Matematikai alapok orvosira

7/17/2019 Matematikai alapok orvosira

http://slidepdf.com/reader/full/matematikai-alapok-orvosira 1/20

1

Matematikai bevezetés a biofizika és biostatisztika kurzushoz

Nagy Péter, DE Biofizikai és Sejtbiológiai Intézet

A biofizika kurzus keretén belül a hallgatóknak kísérletek eredményeit kell

kvantitatívan kiértékelni, amely a biofizikai mérőmódszerek elvének megértésére és a

függvénytan, valamint a matematikai analízis néhány alapfogalmának ismerete nélkül nem

lehetséges. Az alábbi rövid bevezetés célja a fenti cél elérése bonyolult matematikai

terminológia használata nélkül.

1. Függvények, mérési adatok ábrázolása

1.1. A függvény definíciója röviden

Két változó közötti összefüggést matematikai formában egy függvénnyel tudunk

kifejezni. Pontosabban a függvény egy olyan szabály, amely egy bizonyos számot egy másik

bizonyos számhoz rendel. Másképpen megfogalmazva, ha a függvényt egy bizonyos bemenő

számra vagy változóra alkalmazzuk, akkor egy meghatározott kimenő változót vagy számot

kapunk, pl. f(x)=x2 vagy y=x2. A függvény bemenő változóját független változónak vagy a

függvény argumentumának hívjuk. A függvény kimenő változója a függő változó. A független

változót tipikusan a koordináta rendszer vízszintes, míg a függő változót a függőleges

tengelyen szoktuk ábrázolni. A függvény értelmezési tartománya azon értékek összessége,

amikre a függvényt értelmezzük. A függvény értékkészlete az értelmezési tartomány

értékeihez a függvény által hozzárendelt értékek összessége (pl. f(x)=x2, értelmezési

tartomány: egy tetszőleges szám, értékkészlet: tetszőleges pozitív szám és a nulla).

1.2. Mérési eredmények ábrázolása

A biofizika gyakorlatokon a végrehajtandó kísérletekben sok esetben egy bizonyos

mennyiséget mérünk egy másik mennyiség függvényében. Ezen vizsgálatok célja annak

felfedése, hogy a mért mennyiség hogyan függ a másik mennyiségtől kvantitatív módon. Pl.

egy esetben az ionizáló sugárzás intenzitását fogják mérni az abszorbens vastagsága

függvényében. A mért mennyiséget általában függő változónak nevezzük, és azt várjuk, hogy

ennek értéke változni fog a független változó megváltozása esetén. A függő változó mérése

általában hibával terhelt, tehát ha a mérést megismételjük, valószínűleg egy más értéket

fogunk kapni. Statisztikailag ezt a mérési hibát a szórással (SD, standard deviation) vagy a

középérték közepes hibájával (SEM, standard error of the mean) jellemezzük. A függő

változó mérésének hibáját a hibajel feltüntetésével jelezzük, ami vagy az SD-vel vagy a SEM-



mel ar

kisebb

Az ábra

1. ábrende

és köhibaj

nyos (1. á

érési hibá

készítéséh

Állítsa be a

adatok a te

origón átm

vagy szám

Úgy válass

papír vonal

A tengely b

A két tenge

Mindig jel

mértékegy

a. Mérési lkezésre áll

vesse a szlek.

ra). Ezzel

val terhelt.

ez kövesse

vízszintes

ngely legn

enő egyen

lt adatok n

a meg a te

aival.

eosztásáho

ly beosztá

ölje a te

égét.

redményeó területn

vegben le

szemben a

az alábbi s

s függőleg

gyobb rés

s illesztés

em tartalm

ngely egys

z válasszon

ának egysé

gelyeket,

k ábrázolák, használj

írt elveket.

2

független

abályokat

s tengelye

ét töltsék

), akkor az

azzák.

geit, hogy

kerek szá

gei eltérhe

tehát tün

a. Ha a zön az ábrá

A mérési

változó va

s javaslato

k osztásait

i. Ha az or

origót akk

a beosztás

okat (pl. 1

tnek egym

esse fel

ld vonalas oz annyi te

pontokra r

y ismert

kat:

úgy, hogy

igóra is szü

or is tünte

k essenek

, 2 vagy 3,

stól.

az ábrázol

terület merületet, a

ajzolt függ

agy mérés

mért vagy

kségünk va

se fel, ha

egybe a mi

s nem 1.2

t mennyis

gfelel az áennyi lehe

őleges von

e sokkal

számolt

n (pl. az

mérési

liméter-

54564).

éget és

rához tséges

alak a



1.3.

A

gyakra

be.

A

blehet le

ahol y 0

merede

miatt c

formáb

mert e

1.4.

célszer

alakíta

logarit

2. ábroldali

z exponen

z exponenc

fogják ha

iofizika

kurírni:

a függvény

ken csökke

ökken x fü

a:

ben az ese

datok ábr

Mivel az

a 2. ábrá

i. A (2).

usát véve

a. Exponeábra a (2)-

ciális függ

iális függv

ználni. Ez

zus

során

értéke x =0

n x függvé

ggvényébe

tben a kez

ázolása log

gyeneseke

bemutat

egyenletb

lehet linea

nciális fügs egyenlet

ény

ny a biofiz

rt ez a fej

lő

forduló

esetben é

yében (ha

n (2. ábra).

