matematika 4 II a - · PDF fileMNO@EWE I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA Mnoèwe u skupu prirodnih brojeva 4 • kako se prirodan broj mnoì i deli dekadnom jedinicom • da mnoì{

MATEMATIKAuxbenik za ~etvrti razred osnovne {kole

sa zadacima za ve`bawe

2. deo

3

[ta sadrì ova kwiga

SKUP PRIRODNIH BROJEVA

MNO@EWE I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–83

Mnoèwe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 4–39

Deqewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 40–64

Izvodqivost operacija mnoèwa i deqewa

u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–66

Svojstva operacija mnoèwa i deqewa . . . . . . . . . . . . 67–81

MATEMATI^KI IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–123

Prosti i sloèni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–114

Vrednost izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115–116

Re{avawe zadataka pomo}u izraza . . . . . . . . . . . . . . 117–122

JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124–148

Jednostavnije jedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126–132

Jednostavnije nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133–138

Re{avawe sloènijih jedna~ina i nejedna~ina . . . 139–146

POVR[INE

KVADAR I KOCKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84–109

Osobine kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87–92

Mreà povr{i kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–100

Povr{ina kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101–107

[ta smo nau~ili u ~etvrtom razredu . . . . . . . . . . . . 149–159

[ta smo nau~ili . . . . . . . . . . 82–83, 108–109, 123, 147–148

[ta smo nau~ili – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–162

I ovo je matematika . . . 11, 29, 34, 56, 70, 92, 100, 107, 122

I ovo je matematika – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 64, 92, 95, 121

Da li zna{ . . . . 50, 54, 57, 61, 63, 85, 90, 100, 107, 122, 148

Iz istorije matematike . . . . . . . . . . . . . . 37, 68, 85, 122, 148

Za qubiteqe kompjutera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 54, 70, 99

Prilozi

MNO@EWE I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVAMnoèwe u skupu prirodnih brojeva

4

• kako se prirodan broj mnoì i deli dekadnom jedinicom• da mnoì{ i deli{ prirodne brojeve• koja su svojstva operacija mnoèwa i deqewa u skupu prirodnih brojeva• da primeni{ svoje znawe u raznim zadacima• utvrdi}e{ svoje znawe o operacijama mnoèwa i deqewa

1. Predstavi u obliku proizvoda slede}e zbirove:

a) 7 + 7 + 7 + 7 + 7+ 7+ 7+ 7 = ..............................

b) 99 + 99 + 99 + 99 + 99 = .......................................

v) 215 + 215 + 215 + 215 = ........................................

2. Predstavi proizvode u obliku zbira jednakih sabiraka:

a) 3 • 100 = .............................................................................................................................................................

b) 9 • 27 = ................................................................................................................................................................

v) 4 • 4 = ...................................................................................................................................................................

Svakog minuta u svetu se rode 153 bebe.

Koliko beba se rodi za jedan sat? ........... •...........

Koliko za 2 sata? (...........•

...........) •...........

Koliko za jedan dan? (...........•

...........) •...........

U tre}em razredu nau~io si da mnoì{ trocifrene brojeve jednocifrenim.Nakon ovog poglavqa mo}i }e{ da izra~una{ proizvod bilo koja dva broja.

5

4. Popuni tabelu i pro~itaj je:

6. Bez izra~unavawa upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =):

7. Popuni tabelu i saznaj ne{to vi{e o ìvotiwama i o broju mladunaca koje donose na svet:

a) 18 • 4 18 • 8

b) 10 • 36 5 • 36

v) 100 • 5 5 • 100

g) 180 : 4 180 : 5

d) 144 : 9 144 : 3

|) 810 : 9 270 : 9

prvi ~inilac 21 170 200

drugi ~inilac 6 3 4

proizvod

5. Popuni tabelu i pro~itaj je:

deqenik 72 240 1 000

delilac 9 8 2

koli~nik

ènka ìvotiwe

broj legala u toku 1 godine

brojmladunaca

po leglu

broj mladunaca u toku 1. godine

ìvota

duìna ìvota

u godinama

ukupan brojmladunaca

hr~ak 9 10 .........•

......... = ......... 3 .........•

......... = .........

zec 6 8 ..................................... 2 .....................................

slon1 leglo

na 2 godine1

1 mladun~e na 2 godine

70 .........•

......... = .........

kit ubica

1 leglo na 2 godine

11 mladun~e na 2 godine

90 .....................................

3. Koji od de~aka imadovoqno novca dakupi teniski reket?

.............................................

Aleksa ......................................... Miodrag .........................................

220000

20000

10000

10000

10000

10000

50

50

50

50

50

50

10000

10000

10000

10000

220000

20000

20000

20000

20000

20000

50

50

50

50

5050

50

50

780780

Mnoèwe broja dekadnom jedinicom

6

1. Izra~unaj i zapi{i proizvode:

2. Dopi{i broj koji nedostaje, tako da jednakost bude ta~na:

a) 5 •............ = 50

9 •............ = 90

57 •............ = 570

b) 5 •............ = 500

9 •............ = 900

93 •............ = 930

a) 3 • 10 = .........

7 • 10 = .........

67 • 10 = .........

85 • 10 = .........

b) 3 • 100 = .........

7 • 100 = .........

3.

4.

Popuni prazna poqa:

a) Koji broj je 10 puta ve}i od broja 73? .........................................................................

b) Koji broj je 100 puta ve}i od broja 8? .........................................................................

2 m = ............ dm 1 m = ............ cm 4 dm = ............ cm 2 dm = ............ mm

5. Poveì iste brojevne vrednosti.

Broj mnoìmo sa 10

tako {to mu zdesna

dopi{emo ............................

Broj mnoìmo sa 100

tako {to mu ...........................

dopi{emo ............................

Podseti se: 1 m = ............ dm = ............ cm

1 dm = ............ cm = ............ mm

600 110

6 • 10 6 • 100 86 • 10 1 • 100

60 86 860 100

7

Podseti se: Brojeve 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000 ... nazivamo dekadne jedinice.

Broj mnoìmo sa 1 000 tako {to mu zdesna

dopi{emo ................... nule.

Pomnoì slede}e brojeve:

a) 7 • 1 000 = 7 H = 7 000

14 • 1 000 = 14 H = 14 000

324 • 1 000 = 324 H = 324 ..... ..... ......

1 942 • 1 000 = ..................... = ........................................

Broj mnoìmo sa 10 000 tako {to ................................

........................................................................................................... .

b) 15 • 10 000 = 15 DH = 800 000

627 • 10 000 = 627 DH = 6 27..... ...... ...... ......

1 356 • 10 000 = ..................... = ........................................

Broj mnoìmo sa 1 000 000 tako {to ...........................

........................................................................................................... .

g) 62 • 1 000 000 = 62 M = 62 000 000

458 • 1 000 000 = 458 M = 458 ...... ...... ...... ...... ...... ......

1 356 • 1 000 000 = ..................... = ........................................

Broj mnoìmo sa 100 000 tako {to .................................

.............................................................................................................. .

Prirodan broj mnoìmo dekadnom jedinicom tako {to mu zdesna dopi{emo onoliko nula

koliko ih ta dekadna jedinica ima.

v) 8 • 100 000 = 8 SH = 800 000

23 • 100 000 = 23 SH = 2 300 000

137 • 100 000 = 137 SH = 13 7..... ..... ...... ...... ......

5 342 • 100 000 = ..................... = ........................................

1.

Pomnoì slede}e brojeve dekadnim jedinicama:

a) 8 • 10 = ...........

91 • 100 = 9 100

123 • 1 000 = 123 000

4 • 10 000 = 40 000

25 • 100 000 = ............................................

432 • 1 000 000 = ............................................

b) 384 • 10 000 = ................................................

3 704 • 1 000 = ................................................

5 • 1 000 000 = ................................................

78 • 100 000 = ................................................

453 • 100 000 000 = ................................................

54 789 • 1 000 = ................................................

2.

5. Izra~unaj vrednosti slede}ih izraza:

a) 1 000 • 1 000 = ...................................... b) 100 • 10 000 = ......................................

v) 10 • 100 000 = ...................................... g) 1 • 1 000 000 = ......................................

3.

4.

8

Upi{i izostavqeni ~inilac.

a) 7 •.................................... = 7 000

39 •.................................... = 390 000

81 •.................................... = 81 000 000

159 •.................................... = 15 900 000

b) .................• 100 = 5 600

.................• 1 000 = 750 000

.................• 10 000 = 500 000

.................• 1 000 000 = 100 000 000

1.

Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =).

a) Koji broj je 1 000 puta ve}i od broja 324?

............................................................................................................

b) Koji broj je 100 000 puta ve}i od broja 23 456?

...............................................................................................................

3 • 1 000 4 • 1 000

35 • 10 000 350 • 1 000

756 • 100 000 856 • 10 000

45 • 1 000 000 41 • 1 000 000

2.

1 hl = ................. l

1 kg = ................. g

1 t = ................. kg = ................. g

Dopi{i brojeve:

a) 6 m = ...................................... cm

16 km = ...................................... m

28 km = ...................................... dm

143 km = ...................................... cm

b) 135 hl = ...................................... l

78 kg = ...................................... g

236 t = ...................................... kg

89 t = ...................................... g

9

Mnoèwe broja vi{estrukom dekadnom jedinicom

1. Napi{i sve:

a) dekadne jedinice do 1 000 000: 1, 10, 100, ................................................................................................................

b) vi{estruke desetice do 100: 20, 30, ..............................................................................................................................

v) vi{estruke stotine do 1 000: 200, ...................................................................................................................................

g) vi{estruke hiqade do 10 000: ............................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................

d) vi{estruke milione do 10 000 000: ................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................

2. Koliko pribli`no (ne ra~unaju}i prestupne godine) ima dana u:

a) jednoj deceniji?

........................................................................................................................

b) jednom veku?

........................................................................................................................

v) jednom milenijumu?

........................................................................................................................

Primeni svojstvo zdruìvawa ~inilaca u ra~unawu proizvoda:

a) 2 • 30 = 2 • (3 • 10) = (2 • 3) • 10 = 6 • 10 = ...............

b) 8 • 200 = 8 • (2 • 100) = (8 • 2) •............ = ..............................................

v) 2 • 6 000 = 2 • (6 • 1 000) = (............•

............) •............. = ..............................................

1.

Primeni svojstva zamene mesta ~inilaca i zdruìvawa ~inilaca u ra~unawu proizvoda:

a) 70 • 4 = 4 • 70 = 4 • (7 • 10) = (...........•

...........) •........... = ........... •

........... = ...........

b) 300 • 5 = 5 •........... = .......................................................................................................................................................

2.

Dovr{i zapo~eto ra~unawe:

a) 5 • 70 000 = (5 • 7) • 10 000 = ........... •.................... = .............................

b) 9 • 4 000 000 = (...........•

...........) •............................. = .................................................................................

v) 600 000 • 3 = .............................................................................................................................................................

3.

Izra~unaj napamet i zapi{i proizvod:

a) 6 • 40 = .............................

5 • 7 000 = .............................

4 • 3 000 000 = .............................

b) 30 • 7 = .............................

9 000 • 3 = .............................

4 000 000 • 8 = .............................

4.

Izra~unaj vrednosti proizvoda:

a) 14 • 30 = 14 • (3 • 10) = (14 • 3) • 10 = 42 • 10 = .................

b) 24 • 50 000 = (24 • 5) • 10 000 = ......................................................

v) 37 • 5 000 000 = (..........•

..........) •............................... = ...........................................

5.

Dopuni jednakosti:

a) 20 • 60 = (2 • 10) • (6 • 10) = (2 • 6) • (10 • 10) = 12 • 100 = .................

b) 500 • 6 000 = (........•

........) • (...........•

...........) = .....................................................

v) 7 000 • 3 000 000 = .........................................................................................................

6.

10

Prirodan broj mnoìmo vi{estrukom dekadnom jedinicom tako {to taj broj pomnoìmo brojem dekadnih jedinica, a zatim tom proizvodu dopi{emo zdesna onoliko nula koliko ih ima ta dekadna jedinica.

Kako se mnoè vi{estrukedekadne jedinice?

Brojevi dekadnih jedinicase pomnoè i proizvodu se zdesna dopi{e onolikonula, koliko ih ukupnoimaju vi{estruke dekadne jedinice.

Izra~unaj proizvode:

a) 20 • 40 = (2 • 10) • (4 • 10) =(2 • 4) • (10 • 10) = 8 • 100 = ...............

30 • 70 = .........................................................................................................................

40 • 60 = .........................................................................................................................

60 • 90 = .........................................................................................................................

b) 20 • 20 = (2 • 2) • 100 = ...............

50 • 50 = ........... •...........

•........... = ...............

70 • 70 = ........... •...........

•........... = ...............

90 • 90 = ........... •...........

•........... = ...............

v) 300 • 20 = (3 • 2) • (100 • 10) = 6 • 1 000 = ...............

400 • 50 = .........................................................................................................................

60 • 700 = .........................................................................................................................

70 • 900 = .........................................................................................................................

800 • 90 = .........................................................................................................................11

Izra~unaj proizvode kao {to je pokazano:

43 • 20 = 43 • (2 • 10) = (43 • 2) • 10 = 86 • 10 = ...........

9 • 30 = 9 • (........•

........) = .........................................................................................................

51 • 20 = (51 • 2) • 10 = 102 •........ = ..................................................................................

32 • 50 = ............................................................................................................................................

26 • 60 = ............................................................................................................................................

Koje si pravilo primenio(primenila)? ......................................................................

1.

Dopuni jednakosti tako da budu ta~ne:

a) 2 • 5 = 10 6 • 5 = ........... 6 • 7 • 1 = ........... 3 • 0 • 4 = ...........

2 •........... = 100 60 •

........... = 300 6 • 70 •........... = 420 30 • 0 • 40 = ...........

b) ........... • 60 = 180 40 • 20 = ........... 50 •........... = 1 500

...........• 7 = 420 70 • 8 •

........... = 560 25 • 20 = ..............

2.

3.

Koliko cifara trebada upotrebi{ da biispisao sve brojeveod 1 do 1 000?

................................................

................................................

Koliko nula }e{ispisati akonapi{e{ sve brojeve od 1 do 100?

................................................

................................................

Dopi{i ~inilac koji nedostaje tako da jednakosti budu ta~ne.

a) 100 = ............ • 2 100 = ............ • 4 100 = ............ • 5 100 = ............ • 10

100 = ............ • 20 100 = ............ • 25 100 = ............ • 50 100 = ............ • 100

b) 1 000 = ............ • 2 1 000 = ............ • 100 1 000 = ............ • 250

1 000 = ............ • 125 1 000 = ............ • 200 1 000 = ............ • 10

v) 5 • 7 = 35 8 • 4 = ............ 9 • 3 = ............ 6 • 7 = ............

5 •............... = 35 000 800 • 400 = .................. ............

• 300 = 27 000 6 • 7 000 = ..................

5.

Popuni prazna poqa kao {to je zapo~eto.6.

U fotokopirnici su istaknute cene: Koliko novca }e Milena izdvojiti za kopirawe:

a) 10 strana kwige? ................................................................

b) 90 strana kwige? ................................................................

v) polovine kwige, ako cela kwiga ima 200 strana?

...............................................................................................................................................

g) Ako Milena kopira polovinu kwige za sebe i svojih 9 drugarica, da li }e to biti jeftinije nego da svaka kopiraposebno? Obrazloì odgovor. .......................................................................

...............................................................................................................................................

Broj strana Cena po strani

1 – 10 6 din.

11 – 50 5 din.

51 – 100 4 din.

101 – 500 3 din.

501 – 1 000 2 din.

preko 1 000 1 din.

7.

12

Izra~unaj proizvode:

25 • 1 000 = ............................ 25 • 2 000 = 25 • (2 • 1 000) = (25 • 2) • 1 000 = .................................

34 • 1 000 = ............................ 34 • 2 000 = ................................................................................................................

4.

2 5 10 8

10 50

3 10 4 5 5 2 3 10

13

Mnoèwe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem

Izra~unaj proizvode brojeva na pokazani na~in.

1. 413 • 2 = (400 + 10 + 3) • 2 =

= 400 • 2 + 10 • 2 + 3 • 2 =

= 800 + ........... + ........... =

= ...........

3. 413 • 2 = (4 • 100 + 1 • 10 + 3 • 1) • 2 =

= (4 • 2) • 100 + (1 • 2) • 10 + (3 • 2) • 1 =

= 8 • 100 + 2 • 10 + 6 • 1 =

= ........... + ........... + ........... =

= ...........

2. Ili usmeno, zapisivawem, proizvod zapisujemo i ra~unamo na slede}i na~in:

4 1 3 • 2

4 0 0 • 2 = 8 0 0

1 0 • 2 = ..........3 • 2 = ......

................

1. na~in („usmeno“)

2. na~in („pismeno“) Trocifrene brojeve moèmo da pomnoìmo i pismenim putem.

Mnoìmo prvo stotine,zatim desetice

i na kraju jedinice.

Mnoìmo prvo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.

Ili, jo{ kra}e, potpisivawem:

4 1 3 • 2

..........6

Ili kra}e, kori{}ewemtabele mesnihvrednosti:

S D J

4 1 3

........ ........ 6

Ra~unamo:

2 • 3 J = 6 J

2 •....... D = ....... D

2 •........... = ...........

• 2

4. Izra~unaj proizvod brojeva 215 i 3.

Ili kra}e, potpisivawem:

1

2 1 5 • 3

.........5

Kori{}ewem tabele mesnih vrednosti:

S D J

1

2 1 5

........ ........ 5

Ra~unamo:

3 • 5 J = 15 J = 1 D + 5 J

3 •......D + 1 D = ......D + 1 D = ......D

3 •........ = ........

• 3

6.

14

5. Izra~unaj proizvod brojeva 172 i 4.

8. Izra~unaj „usmeno“ proizvod brojeva 405 i 2.

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

Ili kra}e, potpisivawem:

2

1 7 2 • 4

....88

1 1

2 6 5 • 3

....95

7.2

2 0 5 • 4

....20


S D J

2

1 7 2

........ 8 8

Ra~unamo:

4 • 2 J = 8 J

4 • 7 D = 28 D = 2 S + 8 D

4 •........ + ........ = ........ + ........ = ........

Ra~unamo:

4 • 5 J = 20 J = 2 D + 0 J

4 • 0 D + ......... = ..........

.............................................

Ra~unamo:

3 • 5 J = 15 J = 1 D + ........J

3 • 6 D + 1 D = 18 D + 1 D = 19 D = 1 S + ........ D

3 •........ + ........ = ........ + ........ = ........

• 4

9. Izra~unaj „pismeno“ na dva na~ina, proizvodbrojeva 195 i 4.

Ra~unamo:

1. na~in 2. na~in

S D J

• 4

15

Postupak mnoèwa brojeva ve}ih od 1 000 ne razlikuje se od postupka mnoèwa koji si dosad ve} nau~io.

Izra~unaj proizvod brojeva 2 318 i 4.

Proizvod ra~unaj usmeno primewuju}i svojstvo mnoèwa zbira brojem:

2 318 • 4 = (2 000 + 300 + 10 + 8) • 4 =

= 2 000 • 4 + 300 • 4 + 10 • 4 + 8 • 4 =

= 8 000 + 1 200 + ........ + ........ =

= ................

1. na~in („usmeno“)


2. na~in („pismeno“)

Vi{ecifrene brojeve usmeno mnoìmo jednocifrenim brojemisto kao {to smo mnoìli trocifrene brojeve: zdesna ulevo.

Vi{ecifrene brojeve pismeno mnoìmo jednocifrenim brojem isto kao {to smo pismenomnoìli trocifrene brojeve: zdesna ulevo, prvo jedinice, zatim desetice, stotine, hiqade...

H S D J

1 3

2 3 1 8

........ 2 7 2

• 4

Ili, jo{ kra}e, potpisivawem:

1 3

2 3 1 8 • 4

....2 7 2

Ra~unamo:

4 • 8 J = 32 J = 3 D + 2 J

4 • 1 D + 3 D = 4 D + 3 D = 7 D

4 • 3 S = 12 S = 1 H + 2 S

4 • 2 H + 1 H = 8 H + 1 H = ........H

1.

16

Izra~unaj proizvode brojeva:

1. kori{}ewem tabele: 2. potpisivawem:

„usmeno“

„pismeno“

a) 3 957 i 2

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

b) 5 043 i 9

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

1.

U tabeli su dati podaci o nekim ìvotiwama selicama. Izra~unaj koliki put u toku godine pre|e u selidbisvaka od ìvotiwa:

Koja ìvotiwa prevali najduì put?

.....................................................

ìvotiwaduìna puta u jednom

smeru u kmukupna duìna puta

u oba smera

leptir monarh 5 000

morska korwa~a 4 000

sivi kit 10 000

bela roda 5 500

tuqan krzna{ 4 500

arkti~ka lasta ili ~igra 20 000

slepi mi{ 2 000

jeguqa 3 000

kraqevski pingvin 1 500

krznasta foka 7 000

losos 320

bizon 1 300

2.

H S D J DH H S D J

17

Popuni tabelu:3.

Re{i zadatke. Upi{i u prazna poqa odgovaraju}e slogove iz kqu~a. Dobi}e{ re{ewe zagonetke.

Korice ima – no` nije; Listove ima – drvo nije;Najvi{e zna, najmawe govori.

a) Dati su brojevi 352 006 i 9. Izra~unaj wihov proizvod.

b) Izra~unaj na lak{i na~in:

14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 – (9 773 + 9 773 + 9 773 + 9 773) =

..................................................................................................................................................................................................

4.

Prona|i gre{ke u ra~unu i ispravi ih.5.

• 2 3 4

2 153

1 440

1 503

NO PO KWI KAN ZVO GA

3 248 004 46 252 3 168 054 5 822 83 260 45 352

1 4 7 7 • 2

2 9 4 4

4 1 6 9 • 3

1 2 5 0 8

3 0 0 7 • 2

9 0 5 1

U~enici IV razreda skupqali su novac za kwige za {kolsku biblioteku. Skupqeno je 15 000 din. Za biblioteku je potrebno kupiti pet kompleta {kolske lektire, tri enciklopedije i jedan CDIstorija Srbije i znamenite li~nosti. U tabeli su date cene. Unesi ostale podatke.

a) Koliko }e novca biti potrebno za kupovinu?

b) Da li je mogu}e kupiti vi{e kwiga i CD-ova nego {to je bilo planirano? ..........................................................

izdawecena po komadu

u dinarimabroj komada

cena po poruxbiniu dinarima

Komplet {kolske lektire za IV razred 2 078

Enciklopedija 957

CD Istorija Srbije i znamenite li~nosti 830

8.

18

a) Milan ima 9 godina i 16 dana. Jovan je pre tri dana proslavio trihiqaditi dan svog ìvota.Ko je stariji – Milan ili Jovan? (Ra~unaj da godina ima 365 dana.) ..........................................

b) Koliko dana je pro{lo od tvog ro|ewa? .............................................................................................................................

6.

Koliko dana pro|e od po~etka jedne prestupnegodine do po~etka slede}e prestupne godine?

........................................................................................................

7.

ukupno din.

19

Sanela iz Novog Pazara putuje u Beograd na oktobarski sajam kwiga. Cena karte u jednom smeru je 758 dinara, a cena povratne karte 1416 dinara. Koja karta je jeftinija i za koliko?

...................................................................................................................................................................................................................................

9.

Proizvodwa mleka pro{le godine u Vojvodini iznosila je 316 miliona litara. U celoj Republici Srbiji ona je 5 puta ve}a nego u Vojvodini.

a) Kolika je proizvodwa mleka u Republici Srbiji?

.............................................................

b) Kolika je proizvodwa mleka u centralnoj Srbiji?

.............................................................

10.

11.Malo pozori{te „Du{ko Radovi}“

Predstava Mala Sirena

termin cena karte

12 h za odrasle 350 din za decu 300 din.

17 h za odrasle 400 din za decu 350 din.

Pogledaj dati repertoar za pozori{nu predstavu.

a) Koliko }e platiti karte tata i wegova }erka ako iduda gledaju predstavu od 12 h?

....................................................................................................................

b) Tata sa troje dece je karte platio 1 450 din. U kom su terminu oni gledali predstavu?

....................................................................................................................

20

Margitini mama i tata planiraju da na novogodi{wem va{aru kupe poklone: po par cipela i jaknu za Margitu i wenog brata; po par rukavica i {al za baku i dedu. Cena jedne jakne je 2 107 din., jednogpara cipela 2 356 din., a jednog kompleta {ala i rukavica je 553 din. Ako su Margitini roditeqi za kupovinu poklona odvojili 10 000 dinara, da li }e imati dovoqno novca da kupe poklone?

Odgovor: ........................................................................................................................................................................................................

12.

Ne ra~unaju}i vrednosti proizvoda, poveì karton~i}e sa istom brojnom vredno{}u.13.

U sredi{tu lavirinta nalazise broj 108 640, koji jeproizvod nekih od navedenihbrojeva. Prona|i put do sredi{ta lavirinta.Prolaskom kroz vrata datibrojevi postaju ~inioci. Kroz koja vrata }e{ pro}i da bi stigao do sredi{talavirinta?

14.

289 • 3

1 378 • 4

995 • 5

780 • 8

321 • 2

5 512

6 240

4 975

867

642

Na osnovu ~ega }e{ povezati karton~i}e?

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

4 231

108 640

3 104

5 142

5 287

35

3521

25

21

Mnoèwe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem

1. Izra~unaj proizvode brojeva koriste}i znawa o mnoèwu brojeva vi{estrukim deseticama.

a) 78 • 30 = 78 • (3 • 10) = (78 • 3) • 10 = 234 •.......... = ...................

b) 349 • 50 = 349 • (5 •..........) = (349 • 5) •

.......... = .......... •.......... = .....................

v) 1 374 • 40 = 1 374 • (..........•

..........) = (1 374 •..........) •

.......... = ........................................................................

g) 23 541 • 70 = .............................................................................................................................................................................

