Embed Size (px)
Citation preview
www.puskice.org
1
Matematika 3
zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje
<!-- Ispravke, sugestije, mišljenja i ostalo šaljite na [email protected] -->
Hijavata
www.puskice.org
2
Predgovor
Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka će biti odrađena tematski, za svaki tip
zadatka ponaosob.
Prvi zadatak
Obične diferencijalne jednačine prvog reda:
Jednačina sa razdvojenim promenljivim
Homogene diferencijalne jednačine prvog reda
Linearne diferencijalne jednačine prvog reda
Bernulijeva jednačina prvog reda
Jednačina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)
Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednačina prvog reda. Najčešće dolaze Bernulijeva i
Jednačina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.
Drugi zadatak
Diferencijalne jednačine višeg reda:
Diferencijalna jednačina oblika
Diferencijalna jednačina oblika
Homogene diferencijalne jednačine višeg reda
Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda
Sistemi običnih diferencijalnih jednačina prvog reda:
Homogeni sistemi odj
Nehomogeni sistemi odj
Nelinearni sistemi odj
Parcijalne diferencijalne jednačine
Linearne parcijalne diferencijalne jednačine
Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine
www.puskice.org
3
Treći zadatak
Treći zadatak je nešto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa
zadatka:
Koši-Rimanovi uslovi
Izračunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum)
Četvrti zadatak
Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju
Rešavanje diferencijalne jednačine višeg reda primenom Laplasove transformacije
Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina primenom Laplasove transformacije
www.puskice.org
4
Prvi zadatak
Jednačina sa razdvojenim promenljivima
Najjednostavniji tip diferencijalne jednačine. Treba imati na umu da važi
Rešavanje jednačina:
rešenje dobijamo iz:
rešenje dobijamo iz:
Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na različite strane znaka jednakosti i
nalazimo integrale.
Pri rešavanju diferencijalnih jednačina, može se dogoditi da rešenje ima drugačiji
oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokušajte da transforma cijama, vaše rešenje
svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tačno uradili zadatak.
U slučaju da je opšte rešenje jednačine u zadacima gde se traži partikularno rešenje
drugačijeg oblika od opšteg rešenja datog u zbirci, to znači da će najverovatnije i
konstanta C biti drugačija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opšte rešenje.
www.puskice.org
5
Postoje tri osnovna tipa zadataka:
1. Obična diferencijabilna jednačina sa razdvojenim promenljivima ( ili )
2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno rešenje
3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svođenje na 1. tip zadatka
Zadaci:
Rešenje:
Transformišemo konstantu na sledeći način: čime dobijamo novu konstantu
www.puskice.org
6
za uslov imamo:
www.puskice.org
7
vratimo u opšte rešenje:
dakle, Partikularno rešenje je:
Odrediti partikularno rešenje pri uslovu
za uslov
imamo:
kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:
www.puskice.org
8
kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje:
(smena , )
www.puskice.org
9
Zadaci za samostalan rad:
Odredi opšte rešenje jednačine:
1.
Odredi partikularno rešenje jednačine pri uslovu:
www.puskice.org
10
Jednačine koje slede svesti smenom na jednačninu sa razdvojenim
promenljivim a zatim naći opšte rešenje
www.puskice.org
11
Homogena diferencijalna jednačina prvog reda
Rešavanje jednačina:
Polazna jednačina
smena
vratimo u polaznu jednačinu
rešenje dobijamo iz integrala
zatim vratimo smenu u rešenje
Ova vrsta jednačine se svodi na jednačinu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo često, diferencijalna
jednačina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu.
www.puskice.org
12
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
13
www.puskice.org
14
Linearna diferencijalna jednačina prvog reda
Opšti oblik:
Rešenje:
Ova vrsta jednačine je lako prepoznatljiva. Rešava se primenom ove formule čije izvođenje nije
potrebno znati za praktični deo ispita.
Koraci:
www.puskice.org
15
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
16
Odrediti partikularno rešenje date linearne diferencijalne jednačine
Odredi rešenje linearne jednačine po x
www.puskice.org
17
Bernulijeva diferencijalna jednačina
Koraci:
www.puskice.org
18
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
19
www.puskice.org
20
Jednačine sa totalnim diferencijalom
Algoritam rešavanja:
Postupak rešavanja:
www.puskice.org
21
Ukoliko na ispitu dođe ovaj zadatak, obično napomenu da treba da se traži određeni faktor
(po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ćete, procenite sami koji je lakše izračunati.
