Matematika 1 - unizg.hr · Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Derivacija II 14 / 48. Lanˇcano deriviranje i vezane brzine Primjeri. PRIMJER 6. Ulicna rasvjeta smjeˇ

Matematika 1Katedra za matematiku, FSB

Derivacija II

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Derivacija II 1 / 48

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Lancano deriviranje i vezane brzineLancano deriviranjeVisestruko lancano deriviranjeVezane brzine

2 Implicitno deriviranje

3 Parametrasko deriviranjeParametarske krivulje i funkcijeDeriviranje parametarski zadanih krivulja

4 L’HOPITALOVO PRAVILO


Lancano deriviranje i vezane brzine Lancano deriviranje

LANCANO DERIVIRANJE I VEZANE BRZINE

Ako je y = y(u(x)

)onda je

dydx

=dydu· du

dx

LANCANO DERIVIRANJE


Lancano deriviranje i vezane brzine Primjer

PRIMJER 1.

y =

√1+√

x,dydx

= ?

Rjesenje:

y =√

u, u = 1+√

x =⇒

dydx

=dydu· du

dx

=1

2√

u· 1

2√

x=

1

4√

1+√

x√

x


Lancano deriviranje i vezane brzine Primjer

PRIMJER 1.

y =

√1+√

x,dydx

= ?

Rjesenje:

y =√

u, u = 1+√

x =⇒

dydx

=dydu· du

dx

=1

2√

u· 1

2√

x=

1

4√

1+√

x√

x


Lancano deriviranje i vezane brzine Visestruko lancano deriviranje

Ako je z = z(y(u(v)

))onda je

dzdv

=dzdy· dy

du· du

dv

VISESTRUKO LANCANO DERIVIRANJE


Lancano deriviranje i vezane brzine Primjeri

PRIMJER 2.

y = sin(√

x+ex),

dydx

= ?

Rjesenje:

y = sin(u), u =√

v , v = x +ex =⇒

dydx

=dydu· du

dv· dv

dx

= cos(u) · 12√

v· (1+ex)

= cos(√

x +ex)· 1

2√

x +ex· (1+ex)



PRIMJER 2.

y = sin(√

x+ex),

dydx

= ?

Rjesenje:

y = sin(u), u =√

v , v = x +ex =⇒

dydx

=dydu· du

dv· dv

dx

= cos(u) · 12√

v· (1+ex)

= cos(√

x +ex)· 1

2√

x +ex· (1+ex)



PRIMJER 3.

y = un, u = u(x);dydx

= ?

Rjesenje:dydx

=dydu

dudx

dydx

= n un−1 dudx



PRIMJER 3.

y = un, u = u(x);dydx

= ?

Rjesenje:dydx

=dydu

dudx

dydx

= n un−1 dudx



PRIMJER 4.

y =

[(x3−x2

)15+x]27

,dydx

= ?

Rjesenje:

y = u27, u =(

x3−x2)15

+x =⇒

dydx

=dydu· du

dx= 27u26 ·

[15(x3−x2)14 (3x2−2x

)+1]

= 27[(

x3−x2)15

+x]26

·[15(x3−x2)14 (3x2−2x

)+1]



PRIMJER 4.

y =

[(x3−x2

)15+x]27

,dydx

= ?

Rjesenje:

y = u27, u =(

x3−x2)15

+x =⇒

dydx

=dydu· du

dx= 27u26 ·

[15(x3−x2)14 (3x2−2x

)+1]

= 27[(

x3−x2)15

+x]26

·[15(x3−x2)14 (3x2−2x

)+1]


Lancano deriviranje i vezane brzine Zadaci

ZADATAK 1.Naci derivacije sljedecih funkcija

z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x




z1) y = sin(2x−3)

z2) y = ex2−x

z3) y = sin√

x

z4) y =√

sinx

z5) y = 1tgx + tg 1

x

z6) y = ln(x +2x3)

z7) y =3√

x lnx

z8) y = 2sinx

z9) y = sin(cosx)

z10) y =√

1−x1+x



Rjesenja:

z1){

y = sinuu = 2x−3

}=⇒ dy

dx = dydu ·

dudx = cosu ·2 = 2 cos(2x−3)

z2){

y = eu

u = x2−x

}=⇒ dy

dx = eu · (2x−1) = ex2−x (2x−1)

z3) y ′ =dydx

= cosu · 12√

x=

cos√

x2√

x

z4) y ′ =1

2√

sinx·cosx

z5) y ′ =−1

tg2 x· 1cos2 x

+1

cos2( 1

x

) ·(− 1x2

)=− 1

sin2 x− 1

x2 cos2( 1

x

)



z6) y ′ =1

x +2x3 ·(

1+6x2)=

1+6x2

x +2x3

z7) y ′ =13(x lnx)−

23 ·(

lnx +x · 1x︸︷︷︸

=1

)=

lnx +1

3 (x lnx)2/3

z8) y ′ = 2sinx · ln2 · cosx

z9) y ′ = cos(cosx) · (−sinx) =−sinx · cos(cosx)

z10) y ′ =1

2√

1−x1+x

·

=−2︷︸︸︷−1 · (1+x)− (1−x) ·1

(1+x)2 =− 1√1−x1+x (1+x)2


Lancano deriviranje i vezane brzine Vezane brzine

PRIMJENA LANCANOG DERIVIRANJA:

VEZANE BRZINE

Ako je veza izmedu x = x(t) i y = y(t) zadana jednadzbom

F(x,y)= 0,

onda vezu brzina dx/dt i dy/dt nalazimo ”lancanim deriviranjem tejednadzbe”:

F(x,y)= 0

∣∣∣∣ ddt

(=⇒ ∂F

∂x· dx

dt+

∂F∂y· dy

dt= 0)



PRIMJER 5.

Ako je x3 +3xy+y3 = 3 nadimo vezu brzina dx/dt i dy/dt.

Rjesenje:

dd t

(x3 +3xy +y3

)=

dd t(3)

�3x2 dxd t

+�3dxd t

y +�3xdyd t

+�3y2 dyd t

= 0(x2 +y

) dxd t

=−(x +y2) dy

d tVEZA BRZINA

⇓

dyd t

=−x2 +yx +y2

dxd t

&dxd t

=−x +y2

x2 +ydyd t



PRIMJER 5.

Ako je x3 +3xy+y3 = 3 nadimo vezu brzina dx/dt i dy/dt.

Rjesenje:

dd t

(x3 +3xy +y3

)=

dd t(3)

�3x2 dxd t

+�3dxd t

y +�3xdyd t

+�3y2 dyd t

= 0(x2 +y

) dxd t

=−(x +y2) dy

d tVEZA BRZINA

⇓

dyd t

=−x2 +yx +y2

dxd t

&dxd t

=−x +y2

x2 +ydyd t



PRIMJER 6.

Ulicna rasvjeta smjestena je na visini od 6m. Covjek visok 2mudaljava se od rasvjete brzinom od 2m/s.a) Kojom se brzinom izduzuje covjekova sjena?b) Kojom se brzinom vrh sjene udaljava od rasvjete?

Rjesenje:

OZNAKE: x- udaljenost c. od lampes- duljina sjene

ZADANO:dxd t

= 2

TRAZI SE: a)dsd t

=?

b) vrh sjene udaljen je y = x +s od lampe,

pa se trazidyd t

=?



PRIMJER 6.

Ulicna rasvjeta smjestena je na visini od 6m. Covjek visok 2mudaljava se od rasvjete brzinom od 2m/s.a) Kojom se brzinom izduzuje covjekova sjena?b) Kojom se brzinom vrh sjene udaljava od rasvjete?

Rjesenje:

OZNAKE: x- udaljenost c. od lampes- duljina sjene

ZADANO:dxd t

= 2

TRAZI SE: a)dsd t

=?

b) vrh sjene udaljen je y = x +s od lampe,

pa se trazidyd t

=?



a) VEZA VELICINA x i s (slicni trokuti!):

6x +s

=2s

=⇒ 6s = 2x +2s =⇒ x = 2s::::::

”LANCANO DERIVIRANJE” TE VEZE:

x = 2s∣∣∣∣ dd t

dxd t

= 2dsd t

=⇒ dsd t

=12

dxd t

DAKLE:dsd t

=12·2 = 1m/s



b) VEZA VELICINA x i y (slicni trokuti!):

6y=

2y −x

=⇒ 6y −6x = 2y =⇒ y =32

x::::::

”LANCANO DERIVIRANJE” TE VEZE:

y =32

x∣∣∣∣ dd t

dyd t

=32

dxd t

DAKLE:dyd t

=32·2 = 3m/s



ZADATAK 2.Kineticka energija tijela mase m, koje se giba brzinom v , iznosi:

K =12

mv2

Tijelo koje pada uslijed djelovanja sile teze ima konstantnu akceleracijuod 981cm/s2. Pretpostavimo da tijelo mase m = 100g uslijeddjelovanja sile teze pada na zemlju. Kojom brzinom raste kinetickaenergija tog tijela u trenutku kad ono dostigne brzinu v = 300cm/s?

ZADATAK 3.Meteoroloski balon (u obliku kugle) napuhuje se brzinom od 1 litreplina u sekundi. Kojom se brzinom mijenja radijus balona u trenutkukad je balon dostigao radijus r = 3dm?



