Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematika 8
Citation preview
M��������Aза осми разред основне школе
Вера ЈоцковићЂорђе Дугошија Владимир МићићВојислав Андрић
������� =dr Arif ZoliÊPera CvetinoviÊMilica ProπiÊ
������ =Miloqub AlbijaniÊ
�� � �� ������ =Slobodanka RuæiËiÊ
� ������� =Miloqub AlbijaniÊ, direktor i glavni urednik
Ministar prosvete Republike Srbije, svojim reπewem broj od 2010. godine, odobrio je ovaj uxbenik za izdavawe i upotrebu u osmom razredu osnovne πkole.
ISBN 978-86-17-
© ZAVOD ZA UXBENIKE, BEOGRAD, 2010.Ovo delo se ne sme umnoæavati i na bilo koji naËin reproduko-vati, u celini niti u delovima, bez pismenog odobrewa izdavaËa.
���� �� �� ��� ��1.1. Талесова теорема ................................................................................................................................................. 71.2. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... 81.3. Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... 111.4. Примена сличности на правоугли троугао .............................................................................................. 14
�����, �����, ����2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни 152.2. Односи правих. Мимоилазне праве 192.3. Односи праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни 212.4. Односи две равни 242.5. Ортогонална пројекција на раван 27 2.6. Полиедар 31
������ ������� � ��������3.1. Појам једначине 343.2. Еквивалентне трансформације једначина 373.3. Примена линеарних једначина 413.4. Неједначине 453.5. Еквивалентне неједначине 493.6. Примена линеарних неједначина 53
����� 4.1. Призма. Појам, врсте, елементи 554.2. Мрежа призме 584.3. Површина призме. Површина усправне четворостране призме 614.4. Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме 634.5. Запремина призме. Запремина праве четворостране призме. Маса тела. Маса призме 664.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме 70
��������5.1. Појам, врсте, елементи 725.2. Мрежа пирамиде................................................................................................ 785.3. Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде 785.4. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде 815.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде 84 5.6. Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде 86
Садржај1
2
3
4
5
������ ������� 6.1. Функција y = kx + n 896.2. График линеарне функције 926.3. Нуле и знак линеарне функције 946.4. Ток (рашћење и опадање) линеарне функције 976.5. Имплицитни облик задавања линеарне функције 99
������� ������������ � ������ 7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина 1027.2. Стубични и кружни дијаграми 1047.3. Средња вредност и медијана 107
������� ������� ������� �� ��� �� ���8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате 1118.2. Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате 1158.3. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене 117 8.4. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 1198.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате 1218.6. Примена система линеарних једначина са две непознате 125
�����9.1. Ваљак и његови елементи 1289.2. Равни пресеци ваљка 1309.3. Мрежа ваљка; површина ваљка 1329.4. Запремина ваљка 135
���� 10.1. Купа и њени елементи 13710.2. Равни пресеци купе 13910.3. Мрежа купе; површина купе 14110.4. Запремина купе 144
� ��� 11.1. Појам лопте и сфере 14811.2. Пресеци лопте (сфере) и равни 15111.3. Површина и запремина лопте 154
��������, ��������, ������ 157
6
7
8
9
10
11
7
Neke od oblika Talesove teoreme veÊ smo koristili u sedmom razredu, na primer kada je trebalo datu duæ da podelimo na n jednakih delova.
Na slici je prikazano kako se koripπÊewem Taleso-ve teoreme deli data duæ a na tri jednaka dela.
Objasni konstrukciju na slici 1.
Podsetimo se da Talesova teorema glasi:
Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duæi a i b a na drugoj a´ i b´ (sl. 2), onda vaæi a : b = a´ : b´.
U popularnoj formulaciji u ovoj teoremi se tvrdi da su senke dve duæi jedne prave baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu proporcionalne tim duæima.
PomoÊu Talesove teoreme moæemo podeliti datu duæ u datoj razmeri.
a
слика 1
ab
a' b'
a ba' b'
слика 2
Ako kroz srediπte M jednog kraka trapeza ABCD kon-strui πemo pravu paralelnu osnovicama, onda, ona po-lovi drugi krak (sl. 3).
Ovde tri paralelne prave (prave koje sadræe osnov-ice trapeza i konstruisana prava) seku prave koje sa-dræe krakove. Po Talesovoj teoremi, razmera odseËa-ka na pr vom kraku jednaka je razmeri odseËaka na drugom kraku. Kako je prva razmerajednaka 1, i druga je jednaka 1. Sledi: konstruisana prava polovi drugi krak.
прим
ер 1
A B
CD
M
слика 3
2.1. Питагорина теорема
���� �� �� ��� ��1.1. Талесова теорема 1
Podeli datu duæ uu PQ u razmeri a : b (a i b su date duæuu i).