ő érték x =

aritmikus (

t könnyeb

tt görbék

n bemut

izálni:

vény ábrászerint nor

3

ika kurzus

zet az exp

xponenciál

0kx

y y e

k egy álla

k pozitív).

Az (1). egy

0

kx y e

y

-nál y 0-tól

zemi-logar

ábrázoln

t linearizál

tott expo

olása. A bmalizált for

elméleti és

onenciális

is

függvén

dó, amely

függvény

enletet gya

függetlenül

itmikus) áb

i és analiz

ni, tehát a

enciális f

l oldali ábmát mutat

gyakorlati

függvény á

t

az

alábbi

leírja, hog

a kitevőbe

kran átren

1 (mivel y

rán

álni, mint

görbéket

ggvényt

rán y 0 érté

a be.

részében

brázolását

általános

a függvén

levő nega

ezzük a k

y 0) (2. ábr

a görbék

alahogy e

indkét o

ke 55 55.

gyaránt

mutatja

éplettel

(1)

milyen

ív elő jel

vetkező

(2)

).

t, azért

yenessé

ldalának

jobb



4

0 0

ln lnkx kx y y e e kx

y y

(3)

A könnyebb ábrázolhatóság mellett a linearizálás még a kitevőben levő k állandó

meghatározását is egyszerűbbé teszi. Mivel az egyesen általános egyenlete

y ax b (4)

ahol a az egyenes meredeksége és b tengelymetszete. A (3). és (4). egyenletek összevetése

alapján látható, hogy az 0ln y y kx egyenletnek megfelelő ábra az origón átmenő (tehát

tengelymetszet=0) vonal, amelynek meredeksége –k . Ezért a kitevőben levő állandó egy ilyen

ábrából könnyen meghatározható. Ugyanezt a linearizációt elérhetjük úgy is, hogy y /y 0

mennyiséget logaritmikus skálán ábrázoljuk, amikor a tengelyen a kitevő növekszik minden

egyes osztásnál (3. ábra). Megjegyzendő, hogy ebben az esetben az egyenes meredeksége

nem egyenlő a kitevőben levő állandóval. Amikor a vízszintes tengely lineáris, a függőleges

viszont logaritmikus, az ábrát szemi-logaritmikusnak vagy kevésbé pontosan logaritmikusnak

(log) nevezzük. Ilyen logaritmikus skálát logaritmikus milliméterpapírral vagy számítógépes

programokkal használhatunk. Ezzel szemben a (3). egyenletben bemutatott linearizációs

megoldást minden különös előfeltétel nélkül lehet alkalmazni. Mivel az 0ln y y mennyiség

lineáris tengelyen való ábrázolásával ugyanazt a hatást érjük el, mint az y /y 0 mennyiség

logaritmikus skálán való ábrázolásával, az 0ln y y mennyiség ábrázolását használó

megközelítést is lehet (szemi-)logaritmikus ábrának nevezni.



1.5.

hogy l

eredmé

illeszté

milyen

Pl. ha

eredm

kell fo

neve li

csak né

meg, t

formali

Egyenes ill

Sok kísérle

írjuk a t

nyekhez l

nek nevez

iszony van

tudjuk, h

nyekhez. A

lalkozniuk.

eáris regr

hány általá

ételezzük

ehát több

musát a

sztése mér

ben a függ

rendet, a

gjobban

zük. A legt

az x és y v

gy y line

biofizika k

A legjobb

sszió, mel

os szabály

fel, hogy a

( x i, y i)

4. fejezet

ési eredmé

ő (y ) és fü

ely szeri

illeszkedő

öbb esetb

áltozók kö

árisan füg

urzus sorá

n illeszke

nek ismert

t írunk le a

függő válto

datpárunk

mutatja

5

yekhez

getlen ( x )

t az y v

görbe me

n van val

ött, így tud

g x -től, a

a hallgat

ő egyenes

etése meg

közelítőm

zót a függe

van. (Az

e.) Miutá

3. ábrAz füg(B)sánere(C) sze

áltozók m

áltozik az

gtalálását

milyen el

juk, hogy

kor egye

knak csak i

megtalálá

aladja eze

goldás me

tlen változ

adatsoro

n a méré

ábra. ázolása sz

ábrán gvényt liAz exponeak ábrázodményez, Az ábra A mi-logartim

gmérése

x függvé

regresszió

zetes ism

ilyen függ

est kell i

lyen lineár

sát célzó t

n rövid be

gtaláláshoz

különböz

k és ele

si eredmé

Exponencimi-logaritemutatott

eáris skánciális füglása egy melynek észén beikus ábrán

tán a végs

yében. A

analízisn

retünk arr

ényt kell il

lleszteni a

is összefüg

udományo

ezető célj

.

értékeiné

einek jel

yeket áb

ális fügikus ábrá exponelán ábrázvény logarolyan egyeredekségutatott grábrázolva.