ZADATAK 2.Kineticka energija tijela mase m, koje se giba brzinom v , iznosi:

K =12

mv2

Tijelo koje pada uslijed djelovanja sile teze ima konstantnu akceleracijuod 981cm/s2. Pretpostavimo da tijelo mase m = 100g uslijeddjelovanja sile teze pada na zemlju. Kojom brzinom raste kinetickaenergija tog tijela u trenutku kad ono dostigne brzinu v = 300cm/s?

ZADATAK 3.Meteoroloski balon (u obliku kugle) napuhuje se brzinom od 1 litreplina u sekundi. Kojom se brzinom mijenja radijus balona u trenutkukad je balon dostigao radijus r = 3dm?



Rjesenje 2:

OZNAKE: a - akceleracija slobodnog padam - masaK - kineticka energijav - brzina gibanja

ZADANO: a = 981 [cm/s2]

m = 100 [g]

TRAZI SE:dKd t

=? za v = 300

VEZA: K =12

mv2∣∣∣∣ dd t

”LANCANO DERIVIRANJE”:dKd t:::

=1�2

m ·�2v · dvd t

= mvdvd t:::::::

dvd t

= a = 981

=⇒ dKd t

∣∣∣∣v=300

= 100 ·300 ·981 = 2943 ·104 [g cm2/s2]



Rjesenje 3:

OZNAKE: V - volumen balona [l = dm3]r - radijus balona [dm]t - vrijeme [s]

ZADANO:dVd t

= 1 [l/s = dm3/s]

TRAZI SE:d rd t

=? za r = 3 [dm]

VEZA: V =43

r3π

∣∣∣∣ dd t

”LANCANO DERIVIRANJE”:dVd t

=4�3·�3 r2 d r

d tπ = 4π r2 d r

d t

=⇒ d rd t

=1

4π r2dVd t:::::::::::::::

DAKLE:d rd t

∣∣∣∣r=3

=1

4π ·9·1 =

136π

[dm/s] ≈ 0.9 [mm/s]



ZADATAK 4.Pijesak sipi na kup, koji stalno zadrzava oblik stosca, brzinom od9dm3/min. Radijus baze stosca stalno je 3 puta veci od visine stosca.Kojom se brzinom mijenja visina stosca u trenutku kad je on visok4dm?

ZADATAK 5.Iz nasukana tankera u more istjece 165 litara nafte u minuti. Naftna semrlja svakom dodatnom litrom siri za 1/6m2. Kojom se brzinom(mjereno u m2/min) siri naftna mrlja?



ZADATAK 4.Pijesak sipi na kup, koji stalno zadrzava oblik stosca, brzinom od9dm3/min. Radijus baze stosca stalno je 3 puta veci od visine stosca.Kojom se brzinom mijenja visina stosca u trenutku kad je on visok4dm?

ZADATAK 5.Iz nasukana tankera u more istjece 165 litara nafte u minuti. Naftna semrlja svakom dodatnom litrom siri za 1/6m2. Kojom se brzinom(mjereno u m2/min) siri naftna mrlja?



Rjesenje 4:

OZNAKE: r - radijus stosca [dm]; h - visina stosca [dm]V - volumen stosca [dm3]; t - vrijeme [min]

ZADANO:dVd t

= 9 [dm3/min], r = 3h

TRAZI SE:dhd t

=? za h = 4 [dm]

VEZA: V =13

B ·h =13

r2︸︷︷︸=(3h)2

π ·h = 3h3π

∣∣∣∣ dd t

”LANCANO DERIV.”:dVd t

= 3π ·3h2 dhd t

= 9πh2 dhd t

=⇒ dhd t

=1

9πh2dVd t:::::::::::::::

DAKLE:dhd t

∣∣∣∣h=4

=1

9π ·16·9 =

116π

[dm/min]



Rjesenje 5:

OZNAKE: P - povrsina mrlje [m2]N - kolicina istekle nafte [l]t - vrijeme [min]

ZADANO:dNd t

= 165 [l/min]

dPdN

=16

[m2/l]

TRAZI SE:dPd t

=?

ZNAMO DA VRIJEDI LANCANO DERIVIRANJE:dPd t

=dPdN· dN

d t=

16·165

= 27.5 [m2/min]



ZADATAK 6.∗

Uslijed nagle promjene visine moze doci do ”pucketanja” u usima, kadje brzina promjene tlaka prevelika za adaptaciju usnog bubnjica. Tlakzraka p pri razini mora opada za 12N/cm2 sa svakim metromnadmorske visine h. Poznato je da do pucketanja dolazi ako je brzinapromjene tlaka veca od 0.3N/cm2 u sekundi. Hoce li doci dopucketanja vozimo li niz strminu tako da u sekundi gubimo 3 metranadmorske visine?

Rjesenje: Tlak pada s nadmorskom visinom:dpdh

=−0.12N

cm2 mGubimo visinu brzinom:

dhd t

=−3ms

Zanima nas:

dpd t

=dpdh· dh

d t= 0.36

Ncm2 s

> 0.3N

cm2 s

Dakle, doci ce do pucketanja u usima.



