Mečislavas Meilūnas

MATEMATIKA AVIATORIAMS

Vilnius „Technika“ 2012

Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant

studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus

Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023

VilniAUS GEDiMinO TECHniKOS UniVERSiTETAS

Vilnius „Technika“ 2012

Mečislavas Meilūnas

MATEMATIKA AVIATORIAMS

Mokomoji knyga

M. Meilūnas. Matematika aviatoriams: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2012, 79 p. [3,5 aut. l. 2012 08 27]

Mokomojoje knygoje apžvelgti tie elementariosios matematikos skyriai, kuriuos išmanyti – bent jau tiek, kiek pateikta čia, būtina studijuojantiems ma-tematiką įvairių VGTU specialybių, taip pat ir VGTU Aviacijos instituto stu-dentams. Knygą sudaro keturios dalys: „Aritmetika“, „Geometrijos elementai“, „Algebrinės lygtys ir jų sistemos“ ir „Funkcijos“. Kiekvienoje dalyje pateiktos atitinkamos matematikos šakos pagrindinės sąvokos ir teiginiai, jie iliustruojami pavyzdžiais. Norint kuo geriau įsisavinti žinias, kaip visada, patartina atlikti kuo daugiau pratimų ir išspręsti taikomųjų uždavinių. Kai kurie tam tinkami vadovė-liai ir uždavinynai nurodyti literatūros sąraše.

Leidinį rekomendavo: A. Gustaičio aviacijos instituto studijų komitetas

Recenzavo: doc. dr. Eduardas Lasauskas, VGTU Aviacinės mechanikos katedra dr. Gerda Jankevičiūtė, VGTU Matematinio modeliavimo katedra

Leidinys parengtas ir išleistas už Europos struktūrinių fondų lėšas, jomis finansuo-jant VGTU Transporto inžinerijos, Biomechanikos ir Aviacinės mechanikos inžine-rijos projektą „Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant stu-dijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus“ pagal Lietuvos 2007–2013 m. Žmogiškųjų išteklių veiksmų programos 2 prioriteto „Mokymasis visą gyvenimą“ VP1-2.2-ŠMM-07-K priemonę „Studijų kokybės gerinimas, tarptautiškumo didini-mas“. Projekto kodas Nr. VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023, finan savimo ir administra-vimo sutartis Nr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-023.

VGTU leidyklos TECHNIKA 1367-S mokomosios metodinės literatūros knygahttp://leidykla.vgtu.lt

Redaktorė Jūratė BalčiūnienėMaketuotoja Birutė Bilotienė

eISBN 978-609-457-252-4doi:10.3846/1367-S

© Mečislavas Meilūnas, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

3

Turinys

1. ARITMETIKA ......................................................................................... 71.1. Aritmetiniai veiksmai natūraliųjų ir

sveikųjų skaičių aibėse ..................................................................... 71.1.1. Natūraliųjų ir neneigiamų sveikųjų skaičių aibės ................ 71.1.2. Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis ................................... 71.1.3. Neneigiamų sveikųjų skaičių daugyba ................................ 81.1.4. Neneigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis .............................. 91.1.5. Neneigiamų sveikųjų skaičių palyginimas .......................... 91.1.6. Atimties veiksmas ir būtinybė praplėsti sveikųjų

neneigiamų skaičių aibę. Sveikieji skaičiai ....................... 101.1.7. Sveikojo skaičiaus modulis ................................................ 101.1.8. Sveikųjų skaičių sudėtis ..................................................... 111.1.9. Sveikųjų skaičių atimtis ..................................................... 111.1.10. Sveikųjų skaičių palyginimas ............................................ 121.1.11. Sveikųjų skaičių daugyba .................................................. 121.1.12. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai ........................................... 121.1.13. Bendrieji dalikliai .............................................................. 131.1.14. Bendrieji kartotiniai ........................................................... 14

1.2. Aritmetiniai veiksmai racionaliųjų skaičių aibėje .......................... 141.2.1. Racionalieji skaičiai ........................................................... 141.2.2. Racionaliojo skaičiaus modulis ......................................... 151.2.3. Racionaliųjų skaičių palyginimas ...................................... 151.2.4. Racionaliųjų skaičių sudėtis ir atimtis ............................... 161.2.5. Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba ............................. 161.2.6. Dešimtainės trupmenos ...................................................... 171.2.7. Periodinės trupmenos ......................................................... 181.2.8. Racionaliojo skaičiaus sveikoji ir trupmeninė dalis .......... 181.2.9. Periodinių trupmenų palyginimas ...................................... 19

1.3. Aritmetiniai veiksmai realiųjų skaičių aibėje ................................. 191.3.1. Iracionalieji skaičiai ........................................................... 191.3.2. Realieji skaičiai .................................................................. 201.3.3. Realiųjų skaičių dešimtainiai artiniai ................................. 21

4

1.3.4. Realiųjų skaičių sudėtis ir atimtis ...................................... 221.3.5. Realiųjų skaičių daugyba ir dalyba .................................... 221.3.6. Realiųjų skaičių aksiomos ................................................. 231.3.7. Realiojo skaičiaus laipsnis su sveikuoju rodikliu .............. 241.3.8. Aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis ....................................... 251.3.9. Laipsnis su racionaliuoju rodikliu ..................................... 251.3.10. Laipsnis su realiuoju rodikliu ............................................ 261.3.11. Aritmetinis ir geometrinis vidurkiai .................................. 261.3.12. Procentai ............................................................................ 27

1.4. Pozicinės skaičiavimo sistemos ..................................................... 281.4.1. Pozicinės skaičiavimo sistemos sąvoka ............................. 281.4.2. Dvejetainė skaičiavimo sistema ......................................... 301.4.3. Aštuntainė skaičiavimo sistema ......................................... 301.4.4. Šešioliktainė skaičiavimo sistema ..................................... 32

2. GEOMETRIJOS ELEMENTAI ............................................................ 332.1. Taškų koordinatės tiesėje ............................................................... 33

2.1.1. Koordinačių tiesė ............................................................... 332.1.2. Koordinačių keitimas ......................................................... 342.1.3. Skaičių intervalai ............................................................... 34

2.2. Taškų koordinatės plokštumoje ir trimatėje erdvėje ...................... 352.2.1. Dekarto koordinačių sistema plokštumoje ......................... 352.2.2. Polinė koordinačių sistema ................................................ 362.2.3. Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje .............. 372.2.4. Dekarto koordinačių sistema trimatėje erdvėje ................. 41

2.3. Elementariųjų geometrinių figūrų plotų ir tūrių, homogeniškų kūnų masės skaičiavimas ......................................... 42

3. ALGEBRINĖS LYGTYS IR JŲ SISTEMOS ....................................... 443.1. Algebriniai reiškiniai ...................................................................... 44

3.1.1. Skaitinis reiškinys .............................................................. 443.1.2. Reiškinys su kintamaisiais ................................................. 44

3.2. Lygtys ir tapatybės ......................................................................... 453.2.1. Lygybės .............................................................................. 453.2.2. Lygtys ................................................................................ 453.2.3. Tapatybės ........................................................................... 46

5

3.2.4. Lygčių ekvivalentumas ...................................................... 463.2.5. Reiškinių veiksmai ............................................................. 473.2.6. Vienanariai ......................................................................... 473.2.7. Daugianariai ....................................................................... 483.2.8. Algebrinės trupmenos ........................................................ 483.2.9. Tapatybių įrodymas............................................................ 493.2.10. Algebrinių reiškinių pertvarkymų pavyzdžiai ................... 49

3.3. Tiesinės lygtys ................................................................................ 523.3.1. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju .................................... 523.3.2. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais ................................ 53

3.4. Kvadratinės lygtys .......................................................................... 533.4.1. Kvadratinės lygties šaknų formulė .................................... 533.4.2. Atskiri kvadratinės lygties atvejai ..................................... 543.4.3. Vieto teorema ..................................................................... 553.4.4. Kvadratinio trinario skaidymas .......................................... 55

3.5. Lygčių sistemos .............................................................................. 563.5.1. Lygčių sistema ................................................................... 563.5.2. Lygčių sistemų ekvivalentumas ......................................... 563.5.3. Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema ...... 57

4. FUNKCIJOS .......................................................................................... 604.1. Funkcijos sąvoka ............................................................................ 60

4.1.1. Funkcijos nusakymas skaičių poromis bei lentele ............. 604.1.2. Funkcijos nusakymas formule ........................................... 614.1.3. Funkcijos grafikas .............................................................. 614.1.4. Funkcijos monotoniškumas ............................................... 624.1.5. Funkcijos aprėžtumas ........................................................ 634.1.6. Lyginės ir nelyginės funkcijos ........................................... 644.1.7. Periodinės funkcijos ........................................................... 654.1.8. Viena kitai atvirkštinės funkcijos ....................................... 654.1.9. Sudėtinės funkcijos ............................................................ 66

4.2. Rodiklinė, logaritminė ir laipsninė funkcijos ................................. 664.2.1. Rodiklinė funkcija ............................................................. 664.2.2. Logaritminė funkcija ......................................................... 674.2.3. Logaritmai .......................................................................... 68

6

4.2.4. Logaritmavimas ir potencijavimas (antilogaritmavimas) .... 694.2.5. Logaritmų pagrindo keitimas ............................................. 694.2.6. Dešimtainiai logaritmai ..................................................... 704.2.7. Skaičius e ir natūralieji logaritmai ..................................... 704.2.8. Laipsninė funkcija ............................................................. 71

4.3. Trigonometrinės funkcijos ............................................................. 714.3.1. Smailiojo kampo ir skaitinio argumento

trigonometrinės funkcijos .................................................. 714.3.2. Trigonometrinių funkcijų periodiškumas .......................... 744.3.3. Lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos ................. 744.3.4. Trigonometrinės funkcijų tapatybės .................................. 754.3.5. Redukcijos formulės .......................................................... 764.3.6. Dvigubojo argumento ir pusės argumento

trigonometrinės funkcijos .................................................. 774.3.7. Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimas

suma (skirtumu) ir atvirkščiai ............................................ 78Literatūra ..................................................................................................... 79

7

1. AriTMETiKA

Aritmetikos sąvokos ir teiginiai aprašo skaičių aibes ir aritmeti­kos veiksmus tose aibėse. Trumpai apžvelgsime dažniausiai aritme-tikoje naudojamas skaičių aibes ir veiksmus, atliekamus su tų aibių elementais (aritmetines operacijas).

1.1. Aritmetiniai veiksmai natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibėse

1.1.1. Natūraliųjų ir neneigiamų sveikųjų skaičių aibės

Natūraliųjų skaičių aibė (paprastai žymima n) – tai begalinė aibė, sudaryta iš skaičių, kuriuos žmonija nuo seniausių laikų naudoja skai-čiuoti įvairiausiems daiktams (vienas, du, trys ...). Taigi turime:

n = {1; 2; 3; 4; …} (1.1)

Prie visų natūraliųjų skaičių aibės prijungę skaičių 0 (nulį), gau-name neneigiamų skaičių aibę

n0 = {0; 1; 2; 3; 4; …} (1.2)

Neneigiamus sveikuosius skaičius žymėsime mažosiomis loty-niškomis raidėmis. Pavyzdžiui, užrašas k = l reiškia, kad kalbame apie tą patį skaičių, pažymėtą skirtingomis raidėmis.

Natūraliuosius ir neneigiamus sveikuosius skaičius paprastai ra-šome dešimtainėje pozicinėje sistemoje, naudodami dešimt skaitmenų: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Pavyzdžiui, užraše 457 dešinysis skaitmuo rodo vienetų skaičių (7), vidurinysis – dešimčių skaičių (5), kairysis – šimtų skaičių (4). Skaitome: keturi šimtai penkiasdešimt septyni.

Dažniausiai naudojamos aritmetinės operacijos aibėje n0, kurių rezultatai taip pat priklauso n0 – tai dviejų skaičių sudėtis ir daugyba. Sakoma, kad tų aritmetinių operacijų atžvilgiu ši aibė yra uždara.

1.1.2. Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis

Neneigiamų sveikųjų skaičių aibėje bet kuriuos du skaičius, tar-kime, k ir l, atitinka skaičius, žymimas k + l ir vadinamas skaičių k ir

8

l suma. Ženklas „ + “, naudojamas sudėčiai žymėti, vadinamas pliuso ženklu. Skaitydami išraišką k + l, sakome „k plius l“. Skaičiai k ir l vadinami dėmenimis, o veiksmas, kuriuo randama suma, – sudėtimi.

Išvardysime savybes, būdingas skaičių sudėčiai. 1o. Perstatymo (komutatyvumo) dėsnis:

k + l = l + k(sukeitus dėmenis vietomis suma nesikeičia).

2o. Jungimo (asociatyvumo) dėsnis:(k + l) + m = k + (l + m).

Skliaustai kairėje lygybės pusėje reiškia, kad pirmiausia sudeda-me k ir l, paskui prie gautos sumos pridedame m, dešinėje lygybės pu-sėje pirmiausia l sudedame su m, o tada pridedame k. Taigi trijų skaičių sumą galima tiesiog užrašyti k + l + m. Šį dėsnį galima apibend rinti bet kurio skaičiaus dėmenų sumai.

3o. Nulio neutralumo dėsnis:k + 0 = k

(k – bet kuris aibės n0 elementas).

1.1.3. Neneigiamų sveikųjų skaičių daugyba

Neneigiamų sveikųjų skaičių sumak + k + ... + k,

sudaryta iš n dėmenų, vadinama skaičių k ir n sandauga ir žymima k · n (arba kn).

Laikysime, kad bet kuriam k iš n0 galioja taisyklės1o. k · 1 = k,2o. k · 0 = 0.Sandaugoje k · 1 skaičiai k ir l vadinami dauginamaisiais, o veiks-

mas, kuriuo apskaičiuojama sandauga, – daugyba.Panašiai kaip ir sudėtis, daugyba pasižymi perstatymo, jungimo ir

vieneto neutralumo dėsniais:1o. k · l = l · k,2o. (k · l) · m = k · (l · m), 3o. k · 1 = k.

9

Be to, neneigiamų skaičių sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (dis-tributyvumo) dėsnis:

4o. (k + l) · m = k · m + l · n.

1.1.4. Neneigiamo sveikojo skaičiaus laipsnis

Tegul k – neneigiamas sveikasis skaičius. Sandaugak · k ·... · k,

sudaryta iš n dauginamųjų, vadinama skaičiaus k n-tuoju laipsniu ir žymima kn. Laikysime, kad

1o. k1 = k,2o. k0 = 1.Skaičius k vadinamas laipsnio kn pagrindu, skaičius n – laips-

nio rodikliu. Veiksmas, kuriuo randamas laipsnis, vadinamas kėlimu laipsniu.

Skaičiaus k antrasis laipsnis k2 vadinamas skaičiaus k kvadratu, trečiasis (k3) – kubu.

Remiantis laipsnio apibrėžimu galima įrodyti, kad3o. km · kn = km + n,4o. (kn)m = knm.Čia k, n, m – bet kurie sveikieji skaičiai.

1.1.5. Neneigiamų sveikųjų skaičių palyginimas

Laikoma, kad nulis yra mažesnis už bet kurį natūralųjį skaičių (t. y. kiekvienas natūralusis skaičius yra didesnis už nulį). Taigi, jei k – natūralusis skaičius, tai 0 < k („nulis mažiau už k“) arba k > 0 („k daugiau už nulį“).

Apibendrinsime skaičių palyginimo sąvoką esant bet kuriems sveikiesiems neneigiamiems skaičiams.

Tarkime, k ir l – bet kurie skirtingi skaičiai iš aibės n0. Tada yra dvi galimybės: arba yra toks vienintelis natūralusis skaičius m, kad k + m = l, arba yra toks vienintelis natūralusis skaičius n, kad l + n = k. Pirmuoju atveju skaičius k vadinamas mažesniu už skaičių l ir rašoma k < l („k mažiau už l“) arba skaičius l vadinamas didesniu už skaičių k ir rašoma l > k („l daugiau už k“).

10

Taigi yra trys bet kurių skaičių k ir l iš aibės n0 galimybės: k < l arba k > l, arba k = l. Aibės, kuriose bet kurie du elementai gali būti palyginti, vadinamos visiškai sutvarkytomis, o nelygybės, susiejančios du skaičius – tvarkos sąryšiais.

Visos skaičių aibės, kurias čia nagrinėsime, bus visiškai sutvarkytos.

1.1.6. Atimties veiksmas ir būtinybė praplėsti sveikųjų neneigiamų skaičių aibę. Sveikieji skaičiai

Kai k ir l – neneigiami sveikieji skaičiai ir k £ l, galima apibrėžti atimties veiksmą (jį žymėsime ženklu „–“ (minus) taip:

l – k = m, čia m – toks sveikasis neneigiamas skaičius, kad

k + m = l.Skaičius l vadinamas turiniu, k – atėminiu, m – skirtumu. Čia svarbu tai, kad toks sveikasis neneigiamas skaičius m šiuo

atveju egzistuoja. Tačiau jei turėsime k > l, tai skirtumas l – k jau ne-bebus sveikasis teigiamas skaičius, taigi aibė n0 nėra uždara atimties atžvilgiu. Norint išvengti tokiose situacijose kylančių nepatogumų, dar senovėje aibę n0 buvo nutarta papildyti sveikaisiais neigiamaisiais (arba priešingaisiais sveikaisiais) skaičiais –1, –2, ... (minus vienas, minus du, ...). Nauja platesnė aibė, kurią sudaro visi neneigiami sveikieji skaičiai, (taigi visi natūralieji skaičiai ir nulis) ir visi neigiami sveikieji skaičiai, yra vadinama sveikųjų skaičių aibe ir žymima simboliu Z. Taigi

Z = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}.Toliau matysime, kad ši aibė yra uždara sudėties, atimties ir dau-

gybos atžvilgiu.

1.1.7. Sveikojo skaičiaus modulis

Sveikojo skaičiaus a modulis | |a apibrėžiamas taip:

aa aa a

a a=

>=

− <

,,,

kaikaikai

000

.

Taigi sveikojo skaičiaus modulis yra sveikasis neneigiamas skaičius.

11

1.1.8. Sveikųjų skaičių sudėtis

Neneigiamų sveikųjų skaičių sudėtis jau aptarta 1.1.2 poskyryje. Dabar apibrėšime sveikųjų skaičių sudėtį visais kitais atvejais.

Jei a ir b – neigiami sveikieji skaičiai, tai jų suma a + b vadinsime neigiamą sveikąjį skaičių, kurio modulis lygus a b+ | |. Taigi šiuo atveju

a b a b+ = − +( )| | .

