Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika

Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega roka 2009, dokler ni dolo~en novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal maturo, je navedena v Maturitetnem izpitnem katalogu za poklicno maturo za tisto leto.

Ljubljana 2007

VSEBINA

1. Uvod 4

2. Izpitni cilji 5

3. Zgradba in vrednotenje izpita 6

3.1 Shema izpita 6

3.2 Vrste nalog in vrednotenje 7

4. Izpitne vsebine 8

5. Prilagoditve za kandidate s posebnimi potrebami 14

6. Dodatki 15

6.1 Matematične oznake 15

6.2 Formule, ki so priložene izpitni poli 18

6.3 Primeri izpitnih nalog 20

6.4 Navodila za ocenjevanje nalog pisnega izpita 34

6.5 Ustni izpit 36

7. Priporočeni viri in literatura 38

4 Matematika

1. UVOD

Predmetni izpitni katalog je namenjen kandidatkam in kandidatom, ki si bodo pri poklicni maturi izbrali matematiko kot tretji predmet. V pomoč bo tudi učiteljicam in učiteljem matematike, ki jih bodo pripravljali na poklicno maturo.

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo temelji na predmetnem katalogu za srednje tehniško oziroma strokovno izobraževanje v obsegu 385 ur iz leta 1998 in na katalogu znanja Matematika za programe srednjega strokovnega izobraževanja v obsegu 383 do 408 ur iz leta 2007 ter za programe srednjega poklicno-tehniškega izobraževanja v obsegu 206 do 242 ur iz leta 2007, na Pravilniku o poklicni maturi in Zakonu o maturi (ZMat, Uradni list RS, št. 15/03).

Izpit iz matematike je sestavljen iz pisnega in ustnega dela.

V katalogu so opisani cilji izpita, zgradba izpita ter vrednotenje in ocenjevanje. Dodan je snovni del, ki je sestavljen iz dveh delov. Na levi strani so vsebine in pojmi, ki določajo okvirno vsebino učne snovi, preverjane pri izpitu. Na desni pa so zapisani cilji, ki se preverjajo.

Dodan je tudi seznam matematičnih oznak in formul, s katerimi si kandidati pri izpitu lahko pomagajo. V katalogu je nekaj primerov izpitnih nalog z rešitvami in točkovnikom ter navodila za ocenjevanje. Na koncu so navedene prilagoditve za kandidate s posebnimi potrebami.

V katalogu so posebej označeni razdelki, ki se nanašajo na poklicno maturo iz matematike za kandidate v programih, sprejetih po letu 2004.

Matematika 5

2. IZPITNI CILJI

Izpit bo preveril, kako zna kandidat:

• brati besedilo in ga prevesti v matematični jezik,

• informacije, izražene z matematičnimi sredstvi, razumeti in uporabiti pri iskanju rešitve,

• uporabljati matematično terminologijo in simboliko,

• sistematično, natančno, samostojno, urejeno zapisovati in reševati matematične naloge,

• uporabljati matematiko kot sredstvo komunikacije,

• izkazati razumevanje ter uporabljati osnovne matematične pojme in odnose med njimi,

• reševati matematične probleme,

• kritično uporabiti ustrezno metodo ter interpretirati in utemeljiti rešitev,

• uporabljati matematiko na strokovnih in drugih področjih,

• uporabljati dovoljene pripomočke.

6 Matematika

3. ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA

3.1 SHEMA IZPITA

Izpit iz matematike ima pisni in ustni del. Pisni del je enoten za vse kandidate in ga hkrati opravljajo vsi prijavljeni kandidati v Sloveniji. Ocenjevanje pisnega in ustnega dela izpita je notranje.

Pisni del izpita Državna predmetna komisija za poklicno maturo iz matematike sestavi izpitno polo, pripravi moderirani točkovnik in navodila za ocenjevanje.

Izpitna pola Čas reševanja Število točk Delež pri oceni

1 120 minut 70 70 %

1. del 2. del

(40) (30)

(40 %) (30 %)

Dovoljeni pripomočki pri pisnem izpitu so: nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirka, numerično žepno računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti simbolnega računanja, šestilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo, kotomer in trigonir.

Izpitna pola vsebuje tudi dve strani formul, s katerimi si kandidat lahko pomaga pri reševanju nalog.

Kandidati morajo pri konstrukcijskih nalogah uporabljati geometrijsko orodje. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vmesnimi računi in sklepi.

Ustni del izpita Seznam vprašanj in listke za ustni del izpita sestavijo učitelji na šoli na podlagi predmetnega izpitnega kataloga.

Čas reševanja Število točk Delež pri oceni

3 vprašanja do 20 minut 30 30 % Dovoljeni pripomočki pri ustnem izpitu: nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirka, numerično žepno računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti simbolnega računanja, šestilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo, kotomer in trigonir. Za kandidate v programih, sprejetih po letu 2004, je dodatni pripomoček namesto numeričnega žepnega računala grafično žepno računalo.

Kandidat ima pravico do 20-minutne priprave na ustni izpit.

Matematika 7

3.2 VRSTE NALOG IN VREDNOTENJE

Izpit Vrste nalog Vrednotenje nalog

1. del izpitne pole

9 krajših nalog 5 nalog je ovrednotenih s 4 točkami, 4 naloge pa s 5 točkami.

2. del izpitne pole

3 sestavljene (izbirne) naloge, od katerih kandidat izbere in reši dve

Vsaka naloga je ovrednotena s 15 točkami.

Ustni izpit 3 vprašanja s seznama vprašanj Vsako vprašanje je ovrednoteno z 10 točkami.

Ustni izpit za kandidate v programih, sprejetih po letu 2004

ena situacija iz stroke in vprašanja, ki izhajajo iz te situacije ter pokrivajo različno matematično obvladanje in cilje različnih tematskih sklopov

Celotna situacija skupaj z vprašanji 30 točk.

8 Matematika

4. IZPITNE VSEBINE

VSEBINSKI SKLOPI • Številske množice

• Geometrija

• Algebrske funkcije in enačbe

• Transcendentne funkcije in enačbe

• Zaporedja in obrestno-obrestni račun

• Statistika (obdelava podatkov za programe, sprejete po letu 2004)

• Diferencialni račun (samo za programe, sprejete po letu 2004)

• Osnove verjetnostnega računa (samo za programe, sprejete po letu 2004)

Številske množice

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Naravna, cela, racionalna in realna števila.

Lastnosti operacij v vseh številskih množicah.

Deljivost v N in Z .

Potence z naravnimi in celimi eksponenti.

Praštevila in sestavljena števila.

Kriteriji deljivosti.

Večkratniki in delitelji.

• Računati z naravnimi, celimi, racionalnimi in realnimi števili ter uporabljati zakonitosti računskih operacij.

• Poiskati večkratnike in delitelje naravnih in celih števil.

• Računati s potencami z naravnimi in celimi eksponenti ter uporabljati pravila za računanje z njimi.

Izrazi.

Lastnosti enakosti in neenakosti.

Osnovni izrek o deljenju.

Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik.

Racionalna števila in realna števila.

Ulomki.

Urejenost, enakosti, neenakosti in lastnosti.

Desetiški zapis.

Razmerja, deleži, odstotki.

• Računati z algebrskimi izrazi (potencirati

dvočlenik, razcepiti razliko kvadratov, razliko in vsoto kubov, uporabljati Vietovo pravilo).

• Poznati odnos deljivosti in urejenosti.

• Poznati in uporabljati osnovni izrek o deljenju.

• Poznati praštevila in sestavljena števila.

• Dano število razcepiti v produkt praštevil.

• Poiskati največji skupni delitelj števil.

• Poiskati najmanjši skupni večkratnik števil.

• Ugotoviti, ali je število deljivo z 2, 3, 5, 9 in 10.

• Računati s številskimi in algebrskimi ulomki.

• Zapisati racionalno število z decimalno številko.

Matematika 9

• Zapisati periodično decimalno številko kot okrajšani ulomek.

• Računati z odstotki.

• Izračunati delež, osnovo in relativni delež.

• Uporabljati sklepni račun.

Številska premica.

Iracionalna števila.

Decimalni zapis iracionalnega števila.

Urejenost v obsegu realnih števil R .

Kvadratni in kubični koren.

Zaokroževanje.

Absolutna vrednost števila in njene lastnosti.

• Predstaviti realna števila na številski premici

(realna os).

• Zaokroževati.

• Oceniti rezultat.

• Računati s kvadratnimi in kubičnimi koreni.

• Delno koreniti in racionalizirati imenovalec.

• Rešiti preproste enačbe in neenačbe z absolutno vrednostjo.

Potence z racionalnimi eksponenti.

• Računati s potencami z racionalnimi

eksponenti.

• Računati s koreni.

Geometrija

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA Geometrija v ravnini Osnovni geometrijski pojmi.

Točke in premice v ravnini in odnosi med njimi.

Razdalja, daljica, nosilka daljice, simetrala, poltrak, kot.

Trikotnik, krog, večkotnik.

Izreki v pravokotnem trikotniku.

Skladnost.

Podobnost.

• Narisati premico, poltrak, daljico, simetralo, kot, krog in krožnico, lok, tetivo, tangento.

• Ločevati vrste trikotnikov glede na stranice in kote.

• Poznati različne vrste kotov (sokota, sovršna kota, ostri, topi, suplementarni …).

• Računati s koti.

• Poznati in uporabljati definicijo skladnosti trikotnikov.

• Uporabljati osnovne izreke o skladnosti trikotnikov.

• Poznati enote za merjenje kotov ter pretvarjati stopinje v radiane in obratno.

• V računskih in konstrukcijskih nalogah uporabljati lastnosti trikotnika, paralelograma, trapeza.

• Uporabljati Pitagorov izrek.

• Načrtovati like (konstrukcijske naloge).

• Trikotniku očrtati in včrtati krog.

• Načrtati tangento na krog (v dani točki krožnice in iz točke, ki leži zunaj kroga).

• Poznati in uporabljati lastnosti obodnega kota nad premerom v polkrogu.

• Poznati in uporabljati definicijo podobnosti trikotnikov.

10 Matematika

Ploščine

Ploščina paralelograma, trikotnika, trapeza, deltoida in kroga.

Sinusni izrek.

Kosinusni izrek.

• Poznati enote za merjenje ploščine.

• Računati ploščino paralelograma, trikotnika, trapeza, deltoida, kroga, krožnega izseka.

• Uporabljati sinusni izrek.

• Uporabljati kosinusni izrek.

• Poznati in računati obsege likov, dolžino krožnega loka.

• Iz ustreznih podatkov izračunati ploščino, stranico, kot, obseg, višino, polmer očrtanega in včrtanega kroga.

Površine in prostornine

Površina in prostornina pokončne prizme, valja, piramide, stožca in krogle.

• Poznati in uporabljati lastnosti pokončnih teles (prizme, valja, piramide, stožca) in krogle.

• Pri ustreznih podatkih za dano telo izračunati višino telesa, stranski rob, osnovni rob, telesno diagonalo, plašč, ploščino osnega preseka, površino in prostornino.

• Izračunati kote, ki jih med seboj oklepajo robovi oziroma ploskve geometrijskega telesa.

Algebrske funkcije in enačbe

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Linearna funkcija in linearna enačba

Pravokotni koordinatni sistem v ravnini.

Množice točk v ravnini.

Razdalja med točkama.

Linearna funkcija: x kx n+

Enačba premice.

Linearna enačba in linearna neenačba.

Sistem linearnih enačb.

• Ponazoriti preproste množice točk v ravnini.

• Izračunati razdaljo med dvema točkama v ravnini.

• Narisati graf linearne funkcije.

• Poznati pomen konstant k in n .

• Določiti ničlo in začetno vrednost funkcije.

• Zapisati enačbo premice v ravnini v eksplicitni, implicitni in segmentni obliki.

• Rešiti linearne enačbe.

• Rešiti linearne neenačbe.

• Rešiti sistem dveh in treh linearnih enačb.

• Rešiti besedilno nalogo z uporabo linearne enačbe in sistema dveh enačb z dvema neznankama.

Matematika 11

Kvadratna funkcija, potenčna funkcija in kvadratna enačba

Kvadratna funkcija: 2x ax bx c+ +

Diskriminanta.

Teme, ničli in graf kvadratne funkcije.

Kvadratna enačba.

Uporaba kvadratne funkcije in enačbe.

Kvadratna neenačba.

• Zapisati kvadratno funkcijo pri različnih podatkih.

• Izračunati teme, ničli kvadratne funkcije, presečišče grafa z ordinatno osjo in načrtati graf.

• Zapisati kvadratno funkcijo v temenski obliki, splošni obliki in obliki za ničle ter pretvarjati iz ene oblike v drugo.

• Rešiti kvadratno enačbo in različne naloge, ki se nanašajo na uporabo kvadratne enačbe.

• Izračunati presečišče parabole in premice, dveh parabol.

• Rešiti besedilne naloge z uporabo kvadratne enačbe.

• Rešiti kvadratno neenačbo.

Polinomi in racionalne funkcije

Potenčna funkcija.

Polinomi z realnimi koeficienti.

Ničle polinomov.

Hornerjeva shema.

Graf polinoma.

Racionalne funkcije.

Racionalne enačbe in neenačbe.

• Narisati graf potenčnih funkcij s celimi eksponenti.

• Poiskati razcep danega polinoma.

• Izračunati ničle polinoma.

• Uporabljati Hornerjev algoritem.

• Narisati graf polinoma.

• Zapisati funkcijsko enačbo polinoma ob ustreznih podatkih.

• Rešiti neenačbe: ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0p x p x p x p x> < ≥ ≤

• Poznati definicijo in enačbo racionalne funkcije.

• Določiti ničle, pole in vodoravne asimptote.

• Narisati graf dane racionalne funkcije.

• Reševati racionalne enačbe in neenačbe.

