Embed Size (px)
Citation preview
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • pratybų sąsiuvinis – kuriems vadovėlio užduotys per sunkios• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• mobili interaktyvi kompiuterinė (miko) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas.Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti
leidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-039-1
DEM
O
Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 11 klas÷. Bendrasis kursas“ kūr÷:
Nijol÷ Drazdauskien÷, Rolandas Jakštys, Zita Manstavičien÷, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Miroslav Šeibak, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Valdas Vanagas, Aldona Žalien÷, Elmundas Žalys. Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius. 11 klas÷.
Bendrasis kursas“ PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:
Rūta Biekšien÷, Laimut÷ Gečait÷, Kornelija Intien÷, Kazimieras Pulmonas, Daiva Riukien÷, Regina Rudalevičien÷, Vytautas Silvanavičius, Žydrūn÷ Stundžien÷, Vladas Vitkus.
Technologijos © TEV, 2008–2014
DEM
O
3
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pagrindiniai skyreliai
1. Skaičiai, veikSmai, reiškiniai1.1. skaičių aibės 12 1.2. skaičių aibių sąjunga ir sankirta. skaičių aibės poaibiai 14 1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai 161.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais 181.5. Šaknys 201.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys 221.7. Logaritmai 241.8. Logaritmų savybės 261.9. Skaitiniai reiškiniai 281.10. Raidiniai reiškiniai 30
2. sinUsai, kOsinUsai, TangenTai2.1. Posūkių kampai 442.2. Posūkio kampo sinusas 462.3. Posūkio kampo kosinusas 482.4. Posūkio kampo tangentas 502.5. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė 522.6. dar viena trikampio ploto formulė 542.7. sinusų teorema 562.8. Kosinusų teorema 582.9. Įbrėžtiniai kampai 60
3. FUnkCiJOs3.1. Tiesinės funkcijos 743.2. Laipsninės funkcijos 763.3. Šaknies funkcijos 783.4. Rodiklinės funkcijos 803.5. Logaritminės funkcijos 823.6. sinuso funkcija 843.7. Kosinuso funkcija 863.8. Tangento funkcija 88
4. lygTys4.1. Lygtys su trečiaisiais laipsniais 1024.2. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis 1044.3. Rodiklinės lygtys 1064.4. Logaritminės lygtys 1084.5. Lygtys su moduliais 1104.6. Sprendžiame sudėtingesnes lygtis 1124.7. Lygtys su sinusais 1144.8. Lygtys su kosinusais 1164.9. Lygtys su tangentais 118
5. lygČiŲ sisTeMOs5.1. Lygtys su dviem nežinomaisiais 1325.2. Dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos 1345.3. Sprendžiame tekstinius uždavinius 1365.4. Sprendžiame geometrijos uždavinius 138
DEM
O
4
Vadovėlis parengtas pagal 2011 02 21 patvirtintas vidurinio ugdymo bendrąsias programas. Jis skirtas pasirinkusiems bendrąjį matematikos kursą.
Vadovėlyje yra 5 skyriai. Visų skyrių struktūra yra vienoda. Peržvelkime ją, kaip pavyzdį imdami pirmąjį skyrių.
tauMatematika
Apie vadovėlį
Kairiajame puslapyje yra uždaviniai, skirti anksčiau spręstiems uždaviniams pakartoti ir nagrinėtai teorijai prisiminti. Primiršti faktai ir pavyzdžiai pateikiami banguotomis linijomis apvestose srityse.
Kairiuosiuose puslapiuose yra teorija. Ji pateikiama užduotimis, kurias turėtų atlikti patys mokiniai. Užduotis įveikti padės banguotomis linijomis įrėmintose srityse esantys pavyzdžiai, nurodymai ir samprotavimai. Tai, kas yra svarbiausia, surašyta lentoje.
Dešinėje yra su kairiųjų puslapių teorija susiję uždaviniai. Greta uždavinių sąlygų kai kur rasite išspręstų uždavinių pavyzdžių. Jei uždavinys išskaidytas į a), b), c), ... punktus, tai jie pradedami lengviausiu ir baigiami sunkiausiu. Jei uždavinyje yra 1), 2), ... užduotys, tai jas rekomenduojame atlikti iš eilės.
• Toliau yra pagrindiniai atverstiniai
Pagrindiniai atverstiniai yra privalomi visiems mokiniams, nebent mokytojai dėl vienų ar kitų priežasčių nuspręstų kitaip...
• Po pagrindinių yra stipresniems mokiniams skirti atverstiniai
Čia pateikiama pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos santrauka. Greta teorijos (apibrėžimo, savybės, teoremos ar formulės) už brūkšnio yra ją iliustruojantys pavyzdžiai. Kai kurių skyrių atverstiniuose ,,Apibendriname“ teorijos ir pavyzdžių rasite daugiau negu jų buvo pagrindiniuose atverstiniuose. Žinoma, ta papildoma teorija, kaip ir šis atverstinis, nėra privaloma visiems.
Šis atverstinis skirtas mokiniams, kuriems pagrindiniuose atverstiniuose uždavinių buvo per mažai arba jie buvo per lengvi. Ko gero, mokiniai, sėkmingai įveikę šio atverstinio uždavinius, galės drąsiai bandyti laikyti valstybinį matematikos egzaminą. Paskutinis šio atverstinio uždavinys pažymėtas ženkleliu . Tai gali būti galvosūkis, netradicinis ar šiaip sunkesnis uždavinys.
• Skyrius prasideda turinio atverstiniu
Dešiniojo puslapio viršuje yra skyriaus turinys.Kas skyriuje yra svarbiausia, galima suprasti iš pagrindinių atverstinių pavadinimų (jie yra sunumeruoti) ir puslapio apačioje esančio skyriaus įvado.
Skaičiai, veiksmai, reiškiniaiKartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje 1skyrius
1.1. Uždaviniai1.1. Skaičių aibės 1skyrius1
skyrius
ApibendrinameApibendriname 1skyrius
1skyrius
SprendžiameSprendžiame 1skyrius
1skyrius
DEM
O
5
Čia pateikiami pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos teiginių įrodymai. Kartais čia rasite papildomos medžiagos, kuri nebuvo nagrinėta pagrindiniuose atverstiniuose, bet su jais yra susijusi. Kitaip sakant, atverstinis „Besidomintiems“ skirtas smalsesniems.
Vadovėlio komplektą sudaro:
• vadovėlis; • pratybų sąsiuvinis; • savarankiškų ir kontrolinių darbų rinkiniai; • kompiuterinės priemonės.
Apie vadovėlį
Šis atverstinis pravers ne tik pasitikrinimui, bet ir rengiantis kontroliniam darbui.
Prieš pradėdami nagrinėti pirmąjį skyrių, susipažinkite su 6–9 puslapiuose pateiktu įvadu.
Puslapis uždavinių, susijusių su pagrindinėje mokykloje nagrinėta kuria nors geometrijos tema. Čia taip pat primenama svarbiausia tos temos teorija.
Puslapis uždavinių, susijusių su pagrindinėje mokykloje nagrinėta algebros, tikimybių teorijos ar kita kuria nors tema. Žinoma, vėl primenama tos temos teorija.
• Skyriaus pabaigoje yra visiems mokiniams skirti uždavinių atverstiniai
Šiuos uždavinius ypač rekomenduojame spręsti tiems, kurie planuoja laikyti valstybinį egzaminą.
Puslapis testinių uždavinių, susijusių su pagrindiniais atverstiniais. Sprendžiant testinius uždavinius nereikalaujama nurodyti sprendimų, pakanka pasirinkti vienintelį teisingą atsakymą iš pateiktų penkių.
Puslapis uždavinių, skirtų mokiniams pasitikrinti, o mokytojams – patikrinti, kaip pavyko pasiekti pagrindinius skyriuje keliamus tikslus. Galima sakyti, kad tai yra svarbiausi skyriaus uždaviniai. Jų atsakymus rasite vadovėlio pabaigoje.
BesidomintiemsBesidomintiems 1skyrius
1skyrius
Laipsnių savybių įrodymai Šaknų savybių įrodymai
Tiesės ir kampai Procentai
Įvairūs uždaviniaiGeometrijos uždaviniai 1skyrius
1skyrius
PasitikrinameTestas 1skyrius
1skyrius
Vadovėlio komplektas turėtų tapti geru pagalbininku pasirinkusiems bendrąjį matematikos kursą. Sėkmės!
DEM
O
6
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Skaičių ir veiksmų įvairovė
Skaičiai ir veiksmai
Ankstesnėse klasėse susipažinome su įvairiais skaičiais:• sveikaisiais;• trupmeniniais;• iracionaliaisiais.
Su skaičiais mokėmės atlikti įvairius veiksmus:• sudėti ir atimti;• dauginti ir dalyti;• kelti laipsniu ir traukti šaknį.
1 užduotis. Pasvarstykite, kokius simbolius vartojame rašydami skaičius ir kaip žymime veiksmus.
XI ir XII klasėse tęsime pažintį su skaičiais ir jų veiksmais.
Kokios yra matematikos ištakos? Kokie skaičiai ir veiksmai atsirado pirmiausia? Kaip plėtėsi skaičiausir veiksmų samprata?
DEM
O
7
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Skaičių ir veiksmų įvairovė
Sudėtis ir atimtis. Sveikieji skaičiai
Galima sakyti, kad pažintis su matematika prasideda nuo natūraliųjų skaičių ir sudėties veiksmo.
N N N
. . .
Iš natūraliųjų skaičių sudėties kilo atimtis, o iš atimties –– neigiamieji skaičiai ir skaičius nulis.
2 užduotis.
1) Iš lygybės 2 + 3 = 5 išreikškite dėmenį 2. Kokį veiksmą atliksite?
2) Raskite lygties sprendinį.a) x + 3 = 5; b) x + 5 = 3; c) x + 3 = 3.Kokiu veiksmu naudodamiesi gavote lygčių sprendinius? Ar visi gautieji sprendiniai yra natūraliejiskaičiai?
3) Kokias reikšmes gali įgyti skirtumas b − a, kai a, b ∈ N?
Kartais sakoma, kad sudėtis ir atimtis yra vienas kitam atvirkštiniai veiksmai. Ar teisingai atimta, galimapatikrinti sudedant. Beje, atimtį galima keisti sudėtimi su atėminiui priešingu skaičiumi.
.
DEM
O
8
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Skaičių ir veiksmų įvairovė
Daugyba ir dalyba. Racionalieji skaičiai
Daugyba atsirado kaip trumpesnis vienodų dėmenų sudėties užrašas:
a + a + · · · + a︸ ︷︷ ︸
n dėmenų
= a · n.
N N N
Kaip iš sudėties kilo atimtis, taip iš daugybos –– dalyba.Kaip atimant atsirado neigiamieji skaičiai ir skaičius nulis, taip dalijant –– trupmeniniai skaičiai.
3 užduotis.
1) Iš lygybės 2 · 3 = 6 išreikškite dauginamąjį 2. Kokį veiksmą atliksite?
2) Raskite lygties sprendinį.a) 2 · x = 6; b) 2 · x = 3; c) 6 · x = 2.Kokiu veiksmu naudodamiesi gavote lygčių sprendinius? Ar visi gautieji sprendiniai yra sveikiejiskaičiai?
3) Kokias reikšmes gali įgyti dalmuo b : a, kai a, b ∈ N?
Kartais sakoma, kad daugyba ir dalyba yra vienas kitam atvirkštiniai veiksmai. Ar teisingai padalyta,galima patikrinti dauginant. Beje, dalybą galima keisti daugyba su dalikliui atvirkštiniu skaičiumi.
DEM
O
9
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Skaičių ir veiksmų įvairovė
Laipsnis ir šaknis. Realieji skaičiai
Laipsnis atsirado kaip trumpesnis vienodų dauginamųjų sandaugos užrašas:
a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
= an.
N N
Kaip iš sudėties kilo atimtis, o iš daugybos –– dalyba, taip iš laipsnio kilo šaknis.
4 užduotis.
1) Iš lygybės 32 = 9 išreikškite laipsnio pagrindą 3. Kokį veiksmą naudojote?
2) Raskite lygties sprendinius. a) x2 = 9; b) x2 = 8; c) x3 = 8; d) x3 = 9.Kokiais veiksmais naudodamiesi gavote lygčių sprendinius? Ar visi gautieji sprendiniai yra racionaliejiskaičiai?
3) Kokias reikšmes gali įgyti šaknys√
a ir 3√a, kai a ∈ N?
Laipsnis ir logaritmas. Dar daugiau iracionaliųjų skaičių
Iš lygybės, pavyzdžiui, 23 = 8, išreikšdami laipsnio pagrindą 2, rašome ženklą √ (šaknis): 2 = 3√8.O iš lygybės 23 = 8 išreikšdami laipsnio rodiklį 3, vartojame santrumpą „log“ (logaritmas): 3 = log2 8.
5 užduotis.
1) Vartodami logaritmą, iš lygybės 32 = 9 išreikškite laipsnio rodiklį.2) Vartodami logaritmą, raskite lygties sprendinį. a) 3x = 9; b) 2x = 8; c) 3x = 10; d) 2x = 9.
DEM
O
10
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje
1. Iš skaičių 7; 0; −10;√
2; 83 ; −2,4; π ; −√
99 išrinkite ir surašykite:a) natūraliuosius skaičius; b) sveikuosius skaičius; c) iracionaliuosius skaičius;d) neigiamuosius racionaliuosius skaičius; e) didžiausią skaičių; f) mažiausią skaičių.
2. Raskite skaičių sumą, skirtumą, sandaugą ir dalmenį.a) 5 ir −4; b) 1
2 ir 34 ; c) −1,2 ir 0,8; d) 2 1
2 ir −323; e) −2
7 ir 0,3; f) −113 ir −2,5.
3. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę.a) −56 : 8 + (−1); b) −4 + 3 · (−2)− 2; c) −3 · (5 + 2 − (−9)
)
; d) 4 − (−2 − 3) · (−4)− 1 · 0.
4. Duotas reiškinys f (x) = 3x2 + 4x + 1.1) Apskaičiuokite reiškinio reikšmę, kai x = 0; x = −10; x = 10.
2) Apskaičiuokite kintamojo x reikšmes, su kuriomis reiškinio reikšmė lygi 1; 0; −1.
fi fi
5. Apskaičiuokite.a) 23; (−2)3; −23; 2−3; (−2)−3; −2−3; b) 24; (−2)4; −24; 2−4; (−2)−4; −2−4;
c) (−1)4; (−1)5; −14; −15; (−1)−4; (−1)−5; −1−4; d) 03; 04; 20; (−2)0; −20.