www.puskice.org
22
www.puskice.org
23
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
24
Odredi integracioni faktor, i reši jednačinu:
www.puskice.org
25
Rešenja zadataka:
jedan #6 i jedan tablični integral
tri tablična integrala
dva #7
dva #1
jedan #1 i jedan #8
jedan tablični i jedan sličan #2
smena -y=t, pa #1
dva #1
, C=1
jedan tablični i jedan #8
, C=0
#6 i jedan tablični
dva tablična
izvlačenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1
#1 i #8
tablični i #1
www.puskice.org
26
smena , integral #7
smena , integral slično kao #7
smena #7
smena , slično #7
tablični i #9
tablični i #10
tablični i #1
tablični i #1
dva tablična
#11 i tablični
dva tablična
tablični i #1
tablični
tablični i #12
#6 i tablični
#13 i tablični
#14 i tablični
tablični i smena
tablični integrali
tablični integrali
www.puskice.org
27
tablični integrali
tablični i #15
tablični i #16
tablični i #17
#1 i #18
sličan #8 i tablični
#1 i tablični
#1 i tablični
sličan #5 i 2 tablična
tablični i #19
sličan #5 i tablični
tablični integrali
2 tablična i #15
tablični i #20
tablični i #21
#1 i tablični
tablični i #22
tablični i #23
tablični i #23
tablični i #24
tablični i #25
svi tablični
svi tablični
tablični i #26
www.puskice.org
28
svi tablični
tablični i #23
#1 i tablični
#8 i tablični
tablični
tablični i #23
tablični i #23
tablični i sličan #26
#1 i #27
tablični i #28
tablični i #29
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični i #29
#30 i tablični
#31 i tablični
www.puskice.org
29
tablični
tablični i sličan #27
tablični i sličan #27
tablični
tablični
tablični
tablični i sličan #3
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični i sličan #3
tablični
tablični
tablični, #32, i sličan #16,
tablični
tablični
tablični
tablični i #33
tablični
tablični i sličan #8
www.puskice.org
30
tablični
tablični
tablični
tablični
tablični
www.puskice.org
31
Integrali potrebni za rešavanje zadataka iz zbirke:
)
www.puskice.org
32
www.puskice.org
33
www.puskice.org
34
www.puskice.org
35
www.puskice.org
36
www.puskice.org
37
www.puskice.org
38
www.puskice.org
39
www.puskice.org
40
www.puskice.org
41
Drugi zadatak
Homogene diferencijalne jednačine višeg reda
Rešavanje:
Prvo pravimo karakterističnu jednačinu na sledeći način:
Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu:
Dobijemo sledeće slučajeve:
1.
2.
3.
Kvaka je u tome što dolaze jednačine drugog i trećeg (ređe četvrtog) reda, pa
ovo nije toliko komplikovano kako izgleda na prvi pogled. Kroz primere će biti
jasnije.
www.puskice.org
42
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
43
www.puskice.org
44
Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda
Rešavanje:
Rešenje je oblika
Postoje dva načina pronalaženja partikularnog rešenja: metoda neodređenih
koeficijenata i metoda varijacije konstanti.
Metoda neodređenih koeficijenata
www.puskice.org
45
Pri tom, A i B su koeficijenti koje treba odrediti.
Postupak:
Metoda varijacije konstanti
www.puskice.org
46
Dakle, konstante variramo u funkcije. Nepoznate funkcije dobijamo iz
sistema:
www.puskice.org
47
www.puskice.org
48
metoda varijacije konstanti
www.puskice.org
49
metoda varijacije konstanti
www.puskice.org
50
Zadaci za samostalan rad:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
www.puskice.org
51
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Resenja:
1.
2.
3.
www.puskice.org
52
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
www.puskice.org
53
18.
19.
20.
21.
22.
23.
www.puskice.org
54
Jednačine kojima se može sniziti red
Postoje dva tipa ovakvih jednačina: one koje ne sadrže y, i one koje ne sadrže x.
Prvi tip
Rešavanje: smena:
gde je
Rešavanjem homogene jednačine dobijamo:
Parcijalnom integracijom dobijemo rešenje:
Zadaci:
www.puskice.org
55
Rešenja
Drugi tip
Rešavanje: smena:
gde je
Rešavanjem jednačine dobijamo:
www.puskice.org
56
Integracijom dobijemo rešenje:
Zadaci:
Rešenja
www.puskice.org
57
Sistemi običnih diferencijalnih jednačina
Homogeni sistemi
Sistem je oblika (sistem 3. reda):
gde su
Rešavanje: Prvo se odrede sopstvene vrednosti matrice K:
Dakle iz dobijamo tzv. karakterističnu jednačinu (jednačina
trećeg reda po ). Rešavanjem ove jednačine dobijemo sopstvene vrednosti
.
Ostatak ćemo kroz zadatke, pošto je teško jasno objasniti. Ono što je bitno, da li
je sopstvena vrednost jednostruka ili višestruka. Formiramo matricu:
Zatim vršimo transformacije matrice. Transformacija II-3I znači da prvi red
množimo sa 3, i zatim to oduzmemo od drugog reda. Itd. Transformacijama
dobijamo matrice formulom (u slučaju jedinstvene
sopstvene vrednosti).
www.puskice.org
58
Rešenje je oblika:
gde je
Odatle dobijemo:
Sad se radi odvojeno za svaku vrednost:
odavde (na osnovu II i III reda) sledi da je:
iz prvog reda sledi:
www.puskice.org
59
Sada formiramo matricu :
sada za uzimamo neku bilo koju vrednost različitu od nule. Nije bitno koju,
jer će se, kako ćemo kasnije videti, pomnožiti sa konstantom, pa je svejedno.