12 Matematika

Transcendentne funkcije in enačbe

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Eksponentna in logaritemska funkcija

Eksponentna funkcija: ( ) , 0, 1xf x a a a= > ≠

Lastnosti in graf eksponentne funkcije.

Eksponentna enačba.

Logaritem.

Prehod k novi osnovi.

Logaritemska funkcija.

Lastnosti in graf logaritemske funkcije.

Logaritemska enačba.

• Narisati graf dane eksponentne in logaritemske funkcije (brez premikov in raztegov).

• Reševati preproste eksponentne enačbe (skupna osnova, izpostavljanje skupnega faktorja).

• Usvojiti definicijo logaritma.

• Uporabljati pravila za računanje z logaritmi.

• Reševati preproste logaritemske enačbe (tudi z žepnim računalom).

• Uporabiti prehod k novi osnovi za računanje z žepnim računalom.

• Poznati desetiški in naravni logaritem.

Kotne funkcije

Kotne funkcije ostrih kotov.

Definicija kotnih funkcij: ( ) sin

( ) cos

( ) tg

f x x

f x x

f x x

=

=

=

Lastnosti kotnih funkcij.

Adicijski izreki.

Grafi kotnih funkcij.

• Poznati in uporabljati definicije kotnih funkcij ostrih kotov.

• Narisati grafe funkcij: ( ) sin , ( ) cos , ( ) tgf x x f x x f x x= = =

• Izračunati ničle, abscise maksimumov in minimumov.

• Uporabljati zveze med kotnimi funkcijami istega kota, komplementarnih in suplementarnih kotov.

• Uporabljati periodičnost, lihost oziroma sodost kotnih funkcij sinus, kosinus in tangens ter uporabljati adicijske izreke.

• Izračunati kot med premicama.

Zaporedja

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Definicija zaporedja N R→:f .

Lastnosti zaporedij (naraščanje, padanje, omejenost).

Aritmetično in geometrijsko zaporedje.

Vsota n členov aritmetičnega in geometrijskega zaporedja.

Navadno in obrestno obrestovanje.

• Določiti lastnosti danega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost).

• Narisati graf zaporedja.

• Usvojiti definicijo aritmetičnega in geometrijskega zaporedja.

• Izračunati vsoto n členov aritmetičnega zaporedja.

• Izračunati vsoto n členov geometrijskega zaporedja.

• Poznati in razlikovati navadno in obrestno obrestovanje.

• Izračunati končno vrednost glavnice in obdobje obrestovanja.

Matematika 13

Statistika (obdelava podatkov)

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Osnovni statistični pojmi.

Grupiranje in urejanje podatkov.

Prikazovanje podatkov.

Srednja vrednost.

• Uporabljati osnovne statistične pojme (populacija, statistična enota, vzorec, statistična spremenljivka).

• Urediti podatke.

• Uporabljati pojem absolutne in relativne frekvence.

• Grafično prikazati podatke (histogram, frekvenčni poligon, frekvenčni kolač).

• Določiti srednjo vrednost – aritmetično sredino.

Samo za programe, sprejete po letu 2004, (ustni del izpita) tudi spodnja dva vsebinska sklopa

Diferencialni račun

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Odvod funkcije.

Odvod in lokalno vedenje funkcije.

• Uporabiti pravila za odvajanje osnovnih in sestavljenih funkcij.

• Z uporabo odvoda raziskovati lastnosti funkcij.

• Določiti enačbo tangente na graf funkcije v dani točki.

Osnove verjetnostnega računa

VSEBINE, POJMI CILJI PREVERJANJA

Osnovni prijemi kombinatorike.

Verjetnost slučajnega dogodka.

• Poznati in uporabljati osnovni zakon kombinatorike.

• Prepoznati permutacije brez ponavljanja, kombinacije brez ponavljanja in variacije brez ponavljanja in s ponavljanjem ter izračunati njihovo število.

• Izračunati verjetnost slučajnega dogodka.

14 Matematika

5. PRILAGODITVE ZA KANDIDATE S POSEBNIMI POTREBAMI

Kandidatom s posebnimi potrebami, ki so bili v izobraževalne programe usmerjeni z odločbo o usmeritvi, v utemeljenih primerih (poškodbe, bolezen) pa tudi drugim kandidatom glede na vrsto in stopnjo primanjkljaja, ovire oziroma motnje se prilagodita način opravljanja izpita iz matematike in način ocenjevanja znanja v skladu s 4. členom Zakona o maturi in s poglavjem Prilagoditve za kandidate s posebnimi potrebami Maturitetnega izpitnega kataloga za poklicno maturo.

Matematika 15

6. DODATKI

6.1 MATEMATI^NE OZNAKE

1. Množice

∈ je element

∉ ni element

{ }1 2, ,...x x množica z elementi 1 2, x x …

{ };x … množica vseh x , takih da ...

∅ prazna množica

N množica naravnih števil

0N { }0∪N

Z množica celih števil +

Z množica pozitivnih celih števil −

Z množica negativnih celih števil

Q množica racionalnih števil +

Q množica pozitivnih racionalnih števil −

Q množica negativnih racionalnih števil

( ), ,−∞ ∞R množica realnih števil

( ), 0,+ ∞R množica pozitivnih realnih števil

[ )0 , 0,+ ∞R množica nenegativnih realnih števil

( ), , 0− −∞R množica negativnih realnih števil

∪ unija

∩ presek

\,− razlika množic

[ ],a b zaprti interval { };x a x b∈ ≤ ≤R

[ ) [ [, , ,a b a b interval { };x a x b∈ ≤ <R

( ] ] ], , ,a b a b interval { };x a x b∈ < ≤R

( ) ] [, , ,a b a b odprti interval { };x a x b∈ < <R

16 Matematika

2. Relacije in operacije

( ),a b urejeni par

= je enako

≠ ni enako

je približno enako

< je manjše

≤ je manjše ali enako

> je večje

≥ je večje ali enako

+ plus

− minus

⋅ krat

: deljeno

a b a deli b

( ),D a b največji skupni delitelj števil a in b

( ),v a b najmanjši skupni večkratnik števil a in b

Σ znak za vsoto

a absolutna vrednost a 3. Geometrija

( ),d A B razdalja med točkama A in B

AB dolžina daljice AB

kot

trikotnik

|| biti vzporeden

⊥ je pravokoten

≅ je skladen

∼ je podoben

( , )A x y točka A s koordinatama x in y

, S p ploščina

V prostornina

P površina

R polmer trikotniku očrtanega kroga

r polmer trikotniku včrtanega kroga

Matematika 17

4. Funkcije

f funkcija f

:f A B→ preslikava (funkcija) iz A v B

( )x f x x se preslika v ( )f x

fD definicijsko območje funkcije f

fZ zaloga vrednosti funkcije f

' dffdx

= (prvi) odvod funkcije f

5. Statistika

,x μ povprečna vrednost

6. Kombinatorika. Verjetnostni račun.

nP število permutacij n elementov brez ponavljanja

!n n fakulteta r

nV število variacij brez ponavljanjan elementov reda r

( )p rnV število variacij s ponavljanjemn elementov reda r

( )nk binomski simbol (n nad k )

