Matematika II - fsb.unizg.hr fileMatematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2019. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II Integral 1 / 34. animation by animate[2012/05/24]

Matematika IIIntegral

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2019.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II Integral 1 / 34

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Podsjetit cemo se sto je antiderivacija

Podsjetit cemo se kako definiramo (odredeni) integralKako racunati integral primjenom Newton-Leibnizove formuleOsnovna svojstva integralaSto su nepravi integrali i kako se racunaju


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Podsjetit cemo se sto je antiderivacijaPodsjetit cemo se kako definiramo (odredeni) integral

Kako racunati integral primjenom Newton-Leibnizove formuleOsnovna svojstva integralaSto su nepravi integrali i kako se racunaju


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Podsjetit cemo se sto je antiderivacijaPodsjetit cemo se kako definiramo (odredeni) integralKako racunati integral primjenom Newton-Leibnizove formule

Osnovna svojstva integralaSto su nepravi integrali i kako se racunaju


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Podsjetit cemo se sto je antiderivacijaPodsjetit cemo se kako definiramo (odredeni) integralKako racunati integral primjenom Newton-Leibnizove formuleOsnovna svojstva integrala

Sto su nepravi integrali i kako se racunaju


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Podsjetit cemo se sto je antiderivacijaPodsjetit cemo se kako definiramo (odredeni) integralKako racunati integral primjenom Newton-Leibnizove formuleOsnovna svojstva integralaSto su nepravi integrali i kako se racunaju


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Antiderivacija (ponavljanje)Osnovna svojstva antideriviranja

2 Integral (ponavljanje)Putovi i povrsineDefinicija integralaOsnovni teorem infinitezimalnog racunaOsnovna svojstva odredenog integralaNeke osnovne primjene integrala

3 Nepravi integralIntegral na neomedenom intervaluPodintegralna funkcije nije omedena na intervalu integracije


Antiderivacija (ponavljanje)

Antiderivacija

Antiderivacija funkcije f(x) je funkcija F(x) takva da je

ddx

F(x) = f(x).

Ako je F (x) jedna antiderivacija od f (x), onda su sve druge oblika

F(x) + C

SVE ANTIDERIVACIJE FUNKCIJE f(x) OZNACAVAMO S∫

f(x)dx


Antiderivacija (ponavljanje) Osnovna svojstva antideriviranja

Osnovna svojstva antideriviranja

(i)∫

c f (x)dx = c∫

f (x)dx

(ii)∫

[f (x)±g(x)] dx =∫

f (x)dx ±∫

g(x)dx

Lako provjeravamo:

(1)∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, n 6=−1

(2)∫ 1

xdx = ln |x |+ C


Integral Putovi i povrsine

Putovi i povrsine

Vidjeli smo u Matematici I da je prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b]

prikazan je povrsinom izmedu tog intervala i grafa funkcije brzine v .Aproksimirali smo taj put donjim i gornjim sumama. Povrsinu izmedu intervala[a,b] i grafa v aproksimirali smo donjim i gornjim sumama.

v

ta b

∑j

dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i

gi∆ti

∑j

dj∆tj . . .donja suma

∑i

gi∆ti . . .gornja suma

s(b)−s(a) . . .prijedeni put


Integral Definicija integrala

Definicija integrala

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.


Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

Osnovni teorem infinitezimalnog racuna(NEWTON-LEIBNIZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)


Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

Osnovna svojstva odredenog integralaAko su f i g integrabilne funkcije na [a,b], tada vrijedi:

(i) (linearnost)∫ b

a(α f (x) + β g(x))dx = α

∫ b

af (x)dx + β

∫ b

ag(x)dx ,

(ii) (rastavljanje intervala integriranja)∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx .

(iii) (monotonost)

f (x)≤ g(x) ∀x ∈ [a,b] =⇒∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx ,

(iv) (nejednakost trokuta)∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣≤ ∫ b

a|f (x)|dx .


Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

Dodatna svojstva

(I) (teorem srednje vrijednosti)Ako je f : [a,b]→ R neprekidna funkcija, tada postoji c ∈ [a,b]takvo da vrijedi ∫ b

af (x)dx = f (c)(b−a).

f (c) = 1b−a

∫ ba f (x)dx je srednja vrijednost funkcije f na [a,b].

(II) (osnovni teorem integralnog racuna)Ako je f : [a,b]→ R neprekidna funkcija, tada za svao x ∈ (a,b)vrijedi d

dx

∫ x

af (t)d t = f (x).∫ x

a f (t)d t je primitivna funkcija od f (x).


