MATEMATIKA KÖZGAZDÁSZOKNAKsalamonjulia/v1_files/SK00.pdfmatematika nyelvén ábrázoljuk a közgazdasági modellt. A matematikai modell nem a valóságnak, hanem a közgaz-dasági

MATEMATIKA KÖZGAZDÁSZOKNAK

MAKÓ Zoltán

2014/2015

ii

1

2

Fejezet 1

A matematika szerepe a

közgazdasági modellek

kidolgozásában

1.1 Miért fontos a közgaszdászoknak a matem-

atika?

A gazdaság egy ködös, átláthatatlan világ.

Az elso úttörok még teljes vaksötétben s puszta szemükre hagyatva

vágtak neki, sokszor inkább káprázatot, mintsem fényt követve.

A matematika lett az a szövetnék, amelynek fényénél mára

tisztán kiveheto mindaz, mi ennekelotte csak homályban derengett.

–Irving Fisher (1982)

A gazdasági tevékenységek évezredek óta életünk részét képezik.

Maga a közgazdaságtan jelentésu ógörög eredetu ”ökonómia” szó jelntése

„házvezetés, házvezetésvitel” is ezt mutatja. Persze már a görögök elotti

társadalmakban is voltak kereskedok, akiknek tevékenysége néminemuleg

a mai értelemben is közgazdaságinak nevezheto. Tudták például, hogy a

szük termés általában a gabona árának emelkedésével jár, az aranykészlet

fogyása viszont valószínuleg a gabonaár csökkenését vonja maga után.

A közgazdasági fogalmak évszázadokon át nem jelentettek többet an-

nál, mint ami a legelemibb matematika egyszeru kifejezéseivel is megad-

3

4FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN

ható. Az elemi aritmetika bovön elegendo volt mindazon feladatok

elvégzésére, amelyekre egy kereskedonek szüksége lehetett, ezekhez a

számításokhoz eszköz gyanánt tökéletesen megfelelt az abakusz.

A közgazdaságtan fejlodése a tizennyolcadik században fordulópon-

tjához ért. A gazdasági gondolatokat kezdték formába önteni, és ezen gon-

dolatok elindultak azon az úton, hogy elméleté fejlodjenek. Ilyen gondola-

tokat tartalmaztak a következõ muvek: David Hume, Political Discourses

(1752); Francois Quesnay, Tableau Economique (1759); Adam Smith, The

Wealth of Nations (1756).

A XIX. század közepe környékén néhány szerzo elméletének kidolgo-

zásához elkezdett matematikai eszközöket használni. Ezen legelsok között

olyan közgazdászok neveivel találkozunk, mint: Antoine Cournot [6] —

az elso, aki explicit kersleti görbét rajzolt és definiálta is azt, valamint

közgazdasági szélsoértékfeladatokat oldott meg a differenciálszámítás es-

zközeit használva; Léon Walras[19] — megoldotta a minden piacra egyide-

juleg kiterjedo, a kereslet és kinálat általános egyensúlyára vonatkozó elso

egyenletrendszert.

A következo történet szemléletes példa arra, hogy miként alka-

lmazhatják a közgaszdászok a matematikai tudásukat gyakorlati problé-

mak megoldására.

1953 februárjában Hollandiában egy addig sosem látott hatal-

mas árvíz pusztított. A víz átszakította az országot védo

gátakat, és a hömpölygo árban több mint 1800-an lelték

halálukat. Az anyagi kár a becslések szerint az azévi nemzeti

jövedelem 7%-át tette ki. A jövoben várható hasonló ter-

mészeti katasztrofák megelozésére bizottság alakult és megál-

lapították, hogy 100%-os biztonságot nyújtó gátak építésére

hatalmas összegekre van szükség. Az igazi problémát tehát

a költség és a biztonság közötti határvonal meghúzása jelen-

tette: a magasabb gátak nyilván drágábbak, de az általuk

nyújtott biztonság nagyobb, az alacsonyabbak olcsobbak, de

az általuk nyújtott biztonság is kisebb. A bizottságnak tehát

meg kellett próbálnia a gátak valamiféle optimális magasságát

meghatározni.

Az ilyen és ehhez hasonló határvonal-meghúzási problémáknak

központi szerepük van a közgazdaságtanban. Ezekben a problémákban

1.1. MIÉRT FONTOS A KÖZGASZDÁSZOKNAK AMATEMATIKA?5

az a közös, hogy valaminek a javulásáért mindig más valaminek a rom-

lásával kell fizetnünk (mint a fenti példában a költségcsökkenésért a biz-

tonság romlásával fizetünk) és a feladatunk az, hogy e két valami között

kell valamilyen optimális határvonalat meghúzni. Ezek a problémák olyan

szélsoértékfeladatokra vezetnek, amelyek elegánsan kezelhetok a matem-

atikai formanyelv eszközeivel.

A közgazdaságnak azt az ágát, amely a matematikai for-

manyelv és eszközök segítségével kifejtett elméleteket és mod-

elleket foglalja össze matematikai közgazdaságtannak nevez-

zük, ami szoros rokonságban van az ökonometriával és az op-

erációkutatással, amelyek alapvetõen magukkal a matematikai

és statisztikai módszerekkel, illetve azok gyakorlati alkalmazá-

saival foglalkoznak.

A matematikai közgazdaságtan legfontosabb eredményeinek össze-

foglalását, magyar nyelven az olvasó a Zalai Ernõ által írt Matematikai

közgazdaságtan [18] címû könyvében találja meg.

Nem hagyhartjuk szó nélkül azt sem, hogy a matematika közgazdasági

alkalmazása szinte egyidõs a vele kapcsolatos fentartások hangoztatásá-

val. A matematika közgazdasági alkalmazásaival szemben megnyilvánuló

kétely és bírálat okai összetettek s nehezen érthetõk meg azoknak a sajátos

körülményeknek az alapos ismerete nélkül, amelyek között a matematikai

közgazdaságtan kifejlõdött (lásd [18]). Ez a folyamat paradigmák, ku-

tatási programok köré tömörült és egymással rivalizáló közösségekben és

közösségek között zajlik.

Közismert például Walras és Marshall szakmai és személyes ellentéte.

Marshall, aki a maga korában kiváló matematikai tudással rendelkezett,

Walrassal ellentétben korántsem volt a közgazdaságtan „matematizálásá-

nak” kritikálatlan híve. Ma is érdemes megszívlelni az általa a matematika

közgazdasági alkalmazására adott „hatparancsolatát”

„Egyre inkább az lett az érzésem, hogy egy jó matematikai

tétel, amely egy közgazdasági hipotézist fogalmaz meg, aligha

lehet jó közgazdaságtan, és egyre inkább tartottam magam a

következõ szabályokhoz: 1. A matematikát csak gyorsírásként

használd, s ne a kutatás hajtómotorjaként! 2. Csak addig

használd, míg eredményre nem jutottál általa! 3. Fordítsd le


angolra! 4. Illusztráld a valós életbõl vett fontos példákkal!

5. Vesd a tûzbe a matematikai változatot! 6. Ha nem tudod

sikeresen megoldani a 4. feladatot, akkor égesd el az angol

változatot is! [14]”

Ez a „hatparancsolat” arra figyelmeztet, hogy a matematikai nyelveze-

tre való átállás a közgazdaságtanban az intellektuális játékokkal, képzetes

problémákkal való foglalkozás veszélyével jár. Walras és Marshall egymás-

sal ellentétes elképzelésében nemcsak a szakmáról és a módszertanról alko-

tott felfogásbeli különbsége jelenik meg, hanem a feltételezett olvasóközön-

ség közötti különbség is. Walras a szakma szûkebb, matematikában jár-

tas képviselõit, Marshall ezzel szemben egy szélesebb, közgazdasági is-

mereteket igénylõ társadalmi réteget vette célba. Mindezek miatt az el-

lentétek és viták várhatóan még hosszú ideig fenn fognak maradni, de

mindenki elismeri, hogy a verbális elméletek aximatikus kifejtése élesebb

megvilágításba helyezi az egyébként gyakran csak homályosan megfogal-

mazott állításokat, elõsegíti azok érvényeségi feltételeinek és korlátjainak

tisztázását, és lehetõvé teszi olyan következtetések feltárását is, amelyeket

a matematikai levezetés nélkül fel sem lehetne fedezni. A matematika

közgazdaságtani alkalmazása didaktikai szempontból is felbecsülhetetlen,

mivel szabatos, logikus gondolkodásra tanít. Ezért nincs értelme a matem-

atika szerepérõl elvi szinten vitatkozni, legfeljebb csak arról, hogy „men-

nyit” és „milyen” matematikát használjunk az elméleti tisztánlátás és

gyakorlati felhasználás érdekében.

1.2 A gazdasági folyamatok modellezésének fázi-

sai

A közgazdaságtant rendszerint az empirikus (tapasztalati) tudományok

közé sorolják. Ilyen tudományok még a természettudományok. Ezen tu-

dományokat a közös módszertan fogja össze egy csoportba, amelynek fobb

szempontjai a következok:

1. Jelenségek minoségi és mennyiségi szempontok szerinti megfi-

gyelése mind természeti mind gondosan elokészített laboratoriumi

körülmények között.

2. A megfigyelés során mért adatok numerikus és statisztikai feldolgo-

zása.

1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOK MODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI7

3. Olyan elméleti modellek megalkotása, amelyek leírják a megfigyelt

jelenségeket és magyarázatott adnak a köztük levo kölcsönhatásokra.

4. Elorejelzések készítése ezen modellek alapján.

5. A modellek korrigálása és továbbfejlesztése az elorejelzések és a

tapasztalati mérések eredményeinek összehasonlítása után.

Összefoglalva ez azt jelenti, hogy az empirikus tudományok a megfi-

gyelés, modellezés és felülvizsgálat hármas követelményén alapszanak. Ah-

hoz, hogy egy tevékenységet empirikus tudománynak minosítsük, a fenti

pontok mindegyikének meg kell felelnie, mivel

— az elmélet nélküli megfigyelések a valóságról pusztán képeket tudnak

közölni, de a jelenségekre már képtelenek magyarázatot adni,

— az olyan elméletek viszont, amelyek nem megfigyelésen alapulnak,

nagyon könnyen elszakadhatnak attól a valóságtól, amelynek jelen-

ségeit éppen értelmezni hivatottak.

A közgazdaságtan emprikus tudományá a XX század elején vált,

amikor a közgaszdászoknak sikerült megalkotniuk a közgazdasági folyam-

atok elso modelljeit.

A modell —mint a megismerés sajátos formája— egyszerubben,

anyagilag vagy eszmeileg reprezentálja a vizsgált objektumot.

Az objektum és a modell között mindig pontosan meghatáro-

zott megfeleltetési viszony van. A modell a megismerési folya-

matban és kutatásban új ismeretek szerzését teszi lehetové.

Modelleket felépítésük szerint szokták osztályozni. Ezek szerint van-

nak anyagi és eszmei modellek.

Az anyagi modelleknek négy alaptípusa van:

— geometriai modellek az objektum térbeli tulajdonságait és arányait

mértékarányosan transzformáló konstrukciók ( pld. makettek);

— fizikai modellek nemcsak az objektum és a modell közötti geometriai

hasonlóságot, hanem fizikai természetük hasonlóságát is feltételezi;


— a tárgyi-matematikai modellek anyagilag reprodukálják a különbözo je-

lenségek mennyiségi és szerkezeti összefüggéseit. Ide sorolhatók a

gazdasági folyamatok számítógépen történo modellezése is;

— kibernetikai modellek bizonyos mértékig azonosak a tárgyi-matematikai

modellekkel, de speciális sajátosságuk, hogy ezek a modellek

kifejezik a bonyolult, dinamikus rendszerek viselkedésmódját,

környezetükhöz való viszonyát;

Az eszmei modelleknek két alaptípusa van:

— képmásmodellek eszmei úton, elemi képekbol tevodnek össze. Kife-

jezhetik a modellezett objektum lényeges oldalait, a strukturájában

rejlo törvényszeruségeket, de a szemléletesség is a lényegükhöz tar-

tozik.

— jelmodellek jelekbol épülnek fel. ezek segítségével fejezik ki a vizsgált

objektum elemeit, strukturáját és muködését.

A folyamatábra jelmagyarázata:

1. Modellezendo gazdasági folyamat.

2. Az adott gazdasági folyamat elemzése

3. Közgazdasági modell

4. Matematikai apparátus -matematikai analizis

-matematikai programozás

-valószínuségszámítás

-statisztika

-numerikus eljárások stb.

5. Matematikai modell -eszmei

-tárgyi

6. A matematikai modell megoldása -számítástechnika alkalmazásával

7. A modellezett gazdasági folyamat

tudományos modelljének eredményei

1. Az objektív valóság absztrahálása a vizsgálat céljának megfelelo tu-

dományos modellé. A tudományos modell helyességét ellenoriznünk

kell az eredményeknek a gyakorlattal való egybevetésével. A mod-

ellezésnek ebben a fázisában kétféle hibát is elkövethetünk:

1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOK MODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI9

ábra 1.1: 1. ábra. A gazdasági folyamatok modellezésének fázisai.


— egyrészt ha nem ismerjük megfeleloen a valóságot (informá-

cióhiány vagy hibás információ következtében),

— másrészt ha nem ismerjük fel valamely tényezo jelentoségét, és azt

a modellbol kihagyjuk.

Általában a közgazdasági modell eredményeinek a gyakorlattal való

szembesítése csak a matematikai modell megoldása után kerül-

het sor, így a tudományos modellbol fakadó hibákat csak késobb

szurhetjük ki. A másik probléma az, hogy a közgazdaságtanban elo-

forduló feltevések rendszerint kevésbé szabatosan vannak megfogal-

mazva mint a fizikában, így a bennük levo tévedések sem olyan nyil-

vánvalók. Ennek érdekében vizsgáljunk meg két klasszikus példát.

Példa (Arisztotelész-Galileo Galilei) Arisztetelész Kr. e. 350

körül kiagyalt elmélete szerint a szabadon eso testek zuhanási

sebessége állandó és a nehezebb testek a könnyebbeknél gy-

orsabban zuhannak. Ezt cáfolta látványosan a XVI század-

ban Galileo Galilei, amikor kisérletileg kimutatta, hogy a légel-

lenállást elhanyagolva bármely szabadon eso test sebessége az

esés kezdetétol fogva eltelt idovel arányos és ez az arányossági

tényezo minden test esetében ugyanaz.

Példa (Phillips-görbe) A. W. Phillips egy 1958-ban publikált

dolgozatában a brit gazdaság 1861-tol 1957-ig terjedo idoszakán

belüli bérnövekedés és munkanélküléség éves arányait vizsgálta.

A megfigyelt arányokat egy koordináta-rendszerben ábrázolva

egy görbéhez jutott.Ezt a görbét nevezik Phillips görbének.

Az eredmények alapján a közgazdászok egésszen az 1970-es

évekig elfogadták, hogy a infláció és a munkanélküliség közti

valami-valamiért problémát ez a görbe írja le. A probléma

közismerten abban áll, hogy egyrészt az adócsökkentés vagy a

megemelt közkiadások hatására munkahelyek teremtodhetnek,

de ennek az az ára, hogy no az infláció. Megfordítva, az infláció

adóemeléssel vagy közkiadások megnyirbálásával csökkentheto,

ennek viszont munkanélküliség-növekedés az ára.

Ennek cáfolatára az 1973-1982 éves idoszakban a nyugati orszá-

gokban egyidejüleg jelentkezett a magas infláció és a magas

munkanélküliség, és a megfigyelések adatai egyre másra maga-

1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOKMODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI11

san a hagyományos Phillips görbe fölötti értékeket vett fel. (

Ezt az idoszakot nevezik a pangás vagy stagnálás idoszakának.)

Ahogy Arisztotelesz elgodolásai is a tapasztalatokkal ellent-

mondásba került ugyanúgy a Phillips görbe is modosításra

szorult.De, hogy miért csúszott hiba Phillips elgodolásaiba, már

nehezebben érheto úton. A közgászdászok szerint azért for-

dulhatott elo a pangás idoszaka, mert az emberek megtanul-

tak együtt élni az inflációval, bér és kölcsön- szerzodéseiket

is az inflációs várakozásaiknak megfeleloen alakították. Je-

lenleg a Phillips görbe helyett egy olyan görbét használnak,

amely a munkanélküliség és az infláció várt mértékétol való

eltérés között húzodik. Továbbá az inflációs várakozásnak ez

a mértéke az infláció tényleges értékének emelkedésével együtt

növekszik.Tehát a csökkeno munkanélküliség nem csak egysz-

eruen csak növeli az inflációt, hanem meg is gyorsítja az infláció

növekedését.

2. A következo fázisban megfelelo matematikai eszközök segítségével a

matematika nyelvén ábrázoljuk a közgazdasági modellt.

A matematikai modell nem a valóságnak, hanem a közgaz-

dasági modellnek a megjelenítése, tehát a matematikai mod-

ellbol nyert eredmények csak akkor bizonyulhatnak jónak, ha

helyes közgazdasági modellen alapúlnak.

Ebben a szakaszban is követhetünk el hibát

— a modell rossz megfogalmazásával (pl. egy modell lényegétol ide-

gen feltétel vagy változó eltozíthatja annak belso összefüggéseit

és téves összefüggésekre adhat alkalmat);

— pontatlan adatok felhasználásával;

— a matematikai módszer helytelen alkalmazásával.

3. A matematikai modell megoldása után az eredményeket közgaz-

dasági szempontból kell értelmezni, elemezni és meg kell vizsálni,

hogy a visszacsatolás müködik-e. Ekkor dönthetjük el, hogy a mod-

ell használható-e vagy a modellezést az elkövetett hiba jellegétol füg-

goen valamelyik korábbi fázisában újra kell kezdenünk.


Összefoglalva az egésszet, a továbbiakban sosem szabad elfelejteni,

hogy

a modell a valóságnak csak pusztán egy megközelítésére képes,

és az empirikus tudományok célja az, hogy olyan modelleket

alkosson, amelyek a valóságot a leheto legjobban tükrözi.

Ebben a jegyzetben azokat a matematikai analízis tárgyköréhez tar-

tozó fogalmakat foglaljuk össze egységes rendszerbe, amelyek az általános

egyensúlyelmélet megértéséhez nélkülözhetetlenek. Nem célunk az elmélet

részletes ismertetése, mivel ez a Zalai Ernõ [18] könyvében megtalálható.

Itt csak annyit jegyzünk meg, hogy

az egyensúlyelmélet a modern árútermelõ gazdaság mûködését

szinte kizárólag az egyensúlyi jelenségek és mechanizmusok

alapján tanulmányozó elmélet.

Ez az elmélet nemcsak a fogalmakat, de az idõközben változó matem-

atikai szemléletet és módszertant is átvete, mivel az alapítóktól (Walras,

Jevons és Pareto) kezdve nagy súlyt fektettek az elmélet axiómatikus,

formalizált kifejtésére. A gazdasági egyensúly matematikai modelljei a

matematikai közgazdaságtan legátfogóbb, annak szinte minden elemét

felölelõ matematikai építményei. A termelési függvények, az input-output

modellek, a hasznossági függvények és a különbözõ keresleti rendszerek

mind részet képezik, vagy szoros rokonságba hozhatók az általános egyen-

súlyelméleti modellekkel.

1.3 A matematikai bizonyítás

Az eddigiekben már hangsúlyoztuk a matematikai modellek fontos sz-

erepét a tapasztalati tudományokban, különösen a közgazdaságtanban.

A továbbiakban arra szeretnénk ráírányítani a figyelmet, hogy mennyire

fontos a modellt le1eíró nyelvezet pontossága.

Példa Oldjuk meg az

x+ 3 =√9− x

egyenletet.

1.3. A MATEMATIKAI BIZONYÍTÁS 13

Hol a hiba a megoldásban?

(x+ 3)2 =√9− x2

x2 + 6x+ 9 = 9− xx2 + 7x = 0 /x

x+ 7 = 0

x = −7.

Visszahelyettesítve kapjuk, hogy

−7 + 3 =p9− (−7)

−4 =√16

−4 = 4.

Ez a példa rávilágít a körültekintés nélküli mechanikus számolás veszé-

lyeire. Sajnos az ilyen rejtett hibák kiszurésére számítógépes programok

soha sem lesznek képesek, ezért kell vigyázni a számítógép használatára

a modellezés során. Ilyen hibákra már sajnos sokszor ráfizetett az em-

beriség. Hogy mi ezt elkerüljük a jegyzet megírása során arra törekedtünk,

hogy minden kijelentésünk egyértelmu legyen, következtetéseink pedig

logikusak. Ennek érdekében a következokben felsoroljuk a legfontosabb

logikai szabályokat.

Definíció 1.3.1 Azokat a kijelentéseket, amelyeknek van értelmuk és

amelyekrol egyértelmuen eldönthetok, hogy igazak vagy hamisak ál-

lításoknak ( ítéleteknek) nevezzük. Tehát minden állításhoz tartozik egy

„igaz” (i = 1) vagy „hamis” (i = 0) jelzõ. 1, 0 az állítás logikai értéke.

Ha egy P állítás igaz volt akkor az állítás ellentetje a ”nem P”

hamis, ha pedig hamis volt akkor ellentetje ”nem P” igaz lesz.

Ezekkel az állításokkat a ”vagy”, és az ”és” kötoszavakkal köthetjük

össze. Legyen P és Q két állítás. Az alábbi szabályok alapján tudjuk

eldönteni egy összetett kijelentésrol, hogy igaz-e vagy hamis.

A ”P vagy Q” állítás akkor és csakis akkor lesz hamis ha mind

a két állítás hamis volt. Minden más esetben a ”P vagy Q”

állítás igaz.


A ”P és Q” állítás akkor és csakis akkor lesz igaz ha mind a

két állítás igaz volt. Minden más esetben a ”P és Q” állítás

hamis.

Ahhoz, hogy egy logikai következtetéslánc végigvitelekor ne vesszünk

el az egyes lépések útvesztojében, sokszor bizonyulnak hasznos

segédeszköznek az implikációs nyilak.

Legyen P és Q két állítás. A ”P ⇒ Q” állítás akkor és csakis

akkor lesz hamis, ha P igaz volt, de Q hamis. Minden más

esetben a ”P ⇒ Q” állítás igaz. A⇒ szimbólum neve impliká-

ciós nyíl, és minden olyan esetben szoktuk alkalmazni, amikor

tudjuk, hogy P igaz volta maga után vonja Q igaz voltát.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy P -bol következik Q, vagy hogy

P elegendo feltétele Q-nak, vagy hogy Q szükséges feltétele

P -nek.

Egy másik fontos jel az ”⇔” ekvivalencia nyíl .

Legyen P és Q két állítás. A ”P ⇔ Q” állítás akkor és csakis

akkor igaz, ha ”P ⇒ Q” és ”Q ⇒ P” állítások egyidejüleg

igazak. Ilyenkor azt mondjuk, hogy P szükséges és elégséges

feltétele Q-nak, vagy hogy P akkor és csakis akkor, ha Q, vagy

hogy P ekvivalens Q−val.

Most oldjuk meg helyesen implikációs nyilakat használva az x + 3 =√9− x egyenletet.Vegyük észre, hogy a levezetés során kapott gyökök

visszahelyettesítése nem csupán annak ellenorzésére szolgál, hogy jól

számoltunk-e, hanem mindez logikai szempontból is szükséges.

x+ 3 =√9− x⇒

(x+ 3)2 =√9− x2 ⇒

x2 + 6x+ 9 = 9− x⇒x2 + 7x = 0⇒

x = 0 vagy x = −7.De innen nem következik az, hogy x = 0 vagy x = −7 kielégíti az x +3 =√9− x egyenletet. Vagyis más szóval azt is mondhatjuk, hogy x =


0 vagy x = −7 szükséges de nem elégséges feltétele annak, hogy x +

3 =√9− x. Tehát, ahhoz, hogy az elégségességet is igazoljuk a kapott

gyököket vissza kell helyetesíteni az egyenletbe és ellenõrizni kell, hogy

kielégítik-e az egyenletet. Ezek után kapjuk, hogy az egyenlet megoldása

x = 0.

Logikai kijelentésekben sokszor használjuk a ”létezik” (∃) és a

”bármely” vagy ”minden” (∀) kötoszavakat. Ha P (x) egy olyan ítélet,amelynek logikai értéke az x változótól függ, akkor az ilyen kijelentések

így néznek ki ∃x ∈ X P (x) vagy ∀x ∈ X P (x) .

A ∃x ∈ X P (x) ítélet akkor és csakis akkor lesz igaz, ha

találunk egy olyan x0 elemet az X halmazban, amelyre a

P (x0) ítélet igaz.

A ∀x ∈ X P (x) ítélet akkor és csakis akkor lesz igaz, ha

akármelyik x elemét vesszük az X halmaznak a P (x) ítélet

igaz.

A matematika minden területén a legfontosabb eredményeket té-

teleknek nevezzük. Egy ilyen tétel logikailag hibátlan bebizonyítása sok-

szor igencsak összetett feladat. Ha a bizonyításokat nem is mindig írjuk

le azért összefoglalásként felsoroljuk a matematikában használatos külön-

bözo bizonyítási módszereket.

Minden matematikai tétel megfogalmazható az alábbi módon:

P ⇒ Q

alakú implikációként, ahol P a tétel feltételeit jelöli (amit

tudunk), Q pedig a tétel konklúziója (amit tudni szeretnénk)

Bizonyítási eljárások:

1. Direkt bizonyítás. A leheto legtermészetesebbnek tuno dolog, hogy

kiindulunk a P -bol és lépésrol lépésre jutunk el Q−hoz.2. Inverz módon. Mivel P ⇒ Q azzal egyenértéku, hogy nem Q ⇒nem P ezért ebben az esetben abból indulunk ki, hogy Q nem igaz,

és ennek alapján megmutatjuk, hogy P sem lehet igaz. (Pl. ”Ha

esik az eso, akkor vizes a fu” azzal egyenértéku, hogy ”Ha nem vizes

a fu, akkor nem esik az eso”)


3. Indirekt bizonyítás. Ez a módszer azon a logikai elven alapszik, hogy

igaz állításból helyes következtetések láncolatán keresztül lehetetlen

hamis állításhoz jutni. Azaz feltételezzük, hogy a P ⇒ Q kijelen-

tés hamis és ha helyes következtetések láncolatán keresztül hamis

állításhoz jutunk, akkor következtetésképpen a P ⇒ Q állítás igaz

kell, hogy legyen. Vegyük észre, hogy az inverz bizonyítási mód ez

utóbbinak egy nagyon egyszerusített változata, ezért nem is szokták

külön bizonyítási módnak tekinteni.

Példa Igazoljuk, hogy

x2 − 5x+ 4 < 0⇒ x > 0.

Megoldás Direkt: Tegyük fel, hogy x2 − 5x+ 4 < 0 ⇒ x2 + 4 < 5x ⇒5x > x2 + 4 > 4 > 0⇒ x > 0.

Inverz: Tegyük fel, hogy x ≤ 0⇒ x2 ≥ 0 és−5x ≥ 0⇒ x2−5x+4 ≥0.

Indirekt: Tegyük fel, hogy az állítás hamis. Ekkor létezik olyan

x, amelyre x2 − 5x + 4 < 0 és mégis x ≤ 0. De ha x ≤ 0, akkor

x2 − 5x+ 4 ≥ 0, így ellentmondáshoz jutottunk.A fentiekben vázolt bizonyítási módok az ún. deduktív érvelésre, azaz

a logika következtetési szabályaira támaszkodnak. Ezzel szemben szá-

mos tudományterületen (természettudományok, közgazdasági tudomány)

az induktív érvelést is elfogadják. Ez nem más, mint következtetés lev-

onása pusztán néhány (vagy akár nagyon sok) megfigyelés alapján. Példá-

nak okáért vizsgáljuk meg az alábbi történetet:

Egy csillagász, egy fizikus és egy matematikus utazik a vona-

ton.

Hargita megyén keresztül haladva a mezon egy legelészo

birkanyájat látnak.

Megszólal a csillagász:” Csíkban feketék a birkák”

A fizikus pontosít:” Csíkban léteznek fekete birkák”

Mire a matematikus kijelenti, hogy:” Csíkban létezik egy

birkanyáj, amelyben minden birkának legalább az egyik oldala

fekete”


Történet is mutatja, hogy a matematikában akárhány sajátos esetet

megvizsgálhatunk és mégsem vonhatunk le általános következtetéseket,

ezért a matematikában az induktív érvelés nem elfogadott bizonyítási mód.

Más kérdés az, hogy az induktív észjárás a matematikának is egy élteto

forrása, ötleteket szolgáltat hipotézisek megfogalmazásához. Mindazonál-

tal létezik a matematikai indukció, amely egy helyes bizonyítási eszköz, de

ez már más fogalmat takar.


Fejezet 2

Valós számok

A matematika lépten nyomon használja a valós számokat. A valós számok

halmazát R−el jelöljük és ismertnek tekintjük. A valós számok halmazávalazonban nem csupán mint halmazzal lesz dolgunk, hiszen elemei között

ismét valós számokat eredményezo muveleteket értelmezünk.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogya valós számok halmaza a matem-

atika eléggé bonyolult építménye, amely a tudomány sok évszázados fe-

jlodésének során jött létre.

Ha valós számok halmazát intuitíven fel akarjuk építeni végig kell jár-

juk azt az útat, amit az elemi iskolai tanulmányainktól a középiskola be-

fejezéséig végig jártunk.

• Kezdtük az elso osztályban a természetes számokat tanulni. A

tanítónéni vagy tanítóbácsi elmagyarázta, hogy melyek ezek a

számok, hogyan kell oket leírni és hogyan kell oket kiolvasni.

Majd megmutatta, hogy miképpen lehet velük muveleteket végezni,

valamint nagyságrendi viszonyokat ( <, =,>) állapítottunk meg

közöttük. Megtanított összeadni és kivonni. Itt már az okosab-

baknak feltünhetett, hogy csak nagyobb számokból tudtunk kivonni

egy kisebb számot, és meg is fogalmazhatták azt a kérdést, hogy mi

történik, ha kisebbol akarunk nagyobbat kivonni?

• A második osztályban megtanultuk szorozni a természetes

számokkal. Az osztás muveletnél csak a mradék fogalmának

bevezetésével tudtuk elvégezni az osztást.

19

20 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK

• Ötödik osztályban megmutatták, mi történik, ha kisebb számbólnagyobb számot vonunk ki. Ezzel el is jutottunk a negatív szám fo-

galmához és az egész számok halmazához. Az egész számok halmazá-

nak elégtelensége azonban hamar kiderült, az osztás muveletét nem

mindig tudtuk maradék nélkül elvégezni, pedig ezekre már nagyon

egyszeru mérések során is szükség mutatkozott.

• Hatodik osztályban bovítettük ismereteinket megtanultuk, hogy

léteznek ún. törtszámok és meglepetésként ért az a dolog, hogy egy

törtszámot többféle képpen is lehet ábrázolni. Ez érdekességként ha-

tott az elozo években a számokról kialakított ismereteinkhez képest.

Ezzel el is jutottunk a racionális számok fogalmához.

• Már hetedik osztályban tanultuk, hogy a négyzet átlója nem

összemérheto a négyzet oldalaival. Tehát a racionális számokon

kivül még vannak más számok is. Ezeket a számokat neveztük valós

számoknak.

• Kilencedik osztályban majd igazoljuk, hogy a √2 nem racionális

szám, ezzel már eljutottunk ahhoz a felismeréshez, hogy a racionális

számok halmazát is kell bovíteni. A bovítésben szereplo új számok

az irracinális számok. Az irracionális számok halmaza és a racinális

számok halmazának egyesítése adja a valós számok halmazát. Itt

már különbözo feladatok megoldásakor a valós számokat ismertnek

tekintjük.

• Tizedik osztályban a valós számok halmazának azt az elégtelenségét,hogy nem minden másodfokú egyenletnek van valós gyöke úgy old-

juk fel, hogy kibovítsük a valós számok halmazát, bevezetjük a a

komplex szám fogalmát.

• Tizenegyedik és tizenkettedik osztályban megint érintsük a valósszámok fogalmát, de nem történik meg ezen számok pontos matem-

atikai értelmezése.

A valós számok halmazának egyik felépítése tehát valami olyansfélét

jelentene, hogy kiindulunk a természetes számok halmazának ismeretébol

és néhány axióma segítségével értelmeznénk az egész, a racionális és a

valós számok halmazát, az említett muveleteket, a rendezést, stb. A másik

elehetoség abban áll, hogy axiomatikusan írjuk le a valós számok halmazát.

2.1. RELÁCIÓK 21

A valós számok axiomatikus értelmezésének egyszeru fogalomalkotás

mellett az is az elonye, hogy valós számok halmazát a benne értelmezett

alapmuveletek és rendezés legfontosabb tulajdonságával együtt adja meg.

Mielott rátérnénk a valós számok fogalmának bevezetésére, foglaljuk

össze az elozoekben felsoroltakat. Nézzük meg intuitíven melyek ezek a

számhalmazok, mit is akarunk mi pontosan megfogalmazni.

1. A természetes számok halmaza

N = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

2. Az egész számok halmaza

Z = ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... .

3. A racionális számok halmaza

Q =n ab/ a ∈ Z, b ∈ N\ 0

o.

4. A valós számok halmaza, ahogy a középiskolában értelmezzük

R =nx / (∃) (xn)n∈N sorozat, amelyre lim

n→∞xn = xo.

5. A komplex számok halmaza

C = (a, b) / a, b ∈ R .

Mielott megadnánk azokat axiómákat, amelyekbol a valós számokra

vonatkozó ismert muveleti szabályok és a legfontosabb tulajdonságok

következnek néhány alapfogalmat kell megismernünk.

2.1 Relációk, függvények és muveletek

Definíció 2.1.1 Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán az (a, b)

alakú rendezett elempárok halmazát értjük, ahol a ∈ A, b ∈ B. Tehát

A×B = (x, y) / x ∈ A es y ∈ B .


Az A×B szorzatot a síkban a következo módon tehetjük szemléletesé.

Felveszünk a síkban egy derékszögu koordináta-rendszert. A

koordináta-rendszer Ox tengelyén felvesszük A halmazt, az Oy tengelyén

pedig a B halmazt. Az (x, y) rendezett számpár az x abszcisszájú és y

koordinátájú pontot jelöli a síkban. Ekkor A×B a koordinátatengelyekkelpárhuzamos oldalú (besatirozott) téglalapot jelöli.

Definíció 2.1.2 Legyen A és B két halmaz, S pedig az A×B egy részhal-maza. Azt mondjuk, hogy az A halmaz x eleme <S relációban van a Bhalmaz y elemével, ha (x, y) ∈ S. Az <S-et bináris relációnak nevezzükés azt a tényt, hogy x <S relációban van y-nal így jelöljük x <S y. HaA = B akkor az <S-et homogén relációnak nevezzük, és azt mondjuk,hogy a reláció az A halmazban értelmezett.

Példa. Legyen A = 1, 2, 3, S = (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) . Akkor aztnomdhatjuk, hogy 1 <S 2, 1 <S 3, 2 <S 1, de 3 nem <S 1, 2 nem <S3, 3 nem <S 2.

Az alábbiakban három sajátos relációt említünk meg.

Definíció 2.1.3 (rendezési reláció) Legyen A egy halmaz és < egy

reláció az A-n. Az < relációt rendezési relációnak nevezzük, ha:

2.1. RELÁCIÓK 23

1. reflexiv: bármely x ∈ A esetén x<x;2. tranzitív: bármely x, y, z ∈ A esetén, ha x<y és y<z, akkor x<z;3. antiszimmetrikus: bármely x, y ∈ A esetén, ha x<y és y<x, akkorx = y.

A fenti példában megadott reláció nem rendezési reláció.

Példa. LegyenA = N.Akkor az N-n az ismert≤ reláció rendezési reláció.Vagyis az a reláció, hogy: bármely x, y ∈ N esetén x ≤ y, akkor éscsakis akkor, ha létezik egy a ∈ N úgy, hogy x+ a = y egy rendezésireláció.

Bizonyítás 1 1) reflexivitás: bármely x ∈ N estén létezik az a = 0, úgyhogy x+ a = x. Tehát x ≤ x.

2) tranzitivitás: bármely x, y, z ∈ N esetén, ha x ≤ y és y ≤ z, akkorléteznek a, b ∈ N, úgy hogy a + x = y és y + b = z. Következésképpen

x+ a+ b = z. Tehát x ≤ z.3) antiszimmetrikusság: bármely x, y ∈ N esetén, ha x<y és y<x,

akkor léteznek a, b ∈ N, úgy hogy a+x = y és y+b = x. Következésképpena+ y + b = y. Ahonnan a+ b = 0. Vagyis a = b = 0. Tehát x = y.

Definíció 2.1.4 Ha az A halmazon értelmezett egy < rendezési reláció,

akkor az A-t rendezett halmaznak nevezzük. Egy ilyen halmazt az (A,<)szimbolummokkal jelöljük.


Példa. (N,≤) rendezett halmaz.

Definíció 2.1.5 Ha az (A,<) rendezett halmaz bármely két x, y elemérefennáll x<y vagy y<x relációk valamelyike, akkor azt mondjuk, hogy az(A,<) teljesen rendezett halmaz és, hogy az A minden elempárja összeha-sonlítható.


Példa. 1. (N,≤) teljesen rendezett halmaz, mivel bármely két számotvesszük az N-bol azok összehasonlíthatók.


2. Az rajzon szemléltetett A×B halmazon nem lehet értelmezni

teljes rendezési relációt, mivel elemei számpárok és akárhogyan

is értelmezünk egy rendezési relációt, ezzel a relációval nem

mindegyik számpár hasonlítható össze.

3. Valamely síkban adott középpontú koncentrikus körlapokból

álló halmaz a bennfoglalási relációra nézve teljesen rendezett

halmaz.

4. Legyen A egy halmaz. A (℘ (A) ,⊆) rendezett, de nem teljesen

rendezett halmaz.

Definíció 2.1.6 (ekvivalencia reláció) Legyen A egy halmaz és < egyreláció az A-n. Az < relációt ekvivalencia relációnak nevezzük, ha:

1. reflexiv: bármely x ∈ A esetén x<x;2. tranzitív: bármely x, y, z ∈ A esetén, ha x<y és y<z, akkor x<z;3. szimmetrikus: bármely x, y ∈ A esetén, ha x<y, akkor y<x.

Példa 1. A sík háromszögeinek halmazában a hasonlósági reláció.

Definíció 2.1.7 Legyen A és B két halmaz. Az A és B halmazon

értelmezett f relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x ∈ A esetén

egyetlen olyan elem van B-ben, amelyre x f y. Ezt a relációt f : A → B

szimbolumokkal jelöljük. Arra a tényre, hogy x f y az f (x) = y jelölést

használjuk. Függvényi relációban az A − t értelmezési tartománynakB−éréktartománynak (értékkészletnek), az f (x) = y pedig leképzési sz-

abálynak nevezzük

Megjegyzés 2.1.8 Ahhoz, hogy egy f függvényt megadottnak tekintsük

kell ismerni az A értelmezési tartományt, B értékkészletet és az f (x)

leképzési szabályt.

A mi szempontunkból három fontosabb függvényosztály van, ezeket

említjük meg a továbbiakban.

Definíció 2.1.9 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor injektív, ha

bármely x1, x2 ∈ A esetén, abból a ténybol, hogy f (x1) = f (x2) következik,hogy x1 = x2.

2.2. KOMMUTATÍV TEST 25

Definíció 2.1.10 Az f : A → B függvény akkor és csakis akkor szür-

jektív, ha bármely y ∈ B esetén létezik x ∈ A úgy, hogy ténybol, hogy

f (x) = y.

Definíció 2.1.11 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor bijektív,

ha injektív és szürjektív.

A függvények halmazában egyes függvényeknek ”kitüntetett” szerep

jut, ezeket nevezzük muveleteknek. A muvelet evont értelmezése elott

említsünk meg néhány ismert muveletet:

- az egész számok összeadása;

- szabad vektorok számmal történo szorzása.

Definíció 2.1.12 Legyen A egy adott halmaz. Az f : A × A → A az

A− n értelmezett bináris belso muveletnek nevezzük. Azt a tényt, hogy ac = f (a, b) ∈ A az a és b elemeknek az f muveleti eredménye röviden ígyjelöljük c = a ∗ b, ahol ∗ a muveletet szimbolizáló jel.

Megjegyzés 2.1.13 Mivel a továbbiakban csak bináris belso muveletekkel

foglalkozunk, ezért ezeket röviden, csak muveletknek nevezzük.

Most már rátérhetünk a valós számhalmaz értelmezésére.

2.2 Teljesen rendezett kommutatív test

Definíció 2.2.1 A kommutatív test egy olyan K halmaz, amelyben

értelmezett a + -szal jelölt összeadási és a ∗-gal jelölt szorzási muveletekúgy, hogy teljesüljenek a következo feltételek:

1. Bármely a, b ∈ K estén a+ b = b+ a (kommutativitás)

2. Bármely a, b, c ∈ K estén a+ (b+ c) = (a+ b) + c (asszociativitás)

3. Létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük ezt 0-val), hogy minden a ∈ Kesetén a+ 0 = a. ( zérus elem)

4. Bármely a ∈ K esetén létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük ezt

−a-val és nevezzük az a ellentetjének ), amelyre a+ (−a) = 0.


5. Bármely a, b ∈ K estén a ∗ b = b ∗ a (kommutativitás)6. Bármely a, b, c ∈ K estén a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (asszociativitás)7. Létezik egy olyan K\ 0 -beli szám (jelöljük ezt 1-el), hogy minden

a ∈ K esetén a ∗ 1 = a. ( egység elem)8. Bármely a ∈ K\ 0 esetén létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük

ezt 1/a-val és nevezzük az a reciprokának ), amelyre a ∗ 1/a = 1.

9. Bármely a, b, c ∈ K estén a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c (disztributivitás)

Megjegyzés 2.2.2 Az itt felsorolt axiómák az ún. testaxiómák, amelyek

megtalálhatók a XII. osztályos tankönyvben.

Definíció 2.2.3 A teljesen rendezett kommutatív test olyan K kommu-

tatív test, amelyben értelmezett egy, az összeadással és a szorzással össze-

férheto ≤-vel jelölt teljes rendezési reláció. Ez azt jelenti, hogy az elozokilenc axiómák mellett teljesülnek az alábbiak is:

10. Bármely a, b ∈ K estén a ≤ b vagy b ≤ a;11. Bármely a, b, c ∈ A esetén, ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c;12. Bármely a, b ∈ A esetén, ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b;13. Bármely a, b, c ∈ A esetén, ha a ≤ b, akkor a+ c ≤ b+ c;14. Bármely a, b, c ∈ A, 0 ≤ c esetén, ha a ≤ b, akkor a ∗ c ≤ b ∗ c;

Definíció 2.2.4 Ha a ≤ b és a 6= b, akkor azt mondjuk, hogy, hogy a < b( vagys a kisebb mint b). Ha 0 < a, akkor azt mondjuk, hogy a pozitív, ha

pedig a < 0, akkor az a-t negatívnak nevezzük.

Megjegyzés 2.2.5 A továbbiakban a K mindig teljesen rendezett kom-

mutatív testet jelöl.

Igazolni lehet az alábbi egyszeru tulajdonságokat:

Tétel 2.2.6 1. A 0 és 1 elemek egyértelmuek, vagyis pontosan egy

zérus elem és pontosan egy egység elem létezik a K kommutatív test-ben.

2.2. KOMMUTATÍV TEST 27

2. Bármely a ∈ K esetén pontosan egy −a elem létezik és, ha a 6= 0,

akkor pontosan egy 1/a elem létezik.

3. Bármely a ∈ K esetén, ha a 6= 0, akkor a és −a közül az egyikpozitív, a másik pedig negatív.

4. 0 < 1.

Példa A racinális számok halmaza az ismert muveletekkel rendelkezik

ezzel a tulajdonsággal, de mégsem azonos a valós számok halmazá-

val, még valamilyen tulajdonsággal kel rendelkezzen a K, ahhoz,hogy valós számhalmaz legyen. Ezt a tulajdonságot a következo

axióma adja meg.

Axióma ( Választóelem axiómája) A K olyan A és B részhalmazait,amelyre bármely x ∈ A és y ∈ B esetén x ≤ y a (A,B) szim-

bolummal jelöljük és azt mondjuk, hogy (A,B) rendezett halmazpár

. Ha bármely ilyen (A,B) halmazpárhoz létezik olyan z ∈ K ( z-

t választóelemnek nevezzük) elem, amelyre x ≤ z ≤ y, akkor azt

mondjuk, hogy K-ban van választó elem. Egyszeruen azt is mond-hatjuk, hogy K-ban bármely rendezett halmazpárnak van választóeleme.

Definíció 2.2.7 Ha a K teljesen rendezett komutatív testben teljesül a

választóelem axiómája, akkor a K testet valós számrendszernek nevezzük.

Ebben az esetben a K elemeit valós számoknak nevezzük.

Megjegyzés 2.2.8 A valós számrendszert axiómatikusan értelmeztük.

Mint minden axiómatikus értelmezésnél, vele kapcsolatban is feltevodnek

az alábbi kérdések:

1. A valós számok axiómarendszere független-e, azaz a rendszer

valamely axiómája nem következik-e a többibol? Bebizonyítható,

hogy az itt ismertetett axiómarendszer nem független1. Nyilván-

valóan törekedünk arra, hogy az axiómarendszer független legyen, de

ez nem kötelezzo, mivel a függetlenség betartása sok esetben megne-

hezíti a didaktikai tárgyalást.

1Az indoklás megtalálható a Muntean I., Definitia axiomatica a numerelor reale,

Gazeta Matematica, Seria A, Vol. 78., nr. 5. 1973 dolgozatában.


2. A valós számok axiómarendszere nem ellentmondasos-e, azaz a

megengedett következtetési szabályokkal nem fejezheto-e ki egy olyan

állítás, amely igaz, és a tagadása is igaz? A kérdés visszaveze-

theto a természetes számok halmaza Peano-féle axiómarendszeronek

ellentmondás-mentességére, amit Hilbert gondolatainak továbbfe-

jlesztésével sikerült igazolni.

3. Van-e egyáltalán olyan halmaz, amely teljesíti a felsorolt axiómák

mindegyikét? Ezt a kérdést vissza lehet vezetni a természetes számok

halmazának létezésére. Röviden a válasz az, hogy ha léteznek ter-

mészetes számok, akkor megszerkeszheto a valós számrendszer is.

Megjegyezzük, hogy a halmazelmélet eddigi ismert axiómarendszere

elfogadja a termászetes számok létezését.

4. Láttuk, ha elfogadjuk a halmazelmélet axiómatikus felépítését2, akkor

létezik a valós számrendszer, ezért felvetodik az a kérdés, hogy va-

jon nincs-e több valós számrendszer, azaz nem létezik-e több olyan

teljesen rendezett kommutatív test, amely teljesíti a választóelem ax-

iómáját? Ezzel a kérdéssel kapcsolatban megemlítjük, hogy léteznek

különbözo számrendszerek. Ilyen számrendszert szerkesztett Dedek-

ing R., Cantor G., Weierstrass K. és mások. Bizonyos értelem-

ben mégis beszélhetünk a valós számok egyértelmuségérol, amit a

következo tételben jelentünk ki.

Tétel 2.2.9 3Ha K1 és K2 két olyan teljesen rendezett kommutatív test,amely teljesíti a választóelem axiómáját, akkor K1 és K2 izomorf, azazlétezik egy olyan f : K1 → K2 bijektív függvény, hogy bármely x, y ∈ K1esetén teljesülnek az alábbi feltételek:

1. f (x+ y) = f (x) + f (y) ;

2. f (x ∗ y) = f (x) ∗ f (y) ;3. Ha x ≤ y akkor és csakis akkor, ha f (x) ≤ f (y) .2Jelenleg nincs más út, mivel minden mélyebb matematikai kérdés a halmazelmélet

elentmondásmntességére vezetõdik vissza. A baj csak, akkor lesz, ha véletlenül valaki

ellentmondást talál a halmazelmélet axiómarendszerében, mivel akkor a matematika

nagyon sok állítása nem fogja megállni a helyét.3A tétel bizonyítását lásd a

Balázs Márton—Kolumbán József: Matematikai analizis, Dacia Könyvkiadó,

Kolozsvár, 1978.

2.3. RÉSZHALMAZOK 29

Megjegyzés 2.2.10 A tétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy eltek-

intve a szimbolikától, amit a valós számrendszer felépítésekor használunk,

csak egy valos számrendszer van.

A továbbiakban rögzítünk egy (R,+, ·,≤) valós számrendszert, ame-lyet egyszeruen R-el fogunk jelölni. Elemeit valós számoknak és a valósszámok halmazát is R-el jelöljük. A két fogalom azonos jelölése nem fog

gondot okozni, mivel a szövegösszefüggésbol mindik fogjuk tudni, hogy

melyikrol van szó.

2.3 A valós számok halmazának fontos részhal-

mazai

A 2.2.6 tétel alapján 0 < 1. Ha 2 szimbolummal jelöljük a 2 = 1 + 1 -et,

akkor 1 = 1+ 0 < 1+ 1 < 2. Hasonlóa 3 jelöli a 2+ 1-et, akkor 2 < 3 stb.

Definíció 2.3.1 Az R egy M részhalmazát induktívnak nevezzük, ha :

1. 1 ∈M ;2. bármely x ∈M estén x+ 1 ∈M.

Példa A valós számok halmaza rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

Definíció 2.3.2 A valós számok halmazának összes induktív részhalmazá-

nak a keresztmetszetét a természetes számok halmazának nevezzük és N-eljelöljük. Tehát

N =T

M⊆RM induktiv

M (2.1)

Az N halmaz elemeit természetes számoknak nevezzük.

Megjegyzés 2.3.3 A természetes számok halmaza nem más mint a valós

számok halmazának a benfoglalási relációra nézve legkisebb részhalmaza.

Tétel 2.3.4 4A természetes számok halmaza teljesíti a Peano-féle ax-

iómákat. Ezek a következok:

4Bizonyitást lásd a:

Balázs Márton, Matematikai analízis, Erdélyi Tankönyvtanács kiadásában,

Kolozsvár, 2000.


1. 1 ∈ N;2. ha n ∈ N, akkor n+ 1 ∈ N;3. ha n,m ∈ N és n+ 1 = m+ 1, akkor n = m;

4. ha n ∈ N, akkor n+ 1 6= 1;5. érvényesül az indukció elve, amit a következoképpen fogalmazunk

meg:

Rendeljünk minden n természetes számhoz egy T (n) állítást. Ekkor

a teljes indukció elve alapján fennáll a következo: 1) a T (1) állítás

igaz, és 2) ha bármely n természetes szám esetén a T (n) állítás igaz

volta maga után vonja a T (n+ 1) állítás igaz voltát, akkor T (k)

igaz minden k természetes számra.

Megjegyzés 2.3.5 Mivel mindegyik valós számrendszer tartalmaz olyan

részhalmazt, amely kielégíti a Peano-féle axiómákat. Ezért elvileg többféle

természetes számhalmaz lehetséges. Be lehet bizonyítani, hogy ezek

izomorfak.

Definíció 2.3.6 Az R valós számok halmazának azt a Z részhalmazát,

amelynek elemei a 0, az összes természetes szám és azok ellentetjei, az

egész számok halmazának nevezzük. Tehát

Z = x ∈ R / x ∈ N vagy − x ∈ N vagy x = 0A Z halmaz elemeit egész számoknak nevezzük.