Na polupravu Ëiji je poËetak taËka P a koja sa polupra-Pvom PQ gradi neopruæen ugao nanesemo redom duæi a =PR i b = RS. Traæena deoba (na delove m i n) ostvarujese paralelnim pravama SQ i RT prema slici 4T .
прим
ер 2
a
b
m n
cP
S
R
QT
слика 4
128128
Na slici vidimo poznatu nam maπinu koja sluæi za zavrπno ravnawe asfalta prilikom izgradwe pute-va. Wen najvaæniji deo (onaj koji pritiskom ravna) ima oblik vaqka, pa i maπinu nazivamo vaqak. Znamo i neke jednostavne alatke oblika vaqka koje nam sluæe u poqoprivredi ili za ravnawe sportskih terena od πqa-ke, ali i savremenije graevinske maπine, alatke za vaqawe limova u vaqaonicama i sl.
Vaqak, osnovni elementi. Posmatrajmo pravougaonik SAA1S1. Ako se on obrne oko svoje stranice SS1 za 360°, pa obje-dinimo sve taËke prostora kroz koje pri tome prou taËke pra-vougaonika, dobiÊemo telo koje nazivamo vaqak. Prava o(S,S1) je osa tog vaqka a duæina duæi SS1 je wegova vi sina; visinu Êemo oznaËavati sa H. UoËavamo da su pri tom obrtawu stranice SA i S1A1 pravougaonika opisale dva podudarna kruga koji pri-padaju paralelnim ravnima, normalnim na osu o. To su krugovi K(S, SA) i K1(S1, S1A1) i nazivamo ih osnove vaqka. Wihovi polu-preËnici jednaki su du æi nama naspramnih stranica SA i S1A1
pravougaonika, a one su jednake. PolupreËnik osnove vaqka je polupreËnik va qka, wegovu duæinu oznaËavamo sa r. TaËke S i S1 su centri osnova K i K1 vaqka.
Izvodnice i omotaË vaqka. Prilikom opisanog obr tawa pravougaonika SAA1S1 oko ose o(S, S1) stranica AA1 Êe opisati povrπ koja se sastoji od svih duæi TT1, koje su paralelne i podudarne sa duæi AA1, pri Ëemu taËka T prolazi svim taËkama kruæne linije k(S, SA). Ta povrπ omotava vaqak i naziva se omotaË vaqka. To je povrπ koju nazivamo cilindar. Duæi TT1 su izvodnice vaqka; wihova duæina jednaka je visini vaqka i oznaËavamo je sa s. Da-kle, cilindar koji je omotaË vaqka formiran je od izvodnica TT1 vaqka, pri Ëemu je T bilo koja taËka kruæne linije k(S, SA).
2.1. Питагорина теорема
�����9.1. Ваљак и његови елементи 9
слика 1
Navedi joπ neke objekte koji imaju oblik vaqka.
Silosi za æitarice i druge poqoprivredne proizvode,konzerve, oklagija...
прим
ер 1
σ
S
S1 A1
A
слика 2
S
S1A1
AT
T1
слика 3
1515
U prethodnim razredima uËili smo o geometrijskim objektima koji su u jed-noj ravni ‡ meusobnom odnosu taËke i prave; meusobnom odnosu pravih; odre-enosti prave, figurama... Za taj deo geo metrije koristi se naziv planimetri -ja ‡ reË koja je nastala u sredwem veku, kombinovawem la tin ske reËi planum (znaËi ravan) i grËke reËi nfxtf~ (koja se Ëita metreo, a znaËi merim).
Ove godine razmatraÊemo geometrijske objekte u prostoru. Taj deo geometrije naziva se stereometrija. To je reË koja se javqa u staroj GrËkoj i nastala je od grËkih reËi vxftfqv (Ëita se stereos i zna Ëi zapremina) i nfxtf~. ZnaËi, uËiÊemo o meusobnom odnosu pravih u prostoru, pravih i rav ni, dve i viπe ravni, zatim o nekim geometrijskim telima. Naravno, pri tome koristiÊemo kao mo dele objekte iz okruæewa, prostora u kojem se nalazimo.
Za geometrijski objekat kaæemo da je odreen nekim svojim delom (svojstvom) ako postoji jedan jedini takav objekat koji te delove sadræi (to svojstvo ima). Tako dve razliËite taËke odreuju jednu jedinu pravu.
Podsetimo se da smo ravan list papira koristili za model ravni i na slikama smo ga predstavqali kao paralelogram.
Iz petog razreda znamo da ako je taËka A u ravni a, kaæemo i da taËka A pripada ravni a. Ako je taËka B van ravni a, kaæemo da taËka B ne pripada ravni a (sl. 1).
