Matematika 2 - Funkcije

Matematika 2

Sadrzaj

Dio I

Matematika 2

2 1 0 1 22

1

0

1

2

FOI, Varazdin

Matematika 2

Sadrzaj

Dio I

Sadrzaj prvog dijela

Realne funkcije realne varijable

Definicija funkcije

Klasifikacija realnih funkcija realne varijable

Kompozicija funkcija

Inverzna funkcija

Svojstva realnih funkcija realne varijable

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcija

Trigonometrijske funkcije

Ciklometrijske (arkus) funkcije

Cjelobrojne funkcije

Prirodna domena

Transformacija grafa funkcije

Svojstva funkcija i grafovi

Funkcijski model

Matematika 2

Realne funkcije realnevarijable

Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija

Eksponencijalna funkc.

Logaritamska funkc.

Trigonometrijske funkc.

Arkus funkcije


Prirodna domena

Transformacija grafa

Svojstva funkcija igrafovi

Funkcijski model

Dio I


Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Sadrzaj


Definicija funkcije



Inverzna funkcija





Ciklometrijske (arkus) funkcije


Prirodna domena

Transformacija grafa funkcije

Svojstva funkcija i grafovi

Funkcijski model

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija funkcije

Neka su A i B neprazni skupovi. Neka je svakom elementu a Apridruzen jedan i samo jedan element b B. Kaze se da je timpridruzivanjem definirana funkcija f : A B i pisemo f(a) = b.Skup A zove se domena ili podrucje definicije funkcije f , a skup

B kodomena funkcije f .

Domenu funkcije f oznacavamo s Df .

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija funkcije

Funkcija je preslikavanje izmedu dva skupa (domene i kodomene)

koje svakom elementu prvog skupa (domene) pridruzuje jedan i

samo jedan element drugog skupa (kodomene).

Napomena.

Funkcija je specijalni pojam relacije. Kod relacije je dozvoljeno da

se neki a preslika u vise razlicitih b-ova, npr. kod relacije biti

prijatelj moguce je da neki a ima vise prijatelja. Kod funkcije to

nije dozvoljeno, npr. sjetimo se kvadriranja. Broju 3 se pridruzuje

broj 9, tj. 32 = 9 i ne moze biti nista drugo, tj. ne moze 32 biti

jednak jos nekom drugom broju razlicitom od 9.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

A B

a

b

c

1

2

3

4

f

f je relacija koju mozemo zapisati kao

f ={

(a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 4)}, f AB.

f nije funkcija jer se elementu a iz domene pridruzuju dva elementa

(1 i 2) iz kodomene, a to se kod funkcije ne smije dogoditi.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

A B

a

b

c

1

2

3

4

f

f : A B je funkcija

f(a) = 1, f(b) = 1, f(c) = 3

Dakle, kod funkcije je dozvoljeno da se dva razlicita elementa pres-

likaju u isti (npr., kod kvadriranja 3 i 3 se preslikaju u 9), samose ne smije jedan element preslikati u dva razlicita.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

Ako je AB neka binarna relacija, tada oznaka a b oznacavada je element a A u relaciji s elementom b B. Kakoje funkcija specijalni slucaj relacije, mogli bismo u slucaju da je

f AB funkcija pisati a f b, sto bi znacilo da se a preslikava u b.Medutim, kod funkcije je za svaki a A element b B jedinstvenoodreden pa taj jedinstveno odredeni element oznacavamo s f(a),

tj. umjesto a f b pisemo f(a) = b.

Kod relacije taj zapis nije moguc jer iz a b ne slijedi da je b

jedinstven, moze biti vise b-ova s kojima je a u relaciji. Stoga (a)

nema smisla jer ne znamo koji od tih b-ova on oznacava.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Ponekad umjesto

f(a) = b

pisemo

af7 b

ili samo

a 7 bkada je iz konteksta jasno o kojoj se funkciji radi ili ako promatranoj

funkciji nismo dali nikakvo ime.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Slika funkcije

Definicija slike funkcije

Neka je f : A B funkcija. Slika funkcije f je skupIm f =

{f(x) : x A} B.

Jednostavno receno, slika funkcije f je skup svih elemenata iz

kodomene koji su pogodeni, tj. u koje se netko preslikao iz

domene.

A B

a

b

c

1

2

3

4

f

Im f = {1, 3}

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Zadavanje funkcije

Funkcija je zadana ako je zadana njezina domena, kodomena i

pravilo pridruzivanja (postupak pomocu kojeg se svakom elementu

domene pridruzuje jedan i samo jedan element kodomene).

Funkcije se mogu zadati:

numericki (pomocu tablice)

graficki (pomocu grafa)

algebarski (pomocu formule)

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Algebarski zadanu funkciju ponekad pisemo u obliku jednadzbe.

Na primjer, funkciju f(x) = x2 pisemo i kao y = x2. U tom

slucaju varijablu x zovemo nezavisnom varijablom (nju biramo

kako hocemo u domeni), a y zovemo zavisnom varijablom (nju

vise ne mozemo birati, nego ju moramo izracunati prema navede-

nom pravilu na temelju odabranog x).

Napomena.

Razlikujte f od f(x). Naime, f je ime funkcije, a f(x) je element

iz kodomene u kojeg se preslikao element x iz domene preko pravila

f .