2. Izra~unaj proizvode brojeva predstavqaju}i drugi ~inilac kao zbir vi{estruke desetice i jedinica.

a) 32 • 24 = 32 • (20 + 4) = 32 • 20 + 32 • 4 = (32 • 2) • 10 + 128 = 64 • 10 + 128 = 640 + 128 = .............

b) 26 • 25 = 26 • (20 + 5) = 26 • 20 + 26 •........ = (26 • 2) •

.......... + .......... = .................................................................

3. Koji broj je 38 puta ve}i od broja 34?

..................................................................................................................................................................................................................................

4. @enka iguane (ili malog zmaja) godi{we poloì 25 jaja. Iguane mogu da ìve 25 godina. Kolikoukupno jaja ènka poloì za to vreme?

......................................................................................................................

......................................................................................................................

22

Izra~unaj pismenim postupkom proizvod brojeva 146 i 23. Moèmo mnoìti na dva na~ina.

Prvo mnoìmo deseticama, pa onda jedinicama.

146 • 23 = 146 • (20 + 3) =

= 146 • 20 + 146 • 3 =

= 146 • (2 • 10) + 146 • 3 =

= (146 • 2) • 10 + 146 • 3

Prvi korak pri izra~unavawu proizvoda svodi se na dva mnoèwa jednocifrenim brojem: 146 • 2 i 146 • 3.

1.

1. na~in

Drugi korak – prvi proizvod pomnoì jo{ sa 10 i dobijene proizvode saberi.

Prvi proizvod: 292 • 10 = ..........Drugi proizvod: 438

Zbir je: ..........

Kra}e to zapisujemo na slede}i na~in:

1

1 4 6 • 2

....9 2

1 1

1 4 6 • 3

....3 8

1 4 6 • 2 32 9 2

4 3 8

.... .... ....8

H S D J

1 4 6

2 9 2 0

4 3 8

........ ........ ........ 8

• 23

+

+

H S D J

1 4 6

2 9 2

4 3 8

........ ........ ........ 8

• 23

Ra~unamo:

146 • 20 = (146 • 2) • 10

146 • 3

po{to 0 u prvom sabirku ne uti~e na zbir, moè da se izostavi, kao u slede}oj tabeli:

pomerawe za jedno mesto ulevo

Pazi kako potpisuje{: jedinice ispod jedinica,desetice ispod desetica, stotine ispod stotina ...

Ili, jo{ kra}e:

+

23

Prvo mnoìmo jedinicama, pa onda deseticama.

146 • 23 = 146 • (20 + 3) =

= 146 • (3 + 20) =

= 146 • 3 + 146 • 20 =

= 146 • 3 + 146 • (2 • 10) =

= 146 • 3 + (146 • 2) • 10

2. na~in

Prvi korak pri izra~unavawu proizvoda svodi se na dva mnoèwa jednocifrenim brojem:146 • 3 i 146 • 2. Wih smo ve} izra~unali ranije. 146 • 3 = 438 i 146 • 2 = 292

Drugi korak – drugi proizvod pomnoì jo{ sa 10 i dobijene proizvode saberi.

Kra}e to zapisujemo na slede}i na~in:

1 4 6 • 2 3

4 3 8

2 9 2

.... .... ....8

H S D J

1 4 6

4 3 8

2 9 2 0

........ ........ ........ 8

• 23

+

+

H S D J

1 4 6

4 3 8

2 9 2

........ ........ ........ 8

• 23

Ra~unamo:

146 • 3

146 • 20 = (146 • 2) • 10

Pomerawe za jedno mesto ulevo

Pazi kako potpisuje{: jedinice ispod jedinica,desetice ispod desetica, stotine ispod stotina ...

Ili, jo{ kra}e:

Po{to nula u drugom sabirku ne uti~e na zbir, moè da se izostavi, kao u slede}oj tabeli:

Prvi proizvod: 438

Drugi proizvod: 292 • 10 = ..........Zbir je: ..........

24

Pomnoì brojeve 4 056 i 38:

a) mnoè}i prvo

deseticama,

pa jedinicama

ili kra}e:

1.

DH H S D J

b) mnoè}i prvo

jedinicama,

pa deseticama

ili kra}e:

Prvi broj Politikinog zabavnika iza{ao je po~etkom

1939. godine. Da je svake godine iza{lo 52 broja,

koliko bi brojeva Politikinog zabavnika iza{lo

do po~etka ove godine? .........................

3.

Izra~unaj proizvod brojeva 2 873 i 46. Sam odaberi na koji na~in }e{ mnoìti (prvo jedinicama,

pa deseticama ili prvo deseticama, pa jedinicama):

a) u tabeli b) ili kra}e, potpisivawem

2.

•

DH H S D J

•

DH H S D J

•

+

+

25

a) Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva 187 i 51?

Izra~unaj na sli~an na~in pribli`nu vrednost proizvoda slede}ih brojeva:

438 i 53 ................................................ 142 i 38 ................................................223 i 97; ra~unamo 200 • 100 = ..................

b) Izra~unaj ta~an rezultat mnoè}i pismeno.

Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?

4.

Proizvod moè{ pribli`no izra~unati na slede}i na~in:

200 • 50 = 10 000

U svakodnevnom ìvotu ~esto je potrebno pribli`no proceniti proizvod brojeva.

U {koli ti procena pomaè u proveri ta~nosti ra~unawa.

10 000 – ............ = ...................... Ta~an rezultat: ...................... Razlika: ......................

........................................................... Ta~an rezultat: ...................... Razlika: ......................



Upi{i broj u prazno poqe, tako da jednakost bude ta~na:

15 873 • 7 = 111 111

15 873 • 14 = 222 222

15 873 • 21 = 333 333

15 873 • = 444 444

Proveri ra~unawem.5.

26

Uo~i{ pravilo. Nastavi da pi{e{.

12 345 679 • 9 = 111 111 111

12 345 679 • 18 = 222 222 222

12 345 679 • 27 = 333 333 333

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

12 345 679 • 81 = 999 999 999

6.

Izra~unaj proizvod najve}eg ~etvorocifrenog

i najve}eg dvocifrenog broja.

8.

Za novogodi{we osvetqewe Beograda upaqeno je 1 455 crvenih sijalica na 57 mesta,

2 867 ùtih na 32 mesta i 953 zelene sijalice na 49 mesta. Koliko je ukupno sijalica

upaqeno u gradu za Novu godinu?

7.

Neke cifre na tabli su izbrisane. Pogodi koje cifre treba

da upi{e{ umesto * da bi re{ewe bilo ta~no.

* 2 *•

* 3

* 1 * 3

1 4 * 2

* * * 8 *

5 3 6 1 •* *

* * * * 5

* * * * 4

* * * * * *

11.

27

ôvekovo srce napravi 75 otkucaja u minuti. Koliko }e otkucaja srce napraviti za:

a) 1 sat: v) 1 sedmicu:

Odgovor: ................................................................... Odgovor: ...................................................................

b) 1 dan: g) 1 mesec (ra~unaj da mesec ima 30 dana):

.

Odgovor: ................................................................... Odgovor: ...................................................................

9.

10.

a) b)

Voza~i Formule 1 na trci u Monaku obilaze 78 krugova.

Svaki krug je duìne 3 330 m. Krug u Monci je duì za 2 470 m,

a obilazi se 53 kruga.

a) Koliki put pre|e Formula 1 na stazi u Monci? .........................

b) Gde voza~i pre|u duì put, u Monci

ili Monaku? ....................................................

Monako Monca

Izmeri duìne stranica: lista svoje sveske, korica ove kwige, gorwe povr{i klupe, predwe povr{i{kolske table i izra~unaj wihove povr{ine.

list sveske: ....................................................

korica kwige: ...............................................

povr{ klupe: .................................................

{kolska tabla: .............................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

14.

28

Najve}a zastava na svetu ima duìnu 46 m i {irinu 25 m.Koliko je materijala utro{eno za {ivewe te zastave?

Odgovor: .............................................................................................................

12.

U {kolskom dvori{tu nalazi se odbojka{ki teren. Kolika je povr{ina dvori{ta van tog terena?13.

40 m

60 m

9 m

18 m

29

Na Internetu }e{ na}i zanimqive zadatke u vezi sa razli~itim na~inima mnoèwa:

http://mathforum.org/k12/mathtips/two2digit.multiply.html

Na kra}i na~in moè{ da pomnoì{ dva dvocifrena broja ~ije su cifre desetica iste, a zbir cifara jedinica im je 10.

Na primer, pomnoìmo brojeve 38 i 32.

1. Broj 3 pomnoìmo wegovim sledbenikom:3 • 4 = 12

2. Prve dve cifre proizvoda brojeva 38 i 32 bi}e 12, tj. dobi}emo broj 12...........

3. Pomnoìmo sada brojeve 8 i 2:8 • 2 = 16.

4. Posledwe dve cifre proizvoda brojeva 38 i 32 bi}e 16, tj. dobi}emo broj .........16.

5. Proizvod brojeva 38 i 32 je 1 216.

Proveri rezultat pismeno, mnoè}i brojeve 38 i 32.

Sada sam poku{aj na novom primeru.

4 2 7 3 • 2 5 6

8 5 4 6 0 0

+ 2 1 3 6 5 0

2 5 6 3 8

.... .... .... .... .... .... 8

Mnoèwe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem

30

M SH DH H S D J

4 2 7 3

8 5 4 6 0 0

2 1 3 6 5 0

2 5 6 3 8

........ ........ ........ ........ ........ ........ 8

+

• 256

Drugi korak – pomnoì proizvode sa 100 i 10 i saberi ih.

Prvi proizvod: (4 273 • 2) • 100 = 8 546 • 100 = ....................

Drugi proizvod: (4 273 • 5) • 10 = 21 365 • 10 = .....................

Tre}i proizvod: 25 638

Zbir je: .....................

Ili kra}e:

Ra~unamo:

(4 273 • 2) • 100

(4 273 • 5) • 10

4 273 • 6

1

4 2 7 3 • 2

.... 5 4 6

2 1 3 1

4 2 7 3 • 5

.... 1 3 6 5

2 1 4 1

4 2 7 3 • 6

.... 5 6 3 8

Pazi kako potpisuje{:jedinice ispod jedinica,desetice ispod destica,stotine ispod stotina...

1. Izra~unaj proizvod brojeva 4 273 i 256.Kao i kod mnoèwa vi{ecifrenog broja dvocifrenim, drugi ~inilac rastavi na zbir mesnih vrednosti.

1. na~in

Mnoì prvo stotinama, zatim deseticama i na kraju jedinicama.

4 273 • 256 = 4 273 • (200 + 50 + 6) =

= 4 273 • 200 + 4 273 • 50 + 4 273 • 6 =

= 4 273 • (2 • 100) + 4 273 • (5 • 10) + 4 273 • 6

= (4 273 • 2) • 100 + (4 273 • 5) • 10 + (4 273 • 6)

Prvi korak u izra~unavawu proizvoda 4 273 • 256 su tri mnoèwa jednocifrenim brojem:

4 273 • 2, 4 273 • 5 i 4 273 • 6.

Ili, jo{ kra}e:

2. na~in

Mnoì prvo jedinicama, zatim deseticama i na kraju stotinama.

4 273 • 256 = 4 273 • (200 + 50 + 6) =

= 4 273 • (6 + 50 + 200) =

= 4 273 • 6 + 4 273 • 50 + 4 273 • 200 =

= 4 273 • 6 + 4 273 • (5 • 10) + 4 273 • (2 • 100) =

= 4 273 • 6 + (4 273 • 5) • 10 + (4 273 • 2) • 100

Prvi korak u izra~unavawu proizvoda 4 273 • 256 su tri mnoèwa jednocifrenim brojem:

4 273 • 6, 4 273 • 5 i 4 273 • 2. Wih smo ranije izra~unali.

Drugi korak je mnoèwe sa 10 i 100 i sabirawe. To smo, tako|e, ranije izra~unali.

Prvi proizvod: 4 273 • 6 = 25 638

Drugi proizvod: (4 273 • 5) • 10 = ....................

Tre}i proizvod: (4 273 • 2) • 100 = ....................

Zbir je: ....................

31

M SH DH H S D J

4 2 7 3

2 5 6 3 8

2 1 3 6 5 0

8 5 4 6 0 0

........ ........ ........ ........ ........ ........ 8

+

• 256

Ili kra}e:

Po{to nule ne uti~u na zbir,moèmo ih izostaviti u zapisu:

Ra~unamo:

4 273 • 6

(4 273 • 5) • 10

(4 273 • 2) • 100

Ili, jo{ kra}e:

4 2 7 3 • 2 5 6

2 5 6 3 8

+ 2 1 3 6 5 0

8 5 4 6 0 0

.... .... .... .... .... .... 8

4 2 7 3 • 2 5 62 5 6 3 8

2 1 3 6 5 0+ 8 5 4 6 0 0

.... .... .... .... .... .... 8

4 2 7 3 • 2 5 62 5 6 3 8

2 1 3 6 5+ 8 5 4 6

.... .... .... .... .... .... 8

32

1.

a) prvo stotinama,

pa deseticama

i na kraju

jedinicama

Ili kra}e:

b) prvo jedinicama,

pa deseticama

i na kraju

stotinama

Ili kra}e:

Pomnoì brojeve 368 i 473 mnoè}i:

2. Ponovo pro~itaj zadatak sa strane 2 o tome koliko se beba rodi svakog minuta u svetu.

a) Koliko beba se rodi tokom jednog sata, ako se svakog minuta ra|a isti broj? ......................

b) Koliko svakog dana? ......................

v) Koliko se beba rodi sedmi~no? ......................

g) Koliko mese~no (ra~unaj za mesec od 30 dana)? ......................

d) Koliko za jednu kalendarsku (prostu) godinu? ......................

SH DH H S D J

•

SH DH H S D J

•

+

+

33

3. Pomnoì brojeve vi{estrukim dekadnim jedinicama:

a) 236 • 400 = 236 • (4 • 100) = (236 • 4) • 100 = 944 • 100 = ...................................

b) 3 924 • 300 = ........................................................................................................................................................................................

v) 27 368 • 500 = ........................................................................................................................................................................................

4. Pogledaj ova zanimqiva mnoèwa i sabirawa. Uo~i{ pravilo.

Nastavi da pi{e{ bez ra~unawa.

1 • 1 = 1

11 • 11 = 121

111 • 111 = 12 321

1 111 • 1 111 = 1 234 321

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

11 111 111 • 11 111 111 = 123 456 787 654 321

111 111 111 • 111 111 111 = 12 345 678 987 654 321

1 • 8 + 1 = 9

12 • 8 + 2 = 98

123 • 8 + 3 = 987

1 234 • 8 + 4 = 9 876

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

123 456 789 • 8 + 9 = 987 654 321

1 • 9 + 2 = 11

12 • 9 + 3 = 111

123 • 9 + 4 = 1 111

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

123 456 789 • 9 + 10 = 1 111 111 111

9 • 9 + 7 = 88

98 • 9 + 6 = 888

987 • 9 + 5 = 8 888

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

98 765 432 • 9 + 0 = 888 888 888

987 654 321 • 9 – 1 = 8 888 888 888

143 • 7 • 111 = 111 111

143 • 7 • 222 = 222 222

143 • 7 • 333 = 333 333

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

143 • 7 • 999 = 999 999

a)

v) g) d)

b)

34

5. Me|u 10 najboqe prodavanih filmova svih vremena nalaze

se i crtani filmovi. Za svaki od tih crtanih filmova dat

je broj prodatih video-kaseta: Pepequga 7 600 000, Ninxa

Korwa~e 8 800 000, Bambi 10 500 000, Mala Sirena 9 000 000

i Petar Pan 7 000 000.

a) Koji crtani film je najprodavaniji? ......................

b) Pore|aj nazive crtanih filmova po~ev{i od

onog koji je najprodavaniji.

................................................................................................................

................................................................................................................

v) Ako je cena jedne video-kasete 450 dinara,

koliko novca je ukupno potro{eno za kupovinu

najprodavanijeg crtanog filma?

Odgovor: ................................................................................................

Svakom znaku odgovara jedna cifra. De{ifruj jednakosti i izra~unaj proizvode.

+ = + * =

* + * =

– 2 = 9 – =

2 + = 8

* ** • = ...................................................

• *= ..............................................

• = .......................................................

35

6. U tabeli su dati podaci o tome koliko hrane dnevno mogu da pojedu neke ìvotiwe. Izra~unaj

koliko je to hrane za jednu kalendarsku godinu, a koliko za ìvotni vek svake ìvotiwe.

(Ra~unaj za godinu od 365 dana.)

koli~ina hrane

ìvotiwaza 1 dan za 1 godinu

duìna ìvotau godinama

za ceo ìvot

slon 200 kg zelene mase 70

orka 100 kg ribe 95

nilski kow 40 kg hrane 54

pelikan 2 kg ribe 20

buba-mara 1 000 va{i 3

ùta belou{ka 20 punoglavaca 20

mrki medved 15 lososa 35

slepi} 10 puèva gola}a 60

36

8. Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva 148 i 995?

7. Ispod slika na{ih velikih matemati~ara su dategodine ro|ewa i smrti rimskim ciframa.

Napi{i te godine arapskim ciframa.

Mihailo Petrovi} Alas: .........................................

Milutin Milankovi}: ...............................................

9. Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva:

Izra~unaj ta~an rezultat pismeno mnoè}i.

Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata? .................... – .................... = ....................

Proizvod moè{ pribli`no da izra~una{ na slede}i na~in:

150 • 1 000 = ..................

a) Ta~an rezultat: ...................... .................... – .................... = .................... Razlika: ......................

b) Ta~an rezultat: ...................... .................... – .................... = .................... Razlika: ......................

v) Ta~an rezultat: ...................... .................... – .................... = .................... Razlika: ......................

a) 602 i 195 = ................................... b) 897 i 496 = ................................... v) 299 i 398 = ...................................

Izra~unaj ta~ne rezultate pismeno mnoè}i. Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?

Za koliko si pogre{io u proceni za svaki proizvod?

Mihailo Petrovi} AlasMDCCCLXVIII-MCMXLIII

Milutin Milankovi}MDCCCLXXIX-MCMLVIII

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1 000

37

U IX veku arapski matemati~ar Muhamed ibn Musa al Horezmi izmislio je jednostavanna~in za mnoèwe brojeva. Ovaj na~in nazvao je metodom re{etki.

Na|imo proizvode slede}ih brojeva:

a) 45 i 86 b) 194 i 27 v) 502 i 348

Svaki kvadrat na kvadratnoj mreì podeqen je na dva dela. U gorwi deo upisuje se brojdesetica, a u dowi jedinica broja koji se dobija mnoèwem odgovaraju}ih cifara.

Na kraju se sve cifre saberu po dijagonalama i dobije se traèni proizvod.

Proveri re{ewa pismeno mnoè}i. Sada tipoku{aj metodom re{etke da na|e{ proizvodbrojeva 3 256 i 274.

32

40

24

30

4 5

8

6

2

7

4

3 8 7 0

18 8

76

32

8

1 9

3 2 5 6

4

2

7

5 2 3 8

15 0 6

20 0 8

40 0

16

5 0 2

3

4

8

1 7 4 6 9 645 • 86 = 3870 194 • 27 = 5 238

502 • 348 = 174 696

38

4 6 9 • 2 3 00 0 0

1 4 0 79 3 8

.... .... .... .... 7 0

Ponekad se u ra~unawu moè{ sluìti olak{icama. To je mogu}e kada su neke cifre ~inioca nule.

a) Posledwe cifre nekog ~inioca su nule:

• mnoèwe bez olak{ice • mnoèwe sa olak{icom s pomerawem udesno

+

5 4 8 • 2 0 41 0 9 6

0 0 02 1 9 2

.... .... .... .... 9 2

b) neke cifre jednog ~inioca su nule:

• mnoèwe bez olak{ice, mnoè}i prvo stotinama

+

5 4 8 • 2 0 42 1 9 20 0 0

1 0 9 6

.... .... .... .... 9 2

• i mnoè}i prvo jedinicama

+

5 4 8 • 2 0 42 1 9 2

1 0 9 6

.... .... .... .... 9 2+

5 4 8 • 2 0 41 0 9 6

2 1 9 2

.... .... .... .... 9 2+

4 6 9 • 2 3 01 4 0 79 3 8

.... .... .... .... 7 0

+ Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.

Proizvodu samo dopi{e{ nulu.

Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.

Proizvod sa jedinicama potpisuje{ ispod jedinica.

Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.

Proizvod sa stotinama potpisuje{ ispod stotina.

11. Pomnoì brojeve na kra}i na~in

(koriste}i olak{icu):

a) 1 240 i 311

b) 8 627 i 107

v) 1 608 i 3 200

g) 47 200 i 601

d) 267 000 i 1 050

10.

39

12. Pogledaj u tabeli date podatke o najve}im potro{a~ima ~okolade na svetu.Unesi ostale podatke o ukupnoj potro{wi ~okolade:

Koja èmqa je najve}i

potro{a~ ~okolade na svetu? ........................................................

zemqapotro{wa ~okolade po stanovniku u kg broj stanovnika

ukupna potro{wa ~okolade u zemqi u t

[vajcarska 11 7 200 000

Norve{ka 8 4 300 000

Belgija 7 10 100 000

13. Umesto * upi{i izostavqene cifre:

1 3 * 7 • 4 3 ** * 3 0 ** * * *

* * * ** * * * * 3

4 * 0 0 1 •* * 0

* * 5 * * ** * * *

* * * * * 3

* * * * * * 9 *

40

Deqewe broja dekadnom jedinicom

Deqewe u skupu prirodnih brojeva

Izra~unaj koli~nike i zapi{i ih:

a) 40 : 10 = ........, jer je ........ • 10 = 40

70 : 10 = ........ , jer je ........ • 10 = 70

470 : ........ = 47 , jer je 47 •........ = ........

830 : ........ = 83 , jer je 83 •........ = ........

b) 400 : 100 = ........ , jer je ........ • 100 = 400

600 : ........ = 6 , jer je 6 •........ = ........

1.

2.Popuni prazna poqa:

1 000 mm = ........ cm 180 cm = ........ dm

200 dm = ........ m 100 cm = ........ m

5.

a) Koji broj je 10 puta mawi od broja 730?

...................................................................................................

b) Koji broj je 100 puta mawi od broja 800?

...................................................................................................

4.

Poveì jednake brojevne vrednosti.

6

60

70

32

320

10

700 : 10

600 : 100

320 : 10

100 : 10

3.

Broj koji se zavr{ava nulom delimo

sa 10 tako {to mu zdesna bri{emo

jednu nulu.

Broj koji se zavr{ava dvema nulama

delimo sa 100 tako {to mu zdesna

...................................... nule.

a) Koliki je deseti deo od 1 m? .......................

Koliki je deseti deo od 61 m? .......................

b) Koliki je stoti deo od 1 m2? .......................

Koliki je stoti deo od 61 m2? .......................

41

1. Podeli slede}e brojeve:

a) 8 000 : 1 000 = 8

16 000 : 1 000 = 16

129 000 : 1 000 = 12....

1 985 000 : 1 000 = ............

b) 170 000 : 10 000 = 17

830 000 : 10 000 = 83

13 560 000 : 10 000 = 13.... ....

99 990 000: 10 000 = ............

v) 800 000 : 100 000 = 8

2 500 000 : 100 000 = 25

64 300 000 : 100 000 = 6.... ....

99 900 000 : 100 000 = ............

g) 62 000 000 : 1 000 000 = 62

971 000 000 : 1 000 000 = 97....

2 354 000 000 : 1 000 000 = ............

2. Podeli slede}e brojeve dekadnim jedinicama:

98 000 000 : 10 000 = ............ 2 300 000 : 100 000 = ............ 5 600 : 100 = ............

98 000 000 : 1 000 = ............... 2 300 000 : 10 000 = ............ 56 000 : 1 000 = ............

3. Upi{i izostavqeni delilac:

a) 8 000 : ............ = 8

43 000 : ............ = 43

356 000 : ............ = 3 560

2 569 000 : ............ = 25 690

b) 7 980 340 : ............ = 798 034

3 458 020 : ............ = 345 802

43 980 000 : ............ = 4 398

92 760 430 000 : ............ = 9 276 043

Prirodan broj koji se zavr{ava nulama delimo dekadnom jedinicom tako {to mus desne strane izostavimo onoliko nula koliko ih ima ta dekadna jedinica,

pod uslovom da deqenik nema mawe nula od delioca.

42

1. Popuni tabelu:

cm 7 800 000

m 5 000 43 000

km 5 370

2. Re{i jedna~ine:

a) 10 • x = 450

x = 45, jer je 10 • 45 = 450

b) 100 • x = 2 900

...................................................................................

v) x • 1 000 = 78 000

...................................................................................

g) 100 • x = 37 900

...................................................................................

4. a) Koji broj je 1 000 puta mawi od broja 630 000? ...................................................................

b) Koji broj je 100 000 puta mawi od broja 23 000 000? ...................................................................

1hl = ................ l

1 a = ................ m2

1 ha = ................ a = ................ m2

5. Napi{i brojeve tako da jednakosti budu ta~ne:

54 000 g = ............ kg 7 500 l = ............ hl

70 000 kg = ............ t 785 100 a = ................ ha

3 200 cm= ............ m 450 000 m2 = ............ ha

3. Brojeve 3 000, 76 000 i 3 450 000 umawi:

4 Izra~unaj:

a) proizvod najve}eg petocifrenog

i najmaweg trocifrenog broja ..............................................................................................................

b) koli~nik najmaweg {estocifrenog

i najmaweg ~etvorocifrenog broja ..............................................................................................................

a) 10 puta

...................................................................

...................................................................

...................................................................

b) 100 puta

...................................................................

...................................................................

...................................................................

v) 1 000 puta

...................................................................

...................................................................

...................................................................

43

5. UNICEF je za novogodi{we praznike prodao 638 420 ~estitki.Koliko novca je prikupqeno ako jedan paket od 10 ~estitkiko{ta 65 dinara?

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

6. Jedan kamion je pre{ao 2 100 km puta. Na svakih 100 km tro{ioje 16 l benzina. Koliko je litara benzina kamion potro{io naovom putu?

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem

44

Izra~unaj koli~nike brojeva na pokazani na~in.

