Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika IIntegral
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 1 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integrala
Kako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni putGeometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcijeDefinicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 2 / 60
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 AntiderivacijaOsnovna svojstva antideriviranja
2 Uvod u redove realnih brojeva∗
3 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovni teorem infinitezimalnog racunaOsnovna svojstva odredenog integralaNeke osnovne primjene integrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 3 / 60
Antiderivacija Primjer
ANTIDERIVACIJA
PRIMJER 1.
Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.
Rjesenje:
(x3)′ = 3x2 (
2x2)′ = 4x(2x)′
= 2
=⇒(
x3 + 2x2 + 2x)′
= 3x2 + 4x + 2
Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 4 / 60
Antiderivacija Primjer
ANTIDERIVACIJA
PRIMJER 1.
Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.
Rjesenje:
(x3)′ = 3x2 (
2x2)′ = 4x(2x)′
= 2
=⇒(
x3 + 2x2 + 2x)′
= 3x2 + 4x + 2
Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 4 / 60
Antiderivacija Antiderivacija
ANTIDERIVACIJA
Antiderivacija funkcije f(x) je funkcija F(x) takva da je
ddx
F(x) = f(x).
Ako je F (x) jedna antiderivacija od f (x), onda su sve druge oblika
F(x) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 5 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 2.
Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?
Rjesenje:
v =dxd t
= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C
x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2
Dakle: x = t2 + 5 t−2
U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��
� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje
tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 6 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 2.
Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?
Rjesenje:
v =dxd t
= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C
x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2
Dakle: x = t2 + 5 t−2
U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��
� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje
tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 6 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?
Rjesenje:
Akceleracija je derivacija brzine:
dvd t
=−9.8
(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 7 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?
Rjesenje:
Akceleracija je derivacija brzine:
dvd t
=−9.8
(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 7 / 60
Antiderivacija Primjeri
dvd t
=−9.8 antider.=⇒ v =−9.8 t + C1, C1 =?
v(0) = v0 =⇒ C1 = v0
Dakle: v =−9.8 t + v0 =−9.8 t + 39.2
v =dxd t
=−9.8 t + v0antider.=⇒ x =−9.8 · t
2
2+ v0 t + C2, C2 =?
x(0) = x0 =⇒ C2 = x0
Dakle: x =−4.9 t2 + v0 t + x0
Konkretno (v0 = 39.2, x0 = 2):
x =−4.9 t2 + 39.2 t + 2 je visina rakete ovisna o t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 8 / 60
Antiderivacija Primjeri
(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:
v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]
(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):
x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]
SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫
f(x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 9 / 60
Antiderivacija Primjeri
(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:
v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]
(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):
x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]
SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫
f(x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 9 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 4.
Izracunajmo:∫ (
2x2−5x + 2)
dx
Rjesenje:
ddx
(2
x3
3
)= 2x2 =⇒
∫2x2 dx =
23
x3
ddx
(5
x2
2
)= 5x =⇒
∫5x dx =
52
x2
ddx
(2x) = 2 =⇒∫
2dx = 2x
Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (
2x2−5x + 2)
dx =23
x3− 52
x2 + 2x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 10 / 60
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 4.
Izracunajmo:∫ (
2x2−5x + 2)
dx
Rjesenje:
ddx
(2
x3
3
)= 2x2 =⇒
∫2x2 dx =
23
x3
ddx
(5
x2
2
)= 5x =⇒
∫5x dx =
52
x2
ddx
(2x) = 2 =⇒∫
2dx = 2x
Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (
2x2−5x + 2)
dx =23
x3− 52
x2 + 2x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 10 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
OSNOVNA SVOJSTVA ANTIDERIVIRANJA
(i)∫
c f (x)dx = c∫
f (x)dx
(ii)∫
[f (x)±g(x)] dx =∫
f (x)dx ±∫
g(x)dx
Lako provjeravamo:
(1)∫
xn dx =xn+1
n + 1+ C, n 6=−1
(2)∫ 1
xdx = ln |x |+ C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 11 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx =?
Rjesenje: ∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx
=∫ (
x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)
dx
=x−1
−1+
x3/2
3/2−2
x3
3+ 3
x1/2
1/2+ C
= −1x
+23
x√
x− 23
x3 + 6√
x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 12 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx =?