Uzećemo .
iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude
Iz prvog reda:
uzmemo da je
www.puskice.org
60
iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude
Iz prvog reda:
U razvijenom obliku, rešenje je:
www.puskice.org
61
Ovde se vidi da nije bitno koje smo vrednosti birali. Da smo za birali
imali bismo
. U rešenju bi bilo
što je isto što i
. Ako uzmemo da je neka nova konstanta onda dobijemo
što je i bilo prvobitno rešenje. Zato ako ne dobijete identično
rešenje kao u ovoj zbirci, pogledajte da li vam je odnos vrednosti u matrici
odgovarajući. U ovom primeru, to je 1:-3:-5.
Rešenje:
Odatle dobijemo:
na osnovu II reda:
iz prvog reda sledi:
www.puskice.org
62
iz drugog reda:
Iz prvog reda:
iz drugog reda:
Iz prvog reda:
www.puskice.org
63
U razvijenom obliku, rešenje je:
Rešenje:
Odatle dobijemo:
www.puskice.org
64
na osnovu II reda:
iz prvog reda sledi:
Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za je sličan
(ne isti!)
iz drugog reda:
Iz prvog reda:
sada ne biramo nikakvu vrednost za već ovo ostavljamo zasad ovako.
www.puskice.org
65
Matrica se određuje iz formule:
iz drugog reda: . Ovde treba da fiksiramo jednu od
vrednosti . Neka bude . Onda dobijemo:
Iz prvog reda:
Dakle sad imamo i . Cilj je bio pronaći (u kojoj se pojavljuje samo
jedna promenljiva: . Onda, kada smo to uradili, pravili smo novu
matricu u kojoj treba da se pojavljuje promenljiva iz i još jedna
promenljiva vezana za matricu : .
www.puskice.org
66
Sledeći korak je određivanje i . Oni se određuju u dva koraka. U prvom
koraku, jedna od vrednosti iz matrice se menja sa 0, a druga sa nekim
realnim brojem. U drugom koraku je obrnuto.
se računa po formuli:
se računa po formuli:
U razvijenom obliku, rešenje je:
www.puskice.org
67
Rešenje:
Odatle dobijemo:
na osnovu II reda:
iz prvog reda sledi:
www.puskice.org
68
Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za je sličan
(ne isti!)
iz prvog reda:
Iz trećeg reda:
Matrica :
iz prvog reda: .
Iz trećeg reda:
www.puskice.org
69
U razvijenom obliku, rešenje je:
www.puskice.org
70
Rešenje:
Odatle dobijemo:
na osnovu prvog reda:
iz drugog reda sledi:
U slučaju konjugovano komplekcnih brojeva, biramo jedan od njih. Recimo
.
www.puskice.org
71
iz prvog reda:
Iz trećeg reda:
Na osnovu odredićemo i .
Po definiciji (ili nekoj teoremi, ne znam baš sigurno) važi:
www.puskice.org
72
Iz ovoga sledi:
Rešenje:
www.puskice.org
73
Odatle dobijemo:
Ovo je sad specifično jer imamo trostruko rešenje. Rešavaćemo na drugačiji
način, polazeći od rešenja.
Zadatak je oblika:
A rešenje je oblika (zbog višestrukog rešenja):
, za i=1,2,3
Izvedimo sad :
Sad to izjednačimo sa . Pri tom, ćemo zameniti rešenjem:
Iz ovoga sledi:
Imajte na umu da je jedinična matrica, da je matrica dimenzija 3x3 a da su:
www.puskice.org
74
Dobijamo 3 sistema:
,
,
tj.
,
,
Sistem rešavamo po . Odmah se vidi da je
Kad to malo sredimo:
odnosno
www.puskice.org
75
Za različite vrednosti parametara imamo:
1. za
,
,
2. za
,
,
3. za
,
,
Rešenje:
Odatle dobijemo:
www.puskice.org
76
na osnovu III reda:
iz prvog reda sledi:
U ovom slučaju, kad su sve vrste linearno zavisne radimo na sledeći način.
Izrazimo tu jednu vrstu:
sada imamo dva slučaja:
1. , . Odatle sledi
2. , . Odatle sledi
www.puskice.org
77
Zadaci za samostalan rad:
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
www.puskice.org
78
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
Rešenja:
1.
2.
3.
4.
5.
www.puskice.org
79
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
www.puskice.org
80
15.
16.
17.
18.
19.
www.puskice.org
81
Nehomogeni sistemi
Sistem je oblika (sistem 3. reda):
ili u razvijenom obliku:
gde su a su funkcije.
Postoje dve metode za rešavanje ovakvih sistema: metoda neodređenih
koeficijenata i Lagranžova metoda varijacije konstanti.
Metoda neodređenih koeficijenata:
Ova metoda se može koristiti onda kada su svi elementi vektora
funkcije oblika:
Određujemo:
1. m - najveći stepen za P i Q u vektoru
2. k + višestrukost korena u karakterističnoj jednačini.
Onda je rešenje oblika (polinomi su stepena m+k, sa neodređenim
koeficijentima):
www.puskice.org
82
Zatim to vraćamo u polaznu jednačinu i dobijemo
rešenje .
