Upload
vankhuong
View
238
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika IMatrice-vrste, svojstva i primjene
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 19
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Mnozenje matrica kao kompozicija linearnih preslikavanjaNekomutativnost binarne operacijeDjelovanje matrice na bazi prostora-primjene u geometriji,stohasticka matrica
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 19
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 MatriceMnozenje matricaSvojstva mnozenja matrica
2 Neke primjeneMatrica rotacije u ravniniStohasticki proces
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
MNOZITI SE MOGU SAMO ULANCANE MATRICEAKO JE A = [ai ,j ] TIPA n×m, B = [bi ,j ] TIPA m×p, ONDA JEMATRICA
C = AB
TIPA n×p DEFINIRANA PO ELEMENTIMA, C = [ci ,j ], SA
ci ,j =m
∑k=1
ai ,kbk ,j
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.Izracunati produkt matrica: 2 3 1
0 1 23 0 2
1 20 11 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3
2 ·1+3 ·0+1 ·1 = 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 8
2 ·2+3 ·1+1 ·1 = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82
0 ·1+1 ·0+2 ·1 = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 3
0 ·2+1 ·1+2 ·1 = 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 35
3 ·1+0 ·0+2 ·1 = 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 35 8
3 ·2+0 ·1+2 ·1 = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Zadatak 12.Pomnozi matrice
1
[2 1 13 0 1
] 3 12 11 0
2
[3 2 10 1 2
] 123
3
123
[ 1 2 3]
4[
1 2 3] −2
14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Rjesenje.
1
[9 310 3
]2
[108
]
3
1 2 32 4 63 6 9
4 [12]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
1 A(BC) = (AB)C (ASOCIJATIVNOST )
2 A(B+C) = AB+AC, (DISRIBUTIVNOST )
3 kIA=kA
VAZNO: OpcenitoAB 6= BA
Na primjer: ako je matrica A tipa 2×3, B tipa 3×5 onda AB jedefinirano, a BA nije, pa prema tome ne vrijedi AB = BA.Drugi primjer:
A =
(0 10 0
),B =
(0 00 1
)⇒ AB =
(0 10 0
)6=(
0 00 0
)= BA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Za matrice A i B za koje vrijedi
AB = BA
kazemo da komutiraju.
Primjer.Skalarna matrica tipa n×n komutira s bilo kojom kvadratnommatricom tipa n×n.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Ako je A 6= 0 i B 6= 0 iAB = 0
kazemo da su A i B djelitelji nule.
Primjer.
A =
(0 00 1
),B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 0
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Ako je AB = AC ; B = C.
Primjer.
A =
(0 00 1
),B =
(0 10 0
),C =
(0 00 0
)⇒ AB = AC, ali B 6= C.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 14.
Zadane su matrice A =
1 3 12 0 41 2 3
,B =
2 1 01 −1 23 2 1
.
Izracunajte: a) AB b)BA.
Rjesenje.
a) AB =
8 0 716 10 413 5 7
, b) BA =
4 6 61 7 38 11 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 14.
Zadane su matrice A =
1 3 12 0 41 2 3
,B =
2 1 01 −1 23 2 1
.
Izracunajte: a) AB b)BA.
Rjesenje.
a) AB =
8 0 716 10 413 5 7
, b) BA =
4 6 61 7 38 11 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 15.Zadane su matrice
A =
(1 23 4
),B =
(0 −1 32 0 −2
),C =
0 12 1−1 0
.
Izracunajte ABC.
Rjesenje.
AB =
(−1 3−7 5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 15.Zadane su matrice
A =
(1 23 4
),B =
(0 −1 32 0 −2
),C =
0 12 1−1 0
.
Izracunajte ABC.
Rjesenje.
AB =
(−1 3−7 5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 16.
Zadane su matrice A =
(1 23 −1
),B =
(−1 02 1
),C =
(2 −11 0
).
Izracunajte AC +BC.
Rjesenje.
AC +BC =
(2 010 −5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 16.
Zadane su matrice A =
(1 23 −1
),B =
(−1 02 1
),C =
(2 −11 0
).
Izracunajte AC +BC.
Rjesenje.
AC +BC =
(2 010 −5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 19
Neke primjene
NEKE PRIMJENE
A~b =~c,
A je tipa m×n, ~b je tipa n×1, ~c je tipa m×1. Prema tome A jelinearna transformacija sa Rn u Rm.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 19
Neke primjene Matrica rotacije u ravnini
Matrica rotacije u ravnini
~i
~i′~j
~j′
~a
~a′
ϕ
ϕ
ϕ
A(
10
)=
(cosϕ
sinϕ
), A(
01
)=
(−sinϕ
cosϕ
)⇒ A = A
(1 00 1
)=
(cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 19
Neke primjene Matrica rotacije u ravnini
Matrica rotacije u ravnini
Dakle, tocka T (a,b) nakon rotacije za kut ϕ ima koordinate(acosϕ−b sinϕ,asinϕ+b cosϕ) jer
A~rT =
(cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
)(ab
)=
(acosϕ−b sinϕ
asinϕ+b cosϕ
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 19
Neke primjene Stohasticki proces
Stohasticki proces
Pretpostavimo da je na pocetku promatranja razdioba koristenjajavnog prijevoza studenata FSBa:
p0 =ZET vlak ostalo( )0.3 0.2 0.5
Svakih godinu dana promjena koristenja javnog prijevoza dana jematricom prijelaza:
P =
ZET vlak ostalo( )0.8 0.1 0.1 ZET0.1 0.7 0.2 vlak0 0.1 0.9 ostalo
Kakva je distribucija koristenja javnog prijevoza nakon godinu dana?Poslije 2,3,....?Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 19
Neke primjene Stohasticki proces
Stohasticki proces
Nakon godinu dana distribucija koristenja javnog prijevoza je:
p0P =(
0.26 0.22 0.52).
Nakon 2 godine:
p0P2 =(
0.23 0.232 0.538).
Nakon 3 godine:
p0P3 =(
0.207 0.239 0.554).
Nakon n godina:p0Pn
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 19