of 254 /254
m a t e n i H i Attita Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufå Mikael Markl

Matematik Origo 2b

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Math Book in Swedish

Text of Matematik Origo 2b

  • m a t e n i H i

    Attita Szabo Niclas Larson

    Gunilla Viklund Daniel Duf

    Mikael Markl

  • T i l l L s a r e n

    M A T E M A T I K O R I C O 2 B r skriven fr dig som ska lsa matematik kurs 2b p Samhllsvetenskapsprogram-met, Ekonomiprogrammet, Humanistiska program-met eller Estetiska programmet. Boken r helt anpas-sad fr Gy 2011 och fljer mnesplanens centrala innehll och syfte. Fr oss som har skrivit den hr boken r matematik s mycket mer n att bara rkna. Drfr har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram problemlsning, frstelse och det matematiska samtalet. Vr frhoppning r att Matematik Origo ska frmedla samma nyfikenhet och gldje som vi knner infr matematikmnet.

    Matematik Origo 2b r indelad i fem kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Frkunskaper som du behver, det Centrala innehll som kapitlet tar upp och vad du ska kunna nr du har arbetat fr-digt med kapitlet. Det gr det lttare fr dig att sjlv ta ansvar fr dina studier. I brjan av varje kapitel finner du ocks ett eller flera matematiska problem.

    Teorigenomgng fljs av lsta Exempel som belyser teorin och frklarar viktiga matematiska frdighe-ter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner t i l l hur du kan anvnda din grafri-tande rknare.

    Till varje avsnitt finns uppgifter p tre olika niver och av olika karaktr. P varje niv finns uppgifter som trnar din frmga t i l l problemlsning. ppna uppgifter, markerade med , r uppgifter som inte har ett givet svar och som mnga gnger krver en matematisk diskussion.

    Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Dr kan du tillsammans med dina kamra-ter och din lrare utveckla frmgan att frst och anvnda matematiska begrepp, att fra matematis-ka resonemang och att kommunicera matematik.

    Ti l l varje kapitel finns en strre uppgift av tematisk karaktr, som vi har valt att kalla n-uppgift. Hr finns mjlighet fr dig att utveckla de matematiska frmgor och kunskaper som behvs fr ett hgre betyg.

    I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett id-historiskt och kulturellt perspektiv.

    I Problem och underskningar fr du tillflle att trna problemlsning och ett underskande arbetsstt. Hr finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter.

    Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hnger ihop. Tankekartan kan ses som en sammanfattning av kapitlet och r en bra utgngspunkt fr ett muntligt test.

    I Blandade uppgifter finns uppgifter p tre niver. Hr fr du mjlighet att befsta dina kunskaper frn hela kapitlet.

    Sist i varje kapitel finns ett Test. Dr har du mjlig-het att sjlv kontrollera dina kunskaper. Testet r uppdelat i tv delar, en del som ska lsas utan rk-nare och en del dr du fr anvnda rknare.

    Lycka t i l l med dina matematikstudier! Frfattarna

  • I n n e h l l

    1 Algebra e 1.1 ALgebraiska uttryck 8

    Att frenkla algebraiska uttryck 8 Multiplikation av uttryck inom parenteser 11

    1.2 Kvadrerings- och konjugatreglerna 14 Kvadreringsreglerna 14 Konjugatregeln 16 Att faktorisera uttryck 18

    1.3 Andragradsfunktioner 20 Rita grafen t i l l en andragradsfunktion 20 Grafisk lsning av en andragradsfunktion 23

    n-uppgift: Profit i solsken 28 P r o b l e m o c h underskningar 29

    H i s t o r i a : Rknehjlpmedel 30

    T a n k e k a r t a 32

    B l a n d a d e uppgifter 33

    K a p i t e l t e s t 36

    2 Andragradsekvationer 3 2.1 Enkla andragradsekvationer 40

    Ekvationer av typen x3 - a 40 Andragradsekvationer och komplexa tal 42 Faktorisering som lsningsmetod 44 Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna 46 Kvadratkomplettering 48

    2.2 Fullstndiga andragradsekvationer 51 pq-formeln 51 Antal lsningar t i l l en andragrads-ekvation 55 Andragradsfunktionen och grafen 57

    n-uppgift: Tvrnit 63 H i s t o r i a : Ekvationer av hgre grad 64 P r o b l e m o c h underskningar 65

    T a n k e k a r t a 66

    B l a n d a d e uppgifter 67

    K a p i t e l t e s t 70

    3 Ekvationer och ekvationssystem 72

    3.1 Rta linjens ekvation 74 Frn graf t i l l ekvation 74 Riktningskoefficienten fr en r t linje 78 Rta linjens ekvation i k-form 80 Parallella och vinkelrta linjer 83

    3.2 Ekvationssystem 87 Grafisk lsning av ett ekvationssystem 87 Substitutionsmetoden 91 Additionsmetoden 94

    3.3 Analytisk geometri 97 Avstndsformeln 97 Problemlsning med hjlp av analytisk geometri 99

    O-uppgift: Att tillverka och slja mobiler 102 H i s t o r i a : Att lsa ekvationssystem 103 P r o b l e m o c h underskningar 104

    T a n k e k a r t a 105

    B l a n d a d e uppgifter 106

    K a p i t e l t e s t 110

  • 4 Potenser, logaritmer och budgetering 112

    4.1 Rnteberkningar och budgetering 114 Rnteberkningar 114 Budget fr privatekonomi 117 Fretagsekonomi och budgetering 120

    4.2 Potenser och potensekvationer 124 Potenser med heltalsexponenter 124 Potenser med rationella exponenter 126 Potensekvationer 128

    4.3 ExponentiaLekvationer och logaritmer 132 Grafisk lsning av exponentialekvationer 132 Tiologaritmer 136 Exponentialekvationer och tiologaritmer 139 Rkneregler fr logaritmer 143 Tillmpningar 146

    n-uppgift: Konserten 150 P r o b l e m o c h underskningar 151

    H i s t o r i a : Frn logaritmtabell till rknesticka 152 T a n k e k a r t a 154

    B l a n d a d e uppgifter 155

    Kapiteltest 158

    5 Geometri v

    5.1 Satser om vinklar i cirklar 162 Olika slags vinklar 162 Randvinkelsatsen 165

    5.2 Likformighet och kongruens 170 Likformiga mnghrningar 170 Likformiga trianglar 172 Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen 176 Kongruens 180

    n-uppgift: Pappersformat i A-serien 185 H i s t o r i a : Geometri och mtmetoder 186 P r o b l e m o c h underskningar 187

    T a n k e k a r t a 188

    B l a n d a d e uppgifter 189

    K a p i t e l t e s t 192

    Statistik 194 6.1 Lges- och spridningsmtt 196

    Lgesmt t 196 Spridning kring medianen 200 Spridning kring medelvrdet 205 Normalfrdelning 208

    6.2 Statistiska samband 213 Korrelation och kausalitet 213 Regressionsanalys 219

    n-uppgift: Orkider och samband 221 H i s t o r i a : Normalfrdelning som modell 222 P r o b l e m o c h underskningar 223

    T a n k e k a r t a 224

    B l a n d a d e uppgifter 225

    K a p i t e l t e s t 228

    Facit v

    Register

  • 1 A l g e b r a

    | | D E L K A P I T E L

    1.1 Algebraiska uttryck

    1.2 Kvadrerings- och konjugat-reglerna

    1.3 Andragradsfunktioner

    F O R K U N S K A P E

    Algebraiska frenklingar

    Potenser

    Frstagradsekvationer

    Koordinatsystem, funktioner och grafer

    C E N T R A L T I N N E H A L L

    Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslsning.

    Egenskaper hos andragradsfunktioner.

    Konstruktion av grafer till funktioner samt bestmning av funktionsvrde och nollstlle, med och utan digitala verktyg.

  • Igebra r ett av matematikens mest centrala omrden. Tillsammans med

    aritmetiken (rknelra) utgr den en bas fr i stort sett all matematik. Att utveckla och frenkla algebraiska uttryck r drfr en viktig och grundlggande kunskap fr att frst andra delar av matematiken. Vi anvnder algebra till exempel nr vi skapar matematiska modeller av verkligheten med hjlp av ekvationer och funktioner. Det gr algebra till ett viktigt inslag i mnga samhllsvetenskapliga och ekonomiska sammanhang, dr man behver modeller fr till exempel hur antalet invnare i ett land utvecklas eller hur vrdet av en pensions-fond frndras.

    Nr du r klar med kapitlet ska du kunna

    multiplicera algebraiska uttryck

    frenkla uttryck med kvadrerings- och konjugatreglema

    faktorisera algebraiska uttryck

    rita grafen till en andragradsfunktion

    lsa andragradsekvationer grafiskt

    Funktionen och grafen Hr har v i ritat grafen t i l l andragradsfunktionen y = x2 - 4

    Ls andragradsekvationen x2 - 4 = 0. Hur mnga lsningar har ekvationen? Hur kan du bestmma lsningarna med hjlp av grafen?

    De punkter dr funktionsvrdet r noll kallas funktionens nollstllen. Skissa grafen t i l l en andragradsfunktion som saknar nollstllen.

    Skissa grafen t i l l en andragradsfunktion som har precis ett nollstlle.

    Samband mellan produkter Du vet att 8 8 = 64. Berkna produkterna

    9-7 10-6 11-5 12-4 och jmfr dem med produkten 8 8. Vilken slutsats kan du dra?

    Stmmer din slutsats ven fr 13-3 14-2 15-1 16-0

    Testa med att utg frn en annan produkt n n och se om sambandet gller ven hr.

    Vilken slutsats kan dras?

  • 1 . 1 A l g e b r a i s k a u t t r y c k

    Att frenkla algebraiska uttryck I kurs 1 frenklade vi algebraiska uttryck genom att ta bort parentesen och lgga ihop likadana termer.

    I2x - [8x + 5) = I2x - 8x - 5 = Ax - 5 Vi ndrar tecken i parentesen och rknar x-termer fr sig och konstanttermer fr sig. i \

    Eftersom det r subtraktionstecken framfr parentesen, byter vi tecken

    Multiplicera Vi utfrde ocks multiplikationer av typen

    2x(3 - 6x) = 2x 3 - 2x 6x = 6x - 12*2

    Det kallade vi att multiplicera in 2x i uttrycket inom parentes.

    Vi lrde oss dessutom att bryta ut en faktor ur ett uttryck, t.ex.

    x2 -7x = x(x 7)

    Faktorisera D har vi faktoriserat uttrycket x2 - Ix genom att bryta ut den gemensamma faktorn x.

    Hur man vil l att ett utryck ska skrivas varierar beroende p sammanhang. Drfr r det viktigt att kunna multiplicera in i och bryta ut ur parenteser.

    E x e m p e l :

    Lsning:

    Frenkla uttrycket s lngt som mjligt

    5a + (3b-2a)-(3a + 7b)

    5a+ (3b-2a)-{3a + 7b)

    = 5a + 3b -2a- 3a 7b =

    Ta bort parenteserna

    Lgg ihop termer av samma slag

    -Ab ndra tecken i parentesen nr det r subtraktionstecken framfr parentesen

    E x e m p e l : Multiplicera ihop

    a) 3(5a-7b)

    b) 5a(3a2 + 6b-9)

    lsning: a) 3{5a - 7b) - 3 5a - 3 7b - 15a - 21b

    b) 5a{3a2 + 6b-9) = 15a3 + 30ab-A5a Gr p samma stt som nr det r tv termer i parentesen

    A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

  • E x e m p e l : a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket x 3 + 9x

    b) Faktorisera uttrycket Ix2 + 8x genom att bryta ut strsta mjliga faktor.

    lsning: a) x 3 + 9x - 3x(2x2 + 3)

    b) 2x2 + 8x = 2x(x + 4)

    Du kan kontrollera att du har gjort ratt genom att multiplicera in 3x i parentesen

    2x r den strsta gemensamma faktorn i 2x2 och 8x

    I

    NI VA 1 1107 Multiplicera ihop

    a) 5a(5b-5a) 1101 Frenkla uttrycken

    a) 2a + la

    b) 5b-4b

    c) 10a + 8b + 6a 1108 Ls ekvationerna

    1102 Frenkla uttrycken

    b) l l x ( 2 x - 7 )

    c) 0,5y(9x + 20y)

    a) 4 ( x - 4 ) =42

    b) 6 ( 2 x - 1) = lOx a) 7x + 4 - 3 x + 12

    b) x + 7y- 16x+ 3y

    c) 3xy + 7x - 5

    1103 Emeric och Lovisa pluggar algebra. Lovisa undrar hur det kommer sig att 3a + 2a = 5a. Hjlp Emeric att frklara s utfrligt som mjligt fr Lovisa.

    1104 Frenkla uttrycken

    a) 7 x - ( 4 x + 8 )

    b) (8y+3) + ( 5 - 7 y )

    c) Av-(3x+ 2vl + (5v + x

    1109 Multiplicera ihop

    a) 8(6b + 5a - 4 )

    b) 2 x ( 7 x + 3 + y )

    c) 0 , l ( 1 4 0 m - 4 7 - 6 )

    1110 Fyll i de tomma rutorna, s att likheterna stmmer.

    a) 4 ( D + 3 ) = 4 a + 1 2

    b) 5 ( 2 - ) = 1 0 - 15b

    c) 7a(0 + ) = 14a + 7a3

    1105 Multiplicera ihop

    a) 6{8b-2a)

    b) 7(3x + 6)

    c) 8(2x-5y)

    1106 a) Frenkla uttrycket 6 (12-4x) .

    b) Berkna vrdet av uttrycket fr x - 3.

