Embed Size (px)
Citation preview
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • pratybų sąsiuvinis – kuriems vadovėlio užduotys per sunkios• Savarankiški ir kontroliniai darbai / Tikrinamieji darbai –
į pagalbą mokytojams• mobili interaktyvi kompiuterinė (miko) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas.Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti
leidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-136-7
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 3 6 7
DEM
O
Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 12 klas÷. Bendrasis kursas“ kūr÷:
Nijol÷ Drazdauskien÷, Rolandas Jakštys, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Miroslav Šeibak, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Valdas Vanagas. Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius. 12 klas÷.
Bendrasis kursas“ PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:
Rūta Biekšien÷, Laimut÷ Gečait÷, Jūrat÷ Gedminien÷, Vida Meškauskait÷, Aleksandras Plikusas, Daiva Riukien÷, Regina Rudalevičien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Valdas Vanagas, Vladas Vitkus.
Technologijos © TEV, 2008–2014
DEM
O
3
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pagrindiniai skyreliai
1. SekoS1.1. sekos 141.2. skaičių sekos 161.3. aritmetinė progresija 181.4. aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma 201.5. Geometrinė progresija 221.6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma 241.7. Procentai ir progresijos 26
2. NelygyBėS2.1. Tiesinės nelygybės ir jų sistemos 402.2. Kvadratinės nelygybės 422.3. Trupmeninės nelygybės 442.4. rodiklinės nelygybės 462.5. Logaritminės nelygybės 482.6. nelygybės su moduliais 50
3. IšvestInės3.1. Funkcijos reikšmių kitimo vidutinis greitis uždarame intervale 643.2. Funkcijos greitis taške ir funkcijos išvestinė 663.3. Išvestinių skaičiavimo taisyklės 683.4. Funkcijos reikšmių didėjimo, mažėjimo ir pastovumo intervalų ryšys su jos išvestine 703.5. Funkcijos minimumo ir maksimumo taškai 72 3.6. Funkcijų tyrimas 743.7. Funkcijos mažiausioji ir didžiausioji reikšmės uždarame intervale 763.8. Sprendžiame realiojo turinio uždavinius 78
4. erdvInIų kūnų pjūvIaI4.1. Erdvinių kūnų paviršių plotų ir tūrių formulės 924.2. Briaunainių pjūviai 944.3. Sukinių pjūviai 964.4. Sudėtingesni erdviniai kūnai 98
5. tIkImybės5.1. Bandymo baigtys ir įvykiai 1125.2. Įvykio tikimybė 1145.3. nesutaikomieji įvykiai ir jų sąjungos tikimybė 116
6. statIstIka6.1. statistiniai tyrimai 1306.2. Duomenų dažniai ir santykiniai dažniai 1326.3. diagramos 1346.4. skaitinės duomenų charakteristikos 136
DEM
O
4
Apie vadovėlį
Vadovėlis parengtas pagal 2011 02 21 patvirtintas vidurinio ugdymo bendrąsias programas. Jis skirtas pasirinkusiems bendrąjį matematikos kursą.
Vadovėlyje yra 6 skyriai. Visų skyrių struktūra yra vienoda. Peržvelkime ją, kaip pavyzdį imdami pirmąjį skyrių.
Kairiajame puslapyje yra uždaviniai, skirti anksčiau spręstiems uždaviniams pakartoti ir nagrinėtai teorijai prisiminti. Primiršti faktai ir pavyzdžiai pateikiami banguotomis linijomis apvestose srityse.
Kairiuosiuose puslapiuose yra teorija. Ji pateikiama užduotimis, kurias turėtų atlikti patys mokiniai. Užduotis įveikti padės banguotomis linijomis įrėmintose srityse esantys pavyzdžiai, nurodymai ir samprotavimai. Tai, kas yra svarbiausia, surašyta lentoje.
Dešinėje yra su kairiųjų puslapių teorija susiję uždaviniai. Greta uždavinių sąlygų kai kur rasite išspręstų uždavinių pavyzdžių. Jei uždavinys išskaidytas į a), b), c), ... punktus, tai jie pradedami lengviausiu ir baigiami sunkiausiu. Jei uždavinyje yra 1), 2), ... užduotys, tai jas rekomenduojame atlikti iš eilės.
• Toliau yra pagrindiniai atverstiniai
Pagrindiniai atverstiniai yra privalomi visiems mokiniams, nebent mokytojai dėl vienų ar kitų priežasčių nuspręstų kitaip...
• Po pagrindinių yra stipresniems mokiniams skirti atverstiniai
Čia pateikiama pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos santrauka. Greta teorijos (apibrėžimo, savybės, teoremos ar formulės) už brūkšnio yra ją iliustruojantys pavyzdžiai. Kai kurių skyrių atverstiniuose ,,Apibendriname“ teorijos ir pavyzdžių rasite daugiau, negu jų buvo pagrindiniuose atverstiniuose. Žinoma, papildoma teorija, kaip ir šis atverstinis, nėra privaloma.
Šis atverstinis skirtas mokiniams, kuriems pagrindiniuose atverstiniuose uždavinių buvo per mažai arba jie buvo per lengvi. Ko gero, mokiniai, sėkmingai įveikę šio atverstinio uždavinius, galės drąsiai bandyti laikyti valstybinį matematikos egzaminą. Paskutinis šio atverstinio uždavinys pažymėtas ženkleliu . Tai gali būti galvosūkis, netradicinis ar šiaip sunkesnis uždavinys.
• Skyrius prasideda turinio atverstiniu
Dešiniojo puslapio viršuje yra skyriaus turinys.Kas skyriuje yra svarbiausia, galima suprasti iš pagrindinių atverstinių pavadinimų (jie yra sunumeruoti) ir puslapio apačioje esančio skyriaus įvado.
SekosKartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje 1skyrius
1.1. Uždaviniai1.1. Sekos 1skyrius1
skyrius
ApibendrinameApibendriname 1skyrius
1skyrius
SprendžiameSprendžiame 1skyrius
1skyrius
DEM
O
5
Apie vadovėlį
Čia pateikiami pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos teiginių įrodymai. Kartais rasite ir papildomos medžiagos, kuri nebuvo nagrinėta pagrindiniuose atverstiniuose, bet su jais yra susijusi. Kitaip sakant, atverstinis „Besidomintiems“ skirtas smalsesniems.
Vadovėlio komplektą sudaro:
• vadovėlis; • pratybų sąsiuvinis; • savarankiškų ir kontrolinių darbų knygelė; • kompiuterinės priemonės.
Šis atverstinis pravers ne tik pasitikrinimui, bet ir rengiantis kontroliniam darbui.
Prieš pradėdami nagrinėti pirmąjį skyrių, susipažinkite su 6–9 puslapiuose pateikta mokyklinės matematikos kurso apžvalga. Taip pat, spręsdami 10 ir 11 puslapiuose esančius
uždavinius, pakartokite tai, ko mokėtės 11 klasėje.
Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta kuria nors geometrijos tema. Čia taip pat primenama svarbiausia tos temos teorija.
Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta algebros, tikimybių teorijos ar kita kuria nors tema. Žinoma, vėl primenama tos temos teorija.
• Skyriaus pabaigoje yra visiems mokiniams skirti uždavinių atverstiniai
Šiuos uždavinius ypač rekomenduojame spręsti tiems, kurie planuoja laikyti valstybinį egzaminą.
Puslapis testinių uždavinių, susijusių su pagrindiniais atverstiniais. Sprendžiant testinius uždavinius, nereikalaujama nurodyti sprendimų, pakanka pasirinkti vienintelį teisingą atsakymą iš pateiktų penkių.
Puslapis uždavinių, skirtų mokiniams pasitikrinti, o mokytojams – patikrinti, kaip pavyko pasiekti pagrindinius skyriuje keliamus tikslus. Galima sakyti, kad tai yra svarbiausi skyriaus uždaviniai. Jų atsakymus rasite vadovėlio pabaigoje.
BesidomintiemsBesidomintiems 1skyrius
1skyrius
Aritmetinės progresijos formulių įrodymai Geometrinės progresijos formulių įrodymai
Kampai Raidiniai reiškiniai. Lygtys
Įvairūs uždaviniaiGeometrijos uždaviniai 1skyrius
1skyrius
PasitikrinameTestas 1skyrius
1skyrius
Vadovėlio komplektas turėtų tapti geru pagalbininku pasirinkusiems bendrąjį matematikos kursą. Sėkmės!
DEM
O
6
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pabaigos pradžia...
Ką sužinojome per vienuolika mokslo metų?
Pažintis su matematika mokykloje prasidėjo nuo pirmųjų dienų, nuo pirmųjų pamokų. Prisiminkime, komokėmės per praėjusius vienuolika metų.
Skaičiai, veiksmai, reiškiniai
1) Pirmiausia, susipažinę su natūraliaisiais skaičiais, mokėmės juos sudėti, vėliau –– atimti, tada ––dauginti ir dalyti.
Atimdami „atradome“ neigiamuosius skaičius ir nulį, o dalydami –– trupmeninius racionaliuosiusskaičius.
2) Vėliau mokėmės kelti laipsniu, traukti šaknį ir logaritmuoti. Traukdami šaknį, susipažinome suiracionaliaisiais skaičiais.
3) Susipažinome su iracionaliuoju skaičiumi π (π = 3,1415...).4) Sužinojome, kad kiekvieną realųjį skaičių galima „apgyvendinti“ skaičių tiesėje. Mokėmės skaičius
palyginti, parašydami tarp jų ženklą >, < arba =.
0b 1 c X
O A
a π
5) Nagrinėdami trigonometriją, mokėmės rasti kampų sinusų, kosinusų ir tangentų reikšmes bei kampus,kai žinomos jų sinuso, kosinuso ar tangento reikšmės.
Y
XO 1–1
–1
1
30∞–
—
12
23
DEM
O
7
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pabaigos pradžia...
6) Pertvarkydami skaitinius ir raidinius reiškinius, naudojomės skaičių ir veiksmų su jais savybėmis.
Funkcijos, lygtys, nelygybės, sistemos
7) Susipažinome su įvairiomis funkcijomis y = f (x) ir jų grafikais.
Y
X
yx+2
=
0
Y
X
y2
=x
0
Y
X
y xsin=
0
Y
X
y xcos=
0
Y
X
yx
tg=
0
Y
Y
X
X
ylog
=2x
y=
x2
0
0
Y
X
y x=
Y
X
y0,5
= x
0
0
Y
X
y=
x3
Y
X
y
x
log=
0,5
0
0
Y
X
Y
X
yx= 3
y–
= 1x
0
0
8) Įgytas žinias taikėme spręsdami lygtis su vienu nežinomuoju: f (x) = a, f (x) = g(x).
DEM
O
8
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pabaigos pradžia...
9) Nagrinėjome lygtis su dviem nežinomaisiais f (x; y) = a ir tokių dviejų lygčių sistemas.
10) Sprendėme nesudėtingas nelygybes su vienu nežinomuoju f (x) ≷ a, f (x) ≷ g(x) ir jų sistemas.
Geometrija
11)Susipažinome su plokštumos figūromis bei erdviniais kūnais, nagrinėjome jų savybes. Skaičiavomeįvairių plokštumos figūrų kraštinių ilgius, perimetrus, plotus, kampų dydžius bei įvairių erdvinių kūnųbriaunų ilgius, paviršių plotus, tūrius, kampų dydžius.
a
bh
c r
ab
cH
a
b h
rH
rH
l
a
b
c
A
B
C
a b
c
αβ
γ
r
12)Spręsdami geometrijos uždavinius, mokėmės atpažinti lygiuosius ir panašiuosius trikampius bei nag-rinėjome jų savybes.
= a ka
c kc
b kb
S k◊ 2S
DEM
O
9
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pabaigos pradžia...
Realiojo pobūdžio uždaviniai
13)Nepamiršome ir realių matematikos taikymų –– nagrinėjome procentų, judėjimo, darbo, tikimybių,statistikos ir kitus uždavinius.
Ko mokysimės dvyliktoje klasėje?
1) Pirmame skyriuje nagrinėsime skaičių sekas:• aritmetines progresijas;• geometrines progresijas.
2) Antrame skyriuje daug dėmesio skirsime nelygybių sprendimui. Prisiminsime tiesines nelygybes ir jųsistemas, kvadratines nelygybes, trupmenines nelygybes. Mokysimės spręsti:• rodiklines nelygybes;• logaritmines nelygybes;• nelygybes su moduliais.
3) Trečiame skyriuje skaičiuosime funkcijos y = f (x):• reikšmių kitimo vidutinį greitį, kai x ∈ [a; b], ir greitį, kai x = a;• išvestinę y = f ′(x);• kritinius bei ekstremumo taškus ir didžiausiąją bei mažiausiąją reikšmes uždarame intervale.
4) Ketvirtame skyriuje nagrinėsime erdvinius kūnus:• prisiminsime jų paviršių plotų ir tūrių formules;• mokysimės „pjaustyti“ briaunainius ir sukinius.
5) Penktame skyriuje tęsime pažintį su tikimybių teorija.6) Šeštame skyriuje gilinsime statistikos žinias.
