Click here to load reader

matematika fizika hemija 2017 - upis.tfbor.bg.ac.rs · 4 BLIŽA UPUTSTVA I SUGESTIJE U VEZI PROGRAMA IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNE (KVALIFIKACIONE I KLASIFIKACIONE) ISPITE OSNOVE PROGRAMA

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of matematika fizika hemija 2017 - upis.tfbor.bg.ac.rs · 4 BLIŽA UPUTSTVA I SUGESTIJE U VEZI...

3

MATEMATIKA

4

BLIA UPUTSTVA I SUGESTIJE U VEZI PROGRAMA IZ MATEMATIKE ZA

PRIJEMNE (KVALIFIKACIONE I KLASIFIKACIONE) ISPITE

OSNOVE PROGRAMA INE:

1. Sreivanje i izraunavanje algebarskih izraza 2. Iracionalne jednaine i nejednaine 3. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednaine i nejednaine 4. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jednaine i nejednaine 5. Logaritamska funkcija. Logaritamske jednaine i nejednaine 6. Trigonometrija (funkcije, izrazi, jednaine i nejednaine) 7. Aritmetiki i geometrijski brojni niz 8. Analitika geometrija u ravni 9. Povrina i zapremina nekih tela (prizma, piramida, valjak, kupa, lopta) 10. Geometrija

5

KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE ZA UPIS NA TEHNIKI FAKULTET U BORU

1. Izraunati: 2 3 5 13 48+ + . Reenje: 6 2+

2. Izraunati: 2 3 2 32 3 2 3+

+ +

.

Reenje: 4

3. Uprostiti izraz:4 4

3 66 39 9a a

.

Reenje: 4a

4. Izraunati: 4 33 4 .

Reenje: 36

5. Ako je ( ) 12 3a = + , ( ) 12 3b = , izraunati: 1 1( 1) ( 1)a b + + + . Reenje: 1

6. Odrediti vrednost izraza:1/ 244 3 3:

9 4 2

+ .

Reenje: 98

7. Ako je 0.003, 5.994a b= = , izraunati vrednost

izraza: 2 2 2 21 1 6 (2 ):3 3 9 9

b b a ba b a b a b a b

+ + + .

Reenje: 2

8. Izraunati: 2 2 2

1 1 1 11 7 1 7 1 7 1 7

+ + + + +

.

Reenje: 25

6

9. Izraunati: ( ) 12 3 15 3 53 1 3 2 3 3

+ + .

Reenje: 12

10. Izraunati: ( )1

3 41 12 : 8

4

.

Reenje: 12

11. Ako x zadovoljava jednainu 3 39 9 3x x+ = , odrediti 2x . Reenje: 80 12. Odrediti reenje jednaine: 5 1 1 2x x + = . Reenje: 1 13. Koliko realnih reenja ima jednaina: 2 4x x+ = ? Reenje: 1 14. Koliko reenja ima jednaina: 4 3 1 0x x+ + = ? Reenje: 0 15. Ako je 1 1 1 0x x + + = , odrediti 4x. Reenje: 5 16. Odrediti reenje jednaine: 4 477 20 5x x+ + = . Reenje: { }61, 4 17. Odrediti skup reenja nejednaine: 3 1 2 0x x x+ < .

Reenje: 2 213

x >

18. Odrediti skup reenja nejednaine: 2 23 5 6 2x x x x x+ < + .

Reenje: 5 97 5 97, , 26 6

+

U

7

19. Odrediti skup reenja nejednaine: 13 12

x x + > .

Reenje: 311,18

20. Odrediti skup reenja nejednaine: 2 1 2 12 9

x xx

< + +

.

Reenje: 450,8

21. U trouglu ABC je AC=24cm, BC=10cm, AB=26cm. Izraunati poluprenik

upisanog kruga. Reenje: 4cm 22. Stranice trougla su 25, 39 i 40. Izraunati prenik opisanog kruga.

Reenje: 1253

23. Obim jednakokrakog pravouglog trougla je 10. Izraunati njegovu povrinu. Reenje: ( )25 3 2 2 24. Odrediti povrinu najveeg trougla koji se moe upisati u polukrug poluprenika r. Reenje: 2r 25. Ako su hipotenuza c i jedna kateta a pravouglog trougla uzastopni prirodni

brojevi, odrediti drugu katetu. Reenje: a c+ 26. Nai odnos povrine kvadrata upisanog u polukrug prema povrini kvadrata

upisanog u ceo krug. Reenje: 2 : 5 27. Ako je u trouglu ABC AC=CD (taka Dje na stranici BC, izmeu B i C) i

A -B = 300, odrediti BAD. Reenje: 015 28. Povrina trapeza je 1400, a njegova visina je 50. Nai njegove osnovice ako se zna

da su to brojevi deljivi sa 8. Koliko reenja ima ovaj problem? Reenje: 3

8

29. Dat je pravougli trougao ABC, ije su katete BC=3, AC=4. Prav ugao kod temena C podeljen je na tri jednaka dela duima CD I CE, gde su take D i E na hipotenuzi AB. Odrediti duinu krae od ove dve dui.