Na primjer, sin je ime funkcije sinus, a sinx je realni broj, tj.

vrijednost sinusa na realnom broju x.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

Najcesce umjesto sin (x) kratko samo pisemo sinx, iako je prvi

zapis precizniji po uzoru na opceniti zapis f(x). Medutim, iz es-

tetskih razloga zagrade ispustamo. Ista stvar je i kod drugih ele-

mentarnih funkcija koje znamo.

Naravno, kod sin (x+ 2) ne smijemo ispustiti zagrade jer opcenito

su sin (x+ 2) i sinx+ 2 razliciti brojevi, tj.

sin (x+ 2) 6= sinx+ 2.

U prvom slucaju se uzima sinus od broja x + 2, a u drugom se

uzima sinus broja x, a zatim se tako dobivenom broju dodaje broj

2.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

Nezavisnu varijablu mozemo nazvati kako hocemo, tj.

f(x) = x2, f(u) = u2, f(t) = t2, . . .

oznacavaju jedno te isto pravilo pridruzivanja, samo sto su neza-

visne varijable oznacene razlicitim slovima, ali to nista ne utjece

na samo pravilo, odnosno funkciju.

Isto tako, ime pravila (funkcije) ne utjece na samo pravilo, tj.

f(x) = x2, g(x) = x2, kvadrat(x) = x2

oznacavaju jedno te isto pravilo pridruzivanja, samo sto su ta pra-

vila (funkcije) nazvane razlicitim imenima. Na primjer,

f(3) = 9, g(3) = 9, kvadrat(3) = 9.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Jednakost funkcija

Najcesce funkciju poistovjecujemo s njezinim pravilom pridruziva-

nja, ali treba uvijek imati na umu da je funkcija zadana ako je

zadana njezina domena, kodomena i pravilo pridruzivanja.

Jednakost funkcija

Dvije funkcije su jednake ako imaju jednake domene, jednake ko-

domene i jednako pravilo pridruzivanja.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Funkcije

f : R R, f(x) = x2

i

g : [0, 20] R, g(x) = x2

nisu jednake jer nemaju jednake domene, iako imaju jednako pra-

vilo pridruzivanja (sto bi nas moglo navesti na zakljucak da su to

iste funkcije).

Intuitivno si razliku izmedu ovih dviju funkcija mozemo tumaciti

na nacin da funkcija f zna kvadrirati svaki realni broj, a funkcija

g zna kvadrirati samo one realne brojeve koji se nalaze izmedu 0

i 20, a preostale brojeve ne zna kvadrirati jer to nije u njezinoj

domeni znanja.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Funkcije

f : R R, f(x) = sinxi

g : R R, g(x) = sin (x+ 2pi)su jednake jer imaju jednake domene, kodomene, ali i pravilo pri-

druzivanja jer je sin (x+ 2pi) = sinx.

Dakle, opcenito treba biti oprezan. Mozda pravila pridruzivanja

na prvi pogled mogu izgledati razlicito, a da su zapravo jednaka

kao sto je to ovdje slucaj. Ovdje nije bilo tesko otkriti jednakost

navedenih pravila, ali opcenito to ne mora biti tako lagano.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


Realna funkcija realne varijable je funkcija cija su domena i

kodomena podskupovi skupa realnih brojeva, tj.

f : A B, A,B R.

Pritom je skup A uglavnom neki interval u R. Za realne funkcijedefinirane na intervalu mozemo uvesti pojam limesa, derivacije,

neodredenog i odredenog integrala.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Graf funkcije

Definicija grafa funkcije

Graf realne funkcije realne varijable je skup tocaka ravnine

f ={

(x, f(x)) : x Df}

gdje je sa Df oznacena domena funkcije f .

a

f(a)

f

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


realne funkcije realne varijable

algebarske

racionalne iracionalne

transcendentne

eksponencijalne

logaritamske

trigonometrijske

ciklometrijske...

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Algebarske i transcendentne funkcije

Realnu funkciju zovemo algebarskom ako je argument x podvrg-

nut konacnom broju algebarskih operacija: zbrajanje, oduzimanje,

mnozenje, dijeljenje, potenciranje racionalnim brojem.

Realne funkcije koje nisu algebarske zovemo transcendentnima.

Funkcija

f(x) =3x 2 + 5x2x8 4

je algebarska, dok je funkcija

g(x) = cos(x+ 2

)transcendentna.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Racionalne i iracionalne funkcije

Racionalna funkcija je algebarska funkcija u kojoj se javlja po-

tenciranje samo sa cijelim brojem (nema korijena).

Algebarske funkcije koje nisu racionalne zovemo iracionalnima.

Funkcija

f(x) =3x 2 + 5x2x8 4

je iracionalna, dok je funkcija

g(x) =x3 7x2 + 3

x 2racionalna.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija polinoma

Polinom n-tog stupnja je funkcija oblika

f(x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x+ a0

gdje su a0, a1, . . . , an1, an R, n N, an 6= 0.

Dobro su nam poznati polinomi prvog stupnja

f(x) = ax+ b

i polinomi drugog stupnja

f(x) = ax2 + bx+ c

ciji grafovi su pravci, odnosno parabole.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Sada kada smo definirali polinome, slijedi da je racionalna funk-

cija kvocijent dva polinoma, tj. to je funkcija oblika

f(x) =P (x)

Q(x)

gdje su P i Q polinomi i Q 6= 0 (Q nije nulpolinom).