Tad –– ne tiek daug ir beliko... Sėkmės!DEM
O
10
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
1. Duotos aibės M = {3; 4}, P = {3; 4; 5; 6; 7; 8}. Kuris teiginys yra klaidingas?A M ⊂ P B M ∩ P = M C M ∪ P = P D M ∪ P = M E P �⊂ M
2. 3a25 = A 5
√(3a)2 B
√(3a)5 C 3 5
√a2 D 3
√a5 E 5
√3a2
3. log2 16 + log214 = A 161
4 B 812 C 6 D 4 E 2
4. Jei α = 215◦, tai:A sin α > 0,
cos α < 0,tg α > 0
B sin α < 0,cos α < 0,tg α > 0
C sin α < 0,cos α > 0,tg α < 0
D sin α > 0,cos α < 0,tg α < 0
E sin α > 0,cos α > 0,tg α > 0
5. Lygiagretainio, kurio kraštinių ilgiai yra 4 ir 12, o smailusis kampas lygus 45◦, plotas lygus:A 12
√2 B 24 C 24
√2 D 48 E 48
√2
6. Įbrėžtinio kampo ACD dydis yra 60◦. Šį kampą atitinkančio centrinio kampo AOD dydis lygus:A 180◦ B 120◦ C 90◦ D 60◦ E 30◦
7. Kuriam grafikui priklauso taškas A(−2; 4)?A y = 8
x B y = log 12x C y = 2x D y = −x2 E y = 2 − x
8. Kuris grafikas yra funkcijos y = f (x) = 3x + 1?
1
Y
X0
2
A
1
Y
X0
B
3
1
Y
X0
C
3
1
Y
X0
D
3
1
Y
X0
E
3
9. Visi lygties 2√
x = 5 sprendiniai yra:A 6,25 B −6,25 ir 6,25 C −2,5 ir 2,5 D 2,5 E ∅
10. Visi lygties sin x = 12 sprendiniai, priklausantys intervalui [−90◦; 90◦], yra:
A −30◦ ir 30◦ B −60◦ ir 60◦ C 30◦ D −30◦ E 60◦
11. Visi lygčių sistemos{
y = x + 1,
x2 + y2 = 41 sprendiniai yra:
A (−4; −5), (5; 4) B (−5; −4), (4; 5) C (−4; −5), (4; 5) D (−5; −4), (5; 4) E (4; 5), (5; 4)
12. Stačiakampio perimetras lygus 40 m, o plotas –– 96 m2. Šio stačiakampio matmenis rasime išsprendęlygčių sistemą:
A{
x + y = 40,xy = 96 B
{ 2(x + y) = 40,xy = 96 C
{x + y = 40,2xy = 96 D
{x + y = 96,xy = 40 E
{ 2(x + y) = 96,xy = 40
13. Jono ūgis yra 2 m, o Onutės –– 1,6 m. Keliais procentais Onutė žemesnė už Joną?A 125 % B 80 % C 40 % D 25 % E 20 %
14. Keturi darbininkai visą darbą atlieka per 5 valandas. Per kiek valandų šį darbą atliktų 10 darbininkų?A Per 20 h B Per 8 h C Per 2,5 h D Per 2 h E Per 1
2 h
15. Dėžėje yra 2 balti, 3 mėlyni ir 4 žali vienodo dydžio ir formos rutuliai. Atsitiktinai ištraukiamasvienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas?A 2
9 B 39 C 4
5 D 59 E 7
9
16. Kūgio, kurio spindulys lygus r , o aukštis yra H , tūrį V galima apskaičiuoti naudojantis formule:A V = πr2 B V = πr2H C V = 1
3πr2H D V = 2πrH E V = 13 · 2πrH
DEM
O
11
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
17. Apskaičiuokite.a) 4−2; b) 25
32 ; c) 3√−1; d) 4√1; e) log3 9; f) log2
(18); g) log4 1; h) lg 0,01.
18. Raskite visas m reikšmes, su kuriomis reiškinys turi prasmę.a) 3
2m+1 ; b)√
m − 3; c) 3√1 − 2m; d) log3(2m).
19. Raskite posūkio kampo α sinusą, kosinusą ir tangentą, jei kampas α lygus:a) 390◦; b) −30◦; c) 120◦; d) 240◦.
20. Apskaičiuokite trikampio ABC plotą, kai:a) AB = 20 cm, BC = 14 cm, ∠B = 30◦; b) AB = 16 dm, AC = 5 dm, ∠A = 120◦.
21. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite x reikšmę.a) b) c) d)
45∞ 75∞ 60∞ 120∞
60∞
30∞
x cm xcm 5cm
xcm
x cm
8cm
4 cm 4 cm 12 cm
18cm
22. Ar taškas M priklauso funkcijos y = f (x) grafikui, kai:a) f (x) = x3, M(−1; 1)? b) f (x) = x4, M(−1; 1)? c) f (x) = −x5, M(−1; 1)?d) f (x) = √
x, M(9; −3)? e) f (x) = 3√x, M(−27; −3)? f) f (x) = −√x, M(4; −2)?
23. Nustatykite, ar funkcija y = f (x) yra lyginė, ar nelyginė, ar nėra nei lyginė, nei nelyginė, kai:a) f (x) = 5x; b) f (x) = x2 + 1; c) f (x) = 2x3; d) f (x) = x3 + 2.
24. Raskite x reikšmes, su kuriomis teisinga lygybė:a) x3 + 2 = −6; b) 2x3 − 6 = −4; c)
√x − 3 = 2; d)
√x + 3 = −5;
e) 3x + 5 = 14; f) 25−x = 8; g) log3 x − 5 = −3; h) log2(x + 1) = −1;i) |x| + 5 = 7; j) |x + 2| = −1; k) 3|x| = 2; l) 2|x − 1| = 7.
25. Raskite visus lygties sprendinius.
a) sin x = 12 ; b) sin x = −
√2
2 ; c) sin x = 2; d) cos x =√
32 ;
e) cosx = −12 ; f) cos x = −2; g) tg x = √
3; h) tg x = 4.
26. Išspręskite lygčių sistemą.
a){
x + y = 5,3x − 2y = 5; b)
{x + y = 3,
x2 − y = 39; c){
x − y = 1,
y + x2 = −1; d){ 2x + 13 = 6y,
3x + 4y = −3.
27. Dviejų natūraliųjų skaičių sandauga lygi 234, o jų skirtumas lygus 5. Raskite šių skaičių sumą.
28. Apskaičiuokite stačiojo trikampio perimetrą, jei trikampio vienas statinis yra 1 cm trumpesnis užįžambinę, bet 7 cm ilgesnis už kitą statinį.
29. 80 litrų sulčių pilstoma į vienodus puodelius. Puodelis yra ritinio formos, jo aukštis lygus 14 cm, oskersmuo –– 8 cm. Kiek bus pilnų puodelių? Laikykite π = 3,14.
30. Prekė kainavo 200 Lt. Iš pradžių ji buvo pabranginta 20 %. Vėliau naujoji kaina buvo sumažin-ta 20 %. Kiek kainuoja prekė dabar?
31. Automobilis važiuoja 90 km/h greičiu. Kiek metrų jis nuvažiuoja kiekvieną minutę?
32. Iš 2011 m. kalendoriaus plėšiamas vienas lapelis, ant kurio užrašyta diena. Kokia tikimybė, kadišplėštasis lapelis yra 29 dienos?
33. Atsukus čiaupą, baseinas pripildomas vandens per 24 minutes. Čiaupas buvo atsuktas 10 minučių.Kuri baseino dalis liko nepripildyta vandens?
DEM
O
12
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje1skyrius
34. a) Didėjimo tvarka surašykite pirmuosius penkis skaičiaus 4 kartotinius.b) Mažėjimo tvarka surašykite dviženklius skaičiaus 15 kartotinius.c) Didėjimo tvarka surašykite skaičiaus 8 daliklius.d) Mažėjimo tvarka surašykite skaičiaus 27 daliklius.
35. Apskaičiuokite f (3); f (4); f (−1); f (−2), kai:a) f (x) = 2x − 3; b) f (x) = −3x + 7; c) f (x) = 2 · 3x ; d) f (x) = 5 · (−2)x .
36. Apskaičiuokite reiškinio a+b2 · n reikšmę, kai:
a) a = −5, b = 24, n = 3; b) a = −32, b = 4, n = 6; c) a = 12,2, b = −3, n = 5.
37. Apskaičiuokite reiškinio b·c−ab−1 reikšmę, kai:
a) a = 4, b = 5, c = −2; b) a = −2, b = −8, c = 12 ; c) a = −6, b = −2,5, c = −2
5 .
38. Apskaičiuokite skaičių a ir b aritmetinį ir geometrinį vidurkius, kai:a) a = 4, b = 16; b) a = 7, b = 12; c) a = 4,5, b = 8; d) a = 6, b = 2
27 .
39. Kompiuteris kainavo 1500 Lt.1) Kokia dabar yra kompiuterio kaina, jeigu ji:
a) padidėjo 12 %? b) sumažėjo 20 %?2) Iš kokio skaičiaus reikia padauginti senąją kompiuterio kainą, kad gautume naująją?
40. Mykolas į banką padėjo 4200 Lt. Kiek litų palūkanų gaus Mykolas po metų, jeigu banko metiniųpalūkanų norma lygi:a) 10 %? b) 4 %? c) 2,5 %?
41. Pirmą dieną parodą aplankė 5000 žmonių. Kiekvieną kitą dieną parodos lankytojų skaičius padidė-davo po 10 %, palyginti su prieš tai buvusia diena. Kiek žmonių aplankė parodą:1) antrą dieną? 2) trečią dieną? 3) per visas tris parodos dienas?
42. Naujas automobilis kainuoja 40 000 Lt. Per metus automobilio vertė sumažėja 15 %, palyginti su joverte tų metų pradžioje.a) Kokia bus šio automobilio vertė:
1) po 1 metų? 2) po 2 metų? 3) po 3 metų?b) Kiek procentų (1 % tikslumu) automobilio vertė po 3 metų bus mažesnė, palyginti su jo pradine
kaina?
DEM
O
13
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.1. sekos 141.2. skaičių sekos 161.3. aritmetinė progresija 181.4. aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma 201.5. Geometrinė progresija 221.6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma 241.7. Procentai ir progresijos 26
Apibendriname 28Sprendžiame 30 Besidomintiems 32
aritmetinės progresijos formulių įrodymaiGeometrinės progresijos formulių įrodymai
Geometrijos uždaviniai. Kampai 34Įvairūs uždaviniai. Raidiniai reiškiniai. Lygtys 35Testas 36Pasitikriname 37 Kartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje 38
Sekos 1skyrius
1, 3, 5, 7, 9, 11, ...+2 +2 +2 +2 +2
1, ...2, , , , 32,4 8 16¥ 2 ¥ 2 ¥ 2¥ 2¥ 2 DE
MO
14
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.1. Sekos1skyrius
1 užduotis. Lentelėje pateikta Lietuvõs Respùblikos karinių oro pajėgų laipsnių pagal rangą seka.
Eil. Nr. KARINIS LAIPSNIS1 Eilinis2 Grandinis3 Jaunesnysis seržantas4 Seržantas5 Vyresnysis seržantas6 Viršila7 Jaunesnysis puskarininkis8 Puskarininkis9 Vyresnysis puskarininkis
Eil. Nr. KARINIS LAIPSNIS10 Leitenantas11 Vyresnysis leitenantas12 Kapitonas13 Majoras14 Pulkininkas leitenantas15 Pulkininkas16 Brigados generolas17 Generolas majoras18 Generolas leitenantas
1) Kiek narių turi ši seka?2) Įvardykite pirmąjį ir paskutinį šios sekos narius.3) Koks yra šios sekos šeštasis narys? dešimtasis narys?4) Kelintas šios sekos narys yra „Viršila“? „Pulkininkas“?
2 užduotis. Iš degtukų sudėliotos keturios figūros.
1) 2) 3) 4)
a) Nustatykite dėsningumą, kaip sudėliotos figūros, ir nupieškite tokiu būdu sudėliotas 5-ąją ir 6-ąjąfigūras.
b) Kiek degtukų sunaudota 1-ajai figūrai? 2-ajai figūrai? 3-ajai figūrai? 6-ajai figūrai?c) Kiek degtukų reikėtų 10-ajai figūrai? 15-ajai figūrai? 100-ajai figūrai? n-ajai figūrai?d) Užrašykite formulę, kuria naudojantis būtų galima apskaičiuoti tokiu būdu sudėliotos bet kurios figūros
degtukų skaičių d , priklausomai nuo figūros eilės numerio n.e) Naudodamiesi formule, apskaičiuokite, kiek degtukų reikėtų 250-ajai figūrai; 500-ajai figūrai.f) Kelintai figūrai reikėtų 38 degtukų? 100 degtukų?
3 užduotis. Užrašyti pirmieji vienuolika be galo daug narių turinčios skaičių sekos nariai.a) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... ; b) 1, 1
2 , 3, 14 , 5, 1
6 , 7, 18 , 9, 1
10 , 11, ... .1) Užrašykite šios sekos pirmąjį narį; ketvirtąjį narį; dešimtąjį narį.2) Nustatykite dėsningumą, pagal kurį sudaryta ši seka, ir užrašykite tolesnius penkis sekos narius.3) Koks yra šios sekos tryliktasis narys? penkioliktasis narys?
4 užduotis.
1) Sugalvokite kokį nors dėsningumą ir pagal jį užrašykite be galo daug narių turinčios skaičių sekospirmuosius 10 narių.
2) Su draugu susikeiskite sąsiuviniais. Pamėginkite nustatyti draugo užrašytos skaičių sekos dėsningumą.Jei pavyks, tai pratęskite seką dar penkiais nariais.
DEM
O
15
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.1. Uždaviniai 1skyrius
43. Pasaulyje yra 192 valstybės (2010 m. duomenimis). Lentelėje a) šios valstybės surašytos seka pagalvalstybių užimamą plotą, o lentelėje b) –– pagal gyventojų skaičių.a) Eil. Nr. VALSTYBĖ
1 Rùsija2 Kanadà3 JAV4 Kinija5 Brazilija... ...
120 Lietuvà121 Lãtvija... ...
129 Èstija... ...
