Matematika 1 - RGF

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova 3

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova

1.1 Iskazni (propozicioni) racun

Osnovni elementi iskaznog racuna su iskazi (recenice) i veznici.Iskaz ili recenica je smisaona usmena ili pismena tvrdnja koja je ili tacna

ili netacna, ali ne moze istovremeno biti i tacna i netacna. Za iskaz se kazeda je prost (za recenicu da je atomska) ako sadrzi samo jednu cinjenicu i nijesacinjen od drugih iskaza. Iskazi se obicno oznacavaju sa p, q, r...

Veznici omogucavaju povezivanje iskaza u slozenije iskaze u skladu sapravilima za operacije iskaznog racuna.

Primer 1 ”Kisa pada” je prost iskaz, a ”Kisa pada i vetar duva” je slozeniskaz jer sadrzi vise od jedne cinjenice. Njega cine dva iskaza i veznik ”i”.

Tacnost odnosno netacnost slozenog iskaza se moze odrediti na osnovutacnosti i netacnosti iskaza od kojih je izgra�en, kao i veznika kojima suovi iskazi povezani, odnosno operacija pomocu kojih je slozeni iskaz dobijen.Tacnost iskaza se oznacava sa 1 (>) a netacnost sa 0 (⊥).

Najjednostavnija operacija nad iskazima je operacija negacije. Negacijaje operacija nad jednim iskazom. Negacija iskaza p oznacava se sa ¬pAko jeiskaz p tacan, iskaz ¬p je netacan, i obratno, ako je iskaz p netacan, iskaz ¬pje tacan. Negacija se moze definisati i tablicom istinitosti 1.

p ¬p1 00 1

Tabela 1: Tablica istinitosti za operaciju negacije

Dok negacija zahteva samo jedan iskaz, operacija konjunkcije (i) zahtevadva iskaza, dakle kombinuje iskaze. Konjunkcija dva iskaza p i q se oznacavasa p∧q i tacna je samo ako su oba iskaza koji je sacinjavaju tacna, u protivnomje netacna. Konjunkcija se moze definisati i tablicom istinitosti 2.

p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0

Tabela 2: Tablica istinitosti za operaciju konjunkcije

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 4

Operacija disjunkcije (ili) tako�e kombinuje dva iskaza p i q i oznacavase sa p ∨ q a tacna je ako je bar jedan od iskaza koji je sacinjavaju tacan, uprotivnom je netacna. Ova se disjunkcija naziva i inkluzivnom disjunkcijomi moze se defnisati tablicom istinitosti 3.

p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0

Tabela 3: Tablica istinitosti za operaciju disjunkcije

Pored inkluzivne disjunkcije postoji i ekskluzivna disjunkcija koja se obelezavasa p∨q (p⊕ q), i koja je tacna ako je samo jedan od iskaza koji je sacinjavajutacan, u protivnom je netacna. Ekskluzivna disjunkcija je definisana tabli-com istinitosti 4.

p q p⊕ q1 1 00 1 11 0 10 0 0

Tabela 4: Tablica istinitosti za operaciju ekskluzivne disjunkcije

Primer 2 Pokazimo kako se nalaze sve istinitosne vrednosti slozenog iskaza”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”. Ako se sa p, q i r redom oznaceprosti iskazi ”Kisa pada”, ”Vetar duva” i ”Petar trci”, od kojih svaki mozebiti ili tacan ili netacan, onda je istinitosna vrednosti iskaza (p∧ q)∨ r datatablicom istinitosti 5.

Naredna operacija je implikacija ili kondicional koja se oznacava sa ⇒(→). Iskaz p ⇒ q se cita ”ako p, onda q”. Operacija se zadaje tablicomistinitosti 6.

Kao sto se vidi iz tablice p ⇒ q i q ⇒ p su iskazi koji imaju razlicite istini-tosne vrednosti sto znaci da je ova operacija nekomutativna (za razliku odkonjunkcije i disjunkcije). U iskazu p ⇒ q iskaz p se naziva antecedentom, a qkonsekventom. Jedini slucaj kada je implikacija netacna je kada je antecedenttacan, a konsekvent netacan. Ako je antecedent netacan, implikacija je uvektacna (”ex falso quodlibet”).


p q r p ∧ q (p ∧ q) ∨ r1 1 1 1 10 1 1 0 11 0 1 0 10 0 1 0 11 1 0 1 10 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 0

Tabela 5: Tablica istinitosti za primer ”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”

p q p ⇒ q q ⇒ p1 1 1 10 1 1 01 0 0 10 0 1 1

Tabela 6: Tablica istinitosti za operaciju implikacije

Primer 3 ”Ako Cezar je otkrio Ameriku, onda Kolumbo je bio vojskovo�a”je tacan iskaz jer je antecedent netacan. Me�utim tacan je i iskaz ”Ako Cezarje otkrio Ameriku, onda Beograd je glavni grad Srbije”.

Poslednji veznik je ⇔ (↔), i njime se uvodi operacija ekvivalencije kojase zadaje tablicom istinitosti 7. Iz tablice se vidi da je iskaz p ⇔ q je tacanako oba iskaza p i q imaju istu istinitosnu vrednost. Ekvivalencija se cita”ako i samo ako” sto se moze krace zapisati i sa ”akko”.

p q p ⇔ q1 1 10 1 11 0 00 0 1

Tabela 7: Tablica istinitosti za operaciju ekvivalencije

Na osnovu navedenih tablica istinitosti za veznike, odnosno operacije,uvek se moze formirati tablica istinosti za bilo koji slozeni iskaz.

Primer 4 Istinitost iskaza [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p ispitana je tablicom 8.


p q r q ∨ r p ⇒ (q ∨ r) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 01 0 1 1 1 10 0 1 1 1 01 1 0 1 1 10 1 0 1 1 01 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0

Tabela 8: Tablica istinitosti za primer [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p

Ako je neki slozeni iskaz uvek tacan, odnosno ako su vrednosti u tabliciistinitosti za neki iskaz uvek 1, onda se takav iskaz naziva tautologijom. Bezobzira na cinjenice (istinitosnu vrednost prostih iskaza) tautologija je uvektacna.

U svakodnevnom govoru postoji mnogo nacina da se ”kaze isto”. Slicnoje i u iskaznom racunu. Mogu se formirati razliciti izrazi od prostih iskaza iveznika koji mogu imati ”isto znacenje”, tako sto ce za iste istinitosne vred-nosti prostih iskaza imati identicnu istinitosnu vrednost, odnosno istovre-meno biti tacni ili netacni. Ako su p i q dva slozena iskaza koja imajuidenticne istinitosne vrednosti, onda ce tablica istinitosti za iskaz p ⇔ q uvekimati vrednost 1 (tacno), odnosno predstavljace tautologiju. Za takva dvaiskaza p i q kazemo da su logicki ekvivalentna.

Primer 5 Iskaz ”Objekat X je kvadrat ili objekat X nije kvadrat” je tau-tologija bez obzira na to kakav je zaista objekat X.

Svi naredni iskazi su tautologije:

1. p ∨ (¬p)

2. (p ∧ q) ⇔ [¬(¬p ∨ ¬q)]

3. (p ∨ q) ⇔ [¬(¬p ∧ ¬q)]

4. (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

5. (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)

Tautologije 2 i 3 su poznate pod nazivom De Morganovi zakoni.

Primer 6 Za iskaz 4, pokazimo da je tautologija tablicom 9.


p q p ⇔ q p ⇒ q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)1 1 1 1 10 1 0 1 11 0 0 0 10 0 1 1 1

Tabela 9: Tablica istinitosti za tautologiju (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

Tako�e, tautologije su i:

1. ¬(¬p) ⇔ p

2. p ∧ q ⇔ q ∧ p

3. p ∨ q ⇔ q ∨ p

4. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

5. (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

6. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

7. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

8. ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

9. ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

10. p ∨ p ⇔ p

11. p ∧ p ⇔ p

12. p ∧ q ⇒ p

13. p ∧ q ⇒ q

14. p ⇒ p ∨ q

15. q ⇒ p ∨ q

Ako je istinitosna vrednost iskaza uvek 0, iskaz se naziva kontradikcija.Ocigledno, ako je p tautologija, onda je ¬p kontradikcija.

Ako se u tautologiji p koriste samo veznici ¬, ∨ i ∧, onda se iz nje mozedobiti kontradikcija q ako se svaki od iskaza od koji je sastavljen iskaz pnegira, svaki veznik ∨ u iskazu p se zameni sa ∧, a ∧ sa ∨. Tada je p ⇔¬q tautologija, i kaze se da je ¬q iskaz koji je dobijen iz iskaza p pomocudualnosti. U nacelu princip dualnosti proistice iz De Morganovih zakona.

1.2 Prosireni iskazni racun 8

Primer 7 U De Morganovom zakonu

p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

desna strana se moze dobiti iz leve pomocu dualnosti.

Redosled izvrsavanja logickih operacija kojima se formira slozeni iskazzasniva se na sledecoj hijerarhiji: najpre se izvrsava operacija ¬, zatim ∧,zatim ∨, ⇒ i ⇔. Za slozene iskaze mogu se koristiti i zagrade da bi seovaj redosled izmenio odnosno da bi se istaklo koji su argumenti odre�enogoperatora.

Primer 8 Iskaz¬p ∧ q ∨ ¬r ⇒ p ⇔ q ∧ s

moze se napisati i kao

((((¬p) ∧ q) ∨ (¬r)) ⇒ p) ⇔ (q ∧ s)

1.2 Prosireni iskazni racun

Uvo�enjem promenljivih u iskaze, i tzv. kvantifikatora dobija se prosireni ilikvantifikovani iskazni racun.

Ukoliko se u tvr�enju pojavljuje promenljiva, ono se naziva otvorenimiskazom (recenicom) koja postaje iskaz kada promenljiva dobije odre�enuvrednost (bude instancionirana). Kvantifikatori uz otvorene recenice pokazujuda li su oni tacni za svako x (univerzalni kvantifikator ∀x) ili za neko x (egzis-tencijalni kvantifikator ∃x).

∀x(P (x)) znaci da je otvorena recenica P (x) tacan iskaz za svaku vrednostpromenljive x.

∃x(P (x)) znaci da je tvr�enje recenice P (x) tacno bar za jednu vrednostpromenljive x.

Primer 9 Ako je P (x) otvorena recenica ”x je kvadrat”, a Q(x) recenica”x je pravougaonik”, onda je

∀x(P (x) ⇒ Q(x))

∃x(P (x) ∧Q(x))

1.3 Skupovi 9

1.3 Skupovi

Skup se zadaje preko svojih elemenata. Skupove oznacavamo velikim, a ele-mente malim slovima abecede.

Skup A koji sadrzi elemente a, b i c se oznacava sa

A = {a, b, c}

Redosled elemenata u skupu je nebitan. Skup se moze zadati nabrajanjemelemenata, ali i navo�enjem osobina koje kvalifikuju elemente.

A = {x|S(x)}

sadrzi sve elemente x koji imaju osobinu opisanu recenicom S(x).

Primer 10 Skup svih kvadrata moze se zadati sa:

A = {x|x je kvadrat}

iliA = {x|x je pravougaonik i x ima jednake stranice}

Skup koji ne sadrzi ni jedan element naziva se praznim skupom i obelezavase sa ∅. Ako element a pripada skupu A, onda se pise a ∈ A, a ako ne pripada,onda se pise a /∈ A.

Izme�u dva skupa A i B postoji relacija inkluzije: A ⊂ B ukoliko je svakielement skupa A istovremeno element skupa B.

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Za skup A se tada kaze da je podskup skupa B.Dva skupa su me�usobno jednaka A = B ako vazi A ⊂ B i B ⊂ A,

odnosno ako su elementi skupa A istovremeno elementi skupa B i obratno.

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija unije kojom se dobijanovi skup C = A ∪ B ciji su elementi svi elementi skupa A i svi elementiskupa B:

A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

Unija ima sledece osobine:

1. A ∪B = B ∪ A

1.3 Skupovi 10

2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

3. A ∪ A = A

4. A ∪ ∅ = A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija preseka kojom se dobijanovi skup C = A∩B ciji su elementi istovremeno elementi i skupa A i skupaB:

A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

Presek ima sledece osobine:

1. A ∩B = B ∩ A

2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. A ∩ A = A

4. A ∩ ∅ = ∅

Unija i presek imaju sledece osobine:

1. (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

2. (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Za dva skupa A i B moze se definisati i razlika skupova A\B, koju cinesvi elementi skupa A koji nisu istovremeno i lementi skupa B:

A\B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}

Ako je A ⊂ S onda je S\A komplement skupa A u odnosu na S i oznacavase sa CSA ili CA.

Primer 11 A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7}

• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• A ∩B = {2, 3}

• A\B = {1, 4, 5}

1.3 Skupovi 11

Primer 12 Dokazati: A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)

x ∈ A\(B\C)

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ (B\C)

⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ C)

⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∨ x ∈ (A ∩ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∪ (A ∩ C)

Elementi skupova mogu biti i drugi skupovi. Na primer:

A = {{a}, {b, c}}je skup koji cine dva elementa: skup {a} i skup {b, c}.

Partitivni skup skupa A je skup svih njegovih podskupova:

PA = {X|X ⊂ A}

Primer 13 Partitivni skup skupa:

A = {a, b, c}

je skup:

PA = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Ako skup A ima n elemenata, PA ima 2n elemenata.Pod ure�enim parom (a, b) podrazumevamo ”skup” od dva elementa u

kome je a prvi, a b drugi element. Postoje i ure�ene trojke (a, b, c), cetvorke(a, b, c, d), itd. Ure�eni par (a, b) nije isto sto i dvoclani skup {a, b} jer je zarazlicite elemente a i b {a, b} = {b, a}, ali (a, b) 6= (b, a).

Pod Dekartovim proizvodom dva skupa A i B u oznaci A×B podrazumevamoskup ure�enih parova u kojima je a ∈ A i b ∈ B

A×B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

Primer 14 A = {a, b}, B = {c, d, e}

• A×B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}

• A× A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

Dekartov proizvod skupa sa samim sobom A× A oznacava se i sa A2.

1.4 Binarne relacije 12

1.4 Binarne relacije

Svaki podskup R Dekartovog proizvoda A × B je binarna relacija izme�uelemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su a ∈ A i b ∈ B u relaciji R,pise se (a, b) ∈ R ili aRb.

Inverzna relacija relacije R je R−1 ⊂ B × A takva da je

(x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R

Ako je A = B tada je R ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.Ako za relaciju R na skupu A vazi:

• (∀a ∈ A)((a, a) ∈ R) relacija je refleksivna,

• (∀a, b, c ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R) relacija je tranzi-tivna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R) relacija je simetricna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b) relacija je antisimetricna

• (∀a ∈ A)((a, a) /∈ R) relacija je antirefleksivna.

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, simetricna i tranzitivna relacija, onda je Rrelacija ekvivalencije (primer je paralelnost pravih).

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, antisimetricna i tranzitivna relacija, onda jeR relacija poretka (primer je poredak slova u abecedi).

Ako je na skupu A zadata relacija poretka skup A je ure�en skup. Akosu svaka dva elementa skupa u relaciji poretka (me�usobno uporediva) skupA je totalno ure�en skup.

Antirefleksivna relacija poretka je relacija strogog poretka.Ako je E ure�en skup gde je ≤ relacija poretka i ako je A ⊂ E i A 6= ∅

onda je M ∈ E majoranta skupa A ako je (∀a ∈ A)(a ≤ M) (A je ogranicenodozgo, sa gornje strane). Ako je pri tome M ∈ A, tada je M maksimumskupa A (max A).

Ako je E ure�en skup i A ⊂ E i A 6= ∅ onda je m ∈ E minoranta skupaA ako je (∀a ∈ A)(m ≤ a) (A je ogranicen odozdo, sa donje strane). Ako jepri tome m ∈ A, tada je M minimum skupa A (min A).

Skup moze imati samo jedan minimum (maksimum). Ako su m1 i m2

minimumi m1 ≤ m2 i m2 ≤ m1, onda vazi m1 = m2 zbog antisimetricnosti.Supremum skupa A ⊂ E, u oznaci sup A je minimum majoranti, ako

postoji. Infimum skupa A ⊂ E, u oznaci inf A je maksimum minoranti,ako postoji. Skup ima najvise jedan supremum i infimum (jer moze pos-tojati samo jedan maksimum i minimum). Ako skup ima maksimum, onda

1.5 Funkcije 13

je supremum jednak tom maksimumu, a ako ima minimum, onda je njegovinfimum jednak tom minimumu.