6. Raskite skaičius, kuriuos pakėlę antruoju laipsniu gauname:a) 4; b) 1
4 ; c) 1; d) 0; e) 25; f) 425 ; g) 61
4 ; h) −4.
7. Raskite skaičių, kurį pakėlę trečiuoju laipsniu gauname:a) 27; b) 1
27 ; c) 1; d) 0; e) 8; f) 827 ; g) 33
8 ; h) −27; i) − 64125 ; j) −1.
8. Raskite kvadratinės šaknies reikšmę.
a)√
9; b)√
19 ; c)
√1; d)
√0; e)
√36; f)
√100; g)
√0,01; h)
√
425 ; i)
√
214 .
DEM
O
11
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.1. skaičių aibės 12 1.2. skaičių aibių sąjunga ir sankirta. skaičių aibės poaibiai 14 1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai 161.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais 181.5. Šaknys 201.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys 221.7. Logaritmai 241.8. Logaritmų savybės 261.9. Skaitiniai reiškiniai 281.10. Raidiniai reiškiniai 30
Apibendriname 32Sprendžiame 34 Besidomintiems 36
Laipsnių, šaknų ir logaritmų savybių įrodymaiGeometrijos uždaviniai. Tiesės ir kampai 38Įvairūs uždaviniai. Procentai 39Testas 40Pasitikriname 41 Kartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje 42
Skaičiai, veiksmai, reiškiniai 1skyrius
Natūralieji
skaičiai
Sveikieji skaičiai
Racionalieji skaičiai
Iracionalieji
skaičiai
a b
DEM
O
12
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.1. Skaičių aibės
1 užduotis. Iš skaičių
−3; −√3; −1
23; 0; √
2; π; 3,2; 4; 13
išrinkite ir surašykite:a) natūraliuosius skaičius; b) sveikuosius skaičius; c) racionaliuosius skaičius;d) iracionaliuosius skaičius; e) realiuosius skaičius.
., , , ,
2 užduotis.
1) Užrašykite du skaičius, priklausančius:a) natūraliųjų skaičių aibei N; b) sveikųjų skaičių aibei Z; c) racionaliųjų skaičių aibei Q;d) iracionaliųjų skaičių aibei I; e) realiųjų skaičių aibei R.
2) Užrašykite du skaičius, nepriklausančius:a) natūraliųjų skaičių aibei; b) iracionaliųjų skaičių aibei.
3 užduotis.
1) Užrašykite keletą lyginių skaičių.2) Lyginių skaičių aibę A nusakykite:
a) žodžiais; b) surašydami jos elementus; c) vaizduodami jos skaičius skaičių tiesėje; d) reiškiniu.
B0–1–2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
DEM
O
13
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.1. Uždaviniai
9. Duoti skaičiai: −4; 16; 0; −7; 112 ; −3,2.
1) Kurie šių skaičių priklauso:a) teigiamųjų skaičių aibei C? b) neigiamųjų skaičių aibei D?
2) Kuris šių skaičių nepriklauso nei aibei C, nei aibei D?Atsakymus užrašykite vartodami žymenis ∈ ir �∈.
10. Žodžiais nusakytą aibę užrašykite nurodydami jos elementus.a) Teigiamieji sveikieji skaičiai, mažesni už 6.b) Neigiamieji sveikieji skaičiai, ne mažesni už −6.c) Lyginiai skaičiai, didesni už 20, bet mažesni už 30.d) Nelyginiai skaičiai, ne didesni už 15.
11. Kiek elementų turi aibė? Nurodykite (jei įmanoma) jų mažiausiąjį ir didžiausiąjį.a) A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}; b) B = (0; 10];c) C = {Lygties x2 = −4 sprendiniai}; d) D = {n2, n ∈ N}.
12. Raskite lygties sprendinių aibę.a) x − 2 = 0; b) 3x + 12 = 12; c) −x + 9 = −1; d) 4x = 5x − 1;
e) x2 = 0; f) x2 = 9; g) x2 = −2; h) x2 = 5;
i) x2 + x = 0; j) 5x2 + 10x = 0; k) −7x2 + x = 0; l) −3x2 − 9x = 0;
m) x2 − 2x + 1 = 0; n) x2 − 2x − 3 = 0; o) x2 − 2x + 3 = 0; p) x2 + x − 1 = 0;
r)√
x = 3; s)√
x = −3; t) x2+2xx−1 = 0; u) x2−2x
x−2 = 0.
13. Sugalvokite lygtį, kurios sprendinių aibė būtų: a) {2}; b) {−3}; c) {−2; 2}; d) {0; 3}; e) ∅.14. Raskite nelygybės sprendinių aibę (intervalą) ir pavaizduokite ją skaičių tiesėje.
a) x − 2 < 0; b) 2x � 6; c) −x − 12 � 0; d) −5x + 11 > 2; e) −x3 + 1 � 2
3 .15. Raskite dvigubosios nelygybės sprendinių aibę ir pavaizduokite ją skaičių tiesėje.
a) 3 < x � 8; b) −4 � 2x � 10; c) −1 � x + 2 < 2; d) −6 < −2x + 4 < 6.16. Sugalvokite nelygybę, kurios sprendinių aibė būtų: a) [2; +∞); b) (−∞; 3); c) ∅.17. Užrašykite skaičiaus daliklių aibę D, nurodydami jos elementus, ir kartotinių aibę K reiškiniu.
a) 12; b) 18; c) 23; d) 31.
18. Kam lygi tikimybė, kad atsitiktinai paimtas aibės:a) A = {1; 2; 3; 4; 5} elementas bus lyginis skaičius?b) B = {−5; −4; −3; 0; 1; 2} elementas bus neneigiamas skaičius?c) C = {
2; √2; 3; √
3; 0,5; 12}
elementas bus racionalusis skaičius?
DEM
O
14
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.2. Skaičių aibių sąjunga ir sankirta.Skaičių aibės poaibiai
Užduotis. Nagrinėkime dvi skaičių aibes: A = {1; 2; 3; 4; 5} ir B = {4; 5; 6; 7}.1) Iš aibių A ir B visų elementų sudarykite aibę C.
2) Iš aibių A ir B visų bendrųjų elementų sudarykite aibę D.
3) Iš aibės A kurių nors elementų sudarykite aibę E.
:
4) Raskite: a) E ∪ B; b) E ∩ B; c) E ∪ D; d) E ∩ D; e) E ∪ C; f) E ∩ C.5) Ar aibė D yra poaibis aibės: a) A? b) B? c) C? d) E?
A AA
B BB
DEM
O
15
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.2. Uždaviniai
19. Raskite aibių A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ir B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}:a) sąjungą A ∪ B; b) sankirtą A ∩ B.
20. Užrašykite kokias nors aibes A ir B, jei jų:a) sankirta A ∩ B = {2; 3}; b) sankirta A ∩ B = ∅;c) sąjunga A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}; d) sąjunga A ∪ B = {−5; 0; 5};e) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {4};f) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {3; 6};g) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {3; 4; 5}.
21. Raskite aibių (intervalų) A ir B sąjungą ir sankirtą, jei:a) A = [−1; 2], B = [0; 3); b) A = [−5; 5), B = (−10; 0]; c) A = [−10; 10], B = (0; 4);d) A = (−7; 13], B = (0; +∞); e) A = (−∞; 0], B = [0; 5); f) A = (−∞;+∞), B = [−1; 1);g) A = [−5; −1), B = (1; 5]; h) A = (−2; −1), B = [−1; 2); i) A = (−10; 3
2]
, B = (
2,5; √10
)
.
X–2 1 3 6
22. Skaičių tiesėse pažymėti du intervalai. Šiuos intervalus pažymėkite vienoje skaičių tiesėje ir raskitejų sąjungą ir sankirtą. Atsakymus užrašykite intervalais.
3
–1
3–32X
XX
XX
XX
X0 –1
2
1
a)
c)
b)
d)
–2
23. Skaičių tiesėje pažymėkite sistemos abiejų nelygybių sprendinius. Užrašykite intervalu nelygybiųsistemos sprendinių aibę.
a){
x − 2 < 3,2x + 3 > 7; b)
{−4x < 12,3x � 3; c)
{
2x � −10,
−34x < 0; d)
{ 5x � 2x + 18,1 − x � −5; e)
{
0,5x > 112 ,
−2,1x − 1 > −11,5.
4
X2
24. Užrašykite kokią nors dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju x sistemą, kurios sprendiniai būtųaibė:a) [−5; 2]; b) (0; 3); c) (−2; 4]; d) {5}; e) ∅.
25. Raskite dvigubosios nelygybės sprendinių aibę. Nurodykite jos poaibį, kurį sudaro šios aibės visinatūralieji skaičiai.a) −3 < x − 2 < 5; b) −3 � 2x < 7; c) −10 < 2x − 2 � 0; d) 5 < −2x + 4 < 10.
26. Paaiškinkite, kodėl išvardyti teiginiai yra teisingi.1) Natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibės poaibis: N ⊂ Z.2) Sveikųjų skaičių aibė yra racionaliųjų skaičių aibės poaibis: Z ⊂ Q.3) Racionaliųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių aibės poaibis: Q ⊂ R.4) Iracionaliųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių aibės poaibis: I ⊂ R.5) Iracionaliųjų ir racionaliųjų skaičių aibių sąjunga yra realiųjų skaičių aibė: I ∪ Q = R.6) Iracionaliųjų ir racionaliųjų skaičių aibių sankirta yra tuščia aibė: I ∩ Q = ∅.
DEM
O
16
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai
1 užduotis.
1) Iš trupmeninių skaičių 134 ; −5
6 ; −3,(2); 74 ; 2,3; −34
7; −32 ; 6,02; 2,(3); 3
5 išrinkite ir surašykite:a) dešimtaines trupmenas; b) paprastąsias trupmenas; c) mišriuosius skaičius.
2) Kurios išrinktosios dešimtainės trupmenos yra: a) baigtinės? b) begalinės?
3) Kurios išrinktosios paprastosios trupmenos yra: a) taisyklingosios? b) netaisyklingosios?
2 užduotis. Stačiakampis padalytas į lygias dalis. Kuri stačiakampio dalis nuspalvinta? Atsakymąparašykite paprastąja trupmena; dešimtaine trupmena; procentais.
c)
b)a)
d)
DEM
O
17
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.3. Uždaviniai
27. Kiekvieną iš skaičių 3; 10; −7; 1; 0 užrašykite:a) dešimtaine trupmena; b) paprastąja trupmena, kurios vardiklis būtų lygus 1; 2; 5.
28. Paprastąją trupmeną užrašykite jai lygia dešimtaine trupmena.a) 1
2 ; b) −34 ; c) −6
5 ; d) 83 ; e) −5
6 ; f) −412 ; g) 7
10 ; h) 12100 ; i) −29
10 ; j) −13310 000 .
29. Netaisyklingąją trupmeną užrašykite jai lygiu mišriuoju skaičiumi.a) 5
3 ; b) 87 ; c) 21
4 ; d) −113 ; e) −7
2 ; f) −3013 ; g) −15
2 ; h) −233 ; i) −77
10 .
30. Mišrųjį skaičių užrašykite jam lygia netaisyklingąja trupmena.a) 21
3 ; b) 534 ; c) 10 1
6; d) 1578; e) −14
5; f) −235; g) −20 3
4; h) −1689.
31. Baigtinę dešimtainę trupmeną užrašykite jai lygia paprastąja trupmena.a) 0,5; b) 1,2; c) 5,13; d) 20,15; e) −3,1; f) −10,4; g) −15,25; h) −100,02.
32. Kiek procentų atitinka nurodyta skaičiaus dalis?a) 0,04; b) 0,37; c) 2,01; d) 0,058; e) 7
100 ; f) 310 ; g) 11
25 ; h) 94 .
33. Procentais nurodytą skaičiaus dalį užrašykite dešimtaine ir paprastąja trupmenomis.a) 9 %; b) 30 %; c) 75 %; d) 107 %; e) 300 %; f) 0,5 %; g) 20,3 %.
34. Dabar yra devinta valanda vakaro.a) Kuri paros dalis liko? b) Kuri paros dalis praėjo?Atsakymus užrašykite paprastąja trupmena; dešimtaine trupmena; procentais.
35. Atlikite veiksmus (be skaičiuotuvo) su paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais.a) 1
2 + 72 ; b) −3
5 + 45 ; c) −2
7 + (−57)
; d) 310 + (− 3
10)
;
e) 12 − 7
2 ; f) −35 − 4
5 ; g) −27 − (−5
7)
; h) 310 − (− 3
10)
;
i) 12 + 7
4 ; j) −35 + 1
3 ; k) −27 − (−7
2)
; l) 310 − (−11
15)
;
m) 2 12 + 3
2 ; n) −235 − 1
3 ; o) −527 − (−33
4)
; p) 110 − (−12
5)
;
r) 35 · (−1
3)
; s) −27 · (−14
3)
; t) −45 : 24
15 ; u) 23 : 5
7 ;
v) 235 · (−11
2)
; z) −10 34 :
(−2 12)
; q) −34 : 11
3; w) 514 · 4
7 .
36. Atlikite veiksmus (be skaičiuotuvo) su dešimtainėmis trupmenomis.a) 0,5 + 2,23; b) −2,1 + 1,3; c) −7,05 + (−2,95); d) 2,34 + (−3,4);e) 0,5 − 2,23; f) −2,1 − 1,3; g) −7,05 − (−2,95); h) 2,34 − (−3,7);i) 0,5 · 2,23; j) −2,1 · 1,3; k) −7,05 · (−2,95); l) 2,34 · (−3,5);m) 0,5 : 2,23; n) −2,1 : 1,3; o) −7,05 : (−2,95); p) 2,34 : (−0,6).
DEM
O
18
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais
1 užduotis. Apskaičiuokite laipsnio su natūraliuoju rodikliu reikšmę.a) 23; b) 34; c) (−2)3; d) (−3)4.
2 užduotis. Apskaičiuokite laipsnio su neigiamuoju sveikuoju rodikliu reikšmę.a) 2−3; b) 3−4; c) (−2)−3; d) (−3)−4.
6 7
3 užduotis.
1) Perskaitykite aukščiau surašytas laipsnių savybes ir pateikite jas iliustruojančių skaitinių pavyzdžių.2) Remdamiesi laipsnių savybėmis, apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę.
a) 23 · 2−2; b) 23 : 2−2; c)(
23)−2; d) 20 : 24; e) 53 · 23; f) 604 : 204; g) 4−3 · 44 : 4−2.
: 2
: 2
: 2
: 2
: 2
: 2
?Kodėl
!
?
DEM
O
19
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.4. Uždaviniai
37. Apskaičiuokite laipsnių su natūraliaisiais rodikliais reikšmes.a) 52;
(13)4; 0,26;
(
112)2; b) 53;
(13)5; 0,27;
(
112)3;
c) (−6)2;(−1
2)4; (−0,1)6;
(−123)2; d) (−6)3;
(−12)5; (−0,1)7;
(−123)3.