Konačno rešenje je oblika
Važi princip superpozicije:
Rešenje:
Prvo rešavamo odgovarajući homogeni sistem:
Njegovo rešenje je:
Sad tražimo . Pri rešavanju homogenog sitema dobili smo da su rešenja
karakteristične jednačine , tj. .
U ovom nehomogenom sistemu, imamo tri vektora funkcija:
1. Vektor funkcija oblika
odavde je . To se poklapa sa rešenjem . To znači da je .
Pošto su polinomi koji stoje uz u samom sistemu nultog stepena, .
Zato će polinomi uz u rešenju biti prvog stepena ( ).
www.puskice.org
83
2. Vektor funkcija oblika
odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i
polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti
prvog stepena.
3. Vektor funkcija oblika
odavde je . Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i
polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz
će biti prvog stepena.
Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:
Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da
odredimo :
Sad određujemo postupno .
www.puskice.org
84
Kad izjednačimo dobijemo tri sistema jednačina:
1)
2)
p
3)
1)
2)
www.puskice.org
85
3)
Rešenje:
kad uvedemo smenu :
Rešenje:
Rešenje homogenog sistema:
Rešenja karakteristične jednačine .
U ovom nehomogenom sistemu, imamo dva vektora funkcija:
www.puskice.org
86
Prva vektor funkcija oblika
odavde je . Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije
oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0.
Druga vektor funkcija oblika
odavde je . Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije
oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0.
Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u:
Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da
odredimo :
Sad određujemo postupno .
Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina:
www.puskice.org
87
1)
2)
1)
2)
Rešenje:
Rešenje:
Rešenja karakteristične jednačine , tj. .
Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da
odredimo :
Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina:
www.puskice.org
88
1)
2)
Odatle dobijamo: .
Konačno rešenje:
Rešenje:
Rešenja karakteristične jednačine ,
Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da
odredimo :
Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina:
Odatle dobijamo: .
www.puskice.org
89
Konačno rešenje:
Rešenje:
Rešenja karakteristične jednačine
Sad vraćamo to u polazni sistem . Za početak treba da
odredimo :
Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina, čijim
rešavanjem dobijamo: .
Rešenje:
www.puskice.org
90
Metoda varijacije konstanti
Homogeno rešenje (sistema drugog reda) je oblika:
gde je a
Konstante variramo u funkcije (umesto da je to konstanta, pretvaramo se da je
to funkcija argumenta t)
Izvode funkcija dobijamo iz
Nakon toga, integraljenjem dobijamo funkcije . Njih uvrstimo u homogeno
rešenje koje onda postaje konačno rešenje sistema.
Rešenja:
Rešenja karakteristične jednačine . Rešenje homogenog sistem je:
www.puskice.org
91
Određujemo :
Odatle sledi:
Konačno rešenje (menjamo konstante):
www.puskice.org
92
Nelinearni sistemi
Nelinearni sistemi su oblika:
Rešavaju se tako što se pronađu nezavisni prvi integrali. Ima ih uvek onoliko
koliko je znakova jednakosti u sistemu, odnosno za jedan manje od broja
'izraza' koje povezuju ti znakovi jendakosti:
Prvi integrali moraju biti međusobno nezavisni. Dobijamo ih nalaženjem
integralnih kombinacija i polaznog sistema. Rešenja su definisana prvim
integralima. Za određivanje prvih integrala ne postoji jedinstven 'recept'. Zato
je potrebno provežbati zadatke, kako bi se stekao 'osećaj' za njihovo
pronalaženje.
Uslov za postojanje rešenja je:
Za rešavanje, će biti potrebno poznavati osobine razmera i diferencijala.
Osobine razmera:
www.puskice.org
93
Osobine diferencijala:
Za rešavanje nelinearnih sistema, ne postoji uverzalan 'recept' kao što postoji
kod linearnih (tu spadaju sistemi koje smo dosad radili). Potrebno je koristeći
osobine proporcije i diferencijala doći do međusobno linearno nezavisnih prvih
integrala. Postoje neki šabloni kako se dolazi do njih, a ta rutina se stiče
vežbom.
Rešenje:
Dobijamo sistem:
www.puskice.org
94
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
Provera uslova:
Prema uslovu iz zadatka, ovo je uvek različito od nule. Prema tome, rešenje je
određeno prvim integralima:
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
Dakle, imamo:
www.puskice.org
95
2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
Očigledno je da su ova dva rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za
proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:
Rešenje:
Imaćemo tri prva integrala:
1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
Dakle, imamo:
www.puskice.org
96
2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
3. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
Dakle, imamo:
Očigledno je da su ova tri rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za
proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima:
Rešenje:
Svođenjem na diferencijale dobijamo:
www.puskice.org
97
Imaćemo dva prva integrala:
1. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
2. koristeći osobinu proporcije dobijamo:
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
www.puskice.org
98
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo tri prva integrala:
1.
2.
www.puskice.org
99
3.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
www.puskice.org
100
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
www.puskice.org
101
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
Rešenje:
Imaćemo dva prva integrala:
1.