Jei a ir b – sveikieji skaičiai, a > 0, b < 0 ir | | | |a b> , tai

a b a b+ = − | |.

Jei a ir b – sveikieji skaičiai, a > 0, b < 0 ir | | | |a b< , tai

a b b a+ = − −( )| | .

Jei a – sveikasis skaičius, taia b a a+ = + =0 .

Priešingų sveikųjų skaičių suma lygi nuliui, t. y. a a+ −( ) = 0. Sveikųjų skaičių sudėčiai galioja perstatymo, jungimo ir nulio neutra-lumo dėsniai, visiškai analogiškai tam, kas buvo neneigiamų sveikųjų skaičių atveju.

1.1.9. Sveikųjų skaičių atimtis

Kad ir kokie būtų sveikieji skaičiai a ir b, egzistuoja toks vienin-telis sveikasis skaičius x, kad

a x b+ = .Jis yra vadinamas skaičių b ir a skirtumu ir rašoma

x b a= − .Nesunku įsitikinti, kad

x b a= + −( ),t. y. dviejų skaičių skirtumą galima užrašyti ir tam tikros sumos pavi-dalu.

Iš to, kaip apibrėžiama sudėtis ir atimtis sveikųjų skaičių aibėje Z, matome, kad šių operacijų atžvilgiu aibė Z yra uždara.

12

1.1.10. Sveikųjų skaičių palyginimas

Laikoma, kad nulis yra mažesnis už kiekvieną teigiamą sveikąjį skaičių, o neigiamas sveikasis skaičius laikomas mažesniu už nulį ir kiekvieną teigiamą sveikąjį skaičių. Iš dviejų neigiamų sveikųjų skai-čių mažesniu laikomas tas, kurio modulis didesnis.

Jei a < b, tai laikoma, kad b > a.Galima įsitikinti, kad jei a < b, tai a – b < 0, o jei a > b , tai a – b > 0.

1.1.11. Sveikųjų skaičių daugyba

Neneigiamų sveikųjų skaičių daugybą jau aptarėme 1.1.3 posky-ryje. Apibrėšime sveikųjų skaičių sandaugą visais kitais atvejais.

Jei a < b ir b < 0, taia b a b⋅ = ⋅ | | .

Taigi dviejų neigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius.Jei a < 0, o b > 0 arba a > 0, o b < 0, tai

a b a b⋅ = − ⋅ | | .Jei bent vienas iš dauginamųjų lygus 0, sandauga taip pat lygi 0,

t. y. a a⋅ = = ⋅ =0 0 0 0.

Sveikųjų skaičių daugybai būdingi perstatymo, jungimo ir vieneto neutralumo dėsniai:

1°. a · b = b · a,2°. (a · b) · c = a · (b ·c),3°. a · 1 = a.Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo dėsnis:

a b d a d b d+( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ ,čia a, b, c, d – bet kurie sviekieji skaičiai.

1.1.12. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai

Grįžkime kuriam laikui prie natūraliųjų ir sveikųjų teigiamųjų skaičių nagrinėjimo.

Tarkime n – neneigiamas sveikasis skaičius.

13

Sandaugosn · 1, n · 2, n · 3,…

yra vadinamos skaičiaus n kartotiniais.Pažymėkime visų skaičiaus n kartotinių aibę Kn. Jei m priklauso

aibei Kn, tai yra toks vienintelis natūralusis skaičius x, kadn x m⋅ = .

Tokiu atveju skaičius x vadinamas skaičių m ir n dalmeniu ir žymi-mas m : n, arba m

n, skaičius m – daliniu, skaičius n – dalikliu, o veiksmas,

kuriuo randamas dalmuo, – dalyba. Tada sakoma, kad m dalijasi iš n.Dalybos veiksmą galima apibrėžti taip pat aibėse n0 ir Z, tačiau

pažymėtina, kad dalybos atžvilgiu aibės n, n0 ir Z nėra uždaros: skaičių m ir n dalmuo priklauso vienai iš tų aibių tada ir tik tada, jei m yra n kartotinis, arba jei m = 0, o n ¹ 0 .

Skaičiaus n = 0 visi kartotiniai lygūs 0, todėl, kai m ¹ 0, lygybė 0 · x = m negalima. Iš lygybės 0 · x = 0 vienintelio x nerasime (joje x gali būti bet kuris skaičius). Todėl sakysime, kad dalyba iš nulio negalima.

Jei m = 0, o n ¹ 0, tai mn= 0.

Tarkime, m – natūralusis skaičius. Kadangi m = m · 1, tai nelygus 1 natūralusis skaičius turi bent du daliklius. Natūralusis skaičius, tu-rintis tik du daliklius, vadinamas pirminiu skaičiumi. Natūralusis skai-čius, turintis daugiau kaip du daliklius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi. Pavyzdžiui, 17 – pirminis skaičius, 18 – sudėtinis skaičius. Vienetas nelaikomas nei pirminiu, nei sudėtiniu skaičiumi.

Galima įrodyti, kad kiekvienas natūralusis skaičius yra pirminių skaičių sandauga (į ją pirminiai daugikliai gali įeiti po vieną ar dau-giau kartų). Pavyzdžiui,

360 2 180 2 3 60 2 2 3 30 2 2 2 3 15= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 2 3 3 5 2 3 53 2 .

1.1.13. Bendrieji dalikliai

Kelių natūraliųjų skaičių bendruoju dalikliu vadinamas natūralu-sis skaičius, iš kurio dalijasi visi tie skaičiai.

14

Tam, kad būtų galima rasti didžiausią bendrąjį daliklį, skaičiai skai-domi pirminiais dauginamaisiais. Didžiausias bendrasis daliklis yra visų bendrų pirminių dauginamųjų sandauga. Pavyzdžiui, 360 = 23 ·32 · 5, 75 = 3 · 52, todėl didžiausias bendrasis daliklis yra 3 · 5 = 15.

1.1.14. Bendrieji kartotiniai

Kelių natūraliųjų skaičių bendruoju kartotiniu vadinamas natūra-lusis skaičius, kuris dalijasi iš visų tų skaičių.

Jei reikia rasti kelių skaičių mažiausią bendrąjį kartotinį, skaičiai skaidomi pirminiais daugikliais (dauginamaisiais). Mažiausią bend rąjį kartotinį gausime, sudauginę visų į skaidinius įeinančių pirminių daugi-namųjų aukščiausius laipsnius. Pavyzdžiui, 360 = 23 ·32 ·5, 75 = 3 · 52, to-dėl skaičių 360 ir 75 mažiausias bendrasis kartotinis yra 23 ·32 ·52 = 1800.

1.2. Aritmetiniai veiksmai racionaliųjų skaičių aibėje

Praplėsime sveikųjų skaičių aibę Z iki tokios skaičių aibės, kurio-je dviejų jos elementų a ir b b ≠( )0 , dalybos veiksmo rezultatas visada bus tos aibės elementas. To reikia tam, kad būtų galima skaičiuoti ne tik atskirus daiktus, bet ir jų dalis, taigi atlikti aritmetinius veiksmus ne tik su sveikaisiais skaičiais, bet ir jų dalimis.

1.2.1. Racionalieji skaičiai

Tarkime, m daiktų reikia padalyti į n dalių. Skaičių, reikalingą vienai gautai daliai įvardyti, išreikšime taip:

mn

; čia m ir n – natūralieji skaičiai. Jei natūralusis skaičius m yra natūraliojo skaičiaus n karto-tinis, pavyzdžiui, m = n · k, gausime natūralųjį skaičių k k m

n=

.

Kitais atvejais mn

jau nebus natūralusis skaičius.

Kad apimtume ir nulį, ir neigiamus sveikuosius skaičius, sakysi-me, kad užraše

mn

skaičius m – sveikasis, n – natūralusis. Taip užra-šytus skaičius vadinsime racionaliaisiais skaičiais. Visų racionaliųjų skaičių aibę žymėsime raide Q. Užrašas

mn

vadinamas trupmena (pa-

15

prastąja trupmena), m – trupmenos skaitikliu, n – trupmenos vardikliu. Dažnai ir pati trupmena vadinama racionaliuoju skaičiumi.

Kai m – teigiamas skaičius, racionalusis skaičius a mn

= vadinamas teigiamu, kai m yra neigiamas – neigiamu. Kai m = 0, gauname nulį.

Racionalieji skaičiai mn

ir −mn

vadinami priešingaisiais racio­naliaisiais skaičiais.

1.2.2. Racionaliojo skaičiaus modulis

Racionaliojo skaičiaus a mn

= moduliu vadinamas skaičius

a mn

=| |

. Taigi, kaip ir sveikojo skaičiaus atveju,

aa a

aa a

=

>=

− <

,,,

kaikaikai

00 0

0.

1.2.3. Racionaliųjų skaičių palyginimas

Iš to, kas psakyta, aišku, jog turime laikyti, kad trupmenos mn

ir m kn k⋅⋅

(k – natūralusis skaičius) nusako tą patį racionalųjį skaičių, o

pačios trupmenos lygios:mn

m kn k

=⋅⋅

.

Taip išreiškiama pagrindinė trupmenos savybė: trupmenos skai-tiklį ir vardiklį padauginę iš to paties natūraliojo skaičiaus, gauname trupmeną, lygią pradinei trupmenai.

Kai k > 1, trupmenos mn

keitimas trupmena m kn k⋅⋅

vadinamas trup­

menos plėtimu, trupmenos m kn k⋅⋅

keitimas trupmena mn

– trupmenos prastinimu.

Jei skaičiai | |m ir n turi bendrą daliklį, didesnį už 1, trupmena mn

vadinama suprastinamąja, jei tokio daliklio neturi – nesuprastinamąja.

16

Nagrinėkime trupmenas (racionaliuosius skaičius) mn

ir pq

. Šias

trup menas išplėskime, pakeiskime trupmenomis m qn q⋅⋅

ir p nq n⋅⋅

. Tokios

trup menos vadinamos bendravardiklėmis (kai n ir q turi bend rą dalik lį, di-desnį už 1, bendravardiklių trupmenų vardikliai gali būti mažesni už n · q).

Racionalųjį skaičių a mn

= vadiname lygiu racionaliajam skaičiui

b pqa b= =( ) , kai m q n p⋅ = ⋅ ; mažesniu už b a b<( ) , kai m q n p⋅ < ⋅ ;

didesniu už b a b>( ) , kai m q n p⋅ < ⋅ . Lengva įsitikinti, kad: 1) nulis mažesnis už kiekvieną teigiamą

racionalųjį skaičių; 2) neigiamas racionalusis skaičius mažesnis už kiekvieną teigiamą skaičių ir nulį; 3) iš dviejų neigiamų racionaliųjų skaičių mažesnis yra tas, kurio modulis didesnis.

1.2.4. Racionaliųjų skaičių sudėtis ir atimtis

Racionaliųjų skaičų a mn

= ir b pq

= , arba am qn q

=⋅⋅

ir bp nq n

=⋅⋅

(abu racionaliuosius skaičius išreiškėme bendravardiklėmis trupme-

nomis), suma vadinamas racionalusis skaičius m q n pn q⋅ + ⋅

⋅.

Racionaliųjų skaičių sudėčiai irgi būdingi perstatymo (komutaty-vumo), jungimo (asociatyvumo) ir nulio neutralumo dėsniai:

a b b a a b c a b c a a+ = + +( ) + = + +( ) + =; ; 0(a b c, , – bet kurie racionalieji skaičiai).

Kad ir kurie būtų racionalieji skaičiai a ir b, yra vienintelis racio-nalusis skaičius x, kad

a x b+ = .Jis vadinamas racionaliųjų skaičių b ir a skirtumu ir žymimas

b – a. Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra x b a= + −( ) .

1.2.5. Racionaliųjų skaičių daugyba ir dalyba

Racionaliųjų skaičių a mn

= ir b pq

= sandauga vadinamas racio-nalusis skaičius mp

nq.

17

Racionaliųjų skaičių daugybai irgi būdingi perstatymo (komuta-tyvumo), jungimo (asociatyvumo) ir vieneto neutralumo dėsniai:

a b b a a b c a b c a a⋅ = ⋅ ⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( ) ⋅ =; ; 1(a, b, c – bet kurie racionalieji skaičiai).

Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (distributyvumo) dėsnis:

a b c a c b c+( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ .Racionalieji skaičiai, kurių sandauga lygi vienetui, vadinami vie­

nas kitam atvirkštiniais. Taigi a ir ′a yra vienas kitam atvirkštiniai skaičiai, kai a a⋅ ′ =1.

Kadangi a a⋅ ′ > 0 , tai a ir ′a yra vienodų ženklų skaičiai: kai a > 0, ir ′ >a 0; kai a < 0, ir ′ <a 0 .

Kiekvienas nelygus nuliui racionalusis skaičius amn

= turi atvirkš-

tinį skaičių ′a . Jei amn

= > 0 , tai ′ =a nm

; jei amn

= < 0 , tai ′ =−a nm| |

.

Kadangi lygybė 0 1⋅ ′ =a negalima, tai nuliui atvirkštinio skai-čiaus nėra.

Jei a ir b – racionalieji skaičiai ir b ¹ 0 , tai yra vienintelis racio-nalusis skaičius x, kurį naudojant teisinga lygybė

b x a⋅ = .Jis vadinamas racionaliųjų skaičių a ir b dalmeniu ir žymimas

a b÷ , arba ab

. Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra x a b= ⋅ ′ ; čia

′b – skaičiui b atvirkštinis skaičius.

1.2.6. Dešimtainės trupmenos

Trupmena, kurios vardiklis yra 10 laipsnis, vadinama dešimtaine trupmena. Jos rašomos be vardiklių. Pavyzdžiui,

27891000

2000 700 80 91000

20001000

7001000

801000

91000

=+ + +

= + + + =

= + + + =2 710

8100

91000

2 789, .

18

1.2.7. Periodinės trupmenos

Trupmeną mn

(m ir n – natūralieji skaičiai) dešimtaine trupmena

paverčiame skaitiklį dalydami iš vardiklio. Tačiau to dalijimo dažnai negalima baigti. Ir tuo nesunku įsitikinti. Natūralųjį skaičių m dalijant iš natūraliojo skaičiaus n, kiekvieno etapo liekana yra mažesnė už n, todėl gali būti tik n skirtingų liekanų 0 1 1; ; ;… −( )n . Vadinasi, ne to-lesnė kaip n-toji liekana sutampa su anksčiau gauta liekana, taigi ir dalmenys pradeda kartotis. Vadinasi, trupmeną m

n (m ir n – natūralieji

skaičiai) versdami dešimtaine trupmena, gausime begalinę dešimtainę trupmeną a a a a, , ,1 2 3 , be to, yra tokie natūralieji skaičiai p ir q, kad a ak p k+ = , kai k > q. Tokia dešimtainė trupmena rašoma taip: a a a a aq q q p, 1 1… …( )+ + . Ji vadinama periodine trupmena, skaitmenų grupė a aq q p+ +…( )1 – jos periodu.

Nagrinėdami ir neigiamus racionaliuosius skaičius gauname, kad kiekvieną racionalųjį skaičių galima išreikšti begaline dešimtaine pe-riodine trupmena (trumpiau – periodine trupmena, kai periodas yra 0, turime baigtinę dešimtainę trupmeną).

Galima įrodyti, kad ir atvirkščiai, kiekviena periodinė trupmena išreiškia racionalųjį skaičių.

1.2.8. Racionaliojo skaičiaus sveikoji ir trupmeninė dalis

Didžiausias sveikasis skaičius, ne didesnis už racionalųjį skaičių r, vadinamas racionaliojo skaičiaus r sveikąja dalimi. Žymima taip: r[ ].

Racionaliojo skaičiaus ir jo sveikosios dalies skirtumas vadina-mas racionaliojo skaičiaus trupmenine dalimi. Ji žymima taip: r{ }. Taigi r r r{ } = −[ ] . Racionaliojo skaičiaus trupmeninė dalis visada yra neneigiamas racionalusis skaičius, mažesnis už 1. Sveikojo skaičiaus trupmeninė dalis lygi 0.

Teigiamo racionaliojo skaičiaus r a a a= …, ,1 2 sveikoji dalis r a[ ] = , trupmeninė dalis r a a an{ } = …0 1 2, , , .

Neigiamą racionalųjį skaičių galima rašyti taip:r a a a an= − +( ) + − …( )1 1 0 1 2, , , ,

19

todėl jo r a[ ] = − +( )1 , r a a an{ } = −1 0 1 2, , , , . Prisiminę, kad 1 1 00= …, ir kaip iš dešimtainės trupmenos atimama dešimtainė trup-mena, gauname: jei 1 0 01 2 1 2− …= …, , , , , ,a a b b tai su visais natūraliai-siais i. Taigi laikome, kad 0 9 1,( ) = .

Neigiamą racionalųjį skaičių kartais patogu rašyti taip: r b b b= …, , ;1 2 čia b b r b b r= − = [ ] …={ }, , ,0 1 2 .

1.2.9. Periodinių trupmenų palyginimas

Sakykime, a a a a an= …0 1 2, , , ir b b b b bn= …0 1 2, , – racionalieji skaičiai (periodinės trupmenos) ir a a b b0 0= [ ] = [ ], . Skaičiai a ir b va-dinami lygiais ir rašoma a = b, kai ai = bi su visais sveikais neneigia-mais i. (Čia ir toliau laikoma, kad iš dviejų užrašų c c c cq= …0 1, , ir (9) c = c0, c cq1… ′ (0), ′ = +c cq q 1, pasirenkamas pirmas.)

Kai a b0 0< arba kai a b0 0= , a bk k= iki kurio nors k ir a bk k+ +<1 1, sakoma, kad skaičius a mažesnis už skaičių b ir rašoma a < b. Tada dar sakoma, kad skaičius b didesnis už skaičių a ir rašoma b > a.

1.3. Aritmetiniai veiksmai realiųjų skaičių aibėje1.3.1. Iracionalieji skaičiai

Pasirinkę atkarpų matavimo vienetą (centimetrą, milimetrą ar kitą) ir išmatavę atkarpą, gauname atkarpos ilgį nusakantį tam tikrą skaičių. Nustatoma tik apytikslė atkarpos ilgio reikšmė, nors galime įsivaizduoti ir vis tiksliau išmatuojamą atkarpą. Tai būtų baigtinė de-šimtainė trupmena, taigi racionalusis skaičius.

Pitagoro teorema teikia: stačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus jo statinių kvadratų sumai. Taigi lygiašonio stačiojo trikampio, kurio kiekvieno statinio ilgis lygus 1, įžambinės ilgio kvadratas lygus 2.