38. Pasakykite, kokie skaičiai turėtų būti parašyti vietoj x, kad lygybės būtų teisingos.a) x3 = 0; x3 = 1; x3 = 8; x3 = −8; x3 = 1
8 ; x3 = − 127 ;
b) x2 = 0; x2 = 4; x2 = 9; x2 = 14 ; x2 = 0,25; x2 = −9;
c) x5 = 0; x5 = 1; x5 = −1; x5 = 32; x5 = 1100 000 ; x5 = −0,00032;
d) x4 = 0; x4 = 1; x4 = 16; x4 = 116 ; x4 = 0,0001; x4 = −1.
39. 1) Apskaičiuokite laipsnių su neigiamais sveikaisiais rodikliais reikšmes.a) 2−2; 4−3; (−2)−4; (−3)−3; b)
(13)−2;
(34)−3;
(−12)−4;
(−23)−3;
c) 0,2−2; 0,1−3; (−1,2)−4; (−2,5)−3; d)(
113)−2;
(
112)−3;
(−112)−4;
(−213)−3.
2) Įrodykite, kad teisinga lygybė(ab
)−n = (ba
)n.
40. Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais reikšmę.a) 25 − 32 · 50; b) −23 − 4−2; c) (−3)3 + 24 : 5−2; d) −40 − (−2)2 · 3−3.
41. Reiškinį užrašykite laipsniu, tada apskaičiuokite jo reikšmę.a) 3−6 · 39; b) (−2)2 · (−2)−3; c) 4−3 : 4−4; d) (−5)−7 : (−5)−5;
e) 0,23 · 103; f)(2
5)−2 · 5−2; g) 184 : 64; h) 24−3 : 8−3;
i)(
2−4)−1; j)(
32)−2; k)(
5−3)2 · 58; l)(
4−3)−2 : 46.
42. Kiekvieną skaičių parašykite laipsniu, kurio pagrindas lygus 10.a) 100; 1000; 10 000; 1 000 000 000;b) 0,1; 0,001; 0,0001; 0,00001; 1
100 000 ; 110 000 000 .
43. Skaičių užrašykite standartine išraiška.a) 500 000; b) 17 000 000; c) 205 000; d) 10 000 000 000;e) 0,00005; f) 0,00203; g) 0,000001; h) 0,00000000012.
44. Atlikite veiksmus su standartinės išraiškos skaičiais. Atsakymą parašykite standartinės išraiškosskaičiumi.a)
(
2 · 105) + (
3 · 105); b)(
7,2 · 10−7) − (
3,9 · 10−7); c)(
4 · 106) − (
5 · 105);
d)(
2 · 1015) · (3 · 10−5); e)(
8 · 10−3) :(
1,6 · 107); f)(
4 · 10−5) :(
8 · 10−7).
DEM
O
20
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.5. Šaknys
1 užduotis.
1) Raskite šaknų reikšmes. Atsakymus pagrįskite.
a)√
4;√
1;√
0;√
0,25;√
916 ; b) 3√8; 3√1; 3√0; 3√−27; 3√0,343; 3
√
−2764 .
2) Užrašykite neneigiamąjį skaičių, kurį pakėlę kvadratu gautumėte:a) 3; b) 8; c) 0,2; d) 1,5; e) 2
3 ; f) 35 .
3) Užrašykite skaičių, kurį pakėlę kubu gautumėte:a) 5; b) 0,3; c) 2
5 ; d) −7; e) −1,2; f) −34 .
2 užduotis.
1) Aukštesnio laipsnio šaknys apibrėžiamos panašiai kaip kvadratinės ir kubinės šaknys. Panagrinėkitelentoje pateiktus lyginio ir nelyginio laipsnių šaknų apibrėžimus.
++
2) Raskite šaknų reikšmes. Atsakymus pagrįskite.
a) 4√16; 4√1; 4√0; 4√0,0625; 4√
1681 ; b) 5√32; 5√1; 5√0; 5√−243; 5√0,03125; 5
√
− 11024 .
3) Užrašykite neneigiamąjį skaičių, kurį pakėlę ketvirtuoju laipsniugautumėte:a) 2; b) 13; c) 2,3; d) 3
7 .4) Užrašykite skaičių, kurį pakėlę penktuoju laipsniu gautumėte:
a) 7; b) −12; c) 3,4; d) −25 .
+
+
3 užduotis. Remdamiesi šaknų savybėmis (žr. apačioje), apskaičiuokite.
a) 4√16 · 81; b) 3√64 : 8; c) 3√√
64; d) 3·2√8; e) 4√
34 · 2; f) 3√
26; g)( 4√3
)8.
DEM
O
21
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.5. Uždaviniai
45. Skaičiuotuvu raskite apytiksles šaknų reikšmes. Atsakymus parašykite 0,01 tikslumu.a)
√5; 3√5; 4√5; 5√5; b)
√10; 3√10; 4√10; 5√10; c)
√200; 3√200; 4√200; 5√200.
46. Apskaičiuokite lyginio laipsnio šaknų reikšmes.
a)√
22;√
(−2)2; b)√
32;√
(−3)2; c)√
42;√
(−4)2;
d) 4√
24; 4√
(−2)4; e) 4√
34; 4√
(−3)4; f) 4√
44; 4√
(−4)4.
47. Apskaičiuokite nelyginio laipsnio šaknų reikšmes.
a) 3√
23; 3√
(−2)3; b) 3√
33; 3√
(−3)3; c) 3√
43; 3√
(−4)3;
d) 5√
25; 5√
(−2)5; e) 5√
35; 5√
(−3)5; f) 5√
45; 5√
(−4)5.
48. Koks skaičius turėtų būti parašytas vietoj x, kad būtų teisinga lygybė:a)
√x = 2?
√x = 3?
√x = 4?
√x = 1?
√x = 0?
√x = −4?
b) 3√x = 2? 3√x = 3? 3√x = 4? 3√x = 1? 3√x = 0? 3√x = −4?c) 4√x = 2? 4√x = 3? 4√x = 4? 4√x = 1? 4√x = 0? 4√x = −4?d) 5√x = 2? 5√x = 3? 5√x = 4? 5√x = 1? 5√x = 0? 5√x = −4?
49. Remdamiesi lygybėmis n√
a · n√
b = n√
a · b ir n√
a : n√
b = n√
a : b, apskaičiuokite:
a)√
2 · √8; b)
√3 · √
12; c)√
45 · √5; d) 3√3 · 3√9; e) 3√4 · 3√2;
f)√
32 :√
2; g)√
10 :√
2,5; h)√
2 :√
8; i) 3√54 : 3√2; j) 3√0,1 : 3√100.
50. Apskaičiuokite:a) stačiakampio, kurio kraštinių ilgiai yra
√10 cm ir
√3,6 cm, plotą;
b) kubo, kurio briaunos ilgis yra 3√7 dm, tūrį;c) stačiakampio gretasienio, kurio briaunų ilgiai yra 3√2 cm, 3√4 cm, 3√8 cm, tūrį.
51. Remdamiesi lygybe a · n√
b = n√
an · n√
b = n√
an · b, įkelkite dauginamąjį po šaknies ženklu.
a) 2√
3; b) 3√
2; c) 10√
2; d) 5√
5; e) 2 3√3; f) 3 3√2; g) 10 3√2; h) 5 3√5;
i) 2 4√3; j) 3 4√2; k) 10 4√2; l) 5 4√5; m) 2 5√3; n) 3 5√2; o) 10 5√2; p) 5 5√5.
52. Remdamiesi lygybėmis n√
k√
a = n·k√a ir n·k√ak = n
√a, apskaičiuokite:
a)√
3√64; b) 3√√
81; c) 6√100; d) 12√81.
53. Su kuriomis x reikšmėmis šaknis turi prasmę?a)
√x + 1; b) 3√
x + 1; c) 4√x − 1; d)
√2x − 6; e) 5√3x.
DEM
O
22
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys
1
1 užduotis.
1) Panagrinėkite lentoje užrašytą lygybę, kaip teigiamojo skaičiaus laipsnį su trupmeniniu racionaliuojurodikliu galima pakeisti jam lygia šaknimi.
2) Panagrinėkite, kaip galima įsitikinti lygybės amn = n
√am teisingumu.
Lygybės amn = n
√am abiejų pusių reiškinius pakelkime n-uoju laipsniu:
(
amn
)n = amn·n = am; (
n√
am)n = am.
Reiškinių amn ir n
√am n-ieji laipsniai yra lygūs (am = am), todėl lygūs ir patys reiškiniai:
amn = n
√am.
3) Įsitikinkite, kad 432 = 8.
2 užduotis. Naudodamiesi lygybe amn = n
√am, užrašykite, kam lygus laipsnis, kurio rodiklis yra:
1) teigiamoji paprastoji trupmena:
a) 1023 , 10
34 , 10
45 ; b) 10
32 , 10
43 , 10
54 ; c) 10
12 , 10
13 , 10
14 ;
2) teigiamoji dešimtainė baigtinė trupmena:a) 20,5; b) 30,8; c) 31,5; d) 21,8; e) 40,75; f) 80,25;
3) neigiamas trupmeninis racionalusis skaičius:
a) 10− 23 ; b) 10− 3
2 ; c) 10− 12 ; d) 2−0,5; e) 3−1,5; f) 4−0,75.
DEM
O
23
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.6. Uždaviniai
54. Laipsnį su trupmeniniu rodikliu užrašykite šaknimi.
a) 512 ; b) 3− 3
4 ; c) a13 ; d) x− 3
4 ; e) 20,5; f) 6−0,8; g) a0,75; h) x−1,5; i) 102 12 ; j) x−1 1
3 .
55. Šaknį užrašykite laipsniu su trupmeniniu rodikliu.a)
√3; b)
√11; c) 3√5; d) 3
√22; e) 4
√23;
f) 4√
4−1; g) 3√
2−5; h) 5√
3−2; i) 4√
5−3.
56. Apskaičiuokite.
a) 3612 ; b) 81
14 ; c) 0,25
12 ; d)
(18) 2
3 ; e) 25− 12 ; f) 27− 1
3 ; g) 0,49− 12 ; h)
( 164
)− 23 .
57. 1) Laipsnį užrašykite laipsniu, kurio pagrindas yra pirminis skaičius, tada apskaičiuokite jo reikšmę.
a) 412 ; b) 64
12 ; c) 27
13 ; d) 8
23 ;
e) 81− 12 ; f) 25− 1
2 ; g) 64− 23 ;
h) 91 12 ; i) 49−2 1
2 ; j) 16−1 14 .
2) Laipsnį, kuris duotas 1) punkte, užrašykite šaknimi, tada apskaičiuokite šaknies reikšmę.
58. Šaknį iš laipsnio užrašykite laipsniu, kurio pagrindas lygus 2.a) 3
√82; b) 4
√323; c) 5
√643; d) 3
√16−2; e) 5
√128−4; f) 6
√512−3.
59. Taikydami laipsnių savybes, apskaičiuokite skaitinio reiškinio su laipsniais reikšmę.
a)(
212)−2; b)
(
2− 13)6; c)
(
4− 23)− 3
4 ; d) 312 · 3
34 ; e) 43,75 · 4−3,25; f) 5
14 · 50,75; g) 3
53 : 3
23 ;
h) 234 : 2
12 ; i) 9
34 : 90,25; j) 2
12 · 32
12 ; k) 3
23 · 9
23 ; l) 32
12 : 2
12 ; m) 56
23 : 7
23 ; n) 30 : (−5)0.
60. Naudodamiesi laipsnių savybėmis, suprastinkite reiškinį.
a)(
x23)1 1
2 ; b)(
a−2,5)−0,4; c) b23 · b
14 ; d) 2
3a− 34 · 3a; e) a− 3
5 : a− 45 ; f)
(
4y− 78)
:(
2y18)
.
61. Koks skaičius turėtų būti parašytas vietoj x, kad būtų teisinga lygybė:
a) x23 = 1? b) x
12 = 4? c) x
13 = 3? d) x0,5 = 2?
DEM
O
24
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.7. Logaritmai
1 užduotis.
1) Iš lygybės 23 = 8 išreikškite laipsnio pagrindą 2.
2) Iš lygybės 23 = 8 išreikškite laipsnio rodiklį 3.
3) Naudodamiesi logaritmo ženklu, iš lygybės išreikškite laipsnio rodiklį.a) 32 = 9; b) 52 = 25; c) 33 = 27; d) 43 = 64; e) 102 = 100; f) 104 = 10 000.
2 užduotis. Perskaitykite logaritmą. Kam lygi jo reikšmė? Atsakymą pagrįskite.a) log3 9; b) log5 25; c) log3 27; d) log4 64; e) log10 100; f) log10 10 000.
3 užduotis. Raskite skaičių x, su kuriuo teisinga lygybė:a) 2x = 8; b) 5x = 25; c) 3x = 27; d) 10x = 100;e) 2x = 7; f) 5x = 20; g) 3x = 15; h) 10x = 9.
DEM
O
25
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.7. Uždaviniai
62. Apskaičiuokite logaritmo reikšmę.a) log4 64; b) log6
136 ; c) log7 7; d) log4 1;
e) log 14
4; f) log 16
36; g) log 23
23 ; h) log0,2 1;
i) log 34
43 ; j) log 2
5
425 ; k) log0,5
116 ; l) log5
3√25.
63. Raskite dešimtainio logaritmo reikšmę.a) lg 1000; b) lg 1; c) lg 10; d) lg 1
10 ; e) lg 1100 ; f) lg 0,001; g) lg 0,0001.
64. Naudodamiesi logaritmo ženklu, užrašykite skaičių, kuriuo pakėlę 5 gauname:a) 25; b) 125; c) 1
5 ; d) 0,125; e)√
5; f) 3√5; g) 6; h) 50; i) 11; j) 0,5; k) 23 .
65. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga.a) 2x = 16; b) 2x = 128; c) 2x = 1; d) 2x = 2; e) 2x = 1
8 ; f) 2x = 132 ;
g) 2x = 10; h) 2x = 100; i) 2x = 9; j) 2x = 13 ; k) 2x = √
2; l) 2x = 3√2.
66. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga.a) log2 x = 3; b) log5 x = 2; c) log7 x = −1;
d) log11 x = −2; e) log16 x = 12 ; f) log8 x = −1
2 ;
g) lg x = 110 ; h) lg x = −2
3 ; i) lg x = 0.
67. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga.a) logx 25 = 2; b) logx 1000 = 3; c) logx 100 = 2;
d) logx 10 = 12 ; e) logx 125 = −3; f) logx 5 = 1.