1. na~in („usmeno") Ili koli~nik zapisujemo i ra~unamo na slede}i na~in:

846 : 2 = (800 + 40 + 6) : 2 =

= 800 : 2 + 40 : 2 + 6 : 2 =

= 400 + ......... + ......... =

= ............

2. na~in („pismeno")

Kori{}ewe tabele: Ili kra}e:

Delimo prvo stotine,

zatim desetice


Delimo prvo stotine, zatim desetice


Proveri ta~nost

deqewa mnoèwem!

8 4 6 : 28 0 0 : 2 = 4 0 0

4 0 : 2 = ..........

6 : 2

................

4 2 3 • 2

...............

S D J

8 4 6

8

0 4

– 4

.... 6

....

....

8 4 6 : 2 = 4 2 ....– 8

0 4– 4

.... 6– ....

....

S D J

4 2 ....: 2 = Ra~unamo:

8 S : 2 = 4 S, 4 S • 2 = 8 S

8 S – 8 S = 0 Ostatak je 0.

Spu{tamo 4 D.

4 D : 2 = 2 D, 2 D • 2 = 4 D

4 D – 4 D = 0 Ostatak je 0.

Spu{tamo 6 J.

6 J : 2 = 3 J, 3 J • 2 = 6 J

6 J – 6 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

1.

45

Ili kra}e:

1 6 2 • 4

...............

S D J

6 4 8

4

2 4

2 4

.... 8

– ....

....

S D J

1 6 ....: 4 =

Ra~unamo:6 S podeqeno sa 4 je 1Si ostatak je 2 S.6 S – 4 • 1 S = 2 S

Spu{tamo 4 D.

2 S + 4 D = 20 D + 4 D = 24 D

24 D : 4 = 6 D, 6 D • 4 = 24 D

24 D – 24 D = 0 Ostatak je 0.

Spu{tamo 8 J.

8 J : 4 = 2 J, 2 J • 4 = 8 J

8 J – 8 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 648 i 4.Kori{}ewem tabele:

2.

–

6 4 8 : 4 = 1 6 ....– 4

2 4– 2 4

.... 8– ....

....

Ili kra}e:

1 1 4 • 7

.... .... ....

S D J

7 9 8

7

0 9

7

.... 8

– ....

....

S D J

1 1 ....: 7 =

Ra~unamo:

7S : 7 = 1 S, 1 S • 7 = 7 S7 S – 7 S = 0 Ostatak je 0.

Spu{tamo 9 D.9 D podeqeno sa 7 je 1 Di ostatak je 2 D.9 D – 7 • 1 D = 2 D

Spu{tamo 8 J.

2 D + 8 J = 20 J + 8 J = 28 J

28 J : 7 = 4 J, 4 J • 7 = 28 J

28 J – 28 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 798 i 7.Kori{}ewem tabele:

3.

–

Provera:

Provera:

7 9 8 : 7 = 1 1 ....– 7

0 9– 7

.... 8– ..........

....

8 5 2 : 3 = 1 8 ....– 6

2 5– ..........

.... 2– ....

....

46

Ili kra}e:

Provera:

2 8 4 • 3

.... .... ....

S D J

8 5 2

6

2 5

....

.... 2

– ....

....

S D J

2 8 ....: 3 =

: ..... =

Ra~unamo:8 S podeqeno sa 3 je 2 Si ostatak je 2 S.8 S – 3 • 2 S = 2 S

Spu{tamo 5 D.2 S + 5 D = 20 D + 5 D = 25 D25 D podeqeno sa 3 je 8 Di ostatak je 1 D.25 D – 3 • 8 D = 1 D

Spu{tamo 2 J.

1 D + 2 J = 10 J + 2 J = 12 J

12 J : 3 = 4 J, 4 J • 3 = 12 J

12 J – 12 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 852 i 3:Kori{}ewem tabele:

4.

–

Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 861 i 7:

1. Kori{}ewem tabele: 2. Na kra}i na~in, potpisivawem:

Provera:

5.

47

êtvorocifreni brojevi dele se jednocifrenim brojem na isti na~in kao i trocifreni brojevi.Slede}i primer to pokazuje: izra~unaj koli~nik brojeva 6 429 i 3.

Izra~unaj koli~nik brojeva 1 981 i 7.

Kori{}ewem tablice:

Ili kra}e:

2 1 4 3 • 3

.... .... .... ....

H S D J

6 4 2 9

6

0 4

– 3

1 2

– .... ....

.... 9

....

....

H S D J

2 1 4 ....: 3 =6 4 2 9 : 3 = 2 1 4 ....

– 60 4– 3

1 2– .... ....

9– ....

....

–

Ili kra}e:

2 8 3 • 7

.... .... ....

H S D J

1 9 8 1

1 4

5 8

– 5 6

2 1

– .... 2 1

0

S D J

2 8 ....: 7 =

–

Ra~unamo:1 H ne mogu da podelim sa 7, pa1 H + 9 S = 10 S + 9 S = 19 S19 S podeqeno sa 7 je 2 S i ostatak je 5 S.19 S – 7 • 2 S = 5 S

Spu{tamo 8 D.5 S + 8 D = 50 D + 8 D = 58 D58 D podeqeno sa 7 je 8 D i ostatak je 2 D.58 D – 7 • 8 D = 2 D

Spu{tamo 1 J.

2 D + 1 J = 20 J + 1 J = 21 J21 J : 7 = 3 J, 3 J • 7 = 21 J21 J – 21 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

1 9 8 1 : 7 = 2 8 3– 1 4

5 8– 5 6

2 1– 2 1

0

Ra~unamo:6 H : 3 H = 2 H, 2 H • 3 = 6 H6 H – 6 H = 0, ostatak je 0.

Spu{tamo 4 S.4 S podeqeno sa 3 je 1 Si ostatak je 1 S4 S – 3 • 1 S = 1 S.

Spu{tamo 2 D.1 S + 2 D = 10 D + 2 D = 12 D12 D : 3 = 4 D, 4 D • 3 = 12 D12 D – 12 D = 0, ostatak je 0

9 J: 3 J = 3 J, 3 J • 3 = 9 J9 J – 9 J = 0, ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

1.

2.

Provera:

Provera:

48

1. Izra~unaj koli~nike brojeva na dva na~ina.

a) 6 112 i 8 b) 42 648 i 6

2. Izra~unaj koli~nike brojeva na na~in koji sam odabere{.

a) 17 488 i 4 b) 25 806 i 3 v) 142 905 i 7

: .... = : .... =

2. 2.

1. 1.

3. Koji broj je 9 puta mawi od broja 71 019?

49

4. Matica p~ela za 4 godine svog ìvota poloìoko 1 460 000 jaja, iz kojih se izlegu p~eleradilice. Ako se svake godine izlegne istibroj, koliko se p~ela izlegne za godinu dana?

5. Najve}i fudbalski stadion na svetu, Marakana

u Rio de @aneiru, mogao je 1990. godine da primi

205 000 qudi. Na{ najve}i stadion, Marakana

u Beogradu, je tada primao dva puta mawe qudi.

Izra~unaj koliko qudi je mogla da primi na{a

Marakana.

6. Nekada davno na Zemqi je ìveo dinosaurus po imenu seizmosaurus. Wegovo ime zna~i

„dinosaurus koji trese zemqu“. Wegova duìna dostizala je do 40 m. Isto toliku duìnu

ima najve}i avion, erbas. Najmawa ptica na svetu, kolibri, duga je svega oko 5 cm. Koliko

bi kolibrija trebalo pore|ati u kolonu da bi wena duìna bila kao duìna erbasa ili

seizmosaurusa?

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

7.Umesto * upi{i cifre tako da jednakost bude ta~na:

Provera:6 * * : 4 = * *– * 3

3 6

– * **

Provera:8 * * : 7 = * * 0

– ** 4

– * *0

Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem

50

Koliko puta je broj 1 295 ve}i od broja 7?1.

Polovina nekog broja je 1 743.Kolika je wegova tre}ina?

3. Veverica za zimu skupqa razne {umske plodove. Tokom svog ìvota, dugog 9 godina sakupi oko 6 480 kgplodova. Koliko kilograma veverica sakupi za jednuzimu, ako svake zime sakupi istu koli~inu?

4.

Koliko puta je broj 7 mawi od broja 1 295?

Odgovor: .....................................................................

Odgovor: ................................................. Odgovor: .................................................

Odgovor: .....................................................................

2.

... da je kawon Tare najdubqi kawon u Evropi, a drugi podubini u svetu, posle Velikog kawona na reci Koloradou Sjediwenim Ameri~kim Dràvama? Dubina kawonaTare je 1 300 m, a Velikog kawona 1 400 m.

U na{oj zemqi nalazi se jo{ jedan duboki kawon. To je kawon na reci Drini – dubine 1 000 m.

U kawon Tare moè da se smesti devet Avalskih torwevapostavqenih jedan na drugi, a u kawon Drine sedam.

Postupak deqewa vi{ecifrenog broja jednocifrenim primeni}emo i na deqewe vi{ecifrenogbroja dvocifrenim brojem.


Ili kra}e:

2 6 3 • 2 4

H S D J

6 3 1 2

4 8

1 5 1

1 4 4

7 2

– .... ....

....

S D J

2 6 ....: 2 4 =

Ra~unamo:

6 H ne mogu da podelim sa 24, pa6 H + 3 S = 60 S + 3 S = 63 S63 S podeqeno sa 24 je 2 S i ostatak je 15 S.63 S – 24 • 2 S = 15 S

Spu{tamo 1 D.

15 S + 1 D = 150 D + 1 D = 151 D151 D podeqeno sa 24 je 6 D i ostatak je 7 D.151 D – 24 • 6 D = 7 D

Spu{tamo 2 J.

7 D + 2 J = 70 J + 2 J = 72 J72 J : 24 = 3 J, 3 J • 24 = 72 J72 J – 72 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

6 3 1 2 : 2 4 = 2 6 ....– 4 8

1 5 11 4 4

7 2– .... ....

....

–

–

3 1 8 0 : 2 0 = 1 5 ....– 2 0

1 1 8– 1 0 0

1 8 0– .... .... ....

....

3 1 8 : 2 = 1 5 ....– 2

1 1– 1 0

1 8– .... ....

....

51

Proverimnoèwem:

1.

a) Izra~unaj koli~nik brojeva 3 180 i 20:

Uporedi koli~nike prema dobijenom rezultatu (upi{i odgovaraju}i znak <, > ili =): 3 180 : 20 ........ 318 : 2

b) Ne ra~unaju}i, upi{i odgovaraju}i znak:

Npr. 348 000 : 60 = 348 000 : 60 = 34 800 : 6

39 200 : 80 ........ 3 920 : 8 365 130 : 90 ........ 36 513 : 9

2.

Proverimnoèwem:

Proverimnoèwem:

Kada se deqenik zavr{ava nulom, a delilac je vi{estruka desetica, onda moè{ i kod

deqenika i kod delioca izbrisati jednu nulu.

52

1. Izra~unaj koli~nike brojeva na oba na~ina:

a) 5 685 i 15 b) 671 741 i 49

2. Koliko je puta broj 75 544 ve}i

od broja 71?

Odgovor: .................................................. Odgovor: .........................................................................................................

Kra}e: Kra}e:

Provera: Provera:

H S D J S D J: ........ =

SH DH H S D J S D J: ........ =

3. Jedan broj je trebalo podeliti sa 53, ali je on gre{kom

pomnoèn tim brojem. Dobijeni proizvod iznosi 95 506.

Koji broj je trebalo dobiti deqewem?

53

4. Na 38 ha po`weveno je 183 160 kg kukuruza. Koliki je prinos

kukuruza po jednom hektaru?

Odgovor: .........................................................................................................

5. Direktor zoo-vrta nam saop{tava da je krokodil Kraka

star 1 020 meseci. Koliko krokodil Kraka ima godina?

Odgovor: .........................................................................................................

6. U poznatoj kwizi Put oko sveta za 80 dana glavni junak je Filijas

Fog. Ukupna duìna pre|enog puta iznosi 40 080 km. Ako se zna

da je svakog dana prelazio put iste duìne, koliko je on iznosio?

Odgovor: .........................................................................................................

7. Milan i Sava mnoìli su isti broj. Milan je mnoìo brojem 64, a Sava brojem 16.

Sava je dobio proizvod 10 416. Koji proizvod je dobio Milan?

Odgovor: .........................................................................................................

54

10. Izra~unaj koje cifre je Sima obrisao sa table i dopi{i ih:

Provera: Provera:

6 1 4 4

* *1 3 4

* * *1 4 4

* * *0

2 5 6: * * = * 9 7 * * *1 * *

2 9 ** * 2

4 0 3

* 3 6

* 7 26 7 2

0

2 * * *: * * =

9. Golub pismono{a preleti 72 km za

jedan sat. Koliko metara preleti:

a) za 1 minut? ...............................

b) za 1 sekundu? ...........................

[ta zna~i izreka„Podeli, pa vladaj“?

....................................................

....................................................

Da bi saznao ne{to vi{e o dinosaurusima, wihovoj masi, duìni i visini tela i zanimqivom na~inu ishrane

i ìvota, idi na sajt:

http://www.astronomija.co.yu/suncsist/planete/zemlja/dinosaurusi/dinosaurusi.htm

8. Na Zemqi su nekada davno ìveli dinosaurusi. Neki od wih su bili veoma veliki, kao tiranosaurus reks, ~iju sliku vidi{.Masa tiranosaurus reksa dostizala je i do 90 t. Ako je tvojamasa, na primer, 36 kg, izra~unaj koliko puta je masa ovog dinosaurusa ve}a od tvoje mase?

Odgovor: .........................................................................................................

–

–

–

–

–

–

–

55

11.

12.Bioskop Dom sindikata – repertoar

Film Termin

3D avanture ajkule de~aka i lava devoj~ice u 15.30

Letopisi Narnije: lav, ve{tica i ormar u 15.30

Zatura – svemirska avantura u 16 h i 18 h

Hari Poter i vatreni pehar u 16 h

King Kong u 18 h i 20 h

Cene karata:

termin od 15.30h i 16 h . . . . . 200 din

termin od 18 h . . . . . . . . . . . . . . . . 250 din

termin od 20 h . . . . . . . . . . . . . . . . 300 din

a) Koliko }e platiti karte 60 u~enika IV razreda, akoèle da gledaju film Hari Poter i vatreni pehar?

...................................................................................................................

b) film King Kong gledalo je 58 u~enika III razreda. U kom terminu su gledali film ako su za kartepotro{ili 14 500 din.?

...................................................................................................................

v) Da li su u~enici III razreda za isti novac mogli dapogledaju i neki drugi film sa ovog repertoara?

...................................................................................................................

Za 75 godina ìvota ~ovek pojede pribli`no

6 375 kg hleba, 7 500 kg krompira, 3 225 kg mesa

i 16 125 kg drugih namirnica: povr}a, vo}a, jaja,

slatki{a, testa itd.

a) Koje koli~ine od ovih namirnica ~ovek

pojede tokom jedne godine?

hleb: ............................ krompir: ...........................

meso: ........................... ostalo: ................................

b) Kolika je masa namirnica koje ~ovek

pojede za jednu godinu ìvota, ako svake

godine jede istu koli~inu? ...........................

56

Popuni tabelu i sazna}e{ ne{to vi{e o ku}nim qubimcima.Mo`da }e{ se tako lak{e odlu~iti da i sam nabavi{ jednog.

podaci pas ma~ka nimfa (papagaj)

cena hrane za dnevne potrebe 40 din.

mese~ni tro{kovi za hranu (zamesec od 30 dana)

1 500 din. 30 din.

mese~ni tro{kovi za ostalepotrebe: vitamini, vo}e, ~etkeza dlaku, {amponi i sl.

6 puta mawi od mese~nihtro{kova za hranu

3 puta mawi od mese~nihtro{kova za hranu

10 puta mawi od mese~nih tro{kova za hranu

vreme u toku jednog danapotrebno za negu

30 minuta ili h12

vreme u toku jednog mesecapotrebno za negu

450 minuta 600 minuta

potreban prostorku}ica dimenzija120 cm, 60 cm i 15 cm

ku}ica dimenzija 90 cm,60 cm i 15 cm

kavez dimenzija 80 cm, 40 cm, 50 cmza par – kavez dimenzija:150 cm 50 cm, 80 cm

duìna ìvota (ra~unaj za godinu od 365 dana)

12 godina = ................ dana 18 godina = ................ dana 20 godina = ............... dana

Koju cifru je potrebno upisati na mestu stotina, koju na mestu desetica, a koju na mestu jedinicada bi zapis bio ta~an?

13.

* * * • 4 9

* * 2 2

6 3 *7 7 4 *

Igra Dva broja

Zamisli i napi{i bilo koji trocifreni broj. ....................U istom redu dopi{i iste te cifre, tako da dobije{ {estocifreni broj. ....................

Taj broj podeli sa 13. ............................................................................Dobijeni rezultat podeli sa 11. .....................................................A zatim rezultat podeli sa 7. ...........................................................

[ta si dobio kao kona~an rezultat? ....................Odigraj igru jo{ jednom.

+

57

U tabeli su dati podaci o tome koliko koja od ptica sa slike zamahne krilima za 20 sekundi.

Mnoge ptice to zaista brzo rade. Ve}ina odraslih qudi moè da zamahne rukama samo

oko 40 puta za 20 sekundi. Koliko svaka od ovih ptica napravi zamaha krilima u 1 sekundi?

Kolibri zamahne krilima 10 puta brè od jedne vrste ptica? Koje? ....................

14.

pticazamah krilima za 20 sekundi

zamah krilima za 1 sekundu

~apqa 40

golub 120

~vorak 140

bubamara 1 700

senica 540

kolibri 1 400

... da se na planini Tari mogu na}i biqke koje se retkosre}u u Evropi?

Jedna od wih je drvo omorika, koje raste na Tari i nigdevi{e. Omoriku je otkrio ~uveni biolog Josif Pan~i} i ona je po wemu nazvana Pan~i}eva omorika.

Visina drveta dostiè otprilike 40 m. Kada bi 27 dece,pribli`no tvoje visine, stalo jedno na drugo to bi odgovaralo visini Pan~i}eve omorike.

Na Tari ìvi beloglavi sup, za{ti}ena i veoma retkaptica, poznata pod nazivom „~ista~ prirode“. Raspon wegovih krila moè da bude 3 m.

Kada bi desetoro dece stalo jedno pored drugog, to bi pribli`no odgovaralo rasponu wegovih krila.

Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem

58

Postupak deqewa vi{ecifrenog broja dvocifrenim primeni}emo i na deqewe vi{ecifrenogbroja trocifrenim brojem.


Tabelom:

Ili kra}e:

4 5 8 • 1 3 2

S D J

4 5 ....: 132 =

Ra~unamo:

6 DH ne mogu da podelim sa 132, pa6 DH + 0 H = 60 H + 0 H = 60 H60 H ne mogu da podelim sa 132, pa60 H + 4S = 600 S + 4 S = 604 S604 S podeqeno sa 132 je 4 S i ostatak je 76 S604 S – 132 • 4 S = 76 S

Spu{tamo 5 D.76 S + 5 D = 760 D + 5 D = 765 D765 D podeqeno sa 132 je 5 D i ostatak je 105 D.765 D – 132 • 5D = 105 D.

Spu{tamo 6 J.105 D + 6 J = 1050 J + 6 J = 1 056 J1 056 J : 132 = 8 J, 8 J • 132 = 1 056 J1 056 J – 1 056 J = 0 Ostatak je 0.

Deqewe je zavr{eno.

6 0 4 5 6 : 1 3 2 = 4 5 8– 5 2 8

7 6 5– 6 6 0

1 0 5 6– .... .... .... ....

....

–

Proveri mnoèwem!

DH H S D J

6 0 4 5 6

5 2 8

7 6 5

6 6 0

1 0 5 6

.... .... .... ....

....

1.

59

S D J

: ........... =

DH H S D J D J

: ........... =

DH H S D J

1. Izra~unaj koli~nike brojeva na oba na~ina, pomo}u tabele i skra}eno:

2. Popuni tabelu. a 231 490 17 244

b 9 5 4

a : b 388 5 748 1 064

a) 33 640 i 232

Kra}e:

Provera:

b) 21 882 i 521

60

3. Popuni ukr{tenicu tako da u svaki kvadrat upi{e{ po jednu cifru.Koristi na~in deqewa koji ti je lak{i. Sva ra~unawa uradi u svesci.

4. Sima je u De~joj enciklopediji znawa prona{ao podatke o tome koliki je ìvotni vek nekih ìvotiwamogu da ìve izraèno u danima. Izra~unaj ìvotni vek svake od ovih ìvotiwa izraèno u godinama:

5. Kolika je pribli`na vrednost koli~nika brojeva:

a) 19 502 i 98? .................................

b) 136 808 i 698? .................................

Izra~unaj rezultate pismeno dele}i. Za koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?

a) Ta~an rezultat: ..................... Razlika: 200 – .......... = ..........

b) Ta~an rezultat: ..................... Razlika: .......................................

k

a l n

m p

rvb

` z

eg d

Vodoravno:a) 756 • 98b) 7 752 : 38v) 259 720 : 430g) 13 075 : 523d) 244 460 : 719e) 395 200 : 5 200`) 480 710 – 479 841z) 600 000 – 599 825

Uspravno:b) 234 264 : 908k) 40 242 : 706l) 101 344 – 58 905m) 807 750 : 8 975n) 37 726 + 45 875p) 312 000 : 6 500r) 216 600 : 456

ìvotiwaduìna ìvota

u danimaduìna ìvota

u godinama

kolibri 1 825

jazavac 5 475

jelen 7 300

vuk 5 475

divqa sviwa 10 950

mrki medved 14 600

lisica 4 380

Koli~nik moè{ pribli`no izra~unati na slede}i na~in:

20 000 : 100 = ....................To ti pomaè u proveri ta~nosti rezultata.

61

6.

7. Koliko Beograd ima stanovnika ako se zna da u wemu ìvi 10 puta mawe stanovnika nego u MeksikoSitiju? Po podacima iz 2005. godine, najve}i svetski grad je Meksiko Siti sa 17 500 000 stanovnika.

Odgovor: .........................................................................................................................................................................................................

8.

Najduà èleznica u Srbiji i Crnoj Gori ima duìnu oko 500 km. Najduà èleznica na svetuproteè se od Moskve do Vladivostoka na Tihom okeanu i wena duìna je 10 000 km.

Koliko puta je najduà èleznica na svetu duà od najduè èleznice u na{oj zemqi?

................................................................................................

Kada se deqenik i delilac zavr{avaju nulama, onda kod oba moèmo izbrisati isti broj nula.

a) U 2003. godini na svetu je bilo 320 000 000 automobila i oko 6 400 000 000 stanovnika.Koliko je to stanovnika po jednom automobilu?

Odgovor: ..........................................

b) Uporedi koli~nike i upi{i odgovaraju}iznak (>, <, =):

6 400 000 000 : 320 000 000 640 : 32

126 000 000 : 180 000 12 600 : 18

6 400 000 000 : 320 000 000

= 6 400 000 000 : 320 000 000

= 640 : 32 = ...........

126 000 000 : 180 000

= 126 000 000 : 180 000

= 12 600 : 18 = ...........

Na Zemqi je 2003. godine ìvelo6 402 721 050 stanovnika. Ako u Srbijiima 850 puta mawe stanovnika, kolikoje to stanovnika?

Moskva

Vladivostok

62

9. Sigurno si ~esto nailazio na podatak da u nekom gradu ili dràvi ìvi odre|en broj qudi napovr{ini od 1 km2. Taj broj se naziva gustina naseqenosti. Dobije se kada povr{inu neke dràvepodeli{ brojem wenih stanovnika. Na primer, u jednoj od najmawih dràva na svetu, San Marinu,2005. godine ìvelo je svega 23 058 stanovnika na povr{ini od 61 km2. U najve}oj dràvi, Kini,te godine je ìvelo 1 290 073 500 stanovnika na povr{ini od 9 556 100 km2. Izra~unaj koliko jestanovnika na 1 km2 ìvelo u Kini, a koliko u San Marinu.

Kina: ...................................... San Marino: ......................................

Koliko stanovnika na 1 km2 ìvi na Zemqi ako je broj stanovnika 6 556 000 000, a wena povr{ina

149 000 000 km2? ......................................

10. U tabeli su dati podaci o kretawu broja stanovnika u najve}im gradovima u Srbiji i Crnoj Gori.Izra~unaj podatke koji nedostaju i sazna}e{ koliko je stanovnika u navedenim gradovima ìvelo1921, a koliko 1991. godine:

gradbrojstanovnika1921. godine

toliko puta se uve}a brojstanovnika

brojstanovnika1991. godine

Kragujevac 18 000 8

Podgorica 8 000 120 000

Pri{tina 15 000 7

Zrewanin 3 81 000

Pan~evo 4 73 000

Smederevo 9 000 7

63

11. Jedna ~etvoro~lana porodica letovala je ove godine na Tari. Sedmodnevno letovawecelu porodicu je ko{talo 28 350 din. Ako se zna da je na letovawu:

1. svakog dana tro{en isti iznos novca;

2. bilo dvoje odraslih i dvoje dece;

3. cena punog pansiona duplo ve}a za odrasle nego za decu,

kolika je dnevna cena letovawa za svakog ~lana porodice?

12. Proizvod tri broja iznosi 176 400. Proizvod prvog i drugog je 4 200,a proizvod prvog i tre}eg je 3 150. Koji su to brojevi?

13. Koje cifre treba upisati umesto * ?

Provera:

Dnevna cena za dete:

........................................................

Dnevna cena za odraslog:

........................................................

1 0 * 0 * 2 : * * * * = 2 3

* 0 * 81 3 5 7 ** * * * *

0

Ajfelova kula u Parizu je najpose-}enija gra|evina na svetu i jednood najve}ih graditeqskih ~uda.Podignuta je davne 1889. godine.

Samo tokom jedne godine Ajfelovtoraw je posetilo 6 405 750 qudi.Koliko je qudi dnevno pose}ivalotoraw ako je svaki dan dolazioisti broj qudi?

.............................................................................

–

–

64

Prema Ginisovoj kwizi rekorda najve}i globusna svetu ima masu od 2 700 kg. Zemqa ima masuod 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg.Izra~unaj koliko je puta masa ovog globusamawa od mase Zemqe.