Tétel 2.3.7 (Arkhimédesz-féle tulajdonság) Bármely x, y ∈ R es-

etén létezik olyan n természetes szám, hogy x < ny.

Megjegyzés 2.3.8 Bármely x ∈ R esetén létezik olyan m egész szám,

hogy m ≤ x < m+ 1.Ezt az m egész számot az x egészrészének nevezzük, és az [x] szim-

bolummal jelöljük. Az x = x− [x] szám az x törtrészének nevezzük.

Definíció 2.3.9 Az R valós számok halmazának a

Q = x ∈ R / ∃ n ∈ Nés ∃ m ∈ Z úgy, hogy x = m · 1/nrészhalmazát racionális számok halmazának, elemeit pedig racionális

számoknak nevezzük.


Megjegyzés 2.3.10 Az értelmezésekbol azonnal következik, hogy

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

Definíció 2.3.11 Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak,

iracionális számoknak nevezzük.

Bizonyítás 2 Ez a példa megmutatja, hogy vannak iracionális számok.

Tekintjük az alábbi halmazokat:

A =©x ∈ Q / 0 < x es x2 < 2

ª,

B =©y ∈ Q / 0 < y es 2 < y2

ª.

Nyilvánvalóan igaz, hogy 1 ∈ A, 2 ∈ B és bármely x ∈ A, y ∈ B es-

etén x < y. A választóelem létezésének axiómája alapján van olyan

z ∈ R, hogy x ≤ z ≤ y bármely x ∈ A, y ∈ B esetén. Mivel 1 ∈ Akövetkezik, hogy 0 < 1 ≤ z. Kimutatjuk, hogy z iracionális. Tételez-zük fel az ellentétesét, azaz z racionális. Össze kell hasonlítsuk z2−ta 2−vel.

I. eset. z2 < 2. Ez azt jelenti, hogy 2−z2 > 0.Mivel (1 + z)2−z2 >0 következik, hogy

2− z2(1 + z)2 − z2 > 0

Legyen most h olyan pozitív szám, amelyre

0 < h < min

½1,

2− z2(1 + z)2 − z2

¾Ekkor

(z + h)2 = z2 + 2hz + h2 ≤ z2 + h (2z + 1) < z2 + 2− z2 = 2.

Vagyis z + h ∈ A. De mivel a z az A halmaz felso korlátja

következik, hogy z + h ≤ z. Tehát

0 < h ≤ 0

s ez a két egyenlottlenség ellentmond egymásnak. Kapott ellent-

mondás azt eredményezi, hogy a z2 ≥ 2.


II. eset. Feltételezzük, hogy z2 > 2. Válasszuk meg most a k szá-

mot úgy, hogy fennálljanak a következok:

0 < k < 1;

k < z;

k <z2 − 22z + 1

.

Ezeknek az egyenlottlenségeknek a felhasználásával kapjuk, hogy

bármely t ≥ z − k esetén

t2 ≥ (z − k)2 = z2 − 2kz + k2= z2 − k (2z − k) > z2 − k (2z + 1)> z2 − z2 + 2 = 2.

Vagyis (z − k)-nál nagyobb vagy vele egyenlo szám nem tar-

tozhat hozzá az A halmazhoz. Ez pedig azt jelenti, hogy

(z − k)2 ≥ 2. Tehát z − k felso korlátja az A-nak. Ami aztjelenti, hogy z ≤ z − k. Vagyis

0 < k ≤ 0,

s ez a két egyenlottlenség ellentmond egymásnak. Kapott ellent-

mondás azt eredményezi, hogy a z2 ≤ 2.

Az I. és II. esetek azt mutatják, hogy

z2 = 2.

Most nézzük meg, hogy z racionális-e?

Feltételezzük, hogy z racionális, vagyis, hogy léteznek m,n szigorúan

pozitív egész számok, amelyre:

ln ko (m,n) = 1,

z2 =³mn

´2= 2.

Tehát

m2 = 2n2


Következésképpen m2 páros szám. ami azt jelenti, hogy m is páros.

Tehát m = 2p, ahol p egy egész szám.Innen

(2p)2 = 2n2,

n2 = 2p2.

Tehát n is páros szám. Ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy

m és n relatív primek.

Definíció 2.3.12 Bármely b ∈ R+ esetén azt az egyetlen nemnegatív szá-mot, amelynek négyzete b, a b szám négyzetgyökének nevezzük és

√b sz-

imbolummal jelöljük.

Definíció 2.3.13 Bármely n ≥ 2 természetes szám és b ∈ R+ esetén

azt az egyetlen nemnegatív számot, amelynek n-edik hatványa b, a b szám

n-dik gyökének nevezzük ésn√b szimbolummal jelöljük.

2.3.1 A valós számok egy geometriai interpretációja. Sz

ámegyenes

Egy egyenesen kijelölünk két pontot, az egyiket megfeleltetjük a 0-nak,

a másikat pedig az 1−nek. Akkor minden valós számnak kölcsönösen

egyértelmuen megfeleltetheto egy pont ezen az egyenesen. Vagyis min-

den valós számnak megfelel pontosan egy pont a szóban forgó egyene-

sen és fordítva, az egyenes pontjainak megfelel pontosan egy valós szém.

Egy ilyen egyenest számegyenesnek nevezzük. Ezen van egyhaladási irány

amely a 0-tol az 1 felé mutat.

Definíció 2.3.14 Minden a ∈ R számhoz hozzárendelünk egy, |a| szim-bolummal jelölt és abszolút értéknek (modulusznak) nevezett nemnegatív

számot a következo módon:

|a| =½

a ha a ≥ 0,−a ha a < 0.

Tétel 2.3.15 Bármely a, b ∈ R esetében:

1. |ab| = |a| |b| ;

2.¯ab

¯=

|a||b| ha b 6= 0;


3. |a+ b| ≤ |a|+ |b| ;4. ||a|− |b|| ≤ |a− b|

Definíció 2.3.16 A számegyenes két pontjának a-nak és b-nek a távol-

ságán a

d (a, b) = |a− b|számot értjük.

Tétel 2.3.17 Bármely a, b ∈ R esetében:

1. d (a, b) ≥ 0;2. d (a, b) akkor és csakis akkor, ha a = b.

3. d (a, b) = d (b, a) ;

4. Bármely c ∈ R esetén d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b) ;

2.3.2 Improprius számok

Definíció 2.3.18 Egy olyan x : N→ R függvényt valós számsorozatnak

nevezzük és (xn)n∈N-vel jelöljük.

Definíció 2.3.19 Legyen (xn)n∈N valós számsorozat. Azt mondjuk, hogyxn határértéke plusz végtelen (+∞ ), ha bármely b valós szám esetén létezik

egy olyan n0 küszöbbindex, amelyre xn > b bármely n ≥ n0 esetén.

Definíció 2.3.20 Legyen (xn)n∈N valós számsorozat. Azt mondjuk, hogyxn határértéke minusz végtelen (−∞ ), ha bármely b valós szám esetén

létezik egy olyan n0 küszöbbindex, amelyre xn < b bármely n ≥ n0 esetén.

Megjegyzés 2.3.21 Az, hogy az (xn) sorozat tart a +∞-hez nem a

tartás fogalma és a +∞ fogalmak közti összefüggést jelent, ehhez elozete-

sen a +∞ fogalmát kellett volna értelmezni, hanem csupán szövegrövidítés,

amelynek értelmét az elobbi értelmezés adja meg. Csak ilyen értelemben

lehet a ±∞ számnak tekinteni. Hogy ezta különbbséget érzékeltessük ezeket

improprius számoknak nevezzük

Tétel 2.3.22 Bármely a ∈ R esetén:


1. a+∞ = +∞+ a = +∞;

2. a−∞ = −∞+ a = −∞;

3. a (+∞) = (+∞) a = +∞ , ha a > 0;

4. a (+∞) = (+∞) a = −∞ , ha a < 0;

5. a+∞ = a

−∞ = 0;

6. +∞+∞ = +∞;

7. −∞−∞ = −∞;

8. (+∞) (+∞) = (−∞) (−∞) = −∞;

9. (+∞) (−∞) = (−∞) (+∞) = −∞;

Megjegyzés 2.3.23 A 0 (+∞) , (+∞) 0, 0 (−∞) , (−∞) 0, +∞ − ∞,−∞+∞, −∞− (−∞) , ±∞±∞ muveleteket nem értelmezhetjük.

Definíció 2.3.24 R = R∪ −∞,+∞ a kiterjesztett valós számok hal-maza.

2.3.3 Intervallumok

Az eddigiek során szóba jött már R több fontos részhalmaza, így N, Z, Q,R \Q, R+, R−, R∗. Most R-nek újabb fontos részhalmaztípusait ismerjükmeg.

Definíció 2.3.25 Legyen a, b két olyan valós szám, amelyre a < b. Az

a, b számokhoz hozzárendelhetjük az R alábbi részhalmazait:

1. a,b zárt intervallum:

[a, b] = x ∈ R / a ≤ x ≤ b ;

2. a,b nyílt intervallum:

(a, b) = x ∈ R / a < x < b ;


3. a,b alulról zárt, felülrol nyílt intervallum:

[a, b) = x ∈ R / a ≤ x < b ;

4. a,b alulról nyílt, felülrol zárt intervallum:

(a, b] = x ∈ R / a < x ≤ b ;

5. felülrol nem korlátos a, +∞ zárt intervallum:

[a,+∞) = x ∈ R / a ≤ x ;

6. felülrol nem korlátos a, +∞ nyílt intervallum:

(a,+∞) = x ∈ R / a < x ;

7. alulról nem korlátos −∞, a zárt intervallum:

(−∞, a] = x ∈ R / x ≤ a ;

8. alulról nem korlátos −∞, a nyílt intervallum:

(−∞, a) = x ∈ R / x < a ;

9. egyik irányban sem korlátos intervallum:

(−∞,+∞) = R.

2.3.4 Pont környezetei

Definíció 2.3.26 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú

környezetén a

C (a, d) = x ∈ R / |x− a| < drészhalmazt értjük.

Definíció 2.3.27 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú bal

oldali környezetén a

(a− d, a]intervallumot értjük.


Definíció 2.3.28 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú jobboldali környezetén a

[a, a+ d)

intervallumot értjük.

Definíció 2.3.29 Legyen a ∈ R. Ekkor az a pont környezete mindenolyan V részhalmaza az R-nek, amelyre létezik egy d > 0 szám úgy, hogy

C (a, d) ⊆ V.

Definíció 2.3.30 Legyen a ∈ R. Ekkor az a pont környezeteinek halmazátV (a)-val jelöljük.


Fejezet 3

Egyváltozós valós

függvények

3.1 Függvények megadása

A természet- és a muszaki tudományok egyik legfontosabb matematikai

eszköze a függvény. Függvény még leképzésnek vagy transzformációnak is

szokták nevezni.

Egy változó mennyiség függvénye egy másiknak, ha az elso változó

függ a második változótól. Például egy négyzet területe függ a négyzet

oldalának hosszától. Konkrétan

T = a2.

Egy mási példa függvényre a homérséklet méroszáma. Ha C-vel

jelöljük a homérsékletet Celsius fokban kifejezett értékét, akkor ez füg-

gvénye lesz F -nek, ahol F ugyanez a homérséklet Fahrenheit-fokban kife-

jezve. Konkrétan

C =5

9(F − 32)

A mindennapi életben sokszor említjük a függvény szót. Mondhatjuk

például, hogy a ”félévi matematika osztályzat függvénye a félév során

kifejtett (matematikai) tevékenységnek”. Természetesen elég nehéz volna

konkrét formulát találni erre a függvényre, de nem feltétlenül szükséges

matematikai képlet, ahhoz, hogy beszélhessünk arról, hogy egy változó

függvénye-e egy másiknak. Például az említett függvényt táblázat for-

májában is megadhatjuk:

39

40 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK

vizsga (50 %) 7 4 10

szemináriumi tevékenység (10%) 8 10 4

házi feladatok (10%) 8 10 4

ellenorzo1 (15%) 7 10 4

ellenorzo2 (15%) 7 10 4

átlag 7.2 7 7

jegy 7 4 10

Ez a függvény 5 paramétertol függ. Az ilyen függvényeket 5 változós

függvényeknek nevezzük. Mi ezen az órán csak 1 változós függvényekkel

fogunk foglalkozni.

Amint már az elozo órán említettük a függvényt a reláció segítségével

értelmezzük. Ennek alapján kijelenthetjük az alábbi értelmezést.

Definíció 3.1.1 Legyen A és B két halmaz. Az A és B halmazon

értelmezett f relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x ∈ A esetén

egyetlen olyan elem van B-ben, amelyre x f y. Ezt a relációt f : A → B

szimbolummal jelöljük. Arra a tényre, hogy x f y az f (x) = y jelölést

használjuk. Függvényi relációban az A − t értelmezési tartománynakB−éréktartománynak (értékkészletnek), az f (x) = y pedig leképzési sz-

abálynak nevezzük.

Megjegyzés 3.1.2 Ahhoz, hogy egy f függvényt megadottnak tekintsük

kell ismerni az A értelmezési tartományt, B értékkészletet és az f (x)

leképzési szabályt. Az x-et az f független változójának vagy argumentumá-

nak mondjuk, y-t pedig az f függo változójának nevezzük, mivel y értéke

általában függ az x értékétol. A közgazdaságtanban szokták x-et exogén,

míg y-t endogén változónak is nevezni.

Figyelem! Két függvény akkor és csakis akkor egyenlo, ha értelmezési

tartományuk, értékkészletük és leképzési szabályuk azonos.

Függvények megadási módjai: 1. Táblázatos formában.

2. Képletes formában.

3. Venn-diagramok segítségével.

4. Olyan szabályok segítségével, amelyek boztosítják, hogy a sz-

abályrendszer függvényt definiál.

3.1. FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA 41

Definíció 3.1.3 (Halmaznak függvény szerinti képe) Vegyük

valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ A. Ekkor azf (C) = y ∈ B / (∃)x ∈ Cúgy, hogy f (x) = y

halmaz, a C halmaznak f függvény szerini képe.

Definíció 3.1.4 (Halmaznak függvény szerini osképe) Vegyük

valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ B. Ekkor azf−1 (C) = x ∈ A / f (x) ∈ C

halmaz, a C halmaznak f függvény szerini osképe.

Definíció 3.1.5 (Függvény grafikonja) Az f : A → B függvény

grafikonja az

graf (f) = (x, f (x)) / x ∈ Ahalmaz.

Definíció 3.1.6 (Egyváltozós valós függvény) Az f : A→ B egyvál-

tozós valós függvénynek nevezzük, ha A,B ⊆ R.

Példák 1. Rendeljük minden számhoz a köbét: f : R→ R, f (x) = x3.

2. Tegyük fel, hogy egy termékfajta x-darabjának lejben számí-

tott eloállítási költsége

C (x) = 10000x√x+ 50000.

Mivel a darabszám csak pozitív lehet ezért a C értelmezési tar-

tománya az R+ értékkészlete pedig az [50000,+∞) interval-lum. Ha a mondott termékbol 100 darabot állítanak elo, akkor

az eloállítási költség C (100) = 10000 ∗ 100√100 + 50000 =10050000 lej lesz. 101 darab eloállítási költsége pedig C (101) =

10000 ∗ 101√101 + 50000 = 10200000 lej lesz. Tehát a ter-

melés egy darabbal történo növelési költsége ( a közgaszdászok

határköltségnek nevezik)

T (x) = C (x+ 1)− C (x) = 10000 (x+ 1)√x+ 1 + 50000− 10000x√x− 50000= 10000

¡(x+ 1)

√x+ 1− x√x¢ .

Például T (100) = 10200000 − 10050000 = 150 000 lej.


Definíció 3.1.7 Vegyük valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ A.Ekkor az

f |C : C → B,

f |C (x) = f (x)bármely x ∈ C esetén, függvényt az f függvénynek a C halmazra vonatkozóleszukítésének nevezzük.

Definíció 3.1.8 (Két függvény összetett függvénye) Legyen f :

A → B és g : C → D olyan függvények, amelyre f (A) ⊂ C. Ekkor

az

g f : A→ D,

g f (x) = g (f (x)) ,∀x ∈ A,függvényt a g és f függvények összetett függvényének nevezzük.

Példák 1. Adottak az f : [0, 1]→ [0, 2] , f (x) = 2x2 és g : [1,+∞)→[0, 1] , g (x) = 1

xfüggvények. Határozzuk meg az f g és a g f

függvényeket.

(a) f g : [1,+∞) → [0, 2], g f (x) = g (f (x)) = g¡2x2¢=

12x2.

(b) Mivel az f ([0, 1]) = [0, 2] nincs benne a g értelmezési

tarományában az [1,+∞) intervallumban, ezért a gf füg-gvényt nem lehet értelmezni.

3.2 Inverálható függvények

Definíció 3.2.1 Ha egy f : A→ B függvényre teljesül, hogy bármely y ∈B esetén pontosan egy olyan x ∈ A létezik, amelyre f (x) = y, akkor az f-et invertálható függvénynek nevezzük. Az f inverzét az f−1 szimbolummaljelöljük és a következoképpen értelmezzük:

f−1 : B → A,

f−1 (y) = x akkor és csakis akkor, ha f (x) = y.

Tétel 3.2.2 Ha az f : A→ B invertálható, akkor az f−1 is invertálhatóés¡f−1

¢−1= f.

3.2. INVERÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK 43

Definíció 3.2.3 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor injektív, ha

bármely x1, x2 ∈ A esetén, abból a ténybol, hogy f (x1) = f (x2) következik,hogy x1 = x2.

Definíció 3.2.4 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor szürjektív,

ha bármely y ∈ B esetén létezik x ∈ A úgy, hogy ténybol, hogy f (x) = y.

Definíció 3.2.5 Az f : A → B függvény akkor és csakis akkor bijektív,

ha injektív és szürjektív.

Tétel 3.2.6 Az f : A→ B akkor és csakis akkor invertálható, ha bijektív.

Tétel 3.2.7 Legyen f : A → B és g : C → D olyan invertálható füg-

gvények, amelyre f (A) ⊂ C. Ekkor a g f : A→ D függvény is invertál-

ható és(g f)−1 = f−1 g−1.

Példák 1. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = ax + b (a 6= 0) füg-gvény bijektív, határozzuk meg az inverzét és rajzoljuk meg az

f grafikonját, ha a = 1 és b = 2. Mi történik, ha a = 0?

(a) Injektívitás: bármely x1, x2 ∈ R esetén, ha f (x1) =

f (x2)⇒ ax1 + b = ax2 + b ⇒ a (x1 − x2) = 0 ⇒ x1 = x2.

(b) Szürjektívitás: bármely y ∈ R esetén tekintjük az f (x) = yegyenletet. Mivel ennek az ax + b = y egyenletnek van

x = y−bamegoldása, következik, hogy f szürjektív.

(c) Invertálhatóság: mivel f bijektív következik, hogy invertál-

ható is. Az f inverze az f−1 : R→ R, f (x) = x−ba

füg-

gvény.

-6

-4

-2

0

2

-4 -2 2 4

Az f (x) = x− 2 grafikonja.


(d) Ha a = 0, akkor f nem bijektív függvény.

2. Tanulmányozzuk az f : R→ R, f (x) = x2 − 2x függvény in-vertálhatóságát és rajzoljuk meg a grafikonját. Válasszuk úgy

meg az f értelmezési tartományát és értékkészletét, hogy az így

kapott függvény bijektív legyen. Ebben az esetben határozzuk

meg az f inverzét.

(a) Injektívitás: legyen x1 = 2, x2 = 0 . Azonnal kiszámítható,

hogy f (x1) = f (x2) , de mivel x1 6= x2 következik, hogy

f nem injektív.

(b) Szürjektivítás: Legyen y = −3. Ekkor az x2 − 2x = −3egyenletnek nincs valós megoldása, tehát a függvény nem

szürjektív.

(c) f-1

0

1

2

3

-1 1 2 3

Az f (x) = x2 − 2x grafikonja(d) Legyen az értelmezési tartomány [1,+∞) intervallum, az

értékkészlet pedig, a [−1,+∞) intervallum. Ekkor a g :[1,+∞) → [−1,+∞) , g (x) = x2 − 2x függvény bijektív.A g inverze a g−1 : [−1,+∞) → [1,+∞) , g−1 (x) = 1 +√1 + x függvény.

3.3 Muveletek valós függvényekkel

Eddig tulajdonképpen három olyan általános eljárást (leszukítés,

összetevés, invertálás) ismertünk meg, amelyekkel új függvényeket

tudtunk eloállítani. Most a továbbiakban csak egyváltozós valós füg-

gvényekkel foglalkozunk.

3.4. MONOTON FÜGGVÉNYEK 45

Definíció 3.3.1 Bármely f : R→ R és bármely c ∈ R esetén a (cf)

függvényt, az alábbi módon értelmezzük:

(cf) : R→ R,

(cf) (x) = cf (x) ,∀x ∈ R.

Definíció 3.3.2 Bármely f : R→ R és g : R→ R függvények esetén az(f + g) függvényt, az alábbi módon értelmezzük:

(f + g) : R→ R,

(f + g) (x) = f (x) + g (x) ,∀x ∈ R.

Definíció 3.3.3 Bármely f : R→ R és g : R→ R függvények esetén az(f · g) függvényt, az alábbi módon értelmezzük:

(f · g) : R→ R,

(f · g) (x) = f (x) · g (x) ,∀x ∈ R.

Definíció 3.3.4 Bármely f : R→ R jelöljük D = x ∈ R / f (x) 6= 0halmazt. Az 1/f függvényt, az alábbi módon értelmezzük:

(1/f) : D→ R,

(1/f) (x) = 1/f (x) ,∀x ∈ R.

3.4 Monoton függvények

A legtöbb esetben nem tudjuk ábrázolni a függvény grafikonját, hanem

csak a grafikon néhány pontját. Gyakorlatilag a különbözo számítások is

csak véges sok függvényérték kiszámítását teszik lehetové. Feltevodik az

a kérdés, hogy vajon nem lehet-e ebbol a néhány pontból következtetni

a függvény grafikonjára? A válasz az, hogy valóban vannak olyan füg-

gvények, amelyek grafikonja megszerkeszheto két pont ismeretében. Ezek

a lineáris függvények. A másik kérdés, hogy a megszerkesztett pontok is-

meretében milyen tulajdonságokat lehet felismerni? Példának okáért ilyen

tulajdonság a monotonítás.

Definíció 3.4.1 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton növekvo, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 ≤ x2 esetén f (x1) ≤ f (x2).


Definíció 3.4.2 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton csökkeno, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 ≤ x2 esetén f (x1) ≥ f (x2).

Definíció 3.4.3 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvényszigorúan monoton növekvo, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 < x2 esetén

f (x1) < f (x2) .

Definíció 3.4.4 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvényszigorúan monoton csökkeno, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 < x2 esetén

f (x1) > f (x2) .

Definíció 3.4.5 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton, ha monoton csökkeno vagy monoton növekvo.

Definíció 3.4.6 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) füg-gvény szigorúan monoton, ha szigorúan monoton csökkeno vagy szigorúan

monoton növekvo.

Példák 1. Az egyváltozós elsofokú f : R→ R, f (x) = ax+b függvény

monoton. Éspedig,

-ha a > 0, akkor f szigorúan növekvo,

-ha a < 0, akkor f szigorúan csökkeno,

-ha a = 0, akkor f állandó.

2. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = x2 + bx + c

függvény nem monoton.

3. Az egyváltozós harmadfokú f : R→ R, f (x) = x3+ bx2+ cx+d függvény monoton növekvo, ha f -nek csak egy valós gyöke

van. Ha f -nek három különbözo valós gyöke van, akkor f nem

monoton.

3.5 Konvex és konkáv függvények

Definíció 3.5.1 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) . függvény kon-vex, ha bármely x1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén a grafikon (x1, f (x1)) ,

(x2, f (x2)) pontjait összeköto szakasz minden pontja a függvény grafikonja

felett van. Vagyis bármely z ∈ [x1, x2] esetén¯¯ z f (z) 1

x1 f (x1) 1

x2 f (x2) 1

¯¯ ≥ f (z)

3.6. PÁROS ÉS PÁRATLAN FÜGGVÉNYEK 47

Definíció 3.5.2 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) . függvény kon-vex, ha bármely x1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén a grafikon (x1, f (x1)) ,

(x2, f (x2)) pontjait összeköto szakasz minden pontja a függvény grafikonja

alatt van. Vagyis bármely z ∈ [x1, x2] esetén¯¯ z f (z) 1

x1 f (x1) 1

x2 f (x2) 1

¯¯ ≤ f (z)

Tétel 3.5.3 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) függvény akkor éscsakis akkor konvex, ha bármely x1, x2 ∈ I és a ∈ [0, 1] esetén

f ((1− a)x1 + ax2) ≤ (1− a) f (x1) + af (x2) .

Tétel 3.5.4 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) függvény akkor éscsakis akkor konkáv, ha bármely x1, x2 ∈ I és a ∈ [0, 1] esetén

f ((1− a)x1 + ax2) ≥ (1− a) f (x1) + af (x2) .

Példák 1. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = x2 + bx+ cfüggvény nem konvex.

2. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = −x2 + bx + cfüggvény nem konkáv.

3. Az egyváltozós elsofokú f : R→ R, f (x) = ax + b függvény

konkáv is és konvex is.

4. Az egyváltozós harmadfokú f : R→ R, f (x) = x3+ bx2+ cx+d nem is konkáv és nem is konvex, de nannak részei, ahol a

függvény konvex és vannak részei, ahol a függvény konkáv.

3.6 Páros és páratlan függvények

Definíció 3.6.1 Azt mondjuk, hogy az f : D→ R páros függvény, ha:

1. bármely x ∈ D esetén −x ∈ D;2. bármely x ∈ D esetén f (−x) = f (x) .

Definíció 3.6.2 Azt mondjuk, hogy az f : D→ R páratlan függvény, ha:


1. bármely x ∈ D esetén −x ∈ D;2. bármely x ∈ D esetén f (−x) = −f (x) ;

Megjegyzés 3.6.3 Az f : D → R páros, ha grafikonja szimetrikus az

Oy tengelyre nézve. Az f : D → R páratlan, ha grafikonja szimetrikus azorigora nézve.

Példák 1. Az f : R→ R, f (x) = xk, k ∈ 1, 2, 3, ... függvény párosha k páros és páratlan, ha k páratlan.

2. Az f : R→ R, f (x) = sinx páratlan függvény.

3. Az f : R→ R, f (x) = cosx páros függvény.

4. Az f : R→ R, f (x) = x2 + x nem is páros és nem is páratlan

függvény.

3.7 Periodikus függvények

Definíció 3.7.1 Azt mondjuk, hogy az f : R → R periodikus függvény,

ha létezik egy T > 0 szám úgy, hogy bármely x ∈ R eseténf (x+ T ) = f (x) .

Ha létezik ilyen szám akkor T -t az f periodusának nevezzük. Ha létezik,

egy legkisebb T periodus, akkor ezt alapperiodusnakvagy foperodusnak

nevezzük.

Példák 1. A trigonometrikus függvények periódikusak

(a) sin : R→ R alapperiódusa T = 2π;(b) cos : R→ R alapperiódusa T = 2π;(c) tan : R\©(2k + 1) π

2/ k ∈ Zª→ R alapperiódusa T = π;

(d) cot : R\ kπ / k ∈ Z→ R alapperiódusa T = π;

2. Az f : R→ R, f (x) = konst függvény periódikus, de nincs

alapperiodusa.

3. Az f : R→ R,

f (x) =

½4x ha x ∈ £k, (2k + 1) 1

2

¤,

−4 (x− 1) ha x ∈ ¡(2k + 1) 12, k + 1

¢,

ahol k ∈ Z. (fürészfog függvény) periódikus, alapperiodusa

T = 1.

Fejezet 4

Sorozatok

4.1 Elozmények

Induljunk ki egy, az eddigiek során már szóba jött problémáról. Láttuk,

hogy minden pozitív számnak, így például 2-nek is van négyzetgyöke.

Hogyan lehet közelítoleg ezt kiszámítani? Ehhez persze azt is tisztázni kell,

hogy mit értünk közelíto eloállításon. Lényegében a következot: bármilyen

hibakorlátot adunk is (legyen ez például 0.0001), meg tudunk-e határozni

olyan, mondjuk racionális számot, amely ennél a hibakorlátnál jobban

megközelíti a√2-t, vagyis olyan r ∈ Q számot, amelyre például fennáll az¯

r −√2¯≤ 0.0001

egyenlotlenség. Azért beszélünk éppen racionális számokról, mert világos,

hogy gyakorlatilag csak ilyenekkel tudunk számolni. A most kiragadott

feladat csupán csak egy a tömérdek feladat közül, amelyekre a sorozatok

konvergenciája fogalmának birtokában majd választ lehet adni.

4.2 Sorozatok

Definíció 4.2.1 Az f : N→ R függvényt valós számsorozatnak nevezzük.A sorozat tagjait a1 = f (1) , a2 = f (2) , ..., an = f (n) szimbolumokkal

jelöljük. Az an-t a sorozat általános tagjának nevezzük. Az an általános

tagú sorozatot az (an)n≥1-vel jelöljük.

49

50 FEJEZET 4. SOROZATOK

Megjegyzés 4.2.2 A függvények egyenloségének a fogalmából adódik,

hogy két sorozat akkor és csak akkor egyenlo, ha bármely index esetében

az azonos indexu tagjaik egyenlok.

Példa 1. Ha f (n) = 1n, akkor a sorozat általános tagja an =

1n. Írjuk

fel a sorozat elso öt elemét!

a1 =1

1= 1,

a2 =1

2,

a3 =1

3,

a4 =1

4,

a5 =1

5.

2. Írjuk fel az an+1 = an + 2 sorozat elso öt elemét, ha a1 = 1!

a1 = 1,

a2 = 3,

a3 = 5,

a4 = 7,

a5 = 9.

Az elso példában a sorozat általános tagját explicit formában, a má-

sodik példában pedig rekurzív formában adtuk meg.

Feladat. A második példában megadott sorozat általános tagja anali-

tikus formában:

an = 2n− 1.Figyelem! A sorozat definiciójából következik, hogy a sorozat néhány

tagjának a megadása nem határozza meg a sorozatot, ha nem füz-

zük hozzá a képzési szabályt. Például matematikailag értelmetlen a

következo sorozat:

1, 2, 4, 6, 8, 10, ...,

mivel teljesen jogosan lehetne mondani, hogy csupa 10-essel, vagy

csupa 8-assal folytatodik, hiszen ezek a kezdo tagok egyáltalán nem

határozzák meg a továbbiakat.

4.3. ALAPVETO SOROZATOK 51

4.3 Alapveto sorozatok

4.3.1 Számtani sorozatok

Definíció 4.3.1 Az (an)n≥1 sorozatot számtaninak (vagy számtani hal-adványnak) mondjuk, ha bármely tagjának és az azt megelozo tagnak a

különbsége állandó érték. Jelölje d az állandó különbséget, a definició sz-

erint:

an = an−1 + d.

Ez a tulajdonság az jelenti, hogy a sorozat bármely tagja az elozobol

a d hozzáadásával jön létre. Tehát a számtani sorozat általános tagját az

alábbi képlettel számítjuk ki:

a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = a1 + 3d,

...

an = a1 + (n− 1) d.

Megjegyzés 4.3.2 A számtani sorozat elnevezés onnan származik, hogy

a sorozat bármely tagja számtani közepe két szomszédos tagjának, vagyis

an =an−1 + an+1

2

Megjegyzés 4.3.3 A d különbség ismeretében a számtani sorozat

bármely tagja eloállítható.

Definíció 4.3.4 Jelöljük Sn-nel a sorozat elso n tagjának az összegét.

Tétel 4.3.5

Sn =n (a1 + an)

2,

és

Sn =n (2a1 + (n− 1) d)

2

Feladat! A számtani sorozat elso eleme 3, 17-dik eleme 27. Hányadik

eleme a sorozatnak 15. Válasz: 9-dik.


4.3.2 Mértani sorozatok

Definíció 4.3.6 Az (an)n≥1 sorozatot mértaninak (vagy mértani halad-ványnak) mondjuk, ha bármely tagjának és az azt megelozo tagnak a

hányadosa állandó érték. Jelölje q az állandó hányadost, akkor defini-

ciónk szerintan+1

an= q.

Ez a tulajdonság az jelenti, hogy a sorozat bármely tagja az elozobol a

q szorzásával jön létre. Tehát a mértani sorozat általános tagját az alábbi

képlettel számítjuk ki:

a2 = a1q,

a3 = a2q = a1q2,

a4 = a3q = a1q3,

...

an = a1qn−1.

Megjegyzés 4.3.7 A mértani sorozat elnevezés onnan származik, hogy

a sorozat bármely tagja mértani közepe két szomszédos tagjának, vagyis

a2n = an−1an+1

Megjegyzés 4.3.8 A q hányados ismeretében a mértani sorozat bármely

tagja eloállítható.

Definíció 4.3.9 Jelöljük Sn-nel a sorozat elso n tagjának az összegét.

Tétel 4.3.10

Sn = a1qn − 1q − 1 .

Feladat! Írjuk fel a mértani sorozat elso hat tagját, ha elso tagja a1 =

0.4, 6−dok tagja pedig 180. Válasz: 2

5, 15, 110, 120, 140.

4.4. KONVERGENS SOROZATOK 53

4.3.3 A mértani sorozat alkalmazásai: kamatoskamat-

számítás

Ha egy t-vel jelölt összeg p%-kal kamatozik a bankban , egy év alatt¡1 + p

100

¢-szorosára növekszik.

Elso év elején:

a1 = t

Második év elején:

a2 = t³1 +

p

100

´Harmadik év elején:

a3 = a2

³1 +

p

100

´= t

³1 +

p

100

´2Az n-dik év elején:

an = t³1 +

p

100

ń−1összegünk lessz a bankban. Jelöljük q =

¡1 + p

100

¢-vel a hányadost. Pénzü-

gyben ezt a mennyiséget kamattényezonek nevezik.

Tétel 4.3.11 A kamatoskamat-számítás képlete. n-dik év végén p ka-

matlább esetén a t kezdoösszeg

tn = t³1 +

p

100

ń= tqn

összegre no.

Feladat Mennyi pénzünk lessz a bankban 100-év múlva, ha állandó 30%

kamatláb mellett leteszünk az év elején 2-lejt a bankba. q = 1+ 30100

=

1. 3. Alkalmazuk a kamatoskamat képletét:

t100 = 2

µ13

10

¶100≈ 495.8 70.000.000 lej.

4.4 Konvergens sorozatok

Mielott a sorozatok konvergenciáját értelmeznénk vizsgáljunk meg két tu-

lajdonságot.

Vegyük az an = 2n általános tagú sorozatot. Ábrázoljuka a sorozat

tagjait az Oxy koordinátarendszerben. Az alábbi grafikont kapjuk:


f

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4

A (2n)n≥1 sorozat grafikonja.

Látható, hogy a sorozat tagjai növekednek. A függvényeknél megis-

mert monotonítási szabályokat felhasználva értelmezhetjük a sorozatok

monotonítását.

Definíció 4.4.1 Az (an)n≥1 sorozat monoton növekvo, ha bármely n ≥ 1esetén

an+1 ≥ an.Definíció 4.4.2 Az (an)n≥1 sorozat monoton csökkeno, ha bármely n ≥ 1esetén

an+1 ≤ an.Vegyük az an =

¡12

¢náltalános tagú sorozatot. Ábrázoljuka a sorozat

tagjait az Oxy koordinátarendszerben. Az alábbi grafikont kapjuk:

¡12

¢n 0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4n

Az¡¡12

¢n¢n≥1 sorozat grafikonja


Látható, hogy ez a sorozat monoton csökkeno. De még egy tulajdon-

sággal rendelkezik, minden tagja 0 és 1 között van. Az ilyen sorozatokat

korlátos sorozatnak nevezzük. Általában a korlátosságot az alábbi módon

értelmezzük.

Definíció 4.4.3 Az (an)n≥1 sorozat alulról korlátos, ha találunk egy b ∈ Rszámot úgy, hogy esetén

b ≤ an.Definíció 4.4.4 Az (an)n≥1 sorozat felülrol korlátos, ha találunk egy c ∈R számot úgy, hogy esetén

an ≤ c.Definíció 4.4.5 Az (an)n≥1 sorozat korlátos, ha alulról és felülrol is kor-látos.

Mielott rátérnénk a konvergencia fogalmának ismertetésére, figyeljük

meg, hogy az¡12

¢nsorozat tagjai, ahogy az n no közelebb kerülnek az Ox

tengelyhez (vagyis értékeik tartnak a 0-hoz) . Ezt a ”közelebb kerülést”

fogalmazzuk meg a sorozat konvergenciájának értelmezésében.

Definíció 4.4.6 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a c ∈ R szám, ha min-den olyan nyílt (p, q) intervallum, amely tartalamzza a c-t, véges számú

tag kivételével tartalmazza az (an)n≥1 tagjait is. Más szóval, bármely a c-ttartalmazó (p, q) intervallumhoz lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszá-mot, hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (p, q) . Azt a tényt, hogy a sorozathatárértéke c így jelöljük: lim

n→+∞an = c.

Definíció 4.4.7 Az (an)n≥1 sorozat konvergens, ha a sorozatnak vanhatárértéke. Ellenkezo esetben a sorozat divergens.

Definíció 4.4.8 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a +∞, ha minden p ∈ Rszám esetén lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszámot, hogy minden

n ≥ n0 számra an ≥ p. Azt a tényt, hogy a sorozat határértéke +∞ így

jelöljük: limn→+∞an = +∞.

Definíció 4.4.9 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a −∞, ha minden p ∈ Rszám esetén lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszámot, hogy minden

n ≥ n0 számra an ≤ p. Azt a tényt, hogy a sorozat határértéke −∞ így

jelöljük: limn→+∞an = −∞.


Az abszolútérték segítségével a határérték fogalmát másképpen is kife-

jezhetjük.

Tétel 4.4.10 (ε−os konvergencia-kritérium) limn→+∞an = c akkor és

csakis akkor, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik egy n0 ∈ N küszöbszámúgy, hogy minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε.

Bizonyítás 3 Legyen limn→+∞ an = c és ε > 0. A konvergencia értelmezése

alapján létezik a (c− ε, c+ ε) intervallumhoz egy n0 ∈ N küszöbszám úgy,

hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (c− ε, c+ ε) . Ami azt is jelenti, hogy

minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε.

Fordítva: Legyen (p, q) egy olyan intervallum, amely tartalmazza a c-t.

Jelöljük ε = min c− p, q − c . A feltétel szerint létezik n0 ∈ N küszöb-

szám úgy, hogy minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε. De ez azt is jelenti,

hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (c− ε, c+ ε) ⊆ (p, q) .

Tétel 4.4.11 A konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

Bizonyítás 4 Tételezzük fel, hogy (an)n≥1 sorozatnak két különbözo

határértéke létezik. Legyenek ezek a c1 < c2 számok. Válasszuk ε =c2−c13

számot. Akkor az ε-os konvergencia kritérium alapján léteznek az n1 il-

letve n2 küszöbbszámok úgy, hogy bármely n ≥ max n1, n2 esetén:

|an − c1| ≤ εés |an − c2| ≤ ε.

Vagyis minden n ≥ max n1, n2 esetén:

c2 − c1 = |c2 − c1|≤ |c2 − an − c1 + an|≤ |c2 − an|+ |c1 − an|≤ 2ε = 2c2 − 2c1

3.

Ahonnan kapjuk, hogy 3c2−3c1 ≤ 2c2−2c1. Ami azt jelenti, hogy c2 ≤ c1.Ez pedig ellentmond a feltevésnek. Következésképpen a tételben megfogal-

mazott kijelentés igaz.

Tétel 4.4.12 Minden konvergens sorozat korlátos.


Bizonyítás 5 Tételezzük fel, hogy limn→+∞ an = c. Válasszuk p = c − 1 és

q = c + 1 számokat. A konvergencia értelmezése alapján létezik n0 ∈ Nküszöbszám úgy, hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (p, q) . Legyen

x = min a1, a2, ..., an0 , p ésy = max a1, a2, ..., an0 , q .

Akkor bármely n ≥ 1 esetén an ∈ [x, y] . Ami azt jelenti, hogy az an sorozatkorlátos.

Általában elég nehéz feladat annak eldöntése, hogy egy sorozat-

nak van-e határértéke. Az alábbi tulajdonságok bizonyos esetekben ezt

megkönnyítik. Ezeknek a lényege, hogy konvergens sorozatokból kiindulva

bizonyos muveletek elvégzése után újra konvergens sosrozatokhoz jutunk.

Tétel 4.4.13 Ha (an)n≥1 és (bn)n≥1 konvergens számsorozatok és λ ∈ R,akkor

1. limn→+∞ (an + bn) = lim

n→+∞an + limn→+∞ bn;

2. limn→+∞ (λan) = λ lim

n→+∞an;

3. limn→+∞ (an · bn) = lim

n→+∞an · limn→+∞ bn;

4. limn→+∞

³1an

´= 1

limn→+∞

an, ha bármely n ∈ N esetén an 6= 0 és

limn→+∞an 6= 0.

5. ha an ≤ bn egyenlotlenségbol következik, hogy limn→+∞ an ≤ lim

n→+∞ bn.

6. Ha l : N→ N szigorúan növekvo függvény, akkor limn→+∞al(n)

= limn→+∞an

Bizonyítás 6 Legyen limn→+∞ an = a, lim

n→+∞ bn = b és ε > 0. Akkor az ε-

os konvergencia kritérium alapján léteznek az n1 illetve n2 küszöbbszámok

úgy, hogy bármely n ≥ max n1, n2 = n0 esetén:

|an − a| ≤ ε/2és |bn − b| ≤ ε/2.


Ekkor

|an + bn − a− b| ≤ |an − a | + | bn − b| ≤ ε

Ami azt jelenti, hogy limn→+∞ (an + bn) = a+ b.

Hasonló módon igazoljuk a többi összefüggést is.

Megjegyzés 4.4.14 A 4.4.13 tátel 6. pontjában megszerkesztett soroza-

tot az (an)n≥1 részsorozatának nevezzük. Ezzel a megfogalmazással a 6.pont azt mondja ki, hogy egy konvergens sorozat bármely részsorozatának

a határértéke megegyezik a sorozat határértékével.

Feladat Igazoljuk, hogy limn→+∞

1n= 0! Legyen ε > 0. Abból, hogy¯

1n− 0¯≤ ε következik n ≥ 1

ε. Ha választjuk n0 =

£1ε

¤+ 1, akkor az

ε-os konvergencia kritérium alapján következik a kért egyenloség.

Egy másik fontos fogalom, amelynek segítségével nagyon sok sorozat

konvergenciáját vizsgálni lehet az a Cauchy-féle sorozat fogalam.

Megjegyzés 4.4.15 Hasonlóan igazolható, hogy ha az (an)n≥1 sorozathatárértéke ±∞, akkor az (1/an)n≥1 sorozat határértéke 0.Definíció 4.4.16 Azt mondjuk, hogy az (an)n≥1 Cauchy-sorozat, ha

bármely ε > 0 szám esetén létezik egy n0 ∈ N küszöbszám úgy, hogy min-

den n,m ≥ n0 estén |an − am| ≤ ε.

Tétel 4.4.17 Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

Bizonyítás 7 Legyen limn→+∞ an = a. Akkor az ε-os konvergencia

kritérium alapján létezik az n0 küszöbbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0és m ≥ n0 esetén :

|an − a| ≤ ε/2és |am − a| ≤ ε/2.

Ekkor

|an − a− am+a| ≤ |an − a | + | am − a| ≤ ε

Ami azt jelenti, hogy az (an)n≥1 Cauchy-sorozat.

Tétel 4.4.18 Ha (an)n≥1 sorozat növekvo és felülrol korlátos, akkor kon-vergens és

limn→+∞ an = sup an / n ∈ N


Bizonyítás 8 Legyen L = sup an / n ∈ N és ε > 0. Az L − ε nem

lehet a sorozatnak felso korlátja, mert akkor nem L nem lenne a sorozat

legkisebb felso korlátja, vagyis akkor L > sup an / n ∈ N . Ezek szerintvan a sorozatnak egy olyan an0 tagja amelyre L− ε < an0 . Mivel a sorozatnövekvo következik, hogy minden n ≥ n0 esetén an > L − ε és an ≤ L.Amibol következik, hogy a sorozat tagjai az n0 küszömbindextol kezdve az

(L− ε, L+ ε) intervallumban vannak, ami a definició szerint azt jelenti,

hogy limn→+∞ an = L.

Tétel 4.4.19 Ha (an)n≥1 sorozat csökkeno és alulról korlátos, akkor kon-vergens és

limn→+∞an = inf an / n ∈ N

Bizonyítás 9 Ha (an)n≥1 sorozat csökkeno és alulról korlátos, akkor a(−an)n≥1 sorozat növekvo és felülrol korlátos. Tehát

limn→+∞−an = sup −an / n ∈ N .

Vagyis

limn→+∞ an = inf an / n ∈ N .

Tétel 4.4.20 (Cesaro lemma) Minden korlátos sorozatnak van kon-

vergens részsorozata.

Tétel 4.4.21 Minden Cauchy sorozat korlátos.

Teljesen hasonlóan igazoljuk mint a 9.3.3tételt.

Tétel 4.4.22 Ha egy Cauchy sorozatnak van egy konvergens részsorozata,

akkor a sorozat is konvergens.

Tétel 4.4.23 (Cauchy-féle konvergencia-kritérium) A valós

számok halmazában egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-

sorozat.

Bizonyítás 10 A 4.4.21tétel alapján minden Cauchy sorozat korlátos,

tehát a Cesaro lemma alapján van a sorozatnak egy konvergens rész-

sorozata. Ami a 5.3.8 tétel alapján azt eredményezi, hogy a sorozat is

konvergens és a tétel szerint a határértéke megegyezik a megszerkesztett

részsorozat határértékével.


A Cauchy-féle konvergencia-kritériumot szokás belso kritériumnak

is nevezni, mivel csak a sorozat tagjaira ró ki feltételeket, asorozat

határértéke nem szerepel benne.

Nagyon fontos kritérium a sorozatok határértékének kiszámításakor az

alábbi tétel.

Tétel 4.4.24 (Cesaro-Stolz ) Tekintjük az (an)n≥1 és (bn)n≥1 soroza-tokat. Ha

(i) (bn)n≥1 szigorúan növekvo;

(ii) limn→+∞ bn = +∞;

(iii) limn→+∞

an+1−anbn+1−bn = l ∈ R;

akkor

limn→+∞

an

bn= l.

Következmény. Ennek a tételnek három fontos következménye van.

1. Ha az (an)n≥1 sorozat határértéke a, amely lehet véges vagyvégtelen, akkor a sorozat számtani közeparányossának is a

határértéke a, vagyis

limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = a.

2. Ha az (an)n≥1 pozitív tagú sorozat határértéke a véges szám,akkor a sorozat mértani közeparányossának is a határértéke a,

vagyis

limn→+∞

n√a1a2...an = a.

3. Ha az (an)n≥1 pozitív tagú sorozat esetén limn→+∞

an+1an

=

a,amely lehet véges vagy végtelen, akkor limn→+∞ an = a.

Bizonyítás 11 Felhasználjuk a Cesaro-Stolz tételt.


1. Legyen bn = n. Feltételezzük, hogy limn→+∞ an = a véges. Akkor a

Cesaro-Stolz tétel feltételei teljesülnek és

limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = lim

n→+∞(a1 + a2 + ...+ an+1)− (a1 + a2 + ...+ an)

n+ 1− n= limn→+∞an+1 = a.

Ha limn→+∞ an = +∞, akkor feltételezzük, limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n =

a hogy léteznek egy 0 = n0 < n1 < n2 < n3 < ... ∈ N küszöbindexekúgy, hogy bármely i = 1, 2, 3, .. esetén ani−1+1+ani−1+2+...+ani ≥ i.Akkor bármely k ∈ N−re

(a1 + a2 + ...+ ank) /nk

≥ (an0+1 + an0+2 + ...+ an1) /nk + ...+¡ank−1+1 + ank−1+2 + ...+ ank

¢/nk

≥ (1 + 2 + ...nk) /nk = (1 + nk)nk/nk= 1 + nk.

Tehát az ((a1 + a2 + ...+ an) /n)n≥1 sorozatnak létezik az

((a1 + a2 + ...+ ank) /nk)k≥1 részsorozata, amelyre

limk→+∞

(a1 + a2 + ...+ ank) /nk ≥ limk→+∞

1 + nk = +∞.

Következésképpen

limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = +∞.

teljesen hasonlóan igazoljuk a következmények többi alpontját is.

4.4.1 Nevezetes sorozatok és határértékük

4.4.2 Mértani sorozat

Tétel 4.4.25 Legyen a mértani sorozat általános tagja an = qn. Akkor

limn→+∞ q

n =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+∞ ha q > 1,

1 ha q = 1,

0 ha −1 < q < 1,nincs hatarerteke ha q ≤ −1.


Bizonyítás 12 Ha q > 1, akkor q = 1 + h alakba írható, ahol h > 0. A

Bernoulli-féle egyenlotlenség alapján

qn = (1 + h)n ≥ 1 + nh.

Az egyenlotlenség jobb oldalának határértéke +∞. Következésképpen

a4.4.13 tétel 5. alpontja alapján

limn→+∞ q

n ≥ limn→+∞ 1 + nh = +∞.

Tehát

limn→+∞ q

n = +∞.

Ha q = 1, akkor nyilvánvaló, hogy limn→+∞ q

n = 1

Ha |q| < 1, akkor 1|q| > 1. Tehát

limn→+∞

µ1

|q|¶n

= +∞.

Ezért a 4.4.15 megjegyzés szerint

limn→+∞ q

n = limn→+∞

1³1|q|ń = 0.

Ha q < −1, akkor |q| > 1, ezért a fentiek szerint

limn→+∞ |q|

n = +∞.

Ekkor a páros tagokból álló részsorozat határértéke +∞, és a páratlantagokból álló részsorozat határértéke −∞. Következésképpen a sorozatnaknincs határértéke.

Ha q = −1, akkor |q| = 1, ezért a fentiek szerint

limn→+∞ |q|

n = 1.

Ekkor a páros tagokból álló részsorozat határértéke 1, és a páratlan tagok-

ból álló részsorozat határértéke −1. Következésképpen a sorozatnak nincshatárértéke.


Feladat Határozzuk meg az

an =

µ√4n + 2

3n + 1

¶általánostagú sorozat határértékét.

Megoldás

limn→+∞

√4n + 2

3n + 1= limn→+∞

q4n

32n+ 2

32n

1 + 13n

= limn→+∞

q4n

9n+ 29n

1 + 13n

=0

1.

4.4.3 Számtani sorozat határértéke

Tétel 4.4.26 Az an = a1 + (n− 1) d általános tagú számtani sorozathatárértékét az alábbi képlettel adhatjuk meg:

limn→+∞ a1 + (n− 1) d =

⎧⎨⎩+∞ ha d > 0,

a1 ha d = 0,

−∞ ha d < 0.

A tétel állítása könnyen belátható, ezért a bizonyítását elhagyjuk.

4.4.4 Egy szám gyökének közelíto kiszámítása

Tétel 4.4.27 Ha b ≥ 1, akkor az

an+1 =1

2

µan +

b

an

¶rekurzív sorozat határértéke az a1 = b kezdoérték esetén

√b.

Bizonyítás 13 Igazoljuk, hogy a sorozat csökkeno és alulról korlátos.

