126
Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78

Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

  • Upload
    dinhnhu

  • View
    266

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Matematika IIIntegral

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78

Page 2: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 3: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 4: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 5: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 6: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integrala

Kako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 7: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formule

Sto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 8: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Kako se racuna antiderivacija (sto je neodredeni integral)?∗

Uvod u redove realnih brojeva∗

Fizikalni pristup integralu: relativni i apsolutni put∗

Geometrijski pristup integralu: povrsina ispod grafa funkcije∗

Definicija (odredenog) integralaKako racunati integral primjenom Newton-Leibnitzove formuleSto su nepravi integrali i kako se racunaju

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 2 / 78

Page 9: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 AntiderivacijaOsnovna svojstva antideriviranja

2 Uvod u redove realnih brojeva∗

3 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovni teorem infinitezimalnog racunaOsnovna svojstva odredenog integralaNeke osnovne primjene integralaNepravi integral

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 3 / 78

Page 10: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjer

ANTIDERIVACIJA (ponavljanje)

PRIMJER 1.

Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.

Rjesenje:

(x3)′ = 3x2 (

2x2)′ = 4x(2x)′

= 2

=⇒(

x3 + 2x2 + 2x)′

= 3x2 + 4x + 2

Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 4 / 78

Page 11: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjer

ANTIDERIVACIJA (ponavljanje)

PRIMJER 1.

Nadimo F(x) ako je F ′(x) = f (x) = 3x2 + 4x + 2.

Rjesenje:

(x3)′ = 3x2 (

2x2)′ = 4x(2x)′

= 2

=⇒(

x3 + 2x2 + 2x)′

= 3x2 + 4x + 2

Dakle: F (x) = x3 + 2x2 + 2x+C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 4 / 78

Page 12: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Antiderivacija

ANTIDERIVACIJA

Antiderivacija funkcije f(x) je funkcija F(x) takva da je

ddx

F(x) = f(x).

Ako je F (x) jedna antiderivacija od f (x), onda su sve druge oblika

F(x) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 5 / 78

Page 13: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 2.

Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?

Rjesenje:

v =dxd t

= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C

x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2

Dakle: x = t2 + 5 t−2

U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��

� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje

tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 6 / 78

Page 14: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 2.

Cestica se giba po osi x brzinom v = 2t + 5. U trenutku t = 1 ona je utocki x = 4. Gdje je cestica u trenutku t = 6?

Rjesenje:

v =dxd t

= 2 t + 5 =⇒ x = t2 + 5 t + C

x(1) = 4 =⇒ 12 + 5 ·1 + C = 4 =⇒ C =−2

Dakle: x = t2 + 5 t−2

U trenutku t = 6 je x = 62 + 5 ·6−2 = 64��

� Pocetni uvjet (x(1) = 4) medu svim antiderivacijama od x ′ odreduje

tocno jednu antiderivaciju koja taj uvjet zadovoljava.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 6 / 78

Page 15: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?

Rjesenje:

Akceleracija je derivacija brzine:

dvd t

=−9.8

(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 7 / 78

Page 16: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 3.U trenutku t = 0 raketa je ispaljena vertikalno u vis, s visine x0 = 2m ipocetnom brzinom v0 = 39.2m/s.(Akceleracija sile teze iznosi 9.8m/s2.)(a) U kojem trenutku raketa dostize maksimalnu visinu?(b) Koja je to visina?