Jankovo odeqewepriprema se za karneval.Janko je zaduèn danabavi materijale za {ivewe kostima. U prodavnici je dobiora~un.

U~enici su za kupovinu materijala skupili nov~anice: 8 od 5 000 din., 3 od 1 000 din., 3 od 500 din., 3 od 200 din. i 3 od 100 din. Da li Janko moè da plati ra~un nov~anicama koje ima? Izra~unaj i u tabeli popuni prazna poqa. Da li }e ti ostati kusur? ................................................................................................

U odeqewu ima 25 u~enika. Pored materijala, Janko treba da za 400 din. kupi karnevalske kape, a za 200 din karnevalske maske. Koliko komada kapa, a koliko maski moè da kupi?

.............................................................................

Uporedi svoj odgovor sa odgovorima svojih drugara iz u odeqewa. (Sva ra~unawa uradi u svesci.)

RAÛN

cena u din po 1 m

duìna potrebnogmaterijala u m ukupno u din.

jednobojna tkanina 430 28

karirana tkanina 516 30

trake za ukra{avawe 172 45

lasti{ 86 26

ukupno:

14. Ne ra~unaju}i vrednosti koli~nika,poveì iste brojne vrednosti.

Na osnovu ~ega }e{ povezati vrednosti? .........................................................

...................................................................................

...................................................................................

5 012 : 358

5 076 : 846

41 535 : 923

4 256 : 532

6

14

8

45

65

Izvodqivost operacija mnoèwa i deqewa u skupuprirodnih brojeva

Nau~io si da mnoì{ sve prirodne brojeve.

1. a) Izra~unaj proizvode:

2 • 4 = 8

2 • 10 = ............

2 • 90 = ............

2 • 123 = ............

2 • 1 000 000 = ...............................

Da li su proizvodi koje si dobio prirodni brojevi? ..............

Do prethodnog zakqu~ka moè{ da do|e{ koriste}i operaciju sabirawa.

Za bilo koja dva prirodna broja a i b vaì:

b + b + b + ... + b = a • b

Dopuni jednakost:

35 + 35 + 35 + 35 = ...... • 35

8 • 6 = 48 20 • 5 = 100

8 • 25 = ............ 20 • 30 = ............

8 • 120 = ............ 20 • 99 = ............

8 • 500 = ............ 20 • 250 = ............

8 • 1 000 = .............. 20 • 1 000 000 000 = ..................................

Proizvod bilo koja dva prirodnabroja uvek je prirodan broj.

[ta je zbir bilo koja dva prirodna broja? Zbir je ..................................... broj. Da li je operacija sabirawa uvek izvodqiva u skupu prirodnih brojeva? ..........

Budu}i da je mnoèwe ponovqeno sabirawe i da je operacija sabirawa uvek izvodqiva u skupuprirodnih brojeva, i mnoèwe je UVEK IZVODQIVA operacija u skupu prirodnih brojeva.

Po{to je proizvod bilo koja dva prirodna broja prirodan broj, kaèmo da je operacija mnoèwa UVEK IZVODQIVA u skupu prirodnih brojeva.

a4

66

2. a) Izra~unaj slede}e koli~nike:

36 : 2 = 18 150 : 3 = .......

36 : 3 = ....... 150 : 5 = .......

36 : 4 = ....... 150 : 10 = .......

36 : 6 = ....... 150 : 50 = .......

v) Re{i jedna~inu: 6 • x = 40

Re{avawe prethodne jedna~ine svodi se na traèwe koli~nika brojeva 40 i 6,to jest x = ....... : ........

Jedna~inu moè{ da re{i{ i pomo}u tabele. Popuni slede}u tabelu. Da li je 40 : 6 prirodan broj?

b) Izra~unaj i odgovori na slede}a pitawa.

22 : 2 = ..........

Da li je dobijeni koli~nik brojeva prirodan broj? ...........

20 : 2 = ..........

Da li je dobijeni koli~nik brojeva prirodan broj? ...........

Po{to koli~nik bilo koja dvaprirodna broja nije uvek

prirodan broj, kaèmo da je operacija deqewa delimi~no

ili da NIJE UVEK IZVODQIVAu skupu prirodnih brojeva.

x 1 2 3 4 5 6 7 8

6 • x 6 12 36 42

6 • x = 4036 < 40 < 42

6 • 6 < 40 < 6 • 7

Broj 40 nije deqiv brojem 6, jer ne postoji prirodan broj

koji pomnoèn sa 6 daje broj 40.

Re{ewe koje traìmo jeste broj koji je izme|u brojeva 6 i 7, to jest 6 < x < 7. To nije prirodan broj!

Operacija deqewa izvodqiva je u skupu prirodnih brojeva pod uslovom da je

deqenik deqiv deliocem.Tada je wihov koli~nik

prirodan broj.

1. Kojim brojem su deqivi svi prirodni brojevi? ......................................

2. Proveri da li je vrednost

nepoznate x prirodan broj:

a) x • 6 = 1 416

b) 15 • x = 82 515

v) 4 823 : x = 7

67

3. Da li je 0 prirodan broj? ...................Podseti se {ta se de{ava sa proizvodom kada je jedan od ~inilaca 1 ili 0.Izra~unaj proizvode i zaokruì one koji su prirodni brojevi:

a) 6 789 900 • 0 = ........................ v) 0 • 1 000 = .................................................

b) 999 999 • 1 = ........................... g) 1 000 • 1 = ........................ d) 1 • 1 = .... ............................

Svojstva operacija mnoèwa i deqewa

Za brojeve ve}e od 1 000 sa kojima sada ra~una{ vaè ista svojstva kao i za brojeves kojima si ra~unao u 3. razredu.

1. a) 14 • 2 = 2 • 14 = ............

b) 250 • 4 = 4 •............ = ............

v) 700 • 2 = ............ •............ = ............

2. a) 28 • 3 • 6 = (28 •............) •

............ = ............ • (3 •...........) = .................................................

b) 4 • 5 • 2 = 4 • (5 • 2) = 4 • 10 = ...................

v) 50 • 2 • 14 = (50 • 2) • 14 = ............ • 14 = ...................

g) 25 • 4 • 5 = (25 •............) •

............ = ............ •............ = ...................

d) 63 • 8 • 125 = 63 • (............•

............) = 63 •............ = ...................

Zamena mesta ~inilaca

Proizvod se ne mewa ako ~inioci zamene mesta.Za bilo koja dva prirodna broja a i b vaì:

a • b = b • a

Na osnovu svojstva zamene mesta i zdruìvawe ~inilaca vaì:

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c) = (a • c) • b

0 kao ~inilac

Proizvod 0 i bilo kog prirodnog broja jednak je 0. Za bilo koji prirodan broja a vaì:

0 • a = 0

a • 0 = 0

1 kao ~inilac

Proizvod 1 i bilo kog prirodnog broja jednak je tomprirodnom broju. Za bilo koji prirodan broj vaì:

1 • a = aa • 1 = a

Zdruìvawe ~inilaca

Proizvod se ne mewa ako se mewa redosledzdruìvawa ~inilaca.

Za bilo koja tri prirodna broja a, b i c vaì:

a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

68

0 kao deqenik

Pri deqewu 0 bilo kojim prirodnim brojem dobije se 0.

Za bilo koji prirodan broj a vaì:

0 : a = 0

4. Izra~unaj koli~nike:

a) 98 : 1 = ............, jer je ............ • 1 = 98 243 : 1 = ............, jer je ............

b) 356 : 356 = ............ , jer je ............ • 356 = 356 9 420 : 9 420 = ............, jer je ............

v) 1 : 1 = ............ , jer je ............ • 1 = 1

g) 0 : 2 = ............, jer je ............ • 2 = 0 0 : 743 = ............, jer je ............

d) Sima moè sam da pojede kola~. Moè da ga podeli sa drugarom, tako da svako dobije polovinu kola~a. Da li kola~ moè da podeli na nula delova?

Pojam mnoèwe poti~e od latinske re~i productum, producere i koristi se u nauci od XIII veka. Za operacijumnoèwa dugo se koristio znak , koji je zna~io da semerni broj povr{ine pravougaonika dobije mnoèwemmernih brojeva duìna wegovih susednih stranica.Tako se sve do XVII veka koristila re~ pravougaonikumesto re~i proizvod.

Slovo M je dugo kori{}eno kao znak za mnoèwe (od engleske re~i Multiplication), kao i znak „×“.U nekim zemqama i danas se koristi znak „×“. Znak „•“ uvodi se kasnije i mi ga i danas koristimo.

a : 0

Ne moè{ dadeli{ sa 0.

1 kao delilac ili koli~nik

Deqewe bilo kog prirodnog broja samim sobom daje 1. Deqewe bilo kogprirodnog broja sa 1 daje isti taj broj. Za bilo koji prirodan broj a vaì:

a : a = 1

a : 1 = a

69

1. Popuni tabelu:

3. Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak <, > ili =.

a) 36 084 • 7 36 084 • 5

b) 40 204 • 23 23 • 40 204

v) 800 050 • 7 7• 800 000

g) (3 027 • 7) • 6 3 027 • (7 • 6)

d) 20 402 • 3 • 20 20 402 • 60

e) 80 000 • 2 • 27 27 • 160 000

5. êmu je jednak koli~nik ako je:

a) delilac jednak 1? ........................................................ Navedi primere: .....................................................................................

b) deqenik jednak 0? ........................................................ Navedi primere: .....................................................................................

v) delilac jednak deqeniku? ...................................... Navedi primere: .....................................................................................

4. Izra~unaj proizvode koriste}i svojstva mnoèwa.

a) 36 • 75 = (4 • 9) • (3 • 25) = (9 • 3) • (4 • 25) = 27 • 100 = ..........

b) 32 • 75 = (8 • 4) • (3 • 25) = ..........................................................................

v) 28 • 25 = (7 • 4) • 25 = 7 • (........•

........) = ...............................................

g) 36 • 25 = ..................................................................................................................

d) 28 • 75 = ..................................................................................................................

e) 24 • 75 = ..................................................................................................................

2. Bez izra~unavawa vrednosti izraza upi{i

znak <, > ili =:

a) 9 + 9 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

b) 7 + 7 2 + 2 + 2 + 2 + 2

v) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 + 6

a 4 60 3

b 15 25 500

a • b = ...... 4 • 15 = 60

b • a = ...... 15 • 4 = ......

Na ovaj na~in ~inioci postaju

podesniji za ra~unawe.

Dobija{ dekadnu jedinicu

ili neki drugi podesan broj!

70

6.Primenom svojstava zdruìvawa ~inilaca izra~unaj proizvod:

a) 125 • 8 • 568 = (125 • 8) • 568 = 1 000 •.......... = ......................

b) 680 • 2 • 50 = 680 • (2 • 50) = .......... •.......... = ......................

v) 5 789 • 100 • 1 000 = 5 789 • (..........•

..........) = .......... •...................... = ......................

g) 50 • 2 • 8 124 = ................................................................................................................................

d) 6 523 • 500 • 2 = .............................................................................................................................

7.Na osnovu svojstava zamene mesta ~inilaca i zdruìvawa ~inilaca izra~unaj proizvode:

a) 4 • 954 • 25 = 4 • 25 • 954 = (4 • 25) • 954 = .......... • 954 = ...............................

b) 125 • 1 567 • 8 = ......................................................................................................................

v) 250 • 20 • 4 = .............................................................................................................................

g) 80 • 25 • 500 = ...........................................................................................................................

d) 250 • 178 • 4 • 20 • 50 = .......................................................................................................

Mogu}e je da „pogodi{„ kada je nekome ro|endan. Traì od druga ili drugarice da zapi{e dan

i mesec kada je ro|en, a da ti to ne kaè. Na primer, 75 (kada je neko ro|en 7. maja)

• Taj broj neka pomnoì sa 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 • 2 = 150

• Zatim neka dobijeni broj pomnoì sa 5: . . . . . . . 150 • 5 = 750

• Neka dobijeni broj sabere sa 20: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 + 20 = 770

• Sada dobijeni broj neka pomnoì sa 10: . . . . . . . 770 • 10 = 7 700

• Dobijenom proizvodu neka doda redni

broj meseca svog ro|ewa, u na{em slu~aju 5: . . . 7 700 + 5 = 7 705

Zatim traì da ti kaè koji je broj dobio i sada moè{ da pogodi{ dan i mesec wegovog ro|ewa.

• U broju koji ti kaè, zanemari posledwe dve cifre i oduzmi broj 2: 7 705 – 2 = 77 – 2 = 75

Tvoj drug je ro|en 7. maja.

Na internetu }e{ na}i zanimqive zadatke u vezi sa mnoèwima:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_192_g_2_t_1.html

71

Mnoèwe i deqewe zbira i razlike brojem

1. Dara i Steva su u De~joj enciklopediji pro~itali da je najvi{e drvo na svetu visoko kao tri

Pan~i}eve omorike. Wena visina je 37 m. Dara i Steva se pitaju koliko je visoko najvi{e drvo na

svetu. Zbog radoznalosti brzo ra~unaju.

Evo kako je Dara ra~unala:

37 • 3 = (30 + 7) • 3 = 30 • 3 + 7 • 3 = ........... + ........... = ...........

Steva je ra~unao ovako:

37 • 3 = (40 – 3) • 3 = 40 • 3 – 3 • 3 = ............ – ........... = ...........

Koliko je visoko najvi{e drvo na svetu? ...................................

Steva je pro~itao da je to tako|e visina ~uvene svemirske

letilice Apolo.

2. a) Ra~unaj na dva na~ina:

(100 + 4) • 5 = 104 • 5 = ............ (100 + 4) • 5 = 100 • 5 + 4 • 5 = ............ + ............ = ............

Kako se zove pravilo koje si primenio u re{avawu ovih zadataka? ........................................................................

Zbir mnoìmo brojem tako {to sabirke saberemo i dobijeni zbir pomnoìmo tim brojem. Ili zbir mnoìmo brojem tako {to svaki sabirak pomnoìmo tim brojem, pa dobijene

proizvode saberemo.

Za bilo koja tri prirodna broja a, b i c vaì:

(a + b) • c = a • c + b • c

Sekvoja se nalazi u Nacionalnomparku Redvud u Sjediwenim

Ameri~kim Dràvama

72

3. Izra~unaj na dva na~ina:

(96 + 39) : 3 = 135 : 3 = ............

(96 + 39) : 3 = 96 : 3 + 39 : 3 = ............ + ............ = ............

Prvi sabirak, 96, i drugi sabirak, 39, su deqivi sa 3.

Pravilo koje si primenio jeste pravilo deqewa ............................. brojem.

b) Izra~unaj na dva na~ina:

(100 – 4) • 5 = 96 • 5 = ............ (100 – 4) • 5 = 100 • 5 – 4 • 5 = ............ – ............ = ............

Kako se zove pravilo koje si primenio u re{avawu zadataka? ..................................................................................

Zbir brojeva delimo brojem tako {to saberemo sabirke i dobijeni zbir podelimo timbrojem. Ili zbir brojeva delimo brojem tako {to svaki sabirak podelimo tim brojem

i dobijene koli~nike saberemo.

Za tri prirodna broja a, b i c, pri ~emu su a i b deqivi sa c, vaì:

(a + b) : c = a : c + b : c

4. Izra~unaj na dva na~ina:

(96 – 39) : 3 = 57 : 3 = ............

(96 – 39) : 3 = 96 : 3 – 39 : 3 = ............ – ............ = ............

Umawenik 96 i umawilac 39 deqiva su sa 3.

Pravilo koje si primenio jeste pravilo deqewa ............................. brojem.

Razliku brojeva delimo brojem tako {to od umawenika oduzmemo umawilac i dobijenu razliku podelimo tim brojem. Ili razliku brojeva delimo brojem tako {to umawenik

i umawilac podelimo tim brojem i od prvog koli~nika oduzmemo drugi.

Za tri prirodna broja a, b i c, pri ~emu je a > b ili a = b, a i b su deqivi sa c, vaì:

(a – b) : c = a : c – b : c

Razliku mnoìmo brojem tako {to od umawenika oduzmemo umawilac i dobijenu razliku pomnoìmo tim brojem. Ili razliku mnoìmo brojem tako {to umawenik i umawilac pom-

noìmo tim brojem i dobijene proizvode oduzmemo.

Za tri prirodna broja a, b i c kada je a > b ili a = b, vaì:

(a – b) • c = a • c – b • c

4. Popuni tabelu i uporedi rezultate u obojenim kolonama.

2. Pored ta~ne jednakosti napi{i T, a pored neta~ne N.

a) (120 + 10) • 9 = 120 • 9 + 9 ............

b) (538 – 67) • 3 = 538 • 3 – 67 • 3 ............

v) (34 + 87) • 8 = 34 • 8 + 87 • 8 ............

g) (721 – 178) • 6 = 721 • 6 – 178 ............

3. Popuni tabelu.

a b a : 3 b : 3 a : 3 + b : 3 = ....... a + b (a + b) : 3 = .......

243 51 81 17 81 + 17 = 98 294 294 : 3 = .......

90 801

573 27

a b c a + b (a + b) • c = ....... a • c b • c a • c + b • c = .......

100 2 153 102 102 • 153= 15 606

4 000 70 9

1. Izra~unaj vrednost izraza na dva na~ina.

a) (59 + 41) • 5 = ......... • 5 = ......... b) (900 – 3) • 4 = 900 • 4 – 3 • 4 = ..............................

(59 + 41) • 5 = 59 •......... + ......... • 5 = ......... + ......... = ......... (900 – 3) • 4 = ..............................

73

74

5. Popuni tabelu primewuju}i nau~ena pravila:

6. Rapelov sup je ptica koja leti veoma visoko. Leti navisini od 11 km, na kojoj leti i avion. Kada se obru{ina svoj plen, sup se spusti na visinu od 150 m. Kolikiput pre|e kada leti na visini od 11 km, pa hvata plen navisini od 150 m i na kraju se vrati na visinu od 11 km?

7. a) Broj 108 predstavqen je u obliku zbira i razlike kako bi izra~unao koli~nik brojeva 108 i 9:

108 : 9 = (81 + 27) : 9 = ......... : 9 + ......... : ......... = ......... + ......... = .........

108 : 9 = (180 – 72) : 9 = ......... : 9 – ......... : ......... = ......... – ......... = .........

b) Izra~unaj koli~nik brojeva 144 i 3 primewuju}i svojstvo deqewa zbira ili razlike brojem. Koji od ponu|enih zbirova ili razlika nisu pogodni za primenu tog svojstva?

Ra~un: Odgovor:

1) 120 + 24 ............................................................................................................................... ..........................................................

2) 130 + 14 ............................................................................................................................... ..........................................................

3) 150 – 6 .................................................................................................................................. ..........................................................

4) 160 – 16 ............................................................................................................................... ..........................................................

(............ – ............) • 2 = ............................... – ............................... = .....................................................................................................

a 1 234 12 345 123 456 123 456 12 345 678 12 345 678

b 0 1 7 17 39 139

a • b

75

10. Dovr{i mnoèwa:

a) 306 • 9 = (300 + 6) • 9 = .....................................................................................................................................................

b) 110 • 29 = ....................................................................................................................................................................................

11. U~enici jednog odeqewa odlu~ili su da okre~e u~ionicu. Za kre~ewe im je potrebno 72 kg belefarbe, a za ukra{avawe zidova 48 kg ùte farbe. U akciji u~estvuje 24 u~enika.

a) Koliko farbe svaki u~enik treba da donese?

( ......... + .........) : ......... = ......... : ......... + ......... : ......... = ............. + ............. = .............

Odgovor: .........................................................................................................................................................................

b) Koliko je bele, a koliko ùte farbe potrebno da donese svaki u~enik?

Odgovor: .........................................................................................................................................................................

8. Napi{i izraz u obliku proizvoda i izra~unaj:

9. Ako je Stevina visina 138 cm, izra~unaj visine stabala na slici. Kleka je 2 puta vi{a od Steve,hrast 4, a breza 5 puta vi{a od Steve. Stabla su stara pribli`no kao i Steva tj. 10 godina.

kleka: 138 • 2 = (130 + 8) • 2 = ......... • 2 + ......... •......... = ......... + ......... = .........

hrast: 138 • 4 = (......... – .........) • 4 = ...................................................................

breza: ......... • 5 = (......... + .........) • 5 = ...................................................................

a) 127 • 37 – 27 • 37 = (127 – 27) • 37 = 100 • 37 = 37 • 100 = .....................

b) 46 • 12 + 46 • 8 = ..................................................................................................................................................................

v) 170 • 140 – 170 • 100 = .....................................................................................................................................................

g) 23 • 309 – 23 • 9 = .................................................................................................................................................................

visine: Steva138 cm

kleka

..............cmhrast

..............cmbreza

..............cm

12. Marko i Milo{ skupqaju sli~ice. Marko ima 41 sli~icu „Jugio" i 29 sli~ica fudbalera.Milo{ ima isto toliko sli~ica. Koliko sli~ica ukupno imaju?

( ......... + .........) •......... = .....................................................................................................................................................

Odgovor: ................................................................................................................................................................................

13. U {umi se u 9 redova nalazi po 87 stabala. Drvose~a je posekao po 17 stabala iz svakog reda.Koliko stabala je ostalo u {umi?

.....................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ................................................................................................................................................................................

14. Dva brata su za xeparac od bake i deke dobila 200 dinara, a od mame i tate 180. Dobijeni novac su ravnopravno podelili. Koliko novca je dobio svaki brat?

.....................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ................................................................................................................................................................................

15. U magacin je jednog dana dovezeno 950 vre}a bra{na. Svaka vre}a ima masu 50 kg. Slede}eg dana pekarima je odvezeno 370 vre}a. Koliko je tona bra{na ostalo u magacinu?

.....................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ................................................................................................................................................................................

16. Koje brojeve treba upisati da bi se dobilata~na jednakost.

a) 7 • 9 + ......... = 8 • 9

b) 9 • 7 = ......... • 9 + 9

17. Re{i jedna~inu koriste}i pravilo mnoèwa zbira brojem: 43 • x + 27 • x = 280.

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

18. Dara je mnoè}i dva broja dobila proizvod1 360. Kada je jedan od ~inilaca pove}ala za 5, a drugi ostavila nepromewen, dobila je proizvod 2 720. Koje brojeve je Daramnoìla?

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................76

77

Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca

a) Steva ma{ta o tome da jednog dana postane poznati biciklista. Na {kolskom programu video jekako se jedan biciklista sprema za biciklisti~ku trku. Brzinomer je pokazivao da biciklprelazi put duìne 12 km za 1 sat vo`we. Kolika je bila duìna puta nakon 3 sata vo`we?

12 • 3 =36

Steva se zapitao kako bi se biciklista mogao {to boqe pripremiti za trku. Biciklista je pove}ao brzinu 2 puta, a vreme je ostalo isto (3 sata). Koliku duìnu puta }e pre}i nakon 3 sata vo`we?

(12 • 2) • 3 = 24 • 3 = 72 = 36 • 2

Ako bi biciklista pove}ao brzinu 2 puta a vreme vo`we ostalo isto, pre{ao bi i 2 puta duì put, to jest 72 kilometra.

Ako biciklista smawi vreme vo`we tri puta koliki }e put pre}i?

12 • (3 : 3) = 12 • 1 = 12 = 36 : 3

Ako biciklista smawi vreme vo`we 3 puta a brzina vo`we ostane ista, onda }e pre}i 3 puta kra}i put, to jest 12 kilometara.

Steva je uo~io da je lako ra~unati proizvod brojeva ako se jedan ~inilac pove}a ili smawinekoliko puta.

b) Izra~unaj i dopuni:

4 • 7 = 28 4 • 7 = 28

(4 • 2) • 7 = 8 • 7 = 56 = 28 • 2 4 • (7 • 3) = 4 • 21 = 84 = 28 • 3

U drugom izrazu prvi ~inilac je pove}an 2 puta.

Vrednost drugog izraza je pove}ana ........ puta.

Duìna puta je 36 km.

U drugom izrazu drugi ~inilac je pove}an 3 puta.

Vrednost drugog izraza je pove}ana ........ puta.

(4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140 = 28 • 5

(4 • 10) • 7 = 40 • 7 = ........................

4 • (7 • 8) = 4 • 56 = 224 = 28 • 8

4 • (7 • 14) = 4 • 98 = ........................

Za prirodne brojeve a, b, n i m vaì:ako se jedan ~inilac pove}a nekoliko puta, tada se i proizvod pove}a isto toliko puta.

a • b = c(a • n) • b = c • na • (b • m) = c • m

1.

78

v) Izra~unaj i dopuni:

24 • 18 = 432 24 • 18 = 432

(24 : 2) • 18 = 12 • 18 = 216 = 432 : 2 24 • (18 : 3) = 24 • 6 = 144 = 432 : 3

U drugom izrazu prvi ~inilac je smawen 2 puta.

Vrednost drugog izraza je smawena ........ puta.

U drugom izrazu drugi ~inilac je smawen 3 puta.

Vrednost drugog izraza je smawena ........ puta.

(24 : 3) • 18 = 8 • 18 = 144 = 432 : 3

(24 : 12) • 18 = 2 • 18 = ........................

24 • (18 : 6) = 24 • 3 = 72 = 432 : 6

24 • (18 : 9) = 24 • 2 = ........................

Za prirodne brojeve a, b, n i m vaì:ako se jedan ~inilac smawi nekoliko puta tada se i proizvod smawi isto toliko puta.

a • b = c(a : n) • b = c : n, a i c deqivi sa n

a • (b : m) = c : m, b i c deqivi sa m

Biciklista i daqe vozi brzinom 12 kilometara za 1 sat vo`we. Vozi 3 sata. Za ovo vreme prelaziput duìne 36 kilometara. Steva se pitao kako bi duìna puta mogla da ostane ista dok se bici-klista priprema se za trku. Da li biciklista moè da smawi brzinu? Onda bi se i duìna putasmawila. A da pove}a vreme vo`we? Onda bi se i duìna putapove}ala. A {ta ako smawi brzinu a vreme pove}a isti broj puta? Ili pove}a brzinu, a vreme smawi isti broj puta?a) Koliki }e put biciklista pre}i ako brzinu smawi 2 puta,

a vreme pove}aisto toliko puta, to jest 2 puta?

