MATEMATIKA HORVÁT NYELVENdload.oktatas.educatio.hu/erettsegi/feladatok_2017tavasz_kozep/k... · Označivši traženi kut s α, a zatim napisavši kosinusov poučak za stranu BC u

Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613

EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

ÉR

ET

TS

ÉG

I V

IZS

GA

• 2

01

7.

má

jus

9.

Matematika horvát nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

1613 írásbeli vizsga 2 / 14 2017. május 9.

Važne informacije Formalni propisi:

1. Molimo vas da radnju ispravite čitko i kemijskom olovkom čija se boja razlikuje od one kakvom je pisao pristupnik.

2. U prvom od dvaju sivih pravokutnika koji se nalaze pored zadatka upisan je maksimalni broj bodova za dani zadatak, a broj bodova koje daje profesor koji ispravlja radnje upisuje se u pravokutnik pored njega.

3. U slučaju besprijekornog rješenja vas molimo da pored upisivanja maksimalnog broja bodova, upisivanjem znaka kvačice signalizirajte da ste danu misaonu cjelinu vidjeli i vrednovali kao dobru.

4. U slučaju manjkavih/netočnih rješenja vas molimo da pored označavanja pogreške i pojedine parcijalne bodove zapišete na radnju. Ako ispravak radnje time biva pregledniji, onda se može prihvatiti i zapisivanje izgubljenih parcijalnih bodova. Neka ne ostane takvih dijelova rješenja o kojima nakon ispravka nije jasno radi li se o ispravnom, pogrešnom ili suvišnom dijelu.

5. Tijekom ispravljanja koristite sljedeće oznake: ispravan korak: znak kvačice pogreška u načelu: dvostruko podcrtavanje pogreška u računanju ili druga pogreška koja nije pogreška u načelu:

podcrtavanje jednom crtom pravilan korak učinjen pogrešnim početnim podatkom: isprekidani ili precrtani

znak kvačice manjkavo obrazloženje, manjkavo nabrajanje ili neki drugi nedostatak: znak da

nešto nedostaje nerazumljiv/nejasan dio: upitnik i / ili valovita crta

6. One dijelove rješenja koji su pisani grafitnom olovkom – osim crteža – nemojte vrednovati.

Pitanja u svezi sa sadržajem:

1. Kod pojedinih smo zadataka dali i bodovanje više rješenja. Ukoliko ste dobili rješenje koje odstupa od danih, potražite one dijelove rješenja koji su ekvivalentni rješenjima Upute i na osnovi toga bodujte.

2. Bodovi Upute se mogu dalje dijeliti, osim ako u Uputi nije predviđeno drukčije. Međutim, bodovi koji se daju mogu biti samo cijeli.

3. Ako rješenje sadrži netočnost, pogrešku u računanju, učenik ostaje bez bodova samo za onaj dio zadatka gdje je učinio pogrešku. Ako s pogrešnim parcijalnim rješenjem, ali pravilnim postupkom učenik radi dalje i problem koji se mora riješiti u biti ne mijenja, onda mu se moraju dati sljedeći parcijalni bodovi.

4. U slučaju pogreške u načelu, u okviru jedne misaone cjeline (one su u Uputi označene dvostrukom crtom) se ne dodjeljuju bodovi niti za formalno pravilne matematičke korake. Međutim, ako učenik s pogrešnim rezultatom koji je dobio primjenom pogrešnog načela kao polaznim podatkom pravilno računa u sljedećoj misaonoj cjelini ili dijelu pitanja, onda za taj dio mora dobiti maksimalni broj bodova ako se problem koji se mora riješiti nije bitno promijenio.



5. Ako su u Uputi za ispravljane i vrednovanje primjedbe ili jedinice za mjerenje

navedene u zagradama onda je i bez njih rješenje potpuno. 6. Od više pokušaja rješenja zadatka može se vrednovati onaj jedan koji je pristupnik

označio. Tijekom ispravljanja radnje nedvosmisleno označite koju ste varijantu vrednovali, a koju niste.

7. Za rješenja zadataka se ne mogu dati nagradni bodovi (više od maksimalnog broja bodova za rješenje zadatka ili dijela zadatka).

