Matematika Teknik Dasar-28 – Definisi Turunan Parsial danPengerjaannya Secara GeometriSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Turunan Parsial

Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi hdiberikan dari rumus:

V = r2h

Jika dipertahankan nilai r konstan dan menaikkan tinggi h, volume V akan naik.

Maka dalam keadaan ini dapat ditinjau turunan V terhadaph dengan nilai r dipertahankan. Maka;

𝑑𝑉

𝑑ℎ𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝛿𝑉

𝛿𝑥

r

h

Turunan Parsial

𝑑𝑉

𝑑ℎ𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝜕𝑉

𝜕𝑥

Perhatikan nilai ‘delta’.

▪ Diketahui arti dari𝛿𝑉

𝛿𝑥dan

𝑑𝑦

𝑑𝑥.

▪ Diperhatikan𝜕𝑉

𝜕𝑥, ini disebut sebagai turunan parsial V terhadap h dan

menyiratkan bahwa untuk keperluan sekarang, nilai r dianggap sebagaiyang konstan V = r2h

Turunan Parsial

Untuk mendiferensiasi𝛿𝑉

𝛿ℎ, dianggap bahwa semua simbol kecuali V dan h

sebagai konstanta

𝛿𝑉

𝛿ℎ= 𝜋𝑟2. 1 = 𝜋𝑟2

Kemudian jika mendiferensiasi 𝛿𝑉

𝛿𝑟, maka r menyebabkan perubahan pada V

sedangkan h adalah konstan.

𝛿𝑉

𝛿𝑟= 𝜋2𝑟ℎ = 2𝜋𝑟ℎ

Hal ini karena V = 𝜋𝑟2ℎ, dinyatakan sebagai fungsi dua variabel r dan h.

Turunan Parsial

Contoh berikutnya:

Dilihat luas permukaan selimut silinder A=2rh

A adalah fungsi r dan h, jadi dapat dicari 𝜕𝐴

𝜕𝑟dan

𝜕𝐴

𝜕ℎ

▪Untuk mencari 𝜕𝐴

𝜕𝑟dapat diferensiasi pernyataan untuk

A terhadap r, dengan simbol lain adalah konstan

▪Untuk mencari 𝜕𝐴

𝜕ℎdapat diferensiasi pernyataan untuk

A terhadap h, dengan simbol lain adalah konstan

r

hA

Turunan Parsial

Maka jika A = 2rh, maka𝜕𝐴

𝜕𝑟= 2𝜋ℎ dan

𝜕𝐴

𝜕ℎ= 2𝜋𝑟

Contoh lain:

Sebuah fungsi z=x2y3 dicari 𝜕𝑧

𝜕𝑥dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦

a. Untuk mencari 𝜕𝑧

𝜕𝑥, diferensiasikanlah terhadap x, dengan menganggap y

adalah konstanta. 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥𝑦3

b. Untuk mencari 𝜕𝑧

𝜕𝑦, diferensiasikanlah terhadap y, dengan menganggap x

adalah konstanta. 𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑥23𝑦2 = 3𝑥2𝑦2

Turunan Parsial

Catatan:

Pada turunan parsial dianggap setiap variabel adalah independen, kecuali variabel yang terhadapnya dilakukan diferensiasi, untuk sementara dianggap sebagai konstanta

Contoh - 1

u = x2 + xy + y2

a. Untuk mencari 𝜕𝑢

𝜕𝑥, dianggap y sebagai konstanta

Diferensiasi parsial x terhadap x2 = 2xDiferensiasi parsial x terhadap xy = y (y adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial x terhadap y2 = 0 (y2 adalah faktor konstanta)

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 2𝑥 + 𝑦

b. Untuk mencari 𝜕𝑢

𝜕𝑦, dianggap x sebagai konstanta

Diferensiasi parsial y terhadap x2 = 0 (x2 adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial y terhadap xy = x (x adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial y terhadap y2 = 2y

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑥 + 2𝑦

Contoh - 2

z = x3 + y3 – 2x2y𝜕𝑧

𝜕𝑥= 3𝑥2 + 0 − 4𝑥𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 0 + 3𝑦2 − 2𝑥2 = 3𝑦2 − 2𝑥2

Contoh - 3

z = (2x – y) (x + 3y)