Rjesenje:

Akceleracija je derivacija brzine:

dvd t

=−9.8

(imamo predznak – jer akceleracijaima smjer ”obrnut” od osi x , od-nosno, jer se brzina v stalno sma-njuje)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 7 / 78

Page 17: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

dvd t

=−9.8 antider.=⇒ v =−9.8 t + C1, C1 =?

v(0) = v0 =⇒ C1 = v0

Dakle: v =−9.8 t + v0 =−9.8 t + 39.2

v =dxd t

=−9.8 t + v0antider.=⇒ x =−9.8 · t

2

2+ v0 t + C2, C2 =?

x(0) = x0 =⇒ C2 = x0

Dakle: x =−4.9 t2 + v0 t + x0

Konkretno (v0 = 39.2, x0 = 2):

x =−4.9 t2 + 39.2 t + 2 je visina rakete ovisna o t

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 8 / 78

Page 18: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:

v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]

(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):

x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]

SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫

f(x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 9 / 78

Page 19: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

(a) Maksimalna visinu raketa dostize u trenutku kad je v = 0:

v =−9.8 t + 39.2 = 0 =⇒ t = 4 [s]

(b) Maksimalna visinu rakete je x(4):

x(4) =−4.9 ·42 + 39.2 ·4 + 2 = 80.4 [m]

SVE ANTIDERIVACIJE OD f(x) OZNACAVAMO S:∫

f(x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 9 / 78

Page 20: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 4.

Izracunajmo:∫ (

2x2−5x + 2)

dx

Rjesenje:

ddx

(2

x3

3

)= 2x2 =⇒

∫2x2 dx =

23

x3

ddx

(5

x2

2

)= 5x =⇒

∫5x dx =

52

x2

ddx

(2x) = 2 =⇒∫

2dx = 2x

Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (

2x2−5x + 2)

dx =23

x3− 52

x2 + 2x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 10 / 78

Page 21: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjeri

PRIMJER 4.

Izracunajmo:∫ (

2x2−5x + 2)

dx

Rjesenje:

ddx

(2

x3

3

)= 2x2 =⇒

∫2x2 dx =

23

x3

ddx

(5

x2

2

)= 5x =⇒

∫5x dx =

52

x2

ddx

(2x) = 2 =⇒∫

2dx = 2x

Derivacija zbroja (razlike) je zbroj (razlika) derivacija; isto vrijedi i zaantiderivaciju, pa je:∫ (

2x2−5x + 2)

dx =23

x3− 52

x2 + 2x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 10 / 78

Page 22: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

OSNOVNA SVOJSTVA ANTIDERIVIRANJA

(i)∫

c f (x)dx = c∫

f (x)dx

(ii)∫

[f (x)±g(x)] dx =∫

f (x)dx ±∫

g(x)dx

Lako provjeravamo:

(1)∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, n 6=−1

(2)∫ 1

xdx = ln |x |+ C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 11 / 78

Page 23: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx =?

Rjesenje: ∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx

=∫ (

x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)

dx

=x−1

−1+

x3/2

3/2−2

x3

3+ 3

x1/2

1/2+ C

= −1x

+23

x√

x− 23

x3 + 6√

x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 12 / 78

Page 24: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

PRIMJER 5.∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx =?

Rjesenje: ∫ ( 1x2 +

√x−2x2 +

3√x

)dx

=∫ (

x−2 + x1/2−2x2 + 3x−1/2)

dx

=x−1

−1+

x3/2

3/2−2

x3

3+ 3

x1/2

1/2+ C

= −1x

+23

x√

x− 23

x3 + 6√

x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 12 / 78

Page 25: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78

Page 26: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78

Page 27: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Osnovna svojstva antideriviranja

F ′(x) = f (x) =⇒ F ′(ax + b) = f (ax + b) ·aDakle:∫

f (x)dx = F (x) =⇒∫

f (ax + b)dx =F (ax + b)

a

PRIMJER 6.

(a)∫ √

3x−5dx =? (b)∫

cos(2x + 5)dx =?