Įsitikinsime, jog nėra tokio racionaliojo skaičiaus, kurio kvadra-tas lygus 2. Tarkime, kad m

n – nesuprastinamoji trupmena ir raciona-

liojo skaičiaus kvadratas lygus 2, taigim n2 22= ⋅ ,

todėl m2 dalijasi iš 2. Iš to gauname, kad m dalijasi iš 2 (jei m nesidaly-tų iš 2, tai ir m2 nesidalytų iš 2), taigi m k k= ⋅2 , – sveikasis skaičius.

20

Tada 2 22 2⋅( ) = ⋅k n , n k2 22= ⋅ , vadinasi, n l l= ⋅2 , – sveikasis skai-čius. Iš m k= ⋅2 ir n = 2 išeina, kad m

n – suprastinamoji trupmena.

Tai prieštarauja darytai prielaidai. Taigi tikrai nėra racionaliojo skai-čiaus, kurio kvadratas lygus 2. Darome išvadą: tarus, jog kiekvienos atkarpos ilgis, pasirinkus atkarpų matavimo vienetą, išreiškiamas tik-ru skaičiumi, išeina, kad yra ne tik racionalieji skaičiai.

Sakykime, a2 2= . Kadangi 1 1 22 = < , o 2 4 22 = > , tai 1 2< <a .

Nesunkiai įsitikinsime, kad1 4 1 5, ,< <a a ,

1 41 1 42, ,< <a ,

1 414 1 415, ,< <a ,

1 4142 1 4143, ,< <a

Taigi galime rasti, kiek norima ženklų po kablelio, todėl galime įsi-vaizduoti, kad skaičius a išreiškiamas begaline dešimtaine neperiodine trupmena (jei ji būtų periodinė, tai a būtų racionalusis skaičius).

Skaičiai, išreiškiami begalinėmis dešimtainėmis neperiodinėmis trupmenomis, vadinami iracionaliaisiais skaičiais.

Be iracionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus 2, paminėsime dar vieną iracionalųjį skaičių – apskritimo ilgio ir apskritimo skers-mens santykį π = …3 14159,

Lotynų kalbos žodžio ratio viena iš reikšmių yra santykis. Taigi racionalieji skaičiai yra tie, kuriuos galima išreikšti dviejų sveikųjų skaičių santykiu, iracionalieji – tie, kurie tokiu santykiu neišreiškiami.

1.3.2. Realieji skaičiai

Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sudaro realiųjų skaičių aibę. Ji žymima raide r.

Kiekvieną realųjį skaičių galima išreikšti begaline dešimtaine trup-mena. Kai ta trupmena yra periodinė, turime racionalųjį skaičių.

21

Kai rašome a a a a= …0 1 2, , ir a0– sveikasis neneigiamas skaičius, skaičių a vadiname neneigiamu, skaičių a0 – jo sveikąja dalimi a[ ]( ), skaičių 0 1 2, ,a a – trupmenine dalimi a{ }( ). Skaičius 0 00, yra nu-lis (0).

Kai rašome a a a a= − …0 1 2, , ir a0 – sveikasis neneigiamas skai-čius, skaičių a vadiname neteigiamu, skaičių − +( )a0 1 – jo sveikąja dalimi a[ ]( ), skaičių 0 1 2, ,b b , (a bi i+ = 9� su visais natūraliaisiais i) – trupmenine dalimi a{ }( ). Skaičius − …0 00, irgi yra nulis (0).

Realieji skaičiai a a a a= 0 1 2, , , ir b b b b= …0 1 2, , (a a b b0 0= [ ] = [ ], ) palyginami taip pat kaip ir periodinės trupmenos. Visada arba a = b, arba a < b, arba a > b (teisingas tik vienas iš šių teiginių).

Realieji skaičiai a ir b vadinami vienas kitam priešingais, kai a b a bi i0 0 1 9+ = − + =, su visais natūraliaisiais i (primename, kad 0, (9) = 1). Kai a = a0, (0), b = b0, (0), a ir b yra vienas kitam prieštaringi skaičiai, kai a0 + b0 = 0. Skaičiui a priešingas skaičius žymimas –a.

Realiojo skaičiaus modulis apibrėžiamas taip pat kaip ir raciona-liojo skaičiaus modulis:

aa aa a

=≥

− <

,,kaikai

00

.

Realiojo skaičiaus modulis yra teigiamas skaičius arba nulis, be to, a = 0 tik tada, kai a = 0.

1.3.3. Realiųjų skaičių dešimtainiai artiniai

Realiojo skaičiaus a a a a a a a= … = [ ]0 1 2 3 0, , , ( ), dešimtainiu

arti niu 110n tikslumu su trūkumu vadinamas racionalusis skaičius

′ = … ( ) = …a a a a a a an n n0 1 0 10, , , , , kuris gaunamas skaičiaus a skait-menis, parašytus po an, pakeitus nuliais. Remdamiesi realiųjų skaičių palyginimo taisykle, gauname: ′ ≤a an .

Realiojo skaičiaus a dešimtainiu artiniu 110n tikslumu su pertekliu­

mi vadinamas racionalusis skaičius ′′ = ′ +a an n n110

. Aišku, kad a an< ′′ .

22

1.3.4. Realiųjų skaičių sudėtis ir atimtis

Sakykime, a ir b – realieji skaičiai, ′an ir ′bn bei ′′an ir ′′bn – jų

artiniai 110n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi. Realusis skaičius,

tenkinantis sąlygą ′ + ′ ≤ < ′′ + ′′a b c a bn n n n , yra skaičius c.Kad ir kuris būtų natūralusis skaičius n, jis vadinamas realiųjų

skaičių a ir b suma ir žymimas a b c a b+ = +( ). Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis tą sąlygą.

Realiųjų skaičių sudėčiai būdingi perstatymo (komutatyvumo), jungimo (asociatyvumo) ir nulio neutralumo dėsniai:

a b b a a b c a b c a a+ = + +( ) + = + +( ) + =; ; 0

(a, b, c – bet kurie realieji skaičiai).Kad ir kurie būtų realieji skaičiai a ir b, yra vienintelis realusis

skaičius x, kada + x = b.

Jis vadinamas realiųjų skaičių b ir a skirtumu ir žymimas b – a. Nesunku įsitikinti, kad tas skaičius yra b a+ −( ).

1.3.5. Realiųjų skaičių daugyba ir dalyba

Kad ir kuris būtų natūralusis skaičius n, ′an ir ′bn bei ′′an ir ′′bn –

skaičių a ir b artiniai 110n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi.

Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis nurodytą sąlygą.Kitokių realiųjų skaičių sandauga apibrėžiama kaip sveikųjų skai-

čių sandauga.Realiųjų skaičių daugybai būdingi perstatymo (komutatyvumo),

jungimo (asociatyvumo) ir vieneto neutralumo dėsniai:

ab ba ab c a bc a a= ( ) = ( ) ⋅ =; ; 1

(a, b, c – bet kurie realieji skaičiai).Sudėtį ir daugybą sieja skirstymo (distributyvumo) dėsnis:

a b c ac bc+( ) = + .

23

Kad ir kurie būtų realieji skaičiai a ir b, kai a ¹ 0, yra toks vienin-telis realusis skaičius x, kad

bx a= .Jis vadinamas realiųjų skaičių a ir b dalmeniu ir žymimas a : b

arba ab

.

Kai aa′ =1, skaičiai a ir ′a vadinami vienas kitam atvirkštiniais skaičiais. Nesunku įsitikinti, kad a b a b: �= ⋅ ′.

1.3.6. Realiųjų skaičių aksiomos

Apibrėžę realiuosius skaičius kaip begalines dešimtaines trupme-nas, aptarėme jų veiksmus. Išvardysime pagrindinius teiginius:

1. Kiekvienai skaičių porai a b,( ) galima priskirti po vieną skaičių a + b.

2. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė a b c a b c+( ) + = + +( ).

3. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, teisinga lygybė a b b a+ = + .4. Yra toks skaičius 0, kad a + 0 = a su visais a.5. Kiekvieną skaičių a atitinka toks skaičius –a, kad a a+ −( ) = 0.6. Kiekvienai skaičių porai a b,( ) galima priskirti po vieną

skaičių ab.7. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė ab c a bc( ) = ( ).8. Kad ir kurie būtų skaičiai a, b, teisinga lygybė �ab ba= .9. Yra toks skaičius 1, kad a a⋅ =1 su visais a.10. Kiekvieną skaičių a, išskyrus 0, atitinka toks skaičius ′a , kad

aa′ =1.11. Su bet kuriais skaičiais a, b, c teisinga lygybė

a b c ac bc+( ) = + .12. Skirtingus skaičius galima sujungti ženklu < (mažiau).13. Jei a ir b – skirtingi skaičiai, tai arba a < b, arba b < a.14. Jei a < b ir b < c, tai a < c.15. Jei a < b, o c – bet kuris skaičius, tai a + c < b + c.16. Jei a < b ir 0 < c, tai ac < bc; jei a < b ir c < 0, tai bc < ac.Sakoma, kad skaičius b didesnis už skaičių a, ir rašoma b > a tada

ir tik tada, kai a < b.

24

Kalbėjome apie begalines (turinčias be galo daug skaitmenų po kablelio) dešimtaines trupmenas. Tai atsispindi Archimedo aksiomoje: egzistuoja natūralusis skaičius, didesnis už turimą skaičių.

Remiantis (12–16) savybėmis, galima įrodyti šiuos teiginius:a < b tada ir tik tada, kai a – b < 0;a > b tada ir tik tada, kai a – b > 0;a = b tada ir tik tada, kai a – b = 0.Jais patogu remtis įrodant kitas svarbias nelygybių savybes.

Paminėsime tokias savybes:1. Jei skaičiai a ir b yra abu teigiami arba abu neigiami ir a > b, tai

1 1a b< .

2. Jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d. Iš jos gautume: jei teisingos nelygybės kurį nors dėmenį perkelsime iš vienos jos pusės į kitą ir pakeisime to dėmens ženklą, tai gausime teisingą nely-gybę.

3. Jei a > b, c > d ir a, b, c, d – teigiami skaičiai, tai ac > bd.

1.3.7. Realiojo skaičiaus laipsnis su sveikuoju rodikliu

Jau apibrėžėme teigiamo sveikojo (natūraliojo) skaičiaus laipsnį, kurio rodiklis – neneigiamas sveikasis skaičius, ir nulio laipsnį, kurio rodiklis – teigiamas sveikasis (natūralusis) skaičius.

Sakykime, a – realusis skaičius, n n >( )1 – natūralusis skaičius. Laikysime, kad

a a a a a a a a an = ⋅ ⋅ ⋅…⋅ = = ≠( )1 0 1 0, kai .Išsiaiškinsime, kaip turėtume apibrėžti a–n, kad laipsniams su

sveikaisiais rodikliais būtų būdingos laipsnių su neneigiamais sveikai-siais rodikliais savybės. Tada turėtų būti:

a a a an n n n⋅ = = =− + −( ) 0 1.Vadinasi, skaičius a–n turėtų būti skaičiui an atvirkštinis skaičius.

Todėl laikysime, kada a

an n

n− = ÷ =1 1 .

25

Aišku, kad a ¹ 0 , t. y. nulio laipsnis su neigiamu sveikuoju rodik-liu neapibrėžtas.

Dabar galime įsitikinti, kad realiojo skaičiaus laipsniui su svei-kuoju rodikliu būdingos tokios savybės:

a a a a am n m n m n mn⋅ = ( ) =+ ; .

1.3.8. Aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis

Sakykime, n – natūralusis skaičius, n > 1, a – neneigiamas realu-sis skaičius.

Neneigiamas skaičius x, kurio n-tasis laipsnis lygus a x an� =( ), vadinamas aritmetine n-tojo laipsnio šaknimi iš skaičiaus a. Ji žymi-ma an . Antrojo laipsnio (kvadratinė) šaknis iš skaičiaus a žymima

a , trečiojo laipsnio (kubinė) šaknis žymima a3 .Matematinėje analizėje įrodoma, kad yra vienintelis neneigiamas

skaičius, kurio n-tasis laipsnis lygus neneigiamam skaičiui a.Taigi aritmetinė n-tojo laipsnio šaknis iš neneigiamo skaičiaus a an( ) visada egzistuoja ir yra tik viena.

n-tojo n n∈ >( )n, 1 laipsnio šaknimi iš skaičiaus a vadinamas skaičius, kurio n-tasis laipsnis lygus a.

Jei n = 2k (k – natūralusis skaičius), a ≥ 0 , tai ne tik a an n( ) = , bet ir −( ) =a an n

. Todėl ir tenka išskirti aritmetinę šaknį.Jei n = 2k ir a < 0, tai a t y an k. . 2( ) neegzistuoja (kiekvieno

skaičiaus lyginis laipsnis yra neneigiamas skaičius).Jei n = 2k + 1, a < 0, tai yra vienintelis teigiamas skaičius, ku-

rio 2 1k +( )-asis laipsnis lygus –a. Tas skaičius yra −+ ak2 1 . Tada

− −( ) =+ +a ak k2 1 2 1

. Taigi a ak k2 1 2 1+ += − − . Vadinasi, rašydami ak2 1+ galime laikyti, kad a – bet kuris realusis skaičius, ir nereikia pabrėžti, kad tai aritmetinė šaknis.

1.3.9. Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

Tarę, kad n – natūralusis skaičius, n >1, m – sveikasis skaičius, m ¹ 0, a – bet kuris realusis skaičius ir

26

a a a an nmn mn

1

= =,

a mmn0 1 0 0 0= = >( ), .

Apibrėžiame laipsnį su racionaliuoju rodikliu.Galima įsitikinti, kad taip apibrėžtam laipsniui su racionaliuoju

rodikliu būdingos anksčiau minėtos laipsnių savybės:

a a a a ap q p q p q pq⋅ = ( ) =+ ;� � �

(a – realusis skaičius, p ir q – racionalieji skaičiai; turima galvoje, kad užrašyti laipsniai yra apibrėžti).

1.3.10. Laipsnis su realiuoju rodikliu

Sakykime, a – realusis skaičius, a > 1, a – realusis skaičius, ′αn ir ′′αn – jo artiniai 10–n tikslumu su trūkumu ir su pertekliumi. Skaičius b,

tenkinantis sąlygąa b an n′ ′′≤ <α α

su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n, vadinamas skaičiaus a laips-niu, kurio rodiklis a (rašoma aa). Įrodoma, kad yra tik vienas skaičius, atitinkantis nurodytą sąlygą.

Panašiai apibrėžiamas realiojo skaičiaus a 0 1< <( )a laipsnis, ku-rio rodiklis yra realusis skaičius a.

Taigi apibrėžėme realiojo skaičiaus laipsnį su realiuoju rodikliu. Pagrindinės jo savybės yra:

a a a a aα β α β α β αβ⋅ = ( ) =+ ;� � � � � �

(a, a, b – realieji skaičiai, be to, daroma prielaida, kad užrašyti laips-niai yra apibrėžti).

1.3.11. Aritmetinis ir geometrinis vidurkiai

Realiųjų skaičių a a an1 2, , aritmetiniu vidurkiu vadiname skaičių

ana a an= + +…+( )11 2 .

27

Jei a a an1 2, , , – teigiami realieji skaičiai, galima apibrėžti geo­metrinį jų vidurkį:

a a a ann= ⋅ ⋅…⋅1 2 .

Galima įrodyti, kad teigiamų realiųjų skaičių geometrinis vidurkis visada yra ne didesnis už jų aritmetinį vidurkį, t. y. jei ai > 0, i = 1, ..., n, tai būtinai

a a ana a an

nn1 2 1 2

1⋅ … ≤ + +…+( ).

Kartais reikia aritmetinį vidurkį apibendrinti, t. y. nustatyti vadi-namąjį svertinį vidurkį. Jis apibrėžiamas taip: jei p i ni , , ,= …1 – rea-lieji skaičiai ir, be to, a pi< ≤1, tai jų svertinis vidurkis

anp a p a p ap n n= + +…+( )11 1 2 2 .

1.3.12. Procentai

Viena šimtoji skaičiaus dalis yra vadinama procentu (nuošimčiu),

ji žymima 1 %. Taigi 1 % skaičiaus a yra 1100

⋅a , o p % skaičiaus a yra

1100 100

⋅

⋅ =a p pa .

Sakoma, kad mokami sudėtiniai procentai, kai kiekvienų metų gale pridedamos metinės palūkanos ir kitais metais skaičiuojamos in-dėlio palūkanos kartu su priaugusiomis palūkanomis. Įrodoma, kad a litų indėlio, atiduoto p iš procentų, po n metų virs

A n p n= +

1

100litų (sudėtinių procentų formulė).

Sudėtinių procentų formulė taikoma daugelyje sričių, pavyz-džiui, prognozuojant gyventojų skaičių, bendrąjį šalies produktą ir panašiai.

28

1.4. Pozicinės skaičiavimo sistemos1.4.1. Pozicinės skaičiavimo sistemos sąvoka

Skaičiavimo sistema, arba skaičiuotė, vadinama skaičių įvardiji-mo ir žymėjimo (užrašymo) taisyklių visuma.

Sutartiniai ženklai, kuriais žymymi skaičiai, paprastai vadinami skaitmenimis. Dažniausiai skaičiai užrašomi skaitmenų baigtinių sekų pavidalu. Skaičiavimo sistemos skirstomos į pozicines ir nepozicines atsižvelgiant į tai, ar skaitmenų reikšmės keičiasi priklausomai nuo jų vietos (pozicijos) sekoje. Nepozicinės skaičiavimo sistemos pavyzdys yra romėniškoji sistema.

Sudarant pozicinę skaičiavimo sistemą, pirmiausia pasirenkamas didesnis už vienetą sveikasis skaičius p, toliau vadinamas skaičiavimo sistemos pagrindu. Parenkama p skirtingų ženklų p-tainiams skait-menims žymėti, tarp kurių yra simbolis nuliui pažymėti. Tokių nuo-sekliai išdėstytų p ženklų seka vadinama skaičiavimo sistemos baze. Nustatoma vienareikšmė atitinkamybė tarp p-tainių skaitmenų ir skai­čiavimo sistemos bazės elementų.

Dažniausiai naudojamos pozicinės skaičiavimo sistemos, kurių ba-zės elementai neneigiami arba išdėstyti simetriškai nulio atžvilgiu. Toliau čia nagrinėsime tiktai tuos atvejus, kai bazės elementai neneigiami.

