Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika I. a II.
Robert Mařı́k a Lenka Přibylová
8. března 2007
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah
Základy matematické logiky 9
Základnı́ množinové pojmy 13
Množina reálných čı́sel a jejı́ podmnožiny 16
Funkce 18
Složená funkce 20
Vlastnosti funkcı́ 22
Inverznı́ funkce 37
Komplexnı́ čı́sla 42
Polynomy 56
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Celočı́selné kořeny 59
Racionálnı́ lomená funkce 83
Čı́selné vektory 85
Lineárnı́ kombinace vektorů 102
Lineárnı́ závislost a nezávislost vektorů. 103
Matice 105
Operace s maticemi 108
Hodnost matice 127
Inverznı́ matice 132
Determinant matice 139
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Soustavy lineárnı́ch rovnic 154
Gaussova eliminačnı́ metoda 159
Cramerovo pravidlo 160
Analytická geometrie v rovině 161
Kuželosečky 168
Analytická geometrie v prostoru 174
Významné plochy v prostoru 182
Diferenciálnı́ počet funkcı́ jedné proměnné 184
Limita funkce 186
Jednostranná limita 189
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nevlastnı́ body 193
Nevlastnı́ limita 195
Limita v nevlastnı́m bodě 198
Spojitost funkce 199
Pravidla pro počı́tánı́ s limitami 201
Výpočet limity funkce 205
Derivace funkce 207
Vzorce a pravidla pro derivovánı́ 213
Diferenciál funkce 216
Derivace vyššı́ch řádů 218
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Užitı́ derivacı́ k výpočtu limit 220
Monotónnost funkce. Lokálnı́ extrémy. 222
Konvexnost a konkávnost. Inflexnı́ body. 225
Asymptoty funkce 228
Průběh funkce 230
Taylorův polynom 231
Integrálnı́ počet funkcı́ jedné proměnné 234
Základnı́ vzorce a pravidla 236
Metoda per partes 239
Substitučnı́ metoda 241
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Integrace racionálnı́ch lomených funkcı́ 244
Integrace goniometrických funkcı́. 248
Integrace iracionálnı́ch funkcı́. 249
Integrace složené exponenciálnı́ funkce 251
Určitý integrál 252
Newton–Leibnitzova formule 256
Vlastnosti určitého integrálu 257
Výpočet určitého integrálu 258
Geometrické aplikace určitého integrálu 259
Nevlastnı́ integrál 262
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Diferenciálnı́ počet funkcı́ dvou proměnných 265
Parciálnı́ derivace 271
Diferenciál a tečná rovina plochy 273
Lokálnı́ extrémy funkcı́ dvou proměnných 275
Absolutnı́ extrémy 279
Integrálnı́ počet funkcı́ dvou proměnných 281
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Základy matematické logiky
Definice: Výrok je sdělenı́ o jehož pravdivosti můžeme rozhod-nout. Pravdivostnı́ hodnotou výroku V je čı́slo p(V) = 1, pokudje výrok V pravdivý a p(V) = 0, pokud je výrok V nepravdivý.
Logické spojky umožňujı́ z jednotlivých výroků tvořit složitějšı́.
negace ¬A nenı́ pravda, že Akonjunkce A ∧ B A a zároveň Bdisjunkce A ∨ B A nebo Bimplikace A ⇒ B jestliže A, pak Bekvivalence A ⇔ B A právě když B
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Tabulka pravdivostnı́ch hodnot základnı́ch výroků:
p(A) p(B) p(¬A) p(A ∧ B) p(A ∨ B)1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 0
p(A) p(B) p(A ⇒ B) p(A ⇔ B)1 1 1 11 0 0 00 1 1 00 0 1 1
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Tautologie je složený výrok, který má vždy pravdivostnı́hodnotu 1 bez ohledu na to, jaké jsou pravdivostnı́ hodnoty vý-roků, z nichž je utvořen.
Věta: Následujı́cı́ výroky jsou tautologie:
A ∨ ¬A, A ⇔ A, ¬¬A ⇔ A, (A ⇒ ¬A) ⇒ ¬A
¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B), ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B), (A ⇔ B) ⇔ (¬A ⇔ ¬B)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sdělenı́ ”celé čı́slo x je většı́ než 1” nenı́ výrok, protože nelzerozhodnout o jeho pravdivosti či nepravdivosti. Teprve když za xdosadı́me nějakou přı́pustnou konstantu, dostaneme výrok. Takovétosdělenı́ se nazývá výroková forma.
Je-li V(x) výroková forma, pak jejı́ definičnı́ obor je množina těch αtakových, že V(α) je výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) jemnožina těch α z definičnı́ho oboru, že V(α) je pravdivý výrok.
Z výrokové formy můžeme vytvořit výrok dosazenı́m konstanty zdefiničnı́ho oboru nebo tzv. kvantifikacı́ proměnných. Kvantifikovanývýrok vytvořı́me z výrokové formy tak, že udáme počet objektů, proněž z výrokové formy utvořı́me výrok pomocı́ kvantifikátoru ”každý”(∀), ”alespoň jeden” (∃), ”nejvýše dva”, ”právě tři” atd.
⇒ Přı́klady z logiky ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Základnı́ množinové pojmy
Množina je soubor nějakých věcı́ nebo objektů, které nazývme prvkymnožiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zdado dané množiny patřı́. Množiny značı́me zpravidla velkými pı́smenyA, B, C, . . . , jejich prvky malými pı́smeny a, b, c, x, . . . . Přı́slušnost resp.nepřı́slušnost prvku x do množiny A značı́me
x ∈ A, resp. x /∈ A
Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků
A = {1, 4, 7}
nebo zadánı́m pravidla, které určı́, zda daný prvek do množiny patřı́nebo ne
A = {x : x je sudé ∧ 0 ≤ x < 7} = {0, 2, 4, 6}
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Sjednocenı́m množin A a B nazýváme množinu
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
průnikem množin A a B nazýváme množinu
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},
rozdı́lem množin A a B nazýváme množinu
A − B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značı́meji ∅. Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývákonečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývánekonečná.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Základnı́ čı́selné množiny majı́ pevně dohodnutá označenı́:
Definice:
N = {1, 2, 3, . . .} . . . množina přirozených čı́selZ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} . . . množina celých čı́sel
Q =
{m
n: m ∈ Z, n ∈ N
}
. . . množina racionálnı́ch čı́sel
R = (−∞, ∞) . . . množina reálných čı́selI = R − Q . . . množina iracionálnı́ch čı́selC = {a + ib : a, b ∈ R} . . . množina komplexnı́ch čı́sel
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Množina reálných čı́sel a jejı́ podmnožiny
Definice: Podmnožinou B množiny A rozumı́me libovolnoumnožinu, jejı́ž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tutovlastnost množiny B zapisujeme takto: B ⊆ A
Množinu R zobrazujeme jako přı́mku. Typickými podmnožinamimnožiny R jsou intervaly.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přı́mceúsečkou s prázdnými krajnı́mi body.
a b
a < x < b
uzavřený interval 〈a, b〉 označujeme hranatými závorkami a na přı́mceúsečkou s plnými krajnı́mi body.
a b
a ≤ x ≤ b
Dalšı́ možné typy intervalů jsou napřı́klad tyto:
a b
a ≤ x < b
a
−∞ < x ≤ a〈a, b) (−∞, a〉
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Funkce
Definice: Necht’jsou dány neprázdné množiny D a H. Pravidlo f ,které každému prvku x ∈ D přiřazuje právě jeden prvek y ∈ H, senazývá funkce. Zapisujeme y = f(x) nebo f : x → y.