Rjesenje:

(a)∫ √

3x−5dx =13

(3x−5)3/2

3/2+ C =

29

(3x−5)√

3x−5 + C

(b)∫

cos(2x + 5)dx =12

sin(2x + 5) + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 13 / 78

Page 28: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:

a) 4 3√

x b)12

+12

x +12

x2

c) sin(2 ,x−1) d)1

x−1

e) e2−3x f )−2√

7−4x

Rjesenje: Redom dobivamo

a) 3x4/3 + C b)x2

+x2

4+

x3

6+ C c) − cos(2x−1)

2+ C

d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x

3+ c f)

√7−4x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 14 / 78

Page 29: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 1.Naci antiderivacije sljedecih funkcija:

a) 4 3√

x b)12

+12

x +12

x2

c) sin(2 ,x−1) d)1

x−1

e) e2−3x f )−2√

7−4x

Rjesenje: Redom dobivamo

a) 3x4/3 + C b)x2

+x2

4+

x3

6+ C c) − cos(2x−1)

2+ C

d) ln |x−1|+ C e) − e2−3x

3+ c f)

√7−4x + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 14 / 78

Page 30: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx

2

∫ x2−x + 2√x

dx

3

∫cos(2x + 1)dx

4

∫ (ex +

2x−x2

)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 15 / 78

Page 31: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Zadatak

ZADATAK 2.Izracunajte sljedece neodredene integrale:

1

∫ (3x2− 1

x

)(x + 1)dx R. 3

4x4−x + x3− ln |x |+ C

2

∫ x2−x + 2√x

dx R. 25x5/2− 2

3x3/2 + 4x1/2 + C

3

∫cos(2x + 1)dx R. 1

2 sin(2x + 1) + C

4

∫ (3sinx− 2

sin2 x

)dx R. −3cosx−2ctgx + C

5

∫ (ex +

2x−x2

)dx R. ex + 2ln |x |− x3

4 + C

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 15 / 78

Page 32: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjer

PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?

Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):

v =∫

ad t =∫

4d t = 4 t + C1, C1 =?

v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5

Dakle: v = 4 t + 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 16 / 78

Page 33: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjer

PRIMJER 7.Ubrzanje cestice koja se giba po osi x je konstanta i iznosi 4odgovarajuce jedinice. U trenutku t = 2 cestica je u tocki x = 15 i gibase brzinom v = 13. Gdje je cestica u trenutku t = 3 i kojom se brzinomgiba u tom trenutku?

Rjesenje:Brzina cestice u svakom trenutku odredena je jednadzbom(antiderivacija ubrzanja):

v =∫

ad t =∫

4d t = 4 t + C1, C1 =?

v(2) = 13 =⇒ 4 ·2 + C1 = 13 =⇒ C1 = 5

Dakle: v = 4 t + 5

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 16 / 78

Page 34: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Antiderivacija Primjer

Polozaj cestice u trenutku t dan je jednadzbom (antiderivacija brzine):

x =∫

v d t =∫

(4 t + 5)d t = 2 t2 + 5 t + C2, C2 =?

x(2) = 15 =⇒ 2 ·22 + 5 ·2 + C2 = 15 =⇒ C2 =−3

Dakle: x = 2 t2 + 5 t−3

U trenutku t = 3 polozaj i brzina cestice su:

x(3) = 2 ·32 + 5 ·3−3 = 30 v(3) = 4 ·3 + 5 = 17

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 17 / 78

Page 35: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78

Page 36: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78

Page 37: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

UVOD U REDOVE REALNIH BROJEVA (ponavljanje)

Sumu a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an krace oznacavamo

n

∑i=1

ai

(citamo: ”suma od ai za i od 1 do n” )

PRIMJER 8.

a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 6. Izracunajmo4

∑i=1

ai .

Rjesenje4

∑i=1

ai = a1 + a2 + a3 + a4 = 21.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 18 / 78

Page 38: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 9.Izracunajte

1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 19 / 78

Page 39: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 9.Izracunajte

1

3

∑i=−1

i2

2

4

∑j=2

(j2 + j

)

Rjesenje

1

3

∑i=−1

i2 = (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 = 15

2

4

∑j=2

(j2 + j

)= (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) = 38.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 19 / 78

Page 40: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 10.

Izracunajten

∑i=1

i .

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 20 / 78

Page 41: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 10.

Izracunajten

∑i=1

i .