1 pavyzdys. Kasdienėje praktikoje dažniausiai susiduriame su dešimtaine pozicine skaičiavimo sistema. Jos pagrindas lygus dešim-čiai, jos bazė neneigiama, ji sudaryta iš dešimties nuosekliai einančių sveikųjų skaičių pradedant nuliu ir baigiant devyniais. Bazės elemen-tams žymėti naudojami simboliai, vadinami arabiškais skaitmenimis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Realusis skaičius užrašomas p-tainių skaitmenų seka, kab leliu padalinta į du posekius. Jei kiekvienas iš simbolių a a a a a an n m, , , , , , ,− − −… …1 1 0 1 reiškia p-tainį skaitmenį, tai skaičius užrašomas pavidalu

(1) a a a a a an n m, , , , , , ,− − −… …1 1 0 1 .Laikoma, kad pozicijos, kuriose užrašyti sekos (1) skaitmenys,

yra sunumeruotos tokia tvarka: pozicijos, esančios į kairę nuo kable-

29

lio, sunumeruotos skaičiais (numeriais) nulis, vienas, du ir t. t. iš de­šinės į kairę, o pozicijos, esančios į dešinę nuo kablelio, nuosekliai sunumeruotos iš kairės į dešinę skaičiais minus vienas, minus du ir t. t.

Šios sunumeruotos pozicijos vadinamos p­tainiais skaičiaus skait-menimis (skiltimis).

Kiekvieną (1) sekos skaitmenį atitinka apibrėžta reikšmė. Nulinėje skiltyje esančio skaitmens reikšmė yra lygi atitinkamam bazės skaičiui. Tam tikroje skiltyje esantis skaitmuo turi reikšmę, p kartų didesnę už tą, kurią turėtų skiltyje, kurios numeris yra vienetu mažesnis (arba reikšmę, p kartų mažesnę už tą, kurios skilties numeris vienetu didesnis).

(1) pavidalo p­tainių skaitmenų seka reiškia skaičių, lygų jos skaitmenų reikšmių sumai.

Taigi turime:(2) a a a a a a a p a p

a p a a p a pn n m n

nn

n

m

− − − −−

−−

−−

… … = + +…+

+ + + +…+1 1 0 1 1

1

1 0 11

,mm .

Skaičiaus skaitmenų, esančių į kairę nuo kablelio, posekis vadi-namas skaičiaus sveikąja dalimi. Jei skaičiaus sveikąją dalį pakeisime nuliu, liks skaičiaus trupmeninė dalis.

2 pavyzdys. Tarkime, turime dešimtainę skaičiavimo sis-temą, taigi sistemos pagrindas lygus dešimčiai (rašome 10). Skai čiaus 8401,302, suprantamo kaip dešimtainio, reikšmė yra 8 10 4 10 0 10 1 10 3 10 0 10 2 103 2 1 0 1 2 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − .

Neneigiamiems skaičiams rašyti dešimtainėje sistemoje, be skait-menų, dar naudojamas ženklas – (minus), rašomas prieš skaičių. Kai kada prieš teigiamą skaičių rašomas ženklas + (plius).

Skaičių p-tainėje sistemoje sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba atliekama naudojant sudėties, atimties ir daugybos lenteles pagrindi-nių skaičių 0 1, , ,…{ }p aibėje. Iš (2) formulės matyti, kad skaičiaus daugyba iš skaičiavimo sistemos pagrindo p gali būti atliekama perke-liant kablelį per vieną skiltį į dešinę, o dalybą iš p – perkeliant kablelį per vieną skiltį į kairę.

Toliau panagrinėsime kai kurias skaičiavimo sistemas, plačiai naudojamas kompiuterinėse technologijose.

30

1.4.2. Dvejetainė skaičiavimo sistema

Nagrinėsime dvejetainę pozicinę skaičiavimo sistemą su nenei-giama baze. Šioje sistemoje naudojami du skirtingi skaitmenys 0 ir 1. Skaičius „du“ (sistemos pagrindas) rašomas kaip 10. Užrašant neigia-mus skaičius prieš skaitmenų seką dedamas minuso ženklas.

Dvejetainės sudėties, atimties, daugybos ir dalybos lentelės yra labai paprastos.

Sudėtis Atimtis Daugyba0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 × 0 = 00 + 1 = 1 1 – 0 = 0 0 × 1 = 01 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 × 0 = 01 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 × 1 = 1

Naudojantis šiomis lentelėmis dvejetainių skaičių aritmetiniai veiksmai atliekami pagal tas pačias taisykles kaip ir dešimtainės sis-temos atveju.

3 pavyzdys.a) sudėtis b) atimtis c) daugyba d) dalyba

+1100111 01110011 111

1111011 010

,,,

−10110 110110001 1111100 1110

,,,

1100111 110111 011

1100111110111001111101

1100111110 11100111

,,

11101101011110 0101111,

10111001100110010000

.

1.4.3. Aštuntainė skaičiavimo sistema

Aštuntainėje pozicinėje skaičiavimo sistemoje baziniai skaičiai yra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7. Sistemos pagrindas (aštuoni) šioje sistemoje rašomas kaip 10.

Aštuntainės sistemos sudėties ir daugybos lentelės pagal apimtį artimos atitinkamoms lentelėms dešimtainėje sistemoje. Pateiksime, pavyzdžiui, sudėties lentelę:

31

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 100 0 1 2 3 4 5 6 7 101 1 2 3 4 5 6 7 10 112 2 3 4 5 6 7 10 11 123 3 4 5 6 7 10 11 12 134 4 5 6 7 10 11 12 13 145 5 6 7 10 11 12 13 14 156 6 7 10 11 12 13 14 15 167 7 10 11 12 13 14 15 16 17

10 10 11 12 13 14 15 16 17 20

Šią lentelę taip pat galima naudoti kaip atimties lentelę.Aštuntainių skaičių sudėtis ir atimtis atliekama pagal tas pačias

taisykles kaip dešimtainėje ar (kaip matėme) dvejetainėje sistemoje.

4 pavyzdys.a) sudėtis b) atimtis

+327 7110235 67735365 61037

,,,

−11076 01705 62

10170 17

,,,

.

Sudarius aštuntainių skaičių daugybos lentelę (ją sudaryti reko-menduojame skaitytojui), nesunkiai galime atlikti daugybos ir dalybos veiksmus.

c) daugyba

173 26116 351150565562023

13440461732613366 56615

,,

,.

32

1.4.4. Šešioliktainė skaičiavimo sistema

Tarkime, kad nagrinėjamos sistemos bazės elementai – neneigia-mi sveikieji skaičiai nuo nulio iki penkiolikos. Šešioliktainėje siste-moje turi būti šešiolika simbolių tiems skaičiams žymėti, taigi įprasti-nių dešimtainių skaitmenų neužtenka, didesniems nei 9 skaitmenims žymėti reikia įvesti kokius nors papildomus simbolius. Tam tikslui dažnai naudojamos lotyniškos raidės A, B, C, D, E, F. Šešioliktainės sistemos pagrindas rašomas kaip 10. Aritmetiniai veiksmai šešiolik-tainėje sistemoje atliekami naudojant atitinkamas sudėties ir daugybos lenteles.

Pateiksime šešioliktainėje sistemoje parašyto skaičiaus pavyzdį.Tarkime, turime dešimtainį skaičių 453. Naudodami skaičiaus 16

(šešiolika) laipsnius gauname453 1 16 12 16 152= ⋅ + ⋅ + .

Jei laikysime, kad dešimtainį skaičių 12 atitinka simbolis C, o 15 – simbolis F, turėsime lygybę

453 110 16= CF .Šioje lygybėje apatinis indeksas reiškia skaičiavimo sistemos pa-

grindą.

33

2. GEOMETriJOs ELEMEnTAi

Šiame skyriuje trumpai aptarsime kai kurias geometrijos sąvo-kas ir teiginius, būtinus skaičių ir funkcijų geometrinei interpreta-cijai suvokti. Geometriniai vaizdiniai praverčia apibrėžiant kai ku-rias funkcijas (pavyzdžiui, trigonometrines). Jie taip pat reikalingi sprendžiant įvairius praktinius uždavinius (pavyzdžiui, nustatant figūrų plotų, tūrių, kūnų masių ir kitų geometrinių ir fizinių objektų skaitines reikšmes).

Apsiribosime tik pačiais paprasčiausiais dalykais, reikalingais to-liau skaitant šią knygą. Skaitytojui, norinčiam įgyti daugiau geometri-jos žinių, galima rekomenduoti, pavyzdžiui, P. Katiliaus vadovėlį [6]. Pažymėtina, kad kai kurie analizinės geometrijos elementai yra įtrauk-ti į Matematikos studijų modulio programą ir studentai turi galimybę su jais susipažinti pirmojo semestro metu.

2.1. Taškų koordinatės tiesėje2.1.1. Koordinačių tiesė

Tiesėje pasirinkime nesutampančius taškus O ir E. Tarkime, kad atkarpos OE ilgis yra ilgio matavimo vienetas tiesėje.

1 pav. Koordinačių tiesė

Jei M – tiesės taškas, esantis į dešinę nuo taško O, tai atkarpos OM ilgis, išmatuotas matavimo vienetu OE, yra tam tikras teigiamas realusis skaičius a. Jis vadinamas taško M koordinate.

Jei N – tiesės taškas, esantis į kairę nuo taško O, tai atkarpos ON ilgis, išmatuotas vienetu OE, – taip pat teigiamas skaičius b, bet taško N koordinate vadinsime neigiamą skaičių – b.

Laikoma, kad taško O koordinatė yra 0.Tai, kad taško P koordinatė yra skaičius x, trumpai rašoma kaip

P(x).

34

Jei tiesės taškų koordinatės apibrėžtos, tiesė vadinama koordina­čių ašimi (arba koordinačių tiese), taškas O – koordinačių pradžia, spindulys OE – teigiamuoju koordinačių ašies spinduliu (jo kryptis – teigiamąja koordinačių ašies kryptimi (paveiksle ji žymima rodyk-le). Priešinga kryptimi nukreiptas spindulys vadinamas neigiamuoju koor dinačių ašies spinduliu (jo kryptis – neigiamąja koordinačių ašies kryptimi).

Pasirinkus atkarpų matavimo vienetą, kiekvieną teigiamąjį skaičių a atitinka atkarpa, kurios ilgis, išmatuotas tuo vienetu, yra a. Taigi, gali-ma sakyti, kad kiekvieną realųjį skaičių x atitinka koordinačių ašies tam tikras taškas. Kai x > 0, tas taškas yra teigiamojo spindulio taškas, kai x < 0 – neigiamojo spindulio taškas; to taško atstumas nuo koordinačių pradžios lygus | |x . Skaičių 0 atitinka koordinačių pradžia.

Atstumas tarp taškų A X1( ) ir B X2( ) lygus jų koordinačių skir-tumo moduliui.

Taigi nustatėme abipus vienareikšmę atitiktį tarp tiesės taškų ir realiųjų skaičių.

2.1.2. Koordinačių keitimas

1. Tarkime, O m'( ) yra naujoji koordinačių pradžia, taško M seno-ji koordinatė x, naujoji x ' . Tada

′ = −x x m, x x m= ′ + .2. Tarkime, OE ' – naujasis ilgio matavimo vienetas, susietas su

senuoju ilgio vienetu OE lygybeOE kOE′ = .

Jei senoji taško M koordinatė yra x, o naujoji x ' , tai, kadangiOM xOE x kOE x k OE= = ′( ) = ′( ) ,

tai x x k= ′ arba ′ = ⋅xkx1 .

2.1.3. Skaičių intervalai

Kadangi tarp realiųjų skaičių aibės elementų ir tarp tiesės taškų yra abipusė vienareikšmė atitiktis, tai kalbant apie realiuosius skaičius

35

dažnai sakoma, kad jie „yra“ realiosios tiesės R taškai. Paprastai ima-ma, kad koordinačių tiesė yra horizontali, teigiamoji kryptis – iš kairės į dešinę. Todėl, kai a < b, sakoma, kad skaičius (taškas) a yra kai-riau skaičiaus (taško) b, arba skaičius (taškas) b – dešiniau skaičiaus (taško) a. Jei a < b, b < c (kitaip tariant a < b < c) – sakoma, kad skai-čius (taškas) b yra tarp skaičių (taškų) a ir c.

Kai a < b, visi realieji skaičiai, esantys tarp skaičių a ir b, sudaro atvirąjį intervalą. Jis žymimas (a; b).

Prie (a; b) prijungdami skaičius (taškus) a, b, gauname pusatvirį arba uždarąjį intervalą. Taigi realieji skaičiai (tiesės taškai) x sudaro atvirąjį intervalą, jei

a < x < b,pusatvirius intervalus, jei

a x b arba a x b≤ < < ≤� �(žymime atitinkamai a b; )[ arba ( ;a b], uždarąjį intervalą (atkarpą) a b;[ ] , jei a x b£ £ ).

Visais minėtais atvejais skaičiai a ir b vadinami atitinkamo inter­valo galais (kairiuoju ir dešiniuoju). Kiekvienas tų intervalų vadina-mas baigtiniu. Skaičius b – a vadinamas tų intervalų ilgiu.

Visi didesni už a realieji skaičiai sudaro begalinį intervalą a;+∞( ) (dažniausiai rašoma a;∞( ) ), ne mažesni už a – begalinį intervalą a; )∞[ . Analogiškai įvedame intervalus −∞( );a , −∞ ]( ;a .

Visų realiųjų skaičių aibė r (skaičių tiesė) dažnai suprantama ir žymima kaip begalinis intervalas −∞ ∞( ); .

2.2. Taškų koordinatės plokštumoje ir trimatėje erdvėje2.2.1. Dekarto koordinačių sistema plokštumoje

Dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys, turinčios bendrą pra-džią (2 pav.), sudaro plokštumos stačiakampę koordinačių sistemą. Ašis Ox vadinama abscisių ašimi (x-ų ašimi), ašis Oy – ordinačių ašimi (y-ų ašimi), taškas O – koordinačių pradžia. Abscisių ašis dažniausiai yra horizontali ir nukreipta į dešinę, ordinačių ašis – vertikali ir nu-kreipta aukštyn.

36

2 pav. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje

Tarkime, M – bet kuris plokštumos taškas, M1 ir M2 – per jį einan-čių ordinačių ir abscisių ašims lygiagrečių tiesių ir tų ašių susikirtimo taškai (jie dar vadinami taško M projekcijomis koordinačių ašyse). Turėdami kiekvienoje ašyje matavimo vienetus OE1 ir OE2, taškams M1 ir M2 galime priskirti jų koordinates tose ašyse (2 pav.).

Taškų M1 ir M2 koordinatės x ir y vadinamos taško M koordina­tėmis plokštumoje: x – abscise, y – ordinate. Rašoma taip: M x y;( ).

Kai parinkti ašių Ox ir Oy atkarpų matavimo vienetai, dviejų rea-liųjų skaičių porą x y;( ) atitinka vienintelis plokštumos Oxy taškas ir atvirkščiai – kiekvieną plokštumos tašką atitinka vienintelė realiųjų skaičių pora.

Dėl to skaičių poros x y;( ) dažnai vadinamos taškais, o jų aibė – skaičių plokštuma. Ji žymima r2 (skaitoma R du).

Jei ašių Ox ir Oy atkarpų matavimo vienetai lygūs tarpusavyje (OE1 = OE2), koordinačių sistema vadinama stačiakampe Dekarto koor dinačių sistema. Tokioje sistemoje lengva atlikti kai kuriuos veiksmus, pavyzdžiui, apskaičiuoti atstumą tarp dviejų plokštumos taškų. Turime: jei A x y1 1 2,( ) ir A x y2 2 2,( ) – du plokštumos taškai tokiomis koordinatėmis, tai atstumas

A A x x y y1 2 2 12

2 12= −( ) + −( ) .

2.2.2. Polinė koordinačių sistema

Kai kada taškams ir kreivėms plokštumoje aprašyti patogiau naudoti kitas koordinačių sistemas, ne Dekarto stačiakampę sistemą. Tokios sistemos pavyzdys 0 polinė koordinačių sistema.

37

Aprašysime polinę koordinačių sistemą ir jos ryšį su Dekarto sta-čiakampe sistema (3 pav.).

3 pav. Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos ryšys su poline koordinačių sistema

Tarkime, taško M koordinatės Dekarto sistemoje yra (x, y). Ašį Ox pavadinsime poline ašimi, o tašką O – poliumi. Priskirsime taškui M du skaičius ρ ϕ,�( ) (polines koordinates), čia ρ ϕ≥ − < ≤0, Π Π. Taigi: r – atstumas nuo koordinačių sistemos pradžios O iki taško M (kitaip – spindulio vektoriaus OM ilgis), j – kampas, kurį sudaro spindulys OM su Ox ašimi (poline ašimi).

Taigi kiekvienam plokštumos taškui, išskyrus koordinačių pra-džios tašką O, abipus vienareikšmiai priskiriama ankščiau nurodyta skaičių pora (r, j). Taške O turime r = 0, o kampas j neapibrėžtas.

Dekarto stačiakampės taško M koordinatės (x, y) ir jo polinės koor dinatės ρ ϕ,�( ) susijusios lygybėmis:

x y= =ρ ϕ ρ ϕcos , sin ,

ρ ϕ= + = +x y yxk2 2 , arctg Π ,

čia k = 0, jei x ³ 0, k = 1, jei x < 0 ir y > 0 , k = –1, jei x < 0 ir y < 0.

Jei x = 0, y ¹ 0, laikome, kad arctg,

,

yx

y

y=

>

− <

Π

Π2

0

20

jei

jei.

2.2.3. Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje

Geometrines figūras plokštumoje galima išdėstyti ir neturint koor-dinačių sistemos, tačiau tokiu atveju būtų neįmanoma kalbėti apie ats-

38

tumus, ilgius, plotus ir kitas skaitines reikšmes, būtinas norint išsamiai aprašyti geometrinius objektus ir jų tarpusavio padėtį.

Koordinačių sistemos leidžia kiekvienam plokščios geometrinės fi-gūros taškui priskirti skaičių porą (anksčiau matėme, kad tiesės taškui abipus vienareikšmiškai priskiriamas vienas realusis skaičius). Vadinasi, vietoj geometrinių figūrų galime nagrinėti jas atitinkančių skaičių ar skai-čių porų aibes, taigi joms nagrinėti galime pasitelkti aritmetiką, ar, kaip vėliau matysime, algebrą ir matematinę analizę. Kartais tas skaičių aibes pavyksta aprašyti paprastomis formulėmis, susiejančiomis jų elementus. Tokiais atvejais turime patogų geometrinių figūrų aprašymą ir galimybę nesunkiai rasti mus dominančias jų skaitines charakteristikas.