192 Vatikãnas
b) Eil. Nr. VALSTYBĖ1 Kinija2 Indija3 JAV4 Indonèzija5 Brazilija... ...
125 Lietuvà... ...
138 Lãtvija... ...
147 Èstija... ...
192 Vatikãnas1) Išvardykite pirmuosius penkis sekos narius.2) Koks sekos narys yra prieš JAV ir koks –– po JAV?3) Kiek narių turi seka? 4) Kelintas sekos narys yra „Lietuvà“?
44. Pirmosios vasaros olimpinės žaidynės vyko 1896 m. Atėnuose. Vėliau jos buvo rengiamos kasketveri metai. Nevyko tik 1944 m. žaidynės (dėl II pasaulinio karo).Seka surašyti miestai, kuriuose vyko vasaros olimpinės žaidynės.
1. Atėnai (1896 m.) 5. Stòkholmas (1912 m.) 28. Atėnai (2004 m.)2. Paryžius (1900 m.)
... 29. Pekinas (2008 m.)3. Sent Luisas (1904 m.) 26. Atlanta (1996 m.) 30. Lòndonas (2012 m.)4. Lòndonas (1908 m.) 27. Sidnėjus (2000 m.)
1) Pasakykite pirmąjį šios sekos narį, t. y. kur vyko pirmoji vasaros olimpiada.2) Lietuvà pirmą kartą žaidynėse dalyvavo 1924 m. Kelintos tai buvo olimpinės žaidynės?3) Kelintais metais turėtų vykti 40-osios vasaros olimpinės žaidynės? 100-osios?4) Kelintosios bus olimpinės žaidynės, kurios vyks 2040 m.? 3000 m.?
45. Lentelėje Morzės abėcėle užrašytas žodis MATEMATIKA.M A T E M A T I K A− − · − − · − − · − − ·· − · − · −
Naudodamiesi lentelėje esančiais kodais, užrašykite seką ženklų, kurioje būtų užšifruotas žodis:a) MAMA; b) TEMA; c) TAKTIKA; d) KAKTA; e) TAIKA.
46. Duota be galo daug narių turinti skaičių seka. a) −1, 2, −3, 4, −5, 6, ... ; b) 3, 10, 5, 11, 7, 12, ... .1) Nustatykite dėsningumą, pagal kurį sudaryta ši seka, ir užrašykite tolesnius šešis sekos narius.2) Koks yra šios sekos pirmasis narys? šeštasis narys? dešimtasis narys?3) Ar sekoje yra pasikartojančių narių? Jei taip, tai iš sekos pirmųjų dvylikos narių užrašykite
pasikartojančių narių numerius.47. Apie šachmatų žaidimo istoriją sklando daug legendų. Vienoje jų pasakojama, kad galingas indų
valdovas patarėjams liepė sukurti tokį žaidimą, kuriam žaisti reikėtų proto, stropumo, įžvalgumoir išminties. Vienas valdovo pavaldinių ir tapo šachmatų išradėju. Sužavėtas šiuo žaidimu, indųvaldovas pasiūlė išradėjui pačiam nustatyti apdovanojimą. Šachmatų išradėjas pasirinko, kaip atrodėiš pirmo žvilgsnio, labai menką atlygį. Jis paprašė padėti ant šachmatų lentos pirmojo langelio 1kviečio grūdą, o ant kiekvieno kito –– dvigubai daugiau kviečių grūdų negu ant prieš tai buvusiojo,t. y. ant antrojo –– 1 · 2 = 2, ant trečiojo –– 2 · 2 = 22, ant ketvirtojo –– 22 · 2 = 23 grūdus, ... , antpaskutinio –– 262 · 2 = 263 grūdų.1) Kiek narių yra sekoje 1, 2, 22, 23, ... , 263?2) Užrašykite šios sekos aštuntąjį narį; dvidešimt pirmąjį narį; šešiasdešimtąjį narį.3) Kelintas šios sekos narys yra 210? 245? 260?
DEM
O
16
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.2. Skaičių sekos1skyrius
1 užduotis. Seką (an) sudaro lyginiai skaičiai, priklausantys intervalui [10; 20]:
10, 12, 14, ..., 20.
1) Užrašykite, kam lygus pirmasis sekos narys a1; penktasis sekos narys a5.2) Kiek narių turi ši seka? Su kuria n reikšme an = 20?3) Užrašykite, kam lygus (n − 2)-asis sekos narys an−2.
2 užduotis. Seka (an) sudaryta iš natūraliųjų skaičių, kurie dalijasi iš 3:
3, 6, 9, 12, 15, ... .
1) Užrašykite, kam lygus pirmasis sekos narys a1; dešimtasis sekos narys a10.2) Nustatykite n reikšmę, su kuria an = 30.
3 užduotis. Užrašyta skaičių seka (an).a) 3, 6, 9, 12, ... ; b) 10, 12, 14, 16, 18, 20.Sugalvokite reiškinį f (n) su vienu kintamuoju n ∈ N, kad reikšmės f (1), f (2), f (3), ... būtų lygiosatitinkamiems sekos nariams a1, a2, a3, ..., t. y. užrašykite formulę an = f (n), išreiškiančią sekos narį an
jo eilės numeriu n.
DEM
O
17
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.2. Uždaviniai 1skyrius
48. Užrašykite skaičių seką, kuri būtų:a) baigtinė; b) begalinė.
49. Užrašykite begalinės sekos a1, a2, a3, ... narį, einantį iš karto:a) po a3 nario; po a5 nario; po a10 nario; b) prieš a3 narį; prieš a5 narį; prieš a10 narį;c) po a17 nario; po a100 nario; po an nario; d) prieš a2 narį; prieš a200 narį; prieš an narį.
50. Surašykite sekos a1, a2, ... , an, ... narius, kurie yra tarp:a) a1 ir a5 narių; b) a7 ir a9 narių; c) a25 ir a31 narių; d) an ir an+3 narių.
51. Užrašykite penkis pirmuosius sekos (an) narius, kai:a) an = 6n; b) an = 3n − 1; c) an = n2 − 1; d) an = 6
n − 1; e) an = −3n.
52. Užrašykite antrąjį, penktąjį ir dešimtąjį sekos (an) narius, kai:a) an = −0,5n; b) an = 3−2n
2 ; c) an = −2n; d) an = 2n
n .
53. Sekos (an) n-asis narys an = 2n + 7. Apskaičiuokite:a) a1 + a2; b) a1 + a2 + a3; c) a4 + a5; d) a1 + a3 + a5.
54. a) Ar skaičius −21 yra sekos (an) narys, kai an = 12 − 3n?b) Ar skaičius 34 yra sekos (an) narys, kai an = 4n + 1?c) Ar skaičius 22 yra sekos (an) narys, kai an = n2 − 3?d) Ar skaičius −30 yra sekos (an) narys, kai an = 6 − n2?
55. Sekos (an) n-ojo nario formulė yra an = 5 − 2n. Raskite numerį šios sekos nario, kuris lygus:a) 1; b) −1; c) −15; d) −53; e) −197.
56. Sekos (an) pirmasis narys a1 = 10, o kiekvienas kitas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jįesančio nario ir skaičiaus 3 sumai. Raskite:a) a2; b) a5; c) a10; d) an.
57. Užrašyti begalinės skaičių sekos (an) pirmieji nariai.a) 2, 4, 6, 8, ... ; b) 1, 3, 5, 7, ... ; c) 1, 1
2 , 13 , 1
4 , ... ; d) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... .Užrašykite šios sekos n-ojo nario formulę.
DEM
O
18
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.3. Aritmetinė progresija1skyrius
3, 5, 7, 9, ... ; 4 1, –2, –5, ... .,
+(–3) +(–3) +(–3)+2 +2 +2
1 užduotis. Užrašyta aritmetinė progresija (an).a) 10, 15, 20, 25, 30, ... ; b) 0, −2, −4, −6, −8, ... .1) Apskaičiuokite: a2 − a1; a3 − a2; a4 − a3; a5 − a4.2) Kam lygus skirtumas an+1 − an?
2 užduotis. Žinomas aritmetinės progresijos (an) pirmasis narys a1 ir skirtumas d .a) a1 = 5, d = 2; b) a1 = −3, d = 3; c) a1 = 0, d = −2; d) a1 = −10, d = −5.1) Užrašykite pirmuosius penkis progresijos narius.2) Apskaičiuokite progresijos dešimtąjį narį a10; dvidešimtąjį narį a20.
3) Panagrinėkite schemą, vaizduojančią, kaip galima įsitikinti formulėsan = a1 + (n − 1) · dteisingumu.
a1 a2 a3 a4 a5 an. . . . . .
+ d
+ d
+ 2d
+ 3d
+ 4d
+( – 1)n d◊
+ d + d + d + d + d + dDEM
O
19
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.3. Uždaviniai 1skyrius
58. Ar užrašyta seka yra aritmetinė progresija? Jei taip, tai nurodykite jos skirtumą.a) 1, 3, 5, 7, 9; b) 5, 2, −1, −4, −7, −10; c) 1, 2, 4, 7, 11, 16; d) −10, −7, −4, −1, 2.
59. Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos narius, jei jos:a) pirmasis narys lygus 1, o kiekvienas kitas –– penkiais vienetais didesnis už prieš jį esantį;b) pirmasis narys lygus 7, o kiekvienas kitas –– keturiais vienetais mažesnis už prieš jį esantį.
60. Naudodamiesi formule an = a1+(n−1)·d , užrašykite pirmuosius penkis aritmetinės progresijos (an)narius, kai:a) a1 = 3, d = 7; b) a1 = 3, d = −7; c) a1 = −12, d = 10; d) a1 = −12, d = −10.
61. a) Seka (an) yra aritmetinė progresija, kurios a1 = 2, d = 5. Apskaičiuokite: a7; a10; a21.b) Seka (an) yra aritmetinė progresija, kurios a1 = −5, d = 4. Apskaičiuokite: a4; a12; a30.c) Seka (an) yra aritmetinė progresija, kurios a1 = 3, d = −0,5. Apskaičiuokite: a6; a15; a100.
62. a) Apskaičiuokite aritmetinės progresijos −6, −3, 0, 3, ... dvidešimt antrąjį narį.b) Apskaičiuokite aritmetinės progresijos 5, 0, −5, −10, ... keturioliktąjį narį.
63. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą d , pirmąjį narį a1, antrąjį narį a2 ir penkioliktąjį narį a15.a) a1, a2, 24, 31, 38, ...; b) a1, a2, −3, −5, −7, ... .
64. Raskite aritmetinės progresijos (an) skirtumą ir dešimtąjį narį, kai:a) a2 = 3, a5 = 9; b) a3 = 8, a7 = −10; c) a4 = −3, a9 = −0,5; d) a4 = 0, a7 = 1.
65. Paulius, norėdamas greičiau išmokti spręsti uždavinius, nutarė nuo kovo 1 dienos rimtai padirbėti:• pirmą dieną išspręsti 5 uždavinius;• kiekvieną kitą dieną išspręsti 2 uždaviniais daugiau negu vakarykštę.a) Kiek uždavinių turėtų išspręsti Paulius septintą dieną? penkioliktą dieną?b) Kiek uždavinių turėtų išspręsti Paulius paskutinę kovo mėnesio dieną ir ar tai realu padaryti,
jeigu vienam uždaviniui išspręsti reikia 10 minučių?66. Išjungus iš elektros tinklo šaldiklį, temperatūra jame kas valandą pakyla dviem laipsniais. Kokia
temperatūra bus šaldiklyje po 7 valandų, jeigu prieš išjungiant ji buvo −24 ◦C?
67. Raskite aritmetinės progresijos (an) nežinomą narį.a) 1; a2; 5; b) ... ; −4; a7; 2; ... ; c) ... ; 0; a7; −4; ... .
DEM
O
20
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.4. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma1
skyrius
Užduotis. Panagrinėkite, kaip galima apskaičiuoti aritmetinės progresijos2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
pirmųjų devynių narių sumą.I būdas. Galima tiesiog sudėti pirmuosius devynis skaičius:2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.
II būdas. Pastebėkime, kad:2 + 18 = 20, 4 + 16 = 20,
6 + 14 = 20, 8 + 12 = 20.
Vadinasi, ieškomoji suma lygi 20 · 4 + 10 = 90.
2 4 6+ + 8 10 12 14 16 18+ + + + + +20202020
III būdas. Pasinaudokime II būdo pastebėjimu: 2 + 18 = 20, o 20 = 10 + 10. Vadinasi, sumos 2 + 18kiekvieną dėmenį galima pakeisti šių dėmenų aritmetiniu vidurkiu 2+18
2 = 10. Analogiškai:4 + 16 = 10 + 10, 6 + 14 = 10 + 10, 8 + 12 = 10 + 10.Taigi2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 10 · 9 = 90.
IV būdas. Iš II ir III būdų samprotavimų galima padaryti išvadą, kad aritmetinės progresijos a1, a2, ..., an, ...
pirmųjų n narių sumą Sn galima apskaičiuoti naudojantis formule
Sn = a1 + an
2· n.
Mūsų atveju a1 = 2, an = 18, n = 9. Vadinasi, ieškomoji suma
S9 = 2 + 182
· 9 = 202
· 9 = 10 · 9 = 90.
Formule Sn = a1+an
2 · n patogu naudotis, kai žinomas pirmasis ir n-asis aritmetinės progresijos nariai a1ir an bei sumuojamų pirmųjų narių skaičius n.Kai žinomas aritmetinės progresijos pirmasis narys a1, skirtumas d ir sumuojamų pirmųjų narių skaičius n,tai patogu naudotis formule
Sn = 2a1 + (n − 1) · d
2· n.