( )rn

nrC = število kombinacij brez ponavljanjan elementov reda r

G gotovi dogodek

N nemogoči dogodek

1 2 3, , ,...E E E elementarni dogodki

'A dogodku A nasprotni dogodek

A B∪ vsota dogodkov A in B

,A B A B∩ ⋅ produkt dogodkov A in B

\A B razlika dogodkov A in B

A B⊂ A je način dogodka B

( )P A verjetnost dogodka A

18 Matematika

6.2 FORMULE, KI SO PRILO@ENE IZPITNI POLI

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B = 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y− + −

● Linearna funkcija: ( )f x kx n= + ● Smerni koeficient: 2 1

2 1

y yk

x x−

=−

● Naklonski kot premice: tank ϕ= ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1k k

k kϕ

−=

+ ⋅

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S )

● Trikotnik: 1 sin2 2

cc vS ab γ

⋅= =

( )( )( )S s s a s b s c= − − − , 2

a b cs + +=

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga:

4abcR

S= , Sr

s= , ( )2

a b cs + +=

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R= = = =

● Deltoid, romb: 2

e fS ⋅= ● Trapez: 2

a cS v+= ⋅

● Paralelogram: sinS ab α= ● Romb: 2 sinS a α=

● Dolžina krožnega loka: 180rl απ °=

° ● Ploščina krožnega izseka:

2

360rS απ °=

°

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b c Rα β γ

= = =

● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc α= + −

3. Površine in prostornine geometrijskih teles S( je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S= + , V S v= ⋅ ● Valj: 22 2P r rv= π + π , 2V r v= π

● Piramida: plP S S= + , 13

V S v= ⋅ ● Stožec: ( )P r r s= π + , 213

V r v= π

● Krogla: 24P r= π , 34

3rV π=

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1α α+ = ● sintan

cosααα

= ● 2211 tan

cosα

α+ =

● sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± ● cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± = ∓

● sin2 2 sin cosα α α= ● 2 2cos2 cos sinα α α= −

Matematika 19

5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba

● 2( )f x ax bx c= + + Teme: ( , )T p q ,

2bpa

−= , 4Dqa

−=

● 2 0ax bx c+ + = Ničli: 1,2 2

b Dxa

− ±= , 2 4D b ac= −

6. Logaritmi

● log xa y x a y= ⇔ = ● log logn

a ax n x=

● log ( ) log loga a ax y x y⋅ = + ● log

loglog

ab

a

xx

b=

● log log loga a ax x yy= −

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d= + − , 1(2 ( 1) )2nns a n d= + −

● Geometrijsko zaporedje: 11.

nna a q −= , 1

11

n

nqs aq

−= ⋅−

● Navadno obrestovanje: 0nG G o= + , 0 .100

G n po =

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r= , 1100pr = +

8. Statistika

● Srednja vrednost (aritmetična sredina): 1 2 ... nx x xx

n+ + +

=

1 1 2 2

1 2

......

k k

k

f x f x f xx

f f f+ + +

=+ + +

20 Matematika

6.3 PRIMERI IZPITNIH NALOG

Pojasnilo: točka, označena z (*), je postopkovna točka. Kandidat jo dobi, če je napisal (uporabil) pravilen postopek, a zaradi napake ali napačnih podatkov rezultat ni pravilen. 1. ŠTEVILSKE MNOŽICE

1) Natančno izračunajte vrednost izraza:

( )11

2 0 242 3 163

−− + ⋅ +

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Izračun: 1 3 1 31 16 4

4 4 4 4+ ⋅ + = + + , vsak člen 1 točka, skupaj ...............................................3 točke

Rezultat: 5 .....................................................................................................................................1 točka 2) Cena avtomobila z 19 % davkom na dodano vrednost je bila 2380000 tolarjev. Kolikšna je cena tega

avtomobila danes, ko je davek na dodano vrednost 20 % ?

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Izračun cene brez DDV, npr.: 2380000 2000000

1,19= tolarjev ........................................ (1* + 1) 2 točki

Izračun nove cene, npr.: 2000000 1,20 2400000⋅ = tolarjev ...................................................... 1 točka Odgovor: Nova cena je 2400000 tolarjev .................................................................................... 1 točka

3) V podjetju ima 25 % zaposlenih osnovnošolsko izobrazbo, polovica srednješolsko, šestina višjo, drugih

10 zaposlenih pa visoko izobrazbo. Izračunajte, koliko ljudi je zaposlenih v podjetju. (4 točke)

Rešitev in vrednotenje: 1. način: Nastavitev enačbe, npr.: 25 10

100 2 6x xx x+ + + = ..................................................................... 1 točka

Rešitev enačbe: 120x = ................................................................................................. (1* + 1) 2 točki Odgovor: Zaposlenih je 120 delavcev ......................................................................................... 1 točka 2. način: 25 1 1 11

100 2 6 12+ + = ...................................................................................................................... 1 točka

1012x = ........................................................................................................................................ 1 točka

Rešitev enačbe: 120x = ............................................................................................................... 1 točka Odgovor: Zaposlenih je 120 delavcev ......................................................................................... 1 točka

Matematika 21

2. GEOMETRIJA

2.1 Geometrija v ravnini

1) Načrtajte in označite trikotnik ABC s podatki: 5 cm, 8 cm in 60 .a c γ= = = ° Narišite tudi skico.

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Skica ..............................................................................................................................................1 točka

a

cA B

C

γ

Načrtana stranica a in kot γ ....................................................................................................... 1 točka Načrtan trikotnik z določenim ogliščem ,A viden krožni lok ....................................................... 1 točka Označen trikotnik ABC .............................................................................................................. 1 točka

Toleranca: za dolžine 2mm± in za kote 2 .± °

2) V rombu je stranica a dolga 8 cm , kot α pa meri 30° . Narišite skico in izračunajte dolžino višine in

dolžino krajše diagonale romba. Izračunani vrednosti zaokrožite na dve decimalni mesti. (5 točk)

Rešitev in vrednotenje: Skica ..............................................................................................................................................1 točka

A

D

B

C

a

a

v f

α

22 Matematika

Višina: Izračunana višina: 1sin 8 4 cm

2v a α= ⋅ = ⋅ = .......................................................................... 1 točka

Diagonala: 1. način: Napisan kosinusni izrek, npr.: 2 2 22 2 cosf a a α= ⋅ − ⋅ ⋅ ............................................................ 1 točka Izračunana diagonala: 4,14 cmf .............................................................................. (1* + 1) 2 točki 2. način:

( )sin2 2f a α= ⋅ ............................................................................................................................. 1 točka

Izračunana diagonala: 4,14 cmf .............................................................................. (1* + 1) 2 točki 3) Izračunajte dolžino tetive, ki pripada središčnemu kotu 120 v krogu s polmerom 6 cm.