    1111 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut strsta mjliga faktor.

    a) 3a+ 6 b) 4 y 2 - 1 2 y

    c) Ua-2lab d) 28xy-5Axy2

    1112 Skriv ett uttryck fr rektanglarnas areor.

    b)

    2x + 3 3x + 8

    4x

    A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 9

  • 1113 Stll upp utryck fr figurernas areor.

    a) Triangel med basen 9 och hjden 2x + y

    b) Rtvinklig triangel med kateterna x + 7 och 10

    1114 Ls ekvationerna

    a) 7(x + 3) = 3 ( x - l )

    b) 2(4 + 3x) = 5 ( 8 - 2 x )

    1115 Stll upp ett uttryck fr figurens area och fr-enkla det s lngt som mjligt.

    2x

    NIVA 2

    1116 a) Frenkla uttrycket 10(2a + 7) - 3(4a + 8).

    b) Berkna vrdet av uttrycket fr a = 7.

    1117 Stll upp ett uttryck fr figurens area och frenkla det s lngt som mjligt.

    x + 3 x + 4

    1118 Ls ekvationerna

    a) 3(2x + 4 ) - 4 ( 3 - 4 x ) = 2 ( x + 7 )

    b) 2 ,5 (3x-9) -3(0 ,5x + 4,5) = 0

    1119 Frenkla

    a) 7(2b + 5a) + 5(4a + b)

    b) 9 ( 5 - 3 x ) - 6 ( 8 x - 4 )

    c) 2a(3-8a-7b)-7b(4-2a)

    1120 Marta och Lotta ska frenkla 2a(5a + 3) genom att multiplicera in 2a i parentesen. Lotta vet att svaret r 10a2 + 6a, men frstr inte riktigt var-fr. Hjlp Marta att frklara detta fr Lotta.

    1121 a) Frenkla uttrycket 9 y ( 3 y - 5 z ) - ( 14/ -z).

    b) Berkna vrdet av uttrycket d y - 1 och z = -2 .

    1122 Faktorisera tljarna och frkorta s lngt som mjligt.

    a) 4a - a

    b) 3X2 + 6x

    x + 2

    1123 Ett uttryck fr en viss rektangels area r (2a 2 - 18a) cm 2 . Ange lngden av den andra sidan, om den ena sidan r

    a) a cm b) 2a cm

    NIV 3

    1124 Fyll i de tomma rutorna s att likheten stm-mer.

    a) ( 2 x + 3 ) - 4 ( x - 9 ) = D + 45

    b) 3 (Dx - 9 y ) - 4 ( 2 x + Dy) = 5,5x-13y

    1125 I en rtvinklig triangel r den ena kateten 7 cm lngre n den andra. Lngden av var och en av kateterna r givna i hela centimeter. Triangelns area r 30 cm 2 . Hur lnga r kateterna?

    l O A L G E B R A O 1.1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

  • Multiplikation av uttryck inom parenteser Nu ska vi g vidare med att multiplicera ihop tv uttryck med varandra. V i utfr multiplika-tionen (2 + x)(3x + 4) och jmfr med figuren hr int i l l fr att hitta en metod.

    6x 3 x 2 3x

    3x + 4

    2 +x

    Rektangelns area A kan skrivas som en produkt av basen och hjden

    A = (2 + x)(3x + 4)

    Arean kan ocks skrivas som en summa av de fyra mindre rektanglarnas area

    A = 6x + 3x2 + 8 + Ax

    Allts r (2 + x)(3x + 4) = 6x + 3x2 + 8 + 4x

    V i fr samma resultat om vi frst multiplicerar varje term fr sig i den andra parentesen med uttrycket i den frsta parentesen och sedan fortstter fr-enklingen

    / " A ^ 7 > (2 + x)(3x + 4) = (2 + x) 3x + (2 + x) 4 = 6x + 3x2 + 8 + 4x

    Det motiverar fljande metod att utfra multiplikation av tv uttryck inom parentes:

    (2 + x){3x + 4) = 2 - 3 x + 2 - 4 + x - 3 x + x- 4

    = 6x + 8 + 3x 2 + 4x = 3x 2 + lOx + 8

    Varje term i frsta parentesen multipli-ceras med varje term

    i andra parentesen

    E x e m p e l : Multiplicera och frenkla uttrycken s lngt som mjligt

    a) (x + 3)(5 + x)

    b) ( 4 f l - 3 ) ( 5 - 3 a )

    c) (3x-y)(2y + 2x) - (6x 2 + 4xy)

    lsning: a) (x + 3)(5 + x ) = x - 5 + x- x + 3- 5 + 3- x :

    5x + x 2 + 15 + 3x^ Lgg ihop termer av samma slag

    = X2 + 8 x + 15 (-3) (-30) = 3 3o

    b) (4a - 3)(5 - 3a) = 4a 5 - 4a 3a - 3 5 + 3 3a =

    = 20a - 12a2 - 15 + 9a = 29a - 12a2 - 15

    c) (3x -y ) (2y + 2x) - (x 2 + 4xy) = Multiplicera ihop parenteserna

    = 6xy + x 2 - ly2 - 2xy - 6x 2 - 4xy = Lgg ihop termer av samma slag

    = -2f

    A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 1 1

  • E x e m p e l :

    lsning:

    I

    Teckna ett uttryck fr triangelns area och frenkla det s lngt som mjligt.

    bh

    X - 1

    2x + 4

    Triangelns area A = Stt in uttrycket fr basen respektive hjden

    (2x + 4 ) ( x - 1)

    2X2 - 2x + 4x - 4

    2X2 + 2x - 4

    2(x 2 + x - 2 )

    Multiplicera ihop parenteserna

    Frenkla tljaren

    Bryt ut 2 ur tljaren

    Frkorta med 2

    = x 2 + x - 2

    Svar: Arean r (x 2 + x - 2) a.e.

    NIV 1 1130 Frenkla uttrycken

    a) 7fl+ ( 3 f l - 4 ) ( 6 - 2 f l ) Mu tiplicera och frenkla uttrycken

    a) 7fl+ ( 3 f l - 4 ) ( 6 - 2 f l ) tiplicera och frenkla uttrycken

    b) 2 & ( 3 - 2 f c ) - ( 5 b - 5 ) ( b + 6) 1126 a) (x + 3)(2x + 7)

    b) ( 3 x - l ) ( 9 - x ) 1131 Ls ekvationerna

    c) (a + 2 ) ( a - 5 ) a) 3x(2x + 4) = ix2 + 1)

    b) ( 3 y - l ) ( 2 + y ) = y ( 2 + 3 r ) 1127 a) (2a + 3)(4 + 6a)

    b) ( 3 y - l ) ( 2 + y ) = y ( 2 + 3 r )

    b) ( 3 m - 8 ) ( m + 5) 1132 Ole har utfrt multiplikationen ( x - 3 ) ( x - 5)

    c) (12x+ 2 ) (9 -5x ) och ftt x 2 - 8x - 15. Anna sger att Ole har

    c) (12x+ 2 ) (9 -5x ) gjort fel. Har Anna rtt och vilket fel har Ole i

    1128 a) (a + b)(2a-3b) s fall gjort?

    b) ( 3 x - 4 y ) ( 2 x + 8) NIV 2 c) (7 f l -4b) (3f l -5b)

    1133 Skriv ett uttryck fr arean av triangeln. 1129 Teckna ett uttryck fr rektangelns area och Frenkla s lngt som mjligt.

    frenkla det s lngt som mjligt.

    2 x - i

    x + 4

    2x + 4

    1 2 A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K

  • 1134 Fyll i de tomma rutorna, s att likheterna stmmer.

    a) ( x + 3 ) ( x + [ - j ) = x 2 + 4 x + 3

    b) (x + 8)(x-D) = x 2 - 2 x - D

    c) ( + D ) (2x-3 ) = 6 x 2 - 5 x - 6

    1135 Ls ekvationerna

    a) ( 3 x + l ) ( 4 x - 2 ) = 2 + (2x + 4 ) ( 6 x - 3 )

    b) ( 0 , 5 x + 3 ) ( 8 x - 2 ) - ( 2 x - 6 ) ( 4 + 2x) = 12(x + 4)

    NIVA 3

    1136 Skriv ett uttryck fr arean av det skuggade omrdet. Frenkla s lngt som mjligt.

    3 x x+ 2

    x - 1

    4 x

    4x

    1137 Fyll i de tomma rutorna, s att likheterna stmmer.

    a) ( x+7 ) (4 + D ) = n - 1 0 x + n

    b) (x + D)(2x + D ) = n - x - 3 6

    c) ( x - n ) ( n + n ) = - 3 x 2 + n - i 2

    1138 Frenkla s lngt som mjligt

    ( 2 x - l , 5 ) ( 4 x + 8 ) (4 -5x) (3x + 9)

    1139 Ls ekvationen

    (0,5x + 4)(2x + 6) - 17 = 39 - ( x - 1)(8 - x )

    1140 a) Ett uttryck fr en viss rektangels area r (a1 + 3a + 2) cm 2 .

    Ena sidan r (a + 1) cm. Ett stt att berkna den andra sidan r att gra som i uppgift 1134. Allts bestmma vad som ska st i rutorna: (a + 1)(Q + ) = a2 + 3a + 2.

    Hur lng r rektangelns andra sida?

    b) Ena sidan i en rektangel med arean (2a 2 6) cm 2 r (a - 2) cm. Ange ett uttryck fr lngden av den andra sidan.

    Resonemang och begrepp

    Hur kan du kontrollera att du har gjort rtt nr du brutit ut en faktor ur ett uttryck?

    6 Nr kan man frkorta ett brk?

    Vad fordras fr att man ska kunna bryta ut en faktor ur ett uttryck med flera termer?

    Frklara skillnaden mellan ett uttryck och en ekvation.

    Q Frklara hur multiplikation mellan tv parenteser kan utfras.

    A L G E B R A O 1 . 1 A L G E B R A I S K A U T T R Y C K 1 3

  • K v a d r e r i n g s - o c h k o n j u g a t r e g l e r n a

    Kvadreringsreglerna Produkten (9a + 2){9a + 2) innehller tv identiska uttryck inom parentes. Det finns minnesregler fr att snabbt kunna berkna den hr typen av pro-dukter. De kallas frsta och andra kvadreringsregeln. Vi visar reglerna genom att utfra multiplikation av tv uttryck inom parentes p vanligt stt.

    Frsta kvadreringsregeln Frsta kvadreringsregeln anvnds nr man ska kvadrera en parentes med tv termer som har additionstecken mellan sig. Jmfr med figuren hr intill .

    a a2 ab a + b <

    b ab b2

    a + b

    Andra kvadreringsregeln

    (9 + 2a)2 = (9 + 2a)(9 + 2a) = 81 + 18a + 18a + 4a2 = 81 + 36a + 4a 2

    Jmfr med figuren hr int i l l .

    (a + b)2 - (a + b){a + b) - a2 + ab + ab + b2 - a2 + 2ab + b2 Plus andra termen i kvadrat

    Frsta termen i kvadrat

    Plus dubbla produkten

    Andra kvadreringsregeln anvnds nr man ska kvadrera ett uttryck med tv termer som har subtraktionstecken mellan sig.

    (3 - x ) 2 = ( 3 - x ) ( 3 - x ) = 9 - 3 x - 3 x + x 2 = 9 - 6 x + x 2

    (a - b)2 = ( a - b)(a -b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 Plus andra termen i kvadrat

    Kvadreringsreglerna

    Frsta kvadreringsregeln

    Frsta termen Minus dubbla i kvadrat produkten

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Andra kvadreringsregeln (a - b)2 a2 - 2ab + b2

    Exempel: Utveckla med hjlp av kvadreringsreglerna.

    a) (x + 5) 2 b) ( 3 x - 4 ) 2

    Lsning: a) (x + 5) 2 = x 2 + 2 x 5 + 5 2 = x 2 + lOx + 25 Anvnd frsta kvadreringsregeln

    ((o7b)2) (o 2 ) [iab] (b 2 )

    b) ( 3 x - 4) 2 = (3x) 2 - 2 3x 4 + 4 2 = 9X2 - 24x + 16 Anvnd andra ' " ' kvadreringsregeln

    ((o-b) 2) Q (lob] Q

    1 4 A L G E B R A O 1 .2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

  • Exempel:

    Lsning:

    Utveckla med hjlp av kvadreringsreglerna (2a + 6) 2 - (4a - l ) 2

    (2a + 6 ) 2 - ( 4 a - l ) 2 =

    = (4a2 + 24a+ 3 6 ) - ( 1 6 a 2 - 8 a + 1) =

    = 4a 2 + 24a + 36 - 16a2 + 8a - 1 =

    =-12a 2 + 32a+ 35

    Anvnd kvadreringsreglerna

    Ta bort parenteserna

    N I V 1

    Utveckla med hjlp av kvadreringsreglerna.

    1208 Fyll i de tomma rutorna s att likheten stm-mer.

    a) (x + D) 2 = x2 + 6 x + 9 1201 a) (* + 3) 2 b) (6 + x ) 2 b) x 2 + 8x + 16 = (x + D) 2

    c) (x + 5) 2 d) (3x + 2) 2 c) z 2 - 10z+ 25 = ( z -D ) 2

    1202 a) ( x - 5 ) 2 b) ( x - 1 ) 2 N I V 2 c) ( 1 0 - x ) 2 d) ( 2 x - 3 ) 2

    1209 Visaatt(a + fr)2-4afr=(a-fr)2 1203 a) ( 4 x - 2 ) 2 b) ( 3 + 12x)2

    c) (5x + 5y)2 d) (2* + 0,5y)2 1210 Fyll i de tomma rutorna, s att likheten stm-

    ]

    1204 Sacha har utvecklat uttrycket (4x + 3) 2 med hjlp av frsta kvadreringsregeln. Han fick resultatet lx 2 + 9. Ilija menar att Sacha har gjort fel. Har Ilija rtt? Vilket fel har i s fall Sacha gjort och vilken r den riktiga lsningen?

