1

Matematika az irodalomban és a nyelvészetben

A mindennapi életben a matematikát a természettudományok meghatározó fontosságú,

lényeges összefüggéseket leíró tudományának tartják. Ilyen formán nyugodtan mondhatnánk,

hogy a matematika a nyelve a természettudományoknak, annak terminológiája szerves eleme

például a fizikának. Ha a matematikát nyelvnek nevezzük, felmerül a kérdés, vajon a

nyelvészetben van-e helye és szerepe a matematikának? Feltárhatók-e matematikai

összefüggések a matematikától oly távol eső területen, az irodalomban?

E tanulmány ezekre a kérdésekre keresi a választ. Célja annak feltárása és bemutatása,

hogy a magyar nyelvészetben és irodalomban milyen módon jelenik meg a matematika.

Mielőtt bármit is elkezdenénk fontos tisztázni, hogy a magyar, angol, stb. nyelvekre nem

nyelvészeti szempontból tekintünk, hanem matematikai szemszögből. A tanulmányban a

nyelvre, mint matematikai fogalomra nézünk, nem pedig irodalmi meghatározásra.

A matematika az az abc, amellyel Isten az Univerzumot írta

(Galileo Galilei)

A magyar irodalomnak és nyelvtannak több köze van a matematikához, mint azt bárki

hinné. Gondoljunk csak egy olyan egyszerű kifejezésre, mint a regény hossza vagy a szó

hossza. Ráadásul többféle értelemben használatos. Egyik például az oldalszám (vagy esetleg

mennyi idő kell az elolvasásához) a másik a betűk száma. Számos olyan példát fogunk

megnézni, amely az irodalomnak és a nyelvészetnek a matematikával való kapcsolatát fogja

igazolni. Kezdetnek nézzük meg azt, ami az író számára a legfontosabb: a szó és a nyelv.

Minden emberi nyelv az alapegységekből áll. Hasonlóan az algebrához, ahol az

alapegységek a számok. Azzal a különbséggel, hogy az emberi nyelvek véges sok és

megszámlálható alapegységet tartalmaznak, míg a számok halmazára nem feltétlen igaz. De a

számokhoz hasonlóan ezek az alapegységek – más néven betűk – halmazt alkotnak. Ez a

halmaz az abc, amiben minden betű egyszer szerepel. Matematikai értelemben az abc a

következő képen definiálható:

Σ abc * eleme Σ (üres jel) és | Σ | ≥ 3 és véges halmaz

Megjegyzés(1): az üres jel a szavakat elválasztó jel, ami jelen esetben a szóköz.

Ez az értelmezés ugyan nem engedi meg a végtelen nagy halmazt, de bizonyos értelemben

viszont nincs felső határa, vagyis nincs olyan k szám, amire igaz, hogy k+1 elemszámú abc,

már ne lenne elfogadható.

Megjegyzés(2): A beszélt nyelvek hangokból állnak. Azonban az alapegységeket azért

tekintjük betűknek, mert matematikai szempontból ezek építik fel a nyelveket. A másik ok az

az, hogy a betűk és a hangok között egy reláció áll fenn. A hangok szempontjából reláció, a

betűk szempontjából függvény. Hasonlóan a számokhoz. Az egy, mint szám nem egyezik

meg az őt szimbolizáló jellel. De látható, hogy a számokat is több féle képen ábrázolják,

hasonlóan a betűkhöz. Lássunk egy példát:

„A”, mint hang: A, a , A, a Egy, mint szám: 1, I , egy, …

Nézzük meg a magyar nyelv esetében hogyan érvényesül a fent tárgyalt abc definíció:

Σmagyar = { A, Á, B, C, CS , … , U, V, Z, ZS } latin betűkkel | Σmagyar | = 40 ≥ 3

A magyar abc-nek létezik kiterjesztett változata

2

Σmagyar-kiterjesztett = Σmagyar U {Q, W, X , Y} | Σmagyar-kiterjesztett | = 44

Megjegyzés: a magyar nyelvben vannak kettős betűk és egy hármas betű a latin írásmóddal.

Ezek a betűk egy egységnek tekintendők, vagyis nem választhatók szét.

Például: a helyes elválasztás lán – dzsa és nem lánd – zsa.

A következőkben megvizsgáljuk az ősi székely – magyar rovás abc-t. A magyar nyelvnek

több ezer évig ez volt az abc-je, és a magyar emberek ezt abc-t használták írásra, pontosabban

rovásra. Az ősi székely - magyar abc (továbbiakban rovás abc) csak egykarakteres betűket

tartalmaz, de ugyanúgy megtalálhatók benne a kettős betűk megfelelő egy karakteres alakja.

