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Matematizaci´on del Ingeniero Civil, exempli gratia geolog´ ıa y geotecnia Ludger O. Su´ arez-Burgoa (PhD.) Profesor Asistente en dedicaci´ on exclusiva Facultad de Minas - Universidad Nacional de Colombia 9 de octubre de 2014 1

Matematizaci on del Ingeniero Civil, exempli gratia …geomecanica.org/groupGMC/files/present_files/geolMatIngCiviles.pdf · exempli gratia geolog a y geotecnia Ludger O. Su arez-Burgoa

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Matematizacion del Ingeniero Civil,exempli gratia geologıa y geotecnia

Ludger O. Suarez-Burgoa (PhD.)

Profesor Asistente en dedicacion exclusivaFacultad de Minas - Universidad Nacional de Colombia

9 de octubre de 2014

1

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ResumenEsta presentacion tiene el objeto de persuadir al ingeniero civil para

que se aventure al fantastico mundo de la matematica aplicada a lageologıa. ¿Y porque la geologıa? — la geologıa es la ciencia basica quelogra el entendimiento de la formacion, evolucion del planeta Tierra;¿Y porque la matematica? —la matematica es la ciencia basica de loabstracto, que su desarrollo ha logrado crear el marco conceptual delas demas ciencias.

Lo que se expondra aquı seran ejemplos sencillos para mostrar alingeniero civil que es posible usar la matematica en todos los camposde su desempeno, y que encontrara gratos momentos en poder expresarsus ideas en un lenguaje matematico. Se hara enfasis en ejemplos toma-dos para el uso y entendimiento de la geologıa, solo por la tendenciaque tiene el expositor al estudio de esta ciencia. Pero eso no signifi-ca que uno no pueda hacer la tarea de matematizacion de cualquierproblema de ingenierıa.

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Ingenierıa v.s. matematica

La ingenierıa no es una ciencia, es una disciplina que tienes las caracterısti-cas de una ciencia. Tanto en la ingenierıa como tambien en matematicas,muchas veces uno se ve forzado a abandonar algunos aspectos importantes deun problema solo con el fin de llegar a una solucion.

Ingenierıa MatematicasObservar AsumirObtener datos y buscar patrones. Obtener datos y buscar patrones.Establecer hipotesis. Establece conjeturas.Construir una teorıa. Probar teoremas.Lograr un mejor entendimiento denuestro universo.

Lograr un mejor entendimiento deun universo.

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Concepto de matematizar

Segun Hans Freudenthal (1971), la matematizacion es la actividad de or-ganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas y sulenguaje.

Aquı, se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas, que incluye:

matematica pura;

matematica aplicada;

estadıstica;

computacion;

investigacion de operaciones.

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Matematizacion y concretizacion

La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelos concep-tuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica. Es decir,un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de la naturalezaen un modelo matematico. No solo se trata de entender el proceso, sino deencontrar las variables que mas influyen en el proceso, y las relaciones entreestas, expresadas a traves del correcto lenguaje matematico.

La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion, y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad.

Al igual del uso del termino matematizacion, emergio el termino computa-rizacion de una disciplina; m as que automatizacion de algun problema.

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Etapas de la matematizacion de una ciencia

El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia, a traves de la observacion, experimentacion y el estudio. Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [?]Thompson1981.inbook.

1. Recoleccion de datos e informacion; su analisis e interpretacion.

2. Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyes empıri-cas.

3. Formulacion, estudio y validacion de los modelos matematicos.

4. Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimiento cientıfi-co.

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¿Donde puede matematizar el Ingeniero Civil?

El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera; puede matematizar por ejemplo en:

la escritura;

manejo de datos alfanumericos;

lo demas. . . e.g. en la geologıa;

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El lenguaje matematico

En matematicas se necesita escoger nombres a los objetos matematicos,formular definiciones, describir y explicar.

El nombre de un objeto no cambia sus propiedades, pero este puede cam-biar el sentido en que el objeto es percibido en el medio.