Ako je stupanj polinoma u brojniku strogo manji od stupnja poli-

noma u nazivniku, tada takvu racionalnu funkciju zovemo prava

racionalna funkcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Specijalni slucaj racionalne funkcije je homografska funkcija koja

je oblika

f(x) =ax+ b

cx+ d

gdje se u brojniku i nazivniku nalaze polinomi prvog stupnja. Nje-

zin graf je oblika

dc

ac

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Graf homografske funkcije se nalazi u prvom i trecem crtkanom

kvadrantu, odnosno u drugom i cetvrtom crtkanom kvadrantu,

ovisno o tome da li homografska funkcija po dijelovima pada ili po

dijelovima raste. Detalje o tome zasto graf izgleda tako kako je

nacrtan vidjet cemo kada naucimo derivacije.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


Neka su f : A B i g : B C dvije funkcije. Kompozicijafunkcija f i g je funkcija

g f : A C, (g f)(x) = g(f(x)).

A

B

C

x

f(x)g(f(x))

f g

g f

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Dakle, kompozicija se sastoji od dva preslikavanja:

x 7 f(x)

i

f(x) 7 g(f(x))Da bismo dosli od elementa x do elementa g

(f(x)

)trebale su

nam dvije funkcije. Prvo funkcija f preslikava x u f(x), a zatim

taj dobiveni f(x) funkcija g preslikava u g(f(x)

). Medutim, mi

zelimo direktno doci od elementa x do elementa g(f(x)

), a to

mozemo upravo preko funkcije g f koja element x preslikava ug(f(x)

).

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Identiteta na skupu A je preslikavanje

idA : A A, idA(x) = x.

Za sve funkcije f : C A i g : A B vrijedi

idA f = f, g idA = g.

Pokazimo da je idA f = f . Zapravo treba dokazati jednakostdvije funkcije. Po definiciji dvije su funkcije jednake ako imaju

jednake domene, jednake kodomene i jednaka pravila pridruzivanja.

Iz definicije kompozicije slijedi da je idA f : C A pa funkcijeidA f i f imaju jednake domene i kodomene.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

S druge strane, iz definicije funkcije idA i definicije kompozicije

slijedi

(idA f)(x) = idA(f(x)) = f(x), x Cpa funkcije idA f i f imaju i jednaka pravila pridruzivanja. Stogaje zaista idA f = f .

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Vazna napomena

Ne mozemo komponirati bilo koje dvije funkcije. Da bi kompozicija

g f bila moguca mora vrijediti da je Im f Dg, gdje je saDg oznacena domena funkcije g. Naime, u g f prvo djelujefunkcija f i ona neki element x iz svoje domene preslika u element

f(x) koji se naravno nalazi u Im f . Medutim, ako taj f(x) nije

u domeni funkcije g, tada funkcija g nece znati djelovati na njega

pa kompozicija g f nece biti definirana.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.1.

Zadane su funkcije

f : R R, f(x) = x2g : [0, R, g(x) = x.

Da li je definirana kompozicija g f?

Rjesenje.

(g f)(x) = g(f(x))Funkcija f realni broj x preslikava u broj x2. No, broj x2 jemanji od nule pa funkcija g ne zna na njega djelovati jer on nije u

njezinoj domeni (imali bismo korijen iz negativnog broja). Stoga

kompozicija g f nije definirana.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.2.

Zadane su funkcije

f : [3, 5] R, f(x) = x2g : [0, 1] R, g(x) = x2.


Rjesenje.

(g f)(x) = g(f(x))Funkcija f realni broj x [3, 5] preslikava u broj x2 [9, 25].Sada na taj broj x2 mora djelovati funkcija g koja ga jos jednom

mora kvadrirati. Medutim, kako je x2 [9, 25], funkcija g ga nezna kvadrirati jer ona zna samo kvadrirati brojeve izmedu 0 i 1.

Stoga kompozicija g f nije definirana.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Za razliku od prethodnog slucaja kada smo imali korijen iz nega-

tivnog broja i nismo mogli nista napraviti dalje, ovdje bismo mogli

formalno broj x2 jos jednom kvadrirati jer mi znamo kvadrirati

svaki realni broj. Medutim, iako mi to znamo, funkcija g to ne

zna (ona zna samo kvadrirati brojeve izmedu 0 i 1). Njezina do-

mena znanja je samo kvadriranje brojeva izmedu 0 i 1 pa moramo

imati odredenog respekta prema njezinom znanju i ne mozemo

ju onda tjerati da radi nesto sto ne zna, usprkos tome sto se to

mozda moze i sto mi znamo kako to napraviti.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.3.

Zadane su funkcije

f : [3, 5] R, f(x) = x2g : [0, 24] R, g(x) = x2.


Rjesenje.

(g f)(x) = g(f(x))Funkcija f realni broj x [3, 5] preslikava u broj x2 [9, 25].Sada na taj broj x2 mora djelovati funkcija g koja ga jos jednom

mora kvadrirati.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Razlikujemo dva slucaja:

Ako je x [3,24 ], tada je x2 [9, 24] pa ce funkcija gznati kvadrirati broj x2.

Ako je x 24, 5], tada je x2 24, 25] pa funkcija g neceznati kvadrirati broj x2 jer ona zna kvadrirati samo brojeve

izmedu 0 i 24.

Dakle, u ovom slucaju kompozicija g f nece biti definirana nacitavoj domeni [3, 5] funkcije f , nego samo na jednom njezinom

dijelu, tocnije na [3, 4] jer samo za takve x, funkcija g zna djelovati

na f(x).