Množina D = D( f ) se nazývá definičnı́ obor funkce f .
Množina všech y ∈ H, pro která existuje x ∈ D s vlastnostı́ f (x) = y senazývá obor hodnot funkce f a označujeme jej H( f ).
Pokud jsou D( f ) a H( f ) podmnožiny R, mluvı́me o reálné funkcijedné reálné proměnné.Operace s funkcemi:
Funkce lze sčı́tat, odčı́tat, násobit a dělit. Platı́ komutativnı́, asociativnı́
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
a distributivnı́ zákon.
(f ± g
)(x) = f (x)± g(x)
(f · g
)(x) = f (x) · g(x)
Definičnı́ obor nové funkce je průnikem definičnı́ch oborů původnı́chfunkcı́ D( f )∩ D(g).
(f
g
)
(x) =f (x)
g(x)
Definičnı́ obor nové funkce je průnikem definičnı́ch oborů původnı́chfunkcı́ mimo bodů, kde je jmenovatel nulový:D( f ) ∩ D(g)− {x : g(x) = 0}.Dalšı́ operacı́ je skládánı́ funcı́.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Složená funkce
Definice: Necht’ u = g(x) je funkce s definičnı́m oborem D(g)a oborem hodnot H(g). Necht’ y = f (u) je funkce s definičnı́moborem D( f ) ⊇ H(g). Složenou funkcı́
(f ◦ g
)(x) = f
(g(x)
)ro-
zumı́me přiřazenı́, které ∀x ∈ D(g) přiřazuje y = f (u) = f (g(x)).Funkci g nazýváme vnitřnı́ složkou a funkci f vnějšı́ složkousložené funkce.
x g(x) f(
g(x))
g f
f ◦ g
D(g)D( f )
H( f )
b
b
b
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Grafem funkce rozumı́me množinu všech uspořáda-ných dvojic [x, f (x)], x označujeme jako nezávislou proměnnou ay jako závislou proměnnou.
y
x0
f (x0)
x0
b
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vlastnosti funkcı́
Definice: Necht’ f je funkce a M ⊆ D( f ) podmnožina definičnı́hooboru funkce f .
1. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená,jestliže ∃ d ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́ d ≤ f (x).
2. Řekneme, že funkce f je na množině M shora ohraničená,jestliže ∃ h ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́ f (x) ≤ h.
3. Řekneme, že funkce f je na množině M ohraničená, je-li naM ohraničená zdola i shora.
Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlast-nost platı́ na celém definičnı́m oboru funkce f .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf zdola ohraničené funkce ležı́ nad nějakou vodorovnou přı́mkou:
y
x0
d
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf shora ohraničené funkce ležı́ pod nějakou vodorovnou přı́mkou:
y
x0
h
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf ohraničené funkce ležı́ mezi nějakými dvěma vodorovnýmipřı́mkami:
y
x0
h
d
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice:
1. Řekneme, že funkce f je sudá, pokud pro ∀x ∈ D( f ) platı́, že
−x ∈ D( f ) ∧ f (−x) = f (x).
2. Řekneme, že funkce f je lichá, pokud pro ∀x ∈ D( f ) platı́,že
−x ∈ D( f ) ∧ f (−x) = − f (x).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf sudé funkce je symetrický podle osy y:
y
x0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf liché funkce je symetrický podle počátku:
y
x
0
y = f (x)
b
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Necht’p ∈ R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodickás periodou p, pokud pro ∀x ∈ D( f ) platı́
x + p ∈ D( f ) ∧ f (x) = f (x + p).
y
x0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Necht’ f je funkce a M ⊆ D( f ) podmnožina definičnı́hooboru funkce f .
1. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucı́, pokud pro∀x1, x2 ∈ M splňujı́cı́ x1 < x2 platı́ f (x1) < f (x2).
2. Řekneme, že funkce f je na množině M klesajı́cı́, pokud pro∀x1, x2 ∈ M splňujı́cı́ x1 < x2 platı́ f (x1) > f (x2).
3. Funkci f nazýváme ryze monotónnı́ na množině M , je-libud’rostoucı́ nebo klesajı́cı́.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf rostoucı́ funkce:
y
x
0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf klesajı́cı́ funkce:
y
x0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Necht’ f je funkce a M ⊆ D( f ) podmnožina definičnı́hooboru funkce f .
1. Řekneme, že funkce f je na množině M neklesajı́cı́, pokudpro ∀x1, x2 ∈ M splňujı́cı́ x1 < x2 platı́ f (x1) ≤ f (x2).
2. Řekneme, že funkce f je na množině M nerostoucı́, pokudpro ∀x1, x2 ∈ M splňujı́cı́ x1 < x2 platı́ f (x1) ≥ f (x2).
3. Funkci f nazýváme monotónnı́ na množině M , je-li bud’
nerostoucı́ nebo neklesajı́cı́.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf neklesajı́cı́ funkce:
y
x0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Graf nerostoucı́ funkce:
y
x0
y = f (x)
Následujı́cı́ on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcı́,které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit.
⇒ Interaktivnı́ kvizy na vlastnosti funkcı́. ⇐⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Necht’ f je funkce a M ⊆ D( f ) podmnožina definičnı́hooboru funkce f . Řekneme, že funkce f je na množině M prostá,pokud pro ∀x1, x2 ∈ M splňujı́cı́ x1 6= x2 platı́ f (x1) 6= f (x2).
Graf prosté funkce protı́najı́ všechny vodorovné přı́mky nejvýšejednou:
y
x0
y = f (x)y
x0
y = f (x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Inverznı́ funkce
Definice: Necht’ f je prostá funkce. Funkci f−1, která každémuy ∈ H( f ) přiřazuje právě to x ∈ D( f ), pro které platı́ y = f (x),nazýváme inverznı́ funkcı́ k funkci f .
x y
f
f−1
D( f ) = H( f−1) H( f ) = D( f−1)
bb
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
1. ∀x ∈ D( f ), ∀y ∈ H( f ) platı́ f−1(
f (x))= x a f
(f−1(y)
)= y.
