MATEMATIKA S STATISTIKO

UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM

LABORATORIJSKA BIOMEDICINA

1. LETNIK

ŠTEVILA IN FUNKCIJE

1. Računanje s približki

2. Realna števila

3. Funkcije

4. Limite

5. Zvezne funkcije

Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni?

V enem molu snovi je natanko 602300000000000000000000 molekul?

Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so približne.

6.02300decimalna mesta

pravilna mesta

Število decimalnih mest je odvisno od zapisa:

203.55=2.0355x102=2035.5x10-1

število pravilnih mest pa je vedno enako.

Približne količine

Pomemben dogovor:

v zapisu obdržimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x1023 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna.

Vsaka količina je rezultat zaokrožanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokrožamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor.

PRIMER

1.08462 = 1.085 zaokroženo na tri decimalke

= 1.08 zaokroženo na dve decimalki

Zato N0=6.0230x1023 pomeni

6.02295x1023 ≤ N0 < 6.02305x1023, oziroma (6.0230 ± 0.00005)x1023

medtem ko N0=6.023x1023 pomeni

6.0225x1023 ≤ N0 < 6.0235x1023 oziroma (6.023 ± 0.0005)x1023

Računanje s približnimi količinami

praktična pravila:

(1.2846+21.72) / 13.14=? kalkulator: 1.750730594

Katere decimalke je smiselno obdržati?

•natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov

•pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev

(npr. 1.2846+21.72=23.00 in ne 23.0046)

•pri množenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev

(npr. 23.0046/13.14=1.751 in ne 1.75 ali 1.750730594)

PRIMERI

S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z 12.21 cm3 raztopine HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl 0.0942 mol/dm3.

c = (12.21 x 0.0942)/25.00 = 0.04600728

Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = 0.0460 mol/dm3

Koliko železa nastane, če se pri redukcijski reakciji

Fe2O3 + 3 CO 2 Fe + 3 CO2

porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55.85 g/mol, CO 28.01 g/mol)

m = 503/28.01 x 2/3 x 55.85 = 668.634412

Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno.

m = 669 g

(12.215 x 0.09425)/24.995=0.046059761(12.205 x 0.09415)/25.005=0.045954839

Realna številaRealna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila.

Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine.

Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na približkih.

Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...) so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroževanja (npr. √2 x√3 =√6).

Če na premici označimo enotsko dolžino, lahko točke premice enačimo z množico realnih števil ℝ.

0 1

(pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)

Angleška 1. liga 2005-2006Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg

FUNKCIJE

7,04359,3717

7,13349,5616

7,22339,7615

7,32329,9814

7,423110,2013

7,533010,4312

7,642910,6711

7,752810,9210

7,862711,199

7,992611,478

8,112511,767

8,252412,066

8,382312,375

8,532212,704

8,682113,053

8,842013,402

9,011913,771

9,181814,160

Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Premier League Final table

Chelsea 95

Arsenal 83

Manchester United 77

Everton 61

Liverpool 58

Bolton Wanderers 58

Middlesbrough 55

Mancester City 52

Tottenham Hotspur 52

Aston Villa 47

Charlton Athletic 46

Birmingham City 45

Fulham 44

Newcastle United 44

Blackburn Rovers 42

Portsmouth 39

West Bromwich Albion 34

Crystal Palace 33

Norwich City 33

Southampton 32

x je argument,

f(x) je funkcijska vrednost.

f: x ↦ f(x)

))((: xfgxfg

Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g.

Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Arsenal

Aston Villa

Birmingham City

Blackburn Rovers

Bolton Wanderers

Charlton Athletic

Chelsea

Crystal Palace

Everton

Fulham

Liverpool

Mancester City

Manchester United

Middlesbrough

Newcastle United

Norwich City

Portsmouth

Southampton

Tottenham Hotspur

West Bromwich Albion

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Grafična predstavitev funkcije

Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

Podajanje s formulo

53)( xxf linearna funkcija

2

2gts pot pri prostem padcu

razdalja točke do izhodišča

22),( vuvud

))()()((4

1cbacbacbacbaS Herenova formula

nxx

x n 1 povprečna vrednost

Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.

Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

Graf AAf ,:

Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A.

xx

xl

1

1)(

1

1

Graf funkcije dveh spremenljivk

PVT-diagram idealnega plina

Plinska enačba

2,: AAf Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y, f (x,y)) za (x,y)∈A.