Primer 15

1. Da li je relacija R definisana sa aRb ⇔ a2 ≤ b2 gde je ≤ poredakna skupu celih brojeva tako�e relacije poretka (a) na skupu prirodnihbrojeva, (b) na skupu celih brojeva?

(a) jeste

(b) nije - nije antisimetricna aR(−a) ∧ (−a)Ra, a pritom a 6= −a.

2. Dat je skup A = {a, b, c, d}, njegov partitivni skup je PA, a R je inkluz-ija. Dokazati da je R relacija poretka i naci

(a) min PA, max PA

(b) skup majoranti, minoranti, sup, inf, max i min za skup A1 ⊂ PA:

A1 = {{a}, {a, b}, {a, c}}

Inkluzija je poredak:

• X ⊂ X - refleksivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Z ⇒ X ⊂ Z - tranzitivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ X ⇒ X = Y antisimetricnost

min PA = ∅max PA = AMajorante za A1 su {a, b, c} i {a, b, c, d}.Minorante za A1 su {a} i ∅.max A1 ne postoji.min A1 = {a}sup A1 = {a, b, c}inf A1 = min A1 = {a}

1.5 Funkcije

Ako svakom elementu x nepraznog skupa X odgovara tacno jedan elementnepraznog skupa Y onda postoji jednoznacno preslikavanje ili funkcija f koja

skup X preslikava u skup Y . To zapisujemo kao f : X → Y ili Xf−→ Y . Pri

1.5 Funkcije 14

tome je X definicioni skup, odnosno domen, a f(X) = {f(x)|x ∈ X} ⊂ Y jeskup vrednosti, odnosno antidomen.

Ako su f : X → Y i g : Y → Z dva preslikavanja, onda preslikavanjeg ◦ f : X → Z, takvo da je

(∀x ∈ X)g ◦ f(x) = g(f(x))

predstavlja proizvod ili kompoziciju preslikavanja f i g.Dve funkcije koje preslikavaju skup X u skup Y su jednake ako vazi

(∀x ∈ X)(f(x) = g(x))

Funkcija F preslikava skup X na skup Y i naziva se surjekcija ako jef(X) = Y : svaki element skupa Y je slika bar jednog elementa skupa X.Ako za funkciju f vazi f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 onda je f injekcija ilipreslikavanje ”1-1”. Ako je f preslikavanje ”na” i ”1-1” onda se ono nazivaobostrano jednoznacno ili bijekcija.

Ako je f obostrano jednoznacno preslikavanje skupa X na skup Y , ondapostoji funkcija koja preslikava skup Y na skup X, koja svakom elementuy ∈ Y pridruzuje element x ∈ X, takav da je y = f(x). Ovo je inverznafunkcija finkciji f i oznacava se sa f−1. Tada vazi f−1(f(x)) = x.

Primer 16X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

x 1 2 3f(x) a b a

Ni surjekcija ni injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b}

x 1 2 3f(x) a b a

Surjekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d}

x 1 2 3f(x) a b c

Injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

1.6 Binarne operacije 15

x 1 2 3f(x) a b c

Bijekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

y a b cf(y) 1 2 3

Funkcija inverzna prethodnoj

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} Z = {α, β}

x 1 2 3f(x) a b c

y a b cg(y) α β α

x a b c(g ◦ f)(x) α β α

Kompozicija funkcija g ◦ f

1.6 Binarne operacije

Binarna operacija na skupu A je funkcija koja preslikava elemente skupaA× A u skup A.

Za (x, y) ∈ A × A postoji z ∈ A takvo da je z rezultat (kompozicija)operacije � primenjene na ure�eni par (x, y)

z = x� y

Skup A je zatvoren u odnosu na binarnu operaciju ako za svako (x, y) ∈ A× A,z = x� y tako�e pripada skupu A.

Ako je

• x� y = y � x operacija je komutativna

• (x� y)� z = x� (y � z) operacija je asocijativna

• x� e = e� x = x, e je neutralni element

• x� x∗ = x∗ � x = e, x∗ je inverzni element elementa x i obratno

Primer 17 O skupovima bojeva bice detaljnije reci u narednom odeljku.Ovde cemo ih samo iskoristiti kao ilustraciju navedenih osobina binarne op-eracije za dobro poznate operacije sabiranja i mnozenja brojeva.

1.6 Binarne operacije 16

Skup neparnih brojeva nije zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja (zbirdva neparna broja nije neparan).

Skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na sabiranje i mnozenje, imaneutralan element za mnozenje (1), nema za sabiranje (0 ne pripada skupuprirodnih brojeva), nema inverznih elemenata ni za sabiranje ni za mnozenje.

Skup celih brojeva ima oba neutralna elementa (0 i 1), inverzne za sabi-ranje, ali nema inverzne za mnozenje.

2 Skupovi brojeva 18

2 Skupovi brojeva

2.1 Skup prirodnih brojeva

Skup N prirodnih brojeva cine brojevi 1,2,3,... Nad skupom prirodnih bro-jeva definisane su operacije sabiranja (+) i mnozenja (·), ciji je rezultat tako�eprirodan broj. Za dva prirodna broja m,n ∈ N vazi

m+ n ∈ N m · n ∈ N

Ovo znaci da je skup N zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja.Za tri broja m,n, k ∈ N vazi

• (m+ n) + k = m+ (n+ k) - asocijativnost sabiranja

• m+ n = n+m - komutativnost sabiranja

• (m · n) · k = m · (n · k) - asocijativnost mnozenja

• m · n = n ·m - komutativnost mnozenja

• n · 1 = 1 · n = n - postoji neutralni element za mnozenje

• k · (m + n) = k · m + k · n - distributivnost mnozenja u odnosu nasabiranje

Skup prirodnih brojeva moze se uvesti i aksiomatski, na osnovu Peanovihaksioma, a polazeci od pojmova broj 1 i sledbenik n′ broja n:

1. Broj 1 ∈ N .

2. Za svako n ∈ N postoji sledbenik n′ ∈ N koji sledi za njim.

3. Broj jedan nije sledbenik nijednog prirodnog broja.

4. Za svako m,n ∈ N vazi m = n⇔ m′ = n′.

5. Ako je N1 ⊂ N i ako N1 zadovoljava aksiome 1 i 2, onda je N1 = N(aksioma indukcije).

2.1 Skup prirodnih brojeva 19

2.1.1 Princip matematicke indukcije

Neka je I (otvoreni) iskaz koji zavisi od prirodnog broja n. Ako je ispunjeno:

1. iskaz je tacan za prirodan broj 1,

2. iz pretpostavke da je iskaz tacan za neki prirodan broj k, sledi da jeiskaz tacan i za prirodan broj k + 1,

tada je iskaz I tacan za svaki prirodan broj.Princip matematicke indukcije sledi iz aksiome indukcije. Ako je N1 skup

svih prirodnih brojeva za koje vazi iskaz I, tada prema uslovu 1 sledi 1 ∈ N1,a prema uslovu 2 sledi k ∈ N1 ⇒ k + 1 ∈ N1 sto znaci da N1 zadovoljavaPeanove aksiome 1 i 2, pa je N1 = N .

Primer 18 Dokazati pomocu principa matematicke indukcije da za svakon ∈ N vazi

a) 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = 14n2(n+ 1)2

b) n! ≥ 2n−1

a)n = 113 = 1

4(1 + 1)2

n = k13 + 23 + 33 . . .+ k3 = 1

4k2(k + 1)2

n = k + 113 + 23 + 33 + . . .+ k3 + (k + 1)3 = 1

4k2(k + 1)2 + (k + 1)3

= 14(k + 1)2(k2 + 4(k + 1)) = 1

4(k + 1)2(k2 + 4k + 4)

= 14(k + 1)2(k + 2)2 = 1

4(k + 1)2((k + 1) + 1)2

b)n = 11! ≥ 20 = 1

n = kk! ≥ 2k−1

n = k + 1(k + 1)! = (k + 1)k! ≥ (k + 1)2k−1

≥ 2 · 2k−1 = 2k = 2(k+1)−1

2.2 Skup celih brojeva 20

2.2 Skup celih brojeva

Skup D celih brojeva cine brojevi 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, .... Izme�u skupovaN i D vazi relacija inkluzije N ⊂ D. Skup D je, kao i skup N , zatvoren uodnosu na operacije sabiranja i mnozenja, koje zadovoljavaju sve osobine kaoi u skupu N . U skupu celih brojeva sabiranje zadovoljava i sledece dodatneosobine:

• k + 0 = 0 + k = k - postoji neutralni element za sabiranje

• ∀k ∈ D ∃k∗, takvo da je k + k∗ = 0 - za svaki element k skupa celihbrojeva postoji njemu inverzni element k∗ = −k u odnosu na sabiranje.

2.3 Skup racionalnih brojeva

Skup racionalnih brojeva cine razlomci pq, pri cemu vazi p, q ∈ D, p i q su

uzajamno prosti (nemaju ni jedan zajednicki faktor razlicit od 1) i q 6= 0.Izme�u skupova N ,D i Q vazi relacija inkluzije N ⊂ D ⊂ Q. Skup Q je

zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja, koje zadovoljavaju sveosobine kao i u skupu D. U skupu racionalnih brojeva mnozenje zadovoljavai sledecu dodatnu osobinu:

• ∀(x ∈ Q∧ x 6= 0) ∃x∗ takvo da je x · x∗ = 1 - za svaki element x skuparacionalnih brojeva razlicit od 0 postoji njemu inverzni element x∗ = 1

x

u odnosu na mnozenje.

2.4 Skup realnih brojeva

Skup realnih brojeva R predstavlja uniju skupa racionalnih brojeva i ira-cionalnih brojeva (I), koji mogu biti algebarski i transcedentni. Dakle, R =Q ∪ I, pri cemu je Q ∩ I = ∅.

Iracionalni brojevi su algebarski ako se mogu dobiti kao koren (nula) poli-noma ciji su koeficijenti racionalni, odnosno kao resenje algebarske jednacine:

xn + a1xn−1 + . . .+ an = 0 ai ∈ Q

Primer 19 Kako je:x2 − 2 = 0

x2 = 2

sledi da je x =√

2 algebarski iracionalan broj.Pokazimo da je

√2 zaista iracionalan broj. Pretpostavimo suprotno, da

je√

2 racionalan broj, sto znaci da ga je moguce izraziti kao kolicnik dva

2.4 Skup realnih brojeva 21

uzajamno prosta cela broja p i q:√

2 = pq⇒ p =

√2q ⇒ p2 = 2q2. Odavde

je ocigledno da je p2 deljivo sa 2, odnosno da je p2 paran broj. No, ako je p2

paran broj onda je i p paran broj, odnosno broj deljiv sa 2. Sledi da je ondap2 deljivo sa 4. Kako je p2 = 2q2, sledi da je i 2q2 deljivo sa 4, odnosno daje q2 deljivo sa 2. Stoga i q mora biti deljivo sa 2. Prema tome i p i q sudeljivi sa 2 i stoga nisu uzajamno prosti, sto je u kontradikciji sa polaznimpretpostavkama. Iz ovoga sledi da

√2 nije racionalan broj, jer ga nije moguce

izraziti kao kolicnik dva uzajamno prosta cela broja p i q.

Iracionalni brojevi su transcedentni ako nisu koreni polinoma ciji su ko-eficijenti racionalni, kao sto je npr. broj π koji predstavlja odnos izme�uobima kruga i njegovog precnika.

π =O

2r

Skup realnih brojeva, u kome vazi relacija poretka (<) zadovoljava Dedekin-dovu aksiomu neprekidnosti :

Ako je A ⊂ R i B ⊂ R i

1. A ∪B = R

2. A 6= ∅ ∧B 6= ∅

3. (∀x, y)(x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ x < y)

onda postoji ili maxA ili minB.Kao posledica ove aksiome svaki podskup skupa R koji je ogranicen

odozgo ima sup a svaki podskup koji je ogranicen odozdo ima inf.Brojna osa (prava) je prava sa fiksiranim tackama O i L, takvim da tacki

O odgovara realni broj 0, a tacki L realni broj 1. Na ovaj nacin uspostavljase obostrano jednoznacno preslikavanje izme�u skupa realnih brojeva i skupatacka na brojnoj osi. Duz OL je jedinica mere.

Otvoreni interval (a, b) cini skup svih realnih brojeva x takvih da je a <x < b.

Poluotvoreni interval [a, b) odnosno (a, b] cini skup svih realnih brojevax tavih da je

[a, b) = {x|a ≤ x < b}

(a, b] = {x|a < x ≤ b}

Zatvoreni interval [a, b] cini skup svih realnih brojeva x takvih da jea ≤ x ≤ b.

Apsolutna vrednost realnog broja a se oznacava sa |a|, a definise sa

2.5 Skup kompleksnih brojeva 22

|a| ={

a a ≥ 0−a a < 0

Vazi da je:

• |a · b| = |a| · |b|

• |ab| = |a|

|b| (b 6= 0)

• ||a| − |b|| ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b|

2.5 Skup kompleksnih brojeva

Jednacina x2 = −1 nema resenja u skupu realnih brojeva. Me�utim, ako seuvede imaginarna jedinica i takva da je i2 = −1 onda se skup realnih brojevamoze prosiriti na skup kompleksnih brojeva ciji su elementi z = x + iy, gdesu x i y realni brojevi, odnosno:

C = {x+ iy|x, y ∈ R}

Realni deo kompleksnog broja z = x + iy je x = Re z, a imaginarni deoje y = Im z. Za y = 0, z = x predstavlja realan broj, a za x = 0, z = iy jecisto imaginaran broj. Ako je z1 = x1 + iy1, a z2 = x2 + iy2, onda je

z1 = z2 ⇔ x1 = x2 ∧ y1 = y2

Nad skupom kompleksnih brojeva definisane su sledece operacije:

• z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

• z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2)

• z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

• z1z2

= x1x2+y1y2x22+y22

+ ix2y1−x1y2x22+y22

Za svaki kompleksan broj z = x+ iy postoji njemu konjugovano komplek-san broj z = x− iy. Vazi

Re z =z + z

2Im z =

z − z2i

z · z = x2 + y2

Kompleksni brojevi se mogu predstaviti u kompleksnoj (Gausovoj) ravnigde je x osa realna, a y osa imaginarna. Izme�u skupa kompleksnih brojeva i


skupa tacaka u Gausovoj ravni postoji obostrano jednoznacno preslikavanje.Svaka tacka u ravni jednoznacno je odre�ena radijus vektorom koji spaja tutacku sa koordinatnim pocetkom: duzinom ρ vektora i uglom φ koji vek-tor zaklapa sa x osom, pri cemu se obicno uzima vrednost ugla u intervaluφ ∈ (−π, π].

Tako se i kompleksan broj moze predstaviti preko ρ i φ u trigonometri-jskom obliku:

z = ρ(cosφ+ i sinφ)

jer je x = ρ cosφ i y = ρ sinφ. ρ je moduo (apsolutna vrednost) broja z ijednak je

|z| = ρ =√x2 + y2 |z|2 = z · z

φ je argument kompleksnog broja i jednak je

φ =

π2

x = 0, y ≥ 0−π

2x = 0, y < 0

arctg yx

x > 0arctg y

x+ π x < 0, y ≥ 0

arctg yx− π x < 0, y < 0

2.5.1 Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskomobliku

Za kompleksne brojeve u trigonometrijskom obliku operacije mnozenja i del-jenja date su sa:

z1z2 = ρ1ρ2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2))

z1

z2

=ρ1

ρ2

(cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2))

Stepenovanje i korenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom oblikudato je formulama:

zn = ρn(cosnφ+ i sinnφ)

n√z = n√ρ(cos

φ+ 2kπ

n+ i sin

φ+ 2kπ

n), k = 0, 1, 2, ..., n− 1

Formule za zn i n√z nazivaju se prvom i drugom Moavrovom formulom.

Iz druge Moavrove formule vidi se da je broj razlicitih n-tih korena svakogkomplesnog broja tacno n.