ő cél az,

mérési

k vagy

ól, hogy

leszteni.

mérési

ésekkel

eljárás

it. Ezért

l mértük

lésének

ázoltuk,

vény . (A) ciális

oltuk. itmu-eneste –k . finon



6

grafikusan meg tudjuk rajzolni azt a vonalat, amely a legkisebb mértében tér el a mérési

eredményektől. A vonal megjósolja y értékét minden x esetében. A jósolt és a mért y értékek

közötti eltérést reziduumnak ( ) nevezzük. A vonalat az alábbi iránymutatások szerint lehet

megrajzolni (4. ábra): A vonalnak át kell mennie a globális átlagon, tehát azon a ponton, aminek x

koordinátája az összes x érték átlaga, y koordinátája pedig az összes y érték átlaga.

Húzza úgy a vonalat, hogy a reziduumok összege minimális legyen. Szigorúbb

értelemben a reziduumok négyzetének összegét kell a lineáris regresszió során

minimalizálni, de ezt a célt nem lehet elérni, ha a mérési eredményekhez legjobban

illeszkedő vonalat szemmel rajzoljuk meg. Ezért rajzoljunk olyan vonalat, amely a

reziduumok összegét próbálja minimalizálni. Ezt a célt úgy lehet közelítőleg elérni,

hogy kb. ugyanannyi pont legyen az egyenes felett, mint alatta.

Húzza a vonalat az origón keresztül, ha a függvényhez kapcsolódó fizikai

törvényszerűségek előírják, hogy az y -nak nullának kell lennie, ha x nulla.

Ne csak két pontra illessze az egyenest. A mérés során egy adatsor került

meghatározásra. Ezért ha csak két pontot (vagy egy pontot és az origót) választja ki az

illesztéshez, tulajdonképpen elhanyagolja az adatsor többi részét (5. ábra).

Ha van egy olyan pont, amely jelentősen kilóg az összes többi pontra illesztett

egyenestől, hagyjuk ki a kilógó pontot, azaz illesszük az egyenest a többi pontra (5.

ábra). Azonban meg kell jegyezni, hogy a feltételezett lineáris trendből kilógó

adatpont léte arra is utalhat, hogy a lineáris összefüggés feltételezése

megalapozatlan volt, azaz a kilógó pontok fontos információt hordozhatnak.



2.

egy má

változikgyorsas

5. ábkiválaillesztpont

Differenciá

Sok esetbe

sik mennyi

a tárgy helágot tudo

a. Továbbiztunk együk, ugyaniilóg, az el l

lás

n az érdek

ég függvé

yzete az idányos po

példák egetlen mér így elhanhet hanya

l bennünk

yében, pl.

ővel. A mattossággal

yenes illessi pontot

yagoljuk a golni, és az

7

et, hogy e

egy tárgy

ematika egírja le, de

ztésére. A.és az origtöbbi négyegyenest a

y mennyis

ebessége

yik ága, a dnnek részl

4. vizuálA füváltohatáregyeátlagmíg

így miniaz elAz egmenj

Nem megót, és az mérési po maradék p

g milyen

egadja, h

ifferenciálsetes tárgy

bra. Egisan mérégő változóó ( x )

ozták mees átmen, két méét mérési

reziduuális. (A reő két ponyenest úgy n át az ori

felelő, ha egyenes entot. B. Hontokra ke

eredeken

gy milyen

zámítás, a lása megh

enes illei eredmént (y ) a füg

öt értg. Az illgy a grési pont f pont alatt

ok ( ) öziduumokara tüntettillesztettüón.

z illesztés re a két

az egyik ll illeszteni.

változik

gyorsan

áltozási aladja a

sztése yekre. getlen kénélsztett

lobális elette,a van,

sszege t csak k fel.) , hogy

során ontra érési



biofizik

tárgyalj

alkalm

2.1.

helyzet

követk

nagyob

hogy s

definíci

gyorsas

merede

differe

fentiek

példáb

grafikoegység

6. á

és biost

uk, amely

zni tudják.

Lineáris füg

együk fel,

ét ( x ) az id

ző egyenle

z (5). eg

b sebesség

ok különb

ókig, tulaj

ága, azaz

ksége, te

ciálszámít

értelmébe

n) milyen

Most vizsg

jából.

Ahhyi változás

ra. Álland

atisztika k

k szükség

gvény deri

hogy eg

ő (t ) függv

t írja le:

enletet á

gel mozgó

ző kifeje

onképpen

helyzet

hát az

s nómenkl

egy függv

yorsan vál

ljuk meg,

oz,

hogy

a alatt (pl.

sebesség

urzus ker

sek ahho

áltja

tárgy áll

ényében.

rázolva eg

tárgynak

és, a kön

ugyanazt

egváltozás

gyenes

atúráját ha

ény derivál

ozik a függ

hogyan leh

eghatároza helyzet

el mozgó t

8

teit. Ezért

, hogy a

ndó v seb

indenki s

x vt

yenes von

egfelelő v

nyen érth

jelentik.