VnRT

P

PVT-diagram realne snovi

(odsekoma definirana funkcija)

V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnosti od časa t ?

PRIMERI

t

hA

t

hB

t

hC

t

hD

Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.

Značilnosti grafa odražajo naravo funkcijske zveze.

Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v?

v

EA

v

EB

v

EC

v

ED

Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.

Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p?

p

VB

p

VD

p

VA

p

VC

Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

t

yA

t

yC

t

yB

t

yD

Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja.

Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja:

moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena.

Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode?

Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.

t

TB

t

TC

t

TA

t

TD

prazna posodaposoda z vodo

Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri?

t

A

t

B

t

C

t

D

Definicijsko območje in zaloga vrednosti

xx

xf

1

1)(

Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

1

1

)1,1[fD

),0[ fZ

Naraščanje in padanje funkcije

Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.

naraščajoča padajoča

Lokalno naraščanje in padanje funkcije

pri b je funkcija naraščajoča

pri a je funkcija padajoča

a b

Globalni ekstremi

(globalni) minimum

(globalni) maksimum

Lokalni ekstremi

lokalni minimum

lokalni maksimum

ravnovesne lege so tipični primeri

lokalnih ekstremov

Konveksnost in konkavnost

Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.

konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa

konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa

konveksna

konkavna

Prevoji

Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.

Asimptote

npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira

npr. dušeno nihanje

Vodoravna asimptota

Linearna asimptota

Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida

Periodičnost in simetrija

soda

liha

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

Predstavitev značilnosti funkcije na grafu

Elementarne funkcije

Kotne in ločne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in logaritmske funkcije

17)( 23 xxxp

1

53)(

3

2

xxxx

xQ

5 2

3 2 11)(

xxx

xxxA

xx eexf 2)( 2

)1ln()( 2xxxg

)cos(3)12sin()( 2 xxxu

xx

xv

1

1arcsin)( )1arctg()( 2xxw

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.

Osnovne funkcije:

potence nxn ,

koreni nxn ,

eksponentna ex

logaritemska ln

x

sinus sin x

arkus sinus arcsin x

arkus tangens arctg x

Polinomi povsod definirani

polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov

trend je določen z najvišjo potenco

vsote sodih potenc so soda funkcija,

vsote lihih potenc pa liha funkcija222 xxy

73 23 xxy 1343 34 xxxy

Racionalne funkcije definirane povsod, razen v ničlah

imenovalca

ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli

če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

1

123

xx

y

1x

0y

1x 1x

3xy

1

732

23

x

xxy

Algebrajske funkcije koreni lihe stopnje so definirani

povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente

koren je bližje številu 1 kot njegov argument

asimptote dobimo z limitami...

1

732

23

x

xxy

33 1

12

xx

y

1

Eksponentna funkcija f(x)=ex

povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel)

za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča

xey xx

ey

11

Logaritemska funkcija f(x)=ln x definirana za pozitivne argumente

zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1

pol pri x=0, zelo počasi narašča

xy ln

)43ln( 2 xxy

1x 4x

1

Kotne funkcije sin(x), cos(x) povsod definirane, zaloga vrednosti

je interval [-1,1]

periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija

sin(x) ima ničle pri x=kπ, cos(x) ima ničle pri x=π/2+kπ

cos(x)=sin(π/2-x), sin2x+cos2x=1

xy sin

xy cos

2

2

1

-1

sinusno nihanje: A sin(ω x+d)

A: amplituda, ω: frekvenca, d: fazni premik (zakasnitev)

xsin

x3sin

2sin

x

xy sin

)1sin( xy

)22

sin( x

y

Funkcija tangens tg(x) definirana povsod, razen za

x=π/2+kπ, zaloga vrednosti so vsa realna števila

periodična, liha

ničle pri x=kπ, poli pri x=π/2+kπ tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

2

2

je bijektivna.

]1,1[]2

,2

[:sin

]2

,2

[]1,1[:sinsinarc 1

Obratna funkcija je

2

2

1 1

2

2

1

1

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)

arc sin(x) ‘arkus sinus’ inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)

definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]

1

1

-1

xx

y

1

1arcsin

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)

f(x)= arc tg(x) ‘ arkus tangens’

inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x)

definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-p/2,p/2)

asimptoti y=-p/2, y=p/2

Zožitev

je bijektivna.