Dokaz 1 Dokazimo najpre formulu za proizvod dva kompleksna broja u trigonometri-jskom obliku z1 = ρ1(cosφ1 + i sinφ1) i z2 = ρ2(cosφ2 + i sinφ2):

z1z2 = ρ1(cosφ1 + i sinφ1) · ρ2(cosφ2 + i sinφ2) =

ρ1ρ2[cosφ1 cosφ2 − sinφ1 sinφ2 + i(cosφ1 sinφ2 + sinφ1 cosφ2)] =

ρ1ρ2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2))

Dokaz 2 Dokazimo sada formulu za kolicnik dva kompleksna broja u trigonometri-jskom obliku:

z1

z2

=ρ1(cosφ1 + i sinφ1)

ρ2(cosφ2 + i sinφ2)=

ρ1

ρ2

(cosφ1 + i sinφ1)(cosφ2 − i sinφ2)

cos2 φ2 + sin2 φ2

=

ρ1

ρ2

(cosφ1 cosφ2 + sinφ1 sinφ2 + i(sinφ1 cosφ2 − cosφ1 sinφ2)) =

ρ1

ρ2

(cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2))

Dokaz 3 Prvu Moavrovu formulu

zn = ρn(cosnφ+ i sinnφ)

dokazacemo pomocu matematicke indukcije. Formula ocigledno vazi za n =

1:n = 1 : z1 = ρ1(cos 1 · φ+ i sin 1 · φ)

Pretpostavicemo sada da vazi za n = k:

n = k : zk = ρk(cos k · φ+ i sin k · φ)

U tom slucaju je za:

n = k + 1 : zk+1 = z · zk = ρ(cosφ+ i sinφ)ρk(cos k · φ+ i sin k · φ)

= ρk+1(cosφ cos kφ+ i sinφ cos kφ+ i cosφ sin kφ+ i2 sinφ sin kφ)

= ρk+1[(cosφ cos kφ− sinφ sin kφ) + i(sinφ cos kφ+ cosφ sin kφ)]

= ρk+1(cos(φ+ kφ) + i sin(φ+ kφ))

= ρk+1(cos(k + 1)φ+ i sin(k + 1)φ)


Dokaz 4 Dokaz druge Moavrove formule

n√z = n√ρ(cos

φ+ 2nπ

n+ i sin

φ+ 2nπ

n)

je najslozeniji. Pretpostavimo da je: n√z = ξ gde je ξ = r(cos θ + i sin θ),

odnosno:n√z = ξ ⇔ ξn = z

Sledi, dalje:n√z = r(cos θ + i sin θ)

z = rn(cosnθ + i sinnθ)

ρ(cosφ+ i sinφ) = rn(cosnθ + i sinnθ)

ρ = rn ∧ cosφ = cosnθ ∧ sinφ = sinnθ

Odavde je sada:

r = n√ρ ∧ cosnθ − cosφ = 0 ∧ sinnθ − sinφ = 0

Primenom formula za razliku kosinusa odnosno razliku sinusa iz cosnθ −cosφ = 0 ∧ sinnθ − sinφ = 0 se potom dobija:

−2 sinnθ − φ

2sin

nθ + φ

2= 0 ∧ 2 sin

nθ − φ2

cosnθ + φ

2= 0

Posto sin nθ+φ2

i cos nθ+φ2

ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, mora da vazi

sinnθ − φ

2= 0

nθ − φ2

= kπ

nθ − φ = 2kπ

nθ = φ+ 2kπ

θ =φ+ 2kπ

n

(a) Pokazimo sada da se za svako k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 dobija razlicitkoren. Ako su 0 ≤ k1 ≤ n− 1 i 0 ≤ k2 ≤ n− 1, onda je za k1 6= k2

z1 = n√ρ(cos

φ+ 2k1π

n+i sin

φ+ 2k1π

n) 6= z2 = n

√ρ(cos

φ+ 2k2π

n+i sin

φ+ 2k2π

n)


Ako pretpostavimo suprotno k1 6= k2 i z1 = z2, sledi

n√ρ(cos

φ+ 2k1π

n+ i sin

φ+ 2k1π

n) = n√ρ(cos

φ+ 2k2π

n+ i sin

φ+ 2k2π

n)

pa je

cosφ+ 2k1π

n= cos

φ+ k2π

n∧ sin

φ+ 2k1π

n= sin

φ+ 2k2π

n

odnosno

φ+ 2k1π

n− φ+ 2k2π

n= 2kπ

φ+ 2k1π − φ− 2k2π = 2nkπ

k1 − k2 = nk

k1 = nk + k2

sto je u suprotnosti sa polaznim pretpostavkama k1 6= k2, 0 ≤ k1 ≤ n−1 i0 ≤ k2 ≤ n−1 jer je ili k = 0 sto povlaci k1 = k2 ili je k 6= 0 i k1 ≥ n∨k1 < 0.

(b) Konacno, pokazimo da k < 0 i k ≥ n ne daje nove korene. Naime, zasvako k < 0 i k ≥ n moze se naci 0 ≤ k1 ≤ n− 1 takvo da je k = k1 + n · k∗.Odavde je:

cosφ+ 2kπ

n= cos

φ+ 2(k1 + nk∗)π

n= cos(

φ+ 2k1π

n+ 2k∗π) = cos

φ+ 2k1π

n

sinφ+ 2kπ

n= sin

φ+ 2(k1 + nk∗)π

n= sin

φ+ 2k1π

n

pa sledi da su koreni za k i k1 isti.

Svi koreni kompleksnog broja z imaju isti radijus vektor sto znaci da seu Gausovoj ravni svi nalaze na krugu sa centrom u koordinatnom pocetku.Argumenti im se razlikuju za isti ugao: 2π

n, tako da tacke u kompleksnoj

ravni koje predstavljaju korene broja z cine temena pravilnog mnogougla.

Primer 20 Izracunajmo 4√

1.

1 = (cos 0 + i sin 0)

4√

1 = 1(cos0 + 2kπ

4+ i sin

0 + 2kπ

4) k = 0, 1, 2, 3


k = 0 : z1 = cos 0 + i sin 0 = 1

k = 1 : z1 = cosπ

2+ i sin

π

2= i

k = 2 : z1 = cosπ + i sin π = −1

k = 3 : z1 = cos3π

2+ i sin

3π

2= −i

Primer 21

1. (3 + 2i)(i + 3) + (2 − i)(i + 1) = 3i + 2i2 + 9 + 6i + 2i − i2 + 2 − i =i2 + 10i+ 11 = 10 + 10i

2. i+1i−1

= (1+i)(1+i)(1−i)(1+i)

= 1+2i+i2

1−i2 = 2i2

= i

3. Naci moduo i argument sledecih kompleksnih brojeva:

(a) z1 = −i ρ1 = 1 φ1 = −π2

(b) z2 = 3i ρ2 = 3 φ2 = π2

(c) z3 = 5 ρ3 = 5 φ3 = 0

(d) z4 = −5 ρ4 = 5 φ4 = π

(e) z5 = 1 + i ρ5 =√

2 φ5 = arctg1 = π4

z5 =√

2(cos π4

+ i sin π4)

(f) z6 = 1− i ρ6 =√

2 φ6 = arctg(−1) = −π4

z6 =√

2(cos(−π4) + i sin(−π

4)) =

√2(cos π

4− i sin π

4)

(g) z7 = −1 + i ρ7 =√

2 φ7 = arctg(−1) + π = −π4

+ π = 3π4

z7 =√

2(cos 3π4

+ i sin 3π4

)

(h) z8 = −1− i ρ8 =√

2 φ8 = arctg1− π = π4− π = −3π

4

z8 =√

2(cos(−3π4

) + i sin(−3π4

)) =√

2 cos(3π4− i sin 3π

4)

4. (1 + i)10 = [√

2(cos π4

+ i sin π4)]10 = (

√2)10(cos 10π

4+ i sin 10π

4) =

25(cos 5π2

+ i sin 5π2

) = 32(cos π2

+ i sin π2) = 32i

5. 3√

1 + i = 3

√√2(cos π

4+ i sin π

4) =

3√√

2(cosπ4

+2kπ

3+ i sin

π4

+2kπ

3)

k = 0, 1, 2

z1 =6√

2(cosπ

12+ i sin

π

12)

z2 =6√

2(cos9π

12+ i sin

9π

12) =

6√

2(cos3π

4+ i sin

3π

4)

z3 =6√

2(cos17π

12+i sin

17π

12) =

6√

2(cos−5π

12+i sin

−5π

12) =

6√

2(cos5π

12−i sin

5π

12)

3 Polinomi 28

3 Polinomi

Izraz oblikaPn(x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

u kome su {ai} konstante, a x neka promeljiva vrednost, predstavlja polinompo x.

Ako je an 6= 0 i n ≥ 1, polinom Pn je polinom n-tog stepena. Ako jea1 = a2 = . . . = an = 0 i a0 6= 0, onda je Pn polinom nultog stepena. Ako jea0 = a1 = a2 = . . . = an = 0 odnosno Pn(x) ≡ 0, onda je Pn nula polinom.

Dva polinoma

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

iQm(x) = bmx

m + bm−1xm−1 + . . .+ b1x+ b0

su jednaka ako i samo ako su istog stepena i imaju iste koeficijente, odnosnoako je n = m i a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn.

Broj x0 za koji je Pn(x0) = 0, naziva se nula ili koren polinoma Pn(x).Jednacina Pn(x) = 0 je algebarska jednacina n-tog stepena i njena resenja sunule polinoma Pn(x).

Za svaka dva polinoma Pn(x) i Qm(x) n ≥ m postoje polinomi Sk(x) iRl(x) takvi da je Pn(x) = Qm(x) · Sk(x) + Rl(x) pri cemu je l < m ili jeRl(x) ≡ 0, a k + m = n. Polinom Sk(x) je rezultat deobe polinoma Pn(x)polinomom Qm(x) a Rl(x) je ostatak pri deobi polinoma Pn(x) polinomomQm(x).

Bezuov stav : Pri deobi polinoma Pn(x) polinomom prvog stepena x − aostatak je jednak P (a).

Posledica Bezuovog stava: Ako je a nula polinoma, onda je polinom Pn(x)deljiv polinomom x− a bez ostatka, pa je

Pn(x) = anQn−1(x) · (x− a)

Ako su x1, x2, . . . , xn nule polinoma, tada je

Pn(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

Ako jePn(x) = an(x− a)k ·Qm(x)

tada je a nula k-tog reda polinoma.

Primer 22

3 Polinomi 29

1. Za polinom

f(x) = x3 − 5x2 + 8x− 4 = (x− 2)2(x− 1)

x = 2 je nula drugog reda, a x = 1 nula prvog reda.

2. Za polinomf(x) = x4 + 2x2 + 1 = (x− i)2(x+ i)2

x = i i x = −i su nule drugog reda.

Osnovni stav algebre: Svaki polinom reda n ≥ 1 ima n (realnih ili kom-pleksnih, ne obavezno razlicitih me�u sobom) nula x1, x2, . . . xn. To prakticnoznaci da se nula k-tog reda racuna kao k (istih) nula.

Vietove formule: Izme�u koeficijenata polinoma {ai} i nula polinoma{xk} vaze sledece jednakosti:

x1 + x2 + . . .+ xn−1 + xn = −an−1

an

(x1x2 + x1x3 + . . .+ x1xn) + (x2x3 + x2x4 + . . .+ x2xn) + . . .+ xn−1xn = an−2

an

...

x1x2 . . . xn = (−1)n a0

an.

Primer 23 Vietove formule za polinom drugog stepena P (x) = ax2 + bx+ ccije su nule x1 i x2 glase:

x1 + x2 = − ba

x1x2 = ca

a za polinom treceg stepena P (x) = ax3 + bx2 + cx + d cije su nule x1, x2 ix3:

x1 + x2 + x3 = − ba

x1x2 + x1x3 + x2x3 = ca

x1x2x3 = −da.

Ako su svi koeficijenti {ai} polinoma Pn(x) realni, a polinom ima kom-pleksnu nulu α + iβ reda k, tada je i α − iβ kompleksna nula tog polinomareda k. Drugim recima, kod polinoma sa realnim koeficijentima, kompleksnenule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovanokompleksan broj z.

Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficijentima moze da se faktor-izuje, odnosno napise u obliku

Pn(x) = an(x−x1)k1(x−x2)

k2 . . . (x−xi)ki(x2+b1x+c1)l1(x2+b2x+c2)

l2 . . . (x2+bjx+cj)lj

3 Polinomi 30

gde je k1 + k2 + . . .+ ki + 2(l1 + l2 + . . .+ lj) = n pri cemu su

an, x1, x2, . . . , xi, b1, b2, . . . , bj, c1, c2, . . . , cj

realni brojevi, a polinomi x2 + bjx + cj nemaju realnih nula. Naime svakojnuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x − a)k a svakom parukonjugovano kompleksnih nula k-tog reda α± iβ faktor oblika (x2 + bx+ c)k

gde su α± iβ kompleksna resenja kvadratne jednacine x2 + bx+ c = 0.

Primer 24 Naci polinom S(x) i R(x) tako da je

P (x) = S(x) ·Q(x) +R(x)

gde je P (x) = x4 + 3x3 + x− 1 i Q(x) = x2 − 1.

x4 + 3x3 + x− 1 : x2 − 1 = x2 + 3x+ 1−x4 + x2

3x3 + x2 + x−3x3 + +x

x2 + 4x− 1−x2 + 1

4x

S(x) = x2 + 3x+ 1

R(x) = 4x

x4 + 3x2 + x− 1 = (x2 + 3x+ 1)(x2 − 1) + 4x

Primer 25 Naci nule polinoma

P5(x) = x5 − 4x4 + 6x3 − 6x2 + 5x− 2

Lako se vidi da je P5(1) = 0, pa je x1 = 1, odnosno

x5 − 4x4 + 6x3 − 6x2 + 5x− 2 = (x− 1)Q4(x),

gde se Q4(x) dobija deljenjem polinoma P5(x) sa x− 1:

Q4(x) = x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2

Uocavamo i da je Q4(1) = 0, pa je x2 = 1 nula polinoma Q4(x), odnosno

x4 − 3x3 + 3x2 − 3x+ 2 = (x− 1)R3(x)

3 Polinomi 31

ili

x5 − 4x4 + 6x3 − 6x2 + 5x− 2 = (x− 1)2R3(x)

Dalje dobijamo da je R3(x) = x3 − 2x2 + x − 2, a kako se vidi da jeR3(2) = 0, to je x3 = 2 nula polinoma, pa je

x3 − 2x2 + x− 2 = (x− 2)S2(x)

pri cemu je S2(x) = x2 + 1. Prema tome:

x5 − 4x4 + 6x3 − 6x2 + 5x− 2 = (x− 1)2(x− 2)(x2 + 1)

Nule su x1,2 = 1 (dvostruka), x3 = 2 (jednostruka), dok su preostale dvekonjugovano kompleksne x4,5 = ±i.

4 Matrice i determinante 32

4 Matrice i determinante

Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m×n nad skupom (brojeva) P po-drazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n}u P .

Matrice obelezavamo velikim slovima latinice sa ili bez indeksa. Prematome

A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → P

pri cemu se ure�eni par (i, j) preslikava u element matice aij

A(i, j) = aij ((i, j) ∈ {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n})

Elementi matrice A formata m× n se razvrstavaju u m vrsta i n kolonatako sto element aij pripada i-toj vrsti i j-toj koloni. Vrste i kolone elemenatamatrice A zapisuju se izme�u uglastih zagrada:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn

Matrica A formata m× n moze se zapisati i krace kao

A = [aij]m×n

Definicija 2 Matrica ciji su svi elementi jednaki nuli naziva se nula matrica.Obelezava se sa 0m×n ili samo sa 0.

Definicija 3 Matrica sa istim broj vrsta i kolona, dakle matrica u kojoj jem = n, odnosno matrica n× n naziva se kvadratnom matricom reda n.

Definicija 4 Dve matrice A i B nad skupom P su jednake ako su istogtipa i ako su im odgovarajuci elementi jednaki. Naime, ako su date matriceA = [aij]m×n i B = [bij]m×n onda je

A = B ⇔ ∀(i, j) (aij = bij, i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n)

Definicija 5 Ako je matrica A = [aij] kvadratna onda pod njenom glavnom(padajucom) dijagonalom podrazumevamo ure�enu n-torku (a11, a22, . . . , ann),a pod sporednom, ure�enu n-torku (an1, an−1 2, . . . , a1n).

4 Matrice i determinante 33

Definicija 6 Za kvadratnu matricu kazemo da je dijagonalna ako su svinjeni elementi van glavne dijagonale jednaki 0.

D =

d1 0

d2

. . .

0 dn

Ako su svi elementi dijagonalne matrice jednaki onda se takva dijagonalnamatrica naziva se skalarnom matricom.

Definicija 7 Skalarna (dijagonalna) matrica ciji su svi elementi (na glavnojdijagonali) jednaki 1 naziva se jedinicnom matricom.

I =

1 0

1. . .

0 1

Definicija 8 Matrica 1× n

[a11 a12 . . . a1n]

je matrica vrsta, a matrica m× 1a11

a12...am1

je matrica kolona. Ove vrste matrica se zovu i vektori.

