Matematika 1 - FSB Online · Realne funkcije Primjeri funkcija. Zadatak 3. Matematicki zapiˇ site pravilo koje svakom brojuˇ x pridruzuje brojˇ x. 2. x: Zadatak 4. Matematicki

Matematika 1

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 22

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Realne funkcijeRealne funkcijeOznake za neka podrucja realnih brojevaPrimjeri funkcijaOperacije s funkcijamaKompozicija funkcijaInvertiranje funkcije


Realne funkcije Realne funkcije

REALNE FUNKCIJE

Provizorna definicija:Realna funkcija je pravilo koje svakom realnom broju (iz odredeneskupine realnih brojeva tj. domene) pridruzuje tocno jedan realni broj.

x f7−→ y za x ∈ D ⊆ R

x−−−argumentf −−−praviloy −−−vrijednostD−−−domena ili podrucje definicije


Realne funkcije Oznake za neka podrucja realnih brojeva

Oznake za neka podrucja realnih brojeva

−3.5 5

OZNAKE: [−3.5,5] ili −3.5≤ x ≤ 5




−2 1.5

OZNAKE: (−2,1.5] ili −2 < x ≤ 1.5




−1

OZNAKE: (−∞,−1) ili −∞ < x <−1




−1 1 4

OZNAKE: [−1,1)∪ [4,∞) tj. −1≤ x < 1 ili 4≤ x < ∞



Zadatak 1.Oznaciti sljedece intervale uobicajenim oznakama:

1 5

2.5

−5.6



Zadatak 2.Skicirati na brojevnom pravcu sljedece intervale:

(a) (−3,0] (b) [−1,5.5](c) (−∞,−5] (d) (−2.3,∞)

(e) −3.2≤ x ≤ 5/2 (f ) x ≤ 3


Realne funkcije Primjeri funkcija

Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridruzuje njegov kvadrat

MATEMATICKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2

Mogli smo odabrati i druga imena pa bismo dobili npr.:

s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime pravila npr. f

=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija

(1) Pravilo koje svakom broju pridruzuje njegov kvadratMATEMATICKI ZAPIS:-odaberimo ime argumenta npr. x-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2


s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .


=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija


=⇒ y = x2


s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .


=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija


=⇒ y = x2


s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .


=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija


=⇒ y = x2


s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .


=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija


=⇒ y = x2


s = t2 , u = v2 , z = y2 . . .


=⇒ f (x) = x2



Primjeri funkcija

(2) Pravilo koje svakom broju y pridruzuje broj y3+5y2+1

MATEMATICKI ZAPIS:- ime argumenta je vec odabrano (y)-odaberimo ime vrijednosti npr. z

=⇒ z =y3 +5y2 +1

ALTERNATIVNO:-odaberimo ime pravila npr. α

=⇒ α(y) =y3 +5y2 +1



Primjeri funkcija



=⇒ z =y3 +5y2 +1


=⇒ α(y) =y3 +5y2 +1



Primjeri funkcija



=⇒ z =y3 +5y2 +1


=⇒ α(y) =y3 +5y2 +1



Primjeri funkcija



=⇒ z =y3 +5y2 +1


=⇒ α(y) =y3 +5y2 +1



Primjeri funkcija



=⇒ z =y3 +5y2 +1


=⇒ α(y) =y3 +5y2 +1



Zadatak 3.

Matematicki zapisite pravilo koje svakom broju x pridruzuje broj x2−x .

Zadatak 4.Matematicki zapisite pravilo koje svakom broju pridruzuje broj uvecanza 10.

Zadatak 5.Matematicki zapisite pravilo koje svakom broju iz intervala [−2,1]pridruzuje nulu.

Zadatak 6.Matematicki zapisite pravilo koje svakom prirodnom broju pridruzujesljedeci prirodan broj.



Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridruzuje njegov kvadrat.

MATEMATICKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1

, za c 6=±1

Ovdje podrazumjevamo ”prirodno podrucje definicije” tj. svi c ∈ R zakoje se f (c) moze izracunati.



Primjeri funkcija

(3) Pravilo koje svakom broju x ∈ [−3,π] pridruzuje njegov kvadrat.MATEMATICKI ZAPIS:-odaberimo ime vrijednosti npr. y

=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1

, za c 6=±1




Primjeri funkcija


=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1

, za c 6=±1




Primjeri funkcija


=⇒ y = x2, za x ∈ [−3,π]

(4)

f (c) =c+3c2−1

, za c 6=±1




Zadatak 7.Odredite prirodno podrucje definicije sljedecih funkcija

(a) f (x) =1

x−1(b) g(x) =

1x +1

(c) h(t) =1

t2 +1(d) y =

1z−2

+1

z +2(e) z =

√1+ t (f ) z =

√b2−1

(g) w =√

1+s+√

1−s (h) u(s) =1

s−3+√

s−2

(i) h(x) =√

1−√

4−x2


Realne funkcije Operacije s funkcijama

Operacije s funkcijama

Funkcije mozemo zbrajati, oduzimati , dijeliti, mnoziti, komponirati,...