Pabandykite ją įrodyti naudodamiesi formulėmis Sn = a1+an
2 · n ir an = a1 + (n − 1) · d .
DEM
O
21
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.4. Uždaviniai 1skyrius
68. Užrašyta aritmetinė progresija.a) 1, 2, 3, 4, ... , 10; b) 1, 3, 5, ... , 25; c) 10, 20, 30, ... , 90.Apskaičiuokite progresijos visų narių sumą:1) jos narius sudėdami iš eilės;2) taikydami aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę Sn = a1+an
2 · n.
69. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą, kai:a) a1 = 2, a4 = 16, n = 4; b) a1 = −3, a5 = 16, n = 5;
c) a1 = −7,5, a6 = 7,5, n = 6; d) a1 = 314 , a7 = 18,25, n = 7.
70. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos 10, 12, 14, 16, ... pirmųjų:a) devynių narių sumą S9; b) penkiolikos narių sumą S15; c) penkiasdešimties narių sumą S50.
71. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos aštuntąjį narį ir pirmųjų aštuonių narių sumą.a) 3, 7, 11 ... ; b) 8, 5, 2, ... ; c) −80, −70, −60, ... ; d) −56, −48, −40, ... .
72. Naudodamiesi formule Sn = 2a1+(n−1)·d2 · n, apskaičiuokite begalinės aritmetinės progresijos (an)
pirmųjų n narių sumą, kai:a) a1 = −2, d = 5, n = 6; b) a1 = 3, d = −2, n = 7;c) a1 = 1, d = 3, n = 12; d) a1 = −10, d = 5, n = 25.
73. Aritmetinės progresijos (an) pirmasis narys lygus −2, o skirtumas lygus 4. Apskaičiuokite:a) S12; b) S15; c) S20; d) S100.
74. Raskite sumą:a) visų natūraliųjų skaičių, mažesnių už 20;b) visų natūraliųjų skaičių nuo 30 iki 50 imtinai;c) visų dviženklių skaičių.
75. Darbininkas atliko tam tikrą darbą. Už pirmą valandą jam buvo sumokėta 15 Lt, o už kiekvienąkitą –– 2 litais daugiau negu už prieš tai buvusiąją. Kiek litų uždirbo darbininkas per aštuoniasvalandas?
76. Turistas kopia į kalną. Per pirmą valandą jis pakyla į 600 m aukštį, o per kiekvieną kitą –– 20 mmažiau negu prieš tai buvusiąją. Kiek metrų turistas pakils per 7 valandas?
77. Rutuliai sudėti trikampiu taip:pirmoje eilėje yra 1 rutulys, antroje –– 2, trečioje –– 3 ir t. t.a) Į kelias eiles sudėta 120 rutulių?b) Kiek rutulių sudėta, jei yra 30 eilių?
DEM
O
22
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.5. Geometrinė progresija1skyrius
3, , , , ... ; 4 26 12 24 , , –, ... .1,
¥ 2¥ ¥ ¥
¥ 2 ¥ 2
12
12
12
12
– – –
1 užduotis. Užrašyta geometrinė progresija (bn).a) 10, 50, 250, 1250, ... ; b) 10, 1, 1
10 , 1100 , ... .
1) Apskaičiuokite: b2b1
; b3b2
; b4b3
.2) Kam lygus santykis bn+1
bn?
2 užduotis. Žinomas geometrinės progresijos (bn) pirmasis narys b1 ir vardiklis q.a) b1 = 1, q = 3; b) b1 = 2, q = −3; c) b1 = −10, q = 2; d) b1 = −5, q = −2.1) Užrašykite pirmuosius keturis progresijos narius.2) Apskaičiuokite dešimtąjį progresijos narį b10.
3) Panagrinėkite schemą, vaizduojančią, kaip galima įsitikinti formulės bn = b1 · qn−1 teisingumu.
b1 b2 b3 b4 bn. . . . . .
¥ q
¥ q
¥ q2
¥ q3
¥ qn – 1
¥ q ¥ q ¥ q ¥ q ¥ qDEM
O
23
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.5. Uždaviniai 1skyrius
78. Ar skaičių seka yra geometrinė progresija? Jei taip, tai užrašykite jos vardiklį.a) 2, 8, 32, 128, 256; b) 10, 100, 1000, 10 000;
c) 25, 5, 1, 15 , 1
25 ; d) 3, 33, 333, 3333;e) 2, −4, 8, −16, 32; f) 1, 4, 9, 16, 25.
79. Užrašykite pirmuosius penkis geometrinės progresijos narius, jei jos:a) pirmasis narys lygus 1, o kiekvienas kitas –– trigubai didesnis už prieš jį esantį;b) pirmasis narys lygus 12, o kiekvienas kitas –– dvigubai mažesnis už prieš jį esantį.
80. Naudodamiesi formule bn = b1 · qn−1, užrašykite pirmuosius keturis geometrinės progresijos (bn)narius, kai:a) b1 = 1
8 , q = 2; b) b1 = 18, q = 12 ;
c) b1 = −16, q = 12 ; d) b1 = −24, q = −1,5;
e) b1 = 0,8, q = −12 ; f) b1 = 11
2 , q = 14 .
81. a) Seka (bn) yra geometrinė progresija, kurios b1 = 1, b2 = 2. Apskaičiuokite b4 ir b7.b) Seka (bn) yra geometrinė progresija, kurios b1 = 2, b2 = −4. Apskaičiuokite b5 ir b8.c) Seka (bn) yra geometrinė progresija, kurios b1 = −3, b2 = 12. Apskaičiuokite b3 ir b4.
82. a) Apskaičiuokite geometrinės progresijos 1, 3, 9, 27, ... septintąjį narį.b) Apskaičiuokite geometrinės progresijos 96, −48, 24, −12, ... aštuntąjį narį.
83. Raskite geometrinės progresijos (bn) vardiklį ir nežinomus narius.a) 1, 5, b3, b4, 625, b6; b) b1, −3, 15, b4;c) b1, b2, 2, 1, b5; d) b1, b2, b3, b4, 14, −7.
84. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) vardiklį ir pirmąjį narį, kai:a) b3 = 12, b4 = 24; b) b5 = 6, b6 = −12;c) b4 = 5, b5 = −2,5; d) b2 = 1, b3 = −0,1;
e) b4 = 12 , b5 = −1
4 ; f) b3 = −1, b4 = −13 .
85. Pirmojo kvadrato kraštinės ilgis yra 1 cm. Kiekvieno kito kvadrato kraštinė yra dvigubai ilgesnė užprieš jį esantį.1) Užrašykite iš eilės einančių (pradedant pirmuoju) šešių kvadratų:
a) kraštinių ilgių seką a1, a2, ... , a6; b) plotų seką S1, S2, ... , S6.2) Ar šios sekos yra geometrinės progresijos? Jei taip, tai užrašykite jų vardiklius.
86. Raskite geometrinės progresijos nežinomą narį.a) 1; b2; 4; b) ... ; −9; b5; −1; ... ; c) ... ; 1
2 ; b6; 2; ... .
DEM
O
24
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1skyrius
1.6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma
Užduotis. Panagrinėkite, kaip galima apskaičiuoti geometrinės progresijos
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...
pirmųjų aštuonių narių sumą.I būdas. Galima paprasčiausiai sudėti pirmuosius aštuonis skaičius:
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765.
Bet taip skaičiuoti neracionalu.
II būdas. Galima skaičiuoti naudojantis formule
Sn = b1 − bn · q
1 − q.
(Šios formulės įrodymą rasite atverstinyje „Besidomintiems“, p. 31.)
Mūsų atveju b1 = 3, bn = 384, q = 6 : 3 = 2. Vadinasi, ieškomoji suma
S8 = 3 − 384 · 21 − 2
= 3 − 768−1
= 765.
Formule Sn = b1−bn · q1−q
patogu naudotis, kai žinomas progresijos pirmasis ir n-asis nariai b1 ir bn beivardiklis q.Kai žinomas progresijos pirmasis narys b1, vardiklis q ir sumuojamų pirmųjų narių skaičius n, tai patogunaudotis formule
Sn = b1 − b1 · qn
1 − q= b1 · (
1 − qn)
1 − q.
Pabandykite ją įrodyti naudodamiesi formulėmis Sn = b1−bn·q1−q
ir bn = b1 · qn−1.DEM
O
25
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.6. Uždaviniai 1skyrius
87. Užrašyta geometrinė progresija.a) 5, 10, 20, 40, 80; b) −96, −48, −24, −12, −6, −3; c) 500, 100, 20, 4, 4
5 .Apskaičiuokite progresijos visų narių sumą:1) juos sudėdami iš eilės;2) taikydami geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę Sn = b1−bn·q
1−q.
88. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų penkių narių sumą, kai:a) b1 = 1, q = 3; b) b1 = −81, q = 1
3 ; c) b1 = −16, q = −12 .
89. Apskaičiuokite geometrinės progresijos vardiklį q, šeštąjį narį ir pirmųjų šešių narių sumą.a) 4, 8, 16, 32, ... ; b) 1, 3, 9, 27, ... ; c) 3, −6, 12, −24, ... .
90. Geometrinės progresijos (bn) pirmasis narys yra 18 , o vardiklis lygus −2. Apskaičiuokite:
a) S3; b) S9; c) S10.
91. Naudodamiesi formule Sn = b1·(1−qn)1−q
, apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n nariųsumą, kai:a) b1 = 1, q = 3, n = 4; b) b1 = −1, q = 2, n = 6; c) b1 = −100, q = 1
2 , n = 5.92. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) vardiklį q ir pirmųjų n narių sumą, kai:
a) b1 = −3, b2 = −6, n = 3; b) b1 = −4, b2 = 2, n = 4;
c) b1 = −12 , b2 = 1, n = 6; d) b1 = 8, b2 = −2, n = 5.
93. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų septynių narių sumą, kai:a) b7 = 128, q = 2; b) b7 = −256, q = −2; c) b7 = 729, q = −3; d) b7 = 1, q = 1
3 .94. Į kvadratą, kurio kraštinės ilgis yra 4 cm, įbrėžtas kitas
kvadratas, kurio viršūnės yra pirmojo kvadrato kraštiniųvidurio taškai. Į antrąjį kvadratą įbrėžtas trečias, į trečiąjį–– ketvirtas, į ketvirtąjį –– penktas, į penktąjį –– šeštas.Apskaičiuokite visų šių šešių kvadratų plotų sumą.
4 cm
95. Vienas ant kito sudėti penki kubeliai. Apatinio kube-lio briaunos ilgis lygus 64 m, o kiekvieno virš jo esančiokubelio briaunos ilgis sudaro 3
4 žemiau esančio kubeliobriaunos ilgio. Apskaičiuokite šio statinio:a) aukštį; b) tūrį.
DEM
O
26
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.7. Procentai ir progresijos1skyrius
1 užduotis. Rima į banką padėjo 5000 Lt. Bankas moka 3 % paprastųjų metinių palūkanų.1) Kiek pinigų bus Rimos sąskaitoje po: 1 metų? 2 metų? 3 metų? 4 metų?
Atsakymą užrašykite skaičių seka.2) Ar ši seka yra aritmetinė progresija? Jei taip, tai kam lygus progresijos skirtumas.
10 000 Lt 10 500 Lt 11 000 Lt 11 500 Lt . . .
+ 500 + 500 + 500 + 500
Pradin
.
ė
pinigų
suma
Pinig metų suma po ų,
t. y. antrųjų metų
pradžioje.
Pinigų suma po 2 metų,
t. y. trečiųjų metų
pradžioje.
Pinigų suma po 3 metų,
t. y. ketvirtųjų metų
pradžioje.
S0 S1 S2 S3
2 užduotis. Rimas į banką padėjo 5000 Lt. Bankas moka 3 % sudėtinių metinių palūkanų.1) Kiek pinigų bus Rimo sąskaitoje po: 1 metų? 2 metų? 3 metų? 4 metų?
Atsakymą užrašykite skaičių seka.2) Ar ši seka yra geometrinė progresija? Jei taip, tai kam lygus progresijos vardiklis.
¥ 1,05 ¥ 1,05 ¥ 1,05 ¥ 1,05
10 000 Lt 10 500 Lt 11 025 Lt 11 576,25 Lt . . .
Pradin
.
ė
pinigų
suma
Pinig metų suma po ų,
t. y. antrųjų metų
pradžioje.
Pinigų suma po 2 metų,
t. y. trečiųjų metų
pradžioje.
Pinigų suma po 3 metų,
t. y. ketvirtųjų metų
pradžioje.
S0 S1 S2 S3
DEM
O
27
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
1.7. Uždaviniai 1skyrius
96. Prekė kainavo 2000 Lt. Jos kaina kiekvieną mėnesį didėjo po 100 Lt, t. y. po 5 % nuo pradinėssumos. Užpildykite lentelę.
Prekės kainaPradinė Po 1 mėn. Po 2 mėn. Po 3 mėn. Po 4 mėn. Po 5 mėn.
97. Į banką, kuris moka 4 % paprastųjų metinių palūkanų, Janina padėjo 12 000 Lt. Apskaičiuokite,kiek pinigų bus Janinos sąskaitoje po 3 metų (t. y. ketvirtųjų metų pradžioje), naudodamiesi:a) aritmetinės progresijos n-ojo nario formule; b) paprastųjų procentų formule.
98. Į sandėlį atvežė 1200 kg apelsinų. Kiekvieną dieną juos perrenkant, atsirasdavo 24 kg (2 % nuoatvežto kiekio) netinkamų naudoti. Kiek kilogramų tinkamų naudoti apelsinų sandėlyje bus po 5dienų?