Dimana contoh di atas adalah bentuk hasil kali, maka aturan hasil kali biasa akan berlaku pada persamaan di atas

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑥 − 𝑦 1 + 0 + 𝑥 + 3𝑦 2 − 0 = 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 + 6𝑦

= 4𝑥 + 5𝑦𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑥 − 𝑦 0 + 3 + 𝑥 + 3𝑦 0 − 1 = 6𝑥 − 3𝑦 − 𝑥 − 3𝑦

= 5𝑥 − 6𝑦

Contoh - 4

Persamaan 𝑧 =2𝑥−𝑦

𝑥+𝑦′carilah

𝜕𝑧

𝜕𝑥dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Maka dengan menggunakan aturan hasil bagi, dapat dihasilkan:𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝑥 + 𝑦 2 − 0 − 2𝑥 − 𝑦 1 + 0

𝑥 + 𝑦 2=

3𝑦

𝑥 + 𝑦 2

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝑥 + 𝑦 0 − 1 − 2𝑥 − 𝑦 0 + 1

𝑥 + 𝑦 2=

−3𝑦

𝑥 + 𝑦 2

Contoh - 5

Persamaan z=sin(3x+2y) carilah 𝜕𝑧

𝜕𝑥dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Dalam contoh ini diselesaikan apa yang disebut ‘fungsi dari suatu fungsi’. 𝜕𝑧

𝜕𝑥= cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥

𝜕

𝜕𝑥3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥3 = 3cos(3𝑥 + 2𝑦)

𝜕𝑧

𝜕𝑦= cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥

𝜕

𝜕𝑦3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥2 = 2cos(3𝑥 + 2𝑦)

Turunan Parsial

Diperhatikan persamaan z=3x2 + 4xy – 5y2

Kemudian bisa diselesaikan 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦 dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦

Pernyataan 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦 adalah suatu fungsi x dan y.

Maka bisa dicari turunan parsialnya terhadap x atau y

a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh:𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥dan ditulis sebagai

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥, dimana ini mirip dengan turunan kedua

biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial

Turunan Parsial

a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh:𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥dan ditulis sebagai

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥, dimana ini mirip dengan turunan kedua

biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥=

𝜕

𝜕𝑥26𝑥 + 4𝑦 = 6; ini disebut turunan parsial kedua z

terhadap x

b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh:𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥dan ditulis sebagai

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥

Turunan Parsial

b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh:𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥dan ditulis sebagai

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥

diperhatikan bahwa operasi yang ini dilakukan dengan memberikan simbol sebelah kiri dari kedua simbol pada penyebutnya.𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦6𝑥 + 4𝑦 = 4

Turunan Parsial

Jadi bisa didapatkan

z=3x2 + 4xy – 5y2

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥= 6

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥= 4

Turunan Parsial

Dilakukan cara yang sama untuk pernyataan 𝜕𝑧

𝜕𝑦maka bisa didapatkan

𝜕2𝑧

𝜕2𝑦= -10

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦= 4

Dari hasil pernyataan bisa didapatkan bahwa

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥berarti

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥sehingga

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦berarti

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Turunan Parsial

Dengan mengumpulkan hasil-hasil yang diperoleh sebelumnya bisa dikumpulkan pernyataan dari z=3x2 + 4xy – 5y2

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥= 6

𝜕2𝑧

𝜕2𝑦= -10

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥= 4

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦= 4

Turunan Parsial

Kita lihat dalam kasus ini bahwa 𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥=

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦

Dengan demikian terdapat dua turunan pertama dan empat turunan kedua, walaupun dua turunan memiliki nilai yang sama.