    1205 Utveckla med hjlp av kvadreringsreglerna.

    1 \ 2 a) x - -

    c) ( 9 a - 3 x ) 2

    b) (7 -8b)2

    d) ( 1 0 b - 0 , l a ) 2

    1206 Teckna ett uttryck fr kvadraternas area och frenkla s lngt som mjligt.

    b) 2x + 3

    3 y - 5

    3 y - B

    2x + 3

    1207 Sandra har utvecklat uttrycket (2y - 5) 2 med hjlp av andra kvadreringsregeln. Hon fick resultatet Ay2 - 20y - 25. Ina menar att San-dra har gjort fel. Har Ina rtt? Vilket fel har i s fall Sandra gjort och vilken r den riktiga lsningen?

    mer.

    a) ( + 5) 2 = 4 y 2 + Q + 25

    b) 4 a 2 - 12a + 9 = ( D - 3 ) 2

    1211 Berkna vrdet av uttrycken utan rknare och med hjlp av frsta kvadreringsregeln. Anvnd a)-uppgiffen fr att lista ut ett bra stt att berkna de vriga uppgifterna.

    a) (50+ 2) 2 b) 63 2 c) 36 2

    1212 Visa att ( a - fr)2 = (b-a)2.

    1213 Frenkla uttrycken s lngt som mjligt a) (a + 2fc) 2-(2fa + 3a) 2

    b) (2m - n)2 - (m - 2n)2

    NIV 3

    1214 Den bl kvadraten har arean (a - b)2. Frkla-ra hur man med hjlp av figuren kan visa andra kvadrerinsgs-regeln.

    A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

  • Konjugatregeln Polynom I uttrycken bx2 + 3 och 4X3 + x 2 - 2x + 3 har variablerna endast positiva

    heltalsexponenter. Sdana uttryck kallas med ett gemensamt namn polynom. Polynomet 5x 2 + 3 innehller tv termer och kallas drfr ett binom.

    konjugat kommer av det latin ska ordet conjugare, som betyder sammanbinda.

    Konjugatregeln Skillnaden mellan binomen 3 + y och 3 - y r tecknet mellan termerna. Sdana binom kallas konjugerande binom eller konjugatbinom. Konjugatregeln hjlper oss att utveckla produkten av tv konjugatbinom.

    ( 3 + y ) ( 3 - y ) = 9 - 3y + 3y-y2 = 9-y2

    (a + b) {a -b) = a2-ab + ab-b2 = a2-b2

    Andra termen

    Frsta termen

    Minus andra termen i kvadrat

    nen i kvadrat

    Rkneregler fr binom

    Frsta kvadrerinj ;sregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Andra kvadrerinj ;sregeln (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

    Konjugatregeln (a + b)(a -b) = a2-b2

    De tre reglerna hjlper oss att snabbare utfra en multiplikation. En kanske nnu viktigare anledning t i l l att behrska reglerna r att de kan anvndas till att faktorisera uttryck. I nsta kapitel kommer vi att anvnda dem fr att lsa andragradsekvationer.

    E x e m p e l : Utveckla med hjlp av konjugatregeln.

    a) (10 + o) (10- f l )

    b) ( 7 x - 2 y ) ( 2 y + 7 x )

    c) (5x -8 ) (5x + 8) + 64

    Frsta termen i kvadrat Minus andra termen i kvadrat

    lsning: a) (10 + fl)(10 - a) 102 - a2 = 100 - a2 Anvnd konjugatregeln

    b) (7x-2y)(2y+ Ix) = Skriv om uttrycket s att det blir av

    formen (o + )(o - b)

    = (7x+ 2y){7x-2y) = Anvnd konjugatregeln

    = (7x) 2 - (2y) 2 = 4 9 X 2 - 4f

    c) (5x-8 ) (5x + 8) + 64 = 25X2 - 64 + 64 = 25X2

    l 6 A L G E B R A O 1 .2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

  • E x e m p e l : Ls ekvationen (x - 4) 2 = (x + 2){x-2)

    lsning: (x 4 ) 2 = (x + 2){x 2) Anvnd kvadrerings-och konjugatregeln

    x 2 - 8 x + 16 = x 2 - 4 Subtraherax 2 f rn bda leden

    8x + 16 = 4 Ls ekvationen p vanligt stt

    -8x = -20 Dividera bda led med -8

    x = 2,5

    N I V 1

    1215 Utveckla med hjlp av konjugatregeln

    a) ( x + 5 ) ( x - 5 )

    b) (7a + 9) (7f l -9)

    c) (6x-3y)(6x + 3y)

    d) (2z-5)(5 + 2z)

    1216 Teckna uttryck fr rektanglarnas area.

    a ) . 2 y - 8

    2y + 8

    b) 3a-b

    3a + b

    1217 Ls ekvationerna

    a) ( x + 5 ) 2 = x 2 - 1 5

    b) ( 2 x - 3 ) 2 = ( 2 x + 2 ) 2

    c) ( x - l ) 2 = ( x - 7 ) ( x + 7 )

    1218 Fyll i de tomma rutorna, s att likheten stm-mer.

    a) (a + ) ( - ) = - 3 6

    b) ( + D)(3b-D) = 9fo 2 -1

    1219 Frenkla uttrycken s lngt som mjligt

    a) (a + 4) 2 + ( a - 4 ) 2

    b) (b-2)2-(b + 2)(b-2)

    N I V A 2

    1220 Frenkla uttrycken s lngt som mjligt

    a) (3x + 2 y ) ( 3 x - 2 y ) - ( 2 y - 6 x ) ( 2 y + 6 x )

    b) ( 6 x - 5 ) 2 + ( 4 x + 8 ) ( 8 - 4 x )

    1221 Berkna vrdet av uttrycken endast med hjlp av konjugatregeln. Anvnd a)-uppgiften fr att lista ut ett bra stt att berkna de vri-ga uppgifterna.

    a) (80 + 3 ) (80 -3 )

    b) 41 39

    c) 17-23

    NIV 3 ^ ^ ^ ^

    1222 Ett knep fr att utfra multiplikationen 45 2

    r att i stllet berkna 40 50 + 25.

    a) Visa att 40 50 = 45 2 - 25

    b) Berkna 85 2 med samma knep.

    c) Frklara varfr knepet alltid fungerar.

    1223 Med hjlp av en figur kan man visa konjugat-regeln. Utg frn figuren t i l l hger. Frdela om ytorna och visa konju-gatregeln.

    I b

    b

    A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A 1 7

  • Att faktorisera uttryck Uttrycket 3x + 6 kan faktoriseras genom att man bryter ut faktorn 3. Man fr

    3x + 6 = 3(x + 2)

    Uttrycket r nu skrivet som en produkt av de tv faktorerna 3 och (x + 2). Att faktorisera ett uttryck innebr att man skriver om uttrycket s att det blir en produkt av tv eller flera faktorer.

    Faktorisering grs p olika stt beroende p uttryckets utseende. Fr att fak-torisera vissa uttryck kan man anvnda ngon av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln.

    x2+ 16x + 64 = ( x + 8 ) 2 och a2 - 36 = (a + 6)(a - 6)

    Faktorisering anvnds ofta vid frkortning, men det r ocks ett viktigt hjlpmedel vid lsning av andragradsekvationer.

    E x e m p e l : Faktorisera uttrycket med hjlp av kvadreringsreglerna eller konjugatre-geln.

    a) x 2 - 6 x + 9

    b) 16x2-25

    lsning: a) Jmfr vi uttrycket med andra kvadreringsregeln, ser vi att det r av formen "frsta termen i kvadrat, minus dubbla produkten, plus andra termen i kvadrat". Uttrycket kan drfr faktoriseras med andra kvadreringsregeln.

    x 2 - 6x + 9 = x 2 - 2 x 3 + 3 2 = (x - 3) 2

    b) Jmfr vi uttrycket med konjugatregeln, ser vi att det r av formen "frsta termen i kvadrat, minus andra termen i kvadrat" och kan fak-toriseras med hjlp av konjugatregeln.

    16X2 - 25 = (4x) 2 - 5 2 = (4x + 5 ) (4x - 5)

    E x e m p e l :

    lsning:

    Frenkla uttrycket

    x 2 + 2x + 1

    x 2 + 2x + 1 x + 1

    x + 1 ( x + 1 ) 2 ( x + l ) ( x + 1 )

    X + l ( X + 1 )

    = x + 1

    Svar: x + 1

    Faktorisera tljaren med frsta kvadreringsregeln

    Frkorta med x + 1

    Uttrycket r frenklat s lngt som mjligt

    l 8 A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A

  • NIVA 1 1230 Faktorisera uttrycket 0,25a2 - 0,5ab + 0,25b2.

    1224 Faktorisera uttrycken med hjlp av frsta kvadreringsregeln.

    a) a2 + 4a + 4

    b) x2 + 6x + 9

    c) s2 + 6sf + 9f2

    d) y 2 + 14y+ 49

    1225 Faktorisera uttrycken med hjlp av konjugat-regeln.

    a) t 2 - 1 6 b) 4x2-\ c) a2-9b2

    1226 Faktorisera uttrycken

    a) a2- 18a+ 81 b) 9c2-49

    1227 Faktorisera tljarna och frkorta s lngt som mjligt.

    1231 Frenkla

    a) a 2 - 3 6 a - 6

    b) x2- 10x + 25

    x-5

    NIVA 2

    1228 Om man vill faktorisera uttrycket 2x2 + 8x + 8, s kan man inleda med att bryta ut den gemensamma faktorn 2. Uttrycket skrivs d 2{x2 + 4x + 4), men kan faktoriseras ytterligare. Slutfr faktoriseringen av uttrycket.

    1229 Faktorisera uttrycken

    a) 2x2 + 48x + 288

    b) 4/ + 16

    c) - z 2 + 6 z - 9

    q 2 + 2ab + b2 \2x2 - 36xy + 27f 3 ) a2-b2 b ) " 6 x - 9 y

    1232 Ett uttryck fr arean av en kvadrat r (x 2 - 22x +121) dm 2 . Ange ett uttryck fr kvadratens sida.

    1233 En triangel har arean (16x - 4xy2) cm 2 . Bestm basen om hjden r 4x cm.

    NIV 3

    1234 Visa att (a + b)2 - 4ab > 0 fr alla vrden p a och b. ]

    Resonemang och begrepp

    O Vilken nytta kan man ha av att faktorisera ett uttryck?

    O Nmn ngra olika metoder man kan anvnda fr att faktorisera ett uttryck.

    O Vad r skillnaden mellan ett polynom och ett binom?

    O Ge exempel p hur konjugat- och kvadreringsreglerna kan anvndas fr att frenkla huvudrkning.

    O Namnet p kvadreringsreglerna r ju ltt att frst. Men varfr heter det konjugatregeln?

    A L G E B R A O 1 . 2 K V A D R E R I N G S - OCH K O N J U G A T R E G L E R N A 1 9

  • A n d r a g r a d s f u n k t i o n e r

    Rita grafen t i l l en andragradsfunktion Funktionen g{x) = 2x - 5 r en funktion av frsta graden, medan /(x) x2 - 4x + 3 r ett exempel p en andragradsfunktion. En andragrads-funktion kan allmnt skrivas f(x) - ax2 + bx + c, dr a, b och c r konstanter och a * 0.

    En andragradsfunktion innehller allts en andragradsterm, men kan ocks innehlla frstagradsterm och konstantterm. Dremot frekommer inte ter-mer av hgre grad n 2, som t.ex. x 3 - eller x4-termer.

    f(x) = ax2 + bx+ c

    L k Konstantterm

    Andragradsterm Frstagradsterm

    Symmetri

    Minsta och strsta vrde

    Den enklaste andragradsfunktionen r / (x) = x2, vars graf y = / (x) syns hr inti l l . Vi ser att grafen r symmetrisk, det vil l sga den hgra halvan r en spegelbild av den vnstra halvan.

    V i ser ocks att funktionen har ett minsta vrde y-0. Det betyder att y > 0 fr alla vrden p x. Kva-draten av ett tal kan j u aldrig vara negativ. Drfr gller x2 > 0 och funktionens minsta vrde r 0.

    En andragradsfunktion har antingen ett bestmt minsta- eller strsta vrde. Nr man ska rita grafen t i l l en andragradsfunktion, vill man oftast att det vrdet framgr.

    Exempel:

    Lsning:

    Rita grafen t i l l / (x ) fr hand.

    -0,5x2 - x + 2

    Brja med att gra en vrdetabell. Vlj lmpliga vrden p x och berkna funktionsvrdet y med hjlp av formeln.

    X y

    -4 - 2

    -3 0,5

    - 2 2

    -1 2,5

    0 2

    1 0,5

    2 - 2

    Pricka in punkterna i ett koordinat-system och rita grafen.

    Vi har valt att rita grafen i omrdet kring det strsta vrdet

    y = -0 .5(-2) 2 - (-2) + 2 = 2

    2 0 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

  • E x e m p e l : Funktionen / bestms av uttrycket f(x) = -2X2 - 44x - 236.

    a) Rita grafen y = f(x) med hjlp av din grafritande rknare.

    b) Bestm det strsta vrdet t i l l funktionen/.

    Lsning: Tryck ( -Ix2

    b) Om man har en

    funktion med en minimipunkt vljer

    man i stllet 3 : m l n i m u m .

    44x-j och skriv in 236 efter Y t = . Anvnd

    ^ i stllet fr x. Avsluta med att trycka ( ). Frmodligen syns nu bara en liten del av grafen. Om vi vil l att funktionens strsta vrde ska synas, s mste vi ndra fnsterinstllning-arna. Tryck och skriv in de vrden som syns t i l l hger. Rita sedan grafen genom att trycka ( ).