8. Ukupni broj bodova dan za zadatak ili dio zadatka ne može biti negativan. 9. Ne oduzimaju se bodovi za one pogrešne parcijalne izračune i korake koje pristupnik

u stvari nije koristio pri rješavanju zadatka. 10. Za razlaganje slijeda promišljanja se korištenje džepnog kalkulatora bez daljnjeg

matematičkog objašnjenja može prihvatiti za sljedeće operacije: zbrajanje,

oduzimanje, množenje, dijeljenje, stepenovanje, korjenovanje, n!, izračunavanje

kn

,

supstitucija tablica koje se nalaze u priručnim tablicama (sin, cos, tg, log i njihove inverzije), zadavanje približne vrijednosti brojev π i e, definiranje korijena kvadratne jednadžbe uređene na nulu. Bez daljnjeg matematičkog objašnjenja se smiju koristiti džepni kalkulatori za izračunavanje prosjeka i standardne deviacije u onim slučajevima kada se tekstom zadatka izričito ne traži prikazivanje detaljnih izračuna u svezi s tim. U ostalim slučajevima se izračuni obavljeni strojem tretiraju postupkom bez opravdanja, stoga se za to ne daju bodovi.

11. Korištenje prikaza (naprimjer očitavanje podataka mjerenjem) kao odlučujućeg argumenta se ne može prihvatiti.

12. Kod navođenja vjerojatnosti (ako zadatkom to nije drugačije definirano) može se prihvatiti i pravilan odgovor naveden u postotcima.

13. Ako tekstom zadatka nije propisana obveza zaokruživanja, onda se može prihvatiti racionalnim i pravilnim zaokruženjem dobiveni dio rješenja i konačno rješenje koje odstupa od rješenja danih u Uputi.

14. Od 3 naznačena zadatka niza zadataka II. B dijela mogu se vrednovati samo rješenja 2 zadatka. Kandidat je, pretpostavljamo, u polje kvadrata namijenjenog u tu svrhu upisao redni broj zadatka čija se ocjena neće pribrojiti sveukupnom broju bodova. Sukladno tome se eventualno rješenje naznačenog zadatka ne mora ispraviti. Ako pristupnik nije označio koji zadatak ne želi da se vrednuje i izbor nije nedvosmisleno jasan niti iz radnje, onda je automatski posljednji u nizu navedenih zadataka onaj koji ne treba vrednovati.



I.

1.

21 x 1 bod

02 x 1 bod Ukupno 2 boda

2. (23 + 19 – 29 =) 13 učenika bi rado išlo na oba festivala. 2 boda

Ukupno: 2 boda 3. 10111 2 boda

Ukupno: 2 boda 4. Zabilježili smo ukupno 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 14 rukovanja, 1 bod Ova 2 boda se daju i za

crtanje jednog odgovarajućeg grafa. ali smo tako svako rukovanje računali dva puta. 1 bod

Dakle, broj rukovanja je 7. 1 bod Ukupno: 3 boda

5. x = 16 2 boda

Ukupno: 2 boda 6. x = – 1 2 boda

Ukupno: 2 boda 7. C 2 boda

Ukupno: 2 boda Primjedba: Ako pristupnik pored ispravnog odgovora naznači i jedan pogrešan, onda neka dobije 1 bod.



8. Osnova prizme je jednakostranični trokut čija je

površina 4

342 (= 34 ≈ 6,93 cm2).

2 boda

Volumen prizme je 344 ≈ 1 bod ≈ 27,7 cm3. 1 bod

Ukupno: 4 boda 9.

6,1x 2 boda Ukupno: 2 boda

10.

A: istinita B: lažna C: istinita

2 boda

Za dva ispravna odgovora se daje 1, u slučaju jednog ispravnog odgovora 0 bodova.

Ukupno: 2 boda 11.

CBA = {d; e; f} 2 boda (A B) \ C = {a; b; h} 2 boda

Ukupno: 4 boda 12. Bacajući dvije kocke broj mogućih slučajeva je 36 (svi slučajevi). 1 bod

Umnožak bacanjem dobivenih brojeva na jedan način može biti 9 (3 · 3). 1 bod

Tražena vjerojatnost je 361 ( 702,0 ). 1 bod

Ukupno: 3 boda



II. A

13. a) prvo rješenje

Iz prve jednadžbe y = 1 – 3x, 1 bod Iz druge jednadžbe x = 12 – 2y.

to uvrštavajući u drugu jednadžbu: x + 2 – 6x = 12. 1 bod 36 – 6y + y = 1

Iz toga x = – 2, 1 bod i y = 7. 1 bod Provjera (naprimjer uvrštavanjem u obje jednadžbe). 1 bod

Ukupno: 5 bodova 13. a) drugo rješenje

Oduzimajući drugu jednadžbu iz dvostruke prve jednadžbe: 5x = –10. 2 boda

Oduzimajući trostruku drugu jednadžbu iz prve jednadžbe: –5y = –35.