Turunan Parsial

Coba selesaikan persamaan berikut:

z = x cos y – y cos x

▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap x, y adalah konstanta (sehingga cos y konstanta)

▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap y, x adalah konstanta (sehingga cos x konstanta)

Turunan Parsial

Maka persamaan z = x cos y – y cos x bisa diperoleh

𝜕𝑧

𝜕𝑥= cos 𝑦 + 𝑦. sin 𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦= −𝑥. sin 𝑦 − cos 𝑥

𝜕2𝑧

𝜕2𝑥= 𝑦. cos 𝑥

𝜕2𝑧

𝜕2𝑦= −𝑥. cos 𝑦

𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥= −sin 𝑦 + sin 𝑥

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦= −sin 𝑦 + sin 𝑥

Kita lihat dalam kasus ini bahwa 𝜕2𝑧

𝜕𝑦.𝜕𝑥=

𝜕2𝑧

𝜕𝑥.𝜕𝑦

Turunan Parsial

Sekarang jika V=ln(x2 + y2) buktikanlah bahwa 𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑉

𝜕𝑦2= 0

Berarti penyelesaian di atas adalah dengan mencari dua buah turunan parsial kedua dari fungsi tersebut dan menyubstitusikan keduanya ke sisi kiri pernyataannya.

V=ln(x2 + y2)𝜕𝑉

𝜕𝑥=

1

𝑥2 + 𝑦22𝑥

𝜕𝑉

𝜕𝑥=

2𝑥

𝑥2 + 𝑦2

Turunan Parsial

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2=

𝑥2 + 𝑦2 2 − 2𝑥. 2𝑥

𝑥2 + 𝑦2 2

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2=2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 2=

2𝑦2 − 2𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 2

Kemudian bisa dicari 𝜕2𝑉

𝜕𝑦2dengan cara yang sama

Sehingga bisa didaptkan bahwa 𝜕2𝑉

𝜕𝑦2=

2𝑥2−2𝑦2

𝑥2+𝑦2 2

Turunan Parsial

Dengan dicari lagi untuk V=ln(x2 + y2) diperoleh:𝜕𝑉

𝜕𝑦=

1

𝑥2 + 𝑦22𝑦 =

2𝑦

𝑥2 + 𝑦2

𝜕2𝑉

𝜕𝑦2=

𝑥2 + 𝑦2 2 − 2𝑦. 2𝑦

𝑥2 + 𝑦2 2

𝜕2𝑉

𝜕𝑦2=2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 2=

2𝑥2 − 2𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 2

Turunan Parsial

Kemudian disubstitusikan kedua hasil di atas ke identitas tersebut maka diperoleh:

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2=

2𝑦2 − 2𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 2+2𝑥2 − 2𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 2

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2=2𝑦2 − 2𝑥2 + 2𝑥2 − 2𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 2= 0

Contoh - 6

Jika V = f (x2 + y2) tunjukkanlah bahwa 𝑥𝜕𝑉

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 0

Dari soal didapatkan bahwa V merupakan fungsi (x2 + y2) tetapi bentuk tepat dari fungsi ini tidak diketahui.

Maka dapat diperlakukan fungsi ini sebagai ‘fungsi dari fungsi’ dan menulis f’ (x2 + y2) untuk menyatakan fungsi ini terhadap variabel gabungan (x2 + y2)

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 𝑥𝜕

𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2 = 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 . 2𝑥

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 .𝜕

𝜕𝑦𝑥2 + 𝑦2 = 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 . 2𝑦

Contoh - 6

x𝜕𝑉

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝑥. 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 . 2𝑦 − 𝑦. 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2

x𝜕𝑉

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 2𝑥𝑦. 𝑓′ 𝑥

2+𝑦2 − 2𝑥𝑦. 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2

x𝜕𝑉

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 0

Contoh - 7

Jika V = f (ax + by), tunjukkanlah bahwa 𝑏𝜕𝑉

𝜕𝑥− 𝑎

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 0

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 .

𝜕

𝜕𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑎 = 𝑎. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) (a)

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 .

𝜕

𝜕𝑦(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑏 = 𝑏. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) (b)

Contoh - 7

b𝜕𝑉

𝜕𝑥− a

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 𝑎𝑏. 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏. 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0

Pertambahan Kecil

▪ Pada materi sebelumnya dibahas sebuah silinder dengan h konstan dan r konstan.

▪ Pada kasus berikut dilihat apa yang diperoleh jika r dan h berubah secara simultan.

▪ Jika r menjadi 𝑟 + 𝛿𝑟, dan h menjadi ℎ + 𝛿ℎ, misalkan V menjadi 𝑉 + 𝛿𝑉.Maka volume yang baru diberikan sebagai:

𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟2 + 2𝑟𝛿𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ

𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟2 + 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟2𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2𝛿ℎ

Pertambahan Kecil

Kurangkan V=r2h dari kedua sisinya, maka akan diperoleh:𝛿𝑉 = 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟2𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2𝛿ℎ

𝛿𝑉 ≈ 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝑟2𝛿ℎℎ Karena 𝛿𝑟 dan 𝛿ℎ adalah kecil dan semua suku-suku selebihnya akan jauh lebih kecil lagi.

