Upload
dinhnhu
View
266
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika IIIntegral
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integrala
Kako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule
Sto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗
Uvod u redove realnih brojeva∗
Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗
Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗
Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 AntiderivacijaOsnovna svojstva antideriviranja
2 Uvod u redove realnih brojeva∗
3 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovni teorem infinitezimalnog racunaOsnovna svojstva odredenog integralaNeke osnovne primjene integralaNepravi integral
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 3 / 78
Antiderivacija Primjer
ANTIDERIVACIJA (ponavljanje)
PRIMJER 1.
Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.
Rjesenje:
(x3)′ = 3x2 (
2x2)′ = 4x(2x)′
= 2
=⇒(
x3 + 2x2 + 2x)′
= 3x2 + 4x + 2
Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 4 / 78
Antiderivacija Primjer
ANTIDERIVACIJA (ponavljanje)
PRIMJER 1.
Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.
Rjesenje:
(x3)′ = 3x2 (
2x2)′ = 4x(2x)′
= 2
=⇒(
x3 + 2x2 + 2x)′
= 3x2 + 4x + 2
Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 4 / 78
Antiderivacija Antiderivacija
ANTIDERIVACIJA
Antiderivacija funkcije f(x) je funkcija F(x) takva da je
ddx
F(x) = f(x).
Ako je F (x) jedna antiderivacija od f (x), onda su sve druge oblika
F(x) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 5 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 2.
Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?
Rjesenje:
v =dxd t
= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C
x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2
Dakle: x = t2 + 5 t−2
U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��
� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje
tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 6 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 2.
Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?
Rjesenje:
v =dxd t
= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C
x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2
Dakle: x = t2 + 5 t−2
U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��
� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje
tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 6 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?
Rjesenje:
Akceleracija je derivacija brzine:
dvd t
=−9.8
(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 7 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?
Rjesenje:
Akceleracija je derivacija brzine:
dvd t
=−9.8
(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 7 / 78
Antiderivacija Primjeri
dvd t
=−9.8 antider.=⇒ v =−9.8 t + C1, C1 =?
v(0) = v0 =⇒ C1 = v0
Dakle: v =−9.8 t + v0 =−9.8 t + 39.2
v =dxd t
=−9.8 t + v0antider.=⇒ x =−9.8 · t
2
2+ v0 t + C2, C2 =?
x(0) = x0 =⇒ C2 = x0
Dakle: x =−4.9 t2 + v0 t + x0
Konkretno (v0 = 39.2, x0 = 2):
x =−4.9 t2 + 39.2 t + 2 je visina rakete ovisna o t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 8 / 78
Antiderivacija Primjeri
(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:
v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]
(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):
x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]
SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫
f(x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 9 / 78
Antiderivacija Primjeri
(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:
v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]
(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):
x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]
SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫
f(x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 9 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 4.
Izracunajmo:∫ (
2x2−5x + 2)
dx
Rjesenje:
ddx
(2
x3
3
)= 2x2 =⇒
∫2x2 dx =
23
x3
ddx
(5
x2
2
)= 5x =⇒
∫5x dx =
52
x2
ddx
(2x) = 2 =⇒∫
2dx = 2x
Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (
2x2−5x + 2)
dx =23
x3− 52
x2 + 2x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 10 / 78
Antiderivacija Primjeri
PRIMJER 4.
Izracunajmo:∫ (
2x2−5x + 2)
dx
Rjesenje:
ddx
(2
x3
3
)= 2x2 =⇒
∫2x2 dx =
23
x3
ddx
(5
x2
2
)= 5x =⇒
∫5x dx =
52
x2
ddx
(2x) = 2 =⇒∫
2dx = 2x
Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (
2x2−5x + 2)
dx =23
x3− 52
x2 + 2x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 10 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
OSNOVNA SVOJSTVA ANTIDERIVIRANJA
(i)∫
c f (x)dx = c∫
f (x)dx
(ii)∫
[f (x)±g(x)] dx =∫
f (x)dx ±∫
g(x)dx
Lako provjeravamo:
(1)∫
xn dx =xn+1
n + 1+ C, n 6=−1
(2)∫ 1
xdx = ln |x |+ C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 11 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx =?