99. Į sandėlį atvežė 1600 kg mandarinų. Kiekvieną dieną juos perrenkant, atsirasdavo 5 % (skaičiuo-jant nuo atvežto kiekio) netinkamų naudoti, kuriuos tekdavo išmesti. Kiek kilogramų mandarinųsandėlyje bus po 3 dienų?
100. Miestelyje gyvena 10 000 gyventojų. Kasmet gyventojų prieaugis padidėja 0,5 % nuo pradiniogyventojų skaičiaus.1) Kiek gyventojų gyvens miestelyje po 2 metų? po 5 metų?2) Kiek padidės gyventojų skaičius miestelyje per 5 metus?3) Kiek procentų padidės gyventojų skaičius miestelyje per 5 metus, palyginti su pradiniu gyven-
tojų skaičiumi?101. Tarnautojo atlyginimas sausio mėnesį buvo 2000 Lt. Metus laiko kiekvieną mėnesį jo atlyginimas
didėjo po 3 %, skaičiuojant nuo sausio mėnesio atlyginimo.1) Kiek litų tarnautojas uždirbo balandžio mėnesį? liepos mėnesį?2) Kiek litų tarnautojas uždirbo per metus?
102. Prekė kainavo 2000 Lt. Jos kaina kiekvieną mėnesį didėjo po 5 %, skaičiuojant nuo prieš taibuvusio mėnesio kainos. Užpildykite lentelę.
Prekės kainaPradinė Po 1 mėn. Po 2 mėn. Po 3 mėn. Po 4 mėn. Po 5 mėn.
103. Į banką, kuris moka 4 % sudėtinių metinių palūkanų, Jonas padėjo 120 000 Lt. Apskaičiuokite,kiek pinigų bus Jono sąskaitoje po 3 metų (t. y. ketvirtųjų metų pradžioje), naudodamiesi:a) geometrinės progresijos n-ojo nario formule; b) sudėtinių procentų formule.
104. Kompiuteris kainavo 4000 Lt. Jo kaina kiekvieną mėnesį mažėjo po 0,5 %, skaičiuojant nuo prieštai buvusios kainos.1) Kiek kainavo kompiuteris po 2 mėnesių? po 5 mėnesių?2) Kiek litų sumažėjo kompiuterio kaina per 5 mėnesius?3) Kiek procentų sumažėjo kompiuterio kaina per 5 mėnesius, palyginti su pradine jo kaina?
105. Darbuotojo atlyginimas sausio mėnesį buvo 2000 Lt. Metus laiko kiekvieną mėnesį jo atlyginimasdidėjo po 2 %, skaičiuojant nuo prieš tai buvusio mėnesio atlyginimo.1) Kiek litų darbuotojas uždirbo balandžio mėnesį? birželio mėnesį?2) Kiek litų darbuotojas uždirbo per metus?
106. Šeima sausio mėnesį suvartojo 200 kWh elektros energijos. Pusę metų kas mėnesį jie sutaupydavoelektros energijos po 3 %, palyginti su praėjusiu mėnesiu. Kiek kilovatvalandžių elektros energijosšeima suvartojo:1) kovo mėnesį? 2) gegužės mėnesį? 3) per pusę metų?
107. Kasdien naikinant tam tikros rūšies piktžoles dirvoje, jų skaičius sumažėja 50 %, skaičiuojant nuoprieš tai buvusio kiekio. Kiek piktžolių liks dirvoje po 5 dienų, jei dabar jų yra:a) 1 000 000? b) 200 000?
DEM
O
28
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Apibendriname1skyrius
SekosSeka –– tam tikra tvarka išdėstytų objektų eilė.
, , , , . . .
Seka, kurios nariai (elementai) yra skaičiai, vadinamaskaičių sekà.
1, 2, 3, 4, 5, ... –– natūraliųjų skaičių seka.3, 6, 9, 12, 15, ... –– skaičiaus 3 kartotinių seka.
Seka, turinti baigtinį narių skaičių, vadinama baigtinèsekà.
1, 3, 9 –– skaičiaus 9 daliklių seka.
Seka, turinti be galo daug narių, vadinama begalinèsekà.
9, 18, 27, 36, ... –– skaičiaus 9 kartotinių seka.
Seka žymima (an), o jos nariai –– a1, a2, ..., an, ... ; čian ∈ N. Sekos gali būti žymimos ir kitomis raidėmis,pavyzdžiui: (bn), (xn).Skaičių seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedantantruoju, yra didesnis už prieš jį esantį narį, t. y.an+1 > an, vadinama didėjančiąja.
−4, −2, 0, 2, 4, ... –– didėjanti seka.
Skaičių seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedantantruoju, yra mažesnis už prieš jį einantį narį, t. y.an+1 < an, vadinama mažėjančiąja.
3, 1, −1, −3, −5, ... –– mažėjanti seka.
Seka gali būti nei didėjanti, nei mažėjanti. −3, 3, −3, 3, −3, ... –– seka nėra nei didėjanti,nei mažėjanti.
Formulė, išreiškianti sekos (an) narį an jo eilės nume-riu n, vadinama sekõs n-ojo nãrio fòrmule.
an = 3n + 2,a1 = 3 · 1 + 2 = 5,a2 = 3 · 2 + 2 = 8,............................a11 = 3 · 11 + 2 = 35,............................an−1 = 3 · (n − 1) + 2 = 3n − 1.
Aritmetinė progresijaSkaičių seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedantantruoju, lygus prieš jį esančio nario ir to paties skai-čiaus d sumai, vadinama aritmètine progrèsija. 1, 6, 11, 16, 21, ... –– aritmetinė progresija:
a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11, ... ;Skaičius d vadinamas aritmètinės progrèsijos skirtumu:d = an+1 − an.
a2 − a1 = a3 − a2 = · · · = an+1 − an = · · · == d = 5;
Aritmetinės progresijos (an) n-ąjį narį an galima ap-skaičiuoti naudojantis formulean = a1 + (n − 1) · d.
a7 = a1 + 6d = 1 + 6 · 5 = 31;an = 1 + (n − 1) · 5 = 5n − 4;
Aritmetinės progresijos (an) vidurinio nario savybė:an = an−1+an+1
2 . 11 = 6+162 ;
Aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą Sn
galima apskaičiuoti naudojantis šiomis formulėmis:Sn = a1+an
2 · n,
Sn = 2a1+(n−1)·d2 · n.
S5 = a1+a52 · 5 = 1+21
2 · 5 = 11 · 5 = 55,S5 = 2·a1+(5−1)·d
2 · 5 = 2·1+4·52 · 5 = 55.
DEM
O
29
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Apibendriname 1skyrius
Geometrinė progresijaSkaičių seka (bn), kurios pirmasis narys nelygus nu-liui, o kiekvienas kitas narys, pradedant antruoju, ly-gus prieš jį esančio nario ir to paties skaičiaus q �= 0sandaugai, vadinama geomètrine progrèsija. 2, 10, 50, 250, ... –– geometrinė progresija:
b1 = 2, b2 = 10, b3 = 50, b4 = 250, ... ;
Skaičius q vadinamas geomètrinės progrèsijos vardik-liù:q = bn+1
bn.
b2b1
= b3b2
= b4b3
= · · · = bn+1bn
= · · · = q = 5;
Geometrinės progresijos (bn) n-ąjį narį galima apskai-čiuoti naudojantis formulebn = b1 · qn−1.
b7 = b1 · q6 = 2 · 56 = 31 250;bn = 2 · 5n−1;
Geometrinės progresijos (bn) vidurinio nario savybė:b2n = bn−1 · bn+1. 102 = 2 · 50;
Geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą Sn
galima apskaičiuoti naudojantis šiomis formulėmis:Sn = b1−bn·q
1−q,
Sn = b1·(1−qn)1−q
.
S7 = b1−b7·q1−q = 2−31250 · 5
1−5 = 39 062,
S7 = b1−b1·q7
1−q= 2−2·57
1−5 = 39 062.
Procentai ir progresijosJei dydis A padidėja (sumažėja) n kartų po p procen-tų, kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuo pradinėsdydžio A reikšmės A0, tai po n kartų dydžio A reikšmęAn galima apskaičiuoti naudojantis paprastųjų procen-tų arba aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėmis:
dydžio
reikšmės
A
aritmetinės
progresijos ( )
nariai
an
A A A A A0 1, , ..., 1 + —n = ◊ ◊ ;nn 0fi
a a a a a1 1, , ..., n d2 + 1 + 1n n = + ◊ .fi
p
100
Skaičių 250 padidinę (sumažinę) 4 kartus skai-čiumi, kuris sudaro 20 % skaičiaus 250, gauna-me250 · (1 + 20
100 · 4) = 250 · 1,8 = 450(
250 · (1 − 20
100 · 4) = 250 · 0,2 = 50
).
Arba: a1 = 250, d = 50, n = 5,a5 = 250 + (5 − 1) · 50 = 450(a1 = 250, d = −50, n = 5,
a5 = 250 + (5 − 1) · (−50) = 50).
Jei dydis A padidėja (sumažėja) n kartų po p procentų,kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuo padidėju-sios (sumažėjusios) dydžio A reikšmės, tai po n kartųdydžio A reikšmę An galima apskaičiuoti naudojantissudėtinių procentų arba geometrinės progresijos n-ojonario formulėmis:
dydžio
reikšmės
A
geometrinės
progresijos ( )
nariai
bn
A A A A A0 1, , ..., 1 + —n
n= ◊ ;n 0fi
b , 2 + 1b1 b q, ..., n b b .+ 1 1= ◊ nfi n
p
100
Skaičių 250 padidinę (sumažinę) 4 kartus po20 %, kiekvieną kartą procentus skaičiuojant nuopadidėjusio (sumažėjusio) skaičiaus, gauname250 · (1 + 20
100)4 = 250 · 2,0736 = 518,4(
250 · (1 − 20
100)4 = 250 · 0,4096 = 102,4
).
Arba: b1 = 250, q = 1,2, n = 5,b5 = 250 · 1,24 = 518,4(b1 = 250, q = 0,8, n = 5,
b5 = 250 · 0,84 = 102,4).
DEM
O
30
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Sprendžiame1skyrius
108. Apskaičiuokite pirmuosius tris sekos (an) narius, kai:a) an = −7n + 3; b) an = n2 + 2n; c) an = (n − 1)(n + 3); d) an = (−3)n + 3n.
109. Apskaičiuokite antrąjį, trečiąjį ir ketvirtąjį sekos (an) narius, kai:a) a1 = 1, an+1 = 3an − 1;b) a1 = 3, an+1 = −5an;c) a1 = 2, an+1 = a2
n;d) a1 = 1, an+1 = a2
n + an.
110. Apskaičiuokite ketvirtąjį ir tryliktąjį aritmetinės progresijos (an) narius, kai:a) a1 = 14, d = −3; b) a1 = −2, d = 1
6 ; c) a1 = 12, d = −13 ; d) a1 = −3,5, d = −1,5.
111. Apskaičiuokite pirmąjį aritmetinės progresijos (an) narį, kai:a) a3 = 2, a6 = 14; b) a2 = −7, a8 = 11; c) a8 = 1, a25 = 9,5; d) a4 = −24, a10 = −60.
112. Raskite nežinomus aritmetinės progresijos narius.a) 10, a2, a3, 34; b) 34, a2, a3, a4, 10; c) 7, a2, a3, a4, a5, a6, a7, 35.
113. Užrašykite aritmetinės progresijos (an) n-ojo nario formulę, kai:a) a1 = 3, d = 5; b) a1 = 7, d = −2; c) a1 = −8, d = −0,5; d) a1 = −2
3 , d = 13 .
114. Raskite pirmųjų šešių aritmetinės progresijos narių sumą.a) 3,8; 4,2; 4,6; 5; ... ; b) 41
2 ; 4; 312 ; 3; ... ; c) −3; −2; −1; 0; ... ; d) −14,2; −9,6; −5; ... .
115. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) pirmųjų keturiolikos narių sumą, kai žinoma n-ojonario formulė.a) an = 2n + 1; b) an = 4 − 3n; c) an = −0,5n + 1; d) an = 4,5n − 14,5.
116. Apskaičiuokite x reikšmę, su kuria nurodyta trijų skaičių seka būtų aritmetinė progresija.a) 8, x, x + 7; b) 3x − 4, x + 5, 2; c) 4x + 1, 5x − 3, x + 3.
117. Iš lėktuvo išmestas krovinys per pirmąją sekundę nukrinta 4,9 m, o per kiekvieną kitą –– 9,8 mdaugiau negu prieš tai buvusiąją. Krovinys pasiekė žemę per 5 s nuo kritimo pradžios. Iš kokioaukščio buvo išmestas krovinys?
DEM
O
31
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Sprendžiame 1skyrius
118. Užrašykite pirmuosius keturis geometrinės progresijos (bn) narius, kai:a) b1 = 1
6 , q = 2; b) b1 = 16, q = −12 ; c) b1 = 1, q = √
2; d) b1 = −13 , q = −√
3.
119. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) vardiklį q, kai:a) b3 = 10, b5 = 1000;b) b2 = 3, b6 = 1
27 ;c) b5 = −6, b7 = −54;d) b3 = −28, b6 = 3,5.
120. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) vardiklį ir pirmąjį narį, kai:a) b4 = 8, b6 = 32; b) b3 = 2, b5 = 162; c) b3 = −2, b5 = −1
8 ; d) b4 = √3, b6 = 3
√3.
121. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą, kai:a) b1 = 3, q = 2, n = 5; b) b1 = −1, q = 1
2 , n = 4; c) b1 = 1, q = −2, n = 6.122. Apskaičiuokite geometrinės progresijos pirmųjų šešių narių sumą.
a) 3, 6, 12, ... ; b) −16, −8, −4, ... ; c) 2, −6, 18, ... ; d) 12 , −1
4 , 18 , ... ; e) 1,
√2, 2, ... .