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

S = 1 + 2 + · · ·+ (n−1) + nS = n + (n−1) + · · ·+ 2 + 1

⇒ 2S = (n + 1) + (n + 1) + · · ·+ (n + 1) + (n + 1)

⇒ 2S = n(n + 1)

⇒ S =n(n + 1)

2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 20 / 78

Page 42: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 11.Izracunajte

1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 21 / 78

Page 43: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 11.Izracunajte

1 Zbroj prvih 1000 prirodnih brojeva;2 8 + 9 + · · ·+ 38;

3

97

∑i=−2

(i + 2)

Rjesenje

1 1 + 2 + · · ·+ 1000 = 1000·10012 = 50050;

2 8 + 9 + · · ·+ 38 = (1 + 2 + · · ·+ 38)− (1 + 2 + · · ·+ 7) = 38·392 − 7·8

2 =713;

3

97

∑i=−2

(i + 2) =99

∑j=0

j =99 ·100

2= 4950

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 21 / 78

Page 44: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 12.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ Sn−qSn = 1−qn

⇒ (1−q)Sn = 1−qn

⇒ Sn =1−qn

1−q.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 22 / 78

Page 45: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 12.

Izracunajten−1

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn−1.

RjesenjeOznacimo trazenu sumu slovom S :

Sn = 1 + q + · · ·+ qn−2 + qn−1

qSn = q + · · ·+ qn−2 + qn−1 + qn

⇒ Sn−qSn = 1−qn

⇒ (1−q)Sn = 1−qn

⇒ Sn =1−qn

1−q.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 22 / 78

Page 46: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 13.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 23 / 78

Page 47: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

PRIMJER 13.

Za |q|< 1 izracunajte∞

∑i=0

qi = 1 + q + · · ·qn + · · · .

Rjesenje

1 + q + · · ·qn−1 =1−qn

1−q. Ako je |q|< 1, onda qn→ 0 kada n→ ∞, pa je

1 + q + q2 + q3 + · · ·= limn→∞

(1 + q + · · ·qn−1

)= lim

n→∞

1−qn

1−q=

11−q

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 23 / 78

Page 48: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

DEFINICIJA REDA

Definicija 1.Neka je (an)n niz realnih brojeva. Red realnih brojeva je zbrojbeskonacno (prebrojivo mnogo) pribrojnika koji se nalaze u zadanomporetku. Oznake za red su:

∑an ili ∑n∈N

an ili ∑N

an ili∞

∑n=1

an ili a1 + a2 + . . .+ an + . . .

Element an zovemo opci clan reda ili n-ti clan.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 24 / 78

Page 49: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

Definicija 1. (nastavak)Redu ∑

n=1 an pridruzujemo niz (Sn)n definiran s:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3

...Sn = a1 + a2 + . . .+ an

...

koji zovemo nizom parcijalna suma, a element Sn zovemo n-taparcijalna suma reda.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 25 / 78

Page 50: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

KONVERGENCIJA REDA

Definicija 2.Za redu ∑

n=1 an realnih brojeva kazemo da je konvergentan (zbrojiv ilisumabilan), ako je niz parcijalnih suma reda (Sn)n konvergentan. Akoje red konvergentan onda broj

S = limn→∞

Sn

zovemo sumom reda i oznacavamo sa

S =∞

∑n=1

an = a1 + a2 + . . .+ an + . . . .

Red je divergentan ako je niz (Sn)n divergentan.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 26 / 78

Page 51: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Uvod u redove realnih brojeva∗

ZADATAK 3.

a) Pokazati da harmonijski red ∑∞

n=11n divergira, a njegov alternirani

red ∑∞

n=1(−1)n−1 1n konvergira.