2.
www.puskice.org
102
Parcijalne diferencijalne jednačine
Ove jednačine su oblika (linearne):
kvazilinearne:
Prilično lako se svode na nelinarne sisteme i tako se rešavaju. Svođenje je:
Linearne:
Kvazilinearne
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral
www.puskice.org
103
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali
pa je konačno rešenje oblika:
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali
www.puskice.org
104
pa je konačno rešenje oblika (jer se funkcija pojavljuje samo u jednom
integralu):
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali
pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala):
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali
pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala):
www.puskice.org
105
Rešenje:
Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali
pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u jednom integralu):
www.puskice.org
106
Treci zadatak
Funkcija kompleksne promenljive
Funkcija kompleksne promenljive je oblika (algebarski oblik)
Svaka funkcija se sastoji iz realnog i kompleksnog dela:
Moduo kompleksnog broja - :
Argument kompleksnog broja - :
www.puskice.org
107
Važi i:
Ako su i kompleksni brojevi onda važi:
Pri tom je i . Dakle, funkcija je
višeznačna.
Izvod funkcije kompleksne promenljive. Koši-Rimanovi
uslovi.
Funkcija je diferencijalna u ako postoji:
Funkcija je regularna (analitička) u ako je diferencijabilna u svakoj tački
neke okoline . Tačke u kojima funkcija nije analitička se nazivaju singularnim
tačkama. Tačka je izolovani singularitet ako je analitička u svim tačkama
neke okoline tačke osim u . Izolovani singularitet je pol funkcije ako je
Ako je funkcija diferencijabilna u tački i
tada postoje svi parcijalni izbodi funkcija i važe Koši-
Rimanovi uslovi:
Suprotno: ako su diferencijabilne u i važe Koši-Rimanovi
uslovi u , tada je diferencijabilna u .
www.puskice.org
108
Ako vam ovaj zadatak zapadne, tekst se može razlikovati tu i tamo, ali je poenta
ista: daju ili a vi preko K-R uslova treba da odredite ono drugo.
Jedina težina u ovim zadacima mogu biti integrali.
Hiperboličke funkcije
Ovo je klasa funkcija koje ste dosad uspešno izbegavali, ali vreme je da ih
naučite. Za ovaj tip zadataka, ali i za Laplasovu transformaciju (4. zadatak)
potrebno je znati hiperbolički sinus i kosinus:
hiperbolički sinus naziv hiperbolički kosinus
definicija
izvod
integral
Odrediti sve analitičke funkcije
ako je:
Rešenje:
Prvo određujemo
iz Koši-Rimanovih uslova sledi:
Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću
jednačinu sa totalnim diferencijalom:
www.puskice.org
109
Dakle,
Odrediti sve analitičke funkcije
ako je:
Rešenje:
Sada treba da dobijemo . To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću
jednačinu sa totalnim diferencijalom:
www.puskice.org
110
Dakle,
sve to vratimo u polaznu funkciju
Odrediti sve analitičke funkcije
ako je:
Dakle
www.puskice.org
111
Odrediti sve analitičke funkcije
ako je:
Rešenje:
Prvo određujemo
iz Koši-Rimanovih uslova sledi:
www.puskice.org
112
Odrediti sve analitičke funkcije
ako je:
Koja je vrednost za ?
Rešenje:
u
pa imamo partikularno rešenje:
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
113
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Rešenja:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
www.puskice.org
114
Integral funkcije kompleksne promenljive. Reziduum.
Ovde bi trebalo preći sve vezano za integral kompleksne promenljie i Košijeve
formule. Pošto zadaci iz toga ne dolaze na ispitu, ovde to nećemo pominjati, ali
bi bilo zgodno da prođete to sa slajdova. Ono što dolazi na ispitu je računanje
integrala preko reziduuma.
- izolovani singularitet funkcije u tački , ograničen konturom C.
Definicija:
odavde sledi:
u slučaju da imamo više singulariteta u oblasti ograničenoj konturom C:
Pomoću Košijevih formula, mogu da se izračunaju reziduumi u singularitetima
koji su polovi:
1. Ako je
onda je pol 1. reda i važi:
2. Ako je
www.puskice.org
115
onda je pol 1. reda i važi:
obratite pažnju da znači stepen izvoda. Tako, na primer, za (pol
trećeg stepena), tražićemo izvod drugog reda.
Neke granične vrednosti:
Izračunati integral:
Rešenje:
Prvo ćemo nacrtati konturu C:
Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (0,0) i
poluprečnikom
Zatim tražimo polove. Polove nalazimo kad imenilac
razlomka u integralu izjednačimo sa nulom:
Polovi su i (jednostruki pol)
www.puskice.org
116
prvo proveravamo uslov (da li je ovo pol i otklonjiv prekid)
Dakle, je pol drugog reda.
Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u
zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).
www.puskice.org
117
Izračunati integral:
Rešenje:
Prvo ćemo nacrtati konturu C:
Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,1) i
poluprečnikom
Zatim tražimo polove.
Polovi su (jednostruki pol), (jednostruki pol), (jednostruki
pol), (jednostruki pol). Iz uslova (kontura C) vidimo da i
ne pripadaju konturi, pa ih ne računamo. Ostaju dva pola:
www.puskice.org
118
Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u
zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ).