Integral Neke osnovne primjene integrala

Neke osnovne primjene integrala

Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova

y = f (x) i y = g(x) jeb∫

a

(f (x)−g(x))dx

y

x

f(x)−

g(x)

xa b

dx

y = f(x)

y = g(x)



ZADATAK 1.Izracunajte povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

∫ 1

0

(√x−x2

)dx =

13.




y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

∫ 1

0

(√x−x2

)dx =

13.




x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje

y

x

√2

−√2

∫ √2

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.




x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje

y

x

√2

−√2

∫ √2

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.



ZADATAK 3.Izracunajte povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje

y

x

−1

2

∫ 2

−1

(y + 2−y2

)dy =

92.



ZADATAK 3.Izracunajte povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje

y

x

−1

2

∫ 2

−1

(y + 2−y2

)dy =

92.



ZADATAK 4.Izracunajte povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenjey

x−1 1

∫ 0

−1

(x2−x

)dx +

∫ 1

0

(x−x2

)dx = 1.



ZADATAK 4.Izracunajte povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenjey

x−1 1

∫ 0

−1

(x2−x

)dx +

∫ 1

0

(x−x2

)dx = 1.



Sjetimo se veze puta s i brzine v :

∆s = s(b)−s(a) =∫ b

av(t)dt

Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx

:

∆V = V (b)−V (a) =∫ b

aV ′(x)dx

∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a so x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x



PRIMJER 1.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:



PRIMJER 1.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:



Rjesenje (nastavak)

f (t) =

{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;

1320, t > 10.

f(t)

t10 x

1320



Rjesenje (nastavak)

1

∫ 10

012(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)

∣∣∣10

0= 4600`

2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :

783400=

=∫ x

0f (t)dt =

∫ 10

012(t2 + t)dt +

∫ x

101320dt = 4600 + 1320(x−10)

⇒ x = 600min = 10h.


Nepravi integral Integral na neomedenom intervalu

NEPRAVI INTEGRAL

Nepravi integral je poopcenje odredenog integrala kada podrucjeintegracije ima barem jednu beskonacnu granicu ili kada funkcijaunutar podrucja integracije nije omedena (primjerice, ima vertikalnuasimptotu).(A) Integral na neomedenom intervalu:

y

xa b →

y = f(x)

∫∞

af (x)dx def.

= limb→∞

∫ b

af (x)dx



PRIMJER 2.Izracunajmo:

(a)∫

∞

1

1x2 dx

(b)∫

∞

1

1√x

dx

(c)∫

∞

1

1x

dx



Rjesenje(a)

y

x

1 b →

y = 1x2

∫∞

1

1x2 dx = lim

b→∞

∫ b

1

1x2 dx = lim

b→∞

(−1

x

)∣∣∣b1

= limb→∞

(−1

b+ 1)

= 1



Rjesenje(b)

y

x

1 b →

y = 1√x

∫∞

1

1√x

dx = limb→∞

∫ b

1

1√x

dx = limb→∞

(2√

x)∣∣∣b

1= lim

b→∞

(2√

b−2)

= ∞



Rjesenje(c)

y

x1

1

y = 1√x

y = 1x

y = 1x2

∫∞

1

1x

dx = limb→∞

∫ b

1

1x

dx = limb→∞

(lnx)∣∣∣b1

= limb→∞

(lnb− ln1)) = ∞



ZADATAK 5.Izracunajte:

1

∫∞

2

1x5 dx

2

∫ −3

−∞

1x4 dx

3

∫∞

1

15√

xdx




1

∫∞

2

1x5 dx R : 1/64

2

∫ −3

−∞

1x4 dx R : 1/81

3

∫∞

1

15√

xdx R : ∞


Nepravi integral Podintegralna funkcije nije omedena na intervalu integracije

(B) Podintegralna funkcije nije omedena na intervalu integracije:y

xa bβ

∫ b

af (x)dx def.

= limβ→b−

∫β

af (x)dx



PRIMJER 3.

Izracunajmo∫ 1

0

1√x

dx .

Rjesenjey

x

1α

y = 1√x

∫ 1

0

1√x

dx = limα→0+

∫ 1

α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.



PRIMJER 3.

Izracunajmo∫ 1

0

1√x

dx .

Rjesenjey

x

1α

y = 1√x

∫ 1

0

1√x

dx = limα→0+

∫ 1

α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.



PRIMJER 4.

Izracunajmo∫ 1

0

1x2 dx .

Rjesenje∫ 1

0

1x2 dx = lim

α→0+

∫ 1

α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

1α

)= ∞.



PRIMJER 4.

Izracunajmo∫ 1

0

1x2 dx .

Rjesenje∫ 1

0

1x2 dx = lim

α→0+

∫ 1

α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

1α

)= ∞.



PRIMJER 5.

Izracunajmo∫ 1

0

1x

dx .