b) Vratite se opet na Zenonov paradoks iz poglavlja ”Dodatak - Limesfunkcije”: Ako Ahil i kornjaca krenu istovremeno, dok Ahil stigne dopocetnog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknuti malo naprijed.Dok Ahil stigne do novog polozaja kornjace, kornjaca ce odmaknutimalo naprijed i tako dalje. Stoga Ahil nikad nece stici kornjacu, sto jeparadoks. Zenon slusatelja navodi na zakljucak da zbroj odbeskonacno udaljenosti mora biti beskonacan, sto u ovom slucaju nijetocno.Ako se Ahil nalazi 1 metar iza kornjace, a 10 puta je brzi, nadite kadace Ahil susresti kornjacu. Uzmite u obzir da Ahil prijede put prikazangeometrijskim redom: 1 + 1

10 + 1102 + . . . .

c) Ispitajte konvergenciju reda: 1−1 + 1−1 +− . . . .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 27 / 78

Page 52: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 28 / 78

Page 53: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

gdje je

s(b)−polozaj u trenutku bs(a)−polozaj u trenutku a∆s− razlika polozaja = prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 28 / 78

Page 54: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE (ponavljanje)

U v − t dijagramu to izgleda ovako:

v

t

∆s

a b

∆t

Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 29 / 78

Page 55: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v

t∆s1

t1 t2

∆s2

∆s3

∆s4

t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4

v1

v2

v3

v4

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 30 / 78

Page 56: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:

v

ta b

∑j

dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i

gi∆ti

∑j

dj∆tj . . .donja suma

∑i

gi∆ti . . .gornja suma

s(b)−s(a) . . .prijedeni put

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 31 / 78

Page 57: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

PRIMJER 14.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)

72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1

Procjenite prijedeni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 32 / 78

Page 58: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Putovi i povrsine

RjesenjeDonja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:

72 · 13

+ 78 · 13

+ 90 · 13

= 80km.

Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:

81 · 13

+ 93 · 13

+ 99 · 13

= 91km.

Dakle,80km≤ s(1)−s(0)≤ 81km.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 33 / 78

Page 59: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?

Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 34 / 78

Page 60: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 34 / 78

Page 61: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Relativni put

Relativni put

∆s = relativni put

s

U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina

v

t

v1

v2

v3

+

+

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 35 / 78

Page 62: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Relativni put

I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.

Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 36 / 78

Page 63: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 37 / 78

Page 64: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 37 / 78

Page 65: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 38 / 78

Page 66: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 15.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 38 / 78

Page 67: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje

1∫−0.5

x3dx ,

2∫0

cosxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 39 / 78

Page 68: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 16.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

y = x3

−0.51

y

x

y = cosx

π2

π 3π2

1

Rjesenje

1∫−0.5

x3dx ,

2∫0

cosxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 39 / 78

Page 69: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

ZADATAK 4.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−2 2

y = −x2 + 4

4

y

x−4 −2

y = 12x+ 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 40 / 78

Page 70: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

ZADATAK 5.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

2

1

y = (x− 1)(x− 2)

2

y

xπ2

π

y = sinx

3π2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 41 / 78

Page 71: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

PRIMJER 17.

Procjenite integral2∫

1

1x

dx gornjom i donjom sumom.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 42 / 78

Page 72: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

Rjesenje

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

Gornja suma:

55· 15

+56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

=15

+16

+17

+18

+19

= 0.745634921

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 43 / 78

Page 73: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

Rjesenje

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

1

56

57

5859

2

Donja suma:

56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

+5

10· 15

=16

+17

+18

+19

+1

10= 0.645635

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 44 / 78

Page 74: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Definicija integrala i osnovni teorem

RjesenjeDakle

0.645635 <

2∫1

1x

dx < 0.745634921.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 45 / 78

Page 75: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 46 / 78

Page 76: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

OSNOVNI TEOREM INFINITEZIMALNOG RACUNA(NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA)

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 46 / 78

Page 77: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

PRIMJER 18.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du

PRIMJER 19.Izracunati integral

π∫0

sinxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 47 / 78

Page 78: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

PRIMJER 18.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du

PRIMJER 19.Izracunati integral

π∫0

sinxdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 47 / 78

Page 79: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx

2

4∫1

3x−1√x

dx

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx

4

2∫− 1

2

e2x+1dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 48 / 78

Page 80: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

ZADATAK 6.Izracunajte sljedece odredene integrale:

1

0∫−1

(4x3− 3

√x)

dx R. 14

2

4∫1

3x−1√x

dx R. 12

3

π

2∫0

(cosx + sinx)dx R. 2

4

2∫− 1

2

e2x+1dx R. 12(e2−1)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 48 / 78

Page 81: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovni teorem infinitezimalnog racuna

Vazno je uociti da vrijedi

b∫a

f (x)dx =−a∫

b

f (x)dx

a∫a

f (x)dx = 0

Npr.0∫

2

f (x)dx =−2∫

0

f (x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 49 / 78

Page 82: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

OSNOVNA SVOJSTVA ODREDENOG INTEGRALA

Ako su f i g integrabilne funkcije na [a,b], tada odredeni integral imasljedeca svojstva:

(i) (linearnost)b∫

a

(α f (x) + β g(x))dx = α

b∫a

f (x)dx + β

b∫a

g(x)dx ,

(ii) (monotonost)

f (x)≤ g(x) ∀x ∈ [a,b] =⇒b∫

a

f (x)dx ≤b∫

a

g(x)dx ,

(iii) (nejednakost trokuta)∣∣∣∣∣∣b∫

a

f (x)dx

∣∣∣∣∣∣≤b∫

a

|f (x)|dx .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 50 / 78

Page 83: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Osnovna svojstva odredenog integrala

Osnovna svojstva (nastavak)

(iv) (osnovni teorem integralnog racuna) Ako je f : [a,b]→ Rneprekidna funkcija, tada za svao x ∈ (a,b) vrijedi

ddx

x∫a

f (t)d t = f (x).

x∫a

f (t)d t je primitivna funkcija od f (x).

(v) (teorem srednje vrijednosti) Ako je f : [a,b]→ R neprekidnafunkcija, tada postoji c ∈ [a,b] takvo da vrijedi

b∫a

f (x)dx = f (c)(b−a).

f (c) = 1b−a

b∫a

f (x)dx je srednja vrijednost funkcije f na [a,b].

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 51 / 78

Page 84: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 20.Kolika je povrsina zelenog podrucja?

y

x−1 1

y = −x2 + 2

y = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 52 / 78

Page 85: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je

b∫a

(f (x)−g(x))dx

y

x

f(x)−

g(x)

xa b

dx

y = f(x)

y = g(x)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 53 / 78

Page 86: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 54 / 78

Page 87: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 7.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = x2 i y =√

x .

Rjesenje

y

x1

1∫0

(√x−x2

)dx =

13.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 54 / 78

Page 88: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π

4.

Rjesenje

y

xπ4

π

4∫0

(cosx−sinx)dx =√

2−1.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 55 / 78

Page 89: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 8.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

y = sinx , y = cosx , 0≤ x ≤ π

4.

Rjesenje

y

xπ4

π

4∫0

(cosx−sinx)dx =√

2−1.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 55 / 78

Page 90: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje

y

x

√2

−√2

√2∫

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 56 / 78

Page 91: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 9.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog grafovima funkcija:

x = y2, x = 1 +12

y2.

Rjesenje

y

x

√2

−√2

√2∫

−√

2

(1 +

12

y2−y2)

dy =43

√2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 56 / 78

Page 92: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 10.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje

y

x

−1

2

2∫−1

(y + 2−y2

)dy =

92.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 57 / 78

Page 93: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 10.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog krivuljama:

x = y2 i y = x−2.

Rjesenje

y

x

−1

2

2∫−1

(y + 2−y2

)dy =

92.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 57 / 78

Page 94: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 11.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:

y =1x2 i 14x + 9y = 43.

Rjesenjey

x

12

3

3∫12

(43−14x

9− 1

x2

)dx =

12536

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 58 / 78

Page 95: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 11.Izracunaj povrsinu podrucja omedenog:

y =1x2 i 14x + 9y = 43.