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

Prethodna tri primjera su pokazala koliko je bitna domena kod

kompozicije funkcija i koliko je bitno na funkciju gledati u cije-

losti, tj. uvazavati njezinu domenu i kodomenu, a ne samo gledati

pravilo pridruzivanja. Najcesce kod rjesavanja zadataka te stvari

zanemarujemo, tj. ne obracamo posebnu paznju na to (pretpos-

tavljamo da su domena i kodomena takve da na njima kompozi-

cija postoji), nego nam je samo bitno da pronademo pravilo pri-

druzivanja kompozicije, ali pritom treba imati na umu navedene

stvari iz prethodnih primjera.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.4.

Za funkcije f(x) =x+ 1 i g(x) = 1x+2 nadite

a (g f)(x)c (f f)(x)

b (f g)(x)d (g g)(x)

Rjesenje.

a (g f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1 ) = 1x+1+2

b (f g)(x) = f(g(x)) = f( 1x+2) = 1x+2 + 1 =x+3x+2c (f f)(x) = f(f(x)) = f(x+ 1 ) = x+ 1 + 1d (g g)(x) = g(g(x)) = g( 1x+2) = 11

x+2+2= x+22x+5

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.4.




Rjesenje.

a (g f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1 ) = 1x+1+2

b (f g)(x) = f(g(x)) = f( 1x+2) = 1x+2 + 1 =x+3x+2

c (f f)(x) = f(f(x)) = f(x+ 1 ) = x+ 1 + 1d (g g)(x) = g(g(x)) = g( 1x+2) = 11

x+2+2= x+22x+5

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.4.




Rjesenje.

a (g f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1 ) = 1x+1+2

b (f g)(x) = f(g(x)) = f( 1x+2) = 1x+2 + 1 =x+3x+2c (f f)(x) = f(f(x)) = f(x+ 1 ) = x+ 1 + 1

d (g g)(x) = g(g(x)) = g( 1x+2) = 11x+2+2

= x+22x+5

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Primjer 1.4.




Rjesenje.

a (g f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1 ) = 1x+1+2

b (f g)(x) = f(g(x)) = f( 1x+2) = 1x+2 + 1 =x+3x+2c (f f)(x) = f(f(x)) = f(x+ 1 ) = x+ 1 + 1d (g g)(x) = g(g(x)) = g( 1x+2) = 11

x+2+2= x+22x+5

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Iz prethodnog primjera primijecujemo da opcenito ne vrijedi ko-

mutativnost kompozicije funkcija, tj.

Kompozicija funkcija nije opcenito komutativna operacija

f g 6= g f.

Medutim, asocijativnost kompozicije funkcija vrijedi, tj.

Kompozicija funkcija je asocijativna operacija

(f g) h = f (g h)

naravno uz pretpostavku da su odgovarajuce kompozicije defini-

rane.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Inverzna funkcija

Kao sto smo vec spomenuli, funkciju cesto poistovjecujemo s njezi-

nim pravilom koje nam govori na koji nacin varijabli x pridruzujemo

varijablu y. Pitamo se da li u tom slucaju postoji pravilo koje nam

govori na koji nacin varijabli y natrag pridruziti varijablu x. To

nas dovodi do pojma inverzne funkcije.

y = f(x)? x = g(y)

Da bismo precizno definirali taj pojam potrebni su nam prije toga

jos neki pojmovi vezani uz funkcije.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

x = g(y) y = f(x)

y = f(x)? x = g(y)

f

g

Pogledajmo najprije jedan primjer da nam bude jasnije o cemu

se radi. Promotrimo funkciju f(x) = 3x. Ona realnom broju x

pridruzuje realni broj 3x. Pitamo se da li postoji funkcija g koja

ce tom realnom broju 3x pridruziti natrag realni broj x.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Oznacimo y = f(x). U nasem slucaju je y = 3x. Dakle, funkcija f

realnom broju x pridruzuje realni broj y na gore opisani nacin. Mi

se zapravo pitamo da li postoji funkcija g koja ce raditi obrnuto,

tj. koja ce realnom broju y pridruziti natrag realni broj x.

xf7 y y g7 x

Pogledamo li jednakost y = 3x, ona nam zapravo govori na koji

nacin funkcija f realnom broju x pridruzuje realni broj y (dakle, x

biramo, a y racunamo na temelju odabranog x). Mi bismo htjeli

iz te jednakosti saznati na koji nacin izracunati x ako biramo y pa

bismo na taj nacin dobili funkciju g.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Zapravo iz jednakosti y = 3x treba izraziti x pomocu y, sto ovdje

nije tesko (opcenito to ne mora biti tako lagano). Dobivamo da

je x = 13y pa je g(y) =13y. Naravno, mozemo sve ovo zabora-

viti i pisati g(x) = 13x (nezavisnu varijablu mozemo nazvati kako

hocemo).

f : R R, f(x) = 3xg : R R, g(x) = 1

3x

Funkcije f i g su medusobno inverzne. Na primjer, ako je f(1) = 3,

tada je g(3) = 1 i obrnuto.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

f : R R, f(x) = 3xg : R R, g(x) = 1

3x

(f g)(x) = f(g(x)) = f( 13x) = 3 13x = x = idR(x)(g f)(x) = g(f(x)) = g(3x) = 13 3x = x = idR(x)

f g = idRg f = idR

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija injekcije

Funkcija f : D K je injekcija ako razlicite elemente domenepreslikava u razlicite elemente kodomene, tj. ako vrijedi

x1, x2 D, x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2)

Napravimo li kontrapoziciju, dobivamo analognu definiciju injektiv-

nosti funkcije f koju cesce koristimo kod dokazivanja injektivnosti.