Alkalmazva a számtani és mértani középarányos közti összefüggést, iga-

zoljuk, hogy a sorozat alulról korlátos:

an+1 =1

2

µan +

b

an

¶≥ranb

an=√b


Igazoljuk, hogy a sorozat csökkeno.

Mivel an+1 =12

³an +

ban

´, következik, hogy

an+1

an=1

2+1

2

b

a2n

≤ 12+1

2

a2na2n= 1.

Következésképpen

an+1 ≤ an .

A 4.4.19 tétel alapján az (an)n≥1sorozat konvergens. Legyen a sorozathatárértéke l. Ekkor az (an+1)n≥1 sorozat határértéke is l. Következéskép-pen a rekurziós összefüggésbol következik, hogy

l =1

2

µl +

b

l

¶.

Ahonnan l =√b

Megjegyzés 4.4.28 Hasonlóan igazolhatjuk, hogy ha b ≥ 1, akkor az

an+1 =1

k

µ(k − 1) an + b

ak−1n

¶

rekurzív sorozat határértéke az a1 = b kezdoérték eseténk√b.

Feladat Határozzuk meg a√2-t 2 tizedes pontossággal.

Megoldás Mivel az a1 = 2, an+1 = 12

³an +

2an

´rekurzív sorozat

határértéke√2 meg kell határozzuk, hogy a sorozat hányadik tagja


lesz a√2-tol 0.01 -nél kisebb távolságra.

an+1 −√2 =

1

2

µan +

2

an

¶−√2

=1

2

µan − 2

√2 +

2

an

¶=1

2

Ã√an −

√2√an

!2=

1

2an

³an −

√2´2

≤ 12

³an −

√2´2.

Innen teljes indukcióval igazolható, hogy

an −√2 ≤ 1

22n−1

Tehát, ahhoz, hogy a megközelítés 0.01−nél jobb legyen kell teljesüljön az

1

22n−1 ≤ 0.01

egyenlotlenség. Ahonnan kapjuk, hogy n ≥ 2.9343. Tehát már a sorozat3. tagja 0.01-nél jobban megközelíti a

√2-t. Ezt az értéket megkapjuk,

ha kiszámoljuk a sorozat 3. tagját.

a2 =1

2

µ2 +

2

2

¶=3

2

a3 =1

2

Ã3

2+232

!=17

12= 1. 416 7

Valóban¯√2− 1. 416 7

¯= 0.002 486 4 ≤ 0.01.


4.4.5 Polinomiális sorozatok határértéke

Tétel 4.4.29 Legyenek adottak az a0, a1, a2,..., ap, b0, b1, b2,..., bq ∈ Rvalós számok úgy, hogy ap 6= 0 és bq 6= 0. Akkor

limn→+∞

apnp + ap−1np−1 + ...+ a1n+ a0

bqnq + bq−1nq−1 + ...+ b1n+ b0=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩apbq

ha p = q,

+∞ ha p > qésapbq> 0 ,

−∞ ha p > qésapbq< 0,

0 ha p < q .

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭A tétel bizonyítását az olvasóra bizzuk.

4.4.6 Az e szám mint határérték

Tétel 4.4.30

limn→+∞

µ1 +

1

n

¶nsorozat konvergens.

Bizonyítás 14 Megmutatjuk, hogy az an =¡1 + 1

n

¢náltalános tagú

sorozat növekvo.

an+1

an=

³1 + 1

n+1

ń+1¡1 + 1

n

¢n =

³n+2n+1

ń+1¡n+1n

¢n =

³n+2n+1

ń¡n+1n

¢n n+ 2n+ 1

=

¡n2 + 2n

¢n(n2 + 2n+ 1)

n

n+ 2

n+ 1=

µ1− 1

n2 + 2n+ 1

¶nn+ 2

n+ 1.

Az elso tényezore alkalmazuk a Bernoulli-féle egyenlotlenséget és kapjuk:

an+1

an=

µ1− 1

n2 + 2n+ 1

¶nn+ 2

n+ 1

≥µ1− n

n2 + 2n+ 1

¶n+ 2

n+ 1

=(n+ 1)3 + 1

(n+ 1)3≥ 1


Most már csak azt kell igazolni, hogy a sorozat felülrol korlátos. Vegyük

a

bn =

µ1 +

1

n

¶n+1sorozatot. Teljesen hasonló módon kapjuk, hogy (bn)n≥1 csökkeno. Mivelbármely n-re

an =

µ1 +

1

n

¶n≤µ1 +

1

n

¶nµ1 +

1

n

¶=

µ1 +

1

n

¶n+1= bn

következik, hogy az (an)n≥1 felülrol korlátos. Például an ≤ b1 = 4. Hason-lóan (bn)n≥1 is alulról korlátos. Például 2 = a1 ≤ bn. Következik innen,hogy mind a két sorozat konvergens és

limn→+∞ (bn − an) = lim

n→+∞

"µ1 +

1

n

¶n+1−µ1 +

1

n

¶n#

= limn→+∞

µ1 +

1

n

¶nµ1 +

1

n− 1¶

= limn→+∞

µ1 +

1

n

¶n1

n

= limn→+∞an

1

n= 0.

Ami azt jelenti, hogy az (an)n≥1 és (bn)n≥1 sorozatoknak ugyanaz ahatárértéke. Ezt a közös határértéket jelöljük e−vel. Mivel a1000 = 2.7169és b1000 = 2.7196 következik, hogy két tizedesjegyre kerekítve az e ' 2.71

4.4.7 Az n√a sorozat határértéke

Tétel 4.4.31 Bármely a ≥ 0 számra

limn→+∞

n√a = 1

Bizonyítás 15 Alkalmazzuk a Cesaro-Stolz tétel 2. következményét.

Legyen a1 = a és an = 1 általános tagú sorozat. Akkor a második

következmény alapján

limn→+∞

n√a = lim

n→+∞n√a1a2...an = lim

n→+∞an = 1.


Tétel 4.4.32

limn→+∞

n√n = 1

A tétel bizonyítását a függvények folytonos tulajdonságának a fel-

használásával bizonyítjuk, ezért most a bizonyítástól eltekintünk.

Fejezet 5

Numerikus sorok

5.1 Elozmények

A sorozatok halmazából lényeges szerepük van azoknak a sorozatoknak,

amelyeknek tagjai valamilyen sorozat tagjainak az összegezésével jönnek

létre. Példá- ul csak gondoljunk a számtani vagy a mértani sorozat elso

n tagjának az összegére. Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy vajon más

sorozatok esetén az elso n tag összegét hogyan tudjuk kiszámolni? Az ilyen

tipusú problémák vizsgálata érdekében vezetjük be a számsor fogalmát.

Definíció 5.1.1 Legyen adott az (an)n≥1 sorozat. Az

sn = a1 + a2 + ...+ an

általános tagú sorozatot az (an)n≥1−hez rendelt sornak nevezzük, és∞Pn=1

an

vagy az a1 + a2 + ... + an + ... szimbolummal jelöljük. Az sn összeget a∞Pn=1

an sor n−ed rendu részletösszegének, az an számot pedig a sor n-ediktagjának nevezzük.

Definíció 5.1.2 Azt mondjuk, hogy az∞Pn=1

an sor konvergens, ha rés-

zletösszegeinek sorozata konvergens. Ha a limn→+∞ sn = s akkor ezt az s szá-

mot a∞Pn=1

an sor összegének nevezzük és ekkor azt írjuk, hogy∞Pn=1

an = a.

Ha a sor nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sor divergens.

69

70 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK

Megjegyzés 5.1.3 Abból a ténybol, hogy a sort és az összegét is ugyanaz-

zal a∞Pn=1

an szimbolummal jelöljük nem okoz bonyodalmat, mert a szöveg-

összefüggésbol kiderül, hogy melyikrol van szó.

Definíció 5.1.4 Ha a∞Pn=1

an sor konvergens és összege s, akkor az Rn =

s − sn különbséget a sor n-edik maradékának nevezzük. Minthogy Rn =∞Pk=n+1

ak szintén sor, a maradék fogalma kiterjesztheto divergens sorokra

is.

Megjegyzés 5.1.5 A∞Pn=1

an sor akkor és csakis akkor konvergens, ha

minden n ≥ 1 esetén az Rn sorok konvergensek és limn→+∞Rn = 0.

Feladat. Írjuk fel az¡1n

¢n≥1 sorozathoz tartozó sor elso 5 tagját.

Megoldás.

s1 = 1;

s2 = 1 +1

2=3

2;

s2 = 1 +1

2+1

3=11

6;

s4 = 1 +1

2+1

3+1

4=25

12;

s4 = 1 +1

2+1

3+1

4+1

5=137

60;

Feladat. Igazoljuk, hogy a∞Pn=1

1nsor (harmonikus sor) divergens.

Megoldás. Alkalmaazuk a Cauchy-féle konvergencia kritériumot, amely

azt mondja ki, hogy egy sorozat akkor és csakis akkor konvergens,

ha Cauchy sorozat. A mi esetünkben azt kell kimutatni, hogy az

sn = 1 +1

2+1

3+ ...+

1

n

5.1. ELOZMÉNYEK 71

általános tagú sorozat nem Cauchy sorozat. Ennek érdekében

számítsuk ki egy adott n ≥ 1 esetén az s2n − sn különbséget:

s2n − sn = 1

n+ 1+

1

n+ 2+ ...+

1

2n

> n1

2n=1

2.

Válasszuk meg akkor az ε = 13-nak és feltételezzük, hogy az (sn)n≥1

részletösszegek sorozata Cauchy-féle sorozat. Akkor létezik egy n0 ∈N küszöbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén |s2n − sn| ≤ ε.

Következésképpen

1

2< |s2n − sn| ≤ ε =

1

3.

Ez az ellentmondás azt eredményezi, hogy a sor nem Cauchy-féle

sorozat. Következésképpen nem is konvergens. Mivel a sorozat szig-

orúan növekvo következik, hogy

∞Xn=1

1

n= +∞

Megjegyzés 5.1.6 Az utobbi feladatban kimutatott tulajdonság alapján

azt mondhatjuk, hogy a harmonikus sor divergens és összege +∞.

Feladat. Határozzuk meg a∞Pn=0

qn mértani sor összegét.

Megoldás. Tudjuk, hogy a mértani sor elso n tagjának osszege

sn =qn+1 − 1q − 1 , ha q 6= 1.

Innen azonnal látható, hogy

∞Xn=0

qn = limn→+∞ sn

=

⎧⎨⎩+∞ ha q ≥ 1,11−q ha −1 < q < 1,

nincs hatarerteke ha q ≤ −1.


Feladat. Határozzuk meg a∞Pn=0

1n(n+1)

sor összegét.

Megoldás. A részletösszegek sorozata:

sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + ...+1

n · (n+ 1) .

Felvetodik a kérdés, hogy nem lehetne-e ezt az összeget egyszerubb

explicit alakba felírni? Olyan alakra volna szükség, amelynek a

határértékét ki tudjuk számítani. Észrevehetjük, hogy

1

n · (n+ 1) =1

n− 1

n+ 1.

Ezt a képletet alkalmazva újra kiszámítjuk az sn-t:

sn =1

1− 12+

1

2− 13+

1

3− 14+

...+

1

n− 1

n+ 1

= 1− 1

n+ 1.

Tehát

∞Xn=0

1

n (n+ 1)= limn→+∞ sn

= limn→+∞ 1−

1

n+ 1

= 1.

5.2 Muveletek sorokkal

A számsorok összegének, szorzatának és skalárral történo szorzásának a

kiszámít- ása véges számú valós szám összeadásának valamint szorzásának

az általánosítása- ként fogható fel.

5.2. MUVELETEK SOROKKAL 73

Definíció 5.2.1 Tekintjük a∞Pn=1

an,∞Pn=1

bn sorokat. Akkor

∞Xn=1

an +

∞Xn=1

bn =

∞Xn=1

(an + bn) ,

λ

∞Xn=1

an =

∞Xn=1

λan, bármely λ ∈ R esetén.

∞Xn=1

an ·∞Xn=1

bn = limn→+∞

nXi=1

ÃnXk=1

(aibk)

!

Tétel 5.2.2 Tegyük fel, hogy a∞Pn=1

an sor konvergens. Ekkor bármely

λ ∈ R esetén a∞Pn=1

λan sor konvergens és

∞Xn=1

λan = λ

∞Xn=1

an.

Tétel 5.2.3 Tegyük fel, hogy a∞Pn=1

an,∞Pn=1

bn sorok konvergensek. Ekkor

∞Pn=1

(an + bn) sor konvergens és

∞Xn=1

(an + bn) =

∞Xn=1

an +

∞Xn=1

bn

Tétel 5.2.4 Ha az∞Pn=1

an sornak van összege, akkor minden átcsoportosí-

tott sorának ugyanaz az összege.

Bizonyítás 16 Vegyük a természetes számok tetszoleges n1 < n2 < ... <

nk < ... sorozatát. Az

(a1 + a2 + ...+ an1) + (an1+1 + an1+2 + ...+ an2)+

...+¡ank+1 + ank+2 + ...+ ank+1

¢+ ...

sort az adott sor átcsoportosított sorának nevezzük. Az összeadás aszzoci-

atív tulajdonsága miatt ez az összeg azonos a sor összegével, de csak akkor,

ha az összeg létezik és véges.


Megjegyzés 5.2.5 A∞Pn=1

(−1)n sor összege, ha (−1 + 1) + (−1 + 1) +(−1 + 1)+... csoportosítást használjuk,akkor 0, ha pedig a −1+ (−1 + 1)+(−1 + 1) + (−1 + 1) + ... csoportosítást , akkor −1.

5.3 Konvergenciakritériumok

A részletösszegek sorozatának konvergenciájáról általában nehéz meg-

gyozodni. Ezért olyan kritériumokat adunk meg, amelyekkel az (sn)n≥1sorozat vizsgálata nélkül lehet eldönteni a sor konvergenciáját vagy diver-

genciáját.

5.3.1 Kritériumok általános sorokra

Tétel 5.3.1 A∞Pn=1

an sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy a

sorozat tagjaiból álló sorozat határértéke zéró legyen, vagyis limn→+∞an = 0.

Bizonyítás 17 Legyen a sor konvergens. Ekkor limn→+∞ sn = s ∈ R. De

ekkor a limn→+∞ sn−1 = s is fennáll. Következésképpen

limn→+∞an = lim

n→+∞ [(a1 + a2 + ...+ an)− (a1 + a2 + ...+ an−1)]= limn→+∞ sn − lim

n→+∞ sn−1 = s− s = 0.

Megjegyzés 5.3.2 A tétel fordítottja nem igaz. Vagyis abból a ténybol,

hogy limn→+∞an = 0 nem következik, hogy

∞Pn=1

an sor konvergens. Ennek

érdekében lásd a harmonikus sort.

A sorozatokra felírt Cauchy-féle kritérium sorokra is felírható.

Tétel 5.3.3 (Cauchy-féle kritérium sorokra) A∞Pn=1

an sor akkor és

csakis akkor konvergens, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan n0 ∈ Nküszöbszám, hogy bármely n ≥ n0 és bármely k ∈ N esetén

|an+1 + an+2 + ...+ an+k| ≤ ε.

5.3. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 75

Bizonyítás 18 A tétel bizonyítása azon a tényen alapszik, hogy a rés-

zletösszegek sorozatára lehet alkalmazni a sorozatokra érvénye Cauchy-

féle konvergencia- kritériumot. Ennek értelmében a∞Pn=1

an sor akkor

és csakis akkor konvergens, ha (sn)n≥1 részletösszegek sorozata Cauchy-féle sorozat. Akkor létezik egy n0 ∈ N küszöbszám úgy, hogy bármely

n ≥ n0 esetén és bármely k ∈ N esetén |sn+k − sn| ≤ ε. Következéskép-

pen a∞Pn=1

an sor akkor és csakis akkor konvergens, ha létezik egy n0 ∈ Nküszöbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén és bármely k ∈ N esetén

|an+1 + an+2 + ...+ an+k| ≤ ε.

5.3.2 Pozitív tagú sorok

Definíció 5.3.4 A∞Pn=1

an sor pozitív tagú sor, ha an > 0 bármely n ≥ 1esetén.

Tétel 5.3.5 (Korlátossági kritérium) A∞Pn=1

an pozitív tagú sor akkor

és csakis akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata felülrol korlátos.

Bizonyítás 19 A pozitív tagú sor részletösszegeinek sorozata szigorúan

növekvo. Növekvo sorozat viszont pontosan akkor konvergens, ha felülrol

korlátos.


an pozitív tagú sornak a∞Pn=1

bn sor majoránsa, ha

minden n ∈ N esetén an ≤ bn. Ebben az esetben a∞Pn=1

an sor minoránsa a

∞Pn=1

bn sornak.

Tétel 5.3.7 (Majorálási kritérium) Ha∞Pn=1

an pozitív tagú sornak van

egy∞Pn=1

bn konvergens majoránsa, akkor a∞Pn=1

an is konvergens.

Bizonyítás 20 Ha a majoráns∞Pn=1

bn sor konvergens, akkor a rés-

zletösszegeinek sorozata korlátos. Mivel minden n ∈ N esetén an ≤ bn


következik, hogy az∞Pn=1

an sor részletösszegeinek sorozata is korlátos.

Ekkor a korlátossági kritérium alapján a∞Pn=1

an sor is konvergens.

A majorálási kritérium alapján megfogalmazhatjuk az alábbi diver-

genciát igazoló kritériomot.

Tétel 5.3.8 Ha∞Pn=1

an pozitív tagú sornak van egy∞Pn=1

bn divergens mi-

noránsa, akkor a∞Pn=1

an is divergens.

Bizonyítás 21 Ha a minoráns∞Pn=1

bn sor divergens, akkor a rés-

zletösszegek sorozatának határértéke +∞. Mivel minden n ∈ N esetén

bn ≤ an következik, hogy az∞Pn=1

an sor határértéke is +∞. Ekkor a∞Pn=1

an

sor is divergens.

Feladat. Tanulmányozzuk az α ∈ R paraméter függvényében a∞Pn=1

1nα

sor konvergenciáját.

Megoldás. Ha α ≤ 0, akkor 1nα

= n−α ≥ 1 bármely n ≥ 1 esetén.

Alkalmazva a 5.3.8 tételt és felhasználva azt a tényt, hogy a∞Pn=1

1 =

+∞, következik, hogy ebben az esetben a∞Pn=1

1nα= +∞.

Ha α ∈ (0, 1], akkor 1nα≥ 1

nbármely n ≥ 1 esetén. Alkalmazva

a 5.3.8 tételt és felhasználva azt a tényt, hogy a∞Pn=1

1n= +∞,

következik, hogy ebben az esetben a∞Pn=1

1nα= +∞.

Ha α > 1, akkor bármely n ∈ N esetén találunk olyan k ∈ N számot,


amelyre 2k ≤ n < 2k+1. Ebben az esetben

sn = 1 +1

2α+1

3α+ ...+

1

nα

≤ 1 + 1

2α+1

3α+ ...+

1

nα+

1

(n+ 1)α+ ...+

1

(2k+1 − 1)α

= 1 +

µ1

2α+1

3α

¶+

µ1

4α+1

5α+1

6α+1

7α

¶+

+

µ1

8α+1

9α+

1

10α+

1

11α+

1

12α+

1

13α+

1

14α+

1

15α

¶+ ...

+

µ1

2kα+

1

(2k + 1)α + ...+

1

(2k+1 − 1)α¶

≤ 1 + 2 12α+ 4

1

4α+ 8

1

8α+ ...+ 2k

1

2kα

= 1 +1

2α−1+

µ1

2α−1

¶2+

µ1

2α−1

¶3+ ...+

µ1

2α−1

¶k=1− ¡ 1

2α−1¢k+1

1− 12α−1

≤ 1

1− 12α−1

.

Tehát bármely n ∈ N esetén az

sn ≤ 1

1− 12α−1

.

Ami azt jelenti, hogy a részletösszegek sorozata felülrol korlátos.

Következés- képpen ebben az esetben a∞Pn=1

1nα

sor konvergens.

Összefoglalva a különbözo eseteket az alábbi következtetésre jutunk:

∞Xn=1

1

nαsor

½divergens ha α ≤ 1,konvergens ha α > 1.

Tétel 5.3.9 (D’Alambert-féle hányadoskritérium) A pozitív tagú∞Pn=1

an sor konvergens, ha létezik q < 1 szám és egy n0 ∈ N küszöbindexúgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén an+1

an≤ q < 1.


Bizonyítás 22 A feltétel értelmében

an0+1 ≤ an0q,an0+2 ≤ an0+1q ≤ an0q2,an0+3 ≤ an0+2q ≤ an0q3,

...

an0+k ≤ an0+k−1q ≤ an0qk.

Innen bármely n = n0 + k esetén következik, hogy

sn0+k ≤ an0³1 + q + q2 + ...+ qk

´+ a1 + a2 + ...+ an0−1

= +a1 + a2 + ...+ an0−1 + an01− qk+11− q

≤ +a1 + a2 + ...+ an0−1 + an01

1− q .

Ez azt jelenti, hogy a részletösszegek sorozata felülrol korlátos, ami a

korlátos- sági kritérium szerint a sor konvergenciáját eredményezi.

Figyelem! A konvergencia eldöntéséhez nem elég, ha csak annyit

tudunk, hogyan+1an

hányados 1-nél kisebb, hanem egy 1-nél kisebb q

számnál kell kisebbnek lennie.

A hányados kritérium alkalmazás szempontjából nagyon elonyös

felírását az alábbi tétel tartalmazza.

Tétel 5.3.10 A pozitív tagú∞Pn=1

an sornál, ha

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩lim

n→+∞an+1an

< 1 akkor a sor konvergens,

limn→+∞

an+1an

> 1 akkor a sor divergens,

limn→+∞

an+1an

= 1 akkor a sor lehet divergens is és konvergens is.

Bizonyítás 23 Ha a határérték kisebb mint 1, akkor találunk egy olyan

n0 ∈ N küszöbindexet, amelyre bármely n ≥ n0 esetén an+1an≤ q < 1. A

hányados kritérium alapján a sor konvergens.

Ha a határérték nagyobb mint 1, akkor találunk egy olyan n0 ∈ Nküszöbindexet, amelyre bármely n ≥ n0 esetén an+1

an> q > 1. A hányados


kritérium bizonyításában szereplo q nagyobb lesz mint 1, tehát a sor ebben

az esetben divergens lesz.

A harmadik esetre példaul szolgálnak a∞Pn=0

1n(n+1)

és a∞Pn=0

1nsorok. Az

elobbi konvergens az utobbi pedig divergens.

Feladat. Vizsgáljuk meg a hányados kritériummal a∞Pn=0

n2nsor konver-

genciáját.

Megoldás. Számítjuk a következo határértéket:

limn→+∞

an+1

an= limn→+∞

n+12n+1

n2n

= limn→+∞

n+12n+1

n2n

=1

3< 0.

Mivel a határérték kisebb mint 1, következik, hogy a sor konvergens.

Tétel 5.3.11 (Caushy-féle gyökkritérium) A pozitív tagú∞Pn=1

an sor

konvergens, ha létezik q < 1 szám és egy n0 ∈ N küszöbindex úgy, hogy

bármely n ≥ n0 esetén n√an ≤ q < 1.

Bizonyítás 24 Mivel n√an ≤ q következik, hogy an ≤ qn. De q < 1 ezért

a∞Pn=1

qn sor konvergens. A majorálási kritérium alapján következik, hogy

az∞Pn=1

an is konvergens.

Hasonlóan mint a hányadoskritériumot ezt a kritériumot is fel lehet

írni egy kényelmesebb formába.

Tétel 5.3.12 A pozitív tagú∞Pn=1

an sornál, ha

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩lim

n→+∞n√an < 1 akkor a sor konvergens,

limn→+∞

n√an > 1 akkor a sor divergens,

limn→+∞

n√an = 1 akkor a sor lehet divergens is és konvergens is.


5.3.3 Váltakozó elojelu sorok

Definíció 5.3.13 Valamely (an)n≥1 számsorozatot akkor nevezzük vál-takozó elojelunek (alternálónak), ha bármely n ∈ N esetében an ·an+1 < 0.Az ilyen sorozatokból képzett sorokat váltakozó elojelu soroknak nevezzük.

Példák.∞Pn=1

(−1)n ,∞Pn=1

(−1)n 12n.

Tétel 5.3.14 (Leibniz kritérium váltakozó elojelu sorokra) Ha a∞Pn=1

an váltakozó elojelu sor tagjaiból képzett (|an|)n≥1 sorozat monoton

csökkeno és határértéke 0, akkor a∞Pn=1

an sor is konvergens.

Bizonyítás 25 Mivel a (|an|)n≥1 monoton csökkeno következik, hogy

|an+1| ≤ |an| bármely n ∈ N esetén. Feltételezzük, hogy az∞Pn=1

an sor

olyan váltakozó elojelu sor amelyben am < 0. Akkor bármely m ∈ N és

bármely páratlan n ∈ N esetén:nXk=1

am+k =

nXk=1

(−1)k+1 |am+k|

= |am+1|− (|am+2|− |am+3|)−− ...− (|am+n−1|− |am+n|)≤ |am|

Ha n páros, akkor

nXk=1

am+k =

nXk=1

(−1)k+1 |am+k|

= |am+1|− (|am+2|− |am+3|)−− ...− (|am+n−2|− |am+n−1|)− |an+m|≤ |am+1|

Tehát bármely n,m ∈ N eseténnPk=1

am+k ≤ |am|


Másik szempontból bármely n,m ∈ N esetén, ha n páros, akkornXk=1

am+k =

nXk=1

(−1)k+1 |am+k|

= (|am+1|− |am+2|)++ ...+ (|am+n−1|− |an+k|)≥ 0.

Ha pedig n páratlan, akkor

nXk=1

am+k =

nXk=1

(−1)k+1 |am+k|

= (|am+1|− |am+2|)++ ...+ (|am+n−2|− |am+n−1|) + |am+k|≥ 0.

Összefoglalva az egésszet azt igazoltuk, hogy bármely n,m ∈ N esetén:

0 ≤nXk=1

am+k ≤ |am|

Most alkalmazzuk a Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Mivel

limm→+∞ |am| = 0 következik, hogy bármely ε > 0 számra létezik egy n0 ∈ Nküszöbindex úgy, hogy |am| ≤ ε. Tehát bármely n,m ∈ N, m ≥ n0 esetén¯

¯nXk=1

am+k

¯¯ =

nXk=1

(−1)k+1 |am+k| ≤ |am| ≤ ε.

Ez azt jelenti, hogy a sor konvergens.

Feladat. Igazoljuk, hogy∞Pn=1

(−1)n 1nváltakozó elojelu harmonikus sor

konvergens.

Megoldás. A Leibniz kritérium alapján következik a kért tulajdonság,

mivel |an| =¯(−1)n 1

n

¯= 1

nsorozat csökkeno és határértéke 0.


5.4 Abszolút konvergens sorok

Amint már az elobb említettük a sorok összegét a valós szám összeadásá-

nak az általánosításaként értelmezzük. Azonnal feltevodik az a kérdés,

hogy az így értelmezett összegnek megvannak-e az összeadás alapveto tu-

lajdonságai. Az asszociativitás már láttuk, hogy konvergens sorok esetén

teljesül. Most azt fogjuk tanulmányozni, hogy a kommutativitás vajon

teljesül-e?

Ennek érdekében bevezetünk két fogalmat.


an sort abszolút konvregensnek nevezzük, ha

∞Pn=1

|an| sor konvergens.


an sort feltételesen konvregensnek nevezzük, kon-

vergens de nem abszolút konvergens.

Megjegyzés 5.4.3 A sorok halmazát három osztályra bonthatjuk:

1. divergens sorok,

2. feltételesen konvergens sorok,

3. abszolút konvergens sorok.

Ezen osztályok között az ábrán bemutott benfoglalási kapcsolat áll

fenn.

5.4. ABSZOLÚT KONVERGENS SOROK 83

Tétel 5.4.4 Bármely abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás 26 A Cauchy-féle konvergenciakritériumból azonnal

következik az állítás.

Ezután azt vizsgáljuk meg, hogy a konvergens sorokat át lehet-e ren-

dezni úgy, hogy sem a sor konvergens volta, sem a sor összege ne vál-

tozzék. Abszolút konvergens sor esetében ez megteheto, de feltételesen

konvergens sorok esetében a sor átrendezheto úgy, hogy összege egy már

elozoen megválasztott valós szám legyen.

Definíció 5.4.5 Azt mondjuk, hogy∞Pn=1

bn sor a∞Pn=1

an sor egy átren-

dezése, ha létezik olyan p : N→ N bijektív függvény, amelyre

∞Xn=1

bp(n) =

∞Xn=1

an.

Példa.∞Pn=1

an egy átrendezése az (a1 + a3 + a2 + a4 + a5 + a7 + a6 + a8 + ...)

sor

Tétel 5.4.6 Ha a∞Pn=1

an sor abszolút konvergens, akkor bármely átren-

dezése abszolút konvergens és ugyanaz az összege.


Tétel 5.4.7 (Riemann) Ha a∞Pn=1

an sor feltételesen konvergens, akkor

minden a ∈ R számhoz lehet találni egy olyan∞Pn=1

bn átrendezését a sornak,

amelyre∞Pn=1

bn = a. Az∞Pn=1

an sornak vannak olyan átrendezései is amelyek

divergensek.

Feladat. Adjuk meg a∞Pn=1

(−1)n−1 (1/n) feltételesen konvergens sornakegy olyan átrendezését, amelyre a sor összege az eredeti sor összege

1 legyen.

Megoldás. Az utóbbi tétel bizonyítása alapján szerkesztjük az olyan

sorokat, amelyeknek a határértéke egy adott szám. A szerkesztés

a következo ötlet alapján történik. Az elso lépésben adjuk össze

az elofordulásuk sorrendjében annyi pozitív tagot, hogy az összeg

csak az utolsó tag hozzá- adásával emelkedjék a megadott szám fölé.

Jelöljük a ennél a lépésnél összeadott tagok számát k1-el. Ugyankkor

kezdjük el egy p : N→ N sorozat értelmezését úgy, hogy p1, p2, ..., pk1értékeknek rendre az ebben az elso lépésben összeadott tagok indexét

vesszük. A második lépésben az elozo összeghez adjunk hozzá an-

nyi negatív tagot az elofordulásuk sorrendjében, hogy csak az utolsó

tag hozzáadásakor kerüljünk a megadott szám alá. Folytassuk a p

sorozat értelmezését úgy, hogy a pk1+1, pk1+2, ..., pk2 értékeknek ren-

dre a második lépésben vett tagok indexeit vesszük. A második

lépés után a megadott szám alá kerültünk. Folytassuk az eljárást az

elso lépéshez hasonlóan addig amíg a megadott szám fölé kerülünk,

majd a második lépéshez hasonlóan addig amíg megint a szám alá

kerülünk. Ezt a gondolatmenetet alkalmazva eljutunk egy összeghez,

amely váltakozva hol nagyobb, hol kisebb a megadott számnál. Iga-

zolni lehet, hogy az így kapott összeg határértéke a kért szám.

A leírt ötlet alapján szerkesztjük azt a sort amelynek határértéke 1.

Legyen p : N→ N, egy olyan sorozat, amelyre az alábbi sorozatotkapjuk:

∞Xn=1

(−1)pn−1 (1/pn) = 1+ 13− 12+1

5− 14+1

7+1

9− 16+1

11+1

13+ ...

5.4. ABSZOLÚT KONVERGENS SOROK 85

Ennek a sornak azért lessz az összege 1, mert

s2 =1

3> 1, s3 =

5

6< 1, s4 =

31

30> 1, s5 =

47

60< 1, s6 =

389

420< 1,

s7 =1307

1260> 1, s8 =

1097

1260< 1, s9 =

13 327

13 860< 1, s10 =

187 111

180 180> 1, ... .

A felírt szabály alapján:

p1 = 1, p2 = 3, p3 = 2, p4 = 5, p5 = 4,

p6 = 7, p7 = 9, p8 = 6, p9 = 11, p10 = 13, ...


Fejezet 6

Függvények határértéke és

folytonossága

6.1 Elozmények

A matematikában és alkalmazásaiban többféle határértéktipussal ta-

lalkozhatunk. Közülük egyikkel, a számsorozatok határértékével az elozo

órákon már foglalkoztunk.

Ezen az órán a függvények pontbeli határértékét és folytonosságát vizs-

gáljuk. Kiiindulunk a függvény adott pontban vett határértékébol majd

értelmezzük a függvény pontbeli folytonosságát. Megjegyezzük, hogy a

fordított út is járható és a két út tudományos szempontból egyenértéku.

6.2 Valós-valós függvények pontbeli határértéke

A pontbeli folytonosság illetve határérték rokon fogalmak, de nem

egyenértékuek. Az elobbi egyszerubb és természetesebb, az utóbbi tradi-

cióból elterjedtebb.

Mielott értelmeznénk a pontbeli határértéket vizsgáljuk meg az alábbi

függvé- nyek viselkedését az x0 = 1 pont körül: f : R\ 1→ R,f (x) = 1

1−x . Ennek érdekében készítsünk egy értéktáblázatot az x0 körüliértékekre

x 0.5 0.8 0.9 0.009 0.00009 1.00001 1.001 1.1 1.2 1.5

f (x) 2 5 10 −1000 100000 −100000 −1000 −10 −5 −2

87

88 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

Amint a táblázatból is látható, minnél közelebb kerülünk az 1-hez,

abszolútértékben annál nagyobb függvényértékeket kapunk. Grafiku-

san ábrázolva még szembeötlobb, hogy amint tartunk az 1-hez a füg-

gvényértékek abszolútérték- ben tartnak a végtelenhez. De mi a biztosíték

arra, hogy a sejtésünk helyes? További numerikus kísérletezéssel megerosí-

thetjük feltételezésünket, de nem készíthetünk olyan táblázatot, amely az

összes 1-hez közeli x értéket tartalmazza. Tehát szimpla numerikus szá-

molással nem tudjuk biztosan meghatározni a határértéket. Innen ered a

határérték megtalálására szolgáló szigorú eljárás szükségszerusége.

A határérték szigorú értelmezése feltételezi néhány alapvetõ topológiai

fogalom bevezetését. Ezeket soroljuk fel a következõkben.

Definíció 6.2.1 Az A ⊆ R halmaznak az x0 egy belso pontja, ha létezikegy olyan ε > 0 szám, amelyre (x0 − ε, x0 + ε) ⊆ A. Az A halmaz belsõ

pontjainak halmazát Å szimbolummal jelöljük.

Definíció 6.2.2 Az A ⊆ R halmaz nyílt, ha A =Å.

Megjegyzés 6.2.3 Tulajdonképpen egy halamz akkor nyílt, ha felírható

mint véges vagy végtelen számú nyílt intervallum egyesítése.

Definíció 6.2.4 Az A ⊆ R halmaz zárt, ha A egy nyílt halmaz kiegészítõhalmaza.

Megjegyzés 6.2.5 Tulajdonképpen egy halamz akkor zárt, ha felírható

mint véges számú zárt intervallum egyesítése.

Definíció 6.2.6 Az A ⊆ R halmaznak az x0 ∈ R egy torlódási pontja,

ha bármely ε > 0 számra az (x0 − ε, x0 + ε) intervallumnak van A-val az

x0-tól különbözo közös pontja. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát

A jelöljük.

Definíció 6.2.7 Az A ⊆ R halmaznak a +∞ torlódási pontja, ha létezik

egy p ∈ R szám úgy, hogy bármely x > p esetén x ∈ A.

Definíció 6.2.8 Az A ⊆ R halmaznak a −∞ torlódási pontja, ha létezik

egy q ∈ R szám úgy, hogy bármely x < q esetén x ∈ A.

Definíció 6.2.9 Az A ⊆ R halmaznak az x0 ∈ A egy izolált pontja, ha

létezik olyan ε > 0 szám, amelyre (x0 − ε, x0 + ε) ∩A = x0 .

6.2. PONTBELI HATÁRÉRTÉK 89

Definíció 6.2.10 Azx0 ∈ R számnak a V ⊆ R halmaz környezete, ha x0belsõ pontja a V -nek. Az x0 környezeteinek halmazát V (x0)-val jelöljük.

Definíció 6.2.11 Az V ⊆ R halmaz a +∞ egy környezete, ha +∞ tor-

lódási pontja a V -nek.

Definíció 6.2.12 Az V ⊆ R halmaz a −∞ egy környezete, ha −∞ tor-

lódási pontja a V -nek.

Definíció 6.2.13 Tekintsük az f : A→ R (A ⊆ R) függvényt és az x0 ∈R véges vagy végtelen torlódási pontját az A halmaznak . Azt mondjuk,

hogy az f függvénynek az x0 pontban a határértéke l ∈ R- ami lehet végesvagy végtelen , ha az l minden V környezetének megfelel az x0 egy olyan

U környezete, hogy bármely x ∈ A ∩ U, x 6= x0 esetén f (x) ∈ V.

Az ε-os nyelvezet segítségével is lehet értelmezni a határérték fogalmát,

csak akkor külön-külön minden olyan esetet le kell tárgyalni, amikor vagy

az x0 vagy az l véges végtelen.

Ezeket az eseteket az alábbi tételbe foglaljuk össze.

Tétel 6.2.14 1. Tekintsük az f : A → R függvényt és az x0 ∈ R tor-lódási pontját az A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek

az x0 pontban a határértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk

egy olyan δ > 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén,ha |x− x0| < δ, akkor |f (x)− l| < ε. Az f függvénynek x0 beli

határértékét a limx→x0

f (x) szimbolummal jelöljük.

2. Tekintsük az f : A→ R függvényt és az x0 ∈ R torlódási pontját azA halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 pontban a

határértéke +∞, ha minden p > 0 számra találunk egy olyan δ > 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén, ha |x− x0| < δ,

akkor f (x) > p. Eben az esetben limx→x0

f (x) = +∞ jelölést használjuk.

3. Tekintsük az f : A→ R függvényt és az x0 ∈ R torlódási pontját azA halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 pontban a

határértéke −∞, ha minden q < 0 számra találunk egy olyan δ > 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén, ha |x− x0| < δ,

akkor f (x) < q. Eben az esetben limx→x0

f (x) = −∞ jelölést használjuk.


4. A +∞ torlódási pontja az A halmaznak, ha létezik egy olyan p

küszöbbszám, hogy minden x > p szám az A halmaznak eleme legyen.

5. A −∞ torlódási pontja az A halmaznak, ha létezik egy olyan q

küszöbbszám, hogy minden x < q szám az A halmaznak eleme legyen.

6. Tekintsük az f : A → R függvényt és +∞ torlódási pontját az

A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan

p > 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor

|f (x)− l| < ε. Eben az esetben limx→+∞ f (x) = l jelölést használjuk.

7. Tekintsük az f : A → R függvényt és −∞ torlódási pontját az

A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben ahatárértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan

q < 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor

|f (x)− l| < ε. Eben az esetben a limx→−∞ f (x) = l jelölést

használjuk.


A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke +∞, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan p > 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor f (x) > ε.

Eben az esetben a limx→+∞ f (x) = +∞ jelölést használjuk.


A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke −∞, ha minden ε < 0 számra találunk egy olyan p > 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor f (x) < ε.

Eben az esetbena limx→+∞ f (x) = −∞ jelölést használjuk.


A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben ahatárértéke +∞, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan q < 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor f (x) > ε.

Eben az esetben limx→−∞ f (x) = +∞ jelölést használjuk.


A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben a

6.2. PONTBELI HATÁRÉRTÉK 91

határértéke −∞, ha minden ε < 0 számra találunk egy olyan q < 0

küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor f (x) < ε.

Eben az esetben limx→−∞ f (x) = −∞ jelölést használjuk.

Bizonyítás 27 A tétel minden esetének a bizonyítása hasonló gondo-

latmenetet igényel. Példaként megadjuk a véges pontban véges határérték

(1.) esetére az igazolást. Ha kiindulunk 6.2.13 értelmezésbeli állításból,

és felhasználva azt a tényt, hogy minden ε > 0 számra az (l − ε, l + ε)

környezete az l-nek, akkor az állítás szerint létezik egy olyan U környezete

az x0-nak, hogy bármely x ∈ A ∩ U, x 6= x0 esetén f (x) ∈ (l − ε, l + ε) .

Mivel U környezete az x0 következik, hogy létezik egy δ > 0 szám úgy,

hogy (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ U. Az így megválasztott δ-ra teljesül az 6.2.14 (1.)esetére megadott feltétel.

Fordítva: kiindulunk a6.2.14 tétel (1.) esetében megfogalmazott ál-

lításból és ol és igazoljuk a 6.2.13 értelmezésbeli állítást. Legyen V egy

környezete az l-nek. Akkor a környezet értelmezése alapján létezik egy

ε > 0 szám úgy, hogy (l − ε, l + ε) ⊆ V . A 6.2.14 -bõl következik, hogy

létezik egy δ > 0 küszöbbszám, amelyre, ha x ∈ A∩ (x0 − δ, x0 + δ)\x0 ,akkor f (x) ∈ (l − ε, l + ε) ⊆ V. Választva az U = (x0 − δ, x0 + δ)

környezetét az x0-nak megkapjuk a 6.2.13 értelmezésbeli állítást szük-

ségességét.

Megjegyzés 6.2.15 Mivel a 6.2.13 értelmezés egyenértékü a 6.2.14 tétel-

lel, ezért ebben a tételben megfogalmazott kijelentésket lehet tekinteni úgy

is mint az adott függvény x0 pontbeli határértékének az értelmezése.

Tétel 6.2.16 Ha valamely függvénynek van határértéke egy adott pont-

ban, akkor ez a határérték egyértelmu.

Bizonyítás 28 Csak a véges esetet igazoljuk. Feltételezzük, hogy két

különbözo l1 < l2 határértéke van. Legyen ε = (l2 − l1) /3. Akkor létezneka δ1, δ2 > 0 küszöbszámok úgy, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén,ha |x− x0| < min δ1, δ2, akkor |f (x)− l1| < ε és |f (x)− l2| < ε.

Következésképpen 3ε = |l2 − l1| ≤ |f (x)− l2|+ |f (x)− l1| < 2ε. Ami

ellentmondás, tehát a függvénynek egy adott pontban csak egy határértéke

lehet. Minden más esetben a bizonyítás hasonló.

A függvény pontbel határértékét sorozatok segítségével is értelmezhet-

nénk. Ezt az értelmezést adjuk meg az alábbiakban.


Tétel 6.2.17 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és az x0 ∈ Rvéges vagy végtelen torlódási pontját az A halmaznak . Akkor lim

x→x0f (x) =

l ∈ R akkor és csakis akkor, ha bármely (xn)n≥1 olyan számsorozat esetén,amelyre xn ∈ A\x0 és lim

n→+∞xn = x0 következik, hogy limn→+∞ f (xn) = l.

Bizonyítás 29 Legyen limx→x0

f (x) = l , (xn)n≥1 olyan számsorozat , ame-

lyre xn ∈ A \ x0 és limn→+∞xn = x0, és V egy környezete az l-nek.

A feletevés alapján létezik egy olyan U környezete az x0-nak amelyre

bármely x ∈ U ∩ A \ x0 , f (x) ∈ V. Mivel limn→+∞xn = x0 következik,

hogy létezik egy olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy bármely n ≥ n0 eseténxn ∈ U ∩ A \ x0 . Következésképpen f (xn) ∈ V. Ami éppen azt jelenti,hogy lim

n→+∞ f (xn) = l.

Fordítva. Feltételezzük, hogy bármely (xn)n≥1 olyan számsorozat es-etén, amelyre xn ∈ A \ x0 és lim

n→+∞xn = x0 akkor limn→+∞ f (xn) = l,

de limx→x0

f (x) 6= l. Akkor van egy olyan V környezete az l-nek, amelyre

bármely U környezetét vesszük az x0-nak létezik olyan x ∈ U ∩ A \ x0, amelyre f (x) /∈ V. Elore vesszük azt az esetet, amikor x0 véges és

legyen Un =¡x0 − 1

n, x0 +

1n

¢,ahol n ≥ 1 egy kornyezete az x0-nak.

Akkor a feletevés alapján létezik egy olyan xn-el jelölt szám, amelyre

xn ∈ Un ∩ A \ x0 és f (xn) /∈ V. Mivel xn ∈ Un ∩ A \ x0 következik,hogy |xn − x0| < 1

n, tehát lim

n→+∞xn = x0. Akkor limn→+∞ f (xn) = l.

Következésképpen kell létezzen egy olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy bármelyn ≥ n0 esetén f (xn) ∈ V . Ami elleentmond a feltevésnek, tehát

limx→x0

f (x) = l .

Ha x0 = +∞, akkor a bizonyítás telejesen hasonló, csak ebben azesetben Un = (n,+∞) . Ha pedig x0 = −∞, akkor Un = (−∞,−n) .

Megjegyzés 6.2.18 A pontbeli határértékekkel kapcsolatos tulajdonsá-

gok vizsgálatára leggyakrabban az utobbi tételben megfogalmazott feltételt

használjuk, ezért ez tekintheto úgy is mint a függvény pontbeli

határértékének egy másik értelmezése.

6.3. JOBB ÉS BAL OLDALI HATÁRÉRTÉK 93

6.3 Jobb és bal oldali határérték

Számítási szempontból az eggyik legalapvetobb tulajdonság a

határértékkel kapcsolatosan, a jobb és bal oldali határértékek fogalmával

fogható meg.

Definíció 6.3.1 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyenx0 az A1 = A ∩ (−∞, x0) egy torlódási pontja. Az f függvény bal

oldali határértéke az x0 pontban lb, ha lb az f függvény A1 halmazra való

leszukítésének határértéke az x0 pontban. Ebben az esetben a bal oldali

határértékre a következo jelöléseket használjuk:

lb = limx→x0x<x0

f (x) = limx%x0

f (x) = f (x0 − 0)

Definíció 6.3.2 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyenx0 az A1 = A ∩ (x0,+∞) egy torlódási pontja. Az f függvény jobb

oldali határértéke az x0 pontban lj, ha lj az f függvény A1 halmazra való

leszukítésének határértéke az x0 pontban. Ebben az esetben a jobb oldali

határértékre a következo jelöléseket használjuk:

lb = limx→x0x>x0

f (x) = limx&x0

f (x) = f (x0 + 0)

Tétel 6.3.3 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyen x0 egytorlódási pontja az A-nak, hogy az x0-ban létezzék a függvény bal és jobb

oldali határértéke. Akkor a következo két állítás egyenértéku:

1. a függvénynek van határértéke az x0-ban;

2. f (x0 − 0) = f (x0 + 0) .

Bizonyítás 30 1. ⇒ 2. Ha limx→x0

f (x) = l, akkor nyilvánvaló, hogy

f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = l2.⇒ 1. Feltételezzük, hogy f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = l. Igazoljuk, hogy

limx→x0

f (x) = l. Ebbol a célból legyen V egy környezete az l-nek. A 2.

feltételbol következik, hogy léteznek az U1, U2 környezetei az x0-nak úgy,

hogy bármely x ∈ U1 ∩ A ∩ (−∞, x0) és y ∈ U2 ∩ A ∩ (x0,+∞) eseténf (x) ∈ V, f (y) ∈ V. Vegyük U = U1 ∩ U2 környezetét az x0-nak. Akkorbármely x ∈ U1 ∩ U2 ∩ A \ x0 esetén x ∈ U1 ∩ A ∩ (−∞, x0) vagy


x ∈ U2 ∩ A ∩ (x0,+∞) . Következésképpen f (x) ∈ V. Ami egyben azt isjelent, hogy lim

x→x0f (x) = l.

A sorozatoknál megismert eredmények hasonló eredményhez vezetnek

a függvé- nyek határértéke estén is.

Tétel 6.3.4 Tekintsük az f : A→ R és g : A→ R( A ⊆ R) függvényeket,legyen x0 véges vagy végtelen torlódási pontja az A-nak. Ha léteznek és

végesek a limx→x0

f (x) , limx→x0

g (x) határértékek, akkor

1. limx→x0

[f (x) + g (x)] = limx→x0

f (x) + limx→x0

g (x) ;

2. limx→x0

[f (x) · g (x)] = limx→x0

f (x) · limx→x0

g (x) ;

3. Bármely λ ∈ R szám esetén limx→x0

[λf (x)] = λ limx→x0

f (x) ;

4. Ha van az x0 pontnak egy olyan U környezete, amelyre g (x) 6= 0 éslimx→x0

g (x) 6= 0, akkor limx→x0

[f (x) /g (x)] = limx→x0

f (x) / limx→x0

g (x) ;

Bizonyítás 31 Példaként igazoljuk, az elso tulajdonságot. Mivel

limx→x0

f (x) = l1, limx→x0

g (x) = l2 következik, hogy bármely (xn)n≥1 sorozat

esetén, ha limn→+∞xn = x0 akkor lim

n→+∞ f (xn) = l1, limn→+∞ g (xn) =

l2. A sorozatoknál leírt tulajdonság alapján limn→+∞ [f (xn) + g (xn)] =

limn→+∞ f (xn) + lim

n→+∞ g (xn) = l1 + l2.

Teljesen hasonlóan igazoljuk a többi tulajdonságot is.

6.4 Függvények aszimptotái

6.4.1 Vízszintes és függoleges azimptóták

Definíció 6.4.1 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a

+∞ torlódási pontja. Ha limx→+∞ f (x) = l és l véges szám, akkor azt mond-

juk, hogy a függvénynek a +∞-ben az y = l egyenletu egyenes vízszintes

aszimptotája.

6.4. FÜGGVÉNYEK ASZIMPTOTÁI 95


−∞ torlódási pontja. Ha limx→−∞ f (x) = l és l véges szám, akkor azt mond-

juk, hogy a függvénynek a −∞-ben az y = l egyenletu egyenes vízszintes

aszimptotája.


x0 ∈ R torlódási pontja. Ha limx%x0

f (x) = ±∞ , akkor azt mondjuk, hogy a

függvénynek az x = x0 egyenletu egyenes bal oldali függoleges aszimptotája.


Definíció 6.4.4 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek

a x0 ∈ R torlódási pontja. Ha limx&x0

f (x) = ±∞ , akkor azt mondjuk,

hogy a függvénynek az x = x0 egyenletu egyenes jobb oldali függoleges

aszimptotája.

6.4.2 Ferde aszimptoták


+∞ torlódási pontja. Az y = mx+ n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenesa +∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim

x→+∞ |f (x)−mx− n| = 0.


−∞ torlódási pontja. Az y = mx+ n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenesa −∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim

x→−∞ |f (x)−mx− n| = 0.

6.5. PONTBELI HATÁRÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 97

Tétel 6.4.7 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a +∞torlódási pontja. Az y = mx+n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenes a +∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim

x→+∞f(x)x= m és lim

x→+∞ f (x)−mx =n.

Bizonyítás 32 limx→+∞ |f (x)−mx− n| = 0 egyenértéku azzal, hogy

limx→+∞ (f (x)−mx− n) = 0 (6.1)

vagy

limx→+∞x

µf (x)

x−m− n

x

¶= 0,

ahonnan szükségszeru, hogy

limx→+∞

µf (x)

x−m− n

x

¶= 0.

Tehát ebben az esetben

limx→+∞

µf (x)

x

¶= m,

és akkor (6.1) összefüggés alapján limx→+∞ (f (x)−mx) = n.

6.5 Függvények pontbeli határértékének

kiszámítása

1. Polinomfüggvény határértéke. Ha P (x) =nPk=0

akxk, ak ∈ R, an 6= 0

polinomfüggvény, akkor bármely x0 ∈ R (véges vagy végtelen) számesetén

limx→x0

P (x) = P (x0) .