Reenje: 32 3 2413

30. U trouglu ABC odnos stranica je AC:CB=3:4. Simetrala spoljanjeg ugla kod

temena C see produetak stranice BA u taki P, pri emu je taka A izmeu P i B. Odrediti odnos PA:AB.

Reenje: 3:1 31. Pravougli paralelpiped ima tri para jednakih strana (pravougaonika). Ako su

povrine tih strana 2 2 212 ,8 ,6cm cm cm , nai zapreminu tog paralelepipeda. Reenje: 324cm 32. Kolika je visina prave kupe najmanje zapremine, opisane oko sfere poluprenika

R? Reenje: 4H R= 33. Bazis prave trostrane piramide je jednakostranini trougao ija je stranica 10cm.

Visina piramide je je 15cm. U nju je upisana trostrana prizma jednakih ivica, tako da joj tri temena lee na bazisu piramide, a ostala tri temena na bonim ivicama piramide. Odrediti zapreminu prizme.

Reenje: 354 3cm 34. Zapremina kvadra je 32080cm , povrina 2996cm a obim osnove 58cm . Kolike su

duine osnovnih ivica kvadra? Reenje: 10,13,16 35. Piramida visine 16cm ima bazu povrine 2512cm . Na kojoj visini iznad baze treba

presei piramidu paralelno bazi, tako da presek ima povrinu 250cm ? Reenje: 11cm 36. Nai povrinu i zapreminu trostrane piramide kojoj je osnova pravougli trougao sa

katetama 8cm i 6cm, ako su joj bone strane nagnute prema ravni osnove pod uglom od 030 .

Reenje: 3 216 3 , 24 16 33

V cm P cm= = +

9

37. Osnovne ivice pravilne etvorostrane zarubljene piramide su 30cm i 20cm. Izraunati zapreminu piramide, ako su sve bone ivice nagnute prema ravni vee osnove pod uglom od 045 .

Reenje: 39500 23

cm

38. Izvodnica prave kupe, duine 10cm, nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od

030 . Izraunati zapreminu kupe. Reenje: 125 3cm 39. Osni presek prave kupe je trougao koji ima jedan ugao od 0120 . U kupu je upisan

jednakostranini valjak poluprenika r=2cm, tako da mu jedna baza lei u ravni baze kupe, a druga dodiruje celim obimom omota kupe. Izraunati povrinu kupe.

Reenje: 152 3843

P

= +

2cm

40. Oko zarubljene kupe visine 22cm, poluprenika baza 20cm i 24cm opisana je lopta.

Izraunati povrinu lopte. Reenje: 2500 2cm 41. Odrediti tako da prava 10 ( ) 0x y x y+ + = , dodiruje krug 2 2 5x y+ = . Reenje: 3 42. Odrediti taku koja pripada elipsi 2 24 9 72x y+ = i koja je najblia pravoj

2 3 25 0x y + = . Reenje: ( )3,2 43. Kroz taku (-2,1) postaviti tetivu elipse 2 24 9 36x y+ = koju ta taka polovi. Reenje: 9 8 25y x= + 44. Napisati jednainu hiperbole ije su asimptote 2 0y x = , a tangenta

5 6 8 0x y = . Reenje: 2 24 4x y = 45. Ako parabola 2y ax bx c= + + prolazi kroz take (-1,12), (0,5) i (2,-3), odrediti

a b c+ + . Reenje: 0 46. Odrediti K , ako se zna da take (2,-3), (4,3) i (5, / 2)K pripadaju istoj pravoj. Reenje: 12

10

47. U paraboli 2 4y x= upisan je jednakostranini trougao ije je jedno teme u koordinatnom poetku. Odrediti stranicu trougla.

Reenje: 8 3 48. Od svih taaka hiperbole 2 23 4 72x y = , taka P je najblia pravoj 3 2 1 0x y+ + = .

Odrediti zbir koordinata take P. Reenje: 3 49. Odrediti a b+ , ako se zna da su prave 4 25 0x y+ = i 4 9 75 0x y+ = tangente

elipse 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = . Reenje: 20 50. ia F parabole 2y x= i preseci A i B te parabole sa pravom 4x = temena su

trougla ABF. Odrediti njegovu povrinu.

