Upload
torman
View
1.203
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Barisan dan Deret
Standar Kompetensi
Memahamisifat-sifatbilanganberpangkatdanbentukakar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana
Kompetensi Dasar
6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana6.2 Menentukansukuke-nbarisanaritmatikadan
barisan geometri6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret
aritmatika dan deret geometri6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan
barisan dan deret
Bab 6
BAB 6 Barisan dan Deret154
Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
Apa yang akan kamu pelajari?
Polabilanganganjildangenap.
Polabilanganpersegi,segitigadanpersegipan-jang.
PolabilanganpadaSegi-tigaPascal.
Kata Kunci: Pola PolaBilanganGanjil. PolaBilanganGenap. PolaBilanganPersegi. PolaBilanganSegitiga. PolaBilanganPersegipan-
jang. PolaBilanganSegitiga
Pascal.
Sebelumkitabelajarlebihjauh,untukmendalamipolabilanganlakukankegiatanberikutini.
Bahan:Satulembarkertas.1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk
persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagianyang sama. Guntinglah menurut lipatantersebut. Ada berapa banyak potongankertas?
2. Susunlah semua potongan kertas tersebutsehingga saling menutup. Lipatlah susunankertastersebutmenjadi2bagianyangsama,kemudianguntinglahmenurutlipatantersebut.Adaberapabanyakpotongankertassekarang?Catatlahlahbanyaknyapotongankertasyangterjadipadatabeldibawah.
3. Lakukankegiatantersebutsampai6kali.
6.1 Pola Bilangan
A
Matematika SMP Kelas IX 155
Diskusikandengantemanmuuntukmenjawabpertanyaanberikutini.a. Apakahbanyaknyalembarankertasyangterjadimempunyai
keteraturan?Jikaya,jelaskanketeraturannya!b. Apakahdapatditentukanbanyaknyalembarankertasyang
terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas?Berapakahbanyaknyalembarkertasitu?
Banyaknyalembarankertasyangterjadi,jikadilipatdengancaradiatasmembentukpola.2,4,8,...merupakansalahsatucontohpolabilangan.Isilahtigabilanganberikutnyadantandatitiktiga
1. Perhatikantigarangkaianpolaberikut.a. Gambarlah rangkaian
keempatdankelima.b. Berapakah banyaknya persegi yang diarsir pada
rangkaiankeempatdankelima?c. Bayangkanrangkaiankeenam.Jelaskanrancanganitu
menurutkalimatmu. Kamudapatmembentukpolabilangandarigambar
diatas,yaitu1,5,9,... 1merupakansuku pertama, 5merupakansuku kedua, 9 merupakansuku ketiga, danseterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu
harusdiketahuidahuluaturanyangdigunakanuntukmendapatkanbilanganpadasukuberikutnya.
2. Perhatikanpolabilangan2,4,6,8,... Tentukanbilangan-bilanganpadaketigasukuberikutnya!
Bagaimanaaturanuntukmendapatkansukuberikutnya?
Diskusi 1
Diskusi 2
BAB 6 Barisan dan Deret156
3. Untukmencariketigasukuberikutnyapadasoalberikutdicaridengancaraberikut.
Jaditigasukuberikutnyaadalah10,12,dan14. Aturannyaadalahdimulai dengan bilangan 2 dan suku-
suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2.
Cobakamumenemukancara lain (caramu sendiri)selaindengancaradiatas.Tuliskanaturanmuitu!
4. Perhatikanpolabilangan1,3,9,27,...Berapakahbilanganpada ketiga suku berikutnya? Tulislah aturan untuk
Pola Bilangan Ganjil1. Perhatikangambarnoktah-noktahberikut.
a. Apakah gambar di atas membentuk suatupola?Jelaskan!
b. Hubungkanmasing-masingpoladiatasdengansuatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktahdalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kaliandapat?Jelaskan!
2. Perhatikangambarpersegidisamping.Apakahantarapersegiyangberwarna merah (berwarnagelap)denganyangberwarna hijau(berwarna terang)membentuk pola bilangan yangsama dengan pola pada Masalah 1?Jelaskan!
Diskusi 3
Matematika SMP Kelas IX 157
3. Selanjutnya, kita bandingkan jumlah bilangan-bilanganganjilterhadapluaspersegiberikutini.
Daripola-poladiatasdapatkitabuattabelberikutini.