12 • 3 = 36(12 : 4) • (3 • 4) = 3 • 12 = 36

Duìna puta je nepromewena ako biciklista brzinu smawi 2 puta, a vreme pove}a 2 puta.

b) Ili, ako brzinu pove}a 3 puta, a vreme smawi isti broj puta?

12 • 3 = 36 (12 • 3) • (3 : 3) = 36 • 1 = 36

Steva je zakqu~io da }e duìna ostati NEPROMEWENAako biciklista pove}a brzinu 3 puta, a smawi vreme vo`we isto broj puta, to jest 3 puta.

Steva je uo~io da je lako ra~unati proizvod brojeva ako sejedan od ~inilaca pove}a, a drugi smawi isti broj puta.

2.

Usporio sam, ali }u voziti

duè!

Ubrzao sam, ali }u voziti

kra}e!

79

v) Izra~unaj i uporedi rezultate:

18 • 6 = 108 24 • 16 = 384

(18 : 2) • (6 • 2) = 9 • 12 = 108 (24 • 4) • (16 : 4) = 96 • 4 = 384

Vrednost prvog i drugog izraza su .........................

U drugom izrazu prvi ~inilac je smawen 2 puta,

a drugi ~inilac je ........................ 2 puta.

Vrednost prvog i drugog izraza su .........................

U drugom izrazu prvi ~inilac je pove}an 4 puta,

a drugi ~inilac je ........................ 4 puta.

(18 : 3) • (6 • 3) = 6 • 18 = ..............(18 : 6) • (6 • 6) = 3 • 36 = ..............

(24 • 8 ) • (16 : 8) = 192 • 2 = ..............(24 • 16) • (16 : 16) = 384 • 1 = ..............

Za prirodne brojeve a, b, n i m, takve da je a deqivo sa m vaì:ako se jedan ~inilac smawi nekoliko puta, a drugi pove}a isti broj puta,

proizvod ostaje nepromewen.a • b = c

(a : n) • (b • n) = c, a je deqivo sa n(a • m) • (b : m) = c, b je deqivo sa m

1. Koriste}i jednakost 37 • 75 = 2 775, napi{i koliko je:

a) (37 • 2) • 75 = ......................................... b) 37 • (75 • 5) = .........................................

3. Koriste}i jednakost 12 • 18 = 216 napi{i koliko je:

a) 24 • 9 = .............. b) 36 • 6 = .............. v) 6 • 36 = ..............

g) 4 • 54 = .............. d) 3 • 72 = .............. |) 2 • 108 = ..............

2. Jedan ~inilac u proizvodu smawen je 6 puta. [ta treba uraditi sa drugim ~iniocem da bi proizvodostao nepromewen?

............................................................................................................................................................................................................................

Primewuju}i svojstvo nepromenqivosti (stalnosti) proizvoda, izra~unaj proizvode na lak{i na~in:

a) 250 • 24 = (250 • 4) • (24 : 4) = 1 000 • 6 = .................

b) 48 • 125 = (48 : 8) • (125 • 8) = 6 • 1 000 = .................

v) 24 • 750 = (24 : 4) • (750 • 4) = 6 • 3 000 = .................

g) 64 • 250 = (64 : .........) • (250 •.........) = 16 •

......... = .................

d) 56 • 25 = (......... : .........) • (.........•

.........) = ......... •......... = .................

|) 160 • 75 = .................................. = ..................................................................

e) 842 • 5 = ...........................................................................................................

`) 428 • 50 = ..........................................................................................................

z) 56 • 500 = ..........................................................................................................

Kolika je vrednost proizvoda a • b ako je (a • 3) • (b : 3) = 7 200, b je deqivo sa 3?

Odgovor: a • b = ....................

Napi{i i izra~unaj proizvod najve}eg trocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.

..............................................................................................................................................................................................

Izra~unaj prethodni proizvod ako mu se jedan ~inilac

– smawi 9 puta ..........................................................................................................– smawi 111 puta, a drugi pove}a isto toliko puta ..........................................................................................................

Prvi ~inilac je 5, drugi ~inilac je 7. Proizvod je ............. •............. = .............. Koliko }e se puta

pove}ati proizvod ako:

a) pove}amo samo prvi ~inilac 2 puta? ..........................................................................................................

b) pove}amo samo drugi ~inilac 2 puta? ..........................................................................................................

v) i prvi i drugi ~inilac pove}amo 2 puta? ..........................................................................................................

Jedna stambena zgrada ima 25 spratova. Na svakom spratu ima 8 stanova. Svaki stan ima 4 sobe.Koliko soba ima u toj zgradi? Izra~unaj na dva na~ina.

...................................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ..............................................................................................................................................................................................

Na ovaj na~in prvi ili drugi~inilac postaju podesniji zara~unawe. Dobije{ dekadnu

jedinicu ili neki drugi podesanbroj. Tako sebi olak{ava{

ra~unawe.

80

4.

5.

6.

7.

8.

11. a) Odredi a i c u proizvodu a • b = c ako je:

(a : 5) • (15 • 5) = 150, a = .............. i c = ..............

b) Odredi b i c u prizvodu 25 • b = c ako je:

(25 • 4) • (b : 4) = 400, c = .............. i b = ..............

9. Ako je m • n = 360, odredi x iz jednakosti:

a) (m • x) • (n : 2) = 360, x = .............. b) (m • 10) • (n : x) = 360, x = ..............

10. Izra~unaj proizvod:

42 • 30 = ..............

a zatim odredi x koriste}i svojstva proizvoda:

a) (42 • x) • 30 = 1 260 • 2, x = .............. g) 42 • (30 : x) = 1 260 : 6, x = ..............

b) (42 : x) • 30 = 1 260 : 10, x = .............. d) 42 • 60 = 1 260 • x, x = ..............

v) 42 • (30 • 5) = 1 260 • x, x = .............. |) 7 • 30 = 1 260 : x, x = ..............

81

12. Nastavi da re{ava{ zadatke kao {to je zapo~eto. Primeni olak{icu u traèwu proizvoda:

a) 16 • 45 = (2 • 8) • (5 • 9) = (2 • 5) • (8 • 9) = 10 • 72 = 72 • 10 = ............

16 • 45 = (20 – 4) • 45 = 20 • 45 – 4 • 45 = (2 • 10) • 45 – 4 • 45 = (2 • 45) • 10 – 4 • 45 = 900 – 180 = ...........

b) 12 • 55 = (2 •............) • (5 •

............) = ...............................................................................................................................................

12 • 55 = (10 + 2) • 55 = .......................................................................................................................................................................

v) 19 • 45 = .........................................................................................................................................................................................................

g) 99 • 48 = ..........................................................................................................................................................................................................

d) 26 • 15 = .........................................................................................................................................................................................................

1. Popuni ukr{tenicu.Sva ra~unawa uradi u svesci.

2. U tabeli su dati podaci o broju putnika u èlezni~kom saobra}aju na pruzi Beograd – Bar.Unesi ostale podatke koji se traè. Ra~unaj za godinu 365 dana.

3. Na {kolsku ekskurziju po{lo je 60 u~enika jednog IV razreda i potro{eno je 147 000din. Ako se zna da je ekskurzija trajala jednu sedmicu i da je svaki dan tro{en istiiznos novca, koliko je svaki u~enik dnevno tro{io?

..................................................................................................................................................................................................

4. Najvi{i planinski vrh na svetu je Mont Everest. Visok je 8 847 m. Najvi{i vrh kod nas je\eravica, visoka 2 655 m. Ako je visina ~oveka 180 cm, koliko puta je svaki od ovih vrhovavi{i od ~oveka?

Mont Everest: ..............................................................................................................................................................................

â|evica: .......................................................................................................................................................................................

godinaukupan broj

putnikabroj putnika

po jednom danucena karte

po putniku u dinarimagodi{wi prihod

u dinarima

1994 4 321 235 236

1995 13 362 7 843 494

1996 3 407 640 9 149 280

1997 2 914 525 8 815 440

ukupno:

e v

b g

f

a d

g

h

i

Uspravno:

a) 46 760 : 56

b) 10 500 000 – 6 374 264

v) 230 291 465 + 95 723 915

g) 52 282 200 – 46 254 895

d) 584 892 – 583 989

Vodoravno:

e) 296 380 : 406

f) 520 • 6 090

g) 37 080 • 8 509

h) 732 • 7 300

i) 496 296 : 549

82

9. Koriste}i zamenu mesta i zdruìvawe ~inilaca izra~unaj:

a) 12 • 4 • 3 • 25 = ............................................................................................

b) 2 • 378 • 5 = ...................................................................................................

v) 6 • 5 • 3 • 20 = ...............................................................................................

7. Izra~unaj koriste}i svojstva mnoèwa i deqewa:

a) 198 • 3 = ..............................................................................................

b) 5 • 496 = ..............................................................................................

v) 511 : 7 = ...............................................................................................

g) 344 : 4 = ...............................................................................................

6. Upi{i odgovaraju}i znak (<, > ili =):

a) 30 875 • 6 ........ 6 • 30 875 d) 567 • (10 – 1) ........ 567 • 10 - 567

b) 297 • (5 • 3) ........ (297 • 5) • 3 |) (560 – 80) : 8 ........ 70 – 10

v) 635 • (5 + 9) ........ 635 • 6 + 635 • 9 e) 330 • (3 • 10) ........ 3 300 • 3

g) 8 078 • 6 ........ 8 078 • 4 `) (420 + 30) : 3 ........ 140 + 30 : 3

5. Otvarawe Olimpijskih igara u Atini 2004. godine pratilo je 4 milijarde gledalaca. Da su se dràliza ruke, napravili bi lanac duga~ak kao 100 obima Zemqe.

a) Koliko qudi u lancu ~ini obim Zemqe? ..............................................................................................

b) Ako jedan ~ovek u lancu zauzima 1 m, koliki je obim Zemqe u kilometrima? .....................................................

83

10. Izra~unaj proizvode.

a) 45 • 654 • 0 • 13 = ..........................

b) (32 + 120) • 1 = ...............................

11. Koriste}i stalnost proizvoda kao olak{icu izra~unaj:

a) 148 • 50 = ........................................................................................................

b) 125 • 72 = ........................................................................................................

12. Jedan od ~inilaca pove}an je 5 puta. [ta treba u~initi sa drugim ~iniocem da bi proizvod bio:

a) pove}an 50 puta? ................................................................................................................................................................................

b) nepromewen? .........................................................................................................................................................................................

8. Na osnovu jednakosti 242 • 844 = 204 248odredi proizvode bez izra~unavawa:

a) (242 • 4) • (844 : 4) = .............................

b) 484 • 422 = ..................................................

KVADAR I KOCKA

Posmatraj sliku i odgovori:

a) kog oblika je telo ùte boje? ................................................

b) kog oblika je telo zelene boje?

......................................................................................

v) koja tela se kriju iza tela zelene boje?

......................................................................................

2.

1. Prepoznaj na slici i napi{i koji od junaka iz bajke ârobwak iz Oza ima telo sastavqeno

od razli~itih modela geometrijskih tela: ................................................. Napi{i koja su to tela:

.................................................................................................................................................................................................................

Oboj sve delove wegovog tela:

a) oblika kvadra

plavom bojom,

b) oblika kocke

crvenom bojom.

84

U ovom poglavqu nau~i}e{osobine geometrijskih telakvadra i kocke. Nau~i}e{i kako se odre|uje wihoovapovr{ina.

Sima je upakovao poklon u kutiju dimenzijadatih na slici. Kolika je povr{ina papirapotrebna Simi za umotavawe poklona? Kolikoje ukrasne trake Simi potrebno za ukra{avawepoklona ako je za samu ma{nu utro{io 2 dm?

Odgovor na ova pitawa }e{ prona}i na slede}im stranama.15 cm

10

cm

5 cm

Sima je slagao kocke kako to slike pokazuju.

(1) Koliko je kocki Sima upotrebio za slagawe svakog od tela na slikama?

Broj kocki: .......... .......... .......... .......... ..........

a) .......... b) ..........

(2) Koliko bi jo{ trebalo dodati istih kocki pa da od tela na slici nastane telo oblika kocke?

3.

a) b) v) g) d)

Naziv kocka poti~e od stare gr~ke re~i κυβοξ {to zna~ikost za igrawe. Bila je to kockica za bacawe u raznimigrama. Kako je prva kost za bacawe imala taj oblik, sveostale su po woj dobile naziv kocka.

Ovaj naziv se koristio jo{ pre 2 600 godina. Prvi su gakoristili gr~ki matemati~ari Pitagora i Euklid.

85

Da li je „kockica“ ~okolade oblika kocke? .................................................................................................................................

Da li je ispravno re}i „sveska na kocke“? ......................... Kako treba re}i? ................................................................

Napi{i pored slike nazive ozna~enih

elemenata pravougaonika.

Koliko stranica ima pravougaonik? .................

Koliko temena ima pravougaonik? .................

4.

........................ ........................

Napi{i pored slike nazive ozna~enih

elemenata kvadrata.

Koliko stranica ima kvadrat? .................

Koliko temena ima kvadrat? .................

5.

........................ ........................

Kakve su po duìni duì AB i CD sa slike? ......................................

Kaèmo jo{ i da su AB i CD podudarne stranice. Simbolima to zapisujemo: AB CD

Da li na ovoj slici ima jo{ podudarnih duì? Koje su to duì? .............. ..............

6.

Koriste}i slike iz zadataka 4 i 5 odgovori:

a) Kakve su naspramne stranice pravougaonika po duìni? ......................................

b) Da li susedne stranice pravougaonika mogu da budu podudarne? ......................................

v) Kakve su naspramne stranice kvadrata po duìni? ......................................

g) Da li su susedne stranice kvadrata podudarne? ......................................

7.

A B

C D

86

Na slici je predstavqeno geometrijsko telo oblika kvadra.

Koristi model kvadra i odgovori na slede}a pitawa:

Koliko strana ima kvadar? ................

Koliko temena ima kvadar? ................ To su: A, B, ................

Koliko ivica ima kvadar? ................ To su: AB, ................................................................

.........................................................................

Ovaj kvadar imenujemo kao kvadar ABCDEFGH.

Iz materijala Priloga uxbenika napravi model kvadra.

Na modelu moè{ lako da uo~i{ da su naspramne (nesusedne) strane kvadra podudarne. Po me|usobnom poloàju one su paralelne.

Na modelu koji si napravio oboj istom bojom podudarne strane kvadra. Koliko razli~itih bojati je potrebno? ................

Posmatraj sliku i zapi{i parove podudarnih strana:

ABCD EFGH , BCGF ................ i ................ ................ .

1.

strana

teme

ivica Sve strane kvadrasu pravougaonici.

A B

CD

E F

GH

87

Osobine kvadra i kocke

Iz svakog temena kvadra polaze po 3 razli~ite ivice. Iz temena B to su ivice:

BA, .............. i ...............

Duìne ivica koje polaze iz istog temena (sastaju se u istom temenu) predstavqaju tri dimenzije kvadra: duìnu, {irinu i visinu.

U svakom temenu sastaju se i 3 razli~ite stranekvadra. U temenu B sastaju se strane:

BCDA, .............. i ..............

Ivice kvadra mogu da se razvrstaju u 3 grupe po 4 ivice. U svakoj grupi ivice su me|usobnoparalelne i podudarne (jednake po duìni).Oboji ivice na slici tako da jedna grupa ivicabude iste boje (koristi sliku i boje sa slike).

A B

CD

E F

GH

duìna

visi

na

{irina

1. Grupa obojena crvenom bojom:

BA D CD D FE D .......... i BA CD FE GH

2. Grupa obojena plavom bojom:

BC D AD D .......... D .......... i BC AD .......... ..........

3. Grupa obojena zelenom bojom:

BF D .......... D .......... D .......... i .......... .......... .......... ..........

Kvadar ima 6 strana. Sve strane kvadra su pravougaonici.Naspramne strane kvadra su podudarne i paralelne.

Kvadar ima 12 ivica i 8 temena. Iz svakog temena polaze po 3 razli~ite ivice.Ivice kvadra razvrstavamo u 3 grupe po 4 ivice koje su podudarne i paralelne.

2.

88

Kvadar je geometrijsko telo ograni~eno sa 6 pravougaonika.Kocka je kvadar ograni~en sa 6 kvadrata.

Na slici je predstavqeno telo oblika kvadra ~ije su sve ivice jednake. Takav kvadar naziva se kocka.

3.

strana

teme

ivicaSve strane kocke

su kvadrati.

Koristi model kocke i odgovori na slede}a pitawa:

Koliko strana ima kocka? ................

Koliko temena ima kocka? ................ To su: I, J, ...........................................................

Koliko ivica ima kocka? ................ To su: IJ, ................................................................

......................................................................

Ovu kocku imenujemo kao kocku IJKLMNOP.

Iz materijala Priloga uxbenika napravi model kocke.

Uporedi sve strane jedne kocke na modelu.

Da li su one me|usobno podudarne? ................

Koliko ti je boja potrebno da bi obojio podudarne strane modela kocke? ................

Uporedi ivice kocke po duìni na modelu. Odgovori kakve su one. ......................................................

Koliko ti je boja potrebno da bi obojio podudarne ivice kocke? ................ Uradi to na slici.

I J

KL

M N

OP

89

Pro~itaj sa slike i dopi{i:

a) dimenzije kvadra: duìna a;

{irina ..........;

visina ..........;

b) dimenzije kocke: duìna ..........;

{irina ..........;

visina ...........

Kod kog geometrijskog tela su sve tri dimenzije iste, a kod kog su razli~ite?

Iste su kod ................................, a razli~ite kod .................................

Posmatraj kvadar sa slike i odgovori:

a) temena koja pripadaju gorwoj strani kvadra su: .........., .........., .......... i ..........;

b) ivice koje polaze iz temena A su: .........., .......... i ..........;

v) ivica AE je podudarna i paralelna sa ivicama: .........., .......... i ..........;

g) strana paralelna i podudarna strani BCGF je strana ............................

1.

2.

Dovr{i zapo~eto crtawe kocke i kvadra:3.

A B

CD

E F

GH

ab

c

d

d

d

[ta zna~i izreka: „Staviti se na ne~ijustranu“?

.............................................................................................

.............................................................................................

90

a) [ta su strane ovog kvadra?

Strane ovog kvadra su ......... pravougaonika i ......... kvadrata.

Plavom bojom obojeni su ..............................., a crvenom bojom ................................

Koliko strana kvadra na slici vidimo? .............

Koliko strana kvadra ne vidimo? .............

b) Mogu li kod kvadra, koji nije kocka, samo dve strane biti kvadrati? ...............................

v) Mogu li dve susedne strane kvadra, koji nije kocka, biti kvadrati? ...............................

4.

aa

a

a) Koliko kvadara istih dimenzija treba dodati kvadru

na slici ~ija je duìna 1 cm, {irina 4 cm i visina

4 cm da bi dobio kocku? ..................

b) Koliko kvadara dimenzija 8 cm, 4 cm i 4 cm treba da

upotrebi{ da bi sloìo telo oblika kocke? ..................

Ukupna duìna svih ivica kocke je 84 cm. Izra~unaj kolika je duìna wene ivice.

...........................................................................................................................................................................................

5.

6.

Goran je oblepio sve ivice akvarijuma oblika kvadra za{titnom trakom. Koliko mu je trake bilopotrebno ako je visina akvarijuma 15 cm, duìna 43 cm i {irina 30 cm. (Akvarijum nema poklopac.)

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

7.

91

Koliko najmawe jednakih kvadrata treba da sastavi{ da bi dobio novi kvadrat? ....................Koliko ti je jednakih kocki potrebno da bi sastavio novu kocku? ....................

9.

Na slici je telo sastavqeno od kocki posmatrano sa dve strane. Koji je najmawi

broj kocki od kojih je sastavqeno ovo telo? .........................................................................

Na slici su date kocke. Koliko razli~itih kvadara moè{ da sastavi{ od svih kocki? ....................8.

Napravi model kvadra i kocke.

Potreban materijal:

Da bi napravio ivice kvadra i kocke upotrebi plasti~ne slam~ice u boji, a za temena iskoristi

malo plastelina. Koristi makaze, lewir i olovku.

Uputstvo za pravqewe modela:

1. razmisli koliko ti je slam~ica potrebno za ivice, a koliko loptica plastelina za temena;

2. razmisli o duìnama slam~ica;

3. slam~ice istih duìna neka budu jedne boje;

4. koliko razli~itih boja }e ti biti potrebno:

a. za model kvadra;

b. za model kocke?

92

Pogled spreda na sloène kocke

Pogled sa stranena sloène kocke

Mreà povr{i kvadra i kocke

Na slici je prikazan model kvadra. Zamisli da makazama se~e{ model du` wegovihivica, tako da povr{ kvadra bude iz jednog komada.

Postupak je prikazan na slici:

Na ovaj na~in dobio si mreù povr{i kvadra.

Od kartona na kome je nacrtana mreà povr{i kvadra (iz Priloga uxbenika) savijawemdu` isprekidanih linija i lepqewem moè{ da sastavi{ model kvadra.

1.

a) Podudarne pravougaonike na mreì povr{i kvadra oboji istom bojom.

Koliko razli~itih boja ti je potrebno? ...........

b) Oboji istom bojom podudarne stranice pravougaonika.

Koliko razli~itih boja ti je potrebno? ...........

Mreà povr{i kvadra moè imati i druga~ijeoblike kao {to je, na primer, ova na slici.

2.

93

Da li mreè na slici mogu da budu

mreè povr{i kvadra? ...........................

Obrazloì svoj odgovor. .........................................

..................................................................................................

..................................................................................................

3.

Na slici je prikazan model kocke. Zamisli da makazama se~e{ model du` wegovihivica tako da povr{ kocke bude iz jednog komada.

Postupak je prikazan na slici:

4.

a) Podudarne kvadrate na mreì povr{ikocke oboji istom bojom. Koliko bojati je potrebno? ...........

b) Oboji istom bojom podudarne stranicekvadrata. Koliko boja ti je potrebno? ...........

5.

a) b)

Na ovaj na~in dobio si mreù povr{i kocke.

Od kartona na kome je nacrtana mreà povr{i kocke (iz Priloga uxbenika) savijawemdu` isprekidanih linija i lepqewem moè{ da sastavi{ model kocke.

94

Koja mreà na slici je mreà povr{i kocke? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.6.

g)a) v)b)

Od kartona napravi kutijicu bez poklopca u koju }e{ ostavqati svoje olovke na radnom stolu.

Pazi da dimenzije budu tako odabrane da u kutiju moè{ da smesti{ olovke.

Koliko tvoja kutijica treba da ima strana?

Prvo napravi mreù povr{i kvadra. Sklapawem mreè dobi}e{ kutijicu.

Od materijala koristi: mek{i karton, makaze, lewir i olovku. Nakon pravqewa kutijicu

moè{ da oja~a{ lepqewem selotejp-trakom.

Bojewem kvadrata dopuni slike tako da dobije{ mreè povr{i kocke.1.

95

a) Na kvadratnoj mreì nacrtaj tri razli~ite mreè povr{i kocke~ija je ivica 1 cm.2.

Povr{ina kvadrata ~ija je stranica

1 cm je ............. cm2.

Mreà povr{i kocke ima ............. takvih

kvadrata.

b) Kolika je povr{ina mreè kocke ivice 1 cm? ..................

v) Uporedi povr{ine nacrtanih mreà kocki iz zadatka.

Kakve su one me|usobno? .......................................

96

Mreà povr{i kocke data naslici odgovara samo jednojkocki. Koja je to od ponu|enih?Zaokruì je.

3.

Na slici je predstavqena mreà povr{i kocke. Radi se o kocki za igru. Za wu vaì slede}e pravilo: zbir brojevata~aka na naspramnim stranama kocke uvek je 7. Docrtajta~ke na mreì tako da vaì navedeno pravilo.

5.

Zaokruì slovo kod onih mreà koje predstavqaju mreù kocke.4.

b)

|)

a) v)

g) d)

97

Dovr{i crtawe zapo~ete mreè povr{i kvadra.6.

Na slici su date mreè povr{i kocke i dva kvadra Ako je data jedinica mere 1 cm2,uporedi povr{ine kocke i kvadara.

8.

Na kvadratnoj mreì nacrtaj mreù povr{i kvadra ~ije su dimenzije:duìna 3 cm, {irina 2 cm i visina 1 cm.

7.

1 cm2

AB C

PA = ............ cm2, PB = ............ cm2 i PC = ............ cm2 PA < ............ < ............98

Koji od slede}ih kvadara imaju mreù kao naslici? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

Odgovor: ............

10.

Koja mreà odgovara kvadru na slici?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

9.

a)

v) g)

b)

Na slede}oj internet adresi na}i }e{ zanimqiv zadatak: http://www.figurethis.org/challenges/c55/challenge.htm

Re{i ga.

99

a) b) v) g)

Nacrtaj mreù povr{i:

a) kocke dimenzije 1 cm 5 mm;

b) kvadra dimenzija 1 cm, 2 cm i 4 cm.

11.

a) b)

[ta zna~i kada se neko stavi na ne~iju stranu?

......................................................................................................................................................................................................................................

Na dva najudaqenija temena kockice za igru stojemuva i pauk. Koji je najkra}i put kojim pauk moèda stigne do muve i ulovi je?

Prvo na mreì povr{i kocke ucrtaj ta~ke, zatimmesta gde stoje muva i pauk. To }e ti pomo}i daucrta{ du` koja je najkra}i put kojim }e pauksti}i do muve.

100

B

A

Povr{ina kvadra i kocke

Kako izra~unavamo povr{inu pravougaonika ~ije su stranice a i b? ....................................................................

Kako izra~unavamo povr{inu kvadrata ~ija je stranica a? ..........................................................................................

Kojim mernim jedinicama se izraàva povr{ina? ............................................................................................................

Na slici je model kvadra. Zamisli da makazama se~e{ model.Na taj na~in dobio bi mreù povr{i kvadra datu na slici.