Iz toga x = – 2, 1 bod i y = 7. 1 bod Provjera (naprimjer uvrštavanjem u obje jednadžbe). 1 bod

Ukupno: 5 bodova 13. b)

42555352 xx 1 bod Nakon zbrajanja: 425517 x , 1 bod iz čega 255 x . 1 bod (Zbog obostrane jednosmislenosti eksponencijalne funkcije) x = 2. 1 bod

Provjera uvrštavanjem ili pozivanjem na ekvivalenciju. 1 bod

Ukupno: 5 bodova 14. a)

Grafikon funkcije potječe iz grafikona funkcije apsolutne vrijednosti, 1 pont

čiji je na mjestu x = 4 minimum 0, 1 pont

i reduciran je na zadani skup. 1 pont

Ukupno: 3 boda



14. b) prvo rješenje Prikazujući funkciju g u istom koordinatnom sustavu:

2 boda

Prva koordinata sjecišta očitana s prikaza x = 1. 1 bod Provjera uvrštavanjem: f(1) = g(1) = 3. 1 bod

Ukupno: 4 boda 14. b) drugo rješenje (Treba riješiti jednadžbu 124 xx .) (u slučaju –2 ≤ x < 4:) 124 xx ,

1 bod

iz čega x = 1, i to je (provjereno naprimjer uvrštavanjem) zaista rješenje. 1 bod

(U slučaju 4 ≤ x ≤ 5:) 124 xx , 1 bod iz čega x = −5, ali to nije rješenje zadatka. 1 bod

Ukupno: 4 boda 14. c) prvo rješenje Zbroj brojeva čine prvih 46 članova jednog aritmetičkog niza, 1 bod Ova se 2 boda daju i

onda ako ta razmišljanja postanu razvidna samo iz rješenja.

čiji je prvi član jednak 5. članu prvobitnog niza i diferencija mu je 2. 1 bod

5. član prvobitnog niza: )243( 11. 1 bod

Traženi zbroj: 462

245112 1 bod

= 2576. 1 bod Ukupno: 5 bodova



14. c) drugo rješenje

Zbroj prvih 50 članova niza: 502

24932 1 bod

= 2600. 1 bod Zbroj prva četiri člana: (3 + 5 + 7 + 9 =) 24. 1 bod Traženi zbroj je razlika ta dva zbroja, to jest 2600 – 24 = 1 bod

= 2576. 1 bod Ukupno: 5 bodova

Primjedba: Ako pristupnik navođenjem i zbrajanjem članova niza da pravilan odgovor neka dobije sve bodove.

15. a) prvo rješenje Polovište strane AC je (3,5; −6), 1 bod Polovište strane BC je (8,5; 6). 1 bod Duljina tražene središnjice

22 ))6(6()5,35,8( 1 bod

= 13. 1 bod Ukupno: 4 boda

15. a) drugo rješenje Duljina stranice AB je 22 ))10(14())4(6( 1 bod = 26. 1 bod

Duljina središnjice je jednaka s polovinom duljine strane koja je paralelna s njom, 1 bod

Ovaj se bod daje i onda ako ta misao postaje razvidna tek iz rješenja.

to jest 13. 1 bod Ukupno: 4 boda

15. b) Visina koja pripada strani AB smješta se na vrh C i okomita je na stranu AB, 1 bod


tako je njen normirani vektor AB (10; 24). 2 boda n(5; 12) (Jedna) jednadžba traženog pravca je 10x + 24y = 1 bod 5x + 12y = = 62. 1 bod = 31

Ukupno: 5 bodova



15. c) prvo rješenje AB = 22 ))10(14())4(6( 26

AC = 22 ))10(2())4(11( 17

BC = 22 )142()611( 281 (≈ 16,76)

2 boda

Označivši traženi kut s α, a zatim napisavši kosinusov poučak za stranu BC u trokutu ABC:

cos26172676289281 1 bod

Iz toga: cos α ≈ 0,7738, 1 bod tako α ≈ 39,3°. 1 bod

Ukupno: 5 bodova 15. c) drugo rješenje Unutarnji kut kod vrha A je razlika smjernih kutova straničnih pravaca AB i AC.