2. Grafy funkcı́ f a f−1 jsou symetrické podle osy prvnı́ho kvadrantu:
y
x0
f
f−1
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
⇒ Elementárnı́ funkce ⇐
⇒ Interaktivnı́ kvizy na grafy funkcı́ v posunutém tvaru. ⇐
Poznámka 1 (výpočet inverznı́ funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x)určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, mámetedy x = f (y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze).Protože je funkce f prostá, je toto vyjádření jednoznačné.
⇒ Přı́klad na nalezenı́ inverznı́ funkce ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
U základnı́ch elementárnı́ch funkcı́ je inverznı́ funkce jiná základnı́elementárnı́ funkce:
Vzájemě inverznı́ elementárnı́ funkce:
y =√
x y = x2, x ≥ 0y = 3
√x y = x3
y = ex y = ln xy = ax , a 6= 1 y = loga xy = sin x, x ∈ 〈−π/2, π/2〉 y = arcsin xy = cos x, x ∈ 〈0, π〉 y = arccos xy = tg x, x ∈ (−π/2, π/2) y = arctg xy = cotg x, x ∈ (0, π) y = arccotg x
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 2. Platí tedy například:√
x2 = x
ln(ex) = x
eln x = x
arcsin(sin x) = x
Přı́klad . Vypočtěte, pro které x platí ln x = 3.
Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální adostaneme:
ln x = 3
eln(x) = e3
x = e3.= 20.0855
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Komplexnı́ čı́sla
Definice: Komplexnı́m čı́slem rozumı́me uspořádanou dvojici re-álných čı́sel a, b zapsanou ve tvaru z = a + bi(algebraický tvar kom-plexnı́ho čı́sla). Čı́slo a = Re z nazýváme reálnou, čı́slo b = Im z
imaginárnı́ částı́ komplexnı́ho čı́sla z. Čı́slo z = a − bi nazývámečı́slem komplexně sdruženým s čı́slem z.
Definujeme operace součet a součin takto:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
z1z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)iTyto operace vycházejı́ ze základnı́ definice i =
√−1. Platı́ tedy
předevšı́m
i2 = −1.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Pro komplexnı́ čı́sla z1, z2, z3 platı́
• z1 + z2 = z2 + z1• z1z2 = z2z1• z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3• z1(z2z3) = (z1z2)z3• z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3
Poznámka 3. Podílz1z2dvou komplexních čísel z1, z2, z2 6= 0, je komplexní
číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru a + bi tak, že zlomekz1z2rozšíříme
číslem z2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́klad.
2 + 5i
3 − 4i =(2 + 5i)(3 + 4i)
(3 − 4i)(3 + 4i) =−14 + 23i
9 + 16= −14
25+
23
25i
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́klad.
2 + 5i
3 − 4i =(2 + 5i)(3 + 4i)
(3 − 4i)(3 + 4i) =−14 + 23i
9 + 16= −14
25+
23
25i
Zlomek rozšı́řı́me čı́slem 3 + 4i, protože je komplexně sdružené sjmenovatelem 3 − 4i.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́klad.
2 + 5i
3 − 4i =(2 + 5i)(3 + 4i)
(3 − 4i)(3 + 4i) =−14 + 23i
9 + 16= −14
25+
23
25i
Roznásobı́me, přitom 5i · 4i = −20 a ve jmenovateli použijemevzorec
(a + b)(a − b) = a2 − b2,kde (4i)2 = −16. Jmenovatel je tedy nutně reálné čı́slo.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́klad.
2 + 5i
3 − 4i =(2 + 5i)(3 + 4i)
(3 − 4i)(3 + 4i) =−14 + 23i
9 + 16= −14
25+
23
25i
Dostáváme tak vždy výsledek v algebraickém tvaru.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Geometrické znázorněnı́ komplexnı́ch čı́sel.
Komplexnı́ čı́slo z = a + bi znázorňujeme v Gaussově rovině:
Im
Re0 a
b
−b
z = a + bi
z = a − bi
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Absolutnı́ hodnotou komplexnı́ho čı́sla z = a + bi rozumı́me reálnéčı́slo
|z| =√
a2 + b2.
V Gaussově rovině představuje |z| vzdálenost z od počátku. Platı́
|z| =√
zz, |z1z2| = |z1||z2|.Im
Re0
z1
z2
z1 + z2
|z2 − z1|
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Goniometrický tvar komplexnı́ho čı́sla
Každé nenulové komplexnı́ čı́slo z = a + bi lze jednoznačně zapsat vgoniometrickém tvaru
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
kde r = |z| a ϕ je úhel, který svı́rá průvodič komplexnı́ho čı́sla z sreálnou osou, platı́ tedy
cos ϕ =Re z
|z| , sin ϕ =Im z
|z|
Čı́slo ϕ se nazývá argument (nebo též amplituda) komplexnı́ho čı́sla za značı́ se ϕ = arg z.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
I když se nebudeme zabývat funkcemi komplexnı́ proměnné,poznamenejme alespoň, že
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
Dostáváme takto Eulerův tvar komplexnı́ho čı́sla
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ.
Věta: Je-li z1 = r1(cos α + i sin α) a z2 = r2(cos β + i sin β), pak
z1 · z2 = r1eiα · r2eiβ = r1r2ei(α+β) = r1r2(cos(α + β) + i sin(α + β)).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 4. Pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvoditzákladní goniometrické vzorce pro násobné argumenty, např.
cos(2α) + i sin(2α) = ei2α = ei(α+α) = eiα · eiα == (cos(α) + i sin(α)) · (cos(α) + i sin(α)) =
= cos2 α − sin2 α + i2 sin α cos α
Věta (Moivreova věta): Je-li z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ, pak prom ∈ Z platı́
zm = rmeiϕm = rm(cos mϕ + i sin mϕ).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta (Odmocnina z komplexnı́ho čı́sla): n-tá odmocnina z kom-plexnı́ho čı́sla z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) má n různých hodnot tvaru
n√
z = n√
|z|(
cos( ϕ + 2kπ
n
)+ i sin
( ϕ + 2kπ
n
))
,
kde k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Poznámka 5. Je zřejmé, že umocněním na n-tou dostaneme vždy číslo z,protože funkce sin a cos mají periodu 2π.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Geometrický význam násobenı́ a odmocňovánı́
Jestliže z1 = r1(cos α + i sin α) a z1 = r1(cos β + i sin β) jsou dvěkomplexnı́ čı́sla, které v Gaussově rovině ležı́ ve vzdálenosti r1, resp. r2a jejich průvodiče s reálnou osou svı́rajı́ úhel α, resp. β, pak jejichsoučin z = z1z2 = r1r2(cos(α + β) + i sin(α + β)) ležı́ ve vzdálenostir1 · r2 a průvodič svı́rá s reálnou osou úhel α + β.