a egységn

eredekség

sználva a

ja az adja

etlen válto

et egy line

zuk

a

függegváltozá

st helyzet

itt csak

hallgatók

ességgel

ámára ism

alat kapun

onal mere

tő közna

gy test s

i idő alatt.

e egyenl

eredekség

eg, hogy

ó (idő a fe

áris függvé

etlen

váltoát az idő 1

.

a legegys

differenci

ozog, és

ert, hogy

k (6. ábra

ekebb. M

i kifejezé

bessége

Ez ugyana

a test

et a függv

függő vál

ti példába

ny derivált

zó

változá sec-os vál

erűbb fo

álás megé

ábrázoljuk

tárgy hel

. Egy gyo

st be fogj

ektől tud

helyzet

z, mint a f

sebesség

ny derivált

ozó (helyz

n) függvén

ját meghat

át

a

függő

ozása alat

almakat

rtsék és

a tárgy

yzetét a

(5)

sabban,

uk látni,

mányos

áltozási

üggvény

vel. A

ának . A

t a fenti

ében.

ározni a

változó

) osszuk



9

el a helyzet változását ( x ) az idő növekménnyel (t ). Ehhez egy derékszögű háromszöget

kell rajzolnunk, és a függő változó (helyzet) deriváltja a független változó (idő) függvényében

a derékszögű háromszög két befogója hosszának hányadosa:

' x x v t

(6)

A fenti egyenlet szerint a x deriváltja, melyet x ’-vel jelölünk (ejtsd: x vessző), a test

sebessége, amit úgy lehet kiszámolni, hogy osztjuk a helyzet változását az idő megfelelő

változásával. Tekintsük a fekete vonalat a 6. ábrán, és határozzuk meg a deriváltját. Mint az

ábrán is látható, különböző derékszögű háromszögek ugyanazt a x /t hányadost adják:

2 1

2 1

20 m 10 m' 2 m/s

10 sec 5 sec

x x x x v

t t t

(7)

Tehát egy egyenes meredeksége (deriváltja) független attól, hogy a független változó (Dt )

milyen nagy változását vizsgáljuk. A piros vonal a 6. ábrán egy kisebb sebességgel mozgó test

pozícióját mutatja. Ezért a piros vonal meredeksége (azaz a test sebessége) kisebb, mint a

fekete vonalé:

10 m 5 m' 1 m/s

10 sec 5 sec

x x v

t

(8)

2.2.

Nem-lineáris függvény deriváltja

Az eddigiekben láttuk, hogy milyen egyszerű egy lineáris függvény, melynek

grafikonja egy egyenes, deriváltját meghatározni. Sajnos a legtöbb mennyiség nem-lineárisan

változik, és az ilyen nem-lineáris függvények deriváltját nehezebb meghatározni. Vizsgáljuk

meg egy változó sebességgel mozgó testet. Példánkban a test állandó gyorsulással mozog (7.

ábra). Mint ahogy sokan bizonyára emlékeznek fizikai tanulmányaikból, egy ilyen test

helyzet-idő grafikonja egy parabola, és a helyzet ( x ) az időnek (t ) négyzetes függvénye:

2

2

a x t (9)

ahol a a test gyorsulása.

Nyilvánvaló, hogy a parabola meredeksége változik az idő függvényében: a

meredekség növekszik az idővel (ahogy a vízszintes tengelyen jobbra mozgunk). A parabola

és minden görbe meredekségét egy tetszőleges pontban az adott ponthoz húzott érintő

meredekségével azonosítjuk. Próbáljuk meg a 7. ábrán feltüntetett állandó gyorsulással

mozgó test sebességét meghatározni t =40 sec-nál. Mivel az érintő meredeksége megfelel a



10

parabola meredekségének, csak az érintő meredekségét kell meghatároznunk. Azonban a

meredekség kiszámításához két pontra van szükségünk. Azonban mivel az érintő egyenlete

nem ismert, ezért a (40, 400)-as koordinátájú ponton kívül egy másik pont koordinátáját nem

tudjuk

meghatározni.

Húzzunk

egy

szelő

t,

és

határozzuk

meg

meredekségét

a

(7).

egyenlet

szerint:

2100 m' 35 m/s

60 sec

x x v

t

(10)

Azonban nyilvánvaló, hogy a 7. ábrán kékkel jelölt szelő meredekebb, mint a piros érintő.

Most húzzunk egy olyan szelőt, melynek végpontja (70 sec) közelebb van a 40 sec-hoz, és

számítsuk ki a meredekségét:

800 m' 27.5 m/s30 sec

x x v t

(11)

Ha folytatjuk a folyamatot, tehát a tartomány csökkentését 40 sec körül, akkor úgy tűnik,

hogy a szelő meredeksége közelít egy értékhez, 20 m/s-hoz:

Dt (sec) 60 30 15 7.5 3.75 1.875 0.938 0.469 0.234

meredekség

(m/s) 35 27.5 23.75 21.875 20.938 20.469 20.234 20.117 20.059

Valójában a szelő meredeksége egyre közelebb kerül az érintő meredekségéhez, ahogy a

tartomány szélessége csökken. Bár a 7. ábrán csak a táblázatban bemutatott első két szelőt

mutatjuk be, a trend nyilvánvaló. Megállapíthatjuk, hogy az érintő meredeksége egyenlő

annak a szelőnek a meredekségével, amelyet a vizsgált pont körüli végtelen

(infinitezimálisan) kicsi tartományhoz húztunk. A fenti állítás matematikai megfelelő je az

alábbi egyenlet:

0 ' lim

t

x dx érint ő meredeksége x

t dt

(12)

tehát az x deriváltja a szelő meredekségének Dt0 esetben vett határértéke (D x /Dt

határértéke abban az esetben, amikor Dt nullához tart). A 0

limt

x

t

jelölés (kiolvasása: a

x

t

t tart a nullához esetben vett határértéke) azt jelenti, hogy a x

t

értékét úgy kell

kiszámolni, hogy t annyira közel van nullához, amennyire lehet. Nyilvánvaló, hogy t nem

lehet nulla, mert a nullával való osztás értelmetlen eredményt adna. Ehelyett t annyira



megkö

a mere

nem ig

differen

vagy

máskép

esetbe

A Dt =6

t =40 se

pontjáb

a differ

fejezi ki

7. áhatárkörre

elíti nullát,

ekség füg

z egy para

ciahányad

ifferenciál

pen úgy

vett határ

t =40 sec-

sec hossz

c és t =100

Összefoglal

an vett de

enciahánya

:

ra. Nem-értékeként.l jelölt időp

amennyire

etlen volt

ola vagy g

snak ,

míg

ányadosn

ondható,

értéke. Egy

nál levő p

intervallu

ec közötti

ásul elmo

iváltja egy

dos határé

lineáris fü Célunk a ont) eseté

csak lehet.

annak a ta

örbe eseté

a

d x /dt

hk nevezz

hogy a der

enes eseté

nthoz húz

mhoz húzo

tlagos seb

dhatjuk,

nlő az ado

rtéke, aho

'y

ggvény dtest pillanen.

11

Míg egy e

rtományna

en. A D x /

nyadost,

ak. A (12)

ivált (d x /d

en D x /Dt =

tt érintő

tt szelő me

ességét adj

ogy egy

tt ponthoz

y x tart n

0lim x

y

x

riváltjának tnyi sebes

yenes ese

a széless

t hányado

zaz

az

érin. egyenle

t ) a differe

d x /dt .

eredekség

redeksége

a meg.

etszőleges

húzott érin

ullához. A

dy

dx

értelmezégének m

ében (6. á

gétől, ami

st, azaz a s

tő

meredeben meg

ncia-hánya

e a test pil

em értel

y =f( x ) fü

tő merede

enti állítás

se a dif ghatározá

ra és (8). e

ez kiszám

elő mered

kségét, de

ogalmazot

dos (D x /D

anatnyi se

etlen, hisz

gvény tet

kségével. A

az alábbi

erenciaháa t =40 se

gyenlet)

ltuk, ez

ekségét,

iváltnak

állítás

) Dt 0

essége.

n a test

szőleges

derivált

gyenlet

(13)

yados (üres



12

Bizonyos, ún. differenciálási szabályos segítségével egy tetszőleges függvény

deriváltja meghatározható, azaz ha adott egy y =f( x ) függvény, akkor annak y’=dy /d x

deriváltját ki tudjuk számítani. Bár ezek a differenciálási szabályok meghaladják a jelen rövid

bevezetés

kereteit,

az

1.

táblázatban

bemutatunk

néhány

ilyen

szabályt.

Függvény Derivált Függvény Derivált

y =c x (c egy állandó) c ln( x ) 1/ x

y = x n nx

n-1 loga( x ) 1/( x ln(a))

e x e x sin( x ) cos( x )

a x a

x ln(a) cos( x ) -sin( x )

1. táblázat. Egy pár függvény deriváltja.

2.3.

Mérési eredményekhez illesztett egyenes meredekségének meghatározása

Mivel a függő és független változó közötti összefüggést gyakran jól lehet közelíteni

egy lineáris egyenlettel, a mérési eredményekhez gyakran illesztünk egyenest. Ilyen

esetekben gyakran meg kell határozni az illesztett egyenes meredekségét, amely egyenlő a

függő változó független változó szerinti deriváltjával (lásd a (6). egyenletnél és az

egyenlethez vezető megfontolásokban). Mivel a biofizika gyakorlatok során szükség lesz

mérési eredményekhez illesztett egyenes meredekségének meghatározására, ebben a

fejezetben lépésenként leírjuk, hogyan kell ezt végrehajtani.

1.

Az eredmények ábrázolása után egy egyenes kell illeszteni a 2.1. pontban leírtaknak

megfelelően.