Paprasčiausias geometrinis objektas yra taškas. Kaip jau žinome, tiesėje jį atitinka vienintelis realusis skaičius, priklausantis nuo pasi-rinktos koordinačių pradžios taško ir matavimo vieneto. Plokštumoje taško M(a; b) koordinatės gali būti įvairiai interpretuojamos – tai pri-klauso nuo to, kokią koordinačių sistemą pasirinkome (pvz., stačia-kampę Dekarto, polinę ar kokią kitą). Visada reikia nurodyti, kokią koordinačių sistemą naudojame.

Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje bet kurią tiesę galime aprašyti kaip geometrinę vietą taškų P(x, y), kurių koordinatės tenkina lygtį

ax + by = c,čia a, b ir c – realieji skaičiai (jie vienareikšmiškai nusako tą tiesę). 4 pav. pavaizduota tiesė rašoma lygtimi y = 2x + 1.

4 pav. Tiesė

39

Spindulį (pustiesę) sudaro tiesės, išvestos per kurį nors fiksuo-tą tašką A (pavyzdžiui, koordinačių pradžią) taškai, esantys vienoje pusėje nuo taško A (kairėje arba dešinėje). Tokiu atveju sakoma, kad turime spindulį, išeinantį iš taško A.

Kampas – tai geometrinė figūra, kurią sudaro taškas ir du iš jo išeinantys spinduliai (5 pav.)

5 pav. Kampas

Spinduliai vadinami kampo kraštinėmis, bendra jų pradžia – kam­po viršūne. Kampas, kurio abi kraštinės yra vienoje tiesėje, vadinamas ištiestiniu.

Kampo sąvoka mums bus reikalinga trigonometrinėms funkci-joms įvesti, todėl smulkiau panagrinėsime kampų matavimo vienetus ir atskirus kampų tipus.

Dažnai kampų matavimo vienetu pasirenkamas laipsnis. Laipsnis –

tai kampas, lygus ištiestinio kampo 1180

daliai. Kampas, turintis, pa-

vyzdžiui, 15 laipsnių, žymimas15°. Taigi ištiestinis kampas turi 180°.Smulkesni kampų matavimo vienetai yraminutė (žymima ¢); ′ =1 1

60 laipsnio dalis,

sekundė (žymima ²); ′′ =1 160

minutės dalis.

Kampas, lygus 90°, vadinamas stačiuoju, mažesnis už 90° – smai­liuoju, didesnis už 90°, bet mažesnis už 180°, t. y. didesnis už statųjį kampą, bet mažesnis už ištiestinį kampą – bukuoju.

Be kampo laipsnio mato, vartojamas kampo radianinis matas. Tarkime, iš apskritimo centro išvedame du spindulius – kampo krašti-nes. Kampo kraštinės kirs apskritimą tam tikruose taškuose, tarkime, A ir B. Radianu vadiname tokį kampą, gaunamą, kai apskritimo lanko AB ilgis yra lygus to apskritimo spinduliui. Kadangi ap skri timo, ku-

40

rio spindulys R, ilgis lygus 2PR, tai ištiestinis kampas (180°) turi P radianų (kartais žymima rad, bet parastai šis žymuo praleidžiamas).

Vadinasi, vieno radiano kampo laipsninis matas yra 180 57 18°

≈ °Π

' .

Taigi, 306

° =Π radianų, 45

4° =

Π radianų, 603

° =Π radianų,

902

° =Π

radianų.

Trikampį gauname, jei tris plokštumos taškus A, B ir C, nesančius vienoje tiesėje, poromis sujungiame tiesių atkarpomis (6 pav.).

6 pav. Trikampis

Atkarpas AB, BC, AC vadiname trikampio kraštinėmis, taškus A, B, C – trikampio viršūnėmis, kampus prie atitinkamų viršūnių (juos žymėsime atitinkamai < BAC, < ABC, < BCA) – trikampio kampais.

Iš daugelio sąvokų ir teiginių apie trikampį išskirsime šiuos.Vienos trikampio kraštinės ilgis yra ne didesnis už kitų dviejų šio

trikampio kraštinių sumą.Visų trijų trikampio kampų suma yra lygi 180° (arba P radianų).Stačiojo trikampio (t. y. tokio, kurio vienas kampas lygus 90°,

7 pav.) kraštinių ilgiai a, b, c susieti tokia lygybe:a b c2 2 2+ = .

7 pav. Statusis trikampis

41

(Čia a, b – statųjį kampą ribojančios kraštinės, vadinamos stati­niais, c – likusi trečioji trikampio kraštinė, vadinama įžambine). Šis teiginys vadinamas Pitagoro teorema.

2.2.4. Dekarto koordinačių sistema trimatėje erdvėje

Daugelį natūralių ir technologinių procesų galima aprašyti kaip trimačių objektų būsenų kaitą laiko atžvilgiu. Laikoma, kad mus su-pantys fiziniai kūnai yra trimačiai, plokštumoje apibrėžtos figūros, pvz., trikampių ribojamų taškų aibė (dažnai dėl paprastumo vadina-ma tiesiog trikampiu), skritulys ir pan., – dvimačiai, tiesės interva-lai – vienmačiai, o, tarkime, baigtinė aibė taškų – nulinio matavimo objektai. Apskritai erdvės matavimo (dimensijos) sąvoka yra labai su-dėtinga ir nevienareikšmiška; šiuo metu matematikoje nagrinėjami ir taikomi įvairiausiose srityse sudėtingos struktūros trupmeninio mata­vimo geometriniai dariniai fraktalai.

Trimatėje erdvėje taško padėtį nusako trys skaičiai – jo koordi-natės. Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema gaunama fiksuojant vieną erdvės tašką (koordinačių pradžią) ir išvedant per jį tris viena kitai statmenas, turinčias kryptį koordinačių ašis (tieses) Ox, Oy ir Oz.

Analogiškai, kaip tai atliekama plokštumoje (žr. 2.2.1 skyrelį), bet kurį erdvės tašką M ortogonaliai (statmenai) projektuodami į koordina-čių ašis, gauname tris skaičius x, y ir z, reiškiančius atstumus nuo atitin-kamų projekcijų iki koordinačių pradžios taško O. Taigi taškui M taip priskirsime jo koordinates. Tai žymėsime kaip M(x, y, z).

Taškų aibės erdvėje gali sudaryti įvairių matavimų figūras – pa-viršius, erdvines kreives, diskrečias taškų aibes ar, kaip jau minėjome, fraktalus.

Kuo paprastesnėmis išraiškomis (formulėmis) aprašomi geomet-riniai objektai, tuo lengviau skaičiuoti jų skaitines charakteristikas (pvz., ilgius, plotus ir pan.).

Pateiksime pora geometrinių figūrų trimatėje erdvėje pavyzdžių, kai joms aprašyti užtenka paprasčiausių formulių.

Plokštuma – tai geometrinė vieta erdvės taškų (x, y, z), kurių koor-dinatės susietos lygtimi

42

Ax By Cz D+ + + = 0 .Realieji skaičiai A, B, C, D, jei A B C2 2 2 0+ + ≠ vienareikšmiš-

kai nusako plokštumą (bet ne atvirkščiai! Pagalvokite, kodėl).Tiesę trimatėje erdvėje galima įsivaizduoti kaip dviejų nelygia-

grečių plokštumų susikirtimo liniją. Taigi tiesę sudarančių taškų aibę galima aprašyti tiesinių algebrinių lygčių sistema:

A x B y C z DA x B y C z D1 1 1 1

2 2 2 2

00

+ + + =+ + + =

.

Čia turi būti išpildytos sąlygos:A A C A B C12

12

12

22

22

220 0+ + ≠ + + ≠, ,

be to, sistemos lygtys neturi būti proporcingos, kitaip tariant, nėra to-kio realiojo skaičiaus k, kad būtų teisingos lygybės A1 = kA2, B1 = kB2 C1 = kC2. (Jei toks skaičius egzistuotų, sistema aprašytų dvi lygiagre-čias arba dvi sutampančias plokštumas, o ne tiesę.)

Yra ir kiti būdai gauti tiesės lygtis. Apie tai rašoma kiekviename analizinės geometrijos vadovėlyje.

2.3. Elementariųjų geometrinių figūrų plotų ir tūrių, homogeniškų kūnų masės skaičiavimas

Kaip jau minėjome, laikoma, kad fiziniai kūnai turi tris matavi-mus, ir juos aprašant labai praverčia trimatės erdvės įvaizdis ir toje erdvėje įvesta koordinačių sistema. Tokiu atveju atsiranda galimybė geometrinius objektus aprašyti skaičiais, funkcijomis ir lygtimis, o tai savo ruožtu leidžia apskaičiuoti praktikoje reikalingus geometrinius ir mechaninius dydžius.

Kartais, siekiant sudaryti kuo paprastesnius matematinius mode-lius ir jei tai priimtina, viena, dvi, o kai kada ir visos trys trimačio kūno dimensijos ignoruojamos, tada vietoj trimačio kūno nagrinėjama, pa-vyzdžiui, dvimatė plokštelė, vienmatis strypas ar materialusis taškas.

Dėl to kyla problema, kaip apskaičiuoti vienmačių objektų ilgius, dvimačių – plotus, trimačių – tūrius. Jei tuos dydžius sugebame ap-skaičiuoti, tada lengvai galima rasti, pavyzdžiui, homogeniškų (viena-lyčių) kūnų mases pagal formulę

43

M = r · S,čia M – masė, r – kūno tankis (masės vienetai į tūrio vienetą trima-čiu atveju, masės vienetai į ploto vienetą dvimačiu ir masės vienetai į ilgio vienetą vienmačiu atveju), o S – atsižvelgiant į kūno matavimą (dimensiją) ir suderinus su tankio vienetais, – kūno tūris, plotas arba ilgis.

Apskritai skaičiuoti dydžius S – sunkus uždavinys, jį sprendžiant reikia mokėti taikyti integralinio skaičiavimo metodus bei skaitinio integravimo algoritmus. Paprasčiausiais atvejais, kai fiziniai kūnai modeliuojami elementariosiomis geometrinėmis figūromis, minė-tiems dydžiams skaičiuoti užtenka gana paprastų, vidurinės mokyklos kurse nagrinėjamų formulių. Paminėsime kai kurias iš jų:

intervalo [a; b] ilgis l = b – a,stačiakampio, kurio kraštinės lygios a ir b, plotas S = a · b,spindulio r skritulio plotas S = Pr2, stačiakampio gretasienio, kurio kraštinės lygios a, b ir c, tūris

V = a · b · c ir t. t.Ganėtinai ilgus panašių formulių sąrašus galima rasti formulių

rinkiniuose ir elementariosios matematikos vadovėliuose.

44

3. ALGEBRINĖS LYGTYS IR JŲ SISTEMOS

Šiame skyriuje apžvelgiami kai kurie algebros klausimai: algebrinių reiškinių veiksmai, tapatybių įrodymas, paprasčiausių algebrinių lygčių ir jų sistemų sprendimas. Ši medžiaga būtina studijuojant tiesinę algebrą, vektorių algebrą, matematinę analizę ir kitus matematikos skyrius.

3.1. Algebriniai reiškiniai3.1.1. Skaitinis reiškinys

Skaičius susieję sudėties, atimties, daugybos (kėlimo laipsniu), da-lybos ir šaknies traukimo ženklais ir, kai būtina nurodyti veiksmų atli-kimo eilę, pavartoję skliaustus, gauname skaitinį reiškinį. Pavyzdžiui, 2 3 4 5 7 43 2+ − ⋅ + − – skaitinis reiškinys. Tai sakinio „du plius trys minus keturis kart penki kubu plius kvadratinė šaknis iš septynių minus keturi kvadratu“ sutrumpintas užrašas. Skaičius, gautas atlikus visus nu-rodytus veiksmus, vadinamas skaitinio reiškinio reikšme.

Kad užrašai būtų trumpesni, dažnai apsieinama be kai kurių skliaustų. Priimta tokia reiškiniuose be skliaustų veiksmų atlikimo eilė: pirmiausia, tokia tvarka kokia parašyta, kėlimas laipsniu ir šaknies trau-kimas, paskui – daugyba, galiausiai – sudėtis ir atimtis. Jei reiškinyje yra skliaustų, tai pirma ta pačia tvarka atliekami veiksmai skliaustuose.

3.1.2. Reiškinys su kintamaisiais

Skaitinis reiškinys, kuriame vietoj vieno ar kelių skaičių pa-rašytos raidės, vadinamas reiškiniu su kintamaisiais. Pavyzdžiui, 2 3 5a b c− + yra reiškinys su kintamaisiais a, b ir c. Tai sakinio „du padauginti iš a minus trys padauginti iš bė plius kvadratinė šaknis iš penkių, padauginta iš cė“ sutrumpintas užrašas.

Tarkime, kad, pavyzdžiui, a b c= = − =1 1 5, , . Tai įrašę į minėtą reiškinį, gauname skaitinį reiškinį 2 1 3 1 5 5⋅ − ⋅ −( ) + ⋅ . Jo skaitinė reikšmė 10 yra reiškinio su kintamaisiais skaitinė reikšmė, atitinkanti nurodytas kintamųjų reikšmes.

45

3.2. Lygtys ir tapatybės3.2.1. Lygybės

Du reiškinius sujungę lygybės ženklu, gauname lygybę. Jos pras-mė nėra vienareikšmė. Paaiškinsime pavyzdžiais.

Lygybe 2 + 3 = 5 parašytas teisingas teiginys „du plius trys lygu (yra) penkiems (penki)“.

Lygybe 2 · 2 = 5 parašytas klaidingas teiginys „dukart du lygu (yra) penkiems (penki)“.

Lygybe a + b = 7 (a ir b – kintamieji) parašytu tiesioginiu sakiniu „a plius bė lygu septyniems“ nepasakyta nei tiesa, nei netiesa, taigi šia lygybe teiginys neparašytas. Tačiau: kai a = 2, b = 5, gauname 2 + 5 = 7, taigi teisingą teiginį; kai a = 2, b = 6, gauname 2 + 6 = 7, taigi klaidingą teiginį. Todėl bendruoju atveju sakoma, kad lygybė a + b = 7 yra tik tam tikra teiginio forma (panašiai, kaip dažnai pateikiama teoremos formu-luotės forma „jei..., tai...“).

3.2.2. Lygtys

Lygybė su kintamaisiais vadinama lygtimi. Kintamųjų (jie dar va-dinami nežinomaisiais) reikšmių, su kuriomis lygybė virsta teisingu teiginiu (kurios tenkina lygtį), rinkinys vadinamas tos lygties sprendi­niu. Lygties su vienu kintamuoju sprendinys dažnai vadinamas lygties šaknimi.

Pavyzdžiui: x2 + y = 5 – lygtis su dviem kintamaisiais (x ir y); 2x + 3 = 11 – x – lygtis su vienu kintamuoju.

Kadangi 22 + 1 = 5, tai x = 2, y = 1 (trumpiau – (2; 1)) yra lygties x2 + y = 5 sprendinys. Nesunku patikrinti, kad (–2; 1) (x = –2, y = 1) irgi yra tos lygties sprendinys, o (3; 2) nėra tos lygties sprendinys.

Skaičius x = 83

yra lygties 2 3 11x x+ = − šaknis, nes 2 833⋅ + =

= −11 83

– teisingas teiginys.

Lygties kairiosios ir dešiniosios pusės reiškinių apibrėžimo sričių bendra dalis vadinama lygties apibrėžimo sritimi.

46

3.2.3. Tapatybės

Lygybė, kuri yra teisinga tam tikroje aibėje, vadinama tapatybe toje aibėje. Pavyzdžiui, a + b = b + a, kad ir kurie būtų skaičiai a ir b, todėl tai yra tapatybė realiųjų skaičių aibėje r. Lygybė a a= teisinga tik tada, kai a ≥ 0, todėl tai yra tapatybė neneigiamų realiųjų skaičių aibėje.

Kalbant apie tapatybę aibėje, dažnai sakoma, kad kairiosios ir de-šiniosios jos pusės reiškiniai tapačiai lygūs toje aibėje. Dažnai kalba-ma apie reiškinių tapatųjį lygumą jų apibrėžimo sričių bendroje daly-je, todėl tai atskirai ir nenurodoma. Reiškinio keitimas tapačiai jam lygiu tam tikroje aibėje reiškiniu vadinamas reiškinio tapačiuoju per­tvarkiu toje aibėje.

3.2.4. Lygčių ekvivalentumas

Reiškinio su kintamaisiais apibrėžimo sritį sudaro tie į reiškinį įei-nančių kintamųjų reikšmių rinkiniai, su kuriais reiškinys turi prasmę.

Dvi lygtys, kurių sprendiniai (šaknys) yra vienodi (vienodos), va-dinamos ekvivalenčiosiomis.

Sprendinių (šaknų) neturinčios lygtys irgi laikomos ekvivalenčio-siomis.

Išspręsti lygtį – tai: rasti jos sprendinius (šaknis), kai jų skaičius yra baigtinis; apibūdinti sprendinius (šaknis), kai jų be galo daug; įrodyti, kad lygtis neturi sprendinių (šaknų). Sprendžiant lygtis, daž-niausiai viena lygtis keičiama jai ekvivalenčia lygtimi. Tai grindžiama lygčių ekvivalentumo teoremomis.

1 teorema. Jei lygties vienos arba abiejų pusių reiškinius pakei­sime jiems tapačiais reiškiniais, nepakeisdami lygties apibrėžimo sri­ties, gausime pradinei lygčiai ekvivalenčią lygtį.

2 teorema. Jei prie abiejų lygties pusių pridėsime po tą patį reiš-kinį, nepakeisdami lygties apibrėžimo srities, gausime pradinei lyg­čiai ekvivalenčią lygtį.

Išvada. Jei kurį nors dėmenį iš vienos lygties pusės perkelsime į kitą, pakeisdami ženklą priešingu, tai gausime pradinei lygčiai ekvi-valenčią lygtį.

47

3 teorema. Jei lygties abi puses padauginsime iš jos apibrėžimo srityje apibrėžto nelygaus nuliui reiškinio, gausime turimai lygčiai ekvivalenčią lygtį.