Példák. limx→1

¡4x2 + 3x− 1¢ = 6, lim

x→∞¡x2 − 1¢ = +∞,

2. Racionális függvény határértéke.Ha P és Q polinomfüggvények és

Q (x0) 6= 0, akkorlimx→x0

P (x)

Q (x)=P (x0)

Q (x0).

Példák. limx→1

4x+1x+2

= 53, limx→3

2x7+1x2−5 =

43754, limx→−∞

x4+1x2+2

= +∞.

Ha Q (x0) = 0, akkor külön tanulmányozás szükséges. Éspedig, ha

P (x0) 6= 0, akkor bal és jobb oldali határértékeket kell számítani,

amelyek alapján kapjuk, hogy

limx%x0

P (x)

Q (x)= ±∞és lim

x&x0P (x)

Q (x)= ±∞.

Példák. limx→1

1x−1 . Mivel az 1/0 esethez jutunk ki kell számítani a

bal és jobb oldali határértékeket:

limx%1

1

x− 1 = −∞és limx&11

x− 1 = +∞.

A határérték nem létezik mivel a bal és jobb oldali határértékek

különbözok.

limx→1

1

(x−1)2 . Mivel az 1/0 esethez jutunk ki kell számítani a balés jobb oldali határértékeket:

limx%1

1

(x− 1)2 = +∞ées limx&11

(x− 1)2 = +∞.

Tehát

limx→1

1

(x− 1)2 = +∞

Ha Q (x0) = P (x0) = 0, akkor addig egyszerusítünk x−x0-val, amígaz elozo két eset valamelyikéhez nem jutunk.

Példák.

limx→1

x2 − 1x− 1 = lim

x→1(x− 1) (x+ 1)

x− 1 = limx→1

(x+ 1)

1= 2;


limx→3

x3 − 9x2 + 27x− 27x3 − 27 = lim

x→3(x− 3)3

(x− 3) (x2 + 3x+ 9)

= limx→3

(x− 3)2(x2 + 3x+ 9)

= 0.

Ha x0 = ±∞, akkor a határértéket úgy számoljuk mint a soroza-toknál.

3. Gyökfüggvény határértéke. Ha n egy páratlan, 2-nél nagyobb ter-

mészetes szám, akkor bármely x0 ∈ R pontban.

limx→x0

n√x = n

√x0;

limx→+∞

n√x = +∞;

limx→−∞

n√x = −∞.

Ha n egy páros, 1-nél nagyobb természetes szám, akkor bármely

x0 ∈ R+ pontban.

limx→x0

n√x = n

√x0;

limx→+∞

n√x = +∞;

limx&0

n√x = 0.


Példák. limx→2√x2 + 1 =

√5; lim

x→−33√x3 − 1 = −28;

limx→0

√x2 + 1−√1− x2

x

= limx→0

³√x2 + 1−√1− x2

´³√x2 + 1 +

√1− x2

´x³√x2 + 1 +

√1− x2

´= limx→0

x2 + 1 + x2 − 1x³√x2 + 1 +

√1− x2

´= limx→0

2x2

x³√x2 + 1 +

√1− x2

´= limx→0

2x³√x2 + 1 +

√1− x2

´ = 0.4. Exponenciális függvény határértéke.Legyen a > 0, a 6= 1. Akkor

bármely x0 ∈ R esetén

limx→x0

ax = ax0 ,

limx→+∞a

x =

½+∞ ha a > 1,

0 ha 0 < a < 1,

limx→−∞a

x =

½0 ha a > 1,

+∞ ha 0 < a < 1.

limx→2

3x = 9; limx→−∞ 5

x = 0; limx→0

¡12

¢x= 1;

5. Hiperbolikus függvények határértéke. a szinuszhiperbolikus füg-

gvényt sh-val jelöljük és így értelmezzük:sh : R→ R,

sh (x) =ex − e−x

2;

a koszinuszhiperbolikus függvényt ch-val jelöljük és így értelmezzük:

ch : R→ R,

ch (x) =ex + e−x

2;


a tangenshiperbolikus függvényt th-val jelöljük és így értelmezzük:

th : R→ R,

th (x) =sh (x)

ch (x).

Bármely x0 ∈ R eseténlimx→x0

sh (x) = sh (x0) ;

limx→x0

ch (x) = ch (x0) ;

limx→x0

th (x) = th (x0) ;

limx→+∞ sh (x) = +∞;lim

x→−∞ sh (x) = −∞;lim

x→+∞ ch (x) = +∞;lim

x→−∞ sh (x) = +∞;

Példák. limx→0

sh (x) = sh (0) = 0; limx→0

ch (x) = ch (0) = 1.

6. Logaritmusfüggvény határértéke. Legyen a > 0, a 6= 1. Bármely

x0 > 0 szám esetén:

limx→x0

loga x = loga x0;

limx&0

loga x =−∞ ha a > 1,

+∞ ha 0 < a < 1,

limx→+∞ loga x =

+∞ ha a > 1,

−∞ ha 0 < a < 1.

Példák. limx→1

lnx = 1; limx→0

log1/2 x =∞;

7. Trigonometriai függvények határértéke. Legyen x0 ∈ R.limx→x0

sinx = sin (x0) ;

limx→x0

cosx = cos (x0) ;

limx→x0

tanx = tan (x0) , ha x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z;

limx→x0

cotx = cot (x0) , ha x = kπ, k ∈ Z;


Mivel ezek a függvények periódikusak, ezért ±∞-ben nincs

határértékük.

limx%(2k+1)π

2

tanx = +∞, ha k ∈ Z;

limx&(2k+1)π

2

tanx = −∞, ha k ∈ Z;

limx%kπ

cotx = −∞, ha k ∈ Z;

limx&kπ

cotx = +∞, ha k ∈ Z.

Egy nagyon fontos határérték következik:

limx→0

sinx

x= 1.

Ezt az összefüggést igazoljuk is.

Bizonyítás 33 Elore készítsük el a következo ábrát, mivel ez segít

a gondolatmenet megértésében.

Az OAC∆ területe kisebb mint az OACkorcikk területe s ez kisebb

mint az OAB∆ területe. Tehát

1

2sinx ≤ 1

2x ≤ 1

2tanx, ha 0 < x <

π

2.


Az egyenloséget megszorozva 2sinx

-el kapjuk:

1 ≤ x

sinx≤ cosx.

Az egyenlotlenség igaz akkor is, ha −π2< x < 0 a cos és az f :¡−π

2, π2

¢ \ 0→ R, f (x) = xsinx

páros függvények. Tehát

1

cosx≤ sinx

x≤ 1, ha x ∈

³−π2,π

2

´\ 0

Ha mos veszünk egy olyan (xn)n≥1 sorozatot, amelynek a határértéke0, de xn 6= 0, akkor a sorozat tagjai egy bizonyos n0 ∈ N küszöbindex-tol kezdve a

¡−π2, π2

¢intervallumban lesznek. Következésképpen

1

cosxn≤ sinxn

xn≤ 1 , bármely n ≥ n0 esetén.

Határértékre térve kapjuk:

limn→+∞

1

cosxn≤ limn→+∞

sinxn

xn≤ 1, vagyis

1 ≤ limn→+∞

sinxn

xn≤ 1.

A 6.2.17 tétel alapján akkor a limx→0

sinxx= 1.

Példák.

limx→0

sin 3x

x= limx→0

sin 3x

3x

3x

x= 3 lim

x→0sin 3x

3x= 3;

limx→0

1− cosxx2

= limx→0

2 sin2 x2

x2= 2 lim

x→0

µsin x

2

x

¶2= 2 lim

x→0

µsin x

2x2

x2

x

¶2= 2 lim

x→0

µsin x

2x2

1

2

¶2= 2

1

4limx→0

µsin x

2x2

¶2=1

2.

8. e-s határérték. Az e szám értelmezésébol könnyen kapjuk, hogy

limx→+∞

µ1 +

1

x

¶x= e.


Az x = 1/y helyettesítéssel kapjuk

limy→0

(1 + y)1y = e.

9. Más az e számhoz tarttozó határértékek.

limx→0

ln (1 + x)

x= 1,

mivel limx→0

ln(1+x)x

= limx→0

ln (1 + x)1x = ln e = 1.

limx→0

ax − 1x

= ln a, ha a > 0és a 6= 1,

mivel limx→0

ax−1x

= limu→0

u ln aln(1+u)

= ln a limu→0

uln(1+u)

= ln a. Itt fel-

használtuk az u = ax − 1 helyettesítést.

limx→0

(1 + x)r − 1x

= r, ha r ∈ R,

mivel limx→0

(1+x)r−1x

= limv→0

2rv−12v−1 = lim

v→0

2rv−1rv

r2v−1v

= r ln 2ln 2

= r. Itt fel-

használjuk az 1 + x = 2v helyettesítést.

6.6 Valós-valós függvények pontbeli

folytonossága

Elorebocsátjuk, hogy a folytonosság a matematika és a ter-

mészettudományok egyik legalapvetobb fogalma.

A folytonosság a mindennapi nyelvben elég gyakran használt foga-

lom. Például akkor használják, ha úgy akarják jellemezni a változást,

mint fokozatost a hirtelen változással szemben. Az ilyen értelemben való

szóhasználat szoros kapcsolatban van a folytonos függvény fogalmával.

Lényegében egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha a független

változó kis változtatása a függvény értékeinek kis változását eredményezi.

Az elozo paragrafus példáiból is látszik, hogy a határérték számítását

egy olyan pont környezetében végeztük el, amely nem tartozik hozzá az

értelmezési tartományhoz. Az ilyen pontban a folytonosság kérdése fel

6.6. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 105

sem merül. Tehát az elso különbség a két fogalom között az , hogy a

pontbeli folytonosságot csak az értelmezési tartomány pontjaiban, pont-

beli határértéket pedig az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban szá-

molhatjuk.

A másik különbség, amint a továbbiakban majd látni fogunk, hogy

elofordulhat, hogy egy függvénynek van határértéke egy adott pontban,

de nem folytonos abban a pontban.

Ezeket a külömbségeket figyelembevéve az izolált pontoktól eltekintve

a függvény határértéke a folytonosság egy általánosításaként fogható fel.

Geometriailag egy függvény folytonos, ha grafikus képe összefüggo,

vagyis nincsenek szakadásai. A mellékelt ábrákon egy folytonos és egy

szakadásos függvény grafikus képe látható:

Folytonos függvény.

Szakadásos függvény.

A matematika természettudományokban és közgazdaságtanban való


alkalmazásaiban egy függvény gyakran valamilyen jelenség idobeli vál-

tozását jellemzi. Ekkor a függvény folytonossága a jelenség folytonosságát

tükrözi. Gondoljunk például a homérsklet, mint az ido függvényére, ami

folytonosan változik, nem ugrik egyik értékrol a másikra anélkül, hogy a

közbeeso értékeket felvenné. Másrészt, például a valamilyen tárgy piaci

ára mindig racionális szám kell legyen és ez mint az ido függvénye nem

folytonos függvény.

A folytonosság fogalmának matematikai meghatározása az alábbi:

Definíció 6.6.1 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában folytonos, ha min-den ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ A esetén,

ha |x− x0| < δ, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.

Megjegyzés 6.6.2 A definicióban szereplo ε-t hibahatárnak, vagy hibako-

rlátnak, a δ-t pedig az ε-hoz rendelt küszöbszámnak nevezzük.

Figyelem! Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy adott függvény

folytonosságáról vagy szakadásosságáról csak az értelmezési

tartomány pontjaiban beszélhet- tünk.

Az f függvény folytonosságát kétféleképpen is szemléltethetjük:

1. Tetszés szerint megadjuk az ε hibahatárt és megjelöljük a koordiná-

tasíkban az R× (f (x0)− ε, f (x0) + ε) sávot.

A létezik δ küszöbszám azt jelenti, hogy az f összes olyan pontja,

amelynek elso komponense az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumban van

hozzátartozik a sávhoz.


2. Tetszés szerint megadjuk az ε hibahatárt és megjelöljük a számegye-

nesen (f (x0)− ε, f (x0) + ε) intervallumot A létezik δ küszöbszám

azt jelenti, hogy az f szerini hozzárendelést szemlélteto összes olyan

nyíl, amelynek kezdopontja az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumban van

az (f (x0)− ε, f (x0) + ε) intervallumban végzodik.

Definíció 6.6.3 Ha az f : A→ R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem folytonos,


akkor azt mondjuk, hogy az f szakadásos az x0-ban, vagy hogy az x0 az

f-nek szakadási pontja.

Megjegyzés 6.6.4 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós füg-gvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában szakadásos,

ha létezik ε > 0 szám úgy, hogy bármely δ > 0 esetén , találunk olyan

x ∈ A számot, amelyre |x− x0| < δ és |f (x)− f (x0)| ≥ ε.

Hogy az f szakadásos grafikonon szemléltetve azt jelneti, hogy találunk

olyan R × (f (x0)− ε, f (x0) + ε) sávot, amelyre bármely δ küszöbszám

esetén az f -nek lesznek pontjai a sávon kivul, amikor az x komponens

végigjárja az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumot.

Feladat. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = ax+ b, (a 6= 0) elsofokúfüggvény folytonos!

Megoldás Legyen x0 ∈ R az értelmezési tartomány egy pontja és

legyen ε > 0 szám. Akkor, ha: |f (x)− f (x0)| < ε, akkor

|ax+ b− ax0 − b| < ε. Tehát |x− x0| < ε/ |a|. Következéskép-

pen, ha δ = ε/ |a|, akkor következik, hogy bármely x ∈ R, amelyre|x− x0| < δ következik, hogy |f (x)− f (x0)| < ε. Ami azt jelent,

hogy az f folytonos az x0-ban.


Feladat. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = [x] , egészrész függvényszakadásos minden x0 ∈ Z pontban!

Megoldás. Az igazolást segíti, ha megrajzoljuk a függvény grafikonját.

-200

0

200

400

600

800

1000

-4 -2 2 4

A grafikon azt mutatja, hogy a függvénynek minden egész pontban

egy egységnyi ugrása van.

Legyen most x0 ∈ Z ( például x0 = 2). Választjuk ε = 1/4.

Akkor bármely δ > 0 esetén, minden olyan x ∈ R számra, amelyre|x− x0| < δ és x < x0 következik, hogy |f (x)− f (x0)| = 1 > ε.

Ami éppen azt mutatja, hogy az f -nek az x0 szakadási pontja.

Gyakran elofordul, hogy egy függvény nem folytonos valamelypontban,

azonban valamely leszukítése már folytonos. Ilyen esetekre vezették be a

bal oldali illetve jobb oldali folytonosság fogalmát.

Definíció 6.6.5 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában balról folytonos, haminden ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ A esetén,ha |x− x0| < δ és x < x0, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.

Definíció 6.6.6 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában jobbról folytonos,

ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ Aesetén, ha |x− x0| < δ és x > x0, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.

Az alábbi tétel kapcsolatot teremt a folytonosság a bal oldali és jobb

oldali folytonosságok között.


Tétel 6.6.7 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely belso x0 ∈ A pontjában akkor és

csakis akkor folytonos, ha balról és jobbról is folytonos ebben a pontban.

Tétel 6.6.8 Az f : [a, b]→ R valós változós valós függvény az a pontbanakkor és csakis akkor folytonos, ha jobbról folytonos ebben a pontban.

Tétel 6.6.9 Az f : [a, b] → R valós változós valós függvény az b pontbanakkor és csakis akkor folytonos, ha balról folytonos ebben a pontban.

A tételekben megfogalmazott kijelentések annyira nyilvánvalók, hogy

bizonyításoktól eltekintünk.

Tétel 6.6.10 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartomány minden izolált pontjában folytonos.

Bizonyítás 34 Ha az x0 egy izolált pontja az A-nak, akkor létezik egy

olyan δ > 0 szám, amelyre (x0 − δ, x0 + δ)∩A = x0 . Következésképpen,bármely ε > 0 esetén, ha x ∈ A számra, amelyre |x− x0| < δ, akkor

x = x0. Tehát |f (x)− f (x0)| = 0 < ε.

Tétel 6.6.11 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A nem izolált pontjában akkor

és csakis akkor jobbról folytonos, ha van jobb oldali véges határértéke és

ez a határérték megegyezik az f (x0)-val.

Bizonyítás 35 Feltételezzük, hogy a függvény jobbról folytonos az x0-ban.

Legyen ε > 0. Mivel f jobbról folytonos, következik, hogy létezik a δ > 0

küszöbszám úgy, hogy bármely x > x0, x ∈ A esetén, ha |x− x0| < δ,

akkor |f (x)− f (x0)| < ε. De ez éppen azt jelenti, hogy limx&x0

f (x) =

f (x0) . Fordítva, ha limx&x0

f (x) = f (x0) , bármely ε > 0 számra létezik a

δ > 0 küszöbszám úgy, hogy bármely x > x0, x ∈ A esetén, ha |x− x0| < δ,

akkor |f (x)− f (x0)| < ε. De ez éppen azt jelent, hogy f folytonos az x0-

ban.

Teljesen hasonló gondolatmenettel igazolhatók a követekezo tételek.

Tétel 6.6.12 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A nem izolált pontjában akkor

és csakis akkor balról folytonos, ha van bal oldali véges határértéke és ez a

határérték megegyezik az f (x0)-val.


Tétel 6.6.13 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A belso pontjában akkor és

csakis akkor folytonos, ha van jobb valamint bal oldali véges határértéke

és ezek a határérték egyenlok az f (x0)-val.

A függvény pontbeli határértékének sorozatos értelmezésének (6.2.17

tétel) és az elobbi tétel egy következménye.

Tétel 6.6.14 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós füg-gvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában akkor és

csakis akkor folytonos, ha bármely (xn)n≥1, xn ∈ A sorozat esetén, ha

limn→+∞xn = x0, akkor lim

n→+∞ f (xn) = f (x0) .

Definíció 6.6.15 Ha az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valósfüggvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem

folytonos, de bal és jobb oldali határértékei ebben a pontban végesek, akkor

azt mondjuk, hogy a függvénynek az x0-ban elsofajú szakadási pontja van.

Definíció 6.6.16 Ha az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valósfüggvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem

folytonos, de az x0 nem elsofajú szakadási pont, akkor azt mondjuk, hogy,

hogy a függvénynek az x0-ban másodfajú szakadási pontja van.

Példák. 1. Tanulmányozzuk az f : R→ R,

f (x) =

½x− 1 ha x ≥ 1,x ha x < 1,

függvény folytonosságát az x0 = 1 pontban.

Mivel f (1− 0) = limx%1

f (x) = limx%1

x = 1, f (1 + 0) =

limx&1

f (x) = limx&1

x − 1 = 0 és f (1) = 0 értékek nem egyen-

lok, de a jobb és bal oldali határértékek végesek következik,

hogy az f -nek az 1 pont elsofajú szakadási pontja.

2. Tanulmányozzuk az f : R→ R,

f (x) =

½x2 ha x ≥ 0,−x ha x < 0,

függvény folytonosságát az x0 = 0 pontban.


Mivel f (0− 0) = limx%0

f (x) = limx%0−x = 0, f (0 + 0) =

limx&0

f (x) = limx&1

x2 = 0 és f (0) = 0 értékek egyenlok,

következik, hogy az f a 0-ban folytonos.

3. Vannak olyan függvények is, amely az értelmezési tartományuk

egyik pontjában sem folytonosak. Erre egy példa a következo:

f : R→ R,

f (x) =

½1 ha x racionális szám,

0 ha x irracionális szám.

Ezt a függvényt hívják Dirichlet-féle függvénynek. Ez a füg-

gvény gyakorlatilag nem ábrázolható, de igazolható, hogy

egy pontban sem folytonos. Ennek érdekében legyen x0egy racionális szám. Választjuk az

¡1n+ x0

¢n≥1 racionális

tagú sorozatot. Ennek a sorozatnak a határértéke x0 és az

f (xn) = 1 általános tagú sorozat határértéke 1. Most vegyük

a¡πn+ x0

¢n≥1 irracionális tagú sorozatot. Ennek a sorozat-

nak a határértéke x0 és az f (yn) = 0 általános tagú sorozat

határértéke 0. Következésképpen találtunk két olyan különbüzo

sorozatot, amelyeknek a határártákük x0, de a behelyettesítési

értékekbol képzett sorozatok határértéke különbözo. Így a

6.2.17 tétel alapján az x0-ban a függvénynek másodfajú sza-

kadási pontja van.

Most legyen x0 egy irracionális szám. Választjuk az¡1n+ x0

¢n≥1 irrracionális tagú sorozatot. Ennek a sorozat-

nak a határértéke x0 és az f (xn) = 0 általános tagú sorozat

határértéke 0. Mivel minden irracinális szám eloállítható mint

valamely racionális tagú sorozat határértéke, következik, hogy

létezik egy olyan (yn)n≥1racionális tagú sorozat, amelynek ahatárértéke éppen x0. Ebben az esetben az f (yn) = 1 ál-

talános tagú sorozat határértéke 1. Következésképpen találtunk

két olyan különbüzo sorozatot, amelyeknek a határártákük x0,

de a behelyettesítési értékekbol képzett sorozatok határértéke

különbözo. Így a 6.2.17 tétel alapján az x0-ban a függvénynek

másodfajú szakadási pontja van. Összefoglalva ez azt jelenti,

hogy a Dirichlet-féle függvénynek a valós számtengely minden

pontja másod- fajú szakadási pont.

6.7. ADOTT HALMAZON FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 113

Mivel a folytonosság tanulmányozása visszavezetheto a pontbeli

határérték meghatározására, ezért a folytonos függvényekre is kijelen-

thetünk egy a 6.3.4 tételhez hasonló tételt.

Tétel 6.6.17 Tekintsük az f : A → R és g : A → R( A ⊆ R) füg-gvényeket, legyen x0 egy pontja az A-nak. Ha f és g folytonosak az

x0-ban, akkor f + g, f − g, fg, |f | ,max f, g , min f, g függvények isfolytonosak az x0-ban. Ha g (x0) 6= 0, akkor az f/g függvény is folytonos.

Tétel 6.6.18 Tekintsük az f : A → B és g : B → R( A,B ⊆ R és

f (a) ⊆ B) függvényeket, legyen x0 egy pontja az A-nak és y0 = f (x0) egypontja B-nek. Ha f folytonos az x0-ban és g folytonos az y0-ban, akkor

g f összetett függvény is folytonos az x0-ban.

Bizonyítás 36 Legyen (xn)n≥1 olyan sorozat, amelyre xn ∈ A és

limn→+∞xn = x0. Mivel az f folytonos az x0-ban következik, hogy

limn→+∞ f (xn) = f (x0) . Mivel g folytonos az f (x0)-ban és lim

n→+∞ f (xn) =

f (x0) következik, hogy limn→+∞ g (f (xn)) = g (f (x0)) . Ami éppen azt je-

lenti, hogy limn→+∞ g f (xn) = g f (x0) és, hogy g f folytonos az x0-ban.

6.7 Adott halmazon folytonos függvények

Definíció 6.7.1 Az f : A→ R (A ⊆ R ) függvény folytonos az A halma-zon, ha az A minden pontjában folytonos.

Definíció 6.7.2 Az A ⊆ R halmazt kompaktnak nevezzük, ha korlátos észárt.

Megjegyzés 6.7.3 Tulajdonképpen A ⊆ R halmaz akkor és csakis akkorkompakt ha véges számú zárt intervallum egyesítése képpen írható fel.

A továbbiakban ismertetjük adott halmazon folytonos függvényekkel

kapcsolatos legfontosabb globális jellegu eredményeket.

Tétel 6.7.4 (Bolzano tétele) Ha f : [a, b] → R függvény folytonos és

f (a) · f (b) < 0, akkor létezik egy c ∈ (a, b) úgy, hogy f (c) = 0.


Bizonyítás 37 Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy

f (a) < 0 és f (b) > 0. Ellenkezõ esetben az f függvény helyett a tula-

jdonságot a −f függvényre vizsgáljuk. A tétel bizonyítását végezzük in-

direkt módon, vagyis feltételezzük, hogy f (x) 6= 0 bármely x ∈ (a, b) es-etén. Felezzük az [a, b] intervallumot. Az így kapott λ felezõpontra vagy

f (a) · f (λ) < 0 vagy f (b) · f (λ) < 0. Ha az elsõ eset áll fenn, akkor

legyen a1 = a és b1 = λ ellenkezõ esetben legyen a a1 = λ és b1 = b.

Felezzük most az [a1, b1] intervallumot. Az így kapott λ felezõpontra vagy

f (a1) · f (λ) < 0 vagy f (b1) · f (λ) < 0. Ha az elsõ eset áll fenn, akkor

legyen a2 = a1 és b2 = λ ellenkezõ esetben legyen a a2 = λ és b2 = b1. És

így tovább, általában a szerkesztést az alábbi módon végezzük el:½an+1 = an, bn+1 =

an+bn2

ha f (an) · f¡an+bn2

¢< 0,

an+1 =an+bn2, bn+1 = bn ha f (bn) · f

¡an+bn2

¢< 0.

Azonnal látható, hogy f (an) f (bn) < 0.

Az így kapott [an, bn] intervallumok hosszát a következõ képpen határoz-

zuk meg: Mivel λ felezõpontja volt az [a, b] intervallumnak , ezért

|b1 − a1| = 1

2|b− a|

Mivel λ felezõpontja volt az [a1, b1] intervallumnak , ezért

|b2 − a2| = 1

2|b1 − a1| = 1

22|b− a|

6.7. ADOTT HALMAZON FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 115

És így tovább kapjuk:

|bn − an| = 1

2n|b− a| , (6.2)

bármely n ∈ N esetén. Határértékre térve a (6.2) összefüggésben kapjuk,hogy

limn→+∞ |bn − an| = lim

n→+∞1

2n|b− a| = 0. (6.3)

Mivel az (an)n≥1 sorozat növekvõ és minden tagja kisebb mint b1következik, hogy konvergens. Hasonlóan a (bn)n≥1 sorozat csökkenõ ésminden tagja nagyobb mint a1 következik, hogy konvergens. De a (6.3)

összefüggés alapján következik, hogy az (an)n≥1 és a (bn)n≥1 sorozatok-nak úgyanaz a határértékük jelöljük ezt c-vel. Mivel az (an)n≥1 növekvõés (bn)n≥1 csökkenõ nyílvánvaló, hogy c ∈ [a, b] intervallumnak. Mivelfeltevés alapjánf folytonos és f (c) > 0 vagy f (c) < 0 következik,

hogy az f a c egy környezetében elõjeltartó. Ennek alapján létezik egy

olyan ε > 0 szám amelyre bármely x ∈ [a, b] számra ha |x− c| < ε,

akkor f (x) f (c) > 0. A határérték értelmezése alapján, létezik egy olyan

n0 ∈ N küszöbindex, amelyre bármely n ≥ n0 esetén 0 ≤ c − an < ε

0 ≤ bn− c < 0 . Tehát f (an) f (c) > 0 és f (bn) f (c) > 0. Következéskép-pen f (an) f (bn) > 0. Ami ellentmond a szerkesztésben megadott tulajdon-

ságnak. Következésképpen f (c) = 0.

Tétel 6.7.5 Ha az f : A→ R (A ⊆ R ) függvény folytonos az A kompakthalmazon, akkor az f korlátos.

Bizonyítás 38 Tegyük fel, hog az f nem korlátos, Ekkor minden k ∈ Ntermészetes számhoz találunk olyan xk ∈ A elemet, amelyre f (xk) > k.

Az (xk)k≥1 sorozat korlátos mivel egy korlátos halmaznak az elemeibolvan alkotva. Tehát tartalmaz egy konvergens részsorozatot, jelöljük ezt is

(xk)k≥1-val. Mivel A zárt, következik, hogy limk→+∞

xk = x0 ∈ A. Mivel ffolytonos az x0-ban következik, hogy lim

k→+∞f (xk) = f (x0), de az f (xk)

sorozat nem volt korlátos, ami ellentmond annak a ténynek, hogy minden

konvergens sorozat korlátos. Következésképpen f korlátos kell legyen.

Tétel 6.7.6 (Weierstrass tétele) Ha f : [a, b]→ R függvény folytonos,akkor léteznek az olyan c, d ∈ [a, b] pontok, amelyekre

f (c) = sup f (x) / x ∈ [a, b] ,f (d) = inf f (x) / x ∈ [a, b] .


Bizonyítás 39 Az elozo tétel alapján az f függvény korlátos. Tehát

létezik egy olyan M szám amelyre M = sup f (x) / x ∈ [a, b] . Tulaj-donképpen azt kell igazolni, hogy létezik egy olyan c ∈ [a, b] pont amelyreM = f (c) . Tételezzük fel az ellentétesét, ami azt jelenti, hogy f (x) < M

bármely x ∈ [a, b] esetén. Jelöljük g a következo folytonos függvényt:

g (x) = M − f (x) . Azonnal látható, hogy g pozitív, tehát a h = 1/g

függvény is folytonos. Tehát az elozo tétel alapján a h is folytonos.

Következik, hogy létezik olyan K > 0 szám, hogy h (x) = 1/g (x) =

1/ (M − f (x)) < K. Legyen ε = 1/K. Következésképpen M − f (x) > ε.

Tehát f (x) < M − ε, bármely x ∈ [a, b] esetén. Következésképpen Mnem a legkisebb felso korlát. Ez ellentmond a feltevésnek, tehát létezik egy

olyan c ∈ [a, b] pont amelyre M = f (c) .

Megjegyzés 6.7.7 A Weirstrass tétele a szélsoértékszámításnak egyik ki-

indulópontja, ezért jelentõségét a szélsõértékfeladatok megoldásakor fogjuk

szmelél- tetni.

Tétel 6.7.8 Tekintsük az I intervallumon folytonos f : I → R függvénytés legyen U = f (I) . Az f : I → U függvény akkor és csakis akkor bijektív,

ha szigorüan monoton és ebben az esetben az f−1 : U → I függvény is

folytonos és szigorúan monoton.

Bizonyítás 40 Ha f bijektív, akkor bármely az értéktartományon belüli

értéket csak egyszer vehet fel. Ha nem volna monoton, akkor létezne egy

olyan része a függvénynek, amely ugyanzon értékeket más behelyettesítési

értékekre veszi fel, ez ellentmod az injektívitásnak.

A függvény értékkészlete úgy van definiálva, hogy a szürjektivítás tel-

jesüljön. Ha szigorúan monoton, akkor két különbözõ pontban más és más

függvényértékek vannak, ami azt jelent, hogy a függvény injektív.

Fejezet 7

Egyváltozós függvények

deriváltja

7.1 Az egyváltozós valós függvények deriváltja

Ebben a paragrafusban az egyváltozós valós függvények pontbeli derivál-

hatóságát és alaptulajdonságait vizsgáljuk.

A függvények vizsgálatának egyik legalapvetobb eszköze a derivált.

Ennek segítségével tudjuk eldönteni, hogy a függvény milyen vátozá-

sokat szenved, ha az értelmezési tarományán végighaladva külöbözo pon-

tokban számítjuk a relatív változásokat. Ha egy folyamatot vizsgálunk

mindig egyik legalapvetobb mennyiség amit számítunk a folyamat vál-

tozási sebessége. Hogy eljussunk a derivált fogalmához vizsgáljuk meg

egy egyenesvonalú mozgás folyamatát.

A mozgást egyenesvonalúnak nevezzük, ha pályája egy egyenes.

Legyen t1 az az idopont amikor a test az A pontban van, és jelöljük

B-vel azt a pontot, ahová a test a t1 + 1 ido múlva jut. Ennek az út-

nak a hossza x (t1 + 1) − x (t1) = vk. Ha a megtett út hosszát méterben

117

118 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA

mérjük akkor azt mondhatjuk, hogy a test egy másodperc alatt vk m-t

tett meg, vagy még azt is mondhatjuk, hogy a test közepes sebessége v1méter/másodperc.

Ha ezt a fogalmat általánosítjuk és nem 1 másodperc múlva mérjük a

megett utat, hanem mondjuk ∆t ido múlva, akkor az x (t1 +∆t)− x (t1)út megtételéhez ebben az esetben ∆t ido szükséges. Tehát ekkor a a vkközepes sebesség

vk =x (t1 +∆t)− x (t1)

∆t. (7.1)

Ez a számérték nyilván csak átlagos jellemzoje a sebességnek, hiszen ez

pillanatról pillanatra változhat a [t1, t1 +∆t] idointervallumban. Nekünk

arra volna szükségünk, hogy egy adott pillanatban határozzuk meg a

sebességet. Ennek érdekében úgy járhatunk el, hogy csökkentjük∆t idoin-

tervallum hosszát, újra lemérjük a megtett x (t1 +∆t)−x (t1) utat és újrakiszámítjuk az (7.1) hányadost. Nyílvánvaló, hogy ebben az esetben egy

jobb közelítését kapjuk a t1 idoponthoz tartozó sebességnek. A t1-beli

pontos pillanatnyi sebességet akkor kapjuk meg, amikor ∆t-vel tartunk

a zéróhoz és vesszük az (7.1) hányados határértékét. Tehát a t1-beli pil-

lanatnyi sebesség

v (t1) = lim∆t→0

x (t1 +∆t)− x (t1)∆t

. (7.2)

Minden idoponthoz hozzárendelhetjük a pillanatnyi sebességet, amely tu-

lajdonképpen azt mutatja meg, hogy az adott pillanatban milyen relatív

változást szenved a mozgás.

Mivel nem csak a mozgást, hanem bármely folyamatot (lehet az

közgazdasági folyamat is) leírhatunk függvények segítségével, ezért a (7.2)

tipusú határértékeknek nagy szerepük van a függvények és ezen keresztül

a folyamatok változási sebességének a meghatározásában.

Definíció 7.1.1 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy belso pontját. Ha létezik és véges a

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.3)

határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli deriváltjá-

nak, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0 (x0) vagy dfdx(x0) vagy

dfdx|x=x0vagy fx (x0) szimbólumokkal jelöljük.

7.1. A DERIVÁLT ÉRTELMEZÉSE 119

Definíció 7.1.2 Ha az f : A → R függvény deriválható az x0 ∈ A pont-

ban, akkor a D : R→ R, D (h) = f 0 (x0)h függvény az f differenciálja azx0 pontban. A D változóját a h-t még dx szimbolummal is szokták jelölni

és a D növekményének nevezik.

Megjegyzés 7.1.3 A derivált létezésének problémája nem vetodik fel az

értelmezési tartomány izolált pontjaiban.

Példák. Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = xn, n ∈ N hatványfüg-gvény x0 ∈ R pontbeli deriváltját.

f 0 (x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.4)

= limh→0

(x0 + h)n − xn0h

= limh→0

(h+ x0)n − xn0h

= limh→0

hn + C1nhn−1x0 + ...+ Cn−1n hxn−10 + xn0 − xn0

h

= limh→0

hn + C1nhn−1x0 + ...+ Cn−1n hxn−10

h

= limh→0

hn−1 + C1nhn−2x0 + ...+ Cn−1n xn−10 = nxn−10

Ez a képlet általánosítható bármilyen valós hatványkitevore.

Határozzuk meg az f : [0,+∞)→ R, f (x) = xr, r ∈ R\ 0hatványfüggvény x0 ∈ (0,+∞) pontbeli deriváltját.

f 0 (x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.5)

= limh→0

(x0 + h)r − xr0h

= limh→0

xr0

h³1 + h

x0

´r− 1i

h

= xr0 limh→0

³1 + h

x0

´r− 1

hx0

1

x0

= xr0r1

x0= rxr−10


Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = c, c ∈ R konsatans függvényx0 ∈ R pontbeli deriváltját.

f 0 (x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.6)

= limh→0

c− ch

= 0.

Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = sinx,szinusz függvény x0 ∈ Rpontbeli deriváltját.

f 0 (x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.7)

= limh→0

sin (x0 + h)− sin (x0)h

= limh→0

sin¡h2

¢cos¡x0 +

h2

¢h2

= cosx0.

Tétel 7.1.4 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ A egy

belso pontját. Ha az f deriválható az x0-ban, akkor f folytonos is ebben a

pontban.

Bizonyítás 41 Mivel

f (x0 + h)− f (x0) = f (x0 + h)− f (x0)h

h,

következik, hogy

limx→x0

f (x)− f (x0) = limx→x0

f (x0 + (x− x0))− f (x0)= limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

= limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

h

= f 0 (x0) · 0 = 0.

Tehát limx→x0

f (x) = f (x0) . Következésképpen f folytonos az x0-ban.


Megjegyzés 7.1.5 Fordítva nem igaz a tétel. Más szóval léteznek olyan

függvények amelyek egy adott pontban folytonosak, de nem deriválhatók

ebben a pontban. Ennek bizonyítására szolgál az alábbi példa.

Példa. f : R→ R, f (x) = |x| abszolútérték függvény tudjuk, hogyfolytonos és igazoljuk, hogy mégse deriválható az x0 = 0-ban.

Mielott igazolnánk ábrázoljuk a függvény grafikonját.

0

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4

Most nézzük meg miért nem deriválható az x0 = 0-ban.

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

=

= limh→0

|0 + h|− |0|h

= limh→0

|h|h.

Mivel limh%0

|h|h= −1 és lim

h&0|h|h= 1 ezért a lim

h→0f(x0+h)−f(x0)

hhatárérték

nem létezik. Következésképpen az függvény az x0 = 0-ban nem

deriválható.

Megjegyzés 7.1.6 Léteznek olyan függvények is, amelyek értelmezési

tartományuk minden pontjában folytonosak, de eggyik pontjukban sem de-

riválhatók. Ennek érdekében vizsgáljuk meg a következo példát.

Példa. Minden n ∈ N esetén tekintjük az fn : R→ R,

fn (x) =

½x ha x ∈ £ 2k

4n, 2k+14n

¤,

24n− x ha x ∈ ¡2k+1

4n, 2k+24n

¤,


ahol k ∈ Z.

Az értelmezésbol és a rajzról is nyilvánvaló, hogy bármely n-re az

fn függvények folytonosak. A rajzról az is leolvasható, hogy minden

k/4n pont töréspontja az fn-nek. Tehát két szomszédos töréspont

távolsága 1/4n. Az is látható, hogy

|fn (x)| ≤ 1/4n (7.8)

bármely x ∈ R esetén. Táhát minden x-re az (fn (x))n≥1 sorozatkonvergens. A keresett f függvényt ezekbol a függvényekbol

összegezes útján szerkesztjük. Vagyis, bármely x ∈ R esetén:

f (x) =

+∞Xn=1

fn (x) .

Ez az összeg az (7.8) összefüggés alapján létezik és véges. Az (7.8)

összefüggésbol és az fn függvények folytonosságából az is következik,

hogy az f függvény folytonos.

Ki fogjuk mutatni, hogy az f egyetlen x0 ∈ R pontban sem derivál-

ható. A szerkesztésbol és az (7.8) összefüggésbol következik, hogy

minden n ∈ N esetén létezik olyan xn ∈ R szám, hogy az x0 és azxn között az fn-nek ne legyen töréspontja, és

|xn − x0| = 1

2

1

4n,

és akkor az fn függvény értelmezése alapján, bármely k = 1, 2, ..., n

esetén ¯fn (xn)− fn (x0)

xn − x0

¯= 1.


Másrészt, bármely p = n + 1, n + 2, ... esetén az fp függvények

periodikusak az 1214nperiódussal, ezért

fp (xn)− fp (x0) = 0.

Akkor

f (xn)− f (x0)xn − x0 =

+∞Xn=1

fn (xn)− fn (x0)xn − x0

=

nXk=1

fk (xn)− fk (x0)xn − x0 .

De ez a sor nem konvergens, mivel¯f (xn+1)− f (x0)

xn+1 − x0 − f (xn)− f (x0)xn − x0

¯= 1

Következésképpen az f nem deriválható.

A folytonossághoz hasonlóan itt is lehet értelmezni a bal oldali és ajobb

oldali deriváltakat.

Definíció 7.1.7 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy pontját. Ha létezik és véges a

limh%0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.9)

határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli bal oldali de-

riváltjának, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0b (x0) szimbólum-mal jelöljük.

Definíció 7.1.8 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy pontját. Ha létezik és véges a

limh&0

f (x0 + h)− f (x0)h

(7.10)

határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli jobb oldali de-

riváltjának, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0j (x0) szimbólum-mal jelöljük.


A függvény folytonosságának tanulmányozásakor hasznos kritérium

a bal és jobb oldali határértékeknek a behelyettesítési értékkel való

azonossága. Ezt a módszert alkalmazzuk adott pontban a függvény de-

riválhatóságának tanulmányozására is, tekinettel arra, hogy a derivál-

hatóság egy bizonyos határérték létezését jelnti.

Tétel 7.1.9 Ha az f : A → R (A ⊆ R) függvény az x0 ∈ A pontban

deriválható, akkor f 0b (x0) = f 0j (x0) = f 0 (x0) . Fordítva, ha az f 0b (x0)és f 0j (x0) számok léteznek és egyenlok, akkor f deriválható az x0-ban ésf 0b (x0) = f

0j (x0) = f

0 (x0) .

Példa. Igazoljuk, hogy az f : R → R, f (x) =p|x| függvény nem

deriválható az x0 = 0-ban.

Megoldás. Számítjuk a bal és jobb oldali deriváltakat:

f 0b (0) = limh%0

f (h)− f (0)h

= limh%0

p|h|h

= limh%0

√−hh

= limh%0

1

−√−h = −∞.

f 0j (0) = limh&0

f (h)− f (0)h

= limh&0

p|h|h

= limh&0

√h

h= limh&0

1√h=∞.

Mivel a két határérték külonbözo ( még nem is végesek) következik,

hogy a függvény az x0 = 0-ban nem deriválható.

A deriválhatóság fogalmát kiterjeszthetjük az egész értelmezési tar-

tományra is. Amikor azt mondjuk, hogy egy függvény deriválható (differ-

enciálható), akkor a következoket értjük.

Definíció 7.1.10 Az f : A → R (A ⊆ R) függvényt deriválhatónak (dif-ferenciálhatónak) nevezzük, ha értelmezési tartománya nyílt halmaz és f

az értelmezési tartományának minden pontjában deriválható.

7.2. A DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 125

7.2 A derivált mértani jelentése

Mártanilag a derivált fogalma szoros kapcsolatban van az érinto fogalmá-

val. Analitikus mértanból tudjuk, hogy minden f : (a, b) → R függvénygrafikus képe egy görbe, és azt is tudjuk, ha a görbe bizonyos tulajdon-

ságokkal rendelkezik, akkor egy adott pontban meghúzható az érintoje. A

mellékelt ábrán az (x0, f (x0)) pontban az elso görbének megszerkeszheto

az érintoje a másodiknak meg nem.

Igazolható, hogy az elso görbének azért létezik érintoje mert a füg-

gvény az x0-ban deriválható. A második görbének meg azért nem létezik

egyértelmu érintoje mert a függvény az x0-ban nem deriválható.

Tétel 7.2.1 Ha az f : (a, b) → R függvénynek az x0 ∈ (a, b) pontbanderiválható, akkor a függvénynek az (x0, f (x0)) pontban létezik érintoje,

éspedig az az egyenes, amelynek egyenlete:

y − f (x0) = f 0 (x0) (x− x0) .

Bizonyítás 42 A könnyebb megértés céljából készítsük el a következo

ábrát.


Tudjuk, hogy az (x0, f (x0)) ponton átmeno egyenes egyenlete:

y − f (x0) = m (x− x0) ,ahol

m = tanϕ =f (x)− f (x0)

x− x0 . (7.11)

Legyen x = x0 + h. Határértékre térve az (7.11) összefüggésben, kapjuk:

m = tanϕ = limh−→0

f (x0 + h)− f (x0)h

= f 0 (x0) .

1. Következmény. Deriválható függvények esetén az f 0 (x0) az

f grafikus képéhez az (x0, f (x0)) pontban húzott érinto

iránytényezoje. Ha f 0 (x0) = +∞ vagy f 0 (x0) = −∞ akkor az

(x0, f (x0)) pontban húzott érinto meroleges az Ox tengelyre.

2. Következmény. Ha az f : (a, b)→ R függvénynek az x0 ∈ (a, b) pont-ban léteznek a bal és jobb oldali deriváltjai és ezek közül legalább az

egyik véges, akkor a függvénynek az (x0, f (x0)) szögpontja.( Ilyen

szögpontja van az(7.2) ábrán a második függvénynek az (x0, f (x0))

pontban.)

7.3 Deriválási szabályok

Tétel 7.3.1 Ha az f, g : A→ R deriválható függvények az x0 ∈ A pontbanés λ ∈ R egy valós szám, akkor:(i) az f + g is deriválható az x0-ban és

(f + g)0 (x0) = f 0 (x0) + g0 (x0) ;

7.3. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK 127

(ii) a λ f is deriválható az x0-ban és

(λf)0 (x0) = λf 0 (x0) ;

(iii) az f · g is deriválható az x0-ban és

(f · g)0 (x0) = f 0 (x0) · g (x0) + f (x0) · g0 (x0) ;

(iv) ha g (x0) 6= 0, akkor fgis deriválható az x0-ban és

µf

g

¶0(x0) =

f 0 (x0) · g (x0)− f (x0) · g0 (x0)g2 (x0)

.

Bizonyítás 43 Az elso két azonosság azonnal következik a derivált

értelmezésébol. Itt igazoljuk a harmadik és negyedik összefüggést:

(f · g)0 (x0) = limh−→0

f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h

= limh−→0

f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0 + h) + f (x0) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h

= limh−→0

f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0 + h)h

+ limh−→0

f (x0) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h

= limh−→0

f (x0 + h)− f (x0)h

g (x0 + h)

+ f (x0) limh−→0

g (x0 + h)− g (x0)h

= f 0 (x0) · g (x0) + f (x0) · g0 (x0) .

Mivel g (x0) 6= 0 és g folytonos az x0-ban következik, hogy g nem zéró

az x0 egy környezetében, tehát értelme van az f/g (x0) kifejezésnek ebben


a környezetben. Így

µf

g

¶0(x0) = lim

h−→0

f(x0+h)

g(x0+h)− f(x0)

g(x0)

h

= limh−→0

f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)

= limh−→0

f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0) + f (x0) g (x0)− f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)

= limh−→0

f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0)hg (x0) g (x0 + h)

− limh−→0

−f (x0) g (x0) + f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)

= g (x0) limh−→0

f (x0 + h)− f (x0)hg (x0) g (x0 + h)

− f (x0) limh−→0

g (x0 + h)− g (x0)hg (x0) g (x0 + h)

=f 0 (x0) · g (x0)− f (x0) · g0 (x0)

g2 (x0).

3. Következmény. Sajátos esetben, ha f (x) = 1 és g (x0) 6= 0, akkorµ1

g

¶0(x0) = − g0 (x0)

g2 (x0).

Megjegyzés 7.3.2 A tétel alapján deriválni tudunk polinomfüggvényeket,

racionális függvényeket, trigonometrikus függvényeket stb.

Tétel 7.3.3 (Összetett függvény deriváltja) Tekintjük az f : A→ Rés g : B → R függvényeket úgy, hogy f (A) ⊆ B. Ha f deriválható x0 ∈ Apontban és g deriválható az y0 = f (x0) ∈ B potban, akkor g f : A → Rfüggvény is deriválható az x0 pontban és

(g f)0 (x0) = g0 (f (x0)) · f 0 (x0) .

7.3. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK 129

Bizonyítás 44

(g f)0 (x0) = limh−→0

g (f (x0 + h))− g (f (x0))h

= limh−→0

g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0)

f (x0 + h)− f (x0)h

= limh−→0

g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0) lim

h−→0f (x0 + h)− f (x0)

h

= g0 (f (x0)) · f 0 (x0) .

Igazoljuk, hogy elso határérték azért éppen g0 (f (x0)) . Mivel a g derivál-ható az f (x0)-ban következik:

g0 (f (x0)) = limu−→0

g (f (x0) + u)− g (f (x0))u

.

A határérték létezésének egyértelmuségébol következik, hogy ez a határérték

váltzozatlan marad, ha u-t helyettesítjük egy olyan függvénnyel ami tart a

0-hoz. Így legyen u = f (x0 + h)− f (x0). Mivel f folytonos az x0-ban azu valóban tart a 0-hoz ha h tart a 0-hoz.. Tehát

g0 (f (x0)) = limu−→0

g (f (x0) + f (x0 + h)− f (x0))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0)

= limh−→0

g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0) .

Megjegyzés 7.3.4 A kapott szabály alapján kiszámíthatjuk bonyolultabb

összetett függvények deriváltját is, ha ismerjük az összetevo függvények

deriváltját.

Tétel 7.3.5 (Inverz függvény deriváltja) Ha az f : A → B függvény

bijektív, deriválható az x0 ∈ A pontban és f 0 (x0) 6= 0, akkor az f−1 : B →A függvény is deriválható az y0 = f (x0) pontban és¡

f−1 (y0)¢0=

1

f 0 (x0).

Bizonyítás 45 Mivel f-nek az f−1 inverze, ezért f−1f (x) = x bármelyx ∈ A esetén. Deriválva az egyenloség mindkét oldalát kapjuk:¡

f−1 f¢0 (x) = (x)0 .


Alkalmazva az összetett függvény deriválási szabályát kapjuk:¡f−1

¢0(f (x0)) f

0 (x0) = 1.

Vagyis ¡f−1

¢0(y0) =

1

f 0 (x0).

7.4 Deriválási képletek

Ebben a részben néhány elemi függvény deriválási képletét adjuk meg.

7.4.1 Konstansfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.1 Bármely c ∈ R esetén az f : R→ R, f (x) = c konstans

függvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = 0.

Bizonyítását a tételnek már elobb elvégeztük. Lásd a (7.6) képletet.

f (x) = 5

4

4.5

5

5.5

6

-4 -2 0 2 4

A konstansfüggvény grafikonja.

7.4.2 Hatványfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.2 Bármely n ∈ N (n ≥ 1) esetén az f : R→ R, f (x) = xn

hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = nxn−1.


7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 131

-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

A hatványfüggvény, ha n páratlan.

x20

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

A haványfüggvény grafikonja, ha n páros.

Ez a tétel bizonyos megszorításokkal érvényes abban az esetben is, ha

kitevo valós szám.

Tétel 7.4.3 Bármely r ∈ R esetén az f : (0,+∞)→ R, f (x) = xr

hatványfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =rxr−1.


Ennek a tételnek néhány érdekesebb esetét foglaljuk össze az alábbi

két tételben és ezek következményeiben.

Tétel 7.4.4 Bármely k ∈ N, k ≥ 1 esetén az f : [0,+∞)→ R, f (x) =2k√x hatványfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =1

2k2k

q(x)2k−1


3. Következmény. az f : [0,+∞)→ R, f (x) =√x négyzetgyökfüg-

gvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) = 1

2√x.

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5x

A négyzetgyökfüggvény grafikonja.

Tétel 7.4.5 Bármely k ∈ N, k ≥ 1 esetén az f : R→ R, f (x) = 2k+1√x

hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R\ 0 pontban és f 0 (x) =1

(2k + 1)2k+1

q(x)2k

4. Következmény. az f : x ∈ R\ 0→ R, f (x) = 3√x köbgyökfüggvény

deriválható minden x ∈ R\ 0 pontban és f 0 (x) = 1

33√x2.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 2 4

A köbgyökfüggvény grafikonja.


7.4.3 Exponenciális függvény deriváltja

Tétel 7.4.6 f : R→ R, f (x) = ex hatványfüggvény deriválható mindenx ∈ R pontban és f 0 (x) = ex.