Rjesenje: ∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx
=∫ (
x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)
dx
=x−1
−1+
x3/2
3/2−2
x3
3+ 3
x1/2
1/2+ C
= −1x
+23
x√
x− 23
x3 + 6√
x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 12 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 13 / 60
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:
a) 4 3√
x b)12
+12
x +12
x2
c) sin(2 ,x−1) d)1
x−1
e) e2−3x f )−2√
7−4x
Rjesenje: Redom dobivamo
a) 3x4/3 + C b)x2
+x2
4+
x3
6+ C c) − cos(2x−1)
2+ C
d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x
3+ c f)
√7−4x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 14 / 60
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:
a) 4 3√
x b)12
+12
x +12
x2
c) sin(2 ,x−1) d)1
x−1
e) e2−3x f )−2√
7−4x
Rjesenje: Redom dobivamo
a) 3x4/3 + C b)x2
+x2
4+
x3
6+ C c) − cos(2x−1)
2+ C
d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x
3+ c f)
√7−4x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 14 / 60
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:
1
∫ (3x2− 1
x
)(x + 1)dx
2
∫ x2−x + 2√x
dx
3
∫cos(2x + 1)dx
4
∫ (ex +
2x−x2
)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 15 / 60
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:
1
∫ (3x2− 1
x
)(x + 1)dx R. 3
4x4−x + x3− ln |x |+ C
2
∫ x2−x + 2√x
dx R. 25x5/2− 2
3x3/2 + 4x1/2 + C
3
∫cos(2x + 1)dx R. 1
2 sin(2x + 1) + C
4
∫ (3sinx− 2
sin2 x
)dx R. −3cosx−2ctgx + C
5
∫ (ex +
2x−x2
)dx R. ex + 2ln |x |− x3
4 + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 15 / 60
Antiderivacija Primjer
PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?
Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):
v =∫
ad t =∫
4d t = 4 t + C1, C1 =?
v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5
Dakle: v = 4 t + 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 16 / 60
Antiderivacija Primjer
PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?
Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):
v =∫
ad t =∫
4d t = 4 t + C1, C1 =?
v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5
Dakle: v = 4 t + 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 16 / 60
Antiderivacija Primjer
Polozaj cestice u trenutku t dan je jednadzbom (antiderivacija brzine):
x =∫
v d t =∫
(4 t + 5)d t = 2 t2 + 5 t + C2, C2 =?
x(2) = 15 =⇒ 2 ·22 + 5 ·2 + C2 = 15 =⇒ C2 =−3
Dakle: x = 2 t2 + 5 t−3
U trenutku t = 3 polozaj i brzina cestice su:
x(3) = 2 ·32 + 5 ·3−3 = 30 v(3) = 4 ·3 + 5 = 17
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 17 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA∗
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 18 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 9.Izracunajte
1
3
∑i=−1
i2
2
4
∑j=2
(j2 + j
)
Rjesenje
1
3
∑i=−1
i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15
2
4
∑j=2
(j2 + j
)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 19 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 9.Izracunajte
1
3
∑i=−1
i2
2
4
∑j=2
(j2 + j
)
Rjesenje
1
3
∑i=−1
i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15
2
4
∑j=2
(j2 + j
)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 19 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 10.
Izracunajten
∑i=1
i .
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1
⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)
⇒ 2S = n(n + 1)
⇒ S =n(n + 1)
2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 20 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 10.
Izracunajten
∑i=1
i .
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1
⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)
⇒ 2S = n(n + 1)
⇒ S =n(n + 1)
2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 20 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 11.Izracunajte
1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;
3
97
∑i=−2
(i + 2)
Rjesenje
1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;
2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8
2 =713;
3
97
∑i=−2
(i + 2) =99
∑j=0
j =99 ·100
2= 4950
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 21 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 11.Izracunajte
1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;
3
97
∑i=−2
(i + 2)
Rjesenje
1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;
2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8
2 =713;
3
97
∑i=−2
(i + 2) =99
∑j=0
j =99 ·100
2= 4950
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 21 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 12.
Izracunajten−1
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn−1.
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1
qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn
⇒ Sn−qSn = 1−qn
⇒ (1−q)Sn = 1−qn
⇒ Sn =1−qn
1−q.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 22 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 12.
Izracunajten−1
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn−1.
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1
qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn
⇒ Sn−qSn = 1−qn
⇒ (1−q)Sn = 1−qn
⇒ Sn =1−qn
1−q.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 22 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 13.
Za |q|< 1 izracunajte∞
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .
Rjesenje
1 + q + · · ·qn−1 =1−qn
1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je
1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞
(1 + q + · · ·qn−1
)= lim
n→∞
1−qn
1−q=
11−q
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 23 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 13.
Za |q|< 1 izracunajte∞
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .
Rjesenje
1 + q + · · ·qn−1 =1−qn
1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je
1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞
(1 + q + · · ·qn−1
)= lim
n→∞
1−qn
1−q=
11−q
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 23 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
DEFINICIJA REDA
Definicija 1.Neka je (an)n niz realnih brojeva. Red realnih brojeva je zbrojbeskonacno (prebrojivo mnogo) pribrojnika koji se nalaze u zadanomporetku. Oznake za red su:
∑an ili ∑n∈N
an ili ∑N
an ili∞
∑n=1
an ili a1 + a2 + . . .+ an + . . .
Element an zovemo opci clan reda ili n-ti clan.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 24 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
Definicija 1. (nastavak)Redu ∑
∞
n=1 an pridruzujemo niz (Sn)n definiran s:
S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3
...Sn = a1 + a2 + . . .+ an
...
koji zovemo nizom parcijalna suma, a element Sn zovemo n-taparcijalna suma reda.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 25 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
KONVERGENCIJA REDA
Definicija 2.Za redu ∑
∞
n=1 an realnih brojeva kazemo da je konvergentan (zbrojiv ilisumabilan), ako je niz parcijalnih suma reda (Sn)n konvergentan. Akoje red konvergentan onda broj
S = limn→∞
Sn
zovemo sumom reda i oznacavamo sa
S =∞
∑n=1
an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .
Red je divergentan ako je niz (Sn)n divergentan.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 26 / 60
Uvod u redove realnih brojeva∗
ZADATAK 3.
a) Pokazati da harmonijski red ∑∞
n=11n divergira, a njegov alternirani
red ∑∞
n=1(−1)n−1 1n konvergira.
b) Vratite se opet na Zenonov paradoks iz poglavlja ”Dodatak - Limesfunkcije”: Ako Ahil i kornjaca krenu istovremeno, dok Ahil stigne dopocetnog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknuti malo naprijed.Dok Ahil stigne do novog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknutimalo naprijed i tako dalje. Stoga Ahil nikad nece stici kornjacu, sto jeparadoks. Zenon slusatelja navodi na zakljucak da zbroj odbeskonacno udaljenosti mora biti beskonacan, sto u ovom slucaju nijetocno.Ako se Ahil nalazi 1 metar iza kornjace, a 10 puta je brzi, nadite kadace Ahil susresti kornjacu. Uzmite u obzir da Ahil prijede put prikazangeometrijskim redom: 1 + 1
10 + 1102 + . . . .
c) Ispitajte konvergenciju reda: 1−1 + 1−1 +− . . . .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 27 / 60
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
gdje je
s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 28 / 60
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
gdje je
s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 28 / 60
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
U v − t dijagramu to izgleda ovako:
v
t
∆s
a b
∆t
Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 29 / 60
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v
t∆s1
t1 t2
∆s2
∆s3
∆s4
t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4
v1
v2
v3
v4
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 30 / 60
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:
v
ta b
∑j
dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i
gi∆ti
∑j
dj∆tj . . .donja suma
∑i
gi∆ti . . .gornja suma
s(b)−s(a) . . .prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 31 / 60
Integral Putovi i povrsine
PRIMJER 14.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)
72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1
Procjenite prijedeni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 32 / 60
Integral Putovi i povrsine
RjesenjeDonja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:
72 · 13
+ 78 · 13
+ 90 · 13
= 80km.
Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:
81 · 13
+ 93 · 13
+ 99 · 13
= 91km.
Dakle,80km≤ s(1)−s(0)≤ 81km.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 33 / 60
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?
Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 34 / 60
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 34 / 60
Integral Relativni put
Relativni put
∆s = relativni put
s
U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina
v
t
v1
v2
v3
+
−
+
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 35 / 60
Integral Relativni put
I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.
Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 36 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 37 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 37 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 38 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 38 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
y = x3
−0.51
y
x
y = cosx
π2
π 3π2
1
Rjesenje
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 39 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
y = x3
−0.51
y
x
y = cosx
π2
π 3π2
1
Rjesenje
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 39 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
ZADATAK 4.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−2 2
y = −x2 + 4
4
y
x−4 −2
y = 12x+ 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 40 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
ZADATAK 5.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
2
1
y = (x− 1)(x− 2)
2
y
xπ2
π
y = sinx
3π2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 41 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 17.