Sada se vrati na zadatak na strani 84 i pomozi Simi da izra~una kolika mu je povr{ina papirapotrebna da bi upakovao poklon. Potrebna mu je onolika povr{ina papira kolika je povr{inatog kvadra dimenzija 15 cm, 5 cm i 10 cm.

P = 2 • (15 • 10 + 15 • 5 + 10 • 15) cm2 = 2 •.................................... cm2 = ............................ cm2 = ............... cm2

Sima }e utro{iti ............................ ukrasnog papira za uvijawe poklona.

15 cm

10 cm

5cm

Mreà povr{i kvadra sastoji od 3 para podudarnih pravougaonika.

Povr{inu kvadra ra~unamo na slede}i na~in:

P = 2 • P + 2 • P + 2 • P

P = 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c ili P = 2 • (a • b + a • c + b • c)

a

c b

101

Povr{ kvadra sastoji se iz ....... pravougaonika, od kojih su

naspramni pravougaonici podudarni i obojeni istom bojom.

Izra~unaj kolika je povr{ina ùto obojenog, plavo obojenog

i crveno obojenog pravougaonika:

P = a • b Na mreì povr{i kvadra ima 2 crveno obojenapravougaonika.

P = a •....... Na mreì povr{i kvadra ima 2 ùto obojena

pravougaonika.

P = ....... •....... Na mreì povr{i kvadra ima 2 plavo obojena

pravougaonika.

Ako bi Simin poklon bio upakovan u kutiju oblika kocke, kolikobi mu tada ukrasnog papira bilo potrebno? Ivica kocke je 17 cm.Da bi to saznao, koristi model kocke.

Postupak dobijawa mreè povr{i kocke isti je kao i za mreùpovr{i kvadra.

Koliko papira je Simi potrebno za uvijawe poklona oblika kocke ~ija je ivica 17 cm?

P = 6 •.......

•....... cm2 = ...................................... = ......................

Sima }e utro{iti ...................... ukrasnog papira za umotavawe ovog poklona.

17 cm

aa

Posmatraj kvadrat ~ija je stranica duìne a. Svaki deo mreè

kocke je ............................., ~ija je stranica duìne .......... Svaki od

6 kvadrata ima stranicu koja je po duìni jednaka ivici kocke.

Povr{ina svakog kvadrata iznosi: P = a •.......

Mreà povr{i kocke sastoji se od 6 kvadrata. Povr{inu kocke ra~unamo na slede}i na~in:

P = 6 • a • a

Kolika je povr{ina kocke ~ija je ivica 6 dm?

......................................................................................................................................................................................................................................

1.

Kolika je povr{ina kvadra ~ije su ivice a = 1 dm 5 cm, b = 4 cm i c = 1 dm.

......................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

2.

102

Povr{inu kvadra ~ije su ivice a, b i c izra~unavamo na slede}i na~in:

P = 2 • a • b + ....... •.......

•....... + ....... •

.......•

....... ili P = ....... • (.......•

....... + ....... •....... + ....... •

.......)

[ta ovde predstavqaju:

a) brojevi a, b i c? ....................................................................................................................................................................................

b) proizvodi brojeva:

a i b ...............................................................................................................................................................................................................

a i c ...............................................................................................................................................................................................................

b i c ...............................................................................................................................................................................................................

v) Za{to pomenute proizvode mnoìmo sa 2? ..........................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

3.

Povr{inu kocke izra~unavamo na slede}i na~in: P = 6 •.......

•.......

[ta ovde predstavqa:

a) broj a? ..........................................................................................................................................................................................................

b) proizvod a • a? .......................................................................................................................................................................................

v) Za{to proizvod a • a mnoìmo brojem 6? .............................................................................................................................

4.

Ako je povr{ina kocke 96 cm2, kolika je wena ivica?

6 • a • a = 96 cm2 ............................................................................................................................................................

a = ................ cm

5.

Koliko kartona ti je potrebno da bi obloìo otvorenu posudu oblika kocke ~ija je ivica 53 cm?

.................................................................................................................................................................................................................................

6.

Obim jedne strane kocke je 64 cm. Kolika je povr{ina te kocke?

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

7.

103

8.

1 cm2

Na slici su date mreè povr{i kocke i kvadra. Odredi dimenzije kvadra i kocke i izra~unaj wihove povr{ine.

9. Mirka od kartona pravi 3 kutijice oblika kocke u koje }e odlagati svoje olovke, bojice i flomastere. Svaka kutijica ima svoj poklopac. Ivica svake kocke je 15 cm. Koliko je kartonaMirki potrebno da bi napravila ove kutijice? (Na otpatke prilikom rezawa kartona po svakoj kutijici ode 900 cm2.)

......................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

10. U jednom razrednom akvarijumu oblika kocke prime}eno je da voda isti~e, jer su o{te}ene wegove ivice.U~enici su odlu~ili da ih oja~aju za{titnom trakom. Ukupno je utro{eno 2 m 6 dm 4 cm trake. Za ukra-{avawe istog akvarijuma u~enici su kupili samolepqivi papir. Izra~unaj povr{inu papira koji }eu~enici utro{iti za ukra{avawe akvarijuma ne ukra{avaju}i wegovo dno (akvarijum je bez poklopca).

......................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

104

11. Kolika je povr{ina platna potrebna za {ivewe putne torbe oblika kvadra, ako su wene dimenzije:visina 30 cm, duìna 50 cm i {irina 20 cm?

....................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................

12. Koliko stakla je potrebno za pravqewe akvarijuma bez poklopca oblika kocke ~ija je ivica 8 dm, ako je:

a) dno stakleno? ..............................................................................................................................................................................................

b) dno metalno? ..............................................................................................................................................................................................

13. Podrum ku}e duìne 10 m, {irine 6 m i visine 3 m treba okre~iti. Kre~e se zidovi i plafon. Vrata prostorije su {iroka 1 m, a visoka 2 m. Prostorija ima i prozor duìne 3 m i visine 1 m. Izra~unaj povr{inu zidova koje treba okre~iti.

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

14. Magacin oblika kvadra, dimenzija: duìna 17 m, {irina 6 m i visina 4 m trebaspoqa okre~iti. Magacin ima 6 prozora {irokih po 5 dm i visokih po 10 dmi jedna vrata {iroka 1 m i visoka 2 m. Izra~unaj kolika je povr{ina magacina koju je potrebno okre~iti.

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

15. Bazen oblika kvadra treba poplo~ati plo~icama kvadratnog oblika dimenzija1 dm. Ivice bazena su: duìna 4 m 5 dm, {irina 3 m i dubina 2 m. Koliko jeplo~ica potrebno za poplo~avawe bazena?

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................105

18. Sima je slagao kocke kao na slici. Sve kocke su jednakih ivica: 1 cm.Odredi povr{ine sloènih tela.

Koja tela imaju jednake povr{ine? ..........................................................

Koja tela su sastavqena od jednakog broja kocki? ..........................................................

Koja tela s jednakim brojem kocki imaju razli~ite povr{ine? ..........................................................

16. Kartonska kutija za staklene ~a{e ima dimenzije 22 cm, 15 cm i 10 cm. Koliko se ovakvih kutijamoè napraviti od 10 m2 kartona ako 6 dm2 budu ukupni otpaci pri radu?

....................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................

17. êtiri kutije oblika kvadra nalepqene su {irom stranom jedna za drugu,kao na slici. Kolika je povr{ina tako dobijenog kvadra ako su dimenzijejedne kutije : a = 8 cm, b = 6 cm 5 mm, c = 4 cm.

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

ac

b

a) b) v)

g) d) |)

a) ........................................................................................

b) ........................................................................................

v) ........................................................................................

g) ........................................................................................

d) ........................................................................................

|) ........................................................................................

106

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

19. a) Ako se ivica kocke dimenzije 1 m udvostru~i, kolika je

povr{ina novonastale kocke?

..............................................................................................................................................

b) Da li je povr{ina novonastale kocke ve}a ili mawa u odnosu

na povr{inu prvobitne? Koliko puta je ona ve}a (mawa)?

..............................................................................................................................................

20. Ako su 21 cm2, 28 cm2 i 12 cm2 povr{ine nekih strana kvadra, moè{ li da izra~una{ wegovupovr{inu?

................................................................................................................................................................................................................................

21. Od kocki dimenzije 1 cm sastavqeno je telo prikazano na slici. Izra~unaj povr{inu dela telasastavqenog od kocki plave boje. Kocke koje ne vidi{ su plave boje.

Pauk ima svoju mreù ispletenu od nititankih kao niti svile. Ako bi pauk pleomreù od nitidebqineolovke kojompi{e{, ona bi se pokidalaod teìne tekkad bi nitidostigle duìnuod 70 km.

Moè li se jednim potezom (ne diù}i vrholovke sa papira i ne idu}i dva puta istimputem) nacrtati ova figura (mreà kocke)?

........................................

Poku{aj da je nacrta{.

107

1. Popuni tabelu:

2. Dopuni re~enice:

a) Geometrijsko telo ograni~eno sa 6 pravougaonika nazivamo ...............................

b) Geometrijsko telo ograni~eno sa 6 kvadrata nazivamo ...............................

3. a) [ta je potrebno izmeriti da bi izra~unao povr{inu datog kvadra?

........................................................................................................................................................

b) [ta je potrebno izmeriti da bi izra~unao povr{inu date kocke?

........................................................................................................................................................

4. Poveì svaku sliku modelakvadra i kocke sa wihovimmreàma. Oboji svaku od mreàkao {to su im obojene strane.

Slika modelageometrijskog

tela

Naziv geometrijskog

tela

Brojstrana

Brojtemena

Brojivica

Broj grupa u koje su ivice

svrstane po duìni

Formula za povr{inu

108

5. Koliko najvi{e kockica za igru (ivice 1 cm) moè da stane u kutiju oblika kvadra ~ija je duìna10 cm, {irina 1 cm i visina 2 cm?

................................................................................................................................................................................................................................

6. Kolika je povr{ina kocke ~ija je ivica1 cm 5 mm? Nacrtaj wenu mreù.

..................................................................................................

..................................................................................................

7. Kolika je povr{ina kvadra ~ije su dimenzije2 cm, 1 cm 5 mm i 1 cm? Nacrtaj wegovu mreù.

..................................................................................................

..................................................................................................

8. Ponovo se vrati na zadatak na strani 84 i izra~unaj koliko je ukrasne trake Simi bilo potrebnoza ukra{avawe poklona.

..............................................................................................................................................................................................................................

9. Izra~unaj koliko je potrebno kartona da se naprave korice za herbarijume u odeqewu koje ima25 u~enika. Dimenzije jednog herbarijuma date su na slici.

....................................................................................................................

....................................................................................................................

....................................................................................................................

109

28 cm

20 cm

4 cm

• {ta su prosti i sloèni izrazi• da izra~unava{ vrednost sloènog izraza• da re{ava{ zadatke pomo}u izraza

MATEMATI^KI IZRAZI

110

Kolike su visina, duìna i masa najkrupnije kopneneìvotiwe na svetu – afri~kog slona?Odgovor na ovo pitawe dobi}e{ kada re{i{ jedan od narednih zadataka u ovom poglavqu.

1. U kvadrati}e iznad znakova ra~unskih operacija pi{i redosled wihovog izvo|ewa:

2. Upi{i redosled izvo|ewa ra~unskih operacija.

a) (240 + 90) • 7 1. sabirawe, 2. mnoèwe

b) 1 800 : (20 – 2) .......................................................................................................

v) (260 + 10) • (623 – 8) ..........................................................................................

g) (1 200 : 12) • 8 .........................................................................................................

d) (600 : 30) • (450 + 9) ...........................................................................................

|) (80 + 40) : 3 – 50 • 20 .........................................................................................

a) 240 + 90 • 7

1.2.

b) 1 800 : 20 – 2

g) 28 • 16 + 17 • 19 d) 162 • 13 + 600 • 2 + 8 000 : 20

v) 250 : 25 – 160 • 3U izrazima bez zagrada

najpre obavqamo mnoèwei deqewe, pa tek onda

sabirawe i oduzimawe,idu}i sleva nadesno.

U izrazima sa zagradamanajpre ra~unamo vrednosti izraza

u zagradama, a zatim se postupa kao sa izrazima

bez zagrada.

.........................................................................................................

111

4. Napi{i zagrade tako da zapisi budu ta~ni.

24 + 36 : 2 • 3 = 30 24 + 36 : 2 • 3 = 90 24 + 36 : 2 • 3 = 126

3. U oblasti reke Amazon ìvi najve}a zmija na svetu. Ona je ja~a od krokodila, a masa joj je ve}aod 200 kg. Da bi otkrio weno ime treba da izra~una{ vrednosti datih izraza i da u tablicu, ispod odgovaraju}e vrednosti, upi{e{ odgovaraju}e slovo.

425 + 8 • 60 = ....................................................................................................................................

90 : 3 + 3 = ..........................................................................................................................................

43 • 6 + 63 : 7 = ................................................................................................................................

62 • 7 – 120 : 4 = ..............................................................................................................................

20 + 3 • (400 – 900 : 3) = ............................................................................................................

A

D

K

N

O

5. Izra~unaj vrednost izraza 3 • m • (2 • n + l), ako je m = 3, n = 15, l = 6.

3 • m • (2 • n + l) = ...................................................................................................................

905 404 905 267 320 404 33 905

6. Nastavi da sastavqa{ izraz onakokako je prikazano na „drvetu izraza“.

25 3

(....... + .......) • (....... : .......)

+ :

24 8

•

Prosti i sloèni izrazi

112

1. Napi{i u obliku izraza:

a) Zbir brojeva:4 121 i 270 .....................................; a i 45 678 .....................................; a i b .....................................

b) Razliku brojeva:823 i 671 .....................................; 1 236 i a .....................................; a i b .....................................

v) Proizvod brojeva:15 i 2345 .....................................; x i 23 .....................................; x i y .....................................

g) Koli~nik brojeva3 600 i 36 ....................................., a i 48 ....................................., a i b .....................................

2. Napi{i u obliku izraza:

a) zbir broja 340 i proizvoda brojeva 23 i 40 ............ + ............ •............

b) razliku proizvoda brojeva b i 3 i broja 18 ............ •............ – ............

v) proizvod zbira brojeva p i 45 i broja 8 (............ + ............) •............

g) koli~nik broja 1 200 i razlike brojeva 18 i 8 ............ : (............ – ............).

d) proizvod razlike i zbira brojeva m i n: (............ – ............) • (............ + ............)

|) koli~nik zbira brojeva m i 6 i proizvoda brojeva a i b: (............ + ............) : (............•

............)

e) zbir proizvoda brojeva 16 i 18, a i b, 12 i c: ............ •............ + ............ •

............ + ............ •............

`) proizvod broja b i zbira koli~nika brojeva 12 i a i broja 16. ............ • (............ : ............ + ............)

Izrazi u kojima se javqa samo jedna ra~unska operacija nazivaju se prosti izrazi. Prosti izrazi koji sadrè promenqivu nazivaju se prosti izrazi sa promenqivom.

U prethodnim izrazima, ra~unskom operacijom smo vezivali jedan broj i jedan prost izraz.

U primerima d) i |) ra~unskom operacijom vezivali smo dva prosta izraza.

Izrazi sa dve ili vi{e ra~unskih operacija nazivaju se sloèni izrazi.

U primerima e) i `) ra~unskim operacijama vezivali smo vi{e prostih i sloènih izraza.

113

1.

12 • 144 – a : b zbir koli~nika brojeva a i 12 i koli~nika brojeva 144 i 12

proizvod razlike brojeva 144 i a i zbira brojeva 12 i b

razlika proizvoda brojeva 12 i 144 i koli~nika brojeva a i b

razlika proizvoda brojeva 144 i 12 i proizvoda brojeva a i b

a : 12 + 144 : 12

144 • 12 – a • b

(144 – a) • (12 + b)

Poveì jednake izraze:

2. Zapi{i re~ima slede}e sloène izraze, kao {to je zapo~eto:

a) 16 • 9 + 14 zbir proizvoda brojeva 16 i 9 i broja 14

b) (12 + a) • (b • 13) proizvod zbira brojeva i ...........................................................................................................................

v) a : b – c razlika ...................................................................................................................................................................

g) b • d + x • y zbir ..........................................................................................................................................................................

d) (m – n) + b • c ......................................................................................................................................................................................

|) 16 : b + (c – 19) ......................................................................................................................................................................................

e) a : k – (c + d) ......................................................................................................................................................................................

2 + m

2 m

(....... + .......) : (....... – .......)

+ –

3. Sastavi izrazprema {emi: n 712

.......•

.......

....... + ....... •.......

•

5 30

114

4. Napravi drvo izraza za:

a) (64 : 32) • (12 : 4) b) (m – n) • (144 + a)

5. Upi{i u prazna poqa znak nejednakosti (< ili >) tako da zapisi budu ta~ni:

a + 85 75 + a b – 30 b – 35 e • 12 21 • e 86 + c 86 – c

6. Sastavi i zapi{i re~ima:

a) dva prosta izraza

..............................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................

b) sloèn izraz sa dve operacije

..............................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................

v) sloèn izraz sa ~etiri operacije

..............................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................

1. Nastavi kao {to je zapo~eto.

izraz ra~unawe vrednost izraza

25 • 2 + 13 • 3 = 50 + 39 = 89

936 – 240 : 8 = ............ – ............ = ............

1 230 + 20 • 60 = ............ + ............ = ............

(620 + 900) • (450 – 50) = ............•

............ = ............

123 • 10 + 450 : 50 = ............ + ............ = ............

2.a) Izra~unaj vrednost izraza 25 • x + 40 • y,

kada je x = 2, y = 3.

............• 2 + ............ • 3 = ............ + ............ = ............

Vrednost izraza ................................ je .............

b) Popuni tabelu:

a 1 5 6 3

b 10 50 60 30

10 – a

20 + b

(10 – a) • (20 + b)

115

Vrednost izraza

Kada obavimo sve ra~unske radwe koje se javqaju u izrazu,

dobijamo vrednost izraza. Na primer, vrednost izraza

25 • 2 + 13 • 3 je 89.

Vrednosti izraza u kojima se javqajupromenqive moèmo izra~unati ako

promenqive zamenimo datim brojevima.

1. Koliki je zbir broja 1 260 i wegove polovine?

Izraz: .................... + .................... : ....................

Ra~unamo: .................... + .................... = ....................

Vrednost izraza je: ....................

Odgovor: Zbir broja 1 260 i wegove polovine je .....................

5. Odredi vrednost izraza:

a) 96 : x + 1 230, za x = 32 96 : x + 1 230 = 96 : 32 + 1 230 = .............................................................

b) 130 • x + 2 100 : 70, za x = 50 ......................................................................................................................................

v) (x - y) • (x + y), za x = 2 232, y = 1 232 ......................................................................................................................................

6. Bez izra~unavawa uporedi vrednostiizraza i upi{i odgovaraju}i znak (<, >, =):

a) 362 • 2 + 362 • 3 362 • 6

b) 700 : 10 + 50 : 10 750 : 10

7. U prazna poqa upi{iznake ra~unskih operacija, tako da zapisi budu ta~ni:

a) (9 9 9) 9 = 810

b) (9 9 9) 9 = 18

v) (9 9 9) 9 = 243116

2. Koliki je zbir polovine, tre}ine i {estine broja 720?

Izraz: .................... : .................... + .................... : .................... + .................... : ....................

Ra~unamo: .................... + .................... + .................... = ....................

Vrednost izraza je: ....................

Odgovor: Zbir polovine, tre}ine i {estine broja 720 je .....................

4. Ako postavi{ izraz i izra~una{ wegovu vrednost, dobi}e{ visinu, duìnu i masu afri~kogslona. To je odgovor na pitawe sa strane 110.

3. Izra~unaj proizvod zbira i razlike brojeva 1 200 i 400.

(.................... + ....................) • ( .................... – ....................) = .................... •.................... = ....................

Odgovor: ..........................................................................................................................................................................................................

125

Izraz: 125 • 4 – (....... + .......)

• 4 – + 25 • 5 + + 60 – 2 000 + – 5 000

.......•

....... + (....... + .......) (.......... – ..........) + (.......... – ..........)

Ra~unamo: ............... – ............... ............... + ............... ............... + ...............

Vrednost:..................... cm ..................... cm ..................... cm

visina duìna masa

– 60 • 100

117

Re{avawe zadataka pomo}u izraza

1.U jednom vo}waku radnici su prvog dana nabrali 1 200 kg jabuka. Drugog dana nabrali su jo{ 5 prikolica i u svakoj po 300 kg jabuka. Koliko jabuka su radnici nabrali za 2 dana?

Izraz: .................... + .................... •.................... = ................................................................................................................................

Odgovor: Radnici su za 2 dana nabrali .................... kg jabuka.

2.Na pijacu je doneto 2 270 kg krompira. Prodato je 120 xakova sa po 15 kg u xaku. Koliko je krompira ostalo?

Izraz: .................... – .................... •.................... = ................................................................................................................................

Ostalo je .................... kg krompira.

3. U ~etvrtom razredu jedne {kole ima 63 de~aka i 71 devoj~ica. Dogovorili su se da svaki de~ak sakupi po 30 kg stare hartije, a svaka devoj~ica po 20 kg. Koliko }e hartije sakupiti ako ostvare plan?

Izraz: .................... •.................... + .................... •

.................... = .......................................................................................................

Odgovor: ......................................................................................................................................................................................................

4. [kola ima 32 odeqewa i u svakom odeqewu po 30 u~enika. Na ekskurziju je krenulo 20 odeqewasa svim u~enicima. Koliko u~enika je ostalo u {koli?

Izraz: .................... •.................... – .................... •

.................... = ......................................................................................................ili

Izraz: (.................... – ....................) •.................... = ..............................................................................................................................

Odgovor: .......................................................................................................................................................................................................

5. Prodavac za 12 pari papu~a, po ceni od 3 000 dinara, dobija isto novca kao za 9 pari cipela.Koliko ko{ta par cipela?

Izraz: (....................•

....................) : .................... = ....................................................................................................................

Odgovor: Par cipela ko{ta .................... dinara.

7.Vojnici iz tri gradske kasarne podeqeni su u 5 jednakih grupa i poslati u poplavqena sela da pomognu me{tanima. Prva kasarna dala je 350 vojnika, druga 1 235, a tre}a 720. Koliko vojnika je bilo u svakoj grupi?

Izraz: ........................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................

8.Mlin je isporu~io pekari 250 xakova od po 60 kg bra{na. Pekara je odmah potro{ila 7 380 kgbra{na. Koliko xakova bra{na je jo{ ostalo u pekari?

Zadatak moè{ da uradi{ na dva na~ina:

I (250 •.................... – ....................) : .................... = .........................................................................................................................

II 250 – .................... : .................... = ...................................................................................................................................................

Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................

9. Na jednoj polici nalaze se 62 kwige, na drugoj 2 puta vi{e, a na tre}oj 35 kwiga mawe nego na drugoj. Koliko kwiga ima na ove tri police?

..................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................

10. Na jednoj farmi koko{ke su za 3 meseca snele 23 000 jaja. U prvom mesecu snele su 5 600 jaja, u drugom dva puta vi{e nego u prvom. Koliko jaja su snele u tre}em mesecu?

......................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................

118

6. Lasta mese~no pojede 2 200 insekata, a senica dva puta vi{e. Koliko insekata pojedu zajedno za godinu dana?

Izraz: ........................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................

119

11.Na gradili{tu se nalazi 100 t cementa. Prvogdana utro{eno je 700 xakova od po 50 kg, a drugog 830 xakova iste mase. Koliko je xakovacementa ostalo na gradili{tu?

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

...........................................................................................................

12.Sa jedne plantaè ubrano je 640 t jabuka, a sa druge 10 kamiona od po 8 t. Sve jabuke sme{tenesu u 4 hladwa~e. Koliko jabuka ima u svakoj hladwa~i?

..................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................

14.Petrova baka ìvi u mestu koje je 240 km udaqeno od mesta u kome ìvi Petar. Da bi stigao do bake, Petar najve}i deo puta ide autobusom, a ostatak pe{ke. Autobus pre|e 59 kilometara za1 ~as. Putuje se 4 ~asa. Ako Petar pe{a~i brzinom od 4 km za 1 sat, koliko vremena treba dape{a~i do bake?

..................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................

13.Povr{ina igrali{ta pravougaonog oblika je 50 000 m2, a wegova duìna je 200 m.Koliki je obim igrali{ta?

Izraz: 2 • (.................... : .................... + ....................) = .........................................................

...............................................................................................................................................................

700

830

50kg

120

15. Posle dana provedenog na skijawu Aca i Boba upore|ivali su duìnu staza pre|enih na skijali{tu. Aca, koji je boqi skija{, pre{ao je tri puta stazu Karaman greben, duga~ku 1 440 m, dva puta stazuPan~i}ev vrh, duga~ku 1 600 m i jedanput stazu Malo jezero, duga~ku 410 m. Boba je pre{ao stazuMalo Jezero 4 puta i po jedanput staze Pan~i}ev vrh i Karaman greben. Za koliko metara je Acapre{ao vi{e od Bobe?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

16. U fabrici ode}e sa{iveno je 2 310 pari pantalona i 3 218 haqina. Za jedne pantalone utro{eno je 180 cm, a za haqinu 3 m tkanine. Od jednih pantalona zarada je 700 dinara, a od haqine 1200.

Koliko je ukupno platna potro{eno? ...........................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

Kolika je ukupna zarada? .....................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

..............................................................................................................

17. Dat je izraz 1 800 – 45 • 12. Sastavi zadatak koji odgovara datom izrazu, koriste}i podatke: ukupan broj u~enika, broj autobusa, broj u~enika u autobusu.

Tekst zadatka: ................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

121

18. Na osnovu izraza 25 • 3 + 40 • 12 sastavi zadatak.

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

19. Sam sastavi zadatak i re{i ga pomo}u izraza.

Tekst zadatka: ................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

Izraz: .................................................................................................................................................................................................................

Izra~unavawe vrednosti izraza: ......................................................................................................................................................

Izra~unaj vrednost izraza (2 • a – 63 • 4) : 2, kada a uzima redom vrednosti iz skupa{141, 144, 130, 139, 136}. Uz dobijene vrednosti izraza upi{i slovo ~iji je redni broj u azbucijednak tom rezultatu.