Razmotrimo Ëime je odreena ravan. NasluÊujemo da ravan nije odreena jed-nom taËkom ili dvema razliËitim taËkama. Uveri se u to koristeÊi svesku kao model ravni i vrh olovke, odnosno olovku kao model taËke, odnosno prave (sl. 2).
Birawem taËke A u prostoru poloæaj ravni koja je sadræi nije odreen. Ra-van (sveska) moæe se po merati u bezbroj poloæaja, a da se pri tome ne mewa poloæaj taËke A (sl. 2a).
2.1. Однос тачке и праве.
�����, , �����, , �����
αA
Bслика 1
2
слика 2
a)
б)в)
2.1. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни
1616
Birawem joπ jedne taËke B opet se ravan ne moæe „uËvrstiti“. Ona se moæe pomerati, tj. „obrtati“ oko prave AB (sl. 2b). Primetimo da vaæi:
Ako dve razliËite taËke A i B pripadaju ravni, tada sve taËke prave AB pripadaju toj ravni.
Ako izaberemo joπ jednu taËku C, koja nije na pravoj AB, ravan koja i wu sa-dræi je odreena, tj. zauzima taËno jedan poloæaj (sl. 2v).
Ovo ukazuje na to da za ravan prihvatamo da:
Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.
Kaæe se ravan je odreena taËkama A, B, C (kraÊe se piπe ravan ABC) (sl. 2v).
Neka je taËka C van prave p. UoËimo razliËite taËke A i B na pravoj p. Na osnovu prethodnog sledi da taËke A, B, C odreuju taËno jednu ravan i prava p je u toj ravni. Dakle, vaæi i da:
Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan.
Proveri da li prethodna tvrewa o odre e nosti ravni vaæe ako kao model ravni ko-ristimo vrata na uËionici.
Vrata su priËvrπÊena za ram u zidu na dva mesta (πarke).Vrata mogu zauzimati viπe poloæaja. Dakle, dve taËke (iwima odreena prava) ne odreuju ravan. Ako je izabrana joπ jedna taËka, da li je po loæaj ravni (vrata) odreen? Odgovorzavisi od toga gde biramo tu taËku. Ako je treÊa taËka (πar ka) na pravoj odreenoj prvim dvema πarkama, postoji viπepoloæaja vrata. A ako je treÊa taËka van te prave, na primerbrava, postoji jedan poloæaj vrata.
прим
ер 1
слика 3
Ranije su qudi na selu pravili niske stolice sa tri „noge“ tzv. tro no-æac. Zaπto tronoæac ne moæe da se „klati“?
Tri taËke koje nisu na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.
прим
ер 2
слика 4
Na slici 5 prikazane su taËke A, B, C,CC D koje nisu u jednoj ravni. Duæ AC se ne vidi jer je zaklowena trouglovima C ABD i BCD.
UobiËajeno je da se isprekidanom linijom prikazuju duæi koje su neËim zaklowene. Kaæemo da su nevidqive. прим
ер 3
A
B
C
Dслика 5
3434
U Ëetvrtom, petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine i nejednaËi ne u skupu prirodnih, a zatim i u skupu celih i racionalnih brojeva i koriπÊewem osobina raËunskih operacija. U sedmom razredu upoznali smo osnovna svojstva realnih brojeva i pojam racionalnog algebarskog izraza. SteËena znawa i umewa o jednaËinama i nejednaËinama i racionalnim algebarskim izrazima i iskustva vezana za reπavawe jednaËina i nejednaËina i transformacije racionalnih al-gebarskih izraza iskoristiÊemo da detaqnije upoznamo pojmove linearne jed-naËine i nejednaËine, wihove ekvivalentne transformacije, reπava we i mno-gobrojne primene.
U prethodnim razredima o jednaËinama smo govorili kao o jednakostima ko-je sadræe nepoznatu. U redovima koji slede baviÊemo se detaqnijim razmatrawem pojma jednaËine.
�������� ��������� ���������� 3
3.1. Појам једначине
U petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine 2x + 5 = 13, 3x a ‡ 5 = 16, 95 ‡ 7c = 36c ...
PrimeÊujemo da su 2x + 5, 13, 3x a ‡ 5, 16, 95 ‡ 7c, 36 ... algebarski racionalni izrazi ida su meusobno povezani znakom jednakosti.
прим
ер 1
Dati su racionalni algebarski izrazi: 3 + 8, 10 + 1 i 2x +x 5. ©ta se dobija ako date racionalne algebarske izraze meusobno poveæemo znakom jednakosti ?
Ako date racionalne algebarske izraze meusobno poveæemo znakom jednakosti,dobiÊemo matematiËke objekte, tj. jednakosti: 3 + 8 = 10 + 1, 3 + 8 = 2x + 5 i 10 + 1 =x2x + 5.x
Prva jednakost 3 + 8 = 10 + 1 je numeriËka jednakost, jer sadræi samo realne brojeve(konstante) 3, 8, 10 i 1 i ne sadræi nijednu nepoznatu (promenqivu) i taËna je, jer je3 + 8 = 11 = 10 + 1.
