Matematika 1 - FSB Online · Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 22. animation by animate[2012/05/24]

Matematika 1

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 22

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 DerivacijaDerivacija-uvodPrvi pristup derivaciji: Trenutna brzinaDrugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcijeUkratko o limesima∗

Diferencijal


Derivacija Derivacija-uvod

Derivacija-uvod

Brzina:

vrijeme(s) · · ·x · · ·x + ∆x · · ·put(m) · · ·y(x) · · ·y(x + ∆x) · · ·

Prosjecna brzina u vremenskom intervalu ∆x (tj. od x do x + ∆x):

putvrijeme

=∆y∆x

=y(x + ∆x)−y(x)

∆x

Trenutna brzina u trenutku x :

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

y(x + ∆x)−y(x)

∆x



Primjer 1.Oznacimo s y =predeni put(m), x =proteklo vrijeme(s). Neka je vezazadana s y = x2 + 1 :

x 0 1 2 3 4 · · ·y 1 2 5 10 17 · · ·

Izracunajmo prosjecnu brzinu gibanja u vremenskom intervalu:

(a) 2 do 3, (b) 2 do 2.1, (c) 2 do 2.01



Rjesenje.

(a)∆y∆x

=10−53−2

=51

= 5 [m/s]

(b) x = 2,x + ∆x = 2.1⇒∆x = 0.1

∆y = y(2 + ∆x)−y(2) = 2.12 + 1− (22 + 1) = 0.41∆y∆x

=0.410.1

= 4.1 [m/s]

(c)∆y∆x

=y(2.01)−y(2)

2.01−2

=2.012 + 1− (22 + 1)

0.01=

4.0401−40.01

= 4.01 [m/s]



Primjer 2.Za gibanje iz Primjera 1. izracunajmo trenutnu brzinu u trenutku:(a) x , (b) x = 2

Rjesenje.

(a)∆y∆x

=y(x + ∆x)−y(x)

∆x

=(x + ∆x)2 + 1− (x2 + 1)

∆x=

2x∆x + (∆x)2

∆x= 2x + ∆x =⇒

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

(2x + ∆x) = 2x[m

s

](b) x = 2 =⇒ trenutna brzina je 2 ·2 = 4

[ms

]


Derivacija Prvi pristup derivaciji: Trenutna brzina

TRENUTNA BRZINA GIBANJA

TRENUTNA BRZINA GIBANJA :

y = f (x), x=vrijeme, y=put, U TRENUTKU x JE

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x

Npr. za y = x3

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

(x + ∆x)3−x3

∆x

= lim∆x→0

x3 + 3x2∆x + 3x (∆x)2 + (∆x)3−x3

∆x= lim

∆x→0(3x2 + 3x∆x + (∆x)2) = 3x2


Derivacija Prvi pristup derivaciji: Trenutna brzina

TRENUTNA BRZINA GIBANJA

TRENUTNA BRZINA GIBANJA :

y = f (x), x=vrijeme, y=put, U TRENUTKU x JE

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x

Npr. za y = x3

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

(x + ∆x)3−x3

∆x

= lim∆x→0

x3 + 3x2∆x + 3x (∆x)2 + (∆x)3−x3

∆x= lim

∆x→0(3x2 + 3x∆x + (∆x)2) = 3x2


Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije

NAGIB GRAFA FUNKCIJE



NAGIB GRAFA FUNKCIJE

NAGIB SEKANTE s

∆y∆x

= PROSJECNI NAGIB GRAFA IZMEDU x0 i x0 + ∆x

NAGIB GRAFA U TOCKI

TANGENTNI NAGIB GRAFA y = f (x) U TOCKI (x0, f (x0)) JE

lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x



Primjer 3.

Izracunajmo prosjecan nagib grafa y = x2 od tocke (1,1) do tocke(1.5,2.25)

Primjer 4.

Izracunajmo nagib grafa y = x2 u:(a) (x ,x2), (b) (2,4).



Primjer 3.

Izracunajmo prosjecan nagib grafa y = x2 od tocke (1,1) do tocke(1.5,2.25)

Primjer 4.

Izracunajmo nagib grafa y = x2 u:(a) (x ,x2), (b) (2,4).



DERIVACIJA

Derivacija funkcije y = f (x) u tocki x je

y ′ =dydx

:= lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x

ALTERNATIVNE OZNAKE:

f ′(x) ilidfdx

Trenutna brzina gibanja, nagib grafa u tocki, ... su derivacije!