123. Užrašyta geometrinės progresijos (bn) n-ojo nario formulė.a) bn = 4n; b) bn = −5 · 3n; c) bn = 7 · (−2)n−1; d) bn = 24 · 2n.Apskaičiuokite šios geometrinės progresijos:1) pirmąjį narį b1; 2) vardiklį q; 3) pirmųjų penkių narių sumą S5.
124. Su kuria x reikšme nurodyta trijų skaičių seka būtų geometrinė progresija?a) −6, 15, x
2 ; b) −4, x + 1, −25; c) 3 + x, x, 3.
125. Geometrinės progresijos (bn) vardiklis q = 0,5, n-asis narys bn = 2, pirmųjų n narių sumaSn = 254. Apskaičiuokite b1 ir n.
126. Į banką buvo padėta 8000 litų. Kokia yra banko paprastųjų metinių palūkanų norma, jeigu po 2metų pinigų suma išaugo iki 8640 Lt?
127. Į banką, kuris moka p procentų sudėtinių metinių palūkanų, padėta A litų dvejiems metams.Apskaičiuokite p reikšmę, jeigu po dvejų metų pinigų suma bus lygi A2, kai:a) A = 3600 Lt, A2 = 4006,89 Lt; b) A = 5200 Lt, A2 = 6234,93 Lt.
128. Apskaičiuokite sumą:3 + 2 + 6 + 1 + 9 + 1
2 + · · · + 30 + 1256 .
DEM
O
32
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Besidomintiems1skyrius
Aritmetinės progresijos formulių įrodymai
(an) yra aritmetinė progresija, d = an+1 − an.Įrodykime, kad teisingos šios formulės:
1) an = a1 + (n − 1) · d (čia n � 1);
2) a1 + an = a1+k + an−k (čia k ∈ N, k < n);
3) an = an−k + an+k
2 (čia k ∈ N, k < n);
4) Sn = a1+an
2 · n = 2a1+(n−1)·d2 · n.
Įrodymas.1) Kiekvieną aritmetinės progresijos (an) narį, pradedant antruoju, užrašykime prieš jį esančio nario ir
progresijos skirtumo d suma, o gautąsias n − 1 lygybes sudėkime:
a2 = a1 + d,
+ a3 = a2 + d,
. . . . . . . . . . . . . . .
an = an−1 + d,
a2 + a3 + · · · + an = a1 + d + a2 + d + · · · + an−1 + d.
Šią lygybę užrašykime taip:(a2 + a3 + · · · + an−1) + an = a1 + (a2 + · · · + an−1) + d + d + · · · + d︸ ︷︷ ︸
(n−1) dėmuo
.
Iš abiejose lygybės pusėse esančių reiškinių atėmę skliaustuose užrašytą sumą, gauname:an = a1 + (n − 1) · d.
2) a1+k = a1+(1+k−1)·d = a1+k ·d; an−k = a1+(n−k−1)·d = a1+(n−1)·d−k ·d = an−k ·d .Sudėję šias lygybes, gauname: a1+k + an−k = a1 + kd + an − kd = a1 + an.
3) an−k = an − k · d; an+k = a1 + (n + k − 1) · d = a1 + (n − 1) · d + k · d = an + k · d . Tuometan−k+an+k
2 = an−kd+an+kd2 = 2an
2 = an.
4)Sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an,+Sn = an + an−1 + · · · + a2 + a1,
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + · · · + (an−1 + a2) + (an + a1).Bet a2 + an−1 = · · · = an−1 + a2 = a1 + an (žr. formulės 2) įrodymą).Vadinasi,
2Sn = (a1 + an) · n, ⇒ Sn = (a1 + an) · n2
= a1 + an
2· n.
Iš formulių an = a1 + (n − 1) · d ir Sn = a1+an
2 · n gauname, kad
Sn = a1+a1+(n−1)·d2 · n = 2a1+(n−1)·d
2 · n.
DEM
O
33
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Besidomintiems 1skyrius
Geometrinės progresijos formulių įrodymai
(bn) yra geometrinė progresija, q = bn+1bn
.
Įrodykime, kad teisingos šios formulės:
1) bn = b1 · qn−1 (čia n � 1);
2) b1 · bn = b1+k · bn−k (čia k ∈ N, k < n);
3) b2n = bn−k · bn+k (čia k ∈ N, k < n);
4) Sn = b1−bn·q1−q
= b1−b1·qn
1−q.
Įrodymas.1) Kiekvieną geometrinės progresijos narį, pradedant antruoju, užrašykime prieš jį esančio nario ir pro-
gresijos vardiklio q sandauga, o gautąsias n − 1 lygybes sudauginkime:
b2 = b1 · q,
× b3 = b2 · q,
. . . . . . . . . . . . . . .
bn = bn−1 · q,
b2 · b3 · . . . · bn = b1 · q · b2 · q · . . . · bn−1 · q.
Gautąją lygybę užrašykime taip:(b2 · b3 · . . . · bn−1) · bn = b1 · (b2 · . . . · bn−1) · q · q · . . . · q︸ ︷︷ ︸
(n−1) dauginamasis
.
Abiejose lygybės pusėse esančius reiškinius padaliję iš skliaustuose esančios sandaugos, gauname:bn = b1 · qn−1.
2) b1+k = b1 · q1+k−1 = b1 · qk; bn−k = b1 · qn−k−1 = b1 · qn−1 · q−k = bn
qk .
Sudauginę šias lygybes, gauname: b1+k · bn−k = b1 · qk · bn
qk = b1 · bn.
3) bn−k = bn
qk ; bn+k = b1 · qn+k−1 = b1 · qn−1 · qk = bn · qk. Tuomet
bn−k · bn+k = bn
qk · bn · qk = b2n.
4) Sn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn−1 + bn. (1)Abiejose šios lygybės pusėse esančius reiškinius padauginkime iš q:Sn · q = b1 · q + b2 · q + b3 · q + · · · + bn−1 · q + bn · q = b2 + b3 + b4 + · · · + bn + bn · q. (2)Iš (1) lygybės atimkime (2) lygybę:
Sn − Sn · q = b1 − bn · q, ⇒ Sn(1 − q) = b1 − bn · q, ⇒ Sn = b1−bn · q1−q
.
Iš formulių bn = b1 · qn−1 ir Sn = b1−bn · q1−q
gauname, kad
Sn = b1−b1 · qn−1 · q1−q
= b1−b1 · qn
1−q.
DEM
O
34
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Geometrijos uždaviniai1skyrius
Kampai
129. Spindulys AD kampą BAC dalija į dvi dalis taip, kad kampas DAC yra 48◦ didesnis už kam-pą BAD. Apskaičiuokite kampų BAD ir DAC dydžius, kai ∠BAC = 172◦.
130. Trikampio ABC pusiaukampinės AA1 ir BB1 ker-tasi taške O. Apskaičiuokite trikampio ABC kam-pų dydžius, kai ∠BAO = 28◦, ∠AOB = 105◦.
M K
NM1
131. Apskaičiuokite trikampio ABC kampų dydžius (1◦ tikslumu), kai AB = 8 cm, AC = 15 cm,BC = 17 cm.
a
b cα
βγ
132. Apskaičiuokite pavaizduoto lygiagretainio kampųdydžius.
A A
B BC C
D D2 – 5x ∞
8 – 31x ∞5 – 4x ∞
3 + 19x ∞
a) b) A
B C
D
133. Apskaičiuokite pavaizduotos trapecijos kampųdydžius.
A A
B BC C
D D
1,2x
2,8x
a) b)2y
y
3 – 20x ∞
2xA
B C
D
134. Lygiašonės trapecijos ABCD kampų, esančių priešoninės kraštinės AB, dydžių santykis lygus 2 : 3.Apskaičiuokite trapecijos kampų dydžius.
A
B C
D
135. Pavaizduotas įbrėžtinis kampas ir jį atitinkantis centrinis kampas.Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį.a) b) c)
x xx138∞
46∞
260∞
A
B
C
O
136. Įbrėžtinis kampas ACB remiasi į apskritimoskersmenį AB. Apskaičiuokite ∠B, kai:a) ∠A = 37◦; b) AC = CB.
DEM
O
35
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Įvairūs uždaviniai 1skyrius
Raidiniai reiškiniai. Lygtys
137. Reiškinį išskaidykite dauginamaisiais.a) 12ab − 6ac; b) 5ab + 15a2; c) 8a2b − 24ab2; d) −9a − 18a2b2;e) x(a − 3) + 2(a − 3); f) x(a + 5) − y(5 + a); g) x(2 − a) − (a − 2); h) 3(x − a) − y(a − x);
i) 16x2 − 81y2; j) x2 − 0,36y2; k) 49x2 − 7; l) 214x2 − y.
138. Išspręskite tiesinę lygtį.a) 3x = −24
7; b) 3x + 13 = x − 5; c) x−4
3 = −3x2 ; d) 2 − x+1
5 = 2x5 ; e) 8
(x2 − 4
) = 34 .
139. Išspręskite nepilnąją kvadratinę lygtį.a) 2
7x2 = 0; b) 3x2 = 13 ;
c) 2x2 = −5; d) 3 = 4x2−15 ;
e) 5x2 − 20x = 0; f) 10x2 = 3x;
g) 1,6x − 2x2 = 0; h) 6x = 1,2x2.
140. Išspręskite pilnąją kvadratinę lygtį.a) x2 − 6x + 8 = 0; b) 3x2 + 5x − 2 = 0;
c) x2 − 10x + 25 = 0; d) 4x2 + 12x + 9 = 0;
e) x2 + 3x + 7 = 0; f) 2x2 − x + 5 = 0.
141. Kvadratinį trinarį išskaidykite dauginamaisiais.a) x2 + 3x − 28; b) x2 − 9x + 18; c) x2 − 51
5x + 1;
d) 6x2 + 7x − 5; e) 16x2 + 16x + 4; f) 2x2 + 4x + 5.
142. Išspręskite rodiklinę lygtį.a) 3x − 4 = 5; b) 4x + 8 = 2; c) 2x + 3 = 8;
d) 5x−2 = 0; e) 3x+4 = 127 ; f) 42x+3 = −4;
g)(1
2)2+x = 4; h)
(23)3−2x = 1; i)
(35)1−3x = 5
3 .
143. Išspręskite logaritminę lygtį.a) log2 x − 3 = 1; b) log3 x + 2 = 1; c) log4 x + 2 = 3;
d) log2(x + 3) = 0; e) log3(2 − x) = −1; f) log4(2x + 1) = 12 ;
g) log 12(x − 3) = −2; h) log8(1 + x) = 1
3 ; i) log 14(3 − 2x) = 1
2 .
144. Išspręskite lygtį su moduliu.a) 2 · |x| + 3 = 5; b) 3 · |x| − 2 = −2; c) |x| + 4 = 1;
d) |x − 2| = 37 ; e) |4 − 2x| = 2,6; f) |3x + 1| = −6;
g)∣∣x − 2
3∣∣ = 4; h)
∣∣14 + x
∣∣ = −3; i)∣∣2
5 − x∣∣ = 1
5 .
DEM
O
36
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Testas1skyrius
145. Sekos an = −n2 pirmieji 3 nariai yra:A 1, 4, 9 B −1, 0, 1 C 0, 1, 4 D −1, −4, −9 E −1, −2, −3
146. Aritmetinės progresijos 2, 8, 14, ... penktasis narys lygus:A 128 B 32 C 26 D 20 E 14
147. Geometrinės progresijos 3, 6, 12, ... penktasis narys lygus:A 18 B 24 C 48 D 96 E 108
148. Užrašyta trijų skaičių seka 3, 18, �.a) Ši seka yra aritmetinė progresija, jei jos trečiasis narys lygus:
A 54 B 33 C 108 D 48 E 81b) Ši seka yra geometrinė progresija, jei jos trečiasis narys lygus:
A 108 B 48 C 1 D 32 E 54
149. Jei aritmetinės progresijos (an) pirmasis narys a1 = 2, o skirtumas d = −4, tai a5 =A −18 B 18 C −14 D 14 E −20
150. Jei geometrinės progresijos (bn) pirmasis narys b1 = 3, o vardiklis q = −2, tai b4 =A 216 B 48 C −24 D −48 E −216
151. Aritmetinės progresijos (an) n-asis narys an = 2n + 3. Šios progresijos skirtumas lygus:A 3 B 2 C 5 D −2 E Nustatyti neįmanoma
152. Geometrinės progresijos (bn) n-asis narys bn = 2 · 3n. Šios progresijos vardiklis lygus:A −3 B −2 C 2 D 3 E 1
3
153. Aritmetinės progresijos 18, a2, 32, a4 antrasis ir ketvirtasis nariai atitinkamai lygūs:A 24 ir 44 B 25 ir 39 C 26 ir 40 D 30 ir 39 E 20 ir 44
154. Jei 4, x, 9 yra geometrinė progresija, tai x =A 36 B −6 C 6 D 6,5 E −6 ir 6
155. Aritmetinės progresijos 1, 2, 3, ... , 30 visų narių suma lygi:A 36 B 465 C 480 D 226 E 240
156. 1 + 2 + 3 + · · · + n =A n2
2 B n2+n2 C n+1
2nD n2 E n
157. 1 + 2 + 22 + · · · + 25 =A 99 B 82,5 C 33 D 63 E 39
158. Prekė kainavo 400 Lt. Jos kaina tris mėnesius iš eilės mažėjo po 5 %, skaičiuojant nuo pradinėsprekės kainos. Kiek kainavo prekė po 3 mėnesių?A 20 Lt B 60 Lt C 340 Lt D 342,95 Lt E 380 Lt
159. Indėlininkas į banką padėjo 8000 Lt. Bankas moka 4 % sudėtinių metinių palūkanų. Kiek pinigųatsiims indėlininkas iš banko po 2 metų?A 8652,8 Lt B 652,8 Lt C 15 680 Lt D 32 000 Lt E 8640 Lt
160. Lygiašonio trikampio kampas prie pagrindo lygus 38◦. Tuomet kampo prieš pagrindą dydis yra:A 38◦ B 142◦ C 104◦ D 90◦ E Apskaičiuoti neįmanoma
161. 6x2 + 5x − 6 =A (3x+2)(x−3) B (2x−3)(3x−2) C (3x+2)(2x+3) D (3x+2)(2x−3) E (3x−2)(2x+3)
DEM
O
37
12 k
lasė
. Ben
dra
sis
kurs
as
Pasitikriname 1skyrius
162. Nustatykite dėsningumą, pagal kurį sudaryta seka, ir užrašykite dar tris jos narius.a) 2, 4, 6, 8, ... ; b) 2, 4, 8, 16, ... .