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Escribir bajo el lenguaje matematico

Lo primero saber que todo documento tiene una estructura: una carta, unoficio, un artıculo, un capıtulo de libro, un tabla, una figura, una ecuacion.. . . ¡Todo tiene una estructura!

La estructura de un artıculo por ejemplo es:

<article >

<front >

<journal -meta > </journal -meta >

<article -meta > </article -meta >

</front >

<body >

<sec > <title > </title >

<p> </p> <p> </p>

</sec >

<sec > </sec > <sec > </sec >

</body >

<back >

<app -group >

<app >

<sec > <title > </title >

<p> </p> <p> </p>

</sec >

</app >

<app > </app > <app > </app >

<ref -list >

<ref > </ref > <ref > </ref >

</ref -list >

</back >

</article >

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Escribir bajo el lenguaje matematico

Si no usamos el programa apropiado es difıcil que logremos cumplir aque-llo. LATEX es un programa desarrollado en conjunto con la AMS (AmericanMathematical Society).

Algunos ejemplos se muestran a continuacion.En el artıculo de [?]ArangoZuluaga.etal2012.article se escribio:

D =1

1− Vg/Vo− 2

Vo/Vg − 1. (1)

Deberıa escribirse:

D =1

1− VgVo

− 2VoVg− 1

. (2)

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Escribir bajo el lenguaje matematico

En el artıculo de [?]SalazarUribe.etal2012.article se escribio:

LRT = −2 [log (L0)− log (L1)] . (3)

Deberıa escribirse:

LRT = −2 (lgL0 − lgL1) . (4)

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Escribir bajo el lenguaje matematico

En el artıculo de [?]Szwedowicz.etal2012.article se escribio:ñT2W2

ô=

ñcos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

ô ®QN

´. (5)

Deberıa escribirse:ÇT2W2

å=

Çcos θ sin θ− sin θ cos θ

åÇQN

å. (6)

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Escribir bajo el lenguaje matematico

En el artıculo de [?]MarquezCardozo.etal2012.article se escribio:

F = B1−B2 ∗ A−B3 ∗ TSS −B4 ∗ T. (7)

Deberıa escribirse:

F = B1 −B2A−B3TSS −B4T. (8)

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Use el programa apropiado para escribir

Un lenguaje de marcas (markup language) es una forma de codificar undocumento que, junto con el texto, incorpora etiquetas que contienen infor-macion adicional acerca de la estructura del texto o su presentacion.

Los lenguajes de marcas mas usados de uso en la escritura son:

LATEX;

HTML5, XML;

JATS + MathJAX.

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Manipule bien sus recursos, e.g. imagen raster

El ojo humano solo es capaz de reconocer como maximo 12 tonalidades degris. La transformacion de una imagen a color a tonos de gris no es directa.

Figura 1: Measured MEG activity.

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Transformacion de color a tonos de gris

Esta figura se genero en MATLABr con el siguiente codigo:load flujet; image(X); colormap(jet);

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Transformacion de color a tonos de gris (cont.)

Tambien se generaron con: load flujet; image(X);

(a) mala conversion (sin supervision) (b) buena conversion con colormap(gray);

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Manipule bien sus recursos, e.g. grafica vecto-

rial

Pensamos que dibujar es poner trazos y curvas —No, todo dibujo ge-ometrico tiene que cumplir las reglas de Topologıa.

Topologıa: es la rama de las matematicas dedicada al estudio de aquel-las propiedades de los cuerpos geometricos que permanecen inalteradas portransformaciones continuas.

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Dibujo bi-dimensional (2D)

Use los siguientes elementos.

1. Punto (0-simplex en R2).

2. Lınea (1-simplex en R2).

3. Polıgono abierto (complejo simplicial de 1-simplex en R2).

4. Polıgono cerrado (complejo simplicial de 2-simplex en R2).

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Ejemplo de una figura 2D

(c) sin estructuratopologica

1

2

2

33

3 3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

8

C

D

A

B

14

(d) con estructuratopologica

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Dibujo bi-dimensional (3D)

Use los siguientes elementos en adicion a los enumerados arriba.