Narišite skico. (4 točke)

Rešitev in vrednotenje: Skica .............................................................................................................................................1 točka

AB

S

t

ϕ

1. način: Upoštevan kosinusni izrek, npr.:

2 2 2 2 cosAB AS BS AS BS ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ....................................................................... 1 točka Rešitev: ( )6 3 cm ali 10, 4 cm 10, 39 cmAB t= ................................................ (1* + 1) 2 točki 2. način:

( )sin2 2t AS

ϕ= ⋅ ......................................................................................................................... 1 točka

Rešitev: ( )6 3 cm ali 10, 4 cm 10, 39 cmt t= ...................................................... (1* + 1) 2 točki 2.2 Ploščine

1) Izračunajte obseg in ploščino lika na skici:

D

A B

10 cm C

15 cm

12 cm

(5 točk)

Matematika 23

Rešitev in vrednotenje: Ploščina trapeza: 2150 mS = ....................................................................................... (1* + 1) 2 točki Izračunana stranica: 13 mAD = ................................................................................ (1* + 1) 2 točki Izračunan obseg trapeza: 50mo = ........................................................................................... 1* točka

2.3 Površine in prostornine

1) List papirja ima obliko pravokotnika s stranicama 15 cm in 10 cm. (Skupaj 15 točk)

a) Ta list papirja zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica pravokotnika višina valja. Izračunajte prostornino valja na 3cm natančno.

(5 točk) b) Na vogalih pravokotnika smo izrezali kvadrate s stranico 3 cm , kakor kaže skica. Dobili smo mrežo škatle brez pokrova. Določite robove škatle in izračunajte njeno prostornino.

(5 točk)

c) Izračunajte, koliko odstotkov površine škatle predstavlja ploščina dna škatle.

(5 točk) Rešitev in vrednotenje:

a) 5 točk Izračunan polmer osnovne ploskve valja: 2, 387 cmr ........................................... (1* + 1) 2 točki Izračunana prostornina valja, npr.: 3179, 047 cmV ............................................... (1* + 1) 2 točki Zaokrožen rezultat: 3179 cmV ............................................................................................ 1 točka

b) 5 točk

Določeni robovi škatle: 9 cm, 4 cm in 3 cm, vsak 1 točka, skupaj ........................................ 3 točke Izračunana prostornina: 3108 cmV = ......................................................................... (1* + 1) 2 točki

c) 5 točk

Površina škatle: 2114 cmP = ..................................................................................... (1* + 1) 2 točki Dno škatle: 236 cmS = ............................................................................................................ 1 točka Odstotek: ( )32 % 31,6 % ali 31, 57 %p ............................................................... (1* + 1) 2 točki

24 Matematika

2) Pokončni valj in pravilna 4-strana prizma imata enaka plašča. Pri obeh je plašč kvadrat s ploščino 236 cm .

(Skupaj 15 točk) a) Narišite skico valja, izračunajte polmer osnovne ploskve, višino in prostornino valja.

Polmer zaokrožite na 2 decimalni mesti (v cm), prostornino pa na celo število kubičnih centimetrov. (6 točk)

b) Narišite skico prizme in izračunajte njeno prostornino. (6 točk)

c) Izračunajte, za koliko odstotkov je prostornina prizme manjša od prostornine valja. (3 točke)

Rešitev in vrednotenje: a) 6 točk Skica valja ............................................................................................................................... 1 točka

Polmer osnovne ploskve valja: 0, 95 cmr ................................................................. (1* + 1) 2 točki Višina valja: 6 cmv = ................................................................................................................ 1 točka Prostornina valja: 317 cmV ....................................................................................... (1* + 1) 2 točki

b) 6 točk Skica prizme ............................................................................................................................ 1 točka

Rob osnovne ploskve prizme: 1,5 cma = ............................................................... (1* + 1) 2 točki Višina prizme: 6 cmv = ........................................................................................................ 1 točka Prostornina prizme: 313,5 cmpV = .......................................................................... (1* + 1) 2 točki

c) 3 točke Razlika prostornin: 33, 5 cmv pV V− = ................................................................................. 1 točka

Odstotek: ali21 % (20,6 % 20,59 %) ....................................................................... (1* + 1) 2 točki Odgovor: Za približno ali21 % (20,6 % 20,59 %)

Matematika 25

3. ALGEBRSKE FUNKCIJE IN ENAČBE

3.1 Linearna funkcija in linearna enačba

1) Rešite sistem enačb: 2 43x y+ =

22x y+ =

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Postopek reševanja ..................................................................................................................... 2* točki Rešitev: 0, 2x y= = ...................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

2) Premici na sliki določite smerni koeficient in zapišite enačbo.

(4 točke)

Rešitev in vrednotenje: Določen smerni koeficient: 4

3k = − ............................................................................. (1* + 1) 2 točki

Zapis enačbe premice: 4 4 ali 4 3 12 0 3

y x x y= − + + − =

ali 13 4

yx + = ............................................................................................................. (1* + 1) 2 točki

26 Matematika

3) Skozi izhodišče koordinatnega sistema potekata dve premici. Prva gre skozi točko ( )3, 3A , druga skozi točko ( )6, 3 .B

(Skupaj 15 točk) a) Obe premici narišite in napišite njuni enačbi.

(6 točk) b) Kot med premicama izračunajte na minuto natančno.

(6 točk) c) Izhodišče koordinatnega sistema ter točki A in B določajo trikotnik OAB .

Izračunajte ploščino tega trikotnika. (3 točke)

Rešitev in vrednotenje: a) 6 točk Narisani premici .......................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Enačba prve premice: y x= .................................................................................................... 2 točki

Enačba druge premice: 12

y x= .............................................................................................. 2 točki

b) 6 točk 1. način: Naklonski kot prve premice: 1 45α = ° ............................................................................... 2 točki Naklonski kot druge premice: 2 26 34α ′= ° ....................................................................... 2 točki Vmesni kot: 2 1 18 26ϕ α α ′= − ° ................................................................................... 2 točki

2. način: Smerna koeficienta premic: 1 2

11, 2

k k= = .......................................................... (1 + 1) 2 točki

Uporaba ustrezne formule .................................................................................................. 1 točka Izračun vmesnega kota, npr. 18 26ϕ ′° : ............................................................ (1* + 2) 3 točke

c) 3 točke Ploščina trikotnika OAB : ( )9 4, 5

2S = .................................................................. (1* + 2) 3 točke

Matematika 27

3.2 Kvadratna funkcija, potenčna funkcija in kvadratna enačba

1) Dana je funkcija 2( ) 2 8.f x x x= − + + Določite teme in presečišča grafa funkcije s koordinatnima osema.

(5 točk) Rešitev in vrednotenje: Določitev temena Teme, npr.: ( )1, 9 ali 1, 9T p q= = ............................................................................ (1* + 1) 2 točki

Presečišči s koordinatnima osema Presečišče z ordinatno osjo: ( ) ( )0 8 ali 0, 8f N= ..................................................................... 1 točka Ničli oz. presečišči z abscisno osjo po formuli ali z razstavljanjem

( ) ( )1 24, 2 ali 2, 0 , 4, 0x x A B= = − − ............................................................................... 2 točki 2) Dani sta funkciji 2( ) 6 in ( ) 3.f x x x g x x= − − + = +

(Skupaj 15 točk) a) Narišite oba grafa v istem koordinatnem sistemu.