Ez alól kivétel a ’dz’ betű és a hármas ’dzs’ betű. A latin abc betűkészlete kevés a magyar abc

leírására, ezért meg kellett oldani azoknak a betűknek is a jelölését, amelyek a latin abc-ben

nincsenek.

A fenti állítás azért is igaz, mert | Σlatin | = 26 < | Σmagyar | = 40

Nézzük egy példát a kettős betű leképezésére : ’| ’= ’sz’ | = ’s’ U ’z’ = sz

Σmagyar-rovás Σmagyar = Σlatin U {Á, CS, DZ, DZS, É, GY, Í, LY, NY, Ó, Ö, Ő, SZ, TY, Ú, Ü,

Ű, ZS} \ {Q, W, X, Y}

Ha nem vizsgáljuk a különbséget a balról jobbra és jobbról balra olvasás között:

| Σmagyar-rovás,FS | = | Σmagyar | -1 = 39

| Σmagyar-rovás,MA | = | Σmagyar | - 5 = 35

A rovás abc – nek két változata van. Az egyik a Magyar Adorján (a továbbiakban: MA) a

másik a Forrai Sándor (továbbiakban: FS) által meghatározott betűkészlet.

Alapvető különbség az, hogy a MA ábécé nem tartalmaz külön jeleket a hosszú

magánhangzókra (í, ó, ő, ú, ű ) emellett két féle ’S’ betűt (’ES’ és ’AS’)és két féle ’K’ (’KA’

és ’AK’)betűt különbözet.

Az FS ábécé azonban megkülönbözteti a rövid és hosszú magánhangzókat, azonban csak egy

fajta ’S’ betű létezik benne, de ugyan csak két fajta ’K’ betű.

Mindkét abc –re igaz, hogy nincs bennük ’dz’ és ’dzs’ betű illetve ennek megfelelő jel.

Ha figyelembe vesszük a balról jobbra, és a jobbról balra írás közötti különbséget, akkor:

| Σmagyar-rovás,FS | = (| Σmagyar | - 1)* 2 és | Σmagyar-rovás,MA | = (| Σmagyar | - 5)*2

Ez a megkülönböztetés azért célszerű, mert egy szöveget nem biztos, hogy csak az egyik

típussal írták. Elfordult, hogy balról jobbra írva a sorvégén nem a következő sor elejére

ugrottak, hanem folytatták az írást a következő sorban jobbról – balra.

A helyzet azonban tovább bonyolódik. Ugyanis a ma elfogadott magyar abc betűit is két féle

képen használjuk. Egyrészt, mint kis és nagy betűk, más részt írott és nyomtatott és ezek

keveréke. Ami biztos, hogy a mindennapi életben két féle abc használatos (kis és nagy betűk),

így a következő kép alakulnak az abc-k:

Σmagyar = Σmagyar, kis U Σmagyar, nagy ez igaz írott és nyomtatott betűkre. Ekkor a rovás abc-hez

való viszonyuk a következő lesz.:

| Σmagyar-rovás,FS | = | Σmagyar | - 1 és | Σmagyar-rovás,MA | = | Σmagyar | - 5

3

A mellékletben ezek a viszonyok tovább vannak részletezve.

A rovás abc-ben az egy karakteres betűkön kívül még léteznek ligatúrák. Ezek a karakterek

több betűt jelölnek, de nem többszörös betűk, mint ’dz’ vagy ’dzs’, hanem rövidítések,

amelyek akár egy szót is jelölhetnek. Így a rovás abc-ben egy külön kódolási eljárás is

fellelhető, ami az írás karakter számát rövidíti.

Nemcsak a ligatúrák rövidítik a karakter számot, hanem a bizonyos karakterek kihagyása.

Általában ezek magánhangzók. A magánhangzók kihagyását akkor alkalmazták, ha

egyértelmű volt a szó betű kihagyásokkal is.

Megjegyzés: a rovás abc és a magyar abc kis illetve nagy betűi között bijektív leképező

függvény létezik , ha eltekintünk a kétfajta k és s betűktől.

Azonban van még itt egy probléma, még pedig az „y” betű. A magyar abc se melyik

változata, nem tartalmazza az y karaktert. Pedig 4 betűben is fellehető: gy, ly, ny, ty.