1. Superficie abierta (complejo simplicial de 2-simplex en R3).

2. Poliedro (complejo simplicial de 3-simplex en R3).

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Manipule bien sus recursos: digitalizacion

Pensamos que digitalizar es calcar en medios digitales –No!Todo proceso de digitalizacion tiene que pasar por un proceso de trans-

formacion expresada por una matriz de transformacion (registro).El registro de una imagen esta dada por

pr = HA pu; (9)

donde

HA =

ÇA t0T 1

å. (10)

La matriz A es una matriz de transformacion que toma en cuenta rotacion,traslacion y distorsion de corte puro; los vectores pu y pr son las coordenadasde los puntos antes y despues del registro.

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Ejemplo de una imagen para registro

(e) escala sin registro (f) escala con registro

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Maneje bien sus datos

Pensamos en una base de datos como una hoja electronica. ¿Es realmenteuna base de datos una hoja Excel? –No!

Cree una estructura de base de datos para almacenar, actualizar, editar,y obtener nueva informacion de una gran cantidad de datos. Use por ejemploel programa PostgreSQL.

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La estructura de datos de orientaciones de planos

Tabla que almacena los datos

CREATE SEQUENCE datasequence05 START 1;

CREATE TABLE measurements (

measurementId INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY DEFAULT nextval('

datasequence05 '),

elevation FLOAT ,

stationId INTEGER REFERENCES pointStation(stationId),

planeformatId INTEGER REFERENCES planeOrientFormats(

planeformatId),

planeOrientation VARCHAR (6)[3],

planeTypeId INTEGER REFERENCES planetypes(planeTypeId),

rockmatUnitId INTEGER REFERENCES rockmatUnit(rockmatUnitId),

discontDescription VARCHAR (2048)

);

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Introduccion de los datos

INSERT INTO measurements ( elevation , stationId , planeformatId ,

planeOrientation , planeTypeId , rockmatUnitId ) VALUES ( '1810', '2', '3',

'{N46E , 54SE , nan}', '1', '1' );

INSERT INTO measurements ( elevation , stationId , planeformatId ,

planeOrientation , planeTypeId , rockmatUnitId ) VALUES ( '1810', '2', '3',

'{N73W , 36SW , nan}', '1', '1' );

INSERT INTO measurements ( elevation , stationId , planeformatId ,

planeOrientation , planeTypeId , rockmatUnitId ) VALUES ( '1830', '5', '3',

'{N35E , 65SE , nan}', '1', '1' );

INSERT INTO measurements ( elevation , stationId , planeformatId ,

planeOrientation , planeTypeId , rockmatUnitId ) VALUES ( '1830', '5', '3',

'{N52W , 56SW , nan}', '1', '1' );

INSERT INTO measurements ( elevation , stationId , planeformatId ,

planeOrientation , planeTypeId , rockmatUnitId ) VALUES ( '1830', '5', '3',

'{N24W , 30SW , nan}', '1', '1' );

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Adquiera expertıcia en la programacion

La diferencia entre la solucion de un mismo problema, por un codigocomputacional con el uso de conceptos altos matematicas, y otro sin el usode matematicas.

Suma de acimutes

Se quiere hacer la suma de dos acimutes az1 y az2.

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Codigo de suma de acimutes

Sin conceptos de matematica

function [ sumedAnglesDeg ] =sum2azimutswithoutmaths( angle1Deg , angle2Deg )

notReducedAngleDeg =angle1Deg + angle2Deg;

sumedAnglesDeg =reduceminimal360angle( notReducedAngleDeg );

end

function [ reducedAngleDeg ] =reduceminimal360angle( angleDeg )

reducedAngleDeg =angleDeg;

if angleDeg >360

reducedAngleDeg =angleDeg -floor(angleDeg /360) *360;

else

if angleDeg <-360

reducedAngleDeg =angleDeg -ceil(angleDeg /360) *360;

end

end

end

(14 lıneas de codigo).

