96
Matematika I Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 1 / 60

Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Matematika IIntegral

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 1 / 60

Page 2: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 3: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 4: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 5: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 6: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integrala

Kako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 7: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 8: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60

Page 9: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 AntiderivacijaOsnovna svojstva antideriviranja

2 Uvod u redove realnih brojeva∗

3 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovni teorem infinitezimalnog racunaOsnovna svojstva odredenog integralaNeke osnovne primjene integrala

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 3 / 60

Page 10: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjer

ANTIDERIVACIJA

PRIMJER 1.

Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.

Rjesenje:

(x3)′ = 3x2 (

2x2)′ = 4x(2x)′

= 2

=⇒(

x3 + 2x2 + 2x)′

= 3x2 + 4x + 2

Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 4 / 60

Page 11: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjer

ANTIDERIVACIJA

PRIMJER 1.

Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.

Rjesenje:

(x3)′ = 3x2 (

2x2)′ = 4x(2x)′

= 2

=⇒(

x3 + 2x2 + 2x)′

= 3x2 + 4x + 2

Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 4 / 60

Page 12: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Antiderivacija

ANTIDERIVACIJA

Antiderivacija funkcije f(x) je funkcija F(x) takva da je

ddx

F(x) = f(x).

Ako je F (x) jedna antiderivacija od f (x), onda su sve druge oblika

F(x) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 5 / 60

Page 13: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 2.

Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?

Rjesenje:

v =dxd t

= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C

x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2

Dakle: x = t2 + 5 t−2

U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��

� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje

tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 6 / 60

Page 14: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 2.

Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?

Rjesenje:

v =dxd t

= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C

x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2

Dakle: x = t2 + 5 t−2

U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��

� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje

tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 6 / 60

Page 15: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?

Rjesenje:

Akceleracija je derivacija brzine:

dvd t

=−9.8

(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 7 / 60

Page 16: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?

Rjesenje:

Akceleracija je derivacija brzine:

dvd t

=−9.8

(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 7 / 60

Page 17: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

dvd t

=−9.8 antider.=⇒ v =−9.8 t + C1, C1 =?

v(0) = v0 =⇒ C1 = v0

Dakle: v =−9.8 t + v0 =−9.8 t + 39.2

v =dxd t

=−9.8 t + v0antider.=⇒ x =−9.8 · t

2

2+ v0 t + C2, C2 =?

x(0) = x0 =⇒ C2 = x0

Dakle: x =−4.9 t2 + v0 t + x0

Konkretno (v0 = 39.2, x0 = 2):

x =−4.9 t2 + 39.2 t + 2 je visina rakete ovisna o t

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 8 / 60

Page 18: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:

v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]

(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):

x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]

SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫

f(x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 9 / 60

Page 19: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:

v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]

(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):

x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]

SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫

f(x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 9 / 60

Page 20: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 4.

Izracunajmo:∫ (

2x2−5x + 2)

dx

Rjesenje:

ddx

(2

x3

3

)= 2x2 =⇒

∫2x2 dx =

23

x3

ddx

(5

x2

2

)= 5x =⇒

∫5x dx =

52

x2

ddx

(2x) = 2 =⇒∫

2dx = 2x

Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (

2x2−5x + 2)

dx =23

x3− 52

x2 + 2x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 10 / 60

Page 21: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 4.

Izracunajmo:∫ (

2x2−5x + 2)

dx

Rjesenje:

ddx

(2

x3

3

)= 2x2 =⇒

∫2x2 dx =

23

x3

ddx

(5

x2

2

)= 5x =⇒

∫5x dx =

52

x2

ddx

(2x) = 2 =⇒∫

2dx = 2x

Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (

2x2−5x + 2)

dx =23

x3− 52

x2 + 2x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 10 / 60

Page 22: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

OSNOVNA SVOJSTVA ANTIDERIVIRANJA

(i)∫

c f (x)dx = c∫

f (x)dx

(ii)∫

[f (x)±g(x)] dx =∫

f (x)dx ±∫

g(x)dx

Lako provjeravamo:

(1)∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, n 6=−1

(2)∫ 1

xdx = ln |x |+ C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 11 / 60

Page 23: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx =?