Rjesenje∫ 1

0

1x

dx = limα→0+

∫ 1

α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.



PRIMJER 5.

Izracunajmo∫ 1

0

1x

dx .

Rjesenje∫ 1

0

1x

dx = limα→0+

∫ 1

α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.




1

∫ 2

0

1x4 dx

2

∫ 0

−1

1x7 dx

3

∫ 8

0

13√

xdx




1

∫ 2

0

1x4 dx R : ∞

2

∫ 0

−1

1x7 dx R : −∞

3

∫ 8

0

13√

xdx R : 6



Definicija

Ako postoji konacan limes limb→∞

∫ b

af (x)dx u (A) (resp. lim

β→b−

∫β

af (x)dx u

(B)) onda kazemo da odgovarajuci nepravi integral konvergira i da je tajlimes vrijednost nepravog integrala.

Ako ne postoji limes limb→∞

∫ b


β→b−

∫β

af (x)dx u (B))

onda kazemo da odgovarajuci nepravi integral divergira.

PRIMJER 6.

Izracunajmo∫

∞

0e−xdx (ako konvergira).

Rjesenje∫∞

0e−xdx = lim

b→∞

∫ b

0e−xdx = lim

b→∞

−e−b + e0 = 0 + 1 = 1.

Dakle, integral konvergira i jednak je 1.



Definicija

Ako postoji konacan limes limb→∞

∫ b


β→b−

∫β

af (x)dx u

(B)) onda kazemo da odgovarajuci nepravi integral konvergira i da je tajlimes vrijednost nepravog integrala.

Ako ne postoji limes limb→∞

∫ b


β→b−

∫β

af (x)dx u (B))

onda kazemo da odgovarajuci nepravi integral divergira.

PRIMJER 6.

Izracunajmo∫

∞

0e−xdx (ako konvergira).

Rjesenje∫∞

0e−xdx = lim

b→∞

∫ b

0e−xdx = lim

b→∞

−e−b + e0 = 0 + 1 = 1.

Dakle, integral konvergira i jednak je 1.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II Integral 31 / 34


Ako je funkcija f definirana na R i integrabilna na svakom segmentu uR, onda definiramo∫

∞

−∞

f (x)dx :=∫ c

−∞

f (x)dx +∫

∞

cf (x)dx , c ∈ R,

ukoliko oba neprava integrala s desne strane konvergiraju.Lako se provjeri da je ova definicija dobra, tj. da ne ovisi o izboru c.

PRIMJER 7.

Izracunajmo∫

∞

−∞

11 + x2 dx , ako konvergira.

Rjesenje ∫∞

−∞

11 + x2 dx :=

∫ c

−∞

11 + x2 dx +

∫∞

c

11 + x2 dx ,

gdje c ∈ R mozemo izabrati kako zelimo.



Ako je funkcija f definirana na R i integrabilna na svakom segmentu uR, onda definiramo∫

∞

−∞

f (x)dx :=∫ c

−∞

f (x)dx +∫

∞

cf (x)dx , c ∈ R,

ukoliko oba neprava integrala s desne strane konvergiraju.Lako se provjeri da je ova definicija dobra, tj. da ne ovisi o izboru c.

PRIMJER 7.

Izracunajmo∫

∞

−∞

11 + x2 dx , ako konvergira.

Rjesenje ∫∞

−∞

11 + x2 dx :=

∫ c

−∞

11 + x2 dx +

∫∞

c

11 + x2 dx ,

gdje c ∈ R mozemo izabrati kako zelimo.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II Integral 32 / 34


Rjesenje (nastavak)Uzmimo da je c = 0.Imamo:∫ 0

−∞

11 + x2 dx = lim

b→−∞

∫ 0

b

11 + x2 dx

= limb→−∞

[arctg(0)−arctg(b)] = 0 +π

2=

π

2.

Slicno imamo: ∫∞

0

11 + x2 dx =

π

2.

Stoga je ∫∞

−∞

11 + x2 dx =

π

2+

π

2= π.

Dakle, integral konvergira i jednak je π.



ZADATAK 7.Izracunajte integrale, ako konvergiraju:

1

∫ 3

0

1(x−1)2/3dx

2

∫ 2

0

2xx2−4

dx

3

∫∞

2

dxx(ln(x))2



ZADATAK 7.Izracunajte integrale, ako konvergiraju:

1

∫ 3

0

1(x−1)2/3dx

R : 3(1 + 21/3) (PAZI!)

2

∫ 2

0

2xx2−4

dx R : divergira

3

∫∞

2

dxx(ln(x))2 R : 1/ ln(2)


Documents

Matematika II - fsb.unizg.hr fileMatematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2019. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II Integral 1 / 34. animation by animate[2012/05/24]