163. Užrašykite pirmuosius penkis sekos (an) narius, kai:a) an = 2n + 1; b) an = n2; c) an = −2n.
164. Ar nurodyta seka yra aritmetinė progresija? Jei taip, tai užrašykite jos skirtumą.a) 3, 7, 11, 15, 19; b) 8, 5, 2, −1, −4; c) 1, 4, 9, 16, 25, 36; d) 10, 7, 4, 1, −3.
165. Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos narius, kai jos:a) skirtumas lygus 4, o pirmasis narys lygus 1; b) pirmasis narys lygus 13, o skirtumas lygus −5.
166. Aritmetinės progresijos (an) pirmasis narys a1 = 3, skirtumas d = 6. Apskaičiuokite a2, a6, a10.
167. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) skirtumą d , kai:a) a1 = −3, a2 = 4; b) a2 = 2,4, a3 = −3,1; c) a2 = 3, a5 = −6; d) a4 = −12
3 , a9 = 0.
168. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) pirmųjų n narių sumą, kai:a) a1 = 3, a8 = 25, n = 8; b) a1 = −10, d = 2, n = 12; c) a1 = 8,5, d = −1,5, n = 10.
169. Televizijos antenoje yra 15 strypelių, kurių ilgiai sudaroaritmetinę progresiją. Antrojo strypelio ilgis lygus 23 cm,o paskutinio –– 75 cm. Apskaičiuokite:1) pirmojo strypelio ilgį;2) dvyliktojo strypelio ilgį;3) visų 15 strypelių ilgių sumą.
170. Daržovių parduotuvė pirmą dieną pardavė 180 kg agurkų, o kiekvieną kitą –– 5 kg daugiau neguprieš tai buvusiąją. Kiek kilogramų agurkų parduotuvė pardavė penktą dieną? Kiek tonų agurkųiš viso pardavė parduotuvė, jeigu agurkais ji prekiavo 12 dienų?
171. Autobusas pirmąją kelionės valandą nuvažiavo 80 km. Tačiau, blogėjant eismo sąlygoms, jo greitiskiekvieną valandą sumažėdavo 5 km/h. Kiek kilometrų autobusas nuvažiavo per 6 valandas?
172. Ar nurodyta seka yra geometrinė progresija? Jei taip, tai užrašykite jos vardiklį.a) 1, 4, 16, 64, 256; b) 25, 5, 1, 1
5 ; c) 10, 15, 25, 40, 60; d) 100; 50; 25; 12,5.
173. Užrašykite pirmuosius keturis geometrinės progresijos narius, kai jos:a) pirmasis narys lygus 1, o vardiklis lygus 3; b) pirmasis narys lygus 32, o vardiklis lygus −1
2 .
174. Geometrinės progresijos (bn) pirmasis narys b1 = 10, vardiklis q = 2. Apskaičiuokite b2, b3, b5.
175. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) vardiklį q, kai:a) b1 = 4, b2 = 8; b) b1 = −3, b2 = 1,5; c) b2 = −24, b5 = −3; d) b3 = −4, b6 = 1
2 .
176. Apskaičiuokite geometrinės progresijos (bn) pirmųjų n narių sumą, kai:a) b1 = 1, b6 = 32, n = 6; b) b1 = −125, q = 1
5 , n = 5.
177. Paskolinta 7500 Lt trejiems metams, sutarus dėl 2 % metinių palūkanų normos. Kokia pinigų sumaturės būti grąžinta po trejų metų, jei metinės palūkanos yra:a) paprastosios? b) sudėtinės?
178. Keturkampis ABCD yra stačioji trapecija, AD ir BC –– pagrindai, AC –– įstrižainė, AD = DC,AB ⊥ BC, ∠BAC = 68◦. Apskaičiuokite trapecijos kampų dydžius.
179. Išspręskite lygtį.a) 2x−3
2 = 2,5; b) 8x = 12x2; c) 4x2 + 1 = 4x; d) −2x2 = 5 − x;
e)(1
3)x+2 = 9; f) 2x − 5 = 6; g) log9(3x − 2) = 1
2 ; h) |3x − 2| = 13 .
DEM
O
150
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
1.1. D.
2. C.
3. E.
4. B.
5. C.
6. B.
7. E.
8. A.
9. A.
10. C.
11. B.
12. B.
13. E.
14. D.
15. A.
16. C.
DEM
O
151
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Kartojame tai, ko mokėmės 11 klasėje
17. a) 116 ; b) 125; c) −1; d) 1; e) 2; f) −3; g) 0; h) −2.
18. a) m ∈ (−∞; −0,5) ∪ (−0,5; +∞); b) m ∈ [3; +∞); c) m ∈ (−∞; +∞); d) m ∈ (0; +∞).
19. a) sin 390◦ = 12 , cos 390◦ =
√3
2 , tg 390◦ =√
33 ;
b) sin(−30◦) = −12 , cos(−30◦) =
√3
2 , tg(−30◦) = −√
33 ;
c) sin 120◦ =√
32 , cos 120◦ = −1
2 , tg 120◦ = −√3;
d) sin 240◦ = −√
32 , cos 240◦ = −1
2 , tg 240◦ = √3.
20. a) 70 cm2; b) 20√
3 dm2.
21. a) 8√
2 cm; b) 4√
63 cm; c)
√21 cm; d) 6
√19 cm.
22. a) Ne; b) taip; c) taip; d) ne; e) taip; f) taip.
23. a) Nelyginė; b) lyginė; c) nelyginė;d) nėra nei lyginė, nei nelyginė.
24. a) x = −2; b) x = 1; c) x = 7; d) tokių x reikšmių nėra;e) x = 2; f) x = 2; g) x = 9; h) x = −1
2 ; i) x = −2, x = 2; j) tokių x reikšmių nėra;k) x = −2
3 , x = 23 ; l) x = −2,5, x = 4,5.
25. a) x = (−1)k · 30◦ + 180◦ · k, k ∈ Z;b) x = (−1)k+1 · 45◦ + 180◦ · k, k ∈ Z;c) sprendinių nėra;d) x = ±30◦ + 360◦ · k, k ∈ Z;e) x = ±120◦ + 360◦ · k, k ∈ Z;f) sprendinių nėra;g) x = 60◦ + 180◦ · k, k ∈ Z;h) x = arctg 4 + 180◦ · k, k ∈ Z.
26. a) (3; 2); b) (−7; 10), (6; −3); c) (0; −1), (−1; −2); d)(−2 9
13 ; 1 726
).
27. 31.
28. 30 cm.
29. 113.
30. 192 Lt.
31. 1500 m.
32.11365 .
33. 712 .
DEM
O
152
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje
34. a) 4; 8; 12; 16; 20; b) 90; 75; 60; 45; 30; 15; c) 1; 2; 4; 8; d) 27; 9; 3; 1.
35. a) f (3) = 3, f (4) = 5, f (−1) = −5, f (−2) = −7;b) f (3) = −2, f (4) = −5, f (−1) = 10, f (−2) = 13;c) f (3) = 54, f (4) = 162, f (−1) = 2
3 , f (−2) = 29 ;
d) f (3) = −40, f (4) = 80, f (−1) = −2,5, f (−2) = 1,25.
36. a) 28,5; b) −84; c) 23.
37. a) −3,5; b) 29 ; c) −2.
38. Aritmetinis vidurkis: a) 10; b) 9,5; c) 6,25; d) 3 127.
Geometrinis vidurkis: a) 8; b) 2√
21; c) 6; d) 23 .
39. 1) a) 1680 Lt; b) 1200 Lt;2) a) iš 1,12; b) iš 0,8.
40. a) 420 Lt; b) 168 Lt; c) 105 Lt.
41. 1) 5500; 2) 6050; 3) 16 550.
42. a) 1) 34 000 Lt; 2) 28 900 Lt; 3) 24 565 Lt;b) 39 %.
DEM
O
153
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.1. Sekos
43. a) 1) Rusija, Kanada, JAV, Kinija, Brazilija;2) Kanada, Kinija;3) 192;4) 120-asis.
b) 1) Kinija, Indija, JAV, Indonezija, Brazilija;2) Indija, Indonezija;3) 192;4) 125-asis.
44. 1) Atėnai; 2) aštuntosios; 3) 2052 metais, 2292 metais; 4) 37-osios, 277-osios.
45.
– –
–
–
–
– . –
. –
. –
. –
.
. –
– –
– –.
. .
– –
– . –
. –
– . . – –.
– –.
. –
. –
. –
– . –
M
T
T
T
K
A
A
A
E
A
M
K
I
M
K
A
T
K
I
A
K A
A
T A
a)
c)
e)
b)
d)
46. a) 1) −7; 8; −9; 10; −11, 12; 2) −1; 6; 10; 3) nėra;b) 1) 9; 13; 11; 14; 13; 15; 2) 3; 12; 14; 3) taip: a4 = a9 = 11, a8 = a11 = 13.
47. 1) 64; 2) 27; 220; 259; 3) 11-asis, 46-asis, 61-asis.
DEM
O
154
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.2. Skaičių sekos
48. a) Pavyzdžiui, lyginių skaičių, mažesnių už 14, seka: 2; 4; 6; 8; 10; 12;b) pavyzdžiui, skaičiaus 10 kartotinių seka: 10; 20; 30; 40; ...
49. a) a4; a6; a11; b) a2; a4; a9; c) a18; a101; an+1; d) a1; a199; an−1.
50. a) a2; a3; a4; b) a8; c) a26; a27; a28; a29; a30; d) an+1; an+2.
51. a) 6; 12; 18; 24; 30; b) 2; 5; 8; 11; 14; c) 0; 3; 8; 15; 24;d) 5; 2; 1; 0,5; 0,2; e) −3; −9; −27; −81; −243.
52. a) a2 = −1; a5 = −2,5; a10 = −5;b) a2 = −1
2 ; a5 = −312 ; a10 = −81
2;c) a2 = −4; a5 = −32; a10 = −1024;d) a2 = 2; a5 = 6,4; a10 = 102,4.
53. a) 20; b) 33; c) 32; d) 39.
54. a) Taip; b) ne; c) taip; d) taip.
55. a) n = 2; b) n = 3; c) n = 10; d) n = 29; e) n = 101.
56. a) 13; b) 22; c) 37; d) 7 + 3n.
57. a) an = 2n; b) an = 2n − 1; c) an = 1n ; d) an = n2.
DEM
O
155
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.3. Aritmetinė progresija
58. a) Taip, d = 2; b) taip, d = −3; c) ne; d) taip, d = 3.
59. a) a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21; a6 = 26;b) a1 = 7; a2 = 3; a3 = −1; a4 = −5; a5 = −9; a6 = −13.
60. a) a1 = 3; a2 = 10; a3 = 17; a4 = 24; a5 = 31;b) a1 = 3; a2 = −4; a3 = −11; a4 = −18; a5 = −25;c) a1 = −12; a2 = −2; a3 = 8; a4 = 18; a5 = 28;d) a1 = −12; a2 = −22; a3 = −32; a4 = −42; a5 = −52.
61. a) a7 = 32; a10 = 47; a21 = 102;b) a4 = 7; a12 = 39; a30 = 111;c) a6 = 0,5; a15 = −4; a100 = −46,5.
62. a) 57; b) −60.
63. a) d = 7; a1 = 10; a2 = 17; a15 = 108;b) d = −2; a1 = 1; a2 = −1; a15 = −27.
64. a) d = 2; a10 = 19;b) d = −4,5; a10 = −23,5;c) d = 0,5; a10 = 0;d) d = 1
3 ; a10 = 2.
65. a) 17 uždavinių; 33 uždavinius;b) 65 uždavinius; ne, nes reikėtų sugaišti 10 h 50 min.
66. −10◦C.
67. a) 3; b) −1; c) −2.
DEM
O
156
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.4. Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma
68. a) 55; b) 169; c) 450.
69. a) 36; b) 32,5; c) 0; d) 75,25.
70. a) 162; b) 360; c) 2950.
71. a) a8 = −31, S8 = 136; b) a8 = −13, S8 = −20; c) a8 = −10, S8 = −360;d) a8 = 0, S8 = −224.
72. a) 63; b) −21; c) 210; d) 1250.
73. a) 240; b) 390; c) 720; d) 19 600.
74. a) 190; b) 840; c) 4905.
75. 176 Lt.
76. 3780 m.
77. a) Į 15 eilių; b) 465 rutuliai.
DEM
O
157
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.5. Geometrinė progresija
78. a) Ne; b) taip, q = 10; c) taip, q = 15 ; d) ne; e) taip, q = −2; f) ne.