Rjesenje: ∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx

=∫ (

x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)

dx

=x−1

−1+

x3/2

3/2−2

x3

3+ 3

x1/2

1/2+ C

= −1x

+23

x√

x− 23

x3 + 6√

x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 12 / 60

Page 24: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx =?

Rjesenje: ∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx

=∫ (

x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)

dx

=x−1

−1+

x3/2

3/2−2

x3

3+ 3

x1/2

1/2+ C

= −1x

+23

x√

x− 23

x3 + 6√

x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 12 / 60

Page 25: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60

Page 26: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60

Page 27: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60

Page 28: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:

a) 4 3√

x b)12

+12

x +12

x2

c) sin(2 ,x−1) d)1

x−1

e) e2−3x f )−2√

7−4x

Rjesenje: Redom dobivamo

a) 3x4/3 + C b)x2

+x2

4+

x3

6+ C c) − cos(2x−1)

2+ C

d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x

3+ c f)

√7−4x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 14 / 60

Page 29: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:

a) 4 3√

x b)12

+12

x +12

x2

c) sin(2 ,x−1) d)1

x−1

e) e2−3x f )−2√

7−4x

Rjesenje: Redom dobivamo

a) 3x4/3 + C b)x2

+x2

4+

x3

6+ C c) − cos(2x−1)

2+ C

d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x

3+ c f)

√7−4x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 14 / 60

Page 30: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx

2

∫ x2−x + 2√x

dx

3

∫cos(2x + 1)dx

4

∫ (ex +

2x−x2

)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 15 / 60

Page 31: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx R. 3

4x4−x + x3− ln |x |+ C

2

∫ x2−x + 2√x

dx R. 25x5/2− 2

3x3/2 + 4x1/2 + C

3

∫cos(2x + 1)dx R. 1

2 sin(2x + 1) + C

4

∫ (3sinx− 2

sin2 x

)dx R. −3cosx−2ctgx + C

5

∫ (ex +

2x−x2

)dx R. ex + 2ln |x |− x3

4 + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 15 / 60

Page 32: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjer

PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?

Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):

v =∫

ad t =∫

4d t = 4 t + C1, C1 =?

v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5

Dakle: v = 4 t + 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 16 / 60

Page 33: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjer

PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?

Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):

v =∫

ad t =∫

4d t = 4 t + C1, C1 =?

v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5

Dakle: v = 4 t + 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 16 / 60

Page 34: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Antiderivacija Primjer

Polozaj cestice u trenutku t dan je jednadzbom (antiderivacija brzine):

x =∫

v d t =∫

(4 t + 5)d t = 2 t2 + 5 t + C2, C2 =?

x(2) = 15 =⇒ 2 ·22 + 5 ·2 + C2 = 15 =⇒ C2 =−3

Dakle: x = 2 t2 + 5 t−3

U trenutku t = 3 polozaj i brzina cestice su:

x(3) = 2 ·32 + 5 ·3−3 = 30 v(3) = 4 ·3 + 5 = 17

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 17 / 60

Page 35: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60

Page 36: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60

Page 37: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60

Page 38: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 9.Izracunajte

1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 19 / 60

Page 39: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 9.Izracunajte

1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 19 / 60

Page 40: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 10.

Izracunajten

∑i=1

i .

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 20 / 60

Page 41: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 10.

Izracunajten

∑i=1

i .

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 20 / 60

Page 42: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 11.Izracunajte

1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 21 / 60

Page 43: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 11.Izracunajte

1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 21 / 60

Page 44: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 12.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ Sn−qSn = 1−qn

⇒ (1−q)Sn = 1−qn

⇒ Sn =1−qn

1−q.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 22 / 60

Page 45: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 12.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ Sn−qSn = 1−qn

⇒ (1−q)Sn = 1−qn

⇒ Sn =1−qn

1−q.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 22 / 60

Page 46: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 13.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 23 / 60

Page 47: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 13.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 23 / 60

Page 48: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

DEFINICIJA REDA

Definicija 1.Neka je (an)n niz realnih brojeva. Red realnih brojeva je zbrojbeskonacno (prebrojivo mnogo) pribrojnika koji se nalaze u zadanomporetku. Oznake za red su:

∑an ili ∑n∈N

an ili ∑N

an ili∞

∑n=1

an ili a1 + a2 + . . .+ an + . . .