Jos jedna definicija injekcije

Funkcija f : D K je injekcija ako vrijedix1, x2 D, f(x1) = f(x2) x1 = x2

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija surjekcije

Funkcija f : D K je surjekcija ako je Im f = K, tj. ako su svielementi u kodomeni pogodeni.

Drugim rijecima, ako uzmemo bilo koji element y K iz kodo-mene, postoji barem jedan element x D iz domene koji se unjega preslikao. Matematicki zapisano,

y K, x D, f(x) = y.

Definicija bijekcije

Funkcija f : D K je bijekcija ako je injekcija i surjekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

3

4

f

Funkcija f nije injekcija jer je f(a) = f(b) = 1 (razlicite elemente

domene ne preslikava u razlicite elemente kodomene).

Funkcija f nije surjekcija jer je Im f = {1, 3} 6= K (nisu svi ele-menti u kodomeni pogodeni).

Jasno, funkcija f nije niti bijekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

3

4

f

Funkcija f je injekcija (razlicite elemente domene preslikava u

razlicite elemente kodomene).

Funkcija f nije surjekcija jer je Im f = {1, 2, 3} 6= K (nisu svielementi u kodomeni pogodeni).

Jasno, funkcija f nije bijekcija jer nije surjekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

f

Funkcija f nije injekcija jer je f(a) = f(b) = 1 (razlicite elemente

domene ne preslikava u razlicite elemente kodomene).

Funkcija f je surjekcija jer je Im f = K (svi elementi u kodomeni

su pogodeni).

Jasno, funkcija f nije bijekcija jer nije injekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

3

f

Funkcija f je injekcija (razlicite elemente domene preslikava u

razlicite elemente kodomene).

Funkcija f je surjekcija jer je Im f = K (svi elementi u kodomeni

su pogodeni).

Jasno, funkcija f je bijekcija jer je injekcija i surjekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

O postojanju inverzne funkcije govori sljedeci teorem.

Teorem 1.1.Za funkciju f : D K koja je bijekcija postoji inverzna funkcijaf1 : K D za koju vrijedi

f f1 = idK , f1 f = idD .

Dakle, funkcija f : D K ima inverznu funkciju jedino u slucajuda je bijekcija. U tom slucaju njezinu inverznu funkciju oznacavamo

s f1.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

x y

f

f1

f : D K, f1 : K D

f(x) = y f1(y) = x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

f

Zasto funkcija koja je surjekcija, a nije injekcija nema inverznu

funkciju? U gornjem primjeru vidimo da je f(a) = f(b) = 1. Sada

je problem odluciti se koliko je f1(1). Vracamo li se natrag, bilof1(1) = a i f1(1) = b, tj. broj 1 bi se preslikao u dva razlicitaelementa pa f1 nije funkcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

D K

a

b

c

1

2

3

4

f

Zasto funkcija koja je injekcija, a nije surjekcija nema inverznu

funkciju? U gornjem primjeru vidimo da se problem javlja kod

elemenata u kodomeni koji nisu pogodeni pa ih f1 nema komepridruziti. Konkretno, ovdje je problem koliko je f1(4) jer se u 4nitko nije preslikao pa ga f1 nema kome vratiti natrag. Nadalje,uocite da funkcija f : D Im f ima inverznu funkciju.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Drugi korijen

f : R R, f(x) = x2

f nije injekcija jer npr. (1)2 = 12f nije surjekcija jer nisu svi brojevi u kodomeni pogodeni.

Negativni brojevi nisu pogodeni jer je x2 > 0.f nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

0 x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

g : R [0,, g(x) = x2

g nije injekcija jer npr. (3)2 = 32g je surjekcija jer su svi brojevi u kodomeni pogodeni (uocite

da je sada kodomena skup [0,).g nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

0 x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

h : [0, R, h(x) = x2

h je injekcija (iz domene su izbaceni negativni brojevi)

h nije surjekcija jer nisu svi brojevi u kodomeni pogodeni.

Negativni brojevi nisu pogodeni jer je x2 > 0.h nije bijekcija pa nema inverznu funkciju

3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

0 x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

k : [0, [0,, k(x) = x2

k1 : [0, [0,, k1(x) = x

k je injekcija (iz domene su izbaceni negativni brojevi)

k je surjekcija (iz kodomene su izbaceni negativni brojevi)

k je bijekcija pa ima inverznu funkciju koju zovemo drugi

korijen i oznacavamo s

.

2 1 1 2 3 4

1

2

3

4k(x) = x2

k1 (x) =

x

0 x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

Mozemo postaviti sljedece pitanje. Znamo da je 32 = 9, ali isto

tako je i (3)2 = 9. Ako je drugi korijen inverzna funkcija odkvadriranja, zasto je onda

9 = 3, a zasto nije

9 = 3? To

je upravo malo prije bila stvar naseg dogovora. Kvadriranje nije

bijekcija na citavoj svojoj domeni, ali ako uzmemo za domenu samo

nenegativne brojeve (desnu granu parabole), tada je kvadriranje

bijekcija i ima inverznu funkciju. To je bila ona nasa funkcija

k : [0, [0,, k(x) = x2.