Rjesenje: ∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx
=∫ (
x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)
dx
=x−1
−1+
x3/2
3/2−2
x3
3+ 3
x1/2
1/2+ C
= −1x
+23
x√
x− 23
x3 + 6√
x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 12 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx =?
Rjesenje: ∫ ( 1x2 +
√x−2x2 +
3√x
)dx
=∫ (
x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)
dx
=x−1
−1+
x3/2
3/2−2
x3
3+ 3
x1/2
1/2+ C
= −1x
+23
x√
x− 23
x3 + 6√
x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 12 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78
Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja
F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫
f (x)dx = F (x) =⇒∫
f (ax + b)dx =F (ax + b)
a
PRIMJER 6.
(a)∫ √
3x−5dx =? (b)∫
cos(2x + 5)dx =?
Rjesenje:
(a)∫ √
3x−5dx =13
(3x−5)3/2
3/2+ C =
29
(3x−5)√
3x−5 + C
(b)∫
cos(2x + 5)dx =12
sin(2x + 5) + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:
a) 4 3√
x b)12
+12
x +12
x2
c) sin(2 ,x−1) d)1
x−1
e) e2−3x f )−2√
7−4x
Rjesenje: Redom dobivamo
a) 3x4/3 + C b)x2
+x2
4+
x3
6+ C c) − cos(2x−1)
2+ C
d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x
3+ c f)
√7−4x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 14 / 78
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:
a) 4 3√
x b)12
+12
x +12
x2
c) sin(2 ,x−1) d)1
x−1
e) e2−3x f )−2√
7−4x
Rjesenje: Redom dobivamo
a) 3x4/3 + C b)x2
+x2
4+
x3
6+ C c) − cos(2x−1)
2+ C
d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x
3+ c f)
√7−4x + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 14 / 78
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:
1
∫ (3x2− 1
x
)(x + 1)dx
2
∫ x2−x + 2√x
dx
3
∫cos(2x + 1)dx
4
∫ (ex +
2x−x2
)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 15 / 78
Antiderivacija Zadatak
ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:
1
∫ (3x2− 1
x
)(x + 1)dx R. 3
4x4−x + x3− ln |x |+ C
2
∫ x2−x + 2√x
dx R. 25x5/2− 2
3x3/2 + 4x1/2 + C
3
∫cos(2x + 1)dx R. 1
2 sin(2x + 1) + C
4
∫ (3sinx− 2
sin2 x
)dx R. −3cosx−2ctgx + C
5
∫ (ex +
2x−x2
)dx R. ex + 2ln |x |− x3
4 + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 15 / 78
Antiderivacija Primjer
PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?
Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):
v =∫
ad t =∫
4d t = 4 t + C1, C1 =?
v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5
Dakle: v = 4 t + 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 16 / 78
Antiderivacija Primjer
PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?
Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):
v =∫
ad t =∫
4d t = 4 t + C1, C1 =?
v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5
Dakle: v = 4 t + 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 16 / 78
Antiderivacija Primjer
Polozaj cestice u trenutku t dan je jednadzbom (antiderivacija brzine):
x =∫
v d t =∫
(4 t + 5)d t = 2 t2 + 5 t + C2, C2 =?
x(2) = 15 =⇒ 2 ·22 + 5 ·2 + C2 = 15 =⇒ C2 =−3
Dakle: x = 2 t2 + 5 t−3
U trenutku t = 3 polozaj i brzina cestice su:
x(3) = 2 ·32 + 5 ·3−3 = 30 v(3) = 4 ·3 + 5 = 17
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 17 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)
Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo
n
∑i=1
ai
(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )
PRIMJER 8.
a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4
∑i=1
ai .
Rjesenje4
∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 9.Izracunajte
1
3
∑i=−1
i2
2
4
∑j=2
(j2 + j
)
Rjesenje
1
3
∑i=−1
i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15
2
4
∑j=2
(j2 + j
)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 19 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 9.Izracunajte
1
3
∑i=−1
i2
2
4
∑j=2
(j2 + j
)
Rjesenje
1
3
∑i=−1
i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15
2
4
∑j=2
(j2 + j
)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 19 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 10.
Izracunajten
∑i=1
i .
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1
⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)
⇒ 2S = n(n + 1)
⇒ S =n(n + 1)
2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 20 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 10.
Izracunajten
∑i=1
i .