Bagaimanakahhubunganantarahasilpenjumlahanbilangan-bilangan yang pertama dan terurut ganjil dengan luaspersegi?Dengandemikian,bagaimanakahrumusjumlahdarinbilanganganjilyangpertama?
Pola Bilangan Genap
Perhatikangambarberikut.
Diskusi 2
BAB 6 Barisan dan Deret158
a. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktah.Polabilanganapakahyangkamudapat?Jelaskan.
b. Apakahgambardisampingmenunjukkanpolabilangangenap?Jelaskan!
c. Buatlahtabelyangmenyatakanhubunganantarahasilpenjumlahanbilangangenapdengan luas persegi-panjang, sepertipenjelasanpadapolabilanganganjil.
d. Bagaimanakah hubungan antara hasilpenjumlahan bilangan genap denganluaspersegipanjang?
Pola Bilangan Segitiga
Pernahkah kamu menjumpai“pemandusorak(cheerleader)”melakukan atraksinya dalamsuatu pertandingan olahraga(misalnya basket)? Seringkalidalam atraksinya merekamembentukpiramidamanusia,yaitu saling berdiri di antarapemain-pemainnya, sehinggapada puncaknya hanya berdiriseorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggapbahwapiramidamanusiatersebutbelummencapaipuncak.Piramidamanusiatertinggipernahdibuatpadatahun1981diSpanyol.Tingginyaadalah9tingkat.Bagaimanacaramerekamembuatpiramidaitu?Lakukankegiatanberikut.
1. Apakahpiramidamanusiaituberbentuklimas?Sebutkanbentukyangtepatuntukmenjelaskannya!
2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat, dan 3tingkat?
3. Misalkansatuorangdalampiramidatersebutdigambarkandengantanda“ “padasuatupiramida.Gambarlahpolabanyaknyaorangdalampiramidamanusiaitu.
B
Diskusi 3
Sumber:google.com
Matematika SMP Kelas IX 159
Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjukpadabilangan1,3,6,....Karenabentuknyasepertisegitiga,makapolabilanganitudinamakan Pola bilangan segitiga.
4. Buatlahtabeluntukmenunjukkanbanyaknyatingkatdanbanyaknyaorangdalampiramidaitu.(Selesaikantabelinidenganmengisibagian...)
5. Perhatikanpolanya.Bagaimanakahhubunganbanyaknyaorang dalam piramida manusia itu dengan banyaknyatingkat?
6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bilatingkatnya9?
7. Berpikir Kritis. Cobakalian tentukanbanyaknyaorangpada tingkat tertentu, tanpa harus mengetahui banyakorang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmuitu!
Setiap tahun suatu perusahanp e n e r b a n g a n m e n g a d a k a npertunjukandirgantara.Secara bergantian pesawat-pesawatterbangtinggallandasdanmembentukformasi-formasitertentu.Padagruppertama,sebuahpesawattinggallandas,kemudiangrupkedua
dengan tiga pesawat yang tinggal landas. Berikutnya grupketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudiangrupkeempatdengantujuhpesawat.
Pola Bilangan Persegi
Sumber:Dit.PSMP,2006
C
BAB 6 Barisan dan Deret160
Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelahpenerbangangrupkeempat,bilapesawat-pesawatpadagrup-grupsebelumnyabelummendarat?Untukmenjawabnyalakukankegiatanberikut.
1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawatyang berada di angkasa, setelah penerbangan grupketiga,kemudiansesudahpenerbangankeempat,bilapesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum
2. Jikapolapenerbangandiatasdilanjutkan,berapabanyakpesawatyangditerbangkanpadapenerbangangrupke-5danke-6?
3. Berapakah jumlahpesawatyangadadi angkasa setelahpenerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawatpadagrup-grupsebelumnyabelummendarat?
4. Jelaskandandiskusikanhubunganantaragruppesawatdanjumlahpesawatyangadadiangkasa
5. Bilangan-bilangan pada kolom ke-3 pada tabel di atasmerupakanbilangan kuadrat.
6. Perhatikanmodeldaribilangankuadratberikut.Apakahmembentukpolabilangankuadrat?
Diskusi 6
Matematika SMP Kelas IX 161
Karenabilangan-bilangan1,4,9dan16berhubungandenganbentukpersegi,makapolabilangan itudinamakan jugapola bilangan persegi.