Naravno da je onda

k1 : [0, [0,, k1(x) = x

pa je drugi korijen iz pozitivnog broja pozitivan broj.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Naravno, nitko nam nije branio da uzmemo lijevu granu parabole,

tj. da za domenu kvadriranja uzmemo negativne brojeve pa bismo

promatrali funkciju

k1 : , 0] [0,, k1(x) = x2.

Ova funkcija je takoder bijekcija pa ima inverznu funkciju

k1 : [0, , 0], k11 (x) =x

koju smo mogli nazvati drugim korijenom i u tom bi slucaju bilo9 = 3.

Medutim, mi smo odabrali onu prvu opciju (vjerojatno jer svi vise

volimo plus, nego minus) pa se onda moramo od sada pa na dalje

drzati tog dogovora. Dakle, drugi korijen iz pozitivnog broja je

pozitivan broj.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Inverzna funkcija

Ako je funkcija f bijekcija, tada ona ima inverznu funkciju f1.Grafovi od f i f1 simetricni su s obzirom na pravac y = x.

Primjer 1.5.

Dokazite da je funkcija f : R R, f(x) = 2 3x+ 1 bijekcija iodredite joj inverznu funkciju.

Rjesenje.

Da bismo dokazali da je f bijekcija, trebamo dokazati da je injek-

cija i surjekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

injektivnost

f(x1) = f(x2)

2 3x1 + 1 = 2

3x2 + 1

/ 12

3x1 + 1 =

3x2 + 1

/ 3x1 + 1 = x2 + 1

x1 = x2

Dakle, dobili smo da vrijedi

x1, x2 R, f(x1) = f(x2) x1 = x2

iz cega slijedi da je f injekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

surjektivnost

Treba dokazati da je Im f = R, tj. da su svi elementi u kodomenipogodeni. Neka je y R proizvoljan element iz kodomene.Pitamo se da li postoji x R iz domene takav da je f(x) = y,odnosno da je 2 3

x+ 1 = y. U biti, y smo izabrali, a trebamo

pronaci x koji ce se preslikati u odabrani y. Zapravo trebamo na

neki nacin x izraziti pomocu odabranog y.

Krecemo od toga da mora vrijediti f(x) = y, tj.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

f(x) = y

2 3x+ 1 = y

/ 38(x+ 1) = y3

x = 18y3 1

Sada imamo

f(x) = f(18y

3 1) = 2 3 18y3 1 + 1 = 2 3 18y3 = y.Dakle, za odabrani y R iz kodomene, broj 18y3 1 iz domenece se preslikati u broj y. Stoga je f zaista surjekcija.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

inverzna funkcija

Zapravo smo vec inverznu funkciju pronasli u toku dokaza surjek-

tivnosti funkcije f . Zbog preglednosti ipak cemo postupak opet

ponoviti. Dakle, pokazali smo da je f bijekcija pa ima inverznu

funkciju f1 koju cemo pronaci tako da iz jednadzbe y = f(x)izrazimo x pomocu y.

f(x) = y

2 3x+ 1 = y

/ 38(x+ 1) = y3

x = 18y3 1

Stoga je f1(y) = 18y31. Naravno, mozemo nezavisnu varijablu

nazvati s x pa je f1(x) = 18x3 1.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Vazna napomena

Za svaki k Z \ {0} vrijedi

x2k = y2k x = y

x2k+1 = y2k+1 x = y

Treba biti oprezan s parnim potencijama. Specijalno iz x2 = y2

ne slijedi da su brojevi x i y jednaki, nego da su do na predznak

jednaki. S neparnim potencijama nema tih problema jer npr. iz

x3 = y3 slijedi da mora biti x = y.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


Od ovog trenutka promatramo samo realne funkcije realne varijable

pa to vise necemo posebno naglasavati.

Definicija nultocke funkcije

Nultocka funkcije f je svaki broj x0 Df za koji je f(x0) = 0.

x0 x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija omedenosti funkcije odozgo

Za funkciju f kazemo da je omedena odozgo ako postoji M Rtakav da je f(x) 6M za svako x Df .

To zapravo znaci da se graf funkcije f nalazi ispod pravca y = M .

M

x

y

Najmanja gornja meda funkcije f je najmanji realni broj M koji

je gornja meda funkcije f .

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija omedenosti funkcije odozdo

Za funkciju f kazemo da je omedena odozdo ako postoji m Rtakav da je f(x) > m za svako x Df .

To znaci da se graf funkcije f nalazi iznad pravca y = m.

m

x

y

Najveca donja meda funkcije f je najveci realni broj m koji je

donja meda funkcije f .

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija omedene funkcije

Za funkciju f kazemo da je omedena ako je omedena odozgo i

odozdo, tj. postoje m,M R takvi da je m 6 f(x) 6 M zasvako x Df .

To znaci da se graf funkcije f nalazi izmedu pravaca y = m i

y = M .

m

M

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija rastuce funkcije

Za funkciju f : Df R, Df R, kazemo da raste ako vrijedi(x1, x2 Df)(x1 < x2 f(x1) 6 f(x2)).

Definicija strogo rastuce funkcije

Za funkciju f : Df R, Df R, kazemo da strogo raste akovrijedi (x1, x2 Df)(x1 < x2 f(x1) < f(x2)).Jednostavno receno, rastuce funkcije cuvaju znak nejednakosti.