ZADATAK 6.∗

Uslijed nagle promjene visine moze doci do ”pucketanja” u usima, kadje brzina promjene tlaka prevelika za adaptaciju usnog bubnjica. Tlakzraka p pri razini mora opada za 12N/cm2 sa svakim metromnadmorske visine h. Poznato je da do pucketanja dolazi ako je brzinapromjene tlaka veca od 0.3N/cm2 u sekundi. Hoce li doci dopucketanja vozimo li niz strminu tako da u sekundi gubimo 3 metranadmorske visine?

Rjesenje: Tlak pada s nadmorskom visinom:dpdh

=−0.12N

cm2 mGubimo visinu brzinom:

dhd t

=−3ms

Zanima nas:

dpd t

=dpdh· dh

d t= 0.36

Ncm2 s

> 0.3N

cm2 s

Dakle, doci ce do pucketanja u usima.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Derivacija II 23 / 48


ZADATAK 7.∗∗

Drugi vlak napusta stanicu 3 sata nakon prvog. Prvi ide na sjeverbrzinom od 100km/h, drugi na zapad brzinom od 60km/h. Kojom sebrzinom vlakovi medusobno udaljavaju 2 sata nakon polaska drugogvlaka?

Rjesenje:Oznacimo sa x i y udaljenost prvog, tj. drugogvlaka od stanice u trenutku t nakon polaskaprvog vlaka, sa z medusobnu udaljenost vla-kova. Smjerovi kretanja vlakova su okomiti, paje:

z2(t) = x2(t)+y2(t)∣∣∣∣ dd t

⇒ d(z2)

d t=

d(x2)

d t+

d(y2)

d t⇒ �2z

dzd t

=�2xdxd t

+�2ydyd t



ZADATAK 7.∗∗

Drugi vlak napusta stanicu 3 sata nakon prvog. Prvi ide na sjeverbrzinom od 100km/h, drugi na zapad brzinom od 60km/h. Kojom sebrzinom vlakovi medusobno udaljavaju 2 sata nakon polaska drugogvlaka?

Rjesenje:Oznacimo sa x i y udaljenost prvog, tj. drugogvlaka od stanice u trenutku t nakon polaskaprvog vlaka, sa z medusobnu udaljenost vla-kova. Smjerovi kretanja vlakova su okomiti, paje:

z2(t) = x2(t)+y2(t)∣∣∣∣ dd t

⇒ d(z2)

d t=

d(x2)

d t+

d(y2)

d t⇒ �2z

dzd t

=�2xdxd t

+�2ydyd t



⇒(

zdzd t

)∣∣∣∣5=

(x

dxd t

+ydyd t

)∣∣∣∣5

⇒ dzd t

∣∣∣∣5=

1z(5)

(x(5) · dx

d t

∣∣∣∣5+y(5) · dy

d t

∣∣∣∣5

)(?)

S druge strane imamo:

dxd t = 100

x(0) = 0

}⇒ x(t) = 100t ⇒ x(5) = 500

dyd t = 60

y(3) = 0

}⇒ y(t) = 60t−180 ⇒ y(5) = 120

z(5) =√

x2(5)+y2(5) =√

502 ·102 +122 ·102 = 20√

661

(?) :dzd t

∣∣∣∣5=

120√

661(500 ·120+120 ·60) =

2860√661

≈ 111km/h


Implicitno deriviranje Primjer

IMPLICITNO DERIVIRANJE

PRIMJER 7.

x2 +y2 = 4 implicitno zadaje dvije funkcije y = y(x): y =±√

4−x2.Nadimo njihove derivacije direktno iz implicitne jednadzbe.

Rjesenje:

”LANCANO DERIVIRAJMO IMPLICITNU JEDNADZBU PO x”:

ddx

(x2 +y2

)=

ddx

(4), �2x +�2ydydx

= 0,dydx

=−xy

To isto nalazimo i iz y =±√

4−x2:

dydx

=± −2x2√

4−x2=

−x±√

4−x2=−x

y




PRIMJER 7.

x2 +y2 = 4 implicitno zadaje dvije funkcije y = y(x): y =±√

4−x2.Nadimo njihove derivacije direktno iz implicitne jednadzbe.

Rjesenje:

”LANCANO DERIVIRAJMO IMPLICITNU JEDNADZBU PO x”:

ddx

(x2 +y2

)=

ddx

(4), �2x +�2ydydx

= 0,dydx

=−xy

To isto nalazimo i iz y =±√

4−x2:

dydx

=± −2x2√

4−x2=

−x±√

4−x2=−x

y




Ako su x i y vezane jednadzbom koja implicitno definira y kaofunkciju od x, onda dy/dx nalazimo ”lancanim deriviranjem te im-plicitne jednadzbe”.