Bizonyítás 46 Legyen x0 ∈ R. Akkor

f 0 (x0) = limh−→0

ex0+h − ex0h

=

= ex0 limh−→0

eh − 1h

= ex0 .

Az utolsó lépésnél felhasználtuk az limh−→0

ah−1h

= ln a összefüggést.

Tétel 7.4.7 Ha a > 0 és a 6= 1, akkor az f : R→ R, f (x) = ax

hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = ax ln a.

Bizonyítás 47 Legyen x0 ∈ R. Akkor

f 0 (x0) = limh−→0

ax0+h − ax0h

=

= ax0 limh−→0

ah − 1h

= ax0 ln a.

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1 1 2x

Az exponenciálisfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél nagyobb.


0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2

Az exponenciálisfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél kisebb.

7.4.4 Logaritmusfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.8 Az f : (0,+∞)→ R, f (x) = lnx logaritmusfüggvény de-

riválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) = 1x.

Bizonyítás 48 Legyen x0 ∈ (0,+∞). Akkor

f 0 (x0) = limh−→0

ln (x0 + h)− lnx0h

= limh−→0

ln x0+hx0

h

= limh−→0

ln³1 + h

x0

´hx0

1

x0=1

x0

Az utolsó lépésnél felhasználtuk az limu−→0

ln(1+u)u

= 1 összefüggést.

Tétel 7.4.9 Ha a > 0 és a 6= 1, akkor az f : (0,+∞)→ R, f (x) = loga xlogaritmusfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =1x1ln a.

Bizonyítás 49 f (x) = loga x =lnxln a. Következésképpen f 0 (x) =

¡lnxln a

¢0=

1ln a(lnx)0 = 1

x1ln a.


-2

-1

0

1

2

1 2 3 4 5

A logaritmusfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél kisebb.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

1 2 3 4 5

A logaritmusfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél nagyobb.

7.4.5 Szinuszfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.10 Az f : R→ R, f (x) = sinx szinuszfüggvény deriválható

minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = cosx.



-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6x

A szinuszfüggvény grafikonja

7.4.6 Koszinuszfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.11 Az f : R→ R, f (x) = cosx koszinuszfüggvény deriválhatóminden x ∈ R pontban és f 0 (x) = − sinx.

Bizonyítás 50 f (x) = cosx = sin¡π2− x¢ . Következésképpen f 0 (x) =¡

sin¡π2− x¢¢0 = ¡π

2− x¢0 cos ¡π

2− x¢ = − cos ¡π

2− x¢ = − sinx.

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6x

A koszinuszfüggvény grafikonja.

7.4.7 Tangensfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.12 Az f : R\©(2k + 1) π2/ k ∈ Zª→ R, f (x) = tanx tan-

gensfüggvény deriválható minden x ∈ R\©(2k + 1) π2/ k ∈ Zª pontban és

f 0 (x) = 1cos2 x

.


Bizonyítás 51 f (x) = sinxcosx

. Következésképpen f 0 (x) =¡sinxcosx

¢0=

(sinx)0 cosx−sinx(cosx)0cos2 x

= cos2 x+sin2 xcos2 x

= 1cos2 x

.

-10

-5

0

5

10

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

A tangensfüggvény grafikonja.

7.4.8 Kotangensfüggvény deriváltja

Tétel 7.4.13 Az f : R\ kπ / k ∈ Z→ R, f (x) = cotx kotangensfüg-

gvény deriválható minden x ∈ R\ kπ / k ∈ Z pontban és f 0 (x) = −1sin2 x

.

Bizonyítás 52 f (x) = cosxsinx

. Következésképpen f 0 (x) =¡cosxsinx

¢0=

(cosx)0 sinx−cosx(sinx)0sin2 x

= −cos2 x+sin2 xsin2 x

= − 1sin2 x

.

-10

-5

0

5

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

A kotangensfüggvény grafikonja.


7.4.9 Arkuszszinusz függvény deriváltja.

Definíció 7.4.14 Mivel az f :£−π

2, π2

¤ → [−1, 1], f (x) = sinx szi-

nuszfüggvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszsz-

inuszfüggvénynek nevezzük és arcsin szimbolummal jelüljük.

Tétel 7.4.15 A g : [−1, 1]→ £−π2, π2

¤, g (x) = arcsinx arkuszszinuszfüg-

gvény deriválható minden x ∈ (−1, 1) pontban és g0 (x) = 1√1−x2 .

Bizonyítás 53 Alkalmazzuk az inverz függvény deriválási tételét ( lásd

7.3.5) a sin és arcsin függvényekre. Így

(arcsin y)0 =1

(sinx)0,

ahol y = sinx. Vagyis x = arcsin y. Tehát

(arcsin y)0 =1

(sinx)0

=1

cosx

=1p

1− sin2 x=

1q1− (sin (arcsin y))2

=1p1− y2

,

mivel sin (arcsin y) = y.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0.5 1x

Az arkuszszinusz-függvény grafikonja.


7.4.10 Arkuszkoszinusz függvény deriváltja.

Definíció 7.4.16 Mivel az f : [0,π]→ [−1, 1], f (x) = cosx koszinuszfüg-gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszkoszinuszfüg-

gvénynek nevezzük és arccos szimbolummal jelüljük.

Tétel 7.4.17 A g : [−1, 1]→ [0,π], g (x) = arccosx arkuszkoszinuszfüg-gvény deriválható minden x ∈ (−1, 1) pontban és g0 (x) = −1√

1−x2 .


7.3.5) a cos és arccos függvényekre. Így

(arccos y)0 =1

(cosx)0,

ahol y = cosx. Vagyis x = cos y. Tehát

(arccos y)0 =1

(cosx)0

=−1sinx

=−1√

1− cos2 x=

−1q1− (cos (arccos y))2

=−1p1− y2

,

mivel cos (arccos y) = y.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 -0.5 0.5 1x

Az arkuszkoszinusz-függvény grafikonja.


7.4.11 Arkusztangens függvény deriváltja.

Definíció 7.4.18 Mivel az f :¡−π

2, π2

¢ → R, f (x) = tanx tangensfüg-

gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkusztangensfüg-

gvénynek nevezzük és arctan szimbolummal jelüljük.

Tétel 7.4.19 A g : R→ ¡−π2, π2

¢, g (x) = arctanx arkusztangensfüg-

gvény deriválható minden x ∈ R pontban és g0 (x) = 11+x2


7.3.5) a tan és arctan függvényekre. Így

(arctan y)0 =1

(tanx)0,

ahol y = tanx. Vagyis x = arctan y. Tehát

(arctan y)0 =1

(tanx)0

= cos2 x

=1

1 + tan2 x

=1

1 + (tan (arctan y))2

=1

1 + y2,

mivel tan (arctan y) = y.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10 -5 5 10x

Az arkusztangens-függvény grafikonja.


7.4.12 Arkuszkotangens függvény deriváltja.

Definíció 7.4.20 Mivel az f : (0,π) → R, f (x) = cotx kotangensfüg-

gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszkotangens-

függvénynek nevezzük és arccot szimbolummal jelüljük.

Tétel 7.4.21 A g : R→ (0,π), g (x) = arccotx arkuszkotangensfüg-

gvény deriválható minden x ∈ R pontban és g0 (x) = −11+x2


7.3.5) a cot és arccot függvényekre. Így

(arccot y)0 =1

(cotx)0,

ahol y = cotx. Vagyis x = arccot y. Tehát

(arccot y)0 =1

(cotx)0

= − sin2 x=

−11 + cot2 x

=−1

1 + (cot (arccot y))2

=−11 + y2

,

mivel cot (arccot y) = y.

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10 -5 0 5 10x

Az arkuszkotangens-függvény grafikonja.


7.4.13 Hiperbolikusz függvények deriváltja

Definíció 7.4.22 Az f : R→ R, f (x) = ex−e−x2

függvényt szinuszhiper-

bolilokusz függvénynek nevezzük és f = sinh szimbolummal jelöljük.

Definíció 7.4.23 Az f : R→ R, f (x) = ex+e−x2

függvényt koszi-

nuszhiperbolilokusz függvénynek nevezzük és f = cosh szimbolummal

jelöljük.

Tétel 7.4.24 Bármely x, y ∈ R esetén

cosh2 x− sinh2 x = 1,

cosh (x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y,

sinh (x+ y) = sinhx cosh y + coshx sinh y.

A tulajdonságok az exponenciális függvény deriválási szabályából és a

függvények értlemezésébol azonnal következnek.

Amint látható, ez a függvénypár hasonló tulajdonságokkal bír mint

a szinusz és koszinusz függvénypár, ezért nevezik oket szinusz- illetve

koszinuszhoperbolikusz függvényeknek.

Tétel 7.4.25 Az f : R→ R, f (x) = sinhx szinuszhiperbolikusz függvényderiválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = coshx.

Tétel 7.4.26 Az f : R→ R, f (x) = coshx koszinuszhiperbolikusz füg-

gvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = sinhx.

Bizonyítás 57

(sinhx)0 =µex − e−x

2

¶0=ex + e−x

2= coshx;

(coshx)0 =µex + e−x

2

¶0=ex − e−x

2= sinhx.


-60

-40

-20

0

20

40

60

-4 -2 2 4x

A szinuszhiperbolikusz-függvény grafikonja.

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -2 2 4x

Koszinuszhiperbolikusz-függvény grafikonja.

7.4.14 Elemi függvények

Ha figyelmesen megnézzük ebben a paragrafusban felsorolt függvényeket,

azonnal észre lehet venni, hogy ezek a függvények egésszen kevés kiindulási

függvénybol származtathatók. Ezek az alapveto függvények az

1. f : R→ R,f (x) = x elsofokú polinomfüggvény;

2. f : R→ R,f (x) = ex exponenciális függvény;

3. f : R→ R,f (x) = sinx szinuszfüggvény.

A többi függvény ezekbol képezheto, felhasználva a következo füg-

gvényképzésre vonatkozó eljárásokat:


1. állandóval való szorzás;

2. összeadás;

3. szorzás;

4. egy adott halmazra való leszükítés;

5. függvény összetevés;

6. inverz függvény képzés.

Ezekkel az eljárásokkal, többször alkalmazva oket nem csak az elozoek-

ben bemutatott függvényeket tudjuk megszerkeszteni, hanem ezen kivul

még nagyon sok más függvényt is.

Ebben a paragrafusban bemutatott függvényeket elemi függvényeknek

nevezzük. A segítségükkel, a megadott eljárásokkal képzett újabb füg-

gvényeket összetett függvényeknek nevezzük. Az összett függvény de-

riválási tétele alapján az így szerkesztett függvények is deriválhatók

lesznek. Ezen deriválási szabályokat adjuk meg az alábbi táblázatban.

7.5. MAGASSABB RENDU DERIVÁLTAK 145

A függvény és deriváltja

u u0

un, n ≥ 1, n ∈ N nun−1u0

ur, r ∈ R, (u > 0) rur−1u0, (u > 0)√u, (u ≥ 0) u0

2√u, (u > 0)

3√u

u0

3√u2, (u 6= 0)

eu euu0

au, a > 0, a 6= 1 auu0 ln a

lnu, (u > 0)1

uu0, (u > 0)

loga u, a > 0, a 6= 1, (u > 0)1

uu01

ln a, (u > 0)

sinu u0 cosucosu −u0 sinutanu,

¡u ∈ R\©(2k + 1) π

2/ k ∈ Zª¢ 1

cos2 uu0, (cosu 6= 0)

cotu, (u ∈ R\ kπ / k ∈ Z) −1sin2 u

u0, (sinu 6= 0)arcsinu, (u ∈ [−1, 1]) 1√

1− u2u0, (u ∈ (−1, 1))

arccosu, (u ∈ [−1, 1]) −1√1− u2u

0, (u ∈ (−1, 1))

arctanu1

1 + u2u0

arccotu−11 + u2

u0

7.5 Magassabb rendu deriváltak

Definíció 7.5.1 Az f : A → R függvény kétszer deriválható az x0 ∈ Apontban, ha f deriválható az x0 egy környezetében és f

0 deriválható azx0-ban. Az f másodrendu deriváltját az x0-ban f

00 (x0)-val jelöljük.

Hasonlóan értelmezzük az f n-edrendu deriváltját is.

Definíció 7.5.2 Az f : A → R függvény n-szer deriválható az

x0 ∈ A pontban, ha f-nek létezik (n− 1)-edrendu deriváltja az x0 egykörnyezetében és f (n−1) deriválható az x0-ban. Az f n-edrendu deriváltjátaz x0-ban f

(n) (x0)-val jelöljük.


Példa. Legyen f : R → R, f (x) = x4 + 2x3. Határozzuk meg az f

5-ödrendu deriváltját.

f 0 (x) = 4x3 + 6x2;

f00(x) = 12x2 + 12x;

f 000 (x) = 24x+ 12;

f (4) (x) = 24;

f (5) (x) = 0.

Megjegyzés 7.5.3 A példában bemuatott tulajdonság érvényes általános

esetben is. Vagyis, ha f : R → R egy n-ed rendu polinomfüggvény, akkorf (n+1) (x) = 0 bármely x ∈ R esetén.

Példa. Oldjuk meg az f 00 (x) = 0 egyenletet, ha f : R→ R, f (x) = e−x2.

f 0 (x) = −2xe−x2 ;f00(x) = −2e−x2 + 4x2e−x2 .

Tehát

−2e−x2 + 4x2e−x2 = 0,¡−2 + 4x2¢ e−x2 = 0.Vagyis

−2 + 4x2 = 0,

x12 = ±√2

2.

7.6 A derivált közgazdasági alkalmazása

A közgazdászok a függvény deriváltját a különbözo függvények elasztic-

itásának meghatározásában használják, amikor azt tanulmányozzák, hogy

például egy termék kereslete y, hogy függ a termék árától az x-tol. Vagyis

tulajdonképpen az y = f (x) függvényt tanulmányozzák.

Kérdezhetjük, hogy hány darabbal változik meg a termék iránti

kereslet, ha az ára 1000 lejjel no. Itt egy konkrét számot kapunk, a kereslet

7.6. A DERIVÁLT KÖZGAZDASÁGI ALKALMAZÁSA 147

változását darabszámban megadva. De a keresletnek az ilyen fajta füg-

gosége az ártól nem a legszerencsésebb, mivel például 1 kg cukor árának

1000 lejes növekedése jelentos, míg egy autó árának 1000 lejes növekedése

jelentéktelen.

Ezért a közgazdászok a relatív változásokat tekintik. Vagyis hány

százalékkal változik a kereslet, ha az ár 1% -kal no. Az így kapott szám a

kereslet árelaszticitása vagy árrugalrnassága.

Tegyük fel, hogy egy termék iránti keresletet az f függvény írja le.

Ha az ár változása ∆x, akkor a kereslet változását ∆y-nal jelöljük.

Tehát

∆y = f (x+∆x)− f (x)A kereslet relatív változása:

∆y

y=f (x+∆x)− f (x)

f (x)

A kereslet relatív változásának és az ár relatív változásának hányadosát

a kereslet átlagos elaszticitásának nevezzük az [x, x+∆x] intervallumban.

Tehát∆yy

∆xx

=x

y

∆y

∆x=

x

f (x)

f (x+∆x)− f (x)∆x

. (7.12)

Az átlagos elaszticitást az árnak egy bizonyos x értéke mellett a

(7.12)ben szereplo hányados határértéke adja meg, amikor ∆x tart a 0-

hoz.

Definíció 7.6.1 Tekintsük az f : A → R függvényt és az x0 ∈ A pontot.Ha f deriválható az x0-ban és f (x0) 6= 0, akkor az f átlagos elaszticitásaaz x0-ban

Elf (x0) = limh→0

x0

f (x0 + h)

f (x+ h)− f (x)h

=x0

f (x0)f 0 (x0) .

Példa. Számitsuk f (x) = ex exponenciális függvény elaszticitását

elaszticitását egy x ∈ R pontban.

El (ex) =x

ex(ex)0 = x.


Példa. Tegyük fel, hogy a fagylalt árusításának árelaszticitása −0.6.Határozzuk meg, milyen következménye van a fagylat 10%-os

áremelésének. Jelöljük a fagylalt árát x-el. y = f (x) függvény írja

le a kereslet függését az ártól. Ekkor El (ex) = 6/10 és ∆xx= 10%.

Tehát

∆yy

∆xx

' Elf (x) , (7.13)

∆y

y' Elf (x) ∆x

x= −6/10 · 1/10 = −6%.

Ez azt jelenti, hogy az árak 10%-os növekedése a forgalom kb. 6%-os

csökkenéséhez vezet.

Megjegyzés 7.6.2 Az (7.13) képlet azt mutatja meg, hogy az árak p%-os

növekedése a kereslet q = |Elf (x)| · p%-os csökkenéséhez vezet.Legyen valamely termék keresletfüggvénye y = f (x), Akkor f (x)

egységnek x áron való eladása esetén a gyártó jövedelme

R(x) = x.f(x)

A szorzat x szerinti deriválása után kapjuk

R0(x) = f (x) + xf 0 (x)

= f (x)

µ1 +

x

f (x)f 0 (x)

¶= f (x) (1 +Elf (x)) .

A jövedelemfüggvény elaszticitása:

ElR (x) =x

R (x)R0 (x)

=xf (x) (1 +Elf (x))

xf (x)

= 1 +Elf (x) .

Látható, hogy a jövedelem árelaszticitása és a kereslét árelaszticitása

közötti különbség mindig 1. Innen adódik, hogy ha Elf(x) = −1, akkorElR(x) = 0. Tehát ha a kereslet árelaszticitása −1, akkor egy kis árvál-tozásnak a jövedelemre való hatása elhanyagolható.

7.7. KÖZELÍTO SZÁMÍTÁSOK 149

Tétel 7.6.3 (Muveletek az elaszticitással) Ha az f, g : A → R füg-

gvények deriválhatók az x0 ∈ A pontban, f (x0) 6= 0 és g (x0) 6= 0, akkor:

1. ElA= 0 bármely A ∈ R konstans esetén;

2. El (f + g) (x0) =f (x0)Elf (x0) + g (x0)Elg (x0)

f (x0) + g (x0), ha f (x0) +

g (x0) 6= 0;

3. El (f − g) (x0) =f (x0)Elf (x0)− g (x0)Elg (x0)

f (x0)− g (x0) , ha f (x0) −g (x0) 6= 0;

4. El (fg) (x0) = Elf (x0) +Elg (x0) ;

5. El (f/g) (x0) = Elf (x0)−Elg (x0) ;6. El (f g) (x0) = Elf (g (x0))Elg (x0) , ha az f g függvény

képezheto.

Feladatok. Határozzuk meg a következo függvények elaszticicitását:

1. f(x) = 3x−3;

2. f(x) = −10x5 + 2x3;3. f(x) = 1√

x;

4. f(x) =√x5.

7.7 Közelíto számítások

Ha f : A→ R deriválható az x0 ∈ A pontban, akkor azy − f (x0) = f 0 (x0) (x− x0)

egyenletu egyenes érintoje az f grafikonjának az (x0, f (x0)) pontban.

Ezért az x0-hoz elég közeli x értékekre

f (x) ' f (x0) + f 0 (x0) (x− x0) . (7.14)

Ebben a képletben a jobb oldalon egy elsofokú polinomfüggvény szerepel és

ezért azt mondjuk, hogy az (7.14) képlet az f függvény elsofokú közelítése

az x0 környezetében.


Példa. Határozzuk meg a szinuszfüggvény elsofokú közelíto polinomfüg-

gvényét az x0 = 0 környezetében. Mivel (sinx)0 |x=0 = 1,ezért

sinx ' x, (7.15)

ha x nagyon közel van a 0-hoz.

7.8 Középértéktételek és következményeik

Az elozo paragrafusokban megismertük a deriválás technikájának alapveto

módszereit. Ebben a paragrafusban ismertetjük azokat az alapveto

eredményeket, amelyek sikerrel alkalmazhatók a deriválható függvények

alapveto tulajdonságainak a vizsgálatát (növekedés, fogyás, alaki vis-

zonyok, szélsoérték stb.).

7.8.1 A függvények szélsoérték-pontjai

Egész sor matematikai, technikai, gazdasági problémánál fontos tudni bi-

zonyos változó mennyiségek maximumát és minimumát. Miután a matem-

atikailag megfogalmaztuk a problémát (megtaláltuk a jelenséget leíró

függvény), feladatunk megkeresni milyen tulajdonságot kell teljesítsen a

tanulmányozott függvény, hogy adott pontban minimuma vagy maximuma

legyen.

Definíció 7.8.1 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f helyi (lokális) maximum pontjának nevezzük, ha létezik x0-nak

egy olyan U környezete, hogy bármely x ∈ U ∩A értékref (x) ≤ f (x0) .

Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény helyi (lokális) maximumának

nevezzük.

Definíció 7.8.2 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f helyi (lokális) minimum pontjának nevezzük, ha létezik x0-nak

egy olyan U környezete, hogy bármely x ∈ U ∩A értékref (x) ≥ f (x0) .

Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény helyi (lokális) minimumának

nevezzük.

7.8. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK 151

Definíció 7.8.3 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apont az f helyi (lokális) szélsoérték pontja, ha x0 helyi minimum pont vagy

helyi maximum pont.

Definíció 7.8.4 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f (globális) maximum pontjának nevezzük, ha bármely x ∈ Aértékre

f (x) ≤ f (x0) .Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény (globális) maximumának

nevezzük.

Definíció 7.8.5 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f (globális) minimum pontjának nevezzük, ha bármely x ∈ Aértékre

f (x) ≥ f (x0) .Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény (globális) minimumának

nevezzük.

A mellékelt ábrán az f : [a, b] → R függvény grafikonja látható. Azábráról leolvasható, hogy az x1, x3, b pontok helyi maximum pontok, az

a, x2, x4 pontok pedig helyi minimum pontok. A függvény globális maxi-

mum pontja az x1, globális mininum pontja pedig az x4. Ezekhez a szél-

soérték pontokhoz tartozó behelyettesítési értékek pedig a maguk során

helyi minimumok illetve helyi maximumok. A függvény minimuma az

f (x4) érték, maximuma pedig az f (x1) érték.

A derivált jelentoségét hangsulyozza ki a következo tétel.


Tétel 7.8.6 (P. Fermat tétele) Legyen az f : (a, b) → R függvénynek

az x0 ∈ (a, b) egy helyi szélsoérték pontja. Ha f deriválható az x0-ban,akkor f 0 (x0) = 0.

Bizonyítás 58 Tegyük fel, hogy x0 helyi minimum pont. Akkor létezik x0-

nak egy olyan U ⊂ (a, b) környezete, hogy bármely x ∈ U esetén f (x0) ≤f (x) . Mivel f deriválható az x0-ban, ezért f

0b (x0) = f

0j (x0) . De

f 0b (x0) = limh%0

f (x0 + h)− f (x0)h

≤ 0,

mert f (x0 + h) ≥ f (x0), ha x0 + h ∈ U és h < 0. Hasonlóan

f 0j (x0) = limh&0

f (x0 + h)− f (x0)h

≥ 0,

mert f (x0 + h) ≥ f (x0), ha x0 + h ∈ U és h > 0.

Innen következik, hogy az f 0b (x0) = f 0j (x0) egyenloség csak akkor tel-jesülhet, ha f 0b (x0) = f

0j (x0) = 0.

Megjegyzés 7.8.7 Feltétlenül szükséges, hogy a függvény értelmezési tar-

tománya nyílt legyen, mert ha zárt lenne, akkor az x0 = a, vagy x0 = b

végpontokban nem lehet számítani egyszerre a bal és jobb oldali derivál-

takat.

Az a tény, hogy a derivált értéke a helyi szélsoérték pontokban zéró

azt mutatja, hogy ebben a pontban a függvény grafikonjához húzott érinto

párhuzamos a vizszíntes tengellyel. Ez megfigyelheto a fenti ábrán az

(x2, f (x2)) , (x3, f (x3)) , (x4, f (x4)) pontokban. Észreveheto, ha a füg-

gvény nem deriválható egy helyi szélsoérték pontban, akkor a bal és jobb

oldali érintok létezhetnek, de nem mind a ketto vizszíntes.

Megjegyzés 7.8.8 A tétel fordítottja nem igaz. Elofordulhat, hogy

f 0 (x0) = 0 és az x0 nem helyi szélsoéerték pont. Például az f : R→ R,f (x) = x3 függvénynek a deriváltja az x0 = 0-ban és mégis a 0 nem helyi

szélsoérték pontja, mivel f szigorúan növekvo függvény.


-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

Az f : R→ R, f (x) = x3 függvény grafikonja.

Megjegyzés 7.8.9 A grafikon azt mutatja, hogy a 0-ban valóban a de-

rivált 0, mivel a függvénynek ebben a pontban vizszíntes érintoje van, de

csak a grafikon meghajlik, de nem változtat irányt. Ezért azt mondhatjuk,

hogy Fermat tétele szükséges, de nem elégséges feltétele a szélsoérték pont

létezésének.

Definíció 7.8.10 Ha az f : A→ R, (A ⊆ R) függvény az x0 ∈ A ponbanderiválható és f 0 (x0) = 0, akkor azt mondjuk, hogy x0 az f stacionáriuspontja.

Megjegyzés 7.8.11 Az elobbi értelmezés alapján Fermát tétele azt

mondja ki, hogy egy deriválható függvény helyi szélsoérték pontjai a sta-

cionárius pontok közül kereshetok. Ezt a tényt használjuk fel a szélsoérték

feladatok megoldásakor.

7.8.2 Rolle tétele

Mielott megismerkednénk a tétellel bevezetünk egy függvényosztályt, és-

pedig azon függvények osztályát, amelyek zárt intervallumon folytonosak

és ennek az intervallumnak a belsejében deriválhatók. Pontosabban

mondva:

Definíció 7.8.12 Az f : [a, b] → R függvényt Rolle-tulajdonságúnak

nevezzük, ha folytonos az [a, b] zárt intervallumon és deriválható az (a, b)

nyílt intervallumon.


Tétel 7.8.13 (M. Rolle tétele) Ha az f : [a, b]→ R függvény folytonosaz [a, b] zárt intervallumon, deriválható az (a, b) nyílt intervallumon és

f (a) = f (b), akkor létezik legalább egy olyan c ∈ (a, b) pont amelyre

f 0 (c) = 0.

Megjegyzés 7.8.14 A tétel szemléletes tartalam: ha egy Rolle-

tulajdonságú f függvénygörbe (a, f (a)) és (b, f (b)) pontjához tartozó húrja

párhuzamos a vizszíntes tengellyel, akkor az a és b között van olyan c pont,

hogy a hozzá tartozó (c, f (c)) görbepontban az érinto párhuzamos legyen

a vizszíntes tengellyel. Lásd az alábbi ábrát.

Bizonyítás 59 Rolle tételének a bizonyítása azon tényen alapszik, hogy

az f függvény zárt intervallumon folytonos függvény és ezért Weierstrass

tétele alapján eléri minimumát és maximumát. Ebbol következik, hogy van

az f-nek helyi minimum és helyi maximum pontja is. Ha az f állandó,

akkor minden c ∈ (a, b) pontra f 0 (c) = 0. Ha f nem állandó, akkor

létezik olyan c1, c2 ∈ [a, b] úgy, hogy vagy f (c1) = minx∈[a,b]

f (x) < f (a),

vagy f (c2) = maxx∈[a,b]

f (x) > f (a) . Tehát az f-nek van f (a)-tól különbözo

szélsoértéke. Ezért vagy c1 ∈ (a, b) vagy c2 ∈ (a, b). Fermat tétele alapjánvagy f 0 (c1) = 0 vagy f 0 (c2) = 0.

Következmény. Az f : (a, b) → R deriválható függvény két gyöke

között van a függvény deriváltjának is legalább egy gyöke. Szem-

létetésképpen figyeld az alábbi ábrát.


Megjegyzés 7.8.15 A Rolle tételének minden feltétele szükséges, hogy a

tétel következménye igaz legyen. Mivel, ha

(i) f csak az (a, b) intervallumon folytonos, akkor az

f (x) =

½ −x ha x ∈ (0, 1] ,−1 ha x = 0,

függvény teljesiti a többi feltételt és bármely c ∈ (0, 1) esetén f 0 (c) 6=0.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00.2 0.4 0.6 0.8 1

Az f függvény grafikonja.

(ii) Ha f (a) 6= f (b), akkor az f : [0, 1]→ R,f (x) = x függvényre a többifeltétel teljesül, de bármely c ∈ (0, 1) esetén f 0 (c) 6= 0.

(iii) Ha f nem deriválható az (a, b) intervallumon, akkor az f :

[−1, 1]→ R, f (x) = |x| függvénynek a minimum pontja az x0 = 0,

de ebben a pontban a függvény nem deriválható, így f 0 (0) nem lehet

zéró. A többi pontban a függvény deriválható, de a derivált értéke

nem zéró.


7.9 Lagrange-féle középértéktétel

A Lagrange-féle középértéktétel tulajdonképpen a Rolle tételének egy ál-

talánosítása.

Tétel 7.9.1 (J. Lagrange-féle középértéktétel) Ha az f : [a, b] → Rfüggvény folytonos az [a, b] zárt intervallumon és deriválható az (a, b) nyílt

intervallumon, akkor létezik legalább egy olyan c ∈ (a, b) pont, amelyre

f 0 (c) =f (b)− f (a)

b− a .

Megjegyzés 7.9.2 A tétel szemléletes tartalam: egy Rolle-tulajdonságú

f függvény esetén található olyan c az a és b közötti pont, amelyre

a (c, f (c)) görbepontban az érinto párhuzamos legyen a függvénygörbe

(a, f (a)) és (b, f (b)) pontjához tartozó húrjával. Lásd az alábbi ábrát.

Bizonyítás 60 Lagrange tételének igazolását úgy oldjuk meg, hogy vissza-

vezessük Rolle tételére. Ennek érdekében vegyük a g : [a, b] → R, g (x) =f (x)− f(b)−f(a)

b−a x függvényt és nézzük meg, hogy teljesíti-e Rolle tételének

feltételeit. Elsosorban, mivel f Rolle tulajdonságú volt következik, hogy a

7.9. LAGRANGE-FÉLE KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL 157

g is Rolle tulajdonságú lesz. Másodsorban,

g (a) = f (a)− f (b)− f (a)b− a a

=f (a) b− f (a) a− f (b) a+ f (a) a

b− a=f (a) b− f (b) a

b− a ,

és

g (b) = f (b)− f (b)− f (a)b− a b

=f (b) b− f (b) a− f (b) b+ f (a) b

b− a=f (a) b− f (b) a

b− a .

Tehát g teljesíti Rolle tételének a feltételeit, következésképpen létezik olyan

c ∈ (a, b), amelyre g0 (c) = 0. De

g0 (c) = f 0 (c)− f (b)− f (a)b− a .

Következésképpen

f 0 (c) =f (b)− f (a)

b− a .

Megjegyzés 7.9.3 Lagrange-féle középértéktételt szokták még a véges

növekedések tételének nevezni is.

Megjegyzés 7.9.4 Ugyanúgy, mint a Rolle tételénél a c nem egyértelmu.

Megjegyzés 7.9.5 Hasonlóan mint a Rolle tételénél a felsorolt feltételek

mind szükségesek a Lagrange tétel következményének teljesüléséhez.

Lagrange tétele alkalmazható a függvények deriválhatóságának eldön-

tésére is. Ezt igazolja, az alábbi feltétel.

1. Következmény. Legyen f függvény értelmezve az x0 ∈ R pont egy Ukörnyezetében, deriválható az U \x0 halmazon és folytonos az x0-ban. Ha létezik és véges a lim

x→x0f 0 (x) határérték, akkor f deriválható

az x0-ban és f0 (x0) = lim

x→x0f 0 (x) .


Bizonyítás 61 Alkalmazzuk Lagrange tételét az [x0, x0 + h] interval-

lumra. Következik, hogy létezik ch ∈ (x0, x0 + h) úgy, hogy

f 0 (ch) =f (x0 + h)− f (x0)

h.

Mivel x0 < ch < x0 + h, k0vetkezik, hogy

limh&0

f (x0 + h)− f (x0)h

= limh&0

f 0 (ch) = f 0j (x0) = limx→x0

f 0 (x)

Hasonlóan az [x0 − h, x0] következik, hogy f 0b (x0) = limx→x0

f 0 (x) . Mivel

a bal és jobb oldali határértékek egyenloek, következik, hogy a függvlny

deriválható az x0-ban és f0 (x0) = lim

x→x0f 0 (x) .

Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi f függvény deriválható az x0 = 1 pont-

ban:

f (x) =

½x2

2− 1

2, ha x ≤ 1,

lnx, ha x > 1.

Megoldás. Alkalmazzuk a következményt. Elore megnézzzük, hogy az

f folytonos-e az x0-ban.

limx%1

f (x) = limx%1

x2

2− 1

2= 0

limx&1

f (x) = limx&1

lnx = 0

f (1) = 12

2 − 12= 0

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =⇒

f folytonos az x0 ban.

Majd kiszámítjuk az x0 ban a bal és jobb oldali deriváltakat

f 0 (x) =½x, ha x < 1,1x, ha x > 1.

Tehátf 0j (1) = lim

x&1f 0 (x) = lim

x&11x= 1,

f 0b (1) = limx%1

f 0 (x) = limx&1

x = 1,

⎫⎬⎭ =⇒

Mivel a két határérték egyenlo, következik, hogy f deriválható az

x0-ban és f0 (1) = 1.


2. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja pozitív, akkor a függvény növekvo.

Bizonyítás 62 Legyen x1, x2 ∈ (a, b) úgy, hogy x1 < x2. Akkor az f

teljesiti a Lagrange-féle középértéktétel feltételeit. Tehát létezik c ∈ (x1, x2)úgy, hogy

f 0 (c) =f (x2)− f (x1)

x2 − x1 .

Következésképpen

f (x2)− f (x1) = f 0 (c) (x2 − x1) ≥ 0.

Vagyis f (x2) ≥ f (x1) . Ami azt mutatja, hogy f növekvo.

Hasonló következmény igaz, ha a derivált negatív.

3. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja negatív, akkor a függvény csökkeno.

4. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja szigorúan pozitív, akkor a függvény szigorúan növekvo.

5. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja szigorúan negatív, akkor a függvény szigorúan csökkeno.

7.9.1 Cauchy-féle középértéktétel

Ez tétel a Lagrange-féle középértéktétel egy általánosítása.

Tétel 7.9.6 Ha az f : [a, b]→ R és g : [a, b]→ R függvények folytonosakaz [a, b] zárt intervallumon, deriválhatók az (a, b) nyílt intervallumon és

bármely x ∈ (a, b) esetén g0 (x) 6= 0, akkor létezik legalább egy olyan c ∈(a, b) pont, amelyre

f 0 (c)g0 (c)

=f (b)− f (a)g (b)− g (a) .

Bizonyítás 63 Cauchy tételének igazolását úgy oldjuk meg, hogy vis-

szavezessük Rolle tételére. Ennek érdekében vegyük a h : [a, b] → R,h (x) = f (x) − f (a) − f(b)−f(a)

g(b)−g(a) [g (x)− g (a)] függvényt és nézzük meg,hogy teljesíti-e Rolle tételének feltételeit. Elsosorban nézzük meg, hogy


a függvénynek, van-erteleme. Vagyis a tört nevezoje nem-e zéró. Ha

zéró volna, akkor g (b) = g (a) . Akkor Rolle tétele alapján létezne olyan

c1 ∈ (a, b) pont, amelyre g0 (c1) = 0. De ez ellentmond azzal a feltevésseel,hogy bármely x ∈ (a, b) esetén g0 (x) 6= 0.

Másodsorban, mivel f, g Rolle tulajdonságúak következik, hogy a h is

Rolle tulajdonságú lesz.

Harmadsorban,

h (a) = f (a)− f (a)− f (b)− f (a)g (b)− g (a) [g (a)− g (a)] = 0

és

h (b) = f (b)− f (a)− f (b)− f (a)g (b)− g (a) [g (b)− g (a)]

= f (b)− f (a)− f (b) + f (a) = 0.

Tehát h teljesíti Rolle tételének a feltételeit, következésképpen létezik olyan

c ∈ (a, b), amelyre h0 (c) = 0. De

h0 (c) = f 0 (c)− f (b)− f (a)b− a g0 (c) .

Következésképpen

f 0 (c)g0 (c)

=f (b)− f (a)g (b)− g (a) .

Megjegyzés 7.9.7 Megfigyelheto, hogy visszakapjuk Lagrange tételét, ha

a g (x) = x.

A Cauchy-féle középérték egyik legfontosabb következménye a

l’Hospital-szabály.

7.9.2 l’Hospital-szabály

Két valós változós valós függvény hányadosa határértékénrk a kiszámítása

nem mindig egyszeru. Sot, általában a határérték létezése sem látható

be könnyen. A következo tétel elégséges feltételt ad a hányados

határértékének létezésére és módszert a kiszámítására.


Tétel 7.9.8 (l’Hospital-szabály) Legyen x0 az I ⊆ R intervallum végesvagy végtelen torlódási pontja, f és g pedig az I\x0 halmazon értelmezettfüggvények. ha f és g kielégítik az alábbi feltételeket:

(i) limx→x0

f (x) = 0 és limx→x0

g (x) = 0 vagy limx→x0

f (x) = ±∞ és limx→x0

g (x) =

±∞;(ii) f, g deriválhatók az I \ x0 halmazon;

(iii) g0 (x) 6= 0 az I \ x0 halmazon;

(iv) létezik az A = limx→x0

f 0(x)g0(x) véges vagy végtelen, akkor limx→x0

f(x)

g(x)= A.

Bizonyítás 64 A tétel bizonyításakor három esetet kell megkülönböztetni:

A. eset. x0 6= ±∞ és limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = 0. Értelmezzük az

I ∪ x0 halmazon az f1 és g1 függvényeket

f1 (x) =

½f (x) ha x 6= x0,0, ha x = x0.

g1 (x) =

½g (x) ha x 6= x0,0, ha x = x0.

Nyilván limx→x0

f1 (x) = 0 és limx→x0

g1 (x) = 0 tehát az f1 és g1 függvények

folytonosak az x0-ban. Ha x ∈ I, akkor az f1, g1 függvények teljesítika Cauchy-féle tétel feltételeit az [x0, x] intervallumon. Tehát létezik egy

cx ∈ (x0, x) úgy, hogy

f 01 (cx)g01 (cx)

=f1 (x)− f1 (x0)g1 (x)− g1 (x0) .

Mivel f1 (x) = f (x) , g1 (x) = g (x) és f1 (x0) = 0, g1 (x0) = 0 következik

f 01 (cx)g01 (cx)

=f (x)

g (x).

Minthogy feltevés szerint

A = limx→x0

f 0 (x)g0 (x)


határérték létezik és cx → x0, amikor x→ x0 következik, hogy

limx→x0

f 0 (x)g0 (x)

= limcx→x0

f 0 (xx)g0 (xx)

= A.

B. eset. x0 = ∞ (vagy x0 = −∞) és limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = 0.

Ebben az esetben feltételezzük, hogy 0 /∈ I és az I intervallumot az x = 1y

helyettesítéssel egy olyan J intervallumba transzformáljuk, amelynek bal

oldali végpontja 0 ( jobb oldali végpontja 0).

Mivelhf³1y

í0= −1

y2f 0³1y

´éshg³1y

í0= −1

y2g0³1y

´következik, hogy

limx→+∞

f (x)

g (x)= limy&0

f³1y

´g³1y

´ .Ezzel a határérték kiszámítását visszavezettük az A. esetre. vagyis

limx→+∞

f (x)

g (x)= limy&0

f³1y

´g³1y

´= limy&0

hf³1y

í0hg³1y

í0= limy&0

−1y2f 0³1y

´−1y2g0³1y

´= limy&0

f 0³1y

´g0³1y

´= limx→+∞

f 0 (x)g0 (x)

.

C. eset. Ha limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = ±∞, akkor tekintsük az f ésg nek egy olyan I 0 intervallumra való leszükítését, amelyben az f és g-nek nincs gyöke. Mivel f differenciálható az x0 egy környezetében, ezért

bármely két x0 < x < x1 számot vesszük ebbõl a környezetbõl az [x, x1]

7.10. A MÁSODRENDU DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 163

intervallumra alkalmazható a Cauchy-féle középértéktétel. Így létezik egy

c ∈ (x, x1) úgy, hogyf 0 (c)g0 (c)

=f (x1)− f (x)g (x1)− g (x) .

Ahonnan

f (x)

g (x)

1− f(x1)

f(x)

1− g(x1)

g(x)

=f 0 (c)g0 (c)

.

Ha már most a jobboldalon állóf 0(c)g0(c) hányadosnak van határértéke, ha c

tart az x0-hoz, akkor a baloldali kifejezésnek is van és a két határérték

megegyezik. De a baloldalon a

limx→x0

f (x1)

f (x)= limx→x0

g (x1)

g (x)= 0,

mivel a limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = ±∞ és f (x1), g (x1) állandó értékek.

Következésképpen

limc→x0

f 0 (c)g0 (c)

= limx→x0

f 0 (c)g0 (c)

= limx→x0

f (x)

g (x)

1− f(x1)

f(x)

1− g(x1)

g(x)

= limx→x0

f (x)

g (x).

D. eset. x0 = ∞ (vagy x0 = −∞) és limx→x0

f (x) = limx→x0

g (x) = ±∞.Ebben az esetben feltételezzük, hogy 0 /∈ I és az I intervallumot az x = 1

y

helyettesítéssel egy olyan J intervallumba transzformáljuk, amelynek bal

oldali végpontja 0 ( jobb oldali végpontja 0). Továbbiakban a gondolatmenet

azonos a B. esetnél leírtakkal.

7.10 A másodrendu derivált mértani jelentése

Láttuk, hogy az elsorendu derivált ismerete fontos információt ad a füg-

gvény viselkedésérol. Ebben a paragrafusban megvizsgáljuk, hogy mi a

szerepe a másodrendu deriváltnak a függvények tanulmányozásába.

Definíció 7.10.1 Az f : I → R függvényt az I intervallum konvexnek

nevezzük, ha bármely x1, x2 ∈ I és bármely α ∈ [0, 1] eseténf ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α) f (x1) + αf (x2) . (7.16)


Definíció 7.10.2 Az f : I → R függvényt az I intervallum konkávnak

nevezzük, ha bármely x1, x2 ∈ I és bármely α ∈ [0, 1] esetén

f ((1− α)x1 + αx2) ≥ (1− α) f (x1) + αf (x2) . (7.17)

Ezeknek a fogalmaknak érdekes mértani jelentése van. Vegyük a

grafikus kép különbözo A (x1, f (x1)) , B (x2, f (x2)) pontjait. Ekkor a kon-

vexitásnak (7.16 képletnek) az a jelentése, hogy a grafikus képnek minden

olyan pontja, amely az A és B pontok közé esik az AB húr alatt van. A

konkavitásnak (7.17 képletnek) pedig az, hogy a grafikus képnek minden

olyan pontja, amely az A és B pontok közé esik az AB húr felett van.

Az alábbi ábrán szemléltessük a konvexitás jelentését. Tudjuk, hogy

xα = (1− α)x1 + αx2 egy érték az [x1, x2] intervallumból az yα =

(1− α) f (x1)+αf (x2) pedig az xα-nak megfelelo érték az AB húron. Az

ábrát figyelve látható, hogy a (7.16) képlet azt fejezi ki, hogy f (xα) ≤ yα.

A konvexitás mértani jelentése.

Hétköznapian azt mondhatjuk, hogy a konvex függvénynek olyan a

görbülete, hogy kis elmozdítás után olyan helyzetbe hozható, hogy a ”víz

nem folyik ki belole”. A konkáv pedig olyan függvény, amelybol a ”víz

kifolyik”.


A konkavitás mértani jelentése.

Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy miképpen tudjuk egy adott füg-

gvényrol viszonylag egyszeru számítások után eldönteni, hogy konvex-e

illetve konkáv-e? Erre ad feleletet az alábbi tétel.

Tétel 7.10.3 Legyen az f : I → R függvény az I nyílt intervallumon

kétszer differenciálható. Az f függvény akkor és csakis akkor konvex, ha

f 00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I esetén.

Bizonyítás 65 Legyen x1, x2 ∈ I és α ∈ [0, 1] úgy, hogy x1 < xα =

(1− α)x1 + αx2 < x2. Lagrange tétele alapján léteznek a c1 ∈ (x1, xα)és c2 ∈ (xα, x2) értékek úgy, hogy

f 0 (c1) =f (xα)− f (x1)

xα − x1 ,

és

f 0 (c2) =f (x2)− f (xα)

x2 − xα .

Mivel c1 < c2 és f00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I következik, hogy f 0 növekvo

függvény és ezért f 0 (c1) ≤ f” (c2). Tehátf (xα)− f (x1)

xα − x1 ≤ f (x2)− f (xα)x2 − xα .

Innen az xα = (1− α)x1 + αx2 helyettesítéssel kapjuk, hogy

f (xα)− f (x1)α (x2 − x1) ≤ f (x2)− f (xα)

(1− α) (x2 − x1) ,


vagyis

f ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α) f (x1) + αf (x2) .

Fordítva. Legyen x1, x2 ∈ I és α ∈ [0, 1] úgy, hogy x1 < xα =

(1− α)x1 + αx2 < x2. Akkor xα = x1 + α (x2 − x1). Jelöljük h =

α (x2 − x1). Azonnal belátható, hogy h → 0, ha α → 0. Mivel f 0 de-riválható az x1-ben következik, hogy

f 0 (x1) = limh→0

f (x1 + h)− f (x1)h

(7.18)

= limα→0

f ( xα)− f (x1)α (x2 − x1)

≤ limα→0

(1− α) f (x1) + αf (x2)− f (x1)α (x2 − x1)

=f (x2)− f (x1)

x2 − x1 .

Lagrange tétele alapján létezik a cα ∈ (x1, xα) érték úgy, hogy

f 00 (cα) =f 0 (xα)− f 0 (x1)

xα − x1Az (7.18) összefüggés alapján

f 00 (cα) ≥f 0 (xα)− f(xα)−f(x1)

xα−x1xα − x1

=f 0 (xα)α (x2 − x1)− f (xα) + f (x1)

α (x2 − x1)≥ f

0 (xα)α (x2 − x1)− α (f (x2)− f (x1))α (x2 − x1)

=f 0 (xα) (x2 − x1)− (f (x2)− f (x1))

(x2 − x1)= f 0 (xα)− f (x2)− f (x1)

x2 − x1 .

De az (x1, x2) intervallumban létezik olyan dx2 szám, amelyre

f 00 (cα) ≥ f 0 (xα)− f 0 (dx2 )


Határértékre térve ebben az egyenlottlenségben és felhasználva azt a tényt,

hogy f kétszer differenciálható az x1-ben kapjuk, hogy

f 00 (x1) = limx2→x1

f 00 (cα)

≥ limx2→x1

f 0 (xα)− f 0 (dx2 )= lim

α→0f 0 (xα)− lim

x2→x1f 0 (dx2 )

= f 0 (x1)− f 0 (x1) = 0.Hasonló tétel érvényes a konkavitásra is.

Tétel 7.10.4 Legyen az f : I → R függvény az I nyílt intervallumon

kétszer differenciálható. Az f függvény akkor és csakis akkor konkáv, ha

f 00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I esetén.Ennek a tételnek az igazolása visszavezetheto az elozo tételre, fel-

használva azt a tényt, hogy f akkor és csakis akkor konkáv, ha −f konvex.Általában egy függvénynek vannak olyan részei amelyen a függvény

konvex és vannak olyan részei, amelyen konkáv. Az áttérés az eggyik

részbol a másikra az úgynevezett inflexiós ponton keresztül történik.

Definíció 7.10.5 Az f : I → R függvénynek az x0 ∈I inflexiós (áthajlási)pontja, ha léteznek az x1, x2 ∈ I értékek úgy, hogy x1 < x0 < x2 és amelyreaz f konvex az (x1, x0) intervallumon és konkáv az (x0, x2) intervallumon

vagy fordítva.

A szélsoértékek meghatározásának szempontjából két fontos tétel

következik.

Tétel 7.10.6 Ha az f : I → R kétszer deriválható függvénynek az x0 ∈Istacionárius pontja és f 00 (x0) > 0, akkor az x0 helyi minimum pontja az

f-nek.

Tétel 7.10.7 Ha az f : I → R kétszer deriválható függvénynek az x0 ∈Istacionárius pontja és f 00 (x0) < 0, akkor az x0 helyi maximum pontja az

f-nek.

Bizonyítás 66 Mivel f 00 (x0) > 0 következik, hogy van az x0-nak egy

olyan V környezete, amelyen az f 00 pozitív. Ami azt jelent, hogy a V -n az f 0 növekvo. De a tétel feltétele szerint f 0 (x0) = 0. Következésképpenaz x0-ig a V -n az f

0 negatív, azután peddig pozitív. Vagyis az f a V -n azx0-ig csökkeno azután peddig növekvo. Tehát az x0 helyi minimum pont.


7.11 A függvények ábrázolása

A függvények tanulmányozásánál a grafikus kép megrajzolása nagyon

hasznos eszköz. Segítségével lehet szemléltetni a függvény globális tu-

lajdonságait. Ebben a paragrafusban a függvények grafikus képeinek a

megrajzolása lesz a célunk.

Azért, hogy egy függvény grafikus képének ábrázolása rendszeres

legyen, a következo lépéseket kell betartani.

1. A függvény maximális E értelmezési tartományának a

meghatározása. Az értelmezési tartomány vagy már eredetileg

adott, vagy mi határozzuk meg mint az elemi függvények maximális

értelmezési tartományainak a kereszmetszetét.

Itt az alábbiakra kell figyeljünk:

(a) ha függvény törtet is tartalmaz, akkor az eloforduló törtek

nevezoje nem szabad zéró legyen, mivel a zéróval való osztásnak

nincs értelme;

(b) ha a függvény páros rendu gyököt is tartalmaz, akkor a púros

rendu gyökök alatti kifejezések nem szabad negatívak legyenek;

(c) ha a függvény logaritmikus kifejezéseket tartalmaz, akkor a log-

aritmusok alatti kifejezések szigorúan pozitívak kell legyenek;

(d) ha függvény irracionális kitevoju hatványokat tartalamz, akkor

az irracionális kitevok altti kifejezések nem szabad negatívak

legyenek;

(e) ha a függvény tartalmazza a tan függvényt, akkor a tan füg-

gvény változója nem szabad a π páratlan számú többszöröse

legyen;

(f) ha a függvény tartalmazza a cot függvényt, akkor a cot füg-

gvény változója nem szabad a π páros számú többszöröse

legyen;

(g) ha a függvény tartalmazza az arcsin vagy arccos függvényt,

akkor a arcsin függvény vagy arccos változója a [−1, 1] inter-vallumban kell legyen.

2. A függvény elojelének és a grafikus kép esetleges szimmetriáinak

meghatározása.

7.11. A FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 169


(a) ha lehetséges meghatározzuk a függvény gyökeit;

(b) ha lehetséges meghatározzuk a függvénynek a 0-val való behe-

lyettesítési értékét, mivel ez az érték adja meg a grafikus képnek

az Oy tengellyel való metszéspontját;

(c) megvizsgáljuk, hogy a függvény nem e páros vagy páratlan. Ha

páros akkor a grafikus kép szimmetrikus az Oy tengelyre nézve.

Ha páratlan, akkor a grafikus kép szimmetrikos az O origóra

nézve. Ilyenkor a függvény tanulmányozása leszükítheto az E∩[0,+∞) halmazra;

(d) megvizsgáljuk, hogy a függvény nem periodikus-e. Ha peri-

odikus, akkor meghatározzuk a T foperiódusát. Ilyenkor a füg-

gvény tanulmányozása leszükítheto egy foperiódus hosszúságú

intervallumra.

