Matematika 1 Beamer CH 01

Matematika 1

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 27. rujna 2013. 1 / 55

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnozenje vektora brojem

2 Razlaganje vektora

3 Vektori u geometrijiVektori i tockePravac AB i duzina ABRavnina ABC i trokut 4ABC

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 27. rujna 2013. 2 / 55

Vektorska algebra Vektori-uvod

Skalarna velicina-velicina odredena iznosom.-npr. skalarne velicine su masa, temperatura,. . .

Vektorska velicina-velicina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske velicine su pomak, brzina,sila. . .

Sa slike desno zakljucujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|a | = |c | ali a 6= c jer suim smjerovi razliciti.

~a ~b

~c


Vektorska algebra Vektori-uvod

Zadatak 1.

Koje su od sjedecih tvrdnjiistinite:

(1) a i ~d imaju isti smjer(2) |a |> |e |(3) |b |= |c |(4) e =~d

~a

~b

~c

~d

~e


Vektorska algebra Zbrajanje vektora

Zbrajanje vektora

~a+~b

~a

~b



Zbrajanje vektora je asocijativno:

(a +b )+c =a +(b +c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c




a +b +c = (a +b )+c

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~a +~b




a +b +c =a +(b +c )

~a+~b+

~c

~a

~b

~c

~ b+~c



Zbrajanje vektora je komutativno:

a +b =b +a

~a +~b

~a

~b~b

~a


Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

Suprotni vektor

~a

~a

|a |= |a | ali su to vektori suprotnog smjeraa b :=a +(b )



Nul-vektor

Zbroj vektora i njemu suprotnog vektora je nul-vektor, u oznaci0 .

a +(a ) =0



Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora je definirano na sljedeci nacin:

a b :=a +(b )

~a~b

~a

~b~b

~a



PRAVILO PARALELOGRAMA

~a~b

~a+~b

~a

~b



Zadatak 2.

(a)

~a

~b(b)

~a

~b

Precrtajte vektore i skicirajte vektore:(i) a +b (ii) a b (iii) b a



Rjesenje:(a)

(i)

~a

~b~b

~a +~b

(ii)

~a

~b ~a~b



(iii)

~a

~b

~b~a



(b)(i)



(ii)~a

~b

~b

~a ~b(iii)

~a

~b

~b

~b~a



Zadatak 3.

~a

~b

~c Precrtajte vektore i skicirajtevektore:(i) a +b(ii) a +b c(iii) a b c


Vektorska algebra Mnozenje vektora brojem

Mnozenje vektora brojem

~a

k~a

k > 0

k < 0

k~a

|ka |= |k ||a |



Mnozenje vektora brojem

Vektori a i ka su kolinearni.Npr.

~a

3~a

12~a2~a~a



Distributivnost

Distributivnost: k(a +b ) = ka +kb

~a k~a

~b

k~b

~a+~b

k(~a+

~b)



Zadatak 4.

Zadan je vektor a na slici.Skicirajte vektore

2a , 3a , 0.5a , 1.2a ~a



Zadatak 5.

Zadani su vektori a i b na slici.Skicirajte vektore

2a 3b ,12a +b ,

a 32b .

~a

~b


Razlaganje vektora

Razlaganje vektora

Ako razlozimo vektor c sa slike pomocu vektora a i b

~c0.7~b

~b

~a 1.5~a

onda je c = 0.7a +1.5b .


Razlaganje vektora

Opcenito c = t1a + t2b

t1, t2 su realni brojevi.

Primjer 1.

Razlozite vektor c sa slikepomocu vektora a i b

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

Rjesenje :

~a

~b

~c2~b

0.8~a

c = 0.8a 2b .


Razlaganje vektora

Zadatak 6.

Zadani su vektori a , b i c . Razlozite vektor c u smjeru vektoraa i b (otprilike sa slike napravite razlaganje):(a)

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

(b)

~a

~b

~c(c)

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

(c)

~a

~b

~c


Razlaganje vektora

Primjer 2.Srednjica je 1/2 osnovice i s njom je paralelna.


Razlaganje vektora

Vektorski dokaz :

~a ~b

~a~b

12~a 1

2~b

12~a 1

2~b

12a 12

b = 12(

a b ).


Razlaganje vektora

Primjer 3.Polovista stranica bilo kojeg cetverokuta cine paralelogram.


Vektori u geometriji Vektori i tocke

Vektori i tocke

A

B

AB



Vektori i tocke

A

B

C

D

AB+

BC+

CD =

AD



Vektori i tocke

A

B

C

D

E

AB+

BC+

CD+

DE +

EA=

=AA=

0 (nulvektor)



Radijvektori s ishodistem O

A

B

C

OrA = OArB = OB

rC = OC



Radijvektori s ishodistem O

Bilo koji vektorAB moze se izraziti preko radijvektora:

O

B

A

OB =

OA+

AB

AB =OBOAAB =rB rA



Zadatak 7.

Zadane su tocke A, B, C, D.Ucrtaj radijvektore rA , rB ,rC , rD . Pomocu njih izrazi vek-tore(a)AB,

BA,

AC,

BC,

CD

(b) 2ABCD, 12

BC+ 13

AB

BC+

CD,

AB+

BC+

CA.

A

B

C

D

O



Rjesenje :

A

B

C

D

O

rA

rBrC

rD



(a)

AB =rB rABA=rA rBAC =rC rABC =rC rBCD =rD rC



(b)

2ABCD = 2(rB rA) (rD rC)

= 2rB 2rA rD +rC

12BC+

13AB =

12(rC rB )+ 13(

rB rA)

=12rC 16

rB 13rA

BC+

CD =rC rB +rD rC

=rD rB =

BD

AB+

BC+

CA=rB rA +rC rB +rA rC =

0



(b)

2ABCD = 2(rB rA) (rD rC)

= 2rB 2rA rD +rC12BC+

13AB =

12(rC rB )+ 13(

rB rA)

=12rC 16

rB 13rA

BC+

CD =rC rB +rD rC

=rD rB =

BD

AB+

BC+

CA=rB rA +rC rB +rA rC =

0


Vektori u geometriji Pravac AB i duzina AB

Pravac AB i duzina AB

O

A

B

0

Documents

Matematika 1 Beamer CH 01