Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan ...· Aplikasi Turunan Parsial Diferensiasi

  • View
    227

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan ...· Aplikasi Turunan Parsial Diferensiasi

Matematika Teknik Dasar-29 Aplikasi Turunan Parsial danPengerjaannya Secara GeometriSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan Universitas Brawijaya

Contoh - 1

Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi hdiberikan dari rumus:

V = r2h

Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detiksementara tingginya turun dengan laju 0,5 cm/ detik.

Carilah laju perubahan volume pada saat r=8cm danh=12cm. r

hV

Contoh - 1

V = r2h

=

+

=

.

+

.

= 2;

= 2

= 2

+ 2

= 8, = 12,

= 0,2;

= 0,5 ( )

Contoh - 1

Kemudian disubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam pernyataan terakhiruntuk diselesaikan.

= 2

+ 2

= 2. 8.12 0,2 + . 64(0,5)

= 38,4 32

= 6,4 = 20,1 3/

Contoh - 2

Pada segitiga siku-siku yang diberikan x meningkat dengan laju 2cm/detiksedangkan y menurun dengan laju 3 cm/detik. Hitunglah laju perubahan z ketika x = 5cm dan y = 3cm.

Penyelesaian:

Dinyatakan z dalam suku-suku x dan y; = 2 2

= 2 2 = 2 2 1/2

=

+

=

.

+

.

yx

z

Contoh - 2

Dalam hal ini:

=1

22 2

12 2 =

2 2

=1

22 2

12 2 =

2 2

=

2 2.

2 2.

Untuk nilai-nilai x=5, y=3,

= 2,

= 3

Contoh - 2

Untuk nilai-nilai x=5, y=3,

= 2,

= 3

=

5

52 32. (2)

3

52 32. (3)

=5(2)

43 3

4=

10

4+9

4=19

4= 4,75 /

Sisi z meningkat 4,75 cm/detik

Contoh - 3

Luas permukaan total S suatu kerucut dengan radius alas r dengan tinggitegak lurusnya h diberikan oleh

= 2 + 2 + 2

Jika r dan h masing-masing meningkat dengan laju 0,25 cm/detik, carilahlaju kenaikan S ketika r=3cm dan h=4cm.

Penyelesaian:

= 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 1/2

=

. +

.

=

.

+

.

Contoh - 3

(1)

= 2 + .

1

22 + 2

12 2 + 2 + 2

12

= 2 +

2

2 + 2+ 2 + 2

Apabila r = 3 dan h = 4

= 23 +

9

5+ 5 = 11 +

9

5=64

5

Contoh - 3

(2)

= .

1

22 + 2

12 2 =

2 + 2

=3.4

5=12

5

Diketahui bahwa dr/dt=0,25 dan dh/dt=0,25

=

64

5.1

4+

12

5.1

4

=16

5+3

5=19

5= 3,8 = 11,942/

Pengerjaan Soal Laju Perubahan

Dalam pengerjaan laju-perubahan semuanya hampir sama, berikutmetode penyelesaiannya:

a. Pernyataan Dasar

Jika z=f(x,y) maka

. +

.

b. Dibagi hasil tersebut dengan dan diambil 0. Proses ini akanmengubah hasil tersebut menjadi bentuk soal laju-perubahan.

=

.

+

.

Aplikasi Turunan Parsial

Diferensiasi parsial dapat juga digunakan untuk mencari turunan fungsiimplisit.

Contohnya dianggap diminta untuk mencari pernyataan

apabila

diketahui bahwa 2 + 2 + 3 = 0

Dapat diselesaikan dengan cara berikut ini:

Misalkan z adalah fungsi x dan y tersebut, yaitu z=2 + 2 + 3.

Digunakan hubungan dasar =

+

Aplikasi Turunan Parsial

Jika dibagi kedua sisinya dengan x maka bisa didapat:

=

+

.

Sekarang jika x 0

=

+

.

Jika sekarang memperoleh pernyataan untuk

dan

kita akan segera

memperoleh

(yang bisa dilihat dari pernyataan di atas)

Aplikasi Turunan Parsial

Pada contoh khusus ini, = 2 + 2 + 3 didapat hasil dari

= 2 +

2 dan

= 2 + 32

Dengan menyubstitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam hasil-hasil sebelumnya, akan menghasilkan:

= 2 + 2 + (2 + 32)

Jika kita hanya mengetahui

dapat disusun kembali hasil ini dan

memperoleh pernyataan untuk

.

Aplikasi Turunan Parsial

Di awal soal diketahui bahwa menggunakan z untuk 2 + 2 + 3 dan pada awalnya diketahui bahwa 2 + 2 + 3 = 0. Maka nilai z = 0

Dengan kata lain bahwa z adalah konstanta (dalam hal ini adalah nol) dan

dari sini

= 0

0 = 2 + 2 + (2 + 32)

, sehingga dapat dicari

=

2 + 2

2 + 32

Contoh - 4

Jika + + = 1 carilah nilai

di (0,0). Fungsi ini dapat ditulis

sebagai + + 1 = 0

Misalkan z = + + 1 =

. +

.

=

+

.

= . + 1;

= . + 1

= . + 1

Tetapi dengan z=0

= 0

=

. +1

. +1

Contoh - 4

Tetapi dengan z=0

= 0

=

. +1

. +1

Pada x=0, y=0,

=

1

1= 1

= 1

Perubahan Variabel

Jika z adalah fungsi x dan y, yaitu f=(x,y), dan x dan y itu sendiri adalah fungsi dari dua variabel lainnya u dan v, maka z juga merupakan fungsi u dan v.

Oleh karena itu perlu dicari

dan

. Bagaimanakah cara kita

memperolehnya?

= (, ) =

+

Bagilah kedua bagian dengan u:

Perubahan Variabel

=

.

+

.

Jika v dipertahankan konstan untuk sementara, maka

ketika u

menjadi

dan

=

.

+

.

=

.

+

.

Contoh - 5

Jika = 2 + 2, dimana x = r cos dan y = r sin 2, carilah

dan

=

.

+

.

=

.

+

.

Sekarang

= 2

= 2

= cos

= sin 2

Contoh - 5

= 2 cos + 2 sin 2

= sin dan

= 2 cos 2

= 2 sin + 2(2 cos 2)

= 4 cos 2 2 sin

Kemudian simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh r cos dan r sin 2

Contoh - 6

Jika = dengan x=ln (u+v) dan y=sin (u-v), carilah

dan

Didapatkan

=

.

+

.

= . .

1

++ . . cos

=

+ + . cos

dan

=

.

+

.

= . .

1

++ . . cos

=

+ . cos

Kesimpulan

1. Pertambahan Kecil

= , =

. +

.

2. Laju Perubahan

=

.

+

.

3. Fungsi Implisit

=

+

.

4. Perubahan Variabel

Kesimpulan

Perubahan Variabel

=

.

+

.

=

.

+

.