Rjesenjey

x

12

3

3∫12

(43−14x

9− 1

x2

)dx =

12536

.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 58 / 78

Page 96: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 12.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenjey

x−1 1

0∫−1

(x2−x

)dx +

1∫0

(x−x2

)dx = 1.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 59 / 78

Page 97: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 12.Izracunaj povrsinu podrucja izmedu krivulja:

y = x i y = x2, za x ∈ [−1,1].

Rjesenjey

x−1 1

0∫−1

(x2−x

)dx +

1∫0

(x−x2

)dx = 1.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 59 / 78

Page 98: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

Sjetimo se veze puta s i brzine v :

∆s = s(b)−s(a) =

b∫a

v(t)dt

Isto vrijedi za bilo koju velicinu V (x) i njezinu brzinu promjenedVdx

:

∆V = V (b)−V (a) =

b∫a

V ′(x)dx

∆V . . . . . . ukupna promjena od x = a so x = bV ′(x) . . . . . . brzina promjene u odnosu na x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 60 / 78

Page 99: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 61 / 78

Page 100: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

PRIMJER 21.Bazen se puni vodom od pocetnog trenutka t = 0 brzinom12(t2 + t)`/min. Dakle, brzina punjenja raste, ali samo dok ne dostignebrzinu od 1320`/min. Od tog momenta brzina ostaje konstantna.

1 S koliko vode se bazen napuni do tog trenutka?2 Koliko vremena treba da se napuni bazen od 783400`?

RjesenjeMaksimalna brzina se postize u trenutku t za koji vrijedi:

12(t2 + t) = 1320⇒ t = 10min

Dakle brzina punjenja je:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 61 / 78

Page 101: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

Rjesenje (nastavak)

f (t) =

{12(t2 + t), 0≤ t ≤ 10;

1320, t > 10.

f(t)

t10 x

1320

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 62 / 78

Page 102: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

Rjesenje (nastavak)

1

10∫0

12(t2 + t)dt = (4t3 + 6t2)∣∣∣10

0= 4600`

2 Trenutak x u kojem se napuni 783400` :

783400 =

x∫0

f (t)dt =

10∫0

12(t2 + t)dt +

x∫10

1320dt = 4600 + 1320(x−10)

⇒ x = 600min = 10h.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 63 / 78

Page 103: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 13.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 64 / 78

Page 104: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 13.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 3t2 + 2t + 1m/s.

Odredite put koji je cestica prosla:1 u prvih 10s2 izmedu cetvrte i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(10)−s(0) = 1110m2 ∆s = s(5)−s(4) = 71m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 64 / 78

Page 105: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 14.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 65 / 78

Page 106: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 14.Brzina gibanja cestice u trenutku t iznosi

v(t) = 12t−3t2m/s.

1 Odredite put koji je cestica prosla od pocetka gibanja dozaustavljanja

2 koliki je relativni put izmedu druge i pete sekunde?

Rjesenje1 ∆s = s(4)−s(0) = 32m2 ∆s = s(5)−s(2) = 9m.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 65 / 78

Page 107: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 15.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi

a(t) = 3t2−1m/s2.

Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.

Rjesenje∆v = 96m/s.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 66 / 78

Page 108: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 15.Akceleracija cestice u trenutku t iznosi

a(t) = 3t2−1m/s2.

Kolika je ukupna promjena brzine izmedu trece i pete sekunde.

Rjesenje∆v = 96m/s.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 66 / 78

Page 109: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 16.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od

v(t) = 5t−0.5`/s.

Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?

Rjesenje∆V = 36`.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 67 / 78

Page 110: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Neke osnovne primjene integrala

ZADATAK 16.Balon u obliku kugle, napuhuje se brzinom od

v(t) = 5t−0.5`/s.

Koliko se ukupno promjeni volumen izmedu prve i cetvrte sekunde?