Zadatak 8.Za funkcije

y1 = 2x−1, y2 =−2x−1

nadite funkcije:

(a) y1 +y2 (b) y1−y2

(c) y1 ·y2 (d) y1/y2

(e) y21 (f )

y1

1−y2



Operacije s funkcijama

Funkcije mozemo zbrajati, oduzimati , dijeliti, mnoziti, komponirati,...


y1 = 2x−1, y2 =−2x−1

nadite funkcije:

(a) y1 +y2 (b) y1−y2

(c) y1 ·y2 (d) y1/y2

(e) y21 (f )

y1

1−y2




f (x) =1x, g(x) = x−1

nadite funkcije:

(a) f +g (b) f ·g

(c) f/g (d)f −gf +g



Primjer.

Neka je f (x) = 3x +2, g(t) = t2−1

⇒ (f +g)(x) = f (x)+g(x)

= (3x +2)+(x2−1)

= x2 +3x +1

Zadatak 10.Za f (x) = x−1 nadite:

f (2), f (α), f (a−b), f (x +4x), f(

1x

)



Primjer.

Neka je f (x) = 3x +2, g(t) = t2−1

⇒ (f +g)(x) = f (x)+g(x)

= (3x +2)+(x2−1)

= x2 +3x +1

Zadatak 10.Za f (x) = x−1 nadite:

f (2), f (α), f (a−b), f (x +4x), f(

1x

)


Realne funkcije Kompozicija funkcija

Kompozicija ili slaganje funkcija

Kompozicija funkcija f i g je definirana s

(f ◦g)(x) = f (g(x))

Pri tome mora vrijediti:x mora biti u domeni funkcije gg(x) mora biti u domeni funkcije f



Primjer.Neka je

f (t) = t2, g(u) =√

u+2

Odredimo kompozicije funkcija f ◦g i g ◦ f .

⇒ (f ◦g)(x) = f (g(x))

= f (√

x +2)

= (√

x +2)2

⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x))

= g(x2)

=√

x2 +2 = |x |+2



Primjer.Neka je

f (t) = t2, g(u) =√

u+2

Odredimo kompozicije funkcija f ◦g i g ◦ f .

⇒ (f ◦g)(x) = f (g(x))

= f (√

x +2)

= (√

x +2)2

⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x))

= g(x2)

=√

x2 +2 = |x |+2



Primjer.Neka je

y =1

2+ t, z = 3x +2

Odredimo kompozicije y ◦z i z ◦y .

⇒ (y ◦z)(u) = y(z(u))= y(3u+2)

=1

2+(3u+2)=

13u+4

⇒ (z ◦y)(x) = z(y(x))

= z(

12+x

)=

32+x

+2 =2x +72+x



Primjer.Neka je

y =1

2+ t, z = 3x +2

Odredimo kompozicije y ◦z i z ◦y .

⇒ (y ◦z)(u) = y(z(u))= y(3u+2)

=1

2+(3u+2)=

13u+4

⇒ (z ◦y)(x) = z(y(x))

= z(

12+x

)=

32+x

+2 =2x +72+x



Zadatak 11.

Za y = 1x i z = t +1 nadite:

y(z(t)), z(y(x)), y(y(x)).

Zadatak 12.

Za w = t +2 i z = x2 nadite:

w(z(s)), z(w(x)).


Realne funkcije Invertiranje funkcije

Invertiranje funkcije

Veza izmedu funkcije f i njoj inverzne funkcije f−1 :

x f−→ y

x f−1←− y

f−1 (f (x)) = x , f(

f−1(y))= y



Primjer.

y = 3x−2 =⇒

x =13(y +2)

Dakle:f (x) = 3x−2 =⇒ f−1(y) =

13(y +2)



Primjer.

Neka je f (x) =√

x +1. Odredimo f−1.

y =√

x +1 =⇒√

x = y −1 =⇒x = (y −1)2 =⇒

f−1(y) = (y −1)2



Primjer.

Neka je f (x) =√

x +1. Odredimo f−1.

y =√

x +1 =⇒√

x = y −1 =⇒x = (y −1)2 =⇒

f−1(y) = (y −1)2



Primjer.

Odredimo inverz za funkciju y = 1+xx+2 .

y(x +2) = 1+x =⇒

x =1−2yy −1

=⇒

f−1(y) =1−2yy −1



Primjer.

Odredimo inverz za funkciju y = 1+xx+2 .

y(x +2) = 1+x =⇒

x =1−2yy −1

=⇒

f−1(y) =1−2yy −1


Documents

Matematika 1 - FSB Online · Realne funkcije Primjeri funkcija. Zadatak 3. Matematicki zapiˇ site pravilo koje svakom brojuˇ x pridruzuje brojˇ x. 2. x: Zadatak 4. Matematicki