Izračunati integral:
Rešenje:
Prvo ćemo nacrtati konturu C:
Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i
poluprečnikom
Zatim tražimo polove. Ovde izgleda kao da postoji jedan pol i da je
trostruki. Međutim, nije tako (probajte da uradite, dobićete 0 za graničnu
vrednost, a to ne može biti reziduum). Zato treba da razvijemo funkciju:
Polovi su ,
.
www.puskice.org
119
Pošto je pol višestruki, prvo ispitujemo postojanje granične vrednosti
(uslov postojanja reziduuma, stavka 2). Već smo videli ovaj pol nije trostruki.
Probajmo za dvostruki.
Dakle, pol je dvostruki.
Jedina vrednost celobrojnog parametra k, za koju tačka z pripada konturi C je 1,
pa imamo
uvodimo smenu:
www.puskice.org
120
Izračunati integral:
.
Polovi su . Iz uslova (kontura C) vidimo da ne
pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:
Ovo je otklonjiv prekid, nema reziduuma.
www.puskice.org
121
Konačno rešenje je zbir reziduuma. Pošto imamo samo jedan:
Izračunati integral:
Rešenje:
Prvo ćemo nacrtati konturu C:
Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom
Zatim tražimo polove.
www.puskice.org
122
Polovi su , . Iz uslova (kontura C) vidimo da
ne pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju tri pola:
Pol je dvostruki:
www.puskice.org
123
Konačno rešenje je zbir reziduuma:
Izračunati integral:
Polovi su , . Iz uslova (kontura C) vidimo da
i ne pripadaju konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola:
Pol je dvostruki:
www.puskice.org
124
Konačno:
Izračunati integral:
Polovi su ,
Pol je trostruki:
www.puskice.org
125
Konačno:
Pošto nam nije data oblast D, definisana konturom C, razmatramo sledeće
slučajeve:
1.
2.
3.
4.
www.puskice.org
126
Izračunati integral:
Rešenje:
Prvo ćemo nacrtati konturu C:
1.
2.
3.
4.
Kad razvijemo ovo po definiciji dobijamo:
odavde dobijamo:
Sada tražimo vrednosti k (celobrojno) za koje će dobijena tačka pripadati
oblasti ograničenoj konturom C.
www.puskice.org
127
nema smisla da ispitujemo za i dalje, jer sigurno neće biti u oblasti D.
nema smisla da ispitujemo za i manje, jer sigurno neće biti u oblasti D.
Polovi su
,
.
www.puskice.org
128
Konačno rešenje:
Izračunati integral:
Rešenje:
www.puskice.org
129
Kontura je krug poluprečnika 1, sa centrom u .
Pol je .
Pol je trostruki:
Konačno:
Izračunati integral:
Rešenje:
Konturu određuje kružnica poluprečnika 5, sa centrom u .
Zatim tražimo polove.
www.puskice.org
130
nema potrebe da idemo dalje. Sad idemo u minus:
Dakl
Polovi su , ,
Konačno rešenje:
www.puskice.org
131
www.puskice.org
132
Četvrti zadatak
Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju. Laplasova transformacija
funkciji realne promenljive pridružuje funkciju kompleksne promenljive (tj.
transformiše realnu funkciju u funkciju kompleksne promenljive, koja je
algebarskog oblika). Koristi se za rešavanje diferencijalnih jednačina i sistema
diferencijalnih jednačina. Logika je sledeća:
1. Imamo diferencijalnu jednačinu realnog argumenta
2. Transformišemo diferencijalnu jednačinu u algebarsku jednačinu
kompleksnog argumenta
3. Rešimo algebarsku jednačinu
4. Vratimo rešenje jednačine inverznom Laplasovom transformacijom u
realni domen.
Osobine i tablice Laplasove transformacije su date u prilogu na kraju zbirke. A
sada malo formalnijih stvari:
Data je funkcija realne promenljive . Njoj se pridružuje funkcija
kompleksne promenljive . Pravilo po kom se vrši ovo pridruživanje naziva se
Laplasova transformacija i zapisuje se kao: . Formula po kojoj se
pridruživanje vrši:
Odskočna funkcija. Definiše se ovako:
Laplasova slika je:
www.puskice.org
133
Nalaženje Laplasove transformacije
Trebalo bi da prođete one primere na Šonetovim slajdovima a ovde ću dati
nekoliko. Dakle koriste se osobine i tablica. Za ispit nisu potrebni neki složeni
primeri.
Inverzna Laplasova transformacija
Inverznom Laplasovom transformacijom, vraćamo funkciju iz s domena u t
domen. Postoje dva načina nalaženja inverzne Laplasove transformacije: Preko
inverznih razlomaka i preko reziduuma.
Zapis inverzne Laplasove transformacije:
1. Svođenje na inverzne razlomke:
a) jednostruki pol
b) višestruki pol
c) konjugovano-kompleksni pol
www.puskice.org
134
2. Pomoću reziduuma
1) je pol I reda
2) je pol višeg (k-tog) reda
Na kraju
Osobina konvolucije:
Ako je funkcija zadata kao proizvod dveju funkcija:
Onda se inverzna osobina može odrediti preko osobine konvolucije (znak *). Pri
tom su i :
pošto je osobina konvolucije komutativna:
www.puskice.org
135
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
1) Reziduum:
Imamo dva pola, i . Oba su jednostruka:
2) Razlomci
www.puskice.org
136
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Ovaj zadatak ćemo odraditi preko inverznih razlomaka. Vi probajte i preko
reziduuma, dobićete isto.
