

Bir madeni para havaya atldnda yazm, yoksa tura m geleceini, bir zaratldnda st yzeye gelen saynn kaolaca vb. gibi tespit etme ilemleridir.

SonuDeneyde yaplan ilemin her bir ktsdr.

rnein, parann yaz gelmesi gibi.

rnek UzayBir deneyin muhtemel btn sonularn

eleman kabul eder. Evrensel kmedir.

OLAY

Herhangi bir rnek uzayn her bir alt kmesidir.mknsz Olay E = (bo kme) iseKesin Olay E (bo olmayan kme) iseAyrk Olay AB= ise ( A,B E )

* p(A): Bir A olaynn olma olaslp(B): Bir B olaynn olma olaslp(A): Bir A olaynn olma olasls (A): A olaynn kmesindeki eleman sayss (E): E rnek uzaynn eleman says ise;

( )

( )

( )Es

As

Ap =

( ) 1Ap0 p(A)=0 (mknsz olay)

( ) ( ) 1ApAp =+ p(A)=1 (Kesin olay)

( ) ( ) ( ) ( )BApBpApBAp +=

( ) ( ) ( )BpApBAp += (A ile B ayrk olaylar ise)

( ) ( ) ( )Bp*ApBAp = (A ile B bamsz olaylar)

* Bir madeni parann art arda n defa havaya atlmas

durumundaki rnek uzayn eleman says: ( ) n2Es =

* Bir tavla zarnn n adet atlma durumu: ( ) n6Es =

rnek:ki adet tavla zar ayn anda atlyor. Buna gre;Zarlarn st yzeylerinde gelen saylarn toplamnn

5ten byk olma olasl nedir?

1. Zar 1 1 1 1 2 2 2 3 3 42. Zar 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1

Tabloda 10 tane istenmeyen durum vardr. ( 5)

ki adet zar atlrsa ( ) 3666Es 2n ===

( ) ( ) ( ) ( )18

13

36

101Ap1Ap1ApAp ====+

Zarlarn st yzeylerinde ayn saylarn gelme olasl?ki adet zar atlrsa ( ) 3666Es 2n ===

1. Zar 1 2 3 4 5 62. Zar 1 2 3 4 5 6

Tabloda ayn saylarn gelme durumu 6 ekildedir.

( ) ( )

( ) 61

36

6

Es

AsAp ===

rnek: Bir madeni para art arda 4 defa havaya atlyor.Atlardan ilk ikisi yaz, son ikisi tura gelme olasl nedir?

1.At 2.At 3.At 4.AtYaz Yaz Tura Tura

Her atta iki ihtimal vardr. Biri gelmesi istendiinden;

( ) ( ) ( ) ( )16

1

2

1*

2

1*

2

1*

2

1Ap*Ap*Ap*Ap 4321 ==


25/25

rnek:Bir snfn yoklama listesinden rastgele okunan birismin bir erkek renciye ait olma olasl 4/7, bu snfta 21kz renci varsa toplam ka renci mevcuttur?

Erkek renci = x kii, kz renci = 21 kiiSnf mevcudu = x + 21 kii

( ) ( )

( )28x84x4x7

7

4

21x

x

Es

AsAp =+==

+== kii

Snf mevcudu = x + 21= 28 + 21 = 49 kii

rnek:Anne, baba ve 5 ocuk bir yuvarlak masa etrafndayemek yiyorlar. Anne ve babann yemei yan yana yemeolasl nedir?

Yuvarlak masa etrafnda 7 kii = (7-1)! = 6! ekilde oturur.Anne baba yan yana oturmas durumunda; A ile B: 1 kii

= 1! kendi aralarnda 2! ekilde; ocuklar ise kendi aralarndaP(5,5)=5! ekilde otururlarsa oturma durumu = 5!*2!*1!

( ) ( )

( ) 31

!6

!1!*2!*5

Es

AsAp === (stenen durum)

rnek: 1den 90a kadar olan saylar ayr ayr doksantopun zerine yazlarak bir torbaya atlyor. zerinde 6ya

kalansz blnebilecek bir say olan topu ekmeyi garantilemekiin en az ka top ekilmelidir?{ }90x*61A =

1516

6901

.O.A

.T.I.T.S.S.T =+

=+

= tane 6ya blnen say

15 tane 6ya kalansz blnen say varsa, 90 15 = 75 tanede 6ya blnmeyen say vardr. stenen en az ekildiinde6ya blnen sayy bulmak iin 6ya blnmeyen tm sayekilmeli ve geriye kalanlardan ekilecek 1 tane art salar.

Buna gre 75 + 1 = 76. top ekildiinde 6*k top gelir.

rnek: 1. Torba: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (8 top)2. Torba: 0, 1, 2, 3 (4 top)

ki torbada mevcut toplarda yazl olan numaralarmevcuttur. Bu torbalardan rastgele birer top ekilir. ekileniki topun zerinde yazl olan rakamlarn toplamnn 7 olmaolasl nedir?