68. Raskite x reikšmes, su kuriomis logaritmas turi prasmę.a) log5(x + 1); b) log3(2x); c) log2(−5x + 10); d) lg x2; e) logx+1 5; f) log2x 10.
DEM
O
26
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.8. Logaritmų savybės
1 užduotis. Panagrinėkite lentoje užrašytas logaritmų savybes. Šių savybių teisingumu įsitikinkitepavyzdžiais, atlikdami 2–4 užduotis.
2 užduotis. Įsitikinkite, kad sandaugos logaritmas yra lygus dauginamųjų logaritmų sumai.a) log2(16 · 8) = log2 16 + log2 8; b) log3(27 · 3) = log3 27 + log3 3.
3 užduotis. Įsitikinkite, kad dalmens logaritmas yra lygus dalinio ir daliklio logaritmų skirtumui.a) log2(16 : 8) = log2 16 − log2 8; b) log3(27 : 3) = log3 27 − log3 3.
4 užduotis. Įsitikinkite, kad laipsnio logaritmas yra lygus laipsnio rodiklio ir laipsnio pagrindo loga-ritmo sandaugai.a) log2
(
23) = 3 · log2 2; b) log3(
92) = 2 · log3 9.
DEM
O
27
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.8. Uždaviniai
69. Apskaičiuokite taikydami logaritmų savybes:loga(x · y) = loga x + loga y, loga
(xy
) = loga x − loga y, loga
(
xn) = n · loga x.
a) log3(27 · 81); b) log5(25 · 125); c) lg(100 · 1000); d) log 12(16 · 32);
e) log3819 ; f) log4
6416 ; g) lg 1000
10 ; h) log 12
642 ;
i) log3(
272); j) log6(
363); k) lg(
1002); l) log 23
(23)6.
70. Naudodamiesi logaritmų savybe loga x + loga y = loga(x · y), apskaičiuokite logaritmų sumą.a) log4 2 + log4 8; b) log3 2 + log3 4,5; c) log12 4 + log12 3;d) lg 20 + lg 50; e) lg 4 + lg 25; f) lg 0,8 + lg 1,25;
g) log 12
3,2 + log 12
10; h) log 13
2 + log 13
13,5; i) log√3
34 + log√
3 113.
71. Naudodamiesi logaritmų savybe loga x − loga y = loga
(xy
)
, apskaičiuokite logaritmų skirtumą.
a) log3 18 − log3 6; b) log4 2 − log4 8; c) log7 0,25 − log714 ;
d) lg 20 − lg 2; e) lg 3,2 − lg 0,32; f) lg 50 − lg 500;
g) log0,5 2,8 − log0,5 0,7; h) log 13
8 − log 13
24; i) log√2
34 − log√
2 0,75.
72. Apskaičiuokite naudodamiesi logaritmų savybe n · loga x = loga
(
xn)
.
a) 2 log25 5; b) 4 log9 3; c) 6 log8 2; d) 3 log6414 ; e) − log3
19 ; f) −2 log9 3.
73. Apskaičiuokite reiškinio su logaritmais reikšmę.a) log3 9 + 2 log3
13 ; b) 3 log2 4 + 2 log2 2; c) log 1
24 + 3 log 1
2
14 ;
d) log4 256 − 3 log4 16; e) 4 log2 4 − 3 log2 16; f) log 13
81 − 2 log 13
9;
g) 2 log3 2 + log3 5 − log3 60; h) lg 2 − 3 lg 3√3 + lg 150; i) −2 log 23
3 − 3 log 23
13 − log 2
32.
74. Nustatykite, ar lygybė yra teisinga.a) log3
23 + log3 9 = log3 36 − log3 6; b) log 1
25 + log 1
2
310 = log 1
26 − log 1
28;
c) lg 40 − lg 0,5 = lg 16 + lg 5; d) lg 20 − lg 8 = lg 5 + lg 0,5;
e) log12
5 + log 12
110 = log 1
32 − log 1
36; f) log 2
30,5 + log 2
32 = log0,7 0,75 − log0,7
34 .
75. Nustatykite, koks skaičius turėtų būti parašytas vietoj kvadratėlio.a) log7 4 + log7 = log7 36; b) log 1
3+ log 1
35 = log 1
31; c) lg 2
3 + lg = lg 4;
d) log5 16 − log5 = log5 2; e) log 35
− log 35
23 = log 3
59; f) lg 5 − lg = lg 1
2 .
DEM
O
28
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.9. Skaitiniai reiškiniai
1 užduotis. Duotas skaitinis reiškinys, kuriame nėra apskliaustų veiksmų:
5 − 6 : 3√
8 + 23 · log2 8.
1) Kokius veiksmus reikės atlikti, skaičiuojant reiškinio reikšmę?2) Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.
Ieškant skaitinio reiškinio reikšmės, būtina laikytis veiksmų tvarkos!
2 užduotis. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio, kuriame yra apskliaustų veiksmų, reikšmę:
(5 − 6) :( 3√
8 + 2)3 · log2 16.
3 užduotis. Rasa pasirinko skaičių. Tada iš jo ištraukė kubinę šaknį. Prie gautojo rezultato ji pridėjoskaičiaus, kuris yra trimis vienetais mažesnis už pasirinktąjį skaičių, kvadratą. Galiausiai gautąjį rezultatąji padalijo iš 9. Kokį skaičių gavo Rasa, jei jos pasirinktas skaičius buvo lygus:a) 8? b) −8? c) 0?Spręsdami šį uždavinį, pirmiausia sudarykite sąlygą atitinkantį skaitinį reiškinį, o tada apskaičiuokite joreikšmę.
DEM
O
29
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.9. Uždaviniai
76. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę.a) 3 − 7 + 4 − 5; b) −2 − 3 + 13 − (−2); c) −2 + (−3) − 4 − (−15);d) 5 · 6 : 2 : 3; e) −10 · (−1) : (−2) · 4; f) 25 : (−5) · 10 : (−2);
g)√
2 + √2 + √
2; h) −√3 − √
3 − √3 − √
3; i)√
5 + √5 − √
5 + 2√
5 − 7√
5;
j)√
2 · √2 · √2 · √
2; k)√
3 :√
3 :√
3 :√
3; l) 3 · 3√3 : 3 · 3√3 : 3 · 3√3.
77. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) 86 : 17,2 · 25
72 ; b) 117,45 : 13,5 − 3,5 · 2,2; c) 81 : 7,5 − 3,8 : 1975 ;
d) lg√
10 · 61 + 0,25− 12 : 3√0,001 − √
49; e) 5 + 5 · √25 − 52 : log5 5 − (1
5)−1;
f) 5 + 4 · log5 25 − 10 :√
100 + 50; g) 0,1 · log5 5 + 3√−1 · 0,1−1 − (−2)3;
h) 12 + 1
3 · 214 :
(−34)−1 − lg 1
10 · 4√0; i) 2 : 35 + 1,8 · (−2
3) −
√
425 · log5 1;
j) −2 · 53 : lg 10 − 50; k) log2√
2 · (−2)2 + 0,25− 12 : 3√0,001.
78. Apskaičiuokite reiškinio su apskliaustais veiksmais reikšmę.a)
(
10 310 − 81
2) · 5
9 ; b) 136 :
(1112 − 5
9) + 12
13 ; c)( 7
18 · 117 + 2
3) · 1
5 ;
d)(
0,26 − 120
) · 347; e)
(
127 + 1 1
21) · (−6
7)
; f) −86 : 17,2 · (2572 − 1
2)
;
g) (2 − 3) : 3√8 + 52 · log2 16; h) 2 − 3 :( 3√8 + 52) · log2 16; i) 2 − (
3 : 3√8 + 52) · log2 16;
j) 5 + 4 · (
log4 16 − 10)
:(√
100 − 30); k)(
log313 − (2
3)3
)
· 3√1 − 12
2 : 2,5;
l) 2√
5 − lg 10 + (12 − 1
)3 ·(
3√64 + (12)−2
)
; m) log2(
4 + √16
) − 2 · (
2 + √9)2.
79. Sudarykite kokį nors skaitinį reiškinį su laipsniais, šaknimis ir logaritmais, kurio reikšmė būtų lygi:a) 10; b) −5; c) 1; d) −1; e) 0.
80. Pirmą dieną turistai nukeliavo 120 km, antrąją –– 34 km mažiau negu pirmąją, o trečiąją –– dvigubaimažiau negu nukeliavo per pirmąsias dvi dienas kartu. Kiek kilometrų iš viso nukeliavo turistai pertris dienas? Sudarykite skaitinį reiškinį ir apskaičiuokite jo reikšmę.
81. Vaza yra stačiakampio gretasienio formos. Vazos aukštis lygus 10 cm, ilgis sudaro 75 % aukščio, oplotis yra 4 cm trumpesnis už ilgį.1) Apskaičiuokite vazos viso išorinio paviršiaus plotą. Atsakymą parašykite kvadratiniais centimet-
rais.
2) Kiek mililitrų vandens telpa į šią vazą (į vazos sienelių storį nekreipkite dėmesio)?
3) Ar į šią vazą telpa ketvirtis litro vandens?
DEM
O
30
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.10. Raidiniai reiškiniai
1 užduotis. Duoti du reiškiniai su vienu kintamuoju a:
(2a + 1)2 ir 4a2 + 4a + 1.
1) Įsitikinkite, kad abiejų reiškinių reikšmės yra lygios, kai: a) a = 3; b) a = −3; c) a = 0.
2) Įrodykite, kad abiejų reiškinių reikšmės yra lygios esant visoms a reikšmėms.
3) Ar reiškiniai yra tapačiai lygūs?
2 užduotis. Suprastinę reiškinį
2a(1 + a)2 − (2a − 3)2 − 2a3,
įsitikinkite, kad jis tapačiai lygus reiškiniui
14a − 9.
DEM
O
31
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.10. Uždaviniai
82. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) x2 − 1, kai x = 0; x = −1; x = 1; x = √
3; x = 0,5; x = −23 ;
b) 2a3 − a2 + 5a − 1, kai a = 0; a = −1; a = 1;c)
√m − 2m, kai m = 0; m = 4; m = 1
25 ; m = 5;
d) y23 + y
12 , kai y = 1; y = 4; y = 8;
e) log3 a − 2a3, kai a = 1; a = 3; a = 13 ; a = 3√3.
83. Sutraukite panašiuosius narius.a) 3x − 5x − 4y + 5y; b) −2x2 + 3x2 + 3y3 − 8y3; c) 10 − a + 2ab + b − ab + 10 − b;d) a2 − 2ab + b2 − 2b2 − ab; e) 2a − 5 + 3a2 − a + b − 3b2 − 7 + 5a2 − 12b + b2 − a + 4.
84. Pavaizduotas stačiakampis ABCD.
A A A
B B BC C C
D D Da + 2
a
a
a
a) b) c)
45∞
30∞
1) Naudodamiesi brėžinio duomenimis, užrašykite:kam lygus stačiakampio perimetras PABCD ir plotas SABCD;kam lygus trikampio ABD perimetras PABD ir plotas SABD .
2) Apskaičiuokite PABCD, SABCD, PABD ir SABD reikšmes, kai:a = 1 cm; a = 0,5 cm; a = 2
3 dm; a = √2 m.
85. Atskliauskite.a) a(a + 3); b) 2x
(
3x − x2)
; c) −a(2a + b); d) −2y(
2 − 3y2)
; e) −4t(−2t2 − t
)
;f) (a − 1)(a + 2); g) (a + b)(b − 3); h) (x − y)(5 − y); i) (−a − b)(−5 − a).
86. Įrodykite greitosios daugybos formules.a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; b) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2; c) (a − b)(a + b) = a2 − b2;d) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; e) (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
87. Suprastinkite reiškinį.a) (a + b)2 − (a − b)2; b) 3a(a − 2) − 4
(
a2 − 1,5a)
; c) 4x(x − y) + (x + 2y)2 − 6x2.
88. Išskaidykite dauginamaisiais, pritaikę greitosios daugybos formules.a) x2 − y2; b) 4a2 − 25; c) −9x2 + 16y2; d) 4
9a2 − 1625b2;
e) a2 + 4ab + 4b2; f) 4x2 − 28x + 49; g) 9a2 + 24ab + 16b2; h) −25 − 20a − 4a2.
89. Nustatykite, ar reiškiniai yra tapačiai lygūs.a) (a − b)2 ir (b − a)2; b) (a − b)2 ir −(a + b)2; c) (−a − b)2 ir (a + b)2;d) (a + b)2 − (a − b)2 ir 4ab; e) (a + b)2 + (a − b)2 ir 2
(
a2 + b2).
DEM
O
32
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Apibendriname
AibėsAibė –– tam tikrą savybę tenkinančių objektų rinki-nys.Aibės elementai –– aibę sudarantys objektai.Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis, o jos ele-mentai –– mažosiomis (jie rašomi riestiniuose skliaus-tuose).Tuščioji aibė neturi nė vieno elemento.Tuščioji aibė žymima ∅.
Skaičiaus 6 daliklių aibė:D = {1; 2; 3; 6}.Skaičiaus 6 kartotinių, mažesnių už 20, aibė:K = {6; 12; 18}.(Natūraliojo skaičiaus daliklių ir kartotinių aibessudaro natūralieji skaičiai.)
Aibių A ir B sąjunga –– aibė, sudaryta iš visų A irB elementų. Rašoma: A ∪ B.Aibių A ir B sankirta –– aibė, sudaryta iš visų bend-rųjų A ir B elementų. Rašoma: A ∩ B.Jei aibės A visi elementai yra ir aibės B elementai,tai A yra B poaibis. Rašoma: A ⊂ B.Aibės A poaibiu laikoma ir pati aibė A, ir tuščiojiaibė ∅.
D ∪ K = {1; 2; 3; 6; 12; 18}.
D ∩ K = {6}.
{2; 6} ⊂ D, {2; 6} �⊂ K .A ⊂ A, ∅ ⊂ A.
Aibės ir jų veiksmai kartais yra vaizduojamos diag-ramomis, pavyzdžiui,
A B –– A ir B turi bendrų elementų.
Skaičių aibėsObjektų kiekis nurodomas natūraliaisiais skaičiais.Sveikieji skaičiai –– natūralieji skaičiai, jiems prie-šingi skaičiai ir nulis.Dydžio lygių dalių kiekis nurodomas trupmeniniaisskaičiais m
n , m ∈ Z, n ∈ N.Trupmena m
n , m ∈ Z, n ∈ N, vadinama paprastąjatrùpmena. Paprastąją trupmeną galima užrašyti jailygia dešimtaine trupmena:• arba baigtinè;• arba begalinè periòdine.
N = {1; 2; 3; ...}.Z = N ∪ −N ∪ {0} =
= {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}.