- Ovo je impulsna funkcija. Samo zapamtite da je Laplasova transformacija te funkcije 1, a inverzna L. transformacija od 1 je potrebno znati.
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Imamo dva pola, (jednostruki) i (dvostruki):
www.puskice.org
137
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Čitamo iz tablice (stavka 5)
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Rastavimo na razlomke:
www.puskice.org
138
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije. Ovaj zadatak
je urađen na slajdovima sa vežbi netačno. Zato ćemo ga ovde uraditi na oba
načina.
Rešenje:
Prvi način (reziduum)
Imamo tri pola, , , (jednostruki):
www.puskice.org
139
Drugi način (razlomci)
www.puskice.org
140
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Rastavimo na razlomke:
www.puskice.org
141
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Rastavimo na razlomke:
www.puskice.org
142
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
Rešenje:
Predstavimo ovu funkciju na sledeći način:
Iz tablice osobina, koristimo osobinu odskočne funkcije:
Sada treba naći inverznu Laplasovu transformaciju od .
Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
www.puskice.org
143
Rešenje:
Ovaj zadatak ćemo rešiti primenom osobine konvolucije.
gde su
Tražena funkcija je (osobina konvolucije):
www.puskice.org
144
Zadaci za samostalan rad (napominjem da ove zadatke nisam proverio ručno, tako da je
moguća greška, samo sam ih prepisao (sa rešenjima) iz jedne zbirke). Potrebno je odrediti
inverznu Laplasovu sliku za datu funkciju :
1.
17.
2.
18.
3.
19.
4.
20.
5.
21.
6.
22.
7.
23.
8.
24.
9.
25.
10.
26.
11.
27.
12.
28.
13.
29.
14.
30.
15.
31.
www.puskice.org
145
16.
32.
Rešenja:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
www.puskice.org
146
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
www.puskice.org
147
Rešavanje diferencijalnih jednačina preko Laplasove
transformacije
Linearne (ne)homogene jednačine je moguće rešiti i preko Laplasove
transformacije. Pri tom traži se partikularno rešenje pri zadatim uslovima. Neka
je data jednačina:
Tražimo funkciju takvu da je . Zatim inverznom Laplasovom
transformacijom dobijamo traženu funkciju .
Koristi se osobina izvoda Laplasove transformacije:
Dakle, upotrebimo ovu osobinu za svako , dobijemo jednačinu iz koje
izrazimo , zatim ga inverznom transformacijom prevedemo u traženu
funkciju.
Koristeći Laplasovu transformaciju, rešite jednačinu:
pri uslovima:
Rešenje:
www.puskice.org
148
Odatle:
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:
Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta
ćemo pretpostaviti da je .
Rešenje:
Vratimo to u jednačinu:
www.puskice.org
149
Odatle:
Neka su i .
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:
Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta
ćemo pretpostaviti da je .
Rešenje:
www.puskice.org
150
Vratimo to u jednačinu:
Sada bi trebalo razložiti na izložioce . To
se radi na sledeći način:
Imamo funkciju . Koristimo Tejlorov razvoj:
u tački (izjednačimo imenilac sa nulom).
www.puskice.org
151
Takođe, isti rezultat bi se dobio kada bismo uradili:
Vratimo to:
Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo:
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:
pri uslovima
Rešenje:
Krećemo sa transformacijom:
www.puskice.org
152
Da bismo odredili preostalu Laplasovu transformaciju (integral) Koristimo
osobinu 12. (konvolucija) iz tablice Laplasovih transformacija. Osobina glasi
dakle
Vratimo to u jednačinu:
Odatle:
www.puskice.org
153
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:
Rešenje:
Za početak treba da prevedemo u analitički oblik. To se radi preko
hevisajdove (odskočne) funkcije. Prvo pogledamo koliko intervala imamo. U
ovom slučaju su dva:
U ovom slučaju funkcija je:
U ovom slučaju funkcija je:
Ukupno je:
Sad se vraćamo na zadatak. Pretpostavimo da je :
Vratimo to u jednačinu:
www.puskice.org
154
Odatle:
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine:
pri uslovima:
Rešenje:
Prevodimo u analitički oblik.
U ovom slučaju funkcija je:
U ovom slučaju funkcija je:
Ukupno je:
Sad se vraćamo na zadatak:
www.puskice.org
155
Vratimo to u jednačinu:
Odatle:
Zadaci za samostalan rad:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
www.puskice.org
156
Rešenja:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
www.puskice.org
157
Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina preko
Laplasove transformacije
Sisteme nehomogenih diferencijalnih jednačina je moguće rešiti putem
Laplasove transformacije. Ovog puta tražimo dve funkcije: i
. Dobija se sistem dve jednačine sa dve nepoznate
Rešavanjem ovog sistema dobijamo ove dve funkcije. Zatim inverznom
Laplasovom transformacijom iz njih dobijamo tražene funkcije .