Pola Bilangan Persegi Panjang
Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makinberkurangataubahkantidakadalagi.Sehinggauntukberkebunatau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentukpersegisatuandarikayu-kayuyangdiisidengantanah.Berikutrangkaianpot-pottersebut.
Apakahsukukelimasamadengan30?3. Darisoalnomor1,Berapabanyakpotyangadapadasuku
ke-n(rangkaianke-n)?
1. Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatupola?Tuliskanpolaitu.
Karenabilangan2,6,12dan20berhubungandenganbentukpersegipanjang, maka pola bilangan ini dinamakan pola bilangan persegipanjang.
2. Dapatkah kamu menunjukkan bilangan pada sukukelima?
Daripola-poladiatasdapatdibuattabelberikut.
D
Diskusi 7
BAB 6 Barisan dan Deret162
Pola Bilangan Pada Segitiga Pascal
SusunanbilanganberikuttelahdikenaldiCinakira-kiratahun1300.SusunanbilanganitudinamakanSegitigaPascal,setelahmatematikawanPerancis,BlaisePascalmempublikasikanpolainipadatahun1653.PolaberikutinimerupakanpolabilangansegitigaPascalitu.
1. PerhatikanpolabilanganSegitigaPascaldiatas.Isilahtitik-titikpadasusunanbilanganitu.
2. Bagaimanakahaturanuntukmengisititik-titikitu?3. Jika susunan bilangan 1 merupakan bariske-1, susunan
bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunanbilangan-bilangan121merupakanbariske-3,bilanganberapasajapadabariske-6?
4. Berapakahjumlahbilanganpadabariske-6?5. Buatlahtabelyangmenyatakanhasilpenjumlahanbilangan
padatiapbarissegitigaPascal.
E
Diskusi 8
Matematika SMP Kelas IX 163
6. PerhatikandanamatilahsuatuSegitigaPascal. Jumlahbilangan-bilanganpadabariske-1adalah1. Jumlahbilanganpadabariske-2adalah2. Jumlahbilanganpadabariske-3adalah4. Jumlahbilanganpadabariske-4adalah8. Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga
Pascalitu?7. TahukahKamu?Salahsatukegunaandaribarisanbilangan
Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koefisien-koefisien suku-suku hasil perpangkatan (a+b).
Perhatikan (a+b)3diatas.
Koefisien dari a3 adalah 1, koefisien dari a2b adalah 3, koefisien dariab2 adalah 3 dan koefisien dari b3adalah1.
Sekarang perhatikan (a+b)5, kemudian carilah koefisien dari a5,koefisien dari a4b , koefisien dari a3b2, dan koefisien dari a2b3?
BAB 6 Barisan dan Deret164
Apa yang akan kamu pelajari?
Pengertianbarisanbilan-gan,suku,dansukuke-n.
Menentukansukuberikut-nyadarisuatubarisan.
Menentukansukuke-ndarisuatubarisan.
Kata Kunci: Barisan. Sukuke-n. Beda Rasio
Pengertian Barisan
PadasetiaphariSeninpagi,sekolah-sekolahtingkatSD,SMPmaupunSMAselalumengadakanupacarabendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secarateraturmembentukbarisantersendiri.Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacarabendera?
Carilahlimatemanmuyangmempunyaitinggibadanberbeda-beda.
Bagaimana kamu mengatur kelima temanmu itudalamsatubarisan?
1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama,kedua,ketiga,keempatdankelima?
2. Mengapaurutannyakamubuatdemikian?3. Apakahaturanpengurutantersebut?4. Bilabilangan-bilanganyangmenunjukkantinggi
dari kelima temanmu kamu urutkan makaakanmembentukbarisan bilangan. Bilangan-bilanganituberkorespodensisatu-satudengankelimatemanmuyangkamususunmenjadisatubarisan.
6.2 Barisan Bilangan
A
Barisan bilangan sembarang
Matematika SMP Kelas IX 165
Tulislahurutantinggitemanmu. Tinggi:...........,...........,............,..............,.............
Nama:...........,.............,............,.............,..............
1. Apakahurutanbilangan-bilangandiatasmembentukpola?Bilaya,apakahaturannya?
Ingatkahkamubahwabilangan-bilanganyangdiurutkandenganpola (aturan) tertentumembentuksuatubarisanbilangan.Contohnyaadalahbarisanbilanganganjildanbarisanbilangangenap.