Reenje: 152

51. Zbir prvih sedam lanova aritmetikog niza je 98, a zbir drugog i petog lana je 25.

Nai sumu prvih 15 lanova tog aritmetikog niza. Reenje: 39015 =S . 52. Prvi lan aritmetikog niza je 25, a suma prvih n lanova je 2745. Ako je zbir

treeg i osmog lana tog niza 185, nai n . Reenje: 18=n . 53. Zbir prvih pet lanova opadajueg aritmetikog niza je -30, a proizvod prvog i

etvrtog lana tog niza je -20. Odrediti taj niz. Reenje: 4,21 == da . 54. Zbir prva tri lana rastueg aritmetikog niza je 36, a zbir kvadrata prva tri lana je

482. Odrediti taj niz. Reenje: 5,71 == da . 55. Za koju vrednost realnog broja x brojevi ( )32log),12(log,2log + xx

predstavljaju u datom poretku tri uzastopna lana aritmetikog niza. Reenje: 5log2=x . 56. Odrediti duine stranica pravouglog trougla ako ine aritmetiki niz sa razlikom 4. Reenje: 20,16,12 === cba .

11

57. etvrti lan geometrijskog niza vei je od drugog lana za 24, dok je zbir drugog i treeg lana jednak 6. Izraunati sumu prvih pet lanova te progresije.

Reenje: 5

7815 =S .

58. Koliko lanova ima geometrijski niz, ako je zbir prvog i petog lana 51, zbir

drugog i estog 102, a zbir svih lanova 3069. Reenje: 10=n . 59. Zbir prva tri lana rastueg geometrijskog niza je 91. Ako tim brojevima dodamo

redom 25, 27 i 1 dobiemo aritmetiki niz. Nai te brojeve. Reenje: 7, 21 i 63.

60. etiri broja ine geometrijski niz. Njihovi logaritmi za osnovu 2 ine aritmetiki

niz ija je razlika 2, a suma 16. Odrediti ta etiri broja. Reenje: 2, 8, 32 i 128. 61. Ako je k=2log6 , izraunati 9log6 . Reenje: 2(1-k). 62. Ako je ba == 3log,2log 55 , izraunati 100log45 .

Reenje: 12)1(2

++

ba .

63. Reiti jednainu: 1)524(log 15 +=+

xx . Reenje: 1=x . 64. Reiti jednainu: 78log4log2 =+ xx . Reenje: { }8,16x .

65. Reiti jednainu: 32log)2(log)15(log4log213log ++=++ xx

Reenje: 1=x . 66. Reiti jednainu: 2)22(log)12(log 122 =++

+xx Reenje: 0=x .

67. Reiti nejednainu: )3(log4

1log 331 x

x>

+ .

Reenje: )3,1()1,1( x . 68. Reiti nejednainu: xx 2loglog2 > . Reenje: )100,1(x

12

69. Reiti nejednainu: 3)34(log 221 + xx .

Reenje: ( ] [ )+ ,51,x .

70. Reiti sistem jednaina: 2

2loglog2 =

=+

yx

yx xy .

Reenje: 2,2 == yx . 71. Reiti jednainu: 18932732 22 =+ + xx . Reenje: 2=x . 72. Reiti jednainu: .018379 = xx Reenje: 4=x . 73. Reiti jednainu: 1234 122

22

= xxxx .

Reenje: 23

=x .

74. Reiti jednainu: 2813 39 = xx .

Reenje: 72

=x .

75. Reiti jednainu: xxx 365812163 =+ .

Reenje:

21,0x .

76. Reiti nejednainu: 0433 1 x .

13

81. Izraunati: oooo 80cos60cos40cos20cos .

Reenje: 161 .

82. Izraunati vrednost izraza: 1

sin1cos

ctgxx

tgxx , ako je

14

90. Reiti nejednainu: 02sin5sin2 2 >++ xx .

Reenje:

++ kkkx ,2

67,2

6 .

91. Nai vrednost realnog parametra a za koju kvadratna jednaina

xaxa )1(2)52( 2 03 =+ ima dvostruko reenje. Reenje: 4=a .

92. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti prirodu reenja kvadratne jednaine

01)5()2( 2 =++ xkxk . Reenje: Za ( ) ( )+ ,113,k reenja su realna i razliita, za { }11,3k reenja su realna i jednaka, a za ( )11,3k reenja su konjugovano-kompleksna.

93. Nai sve vrednosti realnog parametra m za koje je kvadratna funkcija

y= 2)12(2 2 +++ mxmx pozitivna za svako realno x .

Reenje:

25,

23m .

94. Nai sve vrednosti realnog parametra m za koje dvostruka nejednakost

1552

1)3(0 22