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Codigo de Suma de acimutes

Con conceptos de matematicaPara resolverlo se hace referencia a la teorıa de numeros al concepto de

congruencia en moduloa ≡ b (mod n), (11)

que se lee como a congruente b en modulo n, y que significa que (a − b) esun multiplo de n, o que a y b ambos dejan un mismo residuo cuando sondivididos por n.

function [ sumedAnglesDeg ] =sum2azimutswithmaths( angle1Deg , angle2Deg )

sumedAnglesDeg =mod( (angle1Deg + angle2Deg), 360 );

end

(3 lıneas de codigo).

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El relieve topografico se puede representar con

un grafo

Un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

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La superficie del terreno se puede representar

por una triangulacion Delone

Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos que satis-face que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red no contenganingun vertice de otro triangulo adyacente.

La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion. Esto permite que los errores de redondeosean mınimos.

Condicion: una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıas;y una circunferencia es vacıa, si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen.

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La superficie del terreno se puede representar

por una NURBS

B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies.

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El volumen de un macizo se puede representar

por un complejo simplicial

Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K); dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos. El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ ∈ S(K) y τ ⊂ σ, τ 6= ∅, entonces τ ∈ S(K); siendo τ lacara de σ.

Por ejemplo en el plano, el siguiente complejo simplicial K = {V, S} deelementos

V (K) = {0, 1, 2, 3, 4}

S(K) = {{0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {0, 1, 2}}

es una figura geometrica.

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Varios objetos de estudio en geologıa son un

tensor de 2do orden

Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, quegeneraliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido.

Por ejemplo:

el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO);

la permeabilidad en un medio se representan por un TSO;

la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO.

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Un TSO no es una matriz de 3× 3,

T :6= T . (12)

t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33

:6=

Öt11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33

è. (13)

Un TSO esta relacionada con una matriz como

T = T (ei ⊗ ej). (14)

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Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios.

Para verificar que las tres orientaciones propias (v.gr. las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı, se representanlos tres vectores propios como una matriz P , donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales.

De ahı, se tiene que verificar que P sea:

una matriz ortogonal, y

una matriz gramiana simetrica y hermıtica.

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Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada, donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (v.gr. vectoresorotonormales), y cumplen con que

P P = P−1 (15a)

P PP = P P P = I. (15b)

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Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales, que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes. Para que la matrizsea de este tipo, el determinante de Gram tiene que ser no-nulo; que para elcaso de una matriz de 3× 3 serıa

G(p1,p2,p3) =

(p1 · p1) (p1 · p2) (p1 · p3)(p2 · p1) (p2 · p2) (p2 · p3)(p3 · p1) (p3 · p2) (p3 · p3)

. (16)

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Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO, T.

Sin embargo, en las ciencias de la tierra, el TSO en sı no se obtiene direc-tamente designando cada uno de los seis elementos. Muchas veces se midenlas orientaciones principales directamente y de ahı se trata de reconstruir untensor.

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Los inconvenientes:

1. Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios.

2. Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (v.gr. illpossed problems).

Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz, sucaracter no-singular de la matriz, o su consistencia; o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible, diagonizable, o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales), o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1.

1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo, debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre, o una propiedad es consecuenciade la otra.

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¿Problema directo o inverso?

Por lo normal en la ingenierıa, los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectos;estos ultimos los que se desean conocer. Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo.

Sin embargo, existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas; dando lugar a tener un problema inverso.

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En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversos.Tomare un ejemplo de [?]Peletier2012.misc, donde plantea el estudio de ladeformacion de las rocas desde el punto de vista de un problema directo einverso:

problema directo: ¿Como las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas?

problema inverso: ¿A partir de la observacion de una roca deformada,que se puede inferir respecto la historia de su deformacion?

Entre estas dos formas de plantearse el problema, la segunda opcion tieneintereses significativos.