2. Határozzuk meg az egyenes meredekségét a 8. ábra és az alábbi egyenlet szerint:

9 22965 10 cm cm1.86 10

sec35 secmeredekség

(14)

Fontos, hogy

az egyenes meredekségét magából az egyenesből (piros vonal a 8. ábrán) és ne az

eredeti mérési eredményekből (szürke vonal a 8. ábrán) határozzuk meg. Az eredeti

mérési pontok koordinátájának felhasználása csak abban az esetben megengedett,

ha az illesztett egyenes átmegy az adott ponton.

a derékszögű háromszög befogóinak hosszát a tengelyekről olvassuk le (tehát

65×10-9 cm2

and 35 sec a 8. ábrán). Nem szabad a háromszög oldalainak tényleges,

cm-ben meghatározott hosszát használni, mert eben az esetben a meredekség



3.

meghat

végtele

változó

lehetőv

szorzat

munka

szorzat

8. áb

szaba

függveredmeg. utolspiros

megválto

adataira il

adjuk me

tengelyekmeredeks

Grafikon al

z előző

ározni. M

n sorozato

szorzatai.

é a grafik

összege. E

(az erő és

) két oly

a. Mérési

don diffun

ényében. ényekhez

Egy gyakora) illeszteonal mere

ni a tengel

lesztett eg

g a mered

ről leolvaég egysége

atti terület

ejezetben

st egy má

k összegzé

A fejezet

n alatti t

gy függvé

az erőirányn példa,

redménye

áló része

Lineáris r(piros vonai hibát mttünk. Nyildekségétől

yek újraskl

enes mere

kség mért

ott egysé a függőleg

meghatár

megtanult

sik fontos,

sét. Az ös

során me

erület me

y grafikon

ú elmozdulmelyet az

khez illeszt

ske átlago

egresszió l), és meretat be a svánvaló, h.

13

álázása sor

dekségére.

ékegységé

gekkel, mes és vízszi

zása: hat

uk, hogy

a fizikába

zegzendő

mutatjuk,

határozásá

alatti terü

ás szorzatintegrálsz

ett egyene

s négyzete

segítségévekségét a

zürke vonagy ennek

án. Így a 6.

. Hajtsuk

int magutes tengel

rozott inte

kell egy

n előfordu

tényezők l

hogy az i

t, ami tul

lete a füg

) és az elmítás seg

s meredek

s elmozdul

l egyenekék hároml, amelyet az egyene

5 cm/7 cm

égre ugya

kal a szek egység

grálás

áltozó vál

ló kérdést

eggyakrab

ntegrálszá

jdonképp

vény hatá

ozdulás (a

ítségével l

égének m

ását (

st illeszteszög segítskét pontrnek a me

helytelen

azt a mű

mokkal, inek hány

tozási gyo

fogunk éri

an jellemz

ítás hogy

n végtele

ozott inte

sebesség

het kiszá

ghatározá

) mértük

ttünk a gével hat (az elsőredeksége

8. ábra

eletet a

ehát a dosa.

rsaságát

nteni, a

ően két

an teszi

számú

rálja. A

s az idő

olni. A

a. Egy

az idő

mérési roztuk

és az eltér a



grafiko

követk

integrál

integrál3.1.

elmozd

dolog,

ahol

egyszer

dologh

elmozd

határoz

3.2.

elmozd

a gyor

sebess

9. á

sebegrafi

alatti ter

ző alfejez

ás elvéne

számítás

sKonstans f

lása

z állandó

mit a diák

az időta

ű, hogy jo

z, mint a

ulás tulajd

ott integrál

Lineáris füg

lása

Most vizsg

ulással m

gváltozása

ra. Állan

séggel moon alatti t

let fogalm

tekben a

demons

gítségével.ggvény gr

sebességg

k fizikából

tam, amel

osan kétel

integrálsz

nképpen

ja.

gvény graf

ljuk meg,

zgó test

az idő line

ó sebess

zgó test erület.

át gyakran

elmozdu

rálására,

fikon alatt

l (v ) mozg

megtanuln

y alatt az

kedhetünk

ámítás. A

a sebesség

ikon alatti

ogy a seb

esetében

ris függvé

ggel moz

lmozdulása

14

fogják ha

ás kiszám

ehát a g

területe: á

test elmo

k:

r v t

elmozdul

benne, ho

9. ábra sz

-idő függv

erülete: áll

sség-idő fü

s egyenlő

ye:

ó test el

t idő al

ználni a bi

ítását fogj

rafikon al

llandó seb

zdulásának

st vizsgálj

gy akármi

rint a (15

ny grafik

andó gyors

ggvény gra

a test el

mozdulásá

att egyenl

ostatisztika

k felhasz

tti terüle

sséggel m

(r ) kiszá

k. A fent

öze lehet

). egyenle

n alatti te

lással mo

fikon alatti

ozdulásá

ak megh

a szürke

kurzus so

álni a ha

meghatá

zgó test

ítása az e

i egyenlet

egy olyan

alapján s

rülete, az

gó test

területe a

al. Egy il

tározása.

területtel,

án is. A

tározott

rozására

yik első

(15)

annyira

komplex

zámított

z a v (t )

állandó

en test

Egy v

ami a



és ha a

A 10. á10 sec-

szerint

A sebe

maga

terület

szerint

állandó

3.3.