Element an zovemo opci clan reda ili n-ti clan.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 24 / 60

Page 49: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

Definicija 1. (nastavak)Redu ∑

n=1 an pridruzujemo niz (Sn)n definiran s:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3

...Sn = a1 + a2 + . . .+ an

...

koji zovemo nizom parcijalna suma, a element Sn zovemo n-taparcijalna suma reda.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 25 / 60

Page 50: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

KONVERGENCIJA REDA

Definicija 2.Za redu ∑

n=1 an realnih brojeva kazemo da je konvergentan (zbrojiv ilisumabilan), ako je niz parcijalnih suma reda (Sn)n konvergentan. Akoje red konvergentan onda broj

S = limn→∞

Sn

zovemo sumom reda i oznacavamo sa

S =∞

∑n=1

an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .

Red je divergentan ako je niz (Sn)n divergentan.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 26 / 60

Page 51: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Uvod u redove realnih brojeva∗

ZADATAK 3.

a) Pokazati da harmonijski red ∑∞

n=11n divergira, a njegov alternirani

red ∑∞

n=1(−1)n−1 1n konvergira.

b) Vratite se opet na Zenonov paradoks iz poglavlja ”Dodatak - Limesfunkcije”: Ako Ahil i kornjaca krenu istovremeno, dok Ahil stigne dopocetnog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknuti malo naprijed.Dok Ahil stigne do novog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknutimalo naprijed i tako dalje. Stoga Ahil nikad nece stici kornjacu, sto jeparadoks. Zenon slusatelja navodi na zakljucak da zbroj odbeskonacno udaljenosti mora biti beskonacan, sto u ovom slucaju nijetocno.Ako se Ahil nalazi 1 metar iza kornjace, a 10 puta je brzi, nadite kadace Ahil susresti kornjacu. Uzmite u obzir da Ahil prijede put prikazangeometrijskim redom: 1 + 1

10 + 1102 + . . . .

c) Ispitajte konvergenciju reda: 1−1 + 1−1 +− . . . .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 27 / 60

Page 52: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 28 / 60

Page 53: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 28 / 60

Page 54: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

U v − t dijagramu to izgleda ovako:

v

t

∆s

a b

∆t

Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 29 / 60

Page 55: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v

t∆s1

t1 t2

∆s2

∆s3

∆s4

t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4

v1

v2

v3

v4

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 30 / 60

Page 56: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:

v

ta b

∑j

dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i

gi∆ti

∑j

dj∆tj . . .donja suma

∑i

gi∆ti . . .gornja suma

s(b)−s(a) . . .prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 31 / 60

Page 57: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

PRIMJER 14.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)

72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1

Procjenite prijedeni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 32 / 60

Page 58: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Putovi i povrsine

RjesenjeDonja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:

72 · 13

+ 78 · 13

+ 90 · 13

= 80km.

Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:

81 · 13

+ 93 · 13

+ 99 · 13

= 91km.

Dakle,80km≤ s(1)−s(0)≤ 81km.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 33 / 60

Page 59: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?

Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 34 / 60

Page 60: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 34 / 60

Page 61: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Relativni put

Relativni put

∆s = relativni put

s

U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina

v

t

v1

v2

v3

+

+

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 35 / 60

Page 62: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Relativni put

I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.

Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 36 / 60

Page 63: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 37 / 60

Page 64: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 37 / 60

Page 65: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 38 / 60

Page 66: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 38 / 60

Page 67: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje

1∫−0.5

x3dx ,

2∫0

cosxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 39 / 60

Page 68: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje

1∫−0.5

x3dx ,

2∫0

cosxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 39 / 60

Page 69: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

ZADATAK 4.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−2 2

y = −x2 + 4

4

y

x−4 −2

y = 12x+ 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 40 / 60

Page 70: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

ZADATAK 5.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

2

1

y = (x− 1)(x− 2)

2

y

xπ2

π

y = sinx

3π2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 41 / 60

Page 71: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 17.