Koristeći Laplasovu transformaciju, naći rešenje sistema:
Rešenje:
Sistem ćemo rešiti Kramerovom metodom.
Kramerova metoda za sistem sa dve jednačine sa dve nepoznate:
Sistem:
Determinante:
Rešenja:
www.puskice.org
158
Dakle, konačno rešenje je:
www.puskice.org
159
Zadaci za samostalan rad:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
www.puskice.org
160
Rešenja:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
www.puskice.org
161
12.
13.
www.puskice.org
162
JEDNAČINA SA RAZDVOJENIM PROMENLJIVIMA.............................................................. 4
HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ............................................11
LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA ...............................................14
BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ..................................................................17
JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM .................................................................20
REŠENJA ZADATAKA: ...........................................................................................................25
INTEGRALI POTREBNI ZA REŠAVANJE ZADATAKA IZ ZBIRKE: ...................................31
HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ...............................................41
NEHOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA ..........................................44
Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 50
Resenja: .................................................................................................................................................................................... 51
JEDNAČINE KOJIMA SE MOŽE SNIZITI RED ......................................................................54
Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 54
Rešenja...................................................................................................................................................................................... 55
Zadaci: ....................................................................................................................................................................................... 56
Rešenja...................................................................................................................................................................................... 56
HOMOGENI SISTEMI .............................................................................................................57
Zadaci za samostalan rad: ..................................................................................................................................................... 77
Rešenja: .................................................................................................................................................................................... 78
NEHOMOGENI SISTEMI ........................................................................................................81
Metoda neodređenih koeficijenata: .................................................................................................................................. 81
Metoda varijacije konstanti ................................................................................................................................................. 90
NELINEARNI SISTEMI ...........................................................................................................92
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE................................................................... 102
www.puskice.org
163
FUNKCIJA KOMPLEKSNE PROMENLJIVE ....................................................................... 106
IZVOD FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. KOŠI-RIMANOVI USLOVI. ............ 107
Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 112
Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 113
INTEGRAL FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. REZIDUUM.............................. 114
Nalaženje Laplasove transformacije................................................................................................................................. 133
Inverzna Laplasova transformacija ................................................................................................................................... 133
Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 145
REŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
............................................................................................................................................... 147
Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 155
Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 156
REŠAVANJE SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE
TRANSFORMACIJE ............................................................................................................. 157
Zadaci za samostalan rad: ................................................................................................................................................... 159
Rešenja: .................................................................................................................................................................................. 160
ОСОБИНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ ( )( ) , ( )f t g t СЛИКА ( )( ) , ( )F s G s
1. ( ) ( )α β±f t g t ( ) ( )α β±F s G s
2. ( )f at 1 ( ) , 0>sF aa a
3. ( ) ( )− −f t a U t a ( ) , 0− >ase F s a
4. ( )ate f t ( )−F s a
5. ( )t f t ( )′−F s
6. ( )nt f t ( )( 1) ( ) ,− ∈n nF s n
7. ( )f tt ( )
∞
∫s
F z dz
8. ( )′f t ( ) (0)−sF s f
9. ( )( )nf t 1 (( ) (0) ... (0)− −− − −n n ns F s s f f 1)
10. 0
( )∫t
f x dx ( )F ss
11. 11
1 20 0 0
... ( )−
∫ ∫ ∫ntt
n n
tdt dt f t dt ( ) , ∈
n
F s ns
12. ( )1 2 1 20
( ) ( ) ( )∗ = −∫t
f f t f t x f x dx 1 2( ) ( )F s F s
12. ( )0 ( ) (∀ > = +t f t f t )T0
1( ) ( )1
−−
=− ∫T
Tst
sF s e f t dt
e
ОСНОВНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ СЛИКА
1. 1 1 , Re( ) 0>ss
2. nt1! , Re( ) 0,+
> ∈nn s n
s
3. ( )−U t a , Re( ) 0 , 0−
> >ase s as
4. ate 1 , Re( ) >−
s as a
5. sin at2 2
, Re( ) 0>+a s
s a
6. cos at2 2
, Re( ) 0>+s s
s a
7. ( ) (− −nt a U t a)1! , Re( ) 0, 0−+
> >asnne s
sa
8. si n ( ) ( )− −b t a U t a2 2
, Re( ) 0, 0− > >+
as be ss b
a
9. co s ( ) ( )− −b t a U t a2 2
, Re( ) 0, 0− > >+
as se ss b
a
10. at ne t 1! , Re( ) ,
( ) +> ∈
− nn s a n
s a
11. sinate bt2 2
, Re( )( )
>− +
b s as a b
12. cosate bt2 2
, Re( )( )
− >− +
s a s as a b
13. sint at2 2 2
2 , Re( ) 0( )
>+as s
s a
14. cost at2 2
2 2 2, Re( ) 0
( )− >+
s a ss a
15. sin att arctg , Re( ) 02
π − >s sa
16. sh at2 2
, Re( ) | |>−a s a
s a
17. ch at2 2
, Re( ) | |>−s s a
s a