Definicija 9 Matrica a11 0 . . . 0a12 a22 . . . 0...an1 an2 . . . ann

je donja trougaona matrica, a

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n...0 0 . . . ann

je gornja trougaona matrica.

4.1 Sabiranje matrica 34

4.1 Sabiranje matrica

Definicija 10 Dve matrice istog tipa A = [aij]m×n i B = [bij]m×n nadskupom P sabiraju se tako sto im se saberu odgovarajuci elementi

A+B = [aij]m×n + [bij]m×n = [aij + bij]m×n

Sabiranje matrica je komutativno i asocijativno

A+B = B + A

(A+B) + C = A+ (B + C)

Neutralni element za sabiranje matrica tipa m × n je nula matrica tipam× n.

4.2 Mnozenje matrice skalarom

Definicija 11 Matrica se mnozi skalarom (brojem) α tako sto se svaki ele-ment matrice pomnozi tim skalarom. Ako je A = [aij]m×n onda je

α · A = [αaij]m×n

Za mnozenje matrice skalarom i sabiranje matrica vazi

• (α + β) · A = α · A+ β · A

• α(A+B) = αA+ αB

• α(βA) = (αβ)A

• 1 · A = A

4.3 Mnozenje matrica

Definicija 12 Matrice A = [aij]m×n i B = [bij]q×p mogu da se pomnoze samoako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako jen = q. U tom slucaju dobija se matrica koja ima broj vrsta kao matricaA i broj kolona kao matrica B, odnosno proizvod matrica A = [aij]m×n iB = [bij]n×p je matrica C = [cij]m×p. Elementi matrice C se izracunavaju nasledeci nacin

cij =n∑k=1

aik · bkj (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , p)

4.4 Stepen kvadratne matrice 35

Mnozenje matrica A tipa m×n, B tipa n×p i C tipa p×q je asocijativno.Naime ako je

A = [aij]m×n B = [bij]n×p C = [cij]p×q

onda je

(A ·B) · C = A · (B · C) = D = [dij]m×q

Ako je A = [aij]m×n, a Im i In jedinicne matrice reda m, odnosno n, tadaje

Im · A = A · In = A

Za mnozenje matrica A tipa m× n, B i C tipa n× p i D tipa p× q vazi

• A · (B + C) = A ·B + A · C

• (B + C) ·D = B ·D + C ·D

• α(A ·B) = (αA) ·B = A · (αB)

Mnozenje matrica u opstem slucaju nije komutativno. Naime ako postojiporizvod matrica A i B, odnosno AB, to ne znaci da mora da postoji iproizvod matrica B i A, odnosno BA. Cak i kada proizvod BA postoji, ABne mora biti jednako BA. Me�utim ako vazi AB = BA onda se kaze da sumatrice A i B komutativne.

Proizvod dve matrice A i B moze biti nula matrica, a da pri tome ni Ani B nisu nula matrice.

Primer 26

AB =

[2 − 21 − 1

] [1 21 2

]=

[0 00 0

]

BA =

[1 21 2

] [2 − 21 − 1

]=

[4 − 44 − 4

]

4.4 Stepen kvadratne matrice

Definicija 13 Ako je A kvadratna matrica a k neki prirodan broj, tada sepod k-tim stepenom matrice podrazumeva

Ak = A · A · . . . · A︸︷︷︸k puta

4.5 Transponovana matrica 36

Nulti stepen kvadratne matrice je jedinicna matrica

A0 = I

Ako je A kvadratna matrica a k i l su nenegativni celi brojevi, tada je

Ak · Al = Ak+l

(Ak)l = Ak·l

Ako su A i B komutativne matrice tada je

(A ·B)k = Ak ·Bk

Ako je A kvadratna matrica reda n, tada izraz

Pk(A) = akAk + ak−1A

k−1 + . . .+ a1A+ a0I

predstavlja matricni polinom stepena k.

4.5 Transponovana matrica

Definicija 14 Transponovana matrica matrice A tipa m× n je matrica A>

tipa n×m koja se od matrice A dobija tako sto vrste matice A zamene mestas odgovarajucim kolonama

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn

A> =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...a1n a2n . . . amn

Za transponovane matrice vazi:

• (A>)> = A

• (αA)> = α · A>

• (A+B)> = A> +B>

Ako su date matrice A = [aij]m×n i B = [bij]n×p tada je

(A ·B)> = B>A>

4.6 Determinante 37

4.6 Determinante

Za svaku kvadratnu matricu postoji odgovarajuca determinanta, pri cemu sesvaka determinata moze izracunati, odnosno svakoj determinanti odgovaraodre�ena brojna vrednost. Ako je A kvadratna matrica drugog reda:

A =

[a11 a12

a21 a22

]

onda se odgovarajuca determinanta drugog reda oznacava sa

detA =

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣a izracunava se na sledeci nacin

detA = a11a22 − a12a21

Elementi determinante, isto kao i elementi matrice, oznacavaju se sa aij,gde indeks i oznacava vrstu, a indeks j kolonu determinante kojoj pripadaelement aij.

Za kvadratnu matricuA treceg reda odgovarajuca determinanta se oznacavasa

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣a izracunava na sledeci nacin

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Za izracunavanje determinanti treceg reda moze se koristiti Sarusovopravilo: u produzetku determinante dopisu se prva i druga kolona, a potomse sa pozitivnim znakom uzimaju proizvodi elemenata na glavnoj dijagonalii duz dve njoj paralelne linije, a sa negativnim znakom proizvod elemenatana sporednoj dijagonali i duz dve njoj paralelne linije.

Slika 1: Ilustracija Sarusovog pravila

4.6 Determinante 38

Vazno je napomenuti da Sarusovo pravilo vazi samo za determinantetreceg reda i ne moze se uopstavati na determinante viseg reda.

Primetimo da su prilikom izracunavanja determinante treceg reda svisabirci oblika a1j1a2j2a3j3 , gde su j1j2j3 redom permutacije brojeva 1, 2 i3:

123 231 312 321 132 213

Promena redosleda elemenata u permutaciji u odnosu na osnovnu per-mutaciju naziva se inverzijom. Tako, na primer, u permutaciji 231 postojedve inverzije: 2 ispred 1 i 3 ispred 1. Permutacije sa parnim brojem inverzijanazivaju se parnim, a sa neparnim brojem inverzija neparnim permutacijama.

Primetimo da su prilikom izracunavanja determinante treceg reda svisabirci za koje j1j2j3 cine parnu permutaciju pozitivni, dok su negativnisabirci u kojima su j1j2j3 neparne permutacije. Tacnije, ako sa k oznacimobroj inverzija u permutaciji j1j2j3, onda svaki sabirak koji cini determinantutreceg reda mozemo oznaciti sa

(−1)ka1j1a2j2a3j3

tako da se izracunavanje determinante moze predstaviti sa

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ =∑

j1j2j3∈S(−1)ka1j1a2j2a3j3

gde je S skup svih permutacija skupa {1, 2, 3} kojih ima 3!.Ovaj rezultat se moze uopstiti na determinantu kvadratne matrice A

proizvoljnog n-tog reda, pa tako vazi

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∑j1j2...jn∈S

(−1)ka1j1a2j2 . . . anjn

gde je S skup svih permutacija skupa {1, 2, . . . , n} kojih ima ukupno n!, a kje broj inverzija u permutaciji j1j2 . . . jn.

Ova opsta definicija za k = 3 daje prethodnu definiciju determinantetreceg reda, dok je za k = 2

∑j1j2∈S

(−1)ka1j1a2j2 = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22 − a12a21

sto se slaze sa vec datom definicijom determinante drugog reda.

Definicija 15 Ako je A kvadratna matrica i detA = 0, za matricu A kazemoda je singularna, a ako je detA 6= 0 matrica je regularna.

4.6 Determinante 39

4.6.1 Osobine determinanti

1. Ako u determinanti vrste i kolone zamene mesta determinanta ne menjavrednost

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2...

......

a1n a2n . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sto znaci da je

detA = detA>

Iz ove osobine sledi da svako tvr�enje koje vazi za vrste, vazi i za kolone.

2. Ako u determinanti dve vrste (kolone) zamene mesta, determinantamenja znak

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

aj1 aj2 . . . ajn...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

aj1 aj2 . . . ajn...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3. Ako su u determinanti svi elementi jedne vrste (kolone) jednaki nuli i

determinanta je jednaka nuli

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

0 0 . . . 0...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

4. Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni odgovarajucim el-ementima neke druge vrste (kolone) onda je determinanta jednaka nuli

4.6 Determinante 40

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

kai1 kai2 . . . kain...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

5. Zajednicki faktor jedne vrste (kolone) moze da se izvuce ispred deter-minante

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

kai1 kai2 . . . kain...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6. Vrednost determinante se ne menja ako se elementima jedne vrste

(kolone) dodaju odgovarajuci elementi neke druge vrste (kolone) pomnozeniproizvoljnom konstantom c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

aj1 aj2 . . . ajn...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

aj1 + cai1 aj2 + cai2 . . . ajn + cain...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣7. Ako su elementi neke vrste (kolone) dati kao zbir dva sabirka (u ovom

slucaju elementi i-te vrste)

aij = bij + cij j = 1, 2, . . . , n

tada je determinanta jednaka zbiru dve determinante kod kojih su svevrste sem i-te jednake vrstama date determinante, a i tu vrstu jednedeterminante cine elementi bij, a druge cij (j = 1, 2, . . . , n)

4.6 Determinante 41

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

bi1 + ci1 bi2 + ci2 . . . bin + cin...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

bi1 bi2 . . . bin...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

ci1 ci2 . . . cin...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣8. Ako su A i B kvadratne matrice n-tog reda, tada je

det(A ·B) = detA · detB

Primer 27∣∣∣∣∣∣∣1983 1984 19851986 1987 19881989 1990 2000

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1983 1984 19853 3 36 6 15

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1983 1984 19853 3 30 0 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1983 1983 19833 3 30 0 9

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

0 1 23 3 30 0 9

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣0 1 23 3 30 0 9

∣∣∣∣∣∣∣ = −27

4.6.2 Izracunavanje determinante

Za svaki element aij determinante n-tog reda moze se definisati njegov minorMij koji predstavlja determinantu n− 1-og reda, a koja se dobija iz polaznedeterminante tako sto se obrisu i-ta vrsta i j-ta kolona.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1j−1 a1j+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2j−1 a2j+1 . . . a2n...

......

......

ai−1 1 ai−1 2 . . . ai−1 j−1 ai−1 j+1 . . . ai−1 n

ai+1 1 ai+1 2 . . . ai+1 j−1 ai+1 j+1 . . . ai+1 n...

......

......

an1 an2 . . . anj−1 anj+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Za element aij se dalje pomocu minora Mij definise njegov kofaktor Aij:

Aij = (−1)i+jMij

4.6 Determinante 42

Primetimo da su minor i kofaktor jednaki ako je zbir vrste i kolone el-ementa aij paran a iste apsolutne vrednosti ali razlicitog znaka ako je zbirvrste i kolone elementa aij neparan.

Polazeci od pojma kofaktora determinanta proizvoljne matrice se mozeizracunati na osnovu sledece (Laplasove) teoreme:

Teorema 1 Neka je i proizvoljna vrsta kvadratne matrice A n-tog reda.Tada je

detA =n∑j=1

aijAij

Izracunavanje determinante na ovaj nacin se naziva razvijanjem deter-minante po i-toj vrsti.

Analogno, ako je j proizvoljna kolona matrice A n-tog reda, tada je

detA =n∑i=1

aijAij

sto predstavlja razvijanje determinante po j-toj koloni.

Razvijanjem determinante n-tog reda po vrsti ili koloni izracunavanjedeterminante n-tog reda se svodi na izracunavanje n determinanti n − 1-ogreda.

Primer 28∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 4 35 2 2 33 4 1 12 3 5 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −5

∣∣∣∣∣∣∣1 4 34 1 13 5 4

∣∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣∣2 4 33 1 12 5 4

∣∣∣∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣∣∣∣2 1 33 4 12 3 4

∣∣∣∣∣∣∣+ 3

∣∣∣∣∣∣∣2 1 43 4 12 3 5

∣∣∣∣∣∣∣= −5(−2) + 2(−3)− 2 · 19 + 3 · 25 = 41

Napomena: Razvijanjem determinante cetvrtog reda po drugoj vrsti njenoizracunavanje svedeno je na izracunavanje cetiri determinanti treceg reda.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 1 3 14 2 −2 5 76 1 −1 2 31 2 1 4 5−3 −1 2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 1 0 08 8 −2 11 98 4 −1 5 4−1 −1 1 1 4−7 −7 2 −4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣8 8 11 98 4 5 4−1 −1 1 4−7 −7 −4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣8 0 11 98 −4 5 4−1 0 1 4−7 0 −4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣∣∣∣8 5 4−1 1 4−7 −4 2

∣∣∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣∣∣∣8 19 41−1 0 0−7 −11 −26

∣∣∣∣∣∣∣

4.7 Adjungovana matrica 43

= −4

∣∣∣∣∣ 19 41−11 −26

∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣∣ 8 15−11 −26

∣∣∣∣∣ = −4(−208+165) = −4(−43) = 172

Napomena: Transformisanjem determinante petog reda na osnovu osobinadeterminante, i visestrukom primenom Laplasove teoreme izracunavanje de-terminante petog reda svedeno je na izracunavanje svega dve determinantedrugog reda.

4.7 Adjungovana matrica

Definicija 16 Ako se svaki element aij u kvadratnoj matrici A zameni svo-jim kofaktorom Aij, i ako se potom tako dobijena matrica transponuje, dobijase Adjungovana matrica matrice A

adjA =

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...An1 An2 . . . Ann

>

=

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...A1n A2n . . . Ann

Za adjungovanu matricu vazi

A · adjA = (adjA) · A = (detA) · I

pri cemu je

(detA) · I =

detA 0 . . . 0

0 detA . . . 0...0 0 . . . detA

skalarna matrica ciji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki vrednostideterminante polazne matrice A.

Primer 29

A =

2 2 1−1 0 −1

0 1 1

adjA =

1 1 −1−1 2 −2−2 1 2

>

=

1 −1 −21 2 1−1 −2 2

4.8 Inverzna matrica 44

detA =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 1−1 0 −1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −1 + 2 + 2 = 3

A · adjA =

2 2 1−1 0 −1

0 1 1

· 1 −1 −2

1 2 1−1 −2 2

=

3 0 00 3 00 0 3

4.8 Inverzna matrica

Definicija 17 Inverzna matrica regularne kvadratne matrice A, koja se oznacavasa A−1, je matrica takva da je

A · A−1 = A−1 · A = I

Prema tome, kako kvadratna matrica ima inverznu matricu ako i samoako je regularna (detA 6= 0) i kako je

A · adjA = (adjA) · A = (detA) · I

onda sledi da je

A−1 =1

detA· adjA

Ako su A i B regularne matrice istog reda tada je

(A ·B)−1 = B−1 · A−1

Za inverznu matricu vaze i sledece osobine

detA−1 =1

detA

(A−1)−1 = A

4.9 Rang matrice

Definicija 18 Neka je data matrica A tipa m×n. Matrica M tipa p×q gdeje p ≤ m i q ≤ n koja je formirana od elemenata p vrsta i q kolona matriceA naziva se submatricom (podmatricom) matrice A.

4.9 Rang matrice 45

Primer 30

A =

1 −1 2 32 2 −1 −12 −2 4 6

M =

[−1 3−2 6

]Napomena: Matrica M formirana je od elemenata prve i trece vrste i drugei cetvrte kolone matrice A.

Definicija 19 Rang matrice je broj r jednak najvecem redu kvadratne regu-larne podmatrice matrice A. Vazi

r ≤ min(m,n)

Drugim recima, da bi se odredio rang matrice A, potrebno je ispitivatiredom njene kvadratne podmatrice, polazeci od kvadratnih podmatrica na-jviseg moguceg reda (k), koji je jednak manjem od broja vrsta i kolona(k = min(m,n)). Ukoliko je bar jedna od ovih podmatrica regularna (de-terminanta joj je razlicita od 0) onda je rang matrice A jednak k. Ukolikosu sve kvadratne podmatrice reda k singularne, onda se ispituje da li me�upodmatricama reda k− 1 ima regularnih. Ako su i sve matrice k− 1-og redasingularne, prelazi se na matice reda k − 2, i tako redom. Najnizi mogucirang matrice koja nije nula matrica je 1.