PRIMJER 8.

Funkcija y = y(x) implicitno je zadana s 2x5 +y3 = 5xy. Koji je nagibgrafa funkcije y = y(x) u tocki (1,2)?

Rjesenje:

10x4 +3y2 dydx

= 5y +5xdydx

=⇒ dydx

=5y −10x4

3y2−5x

Nagib u (1,2):dydx

∣∣∣∣(1,2)

=5 ·2−10 ·14

3 ·22−5 ·1= 0





PRIMJER 8.


Rjesenje:

10x4 +3y2 dydx

= 5y +5xdydx

=⇒ dydx

=5y −10x4

3y2−5x

Nagib u (1,2):dydx

∣∣∣∣(1,2)

=5 ·2−10 ·14

3 ·22−5 ·1= 0





PRIMJER 8.


Rjesenje:

10x4 +3y2 dydx

= 5y +5xdydx

=⇒ dydx

=5y −10x4

3y2−5x

Nagib u (1,2):dydx

∣∣∣∣(1,2)

=5 ·2−10 ·14

3 ·22−5 ·1= 0



PRIMJER 9.∗

Dokazimo: y = xmn , m,n ∈ Z =⇒ dy

dx=

mn·x

mn −1

Dokaz:

Podsjetimo se da smo prije dokazali da vrijedi:

y = xn, n ∈ Z =⇒ dydx

= n ·xn−1 (??)

Imamo: y = xmn ⇐⇒ yn = xm

ddx

yn =d

dxxm

(??) : n ·yn−1 dydx

= m ·xm−1

dydx

=mn· x

m−1

yn−1 =mn· xm−1(

xmn

)n−1 = · · ·= mn·x

mn −1



PRIMJER 9.∗

Dokazimo: y = xmn , m,n ∈ Z =⇒ dy

dx=

mn·x

mn −1

Dokaz:

Podsjetimo se da smo prije dokazali da vrijedi:

y = xn, n ∈ Z =⇒ dydx

= n ·xn−1 (??)

Imamo: y = xmn ⇐⇒ yn = xm

ddx

yn =d

dxxm

(??) : n ·yn−1 dydx

= m ·xm−1

dydx

=mn· x

m−1

yn−1 =mn· xm−1(

xmn

)n−1 = · · ·= mn·x

mn −1


Implicitno deriviranje Zadaci

ZADATAK 8.Nadite derivacije implicitno zadanih funkcija

a) 3x2 y = y4 +5x2−15

b) x3 +y3 = 3x y

c)x2

a2 +y2

b2 = 1

d)(x2 +y2)2

= x2−y2




a) 3x2 y = y4 +5x2−15

b) x3 +y3 = 3x y

c)x2

a2 +y2

b2 = 1

d)(x2 +y2)2

= x2−y2




a) 3x2 y = y4 +5x2−15

b) x3 +y3 = 3x y

c)x2

a2 +y2

b2 = 1

d)(x2 +y2)2

= x2−y2




a) 3x2 y = y4 +5x2−15

b) x3 +y3 = 3x y

c)x2

a2 +y2

b2 = 1

d)(x2 +y2)2

= x2−y2



Rjesenja:

a)dydx

=10x−6x y3x2−4y3

b)dydx

=x2−yx−y2

c)dydx

=−b2 xa2 y

d)dydx

=x[1−2

(x2 +y2)]

y [1+2 (x2 +y2)]



ZADATAK 9.Nadite nagib tangente na krivulju

a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)

b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)

Lezi li zadana tocka na odgovarajucoj krivulji?

Rjesenja:

a)dydx

=9y −12x5

4y3−9x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

=6

23

T (1,2) lezi na krivulji: 2 ·16 +24 = 9 ·1 ·2, 18 = 18 X

a)dydx

=5y −10x4

3y2−5x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

= 0

T (1,2) lezi na krivulji: 23 = 5 ·1 ·2−2 ·15, 8 = 8 X




a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)

b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)


Rjesenja:

a)dydx

=9y −12x5

4y3−9x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

=6

23


a)dydx

=5y −10x4

3y2−5x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

= 0





a) 2x6 +y4 = 9x y u T (1,2)

b) y3 = 5x y −2x5 u T (1,2)


Rjesenja:

a)dydx

=9y −12x5

4y3−9x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

=6

23


a)dydx

=5y −10x4

3y2−5x=⇒ dy

dx

∣∣∣∣(1,2)

= 0



Parametrasko deriviranje Primjer

PARAMETARSKE KRIVULJE I FUNKCIJE

PRIMJER 10.

x = t+2, y = t2

vezani su parametrom t .(a) Prikazimo tu vezu u koordinatnom sustavu x ,y ;(b) Izracunajmo vezu kao funkciju y = y(x).