Im
Re0
z1
z2
z1z2
α
α
β
α + β
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Všech n hodnot n-té odmocniny z komplexnı́ho čı́slaz = r(cos ϕ + i sin ϕ) ležı́ na kruhu s poloměrem n
√z a jejich průvodiče
rozdělujı́ kruh na n stejných částı́. Průvodič prvnı́ z hodnot svı́rá s
reálnou osou úhelϕ
n.
Im
Re0
z1
z2
z3
z4
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Polynomy
Definice: Funkci P(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0, kdean 6= 0, a0, . . . , an ∈ R nazýváme polynom stupně n. Čı́slaa0, . . . , an nazýváme koeficienty polynomu P(x). Koeficient a0 senazývá absolutnı́ člen.
Definice: Kořenem polynomu P(x) je čı́slo x0 ∈ C, pro které platı́P(x0) = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Je-li x0 kořenem polynomu, pak lineárnı́ polynom (x −x0) s proměnnou x nazýváme kořenový činitel přı́slušný kořenu
x0. Čı́slo x0 je k-násobným kořenem polynomu P, jestliže P(x) =
(x − x0)kG(x), kde G je polynom a x0 již nenı́ jeho kořenem.
Věta (Základnı́ věta algebry): Polynom stupně n má právě n kom-plexnı́ch kořenů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Kvadratická rovnice
ax2 + bx + c = 0
má právě dva kořeny, a to
x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Celočı́selné kořeny
Věta (Hornerovo schéma): Necht’
f (x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0,
g(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · ·+ b1x + b0
jsou polynomy. Je-li f (x) = (x − α)g(x) + b−1, pak platı́
an = bn−1 a bk−1 = αbk + ak, pro k = 0, 1, . . . , n − 1.
Hornerovo schéma se použı́vá k vypočtenı́ funkčnı́ hodnoty polynomuv daném bodě. V přı́padě, že je funkčnı́ hodnota nulová, je dané čı́slokořenem polynomu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Do záhlavı́ tabulky sepı́šeme sestupně všechny koeficienty.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Čı́slo -3 zapı́šeme vlevo do záhlavı́ řádku.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Sepı́šeme hlavnı́ koeficient.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Násobı́me záhlavı́ řádku a poslednı́ čı́slo v řádku a přičtemenásledujı́cı́ koeficent:−3 · 1 − 4 = −7
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Násobı́me záhlavı́ řádku a poslednı́ čı́slo v řádku a přičtemenásledujı́cı́ koeficent:−3 · (−7)− 4 = 17
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Násobı́me záhlavı́ řádku a poslednı́ čı́slo v řádku a přičtemenásledujı́cı́ koeficent:−3 · 17 − 0 = −51
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Násobı́me záhlavı́ řádku a poslednı́ čı́slo v řádku a přičtemenásledujı́cı́ koeficent:−3 · (−51) + 7 = 160
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 7 v x = −3.
1 −4 −4 0 7−3 1 −7 17 −51 160
Na poslednı́m mı́stě v řádku dostaneme hodnotu polynomuP(−3) = 160.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Celočı́selné kořeny polynomu Pn(x) s celočı́selnými koeficienty lzepomocı́ Hornerova schématu hledat mezi děliteli absolutnı́ho členu an,jak je vidět z následujı́cı́ho roznásobenı́:
2(x − 2)(x + 3)(x2 + 5) = 2(x2 + x − 6)(x2 + 5) = 2x4 + . . .−60.
Hornerovo schéma je také výhodné pro nalezenı́ rozkladu na kořenovéčinitele, protože v přı́padě dosazenı́ kořene α (tedy b−1 = 0) po řádcı́chdělı́ polynom přı́slušným kořenovým činitelem (x − α).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Vypı́šeme dělitele čı́sla 36 (i záporné).⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Budeme počı́tat hodnoty pomocı́ Hornerova schematu. Připravı́mesi proto koeficienty polynomu z levé strany rovnice do tabulky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Dosadı́me x = 1. Je-li P(x) polynom z pravé strany rovnice, vidı́me,že P(1) = −72 a toto čı́slo x = 1 nenı́ kořenem.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Podobně ani x = −1 nenı́ kořenem.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Ani x = 2 nenı́ kořenem.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.Nynı́ jsme zjistili, že x = −2 je kořenem. Levou stranu rovnice jetedy možno přepsat do tvaru
(x + 2)(x4 − x3 − 3x2 − 3x − 18) = 0.
Dál zkoumáme jenom polynom, který stojı́ v tomto součinu jakodruhý.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.Dosadı́me opět x = −2. Opět je toto čı́slo kořenem a levou stranurovnice je možno přepsat do tvaru
(x + 2)2(x3 − 3x2 + 3x − 9) = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.• Dosadı́me opět x = −2. Nynı́ již se o kořen nejedná.
• Protože na konci polynomu, do kterého nynı́ dosazujeme, stojı́čı́slo 9, zajı́máme se jen o dělitele tohoto čı́sla.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.• Vyškrtneme čı́sla která nedělı́ čı́slo 9 a dosazujeme dalšı́ na
řadě, x = 3.
• Vidı́me, že x = 3 je kořenem.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
Polynom má dvojnásobný kořen x = −2 a jednoduchý kořen x = 3.Koeficienty 1, 0, 3 znamenajı́, že v součinu stojı́ polynom
x2 + 0x + 3, který nemá reálné kořeny.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Řešte v oboru celých čı́sel x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.Děliteli čı́sla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36.
1 1 −5 −9 −24 −361 1 2 −3 −12 −36 −72
−1 1 0 −5 −4 −20 −162 1 3 1 −7 −38 6= 0
−2 1 −1 −3 −3 −18 0−2 1 −3 3 −9 0−2 1 −5 13 −353 1 0 3 0
Rozklad na součin je (x + 2)2(x − 3)(x2 + 3) = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Racionálnı́ lomená funkce
Definice: Funkce R(x) =Pn(x)
Qm(x), kde P, Q jsou polynomy stupně
n, m, je racionálnı́ funkce. Je-li n ≥ m, nazývá se funkce R(x) neryzelomená, je-li n < m, nazývá se funkce R(x) ryze lomená.
Věta: Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet poly-nomu a ryze lomené funkce.
Každou ryze lomenou funkci R(x) =Pn(x)
Qm(x)lze rozepsat na součet
parciálnı́ch zlomků. V rozkladu na parciálnı́ zlomky přı́slušı́ každémur-násobému reálnému kořeni polynomu Qm(x) právě r parciálnı́ch
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
zlomkůA1
ax + b+
A2(ax + b)2
+ · · ·+ Ar(ax + b)r
.
Dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů polynomu Qm(x)přı́slušı́ právě s parciálnı́ch zlomků
B1x + C1ax2 + bx + c
+B2x + C2
(ax2 + bx + c)2+ · · ·+ Bsx + Cs
(ax2 + bx + c)s.
Koeficienty A1, A2, . . . , Ar, B1, C1, B2, C2, . . . , Bs, Cs jsou určenyjednoznačně.
⇒ Přı́klady na dělenı́ polynomu polynomem ⇐
⇒ Přı́klady na rozklad na parciálnı́ zlomky ⇐
⇒ Interaktivnı́ kvizy na racionálnı́ funkce a dělenı́ polynomů.⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Čı́selné vektory
Ve fyzice a technických disciplı́nách se zkoumajı́ veličiny
• skalárnı́: představujı́ velikost – hmotnost, čas, teplota, . . .
• vektorové: majı́ vı́ce složek, mohou popisovat kromě velikosti takésměr a orientaci – sı́la, okamžitá rychlost, posunutı́ . . . , nebo mo-hou představovat data – časová řada, barva (RGB), souřadnicepozice . . .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Množinu Rn uspořádaných n-tic reálných čı́sel ~a =(a1, a2, . . . , an) s operacemi sčı́tánı́ a násobenı́ reálným čı́slem defi-novanými
(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)
k(a1, a2, . . . , an) = (ka1, ka2, . . . , kan)
pro všechna k ∈ R a (a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn na-zýváme lineárnı́m vektorovým prostorem. Prvky tohoto pro-
storu, tj. uspořádané n-tice reálných čı́sel nazýváme vektory. Čı́sla
a1, . . . , an nazýváme složky vektoru~a. Čı́slo n nazýváme dimenze(rozměr) vektoru ~a. Vektor (0, 0, . . . , 0) dimenze n nazýváme nu-lovým vektorem.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 6. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orien-tované průvodiče bodů:
y
x0
(1, 2)
A = [1, 2]
(2, 1.5)
B = [2, 1.5]
(1,−0.5)
Vektor ~v = ~AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složkyvektoru ~v jsou dány rozdílem souřadnic B − A.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a + 2 ·~b −~c = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0,−1)− (2, 1, 0)= (1, 2, 1) + (6, 0,−2) − (2, 1, 0)= (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0)= (5, 1,−1)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a + 2 ·~b −~c = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0,−1)− (2, 1, 0)= (1, 2, 1) + (6, 0,−2) − (2, 1, 0)= (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0)= (5, 1,−1)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
Dosadı́me za vektory a vynásobı́me vektor~b dvěma (násobı́me tedykaždý prvek tohoto vektoru dvěma).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a + 2 ·~b −~c = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0,−1)− (2, 1, 0)= (1, 2, 1) + (6, 0,−2) − (2, 1, 0)= (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0)= (5, 1,−1)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)Sečteme (odečteme) odpovı́dajı́cı́ si komponenty vektorů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a + 2 ·~b −~c = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0,−1)− (2, 1, 0)= (1, 2, 1) + (6, 0,−2) − (2, 1, 0)= (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0)= (5, 1,−1)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)Upravı́me.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor,⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
původnı́ vektor se neměnı́, protože ke každé komponentě přičtemenulu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
Násobenı́ skalárnı́ nulou⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobenı́ nulou přejdena nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s vektory
~a = (1, 2, 1), ~b = (3, 0,−1), ~c = (2, 1, 0)
~a +~0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) =~a
0 ·~a + 0 ·~b + 0 ·~c = (0, 0, 0) =~0
~a +~b − 2 ·~c = (1, 2, 1) + (3, 0,−1)− (4, 2, 0)= (0, 0, 0)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Vektor −~a = −1 ·~a nazýváme vektorem opačným k vek-toru~a.
Definice: Velikostı́ vektoru~a nazveme nezáporné čı́slo
|~a| =√
a21 + a22 + · · ·+ a2n =
√n
∑i=1
a2i .
Vektor~a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže |~a| = 1.
Velikost vektoru~a = (−2, 1, 4, 0,−3) je |~a| =√
4 + 1 + 16 + 9 =√
30.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Skalárnı́m součinem vektorů ~a = (a1, a2, . . . , an), ~b =(b1, b2, . . . , bn) nazýváme čı́slo
~a ·~b = a1 · b1 + a2 · b2 + · · ·+ an · bn =n
∑i=1
aibi.
Skalárnı́ součin je možné vyjádřit také jako čı́slo~a ·~b = |~a| · |~b| · cos ϕ,kde ϕ je úhel, který svı́rajı́ vektory~a a~b. Naopak tedy pro nenulovévektory platı́, že svı́rajı́ úhel ϕ, pro který platı́
cos ϕ =~a ·~b|~a| · |~b|
,
ϕ = arccos~a ·~b|~a| · |~b|
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Úhel, který svı́rajı́ vektory~a = (2,−1, 3, 2),~b = (1,−2,−2, 1) splňuje
cos ϕ =2 + 2 − 6 + 2√
4 + 1 + 9 + 4√
1 + 4 + 4 + 1=
0√18 · 10
= 0,
ϕ =π
2= 90◦
Vektory jsou kolmé (ortogonálnı́) ⇔ je jejich skalárnı́ součin roven nule.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Lineárnı́ kombinace vektorů
Definice: Necht’ ~u1, ~u2, . . . , ~un jsou vektory stejné dimenze ak1, k2, . . . , kn ∈ R. Vektor
~v = k1 ~u1 + k2 ~u2 + · · ·+ kn ~un =n
∑i=1
ki~ui
nazýváme lineárnı́ kombinacı́ vektorů ~u1, ~u2, . . . , ~un.
⇒ Přı́klady na lineárnı́ kombinaci vektorů. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Lineárnı́ závislost a nezávislost vektorů.
Definice: Vektory ~u1, ~u2, . . . , ~un nazýváme lineárně závislé, je-liaspoň jeden z vektorů lineárnı́ kombinacı́ ostatnı́ch. V opačnémpřı́padě je nazýváme lineárně nezávislé.
Věta: Vektory ~u1, ~u2, . . . , ~un jsou lineárně nezávislé ⇔ nulový vek-tor je právě jen jejich nulovou lineárnı́ kombinacı́, tj.
~0 = k1 ~u1 + k2 ~u2 + · · ·+ kn ~un
právě pro k1, k2, . . . , kn = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Platı́-li ~0 = k1 ~u1 + k2 ~u2 + · · · + kn ~un a alespoň jedno ki jenenulové, jsou vektory ~u1, ~u2, . . . , ~un lineárně závislé.
Poznámka 7. Vektory jsou jistě závislé, pokud
• je mezi nimi alespoň jeden nulový.• jsou mezi nimi dva vektory stejné.• je-li některý vektor násobkem jiného.