2. Bilakamumenjumpailimatemanmu(misalkannamanyadiwakiliolehhuruf-hurufA,B,C,D,danE)yangtingginyamasing-masing125cm,130cm,140cm,100cmdan170cm.Apakahbilangan-bilanganyangmenunjukkantinggikelimatemanmutadimembentuksuatubarisanbilangan?Jelaskan.
Tinggi:125,130,140,100,170
Nama:...A.....,...B....,.....C....,.....D....,....E....... Apakahtingginyamembentukpola?
Dalampelajaraninikitahanyaakanmempelajaribarisan-bari-sanyangmempunyaipola(aturan)tertentu,sedangkanuntukbarisanbilangansebarangtidakdipelajari.
Masihingatkahpolabilangangenapyangdimulaidari2?Polabilangangenap:2,4,6,8,...Barisanbilangan2,4,6,8,...dinamakanbarisanbilangangenap.
Barisan aritmatika
Barisanbilanganyangdibentukdaribilangan-bilanganyangtidakdiurutkandenganpola(aturan)tertentudisebutbarisan bilangan sembarang.
BAB 6 Barisan dan Deret166
Sukuke-1daribarisanbilangangenapituadalah2.BiasanyaditulisdenganlambangU1=2.
Sukuke-2daribarisanbilangangenapituadalah4.BiasanyaditulisdenganlambangU2=4.
Sukuke-3daribarisanbilangangenapituadalah6.BiasanyaditulisdenganlambangU3=6,danseterusnya.
Berapakahsukuke-5?Untukmenemukansukuke-5daribarisanituharusdiketahuiaturanurutansuku-sukupadabarisanitu.Aturanpadabarisanbilangangenapituadalahdimulai dengan 2 dan suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya.Dengandemikiansukukelimaadalah10atauU5=10.
Perhatikanbarisan2,5,8,11,...,tentukantigasukuberikutnyadaribarisantersebut.
Jawab
Perhatikanbahwasetiapsukudalambarisantersebutmemilikibeda2,tanpamenggunakanaturantigasukuberikutnyaadalah13,15,17.
1. Perhatikanbarisan35,29,23,17,...Untukmenentukanbilanganpadasukuberikutnya,bilanganberapakahyangharusditambahkan?Tulislahtigasukuberikutnya.Apakahbarisanitubarisanaritmatika?
2. Dapatkahkamumencaribarisanaritmatikayanglain?Berapabedanya?
Barisan bilangan yang suku berikutnya didapat daripenambahansukusebelumnyadenganbilanganyangtetap(tertentu)dinamakanbarisanaritmetika.Bilanganyangtetapitudinamakanbeda.
Contoh 1
Giliranmu
246810
Matematika SMP Kelas IX 167
Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh darihasilkalisukusebelumnyadenganbilangantetapyangtidaksamadengannoldinamakanbarisan geometri.Bilangantetaptersebutdinamakanpembanding (rasio).
Contoh
Tentukanrasiodaribarisanberikut1,3,9,27,...JawabPerbandingan suku sesudah dengan suku sebelumnyamenghasilkansuaturasioyangsamayaitu3.Dengandemikianrasiobarisanadalah3.
Tentukanrasiobarisanberikut:Ca.3,6,12,24,...b.-4,8,-16,32,...
Komunikasi
Perhatikanbarisan1,2,6,24,...Apakahbarisanitubarisanaritmetika,geometriataubukankeduanya?Jelaskan.
Menentukan Suku ke-n Barisan Bilangan
Perhatikanpolabilangandalambarisan2,4,6,8,....Dapatkahkamu menebak suku ke 100? Bagaimana kamu menentukansukuke100tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita lakukankegiatanberikut.Lengkapilahtabelsampai10sukupertama,untukmembantumenentukanpolayangterjadi
Barisan Geometri
Contoh 2
B
Cek Pemahaman
Komunikasi
BAB 6 Barisan dan Deret168
Ya, sudah kelihatankah pola bilangan di atas? Suku ke 4,bilangannyaadalah2x4=8,sukuke10berarti2x10=20,dengandemikiansukuke100adalah2x100=200.
Akantetapiperhatikanbahwabarisanyangdisajikandiatasjugabarisanaritmatika.Berapabedabarisantersebut?Ya,bedanyaadalah2.Lantasapahubungannyadenganpolayangtelahkitatemukandiatas?