3. A függvény folytonosságának tanulmányozása és az aszimptotáinak

a meghatározása.


(a) a folytonosság kérdése az értelmezési tartomány végpontjaiban

tevodik fel. Más helyen a függvény folytonos mivel elemi füg-

gvényekbol van megszerkesztve;

(b) ha lehetséges kiszámítjuk a ±∞-ben a függvény határértékeit.Ha ezek közül valamelyik véges, akkor ott van vizszíntes asz-

imtota;

(c) az értelmezési tartomány határpontjaiban kiszámítjuk a füg-

gvény határértékeit. Ha ezek közül valamelyik ±∞, akkor ottfüggoleges aszimptota van;

(d) ha a függvénynek nem volt vizszíntes aszimptotája és a +∞vagy −∞ torlódási pontja az értelmezési tartománynak, akkor

megvizsgáljuk, hogy van-e ferde aszimptota.

4. Az elsorendu derivált tanulmányozása.



(a) meghatározzuk az értelmezési tartománynak azt a részét, ahol

a függvény deriváható és kiszámítjuk az a függvény deriváltját;

(b) megoldjuk az f 0 (x) = 0 egyenletet. Az egyenlet gyökei leszneka függvény stacionárius pontjai;

(c) meghatározzuk azokat az intervallumokat, ahol f 0 elojeltartó.Ez alapján döntjük el, hogy a stacionárius pontok közül melyik

helyi minimum illetve helyi maximum pont;

5. A másodrendu derivált tanulmányozása.


(a) meghatározzuk az értelmezési tartománynak azt a részét, ahol

a függvény kétszer deriváható és kiszámítjuk az a függvény

másodrendu deriváltját;

(b) megoldjuk az f 00 (x) = 0 egyenletet. Az egyenlet gyökei leszneka függvény elhajlási pontjai;

(c) meghatározzuk azokat az intervallumokat, ahol f 0 elojeltartó.Ez alapján döntjük el, hogy a függvény hol konvex és hol

konkáv. Ahol a másodrendu derivált pozitív ott konvex, ahol

pedig negatív ott konkáv.

6. A függvényváltozás táblázatának elkészítése. A kapott ered-

ményeket négysoros táblázatba foglaljuk össze, az alábbi minta

alapján

x A fontosabb pontokat tartalmazó sor.

f 0 (x) A derivált elojeleit tartalmazó sor.

f 00 (x) A másodrendu derivált elojeleit tartlmazó sor

f (x) A függvény változásait tartalmazó sor.

7. A grafikus kép megrajzolása. Az Oxy koordinátarendszerben feltün-

tetjük az elozo lépésekben kapott pontokat, egyeneseket.

A következo példán szemléltetjük a függvényábrázolás lépéseit.

Példa. Ábrázoljuk a következo függvény grafikonját: f : E → R,

f (x) =

¯x2 − 1

¯x+ 2


Megoldás.

1. A függvény maximális E értelmezési tartományának a

meghatározása. Mivel a függvény képlete törtet is tartalmaz,

ezért a nevezo nem szabad 0 legyen.

x+ 2 6= 0x 6= −2.

Tehát E = R\ −2 .2. A függvény elojelének és a grafikus kép esetleges szimmetriáinak

meghatározása. Megoldjuk az f (x) = 0 egyenletet:¯x2 − 1

¯x+ 2

= 0

Egy tört, akkor zéró, ha számlálója zéró, ezért¯x2 − 1

¯= 0

Vagyis

x2 − 1 = 0Innen x1,2 = ±1.A függvény nem páros, mivel f (x) 6= f (−x) .A függvény nem páratlan, mivel f (x) 6= −f (−x) .A függvény nem is periódikus. Itt jegyezzük meg, hogy a racionális

függvények nem periódikusak.

Kiszámítjuk az Oy tengellyel való metszéspontot y0 = f (0) =12.

3. A függvény folytonosságának tanulmányozása és az aszimptotáinak

a meghatározása. A függvény folytonos, mivel folytonos függvények-

bol tevodik össze.

Vizszintes aszimptoták:

limx→+∞

¯x2 − 1

¯x+ 2

= limx→+∞

x2 − 1x+ 2

= +∞,

limx→−∞

¯x2 − 1

¯x+ 2

= limx→−∞

x2 − 1x+ 2

= −∞.


Nincs vizszíntes aszimptota.

Függoleges aszimptoták:

limx→−2x>−2

¯x2 − 1

¯x+ 2

= limx→−2x>−2

x2 − 1x+ 2

=4− 1

−2 + 0 + 2 = +∞,

limx→−2x<−2

¯x2 − 1

¯x+ 2

= limx→−2x<−2

x2 − 1x+ 2

=4− 1

−2− 0 + 2 = −∞,

Az x = −2 függoleges aszimptota.Ferde aszimptoták:

m = limx→+∞

¯x2 − 1

¯x (x+ 2)

= limx→+∞

x2 − 1x2 + 2x

= 1,

n = limx→+∞

¯x2 − 1

¯x+ 2

−mx = limx→+∞

x2 − 1− x2 − 2xx+ 2

= −2.A +∞-ben az y = x− 2 egyenletu egyenes ferde aszimptota.

m = limx→−∞

¯x2 − 1

¯x (x+ 2)

= limx→−∞

x2 − 1x2 + 2x

= 1,

n = limx→−∞

¯x2 − 1

¯x+ 2

−mx = limx→−∞

x2 − 1− x2 − 2xx+ 2

= −2.A −∞-ben az y = x− 2 egyenletu egyenes ferde aszimptota.

4. Az elsorendu derivált tanulmányozása. Elore a függvényt kapcsos

zárójeles formába írjuk:¯x2 − 1

¯=

½x2 − 1, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪ [1,+∞) ,1− x2, ha x ∈ (−1, 1) ,

f (x) =

(x2−1x+2

, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪ [1,+∞) ,1−x2x+2

, ha x ∈ (−1, 1) ,

Tehát

f 0 (x) =

⎧⎨⎩x2+4x+1

(x+2)2, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) ,

−x2+4x+1(x+2)2

, ha x ∈ (−1, 1) ,(7.19)


Meg kell vizsgáljuk a függvény deriválhatóságát a −1 és 1-ben.

f 0b (−1) = limx%−1

f (x) = limx%−1

x2 + 4x+ 1

(x+ 2)2= −2,

f 0j (−1) = limx&−1

f (x) = limx&−1

−x2 + 4x+ 1

(x+ 2)2= 2.

A függvény nem deriválható a −1-ben.

f 0b (1) = limx%1

f (x) = limx%1−x

2 + 4x+ 1

(x+ 2)2= −2

3,

f 0j (1) = limx&1

f (x) = limx&1

x2 + 4x+ 1

(x+ 2)2=2

3.

A függvény nem deriválható az 1-ben.

A stacionárius pontok meghatározása:

(i) ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞), akkor f 0 (x) = x2+4x+1

(x+2)2

gyökeit határozzuk meg:

x2 + 4x+ 1

(x+ 2)2= 0

A megoldások x1 = −2 + √3,x2 = −2−√3. De csak x2 ∈

(−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) .

(ii) ha x ∈ x ∈ (−1, 1), akkor f 0 (x) = −x2+4x+1(x+2)2

gyökeit határozzuk

meg: A megoldások x1 = −2 +√3, x2 = −2 −

√3. De csak

x1 ∈ (−1, 1) .

Az f 0 elojeltáblázata:

x −∞ −2−√3 −2 −1 −2 +√3 0 1 +∞f 0 (x) + 0 − | − −2 | 2 + 0 − − 1

4− − 2

3| 23+


5. A másodrendu derivált tanulmányozása. Kiindulunk az elsorendu

derivált (7.19)képletébol és mégegyszer deriváljuk.

f 0 (x) =

(6

(x+2)3, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) ,

− 6

(x+2)3, ha x ∈ (−1, 1) ,

(7.20)

Az f 00 (x) = 0 egyenletnek nincs megoldása, így azonnal elkészí-

thetjük az elojeltáblázatát:

x −∞ −2 −1 0 1 +∞f 0 (x) − | + | − − 6

8− | +

6. A függvényváltozás táblázatának elkészítése. A kapott ered-

ményeket négysoros táblázatba foglaljuk össze.

x −∞ −2−√3 −2 −1 −2 +√3 0 1 +∞f 0 (x) + 0 − | − −2 | 2 + 0 − − 1

4− − 2

3| 23+

f 00 (x) − | + | − − 34

− | +

f (x) y=x−2 % −7. 46 & −∞|+∞ & 0 % 0. 535 9 & 12& 0 % y=x

f¡−2−√3¢ = ¯

(−2−√3)2−1

¯−2−√3+2 = −1

3

³¡−2−√3¢2 − 1´√3 ' −7.464 1,

f¡−2 +√3¢ = ¯

(−2+√3)2−1

¯−2+√3+2 = 1

3

³− ¡−2 +√3¢2 + 1´√3 ' 0.

535 9.

7. A függvény grafikonjának a megrajzolása.


Az f grafikus képe.

1.


Fejezet 8

Függvények hatványsorba

fejtése

8.1 Függvénysorok

A matematikai analízis gyakorlati alkalmazásaiban sokszor elonyös, hogy

bizonyos függvényeket elemi függvények összegével közelítsük meg.

Definíció 8.1.1 Ha egy sor tagjai az A halmazon értelmezett valós füg-

gvények, a sort valós függvénysornak nevezzük és így jelöljük:

+∞Xn=1

un vagy u1 + u2 + ...+ un.

A sor részletösszeg-sorozatát sn-nel jelöljük:

sn = u1 + u2 + ...+ un.

Megjegyzés 8.1.2 AzP+∞n=1 un függvénysor tulajdonképpen egy olyan

függvénysorozat, amelynek tagjai az s1, s2, ..., sn, ... Ennek a sorozatnak

a tagjai függvények.

177

178 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA

Függvénysor.

Egy adott x0-raP+∞n=1 un (x0) számsor lehet konvergens vagy divergns.

Ha konvergens, akkor az x0-t konvergenciapontnak nevezzük.

Definíció 8.1.3 A

D =

(x ∈ A /

+∞Xn=1

un (x) konvergens

)halmazt a függvénysor konvergenciatartományának nevezzük.

Definíció 8.1.4 A D halmaz minden pontjához hozzárendelve aP+∞n=1 un (x) sor összegét egy s : D → R függvényt értelmezhetünk. Nyil-

vánvaló, hogy bármely x ∈ D esetén

s (x) = limn→+∞ sn (x) .

Definíció 8.1.5 AP+∞n=1 un függvénysor konvergens, ha D = A.

Definíció 8.1.6 Azt mondjuk, hogy aP+∞n=1 un függvénysor egyenletesen

konvergens az E ⊆ D halmazon, ha bármely ε > 0 számhoz létezik olyan

n0 = n (ε) ∈ N küszöbindex, hogy bármely n ≥ n0 és bármely x ∈ E esetén|sn (x)− s (x)| < ε.

8.2. HATVÁNYSOROK 179

Megjegyzés 8.1.7 Az egyenletes konvergencia és az abszolút konvergen-

cia között nincs semmi kapcsolat.

Az egyenletes konvergencia szeml éltetése.

8.2 Hatványsorok

A matematikában és alkalmazásaiban rengeteg típusú függvénysor szere-

pel. Közülük szerkezetileg a legegyszerubb, de gyakorlati alkalmazásokban

leggyakrabban használt a hatványsor.

Definíció 8.2.1 H adott egy (an)n≥0 valós sorozat, akkor a

+∞Xn=0

anxn (8.1)

függvénysort hatványsornak nevezzük. A hatványsor általános tagja az

un : R→ R,un (x) = anx

n,

hatványfüggvény és részletösszegsorozata

sn = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n

egy n-ed fokú polinomfüggvény.


Definíció 8.2.2 Egy (an)n≥0 valós számsorozatnak az l ∈ R véges vagy

végtelen szám torlódási helye, ha bármely V környezetét vesszük az l-nek

létezik olyan n ∈ N szám amelyre an ∈ V.Definíció 8.2.3 A torlódási pontok közül a legkisebbet a sorozat alsó

határértékének, a legnagyobbat peddig felso határértékének nevezzük. Az

alsó határértéket lim an-el, a felso határértéket peddig lim an-el jelöljük.

Példa. Az an = (−1)n általános tagú sorozat esetén lim (−1)n = −1 éslim (−1)n = 1.

Tétel 8.2.4 (Cauchy-Hadamard) AP+∞n=0 anx

n hatványsorhoz ren-

deljük hozzá az

l = lim n√an

számot, és legyen

R =

⎧⎨⎩1l, ha 0 < l < +∞0, ha l = +∞+∞, ha l = 0.

A hatványsor az R sugarú x = 0 középpontú intervallum belsejében kon-

vergens, az intervallumon kivül pedig divergens.

Példák. Tanulmányozzuk a következo függvénysorok konvergenciáját.

1.P+∞n=0

1n!xn;

2.P+∞n=0

(−1)nn!xn;

3.P+∞n=0 x

n;

4.P+∞n=0 (−1)n xn

Megoldás. 1. an =1n!.

l = lim n√an = lim

n

r1

n!

= limn→+∞

bn+1

bn= limn→+∞

1(n+1)!

1n!

= limn→+∞

n!

(n+ 1)!= limn→+∞

1

n+ 1= 0.

A konvergenciasugár R = +∞. Következésképpen a hatványsorkonvergenciaintervalluma az R.

8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 181

2. an =(−1)nn!.


n→+∞

1(n+1)!

1n!

= limn→+∞

n!

(n+ 1)!= limn→+∞

1

n+ 1= 0.

A konvergenciasugár R = +∞. Következésképpen a hatványsorkonvergenciaintervalluma az R.

3. an = 1. Tehát


n√1 = 1.

A konvergenciasugár R = 1. Következésképpen a hatványsor

konvergenciaintervalluma az (−1, 1).4. an = (−1)n . Tehát


n√1 = 1.

A konvergenciasugár R = 1. Következésképpen a hatványsor

konvergenciaintervalluma az (−1, 1).

8.3 Függvények hatványsorba fejtése

Természetesen vetodik fel az a kérdés, hogy az f : A → R függvény

megközelítheto-e valamilyen hatványsorral? Ha a kérdésre a válasz poz-

itív, akkor írhatjuk, hogy

f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n + ....

Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az f függvény hatványsorba fejtheto.

Tudjuk, hogy a hatványsor összege a (−R,R) konvergenciaintervallu-mon végtelenszer deriválható függvény, tehát annak szükséges és elégséges

feltétele, hogy az f a konvergenciaintervallumon sorbafejtheto legyen az,

hogy f végtelen sokszor deriválható legyen, vagyis

f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n + ...,

f 0 (x) = a1 + 2a2x+ ...+ nanxn−1 + ....


f00(x) = 2a2 + 2.3a3x...+ n (n− 1) anxn−2 + ....

...................................................................

f (n) (x) = n (n− 1) (n− 2) ...1an + ...= n!an + ...

Tehát bármely x ∈ (−R,R) pont esetén, ha x = 0, akkor kapjuk, hogy

a0 = f (0) ,

a1 =f 0 (0)1!

,

a2 =f00(0)

2!,

a3 =f000(0)

3!,

.................,

an =f (n) (0)

n!,

Tehát a keresett hatványsor együtthatóit egyértelmuen meghatározza az

f függvény.

Definíció 8.3.1 Az

f (0) +f 0 (0)1!

x+f00(0)

2!x2 +

f000(0)

3!x3 + ...+

f (n) (0)

n!xn + ...

sort az f függvény Mac-Laurin-féle sorának nevezzük.

Megjegyzés 8.3.2 Ha egy függvény hatványsorba fejtheto, akkor a

hatványsor azonos a függvény Mac-Laurin-féle sorával.

Ha a sorbafejtés nem a zéró körül történik, hanem egy a valós szám

körül, akkor az ugynevezett Taylor-féle sorhoz jutunk.


Definíció 8.3.3 Ha az f függvény végtelen sokszor deriválható az

(a−R, a+R) intervallumon, akkor az

Tfa (x) = f (a) +f 0 (a)1!

(x− a) + f00(a)

2!(x− a)2 + f

000(a)

3!(x− a)3+

+ ...+f (n) (a)

n!(x− a)n + ...

sort az f függvény Taylor-féle sorának nevezzük.

Definíció 8.3.4 A Tfa Taylor-féle sor elso n tagjának összegét Tnfa sz-

imbolummal jelöljük.

Megjegyzés 8.3.5 Ha a = 0, akkor a Mac-Laurin sort kapjuk.

Az alábbi két tétel a Taylor-sor két alapveto lokális tulajdonságát mu-

tatja be.

Tétel 8.3.6 Ha az f függvény n+ 1-szer deriválható az a-ban, akkor

limx→a

f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 =

f (n) (a)

(n+ 1)!.

Bizonyítás 67 Teljes indukcióval igazoljuk.

P (k) : ha az f függvény k + 1-szer deriválható az a-ban, akkor

limx→a

f (x)− Tkfa (x)(x− a)k+1

=f (k+1) (a)

(k + 1)!.

P (0) :

limx→a

f (x)− T0fa (x)(x− a)1 = lim

x→af (x)− f (a)

x− a =f 0 (a)1!

Feltételezzük, hogy

P (k) : ha az f függvény k + 1-szer deriválható az a-ban, akkor

limx→a

f (x)− Tkfa (x)(x− a)k+1

=f (k+1) (a)

(k + 1)!

Igazoljuk, hogy


P (k + 1) : ha az f függvény k + 2-szer deriválható az a-ban, akkor

limx→a

f (x)− Tk+1fa (x)(x− a)k+2

=f (k+2) (a)

(k + 2)!.

Mivel a P (k) kijelentés igaz minden olyan függvényre, amely k-szor

deriválható és az f 0 függvény k-szor deriválható ezért alkalmazhassuk P (k)indukciós feltételt az f 0 függvényre. Ekkor

limx→a

f 0 (x)− Tkf 0a (x)(x− a)k+1

=f (k+2) (a)

(k + 1)!,

ahol

Tkf0a (x) = f

0 (a)+f00(a)

1!(x− a)+f

000(a)

2!(x− a)2+...+f

(k+1) (a)

k!(x− a)k

és

(Tkfa (x))0 =

Ãf (a) +

f0(a)

1!(x− a) + f

00(a)

2!(x− a)2 + ...+ f

(k+1) (a)

(k + 1)!(x− a)k+1

!0=f0(a)

1!+ 2

f00(a)

2!(x− a) + 3f

000(a)

3!(x− a)2+

+ ...+ (k + 1)f (k+1) (a)

(k + 1)!(x− a)k

= Tkf0a (x) .

Felhasználva ezt az összefüggést alkalmazzuk a l’Hospital szabályt a

P (k + 1) kifejezésben szereplo határérték kiszámítására

limx→a

f (x)− Tk+1fa (x)(x− a)k+2

= limx→a

f 0 (x)− (Tk+1fa (x))0(k + 2) (x− a)k+1

=1

k + 2limx→a

f 0 (x)− Tkf 0a (x)(x− a)k+1

=1

k + 2

f (k+1) (a)

(k + 1)!=f (k+1) (a)

(k + 2)!.

Tétel 8.3.7 Ha az f függvény n-szer deriválható az a-ban, akkor

limx→a

f (x)− Tnfa (x)(x− a)n = 0.


Bizonyítás 68 Mivel

f (x)− Tnfa (x)(x− a)n =

f (x)− Tn−1fa (x)(x− a)n − f

n (a)

n!

(x− a)n(x− a)n ,

ezért

limx→a

f (x)− Tnfa (x)(x− a)n =

fn (a)

n!− f

n (a)

n!= 0.

Megjegyzés 8.3.8 Ez a tétel azt mondja ki, hogy ha az f függvény n-szer

deriválható, akkor a Tnfa függvény n-ed rendben tart az f (a)-hoz, amikor

x tart az a-hoz. Ez azt is jelenti, hogy Tnfa függvény és f n-ed rendben

egyenlo, vagyis f (a) = Tnfa (a) , f0 (a) = T 0nfa (a) , f 00 (a) = T 00nfa (a) , ...,

f (n) (a) = T(n)n fa (a)

Ezek után felvetodik az a kérdés, hogy milyen feltételek mellett tart a

Taylor-féle sor a függvényhez a. Erre ad választ az alábbi tétel.

Tétel 8.3.9 Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f végtelen sok-

szor deriválható függvény Taylor-féle sora az (a−R, a+R) intervallumontartson az f-hez, hogy a sor Mn (x) maradéka tartson a zéróhoz, amikor

n tart a +∞-hez és x ∈ (a−R, a+R) .

Bizonyítás 69 Mivel f végtelen sokszor deriválható az (a−R, a+R) in-tervallumon, ezért

f (x) = f (a)+f 0 (a)1!

(x− a)+f00(a)

2!(x− a)2+...+f

(n) (a)

n!(x− a)n+Mn (x) ,

vagyis¯¯f (x)− f (a) + f 0 (a)1!

(x− a) + f00(a)

2!(x− a)2 + ...+ f

(n) (a)

n!(x− a)n

¯¯ = |Mn (x)| .

Mivel az Mn (x) tart a zéróhoz bármely x ∈ (a−R, a+R) , következik,hogy a sor is tart az f (x)-hez.

Ezzel a feltétellel az a baj, hogy a maradékra nem ad egy konkrét

becslést. Ezért a következo feledatunk, hogy a maradékot konkrétabb

alakra hozzuk.


Tétel 8.3.10 Legyen I nyílt intervallum és tegyük fel, hogy az f függvény

n+1-szer deriválható az I-n. Ekkor az I bármely különbözo a és x pontja

esetén található olyan c szám az a és x között, hogy

f (x)− Tnfa (x) = f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n+1 .

Bizonyítás 70 Legyen a < x . Ha a > x, akkor a bizonyítás teljesen

hasonlóan végezheto el.

Bevezetjük az F : I → R,

F (s) = f (s)− Tnfa (s)− f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (s− a)n+1

függvényt. Felhasználva azt a tényt, hogy f (a) = Tnfa (a) , f0 (a) =

T 0nfa (a) , f 00 (a) = T 00nfa (a) , ..., f (n) (a) = T(n)n fa (a) kapjuk, hogy

F (a) = F 0 (a) = F 00 (a) = ... = Fn (a) = 0.

Az F (x) = F (a) = 0 egyenloségbol Rolle- tétele szerint létezik olyan c1 ∈(a, x) úgy, hogy F 0 (c1) = 0. Az F 0 (c1) = F

0(a) = 0 egyenloségbol Rolle-

tétele szerint létezik olyan c2 ∈ (a, c1) úgy, hogy F 00(c2) = 0. Az F

00(c1) =

F00(a) = 0 egyenloségbol Rolle- tétele szerint létezik olyan c3 ∈ (a, c2)

úgy, hogy F000(c3) = 0. És így tovább következik, hogy létezik olyan cn ∈

(a, cn−1) úgy, hogy F (n) (cn) = 0. És legvégül, mivel F (n) (cn) = Fn (a) =0 Rolle- tétele szerint létezik olyan c ∈ (a, cn), amelyre F (n+1) (c) = 0.

Vagyis

f (n+1) (c)− T (n+1)n fa (s)− f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (n+ 1)! = 0.

De T(n+1)n fa (s) = 0, mert egy n-ed fokú plonomfüggvény n + 1-ed rendu

deriváltja nulla. Innen következik, hogy

f (n+1) (c) =f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (n+ 1)!,

vagyis

f (x)− Tnfa (x) = f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n+1 .


Megjegyzés 8.3.11 Ennek a tételnek az a nagy erénye, hogy megadja a

maradék explicit kifejezését:

Mn (x) =f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

Ezt a maradékképletet a Taylor-féle sor Lagrange-féle maradéktagjának

nevezzük.

A Lagrange-féle maradéktagot felhasználva kijelenthesük az alábbi

tételt.

Tétel 8.3.12 Ha az f függvény deriváltjai az (a−R, a+R) intervallum-ban egyenletesen korlátosak, akkor a függvény az (a−R, a+R) interval-lumban Taylor-sorba fejtheto.

Bizonyítás 71 A tétel alapján létezik olyan K ∈ R szám, amelyre

bármely x ∈ (a−R, a+R) és n ∈ N esetén |fn (x)| ≤ K. Akkor a

Lagrange-féle maradéktag

Mn (x) =f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n+1 ,

ahol c egy szám x és a között. Ekkor

|Mn (x)| ≤ K

(n+ 1)!|x− a|n+1 ,

de

limn→+∞

|x− a|n+1(n+ 1)!

= 0.

Következésképpen

limn→+∞ |Mn (x)| = 0.

Ami azt jelenti, hogy

limn→+∞ Tnfa = f.

Megjegyzés 8.3.13 Megtörténhet, hogy valamely függvényhez rendelt

Taylor-sor konvergens, de összege nem egyenlo a származtató függvénnyel

egyetlen (a−R, a+R) intervallumban sem. Valóban legyen f : R→ R,

f (x) =

½e−1/x

2, ha x 6= 0

0, ha x = 0.


Ha x 6= 0, akkor a függvény nyilván végtelen sokszor deriválható. Igazol-ható, hogy f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 0, ..., f (n) (0) = 0. Tehát

Tfa (x) = 0 +0

1!x+

0

2!x2 + ...+

0

n!xn + ...

= 0.

Ugyanakkor f (x) 6= 0 bármely x ∈ R esetén. A függvényhez rendelt

Taylor-sor maradéktagja,

Mn (x) =f (n+1) (c)

(n+ 1)!xn+1,

ahol c 6= 0 szám. Igazolni lehet, hogy ebben az esetben az |Mn (x)| nemkonvergál a nullához, amikor n tart a végtelenhez és x 6= 0.

Példák. Fejtsük sorba az alábbi függvényeket és tanulmányozzuk a sorok

konvergenciáját:

1. f (x) = ex :

2. f (x) = sinx;

3. f (x) = cosx;

4. f (x) = (1 + x)r, ahol r ∈ R;5. f (x) = 1

1+x

6. f (x) = 11−x ;

7. f (x) =√x;

8. f (x) = ln (1 + x) ;

9. f (x) = ln (1− x) :10. f (x) = lnx;

11. f (x) = ln³1+x1−x

´.

Megoldás. 1. f 0 (x) = ex, f 00 (x) = ex, f 000 (x) = ex, ..., f (n) (x) = ex,

tehát¯f (n) (x)

¯≤ eR, ha x ∈ (−R,R) . Ha a = 0, akkor

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ ...+

xn

n!+ ... (8.2)


Mivel a sorbafejtés bármely (−R,R) intervallumban érvényes,ezért az ex-nek ez a megközelítése bármely x ∈ R számra

érvényes. Felhasználva az (8.2) képletet most kiszámoljuk az

e számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = 1, akkor

ex = 1 +1

1!+1

2!+ ...+

1

n!+Mn (1) , (8.3)

ahol

Mn (x) =ec

(n+ 1)!xn+1,

és c ∈ (0, 1) . Tehát

Mn (1) =ec

(n+ 1)!≤ 3

(n+ 1)!.

A megközelítés jobb lessz mint 10−4, ha a maradék kisebb mint10−4.Vagyis

3

(n+ 1)!≤ 1

104.

Innen

(n+ 1)! ≥ 30000.Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti

egyenlotlenség teljesül. 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40 320. Tehát

n+ 1 = 8. Vagyis n = 7.

Tehát e-nek 4 tizedes megközelítése:

e ' 1 + 1

1!+1

2!+1

3!+1

4!+1

5!+1

6!+1

7!=685

252' 2.71825

2. f (x) = sinx, f 0 (x) = cosx, f 00 (x) = − sinx, f 000 (x) =

− cosx,..., f (n) (x) = sin¡x+ nπ

2

¢. Tehát

¯f (n) (x)

¯≤ 1

bármely x ∈ R esetén. Ha a = 0, akkor

sinx = x− x3

3!+x5

5!− ...+ (−1)n−1 x2n−1

(2n− 1)! + .... (8.4)

Ez a sorbafejtés is minden x ∈ R számra érvényes. A sorbafe-jtés maradéktagja

M2n−1 (x) =sin¡c+ (2n) π

2

¢(2n)!

x2n

≤ 1

(2n)!x2n.


Felhasználva az (8.4) képletet most is számoljuk ki a sin π180

=

sin 10 számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = π180, akkor

M2n−1³ π

180

´≤ 1

(2n)!

³ π

180

´2n≤ 1

(2n)!

1

45


1

(2n)!

1

45≤ 1

104.

Innen

(2n)! ≥ 1000045

=2000

9.

Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti

egyenlotlenség teljesül. 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720 Tehát 2n =

6. Vagyis n = 3. Tehát sin π180-nak 4 tizedes megközelítése:

sinπ

180=

π

180−¡

π180

¢33!

+

¡π180

¢55!

' 0.017452

3. f (x) = cosx, f 0 (x) = − sinx, f 00 (x) = − cosx, f 000 (x) =sinx,..., f (n) (x) = cos

¡x+ nπ

2

¢. Tehát

¯f (n) (x)

¯≤ 1 bármely

x ∈ R esetén. Ha a = 0, akkor

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− ...+ (−1)n−1 x2n−2

(2n− 2)! + .... (8.5)

Ez a sorbafejtés is minden x ∈ R számra érvényes. A sorbafe-jtés maradéktagja

M2n−1 (x) =cos¡c+ (2n) π

2

¢(2n)!

x2n

≤ 1

(2n)!x2n.


Felhasználva az (8.4) képletet most is számoljuk ki a cos π180

=

sin 10 számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = π180, akkor

M2n−1³ π

180

´≤ 1

(2n)!

³ π

180

´2n≤ 1

(2n)!

1

45


1

(2n)!

1

45≤ 1

104.

Innen

(2n)! ≥ 1000045

=2000

9.

Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti

egyenlotlenség teljesül. 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720 Tehát 2n =

6. Vagyis n = 3. Tehát sin π180-nak 4 tizedes megközelítése:

cosπ

180= 1−

¡π180

¢22!

+

¡π180

¢44!

' 0.99985

Ellenorzésként vizsgáljuk meg, hogy cos2 π180+sin2 π

180kifejezés

értéke mennyire tér el az 1-tol!

cos2π

180+ sin2

π

180= 0.999852 + 0.0174522 ' 1.0001.

Ami megfelel az elvárásoknak, vagyis annak, hogy külön-külön

mindegyik tagot 4 tizedes pontossággal adtuk meg.

4. f (x) = (1 + x)r, f 0 (x) = r (1 + x)r−1 ,f 00 (x) = r (r − 1) (1 + x)r−2 , f (n) (x) =

r (r − 1) ... (r − n+ 1) (1 + x)r−n . Ha a = 0, akkor

Tf0 (x) = 1 +r

1!x+

r (r − 1)2!

x2 +r (r − 1) (r − 2)

3!x3 + ...

+r (r − 1) ... (r − n+ 1)

n!xn + ...


Ez a függvénysor konvergens, ha |x| < 1. Ez azonban nem ele-

gendo a sorbafejtéshez. Megvizsgáljuk a maradéktagot, hogy

valóban tart-e a nullához.

|Mn (x)| =¯¯r (r − 1) ... (r − n) (1 + c)r−n−1(n+ 1)!

xn+1

¯¯

≤¯¯r (r − 1) ... (r − n) (1 + c)r−n−1(n+ 1)!

¯¯ .

Mivel 0 < c < 1 következik, hogy

|Mn (x)| ≤¯r (r − 1) ... (r − n) 2r−n−1

(n+ 1)!

¯.

Vagyis

|Mn (x)| ≤¯r (r − 1) ... (r − n)

(n+ 1)!

¯2r−n−1.

A jobb oldalon egy zéróhoz tartozó sorozat van, következik,

hogy maradéktag is tart a nullához. Tehát

(1 + x)r = 1 +r

1!x+

r (r − 1)2!

x2 +r (r − 1) (r − 2)

3!x3 + ...

+r (r − 1) ... (r − n+ 1)

n!xn + ...

minden x ∈ (−1, 1) esetén. Ezt a sort binomiális sornak is

nevezik mert, ha sajátos esetben r természetes szám, akkor

visszakapjuk Newton binomiális képletét.

5. f (x) = 11+x

olyan sajátos esete az elozo feladatnak, amelyben

r = −1. Következik, hogy1

1 + x= 1− 1

1!x+

1 · 22!x2 − 1 · 2 · 3

3!x3 + ...

+ (−1)n 1 · 2 · 3 · ... · nn!

xn + ...

= 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)n xn + ...

minden x ∈ (−1, 1) esetén.


6. Az elozo feladatban x-et helyettesítjük −x-el. Ekkor kapjuk,hogy

1

1− x = 1 + x+ x2 + x3 + ...+ xn + ...

minden x ∈ (−1, 1) esetén.7. f (x) =

√x = (x)1/2 = (1 + x− 1)1/2 . Alkalmazzuk, a 4 példa

eredményét, ha r = 1/2

(1 + (x− 1))1/2 = 1 + 1

2 · 1! (x− 1) +12

¡12− 1¢2!

(x− 1)2

+12

¡12− 1¢ ¡1

2− 2¢

3!(x− 1)3 + ...

+12

¡12− 1¢ ... ¡1

2− n+ 1¢

n!(x− 1)n + ...,

minden x ∈ (0, 2) esetén. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a√x sorbafejtjük az a = 1 érékre.

8. f (x) = ln (1 + x), f 0 (x) = 11+x

. Innen azonnal következik,

hogy

(ln (1 + x))0 =1

1 + x= 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)n xn + ...

Ahonnan

ln (1 + x) = x− x2

2+x3

3− x

4

4+ ...+ (−1)n−1 x

n

n+ ...,

minden x ∈ (−1, 1) esetén.9. Az elozo feladathoz hasonlóan kapjuk, hogy f (x) = ln (1− x),f 0 (x) = −1

1−x . Innen azonnal következik, hogy

(ln (1− x))0 = −11− x = −1− x− x2 − x3...− xn + ...

Ahonnan

ln (1− x) = −x− x2

2− x

3

3− x

4

4− ...− x

n

n+ ...,

minden x ∈ (−1, 1) esetén.


10. f (x) = lnx. Ha jelöljük y = x − 1-t, akkor f (x) =

ln (1 + (x− 1)) = ln (1 + y) . A 7-dik példa szerint

ln (x) = ln (1 + y) = y − y2

2+y3

3− y

4

4+ ...+ (−1)n−1 y

n

n+ ...

= (x− 1)− (x− 1)22

+(x− 1)33

− (x− 1)4

4+ ...

+ (−1)n−1 (x− 1)n

n+ ...,

minden olyan x-re, amelyre −1 < x− 1 < 1. Tehát

ln (x) = x− 1− (x− 1)22

+(x− 1)33

− (x− 1)4

4+ ...

+ (−1)n−1 (x− 1)n

n+ ...,

minden x ∈ (0, 2) esetén. Ugyanide jutnánk, ha az a = 1

értékre a lnx-nek direkt felírnánk a Taylor-féle sorát.

11. f (x) = ln³1+x1−x

´= ln (1 + x)− ln (1− x). Alkalmazzuk a 8. és

9. példák eredményeit.

ln (1 + x)− ln (1− x) = x− x2

2+x3

3− x

4

4+ ...+ (−1)n−1 x

n

n+ ...

+ x+x2

2+x3

3+x4

4+ ...+

xn

n+ ...

= 2

µx+

x3

3+x5

5+ ...+

x2n−1

2n− 1 + ...¶,

minden x ∈ (−1, 1) . Ezt a képletet szokták felhasználni a logar-itmustáblák elkészítésére. Legyen az elozo képletben x = 1

2y+1,

ahol y ∈ N. Ekkor1 + x

1− x =y + 1

y

és

ln (y + 1) = ln y + 2

µ1

2y + 1+

1

3 (2y + 1)3+

1

5 (2y + 1)5+

...+1

(2n− 1) (2y + 1)2n−1 + ...¶


Például számítsuk ki ln 2, ln 3, ln 4 közelíto értékét 4 tizedesnyi

pontossággal. Kiindulunk az 2n-ed rendu maradékból.

ln (y + 1) = ln y + 2

µ1

2y + 1+

1

3 (2y + 1)3+

1

5 (2y + 1)5+

...+1

(2n− 1) (2y + 1)2n−1¶+M2n (y) ,

ahol

M2n (y) =2

(2n+ 1) (2y + 1)2n+1+

2

(2n+ 3) (2y + 1)2n+3+

+2

(2n+ 5) (2y + 1)2n+5+ ...

≤ 2

(2y + 1)2n+11

(2n+ 1)2n+1

µ1 +

1

(2n+ 1)2+

1

(2n+ 1)4

+1

(2n+ 1)6+ ...

¶=

2

(2y + 1)2n+11

(2n+ 1)2n+11

1− 1

(2n+1)2

=2

(2y + 1)2n+11

(2n+ 1)2n+1(2n+ 1)2

4n2 + 4n+ 1− 1=

2

(2y + 1)2n+11

(2n+ 1)2n−11

4n (n+ 1)

≤ 1

2 (2y + 1)2n+1 (2n+ 1).

Ha y = 1, akkor

M2n (y) ≤ 1

2 · 32n+1 (2n+ 1)Ez kell kisebb legyen mint a megengedett hiba, vagyis

2 · 32n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2·32n+1 (2n+ 1) . Akkor p (2) = 2430.0, p (3) =30618 ≥ 10000. Tehát n = 3. Így

ln (2) ' ln 1 + 2µ1

3+

1

3 · 33 +1

5 · 35¶= 0.69312.


Ha y = 2, akkor

M2n (y) ≤ 1


2 · 52n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2 · 52n+1 (2n+ 1) . Akkor p (2) = 31 250 ≥10000. Tehát n = 2. Így

ln (3) ' ln 2 + 2µ1

5+

1

3 · 53¶= 1.0985

Ha y = 3, akkor

M2n (y) ≤ 1


2 · 72n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2·72n+1 (2n+ 1) .Akkor p (2) = 1. 680 7×105 ≥10000 Tehát n = 2. Így

ln (4) ' ln 3 + 2µ1

7+

1

3 · 73¶= 1.3863.

Feladat. Igazoljuk, hogy az e irracionális szám.

Megoldás. Feltételezzük, hogy racionális. Ekkor nyilvánvalóan bármely

n ≥ 4 esetén n!e ∈ N, amibol következik, hogy

a = n!

∙e−

µ1 +

1

1!+1

2!+ ...+

1

n!

¶¸∈ N,

de

e−µ1 +

1

1!+1

2!+ ...+

1

n!

¶≤ 3

(n+ 1)!

Ahonnan

0 < a ≤ n! 3

(n+ 1)!=

3

n+ 1< 1,

és ez ellentmond annak, hogy a ∈ N.


Feladat. Az f (x) = x4 + x3 − 2x + 3 polinomfüggvényt rendezzük átx− 2 hatványai szerint.

Megoldás. A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy x-et helyettesítjük

x = (x− 2) + 2-vel és elvégezzük a számításokat. E hosszadal-

mas számolás helyett egyszerubben jutunk a célhoz, ha megfigyeljük,

hogy f -nek az x4 + x3 − 2x+ 3 tulajdonképpen az a = 0-ra történosorbafejtése. Most, ha az f -et sorba fejtjük az a = 2-re, akkor

kapjuk:

f (x) = f (2) +f 0 (2)1!

(x− 2) + f00 (2)2!

(x− 2)2 + f000 (2)3!

(x− 2)3

+f (4) (2)

4!(x− 2)4 ,

ahol f (2) = 23, f 0 (x) = 4x3 + 3x2 − 2, f 0 (2) = 42, f 00 (x) = 12x2 +6x − 2, f 00 (2) = 58, f 000 (x) = 24x + 6, f 000 (2) = 54, f (4) (x) = 24,f (4) (2) = 24. Tehát

f (x) = 23 + 42 (x− 2) + 582(x− 2)2 + 54

6(x− 2)3 + 24

24(x− 2)4

= 23 + 42 (x− 2) + 29 (x− 2)2 + 9 (x− 2)3 + (x− 2)4 .


Fejezet 9

Riemann-féle integrál

9.1 Síkidomok területének a meghatározása

A síkidomok területének meghatározása az egyik olyan feladat, amellyel a

matematikusok a legrégibb idoktol foglalkoznak. Az egység oldalú négyzet

területét mértékegységnek vesszük. Bonyolultabb síkidomok területének

meghatározása csak sok sajátos eset tanulmányozása után következhetett.

Ezeknek a területeknek a meghatározása nagyon leleményes módszerekkel

történt, azonban az akkori matematikusok még nem vették észre, hogy az

alkalmazott eljárások egy bizonyos általános módszer sajátos esetei. Ma

már tudjuk, hogy minden területfeladat úgynevezett integrálszámításra

vezetheto vissza.

Vegyük példának egy parabolaív alatti terület kiszámítását.

199

200 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL

A parabolaív alatti terület kiszámítása.

A feladatunk tehát az, hogy kiszámítsuk az OAA1 besatirozott

területet, ha OA az y = ax2 parabola íve. Jelöljük OA1-et l-el. Os-

szuk fel OA1-et n egyenlo részre. Ekkor egy rész hossza l/n. Az egyes

osztópontok abscissai:l

n,2l

n,3l

n, ...,

nl

n.

Ezen abszisszákhoz tartozó megfelelo ordináták

al2

n2, a4l2

n2, a32l2

n2, ..., a

n2l2

n2.

A szóban forgó területbe belerajzoljuk az osztópontok által meghatározott

téglalapokat. Ilyen téglalapok mindig belerajzolhatók. A k-dik osztópon-

thoz tartozó téglalap területe

Tk =l

nak2l2

n2= a

k2l3

n3.

Így a területbe berajzolt téglalapok összterülete

t (n) = T0 + T1 + ...+ Tn−1

= al3

n3

³12 + 22 + ...+ (n− 1)2

´,

de tudjuk, hogy

12 + 22 + ...+ (n− 1)2 = (2n− 1) (n− 1)n6

.

9.1. SÍKIDOMOK TERÜLETE 201

Így

t (n) = al3

n3(2n− 1) (n− 1)n

6.

Ha most minden egyes osztópont által meghatározott szakaszra olyan

téglalapokat rajzolunk, amelynek magassága a szakasz jobboldali vég-

pontjában emelt ordináta, akkor a kérdéses területet magába foglaló,

téglalapokból álló területet kapunk.A k-dik osztóponthoz tartozó téglalap

területe

Tk =l

na(k + 1)2 l2

n2= a

(k + 1)2 l3

n3.

Így a területet magába foglaló téglalapok összterülete

T (n) = T0 + T1 + ...+ Tn−1

= al3

n3

¡12 + 22 + ...+ n2

¢,

de tudjuk, hogy

12 + 22 + ...+ n2 =(2n+ 1)n (n+ 1)

6.

Így

T (n) = al3

n3(2n+ 1)n (n+ 1)

6.

Ha már most n-et növesztjük, vagyis mind jobban megközelítjük a be-

satírozott területet alulról is és felülrol is, akkor határesetben kapjuk,

hogy

t = limn→+∞ t (n) = lim

n→+∞ al3

n3(2n− 1) (n− 1)n

6=al3

3,

és

T = limn→+∞T (n) = lim

n→+∞ al3

n3(2n+ 1)n (n+ 1)

6=al3

3.

Tehát e közös határérték lesz a besatirozott rész területe.

Ezt a megközelítési módszert általános esetben is alkalmazhatjuk, de

nem minden esetben lesz a t a T -vel egyenlo. Ezért a beírt téglalpok

összterületét a t-et a síkidom belso, a területet magába foglaló téglalapok

összterületet T -et pedig a síkidom külso területének (mértékének) nevez-

zük. Ilyen alapon nem csak összefüggo tartományoknak a külso vagy belso

területét lehet meghatározni, hanem akármilyen A ⊆ R2 halmazhoz is hoz-zárendelheto két méroszám a belso és külso mérték.


Külsõ és belsõ m érték.

Ha meg akarjuk mérni az korlátos A halmazt, akkor van egy olyan

[a, b]× [c, d] téglalap, amely tartalmazza az A-t. Az [a, b] és [c, d] interval-lumokat felosztjuk tetszoleges módon az

a < x1 < x2 < ...xk = b,

illetve a

c < y1 < y2 < ... < yp = d

pontokkal. Jelöljük P -vel azon téglalapok egyesítését, amelyek az A belse-

jében vannak és jelöljük Q-val azon téglalapok egyesítését, amelyeknek

az A-val van közös részük. Jelöljük m (P )-vel a P területét (mértékét)

és m (Q)-val a Q területét (mértékét). Ha tekintjük az [a, b] × [c, d]

téglalap összes lehetséges felosztását és jelöljük P-vel az összes P típusú

és Q-val az összes Q típusú sokszögek halmazát, akkor S ([a, b]× [c, d])-vel jelöljük, akkor az m (P ) / P ∈ P minden eleme kisebb lesz mintaz m (Q) / Q ∈ Q halmaz bármely eleme. Tehát az m (P ) / P ∈ Phalmaz felülrol és az m (Q) / Q ∈ Q halmaz pedig alulról lesz korlátos.Így értleme van a

t (A) = sup m (P ) / P ∈ P

és

T (A) = inf m (Q) / Q ∈ Qbelso illetve külso mértékek értelmezésének. Azonnal látható, hogy t (A) ≤T (A) .

9.1. SÍKIDOMOK TERÜLETE 203

Definíció 9.1.1 Az A ⊆ R2 korlátos halmazt (Jordan szerint)

mérhetonek nevezzük, ha t (A) = T (A) . Ezt a közös számot az A hal-

maz mértékének vagy területének nevezzük és m (A)-val jelöljük.

Példák. 1. A téglalap mérheto halmaz és mértéke egyenlo a téglalap

területével.

2. Az

A = (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 2] / 0 ≤ y ≤ 2, ha x racinális és 0 ≤ y ≤ 1, ha x irracinálishalmaz nem mérheto.

Tétel 9.1.2 Ha az Ai ⊂ R2, i ∈ 1, 2, 3, ...k halmazok mérhetok, akkorA =

kSi=1

Ai halmaz is mérheto. Ha ezenkívül az Åi halmazok páronként

disztjunktak, akkor

m (A) =

kXi=1

m (Ai) .

Tétel 9.1.3 Ha az f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor grafikonja

nulla mértékü halmaz.

Következmény. Ha f : [a, b]→ R függvény folytonos, akkor az

A =©(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ y ≤ f (x) , ha x ∈ [a, b]ª

halmaz mérheto. Ezt a halmazt nevezzük a függvény grafikonja

alatti görbevonalú trapéznak.

A függvény grafikonja alatti görbevonalú trapéz.


9.2 A határozott integrál fogalma

Az eddigi tárgyalt területszámítási módszer általánosítható olyan szem-

pontból, hogy a trapéz területének a számításakor nem az alapok

félösszegét vesszük, hanem valamely közbeeeso pont behelyettesítési

értékét. Így jutunk el az integrál fogalmához. Hogy az integrált

megkülönböztessük a primitív függvényektol, amelynek jelölésére hagy-

omány alapján szintén az inegráljelt használják, ezért ezt a fogalmat

határozott integrálnak is szokták nevezni.

Figyelem. A határozott integrál, az integrál (Riemann-féle inegrál) egy

és ugyanazt a fogalmat jelenti.

A továbbiakban ismertessük a határozott integrál felépítését.

Legyen f : [a, b]→ R egy korlátos függvény. Osszuk fel az [a, b] inter-vallumot a következo osztópontokkal

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

Definíció 9.2.1 Az [a, b] intervallum összes felosztásainak halmazát

Ω [a, b]-vel jelöljük.

Ω [a, b] = [x0, x1, x2, ..., xn] / x0 < x1 < x2 < ... < xn

Legyen ∆ = [x0, x1, x2, ..., xn] ∈ Ω [a, b] egy felosztása az [a, b]-nek.Ehhez a felosztáshoz hozzárendelünk egy ξ∆ = [ξ1, ξ2, ..., ξn] olyan pon-

trendszert, amelyre xi−1 ≤ ξi ≤ xi bármely i = 1, n esetén.

Definíció 9.2.2 Az

S (f,∆, ξ∆) =

nXi=1

f (ξi) (xi − xi−1)

összeget az f függvényhez, a ∆ felosztáshoz és a ξ∆ pontrendszerhez rendelt

Riemann-féle összegnek nevezzük.

Definíció 9.2.3 A ∆ = [x0, x1, x2, ..., xn] ∈ Ω [a, b] felosztás normáján akövetkezo számot értjük:

k∆k = max©xi − xi−1 / i = 1, nª .

9.2. HATÁROZOTT INTEGRÁL 205

Definíció 9.2.4 Az f : [a, b] → R függvényt Riemann-féle értelemben

integrálhatónak nevezzük, ha létezik és véges a következo határérték:

I = limk∆k→0

S (f,∆, ξ∆) ,

vagyis minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ (ε) > 0 szám, hogy ha

k∆k < δ akkor

|S (f,∆, ξ∆)− I| < ε

bármely olyan ξ∆ = [ξ1, ξ2, ..., ξn] pontrendszerre, amelyre xi−1 ≤ ξi ≤ xibármely i = 1, n esetén. Ezt az I számot az f függvény

integráljának nevezzük és

I =

bZa

f (x) dx

szimbolummal jelöljük.

Megjegyzés 9.2.5 Az elozo paragrafusban bemutatott területfogalom sz-

erint tehát, ha f (x) ≥ 0, akkor az y = f (x) görbe alatti terület

T =

bZa

f (x) dx-szel

egyenlo.

Az integrál értelmezése.


9.3 Az integrálhatóság alapveto tulajdonságai

Ebben a paragrafusban az integrálhatóság néhány alapveto elégséges tulaj-

donságát adjuk meg. Elore is megjegyezzük, hogy az integrálhatóságnak a

függvény korlátossága csak szükséges feltétele, de nem elégséges. Például,

ha tekintjük az f : [0, 1]→ R,

f (x) =

½0, ha x irracionális,

1 ha x racionális,

függvényt, akkor f az intervallum bármely ∆ felosztása mellett az összeg

értéke a ξ∆ pontrendszer függvényében a 0 és az 1 értékeket veheti fel.

Tehát az f korlátos, de nem integrálható.

Tétel 9.3.1 Az f : [a, b]→ R zárt intervallumon monoton függvény inte-grálható.

Tétel 9.3.2 Az f : [a, b] → R zárt intervallumon folytonos függvény in-tegrálható.

Tétel 9.3.3 Egy intervallumon integrálható függvény továbbra is integrál-

ható marad, és az integrál értéke sem változik meg, ha az intervallumban

véges sok helyen (tetszolegesen) megváltoztatjuk a függvény értékét.

Megjegyzés 9.3.4 Ennek a tételnek az alapján azt is mondhatjuk, hogy

az általunk bevezetett integrálfogalom nem szorossan függ a függvény

grafikonjától. Vagyis, ha véges sok helyen a grafikonon (tetszoleges ) vál-

toztatásokat eszközlünk, akkor a függvény integrálja nem változik meg.

Megjegyzés 9.3.5 A 9.3.3 tétel egy másik következménye, hogy a

racionális függvények integrálhatók.

Megjegyzés 9.3.6 A 9.3.3 tétel harmadik következménye, hogy ha az f

: [a, b] → R függvény felbontható véges számú folytonos függvényre (sza-

kaszosan folytonos függvény), akkor az f integrálható. Legtöbbször ezt a

tulajdonságot alkalmazzuk az integrálhatóság eldöntésére.