1 bod Ovaj se bod daje i onda ako ta misao postaje razvidna tek iz rješenja.

(Označivši smjerni kut straničnog pravca AB s δ) tg δ = 2,4. 1 bod

(Označivši smjerni kut straničnog pravca AC s ε)

tg ε =158 . 1 bod

δ ≈ 67,38°, ε ≈ 28,07° 1 bod Tako α = δ – ε ≈ 39,3°. 1 bod

Ukupno: 5 bodova 15. c) treće rješenje Dva stranična vektora koji zatvaraju traženi kut: AB (10; 24) i AC (15; 8).

1 bod

Skalarni produkt dvaju vektora je jednim dijelom 3428241510 , 1 bod

drugim dijelom αcos1726 . 1 bod Iz toga je cos α ≈ 0,7738, 1 bod tako je α ≈ 39,3°. 1 bod

Ukupno: 5 bodova



II. B

16. a) Radijus jedne loptice je 10 cm, a druge 8 cm. 1 bod

Volumen loptica je 31034

≈ 4189 (cm3),

odnosno 3834

≈ 2145 (cm3), 1 bod

ukupno otprilike 6334 (cm3). 1 bod

To iznosi 80% volumena nestezanog materijala za punjenje, 1 bod


tako je nestezani volumen 10080

6334 ≈ 7918 (cm3), 1 bod

što je otprilike 7,9 litara. 1 bod Ukupno: 6 bodova

16. b)

Radijus R kružnog isječka je jednak s izvodnicom stošca,

1 bod Ovaj se bod daje i onda ako ta misao postaje razvidna tek iz rješenja.

čija je duljina 22 8,42 R = 5,2 (cm). 1 bod

Duljina luka kružnog isječka je jednaka opsegu osnovne kružnice stošca, 1 bod


što je 2 · 2 · π (≈ 12,57 cm). 1 bod

Neka središnji kut kružnog isječka mjereno u stupnjevima označi s a, tada je

π2360

απ4 R

,

1 bod 2,54 radijan =

iz čega je α = 2,5

3602 ≈ 138,5°. 1 bod 180

2,54

≈ 138,5°

Ukupno: 6 bodova



16. c) Oči mogu imati 6 vrsta veličina. 1 bod (Dugmad od najmanjeg do najvećeg označimo brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6.) Ako je onaj s brojem 4 gornji, onda postoji samo jedna mogućnost (4-5-6). Ako je onaj s brojem 3 gornji, onda postoje tri mogućnosti (3-4-5; 3-4-6; 3-5-6).

1 bod Veličina triju dugmadi za kaput se može izabrati na

36

(= 20) načina Tome slično ako je dugme s brojem 2 gornje, onda ima 6 mogućnosti. Ako je najmanje dugme gornje, to znači da ima daljnjih 10 mogućnosti.

1 bod

Ukupno ima: 1 + 3 + 6 + 10 = 20 različitih mogućnosti za prišivanje dugmadi. 1 bod

Nakon ovoga je prišivanje dugmadi, zbog rastućeg redoslijedu, nedvosmisleno.

Mama može sastaviti 206 = 120 vrsta različitih planova. 1 bod

Ukupno: 5 bodova 17. a) Auto je tijekom prvog sata prešao 70, tijekom drugog sata 120 km, 1 bod

za to je potrošio ukupno 5,81001206

10070

1 bod

= 4,2 + 10,2 litre benzina. 1 bod Ukupno je dakle prošao 190 km, za što je potrošio ukupno 14,4 litara benzina. 1 bod

Tako je njegova prosječna potrošnja na cijelom putu

100190

4,14 ≈ 1 bod

≈ 7,6 litara (na svakih 100 kilometara). 1 bod

Ovaj se bod ne daje ako pristupnik ne zaokruži ili pogrešno zaokruži rezultat.

Ukupno: 6 bodova 17. b) prvo rješenje Auto prođe (25 · 1,6 =) 40 kilometara s 3,8 litara benzina. 1 bod

Prosječna je potrošnja 10040

8,3 = 1 bod

= 9,5 litara na 100 kilometara. 1 bod Ukupno: 3 boda



17. b) drugo rješenje Auto prijeđe (25 · 1,6 =) 40 kilometara s 3,8 litara benzina. 1 bod

100 kilometara je 2,5 puta više od 40 km, 1 bod tako je prosječna potrošnja na 100 kilometara 2,5 ∙ 3,8 = 9,5 litara. 1 bod

Ukupno: 3 boda 17. c) (Ako prijeđeni put prvog dana x milja, onda)

69,0186 x . 2 boda

Gospodin Kovač je prvoga dana prešao 69,0186x ≈

350 milja. 1 bod

Ukupno: 3 boda Primjedba: Ako pristupnik za svaki dan naznači (odgovarajućim zaokruživanjem) dužinu prijeđenog puta i na osnovi toga pravilno odgovori, neka dobije sve bodove. 17. d) Registarske oznake mogu završavati na 410 vrsta kombinacija četiriju brojeva.