Rjesenje:(a)

t x y−2 0 4−1 1 1

0 2 01 3 12 4 4

(b)



PARAMETARSKE KRIVULJE I FUNKCIJE

PRIMJER 10.

x = t+2, y = t2

vezani su parametrom t .(a) Prikazimo tu vezu u koordinatnom sustavu x ,y ;(b) Izracunajmo vezu kao funkciju y = y(x).

Rjesenje:(a)

t x y−2 0 4−1 1 1

0 2 01 3 12 4 4

(b)


Parametrasko deriviranje Parametarske krivulje i funkcije

PARAMETARSKI ZADANE KRIVULJE I FUNKCIJE

Tocka (x,y) cija je ovisnost o parametru t zadana jednadzbama{x = x(t)y = y(t)

opisuje krivulju koju kovemo parametarskom krivuljom zadanom(parametarskim) jednadzbama.Ako je tako zadana veza izraziva u funkcijskom obliku y = y(x),onda i tu funkciju zovemo parametarskom funkcijom zadanom timparametarskim jednadzbama.


Parametrasko deriviranje Primjeri

PRIMJER 11.

Parametrizirajmo funkciju (krivulju) y =√

x tako da se rijesimokorijena.

Rjesenje:Odaberimo ime parametra npr. v . Korijena cemo se rijesiti akopostavimo da je x = v2, jer je tada y =

√v2 = |v |.

Dakle, rjesenje je: {x = v2

y = v (v ≥ 0)

Mogli smo uzeti i{

x = v4

y = v2 itd.



PRIMJER 11.

Parametrizirajmo funkciju (krivulju) y =√

x tako da se rijesimokorijena.

Rjesenje:Odaberimo ime parametra npr. v . Korijena cemo se rijesiti akopostavimo da je x = v2, jer je tada y =

√v2 = |v |.

Dakle, rjesenje je: {x = v2

y = v (v ≥ 0)

Mogli smo uzeti i{

x = v4

y = v2 itd.



PRIMJER 12.

Parametrizirajmo kruznicu x2 +y2 = 1 uz pomoc sljedecih parametara:

(a) (b)



Rjesenje:

(a)

{x = cosϕ

y = sinϕ

(b) Slicnost trokuta:y

1+x=

t1=

1−xy

⇓{x = 1−t2

1+t2

y = 2 t1+t2



PRIMJER 12.

{ x = t2, y = t } ocito zadaje y =√

x.

Nadimodydx

direktno iz parametarskih jednadzbi.

Rjesenje:

dyd t

=dydx· dx

d t=⇒ dy

dx=

dyd tdxd t

Dakle:dydx

=d td td t2

d t

=12 t

=1

2y=

12√

x



PRIMJER 12.

{ x = t2, y = t } ocito zadaje y =√

x.

Nadimodydx

direktno iz parametarskih jednadzbi.

Rjesenje:

dyd t

=dydx· dx

d t=⇒ dy

dx=

dyd tdxd t

Dakle:dydx

=d td td t2

d t

=12 t

=1

2y=

12√

x


Parametrasko deriviranje Deriviranje parametarski zadanih krivulja

PARAMETARSK0 DERIVIRANJE

Ako je y = y(x) zadana parametraski s{x = x(t)y = y(t)

onda je

dydx

=dy/dtdx/dt

=yx↖ NEWTONOVA↙ NOTACIJA


Parametrasko deriviranje Zadaci

ZADATAK 10.Nadite derivacije y ′ parametarski zadanih funkcija

a){

x = ty = t2 b)

x = 1t+1

y =(

tt+1

)2

c){

x = e−t

y = e2 t b){

x = cos ty = sin t

Rjesenja:

a) y ′ = 2 t b) y ′ =− 2 tt +1

c) y ′ =−2e3 t d) y ′ =−ctg t



ZADATAK 10.Nadite derivacije y ′ parametarski zadanih funkcija

a){

x = ty = t2 b)

x = 1t+1

y =(

tt+1

)2

c){

x = e−t

y = e2 t b){

x = cos ty = sin t

Rjesenja:

a) y ′ = 2 t b) y ′ =− 2 tt +1

c) y ′ =−2e3 t d) y ′ =−ctg t



ZADATAK 11.

Nadite vrijednost derivacijedydx

za t = 1 ako je x = t ln t

y =ln tt

Rjesenja:

dydx

=1− ln t

t2 (1+ ln t)=⇒ dy

dx

∣∣∣∣t=1

=1− ln1

12 (1+ ln1)= 1



ZADATAK 11.