DERIVACIJA


y ′ =dydx

:= lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x


f ′(x) ilidfdx




DERIVACIJA


y ′ =dydx

:= lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x


f ′(x) ilidfdx




Pravila deriviranja

(1)d(cf )

dx= c

dfdx

, c = konstanta

(2)ddx

(f ±g) =dfdx± dg

dx

(3)ddx

(fg) =dfdx

g +dgdx

f

(4)ddx

(fg

)=

dfdx g− dg

dx fg2



Tablica derivacija

c′ = 0 (c ∈ R) (xa)′ = axa−1 (a ∈ R, x > 0)

(sin x)′ = cos x (arcsin x)′ =1√

1−x2

(cos x)′ =−sin x (arccos x)′ =−1√1−x2

(tg x)′ =1

cos2 x(arctg x)′ =

11 + x2

(ctg x)′ =− 1sin2 x

(arcctg x)′ =−1

1 + x2

(ex )′ = ex (ln x)′ =1x

(ax )′ = ax ln a (loga x)′ =1

x ln a


Derivacija Ukratko o limesima∗

Ukratko o limesima∗

limx→x0

y(x) = a

ZNACI DA SE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE y(x) SVE VISEPRIBLIZAVAJU BROJU a, KADA SE x PRIBLIZAVA BROJU x0.



y

x

y = f(x)

1

1

1.7

limx→1

f (x) ne postoji



y

x

y = f(x)

1

1

1.7

limx→1

f (x) ne postoji

limx→1−

f (x) = 1



y

x

y = f(x)

1

1

1.7

limx→1

f (x) ne postoji

limx→1+

f (x) = 1.7



y

x

y = f(x)

1

3

14

limx→ 1

4

f (x) = 3

limx→1

f (x) ne postoji



NEPREKINUTOST

y = f (x) je neprekinuta u x0 ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).

Sve ostale situacije znace prekid u tocki x0.

Sve elementarne funkcije su neprekinute tamo gdje su definirane!

Primjer 1.

limx→2

x2−1x−1

=22−12−1

= 3



NEPREKINUTOST


limx→x0

f (x) = f (x0).



Primjer 1.

limx→2

x2−1x−1

=22−12−1

= 3



NEPREKINUTOST


limx→x0

f (x) = f (x0).



Primjer 1.

limx→2

x2−1x−1

=22−12−1

= 3



Pravilo zamjene

Ako je f (x) = g(x) osim mozda u x0, onda je

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x)

Primjer.

limx→1

x2−1x−1

=

(00

)= lim

x→1

(��x−1)(x + 1)

��x−1= lim

x→1(x + 1) = 2



Pravilo zamjene

Ako je f (x) = g(x) osim mozda u x0, onda je

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x)

Primjer.

limx→1

x2−1x−1

=

(00

)= lim

x→1

(��x−1)(x + 1)

��x−1= lim

x→1(x + 1) = 2


Derivacija Diferencijal

DIFERENCIJAL

y

x

y = f(x)

∆x

x0

y0

x0 + ∆x

∆ydy

∆y∆x≈ dy

dx⇒

∆y ≈ dydx

∆x = f ′(x0)∆x

DIFERENCIJAL : dy := f ′(x0)∆x

y(x0 + ∆x)−y(x0)≈ dy ⇒y(x0 + ∆x)≈ y(x0) + dy

y(x0 + ∆x)≈ y(x0) + f ′(x0)∆x



Primjer.

Neka je y =√

x . Izracunati diferencijal dy(a) u tocki x , (b) u tocki 1, (c) u tocki 4.

Rjesenje.

y

x1 1 + ∆x

1

∆x2

∆x4

4 4 + ∆x

2 (a) dy =∆x2√

x

(b) dy =∆x2

(c) dy =∆x4



Primjer.

Neka je y =√

x . Izracunati diferencijal dy(a) u tocki x , (b) u tocki 1, (c) u tocki 4.

Rjesenje.

y

x1 1 + ∆x

1

∆x2

∆x4

4 4 + ∆x

2 (a) dy =∆x2√

x

(b) dy =∆x2

(c) dy =∆x4



Primjer.

Koristeci se diferencijalom od y =√

x priblizno izracunajte√

4.1,√

3.9.

Rjesenje.

y

xx x + ∆x

√x

√x + ∆x dy = ∆x

2√x



Primjer.

Koristeci se diferencijalom od y =√

x priblizno izracunajte√

4.1,√

3.9.

Rjesenje.

y

xx x + ∆x

√x

√x + ∆x dy = ∆x

2√x



Rjesenje.

y(x0 + ∆x)≈ y(x0) + y ′(x0)∆x

√4.1 =

√4 + 0.1

≈√

4 +0.12√

4= 2.025

√3.9 =

√4 + (−0.1)

≈√

4− 0.12√

4= 1.975


Documents

Matematika 1 - FSB Online · Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 22. animation by animate[2012/05/24]