9.4. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI 207

Szakaszosan folytonos, integrálható függvény.

9.4 Az integrál tulajdonságai

Ebben a paragrafusban ismertessük az integrál alapveto tulajdonságait.

Tulajdonságok. 1. Az f : [a, b] → R , f (x) = C, C ∈ R függvény

integráljabZa

cdx = C (b− a) .

A f = C konstans függvény integrálja.

2. Ha az f : [a, b]→ R integrálható [a, c] és [c, b] intervallumokon,

ahol c ∈ [a, b] , akkor f integrálható az [a, b] intervallumon is,


ésbZa

f (x) dx =

cZa

f (x) dx+

bZc

f (x) dx.

Az integrál két részre történõ bontása.

3. Ha az f : [a, b] → R és g : [a, b] → R integrálható függvények,

akkor f + g is integrálható és

bZa

f (x) + g (x) dx =

bZa

f (x) dx+

bZa

g (x) dx.

4. Ha az f : [a, b]→ R integrálható függvény és λ ∈ R, akkor

bZa

λf (x) dx = λ

bZa

f (x) dx.

5. Egy intervallumon integrálható pozitív függvény integrálja is

pozitív, az intervallumon integrálható negatív függvény inte-

grálja pedig negatív.

6. Ha az f : [a, b]→ R integrálható függvény , akkor

bZa

f (x) dx = −aZb

f (x) dx.

9.4. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI 209

7. Ha az f : [−a, a]→ R páratlan integrálható függvény , akkor

aZ−af (x) dx = 0

8. Ha az f : [−a, a]→ R páros integrálható függvény , akkor

aZ−af (x) dx = 2

aZ0

f (x) dx

A tulajdonságok bizonyítása megtalálható a középiskolás

tankönyvben. Ezért most itt a bizonyításoktól eletkintünk.

Tétel 9.4.1 (Középérték tétel) Ha az f : [a, b] → R integrálható

függvény és m ≤ f (x) ≤M bármely x ∈ [a, b] esetén , akkor létezik olyanp ∈ [m,M ] szám, amelyre

bZa

f (x) dx = p (b− a) .

Sajátos esetben, ha f folytonos, akkor létezik olyan α ∈ [a, b] szám,amelyre

bZa

f (x) dx = f (α) (b− a) .

Bizonyítás 72 Mivel m ≤ f (x) ≤M következik, hogy

m (b− a) ≤bZa

f (x) dx ≤M (b− a) .

Innen

m ≤ 1

b− a

bZa

f (x) dx ≤M .


Ha jelöljük

m ≤ 1

b− a

bZa

f (x) dx = p ≤M,

akkorbZa

f (x) dx = p (b− a) .

Ha f folytonos, akkor létezik olyan α ∈ [a, b], amelyre f (α) = p. Innenkapjuk a kért egyenloséget.

A középérték tétel szemléltetése

9.5 Az integrál kiszámítása

Az integrál kiszámítása az értelmezés alapján elégé nehézkes feladat.

Az értelmezésben eloforduló határérték kiszámítása sok leleményességet

igényel. Ezért olyan eljárást kell kersni, amellyel az integrál bizonyos

egyszerubb esetékben kiszámítható. Ennek érdekében vezetjük be a prim-

itív függvény fogalmát.

9.5.1 A primitív függvény fogalma

Definíció 9.5.1 Az f : I → R ( I ⊆ R intervallum) függvénynek az

F : I → R függvény primitív függvénye, ha:

(i) F deriválható;

(ii) F 0 (x) = f (x) bármely x ∈ I esetén.

9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 211

Tétel 9.5.2 Ha az f : I → R függvénynek az F primitív függvénye, akkorbármely C ∈ R esetén az F + C is primitív függvénye az f-nek és az f

összes primitív függvénye az F +C alakba írható.

Bizonyítás 73 Valóban F + C deriválható és bármely x ∈ I esetén

(F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x) .Legyen G egy primitív függvénye az f-nek. Ekkor bármely x ∈ I es-

etén G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Tehát bármely x ∈ I esetén(G− F )0 (x) = 0. Ami azt jelenti, hogy az G − F konstans függvény,

vagyis létezik olyan C ∈ R szám, amelyre G− F = C.

Megjegyzés 9.5.3 Ez a tétel azt mutatja meg, hogy ha f-nek van prim-

itív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van. Az összes

promitívek halmazát nevezzük határozatlan integrálnak.

Definíció 9.5.4 Az f : I → R függvény primitív függvényeinek halmazátaz f függvény határozatlan integráljának nevezzük és aZ

f (x) dx

szimbolummal jelöljük.

Figyelem! Nem szabad összetéveszteni a határozatlan integrált a

határozott integrállal, mivel a határozatlan integrál egy függvényhal-

maz a határozott integráll pedig egy szám amely a függvénygörbe

alatti területet adja meg. Közöttük semmilyen fogalmi kapcsolat

sincs, csak a jelölésük hasonlít egymásra. Hogy a különbséget a

érzékeltessük, amikor a határozatlan integrálról beszélünk, akkor

expliciten ezt ki is mondjuk, a határozott integrált amint már az

elozoekben is jeleztük ”integrálnak” is mondhatjuk.

A határozatlan integrál alapveto tulajdonságai

A határozatlan integrál amint láttuk egy halmaz, amelyet röviden így

írhatunk le:Zf (x) dx =

½ ∅, ha f -nek nincs primitív függvénye,

F + C / C ∈ R , ha F primitív fügRgvénye az f -nek.


Tétel 9.5.5 A határozatlan integrál az alábbi tulajdonságokkal ren-

delkezik:

1.©g0 / g ∈ R f (x) dxª = f ;

2. ha az f és g függvényeknek van primitív függvénye az I intervallu-

mon, akkor

Zf (x) + g (x) dx =

Zf (x) dx+

Zg (x) dx;

3. ha az f függvényeknek van primitív függvénye az I intervallumon,

akkor

Zf (x) dx = −

Zf (x) dx;

4. ha az f függvényeknek van primitív függvénye az I intervallumon és

λ ∈ R, akkor

Zλf (x) dx = λ

Zf (x) dx;

A tulajdonságok igazolása a derivált tulajdonságainak a felhasználásá-

val történik. Viszonylag könnyen elvégezhetok ezért az olvasóra bizzuk.


Határozatlan alapintegrálok

Rλdx = λx+C;Rxαdx = xα+1

α+1+ C, ha α 6= −1;R

1xdx = lnx+C, ha x > 0;R1xdx = ln (−x) + C, ha x < 0;R1xdx = ln |x|+C;Rsinxdx = − cosx+ C;Rcosxdx = sinx+ C;R1

cos2 xdx =

R ¡1 + tan2 x

¢dx = tanx+ C;R

1sin2 x

dx =R ¡1 + cot2 x

¢dx = − cotx+ C;R

exdx = ex + C;Raxdx = ax

ln a+ C, ha a > 0 és a 6= 1;R

1√1−x2dx = arcsinx+ C;R1

1−x2dx = arthx+ C =12lnq

1+x1−x +C, ha |x| < 1;R

11−x2dx = arcthx+C =

12lnq

x+1x−1 + C, ha |x| > 1;R

11+x2

dx = arctanx+ C;Rsinhxdx = coshx+ C;Rcoshxdx = sinhx+ C;R

1√x2+1

dx =arsinhx+ C = ln³x+√x2 + 1

´+ C;R

1√x2−1dx =arcoshx+ C = ln

³x+√x2 − 1

´+ C.

9.5.2 Newton-Leibniz integrálási szabály

Ha az f : [a, b]→ R függvény integrálható, akkor bármely x ∈ [a, b] eseténis az f |[a,x] is integrálható. Ezért az F : [a, b]→ R,

F (x) =

xZa

f (u) du

egy valós függvény.

Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy vajon az F primitív függvénye-e

az f -nek?

Tétel 9.5.6 Ha az f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor F primitív

függvénye az f-nek.


Bizonyítás 74 Ha x0 ∈ [a, b], akkor

limx→x0

F (x)− F (x0)x− x0 = lim

x→x0

xRa

f (u) du−x0Ra

f (u) du

x− x0 =

= limx→x0

xRx0

f (u) du

x− x0= f (x0) .

Az utóbbi egyenl0oség a középérték tételbol következik, mivel a tétel alapján

létezik olyan α ∈ [x0, x] szám, amelyrexZ

x0

f (u) du = (x− x0) f (α) .

Tehát

limx→x0

xRx0

f (u) du

x− x0 = limx→x0

(x− x0) f (α)x− x0 = f (x0) .

Tétel 9.5.7 (Newton-Leibniz-féle képlet) Ha az f : [a, b] → R füg-

gvény folytonos, akkor

bZa

f (x) dx = F (b)− F (a)

az f minden F primitív függvénye esetén.

Bizonyítás 75 Mivel f folytonos, következik, hogy

F (x) =

xZa

f (u) du+ C.

Ahonnan következik, hogy

F (a) = C


és

F (b) =

bZa

f (u) du+ C

Tehát

bZa

f (x) dx = F (b)− F (a) .

9.5.3 Integrálási módszerek

Parciális integrálás módszere

Tétel 9.5.8 Ha az f : [a, b]→ R és g : [a, b]→ R folytonosan deriválhatófüggvények, akkor

bZa

f 0 (x) g (x) dx = f (b) g (b)− f (a) g (a)−bZa

f (x) g0 (x) dx.

Bizonyítás 76 Alkalmazzuk a szorzat deriválási szabályát:

[f (x) g (x)]0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) .

Ha az egyenlet mindkét oldalán integrálunk visszakapjuk a kért össze-

függést. Az integrás elvégezheto, mivel az egyenloség mindkét oldalán

folytonos függvények vannak.


Példák. 1.

2Z1

lnxdx =

2Z1

(x)0 lnxdx

= x lnx|21 −2Z1

x (lnx)0 dx

= 2 ln 2− 1 ln 1−2Z1

x1

xdx

= 2 ln 2−2Z1

dx

= 2 ln 2− x|21= 2 ln 2− 2 + 1= 2 ln 2− 1.

2.

1Z0

xexdx =

1Z0

x (ex)0 dx = xex|10 −1Z0

(x)0 exdx

= 1e1 − 0e0 −1Z0

exdx

= e− ex|10 = e− e+ 1 = 1.


3.

1Z0

p1 + x2dx =

1Z0

1 + x2√1 + x2

dx =

1Z0

1√1 + x2

dx+

1Z0

x2√1 + x2

dx

= ln³x+

p1 + x2

´|10 +

1Z0

x√1 + x2

xdx

= ln³1 +√2´− ln (1) +

1Z0

³p1 + x2

´0xdx

= ln³1 +√2´+³p

1 + x2´x|10 −

1Z0

³p1 + x2

´(x)0 dx

= ln³1 +√2´+√2−

1Z0

³p1 + x2

´dx.

Ha bevezetjük az

I =

1Z0

p1 + x2dx

jelölést, akkor azt kapjuk, hogy

I = ln³1 +√2´+√2− I.

Ahonnan

I =1

2ln³1 +√2´+

√2

2.

Helyettesítéssel való integrálás

Az összetett függvény deriválási szabályának a megfeleloje az integrálás

körében. A módszer lényege itt az, hogy az x változónak olyan függvényét

vezetjük be az integrándusban az x helyébe, amely a primitív függvény

meghatározását egyszerubbé teszi.


Tétel 9.5.9 Ha az f : [a, b] → R folytonos és g : [a, b] → R folytonosanderiválható függvény, akkor

bZa

f (x) dx =

qZp

f (g (u)) g0 (u) du,

ahol a = g (p) és b = g (q) .

Bizonyítás 77 Legyen F primitív függvénye az f-nek. Akkor

(F g)0 (u) = F 0 (g (u)) g0 (u) = f (g (u)) g0 (u) .

Tehát

bZa

f (x) dx =

g(q)Zg(p)

f (x) dx

= F (g (q))− F (g (p))

=

qZp

f (g (u)) g0 (u) du.

Példák. Számítsuk ki az alábbi integrált:

1Z0

p1− x2dx.

Legyen x = sinu. Akkor (x)0 · dx = cosu · du. Vagyis dx = cosu · du.


Akkor

1Z0

p1− x2dx =

π2Z0

p1− sin2 u cosudu

=

π2Z0

cosu cosudu

=

π2Z0

cos2 udu

=

π2Z0

1 + cos 2u

2du

=

π2Z0

1

2du+

π2Z0

cos 2u

2du

=1

2u|π/20 +

1

4sin 2u|π/20

=π

4+1

4(sinπ − sin 0)

=π

4.

2. Számítsuk ki az alábbi integrált:

π/3Zπ/6

1

sin 2xdx.

π/3Zπ/6

1

sin 2xdx =

π/3Zπ/6

1

2 sinx cosxdx

=1

2

π/3Zπ/6

1

tanx

1

cos2 xdx.


Bevezetjük a tanx = u jelölést. Ekkor du = (tanx)0 dx. Vagyisdu = 1

cos2 xdx. Tehát

1

2

π/3Zπ/6

1

tanx

1

cos2 xdx. =

1

2

√3Z

√3/3

1

udu

=1

2lnu|

√3√3/3

=1

2ln3√3√3

= ln√3.

9.6 Az inegrál közelíto kiszámítása

Az inegrál Newton-Leinbniz képlettel történo számításának az a hátránya,

hogy csak nagyon sajátos esetekben alkalmazható. A gyakorlatban elofor-

duló függvények integrálja általában nem számítható ki ezzel a képlettel.

Ezért feltevodik az a kérdés, hogy ekkor hogyan lehet kiszámítani az inte-

grált? A válasz sajnos negatív, vagyis pontos számításra más lehetoségünk

nincs, de azért nem kell elkeserednünk, mivel közelíto számításokra mindig

van lehetoség, és ha meggondoljuk a gyakorlat nem is követel mást tolünk.

Ezért az integrál közelíto kiszámításának módszerei nagyobb gyakorlati je-

lentoséggel bírnak. Ezt támasztja alá az is, hogy a számítógéppel végzett

integrálás is valamilyen közelíto módszeren alapúl. A közelíto módszerek

alkalmazásakor arra törekszünk, hogy az elkövetett hibát meg tudjuk bec-

sülni.

A feladat ebben az esetben:

Feladat. Ha f : [a, b] → R integrálható függvény, határozzuk meg egy

bizonyos pontossággal az

I =

bZa

f (x) dx

integrál értékét.

9.6. INEGRÁL KÖZELÍTO KISZÁMÍTÁSA 221

A határozott integrál közelíto értékének a kiszámítási módja az, hogy

az f függvényt az [a, b] intervallumon olyan g függvénnyel közelítjük meg,

amelynek az integrálját könnyen ki tudjuk számítani, és az f függvény

integálját helyettesítjük a g függvény integráljával.

Konkrét esetekben általában az f függvéy analitikus alakja nem is-

mert, csak annyit tudunk, hogy a függvény folytonos és ismerjük az

értékeit az xk ∈ [a, b], k = 1, ..., n pontokban. Ekkor a függvényt poli-

nomfüggvénnyel közelítjük meg, és akkor az integrál értéke az alábbi

kvadraturával adható meg:

bZa

f (x) dx =

nXk=0

Akf (xk) +R.

Ebben a képletben az Ak a kvadratura együtthatói, R pedig a hiba.

Annak a polinomnak a megszerkesztését, amely értékei az xk pon-

tokban megegyezik az f fügvény értékeivel, interpolációnak nevezzük.

Az interpoláció legegyszerubb példáját a logaritmustáblák használatá-

nak a szabájaiból ismerjük. Itt az argumentum közbeeso-a táblázatban

nem szereplo-értékek kiszámításakor a függvény táblázati értékéhez hoz-

záadunk egy korekciót, amelyet úgy kapunk, hogy a függvény kicsiny

növekményét arányosnak vesszük a független változó növekményével.

Az interpolációnak gyakorlati jelentosége rendkivül nagy, hiszen

például fizikai, gazdasági, szociológiai mérések kiértékelésénél lépten-

nyomon használják.

A szerint, hogy az xk osztópontokat hogyan válasszuk és, hogy az

[xk−1, xk] intervallumon milyen közelítését vesszük az f függvénynek

különbözo numerikus integrálási módszereket kapunk.

9.6.1 Trapéz módszer

Ebben a módszerben az [a, b] intervallumot n egyenlo részre osztjuk. Az

osztópontok xk = x0 + kh, k = 0, ..., n, x0 = a, xn = b, h =b−an.

Az [xk−1, xk] intervallumon az f függvényt lineárisan közelítjük meg.Vagyis

f (x) ≈ xk − xh

f (xk−1) +x− xk−1

hf (xk) ,

bármely x ∈ [xk−1, xk] esetén.


Ekkor

bZa

f (x) dx =

nXk=1

xkZxk−1

f (x) dx

≈nXk=1

xkZxk−1

xk − xh

f (xk−1) +x− xk−1

hf (xk) dx

=

nXk=1

[xkf (xk−1)− xk−1f (xk)]+

=1

2

nXk=1

(f (xk)− f (xk−1)) (xk + xk−1)

=h

2

nXk=1

[f (xk) + f (xk−1)]

Tehát az integrál egy megközelíto értékét az alábbi képlet adja meg:

bZa

f (x) dx ≈ hµf (a) + f (b)

2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)

¶(9.1)

Tétel 9.6.1 Ha f : [a, b] → R kétszer folytonosan differenciálható füg-

gvény, akkor

¯¯bZa

f (x) dx− hµf (a) + f (b)

2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)

¶¯¯ ≤ M (b− a)312n2

,

ahol M = max |f” (x) / x ∈ [a, b]|


Bizonyítás 78 (Bizonyítás)

xkZxk−1

f (x) dx =

xkZxk−1

f (x) (x− xk−1)0 dx

= (xk − xk−1) f (xk)−xkZ

xk−1

(x− xk−1) f 0 (x) dx

= (xk − xk−1) f (xk)−xkZ

xk−1

(x− xk−1) f 0 (x) (x− xk)0 dx

= (xk − xk−1) f (xk) +xkZ

xk−1

(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx+xkZ

xk−1

(x− xk) f 0 (x) dx

= (xk − xk−1) f (xk) +xkZ

xk−1

(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx

+(xk − xk−1) f (xk−1)−xkZ

xk−1

f (x) dx.

Tehát

xkZxk−1

f (x) dx =1

2(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))+1

2

xkZxk−1

(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx.

A fentiek alapján kapjuk, hogy¯¯ xkZxk−1

f (x) dx− 12(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))

¯¯

≤ 12

xkZxk−1

¯(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x)

¯dx

≤ (xk − xk−1)3

12M


Összegezés után kapjuk, hogy¯¯bZa

f (x) dx− hµf (a) + f (b)

2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)

¶¯¯=

¯¯ nXk=1

xkZxk−1

f (x) dx− 12(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))

¯¯

≤nXk=1

(xk − xk−1)312

M =Mh3

12n =

M (b− a)312n3

n =M (b− a)312n2

Ez a képlet azt mutatja, hogy a hiba fordítottan arányos az n2-tel.

Következésképpen minnél kisebb részekre osztjuk az intervallumot, annál

pontosabb értékét kapjuk az integrálnak. Összefoglalva ez azt jelenti, hogy

az integrál kiszámításának egy lehetséges képlete az

Tétel 9.6.2 Ha f : [a, b] → R kétszer folytonosan differenciálható füg-

gvény, akkor

bZa

f (x) dx = h

µf (a) + f (b)

2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)

¶+O

¡n2¢.

(9.2)

Az O¡n2¢jelölés azt mutatja, hogy a képlet hibája 1

n2−tel azonos

nagyságrendu. Pontosabban mondva, ha egy összefüggés az alábbi alakba

írható

I = g (n) +O³nk´,

akkor

limn→∞ (I − g (n))n

k

határérték véges. A képlet hibája 1nk−tel azonos nagyságrendu, ha k a

leheto legnagyobb, amelyre a fenti határérték még véges marad.

Megjegyzés 9.6.3 A Newton-Leibniz-féle képlet hibája 1n∞ -nel azonos

nagyságrendu.


Az integrálra adott (3)-as képlet éppen, olyan értékes mint a Newton-

Leibniz képlet, sot gyakorlati szempontból nagyobb a jelentosége, mivel

ezzel sokkal több integrál számítható ki, ezért általánosabb is. Valóban,

amíg nem jelentek meg a számítógépek elégé nehezen volt alkalmazható,

de jelenleg számítógéppel nagyon rövid ido alatt nagyon nagy pontossággal

használható.

9.6.2 Simpson-féle formula

Az integrál közelíto kiszámítása céljából felosztjuk az [a, b] intervallumot

2n egyenlo részre. Az osztópontok xk = x0 + kh, k = 0, ..., 2n, x0 = a,

xn = b, h =b−an.

Az [xk−1, xk] intervallumon az f függvényt az L2 Langrage-féle poli-nommal közelítjük meg.

Megjegyzés 9.6.4 Az n-ed rendu Lagrange-féle polinom az a legfeljebb

n-ed rendu polinom, amely az x0 < x1 < ... < xn értékekre az y0, y1, ..., ynértékeket veszi fel:

Ln (x) =

nXi=0

yi(x− x0) (x− x1) ... (x− xi−1) (x− xi+1) ... (x− xn)

(xi − x0) (xi − x1) ... (xi − xi−1) (xi − xi+1) ... (xi − xn) .

Ha n = 2,akkor az x2(k−1) < x2k−1 < x2k csomópontokhoz tartozó L2Langrage-féle polinom

L2 (x) =(x− x2k−1) (x− x2k)¡

x2(k−1) − x2k−1¢ ¡x2(k−1) − x2k

¢f ¡x2(k−1)¢+

¡x− x2(k−1)

¢(x− x2k)¡

x2k−1 − x2(k−1)¢(x2k−1 − x2k)

f (x2k−1)

+

¡x− x2(k−1)

¢(x− x2k−1)¡

x2k − x2(k−1)¢(x2k − x2k−1)

f (x2k)

A továbbiakban a trapéz modszernél leírtak alapján járunk el és az

alábbi közelíto integrálási képlethez jutunk

bZa

f (x) dx =h

3f (a) + f (b) + 4 [f (x1) + f (x3) + ...+ f (x2n−1)]

+2 [f (x2) + f (x4) + ...+ f (x2n−2)] .


Tétel 9.6.5 Ha f : [a, b]→ R négyszer folytonosan differenciálható füg-

gvény, akkor¯¯bZa

f (x) dx− h3

n−1Xi=0

[f (x2i) + 4f (x2i+1) + f (x2i+2)]

¯¯ ≤ N (b− a)52880n4

,

ahol N = max©¯f (4) (x) / x ∈ [a, b]

¯ª.

Összefoglalva ez azt jelenti, hogy az integrál kiszámításának egy lehet-

séges képlete:

Tétel 9.6.6 Ha f : [a, b]→ R négyszer folytonosan differenciálható füg-

gvény, akkor

bZa

f (x) dx =h

3f (a) + f (b) + 4 [f (x1) + f (x3) + ...+ f (x2n−1)] (9.3)

+2 [f (x2) + f (x4) + ...+ f (x2n−2)]+O¡n4¢.

9.6.3 A megengedett hibahatár betartása

Adott az ε > 0 szám. Határozzuk meg a csomópontok számát, úgy hogy

az integrálási hiba kisebb legyen mint ε.

A trapéz módszernél megkeressük a függvény másodrendu deriváltjá-

nak egy lehetséges felso korlátját az M -et és azután megoldjuk az alábbi

egyenlotlenséget

M (b− a)312n2

≤ ε.

Amibol következik, hogy

n =

⎡⎢⎢⎢sM (b− a)3

12ε

⎤⎥⎥⎥+ 1. (9.4)

A Simpson-képletnél megkeressük a függvény negyedrendu deriváltjá-

nak egy lehetséges felso korlátját az N -et és azután megoldjuk az alábbi

egyenlotlenséget


N (b− a)52880n4

≤ ε.

Amibol következik, hogy

n =

⎡⎢⎢⎢ 4

sN (b− a)52880ε

⎤⎥⎥⎥+ 1 (9.5)

Látható, hogy mind a két esetben elég nehézkes a csomópontok számá-

nak a meghatározása, ezért inkább a kétszeres számítási módszert alka-

lmazzuk. Ez azt jelenti, hogy kiszámítsuk az integrál In és I2n közelíto

értékeit n darab csomópont és 2n darab csomópont esetén is. Figyeljük a

két érték közti eltérést és felhasználjuk a Runge-féle elvet, amely kimondja,

hogy az R integrálási hibát a trapéz módszer esetén az

R ≈ 13|In − I2n| , (9.6)

a Simpson-képlet esetén pedig az

R ≈ 1

15|In − I2n| (9.7)

közelíto képlet adja meg.

9.6.4 Számítási algoritmus a trapéz módszer esetén

1. lépés. Legyen

n =

⎡⎢⎢⎢s(b− a)312ε

⎤⎥⎥⎥+ 1. (9.8)

2. lépés. Számítjuk az In-t és az I2n-t.

3. lépés. Ha |In − I2n| ≤ 3√ε, akkor megkaptuk ε pontossággal az

integrál értékét és kilépünk az algoritmusból.

4. lépés. Növeljük az n-t és folytassuk az algoritmust a 2. lépéstol.


9.6.5 Számítási algoritmus a Simpson-képlet esetén

1. lépés. Legyen

n =

⎡⎢⎢⎢ 4

s(b− a)52880ε

⎤⎥⎥⎥+ 1 (9.9)

2. lépés. Számítjuk az In-t és az I2n-t.

3. lépés. Ha |In − I2n| ≤ 15 4√ε, akkor megkaptuk ε pontossággal az

integrál értékét és kilépünk az algoritmusból.

4. lépés. Növeljük az n-t és folytassuk az algoritmust a 2. lépéstol.

Hogy teljes legyen a mind a két módszer leírása, meg kell adjuk a

számítógéppel történo kiszámítás módját is. Erre több programozási nyelv

is használható, de itt egy széles körben elterjedt numerikus módszerek

alkalmazásara íródott matematikai programozási környezetet mutatunk

be. Ezt a környezetet MatLab numerikus analizátornak nevezzik és amint

látni fogjuk nagyon könnyen megtanulható és viszonylag könnyen lehet

benne programozni.

9.7 Rövid MatLab ismertetés

9.7. RÖVID MATLAB ISMERTETÉS 229

A MatLAb matematikai programozási nyelvet a MathWorks szofter

gyártó cég készítette. 1984-ben jelent meg az elso verziója és ezt bovítet-

ték tovább. Jelenleg már a 6-os verzió is a piacon van. A cég termékeirol és

a MatLab-ról további információk szerezhetok be a www.mathworks.com

internetes címen.

A MatLab öt fontosabb részbol tevodik össze:

1. MatLab fordító. Ez végzi el az általunk megírt matematikai pro-

gramnak az operációsrendszer által ismert kódra történo fordítását.

2. Parancssor ablak. Indításkor ez jelenik meg a képernyon és ebben

az ablakban írhatjuk be az alapveto utasításokat.

3. Szerkeszto ablak. A parancssor ablakból indítható. Ebben az ablak-

ban szerkesztjük matematikai programjainkat.


4. Súgó ablak. A parancssor ablakból indítható. Ebben az ablakban

kérünk segítséget a programozás során.


5. Eszköztárak( ToolBoxes). Ezek az állományok tartalmazzák a már

megírt matematikai programokat. Az állományok az internetrol is

letölthetok és mi is szerkeszhetünk ilyeneket.

Mit is tud a MatLab?

1. Egyszeru matematikai számításokat lehet vele végezni

2. Már az 5.2 verziónak is egy elégé jól felépített grafikai komponense

van. Ez lehetové teszi a görbék és felületdarabok ketto


és három dimenziós ábrázolását.

3. Van egy úgynevezett Simuling komponense, amelynek segít-

ségével dinamikus megjelenítést is végezhetünk.


4. Az lineáris algebra eszköztára képes:

(a) mátrix muveletek elvégzésére;

(b) vektorokkal történo muveletek elvégzésére;

(c) lineáris egyenletrendszerek megoldására;

(d) determináns kiszámítására;

(e) sajátértékek, sajátvektorok meghatározására;

(f) iteratív muveletek végzésére;

(g) stb.

5. A polinomok és interpoláció eszköztár képes:

(a) polinomokkal történo muveletek elvégzésére;

(b) lineáris interpolációra;

(c) polinomiális interpolációra;

(d) Lagrange-féle interpolációra;

(e) az interpoláció hibájának a meghatározására;

(f) stb.

6. A numerikus integrációs eszkoztár ismeri:

(a) a trapéz módszert;

(b) Simpson-féle képletet;

(c) stb.

7. A differenciálegyenletek eszköztár ismeri:

(a) a differenciálegyenletek Runge-Kuta 3,4,5 numerikus

megoldási módszereit.

(b) stb.

8. A szimbolikus számításokat végzo eszköztár képes szimbolikus

számítások elvégzésére.


9. Az általunk megírt matematikai programok, vagy az eszköztárak

beépíthetok a Visual C++ programozási környezetbe is. Ezáltal a

környezettol független szimulációs programok készíthetok.

10. Nem tesz különbséget a számok között. Például, ha egy másodfokú

egyenletet oldunk meg nem kell leellenorizni a delta értékét, mivel

ha a delta negatív, akkor automatikusan komplex gyökököt számol.

9.8 A trapéz módszer MatLabban

A módszert az alábbi példán keresztül mutatjuk be:

Feladat. Számítsuk ki az integrált 6 tizedes pontossággal:

I =

1Z0

e−x2

dx.

9.8.1 Ha a hiba megbecslése az 9.8 képlet alapján történik

1. lépés.

Abban az esetben, ha integrálandó függvény analitikus képlete

ismert, akkor létrehozunk egy úgynevezett .m állományt, amely a füg-

gvény leképzési szabályát tartalmaza. Ha nem ismert ilyen képlet, akkor

felsoroljuk egy adattömbe a függvény behelyettesítési értékeit.

A mi esetünkben az f.m állomány az alábbiakat tartalmaza.

function ert=f(x)

ert=exp(-x*x);

Az állomány neve meg kell egyezzen a függvény azonosítójával. A mi

esetünkben ez f.m

2. lépés.

Úgyanabban a könyvtárban, amelyben a függvény is található létre-

hozunk egy másik .m állományt az integrálási módszerrel. Ennek az ál-

lománynak a neve trapez.m és az alábbiakat tartalmazza:

9.8. A TRAPÉZ MÓDSZER MATLABBAN 235

function [eredmeny]=trapez(f_name,a,b,hiba)

%kiszámítjuk, hogy legalább hány osztópont szükséges az adott hiba-

határ eléréséhez;

n=sqrt(1/hiba)+1;

% a lépéshossz;

h=(b-a)/n;

% az integrálösszeg kezdeti értéke;

I=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;

% az integrálösszeg kiszámítása

for k=1:1.0:n-1,

fk=feval(f_name,(a+k*h));

I=I+fk;

end;

% az integrálösszegnek a lépéshosszal történo beszorzása;

I=h*I;

% az eredmény 20 tizedesjeggyel történo kiírása;

vpa(I,20)

3. lépés:

Hogy az általunk készített ”trapez” nevu MatLab integráló füg-

gvény értékét az f függvényre, a [0, 1] intervallumra és 0.0000001 hibával

kiszámítsuk a parancssorba gépeljük be

trapez(’f ’,0,1,0.0000001)

Egy bizonyos ido múlva a számítógép kiírja az eredményt:

ans =

.74679182261973753310

Ha más függvény integrálját akarjuk kiszámítani, akkor csak létre kell

hozni az 1. lépésben leírtak alapján egy újabb .m állományt, amely tartal-

mazza az integrálandó függvény leképzési szabáját és utána kell alkalmazni

rá a a trapez MatLab függvényt a megadott intervallummal. Az alapfüg-

gvényekre direkt lehet alkalmazni a trapez MatLab függvényt. Példának

okáért számítsuk ki

I =

πZ0

sinxdx

integrált 12 tizedes pontossággal.

Begépeljük a parancssorba:


trapez(’sin’,0,pi,0.0000000000001)

Körülbelül 5 perc múlva az alábbi eredményt írja ki a számítógép.

ans =

1.9999999999992832400

Megfigyelheto, hogy valóban az eredmény 12 tizedes pontosságú, mivel

a pontos értéktol, a 2-tol való eltérés 0.71676× 10−12 .Hogy szemléltessük is az f függvényt szerkesztünk egy olyan MatLab

függvényt amely kirajzolja az adott függvény grafikonját. Ezért létre-

hozunk egy .m tipusú állományt, amely a következoket tartalmazza:

function grafikon(f_name,a,b,lepes)

i=0;

% kiszámítjuk a behelyettesítési értékeket;

for t=a:lepes:b,

i=i+1;

x(i)=t;

y(i)=feval(f_name,t);

end;

% kirajzoljuk az f függvény grafikonját

plot(x,y)

% megválasszuk a megjelenítési módot;

grid on

% felíratozzuk a koordináta-tengelyeket

xlabel(’x’);

ylabel(’y’);

Ezt az állományt elmentsük a grafikon.m néven.

Ha a parancssorba begépeljük a

grafikon(’f ’,0,1,0.01)

utasítást, akkor a számítógép kirajzolja az f függvény grafikonját.

9.8. A TRAPÉZ MÓDSZER MATLABBAN 237

9.8.2 Ha a hiba megbecslése a kétszeres számítási módszer

alapján történik

function [eredmeny]=trapez2(f_name,a,b,ep)

n=sqrt((b-a)^3/12/ep)+1;

hiba=ep+1;

% addig végezzük a számításokat amig a hiba kisebb lesz mint az ep;

while (hiba >ep)

%kiszámítjuk az In-t

h=(b-a)/n;

I1=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;

for k=1:1.0:n-1,


I1=I1+fk;

end;

I1=h*I1;

%kiszámítjuk az I2n-t;

h=(b-a)/2/n;

I2=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;

for k=1:1.0:2*n-1,



I2=I2+fk;

end;

I2=h*I2;

% meghatározzuk a hibát

hiba=(I1-I2)*(I1-I2)/9;

% növeljük az n-t;

n=2*n;

end;

%kiiratjuk az eredményt.

vpa(I2,20)

Ha kiakarjuk számolni az

I =

πZ0

sinxdx

integrált 6 tizedes pontossággal.a parancssorba gépeljük be

trapez2(’sin’,0,pi,0.000001)

Eredményül a számítógép kiírja

ans =

1.9999990577998927321.

Látható, hogy valóban a hiba kisebb mint 0.000001.

9.9 Simpson-képlet MatLabban

9.9.1 Ha a hiba megbecslése a 9.9 képlet alapján történik

function [eredmeny]=trapez(f_name,a,b,hiba)

n=round(((b-a)^5/2880/hiba )^(1/4))+1;

h=(b-a)/2/n;

I=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));

for k=1:2.0:2*n-1,


I=I+4*fk;

end;

for k=2:2.0:2*n-2,


I=I+2*fk;

9.9. SIMPSON-KÉPLET MATLABBAN 239

end;

I=h*I/3;

vpa(I,20)


I =

πZ0

sinxdx

integrált 6 tizedes pontossággal.a parancssorba gépeljük be

simpson(’sin’,0,pi,0.000001)

Eredményül a számítógép kiirja

ans =

2.0000005194886716353.

Látható, hogy valóban az eredmény 6 tizedes pontosságú.

9.9.2 Ha a hiba megbecslése a kétszeres számítási módszer

alapján történik

function [eredmeny]=simpson2(f_name,a,b,ep)

n=round(((b-a)^5/2880/ep )^(1/4))+1;

hiba=ep+1

while (hiba>ep)

h=(b-a)/2/n;

I1=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));

for k=1:2.0:2*n-1,


I1=I1+4*fk;

end;

for k=2:2.0:2*n-2,


I1=I1+2*fk;

end;

I1=h*I1/3;

m=2*n;

h=(b-a)/2/m;

I2=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));

for k=1:2.0:2*m,



I2=I2+4*fk;

end;

for k=2:2.0:2*m-1,


I2=I2+2*fk;

end;

I2=h*I2/3;

hiba=(I1-I2)*(I1-I2)*(I1-I2)*(I1-I2)/50625;

n=2*n;

end;

vpa(I2,20)


I =

πZ0

sinxdx

integrált 6 tizedes pontossággal a parancssorba gépeljük be

simpson2(’sin’,0,pi,0.000001)

Eredményül a számítógép kiírja

ans =

2.0000000324482267722.

Látható, hogy valóban az eredmény 6 tizedes pontosságnál jobb.

9.10 Szimbolikus integrálszámítás

A MatLab rendelkezik olyan eszköztárral, amely képes szimbolikus

számításokat is végezni. Hogy megnézzük ez miként is muködik készít-

sünk egy .m állományt, amelybe írjuk be:

syms x x1 alpha u t;

f= [cos(x*t),sin(x*t)];

int(1/(1+x^2))

int(sin(alpha*u),alpha)

int(x1*log(1+x1),0,1)

int(4*x*t,x,2,sin(t))

9.10. SZIMBOLIKUS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 241

int([exp(t),exp(alpha*t)])

int(f,t)

Eredményként a számítógép a következoket írja ki:

syms x x1 alpha u t;

% az 11+x2

határozott integrálja

int(1/(1+x^2))

ans =

atan(x)

% a sin (alpha ∗ u) határozott integrálja, ahol az ismeretlen az alpha;int(sin(alpha*u),alpha)

ans =

-cos(alpha*u)/u

% az x1 log (1 + x1) határozott integrálja, a határok 0 és 1;

int(x1*log(1+x1),0,1)

ans =

1/4

% a 4∗x∗t határozott integrálja, ahol a függvény változója x, a határok2 és sin t;

int(4*x*t,x,2,sin(t))

ans =

2*sin(t)^2*t-8*t

% az¡et, ealpha∗t

¢vektorfüggvény határozatlan integrálja;

int([exp(t),exp(alpha*t)])

ans =

[ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]

% az f (t) = (cos(x ∗ t), sin(x ∗ t)) vektorfüggvény integrálja, ahol t

a függvény változója;

f = [cos(x*t),sin(x*t)];

int(f,t)

ans =

[ sin(x*t)/x, -cos(x*t)/x].


Fejezet 10

Differenciálegyenletek

10.1 Alapfogalmak

A közgazdászok gyakran elemzik különbözo közgazdasági változók, mint

nemzeti jövedelem, kamatlábak, pénzkinálat, olajtermelés, gabonaárak

idobeli alakulását. A változók alakulását leíró törvényszeruségeket ál-

talában egy vagy több ún. differenciálegyenlet segítségével fejezik ki.

Definíció 10.1.1 Egy egyenletet differenciálegyenletnek nevezzük, ha az

egyenletben az ismeretlen függvénynek a deriváltjai is szerepelnek.

Példa.

y0 = y + x,

ahol y az x-nek a függvénye. Ezt így jelöljük y = y (x) .

Definíció 10.1.2 Formálisan a differenciálegyenletet így írjuk le:

f³x, y, y0, y00, ..., y(n)

´= 0, (10.1)

ahol f : D→ R olyan függvény, amelyre D ⊆ Rn+2 és y = y (x) x-tol függofüggvény.

Megoldani egy ilyen egyenletet azt jelent, hogy megkeressük az összes

olyan y : A→ R (A ⊆ R) n-szer deriválható függvényt, amely kielégíti az(10.1) egyenletet.

Definíció 10.1.3 Az egyenletben szereplo legmagasabb derivált foka

megadja az egyenlet rendjét.

243

244 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

Példa. Az

y00 + xy − y = 0differenciálegyenlet másodrendu.

Az

y0 − y = 0differenciálegyenlet elsorendu

Az

x+ y0 + xy(5) = 0

differenciálegyenlet 5-öd rendu.

Megjegyzés 10.1.4 Sokszor a derivált jelölése helyett a differenciál-

hányados jelölést is használják:

dy

dx= y0,

d2y

dx2= y00, ...,

dny

dxn= y(n).

A differenciálegyenletek általában nem szoktak magukra jelentkezni,

hozzájuk szokták kapcsolni az úgynevezett kezdoértékekt is.

Definíció 10.1.5 Az⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f¡x, y, y0, y00, ..., y(n)

¢= 0,

y (x0) = y0,

y0(x0) = y

00,

y00 (x0) = y000 ,...

y(n−1) (x0) = yn−10 ,

(10.2)

feladatot kezdoérték-feladatnak vagy Cauchy-feladatnak nevezzük, ahol f :

D → R olyan függvény, amelyre D ⊆ Rn+2, y = y (x) x-tol függo füg-

gvény, x0, y0, y00, ..., y

n−10 valós számok. Megoldani a (10.2) feladatot azt

jelenti, hogy megkeressük az összes olyan y : A→ R (A ⊆ R) függvényt,amely kielégíti úgy a differenciálegyenletet mint a hozzájacsatolt kezdeti

feltételeket.

10.2. ELSORENDU DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 245

10.2 Elsorendu differenciálegyenletek

A legegyszerubb differenciálegyenletek az elsorendu differenciálegyenletek.

Definíció 10.2.1 Formálisan az elsorenu differenciálegyenletet így írjuk

le:

f¡x, y, y0

¢= 0, (10.3)

ahol f : D → R olyan függvény, amelyre D ⊆ R3 és y = y (x) x-tol függofüggvények.

Megoldani egy ilyen egyenletet azt jelenti, hogy megkeressük az összes

olyan y : A→ R (A ⊆ R) deriválható függvényt, amely kielégíti az (10.1)egyenletet.

Definíció 10.2.2 Az elsorendu differenciálegyenlethez kapcsolt

kezdoérték-feladat: ½f (x, y, y0) = 0,y (x0) = y0.

(10.4)

Példák. 1. ½yy0 + xy = sin y,y (0) = π.

(10.5)

2. ½y0 + y = x,y (2) = 3.

(10.6)

Megjegyzés 10.2.3 Általában egy differenciálegyenletnek több megoldása

van. A kezdo-érték feladat azt tuzi ki célul, hogy megkeresse ezek közül azt

az y megoldást amely teljesíti az y (x0) = y0 feltételt is. Ebbol kifolyólag

a kezdoértékek megváltoztatása általában maga után vonja a kezdoérték-

feladat megoldásának a megváltozását is.

10.2.1 Kanonikus differenciálegyenletek

Az elsorendu differenciálegyenletek egy bizonyos csoportja a következo

alakba írható.

y0 = f (x, y) (10.7)

Ezeket az egyenleteket nevezzuk kanonikus differenciálegyenleteknek.

Legtöbb gazdasági feladat eredményezte differenciálegyenlet ebbe az

alakba hozható.


Példa.

y0 = x2 + 1.

Az (10.7)egyenletetek közül azok oldhatók meg legegyszerubben, ame-

lyekben az x és y szétválaszthatók. Formálisan egy ilyen egyenlet az alábbi

alakba írható:

q (y) y0 = p (x) .

Megoldására a példákban bemutatott formális számolási eljárásokat

használjuk.

Példa. Oldjuk meg az

y0x+ 2 = 0

differenciálegyenletet!

Megoldás.

y0x+ 2 = 0,y0x = −2,y0 =

−2x,

dy

dx=−2x,

dy =−2xdxZ

dy =

Z −2xdx.

Ahonnan, kapjuk, hogy

y = −2 ln |x|+ c.

Példa. Oldjuk meg az ½y0x2 + x = 2y (1) = 2

Cauchy-féle feladatot!

10.2. ELSORENDU DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 247

Megoldás.

y0x2 + x = 2,

y0x2 = 2− x,y0 =

2− xx2

,

dy

dx=2− xx2

,

dy =2− xx2

dx,Zdy =

Z2− xx2

dx.

Ahonnan

y =−2x− ln |x|+ c

Mivel a mi esetünkben az x0 = 1 > 0, ezért az csak az x pozitív

értékek érdekelnek, így az egyenlet megoldása:

y =−2x− lnx+ c

Behelyettesítve a kezdoértékeket meghatározzuk a c állandó értékét.

2 =−21− ln 1 + c,

ahonnan

c = 4.

Tehát a kezdoérték-feladat megoldása:

y =−2x− lnx+ 4.

Próba. Behelyettesítünk a differenciálegyenletbe.

y0 =2

x2− 1x,

ahonnan

y0x2 + x =µ2

x2− 1x

¶x2 + x

= 2− x+ x = 2.


Valóban az y kielégíti az differenciálegyenletet.

Behelyettesítünk a kezdofeltételbe

y (1) =−21− ln 1 + 4

= 2.

y kielégíti a kezdofeltételt is.

Példa. Oldjuk meg az

y0y2 + yx = 2y

differenciálegyenletet.

Megoldás.

y0y2 + yx = 2y,

y0y2 − 2y + yx = 0,y0y2 + (x− 2) y = 0,y¡y0y + x− 2¢ = 0.

Ahonnan y = 0, vagy

y0y + x− 2 = 0,y0y = 2− x,ydy

dx= 2− x,

ydy = (2− x) dx,Zydy =

Z2− xdx.

Vagyis

y2

2= 2x− x

2

2+ c.

Tehát

y = ±p4x− x2 + c,

ha x ∈ [0, 4] .

10.3. OLAJKITERMELÉS 249

Megjegyzés 10.2.4 A példákból is megfigyelheto, hogy a differenciále-

gyenletnek végtelen sok megoldása van, de a kezdoérték-feladatnak csak

egy megoldása van. Ez azért általában nincs így, de a gazdasági

folyamatokat, fizikai folyamatokat az ido függvényében leíró kezdoérték-

feladatoknak egy megoldása szokott lenni. Matematikailag is meg lehet

adni olyan feltételeket, amely biztosítja a kezdoérték-feladat megoldásának

egyértelmuségét.

Tétel 10.2.5 (Picard tétele.) Ha létezik egy olyan Lf > 0 szám, amelyre

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ Lf |y1 − y2|, (10.8)

bármely x ∈ [x0, xv] és y1, y2 ∈ R, akkor a½y0 = f (x, y) ,y (x0) = y0,

kezdoérték-feladatnak pontosan egy megoldása van az [x0, xv] intervallu-

mon.

Definíció 10.2.6 Azokat az f függvényeket, amelyek 10.8 feltételeket tel-

jesítik, második változója szerint Lipschitz folytonos függvényeknek nevez-

zük. Ezt f ∈ Lip(y)-nal jelöljük.

A továbbiakban feltételezzük, hogy f ∈ Lip(y). Ez a feltétel biztosítjaa megoldás egyértelmuségét.

Megjegyzés 10.2.7 A tételt bizonyító Picard-iteráció számítógépes meg-

valósítása nem egyszeru de lehetséges: ehhez szimbolikus kalkulusra alka-

lmas program szükséges (pl. MAPLE vagy MATHEMATICA). A konver-

gencia lassú de biztos.

A továbbiakban bemutatunk néhány olyan közgazdasági folyamatot

amely kanonikus differenciálegyenlethez vezet.

10.3 Olajkitermelés

Tegyük fel, hogy a t = 0 idopontban kezdjük el az olajat kitermelni egy

olyan kútból, amely K hordó olajat tartalmaz.


Definíció 10.3.1 Jelöljük y-al az alábbi függvényt:

y (t) = a t idopont után megmaradó olaj hordóként (barrel).

Azonnal látható, hogy:

1. y (0) = K.

2. Ha feltesszük, hogy az olajat nem öntsük vissza a kútba, akkor y

csökkeno függvény.

A [t, t+∆t] idointervallumban kitermelt olajmennyiség

y (t)− y (t+∆t)

Az egységnyi ido alatt kitermelt mennyiség ezért

y (t)− y (t+∆t)∆t

= −y (t+∆t)− y (t)∆t

Ha feltesszük, hogy f differenciálható, és ha∆t→ 0, akkor dydt(t) = −v (t),

ahol v a kitermelés sebessége. Ekkor½dydt(t) = −v (t) ,y (0) = K,

kezdetiérték problémához jutunk.

Ha a kitermelés sebessége állandó, vagyis v (t) = v, akkor a differen-

ciálegyenlet így alakuldy

dt(t) = −v,

ahonnan

dy = −vdtZdy =

Z−vdt.

Vagyis

y = −vt+ c.A kezdofeltételbol kapjuk

K = −v · 0 + c.

10.4. VALUTATARTALÉKOK 251

Tehát állandó kitermelési sebesség mellett az olajkitermelés folyamatát

leíró egyenlet

y = −vt+K.Ebbol nyílvánvaló, hogy az olajkút akkor merül ki, ha

K = vt,

vagyis

t = K/v

ido múlva.

10.4 Valutatartalékok

Jelölje y (t) egy adott ország devizakészletét a t idopontban. Feltéve, hogy

F differenciálható, az idoegység alatti devizakészlet-változás

f (t) = y0 (t) .

Ha f (t) > 0, ez azt jelenti, hogy a t idopontban devizabeáramlás történik

az országba, míg ha f (t) < 0, akkor devizakiáramlás. Ha egy adott t0pillanatban a devizakészlet y0, akkor a következo kezdoérték-feladathoz

jutunk: ½y0 (t) = f (t) ,y (t0) = y0.

Innen kapjuk, hogy

y =

Zf (t) dt+ c,

Ezzel az egyenlettel egy adott t1 pillanatban kiszámolható a devizakészlet.

Éspedig

y (t1) = y0 +

t1Zt0

f (t) dt.

Megjegyzés 10.4.1 Ez a képlet azt is megmutatja, hogy ha az f függvény

írja le a devizakészlet-változását, akkor a devizakészlet a t1 idopontban

azonos a f függvény [t0, t1] intervallumhoz tartozó gráf alatti terület és a

kezdeti y0 érték összegével.


10.5 Jövedelemeloszlás

Sok országban jövedelemadózásból származó adatokat használnak fel arra,

hogy adott év jövedelemeloszlási jellemzoit vizsgálják, illetve azt, hogy az

évek során hogyan változnak. A jövedelmet euroban mérjük és jelölje y (x)

azon személyek arányát az egész társadalomban, akiknek legfeljebb x euro

jövedelemmel rendelkeznek. Ha x0 a legalacsonyabb és x1 a legmagasabb

regisztrált jövedelem a népesség körében, akkor az y függvényre vagyunk

kiváncsiak az [x0, x1] intervallumban. Az y általában nem folytonos és nem

is deriválható függvény, de ha a népesség elég nagy akkor találunk olyan y

deriválható függvényt, amely jó becslést ad a valódi jövedelemeloszlásra.

Tegyük fel ezért, hogy y folytonosan deriválható és deriváltja f és így a

következo kezdoérték-feladatot kapjuk:½y0 (x) = f (x) ,y (x0) = y0.

A derivált definiciójából következik, hogy

f (x)h ≈ y (x+ h)− y (x)

minden kis h-ra. Tehát f (x)h körülbelül egyenlo azon egyének arányával,

akiknek a jövedelmük x és x+h között van. Az f függvény neve jövedelem-

suruségfüggvény, y pedig a hozzátartozó eloszlásfüggvény.

Ha feltesszük, hogy az f jövedelem-suruségfüggvény folytonos és inte-

gráljuk az y0 (x) = f (x) függvényt kapjuk, hogy

ydy = f (x) dx,

ahonnan

y (x) = y0 +

xZx0

f (u) du

Az y0 +xRx0

f (x) dx megadja azon egyének arányát a társadalomban,

akiknek jövedelme kisebb mint x. Ebbol kifolyólag, ha a népesség száma

n, akkor

n

⎛⎝y0 + xZx0

f (u) du

⎞⎠

10.5. JÖVEDELEMELOSZLÁS 253

azon egyének száma akiknek jövedelmük kisebb mint x.