Perhatikantabelberikutuntukmemperolehkesimpulankita
Adakahkamumenemukanhubungansukupertamabarisan,beda,dengansukukenbarisan?Marilahkitarumuskansukukendaribarisanaritmatikasebagaiberikut
Misalkan barisan aritmetika dengan sukupertamaadanbedab. Sukuke-n(Un)bari-san tersebut adalah Un = a+b(n-1)
Suku ke -n barisan arit-
matika
Matematika SMP Kelas IX 169
Tentukanrumussukuke-100 daribarisan3,7,11,15,...
Jawab
Sukupertamabarisantersebutadalah3,bedatiapsukupadabarisanadalah4.Dengandemikiansukuke–100adalah
Tentukanrumussukuke-20 dansukuken daribarisan8,3,-2,-7,...
Barisan Geometri
Kembali pada contoh barisan bilangan 1, 3, 9, 27, . . ..Barisantersebutmemilikirasio3,sukupertamanyaadalah1.Bagaimanakahkitamenentukansukuke100,sukuke100daribarisan tersebut? Barisan ini adalah barisan geometri, tentuberbedadenganbarisanaritmatikayangtelahdibahasdiatas.
Untuk menentukan suku-suku yang diinginkan tersebut,gunakantabelberikutuntukmenemukanpolabarisannya.
Contoh 3
Barisan Geometri
Suku ke - Pola Bilangan dengan rasio 3
1 1=1x31-1
2 3=1x32-1
3 3=1x32-1
4 3=1x32-1
5 ...=3..-1
... ...
n ...=3..-1
Cek Pemahaman
BAB 6 Barisan dan Deret170
Adakahkamumenemukanhubungansukupertamabarisan,rasio,dengansukukenbarisan?Marilahkitarumuskansukukendaribarisanaritmatikasebagaiberikut
Tentukansukuke25daribarisan3,6,12,24,...JawabBarisantersebutadalahbarisangeometri,sukupertama3,rasiobarisanadalah
25 125
24 3 2 50331648
U ar −=
= ×=
24 12 6 212 6 3
= = = .Dengandemikiansukuke25barisanadalah
Tentukansukuke15dari-4,8,-16,32,...
Contoh 4
Cek Pemahaman
Suku ke-n barisan geometri
Misalkanbarisangeometridengansukuper-tama a dan rasio r. Suku ke-n ( ) barisantersebutadalah
Matematika SMP Kelas IX 171
Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiahberupa kartu bergambar kepada adiknya, yaituReni.MinggupertamaDiramemberiReni3kartubergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartubergambar kepada Reni. Minggu ketiga Diramemberi9kartubergambarpadaReni.
a. Berapakahbanyaknyakartubergambar yang harusdiberikan Dira kepadaadiknya pada minggu ke-4?
b. Berapakahbanyaknyakartubergambar yang harusdiberikan Dira kepadaadiknya pada minggu ke-5?
c. Berapakahbanyaknyakartubergambaryangharus diberikan Dira kepada adiknya padamingguke- n?
d. BerapakahbanyaknyaseluruhkartuyangtelahditerimaReniselama3minggu?
e. Bagaimanakahcaramumenentukanhasilpada(d)?Jelaskan!
Apa yang akan kamu pelajari?
MenentukanjumlahnsukupertamapadaderetAritmetika
MenentukanjumlahnsukupertamapadaderetGeometri
Menggunakansifat-sifatderetaritmetikadanderetgeometri.
Kata Kunci: Beda Ratio Jumlahnsuku
Deret6.3
BAB 6 Barisan dan Deret172
a. BerapakahbanyaknyaseluruhkartuyangtelahditerimaReniselama4minggu?
b. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)?Jelaskan!
c. Nyatakan(f)denganmelibatkan(d).d. Berapakahbanyaknyaseluruhkartuyangtelahditerima
Reniselama5minggu?e. Bagaimanakahcaramumenentukan(i)?Sebutkan!f. Nyatakan(j)denganmelibatkan(g).g. Berapakahbanyaknyaseluruhkartuyangtelahditerima
Reniselamanminggu?h. Bagaimanakahcaramumenentukan(l)?Sebutkan!