Valószínűleg az y az orosz lágyjelhez (ь) hasonlít. Az úgymond kemény g, l, n, t betűkből

lágy betűket képez. Ez esetben, viszont a magyar abc elemszáma nem 40 hanem 41. Ekkor

viszont:

| Σmagyar-rovás,FS | = | Σmagyar | és | Σmagyar-rovás,MA | = | Σmagyar | - 4

Érdekesség: az angol és a latin abc (nem meglepő módon) része a kiterjesztett magyar abc-

nek, vagyis: Σlatin Σmagyar és Σangol Σmagyar de ebből nem következik, hogy az angol vagy a

latin nyelv a magyar nyelv része volna, de az igaz, hogy nincs olyan latin vagy angol szó,

amit a kiterjesztett magyar abc-ből ne lehetne előállítani.

Miután megtörtént az abc definiálása, megnézzük, hogyan jönnek létre a szavak

Σ k : Σ –ból képzett K hosszúságú szavak halmaza

Σ0 = Σ \ {*}

Ekkor a K hosszúságú szavak halmaza, amiben nincs elválasztás: Σ 0k

Megjegyzés: Ahogy a geometriában létezik hosszúság definíció úgy a nyelvészetben is létezik

hosszúság meghatározás. A szó hossza, az őt képező betűk száma.

Például: |család| = 5 család szó eleme Σ 05

és eleme Σ 5

Most már vannak alapegységeink – ezek a betűk. Vannak egységeink melyeknek önálló

értelmük van és betűkből épülnek fel ezek a szavak. Most már alkothatunk nyelvet, ami a

következő képen értelmezhető:

L nyelv , ha L Σ 0* , ahol

Sztenderd probléma, adott x szó ami eleme Σ 0*. Kérdés: x szó az L nyelvben benne van – e?

Konkretizálva a magyar nyelvben benne vannak azok a szavak, amelyek 1, 2 ,3, … hosszúak.

Fontos kérdés az, hogy mik azok az i hosszú szavak, amik benne vannak a magyar nyelvben?

Ennek a kérdésnek az eldöntése részben már nyelvészeti feladat. Amit tudunk a magyarról az

az, hogy véges nyelv, ezért értelmes dolog felsorolni azokat a szavak, amik benne vannak.

Lmagyar = | Σ 0, értelmes1| + | Σ 0, értelmes

2| + | Σ 0, értelmes

3| + … + | Σ 0, értelmes

K|, ahol K a leghosszabb

magyar szó.

4

Most már meghatároztuk mi az, hogy betű, szó és mit jelent az, hogy nyelv. A magyar

nyelvnek és minden emberi nyelvnek van egy fontos tulajdonsága. Ez pedig a rekurzivitás, és

ennek következtében a rekurzív felsorolhatóság.

Egy L nyelv rekurzív Ha a χL (χL : Σ 0* {0,1}) karakterisztikus függvénye rekurzív

L nyelv rekurzív felsorolható Ha létezik rekurzív f függvény : Σ 0* Σ 0

* : Im(f) = L

vagy L = üres

A magyar nyelv rekurzív nyelv, mivel véges. Ezért létezik neki leghosszabb szava, így a

rekurzió egyik módja a következő:

Tegyük fel, hogy a magyar nyelv leghosszabb szavának hossza K. Ekkor egy K+1 magasságú

fát tudunk szerkeszteni, amire igaz, hogy egy csúcs

gyerekeinek száma 41 vagy üres jel. Így egy w

hosszúságú szó egy w+1 magasságú lánc lesz a

fában, ami a w+1. szintig tart. A +1 azért kell, mert

szükséges egy hely a üres hely jelölésére, ami jelzi a

szó végét, de ez már az L halmazba nem kerül bele.

Nézzünk egy egyszerű példát: w = asztal. |w| = 5

A lánc hossza |w|+ * = |w |+ 1 = 6 . Első betűje a,

ezután az 1. szintű a részfájában folytatódik a

rekurzió. Addig nézzük a gyerekeit, míg az ’sz’

betűhöz nem érünk, ezután a 2. szintű ’sz’ betű

részfájában folytatódik az eljárás, egészen míg az 5.

szint l betűjét meg nem találjuk és utána a 6. szinten a

* jelet.

Az eljárást az ezen az ábrán látható.

Megjegyzés: Nem csak véges nyelv lehet rekurzív.

A magyar nyelv rekurzív felsorolható is, mivel

rekurzív.

Az emberi nyelv, mint kuriózum

Az emberi nyelvek mindegyike különleges nyelv. Egyrészt, mert véges, de leginkább ami a

végességéből következik mégpedig, hogy rekurzív. Azt, hogy az emberi nyelvek mennyire

nem átlagos nyelvek, azt a következő bizonyítás mutatja meg.