    Tryck JJ^BSJB o c n v a l j ^ : m a x ' " m u m. Rknaren frgar L e f t Bound? Markera en punkt t i l l vn-ster om maxpunkten och tryck [ ). Rknaren frgar R l g h t Bound? Markera en punkt t i l l hger om max-punkten och tryck [ ). Rknaren frgar G u e s s ? . Markera en punkt s nra maximipunkten som mjligt och tryck [ ]. Rknaren visar

    11 Y = 6,ochdet

    1 1

    WINDOW X n i n = - 1 5 Xnax= "5 X s c l = l Vn in= "3 Yr*iax=7 V s c l = l X r e s = l

    j inmiT u

    Vill du sedan terg till fnstrets standardinstllningar, tryck EZ1

    och vlj 6 : Z S t a n d a r d

    Maximum X = -r y-vrdet som r funktionens strsta vrde.

    Svar: Funktionens strsta vrde r 6.

    NIV 1 1302 Rita frst ett koordinatsystem med lmplig gradering. Rita drefter graferna t i l l andra-

    1301 Rita frst ett koordnatsystem dr -5 < x < 5 gradsfunktionerna som ges av vrdetabeller-och -5 < y < 5. Pricka sedan in punkterna i na. koordinatsystemet och rita graferna. a) x y b) x y a) x y b ) x y -3 7 -3 -6

    -3 4,5 -3 5 - 2 - 3 - 2 -1

    - 2 2 - 2 0 -1 - 9 -1 1

    -1 0,5 -1 -3 0 -11 0 3

    0 0 0 - 4 1 - 9 1 1

    1 0,5 1 - 3 2 -3 2 -1

    2 2 2 0 3 7 3 -6

    3 4,5 3 5

    A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 2 1

  • 1303 Skriv av vrdetabellen och fyll i funktions-vrdena.

    a) y = x2 + 3

    X V

    b) y = x2 - Ax + A

    x y

    1304 Graferna tillhr tv andragradsfunktioner. Bestm funktionernas minsta vrde.

    V f

    \ i b / \ ) v

    1 X \ /

    - 1 1305 Graferna tillhr tv andragradsfunktioner.

    Bestm funktionernas strsta eller minsta vrde.

    1306 Vilket funktionsuttryck hr ihop med vilken graf?

    1 f{x) = x2 - 3

    2 f{x) = x 2 + 3

    3 fix) = 2 * 2 -3

    4 fix)=-x2-3

    5 / (x) = 0,5x2 - 3

    \ t

    \ 1--+-J-

    Ah*r >

    B\ M

    i X

    _; L / ?

    1307 Rita graferna t i l l funktionerna/med hjlp av din grafritande rknare och bestm deras strsta eller minsta vrde.

    a) fix) = -x2 + 6x - 2

    b) fix) =-0 ,5x2 _ 5 x _ 1 7

    c) fix) = x 2 + 3 x - 1

    1308 Rita graferna t i l l funktionerna/fr hand

    a) / ( x ) = x 2 - 6

    b) fix) = x 2 + 2x + 1

    1309 Funktionen y = -x2 - 4x + 1 r symmetrisk kring en lodrt linje, som skr x-axeln fr x = -2 .

    a) Gr en vrdetabell med lmpliga punkter.

    b) Rita grafen.

    N I V A 2

    1310 Punkterna tillhr grafen ti l l en andragrads-funktion som r symmetrisk kring den streckade linjen. Pricka in punkternas spegel-bilder och rita den tillhrande grafen.

    a) b)

    x 2 1311 Funk t ionen /d r / (x ) = - 6x + 10 r

    symmetrisk kring linjen x = 6. Rita grafen ti l l funktionen fr hand.

    1312 Omar hoppar studsmatta. Hans hjd ver mattan beskrivs fr varje hopp med hit) - - 5 ^ + 5,5f, dr h(t) meter r hjden t sekunder efter att han har lmnat mattan i varje hopp. Hur hgt ver mattan nr Omar som hgst?

    2 2 A L G E B R A O 1.3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

  • Andragradsekvation

    Nollstlle

    Grafisk lsning av

    andragradsekvationer

    Kontrollera grna med prvning att ekvationen -x 2 - 4x + 3 = 0 har rtterna x, 0,6 och x , = -4,6

    Antal lsningar

    Grafisk lsning av en andragradsekvation En andragradsfunktion r en funktion som kan skrivas/(x) = ox 2 + bx + c, dr a * 0. Ekvationen/(x) = 0, d r / r en andragradsfunktion, kallas en andragradsekvation. Ett exempel p en andragradsekvation r x 2 - 2x - 3 = 0.

    Ritar vi grafen t i l l funktionen f(x) = x2 - 2x - 3 ser vi att den skr x-axeln i tv punkter, nmligen i x = - 1 och x = 3.1 de punkterna r funktions-vrdet noll. De vrden p x fr vilka/(x) = 0 kallas nollstllen t i l l funktionen.

    Med hjlp av grafen hr inti l l kan vi se att funk-t ionen/ har nollstllena x = - 1 och x = 3.

    Om vi vill lsa ekvationen - x 2 - 4x + 3 = 0 grafiskt, s brjar vi med att rita grafen t i l l / (x) = - x 2 - 4x + 3. Sedan bestmmer vi ls-ningarna t i l l ekvationen genom att avlsa noll-stllena t i l l funktionen/.

    Med hjlp av grafen kan vi uppskatta att noll-stllena t i l l / r x = 0,6 och x = -4,6. Ekvationen - x 2 - 4x + 3 = 0 har allts de ungefrliga ls-ningarna xx ~ 0,6 och x 2 = -4,6. Lsningarna t i l l en ekvation kallas ocks rtter.

    Eftersom en grafisk lsning bygger p en avlsning, s r det inte skert att den r exakt. Genom att stta in lsningen i den ursprungliga ekvationen, kan man se om den r exakt eller inte.

    M v 3

    \ / \ i / \ X X s i _ 1 ?

    Nollstllen Nollstllen ) \ /

    1 M

    r N v 4x + 3 1 \ \ i V 1

    T \ X X N | ?

    Fr att lsa ekvationerna x 2 - 4 = 0, x 2

    t i l l funktionerna/, g och h nedan. 0 och x 2 + 2 = 0, s ritar vi graferna

    fl x) = x2 - 4 g(x) = x2

    \ i > i \ 1 v

    1 ? x 2 - 4 = 0

    har tv lsningar

    S i i r

    7 x 2 - 4 = 0 har tv

    lsningar S i i r

    / y = X 2 - i x 2 = 0 har en lsning x = 0

    M I M I '

    x 2 - 4 = 0 har tv

    lsningar S i i r

    x 2 = 0 har en lsning x = 0

    M I M I '

    x 2 - 4 = 0 har tv

    lsningar S i i r M

    x 2 = 0 har en lsning x = 0

    M I M I '

    Av graferna framgr att funktionen / har de tv nollstllena x = -2 och x- 2, att funktionen g har ett enda nollstlle x = 0 och att funktionen h helt saknar nollstllen. Det betyder att ekvationen x 2 - 4 = 0 har tv lsningar, att ekvationen x 2 0 har en lsning och att ekvationen x2 + 2-0 saknar reella lsningar.

    A L G E B R A O 1.3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 23

  • E x e m p e l :

    Lsning:

    Hr intill har vi ritat grafen ti l l en andra-gradsfunktion. Bestm med hjlp av grafen

    a) f(2)

    b) funktionens nollstllen

    c) lsningarna ti l l ekvationen/(x) = 2,5

    a) Vi avlser funktionsvrdet f(2) efter y-axeln.

    Svar: f(2) = 4

    b) Funktionens nollstllen r de vrden p x fr vilka/(x) = 0. Det betyder att vi kan avlsa funktionens noll-stllen dr grafen skr x-axeln.

    Svar: Funktionen/har nollstllen fr x :

    y = f ( x)

    1 1 X

    \ ?

    / M 1

    f ( 2 ) - 4 j \ 1

    ( 2 ) - 4 j

    fl-U 2.5 '-- ... . . . -\ 3) = 2,5 1 i i \ X

    s

    / IMUIIbLdllfciri

    -2 och x = 4

    Lsningen t i l l ekvationen/(x) = 2,5 r de vrden p x, fr vilka funk-tionsvrdet y = 2,5.

    Svar: x = - 1 och x = 3

    E x e m p e l :

    Lsning:

    Ls ekvationen O^x 2 - 2x - 3 = 0 med hjlp av den grafritande rknaren.

    Lsningarna t i l l ekvationen r nollstllena t i l l / (x

    Frst ritar vi grafen p den grafritande rknaren. Vi trycker ( ) och skriver in 0,3x2 - 2x - 3 efter Y = . V i trycker sedan ( ]. Fr att bestmma funktionens nollstllen trycker vi ^ ^ ^ B , vljer 2: z e r o. Rknaren frgar L e f t Bound? Markera frst en punkt t i l l vnster om frsta nollstllet och tryck

    3> sedan en punkt t i l l hger och t i l l sist en punkts nra nollstllet som mjligt. Rknaren visar Z e r o X = - l .26135 Y = 0 som r ett av funktionens nollstl-len. Fr att bestmma det andra nollstllet gr vi p samma stt.

    Svar: x ; ~ -1,3 och x 2 = 7,9

    0 , 3 x 2 - 2 x - 3 .

    24 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

  • E x e m p e l : Ls ekvationen 2x 2 + 5 = 4x grafiskt.

    lsning: Vi skriver frst om ekvationen 2x2 + 5 = 4x t i l l 2x2 + 5 - 4x = 0. Sedan ritar vi grafen t i l l /(x) = 2x 2 + 5 - 4x p rknaren. Man ser direkt att grafen inte skr x-axeln. Det betyder att funktionen saknar nollstllen och drmed saknar ekvationen reella lsningar.

    Svar: Ekvationen saknar reella lsningar.

    \ u

    i

    NIVA 1

    1313 Figuren visar grafen t i l l en andragradsfunk-tion. Bestm med hjlp av grafen

    a) ffl b) funktionens nollstllen

    c) lsningarna t i l l ekvationen/(x) = -2

    r

    = r i i X

    s ; 1 /

    h

    1314 Hur mnga reella nollstllen har funktioner-na f, g respektive h?.

    h-\ J

    i y = -fW

    / / i / / >

    \ v (x

    1315 Andragradfunktionen f(x) x2 - 5x - 6 har nollstllena x = - 1 och x = 6. Ls andragrads-ekvationen x 2 - 5x - 6 = 0.

    1316 Camilla lser ska lsa ekvationen x 2 - lOx + 16 = 0 med hjlp av grafrknaren. Hon ritar grafen t i l l / (x ) = x 2 - lOx + 16 p rknaren. Drefter anvnder hon Z e r O i menyn under |^ 2Z9 o c r i f a r d upp bilden som visas hr.

    \ /. V A-Z

    a) Utnyttja Camillas bild t i l l att bestmma en rot t i l l ekvationen x 2 - lOx + 16 = 0.

    b) Bestm ekvationens andra rot.

    1317 Ange lsningarna t i l l ekvationerna.

    a) / (x) = 0 b) g(x) = 0 c) h(x) = 0

    1318 Ls ekvationerna grafiskt.

    a) x 2 + 2 x - 8 = 0

    b) -2X2 + \2x- 18 = 0

    c) x 2 - 8 x = 0

    A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R 25

  • 1319 Bilden visar grafen t i l l funktionen fix) =-x2 + 6x + 9

    " T J y^ - t(> )

    / \ / / \ i > i

    / \ / \ / T / i. \ X s

    />

    / \

    a) Vilket r funktionens strsta vrde?

    b) Ls ekvationen/(x) = 0.

    c) Hur mnga lsningar har ekvationen fix) = 0?

    1320 Bilden visar grafen t i l l funktionen /(x) = x 2 - 6,25

    ~3 h) M " / V

    / 1

    a) Ange funktionens nollstllen.

    b) Ls ekvationen x 2 - 6x + 5 = 0.

    c) Ls ekvationen x 2 - 6x + 5 = 5.

    1322 Ls ekvationerna grafiskt. Prva drefter om lsningen r exakt.

    a) x 2 + 2 x - 3 = 0

    b) x 2 - 10x -9 = 0

    c) x 2 - 7x + 11 = 0

    1323 Ls ekvationen x 2 + 4x = -3 grafiskt.

    1324 Skissa grafen t i l l funktionen/om funktio-nens minsta vrde r y = 0, nollstllena r x = - 1 och x = -5 och lsningen ti l l ekvatio-nen/(x) = 2,5 r X[ = -6 och x 2 = -0.

    N I V 1

    Ls uppgifterna hr nedanfr med hjlp av din grafritande rknare.

    1325 Triangelns area r 54 cm 2 . Bestm hjden x.

    x + 3

    1326 En rektangel har arean 126 cm 2 . Bestm rek-tangelns omkrets, nr den ena sidan r 5 cm kortare n den andra.

    1327 En kulsttare fr ivg en stt dr kulan befin-ner sig h(s) meter ver marken, d den flugit s meter horisontellt. Kulans bana beskrivs av h(s) = -0,0452 + 0,64s + 1,94.

    a) Hur lng blev stten?

    b) Hur lngt har den kommit nr kulan nr

    sin hgsta hjd?

    1328 Fr en andragradsfunktion /gller att ekva-tionen/(x) = 0 har lsningarna x, = -7 och x 2 = - l .

    a) Du vet at t /(-2) = -5 . Hur kan du bestm-ma vrdet av/(-6) utan att utfra ngon berkning?

    b) Fr vilket x-vrde har/sitt minsta vrde?

    26 A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R

  • 1329 En bils bensinfrbrukning y liter/mil, beror p hastigheten v km/h enligt

    v 3V2 y = 0,7 + + fr 70 < v < 180 7 1 000 200 000

    Vid vilken hastighet drar bilen 1,0 liter/mil?

    NIV 3

    1330 Omar gillar att hoppa studsmatta och gr det ibland flera gnger om dagen. Hans hjd ver mattan beskrivs fr varje hopp med h(t) - -5f + 5,5f, dr h(t) meter r hjden t sekunder efter att han har lmnat mattan i varje hopp. Hur lnge r Omar i luften under varje hopp?