Ha ezt a képletet alkalmazzuk egy [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra, akkorkapjuk, hogy

y (b)− y (a) =bZa

f (u) du. (10.9)

Ez a képlet megadja azon egyének számát akiknek jövedelme az [a, b] in-

tervallumban van.

Most peddig azon személyek M (x) összjövedelmét akarjuk

meghatározni, akiknek jövedelmük kisebb mint x. Ennek érdekében

tekintsük az [x, x+ h] jövedelemintervallumot. Ebbe az intervallumba

n

x+hZx

f (u) du

egyén esik. De ez az inegrál a középérték-tétel alapján kis h esetén

megközelítheto az f (x) (x+ h− x) értékkel egyenlo:

n

x+hZx

f (u) du ≈ nf (x)h.

Tehát ezen személyek összjövedelme megközelítoleg

M (x+ h)−M (x) = nf (x)hx.

ÍgyM (x+ h)−M (x)

h= nf (x)x.

Ha most h-val tartunk a nullához, akkor a következo kezdoérték-feladatot

kapjuk: ½M 0 (x) = nf (x)x,M (x0) = nx0y0,

ahol nx0y0 a minimális jövedelemmel rendelkezo személyek összjövedelme.

Az elozoekhez hasonlóan ha megoldjuk ezt a Cauchy-feladatot, kapjuk,

hogy:

M (x) = nx0y0 + n

xZx0

uf (u) du. (10.10)


De f (x) = y0 (x) és ezért

M (x) = nx0y0 + n

xZx0

y0 (u) du

= nx0y0 + n (xy − x0y0)− nxZ

x0

y (u) du

= nxy − nxZ

x0

y (u) du.

Ha alkalmazzuk az 10.10 képletet egy [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra,

kapjuk, hogy

M (b)−M (a) = n

bZa

uf (u) du. (10.11)

Az (10.11) képlet megadja azon személyek összjövedelmét akiknek

jövedelmük a és b között van. Az (10.9) és (10.11) képletek alapján azok-

nak az átlagjövedelme akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik

m =

bRa

uf (u) du

bRa

f (u) du

.

Ezt a jövedelemeloszlást jól közelíto függvény a Pareto-eloszlás. Ennél

azon egyének aránya, akiknek legfeljebb x euro a jövedelmük

f (x) = Bx−A.

Itt B és A pozitív konstansok. Empirikus becslése az A-nak: 2.4 < A <

2.6. Ha x közel van a 0-hoz akkor a képlet nem értelmes A ≥ 1 esetén,mivel

bZa

f (x)→ +∞, ha x→ 0.

10.6. A JÖVEDELEMELOSZLÁS BEFOLYÁSOLÁSA 255

Példa. Egy [a, b] közötti jövedelemmel rendelkezo népességnek a

jövedelem-eloszlási függvénye

f (x) = Bx−2.5.

Határozzuk meg az átlagjövedelmét!

Megoldás. Most

bZa

f (x) dx =

bZa

Bx−2.5dx =2

3B¡a−1.5 − b−1.5¢ ,

ésbZa

xf (x) dx =

bZa

Bx−1.5dx = 2B¡a−0.5 − b−0.5¢ .

Így

m =2B¡a−0.5 − b0.5¢

23B (a−1.5 − b−1.5) = 3

a−0.5 − b−0.5a−1.5 − b−1.5 .

Tegyük fel, hogy b nagyon nagy. Ekkor b−0.5 és b−1.5 közel van anullához, és így m ≈ 3a. Tehát azok átlagjövedelme, akik legalábba eurot keresnek kb. 3a.

10.6 A jövedelemeloszlás befolyásolása

Tegyük fel, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árút kinálnak, ame-

lynek kereslete csak annak p árától és az egyén x jövedelmétol függ. Legyen

D (p, x) az x jövedelmu egyén folytonos kersleti függvénye, ha az ár p. ha

a jövedelmek a és b között mozognak, a jövedelemeloszlás f (x), akkor

mennyi lesz az árú öszkereslete p ár mellett.

Legyen a p ár rögzített, és T (x) azon egyének összes kereslete, akik

legfeljebb x jövedelemmel rendelkeznek. Tekintsük az [x, x+ h] jövedelem-

intervallumot. Tudjuk, hogy ebbe az intervallumba

n

x+hZx

f (u) du ≈ nf (x)h


egyén jövedelme esik. Mivel mindegyik kereslete ebben az intervallumban

megközelítoleg D (p, x) , ezért az egyének öszkereslete

T (x+ h)− T (x) = nD (p, x) f (x)h.

AhonnanT (x+ h)− T (x)

h= nD (p, x) f (x) .

Ha h-val tartunk a nullához, akkor a következo kezdoérték-feladathoz ju-

tunk: ½T 0 (x) = nD (p, x) f (x) ,

T (x0) = c0.

Így

T (x) = c0 + n

xZx0

D (p, u) f (u) dx

Ha alkalmazzuk ezt a képletet az [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra, kapjuk,hogy

T (b)− T (a) = nbZa

D (p, u) f (u) du. (10.12)

Viszont a T (b) − T (a) éppen a népesség öszkereslete az árú iránt. Eztermészetesen függ a p-tol. Jelöljük ezt

h (p) = n

bZa

D (p, u) f (u) du-vel

és akkor a h (p) megadja a p árú iránti teljes keresletet azon egyének által,

akiknek jövedelmük a és b között van.

Példa. Legyen a jövedelemeloszlási függény

f (x) = Bx−2.5,

és legyen

D (p, x) = Ap−1.5x2.08.

(Ez a függvény írja le Norvégia tej iránti keresletét 1925 és 1935

között.) Számítsuk ki az öszkeresletet!

10.7. KAMATOS KAMAT 257

Megoldás.

h (p) = n

bZa

D (p, u) f (u) du

=n ·A ·B0.58

p−1.5¡b0.58 − a0.58¢ .

10.7 Kamatos kamat

Legyen w = w (t) > 0 valamely számla t idopontban vett egyenlege

és legyen r = r (t) a folyamatosan alakuló kamatláb. Vizsgáljuk az

egyenleg változását a [t, t+ h] idointervallumban. Ebben a rövid sza-

kaszban feltételezhetjük, hogy a kamatláb állandó. Ezért w (t+ h) =

w (t) + hr (t)w (t). Így

w (t+ h)−w (t)h

= r (t)w (t) .

Ha h-val tartunk a nullához akkor az alábbi differenciálegyenletet kapjuk:

dw

dt= r (t)w.

Ez egy szétválaszható egyenlet.

dw

dt= r (t)w,Z

dw

w=

Zr (t) dt,

ahonnan

lnw =

Zr (t) dt+ c.

Bevezetve a C = ec jelölést kapjuk, hogy:

w = Ce

tR0

r(u)du

.

Tegyük fel a számla nyitó egyenlege w (0) = w0. Akkor a w (0) = Ce0.

Ahonnan kapjuk:

w = w0e

tR0

r(u)du

.


Példa. Ha a kamatláb egyenletesen növekszik és kezdetben a betett

egyenleg w0-volt, határozzuk meg az egyenleg változását!

Megoldás. A kamatláb változását az r = At +B (A > 0) egyenlet írja

le. Ekkor

tZ0

r (u) du =

tZ0

Au+Bdu

= At2

2+Bt.

Ezért

w = w0eA t2

2+Bt.

10.8 Ívhossz

Határozzuk meg az f folytonosan deriválható függvény [x0, x1] interval-

lumához tartozó ívének hosszát!

Felhasználva Pitagorász tételét elemi hosszúságokra az alábi öszefüg-

gést kapjuk:

ds2 = dx2 + dy2.

Ahonnan

ds

dx=

s1 +

µdy

dx

¶2.

De µdy

dx

¶2=¡f 0¢2

Ezzel a jelölossel a következo kezdoérték-feladathoz jutunk:(dsdx=

q1 + (f 0 (x))2,

s (x0) = 0,

Ez is szétválaszható egyenlet. Így a leírtak alapján megoldható.

ds =

q1 + (f 0 (x))2dxZ

ds =

Z q1 + (f 0 (x))2dx.

10.8. ÍVHOSSZ 259

Ahonnan

s =

xZx0

q1 + (f 0 (u))2du+ c.

Felhasználva a kezdofeltételt kapjuk:

0 = 0 + c.

Tehát az ívhossz kiszámítására az alábbi képlet használható:

s =

x1Zx0

q1 + (f 0 (u))2du. (10.13)

Példa. Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény [0, 1] intervallumhoz

tartozó ívének hosszát!

Megoldás. Az f 0 (x) = 2x behelyettesítjük (10.13) képletbe:

s =

1Z0

p1 + 4u2du.

A x = 2u helyettesítéssel kapjuk: dx = 2du és

s =1

2

2Z0

p1 + x2dx.


2Z0

p1 + x2dx =

2Z0

1 + x2√1 + x2

dx =

2Z0

1√1 + x2

dx+

2Z0

x2√1 + x2

dx

= ln³x+

p1 + x2

´|20 +

2Z0

x√1 + x2

xdx

= ln³2 +√5´− ln (1) +

2Z0

³p1 + x2

´0xdx

= ln³2 +√5´+³p

1 + x2´x|20 −

2Z0

³p1 + x2

´(x)0 dx

= ln³2 +√5´+ 2√5−

2Z0

³p1 + x2

´dx.

Ha bevezetjük az

I =

2Z0

p1 + x2dx

jelölést, akkor azt kapjuk, hogy

I = ln³2 +√5´+ 2√5− I.

Ahonnan

I =1

2ln³2 +√5´+√5.

Az inegrált az ívhosz kopletébe helyettesítve kapjuk:

s =1

4ln³2 +√5´+

√5

2.

Fejezet 11

Szemináriumi feladatok

11.1 Halmazelmélet

11.1.1 Halmazelméleti alapfogalmak

Mindennapjaink során egyfolytában szinte egyebet sem teszünk, mint dol-

gokat adott szempontok szerint azonos vagy éppen különbözo osztályokba

sorolunk, tehát mindig valamilyen szempont szerint bizonyos dolgokra

együtt tekintünk. A matematikában az ilyen összeségeket halmazoknak

nevezzük, a hozzátartozó dolgokat pedig elemeknek.

A halmazt és a halmazhoz való tartozást alapfogalmaknak tek-

intjük. Minden halmaztól megköveteljük, hogy vele kapcsolat-

ban bármely pontosan meghatározott dologról egyértelmuen el-

döntheto legyen, hogy

— vagy hozzátartozik a szóban forgó halmazhoz, ilyenkor azt mondjuk, hogy

ez a bizonyos dolog eleme a halmaznak. Jelölés: ha X a halmaz és

ez a bizonyos dolog a, akkor azt írjuk, hogy a ∈ X.

— vagy nem tartozik hozzá a szóban forgó halmazhoz, ilyenkor azt mond-

juk, hogy ez a bizonyos dolog nem eleme a halmaznak. Jelölés: ha

X a halmaz és ez a bizonyos dolog a, akkor azt írjuk, hogy a /∈ X.

Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy ha X halmaz, akkor bármely a

dolog esetén

261

262 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK

vagy

az a ∈ X állítás igaz és az a /∈ X állítás hamis,

vagy megfordítva

az a ∈ X állítás hamis és az a /∈ X állítás igaz.

Példák halmazok megadására.

Megadjuk a halmaz elemeit:

A = 1, 2, 3 .

Megadjuk azokat a tulajdonságokat amelyeket a halmaz elemei

kell, hogy teljesítsenek:

B = x / x páratlan természetes szám .

A halmazok egyik ostályozási módja a halmaz elemeinek számát veszi

alapul. Igy lehetnek véges vagy végtelen halmazok A mi esetünkben az A

véges, a B pedig végtelen halmaz.

Definíció 11.1.1 Az X és az Y halmaz egyenlo (X = Y ), ha ugyanazok

az elmei.

Példa 3, 2 = ©x / x természetes szám és x2 − 5x+ 6 = 0ª .Definíció 11.1.2 Azt mondjuk, hogy az X halmaz az Y halmaz részhal-

maza (X ⊂ Y ), ha X minden eleme az Y halmaznak is eleme.

Tétel 11.1.3 Tekintjük az X és Y halmazokat. Akkor

X = Y ⇔ X ⊂ Y es Y ⊂ X.

Bizonyítás 79 Szemináriumon bizonyítjuk.

Tétel 11.1.4 Tekintjük az X, Y és Z halmazokat. Akkor, ha

X ⊂ Y es Y ⊂ Z ⇒ X ⊂ Z.

Bizonyítás 80 Szemináriumon bizonyítjuk.

11.1. HALMAZELMÉLET 263

Definíció 11.1.5 Bármely X halmaz esetében értelmezheto, a ℘ (X) sz-

imbolummal jelölt X hatványhalmazát, ahol

℘ (X) = A / A ⊂ XPélda. ℘ (1, 2, 3) = ∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3Megjegyzés 11.1.6 Megfigyelheto, hogy egy n elemu halmaznak 2n darab

részhalmaza van. Probáljuk igazolni ezt a kijelentést.

11.1.2 Muveletek halmazokkal

Definíció 11.1.7 (Egyesítés) Az X és halmazok egyesítése vagy uniója

(X ∪ Y ) pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek vagy X vagy az Y

elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:

X ∪ Y = x / x ∈ X vagy x ∈ Y .Definíció 11.1.8 (Keresztmetszet) Az X és Y halmazok közös része vagy

metszete(X ∩ Y ) pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek az X-nek ésaz Y -nak is elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:

X ∩ Y = x / x ∈ X es x ∈ Y .Definíció 11.1.9 (Különbsége) Az X és Y halmazok különbsége (X\Y )pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek az X-nek elmei és az Y -nak

nem elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:

X\Y = x / x ∈ X es x ∈ Y .Definíció 11.1.10 (Diszjunkt halmazok) Az X és Y halmazok diszjunk-

tak, ha X ∩ Y = ∅.Definíció 11.1.11 (Komplementer halmaz) Ha az X részhalmaza az

Y halmaznak, akkor Y \X különbséget az X-nek Y -ra vonatkozó kom-

plementer vagy kiegészíto halmazának nevezzük és CYX szimbolummal

jelöljük.

Definíció 11.1.12 (Descartes-féle szorzat) Az X és Y halmazok

Descartes-féle szorzata (X×Y ) pontosan azokból a számpárokból áll, ame-lyeknek az elso tagja X-nek eleme és a második tagja Y -nak eleme. Szim-

bolikusan ezt így írjuk:

X × Y = (x, y) / x ∈ X es y ∈ Y .


Definíció 11.1.13 Amikor a halmazok egymás közötti kapcsolatait vizs-

gáljuk, nagy segítségünkre lehet az illeto halmazok síkbeli tartományokkal

való szemlél- tetése. Mindegyik halmaznak egy zárt vonallal határolt tar-

tomány felel meg, a halmaz elemeit a határvonalon belüli pontokkal szem-

léltetjük. Az ily módon készített ábrákat Venn-diagramoknak nevezzük.

11.1.3 Kituzött feladatok

1. Legyen A = 1, 2, 3, B = 2, 3 , C = 2, 3, 4, 5, 6, D = 1 .

(a) Döntsük el, hogy a következo állítások közül melyek igazak?

i. 1 ∈ A;ii. 2 /∈ C;iii. B ∈ A;iv. B ⊂ C;v. CAB = D.

(b) Határozzuk meg az A∩B, A∪B∪C, A\B, (C \B)\A, A×B,(B × C) \ (A×B) halmazokat.

2. Egy közvéleménykutatás során 1000 embert arról kérdeznek meg,

hogy A, B és C napilapok közül melyeket olvassák már aznap. A

válaszok szerint 420-an olvasták az A-t, 316-on B-t, 160-an pedig

C-t. Ezen belül 116-on voltak olyanok, akik A-t is, B-t is olvasták,

100-an olyanok, akik A-t is, C-t is, és 30-an pedig olyanok akik B-t

is, C-t is olvasták. 16 személy volt, aki aznap mindhárom napilapot

olvasta már.

(a) Fogalmazzuk meg a feladatot halmazelméleti fogalmak segít-

ségével!

(b) Hányan voltak olyanok, akik A-t olvasták, de B-t nem?

(c) Hányan voltak, akik sem A-t, sem B-t nem olvasták, de C-t

olvasták?

(d) Hányan voltak, akik egyik újságot sem olvasták?

(e) Fogalmazzunk meg hasonló kérdéseket és probáljuk megválas-

zolni oket!


(f) Igazoljuk, hogy tetszoleges A, B és C véges halmazokra igaz az

|A ∪B ∪C| = |A|+ |B|+ |C|− |A ∩B|− |A ∩ C|− |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

összefüggés, ahol |X| jelöljük az X halmaz elemeinek a számát.

3. Igazoljuk, hogy tetszoleges A,B és C halmazok esetén érvényesek az

alábbi összefüggések:

(a) A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (kommutativitás);(b) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C (ass-

zociativitás);

(c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) , A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) (disztributivitás);

(d) (A\B) \C = (A\C) \ (B\C) ;(e) Ha B ⊂ A és C ⊂ A, akkor érvényesek a ún. de

Morgan-féle azonosságok, vagyis CA (B ∪C) = CAB ∩ CACés CA (B ∩C) = CAB ∪CAC;

(f) Jelöljük A∆B = (A\B) ∪ (B\A) a szimmetrikus különbséget,akkor mutassuk ki, hogy A ∪B = (A ∩B) ∪ (A∆B) , A∆B =(A ∪B) \ (A ∩B) .

Ábrázoljuk ezeket a tulajdonságokat Venn-diagramok segítségével is.

4. Határozzuk meg azokat az A,B halmazokat amelyek egyidejuleg tel-

jesítik az alábbi tulajdonságokat:

(a) A ∪B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ;(b) A ∩B = 7, 8, 9, 10 ;(c) B \A = 4, 5, 6, 11 .

5. Határozzuk meg azt az E halmazt amely teljesíti az alábbi tulajdon-

ságokat:

(a) 1, 2, 3, 4 ⊂ E;(b) 3, 4, 5, 6 ⊂ E;


(c) E ⊂ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ;(d) 7, 8 ∩E = ∅.

6. Határozzuk meg azokat az E halmazokat és E azon A és B részhal-

mazait, amelyre:

(a) CEA = 7, 8, 9, 10, 11, 12 ;(b) CEB = 5, 6, 11, 12 ;(c) A ∩B = 1, 2, 3, 4 .

7. Legyen E egy olyan halmaz, amelynek két eleme van. Határozzuk

meg mindazokat az X,Y halmazokat, amelyre X ∪ Y = E.8. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeit:

(a) A =nx ∈ Z / x = 6n−7

2n+1, n ∈ Z

o;

(b) B =nx ∈ Z / x = 6n2+7

3n+1, n ∈ Z

o;

(c) C =nx ∈ Z / x = 3n2−2n+1

n2−1 , n ∈ Zo;

(d) D =©x ∈ N / x2 − 6x− 7 = 0ª ;

(e) E =©x ∈ Z / x2 − x− 2 = 0ª ;

(f) F = x ∈ Z / |x− 1|+ 1 = 0 ;(g) F = x ∈ Z / |x− 1|− 1 = 0 ;(h) H =

©x ∈ R /

¯x2 − 4

¯− 2x+ 1 = 0ª ;

(i) I = x ∈ R / |x− 1|− |x− 4| = 3 ∩x ∈ R / |x− 2|− |x− 3| = 1 ;

(j) J =nx ∈ R / létezik a ∈ Rúugy hogy x = a2−a+1

a+1

o;

9. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeinek a számát az m ∈ Rparaméter függvényében:

(a)©x ∈ R / x2 + x+m = 0

ª ∩ [0,+∞) ;(b)

©x ∈ R / x2 + 2x+m = 0

ª;

(c)©x ∈ R / x2 +mx+ 1 = 0ª ∩ (−∞, 0] ;


(d)©x ∈ R / mx2 + 2 (m+ 1)x+m− 2 = 0ª ∩ [0,+∞) ;

(e)©x ∈ R / x2 −mx+m− 1 = 0ª ∪©x ∈ R / x2 − (m+ 1)x+m = 0

ª;

(f)©x ∈ R / x2 + 2 (m+ 1)x+m = 0

ª ∪©x ∈ R / x2 + 2mx+m− 1 = 0ª ;

(g) (x, y) ∈ N×N / x+ 3y = 2001 ;(h) (x, y) ∈ N×N / 4x+ 3y = 1980 ;

10. A legfelsobb Bíróság megtagadja egy alsóbbszíntu bíróság azon dön-

tésének felülbírálatát, hamely helybenhagyja egy vádlott vallomás-

megtagadási kérelmének egy bíró által történo megtagadását. Nos,

van-e joga a vádlottnak hallgatni?

11. Elemezzük az alábbi sírfeliratot logikai szempontból:

Akik ismerték ot, szerették.

Akik nem szerették, nem is ismerték.

12. Fogalmazzuk meg halmazelméleti fogalmakkal és utána elemezzük

az alábbi kijelentéseket:

(a) A költok között a legnagyobb festo és a festok között a legnagy-

obb költo vajon ugyanaz a személy-e?

(b) A költok között a legöregebb festo és a festok között a

legöregebb költo vajon egy és ugyanaz a személy-e?

13. Egy társaságban végzett felmérés szerint a társaságból ötvenen

kávéznak és negyvenen teáznak. Harmincöt olyan személy van, aki

kávézni is, teázni is szokott, valamint tíz olyan személy, aki egyiket

sem. Hányan vannak a társaságban?

14. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n ∈ N esetén:

(a) 1 + 2 + 3 + ...+ n =n(n+1)2

;

(b) 2 + 4 + 6 + ...+ 2n = n (n+ 1) ;

(c) 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2;(d) (n+ 1)! > 2n+3, ha n > 3;


(e) 3n ≥ 1 + 2n.

15. Egy 5m acélrudat kell legyártanunk. A hosszúság legfeljebb 1

mm-rel térhet el a megadottól. Írjuk fel a rúd méterben mért x

hosszára vonatkozó ezen feltételt egy egyenlõtlenségpárral, illetve az

abszolútéréték segítségével.

16. Igazoljuk az alábbi egyenlõtlenségeket:

(a)a1 + a2 + ...+ an

n≥ n√a1a2...an , bármely a1, a2, ..., an ∈ R+

számok esetén (számtani és mértani középarányosok közti

egyenlõtlenség);

(b) n√a1a2...an ≥ n

1a1+ 1a2+ ...+ 1

an

,bármely a1, a2, ..., an > 0

számok esetén (mértani és harmonikus középarányosok közti

egyenlõtlenség);

(c)

ÃnXi=1

aibi

!2≤

nXi=1

a2i

nXi=1

b2i , bármely a1, a2, ..., an, b1, ..., bn ∈ R

számok esetén, (Cauchy-Buniakovski egyenlõtlenség);

(d)

ÃnXi=1

(ai + bi)2

!1/2≤Ã

nXi=1

a2i

!1/2+

ÃnXi=1

b2i

!1/2,

bármely a1, a2, ..., an, b1, ..., bn ∈ R+ számok esetén,(Minkovski egyenlõtlenség).

11.2 Egyváltozós valós függvények

11.2.1 Grafikonok

Az eloadáson a függvény grafikonját az alábbi modón értelmeztük.

Definíció 11.2.1 Az f : A→ B függvény grafikonja az

graf (f) = (x, f (x)) / x ∈ A .

11.2. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 269

Ahhoz, hogy egy függvény grafikonját ábrázoljuk fel kell venni egy

síkbeli koordinátarendszert és ebbe be kell rajzolni a grafikon pontjait.

Figyelem! A függvény grafikonja egy olyan halmaz, amelynek elemei

pontok. Amikor a függvény grafikonját ábrázoljuk, akkor a halmaz

néhány pontját tudjuk csak feltüntetni, ezért az elkészített ábra csak

szemlélteti a grafikon halmazt, de nem egyenértéku vele. Ebbol ki-

folyólag az ábra segítségével történo bizonyítások a matematikában

nem fogadhatók el, csak szemlélteto eszközként használhatók fel.

Definíció 11.2.2 Ha a síkban adott két pont A (x1, y1) és B (x2, y2) ,

akkor az AB távolságot Pitagorász tétele alapján az alábbi képlet segít-

ségével számítjuk ki:

d (A,B) =

q(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Definíció 11.2.3 Az A (x1, y1) és B (x2, y2) pontokon átmeno egyenes

egyenlete a síkban:y − y1y2 − y1 =

x− x1x2 − x1 .

Definíció 11.2.4 Az A (x1, y1) ponton átmeno m meredekségu egyenes

egyenlete a síkban:

y − y1 = m (x− x1)

Definíció 11.2.5 Az A (x1, y1) és B (x2, y2) pontokon átmeno egyenes

meredeksége:

m =y2 − y1x2 − x1 , ha x2 6= x1.

Definíció 11.2.6 Általános helyzetu egyenes egyenlet

Ax+By +C = 0.

Definíció 11.2.7 Az A (x0, y0) középpontú r sugarú kör egyenlete a sík-

ban:

(x− x1)2 + (y − y1)2 = r2


11.2.2 Feladatok

1. Kerssük meg az y = 2x − 1, x2 + y2 = 16 és x√y = 2 egyenletek

néhány megoldását, majd kiséreljük meg a grafikonjaik ábrázolását.

2. Ábrázoljuk az alábbi feltételeknek eleget tevo (x, y) pontok hal-

mazát:

(a) y = 4;

(b) x < 0;

(c) y = x;

(d) y ≥ x;(e) |x| = 2;(f) x2 + 2y2 = 6;

(g) y +√x− 1 = 0.

3. Számítsuk ki az alábbi pontpárok távolságát:

(a) (1, 3) és (2, 4) ;

(b) (−1, 3) és (−2,−4) ;(c) (a, 3) és (2 + a, 5) ;

(d) (x, y) és (2x, y + 3) .

4. A (2, 4) és (5, y) távolsága√13. Adjuk meg y értékét. Mi a helyzet,

ha a távolság 2?

5. Írjuk fel az alábbi körök egyenletét:

(a) A középpontja (2, 3) , a sugara 4;

(b) A középpontja (2, 5) , és átmegy a (−1, 3) ponton.

6. Az alábbi egyenleteknél fejezzük ki y mint x függvénye. Határoz-

zuk meg az illeto függvény maximális értelmezési tartományát! Ha

lehetséges, akkor ezen függvények értékkészletét válasszuk úgy meg,

hogy a függvény bijektív legyen. Ebben az esetben határozzuk meg

a függvény inverzét is!

11.2. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 271

(a) x+ y = 2;

(b) y2 + x = 0;

(c) yx− 3y = x;(d) y3 + x = 0;

(e) x3 + y3 = 1;

7. A nemzetközi Bálnavadászati Bizottság 20-as számú jelentésében

a déli sarkvidéki uszonyos bálnák N egyedszámának 1958 és 1963

közötti alakulását az

N = −17400t+ 151000, 0 ≤ t ≤ 5

függvénnyel becsülték meg, ahol t = 0 érték 1958 januárjának, a

t = 1 érték 1959 januárjának felel meg.

(a) Ezen egyenlet alapján mennyi lett volna az uszonyos bálnák

száma 1960 áprilisában, hát 1962 szeptemberében?

(b) Ugyanilyen arányú egyedszámcsökkenéssel számolva mikkora

várható az uszonyos bálnák kipusztulása?

8. Az alábbi szabályok közül melyek definiálnak függvényt? Válasszuk

ki a függvények közül az injektíveket, majd azokat, amelyeknek van

inverzük. Ebben az esetben határozzuk meg az inverz függvényeket.

(a) Az a szabály, amely egy tanteremben tartozkodó személyek

mindegyikéhez hozzárendeli az illeto testmagasságát.

(b) Az a szabály, amely minden anyához hozzárendeli a legfiatalabb

gyermekét.

(c) Az a szabály, amely egy téglalap területéhez hozzárendeli a

kerületét.

(d) Az a szabály, amely egy gömb térfogatához hozzárendeli a fel-

színét.

(e) Az a szabály, amely az (x, y) számpárhoz hozzárendeli az

(x+ 3, y) számpárt.


9. Minden ember beletartozik az A, B, AB, 0 vércsoportok valame-

lyikébe. Tekintsük azt a függvényt, amely egy n−tagú társaságbanmindenkihez hozzárendeli a vércsoportját. Milyen n értékekre nem

lehet a függvény injektív.

10. Mely esetben áll fenn az f = g egyenloség?

(a) f : R→ R, f (x) = 4√x8; g : R→ R, h (x) = x2;

(b) f : R\ 0→ R, f (x) = x|x| ; g : R\ 0→ R, g (x) = |x|

x;

(c) f : R\ 0→ R, f (x) = x2√x2; g : R\ 0→ R, g (x) = x2

x;

11. Írjuk fel az f g, illetve f g h függvényösszetevéseket, ha:

(a) f : R→ R, f (x) = |x| ; g : R→ R, g (x) = x2;h : R→ R,g (x) =

p|x|;

(b) f : R→ R,

f (x) =

½3x+ 1 ha x ≤ 1,−2 ha x > 1,

és g : R→ R,

g (x) =

½ −3 ha x ≤ −2,x− 2 ha x > −2,

(c) f : R→ R, f (x) = |x− 1|+2; g : R→ R, g (x) = |x− 2|+1;h :R→ R, h (x) = x2;

12. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények bijektívek és határozzuk meg

az inverziket!

(a) f : R→ R,

f (x) =

½2x− 1 ha x ≤ 2,x+ 1 ha x > 2,

(b) f : R→ R,

f (x) =

½x2 ha x ≥ 2,

3x− 2 ha x < 2,

11.3. SOROZATOK 273

(c) f : R→ R,

f (x) =

½x− 3 ha x ≤ 4,2x− 7 ha x > 4.

13. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények nem injektívek:

(a) f : R→ R, f (x) = x3 − 5x2 + 2;(b) f : R→ R, f (x) = x2 − 5x+ 1;

14. Tanulmányozzuk az alábbi függvények monotonítását:

(a) f : (0, 1]→ (0,+∞), f (x) = x+ 1x;

(b) f : [1,+∞)→ (0,+∞), f (x) = x+ 1x;

11.3 Sorozatok

1. Számítsuk ki alábbi határértékeket:

(a) limn→+∞

3n2+5n+65n2−2n+4 ;

(b) limn→+∞

3n4+2n+610n2−2n+4 ;

(c) limn→+∞

8n7+5n6−2n5+8n4+12342n10−3n+1 ;

(d) limn→+∞

2n−4n4+2n2−2n+1 ;

(e) limn→+∞

√5n2 + 1−√5n2 + 3;

2. Alkalmazva a Cauchy-féle konvergenciakritériumot igazoljuk, hogy

a követ- kezõ sorozatok konvergensek:

(a) an =2n+35n+7

;

(b) bn = 1 +122+ 1

23+ ...+ 1

2n;

(c) cn =(2n+1)(3n−1)

2n2−3 .

3. Alkalmazva a Cesaro-Stolz tételt és következményeit határozzuk meg

a következõ sorozatok határértékeit:


(a) an =1n

¡1 + 1

2+ 1

3+ ...+ 1

n

¢;

(b) bn =1n

¡1ln 2+ 1

ln 3+ 1

ln 4+ ...+ 1

lnn

¢;

(c) cn =n

q1 +√2 + ...+

√n;

(d) dn =n

q(n!)2

(2n)!8n;

(e) en =1·3+2·4+3·5+...+n·(n+2)1·4+2·5+3·6+...+n·(n+3) ;

(f) fn =ln(n!)lnnn

.

4. Alkalmazva egy megfelelõ összegezési eljárást számítsuk ki a

következõ össszegeket:

(a)∞Pn=1

n3·5·7·...·(2n+1) ;

(b)∞Pn=1

44n2−1 ;

(c)∞Pn=1

3n2+3n+1

n3(n+1)3;

(d)∞Pn=1

ln¡1− 1

n2

¢.

5. Számítsuk ki az e számmal kapcsolatos alábbi határértékeket:

(a) limn→+∞ 1 +

11!+ 1

2!+ ...+ 1

n!;

(b) limn→+∞

¡1 + 4

n

¢2n;

(c) limn→+∞

³2n2+2n+12n2+2n

ń2+1;

(d) limn→+∞

³n3+n+1n3+2n

ń2+n−1n+1

;

(e) limn→+∞

hn+1p(n+ 1)!− n+1

√n!i;

6. A hányadoskritérium és a gyökkritérium segítségével tanulmányoz-

zuk az alábbi sorok természetét:

(a)∞Pn=1

n!nn;

11.3. SOROZATOK 275

(b)∞Pn=1

qn

(1+qn)2, ahol q ∈ R+ \ 1 ;

(c)∞Pn=1

1n n√n;

(d)∞Pn=1

√n+1−√n√

n;

(e)∞Pn=1

1n·2n ;

7. Feltételesen konvergensek-e a következõ sorok?

(a)∞Pn=1

(−1)nn−lnn ;

(b)∞Pn=1

(−1)n n!nn;

(c)∞Pn=1

(−1)n sin an;

8. Számítsuk ki a√3− at, ε = 0.001 tizedes pontossággal.

9. Számítsuk ki a következõ határértéket:

limn→+∞ 2

n+1

vuut2−

s2 +

r2 + ...+

q2 +√3| z

n+1

10. Határozzuk meg az α,β ∈ R paramétereket úgy, hogy

limn→+∞

p2n2 + 4n+ 1− αn− β = 2

√2.

11. Határozzuk meg az α ∈ R paramétert úgy, hogy

limn→+∞n

α

µqn+√n−

qn−√n

¶határérték létezzen és véges legyen.

12. Tanulmányozzuk az alábbi rekurencia képletekkel megadott soroza-

tok konvergenciáját:


(a) a1 = α/2, an+1 = α/2 + an/2, α ∈ (0, 1) ;(b) a1 = α, an+1 = α+

√an,α > 0;

(c) a1 = 5, an+1 = 2an +p3a2n − 11;

11.4 Függvények határértéke és folytonossága

1. Számítsuk ki az alábbi határértékeket:

(a) limx→1

x2−1x3−1 ;

(b) limx→a

xp−aqxq−aq , ahol p, q ∈ N;

(c) limx→2

x2−2xx2−4x+4 ;

(d) limx→2

x3+3x2−9x−2x3−x−6 ;

(e) limx→1

Axn+Bxp+C

(x−1)2 , ha A + B + C = 0, nA + pB = 0, n,m ∈ N,A,B,C ∈ R;

(f) limx→0

√1+x−√1+3x

x;

(g) limx→0

√1+x+ 3

√1−x−√1+3x− 5

√1+2x

4√1+4x− 6

√1+x

;

(h) limx→7

2−√x−3x2−49 ;

(i) limx→1

|x−1|x−1 ;

(j) limx→a

n√x− n

√a

3√x− 3√a, ha n ∈ N;

(k) limx→0

ln[(1+√x)(1+ 4

√x)(1+ 3

√x)...(1+ 2n

√x)]

x12n

;

(l) limx→0

eax−ebxx

;

(m) limh→0

ln(x+h)+ln(x−h)−2 lnxh2

, ha x ∈ R;

(n) limx→0

ln(1+x)x

;

(o) limx→0

ex2−2+

√x2+1

x2;

(p) limx→2

2x−4x−2 ;

11.4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 277

(q) limx→0

ln(1+kxn)xn

, ha k ∈ R, n ∈ N;

(r) limx→1

loga xx−1 , ha a > 0, a 6= 1;

2. Számítsuk ki az alábbi határértékeket:

(a) limx→0

sin2 x2+2x2

x2;

(b) limx→0

sinn axbxn

, ha a, b ∈ R;(c) lim

x→0tanx−xx2

;

(d) limx→0

arcsinxx

;

(e) limx→−a

arcsin(x+a)

x2+ax, ha a ∈ R;

(f) limx→π

1−sin x2

(π−x)2 :

(g) limx→0

sinmxsinnx

, ha m,n ∈ R;

(h) limx→+∞

2x2−43x2−4x ;

(i) limx→+∞

ln(1+ex)x

;

(j) limx→+∞

ln(x2+x+1)x8−x+8 ;

(k) limx→+∞

ln(1+e3x)ln(1+e5x)

;

(l) limx→+∞

2√x+3

3√x2+4

4√x3

44√x3+1+3

√x+2

;

(m) limx→+∞

¡ax+bx

2

¢ 1x , ha a, b ∈ R;

(n) limx→3

(7− 2x)tan πx2 ;

(o) limx→−∞

£ln (2− x) + ln ¡x2 + 1¢− ln ¡1− x2¢¤ ;

(p) limx→−∞ (ln |x+ 2|− ln |2− x|) ;

(q) limx→2

x2+2x7

h5

x2−x−6i;

3. Határozzuk meg a következo függvények maximális értelmezési tar-

tományát és aszimptotáit:


(a) f : D→ R, f (x) = 1x(x+2)

;

(b) f : D→ R, f (x) =q

x−1x+1

;

(c) f : D→ R, f (x) = 1x−2 ;

(d) f : D→ R, f (x) = x+ arctanx;

(e) f : D→ R, f (x) = |x−2|x−2 ;

(f) f : D→ R, f (x) = x2+1|x−1| ;

(g) f : D→ R, f (x) = x+23√x2−1 ;

(h) f : D→ R, f (x) = xe1x ;

(i) f : D→ R, f (x) = 2−√x+11−√x+1 ;

(j) f : D→ R, f (x) = lg|x|+1x lg e

;

(k) f : D→ R, f (x) = arctan (lnx) ;

4. Határozzuk meg az alábbi feladatokban eloforduló paraméterek

értékeit úgy, hogy a megadaott feltételek teljesüljenek:

(a) keressük azon a, b ∈ R számokat, amelyre

limx→+∞

µx2 + 1

x+ 1− ax− b

¶= 0;

(b) keressük azon a ∈ R számot, amelyre

limx→+∞

³px2 + x+ 1− ax

´,

véges és nem zéró;

(c) keressük azon a, b ∈ R számokat, amelyre

limx→+∞

³3p8− x3 − ax+ b

´= 0;

(d) keressük azokat az a ∈ R számokat, amelyre az f : R→ R,

f (x) =

(e

x2

1+x2 ha x ∈ [0,+∞) ,a ha (−∞, 0) ,

függvénynek van határértéke az x0 = 0-ban.

11.4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 279

5. Legyen n ∈ N, n ≥ 2. Igazoljuk, hogy

limx→0

sinxn − sinn xxn+2

=n

6.

6. Tanulmányozzuk a következo függvények folytonosságát:

(a) f : R→ R,

f (x) =

(x

1+e1x

ha x 6= 0,0 ha x = 0;

(b) f : R→ R,

f (x) =

½x1−x ha x 6= 1,−1 ha x = 1;

(c) f : R→ R,

f (x) =

(sinx|x| ha x 6= 0,1 ha x = 0;

(d) f : R\ 1→ R,

f (x) = 1 + ln|x|+ 1|x− 1| ;

(e) f : R\ 1→ R,

f (x) =

(x2+|x|x2−x ha x 6= 0,0 ha x = 0;

(f) f : R→ R,

f (x) =

½x−ln(x+1)

xha x > 0,

|x| ha x ≤ 0;

7. Az a ∈ R paraméter függvényében tanulmányozzuk az alábbi füg-gvények folytonosságát:

(a) f : [0, 2]→ R,

f (x) =

½x+ 1 ha x ∈ [0, 1] ,3ax+ 3 ha x ∈ (1, 2] ;


(b) f : [2, 4]→ R,

f (x) =

( √x−2−1x−3 ha x ∈ [2, 3) ,

ax9+ 1

3ha x ∈ [3, 4] ;

(c) f : R→ R,

f (x) =

½arctan π

2−x ha x 6= 2,a ha x = 2;

(d) f : [0, 2]→ R,

f (x) =

(6 sin[a(x−1)]

x−1 ha x ∈ [0, 1) ,5x− a ha x ∈ [1, 2] ;

8. Igazoljuk, ha az f : [0, 1] → [0, 1] ∪ [2, 3] függvény folytonos ésf¡12

¢= 0, akkor f nem lehet szürjektív, f nem lehet szigorúan

növekvo és f nem lehet injektív.

9. Keressük meg az összes olyan folytonos f : R→ R függvényt, ame-lyre f (x+ y) = f (x) f (y) bármely x, y∈ R esetén.

10. Keressük meg azokat az f : (0, 1)→ R függvényeket, amelyre

(a) f (xy) = xf (y) + yf (x) bármely x, y ∈ R esetén.(b) f (xy) = xf (x) + yf (y) bármely x, y ∈ R esetén.

11.5 Függvények hatványsora

1. A l’Hospital szabály alkalmazásával számítsuk ki az alábbi

határértékeket:

(a) limx→0

sin 5x2x;

(b) limx→0

x2−12x−2 ;

(c) limx&0

x lnx;

(d) limx&0

xx;

11.5. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA 281

(e) limx→0

sinhxsinx

;

(f) limx→1

lnx2x−2 ;

(g) limx→1

x1

1−x ;

(h) limx→1

∙1

2(1−√x) −1

3(1− 3√x)

¸;

(i) limx→1

³xx−1 − 1

lnx

´1. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket:

(a) f : E → R, f (x) = 1x+ 1

x2;

(b) f : E → R, f (x) = x4 − 4x;(c) f : E → R, f (x) =

√x

x−1 ;

(d) f : E → R, f (x) = x+√1− x;

(e) f : E → R, f (x) = x lnx;

(f) f : E → R, f (x) = xe−x;

(g) f : E → R, f (x) = x sinx;

(h) f : E → R, f (x) = e−x2;

(i) f : E → R, f (x) = x arcsinx;

(j) f : E → R, f (x) = sin¡x2¢;

(k) f : E → R, f (x) = |x|x;

(l) f : E → R, f (x) =

(|x|x−1 , ha x < 1

x, ha x ≥ 1 ;

(m) f : E → R, f (x) = xx;

(n) f : E → R, f (x) = x1x ;

(o) f : E → R, f (x) = x+kx, ha k > 0;

(p) f : E → R, f (x) = (x+ 2) ekx, ha k ∈ R;

2. Határozzuk meg a következõ hatványsorok konvergenciainterval-

lumát:


(a)+∞Pn=0

1n!xn;

(b)+∞Pn=0

(−1)n 1n!xn;

(c)+∞Pn=1

12n−1x

2n−1;

(d)+∞Pn=1

(−1)n2n−1 x

2n−1;

(e)+∞Pn=1

1n2nxn;

(f)+∞Pn=1

1nxn;

(g)+∞Pn=1

(−1)n−1n

xn;

(h)+∞Pn=1

nxn;

(i)+∞Pn=1

n!xn;

(j)+∞Pn=1

1nnxn;

(k)+∞Pn=1

1n9n

(x− 3)2n ;

(l)+∞Pn=1

1(n+1) ln(n+1)

(x− 5)2n ;

3. Fejtsük Mac-Laurin-sorba az alábbi függvényeket és adjuk meg a sor

konvergenciaintervallumát:

(a) f (x) = 3(1−x)(1+2x) ;

(b) f (x) = 2x−3(x−1)2 ;

(c) f (x) = ex2;

(d) f (x) = (1 + x) ln (1 + x) ;

(e) f (x) = 14−x2 ;

11.6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 283

(f) f (x) = ln¡x2 + 1

¢;

4. Fejtsük Taylor sorba az alábbi függvényeket az (x− 1) haványai sz-erint:

(a) f (x) = lnx;

(b) f (x) = 1x;

(c) f (x) = 1x2;

(d) f (x) = ex;

(e) f (x) = e−x2;

5. Számítsuk ki sin 150-t és cos 150-t het tizedes pontossággal,

használva a szinusz és koszinusz függvények sorbafejtését.

6. Számítsuk ki e2-t het tizedes pontossággal, használva az exponen-

ciálisfüggvény sorbafejtését.

7. Számítsuk ki√5-t het tizedes pontossággal, használva a gyökfüg-

gvény sorbafejtését.

8. Számítsuk ki 3√5-t het tizedes pontossággal, használva a köbgyök-

függvény sorbafejtését.

9. Ha f = arctan, akkor:

(a) határozzuk meg a következõ deriváltakat: f 0 (0), f 00 (0), f 000 (0) ,f (4) (0) , f (2001) (0), f (2002) (0) ;

(b) írjuk fel az f függvény Mac-Laurin féle sorát és tanulmányozzuk

a sor konvergenciaintervallumát;

(c) a függvény Mac-Laurin sora alapján számítsuk ki a π értékét

het tizedes pontossággal.

11.6 Differenciálegyenletek

1. Oldjuk meg az alábbi szétválaszható változójú differenciálegyen-

leteket, és ellenoeizzük a megoldást:

(a) dxdt= −2x2t;


(b) xx2 = t+ 1;

(c) (y − 2) y0 + x+ 1 = 0;(d) xy0 = 2y;

(e) xyy0 = 1− x2;(f) y − xy0 = a ¡1 + x2y¢ .

2. Oldjuk meg a következo kezdoérték-feladatokat:

(a) (1 + ex) yy0 = ex, y (0) = 1;

(b) y0 sinx = y ln y, y¡π2

¢= 1;

(c) x = t3 − t, x (0) = 2;(d) tx = x (1− t), x (1) = 1/e;(e)

¡1 + t3

¢x = t2x, x (0) = 2.

3. Oldjuk meg az alábbi elsorendu lineáris differenciálegyenleteket:

(a) y0 − yx= x2;

(b) x+ x = t;

(c) x+ 2tx = 4t;

(d)¡t2 + 1

¢x+ etx = t ln t;

4. Jelölje egy jószág árát P és tegyük fel, hogy ha az ár P , akkor

a kereslet a D (P ) = a − bP és a kínálat S (P ) = e + hP, ahol

a, b, e, h pozitív konstansok. Tegyük fel, hogy P = P (t) az idotol

függo változó és az ár idobeli megváltozása arányos a D (P )−S (P )túlkereslettel. Tehát

P = λ [D (P )− S (P )] ,

ahol λ egy pozitív konstans. A D (P ) és S (P ) képletét felhasználva

igazoljuk, hogy a

P = Ce−λ(b+h) +a− eb+ h

.

Mi történik nagyon sok ido eltelte után?

5. Oldjuk meg a következo kezdoérték-feladatokat!

11.6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 285

(a) xy0 + y − ex = 0, y (a) = b;(b) y0 − y

1−x2 − 1− x = 0, y (0) = 0;(c) dy

dx− y

x= x, y (1) = e;

(d) dydx+ 2y

x= x3, y (2) = 1;

(e) ydx+ xdy = 0, y (e) = e.

6. A következo differenciálegyenletket közgazdászok vizsgálják. Oldjuk

meg ezeket!

(a) K =¡Anα0a

b¢Kb−ce(αv+ε)t, b− c 6= 1, αv + ε 6= 0;

(b) x =(β−αx)(x−a)

x, α > 0, β > 0, a > 0, αa 6= β.

7. Oldjuk meg az elhalálozás Gomertz-Makeham törvényét leíró differ-

enciálegyenletet:

x+¡a+ bct

¢x = 0,

ahol a, b, c pozitív konstansok és c 6= 1. Tanulmányozzuk különbözokezdoértékekre az egyenletet.

8. Jelölje X = X (t) a nemzeti jövedelmet, K = K (t) a toke menny-

iségét és L = L (t) a t idopontban az országban dolgozó munkások

számát. Tegyük fel, hogy minden t ≥ 0 esetén

X = AK1−αLα, ( Cobb-Douglas törvény)

K = sX,

L = L0ept,

ahol A, s, L0, p pozitív állandók és α ∈ (0, 1) . Ezekbol az egyenletek-bol vezessünk le egy egyenletet a K = K (t) mennyiségre és oldjuk

meg az így kapott egyenletet a K (0) = K0 kezdeti feltétel mellett.

Megoldás:

K =

∙Kα0 +

s

pALα0

¡eαpt − 1¢¸1/α .

9. Oldjuk meg a logisztikus növekedést leíró differenciálegyenletet:

dx

dt= B (x− a) (x− b) .


Speciálisan határozzuk meg a megoldást, ha B = −1, a = −1 ésb = 2. Néhány kezdeti értékekre rajzoljuk meg az x = x (t) görbét!

Megoldás:

x = −1 + 3

1− Ce−3t .

10. A CES ( Constant Elasticity of Substitution) termelosi függvény

vizsgálata kapcsán Arrow, Chenery, Minhas és Solow a következo

differenciálegyenletet vizsgálták:

dy

dx=y (1− αyq)

x,

ahol α és q 6= 0 konstansok, és x, y > 0. Felhasználva az

1

y+

αyq−1

1− αyq=

1

y (1− αyq)

azonosságot mutassuk ki, hogy a differenciálegyenlet általános

megoldása:

y =¡ex−q + α

¢−1/qalakba írható.

Irodalomjegyzék

[1] BALÁZS Márton: Matematikai analízis, Egyetemi tankönyv, Erdélyi

Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000.

[2] BALÁZS M., KOLUMBÁN J.: Matematikai analízis. Dacia Könyvki-

adó, Kolozsvár 1978.

[3] BLAGA P., MURESAN A.: Matematici aplicate în economie, vol. I,

Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996;

[4] BRADLEY, Teresa, PATTON, Paul: Essential Mathematics for Eco-

nomics and Business, John Wiley Publications, New-York, 1998.

[5] COCAN Moise: Matematici speciale aplicate în economie, Omnia

Uni-S.A.S.T. Brasov, 1995.

[6] COURNOT, A. A. (1838): Recherches sur les principles mathéma-

tiques de la théorie des richesses. [angolul: Researches Into the Math-

ematical Principles of the Theory of Wealth, Macmillian, New York

(1920)].

[7] KOPCHENOVA, N.V. and Maron, I.A.: Computatinal Mathematics,

MIR, Moscow, 1990.

[8] KÓSA András Ismerkedés a matematikai analízissel, Muszaki

könyvkiadó, Budapest, 1981.

[9] KÓSA András: Útban a felsobb matematikához, LSI Oktatóközpont,

Budapest, 1995.

[10] LANCASTER, Kelvin: Mathematical Economics, Dover Publica-

tions, NewYork, 1987.

287

288 IRODALOMJEGYZÉK

[11] MURESAN A.: Matematici pentru economisti, vol. I, partea I si II,

Litografia Univ. Babes-Bolyai Cluj-Napoca, 1983.

[12] Nakamura, Shoichiro: Numerical Analysis and Graphic Visualization

with MATLAB, Pretince-Hall, Inc., New Jeresey, 1996.

[13] OSTASZEWSKI, Adam: Mathematics in Economics, Models and

Methods, Blackwell Publishers,Oxford UK, 1995.

[14] PIGOU, A. C. (1925): Memoirs of Alfred Marshall, Macmillian, Lon-

don.

[15] STOYAN, G.: MATLAB, Typotex, Budapest, 1999.

[16] SYDSÆTER-HAMMOND:Matematika közgaszdászoknak, Aula, Bu-

dapest, 1998.

[17] SIRETCHI GH.: Calcul diferential si integral. I Editura stiintifica si

Enciclopedi- ca, Bucuresti, 1985.

[18] ZALAI Ernõ (2000): Matematikai közgazdaságtan, Közgazdasági és

Jogi kiadó, Budapest.

[19] WALRAS, L. (1874, 1877): Eléments d’Économie Politique Pure,

Corbaz, Lausenne (Elements of Pure Economics, Allen and Unwin,

London, 1954).

[20] The MathWorks: Using MATLAB Version 5., The MathWorks, Inc.,

Natick, Mass., June 1997.

Documents

MATEMATIKA KÖZGAZDÁSZOKNAKsalamonjulia/v1_files/SK00.pdfmatematika nyelvén ábrázoljuk a közgazdasági modellt. A matematikai modell nem a valóságnak, hanem a közgaz-dasági