прим
ер 2
3535
JednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je jednakost oblika L = D , gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu
(promenqivu) x. Izraze L i D zvaÊemo leva, odnosno desna strana jednaËine.
Reπewe jednaËine L = D po nepoznatoj x (L i D su racionalni algebarski izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu x) jeste svaki realan broj xo za
koji je jednakost L = D taËna.JednaËinu oblika x = xo smatraÊemo jednaËinom u reπenom obliku.
Druga i treÊa jednakost sadræe realne brojeve 2 i 5, odnosno 10 i 1 i nepoznatu (promenqivu) x. Za ne ke vrednosti nepoznate x (npr. zax x = 0 ix x = 7) dobijene jedna-xkosti su netaËne, a za neke vrednosti nepoznate x (npr. x = 3) taËne, jer je 3 + 8 = 10 +x1 = 11 ! 5, 3 + 8 = 10 + 1 = 11 ! 2 · 7 + 5 = 19, a 3 + 8 = 10 + 1 = 11 = 2 · 3 + 5.
Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) jednakosti, a druga i treÊa jed-nakost su primeri jednaËina.
прим
ер 2
Dati su izrazi: L = 5x ‡ 6,x D1 = 3x + 4 x i D2 = x2. Da li su jednakosti L = D1 i L = D2
jednaËine?
Jednakost L = D1, tj. jednakost 5x ‡ 6 = 3x x + 4 jeste jednaËina, jer sadræi promenqivu x(nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vred-nosti nepoznate x (na primer zax x = 5) i netaËna takox e za neke vrednosti x (na xprimer za x = 0). Za realan broj 5 kaæemo da je reπewe jednaËine 5x x ‡ 6 = 3x x + 4, jer jexjednakost 5 · 5 ‡ 6 = 3 · 5 + 4 taËna. Za broj 0 kaæemo da nije reπewe jednaËine, jer jed-nakost 5 · 0 ‡ 6 = 3 · 0 + 4 nije taËna. Skup S = {5} jeste skup reπewa date jednaËine.
Jednakost L = D2, tj. jednakost 5x ‡ 6 =x x2, takoe je jednaËina, jer sadræi i promen-qivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za nekevrednosti nepoznate x (na primer za x x = 2 ix x = 3) i netaËna takox e za neke vredno-sti x (na primer zax x = 0, x x = ‡2). Brojevi 2 i 3 su reπewa jednaËine 5x x ‡ 6 =x x2, jer je5 · 2 ‡ 6 = 4 = 22 i 5 · 3 ‡ 6 = 9 = 32, a broj 1 nije reπewe date jednaËine, jer je 5 · 1 ‡ 6 =‡ 1 ! 12. Skup S = {2, 3} jeste skup reπewa date jednaËine.
прим
ер 3
Koliko reπewa ima jednaËinax
x
2
40
2
-
-= ?
Data jednaËina definisana je za x ! 2, jer smo ranije (u VII razredu) videli da algebar-ski racionalan razlomak postoji ako je wegov imenilac razliËit od 0. Oblast u kojoj
postoji algebarski racionalan izrazx
x
2
42
-
- , tj. domen date jednaËine je skup M = RM \{2}.
Prema tome, iako je x2xx ‡ 4 = (x ‡ 2)(x + 2) = 0 za x x = 2 ix x = ‡2, jednaËina ima samo jedno reπewe x = ‡2, jer drugo „reπewex “ x =x 2 ne pripada domenu date jednaËine.
прим
ер 4
3636
Domen jednaËine L = D po nepoznatoj x je skup M svih realnih brojeva za koje postoje algebarski racionalni izrazi L i D. Takve vrednosti nazivamo
dopustivim vrednostima nepoznate (promenqive) x.
Skup reπewa date jednaËine L = D Ëine svi realni brojevi iz domena M date jednaËine za koje je jednakost L = D taËna.
JednaËina po nepoznatoj x oblika L = L, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi nepoznatu (promenqivu) x, naziva se identitet.
Identitet ima beskonaËno mnogo reπewa. Skup reπewa jednaËine koja predstavqa identitet jednak je domenu jednaËine (identiteta).
JednaËinu po nepoznatoj x oblika L + a = L + b, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi nepoznatu (promenqivu) x i gde je a ! b zvaÊemo nemoguÊa
jednaËina.
NemoguÊa jednaËina nema reπewa, tj. skup wenih reπewa je prazan skup.