3.2.5. Reiškinių veiksmai

Sakykime, A, B – kurie nors reiškiniai su kintamaisiais x, y, ... , v, apibrėžti kurioje nors aibėje M. Kiekvieną leistiną kintamųjų rinkinį x0, y0, ... , v0 (aibės rinkinį) atitinka skaičiai A0, B0, – reiškinių A, B skaitinės reikšmės. Skaičiai A0 + B0 bei A0, B0 vadinami reiškinių A ir B sumos (žymimos A + B) bei sandaugos (žymimos AB) skaitinėmis reikšmėmis, atitinkančiomis minėtą kintamųjų reikšmių rinkinį. Taip aibėje M apibrėžiame reiškinių su kintamaisiais sumą bei sandaugą. Aišku, kad reiškinių su kintamaisiais sudėčiai bei daugybai būdingos tos pačios savybės kaip ir skaičių sudėčiai bei daugybai: perstatymo, jungimo, skirstymo dėsniai. Galima apibrėžti reiškinių su kintamai-siais sudėčiai ir daugybai atvirkštinius veiksmus: atimtį ir dalybą.

3.2.6. Vienanariai

Reiškinys, kuris yra skaičių ir kintamųjų sandauga, vadinamas vienanariu. (Primename, kad vienodų dauginamųjų sandauga yra laipsnis su natūraliuoju rodikliu.) Pavyzdžiui, 4, a, a4(a · a · a · a),

− = −

⋅ ⋅ ⋅

13

13

2a b a a b – vienanariai.

Kai vienanaris užrašytas kaip skaičiaus ir laipsnių, kurių pagrin-dai yra skirtingi kintamieji, sandauga, turime standartinę vienanario išraišką. Pavyzdžiui 5a3b2 – standartinė vienanario išraiška; 8a3a2b

nėra standartinė vienanario išraiška, jo standartinė išraiška yra 8a5b. Standartinės išraiškos vienanario skaitinis dauginamasis vadina-

mas koeficientu. Pavyzdžiui, vienanarių 2a2b, − 23ab , ab koeficientai

yra 2 231, ,− .

Standartinės išraiškos vienanariai, kurių gali skirtis tik koeficien-tai, vadinami panašiaisiais. Pavyzdžiui, –ab ir ab – panašieji vienana-riai, a2b ir

23

2a b – panašieji vienanariai.

48

Vienanario laipsnis yra skaičius, lygus visų to vienanario kinta-mųjų laipsnio rodiklių sumai. Pavyzdžiui, a2b – trečiojo laipsnio vie-nanaris (2 + 1 = 3), ab – antrojo laipsnio vienanaris, 7 – nulinio laips-nio vienanaris.

3.2.7. Daugianariai

Reiškinys, kuris yra kelių vienanarių suma, vadinamas daugiana­riu. Daugianario dėmenys vadinami daugianario nariais. Pavyzdžiui, 3 + x2 + 2x2 – 4x2 – daugianaris, 3, x2, 2x3, –4x2 – jo nariai. Du nariai (x2 ir –4x2 ) yra panašūs. Remdamiesi daugybos perstatymo, jungimo ir skirstymo dėsniais, gauname:

3 2 4 3 1 4 2 3 3 22 3 2 2 2 2 3+ + − = + −( ) + = − +x x x x x x x .Sutraukę panašiuosius narius, gavome daugianarį, neturintį pa-

našių narių. Toks daugianaris vadinamas standartiniu daugianariu. Jei, sutraukę panašius narius, gauname nulį, turime nulinį daugia­narį.

Vienanaris laikomas atskiru daugianario atveju. Standartinio dau­gianario laipsniu vadinamas aukščiausias daugianario narių laipsnis.

3.2.8. Algebrinės trupmenos

Reiškinys AB

, kurio A ir B yra vieno arba kelių kintamųjų daugiana-

riai, vadinamas algebrine trupmena (toliau – trupmena). Jos api brėžimo sritis – tos kintamųjų reikšmės, su kuriomis daugianario B reikšmės ne-lygios nuliui.

Algebrinės trupmenos AB

ir CD

laikomos lygiomis (tapačiai lygio-

mis), kai AD = BC ir B D¹ ¹0 0, . Kai reiškinių A ir C skaitinės reikšmės, atitinkančios tas pačias kintamųjų reikšmes yra sveikieji skaičiai, reiš-

kinių B ir D skaitinės reikšmės – natūralieji skaičiai, AB

ir CD

reikšmės

yra paprastosios trupmenos. Aišku, kad šiuo atveju čia pateiktas apibrė-žimas sutampa su tuo, kuris buvo pateiktas anksčiau.

49

Nesunku patikrinti, kad, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę iš nelygaus nuliui daugianario, gauname jai lygią trupmeną:

AB

A CB C

C=⋅⋅

≠( )0 .

Trupmenos AB

keitimas trupmena A CB C⋅⋅

vadinamas trupmenos AB

plėtimu, trupmenos A CB C⋅⋅

keitimas trupmena AB

– trupmenos A CB C⋅⋅

prastinimu.

Algebrinių trupmenų veiksmai apibrėžiami analogiškai paprastų-jų trupmenų veiksmams realiųjų skaičių aibėje.

3.2.9. Tapatybių įrodymas

Tapatybės (A = B) dažniausiai įrodomos vienu iš šių būdų.1. Vienas iš reiškinių A ir B tapačiai pertvarkomas tol, kol gauna-

mas kitas iš jų.2. Abu reiškiniai A ir B pertvarkomi tol, kol gaunamas tas pats

reiškinys.3. Įrodoma, kad reiškinių A ir B skirtumas lygus nuliui.4. Tarus, kad lygybė A = B teisinga, ji tapačiai pertvarkoma tol,

kol gaunama akivaizdžiai teisinga lygybė. (Kadangi tapatybę galime laikyti lygtimi, kurios sprendinys yra bet kuris kinta-mųjų leistinųjų reikšmių rinkinys, tai pertvarkant lygybę gali-me taikyti lygčių ekvivalentumo teoremas.)

3.2.10. Algebrinių reiškinių pertvarkymų pavyzdžiai

Pateiksime kelis algebrinių reikšmių skaičiavimo uždavinių pa-vyzdžius.

1. Reikia rasti skaitinio reiškinio

2 75 1 1 313

2 5 0 4 313

57

4 5 2 16

0 375

2 341 5

, : ,

, ,:

, ,

,

+

− ⋅−

+

⋅

−reikšmę.

50

Sprendimas. Norint rasti skaitinio reiškinio reikšmę, reikia atlik-ti nurodytus veiksmus, pirmiausia išsiaiškinus jų atlikimo eilę.

Trupmenos brūkšnys pakeičia dalybos ženklą ir, rašant atitinka-mus reiškinius, apsieinama be skliaustų. Iš čia aišku, kad iš pradžių reikia rasti skaitikliuose ir vardikliuose esančių reiškinių reikšmes.

Apskaičiuodami 2 75 1 1 3132 5 31

3, : , ,+ = + , pirma padalijame,

paskui sudedame:

2 75 1 1 3132 5 31

3, : , ,+ = +

= + = + =2 123132 363 265 56.

Apskaičiuoti 2,75 : 1,1 galima dalijant stulpeliu. Sudėti 2,5 ir 313

reikia paprastosiomis trupmenomis. Darant atvirkščiai, atsirastų perio-dinė trupmena ir atlikti tolesnius veiksmus būtų sunkiau. Suprastinę 510

, trupmenas 12

ir 13

subendravardikliname. Tada atskirai sudedame

sveikąsias dalis ir trupmenines dalis. Toliau skaičiuojame taip:

2 5 0 4 3132 5 4

10103

, , ,− ⋅ = − ⋅

= −⋅⋅

2 5 4 1010 3

,

= − = − =2 12

43

2 12113116;

5 56116

5 6 56

6 16

: :=⋅ + +

= = ⋅ =⋅⋅

=⋅⋅=

35676

35667

35 66 7

5 11 1

5: .

UŽDAVINIAI

4 5 2 16

0 375 4 362 16

3751000

, ,+

⋅ = +

⋅

51

= ⋅ =⋅⋅

=⋅⋅=6 2

338

20 33 8

5 11 2

52;

2 341 5 2 3

4124114

− = − =, ;

52114

5254

5 42 5

1 21 1

2: : ;= =⋅⋅=

⋅⋅=

5 572 5 7

52 1 7

12 5: .− =

⋅− =

⋅− =

Atsakymas: 5.Praktiškai tokio skaitinio reiškinio reikšmė apskaičiuojama grei-

čiau. Čia priminėme pagrindines tokių veiksmų atlikimo taisykles. Daug veiksmų galime atlikti mintinai (taip kai kur daryta jau spren-džiant šį uždavinį).

2. Reikia apskaičiuoti reiškinio

A =− − ⋅

+

2 1125

0 84 6 892 712

512

4 435

7 605 7 123 086

, :

, : ,reikšmę.

Sprendimas.

A =− ⋅ − ⋅

+

2 1125

0 84 6291231

512

14435

1 014 3 086

,

, ,

=− −

=

2 1125

0 84 83127

4 1

,

,

=− ⋅

=−

= =2 1125

0 84 2021

4 12 44 0 84 1

1 644 1

0 4,

,, ,,

,,

, .

Atsakymas: 0,4.

52

3. Reikia apskaičiuoti reiškinį

A =+ −

−+

+

+ −( )−11

2 77

4 2 74

7 2 7112 7

1 71 2

.

Sprendimas. Kadangi7

4 2 74

7 2 7112 7

7 4 2 7

4 2 7

4 7 2 7

7 2 7

11 714

1

2 2

2 2

−−

++ =

+( )− ( )

−

−−( )

− ( )+ = −

113,

tai

A =−( )

− ( )⋅ −

+ − = − − −( ) =

11 2 7

2 7

311

1 7 2 7 1 7 12 2 .

Atsakymas: 1.4. Reikia apskaičiuoti reiškinio x x3 6− skaitinę reikšmę, kai

x = + + −20 14 2 20 14 23 3 .Sprendimas. Atkreipę dėmesį į tai, kad esamoji x reikšmė yra

dviejų reiškinių suma, x3 apskaičiuoti taikome pertvarkytą sumos kubo formulę: a b a b ab a b+( ) = + + +( )3 3 3 3 . Gauname:

x3 3 340 6 20 14 2 20 14 2= + + + −( ),todėl x x3 6 40− = .

Atsakymas: 40.

3.3. Tiesinės lygtys3.3.1. Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju

Tiesine (pirmojo laipsnio) lygtimi su vienu kintamuoju (nežinomuo-ju) vadinama lygtis ax = b; čia a ir b – kurie nors skaičiai, x – kintamasis.

Kai a ¹ 0 , abi lygties puses padauginę iš 1a

(padaliję iš a), randa-me vienintelę jos šaknį x b

a= .

53

Kai a = 0, turime lygtį 0 · x = b.Kad ir koks būtų x, kairėje pusėje gauname 0.Todėl: a) kai b = 0, lygties šaknis yra bet kuris skaičius;b) kai b ¹ 0, lygtis šaknų neturi.

3.3.2. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais

Tiesine (pirmojo laipsnio) lygtimi su dviem kintamaisiais vadina-ma lygtis ax + by = c; čia a, b, c – kurie nors skaičiai, x, y – kintamasis.

1) Kai a ¹ 0, iš lygties randame, kad yabx cb

= − + .

a) Kai a ¹ 0, lygtis turi be galo daug sprendinių: x reikšmę galime pasirinkti laisvai, atitinkamą y reikšmę randame iš gautos lygy-bės. Tie taškai (x; y) sudarytų tiesę. Ji vadinama lygties grafiku. Kai c ¹ 0, ta tiesė neina per koordinačių pradžią, kai c = 0, tiesė eina per koordinačių pradžią.

b) Jei a = 0, lygtis irgi turi be galo daug sprendinių: x – bet kuris skaičius, y c

b= . Lygties grafikas, kai c ¹ 0, yra ašiai 0x lygia-

greti tiesė; kai c = 0, – ašis 0x.2) Jei b = 0, turime lygtį ax y c+ ⋅ =0 .

a) Jei a ¹ 0, tai x ca

= . Lygtis turi be galo daug sprendinių: x ca

= ,

y – bet kuris skaičius. Jos grafikas, kai c ¹ 0, yra ašiai 0y lygia-greti tiesė (8 pav., d); kai c = 0, ašis 0y.

b) Jei a = 0, turime lygtį 0 0⋅ + ⋅ =x y c.Jei c ¹ 0, lygtis neturi sprendinių.Jei c = 0, lygtis turi be galo daug sprendinių: ir x, ir y – bet kurie

skaičiai. Jos grafikas – visa plokštuma.

3.4. Kvadratinės lygtys3.4.1. Kvadratinės lygties šaknų formulė

Kvadratine lygtimi vadinama lygtis ax bx c2 0+ + = ; čia a, b, c – kurie nors skaičiai, a ¹ 0, x – kintamasis.

54

Abi lygties puses padalykime iš a ir išskirkime dvinario kvadratą. Gausime:

x bax ca

x bax b

aba

c2 22 2

0 22 2 2

0+ + = + +

−

+ =;

arbax b

ab aca

+

=

−2

44

2 2

2 .

Reiškinys b2 – 4ac vadinamas kvadratinės lygties diskriminantu. Pažymėkime jį raide D. Gausime lygtį:

x ba

Da

+

=

2 4

2

2 .

Jei D ≥ 0, tai

x ba

Da

x b Da

+ =±

=− ±

2 2 2; .

Jei D > 0, lygtis turi dvi šaknis.Jei D = 0, x b

a= −

2, taigi lygtis turi vieną šaknį. Kartais sakoma,

kad lygtis turi dvi lygias šaknis: x x ba1 2 2

= = − .

Jei D < 0, lygtis neturi šaknų (jokio realiojo skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas skaičius).

3.4.2. Atskiri kvadratinės lygties atvejai

1. Jei b = 2b1, turime lygtį ax b x c212 0+ + = . Iš kvadratinės lyg-

ties šaknų formulės gauname:

xb b ac

a=− ± ( ) −2 2 4

21 1

2

,

t. y.:

xb b ac

a=− ± −1 1

2.

Aišku, kad tokia lygtis turi šaknų tik tada, kai D b ac4

012= − ≥ .

2. Jei c = 0, turime lygtį ax bx2 0+ = . Ją paprasčiau spręsti, kai-riąją pusę suskaidžius dauginamaisiais. Gauname:

55

x ax b x ax b+( ) = = + =0 0 0; arba .

Taigi lygties šaknys yra: x x ba1 20= = −, .

3.4.3. Vieto teorema

Kvadratinės lygties ax bx c2 0+ + = , kurios D ≥ 0 , šaknų suma lygi − b

a, sandauga lygi c

a, t. y. x x b

ax x c

a1 2 1 2+ = − =, .

Nagrinėjamu atveju lygties šaknys yra

x b Da

x b Da

D b ac1 22

2 24=

− −=− +

= −, , ,

taigi, norint įrodyti teoremą, užtenka apskaičiuoti x1 + x2 ir x1x2.Jei a = 1, turime lygtį x bx c2 0+ + = (ji vadinama redukuotąja

kvadratine lygtimi). Jos šaknys ir koeficientai susiję paprasčiau: šaknų suma x1 + x2 = –b, sandauga x1x2 = c.

Teisingas ir šiam teiginiui atvirkščias teiginys, kuriuo dažnai tenka remtis: jei lygties x2 + bx + c = 0 koeficientai yra b = m + n ir c = mn, tai skaičiai m ir n ir yra tos lygties šaknys. Tuomet x bx c2 + + = = − +( ) + = − − + = −( ) − −( ) =x m n x mn x mx nx mn x x m n x m2 2

= −( ) −( )x m x n , ir iš x m x n−( ) −( ) = 0 gauname lygties šaknis: x m x n1 2= =, .

3.4.4. Kvadratinio trinario skaidymas

Daugianario su vienu kintamuoju šaknimi vadinama kintamojo reikšmė, su kuria daugianario reikšmė lygi nuliui. Iš čia gauname, kad daugianario ax2 + bx + c (jis vadinamas kvadratiniu trinariu) šaknys yra kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 šaknys. Vadinasi, kvadratinis trinaris šaknų turi tik tada, kai tos kvadratinės lygties diskriminan-tas (jis vadinamas ir kvadratinio trinario diskriminantu) neneigiamas: D b ac= − ≥2 4 0.

Sakykime, x1 ir x2 – kvadratinio trinario šaknys. Remdamiesi Vieto teorema, turime, kad x x b

a1 2+ = − , x x ca1 2 = , todėl b a x x= − +( )1 2 ,

c ax x ax bx c ax a x x x ax x a x x x x= + + = − +( ) + = −( ) −( )1 22 2

1 2 1 2 1 2, .

56

Jei D = 0, tai x1 = x2, taigi kvadratinio trinario skaidinys yra toks: ax bx c a x x2

12+ + = −( ) .

3.5. Lygčių sistemos3.5.1. Lygčių sistema

Kad būtų konkrečiau, nagrinėkime lygtis su dviem kintamaisiais (x ir y). Sakykime, turime dvi (gali būti ir daugiau) lygtis (lygybes su kinta-maisiais). Kai reikia rasti visus kintamųjų reikšmių, su kuriomis tenko-nama kiekviena sistemos lygtis), rinkinius, sakoma, kad reikia išspręsti lygčių sistemą. Kintamųjų reikšmių rinkinys, tenkinantis kiekvieną siste-mos lygtį, vadinamas lygčių sistemos sprendiniu. Pavyzdžiui, x = 2, y = 3, arba (2; 3), yra lygčių sistemos

x xy yx y+ = ++ − =

2 112 1 7

sprendinys, nes 2 + 2 · 2 · 3 = 3 + 11 – teisingas teiginys ir 2 + 2 · 3 – 1 = 7 – teisingas teiginys.

Aišku, kad lygčių sistemos sprendinių aibė yra sistemą sudaran-čių lygčių sprendinių aibių sankirta (bendroji dalis).

3.5.2. Lygčių sistemų ekvivalentumas

Lygčių sistemos, kurių sprendiniai vienodi (sprendinių aibės sutampa), vadinamos ekvivalenčiosiomis. Sprendžiant lygčių siste-mą, stengiamasi ją pakeisti paprastesne, jai ekvivalenčia, sistema. Remiamasi lygčių sistemų ekvivalentumo teoremomis.

1 teorema. Pakeitę sistemos lygtį jai ekvivalenčia lygtimi, gauna­me pradinei sistemai ekvivalenčią sistemą.

2 teorema. Lygčių sistemaf x yg x y

,,

( ) =( ) =

00

yra ekvivalenti sistemaif x y

bg x y af x y, ,

, , ,( ) =

( ) + ( ) =

00

kai b ¹ 0.

57

3 teorema. Lygčių sistemosy f xg x y= ( )( ) =

, 0ir

y f xg x f x

= ( )( )( ) =

,, 0

yra ekvivalenčios.