A legtöbb nyelv nem rekurzív: (Matematikai nyelvek!, az emberi nyelvek is benne vannak)

|Σ 0*| = w0 megszámlálható

{ L : L Σ 0* } = P (Σ 0

*) = 2 Σ 0*

2w0

= 2 Σ 0*> w0 Nyelvek száma : 2

w0 Kontinuum sok

Turing – gépek száma: Véges string, tetszőleges abc felett le lehet írni

#(Turing –gépek) ≤ w0 ≤ |Σ 01| + |Σ 0

2| + …+ |Σ 0

i| A Turing – gépek száma legfeljebb

megszámlálható Egy Turing – gép legfeljebb egy nyelvet képes felismerni.

A fenti levezetés következménye az, hogy ha tekintem az összes nyelvek halmazát, akkor

annak a valószínűsége, hogy egy rekurzív nyelvet választok ki belőle az nulla. Ez azért is

érdekes, mert az ember nyelvalkotás szempontjából, csak véges nyelvet tud alkotni, tehát

rekurzívat. Vagyis pont olyat, aminek a véletlenül való kiválasztása nulla. Tehát az agy nem

random generátor. Ennek következménye az, hogy az ember sem random generátor, hanem

önálló gondolkodásra képes autonóm lény. (Ez nem jelenti azt, hogy az emberben nincsenek

5

„előre programozott” mechanizmusok vagy, hogy a gondolkodást ne lehetne irányítani. De a

gondolkodás, mint folyamat nem előre determinált.)

Időmértékes verselés

A magyar nyelv azon kevés nyelv közé tartozik, amely természetétől fogva alkalmas az

időmértékes verselésre (mivel a magyar nyelv eleve megkülönbözteti a hosszú és rövid

magánhangzókat.). Ezt a lehetőséget sok nagy költőnk csodálatosan alkalmazta Sylvester

Jánostól Berzsenyin át Radnótiig. Az indogermán (pl. svéd, angol, német) nyelvekben a

hosszú magánhangzók helyett a ritmus kedvéért gyakran olyan szótagokat használnak, ahol a

mássalhangzók torlódása szabályozza a kicsengési időtartamot. Ez az úgynevezett analógiás

(konstruktív) versépítő technika jól megfigyelhető Goethe, vagy a svéd Georg Stiernhielm

hexaméteres költeményeiben. (Wikipédia)

Az időmértékes verselésnek is van alapegysége a nyelvhez hasonlóan, ez a versláb, melynek

mértékegysége: a mora. (Érdekes, hogy a mértékegység fogalom ilyen kézzel fogható módon

jelenik meg az irodalomban).

Egy rövid szótag: 1 mora, egy hosszú szótag: 2 mora. Megkülönböztethető 2 , 3 vagy 4

mora hosszúságú versláb.

A szótagok hosszának jelölésére két fajta jelet használnak:

U : A rövid szótag jele (1 mora) — a hosszú szótag jele (2 mora).

Ezzel elérkezetünk a digitális jelek történetének első fejezetéhez. Ugyanis a rövid szótagnak

megfeleltethető egy jelszint, ami valamilyen logika érték (például: logika 0) és ugyancsak a

hosszú szótagoknak is megfeleltethető egy jelszint, ami valamilyen logikai érték (például:

logika 1). Következésképpen minden verslábnak és sorfajtának megfeleltethető egy digitális

kód, ami őt egyértelműen azonosít.

Elmondható, hogy az ókori görögök már használták a „digitális” jeleket.

Például: koriambus : — U U — = 1 0 0 1

1 Pl.: logikai 1 5 Volt , logikai 0 1 V, üres jel 0V

0

1 0 0 1

Hexameter, Képlete: 1 0 0 | 1 0 0| 1 0 0| 1 0 0 | 1 0 0 | 1 0

Hat verslábból álló sor. Görög és római verselés fő eleme. A verslábak daktilusok vagy

spondeusok, az utolsó előtti mindig daktilus, az utolsó trocheus, vagy spondeus.

Pentameter: 1 0 0 | 1 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 0 | 1

Neve szerint öt, de valójában hat (négy teljes, és két fél) verslábból álló verssor, amelyben a

harmadik és hatodik csonka. Önálló sorként ritka, de az ókori görög költészetben gyakori a

disztichonok második soraként.

6

Disztichon

Egy sor hexameterből és egy sor pentameterből álló sorfajta.

"Gyűlölöm azt, aki telt kupa mellett bort iszogatván

— U U | – UU| – U U| – – | – U U | – —

háborut emleget és lélekölő viadalt. "

— U U |— U U| – || – UU| – U U| —

Anakreón: Gyűlölöm (részlet)

Műfajok és jellemzők, avagy az objektivitás az irodalomban

Nézzük meg röviden a legnagyobb irodalmi kategóriákat.