Definice: Báze vektorového prostoru dimenze n je libovolná line-árně nezávislá soustava n vektorů.
Věta: Libovolný vektor vektorového prostoru je lineárnı́ kombinacı́vektorů báze. Báze tedy generuje celý vektorový prostor.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Matice
Definice: Maticı́ typu m × n rozumı́me uspořádané schema
A =
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n
.... . .
...am1 am2 · · · · · · amn
kde aij ∈ R pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n. Množinu všech matictypu m × n označujeme symbolem Rm×n. Zkráceně zapisujemeAm×n = (aij) .
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice a často řı́káme, že jeřádu n mı́sto typu n × n. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvkytvaru aii, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvkyhlavnı́ diagonály.
Definice: Matice Am×n = (aij), kde aij = 0 pro všechna i = 1, . . . , ma j = 1, . . . , n se nazývá nulová matice.
Definice: Jednotková matice je čtvercová matice, která má nahlavnı́ diagonále jedničky a na ostatnı́ch mı́stech nuly. Jednotko-vou matici značı́me I.
Definice: Schodovitá (stupňová) se nazývá matice, jejı́ž každý řá-dek začı́ná většı́m počte nul než předcházejı́cı́.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
A =
3 4 2 −1 1 20 3 1 1 1 −20 0 0 2 0 1
B =
3 4 2 −1 1 20 0 1 1 1 −20 0 2 2 0 1
Matice A je schodovitá, matice B nenı́ schodovitá – druhý a třetı́ řádekzačı́ná stejným počtem nul.
Definice: Bud’ A = (aij) ∈ Rm×n. Matice
AT = (aji) ∈ Rn×m,
tj. matice, která vznikne záměnou řádků a sloupců matice A, senazývá matice transponovaná k matici A.
A =
2 −1 23 1 −22 0 14 −2 1
AT =
2 3 2 4−1 1 0 −22 −2 1 1
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Operace s maticemi
Definice:
• Necht’ A = (aij), B = (bij) ∈ Rm×n. Součtem matic A aB rozumı́me matici C = (cij) ∈ Rm×n, kde cij = aij + bij.Zapisujeme C = A + B.
• A = (aij) ∈ Rm×n a k ∈ R. Součinem čı́sla t a matice A rozu-mı́me matici D = (dij) ∈ Rm×n, kde dij = k · aij. ZapisujemeD = kA.
S maticemi tedy pracujeme stejně jako s čı́sly, sčı́táme a čı́slemnásobı́me jednotlivé prvky. Platı́ proto komutativnı́, asociativnı́ idistributivnı́ zákon.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
Při sčı́tánı́ sčı́táme odpovı́dajı́cı́ komponenty zvlášt’.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
Při sčı́tánı́ sčı́táme odpovı́dajı́cı́ komponenty zvlášt’.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
Při sčı́tánı́ sčı́táme odpovı́dajı́cı́ komponenty zvlášt’.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte čı́slem 3.
2 −1 23 1 −22 0 1
+
1 −2 10 1 32 4 1
=
3 −3 33 2 14 4 2
3
3 −3 33 2 14 4 2
=
9 −9 99 6 312 12 6
Při násobenı́ matice čı́slem násobı́me každou položku maticesamostatně.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: A = (aij) ∈ Rm×p a B = (bij) ∈ Rp×n. Součinem maticA a B (v tomto pořadı́) rozumı́me matici C = (cij) ∈ Rm×n, kde
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj =p
∑k=1
aikbkj = ai · bj
pro všechna i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, tj. prvek na i-tém řádku aj-tém sloupci vznikne jako skalárnı́ součin i-tého řádku matice Aa j-tého sloupce matice B. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadı́).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
A · B = C, cij = ∑k
aikbkj
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Na mı́stě ij ve výsledné matici C je skalárnı́ součin i-tého řádkumatice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin jetedy možno chápat jako šest skalárnı́ch součinů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Sečteme.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
Pro matice NEPLATÍ komutativnı́ zákon. Násobı́me-li matice vopačném pořadı́,
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Vynásobte matice
2 −1 23 1 −22 0 1
·
2 4−1 23 1
=
2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 13 · 2 + 1 · (−1)− 2 · 3 3 · 4 + 1 · 2 − 2 · 12 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
=
11 8−1 127 9
2 4−1 23 1
·
2 −1 23 1 −22 0 1
= nenı́ definováno
neodpovı́dajı́ dokonce ani počty členů skalárnı́ho součinu.Komutativnı́ zákon ale neplatı́ ani pro čtvercové matice.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Součin matic je asociativnı́ a distributivnı́ zprava i zlevavzhledem ke sčı́tánı́, tj. platı́
A(BC) = (AB)C (asociativita)
A(B + C) = AB + AC (levý distributivnı́ zákon)
(B + C)A = BA + CA (pravý distributivnı́ zákon)
vždy, když tyto operace majı́ smysl. Součin matic nenı́ komutativnı́.
Věta: Bud’ A matice. Pak platı́ IA = A a AI = A vždy, když jetento součin definovaný.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Hodnost matice
Definice: Bud’ A matice. Hodnostı́ matice rozumı́me maximálnı́počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A ozna-čujeme h(A).
Věta: Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtujejı́ch nenulových řádků.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
A =
2 2 2 3 −1 50 0 1 0 0 30 0 0 −1 2 10 0 0 0 0 0
je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3.
B =
2 2 2 3 −1 50 0 1 0 0 30 0 3 −1 2 1
nenı́ ve schodovitém tvaru a jejı́ hodnost na prvnı́ pohled nepoznáme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Následujı́cı́ úpravy nazýváme ekvivalentnı́:
• záměna pořadı́ řádků
• vynásobenı́ libovolného řádku nenulovým čı́slem
• přičtenı́ jiného řádku (nebo jeho násobku) k druhému
• vynechánı́ řádku složeného ze samých nul
Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentnı́, jestliže lze ma-tici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentnı́ch úprav.Značı́me A ∼ B.
Věta: Ekvivalentnı́ matice majı́ stejnou hodnost.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 8. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale takéřádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vzniklypůvodně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídájedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy,které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku– rovnic, vynásobení řádku – rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsoutedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic.
x1 + 3x2 − x3 = 0 · (−2)2x1 + x2 + x3 = 0 přičteme k druhé rovnici
x1 + 3x2 − x3 = 0−5x2 + 3x3 = 0
(1 3 −12 1 1
)
∼(
1 3 −10 −5 3
)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentnı́chúprav převést do schodovitého tvaru.
Věta: Transponovánı́ neměnı́ hodnost matice.
⇒ Přı́klady na výpočet hodnosti matice. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Inverznı́ matice
Definice: Bud’ A ∈ Rn×n čtvercová matice řádu n. Jestliže existuječtvercová matice A−1 řádu n, splňujı́cı́ vztahy
A−1A = I = AA−1,
nazýváme matici A−1 inverznı́ maticı́ k matici A.