Barisan aritmatika Deret aritmatikaa. 3, 8, 13, 18, 23, . . . 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + ....
b. 21
410
41
21
−− ,,,,, . . . …+ … + … + … + …
c.a1,a2,a3,a4,a5,. . . …+ … + … + … + …
Masihingatbarisanaritmetikanaikdanturun?Cobaperhatikanbarisan aritmetika pada contoh a dan b termasuk barisanaritmatikanaikatauturun?Bilasuku-sukupadabarisanaritmetikanaikdijumlahkanmakaakanterbentukderet aritmatika naik,begitupulabilasuku-sukupadabarisanaritmetika turun dijumlahkanmakaakanterbentukderet aritmatika turun.
Bagaimanakahnilaidarideretaritmatikanaik?Jelaskan!Bagaimanakahnilaidarideretaritmatikaturun?Jelaskan!
Deret arimetika dinyatakan denganmenjumlahkansuku-sukupadabarisanaritamatika.UntukmenyatakanjumlahnsukuyangpertamapadabarisanaritmatikadigunakansimbolSn.
Komunikasi
Matematika SMP Kelas IX 173
BerikutinisalahsatucarauntukmencarihubunganantaraSndanUnpadaderetaritmatika.
U1 =a1=3,U2=a1 + 3 = 6, U3=a1 + 6 = 9 S3 = 3 + 6 + 9S3 = 9 + 6 + 3 +2S3 = 12 + 12 + 12 = 3+9 + 3+9 + 3+9 =(a1+U3)+( a1+U3)+ (a1+U3)2S3 =3(a1+U3)
S3 = 23 31 )Ua( +
U4 =a1 + 9 = 12S4 = 3 + 6 + 9 + 12S4 = 12 + 9 + 6 + 3 +
2S4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 3+12 + 3+12 + 3+12 + 3+12 =(a1+U4)+(a1+U4)+(a1+U4)+ (a1+U4)2S4 =4(a1+U4)
S4 =2
4 41 )Ua( +
Sn =a1 + (a1+ b)+(a1+ 2b) + …+(Un– 2b)+(Un– b)+Un+Sn =Un + (Un– b) + (Un– 2b)+… +(a1+2b)+(a1+ b)+a1 +
2Sn =(a1+ Un) +(a1+ Un) + (a1+ Un) + ... + (a1+ Un)
nsuku =n(a1+Un)
Sehingga rumus jumlah n suku yang pertama pada deretaritmetikaadalah:
a:sukupertama, :sukuken:jumlahnsukupertama,n:banyaksuku
Jumlah n suku per-tama deret Aritmetika
BAB 6 Barisan dan Deret174
GeometriD h a n i m e m p u n y a i m a i n a nbongkar pasang dari bangun-bangun yang berbentuk segilimaberaturandenganpanjang sisinya1 cm. Susunlah segilima-segilimaberaturan seperti pada gambar disamping, kemudian lengkapilahtabelberikut.
Kita sudah membahas jumlah deret aritmatika, bagaimanamenentukanjumlahderetgeometri?Idemencarijumlahderetarimatikakitagunakanuntukmencarijumlahderetgeometri,akan tetapi dengan modifikasi.
Ingatsukuke–nbarisangeometriadalah1n
nU ar −= ,
bagaimanabilasukuinikitakalikandenganrasionya?1
1
nn
n
n
rU r ararU
−
+
= ×
==Dengandemikian
1 0n nU rU+ − =.
Cek Pemahaman
Matematika SMP Kelas IX 175
SifatinikitamanfaatkanuntukmencarijumlahderetgeometrisebagaiberikutSn =a + ar + ar2 + ar3+ …+ arn-2 + arn-1
rSn = ar + ar2 + ar3+ …+ arn-2 + arn-1 + arn
Sn-rSn =a + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 −arn
HasilterakhirmenunjukkanSn(1-r)=a−arn
Sehinggadiperoleh:
Syaratapayangharusdiberikanpadarumusdiatas?
Diketahuideretberikut.3 + 6 + 12 + 24 + …
a. Tentukansukukedelapanpadaderettersebut!b. Tentukan jumlahdelapansukuyangpertamapadaderet
tersebut!JawabSuku pertama deret tersebut adalah 3a = , sedangkan rasiobarisan adalah 6 12 24 2
3 6 12r = = = = . Dengan demikian suku ke
delapanderettersebutadalah
Sedangkan jumlah delapan suku pertama deret tersebutadalah
Contoh 1
Penalaran
8 1
8 13 324 1 2321
1 321.
a arSr
−−=
−−
=−
−=
−=
8 18
7 3 2 3 128 384.