Rjesenje∆V = 36`.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 67 / 78

Page 111: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

NEPRAVI INTEGRAL

Nepravi integral je poopcenje odredenog integrala kada podrucjeintegracije ima barem jednu beskonacnu granicu ili kada funkcijaunutar podrucja integracije nije omedena (primjerice, ima vertikalnuasimptotu).(A) Nad neomedenim intervalom:

y

xa b→

y = f(x)

∞∫a

f (x)dx def.= lim

b→∞

b∫a

f (x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 68 / 78

Page 112: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 22.Izracunajte:

(a)∞∫

1

1x2 dx

(b)∞∫

1

1√x

dx

(c)∞∫

1

1x

dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 69 / 78

Page 113: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

Rjesenje(a)

y

x

1 b→

y = 1x2

∞∫1

1x2 dx = lim

b→∞

b∫1

1x2 dx = lim

b→∞

(−1

x

)∣∣∣b1

= limb→∞

(−1

b+ 1)

= 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 70 / 78

Page 114: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

Rjesenje(b)

y

x

1 b→

y = 1√x

∞∫1

1√x

dx = limb→∞

b∫1

1√x

dx = limb→∞

(2√

x)∣∣∣b

1= lim

b→∞

(2√

b−2)

= ∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 71 / 78

Page 115: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

Rjesenje(c)

y

x1

1

y = 1√x

y = 1x

y = 1x2

∞∫1

1x

dx = limb→∞

b∫1

1x

dx = limb→∞

(lnx)∣∣∣b1

= limb→∞

(lnb− ln1)) = ∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 72 / 78

Page 116: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

ZADATAK 17.Izracunaj:

1

∞∫2

1x5 dx

2

−3∫−∞

1x4 dx

3

∞∫1

15√

xdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 73 / 78

Page 117: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

ZADATAK 17.Izracunaj:

1

∞∫2

1x5 dx R : 1/64

2

−3∫−∞

1x4 dx R : 1/81

3

∞∫1

15√

xdx R : ∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 73 / 78

Page 118: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

(B) Funkcija nije omedena unutar intervala integracije:y

xa bβ

b∫a

f (x)dx def.= lim

β→b−

β∫a

f (x)dx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 74 / 78

Page 119: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 23.

Izracunajte1∫

0

1√x

dx .

Rjesenje.y

x

y = 1√x

1∫0

1√x

dx = limα→0+

1∫α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 75 / 78

Page 120: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 23.

Izracunajte1∫

0

1√x

dx .

Rjesenje.y

x

y = 1√x

1∫0

1√x

dx = limα→0+

1∫α

1√x

dx

= limα→0+

(2−2

√α)

= 2.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 75 / 78

Page 121: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 24.

Izracunajte1∫

0

1x2 dx .

Rjesenje.

1∫0

1x2 dx = lim

α→0+

1∫α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

)= ∞.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 76 / 78

Page 122: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 24.

Izracunajte1∫

0

1x2 dx .

Rjesenje.

1∫0

1x2 dx = lim

α→0+

1∫α

1x2 dx = lim

α→0+

(−1 +

)= ∞.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 76 / 78

Page 123: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 25.

Izracunajte1∫

0

1x

dx .

Rjesenje.

1∫0

1x

dx = limα→0+

1∫α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 77 / 78

Page 124: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

PRIMJER 25.

Izracunajte1∫

0

1x

dx .

Rjesenje.

1∫0

1x

dx = limα→0+

1∫α

1x

dx = limα→0+

(0− lnα) = 0− (−∞) = ∞.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 77 / 78

Page 125: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

ZADATAK 18.Izracunaj:

1

2∫0

1x4 dx

2

0∫−1

1x7 dx

3

8∫0

13√

xdx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 78 / 78

Page 126: Matematika II - fsb.unizg.hr · Matematika II Integral Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 1 / 78. animation by animate[2012/05/24]

Integral Nepravi integral

ZADATAK 18.Izracunaj:

1

2∫0

1x4 dx R : ∞

2

0∫−1

1x7 dx R : −∞

3

8∫0

13√

xdx R : 6

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika II 28. rujna 2018. 78 / 78