- Epika

- Líra

- Dráma: - dráma modellek

- Egyéb

A három műnem elkülönítését már az ógörög irodalomban is megfigyelhetjük. Ez a

hármasság tisztán azonban csak Goethe és Schiller elméleti munkásságában bontakozott ki, a

hagyományos műnem- és műfajelméleti rendszert pedig Hegel dolgozta ki esztétikájában

1820-1829 között. A műnemek meghatározásának leggyakoribb szempontjai: az idősík, a

szerzőnek a műhöz és a valósághoz fűződő viszonya, a nézőpont, stb. Mindegyik műnembe

kvázi egyértelműen besorolhatók a

versek. Mindegyik műnem további

alkategóriákra (halmazokra)

bontható. Ezen felül a dráma

műfaj két nagyobb halmazra a

Dráma műfajok és a Dráma

modellek halmazra. Ezzel megint

kialakult a fa struktúra, hasonlóan

a rekurzív nyelvekhez. Alapvető különbség itt az, hogy egy csúcs gyerekeinek a száma nincs

előre meghatározva és nincs maximalizálva. Míg a szó alkotásban szereplő fák 41-es

kupacok, addig a műfaj elméleti fa inkább Fibonacci kupachoz hasonló. Ez az ábra a

műnemek csoportosítását mutatja be. A számok az adott műnem műfajainak számát jelöli.(Az

adott csúcs gyerekeinek számát jelölik)

Ezzel elérkeztünk az objektivitás kapujába. Ugyanis az a tény, hogy egy adott irodalmi mű

mely műfaj elméleti kategóriába vagy kategóriákba (vegyes műfajú mű) sorolható, az előre

meghatározott. Ugyanis minden műnemnek megvannak a maguk kritériumai és minden

műfajnak megvannak a maguk meghatározásai. Gyakorlatilag, amikor egy mű műfaját

próbáljuk meghatározni, a fent levő fán megyünk végig. Mivel megvannak a kritériumok,

ezért az ellenőrizhetőség megjelenik, sőt magától értetődővé válik. Ezáltal a kategorizálás

ellenőrizhetővé, vagyis objektívvé válik.

A regény cselekménye

A regényben az események több szálon futnak Az író sokszor több személy szemszögéből

mutatja be az eseményeket. Mivel a regényben nem lehet párhuzamosan ábrázolni (egy

oldalon leírni több személy szemszögéből az eseményeket) csak folytonosan, a regényben az

idő múlása nem monoton növekvő, sőt nem is biztos folytonos. Tulajdonképpen az idő múlása

egy görbe, az idő és a cselekmény által meghatározott térben. Az egyszerűség kedvéért

tekintsünk tér és idő koordinátákat (mondjuk, a szereplők csak mozognak), és ezt ábrázoljuk.

7

Tegyük fel, hogy a cselekmény annyi, hogy a szereplők eljussanak egyik pontból a másikba

és ezt kell leírnunk minél részletesebben. A leírás az alábbi ábrázoláshoz lesz hasonló.

Az ábrán a 3 szereplő tényleges mozgása a fekete vonalak, a regény cselekménye a piros

vonal, ahogy az író ábrázolja, a szaggatott vonal átmenet egyik helyszínről a másikra, ami

akár ugrás is lehet. Így tulajdonképpen egy regény esemény tere egy több dimenziós tér,

tengelyein különféle értékekkel, amelyek nem csak matematikai kifejezések lehetnek, hanem

irodalmi kifejezések is, például: „a főhős erkölcsi fejlődése”. A regény maga - vagyis az író

szemszögéből a történés - egy görbe a hipertérben. A metszéspontok valamilyen kapcsolatra

utalhatnak (például találkozás), de ez nem mindig van így. Tényleges kapcsolat, csak akkor

jön létre, ha ez minden paraméter szerint is létre jön. Például: A fent látható pálya görbéken a

csomópontok, csak akkor tényleges találkozások, ha azok időben is találkozások. Vagyis az,

hogy a két pálya metszi egymást, nem biztos, hogy ott találkozás történik.

Szintaktika, szemantika

Ahogy a számítástechnikában, matematikában és szinten minden természettudományban

nagyon fontos a jelsorrend ugyan úgy a nyelvészetben is az. Egy apró változtatás drasztikusan

megváltoztathatja a szó illetve a jel sorozat jelentését. Tulajdon képen a szó az egy jelsorozat,

aminek jelentése van. Ahogy a nyelvészetben is vannak szavak ugyan úgy a matematikában is

vannak szavak. Kezdjük ezeknek az elemzésével.