(7 točk) b) Izračunajte koordinate presečišč obeh grafov.

(5 točk) c) Izračunajte razdaljo med presečiščema. Rezultat delno korenite.

(3 točke) Rešitev in vrednotenje: a) 7 točk

Narisana premica .......................................................................................................................... 1 točka Narisana parabola .......................................................................................................................... 6 točk Od tega: ničli: 1 23, 2x x= − = ........................................................................................................ 1 točka

teme: ( )1 1, 62 4

T − ............................................................................................................... 2 točki

Presečišče parabole in ordinatne osi: ( )0,6N .................................................................... 1 točka Pravilna parabola ................................................................................................................. 2 točki

28 Matematika

b) 5 točk Nastavljena enačba, npr.: 2 6 3x x x− − + = + ......................................................................... 1 točka Urejena enačba, npr.: 2 2 3 0x x+ − = ....................................................................................... 1 točka Rešitvi enačbe: 1 23, 1x x= = ...................................................................................... (1* + 1) 2 točki Izračunani ordinati: 1 20, 4y y= = ............................................................................................. 1 točka

c) 3 točke Izračunana razdalja: 32 ................................................................................................ (1* + 1) 2 točki Rešitev: 4 2 ................................................................................................................................ 1 točka

3.3 Polinomi in racionalne funkcije

1) Na sliki je graf funkcije. Zapišite enačbo vodoravne asimptote, pol in ničlo te funkcije. Ugotovite in zapišite interval, na katerem ima funkcija negativno vrednost.

(5 točk)

Rešitev in vrednotenje: Vodoravna asimptota: 2y = ....................................................................................................... 1 točka Pol: 1x = − ................................................................................................................................. 1 točka Ničla: 3

2x = ................................................................................................................................ 1 točka

Funkcija ima negativno vrednost na intervalu ( )31,2

−

ali za 312

x− < < ....................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Matematika 29

2) Dan je polinom ( )( )21( ) 1 2 .2

p x x x= + −

(Skupaj 15 točk) a) Določite ničle in presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo.

(3 točke) b) Skicirajte graf polinoma.

(4 točke) c) Izračunajte presečišča grafa polinoma s premico 2 2.y x= +

(8 točk) Rešitev in vrednotenje: a) 3 točke Ničle: 1 2,31, 2x x= − = ............................................................................................................. 2 točki

( ) ( )0 2 ali 0,2f N= ................................................................................................................... 1 točka b) 4 točke Graf ...............................................................................................................................................4 točke

c) 8 točk Nastavitev enačbe, npr.: ( )( )21 1 2 2 2

2x x x+ − = + ................................................................. 1 točka

Poenostavljena enačba, npr.: 3 23 4 0x x x− − = .......................................................... (1* + 1) 2 točki Rešitve enačbe: 1 2 31, 0, 4x x x= − = = ..................................................................... (1* + 1) 2 točki Določena presečišča: ( ) ( ) ( )1 2 31, 0 , 0,2 , 4,10 ,P P P−

vsako 1 točka, skupaj ................................................................................................................3 točke

3) Dana je funkcija 2 2( )1

xf xx

+=−

.

(Skupaj 15 točk) a) Določite ničlo, pol, vodoravno asimptoto in presečišče z ordinatno osjo.

(4 točke) b) Narišite graf funkcije ter napišite definicijsko območje in zalogo vrednosti dane funkcije.

(7 točk) c) Izračunajte presečišče grafa funkcije ( )f x s premico 1.y =

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: a) 4 točke Ničla: 1 1x = − ............................................................................................................................. 1 točka Pol: 2 1x = ................................................................................................................................... 1 točka Vodoravna asimptota: 2y = ....................................................................................................... 1 točka Presečišče z ordinatno osjo: ( )0 2f =− ali ( )0, 2N − ................................................................. 1 točka

30 Matematika

b) 7 točk

Graf poteka skozi točki ( )1, 0M − in ( )0, 2N − (presečišči grafa s koordinatnima osema) ................................................................................ 2 točki

Narisani obe asimptoti .................................................................................................................. 1 točka Vsaka veja grafa 1 točka, skupaj .................................................................................................. 2 točki Definicijsko območje: Množica realnih števil razen 1 ali simbolni zapis,

npr.: { }1fD = −R ................................................................................................................. 1 točka Zaloga vrednosti: Množica realnih števil brez 2 ali simbolni zapis,

npr.: { }2fZ = −R ................................................................................................................. 1 točka c) 4 točke Nastavljena enačba, npr.: 2 2 1

1xx

+ =−

......................................................................................... 1 točka

Rešitev enačbe: 3x = − ................................................................................................ (1* + 1) 2 točki Napisano presečišče: ( )3,1P − .................................................................................................... 1 točka

Matematika 31

4. TRANSCENDENTNE FUNKCIJE IN ENAČBE

4.1 Eksponentna in logaritemska funkcija

1) Rešite enačbo: ( ) ( ) ( )log 3 1 log 2 log 2 4x x x+ + − = +

(5 točk) Rešitev in vrednotenje: Zapis: ( )( )[ ] ( )log 3 1 2 log 2 4x x x+ − = +

ali krajše ( )( )3 1 2 2 4x x x+ − = + ....................................................................................... 1 točka Urejena enačba, npr.: 23 7 6 0x x− − = ..................................................................................... 1 točka Rešitvi kvadratne enačbe: 1 2

23, 3

x x= = − ................................................................. (1* + 1) 2 točki

Ugotovitev, da 1 3x = je rešitev, 223

x = − pa ni rešitev prvotne enačbe .................................. 1 točka

2) Rešite enačbi: a) 2 53 27x− = b) ( )21log4

x=

(5 točk) Rešitev in vrednotenje: a) Postopek, npr.: 2 5 33 3x− = ........................................................................................................... 1 točka Nastavitev enačbe, npr.: 2 5 3x − = ........................................................................................... 1 točka Rešitev: 4x = ............................................................................................................................. 1 točka b) Postopek, npr.: 12

4x = ................................................................................................................ 1 točka

Rešitev: 2x = − .......................................................................................................................... 1 točka 3) Dani sta funkciji ( ) 2xf x = in ( ) 6.g x x= − + Narišite grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem.

S slike odčitajte koordinati presečišča. Rešitev preverite z računom. (5 točk)

Rešitev in vrednotenje: Narisan graf eksponentne funkcije ............................................................................................... 2 točki Narisana premica .......................................................................................................................... 1 točka

Določeno presečišče: ( )2, 4P ....................................................................................................... 1 točka Račun, npr.: ( ) 23 2 4f = = in ( )2 2 6 4g = − + = ................................................................... 1 točka

32 Matematika

5. ZAPOREDJA IN OBRESTNO-OBRESTNI RAČUN

1) Ugotovljeno je, da so starosti očeta, matere in sina členi aritmetičnega zaporedja z razliko 4. Sin je star 13 let. Njegova starost predstavlja prvi člen zaporedja, mamina sedmi člen, očetova pa deveti člen zaporedja. Izračunajte, koliko je stara mati in koliko oče.

