Matematika PeminatanXI MIA 2

Nama Kelompok :1. Andhea Alfikha2. Danif Fauzi Ramadhan3. Medina Nurul Fajri4. Rama Yulianda Sunan5. Rhany Trie Hastuti6. Silki Anisa Hidayat

Teorema Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 a

bf

Contoh soal :Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !Bukti :f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

Bukti :f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)Terbukti

• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)Terbukti

Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1

Jawab:(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

Cara lain untuk menunjukan(x + 1) adalah faktor darix3 + 4x2 + 2x – 1 adalah denganpembagian horner: 1 4 2 -1 koefisien

-1 1

-13

-3-1

10 P(-1) = 0

berarti (x + 1)faktornyaartinya dikali (-1)

Suku banyak+

Salah satu penggunaan teoremafaktor adalah mencari akar-akarsebuah persamaan sukubanyak,

karena ada hubungan antarafaktor dengan akar-akarpersamaan sukubanyak

Akar-akar persamaan Suku banyak

Jika P(x) adalah sukubanyak;(x – k) merupakan faktor dari

P(x)jika dan hanya jika k akar dari

persamaan P(k) = 0

k disebut akar atau nilai noldari persamaan sukubanyak:

P(x) = 0

Teorema Akar-akar RasionalJika P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao

dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka

n

0

a daribulat

a daribulat

faktor

faktork

Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satuakar dari x3 – 7x + 6. Kemudiantentukan akar-akar yang lain.

Jawab:Untuk menunjukan -3 akar dariP(x), cukup kita tunjukan bahwaP(-3) = 0

P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6

= -27 + 21 + 6 = 0Oleh karena P(-3) = 0,maka -3 adalah akar dariPersamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

Untuk menentukan

akar-akar yang lain,

kita tentukan terlebih dahulu

hasil bagi

P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3

dengan pembagian Horner

sebagai berikut

P(x) = x3 – 7x + 6berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6k = -3

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 =(x – 1)(x – 2)

+1

-3 -3

9 2

-6 0

Koefisien hasil bagi

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2

= (x – 1)(x – 2)

sehingga persamaan sukubanyak

tsb dapat ditulis menjadi

(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.

Jadi akar-akar yang lain

adalah x = 1 dan x = 2

Jumlah dan Hasil Kali

Akar-akar

Persamaan Sukubanyak

Jika akar-akarPersamaan Sukubanyak:

ax3 + bx2 + cx + d = 0

adalah x1, x2, dan x3 maka

x1 + x2 + x3 =

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

x1.x2.x3 =

a

b

a

c

a

d

Contoh 1:

Jumlah akar-akar persamaan

x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….

Jawab:

a = 1, b = -3, c = 0, d = 2

x1 + x2 + x3 =

=

a

b

1

3- = 3

Contoh 2:

Hasilkali akar-akar persamaan

2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….

Jawab:

a = 2, b = -1, c = 5, d = -8

x1.x2.x3 =

=a

d

2

8- = 4

Contoh 3:

Salah satu akar persamaan

x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2

Jumlah akar-akar persamaan

tersebut adalah….

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3

Persamaan tersebut:

x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0

Jumlah akar-akarnya:

x1 + x2 + x3 =

=

a

b

1

3 = -3

Jawab:

-2 adalah akar persamaan

x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2

memenuhi persamaan tsb.

sehingga:

(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0

-8 + 4p + 6 – 10 = 0

Contoh 4:

Akar-akar persamaan

x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,

dan x3. Nilai x12 + x2

2 + x32 =….

Jawab:

x12 + x2

2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2

- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

x3 – 4x2 + x – 4 = 0

x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

x1 + x2 + x3 = 4x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1

Jadi:

x12 + x2

2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2

- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)

= 42 – 2.1

= 16 – 2

= 14

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari Suku BanyakJika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x

– a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an

Contoh soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8) Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Contoh soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

2 – 14– 5 8

x = – 22

– 4 +– 9

184

– 80 f(-2)

Sehingga :f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Contoh soal :Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

2 – 14– 5 8

x = – 22

– 4 +– 9

184

– 80 f(-2)

Sehingga :

f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)