MATEMATIKA II

METODE INTEGRAL PARSIAL

KELOMPOK III :

ISMI KOROMPOT F 221 14 012

RAHMANSYAH ALFIAN F 221 14 027

FITRAH AKBAR F 221 14 021

ELVIRA MAHARANI F 221 14 049

MUHAJIR F 221 14 023

DONI MARTIN F 221 14 047

SUTRISNO F 221 14 050

NURFADILAH F 221 14 014

TSABIT SHIDDIQ F 221 14 016

MUAMAR MA’RUF F 221 14 018

AFRIANTO F 221 14 042

HAJURNIS F 221 12 008

HARIYANTO F 221

REVIEW MATERI

Aturan pangkat

Bentuk umum yaitu ∫ axndx= an+1

xn+1+c dengan n ≠ 1 dan hal ini telah

diuraikan terdahulu. Teknik pengintegralan manggunakan aturan pangkat merupakan teknik dasar yang juga digunakan pada teknik lainnya.

Substitusi ( aturan pangkat yang digeneralisir )

Andaikan g suatu fungsi yang terdeferensialkan dan anggaplah F antiturunan dari f. Jika u = g(x) ditentukan bahwa

∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx=∫ f (u )du=F (u )+c=F (g ( x ) )+c

Contoh :

∫ x3 √2 x4+11dx

Agar bentuk integralnya menjadi ∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx, kita misalkan

u=2x4+11 dan du=8 x3dx yang ekuivalen dengan ( 18 )du=x3dx maka

∫ x3 √2 x4+11dx=∫(2 x4¿+11)12 x3dx¿

¿∫u12 1

8du

¿ 1

8.

1

( 12+1)

u12+1

+c

¿ 1

8.

132

u32 +c

¿ 18.

23u

32 +c

¿ 112

(2 x¿¿4+11)32+c¿

Tidak ada aturan bahwa anda harus menuliskan substitusi u. Jika anda dapat melakukannya dalam pikiran, itu baik. Berikut adalah ilustrasi untuk hal tersebut

∫ x3 √2 x4+11dx=∫(2 x4¿+11)12 x3dx¿

¿∫(2x4¿+11)12 [ 1

8d (2 x4+11)]¿

¿ 18∫(2x4¿+11)

12 [d (2 x4+11) ]¿

¿ 1

8.

1

( 12+1)

(2x¿¿4+11)12+1

+c ¿

¿ 112

(2 x¿¿4+11)32+c¿

Rumus integral trigonometri

∫sin x dx=−cos x+c

∫cos xdx=sin x+c

∫sin (ax+b )dx=−1a

cos (ax+b )+c

∫cos (ax+b )dx=1a

sin (ax+b )+c

∫ sec2 (ax+b )dx=1atg (ax+b )+c

∫sinmx sin xdx= 1m+1

sinm+1 x+c

∫cosm x sin x dx= −1m+1

x+c

Metode Integral Parsial

Jika pengintegralan menggunakan teknik substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang lebih dikenal dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasil kali dua fungsi. Andaikan u= u(x), v(x), dan f(x)= u(x).v(x) maka

f’(x) = u’(x).v(x)+u(x).v’(x)

u(x).v’(x) = f’(x)-u’(x).v(x)

∫u (x).v’ (x)dx = ∫f’ (x)-∫v(x).u’(x)dx karena dv = v’ (x) dx dan du =u’(x)dx maka ∫u dv= f (x)-∫v du

∫u dx =u.v-∫v du

Disini tampak bahwa bentuk integral harus diubah menjadi ∫u dv dan kemudian dihitung menggunakan rumus uv-∫v du

Contoh :

Hitunglah ∫ x cos x dx

Bentuk ∫ x cos x dx =∫ [x][cos x dx]

Misalkan u = x maka du = 1 dx dan dv = cos x dx maka v =∫ cos x dx = sin x

Jadi ∫u dv = uv- ∫v du

∫x cos x dx = x.sin x-∫ sin x dx

= x sin x – ( -cos x) + C

= x sin x + cos x + c

Cara lain tanpa pemisalan tetapi langsung membentuk

∫ u dv∫ x cos x dx =∫[x][cos x dx] =∫ x d(sin x)

= x sin x -∫ sin dx = x sin x + cos x +c

Cara lain menggunakan cara tanzalin

Tanda Diferensialkan Integralkanu Dv = cos x

+1 X Sin x-1 1 -cos x+1 0

Hasil pengintegralan diperoleh dari jumlah perkalian pasangan kolom yang sebaris

Maka ∫ x cos x dx = (1) (x) (sin x) + (-1)(1)(-cos x) + c = x sin x + cos x + c

Soal

Hitunglah

1. ∫ x sin xdx=x¿¿Moh. Fauzi (F 221 14 019)

2. ∫ x sin 2x dx=12

cos 2x+ 14

sin 2x+c

Clara Zenicha Lioni (F 221 14 031)

3. ∫sin (2 x+1 )dx=−12

cos (2 x+1 )+c

Muh. Zulkarnaim (F 221 14 002)

4. ∫ x2 cos x dx=x2sin x+2x cos x−2 sin x+c

George Joshua ( F 221 14 015)

5. ∫ x ¿Moh. Syafaat (F 221 14 011)