Věta: Necht’ matice A je čtvercová. Potom inverznı́ matice A−1
existuje právě tehdy, když je matice A regulárnı́, tj. det(A) 6= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Násobenı́ inverznı́ maticı́ je inverznı́ operacı́ k maticovému násobenı́
A · X = BA−1 · (A · X) = A−1 · B(A−1 · A) · X = A−1 · B
I · X = A−1 · BX = A−1 · B
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Násobenı́ inverznı́ maticı́ je inverznı́ operacı́ k maticovému násobenı́
A · X = BA−1 · (A · X) = A−1 · B(A−1 · A) · X = A−1 · B
I · X = A−1 · BX = A−1 · B
Vynásobı́me zleva maticı́ inverznı́.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Násobenı́ inverznı́ maticı́ je inverznı́ operacı́ k maticovému násobenı́
A · X = BA−1 · (A · X) = A−1 · B(A−1 · A) · X = A−1 · B
I · X = A−1 · BX = A−1 · B
Použijeme asociativnı́ zákon pro násobenı́.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Násobenı́ inverznı́ maticı́ je inverznı́ operacı́ k maticovému násobenı́
A · X = BA−1 · (A · X) = A−1 · B(A−1 · A) · X = A−1 · B
I · X = A−1 · BX = A−1 · B
Použijeme definici inverznı́ matice.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Násobenı́ inverznı́ maticı́ je inverznı́ operacı́ k maticovému násobenı́
A · X = BA−1 · (A · X) = A−1 · B(A−1 · A) · X = A−1 · B
I · X = A−1 · BX = A−1 · B
• Jednotková matice je neutrálnı́m prvkem vzhledem k násobenı́.
• Ted’ už vidı́me, že pokud bychom násobili inverznı́ maticı́zprava, obdrželi bychom vztah
A · X · A−1 = B · A−1,
ze kterého hledané X nelze vyjádřit.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 9. Inverzní matici k čtvercové matici A hledáme pomocí řád-kovách ekvivalentních úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnostmatice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednot-kové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A−1.
⇒ Přı́klady na výpočet inverznı́ matice. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Determinant matice
Definice: Permutacı́ o n-prvcı́ch rozumı́me uspořádanou n-ticik1, k2, . . . , kn, která vznikla přeskládánı́m čı́sel 1, 2, . . . , n. Inverzı́rozumı́me záměnu i-tého a j-tého prvku v permutaci.
Definice: Bud’ A ∈ Rn×n čtvercová matice řádu n. Determinantmatice A je reálné čı́slo
det A = ∑(−1)pa1k1 a2k2 . . . ankn
přes všechny permutace sloupcových indexů. Čı́slo p je počet in-verzı́ dané permutace. Zapisujeme také det A = |A| = |aij|.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 10. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součetvšech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tatodefinice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu,protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n!.Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý:
n = 1 : det A = a11
n = 2 : det A = a11a22 − a12a21
Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protožeprvky matice násobíme do kříže:
∣∣∣∣
a11 a12a21 a22
∣∣∣∣= a11a22 − a12a21
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
Determinant je čı́slo, které vznikne jako součet všech součinů prvkův různých řádcı́ch a soupcı́ch a ±1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
Jednoduchý způsob, jak všechny tyto členy najı́t je tzv. Sarussovopravidlo, kdy nejprve opı́šeme prvnı́ dva řádky matice poddeterminant,
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
sečteme součiny na všech diagonálách⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
sečteme součiny na všech diagonálách⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
sečteme součiny na všech diagonálách⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
a odečteme součiny na protisměrných diagonálách.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
a odečteme součiny na protisměrných diagonálách.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Sarussovo pravidlo:
Pro matici řádu 3 platı́
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13∣∣∣∣∣∣
=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23
a odečteme součiny na protisměrných diagonálách.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Bud’ A čtvercová matice. Je-li det A = 0, řı́káme, že ma-tice A je singulárnı́, v opačném přı́padě řı́káme, že je regulárnı́.
Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverznı́ ⇔ A je regu-lárnı́, tj. ⇔ det A 6= 0.
Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je rovensoučinu prvků v hlavnı́ diagonále.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Následujı́cı́ operace neměnı́ hodnotu determinantu matice:
• přičtenı́ lineárnı́ kombinace ostatnı́ch řádků (sloupců) k ji-nému řádku (sloupci)
• ponechánı́ jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakovanépřičtenı́ libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostat-nı́m řádkům (sloupcům) matice
• transponovánı́ matice
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta: Následujı́cı́ operace měnı́ hodnotu determinantu popsanýmzpůsobem:
• přehozenı́m dvou řádků (sloupců) determinant měnı́ zna-ménko
• vydělı́me-li jeden řádek (sloupec) nenulovým čı́slem a, zme-nšı́ se hodnota determinantu a-krát (tj. z řádku nebo sloupcelze vytýkat)
Poznámka 11. Podle předchozí věty, platí∣∣∣∣∣∣
2 4 8−1 2 40 1 12
∣∣∣∣∣∣
= 2
∣∣∣∣∣∣
1 2 4−1 2 40 1 12
∣∣∣∣∣∣
= 2 · 4 ·
∣∣∣∣∣∣
1 2 1−1 2 10 1 3
∣∣∣∣∣∣
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Necht’ A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li vmatici A i-tý řádek a j-tý sloupec, označujeme determinant vzniklé
submatice Mij a nazýváme jej minor přı́slušný prvku aij. Čı́slo
Aij = (−1)i+jMij
nazýváme algebraický doplněk prvku aij.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec resp.řádek determinantu A platı́
det A = a1j A1j + a2j A2j + · · ·+ anj Anj =n
∑i=1
aijAij,
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin =n
∑j=1
aijAij,
tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho alge-braického doplňku libovolného sloupce nebo řádku.
Poznámka 12. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, jevhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků.
⇒ Přı́klady na výpočet determinantu matice. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Soustavy lineárnı́ch rovnic
Uvažujme následujı́cı́ tři problémy: Najděte všechna reálná čı́sla x1, x2,splňujı́cı́:
Úloha 1 :4x1 + 5x2 = 7
x1 − 2x2 = 4
Úloha 2 :
(41
)
x1 +
(5−2
)
x2 =
(74
)
Úloha 3
(4 51 −2
) (x1x2
)
=
(74
)
Všechny problémy jsou ekvivalentnı́ a jedná se o jiný zápis téhož.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Soustavou m lineárnı́ch rovnic o n neznámých nazývámesoustavu rovnic
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · ·+ a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm
Proměnné x1, x2, . . . , xn nazýváme neznámé. Reálná čı́sla aij nazý-váme koeficienty levých stran, reálná čı́sla bj koeficienty pravých
stran soustavy rovnic. Řešenı́m soustavy rovnic rozumı́me uspořá-danou n-tici reálných čı́sel [t1, t2, . . . , tn] po jejichž dosazenı́ za ne-známé (v tomto pořadı́) do soustavy dostaneme ve všech rovnicı́chidentity.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Matici
A =
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 am3 · · · amn
nazýváme maticı́ soustavy. Matici
Ar =
a11 a12 a13 · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · a2n b2
......