    1331 I en park sprutar en staty en vattenstrle ver en promenadvg. Strlen har formen av en parabel som beskrivs av funktionsuttrycket

    h(x) = -0,38x2 + l,67x + 1,21

    dr h(x) r strlens hjd i meter ver marken x meter horisontellt frn dr den lmnar sta-tyn. Knut undrar ver hur bred promenadv-gen kan vara, fr att en 2 meter lng person ska kunna g under vattenstrlen och ha 1 dm marginal t i l l vattnet. Hjlp Knut att lsa uppgiften.

    Resonemang och begrepp

    Hur kan man med hjlp av rknaren se om en andragradsekvation f[x) = o har tv, en eller ingen lsning?

    Vad menas med att grafen till en andragradsfunktion r symmetrisk?

    Varfr har en andragradsfunktion alltid antingen ett bestmt strsta eller ett minsta vrde?

    Vad r skillnaden mellan att lsa en ekvation grafiskt och att lsa den algebraiskt?

    Vad r det fr skillnad p nollstllena till en funktion f och lsningen till ekvationen/(x) = o?

    Q Du har lst en andragradsekvation genom att lsa av nollstllena till motsvarande andragradsekvation, och ska genomfra en prvning. Varfr gr du det? Hur gr du till vga?

    A L G E B R A O 1 . 3 A N D R A G R A D S F U N K T I O N E R X]

  • a. o.

    ? P r o f i t i s o l s k e n

    Anders och Berith gr ett projektarbete i fretags-ekonomi, dr de undersker vinsten hos tv fretag. Fretagen Laerol och Sevy tillverkar lyxig solkrm och sljer den vidare t i l l olika butiker. Tillverknings-kostnaden per liter solkrm under ett kvartal r olika fr de bda fretagen och beskrivs av tv andra-gradsfunktioner.

    Kostnad per liter vid tillverkning av x liter solkrm r

    Laerol: K{x) = 0,000 00125x2 - 0,045x + 420

    Sevy: K{x) = 0,000 002X2 - 0,092x + 1 070

    Vid frsljning t i l l butikerna r intkten per liter sol-krm densamma fr de bda fretagen. Intkterna r 45 kr/1.

    Hur stor r tillverkningskostnaden per liter fr fretagen, om de tillverkar 20 000 liter under ett kvartal?

    Hur mnga liter solkrm ska respektive fretag t i l l -verka fr att tillverkningskostnaden per liter ska bli s lg som mjligt? Vilket blir d literpriet?

    Hur mnga liter solkrm ska fretagen tillverka och slja, fr att intkterna precis ska motsvara kostnaderna?

    Hur stor r vinsten per liter fr Laerol, om de t i l l -verkar och sljer 20 000 liter under ett kvartal?

    Teckna ett frenklat uttryck fr de bda fretagens vinst per liter solkrm.

    28 A L C E B R A O n - U P P G I F T

  • UDDA TAL

    Frklara varfr 2n - 1 r ett udda tal, givet att n r ett heltal.

    Ange det udda tal som fljer nrmast efter 2n - 1.

    Visa att summan av kvadraterna p talet 2n - 1 och de tv udda tal som fljer drefter r 12n2 + I2n + 11.

    FAKTORISERA MED KONJUGATREGELN

    Fr att faktorisera stora tal kan man ta hjlp av konjugatregeln.

    Faktorisera 51 genom att skriva det som differensen mellan 102 och 7 2.

    Faktorisera 231 och 9 975 p samma stt.

    Faktorisera 9 991.

    Hitta p en egen liknande uppgift och lt en kompis lsa den.

    TO O DO I -

    m " 2 o n z c z o m 33 m O: 7s z z n > 33

    FRITT FALL

    Den strcka s(f) m, som ett freml faller kan beskrivas med funktionen s(f) = 5I2, dr t r tiden i sekunder. Rita en graf t i l l denna funktion fr 0 < t < 5 och besvara med hjlp av grafen

    Hur lngt har ett freml fallit efter 2,5 sekunder?

    Hur lng tid tar det fr fremlet att falla 100 meter?

    Hur lngt faller fremlet under den fjrde sekunden? (Tnk p att tiden mellan t = 0 och t = 1 r frsta sekunden.)

    Vilken r fremlets hastighet under den fjrde sekunden?

    Frsk att med hjlp av grafen ta reda p en ungefrlig hastighet hos fre-mlet efter 3 sekunder.

    TRE I FLJD Sven frsker multiplicera de tre p varandra fljande heltalen 19-20-21 utan att anvnda rknare. Emma sger att man fr rtt svar genom att frst berkna kuben p talet i mitten och sedan dra ifrn talet i mitten.

    Visa att Emmas regel gller fr multiplikationen 19-20-21 .

    Undersk Emmas regel p fler produkter av tre p varandra fljande hel-tal. Verkar regeln stmma?

    Kalla heltalet i mitten fr x och visa att regeln gller allmnt.

    A L C E B R A O P R O B L E M OCH U N D E R S K N I N G A R

  • H 1/1

    X

    Soroban

    Rknehjlpmedel Abakus

    Kulramen, eller abakus som den ocks kallas, r det ldsta knda rkne-hjlpmedlet. I dag anvnder vi kulramen endast i de lgre klasserna i skolan fr att ka frstelsen fr berkningar. Men i mnga andra delar av vrlden r den fortfarande ett effektivt hjlpmedel fr att utfra berkningar.

    En abakus kan vara uppbyggd p mnga olika stt. Den japanska model-len, som du ser hr intill, kallas soroban. P varje rad finns det tv uppstt-ningar av kulor, dr den ena uppsttningen har fyra kulor och den andra har en. P det viset kan man p varje rad skriva talen 09. Den ensamma kulan anvnds fr att markera ett femtal och de fyra kulorna ental.

    Hr beskriver en soroban talet 45 810. De rda kulorna markerar ental och de bl ett femtal.

    Skickliga anvndare av abakus sgs kunna utfra berkningar med de fyra rknestten snabbare n vad en van anvndare av digital rknare klarar av att gra.

    Rknesnurra

    Rknesnurran

    En rknesnurra r en mekanisk rknemaskin. Den utvecklades under 1800-talet och anvndes lngt in p 1900-talet. Vil l man ti l l exempel utfra multiplikationen 6 7, s stller man in talet 7 p snurran och vevar drefter 6 varv. Varje varv hoppar d vrdet fram 7 steg och man landar p produkten 42.

    Produkten 9-31 kan p samma stt berknas genom att man stller in 31 och vevar 9 varv. Det r frsts ocks mjligt att stlla in 9 och veva 31 varv, men det tar lngre tid. Men det finns genvgar att g. En sdan genvg r att man frst stller in 9 och vevar 1 varv. Sedan stller man in 90 och vevar 3 varv. Man har d berknat 1-9 + 3-90 = 31-9 som var vad vi ville berkna. P detta stt rcker allts fyra varv fr att utfra berkningen.

    Ytterligare ett stt att genomfra berkningen r att frst stlla in 310 och veva 1 varv, drefter stller man in 31 och vevar ett varv bakt. D har man ocks berknat produkten 31-9.

    30 A L G E B R A O H I S T O R I A

  • Tidig rknare med LED-display

    Minirknaren

    Minirknaren har funnits sedan omkring r 1970. De tidiga minirknar-na hade displayer med lysdioder, s kallad LED-display. De var energikr-vande och det var drfr inte ovanligt att man anvnde elntet i stllet fr batterier. Det gjorde minirknaren mindre flexibel.

    Med tiden blev minirknarna mer energisnla och det blev mjligt att enbart anvnda batterier. Samtidigt som storleken p rknarna blev mindre, s blev ocks priset lgre och de blev allt vanligare som hjlpme-del i skolor, p arbetsplatser och i hemmen.

    19 B O B D Q B B O B B B B B B B B

    Q

    B B B BJ B B B I I B

    c a c a i E J L j i L j

    . E! || || I || || i

    _ J _ J L J L J f I ' L J y

    ? Vilket tal visar abakusen?

    O ? Hur mnga varv mste man minst veva fr att utfra multiplikationen 43 21 p en rknesnurra?

    Frklara varfr multiplikationen 31 9 kan utfras p rknesnurra genom att veva talet 310 ett varv framt och drefter talet 31 ett varv bakt.

    Grafritande rknare och CAS-rknare

    Den frsta grafritande rknaren tillverkades i mitten av 1980-talet. Grafritande rknare erbjuder stora mjligheter t i l l att snabbt lsa pro-blem men ven som std fr att frst matematiken. En vanlig grafri-tande rknare kan t.ex. hitta numeriska lsningar t i l l ekvationer och finna strsta eller minsta vrden t i l l en funktion.

    En grafritande rknare kan dremot inte frenkla algebraiska uttryck. Det kan en symbolhanterande rknare. En sdan klarar av att bde frenkla algebraiska uttryck och att hitta exakta lsningar t i l l mnga ekvationer. Den hr typen av rknare kallas ocks CAS-rknare, dr CAS str fr Computer Algebra System.

    Matematikprogram och. webbsidor

    Om man har tillgng t i l l en dator, s finns det i dag flera olika program som kan hjlpa oss med matematiken. Ngra exempel r Excel, Maple, Mathematica och GeoGebra. Mnga matematikprogram gr att ladda ner gratis frn internet. P internet finns ocks webbsidor dr man direkt kan f hjlp fr att lsa problem. Ett sdant exempel r Wolfram Alpha, som du finner p www.wolframalpha.com.

    Vi har allts vldigt goda mjligheter t i l l std fr att frst matemati-ken och fr att genomfra berkningar, men vi fr inte glmma bort att den viktigaste kunskapen och uppfinningsrikedomen finns hos oss sjlva.

    A L G E B R A O H I S T O R I A 31

  • I A l g e b r a

    Algebraiska uttryck parenteser

    frenkl ing

    kvadrer ingsreglerna

    konjugatregeln

    faktor iser ing

    Andragradsekvationer ax2 + bx + c = 0 , dr a * 0

    t v , en eller ingen lsning

    graf isk lsning

    1

    Faktorisering bryta ut

    kvadrer ings- och konjugatregeln

    Grafisk lsning av lsning i grafen

    eventuel la nol lstl len ger ekvat ionens rtter

    k

    Andragradsfunktioner f(x) = ax2 + bx + c, dr a * 0

    grafen t i l l funkt ionen f har ant ingen ett m ins ta vrde eller ett strsta vrde

    grafen t i l l funkt ionen f r s ymmet r i sk

    funkt ionen f har nol ls t l len fr f(x) = 0

    nol ls t l lena t i l l funkt ionen fr rtterna t i l l ekvat ionen ax2 + bx + c = 0

    Nollstllen

    * Minsta vrde y I I l I I I

    A L G E B R A O T A N K E K A R T A

  • N I V A l

    1 Frenkla uttrycken

    a) 3a + 7 - 2a + 3

    b) 6x + 2 + 5 - 2x

    c) (3a + 5b)-(4a-2b)

    2 Utfr multiplikationen

    a) 3(5*+ 2)

    b) Aa(3a-2b)

    c) 2x(3,5x + 4y)

    3 Bryt ut strsta mjliga faktor

    a) 5x + 10

    b) 20a + a 2

    4 Utveckla uttrycken

    a) (9 + 3x) 2

    b) (5z- l l ) 2

    c) (46+ l l a ) ( 4 6 - l l a )

    5 Faktorisera uttrycken

    a) 56a3 + 42a

    b) y2-22y + 121

    c) 9 a 2 - 3 6

    6 Ls ekvationerna

    a) 4 (3*-5) = 16

    b) 2(l,5x + 7) = lOx

    c) 2,5(8 + 2x) = 8 + 7x

    7 Utfr multiplikationen

    a) i ( 5 a - 4 b + 7)

    b) 3x(x + 2xy-3y)

    8 Frenkla uttrycken

    a) ( 2 x - 5 ) - ( 3 x + 1 ) ( 9 - 1)

    b) 3 x ( x - 4 ) - ( 3 x + 2 ) ( x - 1)

    , Ax2 + 12* C ) ^ + 3 ~

    9 Frkorta uttrycken

    lOx - 14 a)

    b)

    c)

    6x

    2Qx2-\2x \2x2

    9a2 - 6ab \%ab- \2b2

    DO r -> Z a > D m C "O T3 n

    m u

    10 Skriv ett frenklat uttryck fr rektanglarnas area.

    b)

    3x+ 3

    2o + 3b

    11 Fyll i vrdetabellen och rita graferna

    a) y = x2 - 2 b) y = -x2 + Ax + 3

    x y x y

    -2

    12 a) Hur mnga nollstllen har grafen t i l l funktionen/som ges av/(x) = 3X2 + 5x - 9?

    b) Hur mnga lsningar har ekvationen 3x 2 + 5 x - 9 = 0?

    13 Mie har utvecklat uttrycket (2x + 5) 2 och ftt resultatet Ax2 + 25. Pr-Anders sger att Mie har gjort fel. Har Pr-Anders rtt och vilket fel har Mie i s fall gjort?

    A L C E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R 33

  • 14 Figuren visar grafen t i l l funktionen /(x) = x2 - 2x - 3

    a) I vilken punkt skr funktionen y-axeln?

    b) Vilket r funktionens minsta vrde?

    c) Vilka nollstllen har funktionen?

    d) Ls med hjlp av grafen ekvationen

    x2-2x-3 = 0.

    15 Fyll i de tomma rutorna, s att likheterna stmmer.

    a) \JOx-D) = 9 x - 15

    b) (a + D) 2 = a2 + 4a + c) ( + ) ( - ) = 9m2 -25n2

    16 Utveckla och frenkla

    a) (2a + b)2-4ab

    b) (5a-3b)2 + (5a - 3b)(5 + 3fe)

    c) ( 3 x + 2 y ) 2 - ( 3 x + 2 y ) ( 2 y - 3 x )

    17 Andrew ska berkna 81 2 och tnker anvnda si av kvadreringsregeln p uttrycket (80 + l ) 2 .

    a) Berkna 81 2 med Andrews metod.

    b) Berkna 92 2 p samma stt.