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1
⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)
⇒ 2S = n(n + 1)
⇒ S =n(n + 1)
2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 20 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 11.Izracunajte
1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;
3
97
∑i=−2
(i + 2)
Rjesenje
1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;
2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8
2 =713;
3
97
∑i=−2
(i + 2) =99
∑j=0
j =99 ·100
2= 4950
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 21 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 11.Izracunajte
1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;
3
97
∑i=−2
(i + 2)
Rjesenje
1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;
2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8
2 =713;
3
97
∑i=−2
(i + 2) =99
∑j=0
j =99 ·100
2= 4950
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 21 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 12.
Izracunajten−1
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn−1.
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1
qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn
⇒ Sn−qSn = 1−qn
⇒ (1−q)Sn = 1−qn
⇒ Sn =1−qn
1−q.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 22 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 12.
Izracunajten−1
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn−1.
RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :
Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1
qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn
⇒ Sn−qSn = 1−qn
⇒ (1−q)Sn = 1−qn
⇒ Sn =1−qn
1−q.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 22 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 13.
Za |q|< 1 izracunajte∞
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .
Rjesenje
1 + q + · · ·qn−1 =1−qn
1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je
1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞
(1 + q + · · ·qn−1
)= lim
n→∞
1−qn
1−q=
11−q
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 23 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
PRIMJER 13.
Za |q|< 1 izracunajte∞
∑i=0
qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .
Rjesenje
1 + q + · · ·qn−1 =1−qn
1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je
1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞
(1 + q + · · ·qn−1
)= lim
n→∞
1−qn
1−q=
11−q
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 23 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
DEFINICIJA REDA
Definicija 1.Neka je (an)n niz realnih brojeva. Red realnih brojeva je zbrojbeskonacno (prebrojivo mnogo) pribrojnika koji se nalaze u zadanomporetku. Oznake za red su:
∑an ili ∑n∈N
an ili ∑N
an ili∞
∑n=1
an ili a1 + a2 + . . .+ an + . . .
Element an zovemo opci clan reda ili n-ti clan.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 24 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
Definicija 1. (nastavak)Redu ∑
∞
n=1 an pridruzujemo niz (Sn)n definiran s:
S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3
...Sn = a1 + a2 + . . .+ an
...
koji zovemo nizom parcijalna suma, a element Sn zovemo n-taparcijalna suma reda.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 25 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
KONVERGENCIJA REDA
Definicija 2.Za redu ∑
∞
n=1 an realnih brojeva kazemo da je konvergentan (zbrojiv ilisumabilan), ako je niz parcijalnih suma reda (Sn)n konvergentan. Akoje red konvergentan onda broj
S = limn→∞
Sn
zovemo sumom reda i oznacavamo sa
S =∞
∑n=1
an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .
Red je divergentan ako je niz (Sn)n divergentan.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 26 / 78
Uvod u redove realnih brojeva∗
ZADATAK 3.
a) Pokazati da harmonijski red ∑∞
n=11n divergira, a njegov alternirani
red ∑∞
n=1(−1)n−1 1n konvergira.
b) Vratite se opet na Zenonov paradoks iz poglavlja ”Dodatak - Limesfunkcije”: Ako Ahil i kornjaca krenu istovremeno, dok Ahil stigne dopocetnog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknuti malo naprijed.Dok Ahil stigne do novog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknutimalo naprijed i tako dalje. Stoga Ahil nikad nece stici kornjacu, sto jeparadoks. Zenon slusatelja navodi na zakljucak da zbroj odbeskonacno udaljenosti mora biti beskonacan, sto u ovom slucaju nijetocno.Ako se Ahil nalazi 1 metar iza kornjace, a 10 puta je brzi, nadite kadace Ahil susresti kornjacu. Uzmite u obzir da Ahil prijede put prikazangeometrijskim redom: 1 + 1
10 + 1102 + . . . .
c) Ispitajte konvergenciju reda: 1−1 + 1−1 +− . . . .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 27 / 78
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
gdje je
s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 28 / 78
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE
Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:
s(b)−s(a) = v(b−a)
∆s = v∆t
gdje je
s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 28 / 78
Integral Putovi i povrsine
PUTOVI I POVRSINE (ponavljanje)
U v − t dijagramu to izgleda ovako:
v
t
∆s
a b
∆t
Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 29 / 78
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v
t∆s1
t1 t2
∆s2
∆s3
∆s4
t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4
v1
v2
v3
v4
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 30 / 78
Integral Putovi i povrsine
Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:
v
ta b
∑j
dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i
gi∆ti
∑j
dj∆tj . . .donja suma
∑i
gi∆ti . . .gornja suma
s(b)−s(a) . . .prijedeni put
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 31 / 78
Integral Putovi i povrsine
PRIMJER 14.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)
72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1
Procjenite prijedeni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 32 / 78
Integral Putovi i povrsine
RjesenjeDonja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:
72 · 13
+ 78 · 13
+ 90 · 13
= 80km.
Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:
81 · 13
+ 93 · 13
+ 99 · 13
= 91km.
Dakle,80km≤ s(1)−s(0)≤ 81km.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 33 / 78
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?
Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 34 / 78
Integral Relativni put
Relativni put
Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula
s(b)−s(a) =4
∑i=1
vi∆ti
i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 34 / 78
Integral Relativni put
Relativni put
∆s = relativni put
s
U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina
v
t
v1
v2
v3
+
−
+
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 35 / 78
Integral Relativni put
I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.
Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 36 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 37 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM
Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]
b∫a
f (x)dx
je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].
Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 37 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 38 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−1 2
y = x2
y
x0 2
2
Rjesenje2∫−1
x2dx ,2∫
0
2dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 38 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
y = x3
−0.51
y
x
y = cosx
π2
π 3π2
1
Rjesenje
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 39 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
y = x3
−0.51
y
x
y = cosx
π2
π 3π2
1
Rjesenje
1∫−0.5
x3dx ,
3π
2∫0
cosxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 39 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
ZADATAK 4.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x−2 2
y = −x2 + 4
4
y
x−4 −2
y = 12x+ 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 40 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
ZADATAK 5.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:
y
x
2
1
y = (x− 1)(x− 2)
2
y
xπ2
π
y = sinx
3π2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 41 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
PRIMJER 17.
Procjenite integral2∫
1
1x
dx gornjom i donjom sumom.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 42 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
Gornja suma:
55· 15
+56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
=15
+16
+17
+18
+19
= 0.745634921
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 43 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
Rjesenje
y
x1 6
575
85
95
2
y =1
x
1
56
57
5859
2
Donja suma:
56· 15
+57· 15
+58· 15
+59· 15
+5
10· 15
=16
+17
+18
+19
+1
10= 0.645635
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 44 / 78
Integral Definicija integrala i osnovni teorem
RjesenjeDakle
0.645635 <
2∫1
1x
dx < 0.745634921.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 45 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 46 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)
Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:
1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )
2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba
b∫a
f (x)dx = F (x)∣∣∣ba
= F (b)−F (a)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 46 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
PRIMJER 18.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
PRIMJER 19.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 47 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
PRIMJER 18.Izracunati integral
2∫0
(2u2 + 3√
u)du
PRIMJER 19.Izracunati integral
π∫0
sinxdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 47 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:
1
0∫−1
(4x3− 3
√x)
dx
2
4∫1
3x−1√x
dx
3
π
2∫0
(cosx + sinx)dx
4
2∫− 1
2
e2x+1dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 48 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:
1
0∫−1
(4x3− 3
√x)
dx R. 14
2
4∫1
3x−1√x
dx R. 12
3
π
2∫0
(cosx + sinx)dx R. 2
4
2∫− 1
2
e2x+1dx R. 12(e2−1)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 48 / 78
Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna
Vazno je uociti da vrijedi
b∫a
f (x)dx =−a∫
b
f (x)dx
a∫a
f (x)dx = 0
Npr.0∫
2
f (x)dx =−2∫
0
f (x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 49 / 78
Integral Osnovna svojstva odredenog integrala
OSNOVNA SVOJSTVA ODREDENOG INTEGRALA
Ako su f i g integrabilne funkcije na [a,b], tada odredeni integral imasljedeca svojstva:
(i) (linearnost)b∫
a
(α f (x) + β g(x))dx = α
b∫a
f (x)dx + β
b∫a
g(x)dx ,
(ii) (monotonost)
f (x)≤ g(x) ∀x ∈ [a,b] =⇒b∫
a
f (x)dx ≤b∫
a
g(x)dx ,
(iii) (nejednakost trokuta)∣∣∣∣∣∣b∫
a
f (x)dx
∣∣∣∣∣∣≤b∫
a
|f (x)|dx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 50 / 78
Integral Osnovna svojstva odredenog integrala
Osnovna svojstva (nastavak)
(iv) (osnovni teorem integralnog racuna) Ako je f : [a,b]→ Rneprekidna funkcija, tada za svao x ∈ (a,b) vrijedi
ddx
x∫a
f (t)d t = f (x).
x∫a
f (t)d t je primitivna funkcija od f (x).