Primer 31

A =

1 −1 2 32 2 −1 −12 −2 4 6

Rang matrice A je r = 2 jer je

[1 −12 2

]regularna matrica, a sve kvadratne

podmatrice matrice A treceg reda su singularne (na osnovu osobine determi-nante da je jednaka 0 ako su joj elementi dve vrste ili kolone proporcionalni,a buduci da je u navedenom primeru treca vrsta matrice A proporcionalnaprvoj).

Odre�ivanje ranga matrice moze se pojednostaviti primenom elemen-tarnih transformacija matrice.

Definicija 20 Elementarne transformacije matrice su

4.9 Rang matrice 46

1. Zamena mesta dve vrste (kolone)

2. Mnozenje jedne vrste (kolone) skalarom λ 6= 0

3. Mnozenje elemenata jedne vrste (kolone) skalarom λ 6= 0 i dodavanjeodgovarajucim elementima neke druge vrste (kolone)

Definicija 21 Ako se matrica B moze dobiti iz matrice A primenom ele-mentarnih transformacija, onda se kaze da su matrice A i B ekvivalentne.Ekvivalentnost matrica se oznacava sa

B ∼ A

Veoma znacajna osobina ekvivalentnih matrica je da imaju isti rang. Toomogucava odre�ivanje ranga matrice svo�enjem na ekvivalentnu matricuciji je rang lakse odrediti.

Primer 32

A =

1 −1 0 22 1 1 33 0 1 5

∼ 1 −1 0 2

0 3 1 −10 3 1 −1

∼ 1 −1 0 2

0 3 1 −10 0 0 0

Kako je ocigledno da je rang matrice dobijene ekvivalentnim transforma-

cijama iz matrice A jednak 2, to je i

rangA = 2

5 Sistemi linearnih jednacina 47

5 Sistemi linearnih jednacina

U opstem slucaju, pod sistemom linearnih jednacina podrazumevamo sistemod m jednacina sa n nepoznatih

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

U sistemu su x1, x2, . . . , xn nepoznate velicine, dok su aij, 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n zadati koeficijenti, a bi, 1 ≤ i ≤ m zadati slobodni clanovi. Pritome broj jednacina m i broj nepoznatih n mogu biti u bilo kom od odnosam < n, m = n ili m > n.

Pod resenjem sistema linearnih jednacina podrazumevamo bilo koji skupod n brojeva α1, α2, . . . , αn koji za x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn identickizadovoljavaju sistem.

Sistem linearnih jednacina ne mora uvek imati resenje. Npr. sistem

x + y = 1

x + y = 2

nema resenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga zadovolje. Tako�e,ukoliko sistem ima resenje, to ne znaci da mora imati samo jedno resenje.Tako, npr. sistem jednacina

x + y = 1

2x + 2y = 2

ima beskonacno mnogo resenja oblika x = α, y = 1− α gde je α proizvoljanbroj. Za nepoznatu x se u ovom slucaju kaze da je slobodna a za y da jevezana. Uopste, kada sistem linearnih jednacina ima vise od jednog resenja,onda je barem jedna nepoznata slobodna, sto prakticno znaci da sistem imabeskonacno mnogo resenja.

Prema tome da li ima ili nema resenja, i ukoliko ih ima, da li ima jednojedino ili vise resenja, sistem linearnih jednacina moze biti:

1. odre�en, ako ima samo jedno resenje,

2. neodre�en, ako ima vise od jednog (beskonacno mnogo) resenja,

5 Sistemi linearnih jednacina 48

3. nemoguc (protivrecan) ako nema resenja.

Odre�eni i neodre�eni sistemi se nazivaju jednim imenom saglasnim sis-temima. Saglasan sistem, dakle, ima bar jedno resenje. Ako su svi slobodniclanovi sistema jednaki nuli:

b1 = b2 = . . . = bn = 0

sistem je homogen, u protivnom je nehomogen. Svaki homogen sistem jesaglasan, jer ima bar jedno resenje:

x1 = x2 = . . . xn = 0

Ovo resenje se naziva trivijalnim resenjem. Ukoliko je homogen sistemodre�en, on ima samo trivijalno resenje. Neodre�en homogen sistem ima iresenja koja su netrivijalna.

Primer 33 Sistemx + y = 0

x− y = 0

ima samo trivijalno resenje, dok sistem

x + y = 0

2x + 2y = 0

ima beskonacno mnogo resenja oblika x = α, y = −α.

Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako je svako resenjejednog sistema istovremeno i resenje drugog sistema i obrnuto.

Transformacije koje sistem linearnih jednacina prevode u njemu ekviva-lentan sistem su

1. Zamena mesta dveju jednacina,

2. Mnozenje svih koeficijenata jedne jednacine konstantom c 6= 0,

3. Dodavanje koeficijenata jedne jednacine odgovarajucim koeficijentimaneke druge jednacine.

Primer 34 Dat je sistem

2x + y − z = 2

5.1 Gausov postupak eliminacije 49

−x + 2y + 3z = 4

x + y + z = 3

Zamenom mesta prve i trece jednacine dobija se ekvivalentan sistem

x + y + z = 3

−x + 2y + 3z = 4

2x + y − z = 2

Ako se koeficijenti prve jednacine najpre dodaju odgovarajucim koeficijen-tima druge jednacine, a potom se pomnoze sa -2 i dodaju koeficijentima trecejednacine dobija se sistem:

x + y + z = 3

3y + 4z = 7

−y − 3z = −4

Zamenom mesta druge i trece jednacine dobija se:

x + y + z = 3

−y − 3z = −4

3y + 4z = 7

Mnozenjem koeficijenata druge jednacine sa 3 i njihovim dodavanjem nakoeficijente trece jednacine dobija se sistem ekvivalentan polaznom:

x + y + z = 3

−y − 3z = −4

−5z = −5

5.1 Gausov postupak eliminacije

Gausov postupak (metoda) eliminacije je postupak kojim se moze resavatibilo koji sistem jednacina m < n, m = n, m > n. U Gausovom postupkupretpostavlja se da je a11 6= 0. Naime, ako u konkretnom sistemu u prvojjednacini koeficijent uz x1 ne bi bio razlicit od nule u sistemu mora postojatibar jedna jednacina u kojoj je koeficijent uz x1 razlicit od nule, i onda seta jednacina i prva jednacina zamene, cime se dobija ekvivalentan sistem ukome je a11 6= 0.


Ako se sada prva jednacina podeli sa a11 dobije se ekvivalentan sistem

x1 +a12

a11

x2 +a13

a11

x3 + . . . +a1n

a11

xn =b1

a11

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

Ako se sada prva jednacina ovog sistema pomnozi sa −a21 i doda drugojjednacini, a zatim pomnozi sa −a31 i doda trecoj jednacini i tako redom,dobija se novi ekvivalentni sistem

x1 +a12

a11

x2 +a13

a11

x3 + . . . +a1n

a11

xn =b1

a11

(a22 −a12

a11

a21)x2 + (a23 −a13

a11

a21)x3 + . . . + (a2n −a1n

a11

a21)xn = b2 −b1

a11

a21

...

(am2−a12

a11

am1)x2 +(am3−a13

a11

am1)x3 + . . .+(amn−a1n

a11

am1)xn = bm−b1

a11

am1

odnosno, ako uvedemo nove oznake

a1j

a11

= a′1j j = 2, . . . , nb1

a11

= b′1

aij −a1j

a11

ai1 = a′ij i = 2, . . . ,m j = 2, . . . , n

bi −b1

a11

ai1 = b′i i = 2, . . . ,m

dobijamo sistem

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1nxn = b′1

a′22x2 + a′23x3 + . . . + a′2nxn = b′2...

a′m2x2 + a′m3x3 + . . . + a′mnxn = b′m

u kome je samo u prvoj jednacini koeficijent uz x1 razlicit od nule. Drugimrecima, nepoznata x1 eliminisana je iz svih jednacina pocev od druge panadalje.

Mi mozemo dalje pretpostaviti da je a′22 6= 0. Ako to ne bi bio slucaj,onda se, kao i u prethodnom koraku, trazi jednacina u kojoj je koeficijent uz


x2 razlicit od nule. Potom se zamenom mesta te jednacine i druge jednacinepostize da bude a′22 6= 0. Moze se, me�utim, desiti i da svi koeficijenti uz x2

budu jednaki 0, odnosno da vazi a′i2 = 0, i = 2, . . . ,m. U tom slucajuproverava se da li postoji bar jedan koeficijent a′ij 6= 0, j ∈ {3, . . . , n},i ∈ {2, . . . ,m}, odnosno da li postoji koeficijent uz neku promenljivu xj,za j > 2, u nekoj, i-toj jednacini (i ≥ 2), koji je razlicit od 0, u kom slucajusada promenljive x2 i xj mogu zameniti mesta tako da opet bude a′22 6= 0.Poslednja mogucnost je da su svi koeficijenti a′ij, i = 2, . . . ,m, j = 2, . . . , njednaki nuli, odnosno da se sistem sveo na:

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1nxn = b′1

0 = b′2...

0 = b′m

U ovom, poslednjem slucaju Gausov postupak se zavrsava. Iz ovako dobi-jenog sistema jasno je da on moze biti saglasan ako i samo ako su svi slobodnikoeficijetni b′i = 0, i = 2, . . . ,m. U tom slucaju sistem se prakticno svodina jednu jednacinu sa n nepoznatih, sto znaci da dobijeni sistem, pa samimtim i njemu ekvivalentan polazni sistem, predstavlja sistem sa beskonacnomnogo resenja. Pri tome je n − 1 nepoznatih slobodno, a jedna nepoznataje vezana. Ako je, pak, bar jedan od slobodnih koeficijenata b′i 6= 0, dobijenisistem, a time i polazni, je nemoguc.

Vratimo se sada na pretpostavku da je a′22 6= 0. U tom slucaju deljenjemdruge jednacine sa a′22 dobija se ekvivalentan sistem

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1nxn = b′1

x2 +a′23

a′22

x3 + . . . +a′2n

a′22

xn =b′2a22

...

a′m2x2 + a′m3x3 + . . . + a′mnxn = b′m

Dalje, ako se druga jednacina mnozi redom sa−a′i2 i dodaje i-toj jednacinii = 3, . . . ,m, dobija se ekvivalentan sistem:


x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1nxn = b′1

x2 +a′23

a′22

x3 + . . . +a′2n

a′22

xn =b′2a22

(a′33 −a′23

a′22

a′32)x3 + . . . + (a′3n −a′2n

a′22

a′32)xn = b3 −b′2a′22

a′32

...

(a′m3 −a′23

a′22

a′m2)x3 + . . . + (a′mn −a′2n

a′22

a′m2)xn = b3 −b′ma′22

a′m2

odnosno ako se uvedu nove oznake

a′2j

a′22

= a′′2j j = 3, . . . , nb′2a′22

= b′′2

a′ij −a′2j

a′22

a′i2 = a′′ij i = 3, . . . ,m j = 3, . . . , n

b′i −b′2a′22

a′i2 = b′′i i = 3, . . . ,m

dobija se sistem

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1nxn = b′1

x2 + a′′23x3 + . . . + a′′2nxn = b′′2

a′′33x3 + . . . + a′′3nxn = b′′3...

a′′m3x3 + . . . + a′′mnxn = b′′m

Ovaj sistem ekvivalentan je sa polaznim sistemom, a u njemu je sadapromenljiva x2 eliminisana iz svih jednacna pocev od trece jednacine panadalje. Daljim sprovo�enjem analognog postupka eliminacije nepoznatihx3, x4, . . . postupak ce se zavrsiti na ekvivalentnom sistemu koji ima oblik

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1kxk + . . . + a′1nxn = b′1

x2 + a′′23x3 + . . . + a′′2kxk + . . . + a′′2nxn = b′′2

x3 + . . . + a′′′3kxk + . . . + a′′′3nxn = b′′′3...

xm + . . . + a(m)mn xn = b(m)

m

5.2 Resavanje sistema linearnih jednacina pomocudeterminanti 53

koji je uvek saglasan, ili na sistemu ciji je oblik

x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1kxk + . . . + a′1nxn = b′1

x2 + a′′23x3 + . . . + a′′2kxk + . . . + a′′2nxn = b′′2

x3 + . . . + a′′′3kxk + . . . + a′′′3nxn = b′′′3...

xk + . . . + a(k)kn xn = b

(k)k

0 = b(k)k+1

...

0 = b(k)m

pri cemu je k < m, a koji je saglasan ako i samo ako je b(k)i = 0 za sve

vrednosti i = k + 1, . . . ,m, dok je u protivnom nemoguc. U slucaju kada jeovaj sistem saglasan, on ima prakticno isti oblik kao i prethodni, pa cemonadalje razmatrati samo ovaj prethodni.

Ako se radi o saglasnom sistemu i ako je pri tome m = n (odnosno k = n),u kom slucaju se poslednja jednacina svodi na

xn = b(n)n

onda sistem ima jedinstveno resenje. Vrednosti koje cine ovo resenje se do-bijaju tako sto se vrednost za xn dobije iz poslednje jednacine a zatim uvrstiu pretposlednju jednacinu, pa se odatle izracuna vrednost za xn−1. Postu-pak se nastavlja analogno sve do prve jednacine u kojoj se izracunava x1 naosnovu vec izracunatih vrednosti xn, xn−1, . . . , x2.

Ako je sistem saglasan a pri tome je m < n (odnosno k < n), ondasistem ima beskonacno mnogo resenja. Sve nepoznate xm+1, xm+2, . . . , xn

su slobodne, odnosno mogu imati proizvoljne vrednosti, dok su nepoznatex1, x2, . . . , xm vezane, odnosno izrazavaju se u funkciji slobodnih nepoznatih.

Gausovom metodom se, prema tome:

1. utvr�uje da li je sistem saglasan ili nemoguc i

2. u slucaju saglasnog sistema dobijaju se resenja sistema.

5.2 Resavanje sistema linearnih jednacina pomocu de-terminanti

Resavanje sistema linearnih jednacina pomocu determinanti moguce je samoukoliko je broj jednacina jednak broju nepoznatih, odnosno, ako je m = n.


Sistem je u tom slucaju

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Matrica koju formiraju koeficijenti uz nepoznate aij

S =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

se naziva matricom sistema a njena determinanta

Ds =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣determinantom sistema.

Za resavanje sistema linearnih jednacina pomocu determinanti, pored de-terminante sistema, koristi se jos n determinanti Dk, k = 1, . . . , n koje sedobijaju tako sto se u determinanti Ds, k-ta kolona zameni kolonom slobod-nih clanova.

Dk =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1k−1 b1 a1k+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2k−1 b2 a2k+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ank−1 bn ank+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Primena determinanti za resavanje sistema linearnih jednacina prakticno

se zasniva na sledecoj teoremi:

Teorema 2 Neka sistem n linearnih jednacina sa n nepoznatih ima barjedno resenje. Tada, za svako resenje sistema

x1 = α1 x2 = α2 . . . xn = αn

vaze jednakostiαk ·Ds = Dk k = 1, 2, . . . , n


Dokaz 5 Pomnozimo determinantu Ds sa αk i to tako sto pomnozimo up-ravo njenu k-tu kolonu:

αk ·Ds = αk ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k . . . a1n

a21 . . . a2k . . . a2n...

......

an1 . . . ank . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . αka1k . . . a1n

a21 . . . αka2k . . . a2n...

......

an1 . . . αkank . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣U dobijenoj determinanti pomnozimo prvu kolonu sa α1, pa je dodamo

k-toj koloni, zatim drugu kolonu sa α2, pa i nju dodamo k-toj koloni, i takoredom do n-te kolone koju pomnozimo sa αn i dodamo tako�e k-toj koloni,tako da konacno dobijemo

αk·Ds =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1k−1 a11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn a1k+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2k−1 a21α1 + a22α2 + . . . + a2nαn a2k+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ank−1 an1α1 + an2α2 + . . . + annαn ank+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Kako je α1, α2, . . . , αn resenje sistema, to je

a11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn = b1

a21α1 + a22α2 + . . . + a2nαn = b2

...

an1α1 + an2α2 + . . . + annαn = bn

pa je

αk ·Ds =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1k−1 b1 a1k+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2k−1 b2 a2k+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ank−1 bn ank+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= Dk

sto je i trebalo dokazati.