terület

egyenl

10. ágyors(18). grafik

kezdő sebe

bra egy 2

nál 20 m/

kell kiszám

sség-idő fü

ság/2. A sz

at 2/2,

az elmozd

gyorsuláss

Tetsző leges

z előző

két speci

a test el

bra. Állandulással moegyenlet son alatti te

sség zéró,

/s2

gyorsu. Fizikából

lni:

ggvény gr

ürke háro

mely meg

lás kiszám

l mozgó t

függvény

lfejezetek

ális esetb

ozdulásáv

ó gyorsulágó test seerint kell

rületének.

kkor

lással mozismert, h

fikon alat

szög alapj

elel a (18)

ítható a s

rgyra is alk

rafikon al

en belátt

n (állandó

al. Bár ne

ssal mozgességét miszámolni,

15

v a

v a t

ó test sebgy egy ily

2

ar t

i területe

a 10. ábr

. egyenlet

besség-idő

almazható.

tti területe

k, hogy a

sebesség

bizonyíto

test elmtatja az idamely visz

ességét ábn test el

egy háro

n t , maga

ek. Megáll

függvény

sebesség

el és álla

ttuk, ez a

zdulása. Aő függvényont megfe

ázolja. Ezéozdulását

szög, mel

ssága at ;

apíthatjuk,

grafikon al

idő függv

dó gyorsu

megfigyelé

z ábra egében. A telel a sebes

rt a test seaz alábbi

nek terül

ezért a há

hogy az e

atti terüle

ny grafik

lással moz

s arra utal,

2 m/s2 á

t elmozdulség-idő fü

(16)

(17)

bességegyenlet

(18)

te alap

romszög

lv, mely

éből, az

n alatti

gó test)

hogy a

llandó ását a gvény



16

sebesség-idő függvény grafikon alatti területe általánosságban megfelel az elmozdulásnak.

Most azt kell belátni,

hogyan függ össze ez az elv a fejezet elején bemutatott koncepcióval, azzal, hogy a

határozott integrál egy végtelen sorozat összege hogy kell kiszámolni egy tetszőleges függvény grafikon alatti területét. A 9-10.

ábrákon a sebesség-idő függvény grafikon alatti területének alakja vagy téglalap,

vagy háromszög volt, melyek területét egyszerű kiszámolni. A fejezetben

bemutatjuk, hogy a végtelen sorozat összegzése határozott integrálással az a

művelet, amely az általunk meghatározandó területet adja.

Az y = x 2 függvényt fogjuk használni annak demonstrálására, hogyan kell határozott

integrálással egy tetszőleges függvény grafikon alatti területét meghatározni. Mint látni

fogjuk, ez végtelen számú téglalap területének összegzését jelenti. Próbáljuk meghatározni

az y = x 2 függvény grafikon alatti területét az x =0 és x =10 határok között úgy, hogy a területet

több téglalapra osztjuk. Az első téglalap bal és jobb szélének x koordinátáját rendre x 0-lal és

x 1-gyel jelöljük. A második téglalap bal és jobb szélének x koordinátáját pedig rendre x 1-gyel

és x 2-vel. Rajzoljuk meg a téglalapokat úgy, hogy magasságuk legyen egyenlő a függvény

értékével a tartomány közepén, tehát pl.

2

0 1

2

x x y

(19)

az első téglalap esetében. Nyilvánvaló, hogy ha a téglalapok száma csak kettő, akkor a

közelítés elég rossz (11A. ábra). Határozzuk meg a 11A. ábrán látható két téglalap területét:

2 2

0 1 1 210 0 10 0 0 5 5 10312.5

2 2 2 2 2 2

x x x x terület f f

(20)

Ha a téglalapok számát négyre növeljük, hogy a közelítés egy kicsit jobb legyen (11B. ábra), a

grafikon alatti területet a következő képlettel közelíthetjük:

2 2 2 210 0 0 2.5 2.5 5 5 7.5 7.5 10

328.1254 2 2 2 2

terület

(21)

Ha a téglalapok számának (n) növelését tovább folytatjuk, úgy néz ki, hogy a terület egy

bizonyos számhoz, a 333.33-hoz tart, amit a 2. táblázat mutat.



n

2

4

2. táblszámán

A 11.

jobban

jogosn

grafiko

terület

11. ászürkgrafi

terület

312.5

328.12

zat. Az x 2

ak (n) függ

bra és a

közelíti a

k tűnik az

alatti terü

z alábbi

t kiszámol

ra. Az y = x

e oszlopok on alatti te

n

10

5 20

függvény ényében.

. táblázat

églalapok

a feltétele

let meghat

éplet mut

i az a és b

függvény különböz

rületét köz

terül

332.5

333.1

grafikon

tanúsága

erületéne

zés, misze

ározásának

tja, hogy

határok kö

grafikon al n számú

elítjük.

17

t n

50

25 100

latti terül

zerint min

összege a

int ha a t

hibája vég

kell egy te

ött, ha a t

tti területtéglalap t

terü

333

333

te a [0,1

él nagyobb

függvény

glalapok s

telen kicsir

tszőleges

rületet n t

nek kiszárületét jel

let n

.3 50

.325 10

] tartomá

a téglala

rafikon al

zámát vég

csökken.