Nadite vrijednost derivacijedydx

za t = 1 ako je x = t ln t

y =ln tt

Rjesenja:

dydx

=1− ln t

t2 (1+ ln t)=⇒ dy

dx

∣∣∣∣t=1

=1− ln1

12 (1+ ln1)= 1



ZADATAK 12.Nadite tangentni nagib na jedinicnu kruznicu (danu donjimparametarskim jednadzbama) u proizvoljnoj tocki (odredenojparametrom) t :

x(t) =1− t2

1+ t2 y(t) =2 t

1+ t2

Rjesenja: Trazimo dydx u tocki (odredenoj s) t :

x = dxd t = d

d t

[1−t2

1+t2

]= · · ·=− 4 t

(1+t2)2

y = dyd t = d

d t

[2 t

1+t2

]= · · ·= 2(1−t2)

(1+t2)2

dydx = y

x = 2(1−t2)−4 t =−1−t2

2 t = · · ·=− xy

Isto dobivamo implicitnim deriviranjem x2 +y2 = 1:

2x +2y dydx = 0 =⇒ dy

dx =− xy



ZADATAK 12.Nadite tangentni nagib na jedinicnu kruznicu (danu donjimparametarskim jednadzbama) u proizvoljnoj tocki (odredenojparametrom) t :

x(t) =1− t2

1+ t2 y(t) =2 t

1+ t2

Rjesenja: Trazimo dydx u tocki (odredenoj s) t :

x = dxd t = d

d t

[1−t2

1+t2

]= · · ·=− 4 t

(1+t2)2

y = dyd t = d

d t

[2 t

1+t2

]= · · ·= 2(1−t2)

(1+t2)2

dydx = y

x = 2(1−t2)−4 t =−1−t2

2 t = · · ·=− xy

Isto dobivamo implicitnim deriviranjem x2 +y2 = 1:

2x +2y dydx = 0 =⇒ dy

dx =− xy



ZADATAK 13.Parametarska krivulja zadana je donjim jednadzbama. Naditetangentni nagib i jednadzbu tangente na tu krivulju u tocki t = 1.

x(t) = (1+ t2)3 y(t) = (t2 + t)2 +2

Rjesenja: Iako ne znamo eksplicitno izraziti vezu x i y , dovoljno jepretpostaviti da je tu vezu moguce reprezentirati nekom funkcijomy = h(x) u okolini od t = 1 kako bismo mogli racunati derivaciju.

x = dxd t = 3(1+ t2)2 2t , y = dy

d t = 2(t2 + t)(2t +1)

dydx

=yx= · · ·= (t +1)(2t+)

3(1+ t2)2 ,dydx

∣∣∣∣t=1

=12

Za t = 1 je x = 8 i y = 6, pa je jednadzba tangente:

y −6 = 12 (x−8) =⇒ x−2y +4 = 0



ZADATAK 13.Parametarska krivulja zadana je donjim jednadzbama. Naditetangentni nagib i jednadzbu tangente na tu krivulju u tocki t = 1.

x(t) = (1+ t2)3 y(t) = (t2 + t)2 +2

Rjesenja: Iako ne znamo eksplicitno izraziti vezu x i y , dovoljno jepretpostaviti da je tu vezu moguce reprezentirati nekom funkcijomy = h(x) u okolini od t = 1 kako bismo mogli racunati derivaciju.

x = dxd t = 3(1+ t2)2 2t , y = dy

d t = 2(t2 + t)(2t +1)

dydx

=yx= · · ·= (t +1)(2t+)

3(1+ t2)2 ,dydx

∣∣∣∣t=1

=12

Za t = 1 je x = 8 i y = 6, pa je jednadzba tangente:

y −6 = 12 (x−8) =⇒ x−2y +4 = 0



ZADATAK 14.Nadite tangentni nagib parametarske krivulje, dane donjimjednadzbama, u tocki t = 1:

x(t) =√

t4 + t2 +2 y(t) =t

1+√

t

Rjesenja:

x =dxd t

= · · ·= t (2t2 +1)√t4 + t2 +2

y =dyd t

= · · ·= 2+√

t2(1+

√t)2

dydx

=yx=

(2+√

t)√

t4 + t2 +22 t (2t2 +1)(1+

√t)2

dydx

∣∣∣∣t=1

= · · ·= 14



ZADATAK 14.Nadite tangentni nagib parametarske krivulje, dane donjimjednadzbama, u tocki t = 1:

x(t) =√

t4 + t2 +2 y(t) =t

1+√

t

Rjesenja:

x =dxd t

= · · ·= t (2t2 +1)√t4 + t2 +2

y =dyd t

= · · ·= 2+√

t2(1+

√t)2

dydx

=yx=

(2+√

t)√

t4 + t2 +22 t (2t2 +1)(1+

√t)2

dydx

∣∣∣∣t=1

= · · ·= 14


L’HOPITALOVO PRAVILO

L’Hopitalovo pravilo

limt→0

yx

=

(00

)=

dydx

∣∣∣∣t0

=yx

∣∣∣∣t0

↑neodredeno

Opcenito vrijedi:

L’Hopitalovo pravilo

limt→0

f (t)g(t)

=

(00

)= lim

t→0

f ′(t)g′(t)

=

(00

)= · · ·

dok ne dodemo do kvocijenta koji je odreden.