Odredi skupove reπewa jednaËina: a) 7x ‡ 13 = 5x x + 3 + 2x x ‡ 16; b) 6x x + 11 = 5x x ‡ 7 + x x + 2. x
JednaËina 7x ‡ 13 = 5x x + 3 + 2x x ‡ 16 je isto πto i jednaËina 7x x ‡ 13 = 7x x ‡ 13. DobijenaxjednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer svaki realan broj zadovoqava dobijenu jednakost 7x ‡ 13 = 7x x ‡ 13. JednaËina 7x x ‡ 13 = 7x x ‡ 13 naziva se identitet i wen skupxreπewa je S = R.
JednaËina 6x + 11 = 5x x ‡ 7 +x x + 2 je isto πto i jednaËina 6x x + 11 = 6x x ‡ 5. DobijenaxjednaËina 6x + 11 = 6x x ‡ 5 nema reπewa, jer ne postoji nijedan realan broj koji zado-xvoqava dobijenu jednakost. JednaËina 6x + 11 = 6x x ‡ 5 naziva se nemoguÊa jednaËina ix
wen skup reπewa je S = Q.
прим
ер 5
? Контролна питања
©ta je numeriËka jednakost?Koju jednakost nazivamo jednaËinom?©ta je reπewe jednaËine? ©ta je domen date jednaËine?©ta je skup reπewa jednaËine?Kada data jednakost predstavqa identitet?©ta je nemoguÊa jednaËina? Koliko reπewa ima nemoguÊa jednaËina?
Задаци
1. Koje od datih jednakosti su numeriËke (brojevne) jednakosti:
a) 16 : 2 = 11 ‡ 3; b) 10 ‡ 3a = 1; v) 81 = 52 + 55; g) 10 · 8 = 200 : 20 + 70?
3737
U prethodnim razredima jednaËine smo reπavali koriπÊewem osobina alge-barskih operacija. Postavqa se pitawe da li je moguÊ racionalniji pristup ovom problemu, s obzirom na to da smo u meuvremenu detaqnije upoznali skup rea lnih brojeva i wegove osobine. Konkretno, koristiÊemo sledeÊa veÊ poznata svojstva realnih brojeva.
ü Ako su a, b i c realni brojevi i ako je a = b i b = c, onda je a = c.
ü Ako su a, b i c realni brojevi, onda je a = b, ako i samo ako je a + c = b + c.
ü Ako su a, b i c (c ! 0) realni brojevi onda je a = b, ako i samo ako je a · c = b · c.
Navedena pravila vaæe i ako se umesto realnih brojeva uzmu algebarski izrazi.
JednaËine Ëiji skupovi su jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim jednaËinama.
3.2. Еквивалентне трансформације једначина
2. Dati su izrazi: M = 12 : 4, N = 9 ‡ 6 i P = 3y ‡ 15. Koliko numeriËkih jednakosti, a koliko jednaËina se dobija ako date izraze poveæemo znakom jednakosti?
3. Dati su izrazi: A = 4z ‡ 9, B = 3z + 12 i C = 6 ‡ 11z. Koliko jednaËina se moæe dobiti meusobnim povezivawem datih izraza znakom jednakosti?
4. Napiπi jednu numeriËku jednakost i jednu jednaËinu.
5. Da li je reπewe jednaËine 5a ‡ 9 = 2a + 3 elemenat skupa S = {‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3, 4}?
6. Dokaæi da je 4 reπewe jednaËine x
x8
6= - . Da li je 2 reπewe date jednaËine? Da li je 3 reπewe date jednaËine?
7. Odredi skup reπewa jednaËina:
a) 17b ‡ 3 = 8b ‡ 3 + 9b; b) 10m + 17 ‡ 3m = 7m ‡ 5.
Koja je od datih jednaËina identitet, a koja nemoguÊa?
8. Napiπi primere bar dva identiteta i dve nemoguÊe jednaËine.
9. Da li su skupovi reπewa jednaËina 3x + 7 ‡ 2x = 12 + x ‡ 5 i x
x
6
3 183
-
-= jednaki?
5555
ReË prizma je latinski oblik grËke reËi rtkgna (Ëita se prisma) a znaËi otesan (u smislu otesana greda).
Prizma je poliedar Ëiju povrπ Ëine dva podudarna n-tougla koji se nalaze u paralelnim razliËitim ravnima i n paralelograma.
Dve n-tougaone strane prizme, koje su u paralelnim ravnima, nazivaju se os-novama prizme, a para lelogrami se nazivaju boËnim stranama prizme. Sve boËne strane (n paralelograma) Ëine omotaË prizme. (Broj n je prirodan broj koji nije mawi od 3.)
Broj stranica mnogouglova koji su osnove prizme odreuju wen naziv. Ako su osnove trouglovi, prizma je trostrana, ako su Ëetvorouglovi, prizma je Ëetvo-rostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, πestostrana, petostrana i osmostrana prizma.
Stranice i temena n-touglova i paralelograma (strana prizme) jesu redom ivice i temena prizme.