Procjenite integral2∫

1

1x

dx gornjom i donjom sumom.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 42 / 60

Page 72: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

Rjesenje

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

Gornja suma:

55· 15

+56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

=15

+16

+17

+18

+19

= 0.745634921

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 43 / 60

Page 73: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

Rjesenje

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

1

56

57

5859

2

Donja suma:

56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

+5

10· 15

=16

+17

+18

+19

+1

10= 0.645635

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 44 / 60

Page 74: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

RjesenjeDakle

0.645635 <

2∫1

1x

dx < 0.745634921.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 45 / 60

Page 75: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 46 / 60

Page 76: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 46 / 60

Page 77: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

PRIMJER 18.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du

PRIMJER 19.Izracunati integral

π∫0

sinxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 47 / 60

Page 78: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

PRIMJER 18.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du

PRIMJER 19.Izracunati integral

π∫0

sinxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 47 / 60

Page 79: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx

2

4∫1

3x−1√x

dx

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx

4

2∫− 1

2

e2x+1dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 48 / 60

Page 80: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx R. 14

2

4∫1

3x−1√x

dx R. 12

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx R. 2

4

2∫− 1

2

e2x+1dx R. 12(e2−1)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 48 / 60

Page 81: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

Vazno je uociti da vrijedi

b∫a

f (x)dx =−a∫

b

f (x)dx

a∫a

f (x)dx = 0

Npr.0∫

2

f (x)dx =−2∫

0

f (x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 49 / 60

Page 82: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

OSNOVNA SVOJSTVA ODREDENOG INTEGRALA

Ako su f i g integrabilne funkcije na [a,b], tada odredeni integral imasljedeca svojstva:

(i) (linearnost)b∫

a

(α f (x) + β g(x))dx = α

b∫a

f (x)dx + β

b∫a

g(x)dx ,

(ii) (monotonost)

f (x)≤ g(x) ∀x ∈ [a,b] =⇒b∫

a

f (x)dx ≤b∫

a

g(x)dx ,

(iii) (nejednakost trokuta)∣∣∣∣∣∣b∫

a

f (x)dx

∣∣∣∣∣∣≤b∫

a

|f (x)|dx .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 50 / 60

Page 83: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

Osnovna svojstva (nastavak)

(iv) (osnovni teorem integralnog racuna) Ako je f : [a,b]→ Rneprekidna funkcija, tada za svao x ∈ (a,b) vrijedi

ddx

x∫a

f (t)d t = f (x).

x∫a

f (t)d t je primitivna funkcija od f (x).

(v) (teorem srednje vrijednosti) Ako je f : [a,b]→ R neprekidnafunkcija, tada postoji c ∈ [a,b] takvo da vrijedi

b∫a

f (x)dx = f (c)(b−a).

f (c) = 1b−a

b∫a

f (x)dx je srednja vrijednost funkcije f na [a,b].

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 51 / 60

Page 84: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 20.Kolika je povrsina zelenog podrucja?

y

x−1 1

y = −x2 + 2

y = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 52 / 60

Page 85: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je

b∫a

(f (x)−g(x))dx

y

x

f(x)−

g(x)

xa b

dx

y = f(x)

y = g(x)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 53 / 60

Page 86: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 54 / 60

Page 87: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 54 / 60

Page 88: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

Sjetimo se veze puta s i brzine v :

∆s = s(b)−s(a) =

b∫a

v(t)dt

Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx

:

∆V = V (b)−V (a) =

b∫a

V ′(x)dx

∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a so x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 55 / 60

Page 89: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 56 / 60

Page 90: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 56 / 60

Page 91: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

Rjesenje (nastavak)

f (t) =

{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;

1320, t > 10.

f(t)

t10 x

1320

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 57 / 60

Page 92: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

Rjesenje (nastavak)

1

10∫0

12(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)∣∣∣10

0= 4600`

2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :

783400 =

x∫0

f (t)dt =

10∫0

12(t2 + t)dt +

x∫10

1320dt = 4600 + 1320(x−10)

⇒ x = 600min = 10h.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 58 / 60

Page 93: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 8.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 59 / 60

Page 94: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 8.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 59 / 60

Page 95: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 9.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 60 / 60

Page 96: Matematika I - unizg.hr€¦ · Kako raˇcunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60 . Ciljevi ucenjaˇ

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 9.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 60 / 60