T = {mn , m ∈ Z, n ∈ N, n > 1, m
n /∈ Z,m ir n neturi bendrų daliklių
}
.
25 = 0,4; −11
8 = −118 = −1,375.
23 = 0,(6); −11
7 = −117 = −1,(571428).
Racionalieji skaičiai –– sveikieji skaičiai ir jiemsnelygios nesuprastinamos paprastosios trupmenos.Bet kurį racionalųjį skaičių galima užrašyti papras-tąja trupmena m
n , m ∈ Z, n ∈ N.Ne visus dydžius galima nurodyti racionaliaisiaisskaičiais. Prisireikia skaičių, kurių negalima užra-šyti paprastąja trupmena m
n , m ∈ Z, n ∈ N. Jievadinami iracionaliaisiais skaičiais.Iracionalųjį skaičių rašant dešimtaine trupmena, gau-nama begalinė neperiòdinė dešimtainė trùpmena.Realieji skaičiai –– racionalieji skaičiai ir iraciona-lieji skaičiai.
Q = Z ∪ T = {mn , m ∈ Z, n ∈ N
}
.
2,4 = 2 410 = 24
10 = 125 .
I = {
a �= mn , m ∈ Z, n ∈ N
}
.√2 = 1,414213... ,
π = 3,1415... ,log3 10 = 2,1... ,5
34 = 3,343701... .
R = Q ∪ I.
Skaičių aibė gali būti nusakyta:• žodžiais;• surašant jos skaičius ar skaičių intervalus;• vaizduojant jos skaičius skaičių tiesėje;• reiškiniu, kurio reikšmės yra tos aibės skaičiai.
Skaičiaus 3 kartotinių aibė K:• K = {Natūralieji skaičiai, kurie dalijasi iš 3};• K = {3; 6; 9; ...};•
0 3 6 9 12 15 K
• K = {3n, n ∈ N}.
DEM
O
33
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Apibendriname
Veiksmai su skaičiaisSu skaičiais atliekami matematiniai veiksmai (operacijos):• sudėtis (a + b = c);• atimtis (c − b = a);• daugyba (a · b = c);• dalyba (c : b = a);• kėlimas laipsniu (an = b);• šaknies traukimas ( n
√b = a);
• logaritmavimas (loga b = n).
2 + 3 = 5,5 − 3 = 2,2 · 3 = 6,6 : 3 = 2,23 = 8,3√8 = 2,log2 8 = 3.
ŠaknysNelyginio laipsnio 2n + 1 (n ∈ N) šaknis iš skaičiaus a yraskaičius 2n+1√a, kurio (2n + 1)-asis laipsnis yra a:(
2n+1√a)2n+1 = a.
3√5 yra skaičius, kurio 3-iasis laipsnislygus 5, t. y.( 3√5
)3 = 5.
Lyginio laipsnio 2n (n ∈ N) šaknis iš neneigiamojo skaičiausa yra neneigiamasis skaičius 2n
√a, kurio 2n-asis laipsnis ly-
gus a:(
2n√
a)2n = a.
Lyginio laipsnio šaknis iš neigiamojo skaičiaus neturi pras-mės, t. y.: 2n
√a � 0, a � 0.
Jei n√
a = b, tai bn = a.
6√3 yra skaičius, kurio 6-asis laipsnislygus 3, t. y.( 6√3
)6 = 3.
4√10 > 0.3√8 = 2, nes 23 = 8;
4√16 = 2, nes 24 = 16 ir 2 > 0.
Laipsniai
an =n dauginamųjų︷ ︸︸ ︷
a · a · . . . · a , kai n ∈ N;a1 = a;a−n = 1
an , kai n ∈ N, a �= 0;a0 = 1, kai a �= 0;a
mn , kai a > 0, m ∈ Z, n ∈ N, n > 1, yra skaičius, kurio
n-asis laipsnis lygus am.a
mn = n
√am, kai a > 0, m ∈ Z, n ∈ N, n > 1.
43 = 4 · 4 · 4 = 64,41 = 4,4−3 = 1
43 = 164 , 4−1 = 1
4 ,40 = 1,
423 = 3
√42 = 3√16.
LogaritmaiTeigiamojo skaičiaus b logaritmas pagrindu a (a > 0, a �= 1)yra skaičius loga b, kuriuo pakėlę a gauname b:aloga b = b.Jei loga b = c, tai ac = b.
log2 8 yra skaičius, kuriuo pakėlę 2gauname 8, t. y.2log2 8 = 8.log2 8 = 3, nes 23 = 8.
Laipsnių, šaknų ir logaritmų savybėsan · am = an+m, an : am = an
am = an−m,(
an)m = an·m, a
mn = n
√am,
(a · b)m = am · bm,(ab
)m = am
bm .
n√
a · b = n√
a · n√
b, n
√
ab = n
√a
n√
b,
an√
b = n√
anb, n√
k√
a = n·k√a,n√
ak = (n√
a)k , n·k√
ak = n√
a.
loga(x · y) = loga x + loga y,
loga
(xy
) = loga x − loga y,
loga
(
xk) = k · loga x; čia x, y > 0.
23 · 24 = 27, 23 : 24 = 2−1,(
23)4 = 212, 234 = 4
√23,
(2 · 5)3 = 23 · 53,(2
5)3 = 23
53 .
3√2 · 8 = 3√2 · 3√8,√
49 =
√4√9
,
2 3√4 = 3√
23 · 4 = 3√32, 3√√
8 = 6√8,3√4 = ( 3√2
)2, 10√32 = 10√
25 = √2.
log2(16 · 4) = log2 16 + log2 4,
log2164 = log2 16 − log2 4,
log2 9 = log2(
32) = 2 · log2 3.
DEM
O
34
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Sprendžiame
90. 1) Raskite lygties 36x − x2 = 0 sprendinių aibę A.2) Raskite nelygybės
√25 < x �
√64 sprendinių aibę B.
3) Raskite aibių A ir B sąjungą C.4) Raskite aibių A ir B sankirtą D.5) Parašykite kurį nors aibės C poaibį E.
91. Medininkuose yra buvę 7 klasės mokiniai, o Trãkuose –– 18. Ir Medininkuose, ir Trãkuose pabu-vojo 2 iš jų.a) Kiek mažiausiai mokinių mokosi šioje klasėje?b) Kiek klasėje yra mokinių, jeigu dar 3 klasės mokiniai nėra buvę nei Medininkuose, nei Trãkuose?
92. 17 klasės vienuoliktokų domisi krepšiniu, 11 –– futbolu, o 7 –– ir krepšiniu, ir futbolu. Dar 4 šiosklasės vienuoliktokai abejingi šioms sporto šakoms.a) Kiek klasėje yra vienuoliktokų?b) Kiek vienuoliktokų domisi tik krepšiniu? tik futbolu?
93. Nubraižykite du skirtingų spindulių skritulius taip, kad jų sankirta būtų:a) vienas taškas; b) tuščia aibė; c) mažesnysis iš skritulių.
94. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.
a) 2,5 · 113 · (−3) + 5,3 :
(− 110
)
; b) 14 − 7 · (
3 − 2,1 : (−7)) − 22
3 · 112;
c)(
1214 − 0,4 · 1
4)
:(−31
2 + 5 · 0,4)
; d) −32 :
(−32) + (3
2 − 32 · 3
2)
.
95. Kurios šių šaknų neturi prasmės?3√−27;
√−25; 5√−32; 4√−1; 6√0; 3√7;√
3.
96. Apskaičiuokite reiškinio su šaknimis reikšmę.
a) 3√64 + 5√32; b) 5√−32 + 4√81; c)√
(−4)2 −√
(−7)4; d)√
(−3)6 − 3√
(−3)9;
e) 3√2 · 3√4 − 5√
(−2)5; f) 3√√
8 − 4√84√2
; g)√
2 4√32 + 3√−8 · 8√2; h)( 4√125√
5
)8 + 3√
23 ·
√
3√
214 .
97. Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais reikšmę.a) 32 + (1
4)−1; b) 0,30 − 0,1−4; c) 0,5−2 + (1
3)−1; d) 2−3 − (−2)−4;
e) 23 · (14)−2; f) −0,50 :
(23)2; g) −43 · 8−2; h) (−9)2 :
(−13)−1;
i) 3−4 · 36; j) (−0,3)5 : (−0,3)3; k)(
52)−2 · 53; l)(1
2)−2 :
((1
2)2
)−3;
m) 0,25−2 · 2−2; n)(5
2)−9 : 2,5−9; o)
(57)9 · 1,49; p) 0,23 :
( 125
)3;
r) 24
2−5·26 ; s) 3−10·316
(−3)2 ; t) 5−5·520
59 ; u)(
23)5·
(
2−6)2
(
22)2 .
98. Apskaičiuokite.
a) 4 · 12513 ; b) 4 · 16
14 ; c) −2 · 8− 1
3 ; d) −24 · 64− 12 ;
e) (81 · 16)14 ; f) (27 · 8)
13 ; g)
( 1125 · 1
64)− 1
3 ; h)(
0,01 · 149
)− 12 ;
i) 912 ·8 1
3
3612
; j) 823 ·27
23
1614
; k) 4− 12 ·27− 1
3(
18
)− 13
; l) 12523
(23
)0·(
14
)− 12
.
99. Duoti laipsniai: 2723 ir
( 181
) 12 . Užrašykite laipsniu, kurio pagrindas būtų lygus 3, šių laipsnių:
a) sandaugą; b) dalmenį.
100. Duoti laipsniai: 22012 ir 22011. Užrašykite laipsniu, kurio pagrindas būtų lygus 2, šių laipsnių:a) skirtumą; b) sandaugą; c) dalmenį.
DEM
O
35
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Sprendžiame
101. Duoti skaičiai:a = 104,5 : 10−2,5; b = 27 · 57; c = 1 · 107; d = 1
107 ; e = 10−1,5
10−8,5 .Kurie jų yra lygūs?
102. Suprastinkite reiškinį.a) 1,5ab−3 · 6a−2b; b) 3,2x−1y−5 · 5
8xy; c) 34(
m−1)2n4 · 8m3n−2;
d) 3a23 b
12 · 2
3a13 b1 1
2 ; e) 2,5x25 y− 3
4 · 4x− 35 y; f) 3
8(
m23)3
n12 · 4m0 · n− 1
2 .
103. Reiškinį užrašykite laipsniu su trupmeniniu rodikliu.
a) 3√a · √a3; b) 7
√a3 · 4√a; c) 3
√
a2 4√a; d) 5√
a3 7√
a5.104. Apskaičiuokite.
a) 2 log2 2 + lg 0,0001 − (
3log3 2)2; b) log√2 1 − log5
(
53) + (lg 100)2 + 10lg 0,5;
c) log5 8 + log5 10 − 4 log5 2; d)(
log0,3 9 − 2 log0,3 10) · (
log0,5 2 + 3 log0,5 1)
;
e) (lg 72 − lg 9) : (lg 28 − lg 7); f)(
2 log12
4 − log 12
32)3 + 3 lg 1 · 2 lg 0,4.
105. Nustatykite, kas turėtų būti parašyta vietoj x,kad lygybė būtų teisinga.a) log3 x = log3 2 + log3 4;b) log0,2 x = log0,2
37 + log0,2 7;
c) log7 x = log7 12 − log7 4;d) log 2
3x = log 2
38 − log 2
3
14 .
fi
106. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) 3 + 3 · √
9 − 32 : log3 3; b) 8 − 2 · 813 + 3 · 3√−8 + 2 · log5
15 ;
c) 6 + (
3 log4116 − 20) · (−2)3; d) −52 −
(
412 − log2 64 :
(13)−1
)
.
107. 1) Figūros kraštinių ilgiai nurodyti paveiksle.Užrašykite reiškiniu šios figūros:a) perimetrą P (x); b) plotą S(x).
2) Apskaičiuokite P (x) ir S(x) reikšmes, kai:a) x = 1 cm; b) x = 3 cm; c) x = 5 dm.
3x
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2
x + 1
x + 1
108. Dviženklio skaičiaus vienetų skaitmuo lygus x, o dešimčių skaitmuo yra 5 vienetais didesnis užvienetų skaitmenį. Užrašykite reiškiniu:a) šį dviženklį skaičių;b) šio dviženklio skaičiaus ir skaičiaus, parašyto tais pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka,
skirtumą.109. Jonas gali nupjauti pievą per x valandų, o Petras –– dviem valandomis greičiau negu Jonas. Užra-
šykite:a) kurią pievos dalį gali nupjauti per vieną valandą Jonas ir kurią –– Petras;b) per kiek laiko nupjautų šią pievą abu vaikinai, dirbdami kartu.
110. Ar lygybė yra tapatybė?a) a4 + a2 + 1 = (
a2 + a + 1)(
a2 − a + 1)
; b) b4 + 4 = (
b2 − 2b + 2)(
b2 + 2b + 2)
.111. Raskite reiškinio apibrėžimo sritį.
a) 1x+1 ; b) 1
x2−9 ; c) 1√x+1
; d) 3√x − 1; e) 2
3√x−1
; f) x√x−1 ; g) log2(x+2); h) lg(3−x).
112. Sandėlyje buvo 300 kg grybų. 99 % šių grybų masės sudarė vanduo. Grybams truputį pradžiūvus,vanduo sudarė 98 % pradžiūvusių grybų masės. Kiek svėrė pradžiūvę grybai?
DEM
O
36
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Besidomintiems
Laipsnių savybių įrodymai
Įrodykime, kad laipsnių su vienodais pagrindais sandauga yra lygi laipsniui, kurio pagrindas tas pats, orodiklis lygus laipsnių rodiklių sumai:
an · am = an+m.
Įrodymas remiasi laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimu. Kadangi:
an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
, am = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
m dauginamųjų
,
tai
an · am = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
· a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
m dauginamųjų
= a · a · . . . · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n+m dauginamųjų
= an+m.
1 užduotis. Įrodykite, kad laipsnių su vienodais pagrindais dalmuo yra lygus laipsniui, kurio pagrindastas pats, o rodiklis lygus laipsnių rodiklių skirtumui:
an : am = an−m.
Įrodykime, kad laipsnių su vienodais rodikliais sandauga yra lygi laipsniui tuo pačiu rodikliu, o pagrindaslygus laipsnių pagrindų sandaugai:
an · bn = (a · b)n.
Įrodymas remiasi laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimu:
an · bn = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
· b · b · . . . · b︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
= (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b)︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų (a·b)
= (a · b)n.
2 užduotis. Įrodykite, kad laipsnių su vienodais rodikliais dalmuo yra lygus laipsniui tuo pačiurodikliu, o pagrindas lygus laipsnių pagrindų dalmeniui:
an : bn = (a : b)n arbaan
bn=
(a
b
)n.