( ) ( ) ( ) 321

4*

1

8Es*EsEs 21 =

== Tm durum

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) 43,4,2,5,1,6,0,7sAs == (x1+x2=7)

( ) ( )

( ) 81

32

4

Es

AsAp === (Toplamnn 7 olma olasl)

rnek: Bir torbada 2 krmz, 2 beyaz, 1 sar top var.Torbadan ekilen top geri braklmadan art arda 2 tane

ekilirse ikinci ekilen topun sar olma olasl nedir?( ) 5122Es =++= Tm durum

ekilme durum: 1(K) 2(S) + 1(B) 2(S) (2.nin sar olmas)

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )( ) 1Es

As*

Es

As

1Es

As*

Es

AsAp SBSK

+

=

( )5

1

20

2

20

2

15

1*

5

2

15

1*

5

2Ap =+=

+

=

rnek: 12 kz, 15 erkek renciden oluan bir snftakzlarn yars gzlkldr, erkeklerin 9su gzlkszdr.Snftan seilen bir rencinin kz veya gzlksz olma olaslnedir?

Gzlkl(Gx)

Gzlksz(Gy)

TOPLAM(T)

Kz renci (Y) 6 6 12Erkek renci (X) 9 6 15

Snf mevcudu = s(E) = 27 kiiSeilen rencinin kz veya gzlksz olma olasl:

( ) ( ) ( ) ( )GyYpGypYpGyYp +=

( ) ( )

( )( )( )

( )( )Es

GyYs

Es

Gys

Es

YsGyYp

+=

( )9

7

27

21

27

6

27

15

27

12GyYp ==+= //

rnek: Bir torbada 3 sar, 2 krmz ve 4 mavi bilye var.Torbaya baklmadan ayn anda bilye ekiliyor. ekilenbilyelerin farkl olma olasl nedir?

( ) 84!3

7*8*9

3

9Es ==

= tr (tm durum iin)

ekilen bilyenin her birinin farkl olmas istendiinden;

( ) 244*2*31

4*

1

2*

1

3As ==

= tr

( ) ( )

( ) 72

84

24

Es

AsAp ===

rnek: Bir kutuda 20 yumurtadan 8i krk. Kutudanseilen 2 yumurtann 2sinin de krk olma olasl?

( ) ( )

( )( )

( ) 9514

380

56

120

18*

20

8

1Es

As*

Es

AsAp 21 ==

=

=

rnek: 8 evli ift arasndan rastgele seilen iki kiininbirbiriyle evli olma olasl nedir?

8 evli ift = 16 kii1 evli ift = 2 kii (Bu iki kiiyi (ifti) tek kii sayarsak)16 kii 1 ift = 15 kii ihtimali arasndan olaslk:

( ) ( )

( ) 151

116

12

Es

AsAp =

== //

rnek:Bir yar Ayenin kazanma olasl 3/4, Onurunkazanma olasl 2/3tr. Bu iki kii ayn yarta yer aldndabunlardan sadece birinin bu yar kazanma olasl nedir?

Aye kazanrsa Onur kazanamaz + Onur kazanrsa Ayekazanamaz eklindedir:

( ) ( ) ( ) ( )12

5

3

2*

4

34

3

23*

4

3Op*ApOp*Ap =

+

=+

rnek: Bir torbadaki krmz bilye says, beyaz bilyesaysnn 2 katdr. Bu torbadan geri konulmadan art arda 2bilye ekilirse ikisinin de beyaz olma olasl 5/51 ise torbadaka krmz bilye vardr?

s(K) = 2 * s(B) s(B) = x, s(K) = 2x olsun.( ) ( ) 6x1x3*51x*17

51

5

1x3

1x*

x3

x===

bilye

s(K) = 2*x = 2*6 = 12 bilye (krmz bilye)

rnek:ki torbadan birinde 6 mavi, 4 beyaz; ikincisinde 3mavi, 5 beyaz boncuk var. Birinci torbadan rastgele bir boncukekilmi ve renge baklmadan ikinci torbaya atlm. kincitorbadan ekilen bir boncuun mavi olma olasl?

lk durum: 1. Torba ( 6 M, 4 B), 2. Torba (3 M, 5 B)2. durum: Mavi atld ise: 1. T ( 5 M, 4 B), 2. T (4 M, 5 B)

Beyaz atld ise: 1. T ( 6 M, 3 B), 2. T (3 M, 6 B)

Olaslklar: 1 (M) * 2 (M) +1 (B) * 2 (M)( )

5

2

90

36

90

12

90

24

9

3*

10

4

9

4*

10

6Ap ==+=+=

Documents

MATEMATIK - özet-2013