    18 Skriv ett frenklat uttryck fr figurernas area.

    a) y-x

    3x + 8 2y

    2x

    d)

    ,10o + 4b

    o + b

    19 Frida fick i uppgift att rita grafen t i l l y = x2 + 1 Ox - 3 p sin grafritande rknare. Hei nes resultat ser du hr nedanfr.

    \ i

    Ge Frida ngra frslag p vad hon kan gra fr att frbttra bilden av grafen p rknaren.

    20 Ls ekvationerna grafiskt

    a) x 2 - x - 6 = 0

    b) 4 x - x 2 = 1

    NIV 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

    21 Faktorisera tljare och nmnare och frkorta si lngt som mjligt

    9x + 6x 2

    6x

    x2-4y2

    x+2y

    b)

    d)

    2a2 - 4ab 3a -6b

    4a2 - 12a + 9 4 a - 6

    22 Torbjrn och Christian pluggar matte tillsam-mans. Christian sger att han inte riktigt frst den andra kvadreringsregeln och ber att Torbjrn ska frklara den. Hjlp Torbjrn med vad han ska sga, skriva eller rita.

    23 Frenkla

    a) 2 , 5 ( 4 x - 2 ) - 0 , 5 ( 6 x - 1 0 )

    b) - ( 4 a - 1 2 b + 4 ) - - ( 1 2 - 9 a + 3fo) 4 3

    24 Frkorta uttrycken s lngt som mjligt.

    x 2 + 6x + 9 a)

    b)

    9 - x 2

    ^ - 4 9 f-\4y + 49

    2a - b

    Sab

    3 4 A L G E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R

  • 03

    25 En kula skjuts rakt uppt. Dess hjd ver marken kan beskrivas med funktionen h som ges av h(t) = 50f - 5?, dr t r tiden i sekunder efter uppskjutningen.

    a) Hur hgt r kulan efter 1,5 sekunder?

    b) Hur hgt nr kulan som hgst?

    c) Hur lnge r kulan i luften?

    d) Nr r kulan 80 meter ver marken?

    26 Vilma har ett rektangulrt trdgrdsland, dr lngden r 3 meter lngre n bredden. Hon utkar bde lngd och bredd med 2 meter och fr p detta stt ett land, som r 20 m 2 strre n det tidigare. Hur stor area har trdgrdslandet efter utkningen?

    27 Maria och Jocke har ftt i uppgift att bestmma det minsta vrdet t i l l en andragradsfunktion.

    - D behver vi hitta den lodrta linjen som kurvan r symmetrisk kring, sger Jocke.

    - Det gr vi genom att frst bestmma funktio-nens nollstllen, inflikar Maria.

    a) Ge en frklaring t i l l varfr Jocke tycker att man behver finna den linjen.

    b) Varfr sger Maria att man frst mste bestmma funktionens nollstllen?

    c) Nr fungerar inte Marias metod?

    28 Frkorta uttrycken s lngt som mjligt . (a + 2b)2

    b)

    3a + 6b

    4m2 - 4mn + n2

    12m2 - 3n2

    29 I en rtvinklig triangel r den ena kateten 7 cm lngre n den andra. Teckna ett frenklat uttryck fr

    a) triangelns area

    b) hypotenusans lngd

    > Z D >

    C TJ 13 n T I Hl m

    N I V A 3

    30 Ls ekvationerna

    a) 2x (3x -4 ) = 6{x2-4x-3)

    b) (3a + 6 ) (3a -6 ) = 3 ( 3 f l 2 - 4 a - 2 )

    c) ( 2 x + 6 ) 2 - 5 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 3 6 - ( x - 5 ) 2

    31 Fyll i de tomma rutorna, s att likheterna stm-mer

    a) ( + 7 ) ( 2 a - D ) = 6 a 2 - a - D

    b) ( + ) ( - ) = 3 x 2 - 1 2 /

    c) (4m + 5 n ) ( D - ) = + 14mn-8m2

    32 Berkna genom att anvnda dig av konjugat- och kvadreringsreglerna.

    a) 21 19 b) 22 2 c) 89 2

    A L G E B R A O B L A N D A D E U P P G I F T E R 35

  • I/ 111 t : Ui H a < *

    7 DEL 1 Utan rknare

    1 Multiplicera ihop

    a) 2x(3 + 8x)

    b) (a + 7)(3a + 2b)

    c) ( 2 y - 6 ) 2

    2 Vilket av uttrycken passar bst att frenkla med hjlp av konjugatregeln?

    A (2 + a)(2 + b)

    B ( 3 - 7 x ) ( 7 x + 3 )

    C (4-2y)2

    3 Gr en tabell och rita grafen t i l l funktionen y = x2 - 2x - 1 fr -2 < x < 4

    4 Faktorisera

    a) 4a + \2ab b) a 2 - 6 a + 9

    5 Bestm med hjlp av grafen t i l l funktionen/(x)

    1 / s y i 1 1 h ) \ \ 1 ! \ 1" \

    \ i ? \ r 1 v /

    a) funktionens minsta vrde

    b) f(-2)

    c) funktionens nollstllen

    d) lsningarna t i l l ekvationen/(x) = 5

    6 Ls ekvationen (2x - 3) 2 - (3X2 - 2) = (x + 5)(x - 5)

    7 Frkorta uttrycken

    6 x 2 - 2 x a) 2x b)

    1 6 - x 2

    x 2 + 8 x + 16

    8 En kvadrat och en rektangel har lika stor omkrets. Den ena sidan i rektangeln r 2 cm lngre n den andra sidan. Vilken figur har strst area och hur mycket skiljer det?

    3 6 A L G E B R A O K A P I T E L T E S T

  • DEL 2 Med rknare

    9 Bilden visar grafen t i l l funktionen/med f(x) = x2 - 2x - 3 och funktionen j med g(x) 5 - x1 - 2x.

    i / B

    / i / /

    i \ 1-\ 1- l\ / A

    fl Aj i

    10

    a) Vilken av graferna visar/?

    b) Ls ekvationen x2 - 2x - 3 = 0

    c) Ls ekvationen 5 - x2 - 2x 0

    d) Ls ekvationen 5 - x2 - 2x = -3

    Figuren bestr av tv rektanglar. Teckna ett frenklat uttryck som beskriver figurens

    a) omkrets

    b) area

    > 2 H m q m V)

    x-2

    x - 3

    2 x - 4

    11 Lt/(x) = -x2 + 5x+ 1. Rita grafen t i l l / p rknaren och bestm

    a) a-D b) strsta eller minsta vrdet f r / c) nollstllen t i l l /

    12 Nr vissa frhllanden rder kan stoppstrckan fr Aziz bil beskrivas med funktionsuttrycket s(v) = 0.005V2 + 0,15v, dr s(v) r stoppstrckan i meter och v den ursprungliga hastigheten i km/h.

    Berkna Aziz stoppstrcka nr han hller hastigheten 70 km/h

    Vilken frga besvaras av ekvationen 0,005^ + 0,15v = 0?

    Hur mnga nollstllen har funktionen s?

    Nr Aziz kommer ver ett backkrn, ser han ett omkullfallet trd ver vgen 50 meter bort. Vilken r den hgsta fart Aziz kan ha ver backkrnet fr att undvika en kollision med trdet?

    Vilken ekvation ska du lsa fr att kunna besvara frgan?

    Ls ekvationen med hjlp av rknaren och tolka din lsning.

    A L G E B R A O K A P I T E L T E S T 37

  • 2 A n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

    I D E L K A P I T E L

    2.1 Enkla andragradsekvationer

    2.2 Fullstndiga andragradekvationer

    F O R K U N S K A P

    Algebraiska frenklingar

    Konjugat- och kvadrerings-reglerna

    Faktorisering av uttryck

    Grafen till en andragradsfunktion

    Grafisk lsning till andragrads-ekvationer

    C E N T R A L T I N N E H A L L

    Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslsning.

    Utvidgning avtalomrdet genom introduktion av begreppet komplext tal i samband med lsning av andragradsekvationer.

    Algebraiska och grafiska metoder fr att lsa andragradsekvationer.

    Egenskaper hos andragrads-funktioner.

    Konstruktion av grafer till funktioner samt bestmning av funktionsvrde och nollstlle, med och utan digitala verktyg.

    3

  • Kastar du ivg en boll, kan bollens rrelse beskrivas med grafen till en andragradsfunktion. Om du frgar efter kastets hgsta hjd, s r det funktionens strsta vrde du ska ska efter. Och om du undrar ver hur lngt kastet var, s kan svaret vara lsningen till en andragradsek-vation. En andragradsfunktion kan ocks hjlpa oss att beskriva rrelsen hos himla-kroppar eller att skapa en ekonomisk vinstmodell till ett fretag som tillverkar och sljer en vara. Ett viktigt verktyg inom matematiken r att kunna lsa andra-gradsekvationer grafiskt och algebraiskt.

    Nr du r klar med kapitlet ska du kunna

    lsa andragradsekvationer med hjlp av

    faktorisering

    lsa andragradsekvationer med hjlp av

    kvadreringsreglerna

    lsa andragradsekvationer med hjlp av

    pq-formeln

    bestmma icke-reella rtter till enkla andragradse kvati oner

    bestmma symmetri linje, extrempunkt

    och nollstllen till en andragradsfunk-

    tion

    Maximera arean Arean av en rektangel med given omkrets varie-rar beroende p rektangelns form. Fr en viss omkrets gller sambandet A = b{20 - b) cm 2 , dr A cm 2 r rektangelns area nr basen r b cm.

    Ange ett uttryck fr basen respektive hjden.

    Vilken omkrets har rektangeln?

    Fr vilka vrden p b r A = 0?

    Vilken r den strsta arean som rektangeln kan ha?

    Vilket vrde p b ger den maximala arean?

    Nollstllen Andragradsfunkt ionen/dr / (x) = x2 - 4 har nollstllena xt = -2 och x2 = 2.

    Visa att andragradsfunktionen g(x) = 2X2 - i har samma nollstllen.

    Ange ytterligare en funktion h med samma nollstllen.

  • 2 . 1 E n k l a a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

    Ekvationer av typen x 2 = a I frra kapitlet anvnde vi en grafisk metod fr att lsa andragradsekvatio-ner. V i sg att en andragradsekvation som mest kan ha tv reella lsningar. I det hr avsnittet och de som fljer, kommer vi att arbeta fram metoder fr att lsa andragradsekvationer med hjlp av algebraiska metoder.

    Redan i kurs l b lste vi enklare andragradsekvationer med hjlp av kvadrat-rtter. Lsningen t i l l en andragradsekvation av typen

    x2 = 6

    skrev vi

    x= V

    dr vi utnyttjade att kvadratroten ur 6 r det positiva tal vars kvadrat r 6. Vi repeterar detta och inleder med definitionen av kvadratrot.

    Kvadratrot

    Med kvadratroten ur ett positivt tal a, menas det positiva tal vars kvadrat r a. Kvadratroten ur a skrivs Va och kallas ofta bara "roten ur a". Definitionen gller ocks fr a = 0.

    E x e m p e l : Ls andragradsekvationen

    a) x2 = 64 b) 6 x 2 - 5 4 = 0

    lsning: a) x2 = 64

    x= V64 = 8

    xx = 8 och x2 = -8

    Svar: xx = 8; x2 = -8

    b) 6 x 2 - 5 4 = 0

    6X2 - 54 + 54 = 0 + 54 6X2 54 6 ~ 6

    x? = 9

    x= V9 = 3

    Vi sker ett tal vars kvadrat r 64

    Det gller att 8 2 = 64 och att (-8) 2 = 64

    Vi adderar 54 till bda led fr att f 6x 2 ensamt

    Vi delar bda led med 6 fr att f x 2 ensamt

    Bde3 2 och (-3) 2 r 9

    Svar: x, = 3; x2 = -3

    40 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • E x e m p e l : Ls ekvationen x(x + 3) = 3x + 14 exakt. Ange ven ett nrmevrde t i l l lsningen med en decimals noggrannhet.

    lsning: x{x + 3) = 3x + 14 Frenkla VL

    x2 + 3x = 3x + 14

    x2 + 3x - 3x = 3x + 14 - 3x Subtrahera 3xfrn bda leden

    x2 = 14

    x = VT? Exakt lsning

    X = VT? ~ 3,7 Anvnd rknaren, tryck j ) [ ] 14 [ ) och avrunda till en decimal

    Svar: x, = VT? - 3,7; x 2 = -VT? = -3,7

    N I V 1

    Ls andragradsekvationerna utan att anvn-da rknare.

    2101 a) ^ = 81 b) x2=\2\ c) 2 X 2 = 200

    2102 a) x2 = 0,25 b) x 2 = 0,04 c) x2 = -^-16

    2103 Bestm sidan t i l l en kvadrat med arean

    a) 64 cm 2 b) 0,09 dm 2 c) 6,25 cm 2

    2104 Ls andragradsekvationerna utan att anvn-da rknare.

    a)9 = x 2 - 1 6 b ) 4 - x 2 = 3

    2105 Ls andragradsekvationerna och avrunda lsningarna ti l l tv decimaler.

    a) 4y2 = 80 b) 3-m2 = -7

    c) nr2= 10 d) 0 . 2 X 2 - 1 = 0

    2106 En kvadrat har arean 144 cm 2 . Bestm kva-dratens omkrets.

    2107 Ls andragradsekvationerna och svara exakt.

    a) 6 ^ 3 5 - f 2

    b) 14-9a 2 = - 1 6 - 4 a 2

    c) 7x2 + 4 = 3 x 2 - 1 2

    NIV 2

    2108 Ls andragradsekvationerna

    a) x(x + 5) = 49 + 5x

    b) x(4 + 2x) = (x + 35) - 3(x2 - x)

    2109 Bilden visar grafen till funktionerna f{x) = x2 - 4 och g{x) = Ix2 - 8.

    a) Vilken graf hr t i l l vilken funktion?

    b) Frklara hur grafen t i l l / (x ) = x 2 - 4 kan anvndas fr att lsa ekvationen x 2 - 4 = 0.

    c) Varfr har funktionerna samma nollstl-len?