R )2

,2

(:tg

je strogo naraščajoča, imavodoravni asimptoti y=±π/2

)2

,2

(:tgarctg 1 R

Obratna funkcija

-1 1

2

)arctg( 21 xy

Število L je limita funkcije f pri točki a če velja naslednje:

za vsako pozitivno število ε obstaja interval I okoli točke a, da

je | f(x)-L|<ε za vse x iz I.

LIMITE in ZVEZNOST

f(x) Lax

limPišemo .

Število L je limita funkcije f v neskončnosti, če velja

naslednje:

za vsako pozitivno število ε obstaja število n,

da je | f(x)-L|<ε za vse x>n. f(x)Lx

limPišemo .

Računska pravila za limite

2211 limlim LfLf ,

2121 )lim LLff (

2121 )lim LLff (

2121 )lim LLffA

(

2

1

2

1limLL

ff

(če je L2≠0)

Pravila smemo uporabiti le kadar limite obstajajo!

PRIMERI

y=f(x)

L

)(lim xfLx

L je limita funkcije f, ko x narašča čez vse meje

a

l

d

y=f(x)

)(lim xfdax

d je limita funkcije f, ko x pada proti a

)(lim xflax

l je limita funkcije f, ko x narašča proti a

Funkcija f je zvezna v točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.

)()(lim)(lim afxf xfax ax

a

y=f(x)

Računanje limit

če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti

za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a

z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)

11

0

x

ex

xlim

)(lim xfax

10

x

xx

)sin(lim

(eksponentne in logaritemske) (kotne in ciklometrične)

)(

)(lim

1

221

xx

xx))((

))((lim

11

2121

xxx

xxx)(

)(lim

1

233

2

1

x

xxx 3

1

xxxxxx )())(( 111

xxx

1limxx

xxx

1

1)(lim

xxx

1

1lim 0

Primeri

x y ln

11 xx

x

lnlim

10

yy e

ylim 1

xy 3

xx

x

30

tglim x

xxx 3

310 cos

sinlim y

yyy cos

sinlim

30

3

Asimptote

Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x), če je 0

)()(lim lkxxfx

kxxfl xxf

k xx

)(lim)(

lim

Primer 554 2 xxxf )(

255

4554554

22

22

xxx

xxx

xxk

xxxlimlimlim

4

5

255

4

55

2554

55

2554

45542554

2

2

2

222

xx

x

xxx

x

xxx

xxxxxxl

xx

xx

limlim

)(limlim

asimptota je: 4

52 xy

554 2 xxy

4

52 xy

ZVEZNE FUNKCIJE

Funkcija f je zvezna, če je za vsak a, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a.

Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.

Grafi zveznih funkcij

Grafa nezveznih funkcij

Lastnosti zveznih funkcij

1) Vse elementarne funkcije so zvezne.

Osnovne funkcije

xxxxe

xxxfkonstxfx

n

arctg,arcsin,sin,ln,

,,)(.,)(

so zvezne.

Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija.

Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.

2) Zvezna funkcija na intervalu [a,b] zavzame vse vmesne vrednosti med f(a) in f(b).

a b

f(a)

f(b) Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike.

Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine.

Če je bila jutranja temperatura 6oC, opoldanska pa 15oC, potem je tisto jutro bilo tudi 10oC.

Če je etanol pri 40oC tekoč, pri 80oC pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre.

3 6

Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij

55 23 xxxf )(

4.5

5.25

4.85

4.67

4.76

4.80

Ničla je ≈ 4.78

PRIMER

Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno.

y=xy=e-x

y=x-e-x

Prevedemo na: x-e-x=0

Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x

f(0)=-1, f(0)=1-1/e≈0.63, torej ima f ničlo na intervalu [0,1]f(0.5)=-0.106, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,1]

f(0.75)=0.277, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.75]

f(0.62)=0.082, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.62](ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0.625))

f(0.56)=-0.011, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.62]f(0.59)=0.035, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.59]

f(0.57)=0.004, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.57]

Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0.56,0.57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za približno rešitev vzamemo x=0.56 .(natančnejša rešitev je x = 0.5671432986 – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov)

3) Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum in maksimum.

a b

R],[: baf

min

max

a

R),(: af

Na intervalu, ki ni zaprt se lahko zgodi, da funkcija ne zavzame ekstremov.