2.1. Питагорина теорема
�����������4.1. Појам, врсте, елементи 4
Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su prizme.
прим
ер 1
слика 1
Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu prizme.
прим
ер 2
слика 2
5656
Stranice osnova prizme su osnovne ivice prizme, a stra-nice boËnih strana, koje nisu os no vne, zovu se boËne ivice pri zme. Dakle, n-tostrana pri-zma ima 2n osnovnih ivica i n boËnih ivica.
Ako su osnovne i boËne ivi-ce prizme jednake, ta prizma je jednakoiviËna.
Rastojawe ravni osnova prizme naziva se visina prizme.
Razlikujemo uspravne i kose prizme. Ako su boËne ivice prizme normalne na ravnima osnova, prizma je uspravna (ili prava), a ako boËne ivice nisu nor-malne na ravnima osnova, prizma je kosa. Ako je prizma uspravna, duæina boËne ivice jedanaka je visini prizme. (Ako je prizma kosa, uoËava se prava normalna na ravnima osnova, koja prodire ravni osnova u taËkama N i N1. Duæina duæi NN1 je u tom sluËaju visina prizme.)
Za neke prizme postoje i posebni nazivi. Prizma Ëija je osnova paralelo-gram zove se paralelepiped.
Paralelepiped koji je uspravan i wegova osnova je pravougaonik zove se kvadar.
Kvadar Ëije su sve ivice jednake zove se kocka.
Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna.
Mi Êemo se baviti uspravnim prizmama.
Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme nazi-va se dijagonala prizme.
ОСНОВА
ТЕМЕ
БОЧНА ИВИЦА
ВИСИНА
ОСНОВНА ИВИЦА
БОЧНА СТРАНАУСПРАВНА ПРИЗМА КОСА ПРИЗМА
N
N1
слика 3
КВАДАРПАРАЛЕЛEПИПЕД КОЦКА
слика 4
Kolika je dijagonala kvadra Ëije su ivice a, b, c?
Neka je ABCDEFGH kvadar Ëije su iviceH a, b, c. Vidi sliku!
UoËimo dijagonalu AG. Iz pravouglog trougla ACGsledi da je AG2 = AC2CC + CG2, odnosno AG2 =AB2 + BC2CC + CG2, jer je trougao ABC pravougli. Da -
kle, AG2 = a2 + b2 + c2cc , odnosno AG a b c2 2
b2
= a + .
прим
ер 3
A B
CD
E
H G
F
ab
c
слика 5
5757
Presek prizme i ravni b kojoj pripadaju nesusedne boËne ivice prizme na-ziva se dijagonalni presek. Dve stranice dijagonalnog preseka su odgovarajuÊe di-jagonale osnova (sl. 6d).
Preseke prizme i ravni koja je u kosom poloæaju prema ravnima osnova prizme neÊemo razmatrati.
Razmotri πta je presek pravilne πestostrane prizme i ravni koja je paralelna:
a) osnovama; b) boËnim ivicama prizme.
Neka je ABCDEFA1B1C1D1E1F1 pravilna πestostrana prizma.
a) Ravan a je paralelna ravnima osnova prizme i seËe boËne ivice. Presek je πestougao A2B2C2C D2E2F2FF podudaran sa πestouglovima osnova (sl. 6a).
b) Ravan b je paralelna boËnim ivicama prizme i ima zajedniËke taËke s osnovama. Presek tada moæe biti boËna ivica, boËna strana ili pravougaonik (sl. 6b, v, g, d).
прим
ер 4
A BC
DEF
A1 B1C1
D1E1F1
A BC
DEF
A1 B1C1
D1E1F1
A2 B2 C2D2E2
F2α
A BC
DEF
A1 B1C1
D1E1F1
β
A BC
DEF
A1 B1 C1
D1E1F1
β
BA
CDE
F
A1 B1 C1D1E1
F1
β
слика 6
а) б) в) г) д)
? Контролна питања
©ta je prizma?Da li boËne strane prizme mogu pripadati paralelnim ravnima?Koliko temena, ivica, strana ima osmostrana prizma?Kada je prizma uspravna?Kada je prizma pravilna?©ta je visina prizme?©ta je dijagonala prizme?
Задаци
1. Moæe li prizma da ima Ëetiri: a) temena; b) ivice; v) strane?
2. BoËne strane uspravne prizme su uvek:
a) kvadrati; b) podudarni pravougaonici; v) pravougaonici; g) jednakokraki trapezi.
Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.
7272
ReË piramida je latinski oblik grËke reËi rytankv (Ëita se piramis) ko-jom su Grci nazivali egipatske piramide.
Piramida SA1A2A3...An je poliedar Ëiju povrπ Ëine mnogougao A1A2A3...An i n trouglova SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1.