    2110 Bestm lngden av kateterna i triangeln.

    Ax

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 41

  • Imaginra tal

    >> /

    = > 2 n -4

    1- X s ]

    Ekvatione saknar reel

    i x 2 + 4 = 0 a lsningar.

    Ordboken Imaginr kommer av latinets

    imaginarius, som betyder overklig eller skenbar.

    K o m p l e x a tal

    Andragradsekvationer och komplexa tal I uppgift 2107 c) sttte du p en ekvation av typen x2 + 4 - 0 som kan skri-vas x2 = -A. Fram ti l l nu har vi sagt att den ekvationen saknar lsning, med motiveringen att kvadraten av ett tal alltid r positiv eller 0. Vad vi d mena r att kvadraten av ett reellt tal inte kan vara negativ. Men om vi infr ett tal i som har egenskapen i2 = - 1 , s kan vi ven lsa ekvationen x2 = -4. Vi lse ekvationen genom att frst skriva om hgerledet:

    _4 = 4 - ( - l ) = 2 2 '

    V i fr ekvationen

    x2 = (2i)2

    x = 2i

    ;2 - ( 2 0

    som ger

    Eftersom i2

    Dvs. x, = 2/ och x 7

    2i och x2 = -2i r Talet i kallas den imaginra enheten och rtterna xx exempel p imaginra tal.

    Imaginra enheten

    Den imaginra enheten r ett tal som betecknas i och vars kvadrat r - 1 , det vi l l sga i2 = - 1 .

    Ett komplext tal kan best av bde en reell del och en imaginr del. Ngra exempel p komplexa tal r 1 + 3/, A/3 - 2i och 5i. Talet 5i r ett exempel p vad som ofta kallas ett rent imaginrt tal. Allmnt kan ett komplext tal skri-vas a + bi, dr a och b r reella tal. Bde a och bi a + bi kan vara 0. Det inne br att t.ex. talet 15 r bde ett reellt och ett komplext tal.

    Komplexa ta l

    Mngden av komplexa tal betecknas C och bestr av alla tal som kan skrivas a + bi, dr a och b r reella tal och i r den imaginra enheten.

    Talmngder

    Ett naturligt tal r allts ocks ett reellt tal och alla tal r komplexa tal

    I kurs 1 beskrev vi de olika talmngderna. Til l de naturliga talen rknas de positiva heltalen och talet noll. Stegvis kan man utvidga de naturliga talen och slutligen med hjlp av den imaginra enheten i kan man infra de komplexa talen.

    mngden av naturliga tal N = {0,1,2, 3, . . .}

    mngden av hela tal Z = {. . . , -3 , -2 , -1,0, 1,2,...}

    mngden av rationella tal Q = {alla tal som kan skrivas d r p och q r hela tal och q * 0}

    mngden av reella tal R = {alla tal p tallinjen)

    mngden av komplexa tal C = {alla tal av formen a + bi dr a och b r reella tal)

    42 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • E x e m p e l :

    Lsning:

    Ls ekvationerna

    a) x2 = -25 b) 3x 2 + 243 = 0

    ^ = -25

    x2 = 25i2

    x = 5i

    Eftersom i2 = -1, s r -25 = 25/ 2

    Vilka tal i kvadrat r 25/2?

    Svar: x, = - 5 i och x 2 = 5i

    b) 3x2 + 243 - 0

    3 X 2 = -243

    x 2 = -81

    x 2 = 81i'2

    x = 9J

    Dividera bda led med 3

    Eftersom -81 = 81 (-1) = 81 i2

    Svar: xx - -9i och x 2 = 9i

    NIVA 1

    2111 Ange vilka av talen hr nedanfr som r

    a) reella b) rent imaginra

    A 45 B 14i C V6

    D 4 - 4 i E

    Ls ekvationerna

    2112 a) x2 = -49

    c) x2+ 16 = 0

    2113 a) Sx2=-72

    c) r2 + 17 = 0

    F -V5

    b) x2 = -\2\

    d) y2 = -25

    b) 2y2 + 72 = 0

    d) 3 5 2 + 81 = 0

    2114 Annalisa och Nina ska lsa andragradsekva-tionen x 2 + 10 = 0. Annalisa sger att ekvatio-nen saknar lsning, medan Nina sger att det visst gr att lsa den. Man kan sga att bda har rtt. Ge en frklaring p hur Annalisa och Nina kan ha resonerat.

    2115 Ange ett tal som r ett 0 a) rationellt tal, men inte ett heltal

    b) reellt tal, men inte ett rationellt tal

    c) komplext tal, men inte ett reellt tal

    N I V A 2

    2116 Ingrid har lst en andragradsekvation och ftt fram rtterna xx = 10/ och x 2 = lOi.

    Hon berttar detta fr Torun och undrar om hon kan lista ut hur ekvationen sg ut. Hjlp Torun att fresl en ekvation.

    2117 Frklara varfr man inte kan lsa ekvationen x2 + 1 = 0 grafiskt genom att rita grafen t i l l funktionen/(x) = x 2 + 1?

    2118 Hr visas tre grafer som man kan beskriva med ett uttryck av formen y x2 + c. Vrdet av konstanten c r olika fr de tre uttrycken som beskriver graferna. Ange lsningarna t i l l ekvationerna

    a) / (x) = 0 b) g(x) = 0 c) h(x) = 0

    \\ \ ' A V / /; W V hfk) 1

    Ml

    i H X \ >

    y = \ 4 -

    Tnk p att lsningarna

    kan vara antingen

    reella eller imaginra.

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 43

  • Faktorisering som lsningsmetod I ekvationerna x(x - 10) = 0 och (x - 3)(x + 8) = 0 r vnstra ledet si i faktorform. Med det menas att vnstra ledet r skrivet som en produkl tv eller flera faktorer. Fr x(x - 10) = 0 bestr vnstra ledet av faktorer och (x - 10), medan vnstra ledet i ekvationen ( x - 3)(x + 8) = 0 har de faktorerna ( x - 3) och (x + 8).

    Nr ena ledet str i faktorform och det andra ledet r 0, s kan man oft; direkt finna ekvationens lsningar. Fr att produkten ska vara 0, s kr^ att minst en av faktorerna r 0. Fr ekvationen x(x - 10) = 0 gller allts; antingen r x = 0 eller x - 10 = 0. Det ger att lsningarna ti l l ekvationer x, = 0 och x 2 = 10.

    E x e m p e l : Ls andragradsekvationerna

    a) (x + 2 4 ) ( x - 2 ) = 0 b ) x 2 + l l x = 0 c) 9x 2 = -15x

    Lsning: a) (x + 24)(x - 2) = 0

    Minst en av faktorerna x + 24 eller x - 2 mste vara 0, fr att produ ten ska bli 0.

    x, + 24 = 0

    X! = -24

    Svar: xx = -24; x 2 = 2

    b) x 2 + l l x = 0

    x ( x + 11) = 0

    x, = 0

    2 = 0

    Skriv VL i faktorform genom att bryta ut x.

    Minst en av faktorerna i VL mste vara 0, fr att produkten ska bli 0.

    x 2 + 11 = 0

    x 2 = -11

    Svar: x t = 0; x 2 = -11

    9x 2 = -15x

    9 x 2 + 1 5 x = 0 Samla termerna i VL.

    x(9x + 15) = 0 Faktorisera VL genom att bryta utx .

    Minst en av faktorerna x eller 9x + 15 mste vara 0.

    9x 2 +15 = 0

    9x 2 = -15

    x,

    X! = 0

    v 2 L5 9

    Svar: X! = 0; x 2 =

    44 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • E x e m p e l : Ange en andragradsekvation med rtterna x, = 5 och x 2 2.

    lsning: Vi skriver vnstra ledet i faktorform och lter HL = 0. Den ena faktorn ska vara 0 nr x 5. Det villkoret s tmmer fr faktorn x - 5. Den andra faktorn ska vara 0 nr x = 2 och det gller fr x - 2. Vi bildar en produkt av faktorerna i vnstra ledet och stter HL = 0.

    (x 5)(x 2) = 0 Ekvationen uppfyller kraven. Om man vill kan man utveckla VL, men ven denna form duger bra.

    Som kan skrivas

    x2 - 7x + 10 = 0 Ekvationen kan frsts frlngas med ett tal och fortfarande ge samma rtter, t.ex. 3x 2 - 21x + 30 = 0.

    Svar: T.ex. ( x - 5 ) ( x - 2 ) = 0 eller x2 - 7x + 10 = 0.

    N I V 1

    Ls ekvationerna

    2119 a) x ( x - 8 ) = 0

    b) x{x+ 13) = 0

    c) 2x(x-36) = 0

    2120 a) ( x - 1 2 ) ( x - 4 ) = 0

    b) ( x -10 ) (x + 6) = 0

    c) ( 3 x - 9 ) ( 5 - 2 x ) = 0

    2121 a) x2 + 8x = 0

    b) x 2 - 2 1 x = 0

    c) x 2 + x = 0

    2122 Vilken graf ger lsningen t i l l vilken ekvation?

    \ \A 1 C \ \ / \ / \ A x

    \ l /

    y

    a) T - 4 = 0 4

    b) x 2 + 4x = 0

    c) x 2 - 4 x = 0

    2123 Ls ekvationerna

    a) 3X2 - 1 2 * = 0 b) Ax2 = 2x

    c) 12x2 + 4x = 0

    NIV 2

    2124 Ange en andragradsekvation med rtterna

    a) x, = 0 och x 2 = 9

    b) X ] = 0 och x 2 = -5

    c) X , = 2 och x 2 = -3

    2125 Efter att ha seglat p grund skickar Eva och Svante upp en ndraket. Raketens bana beskrivs av h(t) - 25^-5^ , dr h(t) r hjden i meter ver vattnet och t r tiden i sekunder efter det att de skickat ivg raketen. Efter hur lng t id slr raketen ner i vattnet?

    212G Frklara varfr ekvationen x 2 - 6x = 0 enkelt gr att lsa genom att faktorisera vnstra ledet, medan det r svrare att lsa ekvatio-nen x 2 - 6x = 1 p samma stt.

    2127 Vilka tal a och b gr att ekvationen {ax + 2)(bx - 5) = 0 har lsningarna x, = 1 och x 2 = 5?

    2128 Konstruera en andragradsekvation med

    rtterna xl = 0 och x 2 = - , som r skriven i

    formen ax2 + bx = 0, dr a och b r heltal.

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 45

  • Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna Ekvationen ( x - 6) 2 = 16 kan vi lsa ungefr p samma stt som ekvationer x 2 = 16. VL r ett uttryck i kvadrat. Vi sker de tal vars kvadrat r lika med 16. V i vet att 4 2 = 16 och ( -4) 2 =16. Frst drar vi drfr slutsatsen att om (x - 6) 2 = 16, s mste antingen x - 6 = 4 eller x - 6 = -4. Vi fr d att x - 6 = 4 ger att den ena roten r x = 10 och x - 6 = -4 ger att den andra roten r x = 2.

    Anledningen t i l l att vi kunde lsa ekvationen (x - 6) 2 = 16 p detta stt var att VL var skrivet som en kvadrat. Om vi vil l lsa ekvationen x 2 - lOx + 25 = 9 algebraiskt, s kan vi gra p ett liknande stt om vi frst skriver om VL med hjlp av andra kvadreringregeln. Eftersom

    x 2 - lOx + 25 = (x - 5) 2 Andra kvadreringsregeln

    kan vi skriva om x 2 - lOx + 25 = 9, s att ekvationen fr formen

    ( x - 5 ) 2 = 9

    Den hr r en ekvation av samma typ som vi lste hr ovanfr.

    x - 5 = 3

    x, = 5 - 3 = 2 och x 2 5 + 3 = 7

    E x e m p e l : Ls andragradsekvationerna

    a) ( x - 5 ) 2 = 1 0 0 b) x 2 + 1 8 x + 8 1 =64

    Lsning a) ( x - 5 ) 2 = 100 Sk tal vars kvadrat r 100

    x - 5 = 10 Bde 10 och -10 uppfyller kravet

    x = 5 10

    V i fr tv lsningar

    xx = 5 + 10 = 15 och x 2 = 5 - 10 = -5

    Svar: xx = 15; x 2 = -5

    b) x 2 + 18x + 81 =64 VL gr att faktorisera med hjlp av 1:a kvadreringsregeln

    (x + 9) 2 = 64 Nu r ekvationen av samma form som i frra exemplet

    x + 9 = 8

    x = 9 8 Vi fr tv lsningar

    x, = -9 + 8 = - 1 och x 2 = - 9 - 8 = -17

    Svar: X j = 1; x^ = 17

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • E x e m p e l :

    Lsning:

    Ls andragradsekvationen Ix1 + Ax + 2 = 0

    Ix2 + Ax + 2 = 0

    2(x 2 + 2x+ 1) = 0

    x 2 + 2x + 1 = 0

    ( x + 1) 2 = 0

    x + 1 = 0

    x = - l

    Svar: x = - 1

    Bryt ut 2 och dela sedan bda led med 2

    Faktorisera med hjlp av frsta kvadreringsregeln

    Ekvationen har endast en lsning

    NIV 1 r

    Ls andragradsekvationerna

    2129 a) ( x - 3 ) 2 = 1 6 b) (x + 2) 2 = 49

    c) ( x - 2 ) 2 = l

    2130 a) ( x - 2 ) 2 + 3 = 12 b) (x + 3 ) 2 - 3 0 = 6

    c) (6 - 2x) 2 - 144 = 0

    2131 a) ( x - l ) 2 = 0 b) (2x + 3) 2 = 0

    c) ( x - 4 ) 2 - 1 2 = 13

    2132 Miranda och Jennica diskuterar andragrads-ekvationer. Miranda sger att hon tycker att man kan lsa ekvationen (x - 3) 2 = 36 unge-fr p samma stt som man lser x 2 = 36. Jennica blir nyfiken och undrar hur Miranda tnker. Hur kan Miranda ha tnkt nr hon sa p det viset?