(2 • 141 – 63 • 4) : 2 = .................................................................................... = 15

.......................................... = .................................................................................... = .............

.......................................... = .................................................................................... = .............

.......................................... = .................................................................................... = .............

.......................................... = .................................................................................... = .............

Ako si ta~no odredio sve vrednosti, ~itaj u smeru strelice i dobi}e{ ime junaka iz poznatog de~jeg romana. Napi{i ime tog romana.

Ime romana je ......................................................................................................................

M

122

êtiri znaka + rasporedi izme|u brojeva1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 tako da dobije{ izraz~ija je vrednost 73.

Izme|u pet ~etvorki rasporedi znake operacija i zagrade, tako da dobije{ izraze~ije su vrednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ukoliko bude{ vredan, moè{ dobiti i izraze ~ije su vrednosti 6, 7, ..., 16.

(4 – 4) : 4 + 4 – 4 = 0

4 4 4 4 4 = 1

4 4 4 4 4 = 2

4 4 4 4 4 = 3

4 4 4 4 4 = 4

4 4 4 4 4 = 5

[ta zna~i kada kaèmo da na nekog moèmo da ra~unamo? ..................................................................................................

Dana{wi znaci + i – prvi put su upotrebqeni 1489. godine u Ra~unicinema~kog matemati~ara Johana Vidmana. Nije ta~no utvr|eno kako su ovi znaci nastali. Po jednoj pretpostavci koristili su ih trgovci vinom. Kada su prodavali vino, na buretu su zapisivali crtu „–“ do one koli~ine koja je ostala u buretu. Dakle, crta je predstavqalaoduzimawe. Kada je vino dodavano u isto bure, na horizontalnu crtudopisivana je vertikalna i tako je nastao znak „+“ (dodavawe).

1. Izra~unaj vrednost izraza:

a) 293 621 + 29 440 : 80 = ...............................................................................................................................................................

b) 41 + 365 • 12 – 500 : 10 – 40 : 8 + 3 628 = ......................................................................................................................

2. Izra~unaj:

a) (2 365 + 455) : 2 = .........................................................................................................................................................................

b) 150 : (90 : 3) + (6 • 8 – 10) • 26 = .........................................................................................................................................

3. Izra~unaj vrednost izraza:

m • 2 365 – 1 000 : m, ako je m = 25

........................................................................................

........................................................................................

5. Za koje vrednosti promenqive x iz skupa {10, 20, 30} su jednake vrednosti izraza:

1 800 : x i 150 - x • 3? ...............................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

(x : 1 0) • 80 i 40 + 4 • x? ...............................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

6. U bazenu ima 500 000 litara vode. Pumpa izbacuje po 5 000 litara na sat. Ako prvog dana radi7 sati, a drugog 10 sati, koliko }e litara vode ostati u bazenu?

Izraz: ....................................................................................................................................................................................................

Izra~unavawe vrednosti izraza: .........................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ...............................................................................................................................................................................................123

4. Popuni tabelu.

x 0 2 5 40 100

(2 + x) • 1 000

10 • x + 60 : 6

JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

124

• da re{ava{ razli~ite jedna~ine i nejedna~ine

• da primeni{ svoje znawe u razli~itim zadacima, kao{to je zadatak o noju

Noj moè da pretr~i x metaraza 6 sekundi. Koliko je x ako je1000 m pretr~ao za minut?

Ostavi re{avawe ovog zadatkaza kasnije!

1. a) Ako sa x ozna~i{ visinu ~lanova

porodice Petrovi}, upi{i koje

vrednosti moè uzimati slovo x.

Slovo x moè uzimati bilo koju od vrednosti iz skupa {126, .........., .........., .........., .........., ..........}

b) Ozna~imo sa x visinu u~enika u tvom odeqewu.

Upi{i koje vrednosti moè uzimati slovo x.

Slovo x moè uzimati bilo koju od vrednosti iz skupa

{.........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., ................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................. }

porodica

Petrovi}Pavle Vladimir Aleksandra Tawa Milan

Visina u cm 126 134 156 172 196

Uzimati vrednost iz skupa zna~ida se x moè zameniti bilo kojom

vredno{}u iz tog skupa.

125

2. a) Ozna~imo sa x rastojawe od Beograda do izabranog grada. Upi{i koje vrednostimoè uzimati slovo x.

Slovo x moè uzimati bilo koju od vrednosti

iz skupa {143, .........., .........., .........., .........., ..........}.

b) Steva je iz jednog od mesta navedenih u tabeli poslao pismo drugu u Prag.

v) Opi{i put pisma jedna~inom, a zatim odredi iz kojeg je mesta Steva poslao pismo.

x + ................ = ................

x = ................ – ................

x = ................

Steva je poslao pismo iz .....................................................

Slovo x ozna~ava promenqivu koja moèuzimati vrednosti iz datog skupa brojeva.

Jednakost s nepoznatom nazivamo JEDNAÎNA.

gradrastojawe od Beograda

u kilometrima

â~ak 143

Jagodina 135

[abac 90

Smederevo 39

Pri{tina 355

Kru{evac 195

Beograd0 Prag1 445 km

x 1 250

Jednostavnije jedna~ine

126

Dopuni jednakostikoriste}i slede}ubrojevnu sliku.

40 + 60 = ..........

100 – 40 = ..........

100 – .......... = ..........

3 • 70 = ..........

210 : 3 = ..........

210 – .......... = ..........

100

40 60

1 400

x 600

210

70 70 70

1. Prikazane brojevne slike predstavi jednakostima.

2. Re{i jedna~ine.

a) 5 040 – x = 2 040

x = ................. – .................

x = .................

Provera:

5 040 – ................. = .................

b) x – 3 200 = 2 000

x = ................. + .................

x = .................

Provera:

........................................................

Odre|uju}i vezu izme|u elemenata jednakosti, izra~una}e{ nepoznatu x.

a) x + 600 = ..........

1 400 – x = ..........

1400 – 600 = ..........

Nepoznati sabirak na}i }e{ tako {to}e{ od zbira oduzeti poznati sabirak.

x + a = bx = b – a

Nepoznati umawenik na}i }e{ tako{to }e{ sabrati umawilac i razliku.

x – a = bx = a + b

x

720 6 080

b) 720 + 6 080 = ..........

x – 720 = ..........

x – 6 080 = ..........

Nepoznati umawilac na}i }e{ tako {to}e{ od umawenika oduzeti razliku.

a – x = bx = a – b

Re{ewe se proverava zamenom na|ene vrednostipromenqive u polaznoj jedna~ini.

2 750

500 x

v) 500 + x = ..........

2 750 – 500 = ..........

2 750 – x = ..........

127

3. Prikazane brojevne slike izrazi jednakostima.

4. Upi{i u kruì} odgovaraju}i znak i odredi vrednosti nepoznate x.

a) 14 • x = 1 078

x = 1 078 14

x = ............

Provera : 14 •............ = ............

b) x : 45 = 810

x = 810 45

x = ............

Provera: ...........................................

v) 6 741 : x = 21

x = 674 21

x = ............

Provera: ...........................................

100

x x x x x

5 • x = ..........

100 : 5 = ..........

100 : x = ..........

Nepoznati ~inilac izra~una}e{ tako {to}e{ proizvod podeliti poznatim ~iniocem.

a • x = bx = b : a

Nepoznati deqenik izra~una}e{ tako {to}e{ koli~nik pomnoìti s deliocem.

x : a = bx = b • a

5

x

60 60 ...... 60 60

8 • 60 = ..........

x : 8 = ..........

x : 60 = ..........8

Nepoznati delilac izra~una}e{ tako {to}e{ deqenik podeliti koli~nikom.

a : x = bx = a : b

9 000

30 30 ...... 30 30

x • 30 = ..........

9 000 : x = ..........

9 000 : 30 = ..........x

128

1. Odredi re{ewa jedna~ina.

2. Re{i jedna~ine:

a) 540 + x = 2 800

.................................................................

.................................................................

b) a – 2 800 = 5 400

.................................................................

.................................................................

v) 4 930 – b = 3 030

.................................................................

.................................................................

b) 720 • x = 9 360

.................................................................

.................................................................

v) 13 • x = 8 333

.................................................................

.................................................................

g) x • 271 = 15 176

.................................................................

.................................................................

g) x + 644 = 2 521

.................................................................

.................................................................

a) x • 14 = 1 750

.................................................................

.................................................................

13 333 2 408 171 381 242 2 260

58 125 1 654 49 667 5 060 170 644 898

17 645 56 341 156 768 899

22 455 17 338 72 7 9 000 1 200 998

670 67 641 420 8 200 546 319

760 111 925 721 551 42 000 1 877 646

1 900 70 8 164 6 888 1 238 170 655 1

Oboj poqa s re{ewima iz zadataka 1, 2 i 3 da bi otkrio skriveni simbol. To je: .............

129

3. Odredi re{ewe jedna~ine i proveri ta~nost re{ewa.

4.Re{i jedna~ine za a = 3 668 i b = 14.

a) x : 55 = 2 035

.................................................................

.................................................................

b) 1 248 : x = 8

.................................................................

.................................................................

g) 8 421 : x = 1 203

.................................................................

.................................................................

d) 7 642 • x = 7 642

.................................................................

.................................................................

v) x : 37 = 4 612

.................................................................

.................................................................

a) x + b = a

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

b) x – b = a

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

v) a – x = b

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

a) x : a = b

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

b) x • b = a

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

v) a : x = b

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Provera: ...........................................

Pri re{avawu jedna~ina va`noje proveriti ta~nost re{ewa.

130

5. Kada re{i{ slede}i zadatak, dobi}e{ sliku sazve`|a koje se naziva Mali edved ili Mala kola.Sastavi i re{i jedna~inu u kojoj je:

Poveì zvezde uz koje su re{ewa jedna~ina,vode}i ra~una o redosledu zadataka i dobi}e{ izgled Malog Medveda.

a) ~inilac 720, a proizvod 9 360

.................................................................

.................................................................

.................................................................

b) drugi sabirak 1 400, a zbir 1750

.................................................................

.................................................................

.................................................................

v) umawenik 3030,a razlika 520

.................................................................

.................................................................

.................................................................

g) deqenik 1 248, a koli~nik 8

.................................................................

.................................................................

.................................................................

d) drugi ~inilac 641, a proizvod 8 333

.................................................................

.................................................................

.................................................................

e) delilac 37,koli~nik 4 612

.................................................................

.................................................................

.................................................................

`) umawilac 1 203, umawenik 8 421

.................................................................

.................................................................

.................................................................

|) ~inilac 271, a proizvod 15 176

.................................................................

.................................................................

.................................................................

9 624 3 150

170 644

7 218

56

15613

350

370

2 510

407

351

131

6.Na jednom poqoprivrednom dobru jednog dana upakovano je n kutija i u svakoj je bilo po 12 jaja.Koliko je kutija upakovano ako je ukupno tog dana upakovano:

7. a) Milena je kupila jednu od stvari iz izloga.Ako sa c ozna~imo koliko je novca potro{ila,odredi koje vrednosti bi mogla imatipromenqiva c.

c∈{...............................................................................................}

8.Za koje je vrednosti x iz skupa {0, 1, 2 , 3, . . . , 10} zbir 421 + x paran broj.

.............................................................................................................................................................................................................................

Odgovor: ........................................................................................................................................................................................................

b) Milena je imala 800 dinara kad je po{la u kupovinu. Koliko je novca moglo da joj ostane?

Mileni je moglo da ostane: 800 – 250 = 550, 800 – ............. = ............., 800 – ............. = .............

Odgovor: {550, ............. , .............}

v) Kad je prebrojala novac, utvrdila je da joj je ostalo 470 dinara. [ta je kupila Milena?

Jedna~ina: ..........................................................................................

Re{ewe: ...............................................................................................

Odgovor: ..............................................................................................

a) 13 500 jaja

Jedna~ina: ...............................................................................

Re{ewe: ....................................................................................

........................................................................................................

Odgovor: ..................................................................................

b) 33 396 jaja

Jedna~ina: ...............................................................................

Re{ewe: ....................................................................................

........................................................................................................

Odgovor: ..................................................................................

{ik {ik

{ik

250250

1 200200

770770

330330

Obimi pravougaonika A i B su jednaki. Duìna provougaonika A je 12 cm. Kolika je{irina pravougaonika A ako su stranice pravougaonika B duìne 18 cm i 20 cm?

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

132

9.

Povr{ine pravougaonika A i B su jednake. Duìna pravougaonika A je 12 centimetara. Kolika je{irina pravougaonika A ako su stranice pravougaonika B duìne 18 cm i 20 cm? Ako nacrta{sliku, lak{e }e{ re{iti zadatak.

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

10.

Za poplo~avawe dve terase oblika pravougaonika potro{en je isti broj plo~ica. Dimenzije prveterase su 35 dm i 40 dm, a druga terasa je duga~ka 5 m. Kolika je {irina druge terase? Ako nacrta{sliku, lak{e }e{ re{iti zadatak.

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

11.

AB

12 cm

18 cm

20 cmx

133

Jednostavnije nejedna~ine

a) Ako sa d ozna~i{ rastojawe od Beograda do nekog grada iz tabele,

tada d∈{172, .......................................................................................}.

Re{avawe nejedna~ine proverom izabranih vrednosti za promenqivu

b) Dara je putovala mawe od 200 kilometara od Beograda do bake koja ìvi u jednom od navedenih

gradova. To zna~i da }e nam skup re{ewa nejedna~ine d < 200 dati odgovor u kojem bi od navedenih

gradova mogla da ìvi Darina baka.

Skup re{ewa nejedna~ine je: {172, 143, ............, ............}.

Darina baka bi mogla da ìvi u:

............................................................................................................................................................................................................

grad rastojawe od Beograda

Kraqevo 172

Loznica 143

Sombor 177

Pe} 432

Kragujevac 120

Uìce 204

1.

134

Steva je iz Beograda krenuo u posetu bratu koji ìvi u jednom od gradova navedenih u tabeliu prvom zadatku. Kada je pre{ao 100 kilometara, ostalo mu je mawe od 50 kilometara do toggrada. Gde bi mogao da ìvi wegov brat?

d = 172, 172 – 100 < 50 (N) Nejednakost nije ta~na. Zna~i 172 nije re{ewe nejedna~ine.

d = 143, 143 – 100 < 50 (T) Nejednakost je ta~na. Zna~i 143 je re{ewe nejedna~ine.

Proveravamo da li nejedna~ina ima jo{ re{ewa.

d = 177, ......... – 100 < 50 (.....) Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 177 ............... re{ewe nejedna~ine.



d = 204 ......... – 100 < 50(.....) Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 204 ............... re{ewe nejedna~ine.

Stevin brat bi mogao da ìvi u Loznici, .......................................................................................................................................

Re{avawem odgovaraju}e nejedna~ine do}i }e{ do odgovora.

d – 100 < ..............................

2.

Nejednakost s nepoznatom nazivamo NEJEDNAÎNA.

Re{iti nejedna~inu zna~i odrediti skup vrednosti koje moèuzeti promenqiva a da dobijena nejednakost bude ta~na.

135

Re{avawa nejedna~ine preko re{avawa odgovaraju}e jedna~ine, zakqu~ivawem na osnovu svojstava operaciija

\ur|a je imala 1 200 dinara u kasici. Kada je dobila novac od roditeqa, jo{ uvek nije mogla dakupi Veliku enciklopediju koja ko{ta 1 500 dinara. Koliko je novca mogla da dobije od roditeqa?

Re{avawa nejedna~ina pomo}u tabele:

1200 + x < 1500

1. korak 1200 + x = 1500

x = 1500 – 1200

= ...............

2. korak Na osnovu zavisnosti zbira od promene sabiraka: Vrednost izraza1 200 + x opada kada x opada, pa je re{ewe mawe od 300.Odavde moè{ da zakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine x < 300, to jest x = 299, x = 298 ... ili x = 1.

3.

Seqanka je na pijaci prodala u jednom danu mawe od 100 jaja. Odredi koliko je kutija jajaprodala ako je u svakoj bilo po 12 jaja.

Na osnovu tablice moè{ da vidi{ da za x = 9, 12 • x = 104, 104 > 100

Zna~i x = 9 nije re{ewe nejedna~ine.

Koja su re{ewa nejedna~ine? x∈{...........................................................................................}

12 • x < 100

4.

Re{avawe nejedna~ine

1. korak: Re{i odgovaraju}u jedna~inu.2. korak: Odredi skup re{ewa nejedna~ine na osnovu:

a) izvodqivosti operacijeb) svojstava operacija sabirawa i oduzimawa.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .

12 • x 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 . . .

Steva je u kasici imao 1000 dinara. Kupio je ka~ket i utvrdio da sada u nov~aniku imadovoqno para da kupi i kwigu koja ko{ta 370 dinara, ali ne dovoqno da kupi kwigu kojako{ta 600 dinara. Koliko je mogao da ko{ta ka~ket?

370 < 1000 – x < 600

Vrednosti x iz skupa {401, 402 , . . . , 629} su re{ewa nejedna~ine.

x 1 2 3 . . . 399 400 401 . . . 629 630 631 . . .

1000 – x 999 998 997 . . . 601 600 599 . . . 371 370 369 . . .

5.

136

Odredi skup re{ewa nejedna~ine na dva na~ina.

Na osnovu tabele moè{ da zakqu~i{ da su re{ewa date nejedna~ine a < ................. .

2 900 + a < 3 000 2 900 + a = 3 000 a = 3 000 – 2 900a = 100

Na osnovu zavisnosti zbira od promene sabiraka: vrednost izraza2 900 + a opada kad a opada. Na osnovu toga moè{ da zakqu~i{da su re{ewa nejedna~ine a < 100, to jest

a∈{ .....................................................................}.

Prvi na~in – preko tablice

Drugi na~in – preko re{avawa jedna~ine

a 1 2 . . . 99 100 101 . . .

2 900 + a 2 901 2 902 . . . 2 999 3 000 3 001 . . .

a) 2 900 + a < 3 000

Na osnovu tabele skup re{ewa je { .....................................................................}

x – 450 = 1 000

x = 1 000 + 450

x = ...............

Na osnovu zavisnosti razlike od promene umawenika: vrednostizraza x – 450 raste kad x raste. Na osnovu toga moè{ dazakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine: x > ................................; to jest

x∈{ .....................................................................}.



b) x – 450 > 1000

6.

Operacija oduzimawa izvodqiva je u skupu prirodnih brojeva za x > 451 patabelu po~iwemo da popuwavamo od vrednosti x = 451.

x 451 452 . . . 1 449 1 450 1 451 . . .

x - 450 1 2 . . . 999 1 000 1 001 . . .

137

7 200 – x = 7 000

x = 7 200 – 7 000

x = ...............


Na osnovu zavisnosti razlike od promene umawioca, vrednostizraza 7200 – x raste kada x opada. N osnovu moè{ dazakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine: x < ................................, to jest

x∈{ .....................................................................}.



v) 7 200 – x > 7 000

Operacija oduzimawa izvodqiva je u skupu prirodnih brojeva za x mawe od 7 200,pa i tabelu pravimo samo do te vrednosti x.

x 1 2 . . . 199 200 201 . . .

7 200 – x 7 199 7 198 . . . 7 001 7 000 6 999 . . .

x • 24 = 600

x = 600 : 24

x = ...............


Na osnovu zavisnosti proizvoda od promene ~inioca: vrednostizraza x • 24 opada kada h opada. Na osnovu toga moè{ da zakqu~i{da su re{ewa nejedna~ine x < ................................, to jest

x∈{ .....................................................................}.



g) x • 24 < 600

x 1 2 . . . 24 25 26 . . .

x • 24 24 48 . . . 576 600 624 . . .

138

1. Zaokruì one od navedenih vrednosti promenqive koje su re{ewe nejedna~ine u skupu prirodnih brojeva.

a) 3 000 + x < 4 000 512 3 044 1 000 1 001 999

b) 2 400 – a > 2 000 400 1 000 200 2 000 0 10 399

v) c – 527 > 600 1 000 528 5 000 1 126 1 227 1 129 400

2. Odredi skup re{ewa nejedna~ine pomo}u tablice:

a) 2 100 • a < 21 000 b) 3 570 – b > 510

3. Odredi skup re{ewa nejedna~ine re{avawem jedna~ine:

a) x • 60 > 4 800

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

b) 3 700 – x < 3 000

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

v) x – 26 000 < 40 000

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

4. Dimitrije je u nov~aniku imao 1 480 dinara Odlu~io je da kupi jednustvar iz izloga, a hteo je da mu ostane bar 500 dinara.

a) Izra~unaj koliko bi Dimitrije mogao da potro{i para.

Jedna~ina: ........................................................................................................

Re{ewe: .............................................................................................................

Odgovor: ............................................................................................................

b) Zapi{i cene robe koju bi Dimitrije mogao da kupi u ovoj radwi.

........................................................................................................................................

a

2100 • a

b

novo

novo

120120

490

490

650650

1 900900

1 400400

320

139

Re{avawe sloènijih jedna~ina i nejedna~ina

Ranko, Miroslav i Jelena sakupqaju sli~ice za zajedni~ki album. Miroslav je sakupio 22 sli~icevi{e od Ranka, a Jelena dva puta vi{e od Ranka. Koliko je sli~ica sakupio svako od wih ako u albumu ima mesta za 100 sli~ica, a ostalo im je jo{ 14 nepopuwenih mesta?

Nepoznati broj sli~ica koje je sakupio Ranko ozna~imo sa x. Tada:

Ranko ima: x

Miroslav ima: x + 22

Jelena ima: 2 • x

Moè{ sastaviti jedna~inu:

x + (x + 22) + 2 • x + 14 = 100

2.

Du{ica sakupqa slike omiqenih peva~a. Kada bi sakupila jo{ dva puta toliko slika koliko ih sadaima, nedostajala bi joj jo{ jedna, pa da ima 100 slika. Koliko slika ima Du{ica?Du{ica sada ima x slika. Ozna~imo sa x broj Du{i~inih slika.

x + 2 • x + 1 = 100 (x se javqa na dva mesta u jedna~ini)

3 • x + 1 = 100 (grupi{emo delove jedna~ine u kojima se javqa nepoznata, a zatim vr{imo jedna~ewe)

3 • x = 100 – 1

3 • x = .........

x = .................

x = .........

Du{ica ima 33 slike.

Provera (zamenom u polaznu jedna~inu):

33 + 2 • 33 + 1 = 33 + 66 + 1 = 100

1.

Re{avawe jedna~ine

1. korak Uo~i delove jedna~ine u kojima se javqanepoznata.

2. korak Sastavi izraz grupi{u}i delove izrazau kojima se javqa nepoznata.

3. korak Izvr{i jedna~ewe.

Poznavawe svojstava operacija, kao i veza sabirawa i oduzimawa i mnoèwa i deqewa,omogu}i}e ti lak{e re{avawe jedna~ina i nejedna~ina.

140

Re{avawe nejedna~ine1. korak Re{ava{ odgovaraju}u jedna~inu.2. korak Koriste}i poznata svojstva operacija,

odre|uje{ skup re{ewa.

1. korak

U jedna~ini x + (x + 22) + 2 • x + 14 = 100 delovi izraza s nepoznatom su: x, x + 22, i 2 • x.

2. korak

Primenom svojstava zdruìvawa sabiraka i zamene mesta sabiraka:

x + (x + 22) + (2 • x) + 14 = (x + x + 2 • x) + (22 +14) = 4 • x +36

3. korak

4 • x + 36= 1004 • x = 100 – 36

4 • x = .........x = ................x = .........

Ranko je sakupio ......... sli~ica. Na osnovu poznate vrednosti x, moè{ izra~unatikoliko su sli~ica sakupili Miroslav i Jelena.

Za x = .........,

x + 22 = ......... + 22 = ................ Miroslav je sakupio ................ sli~ica.

2 • x = 2 •......... = ................ Jelena je sakupila ................ sli~ica.

Odredi skup re{ewa nejedna~ine:

3 • x – 1 < 20

3 • x – 1 = 20

3 • x – 1 = 20

3 • x = 20 + 1

3 • x = ................

x = ................

x = ................

Sre|ena nejedna~ina (u kojoj su grupisani delovi nejedna~ine s nepoznatom): 3 • x – 1 = 20, nepoznat

je bio umawenik. Znaju}i da razlika opada kada umawenik opada zakqu~ujemo da je skup re{ewa skup

prirodnih brojeva mawih od ......... (na|enog re{ewa jedna~ine.) Skup re{ewa je: {1, 2,.......................................}

3.

141

Odredi skup re{ewa nejedna~ine:

2 • x + (240 + 6 • x) + 12 < 500

1. korak – re{avawe jedna~ine:

2 • x + (240 + 6 • x) + 12 = 500

Uo~i delove izraza u kojima se javqa nepoznata.

2 • x + (240 + 6 • x) + 12

Grupi{i delove izraza u kojima se javqa nepoznata.

2 • x + (240 + 6 • x) + 12 = 2 • x + 240 + 6 • x + 12

= 2 • x + 6 • x + 240 + 12 =

= 8 • x + 2 5 2 =

= 8 • x + 2 5 2

Izvr{i jedna~ewe. (Nepoznati sabirak se dobija kada se od zbira oduzme poznati sabirak.)

8 • x + 252 = 500

8 • x = 500 – 252

8 • x = ..........x = .......... : ..........x = ........................

2. korak – Odre|uje{ skup re{ewa nejedna~ine koriste}i poznavawe svojstava operacija.

2 • x + (240 + 6 • x) + 12 < 500

8 • x + 252 < 500

x ................

Kona~no moè{ da zakqu~i{ da je skup re{ewa nejedna~ine x∈{.................................................................}

4.

Na osnovu zavisnosti zbiraod promene sabiraka

vrednost izraza 8 • x + 252opada kad sabirak 8 • x opada,

odnosno kada x opada.

142

1. Za promenqive iz skupa {0, 1, 2, ................} odredi skup re{ewa jedna~ina:

2. Dimitrije je u nov~aniku imao 2 350 dinara, a nakon kupovine 3 CD-a ostalo mu je 880 dinarau nov~aniku. Koliko ko{ta jedan CD?

......................................................................................................................................................................................................................