Amíg a magyar nyelvben egy szó általában több karakterből áll, addig a matematika általában

egy karakteres szavakat használ. De a matematika szavai és a magyar szavak között egy

bijektív leképező függvény létezik. Lássunk rá egy – két példát

Létezik ↔

Mindegyik / Bármely ↔

De nem csak a magyar nyelv esetében létezik bijektív függvény. Minden más nyelv esetében

is létezik, sőt az adott nyelv szavától függetlenül a matematikai szimbólum ugyanaz marad,

feltéve, hogy a jelentése is (vagyis a szó által hordozott információ) ugyan az – e. Például:

To be ↔

Es gibt ↔

Bizonyos keretek között a matematika, mint nyelv interfész két humán nyelv között.

Létezik ↔ ↔ To be

Természetesen a fent felsorolt szimbólumokon kívül még sok szimbólum létezik a

matematikában. Gondoljunk csak a számokra, zárójelekre, operátorokra. Gyakorlatilag

mindegyikőjük egy egykarakteres kifejezés és mindegyikőjükre igaz, hogy külalakjuk a

nyelvtől független. Igaz azonban, hogy a gyakorlati jelentésük több karakteres. Például

8

Összeadás / „meg” : ↔ +

De: 5 + 6 = 11 ↔ Öt meg hat egyenlő tizenegy

A matematika tulajdonképpen egy nyelv, amivel a matematikai problémákat le is lehet írni és

megoldani is mód van rá. A nyelvészet ettől egy kicsit eltér. Ugyanis amíg a matematika

nyelvével gyakorlatilag csak matematikai problémák írhatók le, addig a nyelvészettel nem

csak nyelvészeti problémák határozhatók meg. A nyelvészettel szinte minden probléma

leírható, a megoldás az egy másik kérdés. A másik eltérő tulajdonság, hogy a matematika

nemzetközi. Vagyis szimbólumot minden matematikus megérti függetlenül a nemzetiségtől,

azonban a „létezik” jel sorozatot csak a magyar ember érti meg. Egy harmadik különbség az,

hogy egy szimbólum, akkor több szónak vagy akár egy egész mondatnak megfelelhet. A

későbbiekben fogunk erre is példát látni. Azonban nézzünk meg most egy olyan példát ami

probléma leírásra alkalmas:

Létezik – e egész szám, ami ötnél nagyobb, de hétnél kisebb:

? x Z: 5 < x < 7

De nem matematika probléma a következő:

Szereti – e Mariska Pistát?

Ezt csak a nyelvészet illetve a pszichológia tudja kezelni. Ez nem azt jelenti, hogy matematika

rossz, hanem, hogy megvannak a maga korlátai és gondoljunk bele abba is, hogy a

nyelvészettel sem lehet minden problémát megoldani.

Térjünk vissza az elemzéshez. Megállapítottuk, hogy a matematikának vannak szavai. Ha

vannak szavai, akkor azokból mondatokat is lehet képezni, mint ahogy a fenti példán is

látható. De nézzünk még meg egy komolyabb mondatot:

Egész számok azok a számok, amelyek felírhatók két természetes szám különbségeként:

Z = { x | x = y – z : y,z N }

Tulajdon képen matematika szöveg is elképzelhető, de ez már a formális logika területe.

Mi a matematika nyelvtana? Először is az, hogy a szimbólumokat értelmesen kell kezelni.

Ennek is megvannak a maguk (formális) szabályai, amiket most nem részletezünk. Ami

biztos, hogy fontos betartani a mondat képzés szabályait a matematikában is, különben

értelmetlen mondatot kapunk. Például:

+ 5 6 = 11 ? ↔ „ plusz öt és hat egyenlő tizenegy” vagy „plusz ötvenhat egyenlő tizenegy”?

A nyelvtan második része gyakorlatilag a maguk matematika szabályai, legyen szó egyszerű

állításokról vagy összetett és/vagy bonyolult tételekről. Vagyis a matematika nyelvét egy részt

a jelsorrend szabályai határozzák meg, más részt a matematikai állítások, tételek és törvények.

Lássunk erre is egy – két példát:

A = { (x,y) | x,y N y = x + 5}

Az A halmazban olyan számpárok vannak, amikre igaz, hogy mind a ketten természetes

számok és a második szám öttel nagyobb, mint az első.

Ezek matematikailag és nyelvtanilag is értelmes állítások vagy mondatok. Igaz az is, hogy egy

– két karakter több szónak felel meg:

(x,y) ↔ „olyan számpárok vannak”

x,y N ↔ mind a ketten természetes számok

Nézzünk most egy ellenpéldát:

A = { x | x N x = x + 5 }

Az A halmazban, olyan természetes számok vannak, amelyek öttel nagyobbak önmaguknál

A fenti állítás nyelvtanilag korrekt, de matematikailag butaság. Nincs olyan szám, ami

önmagánál öttel nagyobb. Ez értelmetlen. Ebből is látható, hogy a matematika nyelvét nem

csak a szintaktikai szabályok határozzák meg, hanem maguk a matematikai szabályok.