(v) (teorem srednje vrijednosti) Ako je f : [a,b]→ R neprekidnafunkcija, tada postoji c ∈ [a,b] takvo da vrijedi
b∫a
f (x)dx = f (c)(b−a).
f (c) = 1b−a
b∫a
f (x)dx je srednja vrijednost funkcije f na [a,b].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 51 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 20.Kolika je povrsina zelenog podrucja?
y
x−1 1
y = −x2 + 2
y = x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 52 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je
b∫a
(f (x)−g(x))dx
y
x
f(x)−
g(x)
xa b
dx
y = f(x)
y = g(x)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 53 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = x2 i y =√
x .
Rjesenje
y
x1
1∫0
(√x−x2
)dx =
13.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 54 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = x2 i y =√
x .
Rjesenje
y
x1
1∫0
(√x−x2
)dx =
13.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 54 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π
4.
Rjesenje
y
xπ4
π
4∫0
(cosx−sinx)dx =√
2−1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 55 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π
4.
Rjesenje
y
xπ4
π
4∫0
(cosx−sinx)dx =√
2−1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 55 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
x = y2, x = 1 +12
y2.
Rjesenje
y
x
√2
−√2
√2∫
−√
2
(1 +
12
y2−y2)
dy =43
√2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 56 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:
x = y2, x = 1 +12
y2.
Rjesenje
y
x
√2
−√2
√2∫
−√
2
(1 +
12
y2−y2)
dy =43
√2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 56 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 10.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:
x = y2 i y = x−2.
Rjesenje
y
x
−1
2
2∫−1
(y + 2−y2
)dy =
92.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 57 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 10.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:
x = y2 i y = x−2.
Rjesenje
y
x
−1
2
2∫−1
(y + 2−y2
)dy =
92.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 57 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 11.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:
y =1x2 i 14x + 9y = 43.
Rjesenjey
x
12
3
3∫12
(43−14x
9− 1
x2
)dx =
12536
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 58 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 11.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:
y =1x2 i 14x + 9y = 43.
Rjesenjey
x
12
3
3∫12
(43−14x
9− 1
x2
)dx =
12536
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 58 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 12.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:
y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].
Rjesenjey
x−1 1
0∫−1
(x2−x
)dx +
1∫0
(x−x2
)dx = 1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 59 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 12.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:
y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].
Rjesenjey
x−1 1
0∫−1
(x2−x
)dx +
1∫0
(x−x2
)dx = 1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 59 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
Sjetimo se veze puta s i brzine v :
∆s = s(b)−s(a) =
b∫a
v(t)dt
Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx
:
∆V = V (b)−V (a) =
b∫a
V ′(x)dx
∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a so x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 60 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.
1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?
RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:
12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min
Dakle brzina punjenja je:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 61 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.
1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?
RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:
12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min
Dakle brzina punjenja je:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 61 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
Rjesenje (nastavak)
f (t) =
{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;
1320, t > 10.
f(t)
t10 x
1320
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 62 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
Rjesenje (nastavak)
1
10∫0
12(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)∣∣∣10
0= 4600`
2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :
783400 =
x∫0
f (t)dt =
10∫0
12(t2 + t)dt +
x∫10
1320dt = 4600 + 1320(x−10)
⇒ x = 600min = 10h.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 63 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 13.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.
Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 64 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 13.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.
Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 64 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 14.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 12t−3t2m/s.
1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja
2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 65 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 14.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi
v(t) = 12t−3t2m/s.
1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja
2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?
Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 65 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 15.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi
a(t) = 3t2−1m/s2.
Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.
Rjesenje∆v = 96m/s.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 66 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 15.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi
a(t) = 3t2−1m/s2.
Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.