3.5.3. Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema

Panagrinėkime lygčių sistemą

(1) a x b y ca x b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =

su kintamaisiais x ir y, kurios kiekvienos lygties nors vieno kintamojo koeficientas nelygus nuliui.

Keitimo būdas. Sakykime, b1 0¹ . Tada nagrinėjama sistema ekvi-valenti sistemai (žr. lygčių ekvivalentumo 2 ir 3 teoremas bei lygčių sistemų ekvivalentumo 1 ir 3 teoremas):

y abx cb

a x b abx cb

c

= − +

+ − +

=

1

1

1

1

2 21

1

1

12

,

,

arba

(2) y a

bx cb

a b a b x c b c b

= − +

−( ) = −

1

1

1

1

1 2 2 1 1 1 2 1

,

.

Iš čia gauname:a) jei a b a b1 2 2 1 0− ≠ , tai iš (2) sistemos antros lygties randame

vienintelę tą lygtį tenkinančią x reikšmę; tada iš pirmos lygties randame vienintelę ją atitinkančią y reikšmę; taigi (2) lygčių sistema (vadinasi, ir (1) turi vienintelį sprendinį;

b) jei a b a b1 2 2 1 0− = , c b c b1 2 2 1 0− ≠ , tai jokia x reikšmė netenki-na (2) sistemos antros lygties, todėl (2) lygčių sistema (vadina-si, ir (1) neturi nė vieno sprendinio;

58

c) jei a b a b1 2 2 1 0− = , c b c b1 2 2 1 0− = , tai kiekviena x reikšmė tenkina (2) sistemos antrą lygtį; iš pirmos lygties randame ati-tinkamą y reikšmę; taigi (2) lygčių sistema (vadinasi, ir (1) turi be galo daug sprendinių.

Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais sprendinių aibė yra tie-sė, todėl dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sprendimas yra dviejų tiesių bendro taško ieškojimas. Minėti trys atvejai atitinka to-kias dviejų plokštumos tiesių tarpusavio padėtis: a) tiesės susikerta; b) tiesės yra lygiagrečios; c) tiesės sutampa.

Grafinis sprendimas. Kiekvienos lygties sprendinius laikome plokštumos taškų koordinatėmis. Radę po du sistemos kiekvienos lyg-ties sprendinius ir atitinkamus taškus pažymėję koordinačių plokštu-moje, brėžiame dvi tieses – lygčių sprendinių aibes. Tų tiesinių bendro taško (jei jis yra) koordinatės (iš paveikslo dažniausiai randamos jų apytikslės reikšmės) yra lygčių sistemos sprendinys.

Sudėties būdas. Spręsdami (1) lygčių sistemą keitimo būdu, į ant-rą lygtį įrašėme y, rastą iš pirmos lygties. Taip iš antros lygties pašali-nome (eliminavome) kintamąjį. Tai galima padaryti ir kitaip – taikant 2 teoremą. Aišku, kad taip daryti galima tada, kai nė vienas iš koefi-cientų a b a b1 1 2 2, , , nelygus nuliui. Tada (1) sistema ekvivalenti, pa-vyzdžiui, tokiai sistemai:

a x b y cb a x b y b a x b y c b c b

1 1 1

2 1 1 1 2 2 1 2 2 1

+ =+( ) + −( ) +( ) = + −( )

,

arbaa x b y c

a b a b x c b c b1 1 1

1 2 2 1 1 2 2 1

+ =−( ) = −

;

čia antra lygtis gauta (1) sistemos pirmos lygties abi puses padauginus iš b2, antros – iš −( )b1 ir gautas lygtis panariui sudėjus. Pastaba. Gautus rezultatus galima suformuluoti taip. Lygybę a b a b1 2 2 1 0− = galime pakeisti lygybe

aa

bb

1

2

1

2=

59

(skaičiai a1 ir b1 proporcingi skaičiams a2 ir b2, todėl, jei, pavyzdžiui, a2 = 0 (tada b2 ¹ 0), tai ir a1 = 0), ir atvirkščiai.

Taigi: a) jei aa

bb

1

2

1

2¹ ,

tai (1) lygčių sistema turi vienintelį sprendinį (tiesės susikerta); b) jei a

abb

cc

1

2

1

2

1

2= ≠ ,

tai (1) lygčių sistema neturi sprendinių (tiesės yra lygiagrečios);c) jei a

abb

cc

1

2

1

2

1

2= = ,

tai (1) lygčių sistema turi be galo daug sprendinių (tiesės sutampa).

60

4. FunKCiJOs

Funkcijos sąvoka yra viena svarbiausių matematikoje. Iš tik rųjų su funkcijomis jau susidūrėme ir 3-iajame šios knygelės sky riuje: tie-sinis dvinaris ir kvadratinis trinaris yra ne kas kita kaip paprasčiau-sios algebrinės vieno argumento x funkcijos. Toliau čia pateikiami apibrėžimai, teiginiai ir pavyzdžiai siekiant apžvelgti pagrindines elementariąsias funkcijas ir padėti pasirengti studijuoti matematinės analizės kursą.

4.1. Funkcijos sąvoka

Kai kintamojo x reikšmę atitinka vienintelė kintamojo y reikš-mė, sakoma, kad y yra x funkcija ir dažniausiai rašoma y f x= ( ). Kintamasis x vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju arba argumen­tu, y – priklausomuoju kintamuoju.

Visos reikšmės, kurias įgyja nepriklausomasis, sudaro funkcijos f apibrėžimo sritį. Ji žymima D f( ).

Priklausomojo kintamojo reikšmės vadinamos funkcijos reikš­mėmis. Visos funkcijos reikšmės sudaro funkcijos f reikšmių aibę. Ji žymima E f( ).

Toliau laikysime, kad ir nepriklausomojo, ir priklausomojo kinta-mojo reikšmės yra skaičiai, t. y. nagrinėsime skaitines skaitinio argu­mento funkcijas.

4.1.1. Funkcijos nusakymas skaičių poromis bei lentele

Vienas funkcijos nusakymo būdų – surašyti skaičių poras, kurių pirmas skaičius – argumento reikšmė, antras – jį atitinkanti funkcijos reikšmė. Pavyzdžiui, jei skaičius –2, –1, 0, 1, 2 atitinka skaičiai 4, 1, 0, 1, 4, tai tą funkciją f galima nusakyti tokiomis skaičių poromis: −( ) −( ) ( ) ( ) ( )2 4 1 1 0 0 1 1 2 4; , ; , ; , ; , ; . Tos funkcijos apibrėžimo sritis D f( ) = − −{ }2 1 0 1 2; ; ; ; , reikšmių aibė E f( ) = { }0 1 4; ; .

Minėtą funkciją galima nusakyti lentele, pavyzdžiui, į vieną eilu-tę surašant reikšmes, į kitą – atitinkamas reikšmes.

61

x –2 –1 0 1 2y 4 1 0 1 4

Galimos ir kitokios lentelės. Pavyzdžiui, dviženklių skaičių kvad-ratų lentelės dalis tokia.

Dešimtys Vienetai0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2

100 400

121 441

144 484

169 529

196 576

225 625

256 676

289 729

324 784

361 841

4.1.2. Funkcijos nusakymas formule

Skaitinė funkcija dažnai nusakoma formule – matematiniais ženk-lais parašytu sakiniu su kintamaisiais. Pavyzdžiui, formulė

y xx

x=−−

< <12

1 2, ,

nusako y kaip x funkciją, nes pagal tą formulę galima rasti kiekvieną x reikšmę (iš nurodyto intervalo), atitinkančią y reikšmę (vienintelę). Funkcijos apibrėžimo sritis – intervalas 1 2;( ).

Funkciją nusakant formule y f x= ( ) , jos apibrėžimo sritis daž-nai atskirai nenurodoma. Tada funkcijos apibrėžimo sritimi laikoma reiškinio f x( ) apibrėžimo sritis. Pavyzdžiui, funkcijos y

xx

=−−12

apibrėžimo sritį sudaro visi skaičiai, išskyrus 2 2x ≠( ) ; funkcijos y x= −1 apibrėžimo sritis – begalinis intervalas 1 1;∞) ≥( )x .

Kai funkcija nusakyta formule, irgi dažnai tenka sudaryti argu-mento reikšmių ir jas atitinkančių funkcijos reikšmių lentelę. Kadangi neretai argumentas gali įgyti be galo daug reikšmių, tai lentelėje išvardijamos ne visos atitinkamų skaičių poros.

4.1.3. Funkcijos grafikas

Funkcijos grafiką sudaro koordinačių plokštumos taškai, kurių abscisės yra argumento reikšmės, ordinatės – atitinkamos funkcijos reikšmės.

62

Tarkime, funkcijos

− → − → → →2 4 1 1 0 1 1 2 4, , , ,grafiką sudaro taškai

−( ) −( ) ( ) ( ) ( )2 4 1 1 0 0 1 1 2 4; , ; , ; , ; ;ir .

Pavyzdžiui, funkcijos y = x2 grafiko dalis pavaizduota 8 pav. Tai – parabolės lankas.

8 pav. Funkcijos y = x2 grafikas-parabolė

Elementariųjų funkcijų grafikai pateikiami vidurinės mokyklos vadovėliuose ir daugelyje aukštosios matematikos vadovėlių. Kai ku-riuos iš jų paminėsime tolesniuose skyreliuose.

4.1.4. Funkcijos monotoniškumas

Funkcija y f x= ( ) vadinama didėjančiąja intervale a b;( ), kai, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius x1 ir x2, iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f x f x2 1( ) > ( ) . Kai iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f x f x2 1( ) ≥ ( ), funkcija vadinama nemažėjančiąja.

Funkcija y f x= ( ) vadinama mažėjančiąja intervale a b;( ), kai, pasirinkus du bet kuriuos to intervalo skaičius x1 ir x2, iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f x f x2 1( ) < ( ). Kai iš nelygybės x2 > x1 išplaukia nelygybė f x f x2 1( ) ≤ ( ), funkcija vadinama nedidėjančiąja.

Kaip pavyzdį išnagrinėkime funkciją y = x2 (jos apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė r). Kadangi x x x x x x2

212

2 1 2 1− = −( ) +( ) ir

63

iš x2 > x1 gauname x2 – x1 > 0, tai x x22

12− ženklas sutampa su žen-

klu. Tačiau suma x2 + x1 su visomis x reikšmėmis x1 ir x2 iš intervalo teigiama tada ir tik tada, kai x1 ir x2 teigiami, neigiama – kai x1 ir x2

neigiami. Vadinasi, funkcija y = x2 yra didėjanti intervale 0;∞( ) , ma-žėjanti intervale −∞( );0 .

Tik didėjanti arba tik mažėjanti intervale funkcija vadinama mo­notonine funkcija, o intervalas – funkcijos monotoniškumo intervalu.

4.1.5. Funkcijos aprėžtumas

Funkcija f x( ) vadinama iš viršaus aprėžta intervale (a; b), kai jos reikšmės f x( ) nėra didesnės už kurį nors skaičių M f x M: ( ) ≤ , kai a < x < b. Skaičius M vadinamas funkcijos f x( ) viršutiniu rėžiu intervale (a; b).

Funkcija f x( ) vadinama iš apačios aprėžta intervale (a; b), kai jos reikšmės f x( ) nėra mažesnės už kurį nors skaičių m: f x m( ) ≥ , kai a < x < b. Skaičius m vadinamas funkcijos f x( ) apatiniu rėžiu intervale (a; b).

Funkcija, kuri kuriame nors intervale yra ir iš viršaus, ir iš apačios aprėžta, vadinama tame intervale aprėžtąja funkcija.

Išnagrinėkime, pavyzdžiui, funkciją yx

=+122 . Jos apibrėžimo

sritis – visų realiųjų skaičių aibė r.

Kadangi yx

=+

>1202 , kai −∞ < < ∞x , tai ta funkcija yra ap-

rėžta iš apačios.

Kadangi 12

12 2 2

02

2

2−

+=

+( )≥

xx

x, kai −∞ < < ∞x , tai

12

122x +

≤ , kai −∞ < < ∞x , taigi nagrinėjama funkcija yra aprėžta

iš viršaus.Kadangi funkcija y

x=

+122

aprėžta ir iš apačios, ir iš viršaus, tai ji yra aprėžtoji funkcija.

64

Intervale 0;∞( ) ji mažėja (nes

12

12 2 2

022

12

1 2 1 2

12

22x x

x x x xx x+

−+

=+( ) −( )+( ) +( )

< ,

kai x x2 1>( ) , intervale −∞( );0 – didėja.

4.1.6. Lyginės ir nelyginės funkcijos

Lygine funkcija y f x= ( ) vadinama funkcija y f x= ( ), kurios apibrėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir –x, be to, teisinga lygybė f x f x−( ) = ( ).

Funkcijos y = x2 apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė r, todėl kartu su kiekviena leistina kintamojo x reikšme reikšmė –x irgi priklauso apibrėžimo sričiai. Kadangi −( ) =x x2 2 , tai funkcija y x= 2 yra lyginė.

Sakykime, y f x= ( ) – lyginė funkcija x D f0 ∈ ( ) . Tada jos gra-fikui priklauso taškai x f x0 0; ( )( ) ir − ( )( )x f x0 0; . Jie simetriški Oy ašies atžvilgiu. Vadinasi, lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies Oy atžvilgiu. Tai supaprastina lyginės funkcijos grafiko braižy-mą: nubraižę jos grafiką, atitinkantį, pavyzdžiui, neneigiamas x reikš-mes, braižome jam simetrišką Oy ašies atžvilgiu dalį.

Nelygine funkcija vadinama funkcija y f x= ( ), kurios api-brėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir –x, be to, teisinga lygybė f x f x−( ) = − ( ).

Funkcijos y = x3 apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė r, todėl kartu su kiekviena leistina kintamojo x reikšme reikšmė –x irgi priklauso apibrėžimo sričiai. Kadangi −( ) = −x x3 3, tai funkcija y = x3 yra nelyginė.

Sakykime, y f x= ( ) – nelyginė funkcija, x D f0 ∈ ( ) . Tada jos grafikui priklauso taškai ir x f x0 0;− ( )( ), ir − − ( )( )x f x0 0; . Jie simet riški koordinačių pradžios taško O 0 0;( ) atžvilgiu. Vadinasi, nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško O atžvilgiu. Tai supaprastina nelyginės funkcijos grafiko brai-žymą: nubraižę jos grafiką, atitinkantį, pavyzdžiui, neneigiamas

65

x reikšmes, braižome jam simetrišką koordinačių pradžios taško O atžvilgiu dalį.

4.1.7. Periodinės funkcijos

Periodine funkcija vadinama funkcija y f x= ( ) , kurios api-brėžimo sričiai priklauso ne tik x, bet ir x – T bei x + T (T ¹ 0), ir f x T f x+( ) = ( ), kad ir koks būtų x. Skaičius T vadinamas tos funk­cijos periodu. Aišku, kad tada ir kiekvienas skaičius nT (n – sveikasis skaičius n ¹ 0) yra tos funkcijos periodas.

4.1.8. Viena kitai atvirkštinės funkcijos

Sakykime, y f x= ( ) yra aibėje D apibrėžta funkcija, kurios reikšmių aibė E. Tarkime, kiekvienas skaičius y E∈ atitinka tik vieną skaičių x, tenkinantį sąlygą f x y( ) = . Tada aibėje E galima apibrėžti funkciją x g y= ( ), laikant, kad skaičių y E∈ atitinka tas skaičius x, su kuriuo f x y( ) = . Funkcija x g y= ( ) vadinama funkcijai y f x= ( ) atvirkštine funkcija. Aišku, kad funkcijai g atvirkštinė funkcija yra f, todėl funkcijos f ir g vadinamos viena kitai (tarpusavy) atvirkštinėmis funkcijomis.

Sakykime, y f x x x= ( ) = ≥2 0, . Tada kiekviena y reikšmė atitin-ka vienintelę x reikšmę: x y= . Taigi šiuo atveju x g y y= ( ) = yra funkcijai y f x x x= ( ) = ≥2 0, , atvirkštinė funkcija (jos yra viena kitai atvirkštinės funkcijos).

Kadangi nepriklausomas kintamasis dažniausiai žymimas raide x, priklausomas – raide y, tai ir funkcijai y f x= ( ) atvirkštinė funkci-ja dažniausiai rašoma lygybe y g x= ( ). Tada, jei (a; b) yra funkci-jos y f x= ( ) grafiko taškas, tai (b; a) yra jai atvirkštinės funkcijos y g x= ( ) taškas. Tie taškai yra simetriški tiesės y = x, I ir III ketvirčių kampus dalijančios pusiau, atžvilgiu.

Vadinasi, viena kitai atvirkštinių funkcijų y f x= ( ) ir y g x= ( ) grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu. Tai palengvina viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikų braižymą: nubraižę vienos funkcijos gra-fiką, braižome jam simetrišką grafiką.

66

4.1.9. Sudėtinės funkcijos

Sakykime, funkcija u g x= ( ) apibrėžta aibėje X, o jos reikšmių aibėje u apibrėžta funkcija y f u= ( ). Tada aibėje X apibrėžta sudėti­nė funkcija y f u= ( ), arba y f g x= ( )( ) .

Išnagrinėkime, pavyzdžiui, funkciją y x x= − +2 3 2 . Tai sudė-tinė funkcija. Čia u g x x x= ( ) = − +2 3 2, y u g x= = ( ) . Funkcija y yra apibrėžta su tomis x reikšmėmis, su kuriomis x x2 3 2 0− + ≥ . Tai intervalų −∞ ]( ;1 ir 2;∞) sąjunga.

4.2. Rodiklinė, logaritminė ir laipsninė funkcijos4.2.1. Rodiklinė funkcija

Funkcija, išreikšta formule y = ax (kai a > 0, a ¹ 1), vadinama rodik line. 9 pav. pavaizduotas tokios funkcijos grafiko eskizas, kai a > 1. Iš skaičiaus laipsnio su bet kuriuo rodikliu apibrėžimo gauname pagrindines rodiklinės funkcijos savybes.

1. Rodiklinės funkcijos y = ax apibrėžimo sritis – visų realiųjų skai-čių aibė r.

2. Rodiklinės funkcijos y = ax reikšmės yra teigiami skaičiai (ax > 0, kad ir kuris būtų x); įrodoma, jog rodiklinės funkcijos reikšmių aibė – visų teigiamųjų skaičių aibė r+, t. y. kad ir ku-ris būtų teigiamas skaičius y, yra skaičius x, tenkinantis sąlygą ax = y.