. . ....
...am1 am2 am3 · · · amn bm
nazýváme rozšı́řenou maticı́ soustavy.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 13 (maticový zápis soustavy lineárnı́ch rovnic).
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
Ax = b.
Definice: Platı́-li v soustavě Ax = b
b1 = b2 = · · · = bm = 0,
tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogennı́.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Poznámka 14. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řeši-telná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineár-ních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečněmnoho řešení.
Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárnı́ch rovnic Ax = b je řeši-telná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšı́řená matice sou-stavy Ar = (A|b) majı́ stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar).
• Soustava nemá řešenı́, pokud h(A) 6= h(Ar).
• Soustava má právě jedno řešenı́, pokud h(A) = h(Ar) = n.
• Soustava má nekonečně mnoho řešenı́, pokud h(A) = h(Ar) < n.Tato řešenı́ lze vyjádřit pomocı́ (n− h(A)) nezávislých parametrů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Gaussova eliminačnı́ metoda
Převedenı́m rozšı́řené matice soustavy na schodovitý tvar zjistı́me, zdaje soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V přı́padě, žeh(A) = h(Ar), řešı́me soustavu tzv. Gaussovou eliminačnı́ metodou,kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovı́dajı́cı́ch řádkům matice veschodovitém tvaru, které jsou ekvivalentnı́ původnı́m rovnicı́m.Vyjadřovánı́ provádı́me odspodu soustavy.
⇒ Přı́klady na Gaussovou eliminačnı́ metodou. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Cramerovo pravidlo
Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulárnı́,má soustava Ax = b jediné řešenı́ a pro i-tou složku xi tohotořešenı́ platı́:
xi =DiD
,
kde D = det A a Di je determinant matice, která vznikne z maticeA výměnou i-tého sloupce za sloupec b.
⇒ Přı́klady na Cramerovo pravidlo. ⇐
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Analytická geometrie v rovině
Věta: Libovolnou přı́mku p v rovině lze vyjádřit rovnicı́
ax + by + c = 0,
kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule.Vektor n = (a, b) je kolmý k přı́mce p. Naopak každá rovnice tvaru
ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přı́mku p v roviněkolmou k vektoru n = (a, b).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Rovniceax + by + c = 0
se nazývá obecná rovnice přı́mky, vektor n = (a, b) se nazývánormálový vektor přı́mky. Každý nenulový vektor, který je k nor-málovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přı́mky.
Jednı́m ze směrových vektorů je např. vektor s = (−b, a), protožeskalárnı́ součin vektorů s a n je roven nule.
Definice: Směrnicı́ přı́mky p o rovnici ax + by + c = 0, která nenı́
rovnoběžná s osou y, tj. b 6= 0, rozumı́me podı́l k = − ab
.
Směrnice k = tg α, kde α je úhel, který přı́mka svı́rá s osou x. Vpřı́padě, že b 6= 0, tj. přı́mka je rovnoběžná s osou y, řekneme, žepřı́mka p nemá směrnici. Přı́mku p se směrnicı́ k je možné vyjádřit vesměrnicovém tvaru y = kx + q.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́mku, která protı́ná souřadné osy v bodech různých od počátkusouřadnic, lze vyjádřit také rovnicı́ v tzv. úsekovém tvaru
x
p+
y
q= 1,
kde p 6= 0 je úsek vyt’atý přı́mkou na ose x, q 6= 0 je úsek vyt’atýpřı́mkou na ose y.
y
x0 p
q
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Přı́mku p, která procházı́ bodem A = [x0, y0] se směrovým vektorems = (s1, s2) má parametrické rovnice
x = x0 + s1t, y = y0 + s2t,
kde t ∈ (−∞, ∞) je parametr.
Věta: Přı́mka určená body A = [x1, y1] a B = [x2, y2] má obecnourovnici ∣
∣∣∣
x − x1 y − y1x2 − x1 y2 − y1
∣∣∣∣= 0.
Je-li x1 6= x2, má přı́mka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x − x1).
Přı́mka určená bodem A = [x1, y1] a směrovým vektorem s = (s1, s2)má obecnou rovnici ∣
∣∣∣
x − x1 y − y1s1 s2
∣∣∣∣= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Vzdálenost bodů A = [x1, y1] a B = [x2, y2] v rovin-ném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dánavztahem
|AB| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Pro vzdálenost d bodu A = [x0, y0] od přı́mky p o rovnici ax +by + c = 0 platı́
d =|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2.
Dvě přı́mky o rovnicı́ch a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0 svı́rajı́úhly ϕ a π − ϕ, přičemž platı́
cos ϕ =a1a2 + b1b2
√
a21 + b21
√
a22 + b22
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Dvě přı́mky o rovnicı́ch y = k1x + q1 a y = k2x + q2 svı́rajı́ úhly ϕ aπ − ϕ, přičemž platı́
tg ϕ =k2 − k1
1 + k1k2, pro k1k2 + 1 6= 0,
ϕ =π
2, pro k1k2 + 1 = 0.
Často je třeba rozhodnout o vzájemné poloze dvou přı́mek p, q orovnicı́ch a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0.
p‖q právě tehdy když∣∣∣∣
a1 b1a2 b2
∣∣∣∣= 0,
p ≡ q právě tehdy když(
a1 b1 c1a2 b2 c2
)
má hodnost 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Je-li p přı́mka ax + by + c = 0 a q přı́mka daná bodem A a směrovýmvektorem (s1, s2), pak
p‖q právě tehdy když as1 + bs2 = 0.
Je-li p přı́mka daná bodem A a směrovým vektorem (s1, s2) a q přı́mkadaná bodem B a směrovým vektorem (u1, u2), pak
p‖q právě tehdy když∣∣∣∣
s1 s2u1 u2
∣∣∣∣= 0.
Poznámka 15. Rovnoběžné přímky (resp. jejich směrové vektory) nazývámekolineární. Směrové vektory kolineárních přímek jsou lineárně závislé.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Kuželosečky
Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které majı́ od pev-ného bodu S (středu kružnice) konstantnı́ vzdálenost r, nazývanoupoloměr kružnice.
Věta: Kružnice o středu v bodě [x0, y0] a poloměru r má obecnourovnici
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Robert Mařı́k a Lenka Přibylová, 2007 ×
Definice: Elipsa je množina bodů v rovině, které