Procjenite integral2∫
1
1x
dx gornjom i donjom sumom.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 42 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
Gornja suma:
55· 15
+56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
=15
+16
+17
+18
+19
= 0.745634921
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 43 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
1
56
57
5859
2
Donja suma:
56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
+5
10· 15
=16
+17
+18
+19
+1
10= 0.645635
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 44 / 60
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
RjesenjeDakle
0.645635 <
2∫1
1x
dx < 0.745634921.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 45 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 46 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 46 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
PRIMJER 18.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
PRIMJER 19.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 47 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
PRIMJER 18.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
PRIMJER 19.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 47 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:
1
0∫−1
(4x3− 3
√x)
dx
2
4∫1
3x−1√x
dx
3
π
2∫0
(cosx + sinx)dx
4
2∫− 1
2
e2x+1dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 48 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:
1
0∫−1
(4x3− 3
√x)
dx R. 14
2
4∫1
3x−1√x
dx R. 12
3
π
2∫0
(cosx + sinx)dx R. 2
4
2∫− 1
2
e2x+1dx R. 12(e2−1)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 48 / 60
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
Vazno je uociti da vrijedi
b∫a
f (x)dx =−a∫
b
f (x)dx
a∫a
f (x)dx = 0
Npr.0∫
2
f (x)dx =−2∫
0
f (x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 49 / 60
Integral Osnovna svojstva odredenog integrala
OSNOVNA SVOJSTVA ODREDENOG INTEGRALA
Ako su f i g integrabilne funkcije na [a,b], tada odredeni integral imasljedeca svojstva:
(i) (linearnost)b∫
a
(α f (x) + β g(x))dx = α
b∫a
f (x)dx + β
b∫a
g(x)dx ,
(ii) (monotonost)
f (x)≤ g(x) ∀x ∈ [a,b] =⇒b∫
a
f (x)dx ≤b∫
a
g(x)dx ,
(iii) (nejednakost trokuta)∣∣∣∣∣∣b∫
a
f (x)dx
∣∣∣∣∣∣≤b∫
a
|f (x)|dx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 50 / 60
Integral Osnovna svojstva odredenog integrala
Osnovna svojstva (nastavak)
(iv) (osnovni teorem integralnog racuna) Ako je f : [a,b]→ Rneprekidna funkcija, tada za svao x ∈ (a,b) vrijedi
ddx
x∫a
f (t)d t = f (x).
x∫a
f (t)d t je primitivna funkcija od f (x).
(v) (teorem srednje vrijednosti) Ako je f : [a,b]→ R neprekidnafunkcija, tada postoji c ∈ [a,b] takvo da vrijedi
b∫a
f (x)dx = f (c)(b−a).
f (c) = 1b−a
b∫a
f (x)dx je srednja vrijednost funkcije f na [a,b].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 51 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 20.Kolika je povrsina zelenog podrucja?
y
x−1 1
y = −x2 + 2
y = x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 52 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je
b∫a
(f (x)−g(x))dx
y
x
f(x)−
g(x)
xa b
dx
y = f(x)
y = g(x)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 53 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = x2 i y =√
x .
Rjesenje
y
x1
1∫0
(√x−x2
)dx =
13.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 54 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = x2 i y =√
x .
Rjesenje
y
x1
1∫0
(√x−x2
)dx =
13.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 54 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
Sjetimo se veze puta s i brzine v :
∆s = s(b)−s(a) =
b∫a
v(t)dt
Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx
:
∆V = V (b)−V (a) =
b∫a
V ′(x)dx
∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a so x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 55 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.
1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?
RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:
12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min
Dakle brzina punjenja je:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 56 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.
1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?
RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:
12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min
Dakle brzina punjenja je:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 56 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
Rjesenje (nastavak)
f (t) =
{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;
1320, t > 10.
f(t)
t10 x
1320
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 57 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
Rjesenje (nastavak)
1
10∫0
12(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)∣∣∣10
0= 4600`
2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :
783400 =
x∫0
f (t)dt =
10∫0
12(t2 + t)dt +
x∫10
1320dt = 4600 + 1320(x−10)
⇒ x = 600min = 10h.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 58 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 8.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.
Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 59 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 8.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.
Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 59 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 9.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 12t−3t2m/s.
1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja
2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 60 / 60
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 9.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 12t−3t2m/s.
1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja
2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 28. rujna 2018. 60 / 60