Ako je, dakle, α1, α2, . . . αn resenje sistema i Ds 6= 0, odnosno matricasistema je regularna, onda je

αk =Dk

Ds

Za sisteme jednacina u kojima je broj jednacina jednak broju nepoznatihvazi tzv. Kramerovo pravilo: Ako je matrica sistema regularna, odnosno ako

5.3 Matricne jednacine 56

je Ds 6= 0, onda je sistem odre�en, odnosno, saglasan je i ima jedinstvenoresenje

xk =Dk

Ds

k = 1, 2, . . . , n

Sa druge strane, ako je matrica sistema singularna, odnosno ako je Ds =0, a bar jedna od determinanti Dk 6= 0, k ∈ {1, 2, . . . , n}, onda je sistemnemoguc. Naime, ako bi sistem imao resenje pri Ds = 0 i Dk 6= 0 za neko k,onda bi vazilo

Dk = αk ·Ds = 0

sto protivreci uslovu Dk 6= 0.Ukoliko je Ds = 0 i Dk = 0 k = 1, 2, . . . , n onda sistem sigurno nije

odre�en, ali preostaju dve druge mogucnosti: da je sistem neodre�en (imabeskonacno mnogo resenja) ili da je nemoguc (nema resenja), ali se do resenjasistema u ovom slucaju ne moze doci pomocu determinanti.

Konacno, ako je u pitanju homogen sistem jednacina, odnosno sistem ukome su slobodni koeficijenti b1 = b2 = . . . = bn = 0, onda ce uvek bitiD1 = D2 = . . . = Dn = 0 jer svaka od ovih determinanti sadrzi jednukolonu u kojoj se nalaze slobodni koeficijenti, odnosno same nule. Kako je,sa druge strane, homogen sistem uvek saglasan, to znaci da za Ds 6= 0 sistemima jedinstveno resenje, a to je trivijalno resenje, dok je za Ds = 0 sistemneodre�en, odnosno ima beskonacno mnogo resenja.

5.3 Matricne jednacine

Sistem linearnih jednacina

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

moze se izraziti u obliku matricne jednacine

A ·X = B

gde je

5.4 Kroneker-Kapelijeva teorema 57

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn

matrica sistema, dok su X i B vektori kolone

X =

x1

x2...

xn

B =

b1

b2...

bm

Ako je sistem kvadratan (m = n), a matrica sistema A regularna (detA 6=

0), onda za nju postoji inverzna matrica A−1, pa se resenje matricne jednacinemoze dobiti na sledeci nacin

A−1 · (AX) = A−1 ·B

(A−1 · A) ·X = A−1 ·B

I ·X = A−1 ·B

X = A−1B

5.4 Kroneker-Kapelijeva teorema

Za sistem lineranih jednacina

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

cija je matrica sistema

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...am1 am2 . . . amn

5.5 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 58

moze se formirati i sledeca matrica

A =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

...am1 am2 . . . amn bm

koja se naziva prosirenom matricom sistema.

Teorema 3 (Kroneker-Kapeli) Sistem linearnih jednacina je saglasan ako isamo ako je

r = rangA = rangA

odnosno ako je rang matrice sistema r jednak rangu prosirene matrice sis-tema.

Za saglasne sisteme vazi:

1. Ako je rang matrice A sistema r = n (pri cemu mora biti n ≤ m) ondasistem ima jedinstveno resenje.

2. Ako rang matrice A sistema r < n onda sistem ima beskonacno mnogoresenja pri cemu je n−r nepoznatih slobodno, a r ih je vezano (zavisnood slobodnih nepoznatih).

Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme direktno sledi da je svaki ho-mogeni sistem saglasan jer se matrica sistema prosiruje kolonom slobodnihkoeficijenata cije su vrednosti same nule pa se ovakvim prosirenjem rangmatrice ne moze povecati, odnosno rangA = rangA.

5.5 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice

Za kvadratne matrice mogu se definisati sopstveni vektori i sopstvene vred-nosti. Naime, svaka matrica kolona (vektor)

X =

x1

x2...

xn

naziva se sopstveni vektor kvadratne matrice A reda n ako postoji skalar λtakav da je

A ·X = λX


U tom slucaju se skalar λ naziva sopstvena vrednost matrice A koja odgovarasopstvenom vektoru X.

Jednacina

A ·X = λX

moze da se napise i kao

A ·X − λX = 0

odnosno

(A− λI) ·X = 0

Kako je matrica

(A− λI) =

a11 − λ a12 . . . a1n

a21 a22 − λ . . . a2n...

an1 an2 . . . ann − λ

to matricnoj jednacini

(A− λI) ·X = 0

odgovara homogeni sistem jednacina

(a11 − λ)x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2nxn = b2

...

an1x1 + an2x2 + . . . + (ann − λ)xn = bn

Determinanta ovog sistema

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1n

a21 a22 − λ . . . a2n...

an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣predstavlja polinom po λ i naziva se karakteristicnim polinomom matrice A.Odgovarajuca algebarska jednacina

det(A− λI) = 0


naziva se karakteristicnom jednacinom matrice A.Iz nacina formiranja karakteristicnog polinoma sledi da resenja karakter-

isticne jednacine predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A, a zamenomsopstvenih vrednosti u sistem

(A− λI) ·X = 0

dobijaju se odgovarajuci sopstveni vektori matrice A.

Primer 35 Za zadatu matricu

A =

3 1 11 3 1

−1 1 3

karakteristicni polinom se dobija resavanjem determinante

A =

∣∣∣∣∣∣∣3− λ 1 1

1 3− λ 1−1 1 3− λ

∣∣∣∣∣∣∣odakle sledi karakteristicna jednacina

λ3 − 9λ2 + 24λ− 16 = 0

Resenja ove jednacine su λ1 = 1, λ2 = λ3 = 4 i ona predstavljaju sop-stvene vrednosti matrice A. Za sopstvenu vrednost λ1 = 1 dobija se homogenisistem

2x + y − z = 0

x + 2y + z = 0

−x + y + 2z = 0

cija su resenja oblika (α,−α, α). Odavde sa sopstveni vektor za λ1 = 1 mozedobiti izborom proizvoljne vrednosti α 6= 0, recimo α = 1, u kom slucaju jeodgovarajuci sopstveni vektor

X1 =

1−11

Za λ2 = λ3 = 4 imamo sistem

−x + y − z = 0

x− y + z = 0


−z + y − z = 0

cija su resenja (α − β, α, β), odakle se za α = 1 i β = 0 dobija sopstvenivektor

X2 =

110

a za α = 0 i β = 1 sopstveni vektor

X3 =

−101

6 Analiticka geometrija 62

6 Analiticka geometrija

6.1 Vektori

Svaki vektor odre�en je svojim pravcem, smerom i intenzitetom. Naime, akoje data neka prava p i na njoj dve tacke A i B, onda je A pocetna tackaa B krajnja tacka vektora

−→AB. Pravac vektora

−→AB odre�en je pravom p

(koja se naziva i nosac vektora), a njegov smer je od tacke A do tacke B.

Konacno, intenzitet vektora−→AB jednak je mernom broju duzi AB. Vektor−→

AB moze da se oznaci i sa ~a, a njegov intenzitet sa−→AB odnosno |~a| ili samo

a. Vazi |~a| ≥ 0, s tim sto ako je intenzitet vektora jednak 0, onda se tajvektora naziva nula-vektorom i oznacava sa ~0. Nula-vektor je jedini ektor cijisu pravac i smer su proizvoljni.

Vektor ~a ciji intenzitet |~a| = 1, naziva se jedinicnim vektorom ili ortom.

Definicija 22 Dva vektora su me�usobno jednaka ako imaju isti pravac,smer i intenzitet.

Napomena: Vektori imaju isti pravac ako su prave koje su im nosaci paralelneili se poklapaju. Vektori koji imaju isti pravac se nazivaju kolinearnim vek-torima, sto znaci da su kolinearni vektori istog smera i intenziteta me�usobnojednaki. Prema tome, dva jednaka vektora se ne moraju nalaziti na istompolozaju u prostoru, vec se mogu nalaziti na razlicitim, paralelnim pravama.Odavde sledi da se vektor ne menja ako se u prostoru pomera translatorno,odnosno tako da zadrzava isti pravac i smer.

Definicija 23 Proizvod skalara (broja) m 6= 0 i vektora ~a je vektor ~b = m~aciji je pravac jednak pravcu vektora ~a, dok je smer jednak smeru vektora ~aako je m > 0, a suprotan smeru vektora ~a ako je m < 0. Intenzitet vektora|~b| = |m| · |~a|.

Proizvod skalara 0 i vektora ~a, 0 ·~a jednak je nula-vektoru. Proizvod skalara−1 i vektora ~a, −1 ·~a je vektor −~a koji je istog pravca i intenziteta kao vektor~a, ali ima suprotan smer.

Ako su vektori ~a i ~b kolinearni onda uvek postoji skalar m takav da je:

~a = m ·~b

Definicija 24 Zbir dva vektora ~a i ~b je vektor ~c = ~a +~b koji se dobija takosto se vektor ~b translatornim pomeranjem dovede u takav polozaj da se njegovpocetak poklopi sa krajem vektora ~a, pa je vektor ~c vektor ciji se pocetakpoklapa sa pocetkom vektora ~a, a kraj sa krajem vektora ~b.

6.1 Vektori 63

Ako su A, B i C tri tacke u prostoru, onda je−→AB +

−−→BC =

−→AC.

Sabiranje vektora ima sledece osobine

• ~a+~b = ~b+ ~a

• (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c)

• ~a+~0 = ~a

• ~a+ (−~a) = ~0

Sabiranje vektora i mnozenje vektora skalarom zadovoljavaju sledece os-obine:

• m(~a+~b) = m · ~a+m ·~b

• (m+ n) · ~a = m · ~a+ n · ~a

Razlika dva vektora ~a i ~b svodi se na zbir vektora ~a i vektora −~b. Pod-setimo da je vektor −~b jednak vektoru ~b po intenzitetu i pravcu, ali mu jesmer suprotan smeru vektora ~b.

~a−~b = ~a+ (−~b)

Definicija 25 Skalarni proizvod dva vektora ~a i ~b se oznacava sa ~a · ~b ipredstavlja skalar (broj) koji se dobija na sledeci nacin

~a ·~b = |~a| · |~b| · cosα

pri cemu je α ugao izme�u vektora ~a i vektora ~b.

Za skalarni proizvod vaze sledece osobine

• ~a ·~b = ~b · ~a

• (~a+~b) · ~c = ~a · ~c+~b · ~c

• ~a · ~a = |~a| · |~a| · cos 0 = |~a|2

Iz ove poslednje osobine sledi da je

|~a| =√~a · ~a

Ako ~a i ~b nisu nula vektori iz definicije skalarnog prozvoda sledi da jecosα, gde je α ugao izme�u ova dva vektora, jednak:

6.1 Vektori 64

cosα =~a ·~b|~a| · |~b|

Pomocu skalarnog proizvoda moze se ispitati da li su dva vektora ~a i ~bme�usobno normalna. Naime, kako je kosinus pravog ugla jednak 0, to suvektori ~a i ~b koji su razliciti od 0 normalni ako i samo ako im je skalarniproizvod jednak nuli.

~a ⊥ ~b⇔ ~a ·~b = 0

Definicija 26 Vektorski proizvod dva vektora ~a i ~b je vektor ~c sa sledecimosobinama:

1. Intezitet vektora ~c je jednak |~c| = |~a| · |~b| · sinα gde je ugao α izme�u

vektora ~a i ~b.

2. Pravac vektora ~c je normalan na ravan odre�enu vektorima ~a i~b, odnosno,~c ⊥ ~a i ~c ⊥ ~b.

3. Smer vektora ~c se odre�uje tako da vektori ~a, ~b i ~c formiraju desnitriedar.

Napomena: Ako su vektori ~a i ~b kolinearni, onda njima nije odre�ena jedin-stvena ravan, pa stoga nije moguce odrediti pravac i smer njihovog vektorskogproizvoda. Me�utim, sinus ugla izme�u kolinearnih vektora je uvek jednak0, odakle je i intenzitet njihovog vektorskog proizvoda jednak 0, sto znacida je vektorski proizvod kolinearnih vektora ~0, koji kao sto smo videli imaproizvoljan pravac i smer.

Kao sto se pomocu skalarnog proizvoda moze ispitati da li su dva vektora ~ai ~b me�usobno normalna, tako se pomocu vektorskog proizvoda moze ispitatida li su dva vektora me�usobno kolinearna. Naime, vektori ~a i ~b koji surazliciti od 0 su kolinearni ako i samo ako im je vektorski proizvod nula-vektor.

Za vektorski proizvod ~a×~b vaze sledece osobine

~a×~b = −~b× ~a

(~a+~b)× ~c = ~a× ~v +~b× ~c

Kao sto se vidi iz prve osobine, vektorski proizvod nije komutativan.Naime, ako vektori koji formiraju vektorski proizvod promene mesta, rezul-tujuci vektor menja smer.

6.1 Vektori 65

Vektorski proizvod ima i svoju geometrijsku interpretaciju. Naime, ako senad vektorima ~a i ~b konstruise paralelogram, njegova povrsina bice jednakaintenzitetu vektorskog proizvoda vektora ~a i ~b.

Naime, ovaj paralelogram ima osnovicu a = |~a| a odgovarajuca visina

jednaka je ha = |~b| · sinα, odakle je

P = a · ha = |~a||~b| · sinα = |~a×~b|

Definicija 27 Mesoviti proizvod tri vektora ~a, ~b i ~c je skalar

(~a×~b) · ~c

Za mesoviti proizvod vazi sledeca osobina

(~a×~b) · ~c = ~a · (~b× ~c)

Za tri vektora ~a, ~b i ~c kazemo da su komplanarni, ako postoji ravan kojojsu sva tri vektora paralelna. Posebno, vektori su komplanarni ako leze u istojravni. Vektori ~a, ~b i ~c su komplanarni ako i samo ako je

(~a×~b) · ~c = 0

Naime, ako su ~a, ~b i ~c komplanarni, tada je (~a×~b) ⊥ ~c pa je (~a×~b) · ~c.Sa druge strane, ako je (~a×~b) ·~c = 0 onda je ili (~a×~b) ⊥ ~c ili je ~a×~b = 0.

U prvom slucaju, kako je skalarni proizvod vektora (~a×~b) i vektora ~c jednak

nuli, sledi da je (~a × ~b) ⊥ ~c, a kako je po definiciji vektorskog proizvoda

(~a ×~b) ⊥ ~a i (~a ×~b) ⊥ ~b to je (~a ×~b) istovremeno normalan na tri vektora

~a, ~b i ~c sto znaci da su ta tri vektora komplanarna. U drugom slucaju, kadaje ~a ×~b = 0, to znaci da su vektori ~a i ~b kolinearni, pa onda vektori ~a, ~b i ~cmoraju biti komplanarni.

Ako se nad vektorima ~a, ~b i ~c konstruise paralelepiped, njegova zapreminaje jednaka

V = |(~a×~b) · ~c|

Naime, zapremina ovog paralelepipeda je

V = B ·H

cija je osnovica paralelogram konstruisan nad vektorima ~a i ~b, odakle jeB = |~a ×~b|. Sa druge strane je H = |~c| · cosα gde je α manji ugao izme�u

pravca odre�enog vektorima ~a×~b i pravca odre�enog vektorom ~c. Odatle je

6.2 Vektori u koordinatnom sistemu 66

cosα =|(~a×~b) · ~c||~a×~b| · |~c|

odnosno|~a×~b| · |~c| · cosα = |(~a×~b) · ~c|

Zapremina paralelepipeda je, prema tome

V = |~a×~b| · |~c| · |(~a×~b) · ~c|

|~a×~b| · |~c|= |(~a×~b) · ~c|

6.2 Vektori u koordinatnom sistemu

Neka su ~i, ~j i ~k jedinicni, uzajamno normalni vektori koji cine desni triedar,i neka su Ox, Oy i Oz ose odre�ene ovim vektorima. Vektori~i, ~j i ~k nazivajuse ortovima koordinatnih osa. Proizvoljan vektor ~a moze se na jednoznacannacin izraziti kao linearna kombinacija vektora ~i, ~j i ~k, dakle kao zbir trivektora od kojih svaki ima pravac jedne od koordinatnih osa.

Naime, vektor ~a moze uvek da se postavi tako da mu je pocetak u koor-dinatnom pocetku O, odnosno da je ~a =

−−→OM , gde tacka M ima koordinate

(x, y, z). Ako je M ′ normalna projekcija tacke M na ravan Oxy a M ′′ nor-malna projekcija tacke M ′ na osu Ox, onda je

~a =−−→OM =

−−→OM ′ +

−−−→M ′M =

−−−→OM ′′ +

−−−−→M ′′M ′ +

−−−→M ′M

Vektor−−−→OM ′′ kolinearan je sa vektorom ~i i iz nacina na koji je formiran

sledi da je njegov intenzitet jednak x koordinati tacke M . Kako je ovaj

vektor, pri tome, kolinearan sa vektorom ~i, sledi da je−−−→OM ′′ = x~i. Potpuno

analogno, vektor−−−−→M ′′M ′ koji je kolinearan sa vektorom ~j jednak je

−−−−→M ′′M ′ =

y~j, a vektor−−−→M ′M kolinearan sa vektorom ~k jednak je

−−−→M ′M = z~k, pa je

~a =−−→OM = x~i+ y~j + z~k

Za vektor ~a = x~i+ y~j + z~k kazemo da ima koordinate x, y i z i pisemo

~a = (x, y, z)

pri cemu treba naglasiti da su vrednosti koordinata vektora ~a jednake koor-dinatama tacke M .