Mnogougao A1A2A3...An naziva se osnova piramide, a trouglovi SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 se nazivaju boËnim stranama piramide. Sve boËne strane (n trouglova) Ëine omotaË piramide. (Broj n je prirodan broj ne mawi od 3.)
Broj stranica mnogougla osnove odreuje naziv piramide. Ako je osnova trougao, piramida je trostrana, ako je Ëetvorougao, piramida je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana trostrana, osmostrana i πestostrana pira mida.
2.1. Питагорина теорема
�������������5.1. Појам, врсте, елементи 5
Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su piramide.
прим
ер 1
слика 1
Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu piramide.
прим
ер 2
слика 2
7373
Stranice i temena n-tougla (os-nove) i trouglova (strana piramide) redom su ivice i temena piramide.
Stranice osnove piramide su osnovne ivice piramide. Stranice bo Ënih strana, koje nisu osnovne, na-zivaju se boËne ivice piramide. Dak-le, n-tostrana piramida ima n osno-vnih ivica i n boËnih ivica. Sve bo Ëne strane i sve boËne ivice pi-ramide imaju jedno zajedniËko teme koje se naziva vrh piramide.
Rastojawe vrha od ravni osnove piramide naziva se visina piramide.
Rastojawe vrha piramide od osnovne ivice piramide (visina boËne strane) nazi-va se apotema.
Ako je osnova piramide pra vilni mnogougao i ako je prava odreena vrhom pira-mide i srediπtem osnove normalna na ravan osnove, kaæe se da je piramida pra vi-lna (sl. 4).
Ako su sve ivice piramide jednake, ta piramida je jednakoivi Ëna.
Za trostranu jednakoiviËnu piramidu postoji i poseban naziv ‡ tetraedar.
RazmotriÊemo πta je presek piramide i ravni.
ВРХ
БОЧНАИВИЦА
ОСНОВНАИВИЦА
БОЧНАСТРАНА
ОСНОВА
слика 3
ВИСИНА
АПОТЕМА
слика 4
Data je pravilna trostrana piramida osnovne ivice a = 4 cm i visine H = H 6 cm. Od-redi presek te piramide i ravni a koja je paralelna ravni osnove, nema zajed niËkih taËaka sa osnovom i seËe boËne ivice te piramide.
Neka je SABC data pravilna trostrana Cpiramida. Ravan a je paralelna ravni os-no ve. Neka je vrh piramide od ravni a na rastojawu 2 cm.
Paralelne ravni ABC iC a seku ravan ABSpo pravama AB i A1B1 koje su paralelne. Vidi sliku! Sledi da su tro ug lovi ABS i
A1B1S sliËni i vaæiA B
AB
A S
AS
1 1B 1
= (*).
Neka je O srediπte osnove i neka prava
SO prodire ravan a u taËki O1. Trou glo vi AOS i A1O1S su sliËni, pa jeA S
AS
O S
OS
1 1S O=
(**). Iz proporcija (*) i (**) i datih po dataka slediA B
AB
O S
OS
2
63
1 1B 1
= = = .
прим
ер 3
A
B
C
O
A1B1C1O1
S
α
слика 5
7474
Razmotri πta je presek pravilne Ëetvorostrane piramide i ravni koja sadræi vrh piramide i seËe osnovu.
Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida.
a) Ako ravan a sadræi vrh piramide i seËe ravan osnove po pravoj koja sa osno vom ima zajedniËko jedno teme, presek je boËna ivica odreena tim temenom (sl. 6a).
b) Ako ravan b sadræi vrh i dva susedna temena osnove piramide, presek je bo Ëna strana odreena tim temenima (sl. 6b).
v) Ako ravan c sadræi vrh i dva nesusedna temena osnove, presek je trougao Ëije su stranice dijagonala osnove i dve boËne ivice piramide (sl. 6v).
g) Ako ravan d sadræi vrh i seËe dve osnovne ivice piramide, presek je trougao (sl. 6g).
прим
ер 4
A B
C
Sα
D
A B
C
Sβ
D
слика 6
a) б)
Na isti naËin dokazujemo da jeAC
AC
O S
OS3
1 1O= = , gde je C1 prodor ivice CS kroz ra -
van a. Presek piramide i ra v ni a je trougao A1B1C1 sliËan trouglu ABC. Pri tome,koeficijent sliËnosti jednak je razmeri rastojawa ravni osnove i ravni preseka odvrha pira mide. Jasno je da ovakav zakqučak možemo izvesti i za četvorostranu pi-ramidu wenim rasta vqawem na dve trostrane piramide. Ovo važi i za petostranu,šestostranu, ... piramidu.
прим
ер 3
A B
C
Sδ
D
A B
C
Sγ
Dв) г)
Preseke piramide sa ravnima koje ne sadræe vrh i nisu paralelne osnovi pira mide neÊemo razmatrati.