Uglavnom cemo za strogo rastuce funkcije govoriti kratko da su

rastuce jer cemo uglavnom samo takve i gledati.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

x1

f(x1)

x2

f(x2)

x

y

f strogo raste

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

x1 x2

f(x1) = f(x2)

x

y

f raste, ali ne raste strogo

x1 < x2 f(x1) 6 f(x2)

Ne mozemo uvijek postici strogu nejednakost kao sto se vidi sa

slike.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija padajuce funkcije

Za funkciju f : Df R, Df R, kazemo da pada ako vrijedi(x1, x2 Df)(x1 < x2 f(x1) > f(x2)).

Definicija strogo padajuce funkcije

Za funkciju f : Df R, Df R, kazemo da strogo pada akovrijedi (x1, x2 Df)(x1 < x2 f(x1) > f(x2)).Jednostavno receno, padajuce funkcije preokrecu znak nejedna-

kosti.

Uglavnom cemo za strogo padajuce funkcije govoriti kratko da su

padajuce jer cemo uglavnom samo takve i gledati.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

x2

f(x2)

x1

f(x1)

x

y

f strogo pada

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

x1 x2

f(x1) = f(x2)

x

y

f pada, ali ne pada strogo

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Ne mozemo uvijek postici strogu nejednakost kao sto se vidi sa

slike.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija monotone funkcije

Funkciju koja raste, odnosno pada, na cijelom podrucju definicije

zovemo monotonom funkcijom.

Definicija okoline realnog broja

Okolina realnog broja x0 je svaki otvoreni interval koji sadrzi realni

broj x0.

x0

Definicija -okoline realnog broja

-okolina realnog broja x0 je interval x0 , x0 + pri cemu je > 0.

x0x0 x0 +

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija lokalnog maksimuma

Kazemo da funkcija f ima lokalni maksimum u tocki xM

ako

unutar domene funkcije f postoji okolina O tocke xM

takva da je

na toj okolini f(xM

) najveca vrijednost funkcije f , tj.

f(x) 6 f(xM

), x O.

Definicija strogog lokalnog maksimuma

Kazemo da funkcija f ima strogi lokalni maksimum u tocki xM

ako unutar domene funkcije f postoji okolina O tocke xM

takva

da je na toj okolini f(xM

) strogo najveca vrijednost funkcije f , tj.

f(x) < f(xM

), x O \ {xM}.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija lokalnog minimuma

Kazemo da funkcija f ima lokalni minimum u tocki xm ako unu-

tar domene funkcije f postoji okolina O tocke xm takva da je na

toj okolini f(xm) najmanja vrijednost funkcije f , tj.

f(x) > f(xm), x O.

Definicija strogog lokalnog minimuma

Kazemo da funkcija f ima strogi lokalni minimum u tocki xm

ako unutar domene funkcije f postoji okolina O tocke xm takva

da je na toj okolini f(xm) strogo najmanja vrijednost funkcije f ,

tj.f(x) > f(xm), x O \ {xm}.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Strogi lokalni minimum i maksimum

xm

f(xm)

xM

f(xM )

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Lokalni maksimum koji nije strogi

xM

f(xM )

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Lokalni minimum koji nije strogi

xm

f(xm)

x

y

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Lokalni ekstremi

Jednom rijecju lokalne minimume i lokalne maksimume funkcije f

zovemo lokalnim ekstremima funkcije f .

Napomena.

Ako u nekoj tocki funkcija ima lokalni maksimum, to ne znaci da

u toj tocki funkcija poprima najvecu vrijednost globalno, moze se

dogoditi da u nekim drugim tockama poprima vece vrijednosti, ali

na nekoj dovoljno maloj okolini te tocke to je najveca vrijednost.

Dakle, rijec lokalni je ovdje jako bitna. Ista stvar je i za lokalni

minimum. Intuitivno si to mozemo tumaciti na sljedeci nacin.

Ako je netko najbolji nogometas u Hrvatskoj, to ne mora znaciti

da je on najbolji nogometas na svijetu, nego da je on samo lokalno

najbolji, tj. najbolji u svojoj zemlji (okolini).

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija periodicne funkcije

Za funkciju f kazemo da je periodicna ako

T R \ {0}, f(x+ T ) = f(x), x Df

Za realni broj T kazemo da je period funkcije f . Najmanji pozi-

tivni realni broj T0 za kojeg to vrijedi zovemo osnovnim periodom

funkcije f .

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Osnovni period funkcije f(x) = sinx je 2pi. Brojevi

. . . ,4pi,2pi, 4pi, 6pi, . . .

su takoder periodi funkcije sinus, samo nisu osnovni.

3pi 52pi 2pi 3

2pi pi pi2 pi2 pi 32pi 2pi 52pi 3pi1

1

x

y

sin (x+ 2kpi) = sinx, k Z

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Definicija parne funkcije

Za funkciju f kazemo da je parna ako vrijedi

x Df x Dff(x) = f(x), x Df

Graf parne funkcije je osno simetrican s obzirom na y-os.