1 bod

Brojke će se razlikovati u 78910 (= 5040) slučajeva. 1 bod

Vjerojatnost da će na jednoj registarskoj tablici izabranom metodom slučaja brojke biti različite je:

504,010

789104

. 1 bod

Vjerojatnost da će biti izabrane registarske tablice s jednakim brojkama je 1− 0,504 = 0,496. 1 bod 0,504 > 0,5

Dakle, veća je vjerojatnost toga da će brojke na izabranoj registarskoj tablici biti različite, nego vjerojatnost toga da će sadržati jednake brojke.

1 bod

Ukupno: 5 bodova



18. a) (Sve vrijednosti mjerene u 2s

m) prosjek osam vrijednosti

je 9, 85, 1 bod

Ti se bodovi daju i onda ako pristupnik standardnu deviaciju izračuna neposredno na džepnom kalkulatoru.

standardna deviacija

8

05,01,01,005,0015,01,005,0 22222222

= 0075,0806,0 ≈

1 bod

≈ 0,087, 1 bod što je manje od 0,1 dakle, mjerenje se smatra dobrim. 1 bod

Ukupno: 4 boda 18. b) Prosjek izračunavamo vaganom aritmetičkom sredinom. 1 bod


4095,969,9785,988,91075,977,92

≈ 1 bod

≈ 9,84

2sm

1 bod

U redoslijedu po veličini je rezultat 20. i 21. mjerenja

9,85 2sm , 1 bod

tako je medijan 9,85

2sm

. 1 bod

Ukupno: 5 bodova



18. c) prvo rješenje Ako prvu bakrenu kuglicu u cijev punimo kao prvu u redoslijedu, onda za drugu bakrenu kuglicu imamo 8 mogućnosti.

1 bod

Slično tome, ako prvu bakrenu kuglicu u cijev punimo kao 2., 3., ..., 8 u redoslijedu, onda za drugu bakrenu kuglicu po redu imamo 7, 6, ... 1 različitih mjesta.

2 boda

Broj mogućih rasporeda je njihov zbroj, 1 bod Ovaj se bod daje i onda ako ta misao postaje razvidna tek iz rješenja..

to jest (8 + 7 + … + 1 =) 36. 1 bod Ukupno: 5 bodova

18. c) drugo rješenje

Broj odgovarajućih redoslijeda je jednak razlici broja mogućih redoslijeda i broja neispravnih redoslijeda. 1 bod

Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.

Broj mogućih različitih redoslijeda (na koliko načina možemo izabrati mjesta dviju bakrenih kuglica od 10

mjesta):

2

10

1 bod

= 45. 1 bod Ako dvije bakrene kuglice postavimo jednu kraj druge, onda mogu biti smještena u cijevi na 9 „mjesta“.

1 bod

U 45 – 9 = 36 slučajeva dvije bakrene kuglice nisu jedna pored druge. 1 bod

Ukupno: 5 bodova

18. c) treće rješenje 8 željeznih kuglica za bakrene kuglice predodređuje 9 mogućih mjesta koja nisu susjedna. 2 boda

Od tih 9 mjesta moramo izabrati dva. 1 bod

To možemo napraviti na

29

= 1 bod

= 36 načina. 1 bod Ukupno: 5 bodova

18. d) Vjerojatnost toga da će jedno mjerenje biti uspješno je: 1 – 0,06 = 0,94. 1 bod


(Mjerenja su neovisna, tako) je vjerojatnost da će svih 40 mjerenja biti uspješna: 4094,0 ≈ 1 bod

≈ 0,084. 1 bod Ukupno: 3 boda

Documents

MATEMATIKA HORVÁT NYELVENdload.oktatas.educatio.hu/erettsegi/feladatok_2017tavasz_kozep/k... · Označivši traženi kut s α, a zatim napisavši kosinusov poučak za stranu BC u