79. a) b1 = 1, b2 = 3, b3 = 9, b4 = 27, b5 = 81;b) b1 = 12, b2 = 6, b3 = 3, b4 = 1,5, b5 = 0,75.
80. a) b1 = 18 ; b2 = 1
4 ; b3 = 12 ; b4 = 1;
b) b1 = 18; b2 = 9; b3 = 4,5; b4 = 2,25;c) b1 = −16; b2 = −8; b3 = −4; b4 = −2;d) b1 = −24; b2 = 36; b3 = −54; b4 = 81;e) b1 = 0,8; b2 = −0,4; b3 = 0,2; b4 = −0,1;f) b1 = 11
2; b2 = 38 ; b3 = 3
32 ; b4 = 3128 .
81. a) b4 = 8; b7 = 64; b) b5 = 32; b8 = −256; c) b3 = −48; b4 = 192.
82. a) 729; b) −34 .
83. a) q = 5; b3 = 25; b4 = 125; b6 = 3125;b) q = −5; b1 = 0,6; b4 = −75;c) q = 1
2 ; b1 = 8; b2 = 4; b5 = 12 ;
d) q = −12 ; b1 = 224; b2 = −112; b3 = 56; b4 = −28.
84. a) q = 2; b1 = 3; b) q = −2; b1 = 38 ; c) q = −0,5; b1 = −40;
d) q = −0,1; b1 = −10; e) q = −12 ; b1 = −4; f) q = 1
3 ; b1 = −9.
85. 1) a) a1 = 1 cm, a2 = 2 cm, a3 = 4 cm, a4 = 8 cm, a5 = 16 cm, a6 = 32 cm;b) S1 = 1 cm2, S2 = 4 cm2, S3 = 16 cm2, S4 = 64 cm2, S5 = 256 cm2, S6 = 1024 cm2;
2) a) taip, q = 2; b) taip, q = 4.
86. a) −2 arba 2; b) −3 arba 3; c) −1 arba 1.
DEM
O
158
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.6. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma
87. a) 155; b) −189; c) 62445 .
88. a) 121; b) −121; c) −11.
89. a) q = 2, b6 = 128, S6 = 252; b) q = 3, b6 = 243, S6 = 364; c) q = −2, b6 = −96, S6 = −63.
90. a) 38 ; b) 213
8; c) −4258 .
91. a) 40; b) −63; c) −19334.
92. a) q = 2, S3 = −21; b) q = −12 , S4 = −2 1
2 ; c) q = −2, S6 = 10 12; d) q = −1
4 , S5 = 61332 .
93. a) 254; b) −172; c) 547; d) 1093.
94. 31,5 cm2.
95. a) 195,25 m; b) 447 378,765625 m3.
DEM
O
159
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
1.7. Procentai ir progresijos
96. Prekės kainaPradinė Po 1 mėn. Po 2 mėn. Po 3 mėn. Po 4 mėn. Po 5 mėn.2000 Lt 2100 Lt 2200 Lt 2300 Lt 2400 Lt 2500 Lt
97. a) 13 440 Lt; b) 13 440 Lt.
98. 1080 kg.
99. 1360 kg.
100. 1) 10 100 gyventojų; 10 250 gyventojų.2) 250 gyventojų.3) 2,5 %.
101. 1) 2180 Lt; 2360 Lt; 2) 27 960 Lt.
102. Prekės kainaPradinė Po 1 mėn. Po 2 mėn. Po 3 mėn. Po 4 mėn. Po 5 mėn.2000 Lt 2100 Lt 2205 Lt 2315,25 Lt ≈ 2431, 01 Lt ≈ 2552,56 Lt
103. a) 134 983,68 Lt; b) 134 983,68 Lt.
104. 1) 3960,1 Lt; ≈ 3901,00 Lt;2) ≈ 99 Lt;3) ≈ 2,475 %.
105. 1) ≈ 2122,42 Lt; ≈ 2208,16 Lt; 2) ≈ 26 824,18 Lt.
106. 1) 188,18 kWh; 2) ≈ 177,06 kWh; 3) ≈ 1113,52 kWh.
107. a) 31 250; b) 6250.
DEM
O
160
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Sprendžiame
108. a) a1 = −4, a2 = −11, a3 = −18; b) a1 = 3, a2 = 8, a3 = 15;c) a1 = 0, a2 = 5, a3 = 12; d) a1 = 0, a2 = 18, a3 = 0.
109. a) a2 = 2, a3 = 5, a4 = 14; b) a2 = −15, a3 = 75, a4 = −375;c) a2 = 4, a3 = 16, a4 = 256; d) a2 = 2, a3 = 6, a4 = 42.
110. a) a4 = 5, a13 = −22; b) a4 = −112 , a13 = 0; c) a4 = 11, a13 = 8; d) a4 = −8, a13 = −21,5.
111. a) −6; b) −10; c) −2,5; d) −6.
112. a) a2 = 18, a3 = 26; b) a2 = 28, a3 = 22, a4 = 16;c) a2 = 11, a3 = 15, a4 = 19, a5 = 23, a6 = 27, a7 = 31.
113. a) an = 5n − 2; b) an = 9 − 2n; c) an = −0,5n − 7,5; d) an = 13n − 1.
114. a) 28,8; b) 1912; c) −3; d) −16,2.
115. a) 224; b) −259; c) −38,5; d) 269,5.
116. a) x = 15; b) x = 12; c) x = 2.
117. a) Iš 122,5 m aukščio.
DEM
O
161
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Sprendžiame
118. a) b1 = 16 , b2 = 1
3 , b3 = 23 , b4 = 4
3 ;b) b1 = 16, b2 = −8, b3 = 4, b4 = −2;c) b1 = 1, b2 = √
2, b3 = 2, b4 = 2√
2;d) b1 = −1
3 , b2 =√
33 , b3 = −1, b4 = √
3.
119. a) −10 arba 10; b) −13 arba 1
3 ; c) −3 arba 3; d) −0,5.
120. a) q = −2, b1 = −1 arba q = 2, b1 = 1;b) q = −9, b1 = 2
81 arba q = 9, b1 = 281 ;
c) q = −14 , b1 = −32 arba q = 1
4 , b1 = −32;d) q = −√
3, b1 = −13 arba q = √
3, b1 = 13 .
121. a) 93; b) −178; c) −21.
122. a) 189; b) −3112; c) −364; d) 21
64 ; e) 7(√
2 + 1).
123. a) 1) 4; 2) 4; 3) 1364;b) 1) −15; 2) 3; 3) −1815;c) 1) 7; 2) −2; 3) 77;d) 1) 48; 2) 2; 3) 1488.
124. a) x = −75; b) x = −11 arba x = 9; c) x = 3−3√
52 arba x = 3+3
√5
2 .
125. b1 = 128, n = 7.
126. 4 %.
127. a) 5,5 %; b) 9,5 %.
128. 168255256.
DEM
O
162
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Geometrijos uždaviniai
129.∠BAD = 62◦, ∠DAC = 110◦.
130.∠A = 56◦, ∠B = 94◦, ∠C = 30◦.
131.∠A = 90◦, ∠B = arccos 817 ≈ 62◦, ∠C ≈ 28◦.
132. a) ∠A = ∠C = 49◦, ∠B = ∠D = 131◦;b) ∠A = ∠C = 131◦, ∠B = ∠D = 49◦.
133. a) ∠A = 126◦, ∠B = 54◦, ∠C = ∠D = 90◦;b) ∠A = 80◦, ∠B = 100◦, ∠C = 120◦, ∠D = 60◦.
134.∠A = ∠D = 72◦, ∠B = ∠C = 108◦.
135. a) 69◦; b) 92◦; c) 130◦.
136. a) 53◦; b) 45◦.
DEM
O
163
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Įvairūs uždaviniai
137. a) 6a(2b−c); b) 5a(b+3a); c) 8ab(a−3b); d) −9a(1+2ab2); e) (a−3)(x+2); f) (a+5)(x−y);g) (2 − a)(x + 1); h) (x − a)(3 + y); i) (4x + 9y)(4x − 9y); j) (x + 0,6y)(x − 0,6y);k)
(7x + √
7)(
7x − √7); l)
(11
2x + √y)(
112x − √
y).
138. a) x = −67 ; b) x = −8
3 = −223; c) x = 8
11 ; d) x = 3; e) x = 8 316 .
139. a) x = 0; b) x = −13 , x = 1
3 ; c) ∅; d) x = −2, x = 2; e) x = 0, x = 4;f) x = 0, x = 3
10 ; g) x = 0, x = 0,8; h) x = 0, x = 5.
140. a) x = 2, x = 4; b) x = −2, x = 13 ; c) x = 5; d) x = −1,5; e) ∅; f) ∅.
141. a) (x + 7)(x − 4); b) (x − 3)(x − 6); c) (x − 5)(x − 1
5);
d) 6(x + 12
3)(
x − 12) = (3x + 5)(2x − 1); e) (4x + 2)2 = 4(2x + 1)2;
f) trinaris 2x2 + 4x + 5 tiesiniais dauginamaisiais neišskaidomas.
142. a) x = 2; b) ∅; c) x = log2 5; d) ∅; e) x = −7; f) ∅; g) x = −4; h) x = 1,5; i) x = 23 .
143. a) x = 16; b) x = 13 ; c) x = 4; d) x = −2; e) x = 12
3; f) x = 12 ; g) x = 7; h) x = 1; i) x = 5
4 .
144. a) x = −1, x = 1; b) x = 0; c) ∅; d) x = 147 , x = 23
7; e) x = 0,7, x = 3,3;f) ∅; g) x = −31
3 , x = 423; h) ∅; i) x = 1
5 , x = 35 .
DEM
O
164
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Testas
145. D.
146. C.
147. C.
148. a) B; b) A.
149. C.
150. C.
151. B.
152. D.
153. B.
154. E.
155. B.
156. B.
157. D.
158. C.
159. A.
160. C.
161. E.
DEM
O
165
12 k
lasė
. BEN
DRA
SIS
KURS
AS
Atsakymai
Pasitikriname
162. a) Kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra 2 vienetais didesnis už prieš jį esantį narį:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... .
b) Kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra dvigubai didesnis už prieš jį esantį narį:2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... .
163. a) 3, 5, 7, 9, 11; b) 1, 4, 9, 16, 25; c) −2, −4, −8, −16, −32.
164. a) Taip, d = 4; b) taip, d = −3; c) ne; d) ne.
165. a) 1, 5, 9, 13, 17, 21; b) 13, 8, 3, −2, −7, −12.
166. a2 = 9, a6 = 33, a10 = 57.
167. a) 7; b) −5,5; c) −3; d) 13 .
168. a) 112; b) 12; c) 17,5.
169. 1) 19 cm; 2) 63 cm; 3) 705 cm.
170. 200 kg; 2,49 t.
171. 405 km.
172. a) Taip, q = 4; b) taip, q = 15 ; c) ne; d) taip, q = 1
2 .
173. a) 1, 3, 9, 27; b) 32, −16, 8, −4.
174. b2 = 20, b3 = 40, b5 = 160.
175. a) 2; b) −0,5; c) 12 ; d) −1
2 .
176. a) 63; b) −15615.
177. a) 7950 Lt; b) 7959,06 Lt.
178. ∠BAD = ∠ABC = 90◦, ∠BCD = 44◦, ∠ADC = 136◦.
179. a) x = 4; b) x = 0, x = 16; c) x = 12 ; d) ∅; e) x = −4; f) x = log2 11; g) x = 12
3;h) x = 5
9 , x = 79 .
DEM
O
jûSø PAGALBININKAI
O kitiems mokytojams labiau patinka „Tikrinamieji darbai“. Nors čia tik 9 savarankiški ir 6 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus), bet uždavinių dar daugiau – iš viso 294!
Jei reikia spręsti, bet neaišku, nuo ko pradėti, atsiverskite pratybų sąsiuvinį. Jame galite skaičiuoti, braižyti, piešti, spalvinti. O sėkmingai žengę pirmąjį žingsnį, galėsite imtis ir sunkesnių užduočių.
Net 11 savarankiškų ir 6 kontroliniai darbai (visų po 2variantus) – visoms XII klasės matematikos temoms! Iš viso 278 uždaviniai!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta turėti mokytojai☺
Jei nebepadeda nei draugų, nei mokytojų patarimai, pabandykite žvilgtelėti į „Patarimų“ knygeles. Žinoma, jos skirtos mokytojams, bet kai ką naudingo ten gali rasti ir mokiniai. Pavyzdžiui, sprendimus ar visų uždavinių teisingus atsakymus. Patarimas: tik nereikia nusirašinėti☺
Nebenorite skaityti teorijos, pabodo spręsti triaukščius uždavinius, nebeaišku, kuri „garantuoto“ pasirengimo valstybiniam brandos egzaminui knyga yra geriausia? Pailsėkite. Pabandykite rasti vienintelį teisingą atsakymą iš penkių pateiktų. Visą matematikos kursą prisiminsite išsprendę vos pusšimtį testinių uždavinių.
DEM
O
VadoVėlio Matematika komplektą sudaro:
• Vadovėlis – visiems• Parsisiøsdinama skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems
kompiuterius • pratybų sąsiuvinis – kuriems vadovėlio užduotys per sunkios• Savarankiški ir kontroliniai darbai / Tikrinamieji darbai –
į pagalbą mokytojams• mobili interaktyvi kompiuterinė (miko) knyga mokytojams –
informacijos kaupimui ir tvarkymui
tau
Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas.Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti
leidyklos specialistų.
ISBN 978-609-433-136-7
9 7 8 6 0 9 4 3 3 1 3 6 7
DEM
O