Įrodykime, kad laipsnį pakėlę laipsniu gauname laipsnį, kurio pagrindas tas pats, o rodiklis lygus laipsniųrodiklių sandaugai:
(
an)m = an·m.
Įrodymas remiasi laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimu:(
an)m = (a · a · . . . · a
︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
)m = (a · a · . . . · a) · (a · a · . . . · a) · . . . · (a · a · . . . · a)︸ ︷︷ ︸
m dauginamųjų (a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n dauginamųjų
)
= an·m.
DEM
O
37
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Besidomintiems
Šaknų savybių įrodymai
Įrodykime, kad n-ojo laipsnio šaknis iš sandaugos yra lygi n-ojo laipsnio šaknų iš dauginamųjų sandaugai:
n√
a · b = n√
a · n√
b.
Reiškinių n√
a · b ir n√
a · n√
b n-ieji laipsniai yra lygūs, todėl lygūs ir patys reiškiniai. Iš tikrųjų:(
n√
a · b)n = a · b; (
n√
a · n√
b)n = (
n√
a)n · (
n√
b)n = a · b.
3 užduotis. Įrodykite, kad n-ojo laipsnio šaknis iš dalmens yra lygi n-ojo laipsnio šaknų iš dalinio irdaliklio dalmeniui:
n√
a : b = n√
a : n√
b arba n
√
a
b=
n√
an√
b.
Įrodykime, kad dauginamąjį įkeldami po šaknies ženklu tą dauginamąjį keliame šaknies laipsniu:
a · n√
b = n√
an · b.
Iš tikrųjų:
a · n√
b = n√
an · n√
b = n√
an · b.
4 užduotis. Remdamiesi lygybėmis n√
a = a1n , a
mn = n
√am, įrodykite šias šaknų savybes:
n
√
k√
a = n·k√a; n√
ak = (n√
a)k; n·k√
ak = n√
a.
Logaritmų savybių įrodymai
Įrodykime, kad sandaugos logaritmas lygus dauginamųjų logaritmų sumai:
loga(x · y) = loga x + loga y.
1) Įsitikinkime, kad laipsniai
aloga(x·y) ir aloga x+loga y
yra lygūs:
aloga(x·y) = x · y; aloga x+loga y = aloga x · aloga y = x · y.
Vadinasi, aloga(x·y) = aloga x+loga y .2) Laipsniai aloga(x·y) ir aloga x+loga y yra lygūs ir jų pagrindai (a) taip pat lygūs, todėl lygūs ir šių
laipsnių rodikliai, t. y.
loga(x · y) = loga x + loga y.
5 užduotis. Įrodykite šias logaritmų savybes:
loga(x : y) = loga
(x
y
)
= loga x − loga y; loga
(
xn) = n · loga x.
DEM
O
38
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Geometrijos uždaviniai
Tiesės ir kampai
113. 1) Nubrėžkite tiesę a ir šalia jos pažymėkite tašką B.2) Per tašką B nubrėžkite tiesę b taip, kad:
a) tiesės a ir b būtų lygiagrečios; b) tiesė b kirstų tiesę a; c) tiesės a ir b būtų statmenos.3) Išmatavę užrašykite, koks atstumas milimetrais yra:
a) nuo taško B iki tiesės a; b) tarp lygiagrečių tiesių a ir b.4) Išmatavę užrašykite, koks yra kampo tarp susikertančių tiesių a ir b dydis.
114. Susikirtus dviem tiesėms, susidarė keturi kampai. Jie pažymėti skaitmenimis.
b
a
12
34
1) Surašykite kampus, gretutinius kampui 1.2) Surašykite kryžminių kampų poras.3) Apskaičiuokite ∠2, ∠3, ∠4, jei ∠1 = 40◦.
12
12
34
115. Tiesės AB ir CD kertasi taške O. Apskaičiuokite kampo tarpkampų AOC ir COB pusiaukampinių dydį.
A
C B
DO
?
116. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, c –– kirstinė, ∠1 = 82◦. Apskaičiuokite ∠2, ∠3, ∠4.
a
b
c
2 1
3 4
a
b
c
21
34
117. Dvi lygiagrečias tieses a ir b kerta tiesė c.Apskaičiuokite ∠1, ∠2, ∠3 ir ∠4, jei ∠1 + ∠2 + ∠3 = 260◦. a
b
c
21
34
118. Remdamiesi brėžinio duomenimis (a ‖ b), apskaičiuokite tri-kampio ABC kampų dydžius. a
b
A
B C
c d
120∞
45∞
119. Dvi lygiagrečias tieses a ir b kerta kitos dvi lygiagrečios tiesės c
ir d . Apskaičiuokite kampų ABC, BCD ir ADC dydžius, kai∠BAD = 38◦.
a
b
A
B C
c d
38∞D
DEM
O
39
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Įvairūs uždaviniai
Procentai
120. Agnė su Tadu nuėjo į parduotuvę. Kiekvienas jų turėjo po 100 litų.1) Kiek litų parduotuvėje išleido Tadas, jei jis išleido 20 % savo turėtų pinigų?2) Kiek procentų savo turėtų pinigų parduotuvėje išleido Agnė, jei ji išleido 35 litus?3) Keliais litais ir keliais procentais daugiau pinigų išleido Agnė negu Tadas?4) Keliais litais ir keliais procentais mažiau pinigų išleido Tadas negu Agnė?
121. Prekė kainavo x litų.1) Kiek kainuoja prekė dabar, jei ji pabrango 50 %?2) Kiek kainavo prekė iki pabrangimo, jei sudėję jos naująją ir sanąją kainas gauname 180 litų?
122. Prekė kainavo y litų.1) Kiek kainuoja prekė dabar, jei ji atpigo 20 %?2) Kiek kainuoja prekė dabar, jei jos senosios ir dabartinės kainų skirtumas lygus 15 Lt 60 ct?
123. Prekė kainavo 1000 Lt. Kiek kainuoja prekė dabar, jei jos kaina keitėsi taip:a) iš pradžių padidėjo 50 %, o tada sumažėjo 50 %?b) iš pradžių sumažėjo 60 %, o tada padidėjo 60 %?c) iš pradžių padidėjo 40 %, o tada vėl padidėjo 40 %?d) iš pradžių sumažėjo 10 %, o tada sumažėjo 20 %?
124. Miestelio gyventojų skaičius pastaruosius dvejus metus iš eilės didėjo po 20 % kasmet.a) Kiek miestelyje gyvena žmonių dabar, jei prieš dvejus metus jų buvo 2600?b) Kiek miestelyje gyveno žmonių prieš dvejus metus, jei dabar jų gyvena 8640?
125. Automobilio vertė kasmet sumažėja 10 %, palyginti su jo verte metų pradžioje.a) Kiek kainuoja automobilis dabar, jei prieš dvejus metus jis kainavo 40 000 Lt?b) Kiek kainavo automobilis prieš trejus metus, jei dabar jo kaina lygi 72 900 Lt?
DEM
O
40
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Testas
126. Nelygybės x > −4 sveikieji neigiamieji sprendiniai yra:A (−4; 0) B (−4; 0] C {−4; −3; −2; −1} D {−3; −2; −1} E {−3; −2; −1; 0}
127. Lygties 3x2 − 5x = 0 sprendinių aibė yra:A
{
0; 53}
B{
0; 35}
C{−3
5 ; 0}
D{−5
3 ; 0}
E{−5
3 ; 35}
128. Duotos aibės A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 4}. Kuris teiginys yra teisingas?A A ∪ B = B B A ∩ B = A C A ⊂ B D B ⊂ A E A = B
129. 23 − 3
4 =A 1
12 B 512 C − 7
12 D −1 E − 112
130. 4−4 · 45 : 4−2 =A 4−1 B 43 C 4−11 D 4−7 E 4
131. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinys√
x − 1 turi prasmę?A x = 1 B x ∈ (1; +∞) C x ∈ (−∞; +∞) D x ∈ (−∞; 1] E x ∈ [1; +∞)
132. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinys 3√x − 1 turi prasmę?
A x = 1 B x ∈ (1; +∞) C x ∈ (−∞; +∞) D x ∈ (−∞; 1] E x ∈ [1; +∞)
133. 3√
a−2 =A a
23 B a
32 C a− 3
2 D a− 12 E a− 2
3
134. logy x turi prasmę, kai:A x > 0, y > 0 B x > 0, y > 1 C x > 0, y > 0, y �= 1D x > 0, y > 0, x �= 1 E x > 0, y > 0, x �= 1, y �= 1
135. log2 4 + log2 8 − log2 16 − 2 log2 2 =A 0 B −2 C log2 3 D 1 E −1
136.(
4 · 12523 − 7,30) :
(
log4 64 + √36
) =A 111
9 B 11 C −11 D 10 E −10
137. Sudauginkite(√
13 − 3) · (√
13 + 3)
.
A 160 B 27 C 22 D 178 − 6√
13 E 4
138. Kokia yra reiškinio 3√a − a2 reikšmė, kai a = −1?A 0 B 2 C −1 D −2 E Reiškinys neturi prasmės
139. Reiškinys (x − y)2 tapačiai lygus reiškiniui:A (x − y)(x + y) B −(x + y)2 C −(x − y)2 D (−x − y)2 E (y − x)2
140. Lygiagrečios tiesės a ir b perkirstos kirstine c (žr. pav.).a) ∠7 =
A 78◦ B 12◦ C 102◦ D 282◦ E Nustatyti neįmanomab) ∠6 =
A 78◦ B 12◦ C 102◦ D 282◦ E Nustatyti neįmanoma
a
b
c
78∞1
23
4 5
67
141. Skaičius a = 8, skaičius b = 10.a) Kiek procentų skaičiaus b sudaro skaičius a?
A 8 % B 10 % C 80 % D 100 % E 125 %b) Keliais procentais skaičius a yra mažesnis už skaičių b?
A 2 % B 8 % C 20 % D 25 % E 80 %
DEM
O
41
11 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
Pasitikriname
142. Raskite lygties sprendinių aibę.a) 2x − 8 = 12 − 2x; b) 2x2 = 0; c) 3x2 − 3 = 0; d) x2 = 9;
e) x2 − 4x + 4 = 0; f) x2 = 2x − 10; g)√
x = 9; h) xx−1 = 0.
143. Raskite abiejų nelygybių sprendinių aibių sąjungą ir sankirtą.a) x − 3 < 0, 2x � 3; b) −x − 10 � 0, −2x > 8; c) −x
2 + 1 � 12 , x
3 < 2.144. Užrašykite natūraliojo skaičiaus daliklių aibę D ir kartotinių aibę K .
a) 6; b) 9; c) 11; d) 32.145. Raskite aibių A ir B sąjungą ir sankirtą, kai:
a) A = {5; 10; 15; 20; 25}, B = {0; 5; 25}; b) A = {0; 1; 4; 9}, B = {6; 12; 18};c) A = [−5; 7], B = [−2; 10]; d) A = (−10; 10], B = (−∞; 0].
146. Užrašykite aibės A = (−5; 10] poaibį B, kuris būtų sudarytas iš:a) visų natūraliųjų aibės A elementų; b) visų neteigiamų sveikųjų aibės A elementų.
147. Apskaičiuokite.a) −10 + 7; b) −3
7 − (−47)
; c) 13 − 1,6; d) 3
2 · (−8); e) −2 12 : (−4,2);
f) 2−3; g) 432 ; h)
√121; i) 3√−27; j) 4√1;
k) log2 8; l) log3 81; m) log4116 ; n) log 3
51; o) lg 1
10 .
148. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio su laipsniais reikšmę.
a) 313 · 3
23 ; b) 3
23 : 3− 1
3 ; c)(
323)3; d)
(
323)−3; e) 9
23 · 81
23 ; f) 243
23 : 9
23 .
149. Kokia turi būti x reikšmė, kad lygybė būtų teisinga?a) x2 = 4; b) x3 = 1
27 ; c) x4 = 1; d) x5 = −1;e)
√x = 4; f) 3√x = 2; g) 4√x = 3; h) 5√x = −1;
i) 2x = 4; j) 2x = 12 ; k) 5x = 1; l) 10x = 1
100 ;
m) log5 x = 1; n) log3 x = 0; o) log7 x = 12 ; p) lg x = −1.
150. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinys turi prasmę?a)
√x − 1; b) 3√2x; c) 4√2x + 6; d) 5√−x;
e) log5(2x); f) log2(1 − x); g) logx 5; h) log2x−10 10.
151. Apskaičiuokite.a) log3 2 + log3 13,5; b) log2 2,5 − log2 5; c) log 1
250 − 2 log 1
25; d) 2 lg 2 + 2 lg 5.
152. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.
a) −10 + 3 · √16 − 52 : log5
125 ; b)
(
3√
−18 − 30
)
· (
lg 1 − 0,7 : 13)
.
153. Atskliauskite ir sutraukite panašiuosius narius.a) a(a − 1) − (
a2 − 1) + 1; b) (3 − a)2 − 3
(
a + a2); c) (2a − 1)(a + 1) − (a − 1)2 + 2.154. Apskaičiuokite reiškinio su kintamuoju reikšmę.
a) x2 − 3√x + log2 x, kai x = 1; x = 8; b) y − y12 , kai y = 1; y = 4; y = 8.
155. Tiesė c yra tiesių a ir b (a ‖ b) kirstinė, ∠1 = 30◦.1) Koks yra ∠6 dydis?2) Keliais procentais ∠1 mažesnis už ∠6?
a
b
c
12
3 4
56
7 8
DEM
O
150
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje
1. a) 7; b) 7; 0; −10; c)√
2; π ; −√99; d) −10; −2,4; e) 7; f) −10.
2. a) 1; 9; −20; −1,25; b) 114; −1
4 ; 38 ; 2
3 ; c) −0,4; −2; −0,96; −1,5; d) −116; 61
6; −916; −15
22 ;e) 1
70 ; −4170 ; − 3
35 ; −2021 ; f) −35
6; 116 ; 31
3; 815 .
3. a) −8; b) −12; c) −48; d) −16.
4. 1) f (0) = 1; f (−10) = 261; f (10) = 341;2) f (x) = 1, kai x = 0, x = −11
3;f (x) = 0, kai x = −1, x = −1
3 ;nėra tokių x reikšmių, su kuriomis f (x) = −1.
5. a) 8; −8; −8; 18 ; −1
8 ; −18 ; b) 16; 16; −16; 1
16 ; 116 ; − 1
16 ; c) 1; −1; −1; −1; 1; −1; −1;d) 0; 0; 1; 1; −1.
6. a) −2; 2; b) −12 ; 1
2 ; c) −1; 1; d) 0; e) −5; 5; f) −25 ; 2
5 ; g) −2 12 ; 2 1
2 ; h) tokių skaičių nėra.