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El problema inverso de exploracion sısmica

Se nos da un numero n de geofonos; para cada uno de ellos (i) —de 1 an— conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuente,un punto espacial ri que es la localizacion del sensor, y el tiempo de viaje dela onda ti. Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i

minγ:si−→ri

∫γ

ds

v(x)= ti; (17)

donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri.

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Ejemplo: interpretacion de bimsoils

Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ), o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ). Ambos tipos se llaman bims.

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Los bims, pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocas cuan-do estan:

en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada);

en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada;

inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua;

en zonas de falla (cataclasitas);

no consolidados, alterados y con fragmentos de roca (regolitos);

forman rocas melagenas (melanges);

son transportados y depositados (e.g. depositos de vertiente y sedimen-tarios).

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Descripcion de bimsoils

El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion.

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El problema durante el algoritmo

Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa.

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El problema durante el algoritmo

En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen, el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (v.gr. partıcu-las) mas su complemento, y el volumen de pıxeles que ocupaba la matriz consu complemento; pero no el volumen que ocupaba la matriz.

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Planteamiento del problema

El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos; y fue el siguiente.

Sean tres conjuntos M , P y B, para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz, las partıculas y el fondo; se pidehallar la expresion que obtenga (B−M)c− (B−P )c conocidos: (P −M)c−(P −B)c, (M −B)c− (M −P )c y sus complementos; ademas de M ∪P ∪B.Tomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades: M ∩ P =M ∩B = P ∩B = M ∩ P ∩B = ∅ y (M ∪ P ∪B)c = ∅.

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Interpretacion del problema

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Solucion

Respuesta:M c − P.

Implementacion

La implementacion en codigo serıa

numWholeIm =numel(imageArrayCell{i});

[ numOfPrtls , numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist ...

( twobitParticleImageArrayCell{i} );

[ numOfMtrxs , numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist ...

( twobitMatrixImageArrayCell{i} );

wholeParticlesPixelsCell{i} =numOfPrtls;

wholeMatrixPixelsCell{i} =numOfMtrxs;

wholeBckgrndPixelsCell{i} =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls;

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El GI de Geologıa Matematica

Objetivo

Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica.

Objetivos secundarios

aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos;

matematizar los problemas geologicos;

plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas;

solucionar los problemas geologicos matematizados.

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¿Como se logra estos objetivos? Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a:

crear algoritmos en lenguajes diversos (e.g. MATLABr, Pythony C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos;

crear algoritmos para la solucion rapida, generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados;

crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa.

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Retos

El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en una cien-cia menos descriptiva y mas predictiva, con el uso de modelos matematicosdesarrollados para ese fin, desarrollando los propios codigos computacionales.

Vision

En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado los princi-pales problemas numerico-matematicos de uso comun y particulares aplicadosa la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados en codigos abiertos.

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Lıneas de investigacion

Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural

Objetivo de la Lınea: crear algoritmos en lenguajes de programacion (ex-perimentales o industriales, como MATLABr, Python, C++) de problemasdireccionales de Geologıa Estructural.

Problemas inversos en Geologıa

Objetivo de la Lınea: Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa.

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Logros

1. GeonetDigitizer: algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert.

2. Buzy+: caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad.

3. Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos: ejemplo en la Cantera Santa Rita, Medellın (Colombia).

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Lıderes

1. Prof. Ludger O. Suarez-Burgoa (UN, Medellın).

2. Prof. Uram Anibal Sosa Aguirre (ICESI, Cali).

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¿Donde publicamos?

No siempre tiene que ser en revista indexada.El matematico Grigorı Perelman, quien logro resolver una de las siete

conjeturas de la matematica moderna del siglo XXI (v.gr. resolvio la famosaconjetura de Poincare) publico sus resultados por primera vez en la paginaweb http://arxic.org, que es un sitio de acceso abierto soportado por laUniversidad de Cornell.

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GI Geologıa Matematica asociado a

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Steen1981.book Freeden2010.inBook Fowler2011.book Vistelius1967.book