Matematika 1 - unizg.hr · 2013-05-24 · Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 19. animation by animate[2012/05/24]

Matematika 1

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 19

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Primjene trigonometrijskih funkcijaPrimjene pravokutnog trokuta


Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

Primjene pravokutnog trokuta

Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:

ϕ

yz

x

Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicine,npr., vremena t :

x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t)



Primjene pravokutnog trokuta

Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:

ϕ

yz

x

Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicine,npr., vremena t :

x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t)



Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizonatalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?

Rjesenje.

ϕ

x

10km



Primjer 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizonatalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?

Rjesenje.

ϕ

x

10km



Rjesenje.dϕ

dt= 2◦ =

π

90[rad/s]. Trazimo

dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

.

dxdt

=ddt

(10tgϕ) =10

cos2 ϕ

dϕ

dt⇒

⇒ dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

=10

cos2(30◦)π

90=

4π

27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]



Rjesenje.dϕ

dt= 2◦ =

π

90[rad/s]. Trazimo

dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

.

dxdt

=ddt

(10tgϕ) =10

cos2 ϕ

dϕ

dt⇒

⇒ dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

=10

cos2(30◦)π

90=

4π

27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]



Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?

Rjesenje.

ϕ

kamera

automobilx

d



Zadatak 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?

Rjesenje.

ϕ

kamera

automobilx

d



Rjesenje-nastavak.

tgϕ =xd⇒ ϕ = arctg

xd.

dxdt

= v ⇒ x = v · t ⇒ ϕ = arctg(

v · td

)⇒

Kutna brzina kamere:

dϕ

dt=

1

1+ v2

d2 t2

vd

Brzina je najveca za t = 0 i iznosidϕ

dt=

vd.



U primjenama su cesta kruzna gibanja:

x = r cosϕ = r cos(ωt)x = r sinϕ = r sin(ωt)

v =st=

rωtt

= rω

ωT = 2π, T ν = 1



Primjer 2.Istocno od zida, na udaljenosti od 10m, nalazi se stup visok 10m.Kojom se brzinom skracuje sjena sto je stup baca na zid?



Rjesenje.

ϕ

ϕ

10m

x

10m

T = 24h

ω =2π

T=

π

12[rad/h]

ϕ = ωt , x = tgϕ⇒x = 10tg

(π

12t)⇒

dxdt

=10

cos2( π

12 t)π

12=

5π

6cos2( π

12 t)



Zadatak 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

Rjesenje.

ϕ

x

500m

Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt

x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)




Rjesenje.

ϕ

x

500m

Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt

x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)




Rjesenje.

ϕ

x

500m

Brzina svjetla na zidu:dxdt

=2000π

cos2(4πt)Najmanja brzina:

za t = 0 tj. x = 0,dxdt

= 2000π



Primjer 3.Brzina bicikla je v , polumjer kotaca je r i udaljenost macjeg oka odsredista kotaca je a. Opisite gibanje macjeg oka, nadite njegovu brzinui akceleraciju.

Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:

dxdt

,dydt

,d2xdt2 ,

d2ydt2 .



Primjer 3.Brzina bicikla je v , polumjer kotaca je r i udaljenost macjeg oka odsredista kotaca je a. Opisite gibanje macjeg oka, nadite njegovu brzinui akceleraciju.

Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:

dxdt

,dydt

,d2xdt2 ,

d2ydt2 .



Rjesenje.y

x

(x, y)ϕ

a

s = rϕ

s = rϕ

a cosϕ

a sinϕ

r



Rjesenje-nastavak.

s = rϕ, s = vt ⇒ ϕ =vr

t

x = vt−asin(ωt)y = r −acos(ωt)

dxdt

= v −aωcos(ωt)

dydt

= aωsin(ωt)

d2xd2 = aω

2 sin(ωt)

d2ydt2 = aω

2 cos(ωt)



Primjer 4.Korito je izradeno od ravnog lima sirine 3m, tako da je lim podijeljen natri pruge sirine 1m, pa su zatim rubne pruge podignute za kut ϕ. Za kojikut ϕ je volumen korita najveci?

ϕ

1m

1m

1mh

x



Rjesenje.Volumen je proporcionalan povrsini:

P = (x +1)h = (cosϕ+1)sinϕ

Dakle trazimo ϕ ∈ [0,π/2] za koji je P(ϕ) = (cosϕ+1)sinϕ

maksimalno.

dPdϕ

=−sinϕ ·sinϕ+(cosϕ+1)cosϕ = 0

⇒ 2cos2ϕ+cosϕ−1 = 0

⇒ cosϕ = 12 ili cosϕ =−1⇒ (jer ϕ ∈ [0,π/2])⇒ cosϕ = 1

2 ⇒ ϕ =π

3.



Zadatak 4.Dva hodnika sirine a susrecu se pod pravim kutem. Koja je duljina dnajduze sipke koja se moze (horizonatlno) prenijeti kroz hodnik?



Rjesenje.

d

a

a

π2− ϕ

ϕ

d =a

sinϕ+

asin(π

2 −ϕ)

⇒ d =a

sinϕ+

acosϕ

pri cemu je ϕ ∈ [0,π

2]



Rjesenje.

d

a

a

π2− ϕ

ϕ

d ′ =−acosϕ

sin2ϕ

+asinϕ

cos2 ϕ= 0

⇒cos3ϕ = sin3

ϕ

⇒cosϕ = sinϕ⇒ ϕ =π

4.


Documents

Matematika 1 - unizg.hr · 2013-05-24 · Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 19. animation by animate[2012/05/24]