7. a) 3; b) 13 ; c) 1; d) 0; e) 2; f) 2
3 ; g) 112 ; h) −3; i) −4
5 ; j) −1.
8. a) 3; b) 13 ; c) 1; d) 0; e) 6; f) 10; g) 0,1; h) 2
5 ; i) 112 .
DEM
O
151
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.1. Skaičių aibės
9. 1) a) 16 ∈ C; 112 ∈ C; b) −4 ∈ D; −7 ∈ D; −3,2 ∈ D; 2) 0 /∈ C ir 0 /∈ D.
10. a) {1; 2; 3; 4; 5}; b) {−6; −5; −4; −3; −2; −1}; c) {22; 24; 26; 28}; d) {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}.11. a) 11; mažiausias elementas yra 0, didžiausias – 10;
b) be galo daug; mažiausiojo elemento aibė neturi; didžiausias elementas yra 10;c) 0; nei mažiausio, nei didžiausio elementų aibė neturi;d) be galo daug; mažiausias elementas yra 1; didžiausio elemento aibė neturi.
12. a) {2}; b) {0}; c) {10}; d) {1}; e) {0}; f) {−3; 3}; g) ∅; h){−√
5; √5}
; i) {−1; 0}; j) {−2; 0};k)
{
0; 17}
; l) {−3; 0}; m) {1}; n) {−1; 3}; o) ∅; p){−1−√
52 ; −1+√
52
}
; r) {9}; s) ∅; t) {−2; 0};u) {0}.
13. Pavyzdžiui: a) 3x = 6; b) x + 3 = 0; c) x2 = 4; d) x2 − 3x = 0; e) x2 = −1.
14. a) x ∈ (−∞; 2)X2
;
b) x ∈ [3; +∞)X3
;
c) x ∈ [−12; +∞)X–12
;
d) x ∈ (−∞; 1,8)X1,8
;
e) x ∈ [1; +∞)X1
.
15. a) x ∈ (3; 8]X83
;
b) x ∈ [−2; 5]X5–2
;
c) x ∈ [−3; 0)X0–3
;
d) x ∈ (−1; 5)X5–1
.
16. Pavyzdžiui: a) x − 2 � 0; b) 3 − x > 0; c) x2 < −2.
17. a) D = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, K = {12n, n ∈ N};b) D = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, K = {18n, n ∈ N};c) D = {1; 23}, K = {23n, n ∈ N};d) D = {1; 31}, K = {31n, n ∈ N}.
18. a) 25 ; b) 1
2 ; c) 23 . DE
MO
152
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.2. Skaičių aibių sąjunga ir sankirta. Skaičių aibės poaibiai
19. a) A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12};b) A ∩ B = {2; 4; 6; 8}.
20. Pavyzdžiui:a) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4}; b) A = {1; 2; 3}, B = {5; 6}; c) A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5};d) A = {−5}, B = {0; 5}; e) A = {3; 4}, B = {4; 5; 6}; f) A = {3; 4; 6}, B = {3; 5; 6};g) A = {3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6}.
21. a) A ∪ B = [−1; 3), A ∩ B = [0; 2]; b) A ∪ B = (−10; 5), A ∩ B = [−5; 0];c) A ∪ B = [−10; 10], A ∩ B = (0; 4); d) A ∪ B = (−7; +∞), A ∩ B = (0; 13];e) A ∪ B = (−∞; 5), A ∩ B = {0}; f) A ∪ B = (−∞; +∞), A ∩ B = [−1; 1);g) A ∪ B = [−5; −1) ∪ (1; 5], A ∩ B = ∅; h) A ∪ B = (−2; 2), A ∩ B = ∅;i) A ∪ B = (−10; 3
2] ∪ (
2,5; √10
)
, A ∩ B = ∅.
22. a)X
0–1 2 3
(−1; 3]; (0; 2);
b)X
–3 1 3
[−3; +∞); [1; 3];
c)X
–1 2
(−∞; −1] ∪ (2; +∞); ∅;
d)X
–2
(−∞; +∞); (−2; +∞).
23. a)X
2 5
x ∈ (2; 5);
b)X–3 1
x ∈ [1; +∞);
c) X–5 0
∅;
d)X6
{6};e) X
3 5
x ∈ (3; 5).
24. Pavyzdžiui:a)
{x − 2 � 0,3x � −15; b)
{ 2x − 6 < 0,−3x < 0; c)
{ 3x + 6 > 0,2x � 8; d)
{x − 5 � 0,−4x � −20; e)
{ 3 − x > 0,−2x < −40.
25. a) x ∈ (−1; 7), {1; 2; 3; 4; 5; 6}; b) x ∈ [−1,5; 3,5), {1; 2; 3}; c) x ∈ (−4; 1], {1};d) x ∈ (−3; −1
2)
, tokio poaibio nėra.
26. 1) Sveikųjų skaičių aibė gaunama papildžius natūraliųjų skaičių aibę nuliu ir skaičiais, priešingaisnatūraliesiems. Vadinasi, N ⊂ Z.
2) Racionaliųjų skaičių aibė gaunama papildžius sveikųjų skaičių aibę nesuprastinamosiomis pa-prastosiomis trupmenomis. Vadinasi, Z ⊂ Q.
3) Realiųjų skaičių aibė gaunama prie racionaliųjų skaičių prijungus iracionaliuosius skaičius, t. y.R = Q ∪ I. Vadinasi, Q ⊂ R.
4) ir 5) teiginių teisingumas seka iš 3) punkto.6) Kiekvienas realusis skaičius yra arba racionalusis, arba iracionalusis. Aibės I ir Q neturi bendrų
elementų. Vadinasi, I ∩ Q = ∅.
DEM
O
153
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai
27. a) 3 = 3,0 = 3,00 = 3,000 = ...; 10 = 10,0 = 10,00 = 10,000 = ...;−7 = −7,0 = −7,00 = −7,000 = ...; 1 = 1,0 = 1,00 = 1,000 = ...;0 = 0,0 = 0,00 = 0,000 = ...;
b) 3 = 31 = 6
2 = 155 ; 10 = 10
1 = 202 = 50
5 ; −7 = −71 = −14
2 = −355 ; 1 = 1
1 = 22 = 5
5 ;0 = 0
1 = 02 = 0
5 .
28. a) 12 = 0,5; b) −3
4 = −0,75; c) −65 = −1,2; d) 8
3 = 2,666... = 2,(6);e) −5
6 = −0,8333... = −0,8(3); f) −412 = −20,5; g) 7
10 = 0,7; h) 12100 = 0,12;
i) −2910 = −2,9; j) − 133
10 000 = −0,0133.
29. a) 53 = 12
3; b) 87 = 11
7; c) 214 = 51
4; d) −113 = −32
3; e) −72 = −31
2; f) −3013 = −2 4
13 ;g) −15
2 = −712; h) −23
3 = −723; i) −77
10 = −7 710 .
30. a) 213 = 7
3 ; b) 534 = 23
4 ; c) 10 16 = 61
6 ; d) 1578 = 127
8 ; e) −145 = −9
5 ; f) −235 = −13
5 ;g) −20 3
4 = −834 ; h) −168
9 = −1529 .
31. a) 0,5 = 12 ; b) 1,2 = 6
5 ; c) 5,13 = 513100 ; d) 20,15 = 403
20 ; e) −3,1 = −3110 ; f) −10,4 = −52
5 ;g) −15,25 = −61
4 ; h) −100,02 = −500150 .
32. a) 4 %; b) 37 %; c) 201 %; d) 5,8 %; e) 7 %; f) 30 %; g) 44 %; h) 225 %.
33. a) 0,09 = 9100 ; b) 0,3 = 3
10 ; c) 0,75 = 34 ; d) 1,07 = 107
100 ; e) 3,00 = 31 ; f) 0,005 = 1
200 ;g) 0,203 = 203
1000 .
34. a) 18 ; 0,125; 12,5 %; b) 7
8 ; 0,875; 87,5 %.
35. a) 4; b) 15 ; c) −1; d) 0; e) −3; f) −12
5; g) 37 ; h) 3
5 ; i) 214 ; j) − 4
15 ; k) 3 314 ; l) 1 1
30 ; m) 4;n) −214
15 ; o) −11528 ; p) 11
2 ; r) −15 ; s) 11
3; t) −12 ; u) 14
15 ; v) −3 910 ; z) 4 3
10 ; q) − 916 ; w) 3.
36. a) 2,73; b) −0,8; c) −10; d) −1,06; e) −1,73; f) −3,4; g) −4,1; h) 6,04; i) 1,115; j) −2,73;k) 20,7975; l) −8,19; m) 50
223 ; n) −1 813 ; o) 223
59 ; p) −3,9.
DEM
O
154
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais
37. a) 25; 181 ; 0,000064; 21
4 ; b) 125; 1243 ; 0,0000128; 33
8 ; c) 36; 116 ; 0,000001; 27
9 ;d) −216; − 1
32 ; −0,0000001; −41727 .
38. a) 0; 1; 2; −2; 12 ; −1
3 ;b) 0; −2 arba 2; −3 arba 3; −1
2 arba 12 ; −0,5 arba 0,5; nėra tokio skaičiaus;
c) 0; 1; −1; 2; 110 ; −0,2;
d) 0; −1 arba 1; −2 arba 2; −12 arba 1
2 ; −0,1 arba 0,1; nėra tokio skaičiaus.
39. 1) a) 14 ; 1
64 ; 116 ; − 1
27 ; b) 9; 21027 ; 16; −33
8; c) 25; 1000; 6251296 ; − 8
125 ; d) 916 ; 8
27 ; 1681 ; − 27
343 ;2)
(ab
)−n = 1(
ab
)n = 1 :(ab
)n = 1 : an
bn = 1 · bn
an = bn
an = (ba
)n.
40. a) 23; b) −8 116; c) 373; d) −1 4
27 .
41. a) 33 = 27; b) (−2)−1 = −12 ; c) 41 = 4; d) (−5)−2 = 1
25 ; e) 23 = 8; f) 2−2 = 14 ; g) 34 = 81;
h) 3−3 = 127 ; i) 24 = 16; j) 3−4 = 1
81 ; k) 52 = 25; l) 40 = 1.
42. a) 102; 103; 104; 109; b) 10−1; 10−3; 10−4; 10−5; 10−5; 10−7.
43. a) 5 ·105; b) 1,7 ·107; c) 2,05 ·105; d) 1 ·1010; e) 5 ·10−5; f) 2,03 ·10−3; g) 1 ·10−6; h) 1,2 ·10−10.
44. a) 5 · 105; b) 3,3 · 10−7; c) 3,5 · 106; d) 6 · 1010; e) 5 · 10−10; f) 5 · 101.
DEM
O
155
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.5. Šaknys
45. a) ≈ 2,24; ≈ 1,71; ≈ 1,50; ≈ 1,38; b) ≈ 3,16; ≈ 2,15; ≈ 1,78; ≈ 1,58;c) ≈ 14,14; ≈ 5,85; ≈ 3,76; ≈ 2,89.
46. a) 2; 2; b) 3; 3; c) 4; 4; d) 2; 2; e) 3; 3; f) 4; 4.
47. a) 2; −2; b) 3; −3; c) 4; −4; d) 2; −2; e) 3; −3; f) 4; −4.
48. a) x = 4; x = 9; x = 16; x = 1; x = 0; nėra tokios x reikšmės;b) x = 8; x = 27; x = 64; x = 1; x = 0, x = −64;c) x = 16; x = 81; x = 256; x = 1; x = 0; nėra tokios x reikšmės;d) x = 32; x = 243; x = 1024; x = 1; x = 0; x = −1024.
49. a) 4; b) 6; c) 15; d) 3; e) 2; f) 4; g) 2; h) 12 ; i) 3; j) 0,1.
50. a) 6 cm2; b) 7 dm3; c) 4 cm3.
51. a)√
12; b)√
18; c)√
200; d)√
125; e) 3√24; f) 3√54; g) 3√2000; h) 3√625; i) 4√48; j) 4√162;k) 4√20 000; l) 4√3125; m) 5√96; n) 5√486; o) 5√200 000; p) 5√15 625.
52. a) 2; b) 3√9; c) 3√10; d) 3√3.
53. a) x � −1; b) x ∈ R; c) x � 1; d) x � 3; e) x ∈ R.
DEM
O
156
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys
54. a)√
5; b) 4√
127 ; c) 3√a; d) 4
√
1x3 ; e)
√2; f) 5
√
11296 ; g) 4
√a3; h)
√
1x3 ; i)
√100 000; j) 3
√
1x4 .
55. a) 312 ; b) 11
12 ; c) 5
13 ; d) 2
23 ; e) 2
34 ; f) 4− 1
4 ; g) 2− 53 ; h) 3− 2
5 ; i) 5− 34 .
56. a) 6; b) 3; c) 0,5; d) 14 ; e) 1
5 ; f) 13 ; g) 13
7 ; h) 16.
57. 1) a) 21 = 2; b) 23 = 8; c) 31 = 3; d) 22 = 4; e) 3−2 = 19 ; f) 5−1 = 1
5 ; g) 2−4 = 116 ; h) 33 = 27;
i) 7−5 = 116 807 ; j) 2−5 = 1
32 .
2) a)√
4 = 2; b)√
64 = 8; c) 3√27 = 3; d) 3√64 = 4; e)√
181 = 1
9 ; f)√
125 = 1
5 ; g) 3√
14096 = 1
16 ;
h)√
729 = 27; i)√
1282 475 249 = 1
16 807; j) 4√
11 048 576 = 1
32 .
58. a) 22; b) 2154 ; c) 2
185 ; d) 2− 8
3 ; e) 2− 285 ; f) 2− 9
2 .
59. a) 12 ; b) 1
4 ; c) 2; d) 354 ; e) 2; f) 5; g) 3; h) 2
14 ; i) 3; j) 8; k) 9; l) 4; m) 4; n) 1.
60. a) x; b) a; c) b1112 ; d) 2a
14 ; e) a
15 ; f) 2y−1.
61. a) 1; b) 16; c) 27; d) 4.
DEM
O
157
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.7. Logaritmai
62. a) 3; b) −2; c) 1; d) 0; e) −1; f) −2; g) 1; h) 0; i) −1; j) 2; k) 4; l) 23 .
63. a) 3; b) 0; c) 1; d) −1; e) −2; f) −3; g) −4.
64. a) log5 25; b) log5 125; c) log515 ; d) log5 0,125; e) log5
√5; f) log5
3√5; g) log5 6; h) log5 50;i) log5 11; j) log5 0,5; k) log5
23 .
65. a) 4; b) 7; c) 0; d) 1; e) −3; f) −5; g) log2 10; h) log2 100; i) log2 9; j) log2(1
3)
; k) 12 ; l) 1
3 .
