Matematika IMatrice-vrste, svojstva i primjene

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 19

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Mnozenje matrica kao kompozicija linearnih preslikavanjaNekomutativnost binarne operacijeDjelovanje matrice na bazi prostora-primjene u geometriji,stohasticka matrica

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 19

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 MatriceMnozenje matricaSvojstva mnozenja matrica

2 Neke primjeneMatrica rotacije u ravniniStohasticki proces

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

MNOZITI SE MOGU SAMO ULANCANE MATRICEAKO JE A = [ai ,j ] TIPA n×m, B = [bi ,j ] TIPA m×p, ONDA JEMATRICA

C = AB

TIPA n×p DEFINIRANA PO ELEMENTIMA, C = [ci ,j ], SA

ci ,j =m

∑k=1

ai ,kbk ,j

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.Izracunati produkt matrica: 2 3 1

0 1 23 0 2

1 20 11 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3

2 ·1+3 ·0+1 ·1 = 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 8

2 ·2+3 ·1+1 ·1 = 8

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82

0 ·1+1 ·0+2 ·1 = 2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 3

0 ·2+1 ·1+2 ·1 = 3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 35

3 ·1+0 ·0+2 ·1 = 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Mnozenje matrica

Primjer 1.

2 3 10 1 23 0 2

1 20 11 1

=

3 82 35 8

3 ·2+0 ·1+2 ·1 = 8

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Zadatak 12.Pomnozi matrice

1

[2 1 13 0 1

] 3 12 11 0

2

[3 2 10 1 2

] 123

3

123

[ 1 2 3]

4[

1 2 3] −2

14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 19

Matrice Mnozenje matrica

Rjesenje.

1

[9 310 3

]2

[108

]

3

1 2 32 4 63 6 9

4 [12]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

1 A(BC) = (AB)C (ASOCIJATIVNOST )

2 A(B+C) = AB+AC, (DISRIBUTIVNOST )

3 kIA=kA

VAZNO: OpcenitoAB 6= BA

Na primjer: ako je matrica A tipa 2×3, B tipa 3×5 onda AB jedefinirano, a BA nije, pa prema tome ne vrijedi AB = BA.Drugi primjer:

A =

(0 10 0

),B =

(0 00 1

)⇒ AB =

(0 10 0

)6=(

0 00 0

)= BA

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Za matrice A i B za koje vrijedi

AB = BA

kazemo da komutiraju.

Primjer.Skalarna matrica tipa n×n komutira s bilo kojom kvadratnommatricom tipa n×n.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Ako je A 6= 0 i B 6= 0 iAB = 0

kazemo da su A i B djelitelji nule.

Primjer.

A =

(0 00 1

),B =

(0 10 0

)⇒ AB =

(0 00 0

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Svojstva mnozenja matrica

Ako je AB = AC ; B = C.

Primjer.

A =

(0 00 1

),B =

(0 10 0

),C =

(0 00 0

)⇒ AB = AC, ali B 6= C.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 14.

Zadane su matrice A =

1 3 12 0 41 2 3

,B =

2 1 01 −1 23 2 1

.

Izracunajte: a) AB b)BA.

Rjesenje.

a) AB =

8 0 716 10 413 5 7

, b) BA =

4 6 61 7 38 11 14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 14.

Zadane su matrice A =

1 3 12 0 41 2 3

,B =

2 1 01 −1 23 2 1

.

Izracunajte: a) AB b)BA.

Rjesenje.

a) AB =

8 0 716 10 413 5 7

, b) BA =

4 6 61 7 38 11 14

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 15.Zadane su matrice

A =

(1 23 4

),B =

(0 −1 32 0 −2

),C =

0 12 1−1 0

.

Izracunajte ABC.

Rjesenje.

AB =

(−1 3−7 5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 15.Zadane su matrice

A =

(1 23 4

),B =

(0 −1 32 0 −2

),C =

0 12 1−1 0

.

Izracunajte ABC.

Rjesenje.

AB =

(−1 3−7 5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 16.

Zadane su matrice A =

(1 23 −1

),B =

(−1 02 1

),C =

(2 −11 0

).

Izracunajte AC +BC.

Rjesenje.

AC +BC =

(2 010 −5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 19

Matrice Svojstva mnozenja matrica

Zadatak 16.

Zadane su matrice A =

(1 23 −1

),B =

(−1 02 1

),C =

(2 −11 0

).

Izracunajte AC +BC.

Rjesenje.

AC +BC =

(2 010 −5

).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 19

Neke primjene

NEKE PRIMJENE

A~b =~c,

A je tipa m×n, ~b je tipa n×1, ~c je tipa m×1. Prema tome A jelinearna transformacija sa Rn u Rm.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 19

Neke primjene Matrica rotacije u ravnini

Matrica rotacije u ravnini

~i

~i′~j

~j′

~a

~a′

ϕ

ϕ

ϕ

A(

10

)=

(cosϕ

sinϕ

), A(

01

)=

(−sinϕ

cosϕ

)⇒ A = A

(1 00 1

)=

(cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 19

Neke primjene Matrica rotacije u ravnini

Matrica rotacije u ravnini

Dakle, tocka T (a,b) nakon rotacije za kut ϕ ima koordinate(acosϕ−b sinϕ,asinϕ+b cosϕ) jer

A~rT =

(cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

)(ab

)=

(acosϕ−b sinϕ

asinϕ+b cosϕ

)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 19

Neke primjene Stohasticki proces

Stohasticki proces

Pretpostavimo da je na pocetku promatranja razdioba koristenjajavnog prijevoza studenata FSBa:

p0 =ZET vlak ostalo( )0.3 0.2 0.5

Svakih godinu dana promjena koristenja javnog prijevoza dana jematricom prijelaza:

P =

ZET vlak ostalo( )0.8 0.1 0.1 ZET0.1 0.7 0.2 vlak0 0.1 0.9 ostalo

Kakva je distribucija koristenja javnog prijevoza nakon godinu dana?Poslije 2,3,....?Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 19

Neke primjene Stohasticki proces

Stohasticki proces

Nakon godinu dana distribucija koristenja javnog prijevoza je:

p0P =(

0.26 0.22 0.52).

Nakon 2 godine:

p0P2 =(

0.23 0.232 0.538).

Nakon 3 godine:

p0P3 =(

0.207 0.239 0.554).

Nakon n godina:p0Pn

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 19