Definicija neparne funkcije

Za funkciju f kazemo da je neparna ako vrijedi

x Df x Dff(x) = f(x), x Df

Graf neparne funkcije je centralno simetrican s obzirom na is-

hodiste koordinatnog sustava.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Najpoznatiji primjeri parnih funkcija su:

potencije s parnim eksponentima:

f(x) = x2k, k Z

trigonometrijska funkcija kosinus: f(x) = cosx

apsolutna vrijednost: f(x) = |x|

Najpoznatiji primjeri neparnih funkcija su:

potencije s neparnim eksponentima:

f(x) = x2k+1, k Z

trigonometrijska funkcija sinus: f(x) = sinx

trigonometrijska funkcija tangens: f(x) = tg x

trigonometrijska funkcija kotangens: f(x) = ctg x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

x2

x4

x6

x8

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

|x|

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

x

x3

x5

x7

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

x1

x3

x5

x7

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


Funkciju f : R 0, oblika

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

zovemo eksponencijalnom funkcijom s bazom a.

Svojstva eksponencijalne funkcije

a0 = 1, tj. graf svake eksponencijalne funkcije prolazi kroz

tocku (0, 1)

ax > 0, tj. graf eksponencijalne funkcije uvijek je iznad x-osi

x-os je horizontalna asimptota eksponencijalne funkcije

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Ako je a > 1, tada eksponencijalna funkcija f(x) = ax strogo

raste na citavoj domeni.

4 3 2 1 1 2 3 4

1

1

2

3

4

5

x

y

2x

ex

5x

10x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Ako je 0 < a < 1, tada eksponencijalna funkcija f(x) = ax strogo

pada na citavoj domeni.

4 3 2 1 1 2 3 4

1

1

2

3

4

5

x

y

(23

)x(12

)x(13

)x(15

)x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

a > 1, f(x) = ax strogo raste

ax < ay x < y

0 < a < 1, f(x) = ax strogo pada

ax < ay x > y

Jos neka svojstva eksponencijalne funkcije

ax ay = ax+yax

ay = axy(

ax)y

= axy

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Kazemo da velicina y(x) eksponencijalno raste ako vrijedi

y(x) = y0ekx

gdje je k pozitivna realna konstanta i y(0) = y0 pocetna vrijednost.

Kazemo da velicina y(x) eksponencijalno pada ako vrijedi

y(x) = y0ekx

gdje je k pozitivna realna konstanta i y(0) = y0 pocetna vrijednost.

Baza prirodnog logaritma

e 2.718281828459045

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Krivulja ucenja je dana jednadzbom

q(t) = B Aekt

gdje su A,B, k pozitivne realne konstante. Ime krivulje dolazi

iz psihologije, a posljedica je zapazanja da ovakva krivulja dobro

opisuje ovisnost efikasnosti izvodenja zadataka o kolicini poduke

ili iskustva koje osoba posjeduje.

B

B A

t

q(t)

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Logisticka krivulja je dana jednadzbom

q(t) =B

1 +AeBkt

gdje su A,B, k pozitivne realne konstante. Kad se populacija na-

lazi u uvjetima u kojima postoji gornja granica do koje populacija

moze rasti, ona raste u skladu s logistickom krivuljom. Sirenje

epidemija ili ogovaranja u drustvu se isto opisuju logistickom kri-

vuljom.

B

B1+A

t

q(t)

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


Inverznu funkciju eksponencijalne funkcije

g : R 0,, g(x) = ax

nazivamo logaritamskom funkcijom s bazom a

f : 0, R, f(x) = loga x

gdje je a > 0 i a 6= 1.

loga b = c ac = baloga x = x

loga ax = x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Svojstva logaritama

loga 1 = 0

loga a = 1

aloga x = x

loga ax = x

loga (xy) = loga x+ loga y, x, y > 0

logaxy = loga x loga y, x, y > 0

loga xp = p loga x, p R, x > 0

loga x =logb xlogb a

loga b =1

logb a

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Napomena.

U svojstvu

loga (xy) = loga x+ loga y

bitno je da su brojevi x i y veci od nule. Na primjer,

log3( 2 (5)) = log3 10

i on se moze izracunati. No, primijenimo li gornje svojstvo dobi-

vamo

log3( 2 (5)) = log3 (2) + log3 (5),

a brojevi na desnoj strani ne postoje jer logaritam nije definiran za

negativne brojeve. Dakle, zato je vazno da su brojevi x i y veci od

nule jer u protivnom to svojstvo ne vrijedi. Slicna su objasnjenja

za preostala svojstva.

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Ako je a > 1, tada logaritamska funkcija f(x) = loga x strogo

raste na citavoj domeni.

1 1 2 3 4 5 6 7

4

3

2

1

1

2

3

x

y

log2 x

lnx

log5 x

log x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

Ako je 0 < a < 1, tada logaritamska funkcija f(x) = loga x strogo

pada na citavoj domeni.

1 1 2 3 4 5 6 7

4

3

2

1

1

2

3

x

y

log 35x

log 12x

log 13x

log 15x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model

a > 1, f(x) = loga x strogo raste

loga x < loga y x < y

0 < a < 1, f(x) = loga x strogo pada

loga x < loga y x > y

Standardne oznake za dvije baze logaritma

lnx = loge x

log x = log10 x

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Funkcijski model


x

1

1

x

cosx

sinx

tg x =sinx

cosxctg x =

cosx

sinx

Matematika 2


Definicija funkcije

Klasifikacija


Inverzna funkcija

Svojstva funkcija


Logaritamska funkc.


Arkus funkcije


Prirodna domena



Documents

Matematika 2 - Funkcije