66. a) 8; b) 25; c) 17 ; d) 1
121 ; e) 4; f) 1√8
= 12√
2=
√2
4 ; g) 10110 = 10√10; h) 10− 2
3 = 13√100
; i) 1.
67. a) 5; b) 10; c) 10; d) 100; e) 15 ; f) 5.
68. a) x > −1; b) x > 0; c) x < 2; d) x < 0, x > 0; e) −1 < x < 0, x > 0; f) 0 < x < 12 , x > 1
2 .
DEM
O
158
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.8. Logaritmų savybės
69. a) 7; b) 5; c) 5; d) −9; e) 2; f) 1; g) 2; h) −5; i) 6; j) 6; k) 4; l) 6.
70. a) 2; b) 2; c) 1; d) 3; e) 2; f) 0; g) −5; h) −3; i) 0.
71. a) 1; b) −1; c) 0; d) 1; e) 1; f) −1; g) −2; h) 1; i) 0.
72. a) 1; b) 2; c) 2; d) −1; e) 2; f) −1.
73. a) 0; b) 8; c) 4; d) −2; e) −4; f) 0; g) −1; h) 2; i) −1.
74. a) Taip; b) ne; c) taip; d) taip; e) taip; f) taip.
75. a) 9; b) 15 ; c) 6; d) 8; e) 6; f) 10.
DEM
O
159
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.9. Skaitiniai reiškiniai
76. a) −5; b) 10; c) 6; d) 5; e) −20; f) 25; g) 3√
2; h) −4√
3; i) −4√
5; j) 4; k) 13 ; l) 1.
77. a) 15372 ; b) 1; c) −4,2; d) 16; e) 0; f) 13; g) −1,9; h) − 1
16 ; i) 2 215 ; j) −251; k) 22.
78. a) 1; b) 1; c) 29 ; d) 3
4 ; e) −2; f) 5572 ; g) 99,5; h) 15
9 ; i) −104; j) 149; k) −1 67
135 ; l) 3; m) −47.
79. Pavyzdžiui:a) log5
( 125
) · 3√−125 · (0,8)0;b) 3√1000 :
(− 3√8) + log5 1 · (−4)0;
c) lg 11000 + 8
13 + 4√16;
d) log3 27 − 823 · 5√1;
e) 3√27 − log2 4 − (−4)0.
80. 120 + (120 − 34) + 12(
120 + (120 − 34)) = 309 (km).
81. 1) 246,25 cm2; 2) 262,5 m�; 3) taip.
DEM
O
160
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
1.10. Raidiniai reiškiniai
82. a) −1; 0; 0; 2; −0,75; −59 ; b) −1; −9; 5; c) 0; −6; 3
25 ;√
5 − 10; d) 2; 2 3√2 + 2; 4 + 2√
2;e) −2; −53; −1 2
27; −523 .
83. a) −2x + y; b) x2 − 5y3; c) 20 − a + ab; d) a2 − 3ab − b2; e) −8 + 8a2 − 11b − 2b2.
84. a) 1) PABCD = 4a + 4, SABCD = a2 + 2a, PABD = 2a + 2 +√
2a2 + 4a + 4, SABD = a2+2a2 ;
2) kai a = 1 cm, tai PABCD = 8 cm, SABCD = 3 cm2, PABD = 4+√10 (cm), SABD = 3
2 cm2;kai a = 0,5 cm, tai PABCD = 6 cm, SABCD = 1,25 cm2, PABD = 3 + √
6,5 (cm),SABD = 0,625 cm2;kai a = 2
3 dm, tai PABCD = 623 dm, SABCD = 17
9 dm2, PABD = 10+2√
173 dm, SABD = 8
9 dm2;kai a = √
2 m, tai PABCD = 4√
2 + 4 (m), SABCD = 2 + 2√
2 (m2),PABD = 2
√2 + 2 + 2
√
2 + √2 (m), SABD = 1 + √
2 (m2);b) 1) PABCD = 4a, SABCD = a2, PABD = 2a + a
√2, SABD = a2
2 ;2) kai a = 1 cm, tai PABCD = 4 cm, SABCD = 1 cm2, PABD = 2 + √
2 (cm), SABD = 12 cm2;
kai a = 0,5 cm, tai PABCD = 2 cm, SABCD = 0,25 cm2, PABD = 2+√2
2 cm,SABD = 0,125 cm2;kai a = 2
3 dm, tai PABCD = 83 dm, SABCD = 4
9 dm2, PABD = 4+2√
23 dm, SABD = 2
9 dm2;kai a = √
2 m, tai PABCD = 4√
2 m, SABCD = 2 m2, PABD = 2√
2 + 2 (m), SABD = 1 m2;c) 1) PABCD = a + a
√3, SABCD = a2
√3
4 , PABD = 3a+a√
32 , SABD = a2
√3
8 ;
2) kai a = 1 cm, tai PABCD = 1 + √3 (cm), SABCD =
√3
4 cm2, PABD = 3+√3
2 cm,SABD =
√3
8 cm2;
kai a = 0,5 cm, tai PABCD = 1+√3
2 cm, SABCD =√
316 cm2, PABD = 3+√
34 cm,
SABD =√
332 cm2;
kai a = 23 dm, tai PABCD = 2+2
√3
3 dm, SABCD =√
39 dm2, PABD = 3+√
33 dm,
SABD =√
318 dm2;
kai a = √2 m, tai PABCD = √
2 + √6 (m), SABCD =
√3
2 m2, PABD = 3√
2+√6
2 m,SABD =
√3
4 m2.
85. a) a2+3a; b) 6x2−2x3; c) −2a2−ab; d) −4y+6y3; e) 8t3+4t2; f) a2+a−2; g) ab−3a+b2−3b;h) 5x − xy − 5y + y2; i) 5a + a2 + 5b + ab.
86. a) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2;b) (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2;c) (a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2;d) (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;e) (a − b)3 = (a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
87. a) 4ab; b) −a2; c) −x2 + 4y2.
88. a) (x +y)(x −y); b) (2a+5)(2a−5); c) (4y +3x)(4y−3x); d)(2
3a− 45b
)(23a+ 4
5b)
; e) (a+2b)2;f) (2x − 7)2; g) (3a + 4b)2; h) −(5 + 2a)2.
89. a) Taip; b) ne; c) taip; d) taip; e) taip.
DEM
O
161
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Sprendžiame
90. 1) A = {0; 36}; 2) B = (5; 8]; 3) C = (5; 8] ∪ {0; 36}; 4) D = ∅; 5) pavyzdžiui, E = {8; 36}.91. a) 23; b) 26.
92. a) 25; b) tik krepšiniu domisi 10 vienuoliktokų, tik futbolu – 4 vienuoliktokai.
93.a) b) c)
94. a) −63; b) −13,1; c) −8,1; d) 14 .
95.√−25; 4√−1.
96. a) 6; b) 1; c) −45; d) 54; e) 4; f) 0; g) 0; h) 26.
97. a) 13; b) −9999; c) 7; d) 116 ; e) 128; f) −21
4 ; g) −1; h) −27; i) 9; j) 0,09; k) 15 ; l) 1
16 ; m) 4; n) 1;o) 1; p) 125; r) 8; s) 81; t) 15 625; u) 1
2 .
98. a) 20; b) 8; c) −1; d) −3; e) 6; f) 6; g) 20; h) 70; i) 1; j) 18; k) 112 ; l) 12 1
2 .
99. a) 30; b) 34.
100. a) 22011; b) 24023; c) 21.
DEM
O
162
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Sprendžiame
101. a, b, c ir e.
102. a) 9a−1b−2; b) 2y−4; c) 6mn2; d) 2ab2; e) 10x− 15 y
14 ; f) 3
2m2.
103. a) a116 ; b) a
1928 ; c) a
34 ; d) a
2635 .
104. a) −6; b) 1,5; c) 1; d) −2; e) 112 ; f) 1.
105. a) 8; b) 3; c) 3; d) 32.
106. a) 3; b) −4; c) 62; d) −25.
107. 1) a) P (x) = 16x + 16; b) S(x) = 11x2 + 21x + 5;2) a) P = 32 cm, S = 37 cm2; b) P = 64 cm, S = 167 cm2; c) P = 96 dm, S = 385 dm2.
108. a) 11x + 50; b) 45.
109. a) Jonas per valandą gali nupjauti 1x pievos, o Petras – 1
x−2 pievos; b) x(x−2)2x−2 .
110. a) Taip; b) taip.
111. a) x ∈ (−∞; −1), (−1; +∞); b) x ∈ (−∞; −3), (−3; 3), (3; +∞); c) x ∈ (−1; +∞); d) x ∈ R;e) x ∈ (−∞; 1), (1; +∞); f) x ∈ [0; 1), (1; +∞); g) x ∈ (−2; +∞); h) x ∈ (−∞; 3).
112. 150 kg.
DEM
O
163
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Geometrijos uždaviniai
113. 1) a
B
2) a) a
B
b
b)a
B
b c)a
B
b
C
3) a) BC; b) BC;4) 0◦ < ∠(a; b) � 90◦.
114. 1) ∠2; ∠4; 2) ∠1 ir ∠3; ∠2 ir ∠4; 3) ∠2 = 140◦, ∠3 = 40◦, ∠4 = 140◦.
115. 90◦.
116.∠2 = 98◦, ∠3 = 82◦, ∠4 = 98◦.
117.∠1 = 80◦, ∠2 = 100◦, ∠3 = 80◦, ∠4 = 100◦.
118.∠A = 75◦, ∠B = 60◦, ∠C = 45◦.
119.∠ABC = 142◦, ∠BCD = 38◦, ∠ADC = 142◦.
DEM
O
164
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Įvairūs uždaviniai
120. 1) 20 Lt; 2) 35 %; 3) 15 Lt; 75 %; 4) 15 Lt; 4267 %.
121. 1) 1,5x (Lt); 2) 72 Lt.
122. 1) 0,8y (Lt); 2) 62,4 Lt.
123. a) 750 Lt; b) 640 Lt; c) 1960 Lt; d) 720 Lt.
124. a) 3744 gyventojai; b) 6000 gyventojų.
125. a) 32 400 Lt; b) 100 000 Lt.
DEM
O
165
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Testas
126. D.
127. A.
128. D.
129. E.
130. B.
131. E.
132. C.
133. E.
134. C.
135. E.
136. B.
137. E.
138. D.
139. E.
140. a) A; b) C.
141. a) E; b) C.
DEM
O
166
11 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Pasitikriname
142. a) {5}; b) {0}; c) {−1; 1}; d) {−3; 3}; e) {2}; f) ∅; g) {81}; h) {0}.143. a) (−∞; 3) ∪ [
112 ; +∞) = (−∞; +∞); (−∞; 3) ∩ [
112 ; +∞) = [
112 ; 3
)
;b) (−∞; −10] ∪ (−∞; −4) = (−∞;−4); (−∞; −10] ∩ (−∞;−4) = (−∞; −10];c) [1; +∞) ∪ (−∞; 6) = (−∞; +∞); [1; +∞) ∩ (−∞; 6) = [1; 6).
144. a) D = {1; 2; 3; 6}, K = {6; 12; 18; ...} = {6n, n ∈ N};b) D = {1; 3; 9}, K = {9; 18; 27; ...} = {9n, n ∈ N};c) D = {1; 11}, K = {11; 22; 33; ...} = {11n, n ∈ N};d) D = {1; 2; 4; 8; 16; 32}, K = {32; 64; 96; ...} = {32n, n ∈ N}.
145. a) A∪B = {0; 5; 10; 15; 20; 25}, A∩B = {5; 25}; b) A∪B = {0; 1; 4; 6; 9; 12; 18}, A∩B = ∅;c) A ∪ B = [−5; 10], A ∩ B = [−2; 7]; d) A ∪ B = (−∞; 10], A ∩ B = (−10; 0].
146. a) B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}; b) B = {−4; −3; −2; −1; 0}.147. a) −3; b) 1
7 ; c) −1 415; d) −12; e) 25
42 ; f) 18 ; g) 8; h) 11; i) −3; j) 1; k) 3; l) 4;
m) −2; n) 0; o) −1.
148. a) 3; b) 3; c) 9; d) 19 ; e) 81; f) 9.
149. a) −2; 2; b) 13 ; c) −1; 1; d) −1; e) 16; f) 8; g) 81; h) −1; i) 2; j) −1; k) 0;
l) −2; m) 5; n) 1; o)√
7; p) 110 .
150. a) x ∈ [1; +∞); b) x ∈ (−∞;+∞); c) x ∈ [−3; +∞); d) x ∈ (−∞; +∞);e) x ∈ (0; +∞); f) x ∈ (−∞; 1); g) x ∈ (0; 1), (1; +∞); h) x ∈ (5; 5,5), (5,5; +∞).
151. a) 3; b) −1; c) −1; d) 2.
152. a) 14,5; b) 3 320 .
153. a) −a + 2; b) 9 − 9a − 2a2; c) a2 + 3a.
154. a) 0; 65; b) 0; 2; 8 − 2√
2.
155. 1) 150◦; 2) 80 %.
DEM
O
jûSø PAGALBININKAI
O kitiems mokytojams labiau patinka „Tikrinamieji darbai“. Čia yra 13 savarankiškų ir 5 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus), o uždavinių dar daugiau – iš viso 342!
Jei reikia spręsti, bet neaišku, nuo ko pradėti, atsiverskite pratybų sąsiuvinį. Jame galite skaičiuoti, braižyti, piešti, spalvinti. O sėkmingai žengę pirmąjį žingsnį, galėsite imtis ir sunkesnių užduočių.
Jei nebepadeda nei draugų, nei mokytojų patarimai, pabandykite žvilgtelėti į „Patarimų“ knygeles. Žinoma, jos skirtos mokytojams, bet kai ką naudingo ten gali rasti ir mokiniai. Pavyzdžiui, sprendimus ar visų uždavinių teisingus atsakymus. Patarimas: tik nereikia nusirašinėti☺
Net 10 savarankiškų ir 5 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus) – visoms XI klasės bendrojo kurso matematikos temoms! Iš viso 236 uždaviniai!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta mokytojai☺
Jau galite pradėti ruoštis artėjantiems brandos egzaminams. Kiekvienai temai, kurią mokysitės 11 klasėje, šioje knygutėje rasite testų rinkinius. Pabandykite pasirinkti vieną atsakymą iš penkių pateiktų. Teisingi atsakymai pateikti knygutės pabaigoje.
DEM
O
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • pratybų sąsiuvinis – kuriems vadovėlio užduotys per sunkios• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• mobili interaktyvi kompiuterinė (miko) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas.Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti
leidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-039-1
DEM
O