3. Kad ir kuris būtų a, a0 = 1. Jei a > 1 ir x > 0, tai ax > 1, o jei x < 0, tai ax < 1. Jei 0 < a < 1 ir x > 0, tai ax < 1, o jei x < 0, tai ax > 1. Tuo remdamiesi galime įrodyti: kai a > 1, rodiklinė funkcija y = ax yra didėjanti, t. y. jei x2 > x1,

tai ax2 < ax1 (ir atvirkščiai); kai O < a < 1, rodiklinė funkcija y = ax yra mažėjanti, t. y. jei

x2 > x1, tai ax2 > ax1 (ir atvirkščiai).4. Įrodoma, kad rodiklinė funkcija yra tolydi kiekviename skaičių

tiesės taške.

67

9 pav. Rodiklinė funkcija

4.2.2. Logaritminė funkcija

Tarę, kad ax2 = ax1 (a > 0, a ¹ 1 ), remdamiesi rodiklinės funkcijos savybėmis, gauname, kad x2 = x1. Taigi galime nurodyti tokias rodikli-nės funkcijos y > ax

savybes:kiekvieną x r atitinka vienintelis y r+;skirtingas x reikšmes atitinka skirtingos y reikšmės;kiekvienas y r+ atitinka tam tikrą x r.Iš to gauname, kad egzistuoja rodiklinei funkcijai atvirkštinė

funkcija: kiekvieną y r+ atitinka vienintelis x r, nusakomas lygy-be ax = y. Ta funkcija vadinama logaritmine funkcija ir žymima (kaip įprasta, argumentą žymint raide x, funkciją – y) (logaritmas pagrindu a skaičiaus x). Žinome, kad viena kitai atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y = x atžvilgiu. Tuo remiantis 10 paveiksle pavaiz-duota logaritminės funkcijos grafiko dalis, kai a > 1 (10 pav.).

10 pav. Logaritminė funkcija

68

Išvardysime pagrindines logaritminės funkcijos savybes.1. Logaritminės funkcijos y log xa= apibrėžimo sritis – visų tei-

giamų skaičių aibė r+.2. Logaritminės funkcijos y log xa= reikšmių sritis – visų rea-

liųjų skaičių aibė r.3. Kad ir kuris būtų a (a > 0, a ¹ 1), loga1 = 0. Kai a > 1, logaritminė funkcija y = logax yra didėjanti, t. y. jei

x2 > x1, tai logax2 > logax1 (ir atvirkščiai). Kai 0 < a < 1, logaritminė funkcija y = logax yra mažėjanti, t. y.

jei x2 > x1, tai logax2 < logax1 (ir atvirkščiai).4. Logaritminė funkcija yra tolydi kiekviename apibrėžimo sri-

ties taške.

4.2.3. Logaritmai

Iš logaritminės funkcijos apibrėžimo gauname:a x x a alog xa = > > ≠( )0 0 1, , .

Ši lygybė vadinama pagrindine logaritmų tapatybe. Ją galime laikyti logaritmo apibrėžimu. Žodžiais jis nusakomas taip: skaičiaus x logaritmu pagrindu a vadinamas rodiklis laipsnio, kuriuo reikia pa-kelti pagrindą a, norint gauti skaičių x.

Iš logaritmo apibrėžimo gauname:

log log aa a1 0 1= =; .Remdamiesi logaritmo apibrėžimu (pagrindine logaritmų tapaty-

be) ir laipsnių, kurių pagrindas tas pats, veiksmų savybėmis, įrodome sandaugos, dalmens, laipsnio logaritmų teoremas.

1 teorema. Teigiamų skaičių sandaugos logaritmas yra lygus dauginamųjų logaritmų sumai:

log xy log x log ya a a( ) = + ;a a x y> ≠ > >0 1 0 0, , , .

2 teorema. Teigiamų skaičių dalmens logaritmas yra lygus dali­nio ir daliklio logaritmų skirtumui:

log xylog x log ya a a= − ;

69

a a x y> ≠ > >0 1 0 0, , , .

3 teorema. Laipsnio, kurio pagrindas teigiamas, logaritmas yra lygus laipsnio rodikliui, padaugintam iš laipsnio pagrindo logaritmo:

log x k log x a a xak

a= > ≠ >; , , .0 1 0Pastaba. Dviejų skaičių x ir y sandauga bei dalmuo teigiami ir

tada, kai x ir y neigiami, o kai k – lyginis skaičius ( , )k l l= ∈2 Z , xk apibrėžtas ir tada, kai x – neigiamas. Taigi:

log xy log x log y xya a a( ) = + >( )0 ;

log xylog x log y xya a a= − >( )0 ;

log x l log xa a21 2= .

4.2.4. Logaritmavimas ir potencijavimas (antilogaritmavimas)

Logaritmuojamo reiškinio logaritmas išreiškiamas tą reiškinį suda rančių reiškinių logaritmais. Pavyzdžiui,

logx y zy

x y z y+( )

= + + −2 3

2 2 3 2log log log | |

(aišku, logaritmo pagrindas gali būti bet kuris teigiamas, nelygus vie-netui, skaičius).

Logaritmavimui atvirkštinis veiksmas, kuriuo apskaičiuojame reiškinį, kai žinomas jo logaritmas, vadinamas potencijavimu (antilo­garitmavimu). Pavyzdžiui, jei

log log log ,z x y= +12tai

z xy z x y x y= = > >( )12 0 0, , .t.y.

4.2.5. Logaritmų pagrindo keitimas

Išlogaritmavę pagrindu b (b > 0, b ¹ 1) pagrindinę logaritmų tapa-tybę x alog xa= , gauname, kad logbx = logax × logba.

Iš čia randame:log x log x

log aab

b= .

70

Skyrium imant,

log xklog x x a a

a ak = > > ≠( )1 0 0 1; ; ;

log blog a

a a b bab

= > ≠ > ≠( )1 0 1 0 1, ; , .

4.2.6. Dešimtainiai logaritmai

Skaičiavimo praktikoje dažnai vartojami logaritmai, kurių pa-grindas yra 10. Jie vadinami dešimtainiais logaritmais ir žymimi taip: log x x10 = lg .

Kiekvieną teigiamą skaičių x galime parašyti standartine išraiška:x a a nn= ⋅ ≤ <10 1 10, , – sveikasis skaičius n∈( )Z .

Sveikasis skaičius vadinamas skaičiaus eile. Remdamiesi logarit-mų savybėmis, gauname:

lgx = nlgaKadangi 1 10≤ <a , tai 0 1≤ <lga . Taigi lg a yra lg x trupmeninė

dalis (ji vadinama dešimtainio logaritmo mantise), n – lg x sveikoji dalis (ji vadinama dešimtainio logaritmo charakteristika). Aišku, kad skaičių, besiskiriančių tik eile, mantisės yra lygios ir priklauso tik nuo skaičius sudarančių skaitmenų ir jų eilės. Standartinės išraiškos skai-čiaus logaritmo charakteristika apskaičiujama mintinai, o mantisė – specialiose lentelėse (pavyzdžiui, Bradis V., Keturženklės matemati­nės lentelės).

4.2.7. Skaičius e ir natūralieji logaritmai

Gamtos moksluose, technikoje, matematikoje labai svarbus skai-čius e. Jis dažniausiai apibrėžiamas kaip sekos, kurios bendrasis narys

ann

n= +

1 1

, riba:

limn

n

ne

→∞+

=1 1 .

Įrodoma, kad funkcijos 1 1+

x

x

riba, kai x neapibrėžtai didėja ir yra ne tik natūralusis, bet ir bet kuris realusis skaičius, irgi lygi skaičiui e:

71

lim .x

x

xe

→∞+

=1 1

Dar įrodoma, kadlimx

xx e→

+( ) =0

11 .

Skaičius e – iracionalusis skaičius (jis išreiškiamas neperiodine trupmena): e = …2 71828,

Logaritmas, kurio pagrindas yra skaičius e, vadinamas natūraliuo­ju logaritmu. Natūralieji logaritmai trumpai žymimi taip: log x xe = ln .

Remdamiesi logaritmų pagrindo keitimo formule gauname, kad dešimtainius ir natūraliuosius logaritmus sieja lygybė

ln lglg.x xe

=

Kadangi lg ,e = …0 4343 , tai 1lge

=( ) = …ln ,10 2 302 ir ln , lgx x 2 302 . Skaičius 2 302, vadinamas dešimtainių logarit mų keitimo natūraliaisiais moduliu.

4.2.8. Laipsninė funkcija

Kiekvieną realųjį skaičių p ir kiekvieną teigiamą skaičių x atitinka skaičius xp. Vadinasi, intervale 0; ∞( ) , kai p fiksuotas, formule

y x p=

apibrėžta funkcija. Ji vadinama laipsnine funkcija (su rodikliu p).Kai p > 0, laipsninė funkcija apibrėžta ir su: x p= =0 0 0: .Kai p – sveikasis skaičius, laipsninė funkcija apibrėžta ir su nei-

giamais skaičiais x x <( )0 .

4.3. Trigonometrinės funkcijos4.3.1. Smailiojo kampo ir skaitinio argumento

trigonometrinės funkcijos

Sakykime, a – stačiojo trikampio smailusis kampas 0 900 < < °( )α , a – prieš tą kampą esantis statinis, b – prie to kampo esantis statinis, c – įžambinė (7 pav.).

72

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir įžambinės santykis, t. y.

sinα = ac

.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir įžambinės santykis, t. y.

cos .α =bc

Stačiojo trikampio smailiojo kampo tangentu vadinamas prieš tą kampą esančio statinio ir prie to kampo esančio statinio santykis, t. y.

tg .α =ab

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentu vadinamas prie to kampo esančio statinio ir prieš tą kampą esančio statinio santykis, t. y.

ctg .α =ba

Iš smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento, kotangento) apibrėžimų gauname:

(1) tg sincos

, ctg cossin

, tg / ctg .a = = =αα

ααα

α α 1

Remdamiesi Pitagoro teorema randame, kad

(2) sin cos2 2 1α α+ = .

Ši lygybė vadinama pagrindine trigonometrijos tapatybe.Remdamiesi (1) ir (2) lygybėmis, randame:

(3) sinctg

, costg

.22

22

11

11

αα

αα

=+

=+

Žinodami vienos smailiojo kampo trigonometrinės funkcijos reikšmę, pritaikę (1) – (3) formules, galime rasti kitų trigonometrinių funkcijų reikšmes.

73

Verta įsidėmėti šią lentelę.

a 30° 45° 60°

sin a 12

22

32

cos a 32

22

12

tg a 33

1 3

ctg a 3 1 33

Kitų smailiųjų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės randa-mos specialiose lentelėse (pavyzdžiui, Bradis V. Keturženklės mate­matinės lentelės).

Be kampo trigonometrinių funkcijų nagrinėjamos taip pat ir skai­tinio argumento trigonometrinės funkcijos.

Skaičiaus x sinusu (kosinusu, tangentu, kotangentu) laikysime x radianų kampo sinusą (kosinusą, tangentą, kotangentą).

Taip apibrėžtų skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų api-brėžimo sritys yra:

sinuso ir kosinuso – visų realijų skaičių aibė r;

tangento – x k k≠ + ⋅Π

Π2

, – sveikasis skaičius;

kotangento – x k k≠ ⋅π , – sveikasis skaičius.Iš skaitinio argumento trigonometrinių funkcijų apibrėžimo ir

kampo trigonometrinių funkcijų savybių gauname pagrindines skaiti-nio argumento trigonometrinių funkcijų (kad būtų trumpiau, toliau jas vadinsime tiesiog trigonometrinėmis funkcijomis) savybes. 11 ir 12 paveiksluose pateikti atitinkamai sinuso ir tangento grafikai.

74

11 pav. Funkcijos y = sin x grafikas

12 pav. Funkcijos y = tg x grafikas

4.3.2. Trigonometrinių funkcijų periodiškumas

Trigonometrinės funkcijos yra periodinės funkcijos. Mažiausias teigiamas sinuso ir kosinuso periodas yra 2p, tangento ir kotangento – p.

4.3.3. Lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos

Kosinusas yra lyginė funkcija, sinusas, tangentas ir kotangentas – nelyginės funkcijos, t. y.

(11) cos cos , sin sin−( ) = −( ) = −x x x x

tg tg , ctg ctg .−( ) = − −( ) = −x x x x

75

4.3.4. Trigonometrinės funkcijų tapatybės

To paties argumento trigonometrinių funkcijų reikšmes sieja to-kios tapatybės:

sin cos2 2 1x x x xx

+ = =, tg sincos

,

(12) ctg cossin

, tg ctg ,x xx

x x= ⋅ =1

sin cos22

22

11

11

xx

xx

=+

=+ctg

,tg

.

Argumentų sumos bei skirtumo trigonometrinių funkcijų formu-lės tokios:

sin sin cos cos sin ,x t x t x t±( ) = ±

(13) cos cos cos sin sin ,x t x t x t±( ) =

tg tg tgtg tg

.x t x tx t

±( ) = ±±1

Remdamiesi kai kurių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėmis, sudarome skaitinio argumento trigonometrinių funkci-jų reikšmių lentelę (kad būtų patogiau, nurodome ir radianų kampo laipsninį matą).

x 0 p6

p4

p3

p2

p 32p

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°

sin x 0 12

22

32

1 0 –1

cos x 1 32

22

12

0 –1 0

tg x 0 33

1 3 – 0 –

ctg x – 3 1 33

0 – 0

76

4.3.5. Redukcijos formulės

Remdamiesi sumos bei skirtumo trigonometrinių funkcijų for-mulėmis ir kai kurių argumentų trigonometrinių funkcijų reikšmėmis, gauname formules, vadinamas redukcijos formulėmis. Jos surašytos lentelėje. Lentelėje dar nurodyta, kad skaičių π

2− x atitinka 90° ir x

radianų kampų skirtumas ir pan., bei kurio ketvirčio tas kampas, kai x radianų kampas yra I ketvirčio kampas.

t π2− x π

2+ x π − x π + x 3

2π− x 3

2π+ x

90° – x 90° + x 180° – x 180° + x 270° – x 270° + xI II II III III III

sin t cos x cos x sin x –sin x –cos x –cos x

cos t sin x –sin x –cos x –cos x –sin x sin x

tg t ctg x –ctg x –tg x tg x ctg x –ctg x

ctg t tg x –tg x –ctg x ctg x tg x –tg x

Taigi bet kurio argumento trigonometrinių funkcijų reikšmes ga-lima rasti, žinant argumento x, kai 0

2≤ ≤x π , trigonometrinių funkcijų

reikšmes.Intervale 0

2; π

sinusas didėja nuo 0 iki 1, kosinusas mažėja nuo

1 iki 0, įgydami kiekvieną reikšmę po vieną kartą. Tangentas tame intervale didėja nuo 0 iki , kotangentas mažėja nuo iki 0, įgydami bet kurią skaitinę reikšmę po vieną kartą.

Redukcijos formules lengva įsiminti, žinant, kad argumento π2⋅ + ∈( )k x k Z trigonometrinės funkcijos reiškiamos argumento x

trigonometrinėmis funkcijomis taip:a) norint lygybės dešinėje pusėje parašyti tinkamą ženklą, užten-

ka įsivaizduoti, kad 02

< <x π (kad argumento reikšmė atitinka I ketvirčio kampą);

77

b) kai k – lyginis skaičius, funkcijos pavadinimas nekeičiamas; kai k – nelyginis skaičius, funkcijos pavadinimas keičiamas: sinusas – kosinusu, kosinusas – sinusu, tangentas – kotangen-tu, kotangentas – tangentu.

4.3.6. Dvigubojo argumento ir pusės argumento trigonometrinės funkcijos

Iš sin ,cos , tgx t x t x t+( ) +( ) +( ) formulių, kai t = x, gauname tokias dvigubojo argumento trigonometrinių funkcijų išraiškas:

(14) sin sin cos ; cos ;2 2 2 2 2x x x x x x= = −cos sin

tg tgtg

, , .2 21 42x x

xx k k=

−≠ ± + ⋅ ∈

ππ Z

Iš cos2x formulės, įrašę cos sin2 21x x= − arba sin2 21x x= − cos , gauname:

cos sin , cos2 1 2 2 2 12 2x x x x= − = −cos .Iš čia(15) 1 2 2 1 2 22 2− = + =cos sin , cos cos ,x x x x

todėl1 2

21 2

22 2− = + =cos sin , cos cos .x x x x

Iš šių formulių, pagal argumento x2

reikšmę nustačius ženklą, ga-lima rasti sin x

2 ir x

2.

Pusės argumento tangento formulė gaunama taip:

tgsin

cos

sin cos

cos;x

x

x

x x

x22

2

22 2

22

2= =

(16) tg sincos

, .x xxx k k in

2 12=

+≠ + ⋅( )π π Z

Panašiai gautume, kad

(16’) tgcossin

, .x xx

x k k21

=−

≠ ⋅ ∈( )π Z

78

4.3.7. Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimas suma (skirtumu) ir atvirkščiai

Iš argumentų sumos bei skirtumo formulių randame:sin sin sin cos ,x t x t x t+( ) + −( ) = 2sin sin cos sin ,x t x t x t+( ) − −( ) = 2cos cos cos cos ,x t x t x t+( ) + −( ) = 2cos cos sin sin .x t x t x t+( ) − −( ) = −2

Iš čia: sin cos sin sin ,x t x t x t= −( ) + +( )( )1

2

(17) cos cos cos cos ,x t x t x t= −( ) + +( )( )12

sin sin cos cos .x t x t x t= −( ) − +( )( )12

Iš tų pačių lygybių, tarę, kad x t u x t v+ = − =,� (tada x u v=

+2

, t u v=

−2

), randame:

sin sin sin cos ,u v u v u v+ =

+ −22 2

sin sin cos sin ,u v u v u v− =

+ −22 2

cos cos cos sin ,u v u v u v+ =

+ −22 2

cos cos sin sin .u v u v u v− = −

+ =22 2

79

LiteratūraKatilius, P. 1973. Analizinė geometrija. Vilnius: Mintis. Kolmogorovas, A. 1981. Algebra ir analizės pradmenys: mokymo priemonė

9–11 klasei. Kaunas: Šviesa. Makaryčevas, J.; Mindiuk, N.; Monachovas, V.; Muravinas, K.; Suvoro va, S.;

Leontjeva, M. 1980. Algebra 8–9 klasėje: mokytojo knyga. Kaunas: Šviesa. Markuševičius, A. 1984. Algebra: vadovėlis 8–9 klasei. Kaunas: Šviesa. Nivenas, A. 1974. Racionalūs ir iracionalūs skaičiai. Vilnius: Mintis. Vaškas, P.; Survila V. 2001. Pakartokime matematiką. Vilnius.