L’HOPITALOVO PRAVILO Primjer

PRIMJER 13.

limx→−2

x4 +7x3 +18x2 +20x +8x3 +6x2 +12x +8

=?

Rjesenje:

limx→−2

x4 +7x3 +18x2 +20x +8↗0

x3 +6x2 +12x +8↘0

=

=

(00

)L’H= lim

x→−2

4x3 +21x2 +36x +20↗0

3x2 +12x +12↘0

=

(00

)L’H= lim

x→−2

12x2 +42x +36↗0

6x +12↘0

=

(00

)L’H= lim

x→−2

24x +426

=−48+42

6= −1


L’HOPITALOVO PRAVILO Primjer

PRIMJER 13.

limx→−2

x4 +7x3 +18x2 +20x +8x3 +6x2 +12x +8

=?

Rjesenje:

limx→−2

x4 +7x3 +18x2 +20x +8↗0

x3 +6x2 +12x +8↘0

=

=

(00

)L’H= lim

x→−2

4x3 +21x2 +36x +20↗0

3x2 +12x +12↘0

=

(00

)L’H= lim

x→−2

12x2 +42x +36↗0

6x +12↘0

=

(00

)L’H= lim

x→−2

24x +426

=−48+42

6= −1


L’HOPITALOVO PRAVILO Zadaci

ZADATAK 15.Izracunajte sljedece limese. Uporabite l’Hopitalovo pravilo kada jemoguce!

a) limx→2

x2−4x +4x3−3x2 +4

b) limx→4

x +√

x−6√x−2

c) limx→a

xm−am

xn−an d) limx→3

x3−x2−3x4−x−3

Rjesenja:

a)13

b) 5 c)mn

am−n d)515

F

F: limx→3

x3−x2−3x4−x−3

6=(

00

)pa l’Hopitalovo pravilo nije primjenjivo.Uvrsavanjem dobivamo trazeni limes.



ZADATAK 15.Izracunajte sljedece limese. Uporabite l’Hopitalovo pravilo kada jemoguce!

a) limx→2

x2−4x +4x3−3x2 +4

b) limx→4

x +√

x−6√x−2

c) limx→a

xm−am

xn−an d) limx→3

x3−x2−3x4−x−3

Rjesenja:

a)13

b) 5 c)mn

am−n d)515

F

F: limx→3

x3−x2−3x4−x−3

6=(

00

)pa l’Hopitalovo pravilo nije primjenjivo.Uvrsavanjem dobivamo trazeni limes.



PRIMJER 14.Izracunajmo ponovo neke limese iz poglavlja ”Osnovno o limesima”:

a) limx→0

sinxx

b) limx→0+

x tgx c) limx→∞

x1x

Rjesenja:

a) limx→0

sinxx

=

(00

)L’H= lim

x→0

cosx1

= 1.

b) Neka je L = limx→0+

x tgx . Imamo:

lnL = limx→0+

tg(x) · ln(x) = (0 ·∞) = limx→0+

lnxctgx =

(−∞

∞

)L’H= lim

x→0+

1x−1

sin2 x

= limx→0+

sin2 xx = lim

x→0+sin(x) · lim

x→0+

sinxx = 0 ·1 = 0

=⇒ L = e0 = 1.



PRIMJER 14.Izracunajmo ponovo neke limese iz poglavlja ”Osnovno o limesima”:

a) limx→0

sinxx

b) limx→0+

x tgx c) limx→∞

x1x

Rjesenja:

a) limx→0

sinxx

=

(00

)L’H= lim

x→0

cosx1

= 1.

b) Neka je L = limx→0+

x tgx . Imamo:

lnL = limx→0+

tg(x) · ln(x) = (0 ·∞) = limx→0+

lnxctgx =

(−∞

∞

)L’H= lim

x→0+

1x−1

sin2 x

= limx→0+

sin2 xx = lim

x→0+sin(x) · lim

x→0+

sinxx = 0 ·1 = 0

=⇒ L = e0 = 1.



c) Neka je sada L = limx→∞

x1x . Imamo:

lnL = limx→∞

1x · ln(x) = (0 ·∞) = lim

x→∞

lnxx =

(∞

∞

)L’H= lim

x→∞

1x1 = 0

=⇒ L = e0 = 1.


Documents

Matematika 1 - unizg.hr · Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Derivacija II 14 / 48. Lanˇcano deriviranje i vezane brzine Primjeri. PRIMJER 6. Ulicna rasvjeta smjeˇ