U ar −=
= ×= ×=
Jumlah n suku pertama deret
Geometri a:sukupertama,r:rasio
:jumlahnsukupertama,n:banyaksuku
BAB 6 Barisan dan Deret176
1. Banyaknya bakteri berlipat gandasetiap30menit.Jikabanyaknyabakteriadalah150,hitungbanyaknyabakteriyangakantumbuhsetelah12jamdansetelah24jam.
2. PakAbimembelimobilbarusehargaRp135.000.000,00. Ia memperkirakanhargajualmobilakanturun18%darihargabeliuntuktiaptahunnya.
TentukanhargajualmobilPakAbi,jikaiamerencanakanmenjualmobiltersebutsetelahmemakai5tahun!
Refleksi
Renungkanpertanyaan-pertanyaanberikut,untukmengukurpemahamankamu.1. Apakah setiap barisan bilangan senantiasa memiliki
pola?2. Padabarisanaritmatikadenganbedanegatif,manayang
lebihbesarsukupertamaatausukuke–n?3. Padabarisangeometridenganrasiolebihbesardari1,mana
yanglebihbesarsukupertamaatausukuke–n?4. Adakahmateriyangmasihsulituntukmu?Beranikanuntuk
bertanyapadaguruatautemanmu
Rangkuman
1. Barisanbilanganyangberpolasecaraaritmatikadisebutbarisanaritmatika.
2. Barisanaritmatikabergantungpadasukupertamadanbedaantarsuku.Sukuke–nbarisanaritmatikadinyatakanoleh
( 1)nU a b n= + − ,dengana sukupertamadan bbeda.3. Barisan bilangan yang berpola secara geometri disebut
barisangeometri.
sumber:www.medicasto.com
Cek Pemahaman
Matematika SMP Kelas IX 177
Pilihlah jawaban yang paling benar dengan memeri tanda silang (X) pada pilihan yang diberikan.
1. Banyakbiskuitpadapoladisampingmenggambarkanbarisan1,3,6,...Berapabanyakbiskuitpadapolakeenamadalah....buah
a. 52 b. 36 c. 30 d. 212. Banyak titik pada huruf N pada
urutanke–8adalah.. a. 24 b. 22 c. 18 d. 193. SukukeenamdanketujuhdaribarisanFibonacci1,1,2,3,
5,8,...adalah a. 8dan11 b. 8dan13 c. 9dan13 d. 9dan114. Sukuke–ndaribarisan3,5,7,9...adalah a. n + 2 b. 2n – 1 c. 2n + 1 d. 2n + 35. Jika diketahui 8 + 17 + 26 + ... = 690. Banyaknya bilangan
dariderettersebutadalah a. 10 b. 12 c. 11 d. 13
Evaluasi Mandiri
4. Barisangeometribergantungpadasukupertamadanrasioantarsuku.Sukuke–nbarisangeometriadalah 1n
nU ar −= ,denganasukupertamadanrrasio.
5. Deret adalah jumlahan suku-suku barisan. Bila yangdijumlahkansuku-sukubarisanaritmatika,makadisebutderet aritmatika dan bila yang dijumlahkan suku-sukubarisangeometrimakadisebutderetgeometri.
BAB 6 Barisan dan Deret178
Jawablah soal berikut dengan benar.6. Rumah-rumahdisebelahkananJalanAhmadYanidiberi
nomorgenapdari2sampaidengan224.BerapabanyakrumahyangadadisebelahkananJalanAhmadYani?
7. Tulislah aturan setiap barisan aritmetika berikut dancarilahtigasukuberikutnya.
a.5,10,15,20,... b.3,7,11,15,... c.34,29,24,19,... d.25,21,17,13,... e.63,54,45,36,... f.–8,-1,6,13,...3. Seorang Pegawai menerima gaji pertama sebesar Rp
800.000,00. Setiap bulan gaji tersebut naik sebesar Rp100.000,00sampaisetahun.Bilagajiyangditerimapegawaiitu ditulis dalam bentuk barisan, barisan apakah itu?Tulislahaturanuntukmenjelaskanbarisanitu.
9. Berpikir kritis. Apakah susunan 33, 33, 33, 33, ....merupakanbarisanbilangan?Termasukbarisanaritmetikaataugeometri?Tulislahaturanuntukmenjelaskannya.