Ako su vektori zadati svojim koordinatama, onda se i operacije sa vek-torima mogu izraziti preko koordinata


1. Mnozenje vektora skalarom daje

m~a = m(x~i+ y~j + z~k) = mx~i+my~j +mz~k

odakle je m~a = (mx,my,mz). Drugim recima, vektora zadat koordi-natama se mnozi skalarom tako sto mu se svaka koordinata pomnozisa vrednoscu tog skalara.

2. Kada je u pitanju sabiranje vektora ~a = x1~i + y1

~j + z1~k, odnosno

~a = (x1, y1, z1) i vektora ~b = x2~i + y2

~j + z2~k, odnosno ~b = (x2, y2, z2),

dobijamo

~a+~b = (x1~i+y1

~j+z1~k)+(x2

~i+y2~j+z2

~k) = (x1+x2)~i+(y1+y2)~j+(z1+z2)~k

odnosno ~a +~b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2), sto znaci da se koordinatevektora koji predstavlja zbir dva vektora dobijaju sabiranjem odgo-varajucih koordinata ta dva vektora. Analogno, koordinate vektora kojipredstavlja razliku dva vektora dobijaju se kao razlika odgovarajucihkoordinata ta dva vektora.

3. Za skalarani proizvod dva vektora ~a = (x1, y1, z1) i ~b = (x2, y2, z2)dobijamo

~a ·~b = (x1~i+ y1

~j + z1~k) · (x2

~i+ y2~j + z2

~k) =

x1x2~i·~i+y1x2

~j·~i+z1x2~k·~i+x1y2

~i·~j+y1y2~j·~j+z1y2

~k·~j+x1z2~i·~k+y1z2

~j·~k+z1z2~k·~k

odnosno, kako je, zbog ortogonalnosti vektora ~i, ~j i ~k

~i ·~j = ~j ·~i =~i · ~k = ~k ·~i = ~j · ~k = ~k ·~j = 0

ostaje samo

~a ·~b = x1x2|~i|2 + y1y2|~j|2 + z1z2|~k|2

Kako su, dalje, ~i, ~j i ~k jedinicni vektori, to je

|~i|2 = |~j|2 = |~k|2 = 1

pa je konacno

~a ·~b = x1x2 + y1y2 + z1z2


odnosno skalarni proizvod dva vektora jednak je zbiru proizvoda odgo-varajucih koordinata ta dva vektora.

Odavde je, za ~a = x~i + y~j + z~k, skalarni proizvod vektora sa samimsobom jednak

~a · ~a = xx+ yy + zz

odnosno, kako je

~a · ~a = |a|2

sledi|~a| =

√~a · ~a =

√x2 + y2 + z2

4. Kosinus ugla izme�u dva vektora, tako�e se moze izracunati pomocu

njihovih koordinata. Naime, kako je cosα = ~a·~b|~a|·|~b| gde je α = 6 (~a,~b) to

je

cosα =x1x2 + y1y2 + z1z2√

x21 + y2

1 + z21

√x2

2 + y22 + z2

2

5. Za vektorski proizvod dobija se

~a×~b = (x1~i+ y1

~j + z1~k)× (x2

~i+ y2~j + z2

~k) =

x1x2~i×~i+ y1x2

~j ×~i+ z1x2~k ×~i+

x1y2~i×~j + y1y2

~j ×~j + z1y2~k ×~j+

x1z2~i× ~k + y1z2

~j × ~k + z1z2~k × ~k

Me�utim, kako su vektori ~i, ~j i ~k me�usobno ortogonalni vektori iformiraju desni triedar, to je

~i×~i = ~j ×~j = ~k × ~k = 0

~i×~j = ~k ~j ×~i = −~k ~j × ~k =~i

~k ×~j = −~i ~k ×~i = ~j ~i× ~k = −~j

pa je, prema tome,

~a×~b = −y1x2~k + z1x2

~j + x1y2~k − z1y2

~i− x1z2~j + y1z2

~i


odnosno

~a×~b = (y1z2 − z1y2)~i− (x1z2 − z1x2)~j + (x1y2 − y1x2)~k

Ovo moze da se predstavi i pomocu determinanti kao

~a×~b =

∣∣∣∣∣ y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣ ·~i−∣∣∣∣∣ x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣ ·~j +

∣∣∣∣∣ x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣ · ~kodnosno

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣pri cemu ova poslednja determinanta i nije determinata u pravom smislute reci, buduci da sadrzi i skalare i vektore, vec je njen smisao iskljucivoda posluzi za to da se njenim razvijanjem po prvoj vrsti dobije vektorskiproizvod.

6. Kako je

~a×~b = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)

to se za mesoviti proizvod vektora ~a, ~b i ~c = x3~i+ y3

~j + z3~k dobija

(~a×~b) · ~c = (y1z2 − z1y2)x3 + (z1x2 − x1z2)y3 + (x1y2 − y1x2)z3

sto se moze predstaviti i pomocu determinanti kao

(~a×~b) · ~c =

∣∣∣∣∣ y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣ x3 −∣∣∣∣∣ x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣ y3 +

∣∣∣∣∣ x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣ z3

odnosno kao determinanta (u ovom slucaju ”prava”)

(~a×~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣


Vec smo videli da se pomocu vektorskog proizvoda moze utvrditi da li sudva vektora kolinearna. Me�utim, za vektore date preko koordinata, to semoze ustanoviti i znatno jednostavnije. Naime, ako su vektori ~a = (x1, y1, z1)

i ~b = (x2, y2, z2) me�usobno kolinearni, tada, kao sto smo vec konstatovali,postoji skalar m takav da je

~a = m~b

odnosno

~a = (mx2,my2,mz2)

iz cega sledi

x1 = mx2 y1 = my2 z1 = mz2

odnosno

x1

x2

=y1

y2

=z1

z2

Prema tome, dva vektora su kolinearna ako su im koordinate proporcionalne.

Primer 36 Ako su uglovi koje vektor ~a = (x, y, z) zaklapa sa koordinatnim

osama redom α = 6 (~a,~i), β = 6 (~a,~j) i γ = 6 (~a,~k) tada je

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1

Naime, kako su vektori ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1), to je

cosα =~a ·~i|~a| · |~i|

=x√

x2 + y2 + z2

cos β =~a ·~j|~a| · |~j|

=y√

x2 + y2 + z2

cosα =~a · ~k|~a| · |~k|

=z√

x2 + y2 + z2

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ =x2

x2 + y2 + z2+

y2

x2 + y2 + z2+

z2

x2 + y2 + z2= 1


Primer 37 Odrediti zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad vektorima

~a = (3, 2,−1) ~b = (1, 4,−2) ~c = (4, 5,−3)

kao i visinu koja odgovara strani odre�enoj vektorima ~a i ~b.

V = |(~a×~b) · ~c|

(~a×~b)·~c =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 −11 4 −24 5 −3

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣3 2 −1

−5 0 0−5 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −(−5)

∣∣∣∣∣ 2 −1−1 0

∣∣∣∣∣ = 5·(−1) = −5

V = | − 5| = 5

H =V

BV = 5 B = |~a×~b|

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k3 2 −11 4 −2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0~i+ 5~j + 10~k

~a×~b = (0, 5, 10) |~a×~b| =√

52 + 102 =√

125 = 5√

5

H =5

5√

5=

1√5

=

√5

5

Primer 38 Neka su α, β i γ uglovi koje neki vektor ~n = x~i+y~j+z~k zaklapa,respektivno, sa koordinatnim osama Ox, Oy i Oz, odnosno vektorima ~i, ~j i~k. Ako vektor ~n skalarno pomnozimo redom sa ~i, ~j i ~k dobijamo:

~n ·~i = x ~n ·~j = y ~n · ~k = z

odnosno

x = ~n ·~i = |~n| · |~i| · cosα = |~n| · cosα

y = ~n ·~j = |~n| · |~j| · cos β = |~n| · cos β

z = ~n · ~k = |~n| · |~k| · cos γ = |~n| · cos γ

pa je

~n = (|~n| cosα, |~n| cos β, |~n| cos γ)

odnosno ako je ~n0 jedinicni vektor | ~n0| = 1

~n0 = (cosα, cos β, cos γ)

6.3 Analiticka geometrija u ravni 72

6.2.1 Rastojanje dve tacke u prostoru

Ako su u prostoru date dve tacke M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2) onda je nji-

hovo me�usobno rastojanje M1M2 jednako intenzitetu vektora−−−−→M1M2. Vek-

tor−−−−→M1M2 moze se predstaviti kao:

−−−−→M1M2 =

−−−→OM2 −

−−−→OM1

gde su−−−→OM2 i

−−−→OM1 vektori polozaja tacaka M1 i M2, pa je

−−−→OM1 = (x1, y1, z1)

i−−−→OM2 = (x2, y2, z2) odnosno

−−−−→M1M2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Sledi da je

M1M2 = |−−−−→M1M2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

rastojanje izme�u tacke M1 i M2 u prostoru.

6.3 Analiticka geometrija u ravni

U ovom odeljku posmatracemo tacke u ravni, odnosno u dvodimenzionalnomkoordinatnom sistemu Oxy u kome svaka tacka ima dve koordinate, x i y.Neka su a i b koordinate tacke O′(a, b). Ako se koordinatni sistem Oxytranslira (translatorno pomeri) za vektor OO′ dobice se novi koordinatnisistem O′x′y′. Ako je tacka M u ravni u odnosu na koordinatni sistem Oxyimala koordinate x i y, onda ce ona u odnosu na koordinatni sistem O′x′y′

imati nove koordinate x′ i y′. Pri tome izme�u starih i novih koordinatapostoji sledeca veza

x = x′ + a (x′ = x− a)

y = y′ + b (y′ = y − b)

Sem translacije koordinatnog sistema, moze se izvrsiti i njegova rotacijaoko koordinatnog pocetka O. Rotacijom koordinatnog sistema Oxy u ravnioko tacke O za ugao α dobija se novi koordinatni sistem Ox′y′. Posma-tracemo sada neki vektor

−−→OM = (x, y) koji je u Oxy jednak

−−→OM = x~i+ y~j

gde su ~i i ~j ortovi koordinatnih osa Ox i OyTaj isti vektor ce, me�utim, u sistemu u sistemu Ox′y′ imati oblik

−−→OM = x′~i′ + y′~j′


gde su sada ~i′ i ~j′ ortovi koordinatnih osa Ox′ i Oy′. Drugim recima ukoordinatnom sistemu Ox′y′ je

−−→OM = (x′, y′).

Kako je

x~i+ y~j = x′~i′ + y′~j′

to ako se ova jednakost skalarno pomnozi vektorom ~i dobija se

x = x′ cosα+ y′ cos(π

2+ α)

jer je i · i = 1, i · j = 0, 6 (i, i′) = α, 6 (i, j′) = π2

+ α

Sa druge strane, ako se ista jednakost skalarno pomnozi vektorom~j dobijase

y = x′ cos(π

2− α) + y′ cosα

jer je i · j = 0, j · j = 1, 6 (j, i′) = π2− α, 6 (j, j′) = α

Drugim recima, stare koordinate x i y vektora−−→OM (odnosno tacke M)

povezane su novim koordinatama x′ i y′, dobijenim rotacijom koordinatnogsistema za ugao α, jednakostima

x = x′ cosα− y′ sinα

y = x′ sinα+ y′ cosα

6.3.1 Opsta jednacina krive drugog reda

Krive drugog reda, kao sto su elipsa, hiperbola ili parabola se u ravni moguzadati jednom opstom jednacinom koja glasi

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+ 2Ey + F = 0

pri cemu je A2 + B2 + C2 > 0, sto znaci da bar jedan od koeficijenata A, Bi C mora biti razlicit od 0.

Zavisno od vrednosti koeficijenata A, B, C, D, E i F , opsta jednacinakrive drugog reda definise elipsu (ukljucujuci i kruznicu), hiperbolu ili parabolu,ali moze definisati i samo jednu tacku, dve prave koje se seku, dve paralelneprave kao i dve prave koje se poklapaju. Konacno, moguce je i da ne pos-toji nijedna tacka sa koordinatama x i y koje zadovoljavaju ovu jednacinu.Da bismo odredili o kome od ovih slucajeva se radi, od koeficijenata opstejednacine se formiraju dve determinante

δ =

∣∣∣∣∣ A BB C

∣∣∣∣∣ ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣A B DB C ED E F

∣∣∣∣∣∣∣


δ > 0∆ 6= 0

S ·∆ < 0 ElipsaS ·∆ > 0 Prazan skup (imaginarna elipsa)

∆ = 0 Tacka

δ < 0∆ 6= 0 Hiperbola∆ = 0 Prave koje se seku

δ = 0∆ 6= 0 Parabola∆ = 0 Paralelene prave, prave koje se poklapaju,

prazan skup (imaginarne prave)

Tabela 10: Podela krivih drugog reda

Ako je, pri tome, S = A+ C onda vazi podela data tabelom 10.Krive drugog reda, elipsa, hiperbola i parabola imaju i svoje kanonske

jednacine

x2

a2+y2

b2= 1

za elipsu, pri cemu se za a = b dobija kruznica, zatim

x2

a2− y2

b2= 1

za hiperbolu, iy2 = 2px p > 0

ilix2 = 2qy q > 0

za parabolu.Translacijom i rotacijom koordinatnog sistema opsta jednacina krive dru-

gog reda moze se svesti na odgovarajucu kanonsku jednacinu. Naime, akokriva drugog reda ima osu simetrije paralelnu jednoj od koordinatnih osaonda je koeficijent uz xy jednak 0 (B = 0). Sem toga, ako se koordinatnipocetak postavi u centar krive (u slucaju krivih sa centrom, elipse i hiperbole)onda su koeficijenti uz x i y jednaki 0 (D = E = 0).

Ako je δ =

∣∣∣∣∣ A BB C

∣∣∣∣∣ = AC − B2 6= 0 radi se o krivoj sa centrom koja se

translacijom svodi na oblik

Ax21 + 2Bx1y1 + Cy2

1 + F1 = 0

gde je F1 = ∆δ, a potom rotacijom na oblik

A2x22 + C2y

22 + F1 = 0


gde je A2 6= 0 i C2 6= 0. Odavde se, dalje, dobijaju kanonske jednacine elipse(realne ili imaginarne) ili hiperbole, odnosno tacke, za F1 = 0.

Ako je δ =

∣∣∣∣∣ A BB C

∣∣∣∣∣ = AC−B2 = 0 radi se o krivoj bez centra. Rotacijom

se dobija

A1x21 + 2D1x1 + 2E1y1 + F = 0

ili

C1y21 + 2D1x1 + 2E1y1 + F = 0

a potom translacijom

A1x22 + 2E1y2 = 0 ili A1x

22 + F1 = 0 ako je E1 = 0

odnosno

C1y22 + 2D1x2 = 0 ili C1y

22 + F1 = 0 ako je D1 = 0.

6.3.2 Parametarske jednacine krive

Kriva u ravni se moze zadati i parametarskim jednacinama

x = φ(t)

y = ψ(t) t ∈ T

gde se za razlicite vrednosti parametra dobijaju odgovarajuce koordinatetacaka x i y.