    2133 Augin och Ferit arbetar med andragradsekva-tioner. Augin sger att han tycker att ekvatio-nen x 2 + 14x + 49 = 25 egentligen r samma ekvation som (x + 7) 2 = 25. Ferit undrar hur det kan komma sig. Hjlp Augin att frklara detta fr Ferit.

    NIV 2

    2134 Vilket tal ska adderas t i l l bda leden fr att vnstra ledet ska g att faktorisera med hjlp av kvadreringsreglerna?

    a) x 2 + 4x = 12 b) x 2 - 18x = 19

    c) x 2 - 2 x = -4 d ) x 2 + x = 2

    2135 Ls ekvationerna genom att faktorisera vnst-ra ledet med hjlp av kvadreringsreglerna.

    a ) x 2 - 2 x + l = 0 b) x 2 + 8 x + 16 = 1

    c) x 2 - 6x + 9 = 25

    2136 En del andragradsekvationer kan lsas genom faktorisering med hjlp av konjugatregeln.

    a) Faktorisera ekvationen x 2 - 16 = 0 med hjlp av konjugatregeln.

    b) Vilka r ekvationens rtter?

    c) Visa hur man kan lsa ekvationen (x + 1 ) 2 - 9 = 0 med hjlp av konjugatre-geln.

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 47

  • Kvadratkomplettering

    1. Vi vill lsa ekvationen x 2 + Gx = 352

    2. Vi omfrdelar figurens yta.

    3. Om vi lgger till en liten kvadrat med arean 9 m 2 , s bildas en stor kvadrat med sidan (x + 3) m.

    Kvadratkomplettering Ett exempel p en fullstndig andragradsekvation r x 2 - 6x + 8 = 0. En full-stndig andragradsekvation innehller allts en x 2-term, en x-term och en konstantterm. I frra avsnittet arbetade vi med andragradsekvationer dr ena ledet kunde skrivas som en kvadrat med hjlp av kvadreringsreglerna.1

    ska nu se hur man kan skriva om och lsa ekvationer, som til l exempel x 2 - 6x + 8 = 0, dr ett av leden inte omedelbart kan skrivas som en kvadrai

    Lekparkens fotbollsplan har en lngd som r 6 meter strre n bredden. Planens area r 352 m 2 . Vilka mtt har fotbollsplanen?

    Vi antar att bredden r x m. Lngden blir d (x + 6) m. Vi fr ekvationen fr arean x(x + 6) = 352, som kan skrivas x 2 + 6x = 352.

    Fr att lsa ekvationen x 2 + 6x = 352 behver vi skriva om ekvationen s att vnstra ledet blir ett uttryck i kvadrat. Det kallas kvadratkomplettering.

    (x + 3) 2 = x 2 + Bx + 9

    x + 6

    Uttrycket x 2 + 6x + 9 kan skrivas om ti l l (x + 3) 2 med l:a kvadreringsregeln Drfr adderar vi 9 t i l l bda led i ekvationen x 2 + 6x = 352 och fr

    Frenkla HL

    Utnyttja att (x + 3) 2 x 2 + 6x + 9

    Nu har ekvationen formen (x med knda metoder.

    b och vi kan lsa den

    x 2 + 6x + 9 = 352 + 9

    x 2 + 6x + 9 = 361

    ( x + 3 ) 2 = 361

    x + 3 = V36T

    x + 3 = 19

    Vi fr tv lsningar

    x = 3 + 19 = 16 och x = 3 19 = 22 Den negativa lsningen r inte intres-sant eftersom en strcka alltid r positiv

    Bredden r 16 m och lngden 16 m + 6 m = 22 m. Planens mtt r allts 22 x 16 m.

    Det hr sttet att skriva om vnsterledet t i l l en kvadrat, kan man visa med hjlp av figurerna hr nedanfr. Namnet kvadratkomplettering kommer av at man kompletterar ekvationens bda led med en kvadrat. I vrt fall en kvadrat med arean 3 2 m 2 , som motsvarar additionen med 9 i lsningen hr ovanfr.

    3 3 x 3

    2. 3.

    x + 3 3 x x 2 6 x X X 2 3 x 3 x X X

    2 3 x

    x + 3

    48 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2.1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • Exempel:

    lsning:

    Ls andragradsekvationerna

    a) x2 + 12x = 13

    a) x2 + I2x= 13

    b) x2 - 8x + 10 = 0

    Om VL skrivs x 2 + 12x + 36, s kan det skrivas som en kvadrat.

    Adderar 36 till bda leden

    x 2 + 12x + 36 = (x + 6 ) 2

    - 6 - 7

    x2+ 12x+36 = 13 + 36

    (x + 6) 2 = 49

    x + 6 = V49

    x + 6 = 7

    x = - 6 7

    x, = -6 + 7 = 1 och x 2

    Svar: X ! = 1; x 2 = -13

    b) x 2 - 8 x + 10 = 0

    x 2 - 8 x = -10

    x 2 - 8 x + 16 = - 1 0 + 16

    (x-4)2 = 6

    x - 4 = +V6

    x = 4 VfJ

    x, = 4 + VfJ och x 2 = 4 - V6

    Svar: X[ = 4 + V; x 2 = 4 V Svaren r i exakt form

    -13

    Vi subtraherar 10 frn bda led

    Addera 16 till bda led

    x 2 - 8x + 16 kan skrivas om till (x - 4 ) 2

    \/6 r i exakt form

    2137 Vilket tal ska st i rutan fr att uttrycket ska g att faktorisera med hjlp av kvadrerings-reglerna?

    a) x 2 + 14x +

    b) x 2 - 18x + G c) x 2 - x + D

    2138 Ingo lser en andragradsekvation och anvn-der sig av kvadratkomplettering. Han har kommit fram t i l l att (x - 11)2 = 144. Hjlp Ingo att fullflja lsningen.

    2139 Ekvationslsningarna med kvadratkomplet-tering r pbrjade. Fyll i talen som saknas i rutorna och slutfr sedan lsningarna.

    a) x2 + 4 x = 12 x2 + 4x + D = 1 2 + D ( x + 2 ) 2 = n x + 2 = n

    b) x2 - 6x + 5 = 0 x2 - 6x = -5 x 2 - 6 x + D = -5 + D (x-D) 2 = D x - D = D

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 49

  • 2140 Ls ekvationerna

    a) x 2 + 8 x - 9 = 0 b) x 2 - l O x - 11 = 0

    c) 72 + 5y + 4 = 0 d) 72 -77+ 12 = 0

    2141 Arean av det gula omrdet i figuren r 2 704 m 2 . Ekvationen x 2 + 24x = 2 704 kan anvndas fr att bestmma det oknda vrdet x i figuren.

    12 (m)

    x 12

    a) Vilken area har den vita kvadraten som passar i det vre hgra hrnet?

    b) Vilken blir den nya ekvationen, nr man adderat den vita kvadraten t i l l den gula figuren?

    c) Hur kan VL i den nya ekvationen skrivas om med hjlp av kvadreringsregeln?

    d) Ls ekvationen.

    NIV 2

    2142 Tv p varandra fljande jmna positiva heltal har produkten k(k + 2). Vilka r heltalen om produkten r 168?

    2143 Ls ekvationerna. Svara exakt.

    a) x 2 - 12x + 8 = 0

    b) 2 X 2 - 8x + 10 = 0

    c) 5 X 2 - 10x= 15

    2144 Ls ekvationen

    2 X 2 + 7x + 5 = x(x + 3) + 17

    2145 Bestm triangelns sidor. (cm)

    2146 Ett papper av formatet A5 har formen av en rektangel dr ena sidan r 62 mm lngre n den andra. Arean r 31 250 mm 2 . Vilka mt har ett A5?

    2147 Bosse och Helena lser ekvationen x 2 + 12x+3 = 0 med hjlp av kvadratkom-plettering. Bosse inleder med att subtrahera frn bda led, medan Helena inleder med al addera 33 t i l l bda led. Frklara hur Bosse och Helena kan ha tnkt nr de inleder sina lsningar p dessa olika stt.

    N I V 3

    2148 Lt x - 1, x och x + 1 vara tre positiva heltal Produkten av dem r fem gnger s stor sor, deras summa. Vilka r de tre talen?

    2149 Bestm triangelns area. (cm)

    y + 1 0 / W + 12

    Resonemang och begrepp

    O r 4i ett imaginrt eller ett komplext tal?

    Q Vad r skillnaden mellan ett reellt tal och ett komplext tal och vad som r skillnaden mellan ett rent imaginrt tal och ett komplext tal.

    O Varfr kan uttrycket x2 + ix + 1 faktoriseras med kvadreringsregeln, men inte uttrycket x2 - 2 X - 1?

    O Frklara bakgrunden till namnet p metoden kvadratkomplettering.

    O Ekvationen x 2 + 8x = 153 gr bra att lsa med hjlp av modellen med kvadrater p sidan 48. Varfr r x2 - 8x = 153 svrare att lsa med samma modell?

    50 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 8 2 . 1 E N K L A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • 2 . 2 F u l l s t n d i g a a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r

    Halva koefficienten framfr x med ombytt tecken

    Roten ur halva koefficienten framfr x i kvadrat minus

    konstanttermen _ J

    pq-formeln En vanlig metod fr att lsa andragradsekvationer r att anvnda den s kalla-de pq-formeln. Med hjlp av formeln kan vi lsa alla andragradsekvationer. Men pq-formeln r bara en av flera metoder fr att lsa andragradsekvationer. Det r viktigt att man skapar en frstelse fr olika lsningsmetoder, s att man kan vlja den metod som passar bst fr uppgiften.

    pq-formeln

    En andragradsekvation av formen x2 + px + q - 0 har lsningarna

    | j 2 - g och * 2 = ~ ^ - -q

    Ekvationen x2 + lOx - 11 = 0 har allts lsningarna

    irj l / i o \ 2 + 11 = - 5 V52+ 11 = -5 V36 = -5 6 11. Rtterna r drmed x, = -5 + 6 = 1 och x2 = -5 - 6

    Hrledning av pq-formeln V i hrleder formeln med hjlp av kvadratkomplettering. Som jmfrelse lser vi ven ekvationen x2 + 3x + 1 = 0 med kvadratkomplettering.

    x2 + 3x + 1 = 0

    x2 + 3x = - 1

    (3 \ 2 / 3 \ 2 x2 + 3x + - 1

    * + r

    2l

    x2 + px + q = 0

    x2 + px = -q

    x2+px+ j | \ 2

    2

    2

    P^2

    p\2 2

    Subtrahera med konstant-termen i bda leden

    Addera med |^ J2 s

    att VL blir en kvadrat

    q Skriv om VL med kvadreringsregeln

    Ls ut x ur uttrycket

    Vi har visat att pq-formeln gller

    Fr att pq-formeln ska kunna anvndas, mste ekvationen ha formen x2 + px + q 0. Koefficienten framfr x2 ska allts vara 1 och HL = 0. Ekva-tioner som inte r av den formen mste frst skrivas om innan man kan anvnda pq-formeln. Till exempel gr formeln att anvnda direkt p ekvatio-nen x2 - 6,5x- 75 - 0. Ekvationen 2x 2 = 3x + 6 mste dremot skrivas om.

    A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R 51

  • E x e m p e l :

    lsning:

    Ls ekvationerna

    a) x 2 - 8 x + 7 = 0 b) x2 + 3x + 2 = 0

    Vi lser ekvationerna med pq-formeln

    a) x2 - 8x + 7 = 0 Jmfr med x 2 + px + q = 0

    Halva koefficienten framfr Roten ur halva koefficienten framfr x med ombytt tecken x i kvadrat minus konstanttermen

    x = 4 V42 - 7

    x = 4 V9

    x = 4 3

    Svar: Xj = 7; x 2 = 1

    b) x2 + 3x + 2 = 0

    V4 2 - 7 = V I L W = V9

    Vi fr tv rtter

    4 + 3 = 7 och x 2 = 4 - 3 = 1

    i i Halva koefficienten framfr Roten ur halva koefficienten framfr

    x med ombytt tecken x i kvadrat minus konstanttermen

    2 U

    3 + 1

    2 2 3 1

    4 4 4 4

    = - 1 och Xo= = 2 2 2

    Svar: x. - l ; x 2

    E x e m p e l :

    Lsning.-

    Ls ekvationen 2x 2 + 40x :

    2 X 2 + 40x = 88

    2 X 2 + 40x - 88 = 0

    x 2 + 20x-44 = 0

    x = - 1 0 V l 0 2 + 44

    x = -10 A[144

    Subtrahera bda led med 88

    Dividera bda leden med 2 s att pq-formeln kan anvndas

    Anvnd pq-formeln

    20 ,f/20\2 T f y + 4 4

    X ! = -10 +12 = 2 och x 2

    144 = 12

    10-12 -22

    Svar: xx = 2; x 2 = -22

    52 A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R O 2 . 2 F U L L S T N D I G A A N D R A G R A D S E K V A T I O N E R

  • E x e m p e l : Fatima tvlar i spjutkastning. Kastets hjd beskrivs av h(t) = -3f2 + 9r + 1,8 dr h(t) r hjden i meter och t r tiden i sekunder frn utkastet. Hur lnge befinner sig spjutet i luffen?

    lsning: Nr spjutet landar r h = 0. V i behver allts lsa ekvationen h(t) - 0.

    3 r + 9t+ 1,8 = 0 Dividera bda leden med -3, s att pq-formeln kan anvndas

    -3t2