Rjesenje∆v = 96m/s.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 66 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 16.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od
v(t) = 5t−0.5`/s.
Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?
Rjesenje∆V = 36`.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 67 / 78
Integral Neke osnovne primjene integrala
ZADATAK 16.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od
v(t) = 5t−0.5`/s.
Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?
Rjesenje∆V = 36`.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 67 / 78
Integral Nepravi integral
NEPRAVI INTEGRAL
Nepravi integral je poopcenje odredenog integrala kada podrucjeintegracije ima barem jednu beskonacnu granicu ili kada funkcijaunutar podrucja integracije nije omedena (primjerice, ima vertikalnuasimptotu).(A) Nad neomedenim intervalom:
y
xa b→
y = f(x)
∞∫a
f (x)dx def.= lim
b→∞
b∫a
f (x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 68 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 22.Izracunajte:
(a)∞∫
1
1x2 dx
(b)∞∫
1
1√x
dx
(c)∞∫
1
1x
dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 69 / 78
Integral Nepravi integral
Rjesenje(a)
y
x
1 b→
y = 1x2
∞∫1
1x2 dx = lim
b→∞
b∫1
1x2 dx = lim
b→∞
(−1
x
)∣∣∣b1
= limb→∞
(−1
b+ 1)
= 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 70 / 78
Integral Nepravi integral
Rjesenje(b)
y
x
1 b→
y = 1√x
∞∫1
1√x
dx = limb→∞
b∫1
1√x
dx = limb→∞
(2√
x)∣∣∣b
1= lim
b→∞
(2√
b−2)
= ∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 71 / 78
Integral Nepravi integral
Rjesenje(c)
y
x1
1
y = 1√x
y = 1x
y = 1x2
∞∫1
1x
dx = limb→∞
b∫1
1x
dx = limb→∞
(lnx)∣∣∣b1
= limb→∞
(lnb− ln1)) = ∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 72 / 78
Integral Nepravi integral
ZADATAK 17.Izracunaj:
1
∞∫2
1x5 dx
2
−3∫−∞
1x4 dx
3
∞∫1
15√
xdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 73 / 78
Integral Nepravi integral
ZADATAK 17.Izracunaj:
1
∞∫2
1x5 dx R : 1/64
2
−3∫−∞
1x4 dx R : 1/81
3
∞∫1
15√
xdx R : ∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 73 / 78
Integral Nepravi integral
(B) Funkcija nije omedena unutar intervala integracije:y
xa bβ
b∫a
f (x)dx def.= lim
β→b−
β∫a
f (x)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 74 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 23.
Izracunajte1∫
0
1√x
dx .
Rjesenje.y
x
1α
y = 1√x
1∫0
1√x
dx = limα→0+
1∫α
1√x
dx
= limα→0+
(2−2
√α)
= 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 75 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 23.
Izracunajte1∫
0
1√x
dx .
Rjesenje.y
x
1α
y = 1√x
1∫0
1√x
dx = limα→0+
1∫α
1√x
dx
= limα→0+
(2−2
√α)
= 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 75 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 24.
Izracunajte1∫
0
1x2 dx .
Rjesenje.
1∫0
1x2 dx = lim
α→0+
1∫α
1x2 dx = lim
α→0+
(−1 +
1α
)= ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 76 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 24.
Izracunajte1∫
0
1x2 dx .
Rjesenje.
1∫0
1x2 dx = lim
α→0+
1∫α
1x2 dx = lim
α→0+
(−1 +
1α
)= ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 76 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 25.
Izracunajte1∫
0
1x
dx .
Rjesenje.
1∫0
1x
dx = limα→0+
1∫α
1x
dx = limα→0+
(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 77 / 78
Integral Nepravi integral
PRIMJER 25.
Izracunajte1∫
0
1x
dx .
Rjesenje.
1∫0
1x
dx = limα→0+
1∫α
1x
dx = limα→0+
(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 77 / 78
Integral Nepravi integral
ZADATAK 18.Izracunaj:
1
2∫0
1x4 dx
2
0∫−1
1x7 dx
3
8∫0
13√
xdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 78 / 78
Integral Nepravi integral
ZADATAK 18.Izracunaj:
1
2∫0
1x4 dx R : ∞
2
0∫−1
1x7 dx R : −∞
3
8∫0
13√
xdx R : 6
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 78 / 78