Tulajdonképpen szintaktikai és szemantikai szabályok határozzák meg egy mondat

szerkezetét, de nem csak a matematikában, hanem a nyelvtanban is.

Nézzük most meg, hogy a matematika, mint nyelv hogyan épül fel.

9

Nyelvtani értelemben vett abc-je nincsen vagyis nem lehet a jel között nagyságbeli relációt

tenni, de formális értelemben van, ami a következő:

Σmatematika = { üres jel, 0, 1, …, 9, +, -, *, \, : , ( , ) , , , …} véges halmaz

Σ természetes számok = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,üres jel} és ebben létezik jel sorrend, vagyis értelmes

kérdés, hogy a <? b

A fentiből egyértelműen látszik, hogy

Σ valós számok Σmatematika

A már ismert definíciókból elő áll, hogy

Lmatematika Σ 0* pontosabban Lmatematika Σ*matematika,0

A magyar nyelvhez hasonlóan elő áll:

Lmatematika = | Σ 0, értelmes1| + | Σ 0, értelmes

2| + | Σ 0, értelmes

3| + … , de ez a magyarral ellentétben

nem véges, hanem végtelen nyelv, valamint nem is rekurzív, sőt nem is rekurzíve

felsorolható. Az igaz, hogy vannak olyan résznyelvei, amelyek rekurzívak (LDomino,

Ltermészetes_számok) és vannak olyanok résznyelvei, amelyek rekurzíve felsorolhatók (LNem_rak =

{d DOMINO | d-vel nem rakható ki a sík}), de összességében nem rekurzíve felsorolható,

ami az jelenti, hogy vannak olyan problémák, amelyekről nem lehet eldönteni, hogy igazak –

e vagy sem, vagyis a matematika nem teljes nyelv. A kérdés az, hogy a matematika teljes

nyelvé fog – e válni valamikor, mert lesznek olyan sejtések amelyek igazolást nyernek vagy

bebizonyítják, hogy nem igazak, de ezek megoldása vajon teljessé teszi – e a matematikát?

Nem, mert ezek mellett vannak olyan rész nyelvei a matematikának, amelyekről bizonyítottan

nem rekurzíve felsorolható. Ilyen például az a kérdés, hogy egy adott dominó készlettel

kirakható e a sík. Valamikor egyértelműen eldönthető, de általában véve nem.

Végezetül nézzünk meg egy-két példát, hogy egy apró változás mennyire megváltoztathatja a

szó jelentését.

vagány – vágány

lap – láp – lép

megy – meggy

Ebből is látható, hogy nyelvtanban ugyan olyan precízen be kell tartani a szabályokat, mint

bármely természettudományban. De gondoljunk még abba is, hogy az írás jelek elhelyezése is

megváltoztathatja a mondat jelentését. Nézzük meg a mindenki által ismert példát:

Királynőt megölni, nem kell félnetek, érdemes lesz! Vagy

Királynőt megölni nem kell, félnetek érdemes lesz!

Apró változás (egy vesszővel több vagy kevesebb) és máris az ellenkezőjét jelenti a mondat,

akárcsak a formális nyelvben. Lássunk erre is egy példát

A1={ x | i [2;n] n N n≤ x-1 : x mod i =0} vagy

A2={ x | i [2;n] n N n≤ x-1 : x mod i =0}

A1 = N – PRIM – {0,1} ezzel szemben A2 = 0 üres halmaz. Nem mindegy, hogy egy halmaz

minden eleméről van szó, vagy pedig van olyan elem ami abban a halmazban van.

A nyelvek polinomiális visszavezethetősége

Elsőnek nézzük meg mit is jelent, hogy egy nyelv polinomiálisan visszavezethető egy

másikra:

Legyen L Σ 0* és K Π0

* valamint legyen f: Σ 0

* Π0

* képező függvény. Ekkor L

polinomiálisan visszavezethető K-ra ↔ ha x L ↔ f(x) K. Ekkor a jelölése: L α K

A fenti meghatározás első közelítésben akkor érvényes minden emberi nyelvre, ha f nem

függvény, hanem reláció. Nagyon sok olyan szó van, ahol f lehet függvény, de vannak olyan

10

szavak, amelyekre f nem függvény. Ezek a szinonimák és a homonimák. Később nézünk erre

két példákat. Most azokra a szavakra nézünk egy példát, ahol egyértelmű a megfeleltetés:

ANGOL α MAGYAR f: ANGOL MAGYAR

pl.: car ANGOL ↔ f(car) MAGYAR f(car)=autó MAGYAR

Lássunk most a homonimákra példát:

Ég1 f(Ég1)= Sky – Kék az ég

Ég2 f(Ég2)= to burn - Ég a tűz

Másik példa a szinonimákra:

Potato Krumpli

Potato Burgonya

A kérdés az, hogy egy tetszőleges nyelv polinomiálisan visszavezethető-e egy másik nyelvre

vagy sem. A válasz igen, még a szinonimák és a homonimák esetén is. A megoldás a

következő: A homonimák esetén kiválasztunk egy szót és ezt képezzük le. A szó másik

változatát a nyelven belül leképezzük az előbb kiválasztott szóra és így képezzük le a másik

nyelvre. Például:

Burgonya g(Burgonya)=Krumpli f(krumpli)=f(g(burgonya))=gof(burgonya)=Potato

g: a nyelven belül képező függvény, f: a nyelvek között képező függvény

Így gyakorlatilag a tájnyelv is lefordíthatóvá válik. A több jelentésű szavaknál, pedig a

jelentésüket különböztetjük meg és úgy fordítjuk le őket. A jelentésük pedig a szöveg

környezetből kiderül. Következésképp a definícióban levő f tényleg lehet függvény minden

emberi nyelv esetén, nem csak reláció. Az eddig tárgyalt eljárás nem meglepő. Hiszen ha ezt

nem lehetne megcsinálni, akkor a nyelveket nem lehetne egyikről a másikra lefordítani és így

ekkor (nyelvi)szótárak sem létezhetnének.

P és NP

Végezetül nézzük meg, hogy az emberi nyelvek a nyelvi halmazban hol helyezkednek el.

Először definiáljuk a következő fogalamakat:

CO-NP={L nyelv : L NP}=Azon L nyelvek osztálya, melyek komplementere NP – ben van

DTIME(f(n)): Azon L nyelvek osztálya, ahol f: NN és T Turing – gép, amely a w inputra

0-t ír ki, ha w Σ 0*- L és 1-t ír ki, ha w L és legfeljebb f(|w|) lépést tesz meg a leállásig

SPACE(f(n)) vagy DSPACE(f(n)): Azon L nyelvek osztálya, ahol f: NN és T Turing –

gép, amely a w inputra 0-t ír ki, ha w Σ 0*- L és 1-t ír ki, ha w L és legfeljelbb f(|w|) db

mezőt használ fel a leállásig az összes szalagon együttesen.

NTIME(f(n)): Azon L nyelvek osztálya, amelyekhez T Nem determinisztikus Turing – gép,

amely a w L-et f(|w|) megengedett lépésben elfogadja és w nincs L-ben, akkor nem fogadja

el sehány lépésben.

Hol van a magyar nyelv?

Az biztos, hogy a rekurzív nyelvek halmazában. Az is biztos, hogy:

MAGYAR PSPACE

11

Hiszen MAGYAR DSPACE ugyanis, minden magyar szó felismerhető polinomiáls tárban.

Az is világos, hogy:

MAGYAR NP

Hiszen minden magyar szó felismerhető egy NDTG-vel. A MAGYAR nyelv rekurzív, tehát

MAGYAR (MAGYAR komplementere) szintén rekurzív. Mivel MAGYAR benne van NP-

ben, ezért MAGYAR CO-NP:

MAGYAR NP∩Co-NP

Végezetül:

MAGYAR P

Ugyanis minden magyar szó felismerhető polinomiális időben és polinomiáls tárban.

Megjegyzés képen: A MAGYAR nyelv szavai lineáris tárban és időben is felismerhetők. Sőt,

mivel a MAGYAR abc, definiál egy rendezési szabályt, ezért a szavak között kisebb –

nagyobb relációt lehet, alkalmazni, vagyis sorrendbe állítani. Ekkor a MAGYAR nyelv szavai

logaritmikus időben felismerhetők.

A fenti levezetések nem csak a magyar nyelvre, hanem az összes beszélt nyelvre vonatkozik.

Miért érdekes ez? Azért, mert a nyelvek többsége nem rekurzív – ezt bizonyítottuk, még

kevesebb van PSPACE-ben, és persze, ami PSPACE-ben benne van, nem biztos, hogy P-ben

is benne van. A lényeg az, hogy amikor az emberek nyelvet alkotnak, „véletlenül” pont úgy

alkotják, hogy a nyelv szavai lineáris tárban és lineáris időben felismerhetőek legyenek úgy,

hogy közben nem tudják, hogy egyébként ilyet alkotnak.