=f( x ) függ

glalappal

ítása x =0 ölik, melye

te

33

0 33

nyban a t

ok terület

tti terület

elenre nö

ény grafik

özelítjük:

s x =10 közkkel a füg

ület

3.333

3.33325

églalpok

e, annál

t. Ezért

eljük, a

n alatti

ött. A gvény



18

0 1 1 2 1

1

1

...2 2 2

2

n n

n

i i

i

x x x x x x b aterület f f f

n

x x b a f

n

(22)

Ha a szummálás jelölésének értelmezése gondot jelent, olvassa el a 4. fejezetet. Ha a

téglalapok száma közelít a végtelenhez, a téglalapok területének összegét határozott

integrálnak nevezzük:

1

1 1

lim lim2

b n n

i i

n ni i a

x x b a b a f x dx f f x

n n

(23)

Az szimbólumot „integrál”-nak kell olvasni és alakja az „s” karakterre hasonlít, ami arra utal,

hogy tulajdonképpen szummálást jelent. Határozott integrálás során az egyes téglalapok

területe végtelenül kicsi, hiszen szélességük (b-a)/n=d x szintén végtelenül kicsiny. Azonban

végtelen számú ilyen téglalapunk van, hiszen n.

Most már látjuk, hogy egy függvény [a,b] intervallumra számított határozott

integrálja végtelen számú végtelen kicsi téglalap területének összegzésével adja meg a

függvény grafikon alatti területét a és b között. De hogy lehet végtelen számú területet

összeadni? Vizsgáljuk meg először a 9. és 10. ábrákon bemutatott speciális eseteket.

Mindkét esetben a szürke terület nagysága 0 és T között

0

T

v t dt (24)

ahol

5 m/sv t állandó (25)

a 9. ábrán, és

v t at (26)

a 10. ábrán. Két kivételen tudós, Newton és Leibniz, rájött a XVII. században, hogy a grafikon

alatti területet a v (t ) függvény primitív függvénye segítségével lehet kiszámolni. Nézzük meg,

hogy mit jelent ez a kijelentés. Egy f(x) függvény primitív függvénye az az F(x) függvény,

amelynek deriváltja egyenlő f(x)-szel (l. a (28). egyenletben). A függvény, amelynek deriválja

állandó: állandót (hiszen az állandót függvényt t függvényében ábrázolva a meredekség

állandó; lásd 1. táblázat). A függvény, melynek deriváltja at : a/2t 2

. Így tehát állandót az

állandó függvény primitív függvénye, és a/2t 2 az at függvény primitív függvénye. Mint



19

ahogy a (15). és (18). egyenletekben bemutattuk, a primitív függvények valóban a függvény

grafikon alatti területét adják. A fenti eszmefuttatás általános formáját, a Newton-Leibniz

tételt, használjuk egy tetszőleges függvény grafikon alatti területének meghatározására.

Formális

bizonyítás

nélkül

a

tétel

a

következő

:

b

a

f x dx F b F a (27)

ahol F ( x ) az f( x ) primitív függvénye, ami azt jelenti, hogy az F( x ) deriváltja f( x ):

dF x f x

dx (28)

Így tehát az integrálás a differenciálás fordított mű velete. Az 1. táblázat deriválási szabályait

felhasználva belátható, hogy

3

23 x d

x dx

(29)

tehát az x 2 primitív függvénye x

3/3. Ezért

1010 3 3 32

0 0

10 0 1000333.333

3 3 3 3

x x dx

(30)

A (30). egyenlet alátámasztja a 2. táblázat alapján elért konklúziót, mely szerint az x 2

függvény grafikon alatti területe a [0,10] tartományban 333.333. A

103

03

x

jelölés a 103/3-

03/3 kifejezés tömör formája.

4. A szummálás jelölése

Sok matematikai képletben szükséges sok változót összeadni. Jelöljük x 1, x 2, x 3, …, x n

szimbólumokkal n különböző mérési eredményt vagy egy x változó n különböző értékét. x 1 a

halmaz első eleme, x i jelöli a halmaz i -dik elemét és x n az utolsó érték vagy mérési eredmény.

A szumma jel egy tömör kifejezése a változók értékeinek összegére. Az alábbi ábra

bemutatja a szummálás jelölésének „anatómiáját”:



20

Az alábbi képlet arra utasít bennünket, hogy egy halmaz első n elemét összegezzük:

1 2 31

...n

i n

i

x x x x x

(31)

Az alábbi képlet szerint az adathalmaz első n elemének átlagtól vett négyzetes eltérését kell

összegeznünk. Ezzel az egyenlettel gyakran találkozunk statisztikai képletekben:

2 2 2 2 2

1 2 31

...n

i n

i

x x x x x x x x x x

(32)

Sok esetben a szumma jelölést tovább egyszerűsítjük, ha egyértelmű, hogy a szummálást a

teljes adathalmazra el kell végezni. Így az alábbi kifejezések mind azt jelentik, hogy az

adathalmazban minden x értéket összegeznünk kell:

1

n

i i i

i i

x x x x

(33)

1

n

i

i

x

a szummálás index változója

kezdő érték, a szummálás alsó határa

szumma jel

utolsó érték, a szummálás felső határa

az

összegzendő

változó

Documents

Matematikai alapok orvosira