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Zapis 7 1 6a a d= + ⋅ ali uporaba zapisa ( )1 1na a n d= + − ⋅

in izračunan ( )7 937 ali 45a a= = .......................................................................... (1* + 1) 2 točki Izračunana starost očeta (ali matere) ............................................................................................. 1 točka Odgovor: Mati ima 37, oče pa 45 let. ......................................................................................... 1 točka

2) Dano je aritmetično zaporedje z razliko 3.− Peti člen tega zaporedja je enak sedmini prvega člena.

Izračunajte šesti člen tega zaporedja. (5 točk)

Rešitev in vrednotenje: Upoštevanje zapisa splošnega člena aritmetičnega zaporedja ...................................................... 1 točka Upoštevanje odnosa med 1. in 5. členom, npr.: 1

5 7a

a = ............................................................. 1 točka

Zapis enačbe, npr.: 11 12

7a

a − = ................................................................................................. 1 točka

Rešitev: 1 14a = .......................................................................................................................... 1 točka Izračun: 6 1a = − ......................................................................................................................... 1 točka

3) Leta 1998 sta tovarni A in B izdelali enako število izdelkov, in sicer vsaka 120000. Potem je tovarna A

vsako leto povečala število izdelkov za 10 %, tovarna B pa vsako leto za 12000 izdelkov.

(Skupaj 15 točk)

a) Koliko izdelkov bodo ob takšnem naraščanju proizvodnje izdelali v tovarnah A in B leta 2002?

(5 točk) b) Za koliko odstotkov je bila proizvodnja leta 2001 v tovarni A večja od proizvodnje

v tovarni B ? (6 točk)

c) Koliko izdelkov je izdelala tovarna A od vključno leta 1998 do vključno leta 2001? (4 točke)

Rešitev in vrednotenje: a) 5 točk Nastavitev, npr.: 4

2002 1998 1,1A A= ⋅ ............................................................................................ 2 točki Izračun (ali odgovor) 2002 175692A = ......................................................................................... 1 točka Nastavitev, npr.: 2002 120000 4 12000B = + ⋅ ............................................................................. 1 točka Izračun (ali odgovor) 2002 168000B = ......................................................................................... 1 točka

b) 6 točk Nastavitev in izračun, npr.: 3

2001 120000 1,1 159720A = ⋅ = ........................................ (1* + 1) 2 točki Nastavitev in izračun, npr.: 2001 120000 3 12000 156000B = + ⋅ = ............................................ 1 točka

Nastavitev in izračun iskanega odstotka, npr.: ( )2001

20011, 0238 ...

Ap

B= ...................... (1* + 1) 2 točki

Odgovor: Za približno ( )2 % ali 2, 4 % ali 2, 38 % .................................................................. 1 točka

Matematika 33

c) 4 točke 1. način:

Nastavitev, npr.: 4

1998 2001120000 (1,1 1)

1,1 1A −

⋅ −Σ =

− .................................................. (2* + 1) 3 točke

Rešitev: 1998 2001 556920A −Σ = ............................................................................................... 1 točka 2. način:

Izračunano število izdelkov v posameznih letih, npr.: 120000, 132000, 145200 in 159720 ......................................................................... (2* + 1) 3 točke

Vsota ali odgovor: 556920 .......................................................................................................1 točka 6. STATISTIKA

1) V 3.a razredu imajo dijaki različno dolge poti do šole. Podatki so prikazani na sliki.

Ugotovite število dijakov v razredu in izračunajte njihovo povprečno oddaljenost od šole.

(4 točke) Rešitev in vrednotenje: Število dijakov:20 ........................................................................................................................ 1 točka Povprečna oddaljenost: 3,1 km ..................................................................................... (1* + 2) 3 točke

34 Matematika

6.4 NAVODILA ZA OCENJEVANJE NALOG PISNEGA IZPITA

V teh navodilih želimo dati nekaj napotkov za točkovanje nalog pisnega izpita iz matematike pri poklicni maturi. Gre za splošna navodila, ki niso vezana na posamezno nalogo ali v nalogah zajeto snov, v danem točkovniku pa tudi ni posebnih zahtev v zvezi z nastalim problemom.

Navodila so namenjena ocenjevalcem in kandidatom.

1. Osnovno pravilo Kandidat, ki je prišel po kateri koli pravilni metodi do pravilne rešitve (četudi točkovnik take metode ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki:

• smiselno upošteva besedilo naloge,

• vodi k rešitvi problema,

• je matematično pravilen in popoln.

Osnovno pravilo ne velja pri nalogah, pri katerih je metoda reševanja predpisana, npr. »rešite grafično«. V tem primeru se drugačna metoda šteje za napako oziroma nepopolno rešitev.

2. Pravilnost rezultata in postopka a) Pri nalogah z navodilom »Izračunajte natančno« ali »Rezultat naj bo točen« morajo biti števila

zapisana natančno, torej v analitični obliki, npr. π , e , ln 2 , 3 5 … Natančno morajo biti zapisani tudi vsi vmesni rezultati. Končni rezultati morajo biti primerno poenostavljeni: ulomki in ulomljeni izrazi okrajšani, koreni delno korenjeni, istovrstni členi sešteti …

b) Pri nalogah, ki predpisujejo natančnost (npr. »Izračunajte na dve decimalni mesti«), mora biti končni rezultat naveden s predpisano natančnostjo in ustrezno zaokrožen. Zapis = (je približno) je obvezen. Vmesni rezultati morajo biti računani natančneje (poskusimo računati natančno, če gre), sicer se lahko zgodi, da končni rezultat ni dovolj natančen.

c) Nekatere naloge se dajo reševati računsko in grafično. Ker grafični način ni natančen, ga praviloma ne uporabljamo. Za pravilnega se upošteva le pri nalogah, pri katerih je to izrecno predpisano. Tudi kadar se preprost rezultat da odčitati z grafa, se mora njegova pravilnost potrditi še računsko.

d) Če je besedilo naloge oblikovano kot vprašanje (na koncu je »?«), se zahteva odgovor s celo povedjo.

e) Če je kandidat pri reševanju postopek ali njegov del prečrtal, tega ne točkujemo.

f) Če nastopajo pri podatkih merske enote, npr. cm, kg, SIT …, morajo biti tudi končni rezultati opremljeni z ustreznimi enotami. Uporaba določene enote je obvezna le, če je izrecno zahtevana, sicer pa se uporabi poljubna smiselna enota. Če kandidat pri takšni nalogi enote ne zapiše, ne dobi točke, ki je predvidena za rezultat. Vmesni rezultati so lahko brez enot.

g) Kote v geometrijski nalogi (kot med premicama, kot v trikotniku …) izrazimo praviloma v stopinjah in stotinkah stopinje ali pa v stopinjah in minutah.

