Matematika I - unizg.hr...Matematika I Inverz matrice i determinanta Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 15 animation by

Matematika IInverz matrice i determinanta

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 15

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pojam invertiranja-jedincna matrica kao neutralni elementOperacija nad retcima-algoritam trazenja inverza matriceDeterminante-svojstva i efektivno racunanjeRegularnost matrice


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Inverz i determininanta matriceInverzna matricaAlgoritam za trazenje inverzaDeterminanta matriceSvojstva determinante


Inverz i determininanta matrice Inverzna matrica

Inverzna matrica

INVERZNA MATRICA KVADRATNE MATRICE A JE MATRICA A−1

TAKVA DA JE:AA−1 = A−1A = I

Inverzna matrica ne mora postojati, a ako postoji jedinstvena je.PRIMJENA:

Ax = b

⇒ A−1Ax = A−1b

⇒ x = A−1b



Zadatak 1.

Je li matrica A =

[1/3 1/3−2/3 1/3

]inverzna matrici

[1 −12 1

]?



Zadatak 2.

Zadana je matrica A =

[1 99 1

]. Je li neka od sljedecih matrica njezin

inverz?

B =

[−1 99 −1

],C = 1

80

[−1 99 −1

],D = 1

81

[−1 99 −1

]


Inverz i determininanta matrice Algoritam za trazenje inverza

Algoritam za trazenje inverza

Primjer.Nadite inverz matrice

A =

3 −1 1−15 6 −5

5 −2 2




Primjer.Rjesenje. 3 −1 1 1 0 0

−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1





−15 6 −5 0 1 05 −2 2 0 0 1





0 1 0 5 1 00 −1

313 −5

3 0 1





0 1 0 5 1 00 −1

313 −5

3 0 1




Primjer.Rjesenje. 3 0 1 6 1 0

0 1 0 5 1 00 0 1

3 0 13 1




Primjer.Rjesenje.

3 0 1 6 1 00 1 0 5 1 0

0 013

0 13 1




Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1

0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3




Primjer.Rjesenje. 1 0 0 2 0 −1

0 1 0 5 1 00 0 1 0 1 3

Inverz matrice A je

A−1 =

2 0 −15 1 00 1 3



Zadatak 3.

Nadi inverzne matrice A−1, B−1 ako je

A =

[1 23 4

], B =

1 −1 02 −2 −1−2 3 1

Provjerite dobivene rezultate!



Zadatak 4.

Nadite A−1, B−1, C−1 ako je

A =

[1 −10 −1

], B =

1 −2 70 1 −20 0 1

, C =

2 0 00 3 00 0 −5

Provjerite dobivene rezultate!



Zadatak 5.

Neka je A =

1 2 11 1 02 0 −1

, B =

−1 3 20 2 −13 1 0

.Ako je A−1 =

1 −2 1−1 3 −12 −4 1

nadite matricu X tako da vrijedi

AX = B. Takoder, nadite matricu Y tako da je YA = B.


Inverz i determininanta matrice Determinanta matrice

Determinanta matrice

Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:2×2 matrice

det(

a bc d

)=

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣= a ·d −b ·c




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=a(−1)1+1∣∣∣∣ e f

h i

∣∣∣∣+b(−1)1+2∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+c(−1)1+3∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 : razvoj po 1 retku matrice∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= a∣∣∣∣ e f

h i

∣∣∣∣−b∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+c∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=b(−1)1+2∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+e(−1)2+2∣∣∣∣ a c

g i

∣∣∣∣+h(−1)3+2∣∣∣∣ a c

d f

∣∣∣∣




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:3×3 matrice: razvoj po drugom stupcu∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣= −b∣∣∣∣ d f

g i

∣∣∣∣+e∣∣∣∣ a c

g i

∣∣∣∣−h∣∣∣∣ a c

d f

∣∣∣∣




Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i(−1)3+1

∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣+ j(−1)3+2

∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k(−1)3+3

∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣+ l(−1)3+4

∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15



Neka je A kvadratna matrica.detA (takoder se oznacava i s |A|) je tada broj koji se racunarekurzivno:4×4 matrice: npr. razvoj po trecem retku∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c de f g hi j k lm n o p

∣∣∣∣∣∣∣∣= i

∣∣∣∣∣∣b c df g hn o p

∣∣∣∣∣∣− j

∣∣∣∣∣∣a c de g hm o p

∣∣∣∣∣∣+

+k

∣∣∣∣∣∣a b de f hm n p

∣∣∣∣∣∣− l

∣∣∣∣∣∣a b ce f gm n o

∣∣∣∣∣∣Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 15


Primjer.Izracunajte determinantu:∣∣∣∣∣∣∣∣

4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣



Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4

∣∣∣∣∣∣3 0 0−6 −2 04 1 5

∣∣∣∣∣∣



Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3∣∣∣∣ −2 0

1 5

∣∣∣∣



Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120



Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.



Rjesenje. ∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 0 0−2 3 0 05 −6 −2 04 4 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4 ·3 · (−2) ·5 =−120

Dakle, determinantu trokutaste matrice racunamo tako da pomnozimoelemente na dijagonali.

Sada cemo navesti svojstva determinate koja nam olaksavaju njezinoracunanje, naprimjer svodenjem na determinantu trokutaste matrice.


Inverz i determininanta matrice Svojstva determinante

Svojstva determinante

1 Ako za kvadratnu matricu A vrijedi det(A) 6= 0 onda A ima inverznumatricu. Ako je det(A) = 0 onda A nema inverznu matricu

2 Mnozenjem retka (stupca) brojem i dodavanjem nekom drugomretku (stupcu) ne mjenja se vrijednost determinante

3 Zamjenom dva retka (stupca) mijenja se predznak determinante4 Determinantu mnozimo brojem c tako da samo jedan njezin redak

(ili stupac) pomnozimo brojem c5 det(AB) = detAdetB, posebno det(Ak ) = (detA)k , k ∈ N6 Determinanta koja ima dva jednaka retka ili stupca jednaka je nuli



Primjer.Izracunajte determinantu: ∣∣∣∣∣∣

1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣



Rjesenje.

∣∣∣∣∣∣1 125 −80 −250 20−9 375 12

∣∣∣∣∣∣= 125

∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−9 3 12

∣∣∣∣∣∣== 125 ·3·

∣∣∣∣∣∣1 1 −80 −2 20−3 1 4

∣∣∣∣∣∣= 125 ·3 ·4 ·

∣∣∣∣∣∣1 1 −20 −2 5−3 1 1

∣∣∣∣∣∣= 1500·

(1 ·∣∣∣∣ −2 5

1 1

∣∣∣∣−3 ·∣∣∣∣ 1 −2−2 5

∣∣∣∣)=1500 · (−7−3 ·1) =−15000



Zadatak 6.Izracunaj determinatu ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 5 −1 13 −2 2 2−1 3 2 34 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣


Documents

Matematika I - unizg.hr...Matematika I Inverz matrice i determinanta Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 15 animation by