Tako su, na primer, parametarske jednacine kruznice poluprecnika r sacentrom u koordinatnom pocetku

x = r cos t

y = r sin t t ∈ [0, 2π]

dok su parametarske jednacine elipse sa centrom u koordinatnom pocetkucije su poluose a i b

x = a cos t

y = b sin t

Kriva koju opisuje tacka na kruznici koja se bez klizanja kotrlja duzjedne prave i koja se naziva cikloida najcesce se zadaje svojim parametarskimjednacinama


x = a(t− sin t)

y = a(1− cos t) t ∈ [0, 2π]

a isto tako i ”zvezdasta” kriva, ili astroida

x = a cos3 t

y = a sin3 t t ∈ [0, 2π]

6.3.3 Polarne jednacine krive

Sem u Dekartovom, pravouglom koordinatnom sistemu, kriva u ravni moze sezadati i u polarnom koordinatnom sistemu koji obrazuju tacka O i polupravaOp. Tacka O je pol, a Op polarna osa ovog koordinatnog sistema. Koordi-nate tacke M u polarnom koordinatnom sistemu su intenzitet njenog vektorapolozaja ρ = |−−→OM | kao i ugao φ izme�u vektora polozaja

−−→OM i polarne ose

Op, pa je tacka data sa M(ρ, φ).Ako se pol O polarnog koordinatnog sistema poklapa sa koordinatnim

pocetkom Dekartovog koordinatnog sistema, a polarna osa sa x osom, ondasu Dekartove i polarne koordinate povezane jednacinama

x = ρ cosφ

y = ρ sinφ

odnosno

ρ =√x2 + y2

cosφ =x√

x2 + y2sinφ =

y√x2 + y2

tgφ =y

xx 6= 0

Kruznica poluprecnika r sa centrom u polu O ima u polarnom koordi-natnom sistemu jednacinu ρ = r. Prava koja prolazi kroz pol pod uglomφ0 ima jednacinu φ = φ0, dok prava koja ne prolazi kroz pol ima jednacinuρ = p

cos(φ−φ0).

Elipsa, parabola i hiperbola date su jednacinom

ρ =ed

1− e cosφ

dok je kriva u obliku petlje, lemniskata data sa

ρ2 = a2 sin 2φ

6.4 Ravan 77

a ”srcolika” kardioida sa

ρ = 2a(1 + cosφ)

6.4 Ravan

Od ovog odeljka ponovo cemo se vratiti posmatranju tacaka u prostoru,odnosno u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu Oxyz. Najprecemo razmotriti koje jednacine zadovoljavaju sve tacke koje pripadaju jednojravni.

Neka je data tacka M0(x0, y0, z0) i vektor −→n = (A,B,C). Kroz tacku M0

moguce je postaviti jednu i samo jednu ravan α normalnu na vektor −→n . Akoje M(x, y, z) proizvoljna tacka u ravni, onda vektor

−−−→M0M lezi u ravni, pa

su ovaj vektor i vektor −→n me�usobno normalni. Ako je −→r0 =−−−→OM0 vektor

polozaja tacke M0, a −→r =−−→OM vektor polozaja tacke M , onda je

−−−→M0M =

−−→OM −−−−→OM0 = −→r −−→r0

Iz normalnosti vektora−−−→M0M i −→n sledi da je njihov skalarni proizvod

−→n · −−−→M0M = 0

ili, izrazeno preko vektora −→r i −→r0

−→n · (−→r −−→r0 ) = 0

odnosno

−→n · −→r −−→n · −→r0 = 0

Ako se se za skalarni proizvod fiksnih vektora −→n i −→r0 uvede oznaka

−→n · −→r0 = −D

dobije se jednacina

−→n · −→r +D = 0

Ova jednacina predstavlja jednacinu ravni u opstem (vektorskom) ob-liku, odnosno opstu vektorsku jednacinu ravni. Ovu jednacinu zadovoljaproizvoljni vektor polozaja r tacke u ravni.

Kako je dalje −→r0 =−−−→OM0 = (x0, y0, z0) i −→r =

−−→OM = (x, y, z) to je

−→r −−→r0 = (x− x0, y − y0, z − z0)

6.4 Ravan 78

pa se iz

−→n · (−→r −−→r0 ) = 0

dobija

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0

odnosno

Ax+By + Cz +D = 0

jer je D = −(Ax0 + By0 + Cz0) = −−→n · −→r0 . Ova jednacina predstavljajednacinu ravni u opstem (skalarnom) obliku, odnosno skalarnu jednacinuravni kroz jednu datu tacku sa poznatim vektorom normale na ravan.

Vektor −→n odre�uje ravan α samo svojim pravcem, dok intenzitet i smertog vektora mogu biti proizvoljni. Ravan dakle ima beskonacno mnogo vek-tora normale.

Ako je D = 0 onda koordinatni pocetak pripada ravni. Ako je, pak,D 6= 0 onda se jednacina ravni moze zapisati i u segmentnom (kanonickom)ili normalnom obliku:

z

a+y

b+z

c= 1

gde je a = −DA

, b = −DB

, c = −DC

.Tacke M(a, 0, 0), N(0, b, 0) i P (0, 0, c) su tacke koje pripadaju ravni i is-

tovremeno leze na koordinatnoj osi Ox, Oy i Oz, respektivno. Prema tome,velicine a, b i c predstavljaju odsecke (segmente) koje ravan odseca na koor-dinatnim osama.

6.4.1 Rastojanje tacke od ravni

Ako je N(x, y, z) neka tacka van ravni, a N0(x0, y0, z0) njena ortogonalnaprojekcija u ravan, tada je NN0 rastojanje tacke N od ravni. Kako je

−−→ON0 =

−−→ON +

−−→NN0

to je

−−→NN0 =

−−→ON0 −

−−→ON

Ako sada uvedemo oznake −→r =−−→ON i −→r0 =

−−→ON0 tada je

−−→NN0 = −→r0 − −→r .

Mnozenjem ove jednacine skalarno sa −→n gde je −→n vektor normale ravnidobijamo

6.4 Ravan 79

−→n · −−→NN0 = −→n · −→r0 −−→n · −→r

Kako je N0 tacka u ravni to je

−→n · −→r0 = −D

pa je, prema tome

−→n · −−→NN0 = −D −−→n · −→r

odnosno, kako je ugao izme�u −→n i−−→NN0 ili 0 ili π, odnosno njegov kosinus je

ili 1 ili −1, to dobijamo

±|−→n | · |−−→NN0| = −(−→n · −→r +D)

odakle sledi

|−−→NN0| =|−→n · −→r +D|

|−→n |odnosno

|−−→NN0| =|Ax+By + Cz +D|√

A2 +B2 + C2

Ovom jednacinom je, dakle, dato rastojanje tacke M(x, y, z) od ravniAx+ By + Cz +D = 0. Ako je tacka M u ravni ona zadovoljava jednacinuravni, pa ce u tom slucaju u jednacini ravni |Ax+By+Cz+D| biti jednako0, odnosno i samo rastojanje tacke od ravni jednako 0.

Ako su date dve ravni

α1 : A1x+B1y + C1z +D1 = 0

α2 : A2x+B2y + C2z +D2 = 0

onda je ugao izme�u tih ravni jednak uglu izme�u njihovih vektora normale−→n1 = (A1, B1, C1) i −→n2 = (A2, B2, C2), odnosno

cos 6 (α1, α2) = cos 6 (−→n1,−→n2) =−→n1 · −→n2

|−→n1| · |−→n2|=

A1A2 +B1B2 + C1C2√A2

1 +B21 + C2

1

√A2

1 +B21 + C2

1

Ako je −→n1 ⊥ −→n2 (ravni su me�usobno normalne), onda je −→n1 · −→n2 = 0odnosno A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Ako je −→n1‖−→n2 (ravni su me�usobnoparalelne) onda je

6.5 Prava u prostoru 80

A1

A2

=B1

B2

=C1

C2

= k

Ako se paralelne ravni poklapaju onda za svaku tacku M(x0, y0, z0) kojapripada jednoj odnosno drugoj ravni vazi

A1x0 +B1y0 + C1z0 +D1 = 0

A2x0 +B2y0 + C2z0 +D2 = 0

Kako ravni koje se poklapaju imaju vektore normala koji su kolinearnito iz proporcionalnosti koordinata ovih vektora sledi A1 = kA2, B1 = kB2,C1 = CA2, pa prva od gornje dve jednacine postaje

kA2x0 + kB2y0 + kC2z0 +D1 = 0

dok se mnozenjem druge jednacine sa k dobija

kA2x0 + kB2y0 + kC2z0 + kD2 = 0

Odavde sledi da je D1 = kD2, odnosno D1D2

= k pa za ravni koje sepoklapaju vazi

A1

A2

=B1

B2

=C1

C2

=D1

D2

6.5 Prava u prostoru

Ako je M0(x0, y0, z0) tacka u prostoru, a −→p = (l,m, n) neki vektor, ondapostoji samo jedna prava p koja prolazi kroz tacku M0, a paralelna je vektoru−→p . Vektor −→p je vektor pravca prave p. Neka je M(x, y, z) proizvoljna tackana pravoj p, onda vazi

−−−→M0M ‖ −→p

S druge strane ako je −→r0 vektor polozaja tacke M0, a −→r vektor polozajatacke M , onda je

−−−→M0M = −→r −−→r0 , pa vazi

−→r −−→r0 ‖ −→r

Ovi vektori su, dakle, kolinearni, pa za njih uvek postoji neko t ∈ R \{0}takvo da je

−→r −−→r0 = t · −→p


odakle dobijamo

−→r = −→r0 + t · −→p

sto je parametarska vektorska jednacina prave p.Sa druge strane iz kolinearnosti vektora sledi i da im je vektorski proizvod

jednak nuli, odnosno

−→p × (−→r −−→r0 ) = 0

odakle dobijamo

−→p ×−→r −−→p ×−→r0 = 0

pa ako sa −→q oznacimo vektor −→p ×−→r0 onda je

−→p ×−→r = −→q

sto predstavlja opstu vektorsku jednacinu prave.Kako je −→r = (x, y, z), −→r0 = (x0, y0, z0), a −→p = (l,m, n) to iz

−→r = −→r0 + t−→p

sledi

x = x0 + tl

y = y0 + tm

z = z0 + tn

sto su parametarske jednacine prave.Iz parametarskih jednacina prave dobijamo

x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n

odnosno normale (kanonicke) jednacine prave.Kanonicke jednacine prave mogu se transformisati u dve linearne jednacine

sa tri nepoznate, koje s mogu interpretirati kao jednacine dveju ravni u cijempreseku je zadata prava. Obrnuto, ako se dve ravni

A1x+B1y + C1z +D1 = 0

i

A2x+B2y + C2z +D2 = 0


seku, onda je tim linearnim jednacinama zadata njihova presecna prava.Ako su date dve prave

p1 :x− x1

l1=y − y1

m1

=z − z1

n1

p2 :x− x2

l2=y − y2

m2

=z − z2

n2

onda je ugao izme�u te dve prave jednak uglu izme�u njihovih vektorapravaca −→p1 = (l1,m1, n1) i −→p2 = (l2,m2, n2)

cos 6 (p1, p2) = cos(−→p1 ,−→p2) =−→p1 · −→p2

|−→p1 ||−→p2 |=

l1l2 +m1m2 + n1n2√l21 +m2

1 + n21

√l22 +m2

2 + n22

Ako su prave paralelne onda je i −→p1 ‖ −→p2 pa je

l1l2

=m1

m2

=n1

n2

Ako su prave normalne onda je i −→p1 ⊥ −→p2 odakle je

l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0

Prave koje nisu paralelne mogu se seci ili biti mimoilazne. Ako se seku,onda je vektor

−−−−→M1M2 koji spaja proizvoljnu tacku M1(x1, y1, z1) sa prave p1

sa proizvoljnom tackom M2(x2, y2, z2) sa prave p2 komplanaran sa vektorima−→p1 i −→p2 . Kako je

−−−−→M1M2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) to iz komplanarnosti ova

tri vektora sledi da im je mesoviti prozvod jednak 0, odnosno∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

sto je uslov da se dve prave seku.Najkrace rastojanje izme�u dve prave dato je sa

d =|(−→p1 ×−→p2) ·

−−−−→M1M2|

|−→p1 ×−→p2 |Ovo rastojanje jednako je visini H paralelepipeda konstruisanog nad vek-

torima −→p1 , −→p2 i−−−−→M1M2.

Kako je V = B ·H gde je V = |(−→p1 ×−→p2 ·−−−−→M1M2|, a B = |−→p1 ×−→p2 | to je

H =V

B=|(−→p1 ×−→p2) ·

−−−−→M1M2|

|−→p1 ×−→p2 |sto predstavlja najkrace rastojanje izme�u dve mimoilazne prave.

6.6 Odnos prave i ravni 83

6.6 Odnos prave i ravni

Ako su date prava

p :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n

i ravan

α : Ax+By + Cz +D = 0

onda se pod uglom ϕ izme�u prave i ravni podrazumeva ugao izme�u prave injene ortogonalne projekcije u ravan. Taj ugao je komplementaran sa uglomizme�u prave i vektora normale φ, odnosno

ϕ+ φ =π

2

Kako za komplementarne uglove vazi da je sinus jednog ugla jednak kosinusudrugog, kao i obratno, to je

sinϕ = cosφ =−→n · −→p|−→n | · −→p

odnosno

sinϕ =Al +Bm+ Cn√

A2 +B2 + C2 ·√l2 +m2 + n2

Prava je normalna na ravan ako je njen vektor pravca kolinearan sa vek-torom normale ravni (−→p ‖ −→n ), odnosno, ako je

A

l=B

m=C

n

Prava i ravan su paralelne ako je vektor pravca prave normalan na vektornormale ravni (−→p ⊥ −→n ), sto znaci da je −→p · −→n = 0, odnosno

Al +Bm+ Cn = 0

Da bi prava lezala u ravni potrebno je i dovoljno da je −→p ⊥ −→n i da tackaM0(x0, y0, z0) koja pripada pravoj p istovremeno pripada i ravni α, odnosnoda je

Al +Bm+ Cn = 0

Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0

6.7 Povrsi u prostoru 84

Ako se prava i ravan seku presecna tacka se najlakse dobije kada se izparametarskih jednacina prave

x = x0 + tl y = y0 + tm z = z0 + tn

i jednacine ravni

Ax+By + Cz +D = 0

formira jednacina

A(x0 + tl) +B(y0 + tm) + C(z0 + tn) +D = 0

i resi po t, pa se na osnovu resenja ove jednacine po parametru t = t1 odredekoordinate presecne tacke x1 = x0 + lt1, y1 = y0 +mt1, z1 = z0 + nt1.

6.7 Povrsi u prostoru

Opsti oblik povrsi u prostoru dat je jednacinom

z = f(x, y)

ili

F (x, y, z) = 0

Ako je

F (x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J

onda se radi o povrsi drugog reda.Ako je pri tome A = B = C i D = E = F = 0 iz ove jednacine moze se

izvesti jednacina oblika

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

koja predstavlja jednacinu sfere sa centrom u tacki C(a, b, c) poluprecnikaR.

Ovde cemo samo navesti jos neke povrsi drugog reda, koje pri tome mogubiti i rotacione, konusne ili cilindricne. Rotacione povrsi nastaju rotacijomneke krive C oko fiksne prave koja sa naziva osom rotacije, a konusne povrsiopisuje prava, koja se naziva generatrisa, a koja prolazi kroz neku fiksnutacku i krece se duz neke krive D koja se naziva direktrisa. Cilindricne povrsiopisuje prava (generatrisa) koja se translatorno krece duz kriveD (direktrise).Sve povrsi drugog reda ovde ce biti date jednacinama u kanonickom obliku.

6.7 Povrsi u prostoru 85

1. x2

a2 + y2

b2+ z2

c2= 1 predstavlja elipsoid. Ako je a = b = c, onda se radi o

sferi. Ako se ova povrs preseca ravnima, dobijaju se elipse.

2. x2

a2 + y2

b2− z2

c2= 1 i x2

a2 + y2

b2− z2

c2= −1 su jednacine jednolisnog odnosno

dvolisnog hiperboloida. Preseci ovih povrsi sa ravnima daju elipse (akoje ravan paralelna sa koordinatnom ravni Oxy) ili hiperbole (ako jeravan paralelna sa koordinatnom ravni Oxz) ili dve prave koje se seku.

3. x2

p+ y2

q= 2z i x2

p− y2

q= 2z predstavljaju jednacine eliptickog i hiper-

bolickog paraboloida. Ako se ove povrs preseku ravnima dobijaju seelipse i parabole, odnosno hiperbole i parabole.

4. x2

a2 + y2

b2− z2

c2= 0 predstavlja konus drugog reda.

5. x2

a2 + y2

b2= 1, x2

a2− y2

b2= 1 i y2 = 2px su jednacine eliptickog, hiperbolickog

i parabolickog cilindra.

6. x2

a2 − y2

b2= 0, x2

a2 = 1 i x2 = 0 su jednacine dve ravni koje se seku, dveparalelne ravni i jedne ravan (yOz).

Kao sto smo videli, preseci povrsi drugog reda sa ravnima daju krivedrugog reda koje se nazivaju jos i konusni preseci. Opsti oblik konusnihpreseka u ravni xOy moze se dobiti iz jednacine povrsi drugog reda za z = 0i glasi

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+ 2Ey + F = 0

sto odgovara opstoj jednacini krive drugog reda.

Documents

Matematika 1 - RGF