MATEMATIKA TEKNIK

OLEH :

SAIF ROHMATILLAH (3110141018)

JURUSAN TEKNIK MEKATRONIKA

POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA

2015

BAB 4. Transformasi Laplace dan Aplikasinya

Pendahuluan

Bayangkan suatu problem dalam uji kimia : Apakah sampel susu yang diambil mengandung vitamin D (atau zat besi, atau zat aditif yang lain) sesuai dengan aturan

yang ditetapkan ? Pekerjaan seorang analis kimia adalah merencanakan suatu cara

untuk menjawab pertanyaan dan bila mungkin menentukan kuantitas kandungan

partikelnya.

Sekarang bayangkan suatu problem dalam pemodelan matematika : Apakah

penyelesaian dari model matematika suatu sistem ( masalah nilai awal ) memuat

eksponensial (atau sinus , atau cosinus, atau fungsi lainnya) yang perilakunya dianggap

penting ? jika formula penyelesaiannya ada maka pertanyaan mudah dijawab dengan

inspeksi (penulusuran). Jika formula penyelesaiannya tidak diketahui, maka

matematikawan menentukan cara uji untuk mendeteksi bentuk eksponensial.

Gagasan/ide uji yang dimaksud sebagai berikut : Misalkan kita akan

menguji bentuk eksponensial . Kalikan fungsi tersebut dengan

diperoleh

Yang akan terbatas apabila dan konstan apabila Dengan demikian integral

Menjadi terbatas apabila dan takterbatas apabila , sebagai mana

ditunjukkan oleh Gambar 1.1

1 1

Gambar 1.1

1

Jadi gagasan uji ini adalah mengalihkan fungsi yang diberikan dengan

mengintegralkan pada interval dan periksa perilaku integral uji apabila mengecil, perhatikan nilai dimana integral menjadi takterbatas. Integral uji ini disebut

transformasi Laplace dari

4.1 Transformasi Laplace

Dalam subbab ini akan diberikan definisi dan beberapa contoh transformasi

Laplace dari beberapa fungsi. Definisi Transformasi Laplace dari fungsi

adalah

Dengan parameter real. Perhatikan bahwa integral dari persamaan diatas

adalah integral tak wajar ( batas atas integrasi menuju takhingga), sehingga

transformasi laplace dari fungsi dikatakan ada jika integral dari

persamaan diatas kovergen untuk suatu nilai .

Selanjutnya, berdasarkan definisi diatas jika fungsi diketahui, maka

fungsi dapat ditemukan. Selanjutnya disebut invers transformasi

laplace yang biasa dinotasikan dengan

Untuk menghindari kerancuan didalam menggunakan notasi dan , maka fungsi

digunakan untuk menunjukkan fungsi asal sedangkan digunakan untuk

menunjukkan hasil transformasi laplace.

2

CONTOH :

1. Tentukan transformasi laplace dari untuk

Untuk integral tak wajar penyelesaian menjadi sebagai berikut :

2. Tentukan transformasi laplace dari dengan adalah suatu konstanta.

4.2 Teori Linieritas dari Transformasi Laplace Transformasi laplace adalah suatu operasi linier, yaitu, untuk setiap fungsi-

fungsi dan yang masing-masing mempunyai transformasi laplace, maka untuk

setiap konstanta dan , berlaku

Pembuktian:

3

CONTOH :

1. Tentukan transformasi laplace dari

Berdasarkan definisi, maka

.

2. Tentukan jika diketahui

3. Tentukan jika

4

Dari beberapa contoh fungsi-fungsi dasar dapat ditabelkan sebagai berikut :

Tabel

No

No

1

2

3

4

1

5

6

7

8

(hiperbolik)

(hiperbolik)

Jika diperhatikan tabel ada beberapa rumus transformasi laplace adalah kejadian

khusus dari transformasi laplace yang lain yang diperoleh dari rumus lain.

5

CONTOH:

1. Rumus 1 dapat diperoleh dari rumus 4.

2. Rumus 5 dan 6 diperoleh dari rumus 4.

Dengan memisahkan bagian real dan bagian imajiner diperoleh

3.

Ambil , dan dengan mengingat fungsi gamma, diperoleh

6

4.3 Eksistensi Transformasi Laplace Pada subbab 4.1 sudah ditunjukkan bahwa agar transformasi laplace ada, maka integral harus kovergen. Untuk keperluan tersebut terdapat syarat-syarat yang harus dipenuhi. Ada dua konsep penting yang akan dibicarakan pada bagian ini yaitu fungsi kontinu bagian demi bagian pada interval tertentu dari tingkat eksponensial. Definisi fungsi dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval jika dapat dibagi kedalam subinterval-subinterval yang banyaknya berhingga sedemikian hingga. A . kontinu pada setiap subinterval B . mendekati limit berhingga jika titik ujung setiap subinterval didekati dari dalam. CONTOH :

1. Fungsi didefinisikan sebagai berikut :

Adalah kontinu bagian demi bagian pada [0,3] sedangkan funbgsi didefinisikan sebagai berikut :

Tidak kontinu bagian demi bagian pada [0,3].

2. Tentukan transformasi laplace fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

Berdasarkan definisi fungsi kontinu bagian demi bagian pada [0,1], sehingga diperoleh.

7

Definisi(tingkat eksponensial) : fungsi dikatakan dari tingkat eksponensial jika untuk suatu , terdapat bilangan dan konstanta positif sedemikian sehingga.

Seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2

Gambar 1.2

CONTOH :

1 adalah dari tingkat eksponensial, sebab

2 adalah dari tingkat eksponensial, sebab

3 adalah dari tingkat eksponensial, sebab

4.4 Teori Eksistensi Transformasi Laplace.

Transformasi Laplace dari ada pada jika dari tingkat eksponensial, dan kontinu bagian demi bagian pada sehingga.

8

Untuk , maka

Dan

Dari teori eksistensi transformasi laplace diatas syarat cukup adanya transformasi

laplace adalah fungsi kontinu bagian demi bagian pada dan dari tingkat

eksponensial.

CONTOH soal dari subbab 4.1 dan 4.3

1. Dapatkan transformasi laplace dari fungsi berikut

Temukan persamaan berikut

Hasil

2. Dapatkan transformasi laplace dari fungsi berikut

Temukan persamaan berikut

Hasil

9