Matematika 35

3. Grafi funkcij Če je koordinatni sistem že dan, ga upoštevamo – ne spreminjamo enot in ne premikamo osi. Če rišemo koordinatni sistem sami, obvezno označimo osi in enoto na vsaki osi. Navadno izberemo na obeh oseh enako veliko enoto.

Koordinatni sistem določa meje risanja grafov. Graf mora biti obvezno narisan do konca koordinatnega sistema (če je funkcija do tam definirana).

Ekstremne točke morajo biti upoštevane pri funkcijah sinus in kosinus.

Graf mora ustrezati dani funkciji tudi estetsko: pravilni loki, upoštevanje konveksnosti oziroma konkavnosti grafa, obnašanje v okolici značilnih točk (ničle, poli, presečišča s koordinatnima osema …).

4. Skice Na skici morajo biti označene vse količine, ki v nalogi nastopajo kot podatki, vmesni ali končni rezultati. Pri geometrijskih likih in telesih se je treba držati splošnih dogovorov o označevanju stranic, oglišč in robov. Ta pravila navajajo učbeniki.

Skica mora ustrezati glavnim lastnostim lika ali telesa, ki ga predstavlja. Oznake izračunanih količin se morajo ujemati z oznakami na skici.

5. Konstrukcijske naloge Konstrukcijske naloge se rešujejo s šestilom in ravnilom.

Vedno je treba konstruirati vse (neskladne) rešitve, ki jih določajo podatki. Pri teh nalogah se najprej nariše skica. Oznake na skici se morajo ujemati z oznakami na sliki. Če lega lika ni določena, se lahko konstrukcija začne iz poljubne začetne točke v poljubni smeri, paziti je treba le, da pride celotna konstrukcija na izpitno polo.

Pri zahtevnejši konstrukciji mora biti potek opisan z besedami.

6. Spodrsljaji, napake in grobe napake (navodila za ocenjevalce)

Spodrsljaj je nepravilnost zaradi nezbranosti, npr. pri prepisovanju podatkov ali vmesnih rezultatov.

Napaka je napačen rezultat računske operacije, npr. 3 7 18⋅ = (ne pa 32 6= ), ali nenatančnost pri načrtovanju ali risanju grafov funkcij (npr. strmina črte, ukrivljenost …).

Groba napaka je napaka, nastala zaradi nepoznavanja pravil in zakonov, npr.: 32 6,= 2 3 5 ,3 5 8+ =

( )log log 3 log 3 ,x x+ = + 216 4x x− = − .

Če je naloga vredna n točk, potem upoštevamo naslednje:

a) Pri spodrsljaju ali napaki odštejemo 1 točko.

b) Če je storjena groba napaka na začetku, se naloga ovrednoti z 0 točkami, sicer jo vrednotimo le do grobe napake (če so predvidene delne točke).

c) Pri strukturiranih nalogah upoštevamo zgornji pravili za vsak del posebej.

36 Matematika

6.5 USTNI IZPIT

Vprašanja za ustni izpit pripravijo učitelji na šolah. Oblikujejo tudi izpitne listke s tremi vprašanji. Vprašanja naj bodo z različnih tematskih področij.

Vzorec izpitnega listka: 1. Kaj je ničla (enostavna, večkratna) polinoma?

Naloga: Določite vse ničle polinoma 3 2( ) 4 2 4 2p x x x x= − − + .

2. Kaj je paralelogram? Naštejte lastnosti paralelograma. Katere posebne paralelograme poznate? Kako izračunamo ploščino in obseg paralelograma?

3. Kdaj je zaporedje aritmetično? Zapišite splošni člen aritmetičnega zaporedja in obrazec za vsoto n členov aritmetičnega zaporedja.

Naloga: Četrti člen aritmetičnega zaporedja je 10 , razlika pa je 2− . Izračunajte prvi člen tega zaporedja in zapišite splošni člen tega zaporedja.

Ocenjevanje pri ustnem izpitu Za vsako vprašanje kandidat dobi od 0 do 10 točk.

Pri tem upoštevamo naslednja merila:

• vsebinska pravilnost odgovora,

• uporaba matematičnega jezika,

• utemeljevanje,

• formuliranje ugotovitev,

• komunikacija.

Če je pri vprašanju tudi naloga, kandidat dobi zanjo do 4 točke glede na pravilnost postopka reševanja, pravilnost rešitve, estetski videz grafov, jasnost zapisa, uporabo pravih enot in samostojnost. Preostale točke do 10 pa dobi ob smiselnem upoštevanju zgornjih meril.

Za kandidate v programih, sprejetih po letu 2004, pripravijo učitelji na šolah izpitne listke. Na vsakem izpitnem listku je ena situacija iz stroke kandidatov in vprašanja, ki izhajajo iz te situacije ter zajemajo različno matematično védenje in cilje različnih tematskih sklopov.

Vzorec izpitnega listka: Razdaljo 122 km med Ljubljano in Mariborom smo prevozili v 1 uri in 20 minutah. Na avtu smo imeli pnevmatike z oznako 175/70 R 13 82 S M+S. a) Kolikokrat se je na prevoženi poti zavrtelo vsako od koles avtomobila? Razložite postopek reševanja.

b) Pri hitrosti 80 km/h je odvisnost zavorne poti ( )s od količnika trenja ( )μ dana z enačbo 125,17s μ−= . Kateri od spodnjih grafov prikazuje to odvisnost? Utemeljite izbiro.

Matematika 37

5 1510

5

15

10

20

25

s

μ

10

s

μ–10

–20

20

30

–5 5

0,2 10,4

50

100

s

μ0,6 0,840

150

200

250

350

300

400

450

10 20 30 μ

s

–10–50

–100

–150

–200

50

100

150

200

250

300

c) Na podlagi izbranega grafa opišite lastnosti dane funkcije 1( ) 25,17s μ μ−= (definicijsko območje, zaloga vrednosti, sodost oz. lihost, naraščanje oz. padanje).

Ocenjevanje pri ustnem izpitu: Kandidat dobi skupaj 30 točk, ki jih učitelj razporedi na posamezna vprašanja glede na njihovo zahtevnost in obseg.

Pri tem upoštevamo naslednja merila:

• uporaba ustreznega matematičnega jezika pri komuniciranju,

• povezovanje situacij z matematičnimi pojmi, postopki in strategijami,

• izbira in pravilno izvajanje postopkov,

• raven abstraktnosti in sistematičnosti dijakove obravnave, elementi deduktivnega sklepanja,

• ustrezna uporaba tehnoloških pripomočkov,

• utemeljevanje izbire postopkov, strategij reševanja in pravilnosti rešitve.

38 Matematika

7. PRIPORO^ENI VIRI IN LITERATURA

Pri pripravi na poklicno maturo kandidati uporabljajo učbenike in učna sredstva, ki jih je potrdil Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje. Potrjeni učbeniki in učna sredstva so zbrani v Katalogu učbenikov za srednjo šolo, ki je objavljen na spletni strani Zavoda Republike Slovenije za šolstvo www.zrss.si.