Oleh karena itu

𝛿𝑉 ≈ 2𝜋𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝜋𝑟2𝛿ℎ, dengan kata lain

𝛿𝑉 ≈𝜕𝑉

𝜕𝑟𝛿𝑟 +

𝜕𝑉

𝜕ℎ𝛿ℎ

Pertambahan Kecil

Sebuah silinder memiliki dimensi r = 5cm, h = 10cm. Carilah kira-kira kenaikan volumenya jika r bertambah sebesar 0,2cm dan h berkurang sebesar 0,1cm.

Maka sekarang

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ jadi 𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2𝜋𝑟ℎ

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑟2

Dalam hal ini, apabila r = 5cm, h = 10cm jadi

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 2𝜋5.10 = 100𝜋

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑟2 = 𝜋52 = 25𝜋

Pertambahan Kecil

𝛿𝑟 = 0,2 dan 𝛿ℎ = −0,1 (minus karena h mengecil)

𝛿𝑉 ≈𝜕𝑉

𝜕𝑟. 𝛿𝑟 +

𝜕𝑉

𝜕ℎ. 𝛿ℎ

𝛿𝑉 = 100𝜋 0,2 + 25𝜋(−0,1)

𝛿𝑉 = 20𝜋 − 2,5𝜋 = 17,5𝜋

𝛿𝑉 ≈54,98 cm3

Maka artinya adalah volume bertambah sebesar 54,98 cm3

Pertambahan Kecil

Hasil ini tidak hanya berlaku pada volume silinder tetapi juga untuk semua fungsi dengan dua variabel independen.

Contoh:

Jika z adalah fungsi x dan y, z=f (x,y) dan jika x dan y naik sekecil x dan y, kenaikan x juga akan relatif kecil. Jika diuraikan z dalam pangkat x dan y, diperoleh:

𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝐵𝛿𝑦 + pangkat x dan y yang lebih tinggi

Dimana A dan B merupakan fungsi x dan y

Pertambahan Kecil

Jika y tetap konstan, sehingga y=0 maka:

𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝛿𝑥 pangkat yang lebih tinggi

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝐴. Sehingga jika x 0, persamaan ini menjadi 𝐴 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥

Serupa dengan itu, jika x tetap konstan, dengan membuat 𝛿𝑦 0 akan

diperoleh 𝐵 =𝜕𝑧

𝜕𝑦

δ𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih

tinggi yang dapat diabaikan

Pertambahan Kecil

δ𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih tinggi

yang dapat diabaikan

δ𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦

Jadi jika, z=f(x,y)

δ𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦

Serupa pula untuk fungsi dengan tiga variabel z=f(x,y,w)

δ𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝛿𝑥 +

𝜕𝑧

𝜕𝑦𝛿𝑦 +

𝜕𝑧

𝜕𝑤𝛿𝑤

Contoh - 8

Jika 𝐼 =𝑉

𝑅, dan V = 250 volt dan R = 50 ohm, carilah perubahan I yang

terjadi akibat kenaikan V sebesar 1 volt dan kenaikan R sebesar 0,5 ohm

Jawaban:

I=f(V,R) 𝛿𝐼 =𝜕𝐼

𝜕𝑉𝛿𝑉 +

𝜕𝐼

𝜕𝑅𝛿𝑅

𝜕𝐼

𝜕𝑉=1

𝑅𝑑𝑎𝑛

𝜕𝐼

𝜕𝑉= −

𝑉

𝑅2

𝛿𝐼 =𝐼

𝑅𝛿𝑉 −

𝑉

𝑅2𝛿𝑅

Contoh - 8

Jadi jika R = 50, V = 250, V = 1, dan R = 0,5

𝛿𝐼 =1

501 −

250

2500(0,5)

𝛿𝐼 =1

50−

1

20𝛿𝐼 = 0,02 − 0,05 = −0,03

Artinya I turun sebesar 0,03 ampere