3. Brod je putovao od luke do ostrva tri dana. Prvog dana pre{aoje 175 kilometara, a drugog dva puta vi{e nego prvog dana. a) Predstavi put broda na brojevnoj polupravoj.

b) Postavi jedna~inu, a zatim izra~unajkoliko je kilometara brod pre{aotre}eg dana ako je ukupno pre{ao 750kilometara do ostrva.

Jedna~ina: ..................................................................................................

Re{ewe: .......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

a) (4 438 + k) + 5 122 = 10 000

............................................................................

............................................................................

............................................................................

b) (s + 8 807) + 2 691 = 11 111

............................................................................

............................................................................

............................................................................

v) (a – 408) + 4 008 = 5 008

............................................................................

............................................................................

............................................................................

g) (6 719 – x) + 6 097 > 7 111

............................................................................

............................................................................

............................................................................

d) 1 305 + (56 902 + j) < 75 367

............................................................................

............................................................................

............................................................................

|) 102 354 + (o + 799 501) = 1 000 000

............................................................................

............................................................................

............................................................................

250

143

4. Re{i nejedna~inu.

a) 500 – 5x > 100 b) 40 • (x + 10) < 400

5. U skupu parnih brojeva re{i nejedna~inu.

a) 4 • (x – 20) < 200 b) 60 + 3x < 100

6. Re{i nejedna~inu.

a) 10 – (14 – x) • 2 < 20 b) 50 < 15 • x + 5 < 100

7. Iskoristi svojstvo operacije mnoèwa. Re{i jedna~ine.

a) 100 • (40 • x) = 2 000 • 8

............................................................................

............................................................................

............................................................................

b) 840 • (7 • x) = 120 • 49

............................................................................

............................................................................

............................................................................

v) 7 089 – (124 + 3 • x) = 2 363

............................................................................

............................................................................

............................................................................

g) (892 + x) • 65 = 114 465

............................................................................

............................................................................

............................................................................

144

9. U prodavnici igra~aka jedan automobilko{ta isto koliko i {est raketa. Koliko ko{ta raketa, ako automobilko{ta 426 dinara?

...........................................................................................

...........................................................................................

...........................................................................................

Odgovor:

...........................................................................................

...........................................................................................

11. Jedan broj podeqen sa 6 daje koli~nikkoji je za 200 mawi od proizvoda brojeva 16 i 28.

8. a) Letovawe za jedno dete ko{ta 15 030. Mese~narata iznosi 3 520 dinara. Za koliko meseci }ebiti ispla}eno letovawe?

Odgovor: ...........................................................................................

b) Kolika }e biti posledwa rata?

Odgovor: ...........................................................................................

v) Kolika bi bila mese~na rata ako bi ukupnasuma morala da bude ispla}ena u 9 rata?

Odgovor: ...........................................................................................

10. Broj 34 657 dobija se kada se od jednog broja oduzme broj koji je 16 puta ve}i od 5 047.Odredi nepoznati broj.

Jedna~ina: ..................................................................................................

Re{ewe: .......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

145

12. Kada neki broj uve}a{ 105 puta,a zatim umawi{ za 903, dobi}e{3 612. Odredi nepoznati broj.

13. U 26 novinarnica isporu~uje se isti broj novina. U jednom danu u svakoj od novinarnica prodali su po 301 primerak. Uve~e izdava~u je vra}eno 182 primerka. Koliko se novina isporu~uje u svakuod novinarnica?

Jedna~ina: ............................................................................

Re{ewe: .................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

Odgovor: .............................................................................................................................................................................................

14. Kada se pravi slatko od jagoda na svaki kilogram vo}a stavqa se po 1 500 g {e}era i 200 grama limuna. Doma}ica je od 6 kg jagoda napravila 27 tegli od po 600 g slatka.

a) Koliko {e}era ide na kilogram vo}a? ...............................

b) Ako bi sve slatko stalo u 24 tegle, koliko bi slatka trebalo da stane u jednu teglu? ...............................

Jedna~ina: ............................................................................

Re{ewe: .................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

Odgovor: .............................................................................................................................................................................................

15. Qubica ima 1 200 dinara, a Ogwen 700 dinara. Koliko Qubica treba da dâ Ogwenu da bi oboje imali isto?

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

Odgovor: .............................................................................................................................................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

146

16 Dara je svakog meseca od xeparca ostavqala po 50 dinara u kasicu. Dobila je i 500 dinara od bake i dede i 200 dinara od ujaka. Od ukupne sume novca koju ima potro{ila je 720 dinara. Koliko mesecisakupqa novac ako sada u kasici ima 330 dinara?

Jedna~ina: ..........................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

17. a) U godini koja nije prestupna jesen je nakra}e godi{we doba. Zima i prole}e su za dva dana duì odjeseni, a leto je za pet dana duè od jeseni. Postavi i re{i jedna~inu, a zatim odredi duìnu tra-jawa svakog godi{weg doba.

365 = ........................................ + ........................................ + ........................................ + ........................................

Odgovor: .......................... .......................... .......................... ..........................

b) Postavi jedna~inu za prestupnu godinu. ...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

Koje godi{we doba traje dan duè u prestupnoj godini? ...................................................................................................

18. U ba{ti je zasa|en isti broj stabqiki paradajzai boranije. Boranija je zasa|ena u sedamnaestredova po 18 stabala. Paradajz je zasa|en u 12 duìh redova i 6 kra}ih redova, tako da je u kra}im redovima po 3 stabqike mawe.Koliko je stabqika paradajza zasa|eno u duìm,a koliko u kra}im redovima?

........................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

19. Povr{ina slike, ukqu~uju}i i ram, iznosi4800 cm2. Ram slike je {irine 10 cm. Ako je {irina slike bez okvira 40 m, kolika je wena duìna?

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

40 cm

10 cm

147

Za a = 1 120 i b = 14 odredi re{ewe jedna~ine. a) a – x = b b) b • x = a

........................................ ........................................

........................................ ........................................

1.

Data je nejedna~ina r + 800 > 1 244

a) Zaokruì brojeve koji su re{ewa nejedna~ine. 244 1 000 10 000 443 445

b) Odredi sva re{ewa nejedna~ine. ...............................................................................

Re{i jedna~ine:

2.

a) 7 + 14x = 203

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b) 2 800 + (x – 300) > 3 800

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

v) 1 000 • (25 • x) = 400 • 5

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

g) 14 756 – (490 + 7x) < 3 500

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

3.

148

S jedne wive dobijeno je 12 vagona povr}a. U svaki od vagona utovarena je ista koli~ina paradajza, po400 kilograma krompira i 300 kilograma {argarepe. Ako je ukupno dobijeno 12 tona povr}a, kolikoje bilo paradajza u svakom vagonu.

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

4.

Vawa, Sandra i \ura imaju 10 000 dinara. Kupili su po par rolera za svakog i nekoliko kaciga.Roleri su ko{tali 2 470 dinara, a kacige 1 200 dinara. Koliko su kaciga mogli da kupe?

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

5.

[ta zna~i izreka: Ko traì ve}e, izgubi iz vre}e? ..................................................................................................

Diofant je ~uveni aleksandrijski matemati~ar iz III veka. Na wegovom nadgrobnomspomeniku stoji epitaf na kojem je u brojkama opisan wegov ìvot:

Jednu {estinu ìvota proveo je u bezbri`nom detiwstvu. A kad mu prote~e jo{dvanaestina ìvota, pokri se brada wegova maqama muèvnim. Jednu petinu ìvotaprovede u braku bez dece. A kada prote~e jo{ pet godina, sre}nim ga u~ini ro|eweprekrasnog prvenca sina, kome je zla sudbina dala samo polovinu godina ìvota, a {ta je to naspram godina prekrasnog zemaqskog ìvota o~evog? A u dubokoj àlostistarac zemnog ìvota do~eka kraj, proìvev{i ~etiri godine po{to izgubi sina.

Ako sa x predstavi{ broj godina Diofantovog ìvota, probaj da sastavi{ jedna~inukoja opisuje wegov ìvot.

................................................................................................................................................................................................

Ovakve jedna~ine nau~i}e{ da re{ava{ kasnije!

149

[TA SMO NAUÎLI U ÊTVRTOM RAZREDU

1. Uo~i zakonitost re|awa brojeva i produì nizove:

a) 12, 24, 36, 48, ........, ........, ........ b) 0, 21, 42, 63, ........, ........, ........

v) 1, 2, 7, 8, 13, 14, ........, ........, ........ g) , , , , , , ,816

48

24

12

2. Zapi{i re~ima broj 89 260 000 309 ..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

a) Koliko taj broj ima klasa? ................ Navedi imena tih klasa:.............................................................................................................................................................................

b) Koja cifra stoji na mestu jedinica .........., stotina .........., stotina hiqada ..........,

desetica miliona .........., milijardi ..........?

v) Odredi mesne vrednosti cifre 9 u zapisanom broju: ................................, .................................

3. Napi{i ciframa slede}e brojeve.

a) osamsto devet hiqada deset ................................................,

b) dvesta hiqada trideset dva ................................................,

v) osam miliona osam hiqada osamsto ................................................,

g) sto tri milijarde trideset miliona jedanaest hiqada ................................................,

d) najve}i osmocifreni broj ................................................,

|) najmawi desetocifreni broj .................................................

4. Napi{i ciframa i re~ima broj predstavqen u vidu zbira.

a) 300 + 10 + 7 = 317 trista sedamnaest,

b) 900 + 40 = ........... ............................................................,

v) 100 000 + 3 000 + 400 + 9 = ......................................... ....................................................................................................................

g) 9 000 000 + 70 000 + 200 + 50 = ......................................... ...........................................................................................................

6.Za svaku nejednakost odredi skup cifara tako da, kada se te cifre napi{u umesto *, ona bude ta~na.

* 89 < 389 {..............}, 4 7 * 1 > 4 761 {..............}, 1 23 * 986 < 1 234 986 {..............}

7. Nacrtaj sve ta~ke i napi{i brojeve na brojevnoj polupravoj do broja 13.

8. Koliko su jedinica na brojevnoj polupravoj udaqeni slede}i brojevi od broja 15.

a) 12 .............. b) 22 .............. v) 6 .............. g) 102 ..............

9. Uporedi brojeve na brojevnoj polupravi i upi{i u prazna poqa odgovaraju}e znake nejednakosti.

10. Poveì linijama uokvirene tekstove sa odgovaraju}im ta~kama na delu brojevne poluprave.

150

5. Upi{i u prazna poqa znake nejednakosti (< ili >) tako da zapisi budu ta~ni.

4 790 4 709 32 456 32 465 222 222 99 999

8 700 000 7 800 000 234 123 079 234 120 399 1 046 287 932 10 000 000 100

0

0

1990 2000 2010 2020

a c d b

1 6 11

a d b c c a d b

po{ao sam u {kolu

zavr{i}u VIII razred

ro|en sam

po{ao sam u IV razred

moj 10. ro|endan

11. Upi{i u prazna poqa izostavqene cifre i proveri.

12. Pore|aj vrednosti izraza od najve}e ka najmawoj i dobi}e{ ime matemati~ara iz stare Gr~ke,koji je ìveo u VI veku pre na{e ere.

13. a) [ta se de{ava sa zbirom:

– ako jedan sabirak pove}a{ za neki broj? ......................................................................................– ako jedan sabirak smawi{ za neki broj? .......................................................................................– ako jedan sabirak pove}a{ za neki broj, a drugi sabirak smawi{ za isti broj?

................................................................................................................................................................................................

b) [ta se de{ava s razlikom:

– ako umawilac pove}a{ za neki broj? .......................................................................................– ako umawilac smawi{ za neki broj? ........................................................................................– ako umawenik pove}a{ za neki broj? .......................................................................................– ako umawenik smawi{ za neki broj? ........................................................................................ – ako i umawenik i umawilac pove}a{ (ili smawi{) za isti broj?

................................................................................................................................................................................................

506 712 – 98 436 = ........................................................................................................

601 054 – 206 176 = .....................................................................................................

6 000 408 – 5 940 429 = ...............................................................................................

356 928 + 784 + 41 564 = ..........................................................................................

475 + 24 016 + 3 847 511 = ......................................................................................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

151

A

E

S

L

T

2 8 7 6

+ 4 6 8

7 7 3 3

0 0 6 3

– 6 8 9

2 3 2 4

a)

b)

Provera:

Provera:

–

+

16. Izra~unaj i upi{i vrednost izraza.

0 + 78 = ......... 43 • 0 = ......... 4 879 : 4 879 = ......... 0 • 0 = .........

24 567 – 0 = ......... 1 • 2 345 = ......... 0 : 100 = ......... 0 • 1 = .........

1 258 – 1 258 = ......... 345 : 1 = ......... 0 : 1 = .........

152

v) Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =):

a + 46 a + 53 c – 86 c – 68 111– m 77 – m

89 + b b + 89 98 567 – k 99 563 – k p – 234 p – 980

(a – 100) – (b – 100) a – b (a + 10) + (90 – 10) a + 90

14. Pore|aj vrednosti izraza od najmawe ka najve}oj i dobi}e{ ime jednog od najve}ih matemati~ara.@iveo je u staroj Gr~koj u III veku pre na{e ere.

82 830 • 250 2 272 186 : 238 4 737 954 : 834

7 008 • 761 144 920 : 2 030

376 • 907 5 437 441 : 967RM

AE

HID

15. a) [ta se de{ava s proizvodom:

– ako se jedan od ~inilaca pove}a nekoliko puta? ...........................................................

– ako se jedan od ~inilaca smawi nekoliko puta? ...........................................................

– ako jedan ~inilac pove}amo, a drugi smawimo isti broj puta? ...........................................................

b) Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, >, =).

50 • a 25 • a 50 • a (a : 2) • 50 50 • (a : 30) 50 • a

........... ........... ........... ........... ........... ........... ...........

17.

b) Koriste}i navedena svojstva, izra~unaj vrednost izraza na lak{i na~in.

42 + 26 + 54 + 48 = ......................................................................................................................................................................

7 + 172 + 493 + 328 = .................................................................................................................................................................

2 • 7 • 5 • 9 • 2 • 5 = ..........................................................................................................................................................................

25 • 49 • 4 • 5 • 20 = ........................................................................................................................................................................

2 457 • 926 + 74 • 2 457 = ...........................................................................................................................................................

v) Navedi u op{tem obliku jo{ neka svojstva ra~unskih operacija.

....................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................

a) Kako nazivamo slede}a svojstva?

b) Koriste}i navedena svojstva, izra~unaj vrednost izraza na lak{i na~in.

808 : 4 = (800 + 8) : 4 = .....................................................................................................................................

597 : 3 = (600 – 3) = ............................................................................................................................................

6 012 : 3 = ..................................................................................................................................................................

8 400 : 8 = ..................................................................................................................................................................

5 994 : 6 = ..................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

153

a) Kako nazivamo svojstva sabirawa i mnoèwa zapisana s leve strane?

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

......................................................................................................

Svojstva sabirawa i mnoèwa

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a • b = b • a

(a • b) • c = a • (b • c)

(a + b) • c = a • c + b • c

18.

(a + b) : c = a : c + b : c(a – b) : c = a : c – b : c

154

Popuni tabelu

1

x + 958 = 79 256

x = .................... – ..............

x = ..............

Re{ewe je ..............

Nepoznati sabirak se izra~unava kada se od

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2

y – 54 = 1 234

y = ....................................

y = ....................

Re{ewe je .....................

Nepoznati umawenik se izra~unava kada

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

3

2 789 – z = 1 983

z = .................... – ..............

z = ....................

Re{ewe je .....................

Nepoznati umawilac

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

4

10 • a = 1 000

a = ....................................

a = ....................

Re{ewe je .....................

Nepoznati ~inilac

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

5

b : 124 = 80

b = .................... •..............

b = ....................

Re{ewe je .....................

Nepoznati deqenik

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

6

5 000 : c = 50

c = .................... : ..............

c = ....................

Re{ewe je .....................

Nepoznati delilac

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

19.

155

Re{i slede}e jedna~ine i proveri re{ewa:

a) 2 356 + x = 8 980 ...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

y + 234 = 20 346 ...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

b) a – 34 = 4 890 ......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

8 798 – b = 5 891 ................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

v) y • 50 = 3 500 ...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

120 • k = 9 360 ........................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................

g) a : 64 = 24 .................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

38 : b = 2 ...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

20.

Sastavi jedna~inu i odredi weno re{ewe

a) Kom broju treba dodati 2 345 da bi se dobio broj 8 002?

...................................................................................................................................................................................................

b) Od kog broja treba oduzeti 45 890 da bi se dobio broj 12 000?

...................................................................................................................................................................................................

21.

Povr{ina dvori{ta kvadratnog oblika je 225 m2. Koliko }e se platiti za ì~anuogradu ako metar te ograde staje 150 dinara?

...................................................................................................................................................................................................

24.

Sastavi 4 jednakosti na osnovu slike. Re~ima objasni formulu.

a • b = ..........................................................................................................................

• = .................................................................................................................

: = .................................................................................................................

: = .................................................................................................................

25.

156

Rasadnik cve}a pravougaonog oblika, ~ije su duìnestranica 27 m i 43 m, podeqen je na 4 jednake parcele,kao na slici. Izme|u parcela i oko celog rasadnikanalaze se staze {irine 1 m. Kolika je povr{ina svakeparcele i kolika je ukupna povr{ina staza?

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

22.

Kuhiwa, duìne 5 m 4 dm, a {irine 3 m 6 dm, treba da se poplo~a plo~icama kvadratnog oblika, ~ija je stranica 2 dm. Koliko }e se platiti za plo~ice, ako je cena jedne plo~ice 50 dinara?

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

23.

43 m

27 m

P

a

b

157

Izra~unaj vrednost izraza.

a) 687 : 687 + (319 • 0 + 7) • (14 – 8) + 0 : 2 145

........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................

b) 25 120 – 13 • 26 – (12 931 + 24 605) : (302 – 299) + 890 • (3 000 : 30)

........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................

26.

Izra~unaj vrednost izraza a + b : c, ako je a = 248, b = 300, c = 30.

........................................................................................................................................................................................................................

27.

Sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbir brojeva 23 456 i 6 783 umawi za proizvod brojeva 30 i 128.

........................................................................................................................................................................................................................

b) Zbir brojeva 7 890 345 i 2 3456 umawi za wihovu razliku.

........................................................................................................................................................................................................................

28.

Dragan je pro~itao kwigu za 3 dana. Kwiga je imala 253 strane. Prvog dana pro~itao je 66 strana,a drugog dana dva puta vi{e. Koliko je Dragan pro~itao strana tre}eg dana?

.............................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................

29.

32.

158

U tabelu zapi{i razlomcima obojene i neobojene delove figura.30.

U prazna poqa upi{i razlomke od najmaweg ka najve}em i dobi}e{ ime i prezime na{eg velikognau~nika, poznatog u celom svetu.

31.

A B

E F

C D

figura A B C D E F

49

89

69

99

39

79

49

L K A N O I

44

47

46

49

45

A E S T L

39

N

Odredi traènu vrednost i upi{i je u prazno poqe pored re~i. Ako pore|a{ vrednosti od najmaweka najve}oj, dobi}e{ poznatu poslovicu, koju treba da upi{e{ na crtu.

od 154 000 qubav

od 117 ~ist

od 5 550 ra~un

od 24 800 duga38

25

79

47

91

....................................................................................................................................

159

Ako bismo èleli da napravimo prikazane kutije, za koju bismo utro{ili najvi{e kartona?

33.

Kojoj od numerisanih kocaka pripada mreà? ...................................34.

4 dm 4 dm

3 dm4 dm 2 dm

2 dm

4 dm

5 dm

1 1 dm

P = ................................... P = ................................... P = ...................................

160

[ta smo nau~ili – re{ewa

1.

3.

2.

Strana 82

e v

b g

f

a d

g

h

i

7 3

2

661

2

5 513

5

8

7

4

3 8 0

0

1 3

5

3 6 0

3

7 2 0

3

92

0

6

5

043

6

5

8

09 4

0

godinaukupan broj

putnika

broj putnika

po jednomdanu

cena karte po putniku u dinarima

godi{wiprihod

u dinarima

1994 4 321 235 11 839 236 2 794 004

1995 4 877 130 13 362 587 7 843 494

1996 3 407 640 9 336 980 9 149 280

1997 2 914 525 7 985 1 104 8 815 440

ukupno:

Svaki u~enik je dnevno tro{io po 350 dinara.

5. a) 40 000 000 qudi b) 40 000km

7. a) 5 • 496 = 5 • (500 – 4) = 5 • 500 – 5 • 4 = 2 500 – 20 = 2 480b) 511 : 7 = (490 + 21) : 7 = 490 : 7 + 21 : 7 = 70 + 3 = 73Napomena: mogu}e je do re{ewa do}i i na druga~iji na~in.

9. a) 12 • 4 • 3 • 25 = (12 • 3) • (4 • 25) = 36 • 100 = 3 600b) 2 • 378 • 5 = 378 • (2 • 5) = 378 • 10 = 3 780v) 6 • 5 • 3 • 20 = (6 • 3) • (5 • 20) = 18 • 100 = 1 800

10. a) 45 • 654 • 0 • 13 = 0b) (32 + 120) • 1 = 32 + 120 = 152

11. a) 148 • 50 = (148 : 2) • (50 • 2) = 74 • 100 = 7 400b) 125 • 72 = (125 • 8) • (72 : 8) = 1 000 • 9 = 9 000Napomena: mogu}e je do re{ewa do}i i na druga~ijina~in!

12. a) Drugi ~inilac treba pove}ati 10 puta.

b) Drugi ~inilac treba smawiti 5 puta.

8. a) (242 • 4) • (844 : 4) = 204 248b) 484 • 422 = 204 248

6. a) = b) = v) < g) > d) = |) = e) = `) =

4. Mont Everest: 4 915\eravica: 1 475

161

Strana 108

slika modelageometrijskog

tela

naziv geometrijskog

tela

brojstrana

brojtemena

brojivica

broj grupa u koje su ivice

svrstane po duìni

formula za povr{inu

kvadar 6 8 123 grupe po 4 ivice

P = 2 • (a • b + b • c + a • c)

kocka 6 8 121 grupa sa 12podudarnihivica

P = 6 • a • a

1.

2.

4.

5.

a) kvadar b) kocka

20 kockica za igru.

7. P = 13 cm2, sam nacrtaj mreù.8. Duìna cele trake s ma{nom iznosi 90 cm.

9. P = 308 dm

6. P = 1 350 mm2, sam nacrtaj mreù.

3. a) 3 dimenzije: duìnu, {irinu i visinub) 1 dimenziju: duìnu ili {irinu ili visinu

1. a) x = 1 116 b) x = 80

3. a) x =14 b) x = 8 v) x > 1 300 g) x > 1 538

2. a) 1 000, 10 000, 445 b) r∈{444, 445, ...............}

162

Strana 123

Strana 147

1.

4. 5.

a) 293 989b) 7 994

6. Izraz:500 000 – (7 • 5 000 + 10 • 5 000)500 000 – (35 000 + 50 000) =500 000 – 85 000Odgovor: 415 000

2. a) 1410b) 993

3. 59 085

a) x = 20b) x = 10

5. x < 3. Mogli su da kupe 2 kacige.

x 0 2 5 40 100

(2 + x) • 1 000 2 000 4 000 7 000 42 000 102 000

10 • x + 60 : 6 10 30 60 410 1 010

4. Utovareno je 300 kg paradajza.

163

I OVO JE MATEMATIKA – RE[EWA

Strana 11

Strana 34

1. 2 893 cifre2. 11 nula

* = 3

= 0 = 7

= 5

= 4

= 6

Strana 56

Dobi}e{ isti trocifreni broj koji si na po~etku zamislio i zapisao.

Telo je sastavqeno od 11 kocki.

Strana 92

Strana 100

A

B

Strana 107

Moè se nacrtati mreà kockeiz jednog poteza.

Strana 122

(4 – 4) : 4 + 4 – 4 = 0

(4 – 4) : 4 + 4 : 4 = 1

4 – 4 + (4 + 4) : 4 = 2

4 – 4 : 4 + 4 – 4 = 3

(4 + 4 + 4 + 4) : 4 = 4

4 + 4 : 4 + 4 – 4 = 5

b)

12 + 3 + 45 + 6 + 7 = 73a)

3 533 • 660 = 2 331 780

5 604 • 473 = 2 650 692

767 • 504 = 386 568

Sadràj

165

MNO@EWE I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . .4

Mnoèwe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Mnoèwe broja dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Mnoèwe broja vi{estrukom dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Mnoèwe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . .13

Mnoèwe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .21

Mnoèwe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem . . . . . . . . . . . . .30

Deqewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Deqewe broja dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .44

Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . . .58

Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .58

Izvodqivost operacija mnoèwa i deqewa u skupu prirodnih brojeva .65

Svojstva operacija mnoèwa i deqewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Mnoèwe i deqewe zbira i razlike brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

KVADAR I KOCKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Osobine kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Mreà povr{i kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Povr{ina kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

MATEMATI^KI IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Prosti i sloèni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Vrednost izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

Re{avawe zadataka pomo}u izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

166

JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

Jednostavnije jedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Jednostavnije nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Re{avawe sloènijih jedna~ina i nejedna~ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

[TA SMO NAU~ILI U ÊTVRTOM RAZREDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

[TA SMO NAUÎLI – RE[EWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

I ovo je matematika – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

autori

ilustrovala

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

za izdava~a

copyright

prof. dr Mirko Deji}, dr Jasmina Milinkovi} i mr Olivera \oki}

Neda Doki}

prof. dr Arif Zoli}

Vesna Rikalo, nastavnik razredne nastave

Svjetlana Petrovi}

Aleksandra Markovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centar

Gradi{tanska 8

Beograd

Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659

www.kreativnicentar.co.yu

mr Qiqana Marinkovi}

© Kreativni centar, 2006

MATEMATIKAuxbenik za ~etvrti razred osnovne {kole – 2. deo

Documents

matematika 4 II a - · PDF fileMNO@EWE I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA Mnoèwe u skupu prirodnih brojeva 4 • kako se prirodan broj mnoì i deli dekadnom jedinicom • da mnoì{