7575
? Контролна питања
©ta je piramida?Da li boËne strane piramide mogu pripadati paralelnim ravnima?Koliko najmawe temena, ivica i strana ima piramida?Kada je piramida pravilna?©ta je visina piramide?©ta je apotema?
Задаци
1. Na slici 7 prikazane su piramide. Obeleæi wihova temena, a zatim za svaku odre-di osnovu, boËne strane i vrh.
2. Da li postoji piramida Ëije svako teme moæe biti vrh?
3. Koliko strana, temena, osnovnih ivica, boËnih ivica, boËnih strana ima osmo stra-na piramida?
4. Moæe li piramida da ima Ëetiri: a) temena; b) ivice; v) strane?
5. Da li visina piramide moæe biti veÊa od duæine:
a) osnovne; b) boËne ivice?
6. BoËne strane pravilne piramide ne mogu biti:
a) jednakokraki; b) jednakostraniËni; v) raznostraniËni;
g) jednakokraki pravougli; d) jednakokraki tupougli trouglovi.
Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.
7. Ako je ravan osnove pravilne piramide projekcijska ravan, πta je ortogonalna pro-jekcija: a) osnovne ivice; b) osnove; v) boËne ivice; g) boËne strane; d) vrha piramide?
слика 7
7676
U prethodnoj lekciji upoznali smo osnovne elemente piramide. Kao za pri-zmu, i za piramidu se konstruiπe mreæa.
8. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je srediπte S strane EFGH. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgo-vor! IzraËunaj duæine boËnih ivica, visinu i apoteme te pi-ramide ako je ivica kocke 8 cm. Vidi sliku!
9. IzraËunaj apotemu pravilne: a) Ëetvorostrane; b) trostrane;
v) πestostrane piramide Ëije su osnovna ivica 10 cm, a boËna ivica 13 cm.
F
A B
C
E
GH
D
Sслика 8
5.2. Мрежа пирамиде
Razvij u mreæu pravilnu trostranu piramidu Ëija je osnovna ivica 3 cm i boËna ivica 4 cm (sl. 9a).
Neka je SABC data piramida. Mreæa moæe da se konstruiπe na viπe naËina. Prika-Czana su dva.
Ako piramidu razreæemo duæ svih boËnih ivica, dobija se mreæa prikazana na sli-ci 9b.Ako datu piramidu razreæemo duæ boËne ivice AS i osnovnih ivica AB i AC, tadaje mreæa prikazana na slici 9v.
прим
ер 1
A
B C
S
A
B C
S
BC
S
A''A'
A''A'
A
BC
S
S' S''
A
BC
S
S' S''
SS' S''
A
BC
A
BC
Sслика 9
а)
б)
в)
8989
U prethodnom razredu upoznali smo neke oblike zavisnosti veliËina (na primer direktnu proporcionalnost). Zavi snost smo zadavali na razne naËine: tabelom odgovarajuÊih vrednosti, formulom (zakonom veze) ili grafikom. Sada Êemo upoznati neπto sloæeniju zavisnost.
Zavisnost veliËine y od promenqive veliËine x oblika y = kx + n za zadate brojeve k i n naziva se linearna funkcija.
2.1. Питагорина теорема
�������� ������6.1. Функција y = kx + n 6
Zavisnost veliËine y od veliËine x data je u tabeli
x ‡2 0 1 3
y ‡3 1 3 7
Proveri da li se ova zavisnost moæe zadati formulom y = 2y x + 1x .
Proveravamo da li po formuli dobijamo odgovarajuÊe vrednosti:
y(‡2) = 2 (‡2) + 1 = ‡3, y(0) = 2 · 0 +1 = 1, y(1) = 2 · 1 + 1 = 3, y(3) = 2 · 3 + 1 = 7.
Dobijene vrednosti su iste kao u tabeli. Zavisnost se moæe zadati ovom formulom.
прим
ер 1
Pretpostavimo da kofa ima zapreminu 12 l i da se u woj nalazi 2l l vode. Neka se izlËesme u kofu uliva 5 l vode u minuti. Koliko Êe vode biti u kofi za:l
a) jedan; b) dva; v) t,tt [ , ]t 2,d minuta ?
Za jedan minut uliÊe se 5 l vode pa Êe u kofi bitil V(1) = 5 · 1 + 2 = 7VV l vode.l
Za dva minuta biÊe V(2) = 5 · 2 + 2 =VV 12 l. Dakle, kofa Êe se napuniti za dva minuta.
Za t, [ , ]t 2,d minuta iz Ëesme je isteklo 5t litara vode pa je ukupna koliËina vode u tkofi V = 5V t + 2t l.
KoliËina V vode u kofi u primeru 2 je, dakle, sve dok se kofa ne napuni, linea rna funkcija vremena t sa konstantamat k = 5k i n = 2.
прим
ер 2
